Περιεχόμενα. Πρόλογος Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες Κεφάλαιο 2 Ταξινόμηση των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης... 20

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Κεφάλαιο Βασικές έννοιες... Διαφορικές εξισώσεις... Συμβολισμοί... Λύσεις... Προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών... Κεφάλαιο Ταξινόμηση τν διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης... Κανονική μορφή και διαφορική μορφή... Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις... Διαφορικές εξισώσεις Brnoulli... Ομογενείς διαφορικές εξισώσεις... Διαφορικές εξισώσεις με χριζόμενες μεταβλητές... Ακριβείς διαφορικές εξισώσεις... Κεφάλαιο Διαφορικές εξισώσεις ρώτης τάξης με χριζόμενες μεταβλητές... 6 Γενική λύση...6 Οι λύσεις του ροβλήματος αρχικών τιμών...6 Αναγγή τν ομογενών εξισώσεν...6 Κεφάλαιο Ακριβείς διαφορικές εξισώσεις ρώτης τάξης... 5 Ορισμός...5 Μέθοδος είλυσης...5 Ολοκληρώνν αράγοντας ή ολλαλασιαστής του Eulr...5 Κεφάλαιο 5 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ρώτης τάξης... 5 Μέθοδος είλυσης...5 Αναγγή τν εξισώσεν Brnoulli...5 Κεφάλαιο 6 Εφαρμογές διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης... 5 Προβλήματα αύξησης και μείσης...5 Προβλήματα θερμοκρασίας...5 Προβλήματα σμάτν σε τώση...5 Προβλήματα διαλυμάτν...5 Ηλεκτρικά κυκλώματα...5 Ορθογώνιες τροχιές...5 Κεφάλαιο 7 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις: Θερία λύσεν... 7 Ορισμός γραμμικής διαφορικής εξίσσης...7 Γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις...7 Η ορίζουσα Wronky...7 Μη ομογενείς εξισώσεις...7 Κεφάλαιο 8 Γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές... 8 Η χαρακτηριστική εξίσση...8 Η γενική λύση...8 7

4 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 9 Γραμμικές ομογενείς διαφορικές εξισώσεις n τάξης με σταθερούς συντελεστές Η χαρακτηριστική εξίσση...87 Η γενική λύση...87 Κεφάλαιο Η μέθοδος τν ροσδιοριστέν συντελεστών... 9 Η αλή μορφή της μεθόδου...9 Γενικεύσεις...9 Τροοοιήσεις...9 Περιορισμοί της μεθόδου...9 Κεφάλαιο Μεταβολή αραμέτρν... Η μέθοδος... Εμβέλεια της μεθόδου... Κεφάλαιο Προβλήματα αρχικών τιμών... 7 Κεφάλαιο Εφαρμογές γραμμικών διαφορικών εξισώσεν δεύτερης τάξης... Προβλήματα ελατηρίν... Προβλήματα ηλεκτρικών κυκλμάτν... Προβλήματα άνσης... Ταξινόμηση τν λύσεν... Κεφάλαιο Ο Μετασχηματισμός aplac... 7 Ορισμός...7 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplac...7 Συναρτήσεις άλλν αναξάρτητν μεταβλητών...8 Κεφάλαιο 5 Αντίστροφοι Μετασχηματισμοί aplac... Ορισμός... Χειρισμός αρονομαστών... Χειρισμός αριθμητών... Κεφάλαιο 6 Συνελίξεις και συνάρτηση μοναδιαίου βήματος... 8 Συνέλιξη συναρτήσεν...8 Συνάρτηση μοναδιαίου βήματος...8 Μεταθέσεις...9 Κεφάλαιο 7 Ο Μετασχηματισμός aplac στην είλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεν με σταθερούς συντελεστές Ο Μετασχηματισμός aplac τν αραγώγν...55 Είλυση διαφορικών εξισώσεν...55 Κεφάλαιο 8 Είλυση γραμμικών συστημάτν με το Μετασχηματισμό aplac... 6 Η μέθοδος...6 Κεφάλαιο 9 Πίνακες Πίνακες και διανύσματα...67 Πρόσθεση ινάκν...67 Πολλαλασιασμός ίνακα με βαθμτή οσότητα...67

