Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013"

Transcript

1 Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : https://sites.google.com/site/mathsedu/home/algdom Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 20 Ασκηση. Θεωρούμε τα ακόλουθα στοιχεία της (S 6, ): ( ) ( ) ( ) σ =, τ =, μ = Λύση. () Να προσδιοριστούν οι χ τροχιές στις οποίες διαμερίζεται το σύνολο {, 2,,, 5, 6}, όταν χ = σ, τ, και μ. (2) Να προσδιοριστούν οι τάξεις o(σ), o(τ), και o(μ). () Να προσδιοριστεί η ανάλυση σε αποσυνδετούς (ξένους) κύκλους των σ, σ 2, σ, σ, σ 5, σ 6 (Τι παρατηρείτε;). () Να υπολογιστούν τα στοιχεία: σ τ σ, σ τ σ, τ σ τ, μ τ μ, μ τ 7 μ. (5) Να επιλυθεί ως προς x η εξίσωση: x σ x = ( 2 5 6). (6) Να δειχθεί ότι η ως προς x εξίσωση: x σ x = τ δεν διαθέτει λύση. () Για τη μετάθεση σ έχουμε: [] σ = {,,, 5, 6, 2} Άρα η σ έχει μόνο μια τροχιά αφού είναι ο κύκλος σ = ( 5 6 2). Για τη μετάθεση τ έχουμε: [] τ = {, 2,, } και [5] τ = {5, 6} Άρα η τ έχει δυο τροχιές και τ = ( 2 )(5 6). Για τη μετάθεση μ έχουμε: [] μ = {, 5}, [2] μ = {2}, [] μ = {, } και [6] μ = {6} Άρα η μ έχει τέσσερις τροχιές και μ = ( 5)( ). (2) Υπενθυμίζουμε από τη Θεωρία ότι ένας κύκλος μήκους k έχει τάξη k και η τάξη μιας μετάθεσης που είναι γινόμενο ξένων κύκλων είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των μηκών των κύκλων. Άρα επειδή έχουμε: σ = ( 5 6 2) & τ = ( 2 )(5 6) & μ = ( 5)( ) o(σ) = 6 & o(τ) = [, 2] = & o(μ) = [2, 2] = 2

2 2 () Έχουμε: σ = ( 5 6 2) σ 2 = σ σ = ( 5 6 2) ( 5 6 2) = ( 6)( 5 2) σ = σ σ 2 = ( 5 6 2) ( 6)( 5 2) = ( 6)(5 )(2 ) σ = σ 2 σ 2 = ( 6)( 5 2) ( 6)( 5 2) = ( 2 5)( 6 ) σ 5 = σ σ = ( 2 5)( 6 ) ( 5 6 2) = ( ) σ 6 = () = ι Παρατηρούμε λοιπόν ότι η μετάθεση σ είναι κύκλος, αλλά η μετάθεση σ 2 δεν είναι κύκλος. Άρα η δύναμη κύκλου δεν είναι γενικά κύκλος. Από την άλλη πλευρά παρατηρούμε οτι η δύναμη σ 5 του κύκλου σ είναι κύκλος¹. () Έχουμε: σ τ σ = ( 5 6 2) ( 2 )(5 6) (2 6 5 ) = (2 6)( 5 ) σ τ σ = (2 6 5 ) ( 2 )(5 6) ( 5 6 2) = ( 2 6 )( 5) τ σ τ = ( 2 )(5 6) ( 5 6 2) (5 6)( 2 ) = ( ) μ τ μ = ( 5)( ) ( 2 )(5 6) ( )(5 6) = ( 6)(2 5) Επειδή μ 2 = () έχουμε ότι μ = μ και επειδή τ = () έπεται ότι τ 7 = τ = τ. Άρα έχουμε: μ τ 7 μ = μ τ μ = ( 5)( ) (5 6)( 2 ) ( 5)( ) = ( 2 5 )( 6) (5) Έχουμε: x σ x = ( 2 5 6) = (x() x() x() x(5) x(6) x(2)) = ( 2 5 6) = x() =, x() = 2, x() =, x(5) =, x(6) = 5, x(2) = 6 Άρα λύση της εξίσωσης x σ x = ( 2 5 6) είναι η μετάθεση x = (2 6 5 ). (6) Από το ερώτημα (5) έχουμε ότι η μετάθεση x σ x είναι πάντοτε κύκλος. Όμως η μετάθεση τ δεν είναι κύκλος και άρα η εξίσωση: x σ x = τ δεν διαθέτει λύση. Ασκηση 2. () Έστω σ S n ένα στοιχείο της συμμετρικής ομάδας S n, n 2. Να δειχθεί ότι η τάξη του σ είναι 2 αν και μόνον αν η μετάθεση σ είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων ξένων (αποσυνδετών) ανά δύο. (2) Έστω τ S 7 ένα στοιχείο της συμμετρικής ομάδας S 7 για το οποίο γνωρίζουμε ότι: τ = ( ). Να βρεθεί η μετάθεση τ και να γραφεί ως γινόμενο ξένων (αποσυνδετών) κύκλων και αντιμεταθέσεων. ¹Γενικά αποδεικνύεται ότι αν ρ είναι ένας κύκλος μήκους k και m, τότε η μετάθεση ρ m μόνον αν (k, m) =, βλέπε το Φυλλάδιο 6 των Προτεινόμενων Ασκήσεων. είναι κύκλος αν και

