Θεωρήματα της ασαφούς λογικής προχωρημένες πράξεις ασαφών συνόλων

Transcript

1 Θεωρήματα της ασαφούς λογικής προχωρημένες πράξεις ασαφών συνόλων Σύνοψη Στο πρώτο μέρος του κεφαλαίου παρουσιάζονται τα θεωρήματα της ασαφούς λογικής. Αρχικά μελετώνται τα θεωρήματα της ανάλυσης και επέκτασης διακριτών και συνεχών συνόλων. Ακολουθούν οι εφαρμογές των θεωρημάτων στην εκτέλεση πράξεων ανάμεσα σε ασαφή σύνολα. Στο δεύτερο μέρος του κεφαλαίου περιγράφονται οι πράξεις ασαφών συνόλων με χρήση διαφόρων κατηγοριών τελεστών. Αναλύονται οι παραμετρικοί και οι μη παραμετρικοί τελεστές τομής, ένωσης και ασαφούς συμπληρώματος, καθώς και οι μεσοσταθμικοί τελεστές. Λέξεις κλειδιά σύνολα διατομής α, αρχή της ανάλυσης/αναπαράστασης, σύνολα επιπέδων, αρχή της επέκτασης, εικόνα ασαφούς συνόλου, παραμετρικοί τελεστές τομής/ένωσης, μεσοσταθμικοί τελεστές, τελεστές συμπληρώματος, t στάθμες, t συστάθμες.. H αρχή της ανάλυσης και το θεώρημα της αναπαράστασης Στο κεφάλαιο τα ασαφή σύνολα περιγράφησαν είτε ως ένωση ασαφών singleton x, ( x) είτε μέσω αναλυτικών συναρτήσεων συμμετοχής (x). Πέραν αυτών, ένα ασαφές σύνολο Α μπορεί να αναλυθεί και να περιγραφεί με βάση τα σύνολα διατομής α. Η ανάλυση των ασαφών συνόλων αναφέρεται στην βιβλιογραφία ως αρχή της ανάλυσης ή θεώρημα της ανασύνθεσης (resolution principle ή decomposition theorem). Η σύνθεση και η περιγραφή αναφέρεται ως αρχή ή θεώρημα της αναπαράστασης (representtion principle). Θεωρούμε ένα πεδίο ορισμού U, στο οποίο ορίζεται ένα ασαφές σύνολο Α. Η συνάρτηση συμμετοχής του Α μπορεί να αναλυθεί με βάση τις χαρακτηριστικές συναρτήσεις των συνόλων διατομής α, τα οποία αποτελούν σαφή σύνολα: ( x) όπου 0 ( x) x U (.) και (x) είναι το σύνολο διατομής α και η χαρακτηριστική συνάρτησή του, αντίστοιχα:, iff x ( x) (.) 0, iff x Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το συμβολίζει τον τελεστή min και το τον τελεστή mx. Το επίπεδο της τομής α είναι ένας πραγματικός αριθμός που κείται στο διάστημα [0,]. Ένα ασαφές σύνολο με ένα σύνολo διατομής α απεικονίζεται στο Σχήμα.: --

2 Σχήμα. Συνάρτηση συμμετοχής και σύνολο διατομής α. Θεωρούμε το κλασσικό σύνολο, η χαρακτηριστική συνάρτηση του οποίου συμβολίζεται ως (x). Η ) (x ταυτίζεται με τη χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου διατομής α αλλά είναι «κομμένη» σε ύψος α, όπως φαίνεται στο Σχήμα.., iff x ( x) ( x) (.3) 0, iff x Λαμβάνοντας υπόψη τον ορισμό του συνόλου, το θεώρημα της ανάλυσης περιγράφει ένα ασαφές σύνολο Α ως εξής: (.4.α) 0 και η συνάρτηση συμμετοχής του δίνεται από την ακόλουθη σχέση: ( x) ( x) (.4.β) 0 Οι ανωτέρω σχέσεις ισχύουν για συνεχή ασαφή σύνολα. Βάσει της αρχής της ανάλυσης, στο Σχήμα. η τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής προσεγγίζεται συσσωρεύοντας τα σύνολα 0.5, 0.5, 0.75 στο εσωτερικό της. Ένας διευρυμένος αριθμός συνόλων μπορεί να περιγράψει με ακρίβεια το ασαφές σύνολο Α. Κατά συνέπεια, η μορφή της συνάρτησης συμμετοχής (x) μπορεί να περιγραφεί με τους βαθμούς συμμετοχής στο αριστερό και δεξί όριο των τομών α. --