5 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Δυνάμεις τετραγνικού ίνακα...68 Παραγώγιση και ολοκλήρση ινάκν...68 Η χαρακτηριστική εξίσση...68 Κεφάλαιο Ο εκθετικός ίνακας At Ορισμός...75 Υολογισμός του At...75 Κεφάλαιο Αναγγή γραμμικών διαφορικών εξισώσεν σε σύστημα ρώτου βαθμού... 8 Αναγγή μιας εξίσσης...8 Αναγγή συστήματος...8 Κεφάλαιο Είλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεν με σταθερούς συντελεστές με μεθόδους ινάκν... 9 Είλυση του ροβλήματος αρχικών τιμών...9 Είλυση χρίς αρχικές συνθήκες...9 Κεφάλαιο Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μεταβλητούς συντελεστές Εξισώσεις δέυτερης τάξης...98 Αναλυτικές συναρτήσεις και ομαλά σημεία...98 Λύσεις ομογενών εξισώσεν γύρ αό την αρχή τν αξόνν...98 Λύσεις μη ομογενών εξισώσεν γύρ αό την αρχή τν αξόνν...99 Προβλήματα αρχικών τιμών...99 Λύσεις γύρ αό άλλα σημεία...99 Κεφάλαιο Κανονικά ανώμαλα σημεία και η Μέθοδος του Frobniu... Κανονικά ανώμαλα σημεία... Η Μέθοδος του Frobniu... Γενική λύση... Κεφάλαιο 5 Συναρτήσεις Γάμμα και Bl... Συναρτήσεις γάμμα... Συναρτήσεις Bl... Αλγεβρικές ράξεις σε αειροσειρές... Κεφάλαιο 6 Γραφικές μέθοδοι είλυσης διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης... Πεδία κλίσεν... Η Μέθοδος του Eulr... Ευστάθεια... Κεφάλαιο 7 Αριθμητικές μέθοδοι είλυσης διαφορικών εξισώσεν ρώτης τάξης... 9 Γενικές αρατηρήσεις...9 Η Τροοοιημένη Μέθοδος του Eulr...9 Η Μέθοδος τν ung Kutta...5 Η Μέθοδος τν Adam Bahorth Moulton...5 Η Μέθοδος του Miln...5 Αρχικές τιμές...5 Τάξη αριθμητικής μεθόδου...5

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 8 Αριθμητικές μέθοδοι είλυσης συστημάτν Συστήματα ρώτης τάξης...67 Η Μέθοδος του Eulr...67 Η Μέθοδος τν ung Kutta...67 Η Μέθοδος τν Adam Bahorth Moulton...68 Κεφάλαιο 9 Προβλήματα συνοριακών τιμών δεύτερης τάξης... 8 Κανονική μορφή...8 Είλυση...8 Προβλήματα ιδιοτιμών...8 Προβλήματα Sturm iouvill...8 Ιδιότητες τν ροβλημάτν Sturm iouvill...8 Κεφάλαιο Ανατύγματα ιδιοσυναρτήσεν... 9 Τμηματικά ομαλές συναρτήσεις...9 Ημιτονικές σειρές Fourir...9 Συνημιτονικές σειρές Fourir...9 Παράρτημα Α Μετασχηματισμοί aplac Ααντήσεις ροβλημάτν... Ευρετήριο...

