Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013"

Transcript

1 Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 20 Ασκηση. Θεωρούμε τα ακόλουθα στοιχεία της (S 6, ): ( ) ( ) ( ) σ =, τ =, μ = Λύση. () Να προσδιοριστούν οι χ τροχιές στις οποίες διαμερίζεται το σύνολο {, 2,,, 5, 6}, όταν χ = σ, τ, και μ. (2) Να προσδιοριστούν οι τάξεις o(σ), o(τ), και o(μ). () Να προσδιοριστεί η ανάλυση σε αποσυνδετούς (ξένους) κύκλους των σ, σ 2, σ, σ, σ 5, σ 6 (Τι παρατηρείτε;). () Να υπολογιστούν τα στοιχεία: σ τ σ, σ τ σ, τ σ τ, μ τ μ, μ τ 7 μ. (5) Να επιλυθεί ως προς x η εξίσωση: x σ x = ( 2 5 6). (6) Να δειχθεί ότι η ως προς x εξίσωση: x σ x = τ δεν διαθέτει λύση. () Για τη μετάθεση σ έχουμε: [] σ = {,,, 5, 6, 2} Άρα η σ έχει μόνο μια τροχιά αφού είναι ο κύκλος σ = ( 5 6 2). Για τη μετάθεση τ έχουμε: [] τ = {, 2,, } και [5] τ = {5, 6} Άρα η τ έχει δυο τροχιές και τ = ( 2 )(5 6). Για τη μετάθεση μ έχουμε: [] μ = {, 5}, [2] μ = {2}, [] μ = {, } και [6] μ = {6} Άρα η μ έχει τέσσερις τροχιές και μ = ( 5)( ). (2) Υπενθυμίζουμε από τη Θεωρία ότι ένας κύκλος μήκους k έχει τάξη k και η τάξη μιας μετάθεσης που είναι γινόμενο ξένων κύκλων είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των μηκών των κύκλων. Άρα επειδή έχουμε: σ = ( 5 6 2) & τ = ( 2 )(5 6) & μ = ( 5)( ) o(σ) = 6 & o(τ) = [, 2] = & o(μ) = [2, 2] = 2

2 2 () Έχουμε: σ = ( 5 6 2) σ 2 = σ σ = ( 5 6 2) ( 5 6 2) = ( 6)( 5 2) σ = σ σ 2 = ( 5 6 2) ( 6)( 5 2) = ( 6)(5 )(2 ) σ = σ 2 σ 2 = ( 6)( 5 2) ( 6)( 5 2) = ( 2 5)( 6 ) σ 5 = σ σ = ( 2 5)( 6 ) ( 5 6 2) = ( ) σ 6 = () = ι Παρατηρούμε λοιπόν ότι η μετάθεση σ είναι κύκλος, αλλά η μετάθεση σ 2 δεν είναι κύκλος. Άρα η δύναμη κύκλου δεν είναι γενικά κύκλος. Από την άλλη πλευρά παρατηρούμε οτι η δύναμη σ 5 του κύκλου σ είναι κύκλος¹. () Έχουμε: σ τ σ = ( 5 6 2) ( 2 )(5 6) (2 6 5 ) = (2 6)( 5 ) σ τ σ = (2 6 5 ) ( 2 )(5 6) ( 5 6 2) = ( 2 6 )( 5) τ σ τ = ( 2 )(5 6) ( 5 6 2) (5 6)( 2 ) = ( ) μ τ μ = ( 5)( ) ( 2 )(5 6) ( )(5 6) = ( 6)(2 5) Επειδή μ 2 = () έχουμε ότι μ = μ και επειδή τ = () έπεται ότι τ 7 = τ = τ. Άρα έχουμε: μ τ 7 μ = μ τ μ = ( 5)( ) (5 6)( 2 ) ( 5)( ) = ( 2 5 )( 6) (5) Έχουμε: x σ x = ( 2 5 6) = (x() x() x() x(5) x(6) x(2)) = ( 2 5 6) = x() =, x() = 2, x() =, x(5) =, x(6) = 5, x(2) = 6 Άρα λύση της εξίσωσης x σ x = ( 2 5 6) είναι η μετάθεση x = (2 6 5 ). (6) Από το ερώτημα (5) έχουμε ότι η μετάθεση x σ x είναι πάντοτε κύκλος. Όμως η μετάθεση τ δεν είναι κύκλος και άρα η εξίσωση: x σ x = τ δεν διαθέτει λύση. Ασκηση 2. () Έστω σ S n ένα στοιχείο της συμμετρικής ομάδας S n, n 2. Να δειχθεί ότι η τάξη του σ είναι 2 αν και μόνον αν η μετάθεση σ είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων ξένων (αποσυνδετών) ανά δύο. (2) Έστω τ S 7 ένα στοιχείο της συμμετρικής ομάδας S 7 για το οποίο γνωρίζουμε ότι: τ = ( ). Να βρεθεί η μετάθεση τ και να γραφεί ως γινόμενο ξένων (αποσυνδετών) κύκλων και αντιμεταθέσεων. ¹Γενικά αποδεικνύεται ότι αν ρ είναι ένας κύκλος μήκους k και m, τότε η μετάθεση ρ m μόνον αν (k, m) =, βλέπε το Φυλλάδιο 6 των Προτεινόμενων Ασκήσεων. είναι κύκλος αν και