3 Σχήμα. Εφαρμογή της αρχής της ανάλυσης. Η ανωτέρω μέθοδος παράστασης της συνάρτησης συμμετοχής (x) μέσω των συνόλων διατομής α παρουσιάζει δύο μείζονα πλεονεκτήματα: Τα σύνολα διατομής α παρέχουν ένα μέσο για να «αποασαφοποιηθεί» η διαδικασία κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, καθώς οι ασαφείς αριθμοί (συναρτήσεις συμμετοχής) έχουν αντικατασταθεί από σαφή σύνολα διατομής α, δηλαδή σαφή διαστήματα (intervls). Επομένως η ασαφής αριθμητική μετατρέπεται σε αριθμητική διαστημάτων (intervl rithmetics), όπως θα αναλυθεί στη συνέχεια. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου δεν είναι επακριβώς γνωστή η συνάρτηση συμμετοχής, αλλά είναι γνωστά μερικά σύνολα διατομής α αυτής. Επομένως, η αναπαράσταση του ασαφούς συνόλου μέσω των συνόλων διατομής είναι ο μοναδικός τρόπος. Στην περίπτωση των διακριτών ασαφών συνόλων υπάρχουν συγκεκριμένα επίπεδα βαθμού συμμετοχής, όπως φαίνεται στο Σχήμα.3.α. Σε αυτήν την περίπτωση, το θεώρημα της ανάλυσης γράφεται ως εξής: (.5.α) Level ( x ( x) ) (.5.β) όπου ως Level Level Level συμβολίζεται το σύνολο των επιπέδων (level set) του : { ( x) για κάποια U } Η ανασύνθεση του συνόλου Α από τα σύνολα Level 0.5,0.5,0.75,.0 απεικονίζεται στο Σχήμα.3.β. (.5.γ) 0.5, 0.5, 0.75 και.0 οπότε (α) Σχήμα.3 Ανάλυση και ανασύνθεση ασαφούς συνόλου. (β) -3-

4 ... Παράδειγμα εφαρμογής της αρχής της ανάλυσης Θεωρούμε το ασαφές σύνολο Α του παραδείγματος.4... Το πεδίο ορισμού αποτελείται από τα στοιχεία 0,,...,9,0 και το ασαφές σύνολο, το οποίο υλοποιεί την έννοια «αριθμοί κοντά στο 3», έχει συνάρτηση συμμετοχής (.6) Το Α έχει τέσσερα επίπεδα βαθμών συμμετοχής, δηλαδή το σύνολο επιπέδων είναι: Level 0.,0.5,0.8,.0 (.7) Τα σύνολα διατομής α για τα τέσσερα επίπεδα συμμετοχής είναι: 3 0,,,3,4,5,6 (.8.α) 0.,,3,4,5 (.8.β) 0.5,3,4 (.8.γ) 0.8 (.8.δ).0 Κατά συνέπεια, τα σύνολα είναι τα ακόλουθα: (.9.α) (.9.β) (.9.γ) (.9.δ) 3 Θεωρώντας ότι το σύμβολο «+» υλοποιεί τον τελεστή mx, από την Εξ. (.4.α) προκύπτει: (.0) Level Συμπερασματικά, το ασαφές σύνολο και οι βαθμοί συμμετοχής που το περιγράφουν έχουν αναλυθεί συναρτήσει όλων των τεσσάρων συνόλων διατομής α, δηλαδή των τομών στα επίπεδα 0., 0.5, 0.8 και Παράδειγμα εφαρμογής της αρχής της αναπαράστασης Θεωρούμε ότι είναι γνωστά τα σύνολα διατομής α ενός αναφούς συνόλου Α, το οποίο επιχειρούμε να αναπαραστήσουμε: {3,4,5,6,7,8,9} (..α) 0. {4,5,6,7,8} (..β) 0.5 {5,6,7} (..γ) {6} (..δ) Εφαρμόζοντας το θεώρημα της αναπαράστασης προκύπτει: (..α) Level Level 0.,0.5,0.8,.0 (..β) -4-

