KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

Transcript

1 KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

2

3 SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.3. OSOBINE STACIONARNE JEDNODIMENZIONALNE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE 4.4. TIPOVI SPEKTRA JEDNODIMENZIONALNE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE 6.5. JEDNAČINA KONTINUITETA.6. PROBLEMI VEZANI ZA OPŠTE OSOBINE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE.7. PROBLEMI VEZANI ZA ODREĐENE OBLIKE ZAVISNOSTI POTENCIJALNE ENERGIJE U( ) Slobodna čestica Slobodna čestica na polubeskonačnom domenu.7.3. Čestica u jami sa beskonačno visokim zidovima Čestica u asimetričnoj jami sa jednim beskonačnim i jednim konačno visokim zidom Čestica u simetričnoj pravougaonoj jami sa konačno visokim zidovima Čestica u potencijalnoj barijeri Čestica u potencijalnoj energiji oblika delta funkcije Čestica u gravitacionom polju 56. OPERATORSKI FORMALIZAM U KVANTNOJ MEHANICI 6.. LINEARNI OPERATORI 6... Transponovani, konjugovani i adjungovani operator Hermite-ovi operatori Zbir i proizvod operatora koji imaju zajedničke sopstvene funkcije Komutativnost operatora 7.. SREDNJE VREDNOSTI U KVANTNOJ MEHANICI VREMENSKA EVOLUCIJA KVANTNOMEHANIČKE SREDNJE VREDNOSTI REŠENI PROBLEMI 78 i

4 .5 OPERATOR MOMENTA KOLIČINE KRETANJA Osobine projekcija operatora momenta količine kretanja Osobine operatora L ˆz Osobine operatora ˆL.6 KRETANJE ČESTICE U POLJIMA SA SFERNOM SIMETRIJOM 9.6. Slobodna čestica 7.6. Sferna kvantna jama sa beskonačno visokim zidom.6.3 Sferna kvantna jama sa konačno visokim zidom.6.4 Atom vodonika Kruti rotator Rotator sa fiksnom osom 37 ii

5 SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA Osnovna jednačina na kojoj se zasniva Kvantna mehanika je Schrödinger-ova jednačina. Ova jednačina se ne izvodi, već se postulira. Ako čestica ima masu m (gde m označava masu u mirovanju, tj. nerelativističku masu čestice koja ne zavisi od brzine) i nalazi se u polju koje karakteriše prostorna i vremenska zavisnost potencijalne energije Urt (, ), tada je odgovarajuća Schrödinger-ova jednačina oblika: ( rt, ) ( rt, ) Urt (, ) ( rt, ) i (.) m t gde je ( rt, ) talasna funkcija čestice, a ħ je redukovana Planck-ova konstanta ( Js). Ovo je parcijalna diferencijalna jednačina koja se ne može rešiti analitički (osim u najspecijalnijim slučajevima), već se rešava numeričkim putem, uz poznavanje odgovarajućih konturnih i graničnih uslova. Naglasimo da je potencijalna energija Urt (, ) realna veličina (slučajevi kompleksne potencijalne energije ne razmatraju se u okviru ovog teksta), dok talasna funkcija ( rt, ) može biti realna ili kompleksna veličina, o čemu će se detaljnije diksutovati u okviru Problema na strani. Prema Born-ovoj interpretaciji, talasna funkcija ( rt, ) ima sledeći fizički smisao: veličina ( rt, ) dv predstavlja verovatnoću nalaženja čestice u trenutku t u elementarnoj zapremini dv, određenoj vektorom r. Ovo dalje znači da je integral ove veličine po celom prostoru jednak jedinici, što je ujedno i uslov normalizacije: ( V ) ( rt, ) dv (.) Pošto Schrödinger-ova jednačina (.) predstavlja homogenu diferencijalnu jednačinu, ako je funkcija ( rt, ) jedno od njenih rešenja, tada je i C( r, t) takođe rešenje, pri čemu je C i proizvoljna kompleksna konstanta. Ako ovu konstantu prikažemo u obliku C e, pri čemu je i realan broj, tada je ( rt, ) e ( rt, ). Kako je fizički relevantna samo veličina ( rt, ), to je jasno da su talasne funkcije ( rt i, ) i e ( r, t) fizički potpuno ekvivalentne, odnosno da se talasna funkcija može odrediti sa tačnošću do multiplikativne konstante oblika i e, gde je proizvoljan realan broj. Svakako da je jedno od rešenja Schrödinger-ove jednačine (.) ( rt, ), za svako r i t, za bilo koji oblik zavisnosti Urt (, ). Ovo je trivijalno rešenje. Vodeći računa o Born-ovoj interpretaciji, verovatnoća da čestica bude u stanju sa talasnom funkcijom ( rt, ) je nula, pa

6 ova talasna funkcija nije fizički značajna i ne uzima se u obzir pri analizi Schrödinger-ove jednačine. Jednačina (.) predstavlja trodimenzionalnu Schrödinger-ovu jednačinu. U mnogim važnim slučajevima sa gledišta aplikacije, kada je potencijalna energija funkcija samo jedne koordinate, problem (koji je svakako režiran trodimenzionalnom jednačinom) se može svesti na jednodimenzionalnu Schrödinger-ovu jednačinu: (, t) (, t) U(, t) (, t) i (.3) m t Jednačina (.3), mada i sama jako složena, znatno je jednostavnija za analizu od trodimenzionalne jednačine (.), pa ćemo se u daljem izlaganju fokusirati na razmatranje jednodimenzionalne Schrödinger-ove jednačine, s tim da će odgovarajuće relacije za trodimenzionalni slučaj biti date bez dublje analize.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA Ako potencijalna energija ne poseduje vremensku zavisnost, tj. U(, t) U( ), tada je jednačina (.3) oblika: (, t) (, t) U( ) (, t) i (.4) m t Ovo je i dalje parcijalna diferencijalna jednačina, ali se za razliku od (.3) promenljive mogu radvojiti i uzimajući (, t) ( t) f( ) dolazi se do oblika: Ako sada jednačinu (.5) podelimo sa f t, dobijamo izraz f '' ( ) ' t U f t i f t m (.5) f '' ' t U( ) i (.6) m f Kako leva strana jednačine zavisi samo od, a desna samo od t, jasno je da oba izraza moraju biti jednaka konstanti C, koja ne zavisi ni od ni od t, pa se (.6) može napisati preko dve obične diferencijalne jednačine: ' t i C (.7a) t t

7 f U( ) f Cf m '' (.7b) Rešenje jednačine (.7a) je oblika: t C i t Ce (.8) U stacionarnom slučaju, koji razmatramo, vremenski deo talasne funkcije (po analogiji sa prostiranjem ravanskih talasa) je srazmeran veličini ep( it). Vodeći računa da se energija može napisati i u obliku E, gde je kružna učestanost, jednostavno se zaključuje da je C jednako energiji čestice E, pa je konačno, za stacionarni slučaj, talasna funkcija data relacijom: E (, t) f( ) e i t (.9) Kako je (, t) f( ), u slučaju stacionarnih problema dovoljno je odrediti samo zavisnost f ( ). U nastavku teksta, koristićemo umesto f ( ) oznaku ( ), kao što je uobičajeno, pa se jednačina (.7b) može napisati u konačnoj formi: d ( ) U( ) ( ) E( ) m d (.) Kako je pretpostavljeno da je potencijalna energija realna veličina, tada je i energija E obavezno realna veličina. Ovakav oblik Schrödinger-ove jednačine ćemo u nastavku detaljno analizirati. Jednačina (.) je linearna homogena diferencijalna jednačina drugog reda. Za svaku (određenu) vrednost energije E opšte rešenje ove jednačine ima oblik: ( ) C ( ) C ( ) (.) pri čemu su C i C kompleksne konstante, a ( ) i ( ) par linearno nezavisnih rešenja (Wronskian W (, ' ' ) mora biti različit od nule ako su rešenja linearno nezavisna). Ako je poznato jedno rešenje, npr. ( ), tada je drugo linearno nezavisno rešenje dato relacijom: dt ( ) ( ) (.) () t Za neke vrednosti energije E moguće je normalizovati ( ) u smislu jednačine (.), dok za neke to nije moguće: ako je npr. ( ) ep( c), gde je c realna pozitivna konstanta, tada nije moguće ispuniti uslov (.). Ovo dalje znači da je talasna funkcija ono rešenje 3