3 Λύση. () Γνωρίζουμε ότι για κάθε σ S n, έχουμε: σ = c c 2 c t όπου τα c i, i t είναι κύκλοι τής S n αποσυνδετοί (ξένοι) ανά δύο. Γνωρίζουμε ακόμα ότι η τάξη τού σ ισούται με το Ε.Κ.Π. των τάξεων o(c i ), i t των κύκλων. Αλλά η τάξη οποιουδήποτε κύκλου c τής S n συμπίπτει με το μήκος του l(c). Γι αυτό o(σ) = Ε.Κ.Π. {l(c ), l(c 2 ),..., l(c t )} = [l(c ), l(c 2 ),..., l(c t )] Επιπλέον, αν ο σ δεν είναι το ταυτοτικό στοιχείο τής S n, τότε στην προηγούμενη ανάλυση (*) μπορούμε να θεωρήσουμε μόνο κύκλους μήκους 2. Επομένως: o(σ) = 2 = Ε.Κ.Π. {l(c ), l(c 2 ),..., l(c t )} = 2 = i, i t : l(c i ) = 2 = i, i t : c i = αντιμετάθεση. Αντίστροφα αν, ο σ είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων (ξένων) αποσυνδετών ανά δύο, τότε η τάξη του είναι το Ε.Κ.Π. των μηκών τους, δηλαδή 2. (2) Επειδή τ τ και επειδή η τάξη της τ ως κύκλου μήκους 7 είναι ίση με 7, έπεται ότι 7 = o(τ ) o(τ). Από το (), θα έχουμε τ = τ τ 2 τ r, όπου οι κύκλοι τ i είναι ξένοι μεταξύ τους, και o(τ) = Ε.Κ.Π. {l(c ), l(c 2 ),..., l(c r )} και l(c ) + l(c 2 ) + + l(c r ) = 7. Επειδή 7 o(τ), αναγκαστικά θα έχουμε ότι η τ είναι κύκλος μήκους 7 και άρα o(τ) = 7. Τότε τ = e τ = τ 7 τ = τ 8 = τ τ = ( ) ( ) = ( ) Τέλος η τ γράφεται ως γινόμενο αντιμεταθέσεων ως εξής: τ = ( ) = ( 7) ( 5) ( ) ( 2) ( 6) ( ) ( ) Ασκηση. Θεωρούμε τις μεταθέσεις (μετατάξεις) της συμμετρικής ομάδας S 8 : ( ) ( ) τ = και σ = Λύση. () Να γραφούν οι μεταθέσεις σ και τ ως γινόμενα ξένων κύκλων. (2) Να προσδιοριστούν οι τάξεις των μεταθέσεων τ και σ. () Να υπολογιστεί η μετάθεση σ 20. () Να εξεταστεί αν, υπάρχει μετάθεση ρ S 8 τέτοια, ώστε: ρτρ = σ. Αν υπάρχει, να βρείτε μια τέτοια μετάθεση. () Θα έχουμε: (2) Θα έχουμε: τ = ( 2)( 5)(6 7 8) & σ = ( 6)(2 8)(5 7) () Επειδή 20 = 6 5 +, θα έχουμε: o(τ) = [2,, ] = 6 & o(σ) = [,, 2] = 6 σ 20 = σ 6 5+ = σ 6 5 σ = (σ 6 ) 5 σ = ι σ = σ Επειδή ξένοι κύκλοι αντιμετατίθενται, θα έχουμε: σ = ( ( 6)(2 8)(5 7) ) = ( 6) (2 8) (5 7) = (5 7) = (5 7) 2 (5 7) = (5 7)

