a11 a A V = v 1 = a 11 w 1 + a 12 w 2 + a 13 w 3 + a 14 w 4 v 2 = a 21 w 1 + a 22 w 2 + a 23 w 3 + a 24 w 4 (A 12, A 13, A 14, A 23, A 24, A 34 ) A 6.

Transcript

1 Το σχήμα του Hilbert ΚΩΣΤΑΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ 12 Νοεμβρίου 2014 Σημείωση Οι σημειώσεις αυτές συντάχθηκαν για να συνοδεύσουν τη δεύτερη διάλεξη του γράφοντος στο Σεμινάριο Άλγεβρας, Θεωρίας Αριθμών και Μαθηματικής Λογικής του Τμήματος Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης με τίτλο Το Σχήμα του Hilbert. Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υποδείξουν στο κοινό της διάλεξης τα βασικά σημεία στα οποία θα πρέπει να εστιάσει. Σε καμμία περιπτωση δε γίνεται ενδελεχής και μαθηματικά ακριβής παρουσίαση των εννοιών οι οποίες αναφέρονται στο κείμενο. Ο γράφων θέλει να ευχαριστήσει ιδιαίτερα την Καθηγήτρια Χαρά Χαραλάμπους για τις συμβουλές της και τη συμβολή της στη σύνταξη, τη διόρθωση και την επεξεργασία των σημειώσεων αυτών. 1 Το σχήμα του Hilbert ως σύνολο Οπως είδαμε στην πρώτη διάλεξη, ένας τρόπος να αντιληφθεί κανείς τις αλγεβρικές πολλαπλότητες είναι ως τα γεωμετρικά αντικείμενα που αντιστοιχούν στους δακτυλίους πηλίκο S/I, όπου S = K[x 0, x 1,..., x n ] είναι ο δακτύλιος πολυωνύμων σε n + 1 μεταβλητές πάνω από ένα σώμα K. Αποδεικνύεται ότι κάθε τέτοιος δακτύλιος πηλίκο S/I είναι μία πεπερασμένα παραγόμενη K άλγεβρα χωρίς μηδενοδύναμα στοιχεία, το οποίο σημαίνει ότι ο μόνος τρόπος για να ισχύει s n I είναι εάν s I. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι κάθε πεπερασμένα παραγόμενη K άλγεβρα χωρίς μηδενοδύναμα στοιχεία μπορεί να γραφεί ως πηλίκο του S προς κάποιο ιδεώδες I. Εάν επεκτείνουμε την κλάση των δακτυλίων συντεταγμένων ώστε να περιλαμβάνουν οποιοδήποτε μεταθετικό δακτύλιο με μονάδα, τότε τα αντίστοιχα γεωμετρικά αντικείμενα 1

2 που γενικεύουν τις αλγεβρικές πολλαπλότητες ονομάζονται σχήματα. Η θεωρία των σχημάτων περιλαμβάνει πολλές τεχνικές λεπτομέρειες οι ο- ποίες ξεφεύγουν από το σκοπό των σημειώσεων αυτών. Για το λόγο αυτό, θα περιοριστούμε στο να αντιλαμβανόμαστε τα σχήματα ως τα γεωμετρικά αντικείμενα που έχουν ως δακτύλιο συντεταγμένων έναν οποιονδήποτε μεταθετικό δακτύλιο με μονάδα και όποτε υπάρχει σύγχυση συμβουλεύουμε τον αναγνώστη να αντιμετωπίζει τα σχήματα απλώς σαν αλγεβρικές πολλαπλότητες. Η απλοποίηση αυτή ενώ σε γενικές γραμμές δεν είναι μαθηματικά ορθή, δεν επηρεάζει ιδιαίτερα την ανάλυση και κατανόηση των εννοιών της παρούσας σειράς διαλέξεων. Η μόνη έννοια που θα χρειαστούμε κατά τη μετάβαση από τις αλγεβρικές πολλαπλότητες στα σχήματα είναι αυτή του κορεσμού - αγγλ. saturation - ενός ιδεώδους: δοσμένου ενός I S, ο κορεσμός του στο μέγιστο ιδεώδες m του S ορίζεται ως < I : m >:= I sat = { f S : k N : x k i f I, i {1, 2..., n} }, ενώ το I καλείται κορεσμένο εάν I = I sat. Για ότι ακολουθεί, θα δεχθούμε ότι υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των κορεσμένων ομογενών ιδεωδών του S και των προβολικών σχημάτων. Εστω λοιπόν n ένας φυσικός αριθμός και έστω P ένα πολυώνυμο. Σκοπός μας είναι να κατανοήσουμε το σύνολο ή ισοδύναμα H P,n = {σχήματα X P n : P X = P } H P,n = {κορεσμένα ομογενή ιδεώδη I S : P S/I = P } 2