7 Ο Μετασχηματισμός aplac Κεφάλαιο ΟΡΙΣΜΟΣ Έστ ότι η ορίζεται στο διάστημα < και η είναι μια αυθαίρετη ραγματική σταθερά. Ο Μετασχηματισμός aplac της, ου συμβολίζεται είτε με είτε με F, είναι F d για κάθε τιμή του για την οοία συγκλίνει το γενικευμένο ολοκλήρμα. Η σύγκλιση συμβαίνει όταν υάρχει το. lim d. Αν το όριο δεν υάρχει, το γενικευμένο ολοκλήρμα αοκλίνει και η δεν έχει Μετασχηματισμό aplac. Κατά τον υολογισμό του ολοκληρώματος της Εξ.., η μεταβλητή θερείται σταθερά, εειδή η ολοκλήρση γίνεται ς ρος. Ο Μετασχηματισμός aplac για κάοιες βασικές συναρτήσεις υολογίζεται στα Προβλήματα. ές.8, ενώ ρόσθετοι μετασχηματισμοί δίνονται στο Παράρτημα Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ APACE Ιδιότητα.. Ιδιότητα.. Ιδιότητα.. Ιδιότητα.. Ιδιότητα.5. Ιδιότητα.6. Γραμμικότητα. Αν F και g G, τότε για κάθε σταθερά c και c ισχύει c c g c c g c F c G. Αν F, τότε για κάθε σταθερά α a F a. Αν F, τότε για κάθε θετικό ακέραιο n n n n d [ F ].5 n d Αν F, και το όριο lim υάρχει, τότε > Αν F, τότε F t dt.6 t dt F.7 Αν η είναι εριοδική με ερίοδο, δηλαδή, τότε d.8 7

8 8 Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE [ΚΕΦ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΛΩΝ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Για λόγους συνέειας και μόνον, ο ορισμός του Μετασχηματισμού aplac και οι ιδιότητές του, οι εξισώσεις. ές.8, αρουσιάζονται ς συναρτήσεις του. Ισχύουν όμς εξίσου και για συναρτήσεις οοιασδήοτε ανεξάρτητης μεταβλητής, και δημιουργούνται με την αντικατάσταση της μεταβλητής στις αραάν εξισώσεις αό όοια άλλη μεταβλητή μάς ενδιαφέρει. Πιο συγκεκριμένα, η ισοδύναμη της Εξ.. του Μετασχηματισμού aplac για μια συνάρτηση του t είναι t F t t dt Λυμένα ροβλήματα.. Εξετάστε αν το γενικευμένο ολοκλήρμα d Αφού συγκλίνει. lim lim lim d το γενικευμένο ολοκλήρμα συγκλίνει στην τιμή ½... Εξετάστε αν το γενικευμένο ολοκλήρμα d συγκλίνει. Αφού r lim d limln limln ln9 9 9 το γενικευμένο ολοκλήρμα αοκλίνει. 9.. Βρείτε τις τιμές τού για τις οοίες το γενικευμένο ολοκλήρμα Για, d συγκλίνει. d άρα το ολοκλήρμα αοκλίνει. Για, d lim d lim d lim d lim lim lim Όταν <, τότε >. συνεώς, το όριο είναι και το ολοκλήρμα αοκλίνει. Όταν >, <. άρα, το όριο είναι / και το ολοκλήρμα συγκλίνει... Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της. Χρησιμοοιώντας την Εξ.. και τα αοτελέσματα του Προβλήματος., έχουμε F d για > Δείτε είσης την καταχώριση στο Παράρτημα Α.

9 ΚΕΦ. ] Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE 9.5. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της. Χρησιμοοιώντας την Εξ.. και ολοκλήρση κατά αράγοντες δύο φορές, αίρνουμε lim F d lim d lim Για <, lim [ / ] και το γενικευμένο ολοκλήρμα αοκλίνει. Για >, με εανειλημμένη χρήση του Κανόνα του ' Hopital ροκύτει ότι lim lim lim lim lim lim lim Είσης, ροκύτει άμεσα ότι lim [ / ]. άρα, το ολοκλήρμα συγκλίνει, και F /. Για την ειδική ερίτση, έχουμε d d lim d lim Τέλος, συνδυάζοντας όλες τις εριτώσεις, έχουμε / >. Δείτε είσης την καταχώριση στο Παράρτημα Α..6. Βρείτε το α. Χρησιμοοιώντας την Εξ.. αίρνουμε F a d lim a a lim lim a για > a a a a a Παρατηρήστε ότι για α το ολοκλήρμα αοκλίνει. Δείτε είσης την καταχώριση 7 στο Παράρτημα Α..7. Βρείτε το in α. Χρησιμοοιώντας την Εξ.. και μετά ολοκλήρση κατά αράγοντες δύο φορές, αίρνουμε in a in a a lim a lim a a Δείτε είσης την καταχώριση 8 στο Παράρτημα Α. in ad lim in a a a για > in ad co a a co a a d a a

