ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ Νικ. Ιωσηφίδης, Μαθηµατικός Φροντιστής, ΒΕΡΟΙΑ Επειδή η Ανάλυση της Γ Λυκείου είναι το δυσκολότερο από τα κεφάλαια των Μαθηµατικών που διδάσκονται στα Λύκεια, αποφασίσαµε η εισήγησή µας αυτή να διαλευκάνει κάποια από τα σηµεία που θεωρούµε ότι παρουσιάζουν δυσκολίες ή ασάφειες. Τα σηµεία αυτά είναι πολλά. Εδώ θα ασχοληθούµε µε εκείνα που παρουσιάζονται πιο συχνά. Οι ασάφειες δηµιουργούνται κυρίως από ασκήσεις που δεν καλύπτονται πλήρως από τη θεωρία, όπως π.χ µονοτονία συνάρτησης της οποίας η παράγωγος είναι ή η παραγωγισιµότητα συνάρτησης που περιέχει το σύµβολο κ.ά. Σε προηγούµενη εισήγησή µας (στη Βέροια την 4/3/7 και στη Θεσ/νίκη στις 7/3/7 στα πλαίσια της Μαθηµατικής εβδοµάδας) κάναµε κάποιες επισηµάνσεις και δώσαµε διευκρινίσεις σε αντίστοιχα ερωτήµατα µε αφορµή θέµατα των Πανελλαδικών εξετάσεων. Εξηγήσαµε επίσης γιατί κάποιες λύσεις είναι λάθος. Ακόµη γιατί κάποια θεωρήµατα δεν µπορούν να εφαρµοστούν. Αν και πολλά από τα ερωτήµατα αυτά θα ταίριαζαν απόλυτα µε το πνεύµα της σηµερινής µας εισήγησης, δεν θα τα αναφέρουµε εδώ λόγω του περιορισµένου χρόνου. Θα σας δώσουµε όµως και την εισήγηση εκείνη ως συµπλήρωµα της σηµερινής. Στην εισήγηση εκείνη αναφερθήκαµε στα εξής θέµατα:. Πλήθος αριθµών ξ που ικανοποιούν κάποια συνθήκη. Συνθήκες που δεν είναι απαραίτητες 3. Περισσότερες συνθήκες ή δεδοµένα που δεν είναι συµβιβαστά. Ανύπαρκτες συναρτήσεις 4. Απαραίτητη επαλήθευση 5. Ερωτήµατα τύπου σωστό λάθος 6. Τοπικά ακρότατα σηµεία καµπής 7. Κανόνας De l Hospital

2 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Σε όλα τα παραπάνω θέµατα υπάρχουν σηµεία "παγίδες" και πολλά ερωτηµατικά. Με την εισήγησή µας δίνονται απαντήσεις στα πιο σηµαντικά ερωτήµατα. Είναι γνωστό ότι η ισχύς των θεωρηµάτων είναι απόρροια των ορισµών. Ανάλογα µε τον ορισµό που δίνεται κάθε φορά, τα θεωρήµατα µπορούν να ισχύουν µε τον έναν ή τον άλλον τρόπο. Εδώ θα υιοθετήσουµε τους ορισµούς του σχολικού βιβλίου της Κατεύθυνσης και θα προσαρµόσουµε κάθε µας παρατήρηση πάνω σ αυτούς. Σελ.

3 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Οι µιγαδικοί αριθµοί παρουσιάζουν τις λιγότερες ασάφειες και δυσκολίες. Επιλέξαµε µόνο τα εξής σηµεία: ιάταξη µιγαδικών Σύµφωνα µε το σχολικό βιβλίο, στο σύνολο των µιγαδικών, µη πραγµατικών αριθµών δεν υπάρχει διάταξη, δηλ. µεταξύ δύο άνισων µιγαδικών δεν υπάρχει µεγαλύτερος ή µικρότερος. Οι διάφορες ανισοτικές σχέσεις µεταξύ των (φαινοµενικά) µιγαδικών, είναι σχέσεις πραγµατικών αριθµών. Έτσι η σχέση z< z σηµαίνει αυτόµατα ότι οι z και z είναι πραγµατικοί. Εδώ µπορούν να γίνουν λάθη, αν µια τέτοια σχέση διάταξης πραγµατικών τη µετατρέψουµε σε σχέση διάταξης µιγαδικών όπως δείχνουµε στο παρακάτω παράδειγµα: Παράδειγµα Η ανισότητα 3 + i i > + 5i + - 5i είναι µια σωστή ανισότητα πραγµατικών αριθµών. εν µπορούµε όµως να µεταφέρουµε π.χ τον όρο -5i από το ο µέλος και να γράψουµε 3 + i i + 5i > + 5i + γιατί τότε δηµιουργούµε µια ανισότητα µιγαδικών. Θα πει κάποιος πως τέτοια σχέση δε θα συναντήσει, αλλά και αν συναντήσει δεν θα µεταφέρει έναν όρο όπως κάναµε εδώ. Στο επόµενο παράδειγµα όµως το λάθος µπορεί να γίνει πιο εύκολα Παράδειγµα Αν z, z C και z<, z< να αποδειχθεί ότι: z z < z z ιάταξη στους µιγαδικούς αριθµούς µπορεί να οριστεί µε διάφορους τρόπους. Π.χ µπορούµε να δώσουµε τον ορισµό: α+βi > γ+δi (α > γ και β > δ) ή: α+βi > γ+δi (α > γ και β = δ) ή α+βi > γ+δi α+βi > γ+δi Το ότι δε δόθηκε ορισµός διάταξης στους µιγαδικούς οφείλεται στο γεγονός ότι κάτι τέτοιο δεν αποδείχθηκε αρκετά χρήσιµο. Σελ. 3

4 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Απόδειξη < z z z z z z < z z (z z )(z z ) < ( z z )( zz ) z z z z z z + z z < z z z z + z z z z () Εδώ θα ήταν λάθος να διαγράψουµε τον όρο zz του ου µέλους µε τον ίσο του στο ο µέλος. Αν γίνει η διαγραφή αυτή τότε η () που είναι µια ανισότητα πραγµατικών αριθµών µετατρέπεται σε ανισότητα µιγαδικών αριθµών. Μπορούµε όµως να διαγράψουµε το άθροισµα zz z z του ου µέλους µε το ίσο του στο ο µέλος. Πράγµατι ο αριθµός z = z z z z R αφού z = zz zz = z Έτσι η () z z+ z z< + z zz z z + z < + z z ( z )( z ) > που ισχύει. Έτσι ισχύει και η αποδεικτέα Μέγιστα και ελάχιστα στους µιγαδικούς Στη θεωρία των µιγαδικών υπάρχουν πολλές ασκήσεις που ζητούν το µέγιστο ή το ελάχιστο ενός µέτρου. Σε πολλές από αυτές χρησιµοποιούνται γεωµετρικά θεωρήµατα που δεν υπάρχουν στο βιβλίο της Γεωµετρίας του Λυκείου. Θεωρούνται όµως γνωστά, ίσως και προφανή. Αναφέρουµε τα πιο σηµαντικά και δίνουµε την απόδειξη µερικών µόνο από αυτά. ) Ελάχιστη απόσταση σηµείου Σ και ευθείας ε Είναι το µήκος της κάθετης ΑΜ από το σηµείο προς την ευθεία. Η απόδειξη περιέχεται στο σχολικό βιβλίο της Γεωµετρίας και την παραλείπουµε. Μέγιστη απόσταση δεν υπάρχει. ) Ελάχιστη και µέγιστη απόσταση σηµείου Σ από τα σηµεία ενός κύκλου (Κ, R) (απλούστερα, ελάχιστη και µέγιστη απόσταση σηµείου από κύκλο). (ε) Σ Μ Μ Μ Μ R R Β R Κ R Α Σ Β R Κ Σ Α Β R Κ R Σ Σχ. Σχ. Σχ. 3 Σελ. 4

5 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ α) Το σηµείο Σ βρίσκεται έξω από τον κύκλο (Σχ.) Αν η ΣΚ τέµνει τον κύκλο στα Α και Β (το Α πιο κοντά στο Σ από το Β) και Μ είναι τυχαίο σηµείο του κύκλου διαφορετικό από τα Α και Β, τότε: ΣΑ< ΣΜ< ΣΒ, δηλαδή η ΣΑ είναι η ελάχιστη απόσταση του Σ από τον κύκλο και η ΣΒ είναι η µέγιστη απόσταση του Σ από τον κύκλο. Απόδειξη Από το τρίγωνο ΣΚΜ σύµφωνα µε την τριγωνική ανισότητα έχουµε: ΣΜ< ΣΚ+ ΚΜ ή ΣΜ< ΣΚ+ ΚΒ ή ΣΜ< ΣΒ και ΣΜ > ΣΚ ΚΜ ή ΣΜ > ΣΚ ΚΑ ή ΣΜ > ΣΑ Η ελάχιστη απόσταση ΣΑ είναι ίση µε d R και η µέγιστη ίση µε d + R όπου d η απόσταση του Σ από το κέντρο του κύκλου. β) Το σηµείο Σ βρίσκεται µέσα στον κύκλο (Σχ. ) Σύµφωνα πάλι µε την τριγωνική ανισότητα από το τρίγωνο ΣΚΜ βρίσκουµε όπως και πριν ότι: ΣΑ< ΣΜ< ΣΒ, δηλαδή η ελάχιστη απόσταση είναι η ΣΑ = R d και µέγιστη η ΣB = R + d γ) Το σηµείο Σ βρίσκεται επάνω στον κύκλο (Σχ. 3) Είναι προφανές ότι η ελάχιστη απόσταση είναι ίση µε όταν το σηµείο Μ συµπίπτει µε το Σ και η µέγιστη απόσταση είναι η διάµετρος ΣΒ= R. 3) Ελάχιστη και µέγιστη απόσταση ευθείας (ε) και κύκλου (K, R) K K K (η) B Ε (ε) Α (ε) Α Β (ε) A Σχ. Ζ Γ Σχ. Σχ. 3 α) Η ευθεία βρίσκεται έξω από τον κύκλο (Σχ. ) Φέρνουµε την ΚΑ κάθετη στην (ε) που τέµνει τον κύκλο στο Β. Τότε η ΑΒ είναι η ελάχιστη απόσταση της ευθείας και του κύκλου. Πράγµατι, αν πάρουµε ένα σηµείο Γ της (ε) και ένα σηµείο του κύκλου (κάποιο από τα δύο µπορεί να συµπίπτει µε κάποιο από τα Α και Β), θα αποδείξουµε ότι ΑΒ < Γ. Φέρνουµε την εφαπτοµένη στου κύκλου στο Β η οποία τέµνει την Γ στο Ε και από το Ε φέρνουµε το κάθετο τµήµα ΕΖ προς την (ε). Είναι τότε: ΑΒ= ΕΖ ΕΓ< Γ Εποµένως το τµήµα ΑΒ είναι η ελάχιστη απόσταση της ευθείας και του κύκλου. Μέγιστη απόσταση δεν υπάρχει. Σελ. 5