3 2 Η πολλαπλότητα του Grassmann Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε ότι τα στοιχεία του συνόλου H P,n είναι ομογενή κορεσμένα ιδεώδη του δακτυλίου πολυωνύμων S = K[x 0, x 1,..., x n ] του οποία έχουν ως πολυώνυμο του Hilbert το P. Στην ενότητα 3, χρησιμοποιώντας τα Θεωρήματα του Gotzmann θα εμβαπτίσουμε το H P,n σε έναν μεγάλο προβολικό χώρο και θα του δώσουμε δομή αλγεβρικής πολλαπλότητας. Υπενθυμίζουμε πως έχουμε ήδη δει ότι: {Ευθείες του A 2 που περνούν από το (0,0)} = { (x, y) y = λx } = P 1. Θα δούμε επίσης ότι είναι δυνατό να δώσουμε δομή αλγεβρικής πολλαπλότητας στο σύνολο G(2, 4), δηλαδή το σύνολο όλων των υποχώρων V διάστασης 2 ενός διανυσματικού χωρου W διάστασης 4, δηλαδή G(2, 4) = {V W dim V = 2}. Εστω V G(2, 4) και {w 1, w 2, w 3, w 4 }, {v 1, v 2 } βάσεις για τους W και V αντίστοιχα. Θεωρούμε τον 2 4 πίνακα ( ) a11 a A V = 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 όπου τα a ij είναι οι συντελεστές-συντεταγμένες: v 1 = a 11 w 1 + a 12 w 2 + a 13 w 3 + a 14 w 4 v 2 = a 21 w 1 + a 22 w 2 + a 23 w 3 + a 24 w 4 Συμβολίζουμε με A ij την 2 2 υποορίζουσα του A V που προκύπτει από τις στήλες i και j και κατασκευάζουμε το διάνυσμα (A 12, A 13, A 14, A 23, A 24, A 34 ) A 6. Εφόσον dim V = 2, υπάρχει τουλάχιστον μία μη μηδενική υποορίζουσα A ij. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι αν επιλέξουμε μία διαφορετική βάση για τον V, θα προκύψει ένα διάνυσμα πολλαπλάσιο του αρχικού ώστε τελικά να έχουμε μία καλά ορισμένη, 1-1 απεικόνιση G(2, 4) P 5, V [A 12 : A 13 : A 14 : A 23 : A 24 : A 34 ]. 3

4 Η απεικόνιση αυτή εμβαπτίζει την G(2, 4) στον P 5 και ονομάζεται εμβάπτιση του Plucker. Μπορεί κανείς να ελέγξει ότι A 12 A 34 A 13 A 24 + A 14 A 23 = 0 ώστε τελικά η εικόνα της G(2, 4) μέσω της εμβάπτισης αυτής να ισούται με V(f) για το πολυώνυμο f(x 0,..., x 5 ) = x 0 x 5 x 1 x 4 + x 2 x 3 K[x 0,..., x 5 ]. Με τον τρόπο αυτο η G(2, 4) λαμβάνει δομή προβολικής αλγεβρικής πολλαπλότητας και ονομάζεται η πολλαπλότητα του Grassmann ή ισοδύναμα Grassmannian. Σημειώνουμε ότι η κατασκευή που παραθέσαμε γενικεύεται και για μεγαλύτερες διαστάσεις. Ετσι, το σύνολο G(d, n) = {V W dim V = d, dim W = n} εμβαπτίζεται στον προβολικό χώρο P (n d) 1 και η εικόνα του ισούται με V(I P ) όπου I P είναι το ιδεώδες του Plucker, ένα ομογενές ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων σε ( n d) 1 μεταβλητές. 4