8 Schrödinger-ove jednačine (.) koje je moguće normalizovati, odnosno rešenje koje ispunjava uslov: ( ) d (.3) ( ) Gornja relacija naziva se uslov kvadratne integrabilnosti funkcije ( ).. 3 OSOBINE STACIONARNE JEDNODIMENZIONALNE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE Pretpostavićemo nešto opštiji oblik zavisnosti potencijalne energije od koordinate : U( ) U ( ) V ( ) (.4) gde je U ( ) zavisnost koja u pojedinim tačkama može imati prekid prve vrste ( U( ) C, U( ) C, C C ali su C i C konačne vrednosti). Pored toga, uveden je i član koji je srazmeran ( ), pri čemu je V jačina -funkcije. Modeli u kojima je potencijalna energija srazmerna -funkciji se često koriste zbog svoje analitičnosti, uprkos tome što predstavljaju idealizaciju. ) Osnovna osobina talasne funkcije, polazeći od jednačine (.) je njena neprekidnost, što ćemo sada dokazati. Ako pretpostavimo da je u nekoj tački, npr., talasna funkcija prekidna, tada će njen prvi izvod biti proporcionalan sa ( ) a drugi sa '( ). Kako u ostatku Schrödinger-ove jednačine nigde ne figuriše član koji je proporcionalan sa '( ), zaključujemo da ta pretpostavka nije dobra, tj. da talasna funkcija mora biti svuda neprekidna. ) Druga važna osobina talasne funkcije je neprekidnost (ili prekidnost) prvog izvoda. Integralimo jednačinu (.) u okolini tačke, uzimajući da je U( ) oblika (.4): d ( ) d U ( ) ( d ) V ( ) ( d ) E ( d ) m d (.5) pri čemu je. U graničnom slučaju kada, član sa desne strane jednačine (.5) teži nuli zbog neprekidnosti talasne funkcije, što je slučaj i sa drugim članom sa leve strane jednačine. Vodeći računa o osnovnoj osobini -funkcije: b f ( ) ( ) d f( ) (.6) a 4

9 ako je a, a b, jednačina (.5) se može napisati u obliku: d d V( ) m d d (.7) Ako potencijalna energija ne sadrži -funkciju, tada je prvi izvod talasne funkcije svuda neprekidan, a ako sadrži tada je prvi izvod prekidan u tački gde je -funkcija različita od nule. Može se postaviti pitanje i opštijeg oblika zavisnosti U( ), uključujući npr. članove proporcionalne sa '( ), ''( ),...Ovakvi oblici potencijalne energije su vrlo retki u problemima, a pored toga, do danas nisu valjano analizirani u literaturi. 3) Još jedna važna osobina talasnih funkcija je njihova međusobna ortogonalnost. Neka stanjima n i m odgovaraju energije E n i E m i talasne funkcije n i m. Odgovarajuće diferencijalne jednačine (gde je diferenciranje po kao i do sada označeno sa ' ) glase: '' U E m n n n n (.8a) '' '' U E m * * * m n m m m (.8b) pri čemu je jednačina (.8b) konjugovana Schrödinger-ova jednačina, s tim da se vodilo računa da su potencijalna energija U( ) i energija E realne veličine. Ako se * (.8a) pomnoži sa m, a (.8b) sa do relacije: '' '' E m E n, a zatim oduzme (.8b) od (.8a), dolazi se * * * m n n m n m n m Leva strana jednačine može se zapisati u pogodnijem obliku, pa (.9) prelazi u: (.9) ' ' ' E E m * * * m n n m n m n m (.) Ako se jednačina (.) integrali u domenu ( min, ma ), tada je ma ma * ' *' * m n n m n m n m min min E E d m (.) 5

10 Posmatrajmo slučaj n m. Najčešća situacija je da je min, a ma. Ako su stanja n i m diskretna, tada nm, ( ) i ' nm, ( ), pa je leva strana jednačine jednaka nuli. Kako je E E, to je svakako: n m * d mn (.) što predstavlja poznati uslov ortogonalnosti talasnih funkcija. Ako je pak n m, tada je opet leva strana jednačine (.) jednaka nuli, ali je i desna strana jednaka nuli ( En Em), pa je integral n d naizgled neodređen. Međutim, imajući u vidu uslov normalizacije (.), jasno je da je n d. Ako je domen konačan i polubeskonačan, što se tiče ortogonalnosti ništa se neće promeniti: ako je npr. min konačno, tada je ( min ), '( min ), (što ćemo na primerima i pokazati), pa uslov (.) i dalje ostaje u važnosti. Slučaj kada talasne funkcije pripadaju kontinualnom delu spektra biće kasnije analiziran.. 4 TIPOVI SPEKTRA JEDNODIMENZIONALNE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE Analizirajmo najpre prirodu spektra u slučaju kada je zavisnost potencijalne energije kao na Sl... Odlučili smo se za ovakav oblik zavisnosti U( ) zbog prisustva sve tri moguće vrste energetskog spektra. Pored toga, ovakva zavisnost se može i eksperimentalno realizovati kod kvantnih nanostruktura. Sl.. Zavisnost potencijalne energije U( ): U( ) U za ; U( ) U za 6

11 Razlikujemo četiri karakteristična intervala energije:. E. Za sve energije iz ove oblasti, odgovarajuća rešenja Schrödinger-ove jednačine nisu kvadratno integrabilna, tj. integral d je beskonačno veliki, što dalje znači da za enegije ispod minimuma zavisnosti U( ) nema dozvoljenih stanja, što ćemo dokazati kasnije (Problem 5, str. 5-6). k k. E U. U oblasti, rešenje jednačine (.) je oblika: Ce Ce, pri čemu je k k ( E). U oblasti k k, rešenje je oblika Ce 3 Ce 4, k ( ) k E. Da bi rešenje bilo kvadratno integrabilno, svakako da u oblasti konstanta C 4 mora biti k jednaka nuli. Znači ( ) Ce 3, za. Ovom rešenju za određenu energiju E k k odgovara rešenje Ce Ce, što dalje znači da u opštem slučaju ovo rešenje nije kvadratno integrabilno. Kako konstante C i C zavise od energije, tj. C C ( E) i C C ( E), mogu postojati određene diskretne vrednosti energije E, E,, pri kojima je C ( ) E i samim tim rešenje postaje kvadratno integrabilno i predstavlja odgovarajuću talasnu funkciju. U zavisnosti od oblika potencijalne energije U( ), mogu se javiti,, 3,..., ovakvih nivoa, a moguće je i da u celom opsegu (, U ) nema nijednog diskretnog nivoa. Može se javiti i beskonačno mnogo (preciznije, prebrojivo beskonačno) diskretnih nivoa. 3. U E U. Da bi rešenje bilo kvadratno integrabilno u oblasti, mora da ima oblik k Ce 3. U oblasti, opšte rešenje je oblika Csin( K) Ccos( K), ( K K ( E) ) i ono je kvadratno integrabilno za bilo koje vrednosti konstanti C 3 i C 4. Sledi da je ovako konstruisano rešenje kvadratno integrabilno za sve vrednosti energije iz posmatranog opsega, tj. sve energije iz opsega ( U, U ) su dozvoljene, pa je spektar kontinualan, s tim da svakoj energiji odgovara jedna talasna funkcija. 4. E U. Opšte rešenje za određenu energiju E u oblasti je oblika C3sin( K) C4cos( K). Neka je najpre C4. Rešenju C3sin( K ) odgovara, u oblasti, rešenje Csin( K) Ccos( K). Ovako konstruisano rešenje je kvadratno integrabilno za sve energije iz opsega ( U, ). Ako je pak C3, rešenju C4cos( K ), u oblasti, opet odgovara rešenje C sin( K ) C cos( K ), pa je i ovo rešenje kvadratno integrabilno. Sledi vrlo važna osobina ovog opsega energija: sve energije iz posmatranog opsega su dozvoljene i svakoj energiji pripadaju dve talasne funkcije, pa se onda ovakav tip spektra naziva kontinualni i dvostruko degenerisani. Sledeći ovu notaciju, spektar koji odgovara intervalu energija ( U, U ) naziva se kontinualni jednostruko degenerisani. 7