3 Λύση. () Γνωρίζουμε ότι για κάθε σ S n, έχουμε: σ = c c 2 c t όπου τα c i, i t είναι κύκλοι τής S n αποσυνδετοί (ξένοι) ανά δύο. Γνωρίζουμε ακόμα ότι η τάξη τού σ ισούται με το Ε.Κ.Π. των τάξεων o(c i ), i t των κύκλων. Αλλά η τάξη οποιουδήποτε κύκλου c τής S n συμπίπτει με το μήκος του l(c). Γι αυτό o(σ) = Ε.Κ.Π. {l(c ), l(c 2 ),..., l(c t )} = [l(c ), l(c 2 ),..., l(c t )] Επιπλέον, αν ο σ δεν είναι το ταυτοτικό στοιχείο τής S n, τότε στην προηγούμενη ανάλυση (*) μπορούμε να θεωρήσουμε μόνο κύκλους μήκους 2. Επομένως: o(σ) = 2 = Ε.Κ.Π. {l(c ), l(c 2 ),..., l(c t )} = 2 = i, i t : l(c i ) = 2 = i, i t : c i = αντιμετάθεση. Αντίστροφα αν, ο σ είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων (ξένων) αποσυνδετών ανά δύο, τότε η τάξη του είναι το Ε.Κ.Π. των μηκών τους, δηλαδή 2. (2) Επειδή τ τ και επειδή η τάξη της τ ως κύκλου μήκους 7 είναι ίση με 7, έπεται ότι 7 = o(τ ) o(τ). Από το (), θα έχουμε τ = τ τ 2 τ r, όπου οι κύκλοι τ i είναι ξένοι μεταξύ τους, και o(τ) = Ε.Κ.Π. {l(c ), l(c 2 ),..., l(c r )} και l(c ) + l(c 2 ) + + l(c r ) = 7. Επειδή 7 o(τ), αναγκαστικά θα έχουμε ότι η τ είναι κύκλος μήκους 7 και άρα o(τ) = 7. Τότε τ = e τ = τ 7 τ = τ 8 = τ τ = ( ) ( ) = ( ) Τέλος η τ γράφεται ως γινόμενο αντιμεταθέσεων ως εξής: τ = ( ) = ( 7) ( 5) ( ) ( 2) ( 6) ( ) ( ) Ασκηση. Θεωρούμε τις μεταθέσεις (μετατάξεις) της συμμετρικής ομάδας S 8 : ( ) ( ) τ = και σ = Λύση. () Να γραφούν οι μεταθέσεις σ και τ ως γινόμενα ξένων κύκλων. (2) Να προσδιοριστούν οι τάξεις των μεταθέσεων τ και σ. () Να υπολογιστεί η μετάθεση σ 20. () Να εξεταστεί αν, υπάρχει μετάθεση ρ S 8 τέτοια, ώστε: ρτρ = σ. Αν υπάρχει, να βρείτε μια τέτοια μετάθεση. () Θα έχουμε: (2) Θα έχουμε: τ = ( 2)( 5)(6 7 8) & σ = ( 6)(2 8)(5 7) () Επειδή 20 = 6 5 +, θα έχουμε: o(τ) = [2,, ] = 6 & o(σ) = [,, 2] = 6 σ 20 = σ 6 5+ = σ 6 5 σ = (σ 6 ) 5 σ = ι σ = σ Επειδή ξένοι κύκλοι αντιμετατίθενται, θα έχουμε: σ = ( ( 6)(2 8)(5 7) ) = ( 6) (2 8) (5 7) = (5 7) = (5 7) 2 (5 7) = (5 7)