5 Αντικαθιστώντας τις Εξ. (.) στην Εξ. (..α) και εκτελώντας τις πράξεις (όπου «+» ο τελεστής mx) αναπαρίσταται το ασαφές σύνολο Α: (.3.α) Level Η ερμηνεία του προκύπτοντος συνόλου μπορεί να είναι «ακέραιοι αριθμοί κοντά στο 6». (.3.β)..3. Παράδειγμα εφαρμογής των αρχών της ανάλυσης και της αναπαράστασης σε συνεχές ασαφές σύνολο Στο παράδειγμα αυτό εφαρμόζονται τα θεωρήματα της ανάλυσης και της αναπαράστασης σε συνεχή ασαφή σύνολα. Θεωρούμε ως πεδίο ορισμού U το διάστημα [0,5] και ένα ασαφές σύνολο, το οποίο έχει την ακόλουθη συνάρτηση συμμετοχής: x, iff x ( x) x (.4), iff x 4 Όπως απεικονίζεται στο Σχήμα.4, τα σύνολα διατομής α είναι σαφή σύνολα, τα οποία για την ( ) ( ) ( ) ( ) περίπτωση της Εξ. (.4) αποτελούν συνεχή διαστήματα [, ], με τα και να είναι τα όρια ( ) του διαστήματος. Το υπολογίζεται από την Εξ. (.4) ως εξής: ( ) ( ) x ( ) ( x) (.5.α) Παρόμοια ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) (.5.β) x Κατά συνέπεια, όλα τα σύνολα διατομής α του ασαφούς συνόλου Α είναι διαστήματα που τα όριά τους είναι οι συναρτήσεις (.5) ως προς α: ( ) ( ) ( ) ( ) [, ] [, ( )], [, ), [,4] (.6) Σχήμα.4 Ανάλυση συνεχούς ασαφούς συνόλου. -5-

6 Το σύνολο είναι και η χαρακτηριστική συνάρτησή του έχει τη μορφή, x ( ) ( x) (.7) 0, x x ( ) Η Εξ. (.4.β) περιγράφει τη συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου Α βάσει των συναρτήσεων ( x) ( x). Για παράδειγμα, στο σημείο x 3, εφόσον το 3 αντιστοιχεί στο συμμετοχής (.7): διάστημα που λειτουργεί η 0 ( ), από την Εξ. (.5.β) προκύπτει: 3 3 ( ) 0.5 (.8) Επομένως η τιμή της συνάρτησης συμμετοχής είναι 0.5, κάτι που ισχύει εφόσον ταυτίζεται στην Εξ. (.4) με το (3 ). Συμπερασματικά, εφαρμόζοντας το θεώρημα της ανάλυσης οδηγούμαστε σε ισοδύναμο τρόπο αναπαράστασης ενός ασαφούς συνόλου σε σχέση με τη χρήση συνάρτησης συμμετοχής. Παρατήρηση: Η εφαρμογή των συνόλων διατομής α επεκτείνεται και στις πράξεις ασαφών συνόλων. Στον Πίνακα. παρατίθενται ιδιότητες των συνόλων διατομής α: Ι.. Ι.. Ι.3. Ι.4. Ι.5. είναι το ισχυρό σύνολο διατομής α τότε και ( B) B και ( B) B ( B) B και ( B) B ( ) Πίνακας. Ιδιότητες των συνόλων διατομής α... H αρχή της επέκτασης Η αρχή ή θεώρημα της επέκτασης (extension principle) επινοήθηκε από τον Zdeh και αποτελεί μία από τις πλέον βασικές έννοιες της θεωρίας των ασαφών συνόλων. Παρέχει μία μέθοδο για την επέκταση κλασσικών μαθηματικών εκφράσεων σε ασαφή μεγέθη. Έστω ένα πολυδιάστατο πεδίο ορισμού X X X X n, στο οποίο ορίζονται οι μεταβλητές x X, x X,., xn X n, και ο χώρος Y, στον οποίο ορίζεται η μεταβλητή y Y. Οι κλασσικές συναρτήσεις (crisp functions) y f ( x, x,..., xn ) υλοποιούν μία ένα προς ένα απεικόνιση (one to one mpping) του πεδίου ορισμού Χ στο πεδίο τιμών τιμών Υ. Η αρχή της επέκτασης επιτρέπει τη γενίκευση της απεικόνισης των κλασσικών συναρτήσεων f ώστε να επιτευχθεί μία γενικευμένη απεικόνιση ασαφών συνόλων,,..., n στο σύνολο Β, δηλαδή Β = f (,,..., n ), όπου τα,,..., n και Β ορίζονται στους χώρους X, X,..., X n και Υ, αντίστοιχα. Με βάση την αρχή της επέκτασης τόσο οι ανεξάρτητες μεταβλητές των αλγεβρικών συναρτήσεων («είσοδοι» της συνάρτησης) όσο και η εξαρτημένη μεταβλητή («έξοδος» της συνάρτησης) είναι πλέον ασαφή σύνολα. Έστω μία κλασσική συνάρτηση f : X Y. H f υλοποιεί μία απεικόνιση από τον χώρο εισόδου Χ στον χώρο εξόδου Υ, έτσι ώστε η ακολουθία των στοιχείων x,..., x i, x K X να απεικονίζεται στα στοιχεία y f ( x ),,.., y K f ( x K ), yi Y. Εάν η μεταβλητή x λαμβάνει τιμές από ένα σαφές σύνολο (διάστημα) Α του χώρου Χ, δηλαδή το Α ανήκει στο σαφές δυναμοσύνολο του X, Α Px ( ), τότε η έξοδος y θα λαμβάνει τιμές σε ένα άλλο σαφές σύνολο B Py ( ), για το οποίο ισχύει -6-