12 Zaključujemo da se ova četiri karakteristična opsega energije mogu klasifikovati na sledeći način:. opseg u kome nema dozvoljenih stanja.. opseg u kome ima dozvoljenih stanja, ali su ona diskretno raspoređena slučaj diskretnog spektra 3. opseg u kome su sve energije dozvoljene, s tim da svakoj energiji pripada samo jedna talasna funkcija slučaj jedanput degenerisanog spektra 4. opseg u kome su sve energije dozvoljene, s tim da svakoj energiji pripadaju dve talasne funkcije slučaj dvostruko degenerisanog spektra Zavisnost potencijalne energije sa Sl.. poseduje sva četiri opsega. Drugi oblici zavisnosti U( ) mogu posedovati jedan, dva, tri ili sva četiri opsega. Npr. Ako je U( ) a, ( a ) tada su u trećem opsegu sve energije E (, ). Ako je pak U( ) a, ( a ), tada su u četvrtom opsegu sve energije E (, ). U slučaju zavisnosti U( ) a, ( a ), energije E (,) su u prvom opsegu, dok su energije E [, ) u drugom opsegu. Moguće je formulisati proceduru kojom se za posmatranu energiju E sa sigurnošću određuje pripadnost odgovarajućem opsegu. Navešćemo je bez detaljnog dokaza (koji je vrlo sličan kao u slučaju U( ) sa Sl..). Dakle, pomenuta procedura glasi:. Ako je E U( ) za svako, tada energija E pripada prvom opsegu.. Ako je E U( ) i E U( ), ali postoji konačan interval (, ) u kome je E U( ), tada energija E pripada drugom opsegu. 3. Ako je E U( ) i E U( ), ili obrnuto, tada energija E pripada trećem opsegu. 4. Ako je E U( ) i E U( ), tada energija E pripada četvrtom opsegu. Do sada su posmatrane zavisnosti U( ) kod kojih je (, ). Na Sl... prikazana je zavisnost U( ) koja se prostire na polubeskonačnom domenu. Za potencijalna energija je beskonačno velika, pa je u ovoj oblasti talasna funkcija jednaka nuli, jer čestica ne može posedovati beskonačnu potencijalnu energiju. Imajući u vidu izloženu proceduru, za U( ) sa Sl.. možemo reći sledeće: oblast E pripada prvom opsegu, oblast E (, U) drugom, a E U trećem opsegu. Ako bi modifikovali zavisnost tako da je U( ) a ( a ), tada bi sve energije ( E ) (, ) pripadale trećem opsegu. Ako je pak a, tada bi sve energije E pripadale drugom opsegu. 8

13 Sl.. Zavisnost U( ) koja se prostire na polubeskonačnom domenu (, ) Ako se zavisnost U( ) prostire na konačnom intervalu, kao na Sl..3, tada energije E pripadaju prvom opsegu, dok energije E pripadaju drugom opsegu, bez obzira na oblik zavisnosti U( ). Sl..3 Zavisnost U ( ) koja se prostire na konačnom intervalu (, ) Svi zaključci do kojih smo došli u ovom poglavlju odnose se na neperiodične zavisnosti U( ). Ako je U( ) periodična funkcija na domenu (, ) (npr. U( ) sin( ) ), ili je periodična na poludomenu (npr. U ( ) const,, U( ) sin( ), ), tada se energetski spektar ne može odrediti analizom koja je data u ovom poglavlju. Ovi slučajevi biće analizirani u okviru predmeta Fizička elektronika čvrstog tela na III godini studija. 9

14 . 5 JEDNAČINA KONTINUITETA U kvantnoj mehanici, analogno hidrodinamici i elektromagnetizmu, može se formulisati jednačina kontinuiteta. Polazi se od nestacionarne Schrödinger-ove jednačine (.) koju ćemo napisati za jednodimenzionalan slučaj: ( t, ) ( t, ) i U(, t) (, t) (.3) t m Jednačinu ćemo konjugovati, vodeći računa da je U(, t ) realna veličina: Zatim ćemo jednačinu (.3) pomnožiti sa sa, što daje: i (, ) t m * * * U t (.4) * i od toga oduzeti jednačinu (.4) pomnoženu * * * * i (.5) t t m Deleći (.5) sa i dolazimo do relacije: * * i * i * t m m (.6) Konačno, (.6) se može napisati u standardnom obliku: * i * t m (.7) Jednačina kontinuiteta u elektromagnetici glasi: ( t, ) J( t, ) St (, ) t (.8) pri čemu je (, t) gustina naelektrisanja, J(, t ) gustina struje, dok je S(, t ) određeno izvorima i ponorima naelektrisanja. Pošto je usvojen model u kome je potencijalna energija realna veličina, to dalje znači da ne postoje oblasti promenljive u kojima se čestice apsorbuju ili emituju. Ovo je razlog što je desna strana jednačine (.7) jednaka nuli. Ako uporedimo jednačine (.7) i (.8), vidimo da

15 gustini naelektrisanja (, t) odgovara gustina verovatnoće naelektrisanja J(, t ) odgovara veličina:, dok gustini struje * i * J(, t) m (.9) koja se naziva kvantnomehanička struja verovatnoće i može joj se dati i alternativni oblik: J(, t) Im m * (.3) Ako potencijalna energija ne zavisi od vremena (stacionarni slučaj): U(, t) U( ), tada je ( t, ) ( e ) iet direktno sledi: /, odakle proizilazi da je (, t) ( ) f( t). Iz jednačine (.7) d J ( ) ; J ( ) Const (.3) d što znači da je struja verovatnoće u stacionarnom slučaju konstantna za sve vrednosti promenljive. Ovo je vrlo važan zaključak. Koristeći (.3) izvešćemo dokaz o neprekidnosti prvog izvoda talasne funkcije u slučaju potencijala U( ) U( ) iz izraza (.4). Kako struja verovatnoće mora biti ista u tačkama i, imamo: * * d * d d * d J( ) J( ) d d d d (.3) Prethodna jednačina se može napisati u malo drugačijem obliku, uzimajući u obzir da je talasna funkcija svuda neprekidna: * * d d * d d ( ) ( ) d d d d (.33) Analize u kojima figuriše struja verovatnoće imaju smisla samo ako je ( ) strogo kompleksna funkcija (realni ( R ) i imaginarni deo ( I ) su linearno nezavisne funkcije). U primerima koji slede (Problem 3 na str. 4) pokazaćemo da se talasna funkcija u strogo kompleksnoj formi nigde ne anulira, tj. ( ), pa na osnovu (.33) sledi da je prvi izvod talasne funkcije svuda neprekidan.