4 () Επειδή τ = ( 2)( 5)(6 7 8) & σ = ( 6)(2 8)(5 7) = (5 7)( 6)(2 8) οι σ, τ έχουν την ίδια ανάλυση σε ξένους κύκλους (έναν κύκλο μήκους 2 και δύο κύκλους μήκους ). Άρα υπάρχει μετάθεση ρ S 8 έτσι ώστε: ρτρ = σ. Πράγματι θεωρούμε την μετάθεση: ( ) ρ = ( 7 )(2 5 6) = Τότε υπολογίζουμε εύκολα: ρτρ = ρ( 2)( 5)(6 7 8)ρ = ρ( 2)ρ ρ( 5)ρ ρ(6 7 8)ρ = = (ρ() ρ(2)) (ρ() ρ() ρ(5)) (ρ(6) ρ(7) ρ(8)) = (7 5) ( 6) (2 8) = σ Ασκηση. Θεωρούμε τη συμμετρική ομάδα S n, n. () Κάθε κύκλος στην S n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο το πολύ n αντιμεταθέσεων. (2) Κάθε μετάθεση στην S n η οποία δεν είναι κύκλος, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο το πολύ n 2 αντιμεταθέσεων. () Κάθε περιττή μετάθεση στην S n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο 2n + αντιμεταθέσεων. () Κάθε άρτια μετάθεση στην S n μπορεί να γραφεί ως γινόμενο 2n + 8 αντιμεταθέσεων. Λύση. () Κάθε κύκλος γ = ( c c 2... ) c l, 2 l n γράφεται ως γινόμενο l αντιμεταθέσεων, αφού γ = ( c c l ) ( c c l ) ( c c i ) ( c c ) ( c c 2 ). (2) Αν σ S n δεν είναι κύκλος, τότε σ = γ γ 2 γ ρ, όπου οι γ i είναι αποσυνδετοί (ξένοι) κύκλοι με μήκη l(γ i ) 2 και όπου το άθροισμα των μηκών ρ i= l(γ i ) είναι n και όπου το ρ 2. Αφού κάθε κύκλος γ i είναι σύνθεση l(γ i ) αντιμεταθέσεων, η σ είναι σύνθεση ρ i= (l(γ i ) ) = ρ i= l(γ i ) ρ n ρ n 2. Επομένως, κάθε μετάθεση τής S n γράφεται ως γινόμενο το πολύ n αντιμεταθέσεων. () Αν τώρα η σ είναι περιττή τότε γράφεται ως γινόμενο s n αντιμεταθέσεων, όπου ο s είναι περιττός. Επομένως 2n + = s + (2n + s), όπου ο 2n + s είναι θετικός και άρτιος. Συμπληρώνουμε την ανάλυση τής σ με τις s το πλήθος αντιμεταθέσεις με την άρτια δύναμη ( ) 2n+ s 2, η οποία ισούται με την ταυτοτική απεικόνιση. Έτσι η σ γράφεται ως γινόμενο 2n + αντιμεταθέσεων. () Αν τέλος η σ είναι άρτια τότε γράφεται ως γινόμενο s n αντιμεταθέσεων, όπου ο s είναι άρτιος. Επομένως 2n + 8 = s + (2n + 8 s), όπου ο 2n + 8 s είναι θετικός και άρτιος. Συμπληρώνουμε την ανάλυση τής σ με τις s το πλήθος αντιμεταθέσεις με την άρτια δύναμη ( ) 2n+8 s 2, η οποία ισούται με την ταυτοτική απεικόνιση. Έτσι η σ γράφεται ως γινόμενο 2n + 8 αντιμεταθέσεων. Ασκηση 5. () Να δείξετε ότι κάθε μετάθεση σ A n, n, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο -κύκλων. (2) Να βρεθούν τα αριστερά σύμπλοκα (πλευρικές κλάσεις) της κυκλικής υποομάδας H = ( 2 ) στην A. Λύση. () Παρατηρούμε ότι για n =, στην εναλλάσσουσα ομάδα A όλα τα στοιχεία της, εκτός του ταυτοτικού, είναι κύκλοι μήκους, και η ταυτοτική μετάθεση είναι γινόμενο κύκλων μήκους : A = { () = ( 2 )( 2 )( 2 ), ( 2 ), ( 2) }

5 Αν n, τότε επειδή κάθε στοιχείο της A n γράφεται σαν γινόμενο άρτιου πλήθους αντιμεταθέσεων, αρκεί να δείξουμε ότι το γινόμενο δυο αντιμεταθέσεων (a b), (c d) είναι γινόμενο κύκλων μήκους. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (αʹ) Αν οι αντιμεταθέσεις (a b) και (c d) είναι ξένες μεταξύ τους, τότε (a b) (c d) = (a c b) (a c d) (βʹ) Έστω ότι οι αντιμεταθέσεις (a b) και (c d) έχουν ένα κοινό στοιχείο. Αν λοιπόν a = c τότε (a b) (a d) = (a d b) Σημειώνουμε ότι αν έχουν δυο κοινά στοιχεία τότε το γινόμενο τους είναι η ταυτοτική μετάθεση. Συνεπώς το γινόμενο δύο αντιμεταθέσεων είναι γινόμενο κύκλων μήκους και άρα κάθε στοιχείο της εναλλάσσουσας ομάδας A n, n, είναι γινόμενο κύκλων μήκους. (2) Επειδή η μετάθεση ( 2 ) είναι ένας κύκλος μήκους τρία, έπεται ότι η τάξη της H είναι και επομένως ο δείκτης της H στην A θα είναι [A : H] = 2 =. Έτσι θα έχουμε αριστερά σύμπλοκα (πλευρικές κλάσεις). (αʹ) Θα έχουμε το σύμπλοκο ()H = H = { (), ( 2 ), ( 2) } (βʹ) Ο -κύκλος ( 2 ) δεν ανήκει στην Η και άρα θα έχουμε το σύμπλοκο ( 2 )Η = { ( 2 )(), ( 2 )( 2 ), ( 2 )( 2) } = { ( 2 ), ( )(2 ), ( ) } (γʹ) Ο -κύκλος (2 ) δεν ανήκει στην ένωση συμπλόκων H ( 2 )H και άρα θα έχουμε το σύμπλοκο (2 )Η = { (2 )(), (2 )( 2 ), (2 )( 2) } = { (2 ), ( )(2 ), ( 2) } (δʹ) Ο -κύκλος (2 ) δεν ανήκει στην ένωση συμπλόκων H ( 2 )H (2 )H και άρα θα έχουμε το σύμπλοκο (2 )Η = { (2 )(), (2 )( 2 ), (2 )( 2) } = { (2 ), ( 2)( ), ( ) } Επομένως τα αριστερά σύμπλοκα της H στην A είναι: H, ( 2 )Η, (2 )Η, (2 )Η 5 Ασκηση 6. () Να υπολογιστεί ο πίνακας πράξης της εναλλάσσουσας υποομάδας A της (S, ). (2) Να δειχθεί ότι n, n, η εναλλάσσουσα υποομάδα A n της (S n, ) δεν είναι αβελιανή (μεταθετική). Λύση. Η εναλλάσσουσα ομάδα A είναι υποομάδα της συμμετρικής ομάδας S η οποία αποτελείται από τις άρτιες μεταθέσεις: A = { (), ( 2 ), ( 2 ), ( ), (2 ), ( 2), ( 2), ( ), (2 ), ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ) } Ο πίνακας πολλαπλασιασμού (Cayley) της ομάδας A δίνεται παρακάτω:

6 6 () (2) (2) () (2) (2) (2) () (2) (2)() ()(2) ()(2) () () (2) (2) () (2) (2) (2) () (2) (2)() ()(2) ()(2) (2) (2) (2) ()(2) (2) (2)() () () ()(2) (2) () (2) (2) (2) (2) ()(2) (2) ()(2) (2) () () (2) (2)() () (2) (2) () () (2) (2)() () ()(2) ()(2) (2) () (2) (2) (2) (2) (2) (2) ()(2) () ()(2) (2) (2) (2)() (2) () (2) () (2) (2) (2) () (2) (2)() () (2) ()(2) (2) ()(2) (2) (2) () (2) (2) (2) () (2) ()(2) ()(2) (2) (2)() () (2) () (2) () () (2)() (2) () (2) (2) ()(2) () ()(2) (2) (2) (2) (2) (2) () ()(2) (2) () (2)() (2) ()(2) (2) (2) (2) () (2)() (2)() (2) (2) (2) (2) () () (2) (2) () ()(2) ()(2) ()(2) ()(2) (2) () (2) (2) (2) (2) (2) () ()(2) () (2)() ()(2) ()(2) () (2) (2) () (2) (2) (2) (2) ()(2) (2)() () Για n, θεωρούμε τις ακόλουθες μεταθέσεις: ( ) 2 5 n σ = ( 2 ) = A 2 5 n n & τ = ( ) = Τότε ( 2 5 ) n 2 5 n σ τ = ( 2 ) ( ) = ( ) ( 2) ( 2) ( ) = ( ) ( 2 ) = τ σ και άρα η εναλλάσσουσα υποομάδα A n, n, της S n δεν είναι αβελιανή. A n Ασκηση 7. Να δείξετε ότι η εναλλάσουσα ομάδα A έχει υποομάδες τάξης, 2,, και 2, αλλά δεν έχει υποομάδα τάξης 6². Λύση. () Προφανώς η A έχει υποομάδες τάξης, και 2. Το στοιχείο (2)() παράγει μια κυκλική ομάδα τάξης 2, το στοιχείο (2) παράγει μια υποομάδα τάξης, και το σύνολο {(), ( 2)( ), ( )(2 ), ()(2)} είναι μια υποομάδα τάξης (η οποία είναι «ισόμορφη» με την ομάδα του Klein). (2) Υποθέτουμε ότι Η είναι μια υποομάδα της Α με o(h) = 6. Τότε προφανώς ο δείκτης [A : H] = A H = 2 6 = 2 και επομένως η H έχει 2 διακεκριμμένα αριστερά σύμπλοκα στην A. Θα δείξουμε ότι κάθε στοιχείο της A το οποίο είναι της μορφής g 2, όπου g A, ανήκει στην H: M = { g 2 A g A } H Πράγματι: έστω g A. Αν g H, τότε g 2 H διότι η H είναι υποομάδα της A. Αν g / H, τότε τα σύμπλοκα ()Η = Η και gh, δεν συμπίπτουν, διότι διαφορετικά αν H = gh, τότε g H που είναι άτοπο. Άρα επειδή τα σύμπλοκα ()Η = Η και gh είναι διαφορετικά και επειδή η H έχει 2 διακεκριμμένα αριστερά σύμπλοκα στην A, έπεται ότι τα σύμλοκα H και gη αποτελούν μια διαμέριση της A, και άρα: A = H gh, H gh = Το σύμπλοκο g 2 H θα συμπίπτει με ένα εκ των H και gη. Αν g 2 H = gh, τότε (g 2 ) g = g 2 g = g H. Επειδή η H είναι υποομάδα, θα έχουμε g H το οποίο είναι άτοπο. Συμπεραίνουμε ότι: g 2 H = H κάτι το οποίο σημαίναι ότι g 2 H. Άρα η έγκλειση ( ) ισχύει. ²Επειδή 6 2 = A, αυτό δείχνει ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος του Lagrange. ( )