6 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 β) Η ευθεία εφάπτεται µε τον κύκλο (Σχ. ) Τότε η ελάχιστη απόσταση είναι ίση µε, ενώ µέγιστη απόσταση δεν υπάρχει. γ) Η ευθεία τέµνει τον κύκλο σε δύο σηµεία Α και Β (Σχ. 3) Τότε η ελάχιστη απόσταση είναι ίση µε, ενώ µέγιστη δεν υπάρχει. 4) Ελάχιστη και µέγιστη απόσταση δύο κύκλων (c ) και (c ) ιακρίνουµε και εδώ διάφορες περιπτώσεις: Μ Α R Κ R R Β Γ Ρ ρ ρ Λ ρ Α R Κ R Γ ρ Λ ρ Β Σχ. Σχ. Α Κ Λ Β Α Κ Λ Β Α Γ ΚΛ Β Σχ. 3 Σχ. 4 Σχ. 5 Οι κύκλοι µπορούν να έχουν διάφορες θέσεις που φαίνονται στα σχήµατα,, 3, 4, 5. Αποδεικνύουµε τη σχετική πρόταση για την πρώτη µόνο περίπτωση. Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι: Αν φέρουµε τη διάκεντρο που τέµνει τους κύκλους στα σηµεία Α, Β, Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα, τότε η ΒΓ = ΚΛ R ρ είναι η ελάχιστη απόσταση και η Α = ΚΛ+ R+ ρ είναι η µέγιστη απόσταση των δύο κύκλων. Απόδειξη Έστω σηµείο Μ του κύκλου Κ και σηµείο Ρ του κύκλου Λ που δε συµπίπτουν και τα δύο µε κάποια από τα Α, Β, Γ,. Θα αποδείξουµε ότι ΒΓ< ΜΡ< Α Πράγµατι, αν φέρουµε τις KM και ΛΡ, το ευθ. τµήµα ΜΡ θα είναι µικρότερο από την τεθλασµένη ΜΚΛΡ, δηλαδή: ΜΡ<ΜΚ+ΚΛ+ΛΡ ή ΜΡ< R+ ΚΛ+ ρ ή ΜΡ< ΚΑ+ ΚΛ+ Λ ή ΜΡ< Α Επίσης το τµήµα ΚΛ θα είναι µικρότερο από την τεθλασµένη ΚΜΡΛ, δηλ. ΚΛ< ΚΜ+ ΜΡ+ ΡΛ ή R+ ΒΓ+ ρ< R+ ΜΡ+ ρ ή ΒΓ< ΜΡ Καταλήξαµε δηλαδή ότι: ΒΓ< ΜΡ< Α που αποδεικνύει την πρόταση Σελ. 6

7 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ 5) Ελάχιστη και µέγιστη απόσταση δύο σηµείων έλλειψης ιάµετρος µιας έλλειψης λέγεται µια χορδή της που περνά από το κέντρο της, όπως είναι στο σχήµα η Μ Μ. Αποδεικνύεται ότι η µέγιστη απόσταση δύο σηµείων µιας έλλειψης είναι το µήκος Α Α = α του µεγάλου της άξονα. Η ελάχιστη απόσταση είναι φυσικά ίση µε. Όµως η ελάχιστη διάµετρος είναι η Β Β = β δηλαδή το µήκος του µικρού της άξονα. Α α Μ Β β Ο β Β α Μ Α Γεωµετρικοί τόποι Το σύνολο των σηµείων ενός επιπέδου που έχουν κάποια κοινή ιδιότητα αποτελεί συνήθως µια γραµµή (ή ένα µέρος του επιπέδου). Η γραµµή αυτή λέγεται γεωµετρικός τόπος των σηµείων (συντοµογραφικά γ.τ). Οι εκφράσεις "Σύνολο σηµείων" και "γεωµετρικός τόπος σηµείων" είναι ταυτόσηµες. Έτσι λοιπόν: "ο γ.τ των σηµείων Μ µε την ιδιότητα Ρ είναι η γραµµή c" σηµαίνει δύο πράγµατα: Κάθε σηµείο Μ µε την ιδιότητα Ρ ανήκει στη c Κάθε σηµείο της c έχει την ιδιότητα Ρ Αντί να λέµε γ.τ των σηµείων Μ, λέµε πολλές φορές γ.τ του σηµείου Μ, εννοώντας το µεταβλητό σηµείο Μ που παίρνει διάφορες θέσεις. Παρεµφερής έκφραση, διαφορετική όµως από αυτήν του γ.τ είναι η: "το σηµείο Μ κινείται (ή ανήκει) στη γραµµή c" Αυτό σηµαίνει ότι ο γ.τ του Μ είναι υποσύνολο του συνόλου των σηµείων της γραµµής c. Έτσι π.χ όταν λέµε ότι το σηµείο Μ κινείται στον κύκλο c: + y =, αυτό δε σηµαίνει ότι ο γ.τ το σηµείου Μ είναι ολόκληρος ο κύκλος, αλλά µπορεί να είναι το τεταρτηµόριο + y = µε, y, ή µπορεί να είναι ολόκληρος ο κύκλος από τον οποίο λείπει το σηµείο (,). Ή όταν λέµε ότι το σηµείο Μ κινείται στην ευθεία ε : + y=, µπορεί ο γ.τ να είναι ένα τµήµα της ε. Για να βρούµε τον γ.τ του σηµείου Μ που έχει µια ιδιότητα Ρ, γράφουµε την ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει το τυχαίο Μ την ιδιότητα Ρ και µε ισοδυναµίες Σελ. 7

8 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 καταλήγουµε σε µια άλλη σχέση µεταξύ των συντεταγµένων και y του σηµείου Μ, η οποία είναι και ο γ.τ του Μ. Η εξίσωση αυτή µπορεί να είναι αναγνωρίσιµη, δηλαδή µπορεί να είναι εξίσωση κάποιας γνωστής γραµµής, µπορεί όµως η γραµµή να µην είναι γνωστή. εν είναι απαραίτητο να γνωρίζουµε τι είδους γραµµή παριστάνει η εξίσωση που βρήκαµε. Έτσι π.χ αν βρούµε ότι η εξίσωση του τόπου είναι η: + y+ y =, ο τόπος είναι καθορισµένος και ας µη γνωρίζουµε τι παριστάνει η εξίσωση (τελικά παριστάνει έλλειψη). Η απάντηση στην περίπτωση αυτή πρέπει να είναι ότι ο γ.τ του σηµείου Μ είναι η γραµµή που έχει την παραπάνω εξίσωση. Μια συνηθισµένη παρανόηση είναι να νοµίζει ο µαθητής ότι πρέπει οπωσδήποτε να εξηγήσει τι γραµµή παριστάνει η εξίσωση που βρήκε. Τονίζουµε ότι η εξίσωση περιγράφει καλύτερα από ο,τιδήποτε άλλο τον γ.τ. Πρέπει όµως να πούµε επίσης ότι (τουλάχιστον µέχρι τώρα) όσες φορές ζητήθηκε στις Πανελλαδικές γ.τ πάντοτε η εξίσωση ήταν αναγνωρίσιµη. Αν λοιπόν προκύψει ως γ.τ. εξίσωση µη αναγνωρίσιµη αυτό είναι ένδειξη ότι µπορεί να έγινε κάποιο λάθος στη λύση. Αν από την αρχική σχέση, ότι δηλαδή το Μ έχει την ιδιότητα Ρ καταλήξουµε µε συνεπαγωγές σε εξίσωση µιας γραµµής, αυτό σηµαίνει ότι το σηµείο Μ ανήκει (κινείται) στη γραµµή αυτή, όµως ο γ.τ. του Μ µπορεί να µην είναι ολόκληρη η γραµµή, αλλά ένα υποσύνολό της. Ο πιο συνηθισµένος τρόπος για την εύρεση του γ.τ ενός σηµείου Μ(, y) είναι αυτός που περιγράψαµε πιο πάνω, δηλαδή να αντικαταστήσουµε τον µιγαδικό z µε + yi και µε ισοδυναµίες να καταλήξουµε σε µια εξίσωση που είναι η εξίσωση του τόπου. Ο παραπάνω τρόπος δεν είναι πάντοτε ο πιο εύκολος. Για κάποιους γ.τ έχουµε τις µιγαδικές εξισώσεις τους. Έτσι π.χ Η εξίσωση z z = α > παριστάνει κύκλο µε κέντρο την εικόνα του z και ακτίνα α. Η εξίσωση z z = z z παριστάνει τη µεσοκάθετη του τµήµατος µε άκρα τις εικόνες των µιγαδικών z και z. Η εξίσωση z z + z z = α µε z z < α παριστάνει έλλειψη µε εστίες τις εικόνες των z και z και µεγάλο άξονα α Για την τελευταία δεν είναι καθόλου εύκολο να βρούµε το γ.τ µε την καρτεσιανή του εξίσωση. Με τη µιγαδική µορφή όµως είναι εύκολο να καταλάβουµε ότι πρόκειται για έλλειψη. Πράγµατι, αν ονοµάσουµε Μ την εικόνα του µεταβλητού µιγαδικού z και Ε και Ε τις εικόνες των µιγαδικών z και z, η εξίσωση z z + z z = α γράφεται ΜΕ + ΜΕ = α µε ΕΕ < α Σελ. 8