7 B f( ) y y f( x), x (.9.α) Το σύνολο B f ( ) ονομάζεται εικόνα (imge) του Α. Εάν το y λαμβάνει τιμές από ένα σαφές σύνολο B Py ( ), τότε η αντίστροφη εικόνα (inverse imge) του Β είναι ένα σαφές σύνολο Α Px ( ): f ( B) x y f( x) B (.9.β) Από τις Εξ. (.9) συνάγεται ότι λαμβάνουν χώρα απεικονίσεις διαστημάτων (intervl mpping) και όχι διακριτών τιμών. Ορίζοντας τη χαρακτηριστική συνάρτηση του Α:, iff x ( x) (.0.α) 0, iff x οι χαρακτηριστική συναρτήσεις της εικόνας και της αντίστροφης εικόνας του Α είναι: ( x) mx ( ) f ( )( x) sup x (.0.β) x y f ( x) x y f ( x) ( ) ( ) ( x x y f ) (.0.γ) f ( B) B B Θεωρώντας ένα σαφές σύνολο Α, όλα τα σημεία x έχουν τον ιδιο βαθμό συμμετοχής, δηλαδή, μονάδα. Το επόμενο βήμα είναι να γενικεύσουμε αυτή την κατάσταση και να θεωρήσουμε ένα ασαφές σύνολο Α το οποίο ορίζεται ως εξής: ( x ) ( xi) ( xk) (.) x xi xk Mε βάση την αρχή της επέκτασης, η έξοδος της συνάρτησης είναι ένα ασαφές σύνολο, το οποίο αποτελεί εικόνα της εισόδου Α, με την ακόλουθη συνάρτηση συμμετοχής: ( x) ( xk) ( x) ( xk) B( y) B( yk) ( x) B f( ) f ( x) f( xk) y yk y y (.) K f( x) xx Στην περίπτωση που η συνάρτηση υλοποιεί απεικόνιση πολλά σε ένα (mny to one mpping), π.χ. τα στοιχεία x i, x i και x i3 αντιστοιχούν στο στοιχείο y i, το θεώρημα της επέκτασης επιλέγει ότι ο μέγιστος των βαθμών ( x i ), ( x i ) και ( x i 3) θα είναι ο βαθμός συμμετοχής του y i, δηλαδή y ) mx ( x ), ( x ), ( x ) και η συνάρτηση συμμετοχής του B διαμορφώνεται ως εξής: B ( i i i i3 B xx i y f ( x) ( y) mx ( x ) (.3) Θα πρέπει να τονισθεί ότι αν δεν υπάρχει κανένα στοιχείο της εισόδου που να απεικονίζεται σε κάποιο σημείο της εξόδου y i, δηλαδή δεν υπάρχει καμία αντίστροφη εικόνα του y i στο πεδίο ορισμού της εισόδου, τότε ο βαθμός συμμετοχής του y i στο Β είναι μηδέν. H αντίστροφη απεικόνιση ενός ασαφούς συνόλου Β είναι ένα ασαφές σύνολο Α, η συνάρτηση συμμετοχής του οποίου δίνεται ως εξής: ( ) ( ) ( ) x f ( B ) B y B f x (.4) Γενικεύοντας την αρχή της επέκτασης σε συναρτήσεις με περισσότερα του ενός ορίσματα εισόδου, θεωρούμε τη συνάρτηση y f ( x, x,..., xn ) και τα ασαφή σύνολα,,..., n, τα οποία ορίζονται στους χώρους X, X,..., X n, δηλαδή, F( X ), F( X ), και nf ( X n). Αν τα σαφή (crisp) ορίσματα x, x,..., x n αντικατασταθούν με τα ασαφή σύνολα,,..., n, τότε προκύπτει: Β f (,,..., n ) (.5) όπου το Β είναι ένα ασαφές σύνολο. Επομένως, η Eξ. (.5) πραγματοποιεί μία απεικόνιση από τον καρτεσιανό χώρο εισόδου X X X X n στον χώρο Υ. Το ασαφές σύνολο Β ορίζεται ως Β y, ( y) y f( x, x,..., x ), ( x, x,..., x ) X (.6.α) B n n και έχει την ακόλουθη συνάρτηση συμμετοχής: -7-