10 Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE [ΚΕΦ..8. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της, όταν για και για >. d d d d lim d lim lim[ ] για >.9. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της συνάρτησης του Σχήματος. Σχήμα > lim d lim d d d για >.. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της. Χρησιμοοιώντας την Ιδιότητα. και τα αοτελέσματα τν Προβλημάτν. και.5, ή εναλλακτικά, τις καταχρίσεις και n του Παραρτήματος Α, F.. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της 5 in 7. Χρησιμοοιώντας την Ιδιότητα. και τα αοτελέσματα τν Προβλημάτν.6 α και.7 α, ή εναλλακτικά τις καταχρήσεις 7 και 8 του Παραρτήματος Α, έχουμε

11 ΚΕΦ. ] Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE in 5 7 5in F.. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της in co. Χρησιμοοιώντας την Ιδιότητα. και τις καταχρίσεις 8 α και 9 α του Παραρτήματος Α, έχουμε co in co in F.. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της. Με εανειλημμένη χρήση της Ιδιότητας. και τν καταχρίσεν,, και n του Παραρτήματος Α, έχουμε F.. Υολογίστε το. Το ρόβλημα αυτό μορεί να λυθεί με τρεις τρόους: α Χρησιμοοιώντας την καταχώριση του Παραρτήματος Α για n και α, έχουμε άμεσα β Θέστε. Χρησιμοοιώντας την Ιδιότητα. με α και την καταχώριση του Παραρτήματος Α, έχουμε F F γ Θέστε. Χρησιμοοιώντας την Ιδιότητα. για n και τα αοτελέσματα του Προβλήματος.6, ή εναλλακτικά, αό την καταχώριση 7 του Παραρτήματος Α για α, βρίσκουμε ότι F και ' d d F.5. Υολογίστε το in 5. Το ρόβλημα αυτό μορεί να λυθεί με δύο τρόους: α Χρησιμοοιώντας την καταχώριση 5 του Παραρτήματος Α για b και α 5, έχουμε άμεσα ] [ 5 in 5 β Θέστε in 5. Χρησιμοοιώντας την Ιδιότητα. για α και αό τα αοτελέσματα του Προβλήματος.7, ή εναλλακτικά, αό την καταχώριση 8 του Παραρτήματος Α για α 5, έχουμε

12 Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE [ΚΕΦ. και 5 F in in 5 F F 5.6. Υολογίστε το co 7. Το ρόβλημα αυτό μορεί να λυθεί με δύο τρόους: α Χρησιμοοιώντας την καταχώριση του Παραρτήματος Α για α 7 έχουμε άμεσα co 7 [ 7 7 ] 7 7 β Θέστε co 7. Χρησιμοοιώντας την Ιδιότητα. για n και την καταχώριση 9 του Παραρτήματος Α για α 7 έχουμε και F co co 7 d d Υολογίστε το co. Έστ co. Αό την καταχώριση του Παραρτήματος Α για α, αίρνουμε Στη συνέχεια, αό την Ιδιότητα. για α,.8. Υολογίστε το 7/. F co F [ ] Ορίζουμε. Τότε 7 / και, αό την καταχώριση του Παραρτήματος Α, έχουμε F Αό την Ιδιότητα. για n, ροκύτει ότι d 5 d 6 ου συμφνεί και με την καταχώριση 6 του Παραρτήματος Α για n. / / 9 / in.9. Υολογίστε το. Θέτοντας in, βρίσκουμε αό την καταχώριση 8 του Παραρτήματος Α για α ότι F ή F t 9 t 9