9 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ Εποµένως ο τόπος του Μ είναι η έλλειψη µε εστίες τα Ε και Ε και µεγάλο άξονα α. Αντίστοιχα, η εξίσωση z - z - z - z = α µε z z > α παριστάνει υπερβολή µε εστίες τις εικόνες των z και z. Παραδείγµατα ) Να βρεθεί ο γ.τ των εικόνων των µιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z + z + z z = zz + 8 () Λύση Θέτουµε z = + yi. Η () + yi = ( + y ) y = 9 Η τελευταία παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο Ο(,) και ακτίνα 3. Οι ισοδυναµίες δείχνουν ότι ο ζητούµενος τόπος είναι ο παραπάνω κύκλος, δηλ. όλες οι εικόνες των µιγαδικών βρίσκονται στον παραπάνω κύκλο, αλλά και κάθε σηµείο του κύκλου είναι εικόνα ενός µιγαδικού που έχει την ιδιότητα (). ) Να βρεθεί η γραµµή στην οποία κινείται η εικόνα του µιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: 5 5 (z + ) = (z - ) () Λύση Η () 5 5 z + = z - z + = z - z + = z - + yi + = + yi - ( + ) + y = ( - ) + y = Άρα η εικόνα του z κινείται στον άξονα y y. z= + yi Οι συνεπαγωγές δείχνουν ότι ο τόπος ένα υποσύνολο του άξονα y y. Πιο συγκεκριµένα: Αν στην () αναπτυχθούν τα διώνυµα και µεταφερθούν όλοι οι όροι στο ο µέλος, θα προκύψει εξίσωση 4 ου βαθµού που έχει ακριβώς 4 ρίζες. Υπάρχουν εποµένως µόνο 4 σηµεία τα οποία βρίσκονται στον άξονα y y και είναι εικόνες των µιγαδικών που επαληθεύουν την (). 3) Αν η εικόνα Μ του µιγαδικού z κινείται στον µοναδιαίο κύκλο, να βρείτε τη γραµµή στην οποία κινείται η εικόνα Ρ του µιγαδικού w= z+ z Λύση Είναι z = z = zz = z = z Εποµένως w= z+ z () Θέτουµε z = + yi και w = α+ βi Η () γίνεται: α + βi = (α= και β= ) Εποµένως η εικόνα του w κινείται στον άξονα των. Σελ. 9

10 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Είναι άραγε ο γ.τ ο άξονας των ; Η απάντηση είναι όχι. Πράγµατι, επειδή + y = 4 α Εποµένως η εικόνα Ρ του w µπορεί να κινείται µόνο στο ευθ. τµήµα ΑΒ µε άκρα τα A(, ) και B(,). Εποµένως το γ.τ του Ρ είναι ένα υποσύνολο του τµήµατος ΑΒ. Μπορούµε να αποδείξουµε ότι ο τόπος του Ρ είναι ολόκληρο το ευθ. τµήµα ΑΒ. Αρκεί προς τούτο να αποδείξουµε ότι κάθε σηµείο του τµήµατος ΑΒ είναι εικόνα ενός µιγαδικού w = α + βi για τον οποίο υπάρχει κατάλληλος µιγαδικός z µε w= z+ z και του οποίου µιγαδικού z η εικόνα ανήκει στον µοναδιαίο κύκλο. Έστω λοιπόν Ρ(α, ) µε α ένα σηµείο του τµήµατος ΑΒ. α Αν επιλέξουµε = τότε Υπάρχει λοιπόν y R µε y =, εποµένως υπάρχει µιγαδικός z = + yi του οποίου η εικόνα βρίσκεται στο µοναδιαίο κύκλο για τον οποίο ισχύει ότι η εικόνα του w ανήκει στο ευθ. τµήµα ΑΒ. Εποµένως ο γ.τ του Ρ είναι πράγµατι το ευθ. τµήµα ΑΒ α Σελ.

11 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γινόµενο συναρτήσεων ίσο µε ίνουµε εδώ τον ορισµό της µηδενικής συνάρτησης: Μια συνάρτηση : A R λέγεται µηδενική και συµβολίζεται µε = αν για κάθε A ισχύει: () = ΠΡΟΣΟΧΗ: Ο ορισµός δεν αποκλείει η να µηδενίζεται για κάποιες τιµές του, ακόµη και άπειρες. Π.χ Η συνάρτηση : R R µε () = 4 δεν είναι µηδενική, αν και µηδενίζεται για = και = δηλαδή είναι. Το ίδιο και η συνάρτηση µε () = αν > αν είναι µη µηδενική αν Το ίδιο και η συνάρτηση µε () = είναι µη µηδενική, αν και αν = υπάρχει µόνο µια τιµή για την οποία η δε µηδενίζεται. Αν τώρα για τις συναρτήσεις, g: A R ισχύει g =, αυτό δε σηµαίνει ότι = ή g = όπως φαίνεται από το παρακάτω παράδειγµα όπου και g Παράδειγµα Οι συναρτήσεις και g ορίζονται ως εξής: αν 3 () = αν > 3, 3 αν 3 g() = αν > 3 Είναι και g αν 3 Όµως: ().g() = αν > 3 δηλαδή ().g() = για κάθε R, άρα.g = Με τη βοήθεια της παραπάνω ιδιότητας µπορούµε να αποδείξουµε ότι: Σελ.

12 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Aν, g: A R και = g, δηλαδή () = g () για κάθε A τότε δεν ισχύει σίγουρα ότι = g ή = -g, δηλαδή () = g() για κάθε A ή () = -g() για κάθε A. Αυτό που ισχύει είναι ότι για κάθε A ισχύει ότι: () = g() ή () = -g() Μπορεί όµως να είναι g και g όπως φαίνεται από το παρακάτω Παράδειγµα Οι συναρτήσεις, g: R R ορίζονται ως εξής:, αν < 3 () =, αν 3 και, αν < g() =, αν Ισχύει προφανώς ότι Εποµένως () = 4 για κάθε R και = g. Όµως προφανώς είναι g και g. g () = 4 για κάθε R. Η απόδειξη της πρότασης αυτής γίνεται ως εξής: = g - g = ( + g)( - g) = Από την τελευταία σχέση δεν προκύπτει υποχρεωτικά ότι + g = ή - g = Οι συναρτήσεις και g µπορεί να είναι οι παραπάνω. Σαν εφαρµογή του παραπάνω δίνουµε το εξής Παράδειγµα Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις : R R µε την ιδιότητα: () = Λύση Σύµφωνα µε τα όσα γράψαµε παραπάνω, για κάθε R θα είναι: () = ή () = - Αυτό δίνει ως λύσεις άπειρες συναρτήσεις που ορίζονται ως εξής:, αν A () =, αν A όπου Α οποιοδήποτε υποσύνολο του R. ύο από τις συναρτήσεις αυτές είναι βέβαια και οι () = για κάθε R και () = - για κάθε R. Πεδίο ορισµού της σύνθεσης δύο συναρτήσεων Αν : A R και g : B R είναι δύο συναρτήσεις, η σύνθεσή τους g ορίζεται όταν το σύνολο Γ = { A και () B} δεν είναι κενό. Τότε η συνάρτηση g ορίζεται ως εξής: Σελ.

13 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ g :Γ R µε (g )() = g(()) Είναι σηµαντικό να τονίσουµε ότι το πεδίο ορισµού της g δεν µπορεί να βρεθεί από τον τελικό της τύπο g( ()), αλλά πρέπει να βρεθεί ως Γ = { A και () B}. Το σύνολο αυτό δεν είναι πάντοτε ίσο µε αυτό που θα προέκυπτε από τον τύπο της g όπως φαίνεται και από το παρακάτω Παράδειγµα Οι συναρτήσεις και g ορίζονται ως εξής: 3 () = και g() = Τα πεδία ορισµού των και g είναι αντίστοιχα A = R {} και B = R {} Το πεδίο ορισµού της σύνθεσης g είναι το Γ = { A και () B} = 3 { και } = R {,3} Ο τύπος της g είναι (g )() = g( ()) = Η παράσταση 3 3 = 3 ορίζεται για κάθε 3, δηλαδή ορίζεται και για = Έτσι τα πεδία ορισµού των g και h() = δεν είναι ίσα. 3 Τονίζουµε ότι για το πεδίο ορισµού της g, ο ορισµός απαιτεί να ορίζεται και το () και το g( ()) και δεν αρκεί να ορίζεται το g( ()). Μονοτονία συναρτήσεων Έστω συνάρτηση : A R και Α ένα διάστηµα. Αν για κάθε, µε < ισχύει ( ) < ( ) τότε η λέγεται γνησίως αύξουσα στο ( ) > ( ) τότε η λέγεται γνησίως φθίνουσα στο ( ) ( ) τότε η λέγεται αύξουσα στο ( ) ( ) τότε η λέγεται φθίνουσα στο Πρέπει να τονίσουµε ότι σύµφωνα µε τους παραπάνω ορισµούς του σχολικού βιβλίου, η µονοτονία µιας συνάρτησης ορίστηκε µόνο σε διάστηµα. Έτσι δεν µπορούµε να πούµε ότι µια συνάρτηση είναι γν. αύξουσα π.χ στο σύνολο Α=(, ) (, 3), αφού το Α δεν είναι διάστηµα. Σελ. 3

