ενώ θεωρήσαμε το διάνυσμα R στην κατεύθυνση του άξονα z. + = + (172) Έτσι οι συναρτήσεις Green παίρνουν την τελική τους μορφή :

Transcript

1 Σε τρεις χρικές διαστάσεις θα έχουμε K( r, r ; t t dpp si( pτ dθ siθ exp( ip os θ π dp si( pτ si( p (171 Όπς και στο προηγούμενο κεφάλαιο (εξ. (8 έτσι και εδώ μεταγράψαμε την ολοκλήρση σε σφαιρικές συντεταγμένες, χρησιμοποιήσαμε τη συντομογραφία r r ενώ θερήσαμε το διάνυσμα στην κατεύθυνση του άξονα z. Για τη συνέχεια του λογαριασμού θα γράψουμε K( rr, ; t t dp [ os[ p ( τ ] os[ p ( τ + ] ] 8π ip( τ ip( τ+ dp e e π ( ( [ δ τ δ τ ] 8π + + (17 4 Έτσι οι συναρτήσεις Gree παίρνουν την τελική τους μορφή : G, ( r, r ; t t ( t t r r ( t t r r δ θ (173 G, A( r, r ; t t ( t t r r ( t t r r δ + θ (174 Αν χρησιμοποιήσουμε τις ταυτότητες f( x δ( x a f( a δ( x a και 1 δ( ax δ( x οι προηγούμενες σχέσεις μπορούν να ξαναγραφούν : a G, ( r, r ; t t δ ( t t r r θ( t t π r r + t ( t δ ( t t ( r r θ( t t (175 G, A( rr, ; t t δ ( t t ( r r θ( t t (176 38

2 Οι παραπάν εκφράσεις λένε ότι το αποτέλεσμα μπορεί να εντοπισθεί στη θέση r τη χρονική στιγμή t μόνο αν η απόστασή του από το σημείο r στο οποίο εκδηλώθηκε το αίτιο τη στιγμή t, είναι ίση με την απόσταση που θα διανύσει το κύμα που κινείται με ταχύτητα : ( t t ( r r Με τη χρήση τν συναρτήσεν που βρήκαμε η λύση της κυματικής εξίσσης μπορεί να γραφεί : 3 1 Ψ ( A ( rt, Ψ, ( A ( rt, + dr f( rt, ( A (177 r r Για το αποτέλεσμα αυτό χρησιμοποιήσαμε τη συνάρτηση (173 (ή την (174 και γράψαμε r r r r t t, ta t + (178 Η συνάρτηση (, Ψ, ( A rt είναι λύση της ομογενούς η οποία μεριμνά για τις τυχόν μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες.όπς θα δούμε στη συνέχεια μπορεί να κατασκευαστεί με τη βοήθεια τν συναρτήσεν Gree που ήδη βρήκαμε. Σε δύο χρικές διαστάσεις ο υπολογισμός του διαδότη μπορεί να ξεκινήσει και πάλι από τη σχέση (17 : ( D 1 K ( r, r ; t t dp si( pτ dθ exp( ipl os θ L dp si( pτ J ( pl θ( τ sigτ (179 L 1 1 τ Στην προηγούμενη σχέση J είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και μηδενικής τάξης ενώ γράψαμε L L r r την απόσταση στις δύο διαστάσεις. Όπς και στο προηγούμενο κεφάλαιο έτσι και εδώ μπορούμε να βρούμε το ίδιο αποτέλεσμα με τη μέθοδο της εμβάπτισης. Αν ξεκινήσουμε από τη σχέση (17 μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι K z ( D 3 z± 39

3 Αν τώρα ολοκληρώσουμε τη συντεταγμένη z στις σχέσεις (15 και (151 θα δούμε ότι ( τ ( D ( D 3 τ + K ( r, r ; dzk L ( z z, Αν συνδυάσουμε τις (17 και (18 θα πάρουμε ( ( ( D 1 (, ; τ δ τ δ τ L + z K r r dz L z L z (18 αν κάνουμε την αλλαγή L + z x, η προηγούμενη σχέση θα πάρει τη μορφή ( D 1 K ( r, r ; τ dx δ ( τ x δ ( τ x + x L L/ θ ( x L/ dx δ ( τ x δ ( τ x + x L 1 L L ( ( τ L θτ θ τ ακριβώς, δηλαδή, το αποτέλεσμα (179. Έτσι οι συναρτήσεις Gree, σε δύο χρικές διαστάσεις, είναι : ( D 1 r r G, ( r, r; t t θ ( t t θ( t t π (181 ( t t ( r r ( D 1 r r G, A ( r, r; t t θ ( t t θ( t t π (18 ( t t ( r r Σε μία χρική διάσταση αν ξεκινήσουμε από τη σχέση (17 θα έχουμε ( D 1 dp si( pτ x x K ( x, x ; τ exp[ ip( x x ] θτ ( sigτ (183 p 4