4 () Επειδή τ = ( 2)( 5)(6 7 8) & σ = ( 6)(2 8)(5 7) = (5 7)( 6)(2 8) οι σ, τ έχουν την ίδια ανάλυση σε ξένους κύκλους (έναν κύκλο μήκους 2 και δύο κύκλους μήκους ). Άρα υπάρχει μετάθεση ρ S 8 έτσι ώστε: ρτρ = σ. Πράγματι θεωρούμε την μετάθεση: ( ) ρ = ( 7 )(2 5 6) = Τότε υπολογίζουμε εύκολα: ρτρ = ρ( 2)( 5)(6 7 8)ρ = ρ( 2)ρ ρ( 5)ρ ρ(6 7 8)ρ = = (ρ() ρ(2)) (ρ() ρ() ρ(5)) (ρ(6) ρ(7) ρ(8)) = (7 5) ( 6) (2 8) = σ Ασκηση. Θεωρούμε τη συμμετρική ομάδα S n, n. () Κάθε κύκλος στην S n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο το πολύ n αντιμεταθέσεων. (2) Κάθε μετάθεση στην S n η οποία δεν είναι κύκλος, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο το πολύ n 2 αντιμεταθέσεων. () Κάθε περιττή μετάθεση στην S n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο 2n + αντιμεταθέσεων. () Κάθε άρτια μετάθεση στην S n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο 2n + 8 αντιμεταθέσεων. Λύση. () Κάθε κύκλος γ = ( c c 2... ) c l, 2 l n γράφεται ως γινόμενο l αντιμεταθέσεων, αφού γ = ( c c l ) ( c c l ) ( c c i ) ( c c ) ( c c 2 ). (2) Αν σ S n δεν είναι κύκλος, τότε σ = γ γ 2 γ ρ, όπου οι γ i είναι αποσυνδετοί (ξένοι) κύκλοι με μήκη l(γ i ) 2 και όπου το άθροισμα των μηκών ρ i= l(γ i ) είναι n και όπου το ρ 2. Αφού κάθε κύκλος γ i είναι σύνθεση l(γ i ) αντιμεταθέσεων, η σ είναι σύνθεση ρ i= (l(γ i ) ) = ρ i= l(γ i ) ρ n ρ n 2. Επομένως, κάθε μετάθεση τής S n γράφεται ως γινόμενο το πολύ n αντιμεταθέσεων. () Αν τώρα η σ είναι περιττή τότε γράφεται ως γινόμενο s n αντιμεταθέσεων, όπου ο s είναι περιττός. Επομένως 2n + = s + (2n + s), όπου ο 2n + s είναι θετικός και άρτιος. Συμπληρώνουμε την ανάλυση τής σ με τις s το πλήθος αντιμεταθέσεις με την άρτια δύναμη ( ) 2n+ s 2, η οποία ισούται με την ταυτοτική απεικόνιση. Έτσι η σ γράφεται ως γινόμενο 2n + αντιμεταθέσεων. () Αν τέλος η σ είναι άρτια τότε γράφεται ως γινόμενο s n αντιμεταθέσεων, όπου ο s είναι άρτιος. Επομένως 2n + 8 = s + (2n + 8 s), όπου ο 2n + 8 s είναι θετικός και άρτιος. Συμπληρώνουμε την ανάλυση τής σ με τις s το πλήθος αντιμεταθέσεις με την άρτια δύναμη ( ) 2n+8 s 2, η οποία ισούται με την ταυτοτική απεικόνιση. Έτσι η σ γράφεται ως γινόμενο 2n + 8 αντιμεταθέσεων. Ασκηση 5. () Να δείξετε ότι κάθε μετάθεση σ A n, n, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο -κύκλων. (2) Να βρεθούν τα αριστερά σύμπλοκα (πλευρικές κλάσεις) της κυκλικής υποομάδας H = ( 2 ) στην A. Λύση. () Παρατηρούμε ότι για n =, στην εναλλάσσουσα ομάδα A όλα τα στοιχεία της, εκτός του ταυτοτικού, είναι κύκλοι μήκους, και η ταυτοτική μετάθεση είναι γινόμενο κύκλων μήκους : A = { () = ( 2 )( 2 )( 2 ), ( 2 ), ( 2) }