7 Όμως το πλήθος των στοιχείων του συνόλου M των τετραγώνων στοιχείων της A είναι όπως μπορούμε να δούμε εύκολα, π.χ. από τον πίνακα πολλαπλασιασμού της A : M = { (), ( 2 ), ( 2 ), ( ), (2 ), ( 2), ( 2), ( ), (2 )} δηλαδή όλοι οι -κύκλοι και η ταυτοτική μετάθεση. Άρα M = 9 και επομένως δεν μπορεί να ισχύει η σχέση ( ), διότι H = 6. Στο άτοπο καταλήξαμε υποθέτοντας ότι η A έχει μια υποομάδα τάξης 6. Άρα η εναλλάσσουσα ομάδα A δεν έχει υποομάδα τάξης 6. 7 Ασκηση 8. Να βρεθεί το διάγραμμα Hasse της εναλλάσσουσας ομάδας A. Λύση. Σύμφωνα με το Θεώρημα του Lagrange, υποομάδες H της A τάξης n είναι πιθανόν να υπάρχουν, μόνον αν n = H 2, δηλαδή an n = 2, 6,,, 2,. Υπενθυμίζουμε την περιγραφή των στοιχείων της A από την Άσκηση 6: A = { (), ( 2 ), ( 2 ), ( ), (2 ), ( 2), ( 2), ( ), (2 ), ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ) } Προφανώς όλοι οι οκτώ το πλήθος -κύκλοι έχουν τάξη και τα τρία στοιχεία ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ) έχουν τάξη 2. Ιδιαίτερα δεν υπάρχουν στοιχεία τάξης ή 6. () Υποομάδες τάξης 2 της A : Προφανώς η μόνη υποομάδα τάξης 2 είναι η A. (2) Υποομάδες τάξης 6 της A : Όπως δείξαμε στην Άσκηση 7 δεν υπάρχει υποομάδα τάξης 6 της A. () Υποομάδες τάξης της A : Επειδή δεν υπάρχουν στοιχεία ταξης στην A, έπεται ότι δεν υπάρχει κυκλική υποομάδα τάξης στην A. Τότε όπως γνωρίζουμε, όλα τα στοιχεία, εκτός του ταυτοτικού, μιας υποομάδας τάξης θα έχουν τάξη 2. Τα μόνα στοιχεία τάξης 2 είναι τα γινόμενα των αντιμεταθέσεων ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ), και τότε εύκολα βλέπουμε, όπως στην Άσκηση 7, ότι το σύνολο V = {(), ( 2)( ), ( )(2 ), ()(2)} είναι μια υποομάδα τάξης (η οποία είναι «ισόμορφη» με την ομάδα του Klein). Προφανώς δεν υπάρχει άλλη υποομάδα τάξης στην A. () Υποομάδες τάξης της A : Αυτές, αν υπάρχουν, αναγκαστικά θα είναι κυκλικές με γεννήτορες στοιχεία τάξης. Έχουμε οκτώ στοιχεία τάξης, για τα οποία ισχύει ότι: ( 2) ( 2 ), ( 2) ( 2 ), ( ) ( ), (2 ) (2 ) Επομένως υπάρχουν τέσσερις διαφορετικές υποομάδες τάξης : ( 2 ), ( 2 ), ( ), (2 ) (5) Υποομάδες τάξης 2 της A : Αυτές, αν υπάρχουν, αναγκαστικά θα είναι κυκλικές με γεννήτορες στοιχεία τάξης 2. Έχουμε στοιχεία τάξης 2, τα ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ), τα οποία παράγουν τις ακόλουθες υποομάδες τάξης 2: ( 2)( ), ( )(2 ), ( )(2 ) Επειδή δεν υπάρχουν άλλα στοιχεία τάξης 2, έπεται ότι οι παραπάνω είναι όλες οι υποομάδες τάξης 2. Παρατηρούμε ότι οι παραπάνω υποομάδες τάξης 2 είναι υποομάδες της υποομάδας V τάξης. (6) Υποομάδες τάξης της A : Προφανώς η μόνη υποομάδα τάξης είναι η τετριμμένη {ι}.

8 8 Συνοψίζουμε: υπάρχουν, εκτός της τετριμμένης υποομάδας {ι}, και της A, υποομάδες τάξης οι οποίες παράγονται από -κύκλους, η ομάδα του Klein η οποία αποτελείται, εκτός της ταυτοτικής μετάθεσης, από γινόμενα 2-κύκλων, και οι υποομάδες της ομάδας του Klein οι οποίες παράγονται από τα στοιχεία τάξης 2. Μεταξύ αυτών των υποομάδων, οι μόνες μη-τετριμμένες ακμές οι οποίες υπάρχουν στο διάγραμμα Hasse των υποομάδων της A αντιπροσωπεύουν τις εγκλείσεις των τριών υποομάδων τάξης 2 στην ομάδα του Klein V. Το διάγραμμα Hasse των υποομάδων τής A A V (2) (2) (). (2) (2)() ()(2) ()(2) {Id } Ασκηση 9. Να δειχθεί ότι το πλήθος των άρτιων μεταθέσεων (μετατάξεων) μιας υποομάδας H της (S n, ) ισούται ή με o(h) ή με o(h)/2. Λύση. Έστω H S n. Θεωρούμε τα ακόλουθα υποσύνολα τής H: H + := {σ H σ = άρτια} & H =: H \ H + = {σ H σ = περιττή} Το H + είναι πάντοτε, αφού η H είναι υποομάδα τής S n και το ουδέτερο στοιχείο τής S n είναι άρτια μετάθεση (μετάταξη). Αν H + = H, τότε το πλήθος των άρτιων μετατάξεων (μεταθέσεων) τής H ισούται με (H). Αν το H + είναι γνήσιο υποσύνολο τής H, τότε το σύνολο H δεν είναι κενό και η H ως σύνολο είναι η αποσυνδετή (ξένη) ένωση των H + και H, δηλαδή H = H + H και H + H =. Γι αυτό και (H) = H = H + + H. Θα δείξουμε ότι το πλήθος τού H + ισούται με το πλήθος τού H κατασκευάζοντας δύο απεικονίσεις Φ: H + H και Ψ: H H + με Ψ Φ ίση με την ταυτοτική απεικόνιση επί τού H + και Φ Ψ ίση με την ταυτοτική απεικόνιση επί τού H. Έστω τ ένα συγκεκριμένο στοιχείο τού H. Θεωρούμε τις αντιστοιχίες Φ : H + H, α τ α & Ψ : H H +, β τ β Η Φ είναι όντως απεικόνιση, αφού όταν α H +, δηλαδή η α είναι μια άρτια μετάθεση (μετάταξη), τότε η σύνθεση τ α είναι περιττή, δηλαδή τ α H, αφού η τ είναι περιττή.

