(σχ. 1). Όµως οι δυνάµεις F, - F! µπορούν να παραλειφθούν, διότι δεν επιφέρουν κανένα µηχανικό απο. και - F!

Transcript

1 Γενικότητες Στην Μηχανική του στερεού* σώµατος δεχόµαστε ως αξίωµα την εξής πρόταση: H κατάσταση ηρεµίας ή κίνησης ενός στερεού σώµατος παραµένει αναλλοίωτη, εάν στο σώµα προστεθούν ή αφαιρεθούν δύο δυνάµεις που έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετες φορές και ίδιο µέτρο Χρησιµοποιώντας την παραπάνω πρόταση θα δείξουµε ότι κάθε εξωτερική δύναµη που ενεργεί σε στερεό σώµα µπορεί να ολισθήσει κατά µήκος του φορέα της, ώστε να θεωρηθεί ότι ενεργεί στα διάφορα σηµεία αυτού, χωρίς να µεταβ ληθεί η κινητική κατάσταση του σώµατος. Προς τούτο θεωρούµε ότι µια δύνα µη F ενεργεί στο σηµείο Α στερεού σώµατος και λαµβάνουµε επί του φορέα της ένα άλλο σηµείο Β στο οποίο δεχόµαστε ότι εφαρµόζονται δύο εξωτερικές Σχήµα δυνάµεις F, - F ίσες αντιστοίχως µε F και - F (σχ. ). Όµως οι δυνάµεις F, - F µπορούν να παραλειφθούν, διότι δεν επιφέρουν κανένα µηχανικό απο τέλεσµα αφού έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετες φορές και ίδιο µέτρο και έτσι αποµένει στο σώµα η δύναµή F που ενεργεί στο σηµείο Β του φορέα της F και είναι ίση µε αυτήν. Από όσα αναφέρθηκαν πιο πάνω προκύπτει ως συµπέρασµα ότι σε προβλήµατα θεωρητικών υπολογισµών η δύναµη θεωρείται ολισθαίνον διάνυσµα η δε δράση της εντοπίζεται σε σηµεία του στερεού σώµατος που βρίσκονται πάνω στον φορέα της. Από φυσική άποψη η συγκεν τρωµένη δράση µιας δύναµης σ ένα σηµείο είναι ανέφικτη, διότι στην πράξη κάθε δύναµη είναι κατανεµηµένη σε µικρή ή όχι επιφάνεια * Στην Μηχανική λέγοντας στερεο σώµα εννοούµε ένα µοντέλο σώµατος, του οποίου τα υλικά σηµεία διατηρούνται σε αναλλοίωτες µεταξύ τους αποστάσεις. Έτσι ένα στερεό σώµα θεωρείται απαραµόρφωτο, όταν δέχεται εξωτερικές δυνάµεις από το περιβάλλον του.

2 Ροπή δύναµης περί σηµείο Ας δεχθούµε ότι µια δύναµη F ενεργεί στο σηµείο Α στερεού σώµατος. Ορί ζουµε ως ροπή της F περί µια αρχή Ο και την συµβολίζουµε µε O, το διανυσ µατικό µέγεθος ( r F ), όπου r το διάνυσµα θέσεως του σηµείου Α σε σχέση µε την αρχή Ο, δηλαδή εξ ορισµού ισχύει: ( ) () O = r " F Aπό τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι το διάνυσµα O είναι κάθετο στο επί πεδο που ορίζει το σηµείο Ο και το διάνυσµα F, έχει φορά που ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού*, το δε µέτρο του είναι ίσο µε Frηµφ, όπου φ η γωνία των διανυσµάτων F και r (σχ. ), δηλαδή ισχύει: O = Fr"µ# = Fd () ένω d είναι η απόσταση του Ο από τον φορέα της F. Παρατήρηση η: Aν λάβουµε ένα οποιοδήποτε σηµείο Α του φορέα της F, του οποίου το διάνυσµα θέσεως ως προς το Ο είναι r θα έχουµε: r = r + AA' r = r - AA' οπότε η σχέση () γράφεται: [( ) # F ] = " O = r " - AA' ( ) ( r # F ) - AA'# F ( ) (3) O = r " # F Σχήµα διότι τα διανύσµατα AA', F είναι συγγραµικά, οπότε το εξωτερικό τους γινό µενο είναι µηδενικό. Η (3) εξασφαλίζει ότι µπορούµε να εκφράσουµε την ροπή * Σύµφωνα µε τον κανόνα του δεξιού χεριού προσανατολίζουµε τα τέσσερα δάκτυ λα του χεριού αυτού, ώστε να δείχνουν την φορά περιστροφής περί το Ο που επιβάλλει στο σώµα η δύναµη F και τεντώνουµε τον αντίχειρα. Η φορά που δείχνει ο αντίχειρας είναι η φορά του διανύσµατος o.

3 O µέσω του διανύσµατος θέσεως οποιουδήποτε σηµείου του φορέα της F ως προς το Ο. Παρατήρηση η: Aν F x, F y, Fz είναι οι συνιστώσες (αλγεβρικές τιµές) της F κατά τους τρεις άξονες τρισορθογώνιου συστήµατος αξόνων Οxyz και x, y, z οι αντίστοιχες συνιστώσες (αλγεβρικές τιµές) του διανύσµατος r, τότε θα έχουµε: ( ) = O = r " F j k x y z (4) F x F y F z όπου, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων x, y, z αντιστοίχως. Αναπ τύσσοντας την ορίζουσα της σχέσεως (4) έχουµε: O = ( yf z - zf x ) + ( zf x - xf y ) j + + ( xf y - yf z ) k από την οποία προκύπτουν ότι, οι αλγεβρικές τιµές των τριών συνιστωσών της ροπής O είναι: O(x) = yf z - zf x, O(y) = zf x - xf y, O(z) = xf y - yf zy Ροπή δύναµης περί άξονα Ορίζουµε ως ροπή µιας δύναµης F περί δεδοµένο άξονα (L), την προβολή της ροπής της δύναµης περί ένα οποιοδήποτε σηµείο του άξονα, πάνω στον άξονα αυτόν. Αν εποµένως O είναι η ροπή της F περί ένα σηµείο Ο του άξονα (L), τότε η ροπή L της F περί τον άξονα (L) εξ ορισµού θα είναι: L = L " () Σχήµα 3 όπου τ L η αλγεβρική τιµή της προβολής του διανύσµατος O στον άξονα (L) και το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα. Όµως το εσωτερικό γινόµενο των διανυσ µάτων O και είναι:

4 ( " # O ) = # O $%&' () όπου θ η γωνία των διανυσµάτων αυτών. Ακόµη είναι = και O "#$% = L, οπότε η () δίνει: L = " # ( O ) = [" # ( r $ F )] (3) Αναλύουµε την δύναµη F στις συνιστώσες F και F εκ των οποίων η F είναι παράλληλη προς τον άξονα (L) η δε F είναι σε επίπεδο (ε) κάθετο στον άξονα και διερχόµενο από το σηµείο εφαρµογής Α της δύναµης (σχ. 4). Στην συνέχεια αναλύουµε την F στις συνιστώσες F, F εκ των οποίων η F έχει την διεύ θυνση του διανύσµατος r = O A και η F είναι κάθετη προς το διάνυσµα αυτό, Σχήµα 4 όπου Ο είναι το σηµείο τοµής του επιπέδου (ε) µε τον άξονα (L). Για το εξωτερικό γινόµενο ( r F ) θα έχουµε: ( ) = r F + r F [( r + r ) ( F " + F + F )] = r r r ( F " ) + ( F " ) + ( ) + r r r F r F r F ( ) + ( F ) + ( F ) = ( F " ) + ( ) + ( ) + ( F ) όπου r =O O. Όµως ισχύουν ακόµη οι σχέσεις: ( F " ) = r ( r F ) = 0 οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: r F r ( ) = ( F " ) + ( F ) + ( F ) + ( F ) (4) r r r Συνδυάζοντας την (3) µε την (4) παίρνουµε: r

5 { } (5) L = " # [ ( r $ F ) + ( r % $ F ) + ( r $ F ) + ( r $ F )] Όµως ισχύει η διανυσµατική ταυτότητα: [ a ( b " c )] = [ ( a " b ) c ] µε βάση την οποία θα έχουµε: και " [ ( r # F )] = [( # r )" F ] = 0, " [ ( r # F )] = - [ " ( F $ $ # r )] = - # µε αποτέλεσµα η (5) να γράφεται: " [ ( r # F )] = [( F ) " r $ ] = 0 [( # r )" F ] = 0 L = " [ # ( r $ F )] (6) Παρατήρηση η: H ροπή της συνιστώσας F περί το σηµείο Ο είναι: ( F ) # = r $ F O " ( # ) = ( F ) # = r $ F O " [ r $ ( F + F ) ] ( ) + ( F ) = r $ " # ( F % ) ( O $ ) = " r & F (6) [ ( )] ( r $ F ) + 0 = r $ F L = " # ( ) ( F % ) ( O $ ) (7) ( ) αποτελεί την αλγεβρική τιµή της προβο Όµως το εσωτερικό γινόµενο " # ( F % ) O $ λής της ροπής ( F ) # O " στον άξονα (L) που σηµαίνει ότι το διάνυσµα ( F ) # O " συµπί πτει µε την ροπή της F περί τον άξονα (L). Καταλήγουµε λοιπόν στην ακόλου θη πρόταση: H ροπή µιας δύναµης περί άξονα είναι η ροπή της προβολής της δύναµης σε επίπεδο κάθετο στον άξονα, περί το σηµείο τοµής του επι πέδου αυτού µε τον άξονα Παρατήρηση η: Για το εσωτερικό γινόµενο [ " ( r # F )] έχουµε: " ( r # F [ )] = x + y j + z k ( ) " " ( r # F [ )] = x + y j + z k j k x y z F x F y F z ( ) " [( yf z -zf y ) + ( zf x -xf z ) j + ( xf y -yf x ) k ]

6 [ " ( r # F )] = x yf z -zf y ( ) + y ( zf x -xf z ) + y ( xf y -yf x ) [ " ( r # F )] = x y z x y z F x F y F z όπου (F x, F y, F z ) οι συνιστώσες (αλγεβρικές τιµές) της δύναµης F στους άξονες τρισορθογώνιου συστήµατος αξόνων Οxyz, (λ x, λ y, λ z ) οι αντίστοιχες συνιστώσες του µοναδιαίου διανύσµατος και (x, y, z) oι αντίστοιχες συνιστώσες του δια νύσµατος r. Θεώρηµα των ροπών ή θεώρηµα Varnon Στην αρχική του διατύπωση το θεώρηµα των ροπών αναφερόταν σε συντρέχου σες δυνάµεις, αλλά όπως θα φανεί στα επόµενα το θεώρηµα ισχύει και στην περίπτωση παραλλήλων δυνάµεων ή οµοεπιπέδων δυνάµεων που η σύνθεσή τους δεν οδηγεί σε ζεύγος, ενώ δεν ισχύει γενικώς για δυνάµεις µε οποιεσδή ποτε διευθύνσεις στον χώρο. Πριν όµως διατυπωθεί το θεώρηµα είναι αναγκαίο να καθορισθεί η έννοια της συνισταµένης δυνάµεων, όταν αυτές ενεργούν επί στερεού σώµατος. Αν η προσοχή µας επικεντρωθεί στον διανυσµατικό χα ρακτήρα των δυνάµεων, τότε η συνισταµένη τους ορίζεται ως το διανυσµατικό τους άθροισµα, που όµως αποτελεί µια εντελώς αφηρηµένη µαθηµατική έννοια που προκύπτει µε ένα καθορισµένο φορµαλισµό, λόγου χάρη µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου ή µε τον κανόνα του δυναµοπολυγώνου. Αν όµως επιθυ µούµε η συνισταµένη δυνάµεων να αποκτήσει φυσικό περιεχόµενο, τότε πρέπει να την δεχθούµε ως την µοναδική εκείνη ολισθαίνουσα δύναµη που επιφέρει το ίδιο µηχανικό αποτέλεσµα (µεταφορικό και περιστροφικό) µε τις επιµέρους δυνάµεις που ενεργούν στο στερεό σώµα. Επειδή η εύρεση µιας τέτοιας δύνα µης δεν είναι πάντα δυνατή, πρέπει να είµαστε προσεκτικοί όταν αναφερόµαστε στον φύσικό χαρακτήρα της έννοιας συνισταµένη δύναµη επί στερεού σώµα τος. Λογουχάρη στην περίπτωση στερεού σώµατος που δέχεται την επίδραση ένος ζεύγους δυνάµεων ή δυνάµεων που οι φορείς τους είναι µεταξύ τους ασύµβατοι, το διανυσµατικό τους άθροισµα υπάρχει και υπολογίζεται, ένω η φυσική τους συνισταµένη, δηλαδή η µοναδική εκείνη ολισθαίνου σα δύναµη που δηµιουργεί στο στερεο σώµα τα ίδια µηχανικά αποτελέσµατα µε τις επιµέ ρους δυνάµεις δεν µπορεί να βρεθεί, διότι δεν υπάρχει. Ας ασχοληθούµε όµως µε το θεώρηµα των ροπών εξετάζοντας τις ακόλουθες περιπτώσεις: α) Οι δυνάµεις που ενεργούν στο στερεό σώµα είναι συντρέχουσες σ ένα σηµείο του ή σ ένα σηµείο της επέκτασής του. Στο στερεό σώµα του σχήµατος (5) ένεργούν στα σηµεία του Α, Α,...,Α n οι δυνάµεις F, F,..., F n αντιστοίχως, που οι φορείς τους συντρέχουν στο σηµείο Ο. Εάν,,..., n είναι οι αντίστοιχες ροπές των δυνάµεων αυτών περί το τυ χαίο σηµείο Μ, θα έχουµε τις σχέσεις:

7 ( ) ( F ) = r " F = r " n = r " ( F n ) # % % $ % % & (+ ) n = r " F ( ) + ( F ) ( F n ) r " r " n $ " ( ) = & r # = % n " = ( F ) ' ) M = r " R ( ( ) () Σχήµα 5 Σχήµα 6 όπου r το διάνυσµα θέσεως του σηµείου Μ ως προς το Ο, M το διανυσµατικό άθροισµα των ροπών των δυνάµεων περί το σηµείο Μ και R η συνισταµένη δύ ναµη επί του στερεού. Η σχέση () εκφράζει την ακόλουθη πρόταση, που αποτε λεί το θεώρηµα των ροπών ή θεώρηµα Varnon για συντρέχουσες δυνάµεις: Eάν επί στερεού σώµατος επιδρούν πολλές συντρέχουσες δυνάµεις, το διανυσµατικό άθροισµα των ροπών τους περί οποιοδήποτε σηµείο, εί ναι ίσο µε την αντίστοιχη ροπή της συνισταµένης των δυνάµεων. Παρατήρηση: Eάν οι ροπές των δυνάµεων επί του στερεού αναφερθούν περί το κέντρο µάζας του C, τότε ο φορέας της συνισταµένης R θα σχήµατίζει µε την ευθεία CO γωνία φ για την οποία ισχύει: µ" = d / r C = # C / r C R () όπου r C η απόσταση CΟ, τ C το µέτρο του αθροίσµατος των ροπών των δυνάµεων περί το C και R το µέτρο της συνισταµένης δύναµης R. Επειδή οι ποσότητες R και τ C υπολογίζονται όταν είναι γνωστές οι επιµέρους δυνάµεις και οι θέσεις των σηµείων Ο, C, η σχέση () επιτρέπει τον υπολογισµό της γωνίας φ, οπότε είναι γνωστή η θέση του φορέα της συνισταµένης δύναµης. Αποτελεί εποµένως η R µια ολισθαίνουσα δύναµη που προκαλεί στο σώµα το ίδιο µεταφορικό και στροφικό αποτέλεσµα µε τις επιµέρους συνιστώσες της, δηλαδή προσδίνει κάθε στιγµή στο κέντρο µάζας του επιτάχυνση R /m και στο σώµα γωνιακή επιτά χυνση ( r C R )/I C περί το κέντρο µάζας, όπου m η µάζα του σώµατος και Ι C η ρο πή αδράνειάς του περί ένα πιθανό άξονα περιστροφής που διέρχεται από το C. β) Οι δυνάµεις που ενεργούν στο στερεό σώµα είναι οµοεπίπεδες και η σύνθεσή τους δεν οδηγεί σε ζεύγος.

8 Αρχικά θα δεχθούµε ότι στο στερεό σώµα ένεργούν στα σηµεία του Α, Α οι δυνάµεις F, F αντιστοίχως, των οποίων οι φορείς προεκτεινόµενοι τέµνονται στο σηµείο Ο (σχ. 7). Είναι προφανές ότι για τις οµοεπίδες αυτές δυνάµεις ισχύει το θεώρηµα Varnon, αφού αυτές συντρέχουν στο Ο, δηλαδή ισχύει: ( ) + ( F ) = r F r ( ) (3) r R Σχήµα 7 Σχήµα 8 όπου r, r r τα διανύσµατα θέσεως των σηµείων Α, Α, Ο αντιστοίχως ως προς το τυχαίο σηµείο Μ περί το οποίο θεωρούνται όλες οι ροπές. Ας υποθέ σουµε τώρα ότι το θεώρηµα Varnon ισχύει για n το πλήθος οµοεπίπεδες δυνά µεις των οποίων η συνισταµένη είναι R n και ότι στο σώµα εφαρµόζεται ακόµα η δύναµη F n+ που δεν αποτελεί µε την R n ζεύγος, αλλά ο φορέας της τέµνει τον φορέα της R n στο Ο n που είναι σηµείο του σώµατος ή της επέκτ σής του (σχ. 8). Τότε θα ισχύει: n " ( ) = r # = ( R n ) n " ( ) + n+ = r # = ( R n ) + n+ n+ " ( ) = r # = ( R n ) + ( F n+ ) r # n+ " ( ) = r # R n + = [ ( F )] n+ n+ " ( ) = r # R = ( ) (4) όπου n+ η ροπή της F n+ περί το Μ και η R συνισταµένη των n+ οµοεπιπέ δων δυνάµεων που ενεργούν στο στερεό σώµα. Όµως η σχέση (4) εξασφαλίζει ότι το θεώρηµα Varnon ισχύει για n+ οµοεπίπεδες δυνάµεις και εποµένως επαγωγικά ισχύει για οποιοδήποτε πλήθος, αρκεί η συνθεσή τους να µη κατα λήγει σε ζεύγος δυνάµεων, γ) Οι δυνάµεις που ενεργούν στο στερεό σώµα είναι παράλληλες και η σύνθεσή τους δεν οδηγεί σε ζεύγος. Θα δεχθούµε την µη γενική περίπτωση δύο µόνο παράλληλων και οµόρρόπων δυνάµεων F, F, που ενέργουν στα σηµεία Α, Α αντιστοίχως του στερεού