14 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Σύµφωνα µε άλλους συγγραφείς, ο ορισµός της µονοτονίας επεκτείνεται µε τον ίδιο τρόπο σε οποιοδήποτε σύνολο. Πριν δώσουµε µια χρήσιµη πρόταση σχετική µε τη µονοτονία µιας συνάρτησης, θα υιοθετήσουµε τους παρακάτω συµβολισµούς που θα διευκολύνουν τη γραφή και τον λόγο: Το σύµβολο { ως άκρο ενός διαστήµατος θα παριστάνει το σύµβολο ( ή το [. Αντίστοιχα, το σύµβολο } θα παριστάνει ) ή ]. Έτσι το σύµβολο {α, β} θα παριστάνει οποιοδήποτε από τα διαστήµατα (α,β) ή [α,β] ή (α,β] ή [α,β). Τα α και β επίσης θα παριστάνουν πραγµατικούς αριθµούς ή α = ή β = + Πρόταση Αν η συνάρτηση είναι γν. αύξουσα στα διαστήµατα {α,β] και [β, γ} (και τα δύο διαστήµατα κλειστά στο β), τότε η είναι γν. αύξουσα και στο διάστηµα {α,β] [β, γ} = {α, γ} Αντίστοιχα ισχύει η πρόταση για γν. φθίνουσα συνάρτηση. Η ίδια πρόταση ισχύει και για συναρτήσεις αύξουσες ή φθίνουσες. Απόδειξη Αποδεικνύουµε µόνο την πρώτη πρόταση. Οι άλλες αποδεικνύονται µε τον ίδιο τρόπο. Έστω, {α, γ} µε < Αν, {α,β] τότε προφανώς ( ) < ( ) αφού η είναι γν. αύξουσα στο {α,β] Αν, [β, γ} τότε προφανώς ( ) < ( ) αφού η είναι γν. αύξουσα στο [β, γ} Αν {α,β] και [β, γ} τότε β ( ) (β) ( ) ( ) β (β) ( ) Το ίσον ισχύει στις παραπάνω σχέσεις όταν ισχύουν συγχρόνως δηλαδή όταν = = β και β =, Εποµένως µε < ισχύει µόνο ( ) < ( ) και η είναι γν. αύξουσα και στο {α, γ} Παρατήρηση Η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει αν τα διαστήµατα {α,β} και {β, γ} δεν είναι και τα δύο κλειστά στο β όπως δείχνουµε στο παρακάτω Σελ. 4

15 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ Παράδειγµα Η συνάρτηση ορίζεται ως εξής:, αν [,3) () =, αν [3,5] Είναι φανερό ότι η είναι γν. αύξουσα και στο [,3) και στο [3,5]. Όµως η δεν είναι γν. αύξουσα στην ένωση [, 3) [3, 5] = [, 5], αφού () = 4 και (4) = 3, δηλαδή () > (4) Συναρτήσεις - Αν οι συναρτήσεις και g είναι, κανένα συµπέρασµα δεν προκύπτει για τις συναρτήσεις + g, g, g και g (αν είναι ή δεν είναι ). Η σύνθεση όµως g είναι πάντοτε. Πράγµατι οι συναρτήσεις συναρτήσεις 3 ( + g)() = -, R,. Αν όµως επιλέξουµε η 3 () =, R και g() = -, R είναι, όµως οι 4 ( g )() = -, R, ( )() g =, * R δεν είναι 3 () =, R και g() =, R, οι και g είναι και 3 ( + g)() = +, R ως γν. αύξουσα είναι επίσης. Το ότι η g είναι σε κάθε περίπτωση αποδεικνύεται ως εξής: Έστω Γ το πεδίο ορισµού της g. Αν, = Γ µε (g )( ) = (g )( ) Άρα η g είναι. g(( ) = g(( ) g: ( ) = ( ) : Κοινά σηµεία των c και c Έστω : Α R µία συνάρτηση, οπότε υπάρχει η Για τα κοινά σηµεία των c και c ισχύουν τα εξής:. Σελ. 5

16 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο Α, τότε τα κοινά σηµεία των c και c βρίσκονται υποχρεωτικά στη διχοτόµο της γωνίας Oy, εποµένως τα σηµεία αυτά είναι οι λύσεις του συστήµατος: () Σ : = y = Αν όµως η δεν είναι γνησίως αύξουσα, είναι δυνατόν να υπάρχουν και άλλα κοινά σηµεία τα οποία δε βρίσκονται στη διχοτόµο y=. Τότε τα κοινά σηµεία των c και c βρίσκονται από τη λύση του συστήµατος: = Σ : y = () () () ιατυπώνουµε την πρόταση και δίνουµε την απόδειξή της: Πρόταση Έστω : Α R µια γνησίως αύξουσα συνάρτηση, B = A (A) µη κενό σύνολο και Απόδειξη α) Έστω B. Ισχύει τότε η ισοδυναµία: - ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) () Θα αποδείξουµε ότι ( ) = Αν ( ), τότε θα είναι ( ) > ή ( ) < Λόγω της () θα είναι αντίστοιχα: - ( ) > ή - ( ) < αν αν - ( ) > - ( ) < - ( ( )) > ( ) > ( ) άτοπο - ( ( )) < ( ) < ( ) άτοπο άρα θα είναι: ( ) = β) Έστω ( ) = ( ( )) = ( ) = ( ), άρα ( ) = ( ) Το θεώρηµα αυτό επιτρέπει να βρίσκουµε τα κοινά σηµεία των c και c λύνοντας την εξίσωση () = αντί της ισοδύναµης () = () Παράδειγµα ο Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση βρεθούν τα κοινά σηµεία των c και c 3 () = + - είναι αντιστρέψιµη και να Σελ. 6

17 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ Απόδειξη Πεδίο ορισµού της είναι το A=R. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η είναι γν. αύξουσα άρα και. Εποµένως αντιστρέφεται. Το πεδίο ορισµού της αντίστροφης είναι το (A) = ( lim (), lim ()) = (-, + ) = R + Άρα B = A (A) Σύµφωνα λοιπόν µε την πρόταση, οι τετµηµένες των κοινών σηµείων των c είναι λύσεις της εξίσωσης () = = = Άρα το µοναδικό κοινό σηµείο των c και c είναι το (, ). Παρατήρηση Θα ήταν εδώ πολύ δύσκολο να βρεθεί η () = () και να λυθεί απευθείας η εξίσωση c και Παράδειγµα ο Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( + 8) αν [, ] () = ( + ) αν [5,8] 3 είναι αντιστρέψιµη και να βρεθεί η. Να βρεθούν κατόπιν τα κοινά σηµεία των c και c Λύση Το πεδίο ορισµού της είναι το A = [,] [5,8] Σελ. 7

18 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Η δεν είναι γν. αύξουσα στο Α. [Στο σχολικό βιβλίο η µονοτονία ορίζεται µόνο σε διάστηµα. Έτσι και αν ακόµη για κάθε, A µε < ήταν ( ) < ( ) δεν θα µπορούσαµε να πούµε ότι η είναι γν. αύξουσα. Εδώ είναι επιπλέον () > (8) ] Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι η είναι αντιστρέψιµη και είναι: 3, αν [,3] () = 8 αν [4,5] Τα κοινά σηµεία των c και c είναι τα B(,5) και B (5,) και κανένα από αυτά δε βρίσκεται στη διχοτόµο y = όπως προκύπτει από τις γραφικές παραστάσεις των και - (αλλά και χωρίς τη χρήση του σχήµατος είναι εύκολο να διαπιστωθεί µε αλγεβρικές πράξεις). Η γραφική παράσταση της είναι τα ευθ. τµήµατα ΑΒ και Β Γ και η γραφική - παράσταση της είναι τα ευθ. τµήµατα Α Β και ΒΓ. Περιττή συνάρτηση Η συνάρτηση : A R λέγεται περιττή, αν για κάθε A ισχύουν A και (- ) = - () Για τις περιττές συναρτήσεις ισχύει µια χρήσιµη πρόταση που αναφέρουµε Αν η : A R είναι περιττή και A τότε () = Πράγµατι, επειδή η είναι περιττή, για κάθε A θα είναι: (- ) = - () και θέτοντας = βρίσκουµε () = () () =, άρα () = Μονάδα µέτρησης τόξων Στην ανάλυση έχει καθιερωθεί ως µονάδα µέτρησης τόξων και γωνιών το ακτίνιο (rad). Έτσι σε κάθε πρόταση, σχέση, τύπο που περιέχει τριγωνοµετρικό αριθµό, όλα τα τόξα θεωρείται ότι εκφράζονται σε ακτίνια. Είναι κάτι που εννοείται, αλλά συχνά δεν αναφέρεται µε αποτέλεσµα να δηµιουργούνται ερωτηµατικά. Βλέπε άλλα σχετικά παραδείγµατα στο περιοδικό της ΕΜΕ Ηµαθίας ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ, τεύχος, Οκτώβριος 3, άρθρο Γεωργακίλα ηµ, σελ Σελ. 8