9 Η Ψ είναι όντως απεικόνιση, αφού όταν β H, δηλαδή η β είναι μια περιττή μετάθεση (μετάταξη), τότε η σύνθεση τ β είναι άρτια, δηλαδή τ β H +, αφού η τ είναι περιττή (διότι η τ είναι περιττή). Επιπλέον, για κάθε α H + είναι Ψ Φ(α) = Ψ(τ α) = τ (τ α) = α. Ωστε η Ψ Φ ίση με την ταυτοτική απεικόνιση επί τού H +. Τέλος, για κάθε β H είναι Φ Ψ(β) = Φ(τ β) = τ (τ β) = β. Ωστε η Φ Ψ ίση με την ταυτοτική απεικόνιση επί τού H. Συνεπώς, η Φ είναι αντιστρέψιμη και γι αυτό H + = H. Τώρα o(h) = H + + H = 2 H + και H + = o(h)/2. 9 Ασκηση 0. Να δειχθεί ότι το πρόσημο ε(σ) μιας μετάθεσης (μετάταξης ) σ της (S n, ) ισούται πάντοτε με το πρόσημο της ε(σ ) της σ. Λύση. Έστω σ = τ τ 2 τ m όπου τ i είναι αντιμεταθέσεις. Θυμίζουμε ότι κάθε μετάθεση γράφεται ως γινόμενο αντιμεταθέσεων, δείτε Άσκηση 7 παρακάτω. Τότε η αντίστροφη μετάθεση σ έχει τόσες αντιμεταθέσεις όσες έχει και η σ αφού σ = τ m τ m τ Επομένως αν η σ είναι άρτια τότε και η σ είναι άρτια και αν η σ είναι περιττή τότε και η σ είναι περιτή. Συνεπώς ε(σ) = = ε(σ ) ή ε(σ) = = ε(σ ) και άρα το πρόσημο ε(σ) μιας μετάθεσης σ S n ισούται πάντοτε με το πρόσημο ε(σ ) της σ. Ασκηση. Έστω ότι σ και τ είναι δύο στοιχεία της (S n, ), n 2. Να δειχθεί ότι () το στοιχείο στσ τ είναι πάντοτε στοιχείο της εναλλάσσουσας υποομάδας A n, (2) το στοιχείο στσ ανήκει στην A n, αν και μόνο αν, το στοιχείο τ ανήκει στην A n. Λύση. () Έστω σ = ρ ρ 2 ρ m και τ = μ μ 2 μ k όπου ρ i, μ j είναι αντιμεταθέσεις για κάθε i m και j k. Τότε έχουμε: σ τ σ τ = ρ ρ m μ μ k ρ m ρ μ k μ όπου σ = ρ m ρ και τ = μ k μ. Άρα το πλήθος των αντιμεταθέσεων της μετάθεσης σ τ σ τ είναι m + k + m + k = 2(m + k). Επομένως στσ τ A n. (2) Χρησιμοποιώντας τη παραπάνω ανάλυση σε αντιμεταθέσεις για τις σ και τ έχουμε: σ τ σ = ρ ρ m μ μ k ρ m ρ και άρα το πλήθος των αντιμεταθέσεων της μετάθεσης σ τ σ είναι m+k+m = 2m+k. Άρα η μετάθεση σ τ σ είναι άρτια αν και μόνο αν το k είναι άρτιος αριθμός, δηλαδή η μετάθεση τ είναι άρτια. Συνεπώς έχουμε ότι στσ A n αν και μόνο αν τ A n. Ασκηση 2. () Να βρεθεί το κέντρο Z(S n ) της συμμετρικής ομάδας S n ³. (2) Να βρεθεί το κέντρο Z(A n ) της εναλλάσσουσας ομάδας A n. Λύση. () (αʹ) Αν n 2, τότε η S n είναι αβελιανή και επομένως Z(S n ) = S n. ³Υπενθυμίζουμε ότι το κέντρο Z(G) μιας ομάδας G ορίζεται να είναι η υποομάδα Z(G) = {g G gh = hg, h G}.