16 . 6 PROBLEMI VEZANI ZA OPŠTE OSOBINE SCHRÖDINGER-OVE JEDNAČINE Problem. Pokazati da se partikularna rešenja Schrödinger-ove jednačine uvek mogu predstaviti kao realne funkcije. Rešenje: Najpre definišimo strogo kompleksnu funkciju u obliku ( ) R( ) i I( ), takvu da su R ( ) i ( ) I linearno nezavisne funkcije. Ako je ovakva kompleksna funkcija ( ) jedno rešenje Schrödinger-ove jednačine, tada je * ( ) drugo rešenje te jednačine. Ova rešenja su linearno nezavisna jer je njihov Wronskian: * * * ( ), ( ) ( )[ ( )]' ( ) '( ) ' ' I( ) R( ) R( ) I( ) W i iw ( ), ( ) I Po definiciji strogo kompleksne funkcije Wronskian W ( ), ( ) * i W ( ), ( ) R I R (.34) je različit od nule, pa je različito od nule, što znači da su ( ) i * ( ) linearno nezavisne funkcije. Ako su R ( ) i ( ) I linearno zavisne funkcije, tj. I( ) C R( ), tada je i i ( ) ( ic) R( ) e A R( ), pri čemu je A Ae ic. Bez gubitka opštosti možemo uzeti, pa je ( ) A R ( ), odnosno ( ) se kvantnomehanički gledano može smatrati realnom funkcijom. S druge strane, pošto je potencijalna energija realna, ako je ( ) strogo kompleksno rešenje Schrödinger-ove jednačine, tada je i * ( ) rešenje te iste jednačine: * * * '' '' m U E m U E (.35) Ako su ( ) i ( ) partikularna rešenja Schrödinger-ove jednačine, tada je opšte rešenje ( ) C ( ) C ( ) (.36) pri čemu su C i C kompleksne konstante. Ako je pak ( ) ( ) a * ( ) ( ), i ako su konstante C /, C /, odnosno C /i, C /i, tada je novi par rešenja ( ) i ( ) 3 4 oblika: * ( ) ( ) ( ) Re ( ) 3 i i * 4( ) ( ) ( ) Im ( ) (.37) što znači da su ( ) i 3 ( ) 4 realne funkcije, čime je pokazano da se uvek može generisati par realnih rešenja Schrödinger-ove jednačine.

17 Problem. Dokazati da su sve nule rešenja Schrödinger-ove jednačine proste nule. Rešenje: Neka je u okolini tačke ( je konačno) rešenje Schrödinger-ove jednačine proporcionalno sa C ( ) n, što dalje znači da je ''( ) n( n )( ) n. Kada se iskoriste ovi izrazi, Schrödinger-ova jednačina dobija oblik: odnosno n n nn ( )( ) U( ) E( ) m nn ( ) m U( ) E( ) (.38a) (.38b) Kada, tada i U( ) E( ), pa se dolazi do uslova nn ( ), odakle sledi da su jedine moguće vrednosti n i n. Ako je n, rešenje Schrödinger-ove jednačine je u okolini konstanta, a ako je n, rešenje je oblika C ( ), što znači da je prosta nula rešenja Schrödinger-ove jednačine. Posledica ovog zaključka je da se rešenje i prvi izvod rešenja ne mogu istovremeno anulirati, osim u slučaju da je ( ) za sve vrednosti. Naglasimo da je ovaj zaključak validan samo ako je konačno, jer ako je beskonačno veliko, tada razlika nije obavezno jednaka nuli kada, već može biti konačna veličina, pa rešenja jednačine (.38b) mogu biti različita od n i n. Ako je na primer Const ( ) e (, tada i ( ), kao i N ) ( ) ( N,3,4, ). Posmatrajmo domen [, ], pri čemu su i konačne veličine. Izaberimo u okviru ovog domena rešenje y ( ), za sve [, ]. Opšti oblik rešenja za i je A f ( ) B g ( ), pri čemu su f / ( ) i g / ( ) linearno nezavisne funkcije. U tački / / / / imamo: y ( ) y ( ) i y'( ) y'( ), tj. A f( ) Bg( ) i A f'( ) Bg'( ). Pošto je f ( ) g '( ) g ( ) f '( ), jer su f ( ) i g ( ) linearno nezavisne funkcije, jedino rešenje ovog sistema jednako je A, B, tj. y ( ) za sve. Do istog zaključka dolazimo i u slučaju. Znači, ako je rešenje y( ) na domenu [, ] trivijalno, tada je ono trivijalno na celom domenu (npr. ). (, ) Pored toga, ako je rešenje trivijalno na poludomenu (npr. [, )) i tada je rešenje trivijalno na celom domenu Problem 3. Pokazati da strogo kompleksno rešenje Schrödinger-ove jednačine nema nula. Rešenje: Ako je zajednička nula funkcija R ( ) i ( ) I, tj. ( R ) i I ( ), W ( ), ( ), a to je u kontradikciji sa definicijom strogo kompleksne tada je I R funkcije (da su ( ) i ( ) linearno nezavisne funkcije). R I 3

18 Ova osobina rešenja Schrödinger-ove jednačine može se pokazati i na drugi način: neka je ( ) jedno partikulatno rešenje Schrödinger-ove jednačine. Drugo partikularno rešenje je R dt I( ) CR( ) (.39) () t R pri čemu je C kompleksna konstanta ( C ). Očigledno je da je strogo kompleksno rešenje ( ) R( ) i I( ). Ako je ( R ), tada se u okolini može pisati: ( ) C R ( ), C, jer su sve nule proste (na osnovu rešenja Problema ). Donja granica u integralu jednačine (.39) bira se proizvoljno; ako se izabere tako da interval (, ) obuhvata samo nulu u, tada se može pisati: ( ) f( ) ( ) R C (.4) pri čemu je f ( ) funkcija koja nema singularitete u intervalu (, ), odakle proizilazi ( je blisko ): f() t dt C ( t) C( ) (.4) pa je I ( ) C/ C, što znači da je I ( ) u okolini konstanta različita od nule, tj. ( ), pa ( ) i ( ) nemaju zajedničkih nula. I R I Problem 4. U slučaju jednodimenzionalne potencijalne jame, pokazati da diskretna stanja nisu degenerisana. Rešenje: Pretpostavimo da energiji diskretnog stanja talasne funkcije n i n, koje su rešenja jednačina: E n odgovaraju dve linearno nezavisne '' n U E n m '' n U E n m (.4a) (.4b) Iz (.4a) i (.4b) direktno sledi da je '' '' ' '' '' ' ' n n n n n n n n n n n n (.43) 4

19 što dalje znači da je Wronskian W n, n const. Pošto su n n diskretnog nivoa, sigurno je ( ) /, kao i / Wronskian Wn, n, odakle sledi da su n i suprotnosti sa početnom pretpostavkom. n i n talasne funkcije ( ) n n, pa je i n linearno zavisne funkcije, što je u Problem 5. Ako potencijalna energija U( ) ima oblik kao na Sl..4, pokazati da su dozvoljene vrednosti energije čestice obavezno pozitivne. Sl..4 Zavisnost potencijalne energije U ( ), takve da U ( ) ima apsolutni minimum u tački Rešenje: Za energije E U spektar je kontinualan jednostruko i dvostruko degenerisan, i sve dozvoljene vrednosti energije su pozitivne, zato ćemo razmatrati samo energije koje su manje od U. Pretpostavimo da energiji E odgovara talasna funkcija ( ). Schrödinger-ova jednačina u tom slučaju glasi '' U E m (.44) Pomnožimo ovu jednačinu sa * * ( ) i integralimo po celom domenu. Vodeći računa da je d, dobija se izraz za energiju dozvoljenog stanja u formi: * E '' d U( ) d m ( ) ( ) (.45) 5