5 Αν n, τότε επειδή κάθε στοιχείο της A n γράφεται σαν γινόμενο άρτιου πλήθους αντιμεταθέσεων, αρκεί να δείξουμε ότι το γινόμενο δυο αντιμεταθέσεων (a b), (c d) είναι γινόμενο κύκλων μήκους. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (αʹ) Αν οι αντιμεταθέσεις (a b) και (c d) είναι ξένες μεταξύ τους, τότε (a b) (c d) = (a c b) (a c d) (βʹ) Έστω ότι οι αντιμεταθέσεις (a b) και (c d) έχουν ένα κοινό στοιχείο. Αν λοιπόν a = c τότε (a b) (a d) = (a d b) Σημειώνουμε ότι αν έχουν δυο κοινά στοιχεία τότε το γινόμενο τους είναι η ταυτοτική μετάθεση. Συνεπώς το γινόμενο δύο αντιμεταθέσεων είναι γινόμενο κύκλων μήκους και άρα κάθε στοιχείο της εναλλάσσουσας ομάδας A n, n, είναι γινόμενο κύκλων μήκους. (2) Επειδή η μετάθεση ( 2 ) είναι ένας κύκλος μήκους τρία, έπεται ότι η τάξη της H είναι και επομένως ο δείκτης της H στην A θα είναι [A : H] = 2 =. Έτσι θα έχουμε αριστερά σύμπλοκα (πλευρικές κλάσεις). (αʹ) Θα έχουμε το σύμπλοκο ()H = H = { (), ( 2 ), ( 2) } (βʹ) Ο -κύκλος ( 2 ) δεν ανήκει στην Η και άρα θα έχουμε το σύμπλοκο ( 2 )Η = { ( 2 )(), ( 2 )( 2 ), ( 2 )( 2) } = { ( 2 ), ( )(2 ), ( ) } (γʹ) Ο -κύκλος (2 ) δεν ανήκει στην ένωση συμπλόκων H ( 2 )H και άρα θα έχουμε το σύμπλοκο (2 )Η = { (2 )(), (2 )( 2 ), (2 )( 2) } = { (2 ), ( )(2 ), ( 2) } (δʹ) Ο -κύκλος (2 ) δεν ανήκει στην ένωση συμπλόκων H ( 2 )H (2 )H και άρα θα έχουμε το σύμπλοκο (2 )Η = { (2 )(), (2 )( 2 ), (2 )( 2) } = { (2 ), ( 2)( ), ( ) } Επομένως τα αριστερά σύμπλοκα της H στην A είναι: H, ( 2 )Η, (2 )Η, (2 )Η 5 Ασκηση 6. () Να υπολογιστεί ο πίνακας πράξης της εναλλάσσουσας υποομάδας A της (S, ). (2) Να δειχθεί ότι n, n, η εναλλάσσουσα υποομάδα A n της (S n, ) δεν είναι αβελιανή (μεταθετική). Λύση. Η εναλλάσσουσα ομάδα A είναι υποομάδα της συμμετρικής ομάδας S η οποία αποτελείται από τις άρτιες μεταθέσεις: A = { (), ( 2 ), ( 2 ), ( ), (2 ), ( 2), ( 2), ( ), (2 ), ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ) } Ο πίνακας πολλαπλασιασμού (Cayley) της ομάδας A δίνεται παρακάτω:

6 6 () (2) (2) () (2) (2) (2) () (2) (2)() ()(2) ()(2) () () (2) (2) () (2) (2) (2) () (2) (2)() ()(2) ()(2) (2) (2) (2) ()(2) (2) (2)() () () ()(2) (2) () (2) (2) (2) (2) ()(2) (2) ()(2) (2) () () (2) (2)() () (2) (2) () () (2) (2)() () ()(2) ()(2) (2) () (2) (2) (2) (2) (2) (2) ()(2) () ()(2) (2) (2) (2)() (2) () (2) () (2) (2) (2) () (2) (2)() () (2) ()(2) (2) ()(2) (2) (2) () (2) (2) (2) () (2) ()(2) ()(2) (2) (2)() () (2) () (2) () () (2)() (2) () (2) (2) ()(2) () ()(2) (2) (2) (2) (2) (2) () ()(2) (2) () (2)() (2) ()(2) (2) (2) (2) () (2)() (2)() (2) (2) (2) (2) () () (2) (2) () ()(2) ()(2) ()(2) ()(2) (2) () (2) (2) (2) (2) (2) () ()(2) () (2)() ()(2) ()(2) () (2) (2) () (2) (2) (2) (2) ()(2) (2)() () Για n, θεωρούμε τις ακόλουθες μεταθέσεις: ( ) 2 5 n σ = ( 2 ) = A 2 5 n n & τ = ( ) = Τότε ( 2 5 ) n 2 5 n σ τ = ( 2 ) ( ) = ( ) ( 2) ( 2) ( ) = ( ) ( 2 ) = τ σ και άρα η εναλλάσσουσα υποομάδα A n, n, της S n δεν είναι αβελιανή. A n Ασκηση 7. Να δείξετε ότι η εναλλάσουσα ομάδα A έχει υποομάδες τάξης, 2,, και 2, αλλά δεν έχει υποομάδα τάξης 6². Λύση. () Προφανώς η A έχει υποομάδες τάξης, και 2. Το στοιχείο (2)() παράγει μια κυκλική ομάδα τάξης 2, το στοιχείο (2) παράγει μια υποομάδα τάξης, και το σύνολο {(), ( 2)( ), ( )(2 ), ()(2)} είναι μια υποομάδα τάξης (η οποία είναι «ισόμορφη» με την ομάδα του Klein). (2) Υποθέτουμε ότι Η είναι μια υποομάδα της Α με o(h) = 6. Τότε προφανώς ο δείκτης [A : H] = A H = 2 6 = 2 και επομένως η H έχει 2 διακεκριμμένα αριστερά σύμπλοκα στην A. Θα δείξουμε ότι κάθε στοιχείο της A το οποίο είναι της μορφής g 2, όπου g A, ανήκει στην H: M = { g 2 A g A } H Πράγματι: έστω g A. Αν g H, τότε g 2 H διότι η H είναι υποομάδα της A. Αν g / H, τότε τα σύμπλοκα ()Η = Η και gh, δεν συμπίπτουν, διότι διαφορετικά αν H = gh, τότε g H που είναι άτοπο. Άρα επειδή τα σύμπλοκα ()Η = Η και gh είναι διαφορετικά και επειδή η H έχει 2 διακεκριμμένα αριστερά σύμπλοκα στην A, έπεται ότι τα σύμλοκα H και gη αποτελούν μια διαμέριση της A, και άρα: A = H gh, H gh = Το σύμπλοκο g 2 H θα συμπίπτει με ένα εκ των H και gη. Αν g 2 H = gh, τότε (g 2 ) g = g 2 g = g H. Επειδή η H είναι υποομάδα, θα έχουμε g H το οποίο είναι άτοπο. Συμπεραίνουμε ότι: g 2 H = H κάτι το οποίο σημαίναι ότι g 2 H. Άρα η έγκλειση ( ) ισχύει. ²Επειδή 6 2 = A, αυτό δείχνει ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος του Lagrange. ( )

7 Όμως το πλήθος των στοιχείων του συνόλου M των τετραγώνων στοιχείων της A είναι όπως μπορούμε να δούμε εύκολα, π.χ. από τον πίνακα πολλαπλασιασμού της A : M = { (), ( 2 ), ( 2 ), ( ), (2 ), ( 2), ( 2), ( ), (2 )} δηλαδή όλοι οι -κύκλοι και η ταυτοτική μετάθεση. Άρα M = 9 και επομένως δεν μπορεί να ισχύει η σχέση ( ), διότι H = 6. Στο άτοπο καταλήξαμε υποθέτοντας ότι η A έχει μια υποομάδα τάξης 6. Άρα η εναλλάσσουσα ομάδα A δεν έχει υποομάδα τάξης 6. 7 Ασκηση 8. Να βρεθεί το διάγραμμα Hasse της εναλλάσσουσας ομάδας A. Λύση. Σύμφωνα με το Θεώρημα του Lagrange, υποομάδες H της A τάξης n είναι πιθανόν να υπάρχουν, μόνον αν n = H 2, δηλαδή an n = 2, 6,,, 2,. Υπενθυμίζουμε την περιγραφή των στοιχείων της A από την Άσκηση 6: A = { (), ( 2 ), ( 2 ), ( ), (2 ), ( 2), ( 2), ( ), (2 ), ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ) } Προφανώς όλοι οι οκτώ το πλήθος -κύκλοι έχουν τάξη και τα τρία στοιχεία ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ) έχουν τάξη 2. Ιδιαίτερα δεν υπάρχουν στοιχεία τάξης ή 6. () Υποομάδες τάξης 2 της A : Προφανώς η μόνη υποομάδα τάξης 2 είναι η A. (2) Υποομάδες τάξης 6 της A : Όπως δείξαμε στην Άσκηση 7 δεν υπάρχει υποομάδα τάξης 6 της A. () Υποομάδες τάξης της A : Επειδή δεν υπάρχουν στοιχεία ταξης στην A, έπεται ότι δεν υπάρχει κυκλική υποομάδα τάξης στην A. Τότε όπως γνωρίζουμε, όλα τα στοιχεία, εκτός του ταυτοτικού, μιας υποομάδας τάξης θα έχουν τάξη 2. Τα μόνα στοιχεία τάξης 2 είναι τα γινόμενα των αντιμεταθέσεων ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ), και τότε εύκολα βλέπουμε, όπως στην Άσκηση 7, ότι το σύνολο V = {(), ( 2)( ), ( )(2 ), ()(2)} είναι μια υποομάδα τάξης (η οποία είναι «ισόμορφη» με την ομάδα του Klein). Προφανώς δεν υπάρχει άλλη υποομάδα τάξης στην A. () Υποομάδες τάξης της A : Αυτές, αν υπάρχουν, αναγκαστικά θα είναι κυκλικές με γεννήτορες στοιχεία τάξης. Έχουμε οκτώ στοιχεία τάξης, για τα οποία ισχύει ότι: ( 2) ( 2 ), ( 2) ( 2 ), ( ) ( ), (2 ) (2 ) Επομένως υπάρχουν τέσσερις διαφορετικές υποομάδες τάξης : ( 2 ), ( 2 ), ( ), (2 ) (5) Υποομάδες τάξης 2 της A : Αυτές, αν υπάρχουν, αναγκαστικά θα είναι κυκλικές με γεννήτορες στοιχεία τάξης 2. Έχουμε στοιχεία τάξης 2, τα ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ), τα οποία παράγουν τις ακόλουθες υποομάδες τάξης 2: ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ) Επειδή δεν υπάρχουν άλλα στοιχεία τάξης 2, έπεται ότι οι παραπάνω είναι όλες οι υποομάδες τάξης 2. Παρατηρούμε ότι οι παραπάνω υποομάδες τάξης 2 είναι υποομάδες της υποομάδας V τάξης. (6) Υποομάδες τάξης της A : Προφανώς η μόνη υποομάδα τάξης είναι η τετριμμένη {ι}.