19 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ ηµ Έτσι π.χ στα γνωστά θεωρήµατα lim =, (ηµ) = συν, (συν) = ηµ κ.λ.π το τόξο εκφράζεται σε ακτίνια. Οι τύποι είναι διαφορετικοί όταν το τόξο εκφράζεται σε µοίρες. µ α Υπενθυµίζουµε τον τύπο µετατροπής µοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα = όπου 8 π µ και α είναι το µέτρο του ίδιου τόξου σε µοίρες και ακτίνια αντίστοιχα. rad ο µ ο 8 8 Σύµφωνα µε τον τύπο αυτό, =, άρα µ = = ή π 8 π 3,459 rad = ,8 Έτσι είναι: συν <, αφού το τόξο rad 4 λήγει στο τεταρτηµόριο. Σελ. 9

20 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Πριν ξεκινήσουµε τη µελέτη των ορίων, θα υιοθετήσουµε ένα σύµβολο που θα διευκολύνει τη γραφή και το λόγο. Όπου παρακάτω θα συναντούµε το σύµβολο L θα εννοούµε ότι R ή + ή Στη θεωρία των ορίων πολλά είναι τα σηµεία που χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή, επειδή η θεωρία των ορίων στο σχολικό βιβλίο παρουσιάζεται χωρίς αυστηρότητα και οι ορισµοί των ορίων είναι εκτός διδακτέας ύλης. Αποδείξεις θεωρηµάτων υπάρχουν ελάχιστες και η αλήθεια κάποιων προτάσεων αποδεικνύεται µόνο µε παραδείγµατα ή αντιπαραδείγµατα. Θα ακολουθήσουµε και εµείς την ίδια λογική προσαρµοζόµενοι στο πνεύµα του βιβλίου. Για τα όρια λοιπόν έχουµε να επισηµάνουµε τα εξής: ) Ύπαρξη ορίου αθροίσµατος, διαφοράς κ.λ.π Η πρόταση: Αν οι συναρτήσεις και g έχουν όριο στο R, τότε και η συνάρτηση + g έχει όριο στο και ισχύει lim[() + g()] = lim () + lim g() δεν ισχύει πάντοτε (βλ. εισήγησή µας του 7) Για τον ίδιο λόγο δεν ισχύουν και οι περισσότερες ιδιότητες των ορίων µε τον τρόπο που αναφέρονται στο σχολικό βιβλίο (όριο διαφοράς, γινοµένου κ.λ.π). Για να ισχύει η παραπάνω πρόταση πρέπει οι συναρτήσεις και g να ορίζονται στην ίδια περιοχή του. Αν δηλαδή η ορίζεται αριστερά του και η g ορίζεται δεξιά του, η παραπάνω ισότητα δεν έχει νόηµα. Στα επόµενα, για απλούστευση, όταν υπάρχουν τα όρια των και g στο L, θα θεωρούµε ότι οι και g ορίζονται στην ίδια περιοχή του L, ώστε να υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων + g, g, g, κ.λ.π g ) Αν οι συναρτήσεις και g δεν έχουν όριο στο L, είναι δυνατό κάποιες από τις συναρτήσεις + g, - g, g, g και άλλοι συνδυασµοί των και g να έχουν όριο στο L. Σελ.

21 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ * * π.χ αν () =, R και g() =, R τότε οι και g δεν έχουν όριο στο, αφού lim () =, ενώ lim () = + καθώς επίσης και + + lim g() = +, ενώ lim g() = lim[ () + g()] = lim = Όµως Ανάλογα παραδείγµατα µπορούν να δοθούν και για τις g, g, g 3) Αν η έχει όριο στο L και η g δεν έχει όριο στο L, τότε οι + g και - g δεν έχουν όριο στο L. εν ισχύει το ίδιο και για τις g και g που µπορεί να έχουν όριο (µπορεί και όχι). Πράγµατι, αν θέσουµε h= + g, τότε, αν η h είχε όριο στο L και η = h g θα είχε όριο στο L, πράγµα άτοπο. Άρα η h δεν έχει όριο στο L. Όµοια αποδεικνύεται ότι και η g δεν έχει όριο στο L. Η g µπορεί να έχει όριο αν π.χ είναι * () =, R και g() =, R Πράγµατι, επειδή lim g() = και lim g() Όµως το lim[ () g()] = lim = + = + δεν υπάρχει το lim g() 4) εν υπάρχουν τα limηµ, limσυν, limηµ, lim συν ± ± Αποδεικνύουµε µόνο την πρώτη. Οι υπόλοιπες αποδεικνύονται όµοια. Για την απόδειξη της πρότασης αυτής θα χρησιµοποιήσουµε µια πολύ γνωστή πρόταση που όµως δεν περιέχεται στο σχολικό βιβλίο επειδή στηρίζεται στη θεωρία του ορίου ακολουθιών που δε διδάσκονται οι µαθητές. Πρόταση Έστω η συνάρτηση : A R Αν lim () = l, τότε για κάθε ακολουθία ( ν ) µε ν lim ν = θα είναι lim( ν ) =l. Αντίστροφα, αν για κάθε ακολουθία είναι lim( ν ) =l, τότε lim () = l. Α για κάθε ( ν ) µε ν Α για κάθε ν ν * Ν και * Ν και lim ν = * Αν λοιπόν για δύο ακολουθίες ( ν ) και ( ν ) µε ν Α, ν Α για κάθε ν Ν και lim ν =, lim ν = ισχύει lim ( ν ) lim ( ν ), τότε η δεν έχει όριο στο. Σελ.

22 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Με τη βοήθεια της παραπάνω πρότασης µπορούµε να αποδείξουµε εύκολα ότι δεν υπάρχει το lim ηµ. * Πράγµατι, πεδίο ορισµού της () = ηµ είναι το A=R. Aν θεωρήσουµε τις ακολουθίες ( ν) µε ν = και ( ν) µε ν = νπ π νπ + * τότε ν Α και ν Α για κάθε ν N. Οι αντίστοιχες ακολουθίες τιµών της συνάρτησης είναι π ( ν ) = ηµ(νπ) = και ( ν ) = ηµ(νπ + ) = Εποµένως δεν υπάρχει το lim ηµ. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχουν και τα όρια των άλλων συναρτήσεων. Παρατήρηση Το ότι δεν υπάρχουν τα παραπάνω όρια δεν αποκλείει να υπάρχουν όρια συναρτήσεων που περιέχουν τις παραπάνω συναρτήσεις. Έτσι, κάποια γνωστά όρια είναι τα α lim(ηµ ) =, lim(συν ) = και γενικότερα lim( ηµ ) = και α lim( συν ) = όπου α >. Σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση, δεν µπορούµε να γράψουµε lim(ηµ ) = lim lim ηµ = lim ηµ =, αφού το lim(ηµ ) δεν υπάρχει. Η απόδειξη του παραπάνω γίνεται µε το κριτήριο της παρεµβολής, γνωστό αλλιώς ως θεώρηµα Sandwich. Ισχύει: ηµ = ηµ ηµ και επειδή lim( ) = και lim = προκύπτει ότι lim(ηµ ) = Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύονται και οι άλλες ιδιότητες. Με το ίδιο κριτήριο της παρεµβολής αποδεικνύονται και οι επόµενες ιδιότητες ηµ συν lim =, lim = και γενικότερα ± ± ηµ συν * lim =, lim = όπου ν Ν ± ν ν ± 5) Ένα πολύ χρήσιµο θεώρηµα που µπορεί να αποδεικνύει πιο γρήγορα τις προηγούµενες προτάσεις είναι το παρακάτω Σελ.

23 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ Αν lim () = και η συνάρτηση g είναι φραγµένη κοντά στο, δηλαδή υπάρχει Μ > τέτοιος ώστε g() M κοντά στο, τότε lim[ () g()] = Πράγµατι, ().g() = (). g() ().M -M () ().g() M () και επειδή lim (-M () ) = lim[ () g()] = και lim (M () ) = Η ίδια πρόταση ισχύει και όταν + ή Έτσι π.χ επειδή + συµπεραίνουµε ότι είναι και lim = και η συνάρτηση ηµ είναι φραγµένη κοντά στο + (δηλαδή σε διάστηµα της µορφής (α, + ) ), θα είναι: ηµ lim ( ) = lim ( ηµ) = + + ηµ συν Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι lim ( ) = και lim ( ) = ± ηµ συν * και γενικότερα lim ( ) = και lim ( ) =, όπου ν Ν ± ν ν ± Όµοια, επειδή lim = και συν3 για κάθε R, θα είναι και ± ± lim ( συν3) = 6) Σωστή χρήση των ιδιοτήτων των ορίων Συνηθισµένο λάθος είναι να εφαρµόζονται οι ιδιότητες των ορίων αρχικά µόνο σε ένα τµήµα της συνάρτησης και κατόπιν στο υπόλοιπο τµήµα της συνάρτησης. Κάτι τέτοιο δεν είναι σωστό όπως φαίνεται στο παρακάτω Παράδειγµα ( ) Είναι: lim = lim = lim = (σωστή εφαρµογή των ιδιοτήτων) Αν εφαρµόσουµε τις ιδιότητες των ορίων µόνο στον όρο του αριθµητή, δηλ. πάρουµε αρχικά lim = και µετά εφαρµόσουµε τις ιδιότητες στο υπόλοιπο τµήµα της συνάρτησης θα έχουµε διαδοχικά: lim = lim = Αν τώρα πάρουµε το όριο µόνο στον όρο του αριθµητή, δηλαδή πάρουµε lim = θα έχουµε: ( )( + ) lim = lim = lim = lim( + ) = Σελ. 3

24 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ ) Το κριτήριο της παρεµβολής για πεπερασµένα όρια ισχύει και για µη πεπερασµένα όρια, δηλαδή: Αν g() () h() κοντά στο L και lim g() = lim h() = + τότε θα είναι και L + L lim() = + L Αντίστοιχα, αν g() () h() κοντά στο L και lim g() = lim h() = τότε θα L + L είναι και lim() = L Το κριτήριο αυτό µπορεί όµως να πάρει µια απλούστερη µορφή, δηλαδή ισχύει η παρακάτω Πρόταση Αν () g() κοντά στο L και lim g() = + τότε θα είναι και lim() = + L L Αντίστοιχα, Αν () g() κοντά στο L και lim g() = τότε θα είναι και lim() = L L Πράγµατι, αν () g() κοντά στο L και lim g() = + θα είναι g() > κοντά L στο L, άρα και () > κοντά στο L. Εποµένως () g() < () g() και επειδή lim =, θα είναι και L g() lim = και επειδή () > κοντά στο L, θα είναι lim () = + L () L Για την απόδειξη της ης παρατηρούµε ότι () g() -() -g() και επειδή lim( g()) = + θα είναι και lim( ()) = + άρα lim () = L L L ίνουµε µερικά παραδείγµατα που στηρίζονται στις παραπάνω προτάσεις. α) Επειδή: lim ( + + 3ηµ 3 και + 3ηµ) = + Στο παράδειγµα αυτό, το lim ηµ + lim ( 3) + = +, θα είναι και δεν υπάρχει, όµως υπάρχει το lim ( + + 3ηµ) β) Για τη συνάρτηση ηµ+ () = 3+ συν+ έχουµε: ηµ + () 3 = + συν + () Σελ. 4

25 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ Επειδή τώρα: συν + συν+ δηλαδή η συνάρτηση ηµ ηµ lim ( + ) =, θα είναι: + lim = συν + (γινόµενο µηδενικής επί φραγµένης), άρα ηµ + lim 3 + = + (3+ ) = + συν + + συν+ + + είναι φραγµένη στο R, ηµ lim ( + ) = συν + ηµ+ Στο παράδειγµα αυτό, µπορεί να αποδειχθεί ότι το lim δεν υπάρχει, όµως + συν+ υπάρχει το όριο της στο + γ) + ηµ lim + συν3 + + = + + = lim + ηµ + συν3 + + ( ) ( ) = lim + ηµ + συν3 + + = Εδώ δεν µπορούµε να κάνουµε χρήση του θεωρήµατος µε τους µεγιστοβάθµιους όρους, επειδή δεν ορίστηκε βαθµός για το ηµ και η είναι ρητή συνάρτηση. 8) Μια πολύ χρήσιµη πρόταση που δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, γίνεται όµως πολύ συχνά χρήση της, είναι η παρακάτω: Πρόταση () Αν lim L g() = l R και lim g() = τότε θα είναι και lim() = L L Πράγµατι, αν θέσουµε: () h() = () = h()g() lim () = lim[ ()g()] = l = g() L L 9) ύο άλλες επίσης σηµαντικές προτάσεις είναι οι παρακάτω: Αν lim() = + και η g είναι φραγµένη κοντά στο L, τότε L lim[() + g()] = + L Σελ. 5

26 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Αν lim() = και η g είναι φραγµένη κοντά στο L, τότε L lim[ () + g()] = L g() Πράγµατι, είναι: lim = lim g() = L () L () επειδή η g είναι φραγµένη κοντά στο L και lim L () = g() Άρα: lim[ () + g()] = lim ()( + ) = + (+ ) = + L L () Όµοια αποδεικνύεται και η η πρόταση Ειδική περίπτωση έχουµε όταν lim g() =lοπότε η g είναι φραγµένη κοντά στο L. L ) Ανισότητες και όρια Ισχύει η εξής πρόταση: Αν () g() κοντά στο L και υπάρχουν στο R τα όρια των και g, τότε: lim() lim g() L L Εδώ γίνεται µια παρανόηση: Κάποιοι µαθητές θεωρούν ότι η παραπάνω πρόταση αναλύεται στις εξής δύο προτάσεις: Αν () > g() τότε: lim() > lim g() και L L Αν () = g() τότε: lim() = lim g() L L εν είναι όµως έτσι. Είναι φανερό ότι αν () = g() τότε: lim () = lim g() L L Όµως αν () > g() τότε: lim () lim g(), δηλαδή µπορεί να ισχύει το = και όχι L L το >. Το παρακάτω παράδειγµα δείχνει την αλήθεια των παραπάνω. Για τις συναρτήσεις () =, R και 4 g() =, R ισχύει: 4 () - g() = - = ( - ) = δηλαδή κοντά στο. Όµως lim () = = lim g() ( - )( + ) < για κάθε (,) (,) Σελ. 6

27 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ) Η συνέχεια µιας συνάρτησης : A R ορίστηκε στο σχολικό βιβλίο ως εξής: Η λέγεται συνεχής στο σηµείο A αν lim () = ( ) Η λέγεται συνεχής στο ανοιχτό διάστηµα (α,β), αν η είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του (α,β) Η λέγεται συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α,β], αν η είναι συνεχής στο ανοιχτό διάστηµα (α,β) και επιπλέον lim () = (α) και + α lim () = (β) β Η λέγεται συνεχής διάστηµα [α,β), αν η είναι συνεχής στο ανοιχτό διάστηµα (α,β) και επιπλέον lim () = (α) + α Η λέγεται συνεχής στο διάστηµα (α,β], αν η είναι συνεχής στο ανοιχτό διάστηµα (α,β) και επιπλέον lim () = (β) β Η λέγεται συνεχής, αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του Α. Σύµφωνα µε τους παραπάνω ορισµούς, συνέχεια της δε νοείται σε σύνολο που δεν είναι διάστηµα, π.χ στο (α,β) (β,γ) πράγµα που βλέπουµε συχνά εξαιτίας παλαιότερων ορισµών που δεν ταυτίζονται µε αυτόν του τωρινού σχολικού βιβλίου. Οι ορισµοί όπως δόθηκαν οδηγούν µερικές φορές σε συµπεράσµατα που δεν ακούγονται σωστά, είναι όµως απόλυτα σωστά. Τα παρακάτω σχήµατα επεξηγούν τις περιπτώσεις αυτές. Στο παρακάτω σχήµα, η είναι συνεχής στο [α,β], όµως δεν είναι συνεχής ούτε στο α, ούτε στο β. Στο σχήµα, η είναι συνεχής στα διαστήµατα όµως συνεχής στο διάστηµα = = [α, γ] = [α,β] και = (β, γ], δεν είναι Σελ. 7

28 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 ) Eπέκταση του Θ. Bolzano Συχνά το θ. του Bolzano εµφανίζεται µε την εξής µορφή: Η είναι συνεχής στο [α,β] και (α) (β) Στην περίπτωση αυτή ισχύει ότι υπάρχει ξ [α,β] µε (ξ) = Πράγµατι, αν (α) (β) < τότε υπάρχει ξ (α,β) µε (ξ) = αν (α) (β) = τότε (α) = ή (β) = Σε κάθε περίπτωση υπάρχει ξ [α,β] µε (ξ) = 3) Μια διαφορετική µορφή του θ. του Bolzano Αν η είναι συνεχής στο (α,β) και µε (ξ) = lim () lim () < τότε υπάρχει ξ (α,β) + α β Πράγµατι, έστω lim () < και lim () > Επειδή + α Επίσης, επειδή + α β lim () < υπάρχει διάστηµα (α, γ) µε () < για κάθε (α, γ) lim () > υπάρχει διάστηµα (δ,β) µε () > για κάθε (δ,β) β Αν λοιπόν επιλέξουµε (α, γ) µε ( ) < και (δ,β) µε ( ) > και <, τότε η είναι συνεχής στο [, ] ( ) ( ) < σύµφωνα εποµένως µε το θ. του Bolzano, υπάρχει ξ (, ) άρα και ξ (α,β) µε (ξ) = 4) Το θ. Bolzano εξασφαλίζει µε κάποιες προϋποθέσεις ότι υπάρχει ξ (α,β) µε (ξ) =. Σελ. 8

29 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ Ένα συνηθισµένο λάθος είναι να θεωρούµε ότι όταν δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος, δεν υπάρχει ξ (α,β) µε (ξ) =. Όταν δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις, µπορεί να υπάρχουν σηµεία που µηδενίζουν την όπως δείχνουµε στα παρακάτω σχήµατα. Στο σχ. η είναι συνεχής στο [α,β] και (α) (β) >, όµως υπάρχουν δύο σηµεία ξ και ξ που µηδενίζουν την. Στο σχ. δεν ισχύει καµία προϋπόθεση του θεωρήµατος, δηλαδή η δεν είναι συνεχής στο σηµείο [α,β] και (α) (β) >. Πάλι όµως υπάρχει ένα σηµείο ξ (α,β) µε (ξ) = 5) ύο χρήσιµα θεωρήµατα σχετικά µε τη συνέχεια που δεν περιέχονται στο σχολικό βιβλίο, πολλές φορές όµως απασχόλησαν µαθητές και συναδέλφους είναι τα εξής: α) Αν η : A R είναι συνεχής και αντιστρέψιµη, τότε η (A). είναι συνεχής στο β) Αν η : A R είναι συνεχής και, τότε η είναι γν. µονότονη. Η πρόταση (α) χρειάστηκε σε θέµα των Πανελλαδικών εξετάσεων του 3 στο οποίο ζητούνταν εµβαδόν µεταξύ της c και κάποιων άλλων γραµµών. Για τον υπολογισµό του αντίστοιχου ορισµένου ολοκληρώµατος, έπρεπε οι υποψήφιοι να γνωρίζουν ότι η είναι συνεχής. Αυτό βέβαια δεν τους εµπόδισε να το θεωρήσουν έτσι και να κάνουν σωστή λύση. Το αντίστροφο του (β) είναι γνωστό µε την εξής µορφή: Αν η είναι γν. µονότονη στο διάστηµα, τότε η είναι. Αν και η πρόταση αυτή είναι πολύ χρήσιµη και η απόδειξή της προφανής, δεν περιέχεται ως πρόταση στο σχολικό βιβλίο και πρέπει η χρήση της να συνοδεύεται από την απόδειξή της. Σελ. 9