20 Drugi integral je sigurno pozitivan jer je U( ), za svako iz posmatranog domena. Ako talasnu funkciju ( ) napišemo u obliku ( ) R( ) i I( ), tada je prvi integral u jednačini (.45) jednak: '' ( '' '') ( '' '' d d i ) d (.46) * RR II IR IR ( ) ( ) ( ) Integral '' d R R parcijalnom integracijom prelazi u '' ' ' RR d RR ( R) d (.47) Pošto talasna funkcija mora da bude integrabilna, to funkcije ( ) i ( ), kao i njihovi prvi izvodi, moraju da teže nuli kada. Ako je pak, za neko dovoljno veliko potencijalna energija beskonačna, tada je ( ) i ( ), mada je ' ( R ), R ' ( ), jer se za konačnu vrednost talasna funkcija i njen prvi izvod ne mogu I istovremeno anulirati. Ako je i za, dovoljno udaljeno od ( ), potencijalna energija dovoljno velika, tada je ( R ) i I ( ), i naravno ' ( R ), ' I ( ). Na osnovu izloženog sledi da je za sve moguće slučajeve ' RR, pa je integral sa leve strane znaka jednakosti u (.47) jednak ma min R I ' ( ) d, odosno imamo: R I '' '' ' ' R R I I d R I d ( ) [( ) ( ) ] (.48) Na sličan način pokazuje se da je '' '' I Rd R Id (.49) pa je integral uz imaginarnu jedinicu u (.46) jednak nuli. Ovo je logično jer je energija realna veličina, pa imaginarni deo u (.46) mora biti nula. Konačno, možemo (.45) zapisati u formi ' ' R I ( ) E [( ) ( ) ] d U d m (.5) odakle se jasno vidi da energija dozvoljenog stanja može biti samo pozitivna, tj. nema dozvoljenih stanja za energije manje od apsolutnog minimuma potencijalne energije. 6

21 Problem 6. Analizirati osobine talasnih funkcija u slučaju da je zavisnost potencijalne energije U( ) parna funkcija koordinate. Rešenje: Ako je U( ) parna funkcija, tada je gustina verovatnoće nalaženja čestice ista u tačkama i, tj. ( ) ( ). U slučaju diskretnih stanja, dozvoljenoj energiji odgovara samo jedna talasna funkcija, koja se može uzeti kao realna, što znači da je ( ) ( ), pa sledi ( ) ( ) ili ( ) ( ) (.5) Diskretnim stanjima odgovaraju talasne funkcije određene parnosti, ili su parne ili neparne. U slučaju U( ) U( ) ne postoje jedanput degenerisana kontinualna stanja koja se javljaju samo kod asimetričnih zavisnosti U( ). U slučaju dvostruko degenerisanog spektra, zbog ( ) ( ), bilo kojoj energiji iz ovog dela spektra odgovaraju dve talasne funkcije: jedna parna a druga neparna. Međutim, kako su u ovom delu spektra talasne funkcije bilo koja linearna kombinacija, npr. parne i neparne funkcije, drugi parovi nastali ovakvom kombinacijom ne poseduju određenu parnost. Sve sto je ovde navedeno odnosi se samo na talasne funkcije a ne i na ostala rešenja Schrödinger-ove jednačine, koja mogu a ne moraju da poseduju određenu parnost iako je U( ) U( ). Problem 7. Diskutovati problem ortogonalnosti kod talasnih funkcija dvostruko degenerisanih (d) kontinualnih stanja. Rešenje: Kako kod d kontinualnih stanja jednoj energiji E odgovaraju dve talasne funkcije i, tada iz izraza (.) ne možemo da odredimo da li su te funkcije ortogonalne jer na desnoj strani imamo član koji sadrži razliku energija En Em, a koja je u ovom slučaju jednaka * nuli, pa je integral d neodređen. Neka su ( ) i ( ) dve linearno nezavisne talasne funkcije koje odgovaraju energiji E, i * neka one poseduju ortogonalnost, tj. d. Drugi par talasnih funkcija je linearna kombinacija ( ) i ( ) : ( ) A ( ) B ( ) (.5a) 3 ( ) C ( ) D ( ) (.5b) 4 Kao prvo, da bi 3 i 4 bile linearno nezavisne funkcije, Wronskian mora biti različit od W,, odnosno nule, tj

22 W, ( A B )( C' D' ) ( A' B' )( C D ) 3 4 ( ' ' )( BC AD) W, ( BC AD) Kako je W, različito od nule (po polaznoj pretpostavci),, (.53) W 3 4 biće različito od nule ako je ( BC AD), što je ujedno i uslov linearne nezavisnosti talasnih funkcija ( ) 3 i ( ). Razmotrimo sada ortogonalnost talasnih funkcija 4 3 i 4. Pođimo od integrala: I d ( A B )( C D ) d * * * * * 3 4 * * * * * * A C d B D d DA d B C d (.54) Kako je / d, * d, to je * * I AC BD (.55) Ako je AC * BD *, tada su funkcije 3 ( ) i 4 ( ) ortogonalne, za sve ostale kombinacije iz skupa ABCD,,,, ove talasne funkcije nisu ortogonalne. Ovo dalje znači da talasne funkcije 3 i 4, iako su dobro određene, mogu biti ortogonalne ili neortogonalne. Neka su talasne funkcije i, koje odgovoraju energiji E, neortogonalne. Pokažimo kako se od ovog para neortogonalnih funkcija može formirati par ortogonalnih talasnih funkcija i. Par se uvodi na sledeći način:, (.56a) (.56b) pri čemu je ( ) parametar koji se određuje iz uslova ortogonalnosti: d d d (.57) * * ( ) ( ) Ako su talasne funkcije normalizovane kao / d, tada iz (.57) sledi * d (.58) čime je talasna funkcija ( ) određena do multiplikativne konstante. Kako je, to je potrebno normirati samo talasnu funkciju. Postupak normiranja svodi se na određivanje konstane C iz relacije 8

23 * * * * C d C d * * * * * = C d d d d (.59) Kako su funkcije i normirane, uzimajući u obzir izraz (.58) za, dolazimo do relacije C C (.6) pa konačno par ortonormiranih talasnih funkcija dobijamo u obliku (.6a) (.6b). 7 PROBLEMI VEZANI ZA ODREĐENE OBLIKE ZAVISNOSTI POTENCIJALNE ENERGIJE U( ) Stacionarna jednodimenzionalna Schrödinger-ova jednačina (.), kao što je poznato, ne može se rešiti eksplicitno u smislu da se odrede analitički izrazi koji povezuju talasne funkcije, s jedne strane, i potencijalnu energiju sa druge strane jednačine. Naravno, za određenu zavisnost U( ), mogu se odrediti sve energije i talasne funkcije numeričkim metodama. Međutim, analitičko rešenje Schrödinger-ove jednačine (u smislu da su rešenja data preko elementarnih funkcija) moguće je samo za nekoliko oblika zavisnosti U( ) : npr. U ( ) const ili U( ) U /cosh ( ), U, mada u slučaju kada je U( ) deo-po-deo konstantno samo talasne funkcije se mogu odrediti u formi elementarnih funkcija dok se energije diskretnih stanja moraju određivati numerički. U ovom poglavlju biće dati detaljni postupci rešavanja Schrödinger-ove jednačine za karakteristične oblike zavisnosti U( ) kada se ta zavisnost sastoji od kombinacije delova koji su svaki za sebe konstantni. Na kraju će biti analiziran i slučaj U( ), kada se energije i talasne funkcije dobijaju u formi specijalnih funkcija..7. Slobodna čestica U slučaju slobodne čestice potencijalna energija je svuda konstantna. Ne gubeći na opštosti, može se uzeti da je ova konstanta nula, tj. U( ), za sve (, ), pa je Schrödingerova jednačina u ovom slučaju najjednostavnijeg oblika: '' E m (.6) 9