13 ΚΕΦ. ] Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Στη συνέχεια, αό την Ιδιότητα. αίρνουμε.. Υολογίστε το inh tdt. in dt lim t 9 t lim arctan dt t 9 limarctan arctan arctan Θέτοντας t inh t, αίρνουμε inh. Αό την καταχώριση του Παραρτήματος Α για α, ροκύτει F /, και στη συνέχεια, αό την Ιδιότητα.5 ότι.. Αοδείξτε ότι, αν, τότε Εφόσον inh tdt d [ ] [ ] η είναι εριοδική με ερίοδο. Με τη χρήση της Ιδιότητας.6 με αντί για, αίρνουμε d d Αντικαθιστώντας y στο δεύτερο ολοκλήρμα, βρίσκουμε d y y dy y y dy y d [ y] dy Το τελευταίο ολοκλήρμα, αν αντικαταστήσουμε ξανά την εικονική μεταβλητή ολοκλήρσης με, είναι ίσο με d Άρα d d d

14 Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE [ΚΕΦ... Υολογίστε το για το τετραγνικό κύμα του Σχήματος. Σχήμα Το ρόβλημα αυτό μορεί να λυθεί με δύο τρόους: α Παρατηρήστε ότι η είναι εριοδική με ερίοδο, και στο διάστημα < μορεί να οριστεί αναλυτικά αό την < < Αό την Εξ..8 έχουμε d Εφόσον d d d συνεάγεται ότι tanh / / / / / / F β Το τετραγνικό κύμα ικανοοιεί την εξίσση. Άρα, χρησιμοοιώντας την Εξ. του Προβλήματος. για, αίρνουμε tanh / d d

15 ΚΕΦ. ] Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE 5.. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της συνάρτησης του Σχήματος. Σχήμα Παρατηρήστε ότι η είναι εριοδική με ερίοδο, και στο διάστημα < μορεί να οριστεί αναλυτικά αό την < Αό την Εξ..8 έχουμε d Εφόσον d d d συνεάγεται ότι tanh / /.. Υολογίστε το dt t t t in. Χρησιμοοιώντας την Εξ.. για α στα αοτελέσματα του Προβλήματος.9, αίρνουμε arctan in Αό την Εξ..7 ροκύτει ότι arctan in tdt t t και έειτα, αό την Ιδιότητα. για n,

16 6 Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE [ΚΕΦ. in arctan t tdt t [9 ] Τέλος, χρησιμοοιώντας την Εξ.. για α συμεραίνουμε ότι ο ζητούμενος μετασχηματισμός είναι ο arctan.5. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της α t, β αt, και γ in αt, όου α είναι σταθερά. Χρησιμοοιώντας τις καταχρίσεις, 7, και 8 του Παραρτήματος Α, και το t στη θέση του, βρίσκουμε τους Μετασχηματισμούς aplac ου είναι αντίστοιχα a t β γ a 9 at in at.6. Βρείτε το Μετασχηματισμό aplac της α θ, β co αθ, και γ bθ in αθ, όου α και b είναι σταθερές. Με τη χρήση τν καταχρίσεν για n, 9, και 5 του Παραρτήματος Α και το θ στη θέση του, βρίσκουμε τους Μετασχηματισμούς aplac ου είναι αντίστοιχα a θ bθ a β coaθ γ in aθ a b a Περισσότερα ροβλήματα Στα Προβλήματα.7 ές., βρείτε το Μετασχηματισμό aplac τν συναρτήσεν με τη χρήση της Εξ a a co.. co.5. cob, όου b σταθερά b, όου b σταθερά > < >.. με γράφημα το Σχήμα.. με γράφημα το Σχήμα 5 Στα Προβλήματα. ές.76, χρησιμοοιήστε το Παράρτημα Α και τις Ιδιότητες. ές.6 όου ααιτείται, για να υολογίσετε το Μετασχηματισμό aplac τν αρακάτ συναρτήσεν co

17 ΚΕΦ. ] Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE 7.7. /.8. 5 /.9. in Σχήμα Σχήμα 5.5. in.5. co in.55. in.56. co.57. co.58. co5

18 8 Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE [ΚΕΦ in.6. co in.67. co in.68. coh.69. coh.7. in t inh tdt.7. t co tdt.7. με γράφημα το Σχήμα με γράφημα το Σχήμα με γράφημα το Σχήμα 8 Σχήμα 6 Σχήμα 7

19 ΚΕΦ. ] Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE 9 Σχήμα 8

20