4 Στο αποτέλεσμα αυτό μπορούμε να καταλήξουμε και με τη μέθοδο της εμβάπτισης : ( D 1 ( D ( D 3 (184 K ( x, x ; τ dyk ( L, τ dz dyk (, τ Έτσι ή αλλιώς οι συναρτήσεις Gree σε μία χρική διάσταση έχουν τη μορφή ( D 1 x x θ G, ( x, x ; t t t t θ( t t (185 ( D 1 x x A θ G, ( x, x ; t t t t θ( t t (186 Προβλήματα με ομογενείς συνοριακές συνθήκες 'Οταν το πρόβλημά μας συνοδεύεται από συγκεκριμένες (ομογενείς συνοριακές χρικές συνθήκες, οι δρόμοι που έχουμε μπροστά μας είναι δύο. Είτε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο τν ειδώλν είτε να βρούμε τις ιδιοσυναρτήσεις του (χρικού μέρους του διαφορικού τελεστή οι οποίες ικανοποιούν τις δεδομένες συνθήκες. Σε κάθε περίπτση το χρικό πρόβλημα καθορίζεται από την εξίσση (155 η οποία αντιστοιχεί στην εξίσση Helmholtz και επομένς είναι σε ισχύ όλη η ανάλυση του προηγουμένου κεφαλαίου. Για την εφαρμογή της τεχνικής τν ειδώλν είναι, συνήθς, χρήσιμο να ξεκινάμε από την πλήρη συνάρτηση Gree. Ως παράδειγμα, ας πούμε ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε την etarded συνάρτηση Gree στην περιοχή z > με την απαίτηση στο επίπεδο z να μηδενίζεται η ίδια (Dirihlet ή η παράγγός της (Neuma.'Οπς και στο προηγούμενο κεφάλαιο αφετηρία μας θα είναι ο συνδυασμός G( rrt, ; t G ( rrt, ; t +Λ( rr, ; t t (187, στον οποίο G, είναι η συνάρτηση Gree (175 και Λ λύση της ομογενούς την οποία πρέπει να διαλέξουμε έτσι ώστε η (187 να είναι η ζητούμενη συνάρτηση Gree. Η κρίσιμη παρατήρηση είναι,και εδώ, ότι η συνάρτηση Λ( rr, ; t t ArG ( ( rqr, ( ; t t (188 είναι λύση της ομογενούς κυματικής εξίσσης στην περιοχή z > αρκεί q z <. Η ανάλυση από εδώ και πέρα μπορεί να προχρήσει όπς και στο προηγούμενο κεφάλαιο και η επιλογή q ( x, y, z, A 1 θα δώσει την απάντηση στο προβλήμά μας., 41

5 Η χρήση τν ιδιοσυναρτήσεν του (χρικού τμήματος του διαφορικού τελεστή θα ξεκινήσει από την εξ. (155. Έστ ότι έχουμε λύσει το πρόβλημα ( r ( r ( r ϕ λϕ ϕ ( (189 Σύμφνα με όσα έχουμε πεί η λύση στο πρόβλημα (155 μπορεί να βρεθεί αμέσς : grr (, ; p ( ( ϕ r ϕ r p (19 Αντικαθιστώντας την τελευταία στην (161 θα πάρουμε dp exp[ ip ( t t ] π ( ± ε ± (, ; lim ϕ( ϕ( ε p i G rr t t r r (191 Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος έχει ήδη πραγματοποιηθεί στη σχέση (165 : dp exp[ ip( t t ] si[ ( t t ] ± θ[ ( t t ] (19 π ( p ± iε Επομένς η συνάρτηση G αντιστοιχεί στην G και η G + στην G A : si[ ( t t ] G ( r, r ; t t θ( t t ϕ ( r ϕ ( r (193 si[ ( t t ] G( rr, ; t t θ( t t ϕ ( r ϕ ( r A (194 Όπς φαίνεται από τις σχέσεις αυτές οι συνοριακές συνθήκες Neuma που 1 επιτρέπουν την ϕ ς ιδιοσυνάρτηση με μηδενική ιδιοτιμή δεν δημιουργούν V πρόβλημα στον προσδιορισμό τν συναρτήσεν Gree αφού καθώς, si[ ( t t ] t t. 4

6 43