10 0 (βʹ) Έστω n, και σ Z(S n ), όπου σ ι. Επειδή n 2 και σ ι, υπάρχουν στοιχεία i, j {, 2,, n}, όπου i j, έτσι ώστε σ(i) = j. Επειδή n, υπάρχει k {, 2,, n}, έτσι ώστε i k και k j. Τότε η μετάθεση σ (j k) στέλνει το i στο j η μετάθεση (j k) σ στέλνει το i στο k Άρα σ (j k) (j k) σ. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι σ Z(S n ). Στο άτοπο καταλήξαμε υποθέτοντας ότι υπάρχει μη-ταυτοτική μετάθεση σ Z(S n ). Άρα: Z(S n ) = {ι}. Επομένως Z(S n ) = S n, n 2 & Z(S n ) = {ι}, n (2) (αʹ) Αν n, τότε η A έχει τάξη και άρα είναι αβελιανή. Επομένως Z(A n ) = A n. (βʹ) Έστω n, και σ Z(A n ), όπου σ ι. Επειδή n 2 και σ ι, υπάρχουν στοιχεία i, j {, 2,, n}, όπου i j έτσι ώστε σ(i) = j. Επειδή n, υπάρχουν στοιχεία k, l {, 2,, n}, έτσι ώστε i k και k j, i l και j l. Τότε η μετάθεση σ (j k l) στέλνει το i στο j η μετάθεση (j k l) σ στέλνει το i στο k Άρα σ (j k) (j k) σ. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι σ Z(A n ). Στο άτοπο καταλήξαμε υποθέτοντας ότι υπάρχει μη-ταυτοτική μετάθεση σ Z(A n ). Άρα: Z(A n ) = {ι}. Επομένως Z(A n ) = A n, n & Z(A n ) = {ι}, n Ασκηση. () Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της (S n, ), n 2, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο αντιμεταθέσεων της μορφής ( i). (2) Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της S n, n 2, μπορεί να γραφεί ως γινόμενο (δυνάμεων) των μεταθέσεων ( 2) και ( 2 n). Λύση. Γνωρίζουμε ότι κάθε στοιχείο της S n είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων αφού κάθε μετάθεση σ S n αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο κύκλων ξένων μεταξύ τους ανα δύο και κάθε κύκλος (a a 2 a m a m ) γράφεται ως εξής: (a a 2 a m a m ) = (a a m ) (a a m ) (a a ) (a a 2 ) Όμως για μια αντιμετάθεση (i j) με i j έχουμε και άρα (i j) = ( i) ( j) ( i) (a a 2 a m a m ) = ( a ) ( a m ) ( a ) ( a ) ( a 2 ) ( a ) Επομένως κάθε στοιχείο της (S n, ), n 2, είναι γινόμενο αντιμεταθέσεων της μορφής ( i). Ασκηση. Να υπολογιστεί η ομάδα συμμετριών του ρόμβου:

11 Λύση. Ένας ρόμβος έχει δύο άξονες ανάκλασεις και μια στροφή 80 γύρω από το κέντρο του ρόμβου. Παρακάτω παραθέτουμε τις συμμετρίες του ρόμβου: Στροφή 80 : 2. Τη παραπάνω διαδικασία περιγράφει η μετάθεση σ = ( )(2 ) S (σ) = 2. όπου η τάξη της είναι Ανάκλαση ως προς τον άξονα που διέρχεται από το και το 2: Την ανάκλαση ως προς τον άξονα -2 περιγράφει η μετάθεση τ = ( ) S και (τ) = 2. Ανάκλαση ως προς τον άξονα που διέρχεται από το και το :

12 2 2. Την ανάκλαση ως προς τον άξονα - περιγράφει η μετάθεση ρ = (2 ) S και (ρ) = 2. Ο πίνακας πολλαπλασιασμού της ομάδας συμμετριών του ρόμβου είναι ο ακόλουθος: () ( )(2 ) ( ) (2 ) () () ( )(2 ) ( ) (2 ) ( )(2 ) ( )(2 ) () (2 ) ( ) ( ) ( ) (2 ) () ( )(2 ) (2 ) (2 ) ( ) (2 )( ) () Μια ομάδα που είναι «ισόμορφη» με την ομάδα συμμετριών του ρόμβου είναι η ομάδα V του Klein, δηλαδή το ευθύ γινόμενο Z 2 Z 2 : Z 2 Z 2 = { ([0], [0]), ([0], []), ([], [0]), ([], []) } που έχει πίνακα: Η αντιστοιχία + ([0], [0]) ([], [0]) ([0], []) ([], []) ([0], [0]) ([0], [0]) ([], [0]) ([0], []) ([], []) ([], [0]) ([], [0]) ([0], [0]) ([], []) ([0], []) ([0], []) ([0], []) ([], []) ([0], [0]) ([], [0]) ([], []) ([], []) ([0], []) ([], [0]) ([0], [0]) () ([0], [0]), ( )(2 ) ([], [0]), ( ) ([0], []), (2 ) ([], []) μεταξύ των στοιχείων της ομάδας των συμμετριών του ρόμβου και των στοιχείων της Z 2 Z 2 δείχνει πράγματι ότι η ομάδα συμμετριών του ρόμβου είναι η Z 2 Z 2.