8 B ( y) sup min ( x ), ( x ), για ( ) n n f y ( x,..., xn ) X y f ( x,..., xn ) 0, για f ( y) (.6.β) όπου το sup παράγει το mx και ενεργεί επί όλων των min. Εάν θεωρηθεί ότι τα ασαφή σύνολα,,..., n διαμορφώνουν ένα συνολικό ασαφές σύνολο F( X ), όπου... ND ND ND n και ο τελεστής ND υλοποιείται με το min. Επομένως, η συνάρτηση συμμετοχής του Α είναι ( x ) min ( x ), ( x ),..., ( x ) n n (.7) Η Eξ. (.7) ταυτίζεται με την Εξ. (.5). Κάθε σημείο x ( x,..., x n ) του συνόλου Α αποτελεί την είσοδο στη συνάρτηση f, επομένως η επέκταση από τη μονοδιάστατη περίπτωση στην πολυδιάστατη είναι άμεση. Η υλοποίηση του ND με min ερμηνεύεται ως εξής: Ο βαθμός συμμετοχής του x ( x,..., x n ) στο Α είναι ο μικρότερος των βαθμών συμμετοχής των επί μέρους συνιστωσών x i. Έτσι, η Εξ. (.6.β) έχει και την ακόλουθη εναλλακτική μορφή (το σύμβολο του ολοκληρώματος υποδηλώνει την ένωση, η οποία υλοποιείται με τον τελεστή mx): ( x ) ( x)... ( x n n) B ( y), X X X n (.8) f ( x, x,..., x ) X n... Παράδειγμα εφαρμογής Στο παράδειγμα.4.. ορίσθηκε το πεδίο ορισμού 0,,...,9,0 και το ασαφές σύνολο Α «αριθμοί κοντά στο 3», το οποίο περιγράφεται ως (.9) Εφαρμόζοντας το θεώρημα της επέκτασης στη συνάρτηση y f ( x) x θα παραχθεί ένα ασαφές σύνολο. Η επέκταση της συνάρτησης αυτής είναι ένα ασαφές σύνολο B f (Α) («αριθμοί κοντά στο 3»). Επειδή οι αριθμοί x είναι θετικοί, η συνάρτηση y x πραγματοποιεί μία ένα προς ένα απεικόνιση, δηλαδή, κάθε x έχει μία μόνο εικόνα y. Επομένως, εφαρμόζοντας την Εξ. (.) προκύπτει: 0. B f ( Α) (.30) Το ασαφές σύνολο Β μπορεί να ερμηνευθεί ως «αριθμοί πολύ κοντά στο 3». Οι συναρτήσεις συμμετοχής των ασαφών συνόλων Α και Β απεικονίζονται στο Σχήμα.5:

9 Σχήμα.5 Οι συναρτήσεις συμμετοχής του παραδείγματος Παράδειγμα υλοποίησης του θεωρήματος της επέκτασης σε κώδικα MTLB Έστω ο χώρος [-3,3], στον οποίο ορίζεται το ασαφές σύνολο Α με γενικευμένη καμπανοειδή συνάρτηση συνάρτηση συμμετοχής: ( x) (.3) 4 x Θεωρούμε τη συνάρτηση x. x [ 3,) y f ( x) (.3) ( x ). x [0,3] και ζητάμε να απεικονισθεί γραφικά το ασαφές σύνολο B f ( ). Εφόσον η f (x) υλοποιεί απεικόνιση πολλά σε ένα για x [,], εφαρμόζεται ο τελεστής mx για τον υπολογισμό των βαθμών συμμετοχής του ασαφούς συνόλου Β για y [0,]. To γεγονός αυτό προκαλεί ασυνέχεια της B ( y ) στα σημεία y 0 και y. Οι συνάρτήσεις συμμετοχής των Α και Β παρουσιάζονται στα Σχήματα.6.α και γ, αντίστοιχα. Στο Σχήμα.6.β απεικονίζεται η συνάρτηση f (x). (α) (β) -9-

10 (γ) Σχήμα.6 Οι συναρτήσεις συμμετοχής των συνόλων Α, Β και η συνάρτηση y=f(x) του παραδείγματος..3. H υλοποίηση σε κώδικα MTLB δίνεται ακολούθως. Σημειώνεται ότι ο κώδικας της γενικευμένης καμπανοειδούς συνάρτησης συμμετοχής παρουσιάζεται στην.9.3. % % Eφαρμογή της αρχής της επέκτασης % cler ll; close ll; clc; =.5; b=; c=0.5; step=0.0; x=(-3:step:0)'; x=(step:step:3)'; x=[x;x]; figure() mf_=bell_mf(x,,b,c); plot(x, mf_,'k'); hold on; plot([- -], [0.],':'); plot([ ], [0.],':'); xis([min(x) mx(x) 0.]); figure() y=x; y=(x-).^-; y=[y;y]; plot(x, y,'k'); xis([min(x) mx(x) min(y) mx(y)]); hold on; plot([- mx(x)],[0 0],':'); plot([- mx(x)],[- -],'k:'); plot([- -],[-3 0],':'); plot([ ],[-3 0],':'); figure(3) y=(-3:step:-)'; y=(-+step:step:0)'; -0-

11 y3=(step:step:3)'; y=[y;y;y3]; x=y; muy=bell_mf(x,,b,c); x_=y; muy_=bell_mf(x_,,b,c); x_=-(y+).^0.5+; muy_=bell_mf(x_,,b,c); x_3=(y+).^0.5+; muy_3=bell_mf(x_3,,b,c); tmp=mx(muy_, muy_); muy=mx(tmp, muy_3); x3=(y3+).^0.5+; muy3=bell_mf(x3,,b,c); mf_b=[muy; muy; muy3]; plot(y,mf_b,'k'); hold on; plot([0 0],[0.],':'); plot([- -],[0.],':'); xis([min(y) mx(y) 0.]); % Τέλος προγράμματος % Πράξεις ασαφών συνόλων με χρήση του θεωρήματος της επέκτασης Το θεώρημα της επέκτασης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορισθούν πράξεις μεταξύ δύο ασαφών συνόλων. Θεωρούμε τα ασαφή σύνολα Α και Β, όπου F( X ) και Β F( Y ), και τη συνάρτηση z f ( x, y), f : X Y Z, όπου x X, y Y και z Z.. Πρόσθεση ασαφών συνόλων B Z ( x) B ( y) x y Β. Αφαίρεση ασαφών συνόλων B Z ( x) B ( y) x y Γ. Πολλαπλασιασμός ασαφών συνόλων B Z ( x) B ( y) x y Β. Διαίρεση ασαφών συνόλων B Z ( x) B ( y) x y, ( z) sup min ( x), ( y) (.33.α) zx y, ( z) sup min ( x), ( y) zx y B (.33.β), ( z) supmin ( x), ( y) zxy B B (.33.γ), ( z) sup min ( x), ( y) (.33.δ) zx / y B.3.. Παράδειγμα --