8 8 Συνοψίζουμε: υπάρχουν, εκτός της τετριμμένης υποομάδας {ι}, και της A, υποομάδες τάξης οι οποίες παράγονται από -κύκλους, η ομάδα του Klein η οποία αποτελείται, εκτός της ταυτοτικής μετάθεσης, από γινόμενα 2-κύκλων, και οι υποομάδες της ομάδας του Klein οι οποίες παράγονται από τα στοιχεία τάξης 2. Μεταξύ αυτών των υποομάδων, οι μόνες μη-τετριμμένες ακμές οι οποίες υπάρχουν στο διάγραμμα Hasse των υποομάδων της A αντιπροσωπεύουν τις εγκλείσεις των τριών υποομάδων τάξης 2 στην ομάδα του Klein V. Το διάγραμμα Hasse των υποομάδων τής A A V (2) (2) (). (2) (2)() ()(2) ()(2) {Id } Ασκηση 9. Να δειχθεί ότι το πλήθος των άρτιων μεταθέσεων (μετατάξεων) μιας υποομάδας H της (S n, ) ισούται ή με o(h) ή με o(h)/2. Λύση. Έστω H S n. Θεωρούμε τα ακόλουθα υποσύνολα τής H: H + := {σ H σ = άρτια} & H =: H \ H + = {σ H σ = περιττή} Το H + είναι πάντοτε, αφού η H είναι υποομάδα τής S n και το ουδέτερο στοιχείο τής S n είναι άρτια μετάθεση (μετάταξη). Αν H + = H, τότε το πλήθος των άρτιων μετατάξεων (μεταθέσεων) τής H ισούται με (H). Αν το H + είναι γνήσιο υποσύνολο τής H, τότε το σύνολο H δεν είναι κενό και η H ως σύνολο είναι η αποσυνδετή (ξένη) ένωση των H + και H, δηλαδή H = H + H και H + H =. Γι αυτό και (H) = H = H + + H. Θα δείξουμε ότι το πλήθος τού H + ισούται με το πλήθος τού H κατασκευάζοντας δύο απεικονίσεις Φ: H + H και Ψ: H H + με Ψ Φ ίση με την ταυτοτική απεικόνιση επί τού H + και Φ Ψ ίση με την ταυτοτική απεικόνιση επί τού H. Έστω τ ένα συγκεκριμένο στοιχείο τού H. Θεωρούμε τις αντιστοιχίες Φ : H + H, α τ α & Ψ : H H +, β τ β Η Φ είναι όντως απεικόνιση, αφού όταν α H +, δηλαδή η α είναι μια άρτια μετάθεση (μετάταξη), τότε η σύνθεση τ α είναι περιττή, δηλαδή τ α H, αφού η τ είναι περιττή.

9 Η Ψ είναι όντως απεικόνιση, αφού όταν β H, δηλαδή η β είναι μια περιττή μετάθεση (μετάταξη), τότε η σύνθεση τ β είναι άρτια, δηλαδή τ β H +, αφού η τ είναι περιττή (διότι η τ είναι περιττή). Επιπλέον, για κάθε α H + είναι Ψ Φ(α) = Ψ(τ α) = τ (τ α) = α. Ωστε η Ψ Φ ίση με την ταυτοτική απεικόνιση επί τού H +. Τέλος, για κάθε β H είναι Φ Ψ(β) = Φ(τ β) = τ (τ β) = β. Ωστε η Φ Ψ ίση με την ταυτοτική απεικόνιση επί τού H. Συνεπώς, η Φ είναι αντιστρέψιμη και γι αυτό H + = H. Τώρα o(h) = H + + H = 2 H + και H + = o(h)/2. 9 Ασκηση 0. Να δειχθεί ότι το πρόσημο ε(σ) μιας μετάθεσης (μετάταξης ) σ της (S n, ) ισούται πάντοτε με το πρόσημο της ε(σ ) της σ. Λύση. Έστω σ = τ τ 2 τ m όπου τ i είναι αντιμεταθέσεις. Θυμίζουμε ότι κάθε μετάθεση γράφεται ως γινόμενο αντιμεταθέσεων, δείτε Άσκηση 7 παρακάτω. Τότε η αντίστροφη μετάθεση σ έχει τόσες αντιμεταθέσεις όσες έχει και η σ αφού σ = τ m τ m τ Επομένως αν η σ είναι άρτια τότε και η σ είναι άρτια και αν η σ είναι περιττή τότε και η σ είναι περιτή. Συνεπώς ε(σ) = = ε(σ ) ή ε(σ) = = ε(σ ) και άρα το πρόσημο ε(σ) μιας μετάθεσης σ S n ισούται πάντοτε με το πρόσημο ε(σ ) της σ. Ασκηση. Έστω ότι σ και τ είναι δύο στοιχεία της (S n, ), n 2. Να δειχθεί ότι () το στοιχείο στσ τ είναι πάντοτε στοιχείο της εναλλάσσουσας υποομάδας A n, (2) το στοιχείο στσ ανήκει στην A n, αν και μόνο αν, το στοιχείο τ ανήκει στην A n. Λύση. () Έστω σ = ρ ρ 2 ρ m και τ = μ μ 2 μ k όπου ρ i, μ j είναι αντιμεταθέσεις για κάθε i m και j k. Τότε έχουμε: σ τ σ τ = ρ ρ m μ μ k ρ m ρ μ k μ όπου σ = ρ m ρ και τ = μ k μ. Άρα το πλήθος των αντιμεταθέσεων της μετάθεσης σ τ σ τ είναι m + k + m + k = 2(m + k). Επομένως στσ τ A n. (2) Χρησιμοποιώντας τη παραπάνω ανάλυση σε αντιμεταθέσεις για τις σ και τ έχουμε: σ τ σ = ρ ρ m μ μ k ρ m ρ και άρα το πλήθος των αντιμεταθέσεων της μετάθεσης σ τ σ είναι m+k+m = 2m+k. Άρα η μετάθεση σ τ σ είναι άρτια αν και μόνο αν το k είναι άρτιος αριθμός, δηλαδή η μετάθεση τ είναι άρτια. Συνεπώς έχουμε ότι στσ A n αν και μόνο αν τ A n. Ασκηση 2. () Να βρεθεί το κέντρο Z(S n ) της συμμετρικής ομάδας S n ³. (2) Να βρεθεί το κέντρο Z(A n ) της εναλλάσσουσας ομάδας A n. Λύση. () (αʹ) Αν n 2, τότε η S n είναι αβελιανή και επομένως Z(S n ) = S n. ³Υπενθυμίζουμε ότι το κέντρο Z(G) μιας ομάδας G ορίζεται να είναι η υποομάδα Z(G) = {g G gh = hg, h G}.