9 σώµατος (σχ. 9). Το αποτέλεσµα της δράσεως των δύο αυτών δυνάµεων παρα µένει αναλλοίωτο αν θεωρήσουµε ότι στα σηµεία Α, Α εφαρµόζονται οι αντί θετες δύναµεις F *, - F * αντιστοίχως που έχουν φορέα την Α Α. Εάν f είναι η συνισταµένη των ( F, F * ) και f η συνισταµένη των ( F, - F * ), τότε οι δυνάµεις Σχήµα 9 f, f είναι συντρέχουσες στο σηµείο Ο του επιπέδου των F, F, και εποµένως ισχύει το θεώρηµα Varnon για τις δυνάµεις αυτές, δηλαδή για κάθε σηµείο Μ το άθροισµα των ροπών των f, f περί το Μ είναι ίσο µε την αντίστοιχη ροπή της συνισταµένης τους, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: ( r f )+( r f )= r f + [ r ( F + F )] + r * F - [ ( f )] ( r f ) + ( r f ) = [ ( F )] = * [ r ( f + f )] [ r ( f + f )] (5) µε r = MA, r = MA και r = MA, όπου Α το σηµείο τοµής του φορέα της συνισταµένης των f, f ή το ίδιο της συνισταµένης των F, F µε την Α Α, Η σχέση (5) γράφεται: ( ) + ( F * ) + ( F ) - ( F * ) = r F r F r r r ( r - r ) r ( ) + ( F ) + [ F * ] = Όµως εκ του σχήµατος προκύπτει η σχέση: r + A A = r r - r = -A A ( F * ) = 0 [( r - r ) F * ] = -A A [ r ( F + F )] [ r ( F + F )] (6) διότι τα διανύσµατα F * και -A A είναι οµόρροπα, οπότε η (6) γράφεται: ( ) + ( F ) = r F r F r ( ) + ( F ) = r [ r ( F + F )] ( ) (7) r R

10 όπου R η συνισταµένη των παράλληλων δυνάµεων F, F. Η (7) εκφράζει το θεώρηµα Varnon για δύο οµοπαράλληλες δυνάµεις. Με τον ίδιο τρόπο απο δεικνύεται ότι το θεώρηµα ισχύει και για δύο αντιπαράλληλες δύνάµεις που όµως δεν είναι αντίθετες, δηλαδή δεν αποτελούν ζεύγος, Με επαγωγικό τρόπο ανάλογο εκείνου που χρησιµοποιήθηκε για οµοεπίπεδες δυνάµεις µπορούµε να αποδείξουµε ότι το θεώρηµα των ροπών ισχύει και για σύστηµα πολλών παραλ λήλων δυνάµεων, που όµως δεν ανάγονται σε ζεύγος. Ισχύει το ΘΕΩΡΗΜΑ VARINION για τυχαίες δυνάµεις επί στερεού σώµατος ; Θεωρούµε ότι πάνω σε στερεό σώµα ενεργούν στα σηµεία του Α, Α οι τυχαίες εξωτερικές δυνάµεις F και F αντιστοίχως, που όµως δεν είναι αντίθετες. Οι ροπές των δυνάµεων αυτών περί µια αρχή Ο είναι ( r F ) και ( r F ) αντι στοίχως, όπου r, r τα διανύσµατα θέσεως των Α, Α ως προς την αρχή Ο. (σχ. 0). Αν δεχθούµε ότι ισχύει για τις δύο αυτές δυνάµεις το θεώρηµα Varnon, τότε θα υπάρχει διάνυσµα r τέτοιο ώστε να ισχύει η σχέση: ( ) + ( F ) = ( "# ) () r F r r F Σχήµα 0 µε F " = F + F. Πολαπλασιάζοντας εσωτερικώς και τα δύο µέλη της () µε το διάνυσµα F " παίρνουµε την σχέση: F [ " # ( r $ F )] + F F + F ( ) r " F # [ ( r " $ F )] = F # " ( ) + F [ ( r " F )] + F r " F ( F + F ) [ ( )] + [ ( r $ F " )] r ( " F ) = F [ ( r " F #$ #$ )] [ F ( r " F )] + F r " Χρησιµοποιοώντας την διανυσµατική ταυτότητα [ a ( b " c )] = b c " a [ ( )] = [ c ( a " b )] [ ( F )] = F #$ [ ( r " F #$ )] ()

11 θα έχουµε: F # [ ( r $ F " " )] = r [ # ( F " $ F " )] = 0 (3) Eπίσης θα έχουµε: F [ ( r " F )] = 0 και [ F ( r " F )] = 0 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (3) και (4) παίρνουµε: [ F ( r " F )] + F F F ( )" r - [ ( r " F )] = 0 ( r ) = 0 ( F F )" -A A [ r ( F " F )] + [ r ( F " F )] = 0 ( ) = ( F F )" A A ( ) = 0 (5) Όµως η σχέση (5) εγγυάται ή ότι το διάνυσµα A A είναι µηδενικό, οπότε οι δυνάµεις F, F είναι συντρέχουσες ή ότι το A A είναι διάφορο του µηδενός και τα διανύσµατα F, F, A A είναι συνεπίδα*. Από όλα τα παραπάνω προκύ πτει ότι: H ροπή της συνισταµένης δύο µη αντιθέτων δυνάµεων, ως προς µία αρχή, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των αντίστοιχων ροπών των δύο δυνάµεων, αν και µόνο αν οι δύο δυνάµεις είναι συνεπίπε δες. Ζεύγος δυνάµεων-ροπή ζεύγους Θεωρούµε ότι σε στερεό σώµα ενεργούν στα σηµεία του Α, Α οι αντιπαράλ ληλες δυνάµεις F, F αντιστοίχως, µε F <F (σχ. ). Το αποτέλεσµα της δράσεως των δύο αυτών δυνάµεων δεν µεταβάλλεται αν θεωρήσουµε ότι στα σηµεία Α, Α εφαρµόζονται οι αντίθετες δύναµεις F *, - F * αντιστοίχως που έχουν φορέα την Α Α. Εάν f είναι η συνισταµένη των ( F, F * ) και f η συνι σταµένη των ( F, - F * ), τότε οι δυνάµεις f, f είναι συντρέχουσες στο σηµείο Ο του επιπέδου των F, F, η δε συνισταµένη τους R είναι: R = f + f = F + F () Επειδή δεχτήκαµε ότι F <F η () εξασφαλίζει ότι η R είναι οµόροπη προς την δύναµη F, ο δε φορέας της τέµνει την προέκταση της Α Α σε σηµείο Α που *Στον διανυσµατικό λογισµό µπορεί να αποδειχθεί η ακόλουθη πρόταση: Η αναγκαία και ικανή συνθήκη, ώστε τρία µη µηδενικα διανύσµατα a, είναι συνεπίδα είναι τα διανύσµατα αυτά να ικανοποιούν την σχέση: [ a ( b " c )] = 0 b, c να

12 βρίσκεται προς το µέρος του Α όπως φαίνεται στο σχήµα (). Εφαρµόζοντας για το σύστηµα ( F, F ) το θεώρηµα των ροπών περί το σηµείο Α παίρνουµε: ( AA F ) + AA ( F ) = [ 0 ( F + F )] = 0 () Σχήµα Eάν είναι το µοναδιαίο διάνυσµα της ευθείας Α Α, x η απόσταση ΑΑ και α η απόσταση Α Α, η σχέση () γράφεται: [ ( x + " ) # F ] + x # ( F ) = [ x " ( F + F )] = - # " F ( ) x 0 ( x " F )+( # " F )+ x " F ( + F ) "µ# = $ ( F ) = 0 F "µ# x ( F - F ) = F x = F (3) F - F Aν οι δυνάµεις F, F συνιστούν ζεύγος, τότε F =F και η (3) δίνει x + " που σηµαίνει ότι ο φορέας της R γίνεται ακαθόριστος, δηλαδή το ζεύγος δεν µπορεί να αντικατασταθεί µε µια µοναδική δύναµη που να προκαλεί το ίδιο αποτέ λεσµα µε το ζεύγος, δηλαδή µόνο περιστροφή του σώµατος. Ας υπολογίσουµε όµως την συνολική ροπή M των δυνάµεων ενός ζεύγους ( F,- F ) περί οποιοδή ποτε σηµείο Μ (σχ. ). Θα έχουµε: M = ( F ) M + (- F ) M = r A " F M = [ ] = ( F ) ( r A - r ) " F B ( ) + ( F ) r " r B " - δηλαδή η ροπή M είναι ανεξάρτητη από την εκλογή του σηµείου Μ και εξαρ τάται µόνο από τα χαρακτηριστικά στοιχεία F και r του ζεύγους. Το εξωτερι κό γινόµενο ( r F ) ορίζεται ως ροπή του ζεύγους των δυνάµεων F, - F και συµβολίζεται µε, δηλαδή ισχύει: ( ) (4) = r " F

13 Aπό τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι η ροπή ενός ζεύγους δυνάµεων είναι διανυσµατικό φυσικό µέγεθος και απεικονίζεται µε διάνυσµα κάθετο στο επίπε δο των δυνάµεων του ζεύγους σε οποιοδήποτε σηµείο του, έχει φορά που αντα ποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού* χεριού και µέτρο που προκύπτει από την σχέση: Σχήµα = Fr"µ# = Fd (5) όπου d η απόσταση των φορέων των δυνάµεων του ζεύγους. Εξάλλου εάν z 0 είναι το καθετο στο επίπεδο του ζεύγους ελεύθερο µοναδιαίο διάνυσµα του οποίου η φορά λαµβάνεται συµβατικά ίδια µε εκείνη του διανύσµατος, τοτε µπορούµε να γράψουµε την σχέση: =Fd" z 0 (6) από την οποία προκύπτει ότι η ροπή ενός ζεύγους δυνάµεων δεν µεταβάλλεται, αν το επίπεδό του µένει σταθερό και µεταβάλλεται η απόσταση d καθώς και το µέτρο F των δυνάµεών του µε το γινόµενο Fd όµως να µένει σταθερό. Επίσης από την (6) προκύπτει ότι η ροπή ενός ζεύγους δεν µεταβάλλεται, αν το επίπε δό του µετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του, αφού το µοναδιαίο διάνυσ µα z 0 παραµένει αναλλοίωτο. Aναγωγή δύναµης σε σηµείο Ας δεχθούµε ότι µια δύναµη F ενεργεί σε σηµείο Α στερεού σώµατος. Η µηχανική κατάσταση που προκαλεί στο σώµα η δύναµη δεν αλλοιώνεται αν θεωρήσουµε ότι ταυτόχρονα µε την F ενεργούν σε ένα άλλο σηµείο Β του σώµατος οι δυνάµεις F = F και F =- F. Παρατηρούµε ότι η δύναµη F στο Α ισοδυναµεί µε µια δύναµη F = F στο Β και µε το ζεύγος ( F, F =- F ), του οποίου η ροπή είναι ίση µε ( r F ), όπου r το διάνυσµα θέσεως του σηµείου Β σε σχέση * Συµφωνα µε τον κανόνα του δεξιού χεριου η φορά του διανύσµατος είναι η φορά κατά την οποία τεντώνεται ο αντίχειρας του δεξιού χεριού, όταν τα υπόλοιπα τέσσε ρα δάκτυλα προσανατολίζονται κατα την φορά της περιστροφής που επιβάλλει στο σώµα το ζεύγος.

14 µε το Α, δηλαδή η ροπή αυτή είναι ίση µε την ροπή της F περί το σηµείο Β. Η αντικατάσταση µιας δύναµης που ενεργεί σε σηµείο στερεού σώµατος µε µια ίση δύναµη, που ενεργεί σε άλλο σηµείο του και µε ένα ζεύγος ονοµάζεται αναγωγή της δύναµης σε σηµείο ή παράλληλη µεταφορά της δύναµης. Είναι Σχήµα 3 προφανές ότι αν στο σώµα ενεργούν πολλές δυνάµεις αυτές αναγόµενες σε κάποιο σηµείο του θα παρέχουν µια συνισταµένη δύναµη R ίση µε το διανυσ µατικό άθροισµα των επιµέρους δυνάµεων και µια συνισταµένη ροπή ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των ροπών των ζευγών που προκύπτουν από την αναγωγή των δυνάµεων ή ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των ροπών των επι µέρους δυνάµεων περί το σηµείο αναγωγής. Η συνισταµένη δύναµη R είναι ανεξάρτητη της θέσεως του σηµείου αναγωγής, δηλαδή ίδια για κάθε σηµείο αναγωγής, ενώ η συνισταµένη ροπή εξαρτάται από την θέση του σηµείου. Ισχύει το ακόλουθο θεώρηµα: Eάν σε στερεό σώµα ενεργούν πολλές δυνάµεις, τότε η ολική ροπή αυτών περί ένα σηµείο του Ο, είναι ίση µε την ολική ροπή των δυνά µεων περί ένα άλλο σηµείο Ο, συν την ροπή περί το Ο της συνιστα µένης που θα προκύψει από την αναγωγή των δυνάµεων στο Ο. Aπόδειξη: Έστω ότι στο σώµα ενεργούν οι δυνάµεις F, F,..., F n. Eάν r, r ' είναι οι επιβατικές ακτίνες ενός οιουδήποτε σηµείου εφαρµογής A της δύναµης F, ως προς το O και το Ο αντιστοίχως και r η επιβατική ακτίνα του Ο ως προς το O, τότε θα έχουµε: r = r + r ' ( ) = ( F ) + ( r F ) r F r ' = ( r F )+ " () Σχήµα 4 όπου, οι ροπές της δύναµης F περί τα σηµεία O και Ο αντιστοίχως. Aνά λογες σχέσεις προς την () µπορούµε να γράψουµε για όλες τις δυνάµεις που ενεργούν πάνω στο σώµα, δηλαδή θα έχουµε:

15 = ( r F )+ " = ( r F )+ # " % $ n = ( r F n )+ % " n & % ( + ) n ( n ) = ( r " F n + ( # ) = = ) = n ( ) = n # r " ( F & % ) = $ = ' ( + n ( ) ) (O) " = ( O # ) " +( r $ R ) () = όπου R, η συνισταµένη που θα προκύψει, από την αναγωγή των δυνάµεων F, F,..., F n στο σηµείο Ο, (O) " η ολική ροπή αυτών περί το O και ( O # ) " η ολική ροπή τους περί το Ο. Παρατήρηση: Eάν από την αναγωγή των δυνάµεων στο Ο προκύψει συνιστα µένη δύναµη µηδέν, τότε (O) " = ( O # ) " δηλαδή η ολική ροπή των δυνάµεων είναι ίδια για όλα τα σηµεία αναγωγής τους. Aυτό σηµαίνει ότι το σύστηµα των δυνά µεων του σώµατος ανάγεται σ ένα ζεύγος δυνάµεων, του οποίου η ροπή είναι ίση προς την ολική ροπή των δυνάµεων περί οποιοδήποτε σηµείο. Κεντρικός άξονας δυνάµεων χώρου Θεωρούµε ότι ένα στερεό σώµα δέχεται τις εξωτερικές δυνάµεις F, F,, F n που έχουν τυχαίες διευθύνσεις στον χώρο. Αν οι δυνάµεις αναχθούν σε ένα ορισµένο σηµείο Ο του σώµατος θα προκύψει µια συνισταµένη δύναµη R και µια συνισταµένη ροπή O ζευγών δυνάµεων, που προσδιορίζονται µέσω των σχέσεων: n R = ( F n ) και n O = # ( r " F ) = = όπου r το διάνυσµα θέσεως του σηµείου εφαρµογής της δύναµης F σε σχέση Σχήµα 5 µε το σηµείο αναγωγής Ο. Επειδή η ροπή O είναι ελεύθερο διάνυσµα µπο ρούµε να το µετακινήσουµε, ώστε η αρχή του να βρεθεί στο σηµείο Ο και στην συνέχεια να το αναλύσουµε σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες " και " εκ των οποίων η " είναι συγγραµική του διανύσµατος R η δε " είναι κάθετη προς

16 αυτό και εποµένως ανήκει στο επίπεδο (ε) που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετο στο R (σχ. 6). Για να εκφράσουµε τις συνιστώσες " και " επιλέγου µε το τρισορθογώνιο σύστηµα Οxyz µε τον άξονα Οy να έχει την κατεύθυνση του R και το επίπεδο Οyx να ταυτίζεται µε το επίπεδο των διανυσµατων R και O. Για την συνιστώσα " θα έχουµε: " = O #$%&' j = O( R ' O ) ' j = R O R ' ( O ) R ' R R = R ( ' O ) R () R Σχήµα 6 όπου φ είναι η γωνία των διανυσµάτων R και O και j το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα Οy. Για την συνιστώσα " θα έχουµε: " = O #µ$% = O #µ$ j & k ( ) () όπου, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Οz αντιστοίχως. Εξάλ λου για το εξωτερικό γίνοµενο ( O " R ) ισχύει η σχέση: ( " R ) = O O R#µ$% k k = O " R οπότε η σχέση () γράφεται: & " = O #µ$( j % '( " = $ R & R # %& ( ) O # R R ( ) O % R ) & + = ( j % O R#µ$ * + '( ' ) = () ( ) / O R#µ$ ( ) O % R R ) + * + [ R # ( O # R )] (3) R Η ροπή " µπορεί να εξουδετερωθεί αν το σηµείο αναγωγής των δυνάµεων µετατοπιστεί σε σχέση µε το Ο κατά ένα διάνυσµα r, ώστε να ισχύει:

17 ( ) + r R " # = 0 ( ) = - r R (3) " # ( ) = - r R [ R ( " O R )] (4) R Με βάση την διανυσµατική ταυτότητα θα έχουµε: [ A ( B C )] = ( A " C ) B - ( A " B ) C [ R ( " O R )] = R " O - R R οπότε η σχέση (4) γράφεται: O - R R ( " O ) R = - r # R R ( " O ) - R ( " O ) = -R ( ) R ( # " O ) R = " R O - R ( # " O )( R R ) = - R r - ( r # R R ) R r r = - R R ( # " O ) R R * R " ( O - R # " O ) R, $ '., + & ) / = - R r R %& -, () R 0, [ ] [ ( )] ( " O ) / R (5) όπου τέθηκε ( r R )=0 διότι τα διανύσµατα r και R είναι µεταξύ τους κάθετα. Η σχέση (5) επιτρέπει να καθορίσουµε τα σηµεία του στερεού σώµατος στα οποία η αναγωγή των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται, οδηγεί σε συνισταµέ νη δύναµη R και συνισταµένη ροπή ", που είναι συγγραµικές µεταξύ τους. Τα σηµεία αυτά αποτελούν τον λεγόµενο κεντρικό άξονα του συστήµατος των δυνάµεων F, F,, F n, αντιστοιχεί δε ο άξονας αυτός στο δεδοµένο αρχικό σηµείο αναγωγής Ο. Από την όλη ανάλυση γίνεται σαφές ότι ένα σύστηµα εξωτερικών δυνάµεων µε τυχαίες κατευθύνσεις στον χώρο µπορεί εν γένει να αναχθεί σε µια συνισταµένη δύναµη και µια συνισταµένη ροπή που έχουν κοινό φορέα τον κεντρικό άξονα του συστήµατος, του οποίου η θέση ορίζεται ως προς δεδοµένο σηµείο αναφοράς του στερεού. Γνωρίζοντας την θέση του κεντρικού άξονα µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η κίνηση του στερεού υπό την επίδραση των δυνάµεων µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνησης κατα την διευθυνση του κεντρικού άξονα και µιας περιστροφής περί τον κεντρικό άξονα. Το συµπέρασµα αυτό µας επιτρέπει να θεωρούµε ότι η γενική κίνηση του στερεού είναι µια ελικοειδής µετατόπιση στον χώρο. Ισορροπία στερεού σώµατος Για την ισορροπία στερεού σώµατος ισχύει ο παρακάτω ορισµός. Ένα στερεό σώµα ισορροπεί ως προς κάποιο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, όταν αυτό δεν µετατοπίζεται ή έχει µεταφορική κίνηση µε σταθερή ταχύτητα ως προς το σύστηµα αυτό.

18 Θεωρούµε στερεό σώµα, το οποίο ισορροπεί ως προς ένα σύστηµα αναφοράς, υπό την επίδραση των δυνάµεων F, F,... F n. Eάν οι δυνάµεις αυτές αναχθούν στο κέντρο µάζας C του σώµατος θα προκύψει συνισταµένη δύναµη F που λόγω της ισορροπίας του σώµατος πρέπει να είναι µηδέν, διότι το κέντρο µάζας του σώµατος είναι ακίνητο ή κινείται ευθύγραµµα και οµαλά,. Eπί πλέον το σώµα δεν στρέφεται περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του, οπότε η ολική ροπή των δυνάµεων περί το κέντρο µάζας του σώµατος ή περί οποιοδή ποτε* άλλο σηµείο αυτού είναι µηδέν. Aπό τα παραπάνω προκύπτει ότι, οι αναγ καίες συνθήκες ισορροπίας ενός στερεού σώµατος είναι οι εξής: F + F F n = 0 F = 0 () n = 0 " = 0 () Τίθεται όµως το ερώτηµα αν οι δύο αυτές σχέσεις αποτελούν και ικανές συν θήκες για να ισορροπεί ένα στερεό σώµα, δηλαδή αν οι εξωτερικές δυνάµεις επί του σώµατος και οι ροπές τους ικανοποιούν τις δύο αυτές σχέσεις, τότε το σώµα ισορροπεί; H σωστή απάντηση είναι όχι. Για να τεκµηριωθεί η άποψη αυτή θα αναφέρουµε την περίπτωση ενός στερεού που το κέντρο µάζας του εί ναι συνεχώς ακίνητο στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους (σχ. 7) αλλά έχει την δυνατότητα να στρέφεται περί το κέντρο µάζας του. Ένα τέτοιο σώµα ονο Σχήµα 7 µάζεται στρόβος και χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η λεγόµενη σβούρα. Δίνοντας στο σώµα αυτό µια αρχική γωνιακή ταχύτητα θα τεθεί σε µια πολύ πλοκη κίνηση που είναι γνωστή ως µετάπτωση και κλόνηση. Είναι προφανές ότι κατά την εξέλιξη της κίνησης αυτής ισχύουν για τις εξωτερικές δυνάµεις που δέχεται το σώµα (βάρος m g και δύναµη επαφής A στο σηµείο στήριξης) και για τις ρόπες τους περί το κέντρο µάζας οι σχέσεις: F = 0 και " = 0 Όµως το σώµα δεν ισορροπεί αλλά εκτελεί µια πολύπλοκή κίνηση και µάλιστα αποδεικνύεται ότι κατά την κίνηση αυτή η στροφορµή του L περί το κέντρο µάζας διατηρείται χρονικά αµετάβλητη, ενώ η γωνιακή του ταχύτητα εκτε λεί µεταπτωτική κίνηση περί τον σταθερό άξονα της στροφορµής του * Βλέπε παρατήρηση στην σελίδα 5

19 Στην συνέχεια θα εξετάσουµε ειδικές περιπτώσεις ισορροπίας στερεού σώµατος ) Tο στερεό σώµα ισορροπεί υπό την επίδραση δύο µόνο δυνάµεων Στην περίπτωση αυτή πρέπει οι δύο δυνάµεις να έχουν τον ίδιο φορέα αντίθε τες φορές και ίσα µέτρα, διότι τότε και µονό τότε θα πληρούν τις συνθήκες ισορ ροπίας του στερεού. ) Tο στερεό σώµα ισορροπεί υπό την επίδραση τριών δυνάµεων Στη περίπτωση αυτή πρέπει οι τρεις δυνάµεις να είναι συνεπίπεδες, οι φορείς τους να διέρχονται από το ίδιο σηµείο και η συνισταµένη δύο οποιωνδήποτε από αυτές να είναι αντίθετη προς την τρίτη δύναµη. Για την απόδειξη αυτής της πρότασης θεωρούµε ένα τυχαίο σηµείο Α του φορέα της δύναµης F, οπότε οι ροπές,, 3 των δυνάµεων F, F, F 3 αντιστοίχως περί το Α θα ικανοποι ούν την σχέση: = = 0 = - 3 δηλαδή τα διανύσµατα, 3 είναι συνευθειακά και αντίθετα. Όµως το είναι κάθετο στο επίπεδο S που ορίζει το σηµείο Α και ο φορέας της F το δε 3 κά Σχήµα 8 Σχήµα 9 θετο στο αντίστοιχο επίπεδο S 3 που ορίζει το Α και ο φορέας της F 3, που σηµαί νει ότι τα επίπεδα S και S 3 συµπίπτουν, δηλαδή οι δυνάµεις F, F 3 είναι συνε πίπεδες. Εάν Ο είναι το σηµείο τοµής των φορέων τους (σχ. 8) πρέπει από το σηµείο αυτό να διέρχεται και ο φορέας της δύναµης F, διότι σε αντίθετη περί πτωση η συνολική τους ροπή περί το Ο θα ήταν διάφορη του µηδενός, γεγονός που απαγορεύει η ισορροπία του στερεού. Όµως η ισορροπία του στερεού επιβάλλει και την σχέση: F + F + F 3 = 0 F = - ( F + F 3 ) = - δηλαδή η συνισταµένη F,3 των F, F 3 πρέπει να είναι αντίθετη της F, που F,3

20 σηµαίνει ότι η F είναι συνεπίπεδη των F, F 3. Εφαρµόζοντας εξάλλου στο σκι ασµένο τρίγωνο του σχήµατος (9) τον νόµο των ηµιτόνων παίρνουµε την σχέ ση: F,3 F = F = 3 µ" µ" µ" 3 F [ ] µ " - ( F, F 3 ) = F [ ] µ " - ( F, F 3 ) = F 3 [ ] µ " - ( F, F ) F µ ( F, F 3 ) = F µ ( F, F 3 ) = F 3 µ( F, F ) (3) Η σχέση (3) δηλώνει ότι, το µέτρο κάθε µιας από τις τρεις δυνάµεις είναι ανά λογο του ηµιτόνου της γωνίας που σχηµατίζουν οι φορείς των δύο άλλων δυνά µεων. ) Tο στερεό σώµα ισορροπεί υπό την επίδραση πολλών συνεπιπέδων δυνάµεων Στην περίπτωση αυτή θεωρούµε επί του επιπέδου των δυνάµεων δύο ορθογώ νιους άξονες Ox και Oy και προβάλλουµε τις δυνάµεις που ενεργούν στο σώµα, πάνω στους άξονες αυτούς. Eάν, j είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξό νων Ox και Oy αντιστοίχως, τότε η σχέση () είναι ισοδύναµη µε τις εξής δύο σχέσεις: F + F F n = 0 F x = 0 j F + j F j F n = 0 F y = 0 όπου ΣF x και ΣF y τα αθροίσµατα των αλγεβρικών τιµών των προβολών των δυνάµεων, πάνω στους άξονες Ox και Oy αντιστοίχως. Eξάλλου, επειδή οι δυνά µεις που ενεργούν στο σώµα είναι συνεπίπεδες, οι ροπές αυτών περί οποιο δήποτε σηµείο A του επιπέδου τους θα έχουν τον ίδιο φορέα, ο οποίος θα είναι κάθετος στο επίπεδο των δυνάµεων και θα διέρχεται από το σηµείο A. Έτσι, εάν k είναι το µοναδιαίο διάνυσµα του φορέα αυτού, τότε η σχέση ισορροπίας () γράφεται: (A) k + (A) k n (A) k = 0 " (A) = 0 όπου " (A) το άθροισµα των αλγεβρικών τιµών των ροπών των δυνάµεων, πε ρί το θεωρούµενο σηµείο A. Στο άθροισµα αυτό συµβατικά θεωρούνται θετικές οι αλγεβρικές τιµές των δεξιόστροφων ροπών και αρνητικές οι αλγεβρικές τι µές των αριστερόστροφων. Παρατήρηση: Όταν ένα στερεό σώµα ισορροπεί υπό την επίδραση πολλών συνεπίπεδων δυνάµεων έχουµε την δυνατότητα να χρησιµοποιούµε ως αναγ καίες συνθήκες ισορροπίας δύο ακόµη οµάδες εξισώσεων που κάθε οµάδα περιέ χει τρεις ανεξάρτητες εξισώσεις, ισοδύναµες προς τις γενικές εξισώσεις ισορρο πίας που αναφέρθηκαν προηγουµένως.

21 Η µια οµάδα περιλαµβάνει τις εξισώσεις: " (A ) = 0, " (B) = 0, F (a) = 0 () όπου " (A ), " (B) τα αλγεβρικά αθροίσµατα των ροπών των δυνάµεων που ενεργούν στο σώµα, περί τα σηµεία Α και Β αντιστοίχως του επιπέδου των δυ νάµεων και F (a) το αλγεβρικό άθροισµα των προβολών των δυνάµεων πάνω Σχήµα 0 σ ένα άξονα (a) που ανήκει στο επίπεδό τους, αλλά δεν κατευθύνεται κάθετα προς την ΑΒ. Θα δείξουµε ότι οι εξισώσεις () εξασφαλίζουν τις γενικές αναγ καίες συνθήκες ισορροπίας F = 0 και " = 0, όπου F είναι η συνισταµένη των οµοεπιπέδων δυνάµεων και " η συνισταµένη ροπή τους περί ένα οποιο δήποτε σηµείο. Πράγµατι αν οι δυνάµεις αναχθούν στο σηµεό B του στερεού θα προκύψει συνισταµένη δύναµη ίση µε την F και θα ισχύει: ( ) " (A ) = " (B) + AB # F ( AB " F ) = 0 ( ) = 0 = 0 + AB " F 0 από την οποία προκύπτει ότι F = 0 ή ότι η F είναι συγγραµική µε το διά νυσµα AB. Η δεύτερη όµως εκδοχή αποκλείεται, διότι τότε η F ως µη κάθε τη επί τον άξονα (a) θα έχει συνιστώσα παράλληλη προς τον άξονα αυτόν πράγ µα που το αποκλείει η τρίτη από τις εξισώσεις (). Άρα θα είναι F = 0 που σηµαίνει ότι η συνισταµένη ρόπη " των δυνάµεων έχει την ίδια τιµή, όταν αναφέρεται σε οποιοδήποτε σηµείο του στερεού ή της επέκτασής του, δηλαδη θα είναι ίση µε µηδέν. Η άλλη οµάδα περιλαµβάνει τις εξισώσεις: " (A ) = 0, " (B) = 0, " (# ) = 0 () όπου " (A ), " (B), " (# ) τα αλγεβρικά αθροίσµατα των ροπών των δυνάµεων περί τα σηµεία Α, Β και Γ αντιστοίχως του επιπέδου των δυνάµεων τα οποία όµως δεν βρισκονται στην ίδια ευθεία. Αν οι δυνάµεις αναχθούν στα σηµεία Β

22 και Γ του στερεου θα προκύψει συνισταµένη δύναµη F και θα ισχύουν οι σχέσεις: " (A ) = " (A ) = ( AB " F ) = 0 A# " F 0 ( ) = ( ) ( ) " (B) + AB # F " ($ ) + A$ # F $ & % ' & [( AB - A ) " # F ] = 0 ( ) " % ' & ( ' Σχήµα () AB " F ( ) ( ) 0 = 0 + AB " F $ 0 = 0 + A# " F & % ' & ( ) = ( A# " F (-) ) Όµως AB - A 0 διότι τα σηµεία Α, Β, Γ, δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, οπότε αναγκαστικά θα είναι F = 0, που σηµαίνει ότι η συνισταµένη ρόπη " των δυνάµεων έχει κοινή τιµή για όλα τα σηµεία του στερεού ή της επέκτασής του, δηλαδη θα είναι ίση µε µηδέν. P.M. fyskos