30 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Η προϋπόθεση ότι η είναι δεν αρκεί από µόνη της για να είναι η γν. µονότονη. Αν όµως είναι και συνεχής, οι δύο προϋποθέσεις αρκούν για να είναι η γν. µονότονη. Αποδεικνύουµε την πρόταση (β) που είναι περισσότερο ενδιαφέρουσα. Έστω ότι η δεν είναι γν. µονότονη. Τότε υπάρχουν,, 3 µε < < 3 και ( ) < ( ) και ( ) > ( 3) ή ( ) > ( ) και ( ) < ( 3) (Σε διαφορετική περίπτωση, αν δηλαδή για κάθε τριάδα,, 3 µε < < 3 ίσχυε ( ) < ( ) < ( 3) ή ( ) > ( ) > ( 3), η θα ήταν γν. µονότονη). Χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουµε ότι ( ) < ( ) και ( ) > ( 3) Χωρίς βλάβη της γενικότητας πάλι, έστω ( ) < ( 3) Αν επιλέξουµε ένα σηµείο η του διαστήµατος ( ( 3), ( )) θα είναι και η ( ( ), ( )) και επειδή η είναι συνεχής, θα υπάρχουν σηµεία ξ (, ) και ξ (, 3) µε (ξ ) = (ξ ) = η και ξ ξ, πράγµα άτοπο, διότι η είναι Εποµένως η είναι γν. µονότονη. Σελ. 3

31 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Στη µελέτη των παραγώγων όταν θα χρησιµοποιούµε το σύµβολο σε συνδυασµό µε το διάστηµα = {α,β} (βλέπε για το σύµβολο αυτό στη µονοτονία συναρτήσεων σ αυτό το άρθρο), θα εννοούµε ότι το είναι το εσωτερικό του διαστήµατος που ορίζεται ως το ανοιχτό διάστηµα µε τα ίδια άκρα µε το, δηλαδή αν = [α,β] ή = (α,β) ή = [α,β) ή = (α,β] τότε = (α,β) αν = (,α] ή = (,α) τότε = (,α) αν = [α, + ) ή = (α, + ) τότε = (α, + ) αν = (, + ) =R τότε =R Πεδίο ορισµού της Το πεδίο ορισµού της δεν µπορεί να βρεθεί από τον τύπο της. Αντίστοιχα µε τη σύνθεση δύο συναρτήσεων, για να ορίζεται η δεν αρκεί να ορίζεται ο τύπος της. Για να ανήκει ένα σηµείο στο πεδίο ορισµού της πρέπει α) Να ορίζεται η στο () ( ) β) Να υπάρχει το lim και να είναι πραγµατικός αριθµός. Είναι φανερό ότι στα µεµονωµένα σηµεία του πεδίου ορισµού της δεν έχει νόηµα η () ( ) παράγωγος, αφού η παράγωγος της στο είναι το lim και εποµένως για να υπάρχει αυτό, πρέπει η να ορίζεται σε διάστηµα της µορφής (α, ] ή [,β). Έτσι π.χ ) Για τη συνάρτηση :A R µε A = (,5) {6} µε () = είναι () = για κάθε (,5), ενώ δεν ορίζεται το (6) αφού το 6 είναι µεµονωµένο σηµείο του πεδίου ορισµού της, δηλαδή στο σύνολο (6, 6) (6, 6+ ) = (5, 6) (6, 7) δεν υπάρχει σηµείο του πεδίου ορισµού της. Σελ. 3

32 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Έτσι πεδίο ορισµού της είναι το (,5) ) Η συνάρτηση () = ln έχει πεδίο ορισµού το A = (, + ) και ισχύει () = για κάθε A. Ο τύπος ορίζεται και για <, όµως οι τιµές αυτές δεν ανήκουν στο πεδίο ορισµού της. Το πεδίο ορισµού της είναι το A = (, + ) Οι περισσότερες γνωστές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες στα πεδία ορισµού τους. Για την ύλη του σχολικού βιβλίου, σχεδόν όλες οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες. Εξαίρεση αποτελούν οι συναρτήσεις που ορίζονται µε περισσότερους του ενός τύπους οι οποίες στα σηµεία αλλαγής του τύπου τους µπορεί να µην είναι παραγωγίσιµες. Στην κατηγορία αυτή θα εντάξουµε και τις συναρτήσεις που περιέχουν απόλυτες τιµές. Είναι γνωστό π.χ ότι η () =, R δεν είναι παραγωγίσιµη στο. 3) Ένα διαφορετικό, χαρακτηριστικό όµως παράδειγµα είναι η συνάρτηση : [,+ ) R µε () = Η συνάρτηση αυτή είναι παραγωγίσιµη στο A = (, + ), δεν είναι όµως παραγωγίσιµη στο. () () Πράγµατι, lim = lim = lim = + Πριν πούµε τι ισχύει γενικότερα, είναι αναγκαίο να δώσουµε το πεδίο ορισµού της α συνάρτησης () = για τις διάφορες τιµές του α. Το πεδίο ορισµού Α της είναι το εξής: Αν α Z * αν α N τότε: Α=R * αν α τότε: Α=R Αν α Z αν α > τότε Α = [, + ) αν α < τότε Α = (, + ) Για την παραγωγισιµότητα τώρα της () α = ισχύουν τα εξής: α Σε όλες τις περιπτώσεις η () = είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της Α, εκτός από την περίπτωση < α< οπότε Α = [, + ). Στην περίπτωση αυτή η είναι παραγωγίσιµη στο Α = (, + ), αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο. Πράγµατι, στην περίπτωση αυτή είναι: Σελ. 3

33 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ α () () lim = lim = lim = + α Ειδική περίπτωση είναι η () = και γενικότερα η () ν =, ν ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ Είναι γνωστό ότι αν η : A R είναι παραγωγίσιµη στο και η g : B R είναι παραγωγίσιµη στο ( ), τότε η σύνθεση g είναι παραγωγίσιµη στο µε (g ) ( ) = g ( ( )) ( ) Τι γίνεται όµως αν η δεν είναι παραγωγίσιµη στο ή η g δεν είναι παραγωγίσιµη στο ( ) ; Η σύνθεση g µπορεί να είναι παραγωγίσιµη στο και αν ακόµη δεν ισχύει καµία από τις παραπάνω προϋποθέσεις. Μπορεί φυσικά και να µην είναι. ίνουµε τέσσερα παραδείγµατα στα οποία καταφαίνεται η αλήθεια των παραπάνω. Παράδειγµα ο όπου η δεν είναι παραγωγίσιµη στο, η g είναι παραγωγίσιµη στο ( ) και η σύνθεση g είναι παραγωγίσιµη στο. Η συνάρτηση () = έχει πεδίο ορισµού το Α = [, + ) και όπως έχουµε αποδείξει δεν είναι παραγωγίσιµη στο. Η συνάρτηση άρα και στο () =. g() = έχει πεδίο ορισµού το B=R και είναι παραγωγίσιµη στο R, Η σύνθετη συνάρτηση g έχει πεδίο ορισµού το Γ = [, + ) και είναι ( ) (g )() = = για κάθε Γ. Η g είναι παραγωγίσιµη σε ολόκληρο το Γ, δηλαδή είναι παραγωγίσιµη και στο. Παράδειγµα ο όπου η δεν είναι παραγωγίσιµη στο, η g δεν είναι παραγωγίσιµη στο ( ) και η σύνθεση g είναι παραγωγίσιµη στο. Η συνάρτηση () = έχει πεδίο ορισµού το Α=R και δεν είναι παραγωγίσιµη στο., αν < Η συνάρτηση g() = έχει πεδίο ορισµού το R και δεν είναι +, αν παραγωγίσιµη στο () =, αφού δεν είναι συνεχής στο. Σελ. 33

34 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Η σύνθεσή τους g έχει πεδίο ορισµού το Γ =R και τύπο: (g )() = + = + για κάθε R, εποµένως είναι παραγωγίσιµη στο R, άρα και στο. Παράδειγµα 3 ο όπου η είναι παραγωγίσιµη στο, η g δεν είναι παραγωγίσιµη στο ( ) και η σύνθεση g δεν είναι παραγωγίσιµη στο. Η συνάρτηση h() ( ) 3 = = 3 [( ) ] Είναι σύνθεση των συναρτήσεων g() για κάθε R. 3 = και () = (-), δηλαδή h() = g(()) Η παραγωγίζεται στο R, άρα και στο, η g όµως δεν παραγωγίζεται στο () =. 3 Για τη σύνθεση h() = g( ()) = ( ) δεν προκύπτει άµεσα συµπέρασµα για την παραγωγισιµότητά της στο. Το αν η h είναι ή όχι παραγωγίσιµη στο πρέπει να εξεταστεί µε τη βοήθεια του ορισµού. 3 h() h() ( ) Επειδή: lim = lim + + = lim = +, εποµένως + 3 η h δεν είναι παραγωγίσιµη στο. Παράδειγµα 4 ο όπου η είναι παραγωγίσιµη στο, η g δεν είναι παραγωγίσιµη στο ( ) και η σύνθεση g είναι παραγωγίσιµη στο. Αντίθετα µε το 3 ο παράδειγµα, η συνάρτηση : R R µε g :[, + ) R µε h() ( ) 4 () = (-) που είναι παραγωγίσιµη στο και g() 3 4 = είναι πάλι σύνθεση των =. 3 = που δεν είναι παραγωγίσιµη στο () Η h είναι παραγωγίσιµη στο () = αφού: h() h() lim = + h() h() lim = 3 ( ) lim + 3 ( ) lim 4 = = lim = lim = 4 lim( 3 ) = 3 εν µπορούµε να γράψουµε R, ενώ η () ( ) 3 = καθόσον η παράσταση ( ) 3 ορίζεται µόνο στο διάστηµα [, + ) 3 ( ) ορίζεται για κάθε Σελ. 34