10 0 (βʹ) Έστω n, και σ Z(S n ), όπου σ ι. Επειδή n 2 και σ ι, υπάρχουν στοιχεία i, j {, 2,, n}, όπου i j, έτσι ώστε σ(i) = j. Επειδή n, υπάρχει k {, 2,, n}, έτσι ώστε i k και k j. Τότε η μετάθεση σ (j k) στέλνει το i στο j η μετάθεση (j k) σ στέλνει το i στο k Άρα σ (j k) (j k) σ. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι σ Z(S n ). Στο άτοπο καταλήξαμε υποθέτοντας ότι υπάρχει μη-ταυτοτική μετάθεση σ Z(S n ). Άρα: Z(S n ) = {ι}. Επομένως Z(S n ) = S n, n 2 & Z(S n ) = {ι}, n (2) (αʹ) Αν n, τότε η A έχει τάξη και άρα είναι αβελιανή. Επομένως Z(A n ) = A n. (βʹ) Έστω n, και σ Z(A n ), όπου σ ι. Επειδή n 2 και σ ι, υπάρχουν στοιχεία i, j {, 2,, n}, όπου i j έτσι ώστε σ(i) = j. Επειδή n, υπάρχουν στοιχεία k, l {, 2,, n}, έτσι ώστε i k και k j, i l και j l. Τότε η μετάθεση σ (j k l) στέλνει το i στο j η μετάθεση (j k l) σ στέλνει το i στο k Άρα σ (j k) (j k) σ. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι σ Z(A n ). Στο άτοπο καταλήξαμε υποθέτοντας ότι υπάρχει μη-ταυτοτική μετάθεση σ Z(A n ). Άρα: Z(A n ) = {ι}. Επομένως Z(A n ) = A n, n & Z(A n ) = {ι}, n Ασκηση. () Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της (S n, ), n 2, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αντιμεταθέσεων της μορφής ( i). (2) Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της S n, n 2, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο (δυνάμεων) των μεταθέσεων ( 2) και ( 2 n). Λύση. Γνωρίζουμε ότι κάθε στοιχείο της S n είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων αφού κάθε μετάθεση σ S n αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο κύκλων ξένων μεταξύ τους ανα δύο και κάθε κύκλος (a a 2 a m a m ) γράφεται ως εξής: (a a 2 a m a m ) = (a a m ) (a a m ) (a a ) (a a 2 ) Όμως για μια αντιμετάθεση (i j) με i j έχουμε και άρα (i j) = ( i) ( j) ( i) (a a 2 a m a m ) = ( a ) ( a m ) ( a ) ( a ) ( a 2 ) ( a ) Επομένως κάθε στοιχείο της (S n, ), n 2, είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων της μορφής ( i). Ασκηση. Να υπολογιστεί η ομάδα συμμετριών του ρόμβου:

11 Λύση. Ένας ρόμβος έχει δύο άξονες ανάκλασεις και μια στροφή 80 γύρω από το κέντρο του ρόμβου. Παρακάτω παραθέτουμε τις συμμετρίες του ρόμβου: Στροφή 80 : 2. Τη παραπάνω διαδικασία περιγράφει η μετάθεση σ = ( )(2 ) S (σ) = 2. όπου η τάξη της είναι Ανάκλαση ως προς τον άξονα που διέρχεται από το και το 2: Την ανάκλαση ως προς τον άξονα -2 περιγράφει η μετάθεση τ = ( ) S και (τ) = 2. Ανάκλαση ως προς τον άξονα που διέρχεται από το και το :

12 2 2. Την ανάκλαση ως προς τον άξονα - περιγράφει η μετάθεση ρ = (2 ) S και (ρ) = 2. Ο πίνακας πολλαπλασιασμού της ομάδας συμμετριών του ρόμβου είναι ο ακόλουθος: () ( )(2 ) ( ) (2 ) () () ( )(2 ) ( ) (2 ) ( )(2 ) ( )(2 ) () (2 ) ( ) ( ) ( ) (2 ) () ( )(2 ) (2 ) (2 ) ( ) (2 )( ) () Μια ομάδα που είναι «ισόμορφη» με την ομάδα συμμετριών του ρόμβου είναι η ομάδα V του Klein, δηλαδή το ευθύ γινόμενο Z 2 Z 2 : Z 2 Z 2 = { ([0], [0]), ([0], []), ([], [0]), ([], []) } που έχει πίνακα: Η αντιστοιχία + ([0], [0]) ([], [0]) ([0], []) ([], []) ([0], [0]) ([0], [0]) ([], [0]) ([0], []) ([], []) ([], [0]) ([], [0]) ([0], [0]) ([], []) ([0], []) ([0], []) ([0], []) ([], []) ([0], [0]) ([], [0]) ([], []) ([], []) ([0], []) ([], [0]) ([0], [0]) () ([0], [0]), ( )(2 ) ([], [0]), ( ) ([0], []), (2 ) ([], []) μεταξύ των στοιχείων της ομάδας των συμμετριών του ρόμβου και των στοιχείων της Z 2 Z 2 δείχνει πράγματι ότι η ομάδα συμμετριών του ρόμβου είναι η Z 2 Z 2.

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές Έννοιες 1 1.1 Ορισμοί - παραδείγματα.............................. 1 1.2 Υποομάδες και Σύμπλοκα..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc)

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc) ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Ασκήσεις 1. Δείξτε ότι ο a 1 διαιρεί τον a n 1 για κάθε a Z και κάθε n N. 2. Δίνονται οι ακέραιοι a = 126 και b = 434. (α Υπολογίστε το µκδ(a, b. (β Βρείτε x, y Z

Διαβάστε περισσότερα