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» }

Οµάδες Μεταθέσεων. Κεφάλαιο Συνοπτική Θεωρία. S(X ) = { f : X X f : απεικόνιση «1-1» και «επί» } Κεφάλαιο 4 Οµάδες Μεταθέσεων 4.1 Συνοπτική Θεωρία Οι οµάδες µεταθέσεων επί ενός συνόλου και ιδιαίτερα επί του πεπερασµένου συνόλου { 12 n } αποτελούν µια από τις ϐασικότερες κλάσεις οµάδων. Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),

Α Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ), Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013

Α Δ Ι. Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 7 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 13 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Θεωρία Sylow. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Θεωρία Sylow Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Θεωρία Sylow 21 Τα Θεωρήματα Sylow Ορισμός 211 Μια ομάδα (G, ) τάξης p α, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες

Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Φυλ. Ασκ. 5, Θεωρία Ομάδων Ασκήσεις στα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων, Θεώρημα Jordan Hölder, Συνθετικές και Κυρίαρχες Σειρές, Επιλύσιμες Ομάδες Εσωτερικά και Εξωτερικά ευθέα Γινόμενα Α 1. Έστω η κυκλική ομάδα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Το Θεώρημα Jordan Hölder 31 Προκαταρκτικές Έννοιες 311 Υποορθόθετες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων)

Id A A, a Id A (a) := a, τ : A A, a b, όπου b είναι εκείνο το στοιχείο του A µε σ(b) = a. 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων) 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων 7.1. Οι πρώτες έννοιες. Ας είναι A ένα µη κενό σύνολο και S A το σύνολο των «ένα προς ένα» και «επί» απεικονίσεων από το σύνολο A στον εαυτό του. Πρόταση 7.1. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επεκτάσεις Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 Επεκτάσεις Ομάδων 6.1 Προκαταρκτικές Έννοιες Σύμφωνα με το Θεώρημα 4.2.4

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 250 7. Οµάδες µεταθέσεων µετατάξεων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών

Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Κεφάλαιο 6 Οµάδες Πηλίκα και τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε τις ϐασικές ιδιότητες της οµάδας πηλίκο µιας οµάδας ως προς µια κανονική υποµάδα, ϑα αποδείξουµε τα ϐασικά ϑεωρήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαρμαρίδης. Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων

Νίκος Μαρμαρίδης. Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων Νίκος Μαρμαρίδης Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων Λ 2013 Περιεχόμενα 1 Δράση Ομάδας επί ενός Συνόλου 5 11 Δράσεις και μετατακτικές Αναπαραστάσεις 5 12 Τροχιές και Σταθερωτές 10 121 Το Θεώρημα Burnside 12 13

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασμένων Ομάδων Ι Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Weddebu για ημιαπλούς δακτυλίους, αναπτύσσουμε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

(m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). } a b 0 c {( ) 1 b A = 0 1 {( ) a 0 D = 0 c T = } : b R

(m, n) = 1 τότε Aut(H K) = Aut(H) Aut(K). Z(GL(2, R)), Z(SL(2, R)), Z(GL(n, R)), Z(SL(n, R)). } a b 0 c {( ) 1 b A = 0 1 {( ) a 0 D = 0 c T = } : b R Ασκήσεις στην Θεωρία Ομάδων 2 Μαίου 2014 Άσκηση 1 Δίνεται μια ομάδα G τάξης n και a 1, a 2,..., a n G. Δείξτε ότι υπάρχουν k, m N τέτοια ώστε 1 k m n και a k a 2...a m = 1. Άσκηση 2 Δίνεται μια ομάδα G

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I

Αλγεβρικές Δομές Ι. 1 Ομάδα I Αλγεβρικές Δομές Ι 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω G μια προσθετική ομάδα S ένα μη κενό σύνολο και M(S G το σύνολο όλων των συναρτήσεων f : S G. Δείξτε ότι το σύνολο M(S G είναι ομάδα με πράξη την πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 11 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές Έννοιες 1 1.1 Ορισμοί - παραδείγματα.............................. 1 1.2 Υποομάδες και Σύμπλοκα..............................

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα

Αλγεβρικες οµες Ι. Θεωρητικα Θεµατα Αλγεβρικες οµες Ι Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 4 εκεµβρίου 2012

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας

Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Ασκησεις Βασικης Αλγεβρας Αποστολος Μπεληγιαννης Απόστολος Μπεληγιάννης Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Ιωαννινα εκεµβριος 2015 Ασκήσεις Βασικής Αλγεβρας Συγγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οµοµορφισµοί Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 287 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων Στην παρούσα ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1.

F 5 = (F n, F n+1 ) = 1. Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ).

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ). ΕΜ0 - Διακριτά Μαθηματικά Ιανουαρίου 006 Άσκηση - Λύσεις Πρόβλημα [0 μονάδες] Εστω L και L δύο κυκλώματα σε ένα γράφημα G. Εστω a μία ακμή που ανήκει και στο L και στο L και έστω b μία ακμή που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 17 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 10 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 17 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων

Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Κεφάλαιο 4 Η οµή των Κυκλικών Οµάδων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την κλάση των κυκλικών οµάδων, η οποία είναι η απλούστερη µη τετριµµένη κλάση οµάδων. Ιδιαίτερα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.

Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/ y x= ( ) ( ) .( ) , τότε

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/ y x= ( ) ( ) .( ) , τότε ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3/ΣΕΜΦΕ/008-09.(i) S =, : 0 =, :, με + 0 {( ) } {( ) ( )( ) } {(, ):, με 0, 0 } {(, ):, με 0, 0} = + + = 0 + = 0 = (ii). 3 {( ) ( )} ( ) ( ) {(, ):, με 0 ή. } { = } S=, :, με = + =, :,

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα