ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ

Transcript

1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #1: ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ Επιμέλεια απαντήσεων: Ιωάννης Λυχναρόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών: d x dx 1 x sin, d d, x 0 0.1, dx d 0 0. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης Runge-Kua 4 ης τάξης, να υπολογιστούν τις τιμές των x και dx / d. Τα αποτελέσματα να συγκριθούν με τις αναλυτικές λύσεις. Περιγράψτε ένα φυσικό πρόβλημα που θα μπορούσε να μοντελοποιείται με το παραπάνω πρόβλημα αρχικών τιμών. Φυσικό πρόβλημα Πρόκειται για ένα τυπικό πρόβλημα αρχικών τιμών που περιγράφει εξαναγκασμένη ταλάντωση με τριβή, όπου η εξαρτημένη μεταβλητή x περιγράφει την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας την χρονική στιγμή, ενώ οι αρχικές συνθήκες αντιστοιχούν στην αρχική απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας και στην αρχική ταχύτητα κίνησης. Η ταλάντωση είναι εξαναγκασμένη λόγω του όρου στο δεξί τμήμα της εξίσωσης που περιγράφει την εξωτερική διέγερση και έχει τριβή (ή απόσβεση) λόγω του όρου της πρώτης παραγώγου. Παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνει ο χρόνος η εξωτερική δύναμη μειώνεται και τελικά για μεγάλες τιμές του χρόνου μηδενίζεται. Επομένως, αφού για μεγάλους χρόνους η εξωτερική δύναμη μηδενίζεται και έχουμε τριβή στο σύστημα αναμένεται η αρχική ταλαντωτική συμπεριφορά να αποσβένει και τελικά σε ικανοποιητικά μεγάλους χρόνους το σύστημα επανέρχεται στη θέση ισορροπίας. Λύση Αντικαθιστούμε την συνήθη διαφορική εξίσωση ης συνήθων διαφορικών εξισώσεων 1 ης τάξης θέτοντας dx dg1 g1 x και g d d Με την γνωστή διαδικασία παίρνουμε το σύστημα dg1 g, g100.1 d dg 1 g g1 sin, g 0 0. d 1 το οποίο γράφουμε στη μορφή: τάξης με ένα σύστημα δύο 1

2 dg d dg d 1 g f, g, g 1 1 g1g f g1 g 1 sin,, 1 Η αναλυτική επίλυση του συστήματος δεν είναι εφικτή, δηλαδή δεν μπορούμε να πάρουμε την άγνωστη συνάρτηση x σε κλειστή μορφή. Η ήμι-αναλυτική μέσω Mahemaica δίδεται στο Παράρτημα Α, όπου περιγράφεται με λεπτομέρεια η όλη διαδικασία. Η αριθμητική του συστήματος βασίζεται στον αλγόριθμο Runge-Kua 4 ης τάξης. Κώδικας Forran Runge-Kua 4 ης τάξης: program iniial_value_problems_sysem! Solve: y''+y'+y=sin()/(1+), y[0]=0.1, y'[0]=0. implici none real::h real,allocaable,dimension(:)::z1,z,x,f1_an,f_an ineger::i,n=11! number of ieraions allocae(x(n),z1(n),z(n),f1_an(n),f_an(n)) x(1)=0 z1(1)=0.1 z(1)=0.!saring poin!iniial value!iniial value h=0.1 open(1,file='c:\analyical.x') do i=1,n read(1,*) f1_an(i) end do close(1) open(,file='c:\analyical_der.x') do i=1,n read(,*) f_an(i) end do close() call rk4(x,z1,z,h,n) open(3,file='resuls.x',recl=10000) prin*, ' ' do i=1,n wrie(*,*) i,x(i),z1(i),f1_an(i),abs(f1_an(i)-z1(i)),z(i),f_an(i), abs(f_an(i)-z(i)) wrie(3,*) i,x(i),z1(i),f1_an(i),abs(f1_an(i)-z1(i)),z(i),f_an(i), abs(f_an(i)-z(i)) enddo conains subrouine rk4(x,z1,z,h,n) real::x(:),z1(:),z(:),h,k11,k1,k13,k14,k1,k,k3,k4 ineger::i,n do i=1,n-1 k11=f1(x(i),z1(i),z(i)) k1=f(x(i),z1(i),z(i)) k1=f1(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k11,z(i)+0.5*h*k1) k=f(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k11,z(i)+0.5*h*k1) k13=f1(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k1,z(i)+0.5*h*k) k3=f(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k1,z(i)+0.5*h*k)

3 enddo end subrouine rk4 k14=f1(x(i)+h,z1(i)+h*k13,z(i)+h*k3) k4=f(x(i)+h,z1(i)+h*k13,z(i)+h*k3) x(i+1)=x(i)+h z1(i+1)=z1(i)+(h/6)*(k11+*k1+*k13+k14) z(i+1)=z(i)+(h/6)*(k1+*k+*k3+k4) real funcion f1(,g1,g) resul(z) real,inen(in)::,g1,g z=g end funcion f1 real funcion f(,g1,g) resul(z) real,inen(in)::,g1,g z=-g1-g+sin()/(1+) end funcion f end program iniial_value_problems_sysem Αποτελέσματα για 4 τιμές του βήματος h και 11 χρονικά βήματα: Χρονικά. βήματα n Χρόνος x n x() h=0.01 Σφάλμα dx/d, = n. dx/d Σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-08 Χρονικά. βήματα n Χρόνος x n x() h=0.1 Σφάλμα dx/d, = n. dx/d Σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-08 3

4 Χρονικά. βήματα n Χρόνος x n x() h=0.5 Σφάλμα dx/d, = n. dx/d Σφάλμα E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0.66E-0 8.5E E E E E E-04 Χρονικά. βήματα n Χρόνος Παρατηρήσεις: x n x() o Η αναλυτική δίδεται στο Παράρτημα Α και όπως είπαμε πρόκειται για ήμιαναλυτική, όπου απαιτείται ο αριθμητικός υπολογισμός ενός ολοκληρώματος o Στους παραπάνω πίνακες το απόλυτο, δηλαδή οι αποκλίσεις ανάμεσα τα αριθμητικά και «αναλυτικά» αποτελέσματα αυξάνουν και για την μετατόπιση και για την ταχύτητα καθώς αυξάνει το χρονικό βήμα h. o Για όλα τα χρονικά βήματα, ακόμα και για h=1 τα τα είναι σχετικά μικρά και η συμπεριφορά της αριθμητικής ς θεωρείται ικανοποιητική Στα επόμενα γραφήματα με μπλε παρουσιάζεται η «αναλυτική» και με κόκκινο η αριθμητική. h=1 Σφάλμα dx/d, = n. dx/d Σφάλμα E E E E E E E-0.81E E E E E E E E E E E E E E E-0 -.4E-0.1E E E E E-03.38E E E E E E E-0.86E E E E E E-0 1.8E-04 4

5 Σχήμα 1: Για h=0.1 (150 χρονικά βήματα) Σχήμα : Για h=0.5 (30 χρονικά βήματα) Σχήμα 3: Για h=1 (15 χρονικά βήματα) 5

6 ΑΣΚΗΣΗ Προσδιορίστε το κριτήριο ευστάθειας για την αριθμητική του συστήματος dy y y y d dy d dy d 3 1 y y y y y με τη μέθοδο Euler. Στη συνέχεια, αφού διατυπώστε τις δικές σας αρχικές συνθήκες, επιλύστε το πρόβλημα αρχικών τιμών με τις μεθόδους Euler και Runge Kua 4 ης τάξης. Περιγράψτε ένα φυσικό πρόβλημα που θα μπορούσε να μοντελοποιείται με το πρόβλημα αρχικών τιμών, όπως αυτό έχει διατυπωθεί. Λύση Για να βρούμε το κριτήριο ευστάθειας για την αριθμητική του συστήματος πρέπει να υπολογίσουμε το μέγιστο χρονικό βήμα h που οδηγεί σε λογικά (αλλά όχι απαραίτητα ακριβή) αποτελέσματα. Δηλαδή, η ευστάθεια του αριθμητικού σχήματος συνεπάγεται μια ποιοτικά σωστή συμπεριφορά των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Η μαθηματική διαδικασία στη περίπτωση των συστημάτων εξισώσεων είναι η εξής: Ξεκινούμε εφαρμόζοντας την αριθμητικά μέθοδο, στην συγκεκριμένη περίπτωση την μέθοδο Euler: 1,,, y 1 y h f1 x, y, y, y y h 3y y y (1) (1) (1) () (3) (1) (1) () (3) i i i i i i i i i y y h f x y y y y hy y y (3) (3) (1) () (3) (3) (1) (3) y i 1 y i h f3 x, yi, yi, y i y i h y i yi () () (1) () (3) () (1) () (3) i1 i i i i i i i i Ο κάτω δείκτης i δηλώνει το χρονικό βήμα, ενώ ο επάνω δείκτης μέσα σε παρένθεση δηλώνει τον αριθμό της εξίσωσης. Αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις f και γράφουμε: y 13h y hy hy (1) (1) () (3) i1 i i i y hy 1 1hy h y y hy 1h y () (1) () (3) i1 i i i (3) (1) (3) i1 i i ή (1) (1) y 13h h h i 1 y i () 1 () yi1 h 1h hyi (3) (3) yi1 h 0 1 h yi G 6

7 Εισάγοντας τα αριθμητικά τα 3 (3) (3) i i i 1 y y, (1) (1) i i i y y και () () i i i y y ανάμεσα στην αριθμητική και αναλυτική τιμή των άγνωστων συναρτήσεων σε κάθε χρονικό βήμα, εύκολα αποδεικνύεται ότι τα τα εξελίσσονται από το ένα χρονικό βήμα στο αμέσως επόμενο σύμφωνα με το σύστημα (1) (1) i 1 i () () i1 G i, όπου (3) (3) i1 i 13h h h 1 G h 1h h h 0 1h Γίνεται προφανές ότι ο πίνακας G είναι καθοριστικής σημασίας για την εξέλιξη του τος. Συγκεκριμένα τα τα παραμένουν ορισμένα (bounded) εφόσον η φασματική ακτίνα του πίνακα G είναι μικρότερη της μονάδας Υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του G με Mahemaica. Όπως γνωρίζουμε η φασματική ακτίνα ταυτίζεται με το μέτρο της ιδιοτιμής που είναι μεγαλύτερο από τα μέτρα των άλλων ιδοτιμών Η λεπτομερής διαδικασία εύρεσης των ιδοτιμών περιγράφεται στο Παράρτημα Β. Προκύπτει ότι η φασματική ακτίνα είναι Επομένως, για να συγκλίνει η μέθοδος Euler θα πρέπει το βήμα h να ικανοποιεί την ανισότητα: h Συνεχίζουμε με την αναλυτική και αριθμητική επίλυση του συστήματος θέτοντας κατ εκτίμηση αρχικές τιμές: dy1 d dy d dy3 d 3 y y y, y (0) y1 y y3, y(0) 0 y y, y (0) Η αναλυτική είναι απλή και προκύπτει εύκολα με Mahemaica: In[7]:= a DSolvey1' 3y1 y y3, y' y1 y 0.5 y3, y3' y1 y3, y10, y0 0, y30 1, y1, y, y3, FullSimplify Ou[7]= y , y , y : Κώδικας Forran μεθόδων Euler και Runge-Kua 4 ης τάξης program iniial_value_problems_sysem! Solve: y1'=3y1-y-y3, y1(0)=! y'=-y1-y-0.5y3, y(0)=0! y3'=-y1-y3, y3(0)=1 implici none real::h real,allocaable,dimension(:)::z1,z,z3,x 7

8 ineger::i,mehod,n=11! number of ieraions allocae(x(n),z1(n),z(n),z3(n)) open(1,file='resuls_01.x',recl=10000) do mehod=1,!1=euler,=rk4 x(1)=0!saring poin z1(1)=!iniial value z(1)=0!iniial value z3(1)=1!iniial value h=0.1 selec case (mehod) case (1) call euler(x,z1,z,z3,h,n) case () call rk4(x,z1,z,z3,h,n) end selec wrie(*,*) ' ',mehod,' ' wrie(1,*) ' ',mehod,' ' do i=1,n wrie(*,*) i,x(i),z1(i),y1_an(x(i)),abs(y1_an(x(i))- z1(i)),z(i),y_an(x(i)),abs(y_an(x(i))-z(i)),z3(i),y3_an(x(i)),abs(y3_an(x(i))- z3(i)) wrie(1,*) i,x(i),z1(i),y1_an(x(i)),abs(y1_an(x(i))- z1(i)),z(i),y_an(x(i)),abs(y_an(x(i))-z(i)),z3(i),y3_an(x(i)),abs(y3_an(x(i))- z3(i)) enddo end do close(1) conains subrouine euler(x,z1,z,z3,h,n) real::x(:),z1(:),z(:),z3(:),h ineger::i,n do i=1,n-1 z1(i+1)=z1(i)+h*f1(x(i),z1(i),z(i),z3(i)) z(i+1)=z(i)+h*f(x(i),z1(i),z(i),z3(i)) z3(i+1)=z3(i)+h*f3(x(i),z1(i),z(i),z3(i)) x(i+1)=x(i)+h enddo end subrouine euler subrouine rk4(x,z1,z,z3,h,n) real::x(:),z1(:),z(:),z3(:),h,k11,k1,k13,k14,k1,k,k3,k4,k31,k3,k33,k34 ineger::i,n do i=1,n-1 k11=f1(x(i),z1(i),z(i),z3(i)) k1=f(x(i),z1(i),z(i),z3(i)) k31=f3(x(i),z1(i),z(i),z3(i)) k1=f1(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k11,z(i)+0.5*h*k1,z3(i)+0.5*h*k31) k=f(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k11,z(i)+0.5*h*k1,z3(i)+0.5*h*k31) k3=f3(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k11,z(i)+0.5*h*k1,z3(i)+0.5*h*k31) k13=f1(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k1,z(i)+0.5*h*k,z3(i)+0.5*h*k3) k3=f(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k1,z(i)+0.5*h*k,z3(i)+0.5*h*k3) k33=f3(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k1,z(i)+0.5*h*k,z3(i)+0.5*h*k3) k14=f1(x(i)+h,z1(i)+h*k13,z(i)+h*k3,z3(i)+h*k33) k4=f(x(i)+h,z1(i)+h*k13,z(i)+h*k3,z3(i)+h*k33) k34=f3(x(i)+h,z1(i)+h*k13,z(i)+h*k3,z3(i)+h*k33) x(i+1)=x(i)+h z1(i+1)=z1(i)+(h/6)*(k11+*k1+*k13+k14) z(i+1)=z(i)+(h/6)*(k1+*k+*k3+k4) z3(i+1)=z3(i)+(h/6)*(k31+*k3+*k33+k34) 8

9 enddo end subrouine rk4 real funcion f1(,y1,y,y3) resul(z) real,inen(in)::,y1,y,y3 z=-3*y1-y-y3 end funcion f1 real funcion f(,y1,y,y3) resul(z) real,inen(in)::,y1,y,y3 z=-y1-*y-0.5*y3 end funcion f real funcion f3(,y1,y,y3) resul(z) real,inen(in)::,y1,y,y3 z=-y1-y3 end funcion f3 real funcion y1_an() resul(y)!analyic soluion real,inen(in):: y= /exp( *) + & /Exp( *) + & /Exp( *) end funcion y1_an real funcion y_an() resul(y)!analyic soluion real,inen(in):: y= /exp( *) - & /Exp( *) + & /Exp( *) end funcion y_an real funcion y3_an() resul(y)!analyic soluion real,inen(in):: y= /exp( *) + & /Exp( *) - & /Exp( *) end funcion y3_an end program iniial_value_problems_sysem Αποτελέσματα σε γραφική μορφή (15 χρονικά βήματα): y Σχήμα 4: Γραφική απεικόνιση αριθμητικής (h=0.1) (κόκκινο) και αναλυτικής ς (μπλέ) συνάρτησης 1 y. 9

10 y Σχήμα 5: Γραφική απεικόνιση αριθμητικής (h=0.1) (κόκκινο) και αναλυτικής ς (μπλέ) συνάρτησης y. y Σχήμα 6: Γραφική απεικόνιση αριθμητικής (h=0.1) (κόκκινο) και αναλυτικής ς (μπλέ) συνάρτησης 3 y. Στη συνέχεια δίδονται αποτελέσματα για βήμα h=0.01, 0.1 και 0.5 και για 11 χρονικά βήματα σε πινακοποιημένη μορφή: 10

11 Χρονικό βήμα n Χρόνος y1 n y1() h=0.01 y n Euler y() y3 n y3() E E E E E E E E E E E E E E E E-0 1.7E E E E E-0-6.9E E E E E E E-0.33E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-03 RK E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0-6.9E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-08 11

12 Χρονικό βήμα n Χρόνος y1 n y1() h=0.1 y n Euler y() y3 n y3() E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0.46E E E E E-0.09E-0 RK E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-05 1

13 Χρονικό βήμα n Χρόνος y1 n y1() h=0.5 y n Euler y() y3 n y3() E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0 4.5E E E E E E E E E E E E E E E E E-01 RK E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0 5.6E E E E-0.17E E E E E E E-0-4.4E-0-5.4E E E E E E+00.74E-0.14E E E E E E E-0.4E E E E E E-0-1.1E E E E-0 7.9E E E E E E E-03.39E E E-0.90E E E E-03.4E E E E E-0-1.6E E E E E E E E-04.09E E E E E E E-03.8E E E E E E E-05 13

14 ΑΣΚΗΣΗ 3 Επιλύστε το πρόβλημα αρχικών τιμών dy i y 0, 0, y0 1 d i και πραγματική σταθερά διάφορη του μηδενός. όπου 1 Λύση Η αναλυτική προκύπτει με Mahemaica ως εξής: s DSolvey' μ y 0, y0 1, y', y μ Επιλέγουμε μ=1 και γράφουμε την αναλυτική στη μορφή: In[16]:= ComplexExpands Ou[16]= y Cos Sin Η σύγκριση με την αριθμητική θα γίνει με βάση το μέτρο και την φάση των αντιστοίχων μιγαδικών ποσοτήτων. Σημειώνεται ότι το μέτρο και η φάση ενός μιγαδικού αριθμού έχουν ξεκάθαρη φυσική σημασία. : Γράφουμε y() a() ib() και αντικαθιστούμε την σχέση αυτή στην διαφορική εξίσωση και στις αρχικές συνθήκες. Προκύπτει το σύστημα μιγαδικών εξισώσεων da() ib() i a() ib() 0 d da() db() i ia() b() 0 d d και διαχωρίζοντας το πραγματικό από το φανταστικό καταλήγουμε στο πραγματικό πρόβλημα αρχικών τιμών (για μ=1): da() b ( ), a(0) 1 d db() a ( ), b(0) 0 d Κώδικας Forran Runge-Kua 4 ης τάξης: program iniial_value_problems_sysem implici none real::h,mero,mero_an,fasi,fasi_an real,allocaable,dimension(:)::a,b,x ineger::i,n=11! number of ieraions allocae(x(n),a(n),b(n)) 14

15 x(1)=0 a(1)=1 b(1)=0!saring poin!iniial value!iniial value h=0.1 call rk4(x,a,b,h,n) open(1,file='resuls.x',recl=10000) prin*, ' ' do i=1,n mero=sqr(a(i)**+b(i)**) fasi=b(i)/a(i) mero_an=sqr(f1_an(x(i))**+f_an(x(i))**) fasi_an=f_an(x(i))/f1_an(x(i)) wrie(*,*) i,x(i),a(i),f1_an(x(i)),b(i),f_an(x(i)),mero,mero_an, abs(mero-mero_an),fasi,fasi_an,abs(fasi-fasi_an) wrie(1,*) i,x(i),a(i),f1_an(x(i)),b(i),f_an(x(i)),mero,mero_an, abs(mero-mero_an),fasi,fasi_an,abs(fasi-fasi_an) enddo conains subrouine rk4(x,z1,z,h,n) real::x(:),z1(:),z(:),h,k11,k1,k13,k14,k1,k,k3,k4 ineger::i,n do i=1,n-1 k11=f1(x(i),z1(i),z(i)) k1=f(x(i),z1(i),z(i)) enddo end subrouine rk4 k1=f1(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k11,z(i)+0.5*h*k1) k=f(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k11,z(i)+0.5*h*k1) k13=f1(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k1,z(i)+0.5*h*k) k3=f(x(i)+0.5*h,z1(i)+0.5*h*k1,z(i)+0.5*h*k) k14=f1(x(i)+h,z1(i)+h*k13,z(i)+h*k3) k4=f(x(i)+h,z1(i)+h*k13,z(i)+h*k3) x(i+1)=x(i)+h z1(i+1)=z1(i)+(h/6)*(k11+*k1+*k13+k14) z(i+1)=z(i)+(h/6)*(k1+*k+*k3+k4) real funcion f1(,a,b) resul(z) real,inen(in)::,a,b z=-b end funcion f1 real funcion f(,a,b) resul(z) real,inen(in)::,a,b z=a end funcion f real funcion f1_an() resul(y)!analyic soluion real,inen(in):: y=cos() end funcion f1_an real funcion f_an() resul(y)!analyic soluion real,inen(in):: y=sin() end funcion f_an end program iniial_value_problems_sysem Όπως αναφέρθηκε παραπάνω η σύγκριση γίνεται με βάση το μέτρο b και την εφαπτομένη της φάσης an b ( ) / a ( ). 15

16 Χρονικό βήμα n Χρόνος a() b() h=0.01 μέτρων εφαπτομένη φάσης εφαπτομένη φάσης φάσεων Αριθμητικό Αναλυτικό a n b n μέτρο μέτρο E E E E E E E E E E E E E E E E-0.00E E+00.00E-0.00E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0 8.0E E E E E E E-0 9.0E E E E E E E-09 Χρονικό βήμα n Χρόνος a() b() h=0.1 μέτρων εφαπτομένη φάσης εφαπτομένη φάσης φάσεων Αριθμητικό Αναλυτικό a n b n μέτρο μέτρο E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00.03E-01.03E E E E-01.96E E E E-01.68E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00.6E E E E E E-06 Χρονικό βήμα n Χρόνος a() b() h=0.5 μέτρων εφαπτομένη φάσης εφαπτομένη φάσης φάσεων Αριθμητικό Αναλυτικό a n b n μέτρο μέτρο E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0 16