24 ili u alternativnoj formi: me '' (.63) Uvodeći novu veličinu k me, pri čemu je po dogovoru k, izraz (.63) postaje Par partikularnih rešenja ove jednačine je kombinacija ovih partikularnih rešenja. '' k (.64) ik e i ik e, ili cos( k ) i sin( k ), ili bilo koja linearna U slučaju slobodne čestice nema nikakvih graničnih uslova pa su sve pozitvne energije ( E ) ik ik dozvoljene i svakoj energiji odgovaraju po dve talasne funkcije npr. e i e. Pošto je E ujedno i minimalna vrednost zavisnosti U( ), za sve negativne enegije ( E ) nema dozvoljenih stanja. U graničnom slučaju E, jednačina (.64) se svodi na '', odakle sledi da je ( ) C C, pa se ovakvo rešenje ne može normalizovati (osim ako je C C, a to je trivijalno rešenje koje se ne razmatra); znači dozvoljena stanja imaju sve pozitivne energije ( E ). Posmatrajmo par nenormalizovanih talasnih funkcija e ik ik i e. Uslov normalizacije je već formulisan kao d. Problem se javlja kod granica integracije, ako se one uzmu kao. Ako zamislimo za trenutak da je U( ) za [, L], i U( ) van ovog intervala, s tim da L, tada se iz uslova normalizacije dobija L L ik ik d C e e d C (.65) L pa su, sada normalizovane, talasne funkcije oblika ( ) ik e, L ik ( ) e (.66) L naglašavajući da L. Na prvi pogled, pošto L, izgleda da su sve talasne funkcije jednake nuli. Međutim, mada ( ) i ( ) teže nuli, kada se one koriste u izrazima za npr. izračunavanje koncentracije čestica, apsorpcije, itd., tada se vrše određene integracije i normalizacioni faktor bude kompenzovan, tj. u krajnjim izrazima ne javlja se veličina L. Talasnoj funkciji ( ) / odgovara ravanski talas koji polazi iz / i ide ka /. Kako su / ( ) strogo kompleksne funkcije, za svaku od njih može se odrediti struja verovatnoće, koja je npr. za ( ) data relacijom:

25 J i k m m m L * * * Im (.67) Analognim postupkom dobija se J( ) J, pa je ukupna struja verovatnoće koja odgovara energiji E jednaka nuli za sve vrednosti koordinate. Ako posmatramo drugi par talasnih funkcija, npr. cos( k ) i sin( k ), tada je J i J (jer su i realne funkcije), tj. ukupna struja je i u ovom slučaju jednaka nuli, što je i očekivano jer ukupna struja ne može da zavisi od izbora talasnih funkcija, a naravno ne sme ni da zavisi od koordinate..7.. Slobodna čestica na polubeskonačnom domenu Potencijalna energija slobodne čestice na polubeskonačnom domenu je oblika U( ), za, i U( ) za, Sl..5. Kako je nula minimalna vrednost funkcije U( ), to za E nema dozvoljenih stanja, dok za sve energije E imamo dozvoljena stanja, koja su kontinualna i jednostruko degenerisana. Za energiju E, nema dozvoljenih stanja iz istih razloga kao u prethodnom primeru. Sl..5 Potencijalna energija slobodne čestice na polubeskonačnom domenu. U je visina barijere za, koja teži beskonačno velikoj vrednosti ( U ) Schrödinger-ova jednačina za ovaj slučaj je potpuno ista kao u prethodnom problemu (jednačine (.6)- (.64)), samo što se ovde posmatra oblast [, ). Opšte rešenje je oblika: ( ) Asin( k) Bcos( k) (.68) ik ik Odlučili smo se za par partikularnih rešenja ( sin( k), cos( k ) ), a ne ( e, e ), što je u okviru slobodnog izbora partikularnih rešenja. Zamislimo za trenutak da je U( ) U za, gde je U konačno i veće od nule. Tada Schrödinger-ova jednačina u oblasti dobija oblik:

26 Ako posmatramo energije E U (.69) postaje: Opšte rešenje ove jednačine je m '' U E '' U E m m U i definišemo veličinu E (.69) ( ), tada '' (.7) ( ) Ae Be (.7) Kada, veličina e, pa se mora uzeti B, pa je ( ) Ae. Ako U za sve, tada ( ) za. Kako talasna funkcija mora biti neprekidna, dolazimo do graničnog uslova () i ovaj granični uslov je prisutan uvek kada U, bez obzira na oblik U( ) za. Kako je ( ) Ae, za sve, to je ( ) Ae, pa ( ), kada U. S druge strane, ( ), jer talasna funkcija mora biti neprekidna, međutim ( ) mora imati konačnu vrednost, pošto je potencijalna energija u okolini konačna, pa prema Problemu (strana 3), kada talasna funkcija i njen prvi izvod ne mogu istovremeno težiti nuli. Ovo dalje znači da je prvi izvod talasne funkcije u prekidna funkcija, što je posledica činjenice da potencijalna energija ima prekid prve vrste u. Dakle, pri analizi opšteg rešenja (.68) mora se koristiti granični uslov (), pa sledi da je B, a talasna funkcija za sve vrednosti energije E dobija konačni oblik: ( ) Asin( k) (.7) Kao i u prethodnom primeru, u postupku normalizacije koristićemo model u kome se zavisnost U( ) proteže u domenu [, L ], uz L, tako da uslov normiranja postaje A L sin ( k) d (.73) Koristeći trigonometrijski identitet sin ( ) cos ( ), integral u (.73) možemo napisati u formi: L L sin( kl) cos( ) k d (.74) 4k Pošto razmatramo vrednosti k (za k nemamo dozvoljena stanja), to je veličina sin( kl) / (4 k ) konačna i može se zanemariti u odnosu na L / kada L, pa se uslov (.73) može napisati u obliku:

27 Konačni oblik talasne funkcije glasi A L A (.75) L me ( ) sin( k); k ; L L (.76) Ovaj izraz je u važnosti za sve pozitivne energije ( E ). Ako je E, tada je prema (.7) i ( ) jednako nuli za sve Čestica u jami sa beskonačno visokim zidovima Jama sa beskonačno visokim zidovima, konačne širine d, prikazana je na Sl..6 i ima sledeću zavisnost potencijalne energije: U( ), za d /, d /, U( ) van ovog intervala. Pošto je minimalna vrednost funkcije U( ) jednaka nuli, nema dozvoljenih stanja u intervalu energija,, dok je u intervalu, energetski spektar diskretan. U oblasti d /, d / Sl..6 Jama sa beskonačno visokim zidovima, konačne širine d, U( ), pa je Schrödinger-ova jednačina oblika (.64). Odlučićemo se za par partikularnih rešenja (sin( k ),cos( k )), pa je opšte rešenje oblika: ( ) Asin( k) Bcos( k) (.77) Važno je primetiti da je potencijalna energija ( ) U parna funkcija koordinate, ako je koordinatni sistem kao na Sl..6, pa su talasne funkcije ili parne ili neparne. Razmotrimo prvo 3

28 skup parnih talasnih funkcija. Ako je ( ) parna funkcija, konstanta A mora biti jednaka nuli, tj. ( P ) B cos( k ) (.78) Na granicama jame talasna funkcija je jednaka nuli (kao što je objašnjeno u prethodnom primeru), pa je: kd kd B cos cos (.79) Jednačina cos kd / ima beskonačno mnogo rešenja koja su data izrazom: Iz (.8) dobija se izraz za energije parnih diskretnih stanja dok su izrazi za odgovarajuće talasne funkcije kd p p, p,,, (.8) Ep p, p,,, (.8) md pp, ( ) Bpcoskpd Bpcos p d d (.8) Iz (.8) vidi se da, ( ) nema ni jednu nulu (nule u d se ne računaju pošto njih P imaju sve talasne funkcije),, ( ) ima dve nule,, ( ) ima k nula. Konstanta B određuje se iz uslova normiranja: P kp d/ d/ pp, p d / ( ) d B cos [( p ) ( d)] d (.83) Integral u izrazu (.83) ima vrednost d sin kd p p d d k p (.84) d / cos [( ) ( )] pa, s obzirom da je kd p sin( kd), sledi p B p p (.85) d 4