35 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ Άρα h() h() lim = και η h είναι παραγωγίσιµη στο. ΠΡΟΣΟΧΗ: εν µπορούµε όµως να γράψουµε h () = g (()) () αφού δεν υπάρχει το g (()) = g () Παρατήρηση Μπορούµε να θεωρήσουµε την h ως σύνθεση των : R R µε () = - που είναι παραγωγίσιµη στο και 3 4 g : R R µε g() = που είναι παραγωγίσιµη στο () = Άρα η h= g είναι παραγωγίσιµη στο ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Παραγώγιση εξίσωσης Λάθη που συναντούµε στις παραγώγους είναι ) Παραγώγιση εξίσωσης. () ( ) Η παράγωγος της στο ως όριο της συνάρτησης λ() = όταν για να ορίζεται πρέπει η λ(), άρα και η () να ορίζεται και στο και κοντά στο, δηλαδή σε ένα τουλάχιστον διάστηµα της µορφής (α, ) ή (,β). Κατά τη µελέτη εξισώσεων, γίνεται το σοβαρό λάθος να παραγωγίζονται τα δύο µέλη. Π.χ δίνονται κάποιες συναρτήσεις και g (µπορεί να δοθούν οι τύποι τους ή κάποιες ιδιότητές τους) και ζητείται να αποδείξουµε ότι η εξίσωση () = g() έχει µια ρίζα στο διάστηµα (α,β). Στην περίπτωση αυτή, η σχέση () = g() αληθεύει για κάποιες µόνο τιµές του που δεν αποτελούν διάστηµα. Έτσι η παραγώγιση () = g () δεν έχει νόηµα. ) Παραγώγιση συνάρτησης µε πεδίο ορισµού το N Παράδειγµα (άσκηση σχολικού βιβλίου) Ένα πρακτορείο ταξιδιών διοργανώνει µια εκδροµή. Αν στην εκδροµή συµµετάσχουν άτοµα, καθένα θα πληρώσει. Για κάθε επιπλέον άτοµο, η τιµή µειώνεται κατά 5. Πόσα άτοµα επιπλέον πρέπει να συµµετάσχουν ώστε το πρακτορείο να έχει τα περισσότερα έσοδα; Λύση Σελ. 35

36 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Αν είναι ο αριθµός των επιπλέον ατόµων, θα συµµετάσχουν + άτοµα και καθένα θα πληρώσει (-5). Εποµένως τα συνολικά έσοδα του πρακτορείου θα είναι E() = ( + )( - 5) = Πρέπει να βρούµε το µέγιστο της συνάρτησης E: N R µε E() = Εδώ πρέπει να τονίσουµε ότι η παραγώγιση της E() δεν έχει νόηµα, αφού η συνάρτηση Ε ορίζεται µόνο στο N. Το πρόβληµα µπορεί να ξεπεραστεί αν θεωρήσουµε τη συνάρτηση θ : R R µε θ() = (επέκταση της Ε στο R ) Είναι τώρα: θ () = + 5 Ο αντίστοιχος πίνακας µεταβολών της θ είναι ο παρακάτω: Εποµένως η συνάρτηση θ παρουσιάζει ολικό µέγιστο για = 5 Επειδή 5 N, συµπεραίνουµε ότι και η Ε παρουσιάζει ολικό µέγιστο για = 5 Τι θα συνέβαινε όµως αν η θ() παρουσίαζε µέγιστο σε κάποιο σηµείο N ; Αλλάζουµε λίγο τα δεδοµένα στο πρόβληµα Αντί η "τιµή µειώνεται κατά 5 " τώρα έχουµε "η τιµή µειώνεται κατά 8 " Η αντίστοιχη συνάρτηση θ είναι τώρα θ() = , R Ο αντίστοιχος πίνακας µεταβολών της θ είναι τώρα ο εξής: Σελ. 36

37 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ 5 Η θ παρουσιάζει ολικό µέγιστο στο = N εν µπορούµε λοιπόν να πούµε ότι η Ε παρουσιάζει ολικό µέγιστο στο. 5 5 Επειδή < < 3 και η θ είναι γν. αύξουσα στο (, ], το µέγιστο της θ για N στο διάστηµα αυτό θα συµβαίνει όταν =. 5 Αντίστοιχα, στο διάστηµα [, + ) το µέγιστο της Ε θα συµβαίνει όταν 3 =. Εποµένως η µέγιστη τιµή της Ε στο N θα συµβαίνει όταν = ή = 3 Επειδή τώρα: E() = ( + )( - 8.) = 48 και E(3) = ( + 3)( - 8.3) = 48 συµπεραίνουµε ότι το µέγιστο της Ε συµβαίνει όταν = και όταν = 3 (Το ότι E() = E(3) συµβαίνει επειδή τριώνυµο () = α + β + γ παίρνει την ίδια β τιµή για τιµές συµµετρικές ως προς την τιµή = ). α Παραγώγιση ανισοτήτων Οι ανισότητες δεν µπορούν να παραγωγιστούν. Αν δηλαδή για τις συναρτήσεις και g ισχύει π.χ η σχέση () > g(), δεν προκύπτει καµία διάταξη για τις () και g () Στο διπλανό σχήµα, είναι () > g() για κάθε [α,β] = Επίσης g () = για κάθε (αφού η g είναι σταθερή), ενώ για την αλλού ισχύει () >, αλλού () < και αλλού () = Εξίσωση εφαπτοµένης καµπύλης Ο κλασικός ορισµός της εφαπτοµένης µιας καµπύλης ως η οριακή θέση µιας τέµνουσας που στρέφεται γύρω από το ένα σηµείο τοµής της µε την καµπύλη ωσότου και το δεύτερο σηµείο τοµής της συµπέσει µε το πρώτο, κράτησε αρκετούς αιώνες. Σελ. 37

38 ΗΜΕΡΙ Α ΕΜΕ ΗΜΑΘΙΑΣ 8--9 Με τη βοήθεια του ορισµού αυτού αποδεικνύεται ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης µιας καµπύλης που είναι γραφική παράσταση συνάρτησης, στο σηµείο της στο οποίο είναι παραγωγίσιµη, είναι: y - ( ) = ( )( - ) Ο παραπάνω ορισµός παρουσίαζε ορισµένες ατέλειες, ασάφειες και αδυναµίες. Π.χ δεν αν Q µπορούσε να εφαρµοστεί στη συνάρτηση () = αν Q Έτσι ο παραπάνω ορισµός αντικαταστάθηκε από έναν πιο σύγχρονο και γενικότερο ορισµό που είναι ο εξής: Έστω συνάρτηση : A R η οποία είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο A. Η ευθεία µε εξίσωση y - ( ) = ( )( - ) ονοµάζεται εφαπτοµένη της c στο σηµείο. Ο ορισµός αυτός δε δίνει καµιά γεωµετρική εικόνα για το ποια είναι η θέση της σχετικά µε την εφαπτοµένη της, αλλά αυτό δε µας ενδιαφέρει εδώ. c Στην περίπτωση που η δεν είναι παραγωγίσιµη στο, επειδή κάποιο από τα () ( ) πλευρικά όρια της λ() = είναι το + ή το, µπορεί πάλι να οριστεί εφαπτοµένη της c, εδώ όµως δηµιουργήθηκε ένα πρόβληµα. Για κάποιους συγγραφείς Ορισµός Αν lim λ() = + ή, η ευθεία = λέγεται εφαπτοµένη της c στο σηµείο. Για κάποιους άλλους (σ αυτούς συµπεριλαµβάνονται και οι συγγραφείς του σχολικού βιβλίου): Ορισµός Αν lim λ() = + ή και + limλ() = + ή (4 δυνατοί συνδυασµοί), η ευθεία = λέγεται εφαπτοµένη της c στο. α) Για τη συνάρτηση αν () = είναι: αν < Σελ. 38

39 Νικ. Ιωσηφίδης: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΣΗΜΕΙΑ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ Ι ΙΑΙΤΕΡΗ ΠΡΟΣΟΧΗ () () lim = + + () () lim = () lim = lim + () lim = lim = lim + = lim = + και = lim = Σύµφωνα µε τον ο ορισµό, η c δε δέχεται εφαπτοµένη στο =, ενώ σύµφωνα µε τον ο ορισµό, η c δέχεται κατακόρυφη εφαπτοµένη την = δηλαδή τον άξονα y y. Η γραφική παράσταση της αποδίδεται από το παραπάνω σχήµα. Το σηµείο (, ()) = (, ) είναι γωνιακό σηµείο της c. β) Για τη συνάρτηση αν () = αν < Μπορούµε όµοια να βρούµε ότι: lim λ() = lim λ() = +, άρα + η c δέχεται, σύµφωνα και µε τους δύο ορισµούς, στο σηµείο κατακόρυφη εφαπτοµένη την =, δηλαδή τον άξονα y y. Η γραφική παράσταση της c αποδίδεται από το παραπάνω σχήµα Η c δεν παρουσιάζει γωνιακά σηµεία. Αυτή είναι και η διαφορά των δύο ορισµών. Ο ος ορισµός ορίζει κατακόρυφη εφαπτοµένη µόνο σε µη γωνιακά σηµεία, ενώ ο ος ορισµός δέχεται εφαπτοµένη και σε γωνιακά σηµεία. Σελ. 39