17 Παράρτημα Α: Ημι-αναλυτική της Άσκησης 1 μέ Mahemaica Αρχικά δίνουμε την εντολή: In[]:= a DSolvex'' x' x 1. και παίρνουμε τη : Sin, x0 0.1, x'0 0., x, 1 Ou[]= x Cos Cos ExpInegralEi Cos ExpInegralEi Cos ExpInegralEi Cos ExpInegralEi Sin ExpInegralEi Sin ExpInegralEi Sin ExpInegralEi Sin ExpInegralEi Sin Παρατηρούμε ότι το Mahemaica χρησιμοποιεί τη συνάρτηση ExpInegralEi, η οποία ορίζεται ως το ολοκλήρωμα Ei( z) e / d. Το ολοκλήρωμα αυτό που αντιπροσωπεύει το αόριστο ολοκλήρωμα e / d υπολογίζεται αριθμητικά και επομένως, το λογισμικό Mahemaica αδυνατεί να δώσει αναλυτική. Για να διαπιστώσουμε το λόγο που συμβαίνει αυτό, επιχειρούμε να επιλύσουμε την διαφορική εξίσωση, σταδιακά, με τη διαδικασία της «μεταβολής των παραμέτρων». Πρόκειται για γραμμική μη ομογενή διαφορική εξίσωση ης τάξης με σταθερούς συντελεστές, επομένως η γενική της προκύπτει από το άθροισμα των λύσεων της αντίστοιχης ομογενούς διαφορικής εξίσωσης και μίας μερικής ς της μη ομογενούς. Για την επίλυση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης: d x() dx() x () 0χρησιμοποιούμε την χαρακτηριστική εξίσωση: d d 1 0, η οποία δίνει τις συζυγείς μιγαδικές ρίζες: 1 3 1, i Η ομογενής είναι: 3 3 y h e c1cos csin, όπου c1, c αυθαίρετες σταθερές. Για να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της μεταβολής των παραμέτρων για την εύρεση μίας μερικής ς της μη ομογενούς εξίσωσης, αρχικά υποθέτουμε ότι η αυτή έχει τη μορφή v () y p e cos v1( ) e sin v( ) yv 1 1 yv,, z 17

18 όπου οι συναρτήσεις v () και 1 v () είναι άγνωστες και προκύπτουν επιλύοντας το ακόλουθο γραμμικό σύστημα (με τόνο δηλώνουμε την παράγωγο ως προς ): ' ' yv 1 1 yv 0 ' ' ' ' sin yv 1 1 yv 1 Σημειώνεται ότι ' 1 / 3 3 y1 e Cos 3Sin και ' 1 / 3 3 y e 3Cos Sin ' y sin v1 W1 ' ' 3 Επιλύοντας το σύστημα βρίσκουμε, όπου W y1y y1y e ' y1 sin v W1 Επομένως ' 3 sin v1 sin 3 e 1 ' 3 sin v cos e 3 1 ή 3 sin ' v () sin 1 3 e dc 1 3 sin ' v () cos e dc 3 1 Καταλήγουμε λοιπόν στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων τα οποία δεν υπολογίζονται αναλυτικά. Ο λόγος που το Mahemaica εκφράζει τα ολοκληρώματα αυτά με μιγαδικούς αριθμούς καθώς και με τη χρήση της συνάρτησης ExpInegralEi, είναι διότι αρχικά μετατρέπει τα ημίτονα και τα συνημίτονα σε μιγαδικά εκθετικά χρησιμοποιώντας τους τύπους: e i e i i i e e cos και isin Η γενική επομένως δίνεται από τη σχέση: y ce cos ce sin e cos v e sin v Για την εύρεση των σταθερών c1, c έχουμε: y(0) c v (0) 0.1c 0.1 v (0)

19 Όμως, την τιμή v (0) 1 θα πρέπει να την υπολογίσουμε αριθμητικά. Επίσης, 1 / 3 3 y '( ) e ( c1 3 c) cos ( 3 c1c) sin Επομένως χρησιμοποιώντας την δεύτερη αρχική συνθήκη παίρνουμε: c1 y'(0) c1 3c0. c 3 Παρ όλα αυτά, μπορούμε να έχουμε μία εικόνα της ς με το Mahemaica δοκιμάζοντας τα ακόλουθα: Δημιουργούμε μία συνάρτηση g() από τη ως εξής: In[5]:= g_ x. a1 Ζητάμε την τιμή της g() στα σημεία του διαστήματος π.χ. [0, 5] με βήμα h=0.1 με την εντολή: b Tableg,, 0, 5, 0.1 Παίρνουμε: Ou[16]= , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Παρατηρούμε ότι το φανταστικό μέρος του μιγαδικού είναι 0. Για να το διώξουμε εντελώς από την απάντηση χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση Chop: b Tableg,, 0, 5, 0.1 Chop η οποία δίνει: Ou[17]= 0.1, , , , , , , , 0.776, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Μία πρώτη γραφική παράσταση της ς δίνεται από την εντολή: 19