5 3 Τα Θεωρήματα του Gotzmann Βασικός σκοπός αυτής της ενότητας είναι να δείξουμε πως υπάρχει ένας φυσικός αριθμός m ο οποίος φράσσει τους βαθμούς όλων των γεννητόρων όλων των ιδεωδών που ανήκουν στο H P,n. Θα δούμε ότι ο αριθμός αυτός εξαρτάται μόνον από το πολυώνυμο του Hilbert, οπότε αποτελεί ανναλοίωτη του συνόλου H P,n. Αποκαλείται αριθμός του Gotzmann του πολυωνύμου P και είναι στενά συνδεδεμένος με την κανονικότητα των Castelnuovo-Mumford, ή απλώς κανονικότητα του βαθμωτού δακτυλίου S/I. Ο κλασσικός ορισμός της κανονικότητας δόθηκε από το Βρετανό μαθηματικό David Mumford το 1966, συνεχίζοντας το έργο του Ιταλού Μαθηματικού των αρχών του 20ού αιώνα Guido Castelnuovo και βασίζεται πάνω στη θεωρία της Τοπικής Συνομολογιας, μία θεωρία που δε θα αναπτυχθεί στα πλαίσια αυτής της διάλεξης. Το 1984 οι Eisenbud και Goto έδωσαν ένα χαρακτηρισμό με όρους των ελεύθερων επιλύσεων, τον οποίο θα παρουσιάσουμε σύντομα. Εστω S = K[x 0, x 1,..., x n ]. Ενας ομομορφισμός φ : i A i i B i ελέυθερων S modules καλείται ομογενής βαθμού 0 εάν για κάθε t N ισχύει φ(a t ) B t. Για ένα τυχόν σώμα K και για κάθε d N θα συμβολίζουμε με S( d) το ομογενές S module K[x 0, x 1,..., x n ] του οποίου η διαβάθμιση έχει μετατοπισθεί κατά d, υπό την έννοια ότι S( d) t := S t d για κάθε t N. Εστω I ένα ιδεώδες του S και {g 11, g 21,..., g s1 1} ένα σύνολο γεννητόρων του I με d i1 := deg g i1 για 1 i s 1. Ορίζουμε F 1 := s 1 i=1 S( d i1) ώστε ο γεννήτορας του S( d i1 ) να είναι βαθμού d i1 για 1 i s 1. Ετσι, εάν {f 11, f 21,..., f s1 1} είναι ένα σύνολο γεννητόρων του F 1, η απεικόνιση f i1 g i1 ορίζει μοναδικά έναν ομομορφισμό S modules φ 1 : F 1 S ο οποίος ειναι ομογενής βαθμού 0 και έχει εικόνα I. Λαμβάνουμε λοιπόν μία ακριβή ακολουθία όπου q είναι ο φυσικός επιμορφισμός. φ 1 q F 1 S S/I 0 Στη συνέχεια, έστω {g 12, g 22,..., g s2 2} ένα σύνολο γεννητόρων του ι- δεώδους ker φ 1 με d i2 := deg g i2 για 1 i s 2. Οπως πριν, ορίζουμε F 2 := s 2 i=1 S( d i2) ώστε ο γεννήτορας S( d i2 )να είναι βαθμού d i2 για 1 i s 2. Η απεικόνιση f i2 g i2, όπου {f 12, f 22,..., f s2 2} είναι ένα σύνολο γεννητόρων του F 2, ορίζει μοναδικά έναν ομομορφισμό S modules φ 2 : F 2 F 1 ο οποίος ειναι ομογενής βαθμού 0 και έχει εικόνα ker φ 1. Μπο- 5

6 ρούμε λοιπόν να επεκτείνουμε την παραπάνω ακριβή ακολουθία στην φ 2 φ 1 q F 2 F1 S S/I 0. Εάν επαναλάβουμε τη διαδικασία που περιγράψαμε παραπάνω λαμβάνουμε μία μακρά ακριβή ακολουθία R :... φ j+1 s j i=1 S( d ij ) φ j... φ 2 s 1 i=1 S( d i1 ) φ 1 S q S/I 0 η οποία καλείται ελαχιστοτική βαθμωτή ελεύθερη επίλυση του S/I και ειναι μοναδική ως προς αυτομορφισμό. Ο χαρακτηρισμός της κανονικότητας που έδωσαν οι Eisenbud και Goto έχει ως εξής: Ορισμός 1. Εστω I ένα ομογενές ιδεώδες του S και d ij η μετατόπιση της διαβάθμισης που εμφανίζεται στην ελαχιστοτική βαθμωτή ελεύθερη επίλυση του S/I. Η κανονικότητα των Castelnuovo-Mumford του S/I είναι ο αριθμός r =: max ij {d ij j} ενώ θα λέμε ότι το S/I είναι m κανονικό, αν m r. Σημειώνουμε ότι εάν το S/I είναι m κανονικό, ισχύει ότι m d i1 1 για κάθε 1 i s, οπότε το I παράγεται από ομογενή πολυώνυμα βαθμού το πολύ m + 1. Ετσι, εάν μπορεί να βρεθεί κάποιο m για το οποίο το S/I είναι m κανονικό τότε το m αυτό αποτελεί φράγμα για τους βαθμούς των γεννητόρων του I. Η κανονικότητα των Castelnuovo-Mumford είναι το βέλτιστο τέτοιο φράγμα. Το ακόλουθο θεώρημα, γνωστό και ως το Θεώρημα της Κανονικότητας του Gotzmann πληροφορεί ότι ένας τέτοιος αριθμός καθορίζεται από το πολυώνυμο του Hilbert του ιδεώδους και παράλληλα δίνει και έναν τρόπο υπολογισμού του: Θεώρημα 1. Εστω I ένα ομογενές κορεσμένο ιδεώδες του S και P = P S/I. Υπάρχει μία μοναδική γραφή του πολυωνύμου του Hilbert του S/I της μορφής P (t) = m ( ) t + ai i + 1, i=1 a i όπου m N και a 1 a 2... a m 0. 1) κανονικό. Επιπλέον, το S/I είναι (m Ετσι για παράδειγμα, το Q(t) = t 2 δεν είναι πολυώνυμο του Hilbert, αφού μπορεί να δείξει κανείς ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι ακέραιοι a 1, a 2,..., a m. Εάν P είναι πολυώνυμο του Hilbert για κάποιο S/I, όπου το I είναι κορεσμένο ομογενές ιδεώδες του S, ονομάζουμε το m που ορίστηκε στο παραπάνω θεώρημα 6

7 κανονικότητα του Gotzmann του πολυωνύμου P. Επιπλέον, προκύπτει οτι I =< (I m ) : m > και μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι το ιδεώδες που παράγεται από το I m είναι κορεσμένο. Εχουμε λοιπόν ότι τα ιδεώδη I με δοθέν πολυώνυμο του Hilbert P καθορίζονται πλήρως από τα αντίστοιχα ομογενή κομμάτια τους I m, τα οποία θυμίζουμε ότι είναι διανυσματικοί υπόχώροι του διανυσματικού χώρου S m των ομογενών πολυωνύμων βαθμού m και έχουν διάσταση ( ) n + m dim I m = dim S m P (m) = P (m). m Συνάγουμε ότι το σύνολο H P,n παραμετροποιεί τους διανυσματικούς χώρους L S m για τους οποίους ισχύει ότι το ιδεώδες < L > έχει ως πολυώνυμο του Hilbert το P, ή ισοδύναμα H P,n = {L S m : P S/<L> = P } Για τη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε ένα άλλο αποτέλεσμα του Gotzmann, το οποίο καλείται Θεώρημα Επιμονής του Gotzmann και μας πληροφορεί ότι ένα πολυώνυμο του Hilbert καθορίζεται πλήρως στο m και m + 1, όπου m είναι η κανονικότητα του Gotzmann. Η ακριβής διατύπωση είναι η ακόλουθη: Θεώρημα 2. Εστω P ένα πολυώνυμο του Hilbert και έστω I ένα ομογενές ιδεώδες S το οποίο παράγεται σε βαθμό m. Εάν P S/I (m) = P (m) και P S/I (m+ 1) = P (m + 1) τότε P S/I (t) = P (t) για κάθε t m. Η συνθήκη P S/<L> (t) = P (t) που ορίζει το σύνολο H P,n ανάγεται λοιπόν στην απλούστερη συνθήκη P S/<L> (m) = P (m) και P S/<L> (m+1) = P (m+1) και άρα έχουμε H P,n = {L S m : P S/<L> (m) = P (m), P S/<L> (m + 1) = P (m + 1)} Ετσι, τα ιδεώδη που ανήκουν στο H P,n καθορίζονται πλήρως από τα m και m + 1 κομμάτια τους, και άρα το H P,n παραμετροποιεί ζεύγη διανυσματικών χώρων (I m, I m+1 ). Αντίστροφα ξεκινώντας από ένα ζεύγος διανυσματικών χώρων (L, M) με τις κατάλληλες διαστάσεις, αποδεικνύεται ότι το ζεύγος αυτό καθορίζει ένα ιδεώδες του H P,n εάν και μόνον εάν ισχύει η συνθήκη S 1 L M, η οποία επιβάλλεται από τη βαθμωτή δομή του I. Επομένως: H P,n = {(L, M) S m S m+1 : S 1 L M} 7

8 και το H P,n εμβαπτίζεται στο καρτεσιανό γινόμενο δύο πολλαπλοτήτων του Grassmann: πράγματι το H P,n παραμετροποιεί υποχώρους του διανυσματικού χώρου S m που έχουν διάσταση ( ) m+n n και υποχώρους του διανυσματικού χώρου S m+1 που έχουν διάσταση ( ) m+n+1 n. Συμβολίζοντας τις δύο αυτές πολλαπλότητες του Grassmann ως Gr(m) και Gr(m + 1) αντίστοιχα και χρησιμοποιώντας την εμβάπτιση του Plucker παίρνουμε την εμβάπτιση για κατάλληλα r 1, r 2. H P,n Gr(m) Gr(m + 1) P r 1 P r 2 P N Η απεικόνιση P r 1 P r 2 P N ονομάζεται εμβάπτιση του Segre, ορίζεται ως [x 0 : x 1 :... : x r1 ], [y 0 : y 1 :... : y r2 ] [x 0 y 0, x 0 y 1,..., x i y j,..., x r1 y r2 ] και είναι ο φυσικός τρόπος για να δοθεί δομή αλγεβρικής πολλαπλότητας στο καρτεσιανό γινόμενο δύο ή περισσότερων προβολικών χώρων. Τέλος, σημειώνουμε ότι από τα παραπάνω προκύπτει πως N = (r 1 + 1)(r 2 + 1) + 1. Σύμφωνα με όσα είπαμε στην προηγούμενη ενότητα, η εμβάπτιση H P,n P N στέλνει τελικά ένα ιδεώδες τουh P,n στο σημείο του P N με συντεταγμένες γινόμενα υποοριζουσών του πίνακα αλλαγής βάσης του I m και υποοριζουσών του πίνακα αλλαγής βάσης του I m+1. Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη ότι το H P,n είναι σχήμα, μένει να δειχθεί ότι τα προαναφερθέντα σημεία ικανοποιούν κάποιες πολυωνυμικές εξισώσεις. Θα ολοκληρώσουμε τις σημειώσεις αυτές αποφεύγοντας να δώσουμε λεπτομερή επεξήγηση των εξισώσεων αυτών και θα περιοριστούμε στο ότι οι εξισώσεις προκύπτουν με φυσικό τρόπο από τη συνθήκη S 1 L M που αναφέραμε παραπάνω. 4 Ενδεικτική Βιβλιογραφία 1. Winfried Bruns and Jürgen Herzog. Cohen-Macaulay rings, volume 39 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, David Cox, John Little, and Donal O Shea. Ideals, varieties, and algorithms. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 8

9 New York, second edition, An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. 3. David Eisenbud and Shiro Goto. Linear free resolutions and minimal multiplicity. J. Algebra, 88(1):89 133, David Eisenbud and Joe Harris. The geometry of schemes, volume 197 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, David Eisenbud. Commutative algebra, volume 150 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, With a view toward algebraic geometry. 6. Barbara Fantechi, Lothar Göttsche, Luc Illusie, Steven L. Kleiman, Nitin Nitsure, and Angelo Vistoli. Fundamental algebraic geometry, volume 123 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, Grothendieck s FGA explained. 7. A. Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique. I. Le langage des schémas. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (4):228, Alexander Grothendieck. Techniques de construction et théorèmes d existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert. In Séminaire Bourbaki, Vol. 6, pages Exp. No. 221, Soc. Math. France, Paris, Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977.Graduate Texts in Mathematics, No Brendan Hassett. Introduction to algebraic geometry. Cambridge University Press, Cambridge, Anthony Iarrobino and Vassil Kanev. Power sums, Gorenstein algebras, and determinantal loci, volume 1721 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Appendix C by Iarrobino and Steven L. Kleiman. 12. Kostas Karagiannis. The Hilbert Scheme. MSc Thesis, The University of Warwick, Steven L. Kleiman. Geometry on Grassmannians and applications to splitting bundles and smoothing cycles. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (36): ,

10 14. Diane MacLagan. Notes on Hilbert Schemes Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician, volume 5 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, Wolmer V. Vasconcelos. Computational methods in commutative algebra and algebraic geometry, volume 2 of Algorithms and Computation in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, With chapters by David Eisenbud, Daniel R. Grayson, Jürgen Herzog and Michael Stillman. 10