29 Sada ćemo razmotriti skup neparnih talasnih funkcija. Ako je ( ) neparna funkcija, tada konstanta B u (.77) mora biti jednaka nuli, pa je neparna talasna funkcija oblika U graničnim tačkama d, ( ) mora biti jednako nuli: Rešenja jednačine (.87) glase N ( N ) A sin( k ) (.86) kd kd Asin sin (.87) kd n, n,,3, (.88) n Ako je n, tada je k, pa je, N ( ) jednako nuli za sve vrednosti, i zbog toga se ovaj slučaj ne uzima u obzir. Iz (.88) dobija se izraz za energije neparnih diskretnih stanja En n, n,,3, (.89) md Imajući u vidu izraz (.8) i (.89), može se napisati jedinstveni izraz za energije diskretnih stanja u obliku: En l l md,,,3, (.9) pri čemu vrednosti l,3,5, daju energije parnih diskretnih stanja, a l,4,6,, energije neparnih diskretnih stanja. Na osnovu ovoga vidi se da su stanja (počev od najnižeg) poređana na sledeći način: parno, neparno, parno, Izraz za odgovarajuće neparne talasne funkcije, vodeći računa o (.86) i (.88), glasi: nn, ( ) Ansin knd Ansin n d d (.9) odakle se vidi da, N ( ) ima jednu nulu,, N ( ) ima tri nule,, kn, ( ) ima ( k ) nula. Konstanta A n određuje se iz uslova normiranja: odakle se dobija: d/ d/ nn, n d / ( ) d A sin [ n ( d)] d (.9) A n (.93) d 5

30 Imajući u vidu (.8) i (.9), talasne funkcije parnih i neparnih stanja mogu se izraziti jedinstvenom relacijom l ( ) sin l, l,,3, (.94) d d pri čemu vrednosti l,3,5, / l,4,6, odgovaraju parnim/neparnim talasnim funkcijama. Na kraju ovog problema napomenimo da su sva rešenja ( ) E,, d / kvadratno integrabilna ( y d ima konačnu vrednost), ali samo ona koja zadovoljavaju d / uslove y( d ) su ujedno i talasne funkcije. y, za sve energije.7.4. Čestica u asimetričnoj jami sa jednim beskonačnim i jednim konačno visokim zidom U ovom slučaju potencijalna energija je nula ako [, d], jednaka je d,, a beskonačno je velika za sve negativne vrednosti, Sl..7. Pošto je minimalna vrednost potencijalne energije jednaka nuli, dozvoljenih stanja nema za negativne energije ( E ). U intervalu [, U ] moguća su diskretna stanja, dok su sve energije [ U, ) dozvoljene, i svakoj energiji iz ovog intervala odgovara samo jedna talasna funkcija. U ako Sl..7 Jama širine d, sa beskonačno visokim zidom u i zidom konačne visine U u a) Oblast energija [, U ] U oblasti [, d], pošto je U( ), Schrödinger-ova jednačina je oblika (.64), pa opšte rešenje ima formu: d ( ) Asin( k) Bcos( k) (.95) 6

31 Vodeći računa da U ( ), (), pa sledi U oblasti d, ( ) Asin( k), [, d) (.96), s obzirom da je U( ) U, Schrödinger-ova jednačina je oblika (.69), a opšte rešenje je dato izrazom (.7): m ( ) Be Ce, U E (.97) Konstanta C mora biti jednaka nuli jer e kada, pa je ( ) Be, d, (.98) U tački d, talasna funkcija i njen prvi izvod moraju biti neprekidni: ( d ) ( d ) (.99a) ili, u eksplicitnoj formi '( d ) '( d ) (.99b) Asin( kd) Be (.a) kacos( kd) B e d (.b) Ako podelimo (.a) sa (.b), dolazimo do transcendentne jednačine: k tan( kd) (.) Rešenja ove jednačine (po energiji E) predstavljaju energije diskretnih stanja. Vodeći računa o izrazima za k i κ, može se (.) napisati u jednostavnijoj formi: E tan( kd), U E k me (.) Pošto se diskretna stanja mogu javiti samo u oblasti [, U ], analiziraćemo rešenja jednačine (.) samo u tom intervalu energija. Neka je f( E) E U E. Funkcija f ( E ) je svuda negativna i monotono opadajuća, a pored toga je f () i f ( U ) (Sl..8). S druge strane, neka je f ( E) tan( kd). Veličina kd ima sve vrednosti od kd ( E ) do ( kd ) ma ( E U ). Energije diskretnih stanja dobijaju se iz preseka krivih f ( E ) i f ( E ). 7

32 Sl..8 Grafički prikaz dobijanja rešenja transcendentne jednačine (.); prikazani su slučajevi ( kd) ma, ( kd) ma 3, 3 ( kd) ma 5 i 5 ( kd) 7 ma Sa Sl..8. se vidi da ako je ( kd) ma, tada nema diskretnih stanja u posmatranom opsegu enegije jer je f ( E) za sve energije u intervalu [, U ], dok je f ( E) za kd.vodeći računa o izrazu za k, ovaj uslov se može zapisati u obliku: md U 8 (.3) Ako parametri: masa čestice m, visina barijere U i širina jame d zadovoljavaju nejednakost (.3), tada energetski spektar jame sa Sl..7 ne sadrži diskretna stanja. Za bilo koju kombinaciju parametara m, U i d krive f ( E ) i f ( E) će se seći za E. U tom slučaju talasna funkcija je jednaka nuli u oblasti (, d) kao što se vidi iz izraza (.96). Vodeći računa o neprekidnosti talasne funkcije u d, iz (.a) dobijamo B, odakle je jasno da je talasna funkcija pri E, jednaka nuli za svako, kao što je pokazano u Problemu, pa se ovo rešenje kao fizički neprihvatljivo odbacuje. Krive f ( E ) i f ( E ) nikada se ne seku za E U, jer f( E U ), dok f( ( kd) ma), kada je ( kd) ma n, tj. za mu / d n. Ako je ispunjena ova jednakost, tada f ( me/ d) kada E U, pa je očigledno da se u ovom slučaju krive f ( E ) i f ( ) E ne seku. 8

33 Ako je ( kd) ma, tada se broj diskretnih stanja M b može prikazati relacijom: M b ( kd) ma int, ( kd) ma (.4a) s tim da, ako je ( kd) ma n, tada je M b ( kd) ma n (.4b) jer u ovom slučaju na energiji koja odgovara k ma nema diskretnih stanja. b) Oblast energija [ U, ) U oblasti [, d] i u ovom slučaju talasna funkcija data je izrazom (.96) jer Schrödingerova jednačina ima isti oblik kao i kada E [, U]. Međutim, u oblasti koordinata [ d, ) situacija je drugačija i Schrödinger-ova jednačina je oblika: m '' U E '' E U m (.5) Kako je ovde E U napisati u formi:, pogodno je uvesti veličinu K m EU Opšte rešenje ove jednačine pogodno je napisati u obliku:, pa se (.5) može '' K (.6) ( ) A sin( K) B cos( K) (.7) ili jos kompaktnije: ( ) Csin( K ) (.8) pri čemu su C i proizvoljne konstante ( mora biti realna konstanta). U tački d talasna funkcija i njen prvi izvod su neprekidni, tj. Asin( kd) Csin( Kd ) (.9a) Ak cos( kd) CK cos( Kd ) (.9b) 9

34 Ako podelimo (.9a) sa (.9b), dolazimo do jednačine u kojoj figuriše samo konstanta : k tan( kd) tan( Kd ) (.) K Iz (.) direktno sledi K Kd arctan tan( kd) k (.) Jasno je da se može odrediti sa tačnošću do aditivne konstante p (gde je p ceo broj). Ako je p paran broj, jednačine (.9a) i (.9b) ostaju nepromenjene. Ako pak p neparan broj, tada umesto konstante C figuriše C, što dovodi do ekvivalentnog rezultata. Sa već određenim, konstanta A se izračunava iz npr. (.9a): Konačno, može se napisati izraz za talasnu funkciju u obliku: sin( Kd ) A C (.) sin( kd) sin( Kd ) ( ) C sin( k), [, d] ( ) sin( kd) ( ) Csin( K ), [ d, ) (.3) Konstantu C određujemo iz uslova normiranja na sledeći način: L d, L (.4) Razdvojićemo domen integracije na oblasti [, d ] i [ dl:, ] L L C d sin ( K) d d Drugi integral u (.5) može se napisati u obliku: (.5) L L sin[( K )] I C cos[( )] ( ) K d Ld (.6) 4K d d 3

35 Kako L, to je L d L, dok se poslednji član sa desne strane znaka jednakosti, kao veličina koja je sigurno konačna, može zanemariti u odnosu na L, pa integral I postaje: Pošto je L I (.7) L d konačna veličina, i ona se može zanemariti u odnosu na integral I, tako da konstanta normiranja ima vrednost C L. Imajući ovo u vidu, kao i izraz (.3), talasna funkcija kontinualnog stanja je u potpunosti određena Čestica u simetričnoj pravougaonoj jami sa konačno visokim zidovima Potencijalna energija U( ), simetrične pravougaone kvantne jame sa konačno visokim zidovima, jednaka je nuli u intervalu [ d, d ], dok je van ovog opsega jednaka U ( U ), kao što je prikazano na Sl..9. Pošto je minimalna potencijalna energija jednaka nuli, dozvoljenih stanja nema za negativne energije ( E ). U intervalu energija [, U ] moguća su diskretna stanja, dok je za interval energija E U energetski spektar kontinualan i dvostruko degenerisan. Sl..9 Simetrična pravougaona jama sa konačnim zidovima visine U a) Oblast energija [, U ] Zavisnost U( ) je parna funkcija koordinate, ako je koordinatni početak postavljen kao na Sl..9, pa su talasne funkcije koje odgovaraju diskretnim stanjima ili parne ili neparne. Analizirajmo prvo nivoe koji imaju parne talasne funkcije. Pošto je U( ) u oblasti [ d, d ], Schrödinger-ova jednačina je oblika (.64), pa opšte rešenje glasi: ( ) Asin( k) Bcos( k) (.8) 3

36 Pošto talasna funkcija ( ) treba da je parna, konstanta A mora biti jednaka nuli, tj. ( ) Bcos( k), k me (.9) Takođe, zbog parnosti ( ), dovoljno je analizirati problem samo na poludomenu [, ), dok se talasna funkcija u oblasti (,] određuje na osnovu osobina parnosti. U oblasti [ d, ) energija E je manja od potencijalne energije U, pa je Schrödingerova jednačina oblika (.69), a opšte rešenje oblika (.7): m ( ) Ce De, U E (.) Konstanta D jednaka je nuli, jer e kada, pa je ( ) Ce, [ d, ) (.) U tački d, talasna funkcija i njen prvi izvod su neprekidne funkcije, tj. d d ( ) ( ) (.a) d d '( ) '( ) (.b) odakle, uzimajući u obzir (.9) i (.), dobijamo d B cos( kd ) Ce (.3a) d Bksin( kd ) C e (.3b) Ako podelimo (.3b) i (.3a), dolazimo do transcendentne jednačine tan( kd ) k U E E (.4) Rešenja ove jednačine po energiji E, u opsegu [, U ], predstavljaju energije diskretnih stanja sa parnim talasnim funkcijama. U slučaju nivoa koji imaju neparne talasne funkcije, analizirajmo najpre jedan opštiji primer. Posmatrajmo dve zavisnosti potencijalne energije U ( ) i U ( ), takve da je U ( ) parna funkcija koordinate, dok je U( ) U( ) za, a U ( ) za (Sl..). 3

37 Sl.. Zavisnost U ( ) i U ( ); U( ) U( ) za, U ( ) za. Pored toga važi U( ) U( ) Talasne funkcije ( ) (koje odgovaraju zavisnosti U ( ) ) mogu biti parne ili neparne u slučaju diskretnih stanja, odnosno, i parne i neparne za svaku energiju kontinualnih stanja. Analizirajmo samo neparne talasne funkcije. U tom slučaju, vodeći računa da talasna funkcija mora biti neprekidna, zaključujemo da je ona jednaka nuli u tački, tj. N (). Kako je U ( ) parna funkcija, dovoljno je da se neparne talasne funkcije i odgovarajuće energije odrede na poludomenu [, ), sa graničnim uslovom N (), što je ekvivalentno slučaju U ( ) za. Na potpuno identičan način određuju se sve energije i talasne funkcije za potencijal U ( ). Sledi važan zaključak: ) energije koje odgovaraju neparnim diskretnim i kontinualnim stanjima u potencijalu U ( ) identične su svim energijama koje odgovaraju dozvoljenim diskretnim stanjima U ( ). ) neparne talasne funkcije koje odgovaraju potencijalu U ( ), za identične su svim talasnim funkcijama koje odgovaraju potencijalu U ( ). Uzimajući u obzir ove zaključke, vidimo da su neparna diskretna stanja u potpunosti obrađena u okviru prethodnog problema; ako je U ( ) dato na Sl..9, tada je U ( ) dato na Sl..7, treba samo zameniti d sa d, pa transcendentna jednačina iz koje se određuju energije diskretnih stanja sa neparnim talasnim funkcijama glasi: Uvedimo nove oznake: tan( kd ) E U E (.5) f ( E) E U E, f ( E ) tan( kd ), ( ) U E f3 E (.6) E 33

38 Energije diskretnih stanja određene su presečnim tačkama krive f ( E ) sa krivom f ( E ) (neparna stanja), odnosno krivom f ( ) 3 E (parna stanja). Interval veličine kd se kreće od nule ( E ) do ( kd ) ma (( kd) ma k( E U ) d ). Zavisnosti f ( E ) i f ( E) već su analizirane u prethodnom problemu, a što se tiče funkcije f 3 ( E ), ona je uvek pozitivna, monotono opadajuća, a pored toga f ( E ), 3 f3( E U). Kao što se vidi sa Sl.., parna i neparna stanja su naizmenično raspoređena, počevši sa parnim stanjem. Značajno je primetiti da, bez obzira na parametre jame ( U, m i d), postoji bar jedno diskretno stanje (koje je parno), izuzimajući granični slučaj ( kd) ma, što odgovara npr. U, kada nema diskretnih stanja (slučaj slobodne čestice). Sl.. Grafički prikaz određivanja energija diskretnih stanja kod asimetrične pravougaone kvantne jame. Veličina ( kd ) je veća od 7 a manja od 8 ma Ako parametri kvantne jame zadovoljavaju uslov k ma d n (gde je n paran broj), tada se krive f ( E ) i f ( E ) seku i u tački 3 kd kmad. Tada je rešenje van jame oblika A B, što, kao što je objašnjeno, znači da za ovu energiju egzistira trivijalno rešenje. Da bi se ovo rešenje moglo normalizovati, mora biti A B, pa je u ovom slučaju ( ), za sve d /. Sledeći izloženo u Problemu, dolazimo do rezultata da je ( ) i za d /. Na ovaj način pokazano je da je u slučaju kmad n talasna funkcija oblika trivijalnog rešenja. 34