20 In[5]:= LisPlob Ou[5]= Καλύτερη μορφή παίρνουμε αν ενώσουμε τα σημεία: LisPlob, Joined True In[6]:= Ou[6]= Παρατηρούμε όμως ότι ο άξονας x δίνει τον αύξοντα αριθμό του κάθε σημείου. Για να πάρουμε μία πιο ρεαλιστική γραφική παράσταση πρέπει να κάνουμε τα εξής: In[33]:= c Table, g,, 0, 0, 0.1 Chop; LisPloc, Joined True Ou[34]= (Εδώ χρησιμοποιήσαμε το διάστημα [0, 0] για καλύτερη εποπτεία της ς) Επειδή τελικά δεν καταφέραμε να πάρουμε την αναλυτική της αρχικής εξίσωσης, ώστε να την συγκρίνουμε με την αριθμητική, που πρόκειται να υπολογίσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε για σύγκριση τις αριθμητικές τιμές που δίνει το Mahemaica (πίνακας b). Τις τιμές αυτές θα εξαγάγουμε σε αρχείο x, το οποίο στη συνέχεια θα διαβάσουμε μέσα από τον κώδικα της Forran: 0

21 Expor"c:\analyical.x", b Αντίστοιχα για την εξαγωγή των αριθμητικών τιμών της παραγώγου της g() δίνουμε τις εντολές: d Tableg',, 0,5,0.1 Chop; Expor"c:\analyical_der.x", d Παράρτημα Β: Υπολογισμός φασματικής ακτίνας του πίνακα G της Άσκησης Θα υπολογίσουμε την φασματική ακτίνα του G με τη χρήση Mahemaica. Αρχικά δημιουργούμε τον πίνακα G: 1 3 Reh Reh Reh In[39]:= g Reh 1 Reh 1 Reh Reh 0 1 Reh Προσέχουμε το τέχνασμα της χρήσης του Re[h] αντί του h. Αυτό γίνεται για να δηλώσουμε ότι η παράμετρος h είναι πραγματική (και όχι μιγαδική, γεγονός που ενδέχεται να προκαλούσε προβλήματα στην απλοποίηση των τύπων αργότερα). Ζητάμε τώρα τις ιδιοτιμές του G με την εντολή: Eigenvaluesg In[]:= Ou[]= Roo 1 Reh 18 Reh 7Reh Reh 18 Reh Reh &, 1, Roo 1 Reh 18 Reh 7Reh Reh 18 Reh Reh &,, Roo 1 Reh 18 Reh 7Reh Reh 18 Reh Reh &, 3 Παρατηρούμε ότι το Mahemaica αδυνατεί να δώσει κλειστή έκφραση για τις ιδιοτιμές, οπότε ακολουθούμε άλλο δρόμο. Δημιουργούμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και προσπαθούμε να το επιλύσουμε με τις εντολές: In[1]:= a g λ IdeniyMarix3; s NSolveDea 0, λ FullSimplify Chop Ou[]= λ Reh, λ Reh, λ Reh (Η χρήση της Solve αντί της NSolve δίνει πιο πολύπλοκη έκφραση) Αρχικά διώχνουμε το σύμβολο λ από το αποτέλεσμα: In[3]:= ss λ. s Ou[3]= Reh, Reh, Reh Για να πάρουμε, στη συνέχεια, την φασματική ακτίνα ρ του G θα πρέπει να βρούμε την μεγαλύτερη απολύτως ιδιοτιμή: 1

22 In[4]:= ρ MaxAbsss Ou[4]= MaxAbs Reh, Abs Reh, Abs Reh Τέλος, επιλύουμε την ανισότητα ρ<1 που μας ενδιαφέρει: In[10]:= Reduceρ 1, h Ou[10]= 0 Reh