12 Έστω Ux U y oι φυσικοί αριθμοί 0,,...,7. Στον χώρο U x ορίζεται το ασαφές σύνολο Α «αριθμοί κοντά στο 0» και στον χώρο περιγράφονται ως U y ορίζεται το ασαφές σύνολο Β «αριθμοί κοντά στο 6». Tα δύο σύνολα (.34.α) 0 3 και B (.34.β) Ζητείται να υπολογισθεί το άθροισμα και το γινόμενο των συνόλων Α και Β. Για να εφαρμοσθούν οι Εξ. (.33.α) και (.33.γ) καταρτίζεται ο Πίνακας. με όλους τους συνδυασμούς των στοιχείων των συνόλων Α και Β, για τα οποία οι βαθμοί συμμετοχής είναι μη μηδενικοί: x (x) y ) B(y z x y z x y x (x) y ) B(y z x y z x y (α) Υπολογισμός του αθροίσματος B Πίνακας. Από τον Πίνακα. και την Εξ. (.33.α) υπολογίζονται οι τιμές της συνάρτησης συμμετοχής του ασαφούς συνόλου : min (0), B (3) mxmin.0,0. 0. min (0), B (4), min (), B (3) mxmin.0,0.5, min0.8,0. mx0.5, min (0), B (5), min (), B (4), min (), B(3) mx0.8,0.5, min (0), B (6),min (), B (5),min (), B (4),min (3), B (3) mx.0,0.8,0.5,0.. 0 min (0), B (7), min (), B (6), min (), B (5), min (3), B (4) mx0.8,0.8,0.5, min (), B (7),min (), B (6),min (3), B (5) mx0.8,0.5, min (), B (7),min (3), B (6) mx0.5, min (3), (7) mx0. 0. ( 3) mx ( 4) mx ( 5) mx ( 6) mx ( 7) mx ( 8) mx ( 9) mx ( 0) mx B Επομένως, το ασαφές σύνολο περιγράφεται ως εξής: (.35) πό την Εξ. (.35) προκύπτει ότι η πρόσθεση των συνόλων «αριθμοί κοντά στο 0» και «αριθμοί κοντά στο 6» οδήγησε στο σύνολο, στο οποίο μπορεί να αποδοθεί ο χαρακτηρισμός «αριθμοί κοντά στο 6», όπου το «6» στην περίπτωση του συνόλου ερμηνεύεται ως «0+6». Δηλαδή το αποτέλεσμα προκύπτει αν «προσθέσουμε» με ασαφή τρόπο τα ασαφή ορίσματα. (β) Υπολογισμός του γινομένου B --

13 Από τον Πίνακα. και την Εξ. (.33.γ) υπολογίζονται οι τιμές της συνάρτησης συμμετοχής του ασαφούς συνόλου : (0) mxmin (0), B (3),min (0), B (4), min (0), B (5), min (0), B (6), min (0), B (7) mx 0.,0.5,0.8,.0, mxmin (), B (3) mx0. 0. mxmin (), B (4) mx mxmin (), B (5) mx mxmin (), B (6),min (), B (3) mx0.8, mxmin (), B (7) mx mxmin (), B (4) mx mxmin (3), B (3) mx0. 0. mxmin (), B (5) mx mxmin (), B (6),min (3), B (4) mx0.5, mxmin (), B (7) mx mxmin (3), B (5) mx0. 0. mxmin (3), B (6) mx0. 0. mxmin (3), (7) mx0. 0. ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7) ( 8) ( 9) ( 0) ( ) ( 4) ( 5) ( 8) ( ) B Επομένως, το ασαφές σύνολο περιγράφεται ως εξής: (.36) Προχωρημένες πράξεις ασαφών συνόλων συναθροιστικοί τελεστές Στις αναλύθηκαν οι έννοιες της τομής και της ένωσης ασαφών συνόλων, καθώς και του συμπληρώματος ενός ασαφούς συνόλου. Οι πράξεις αυτές ορίσθηκαν με βάση τις Εξ. (.30), (.36) και (.39), αντίστοιχα. Οι πράξεις αυτές μπορούν να θεωρηθούν ως συνδυαστικοί ή συναθροιστικοί τελεστές (ggregtion opertors) οι οποίοι δρουν επί ασαφών συνόλων και παράγουν ως αποτέλεσμα κάποια άλλα ασαφή σύνολα. Πέραν των ορισμών αυτών, κάθε πράξη μπορεί να υλοποιηθεί από μία ολόκληρη ομάδα τελεστών. Οι συναθροιστικοί τελεστές διακρίνονται στους παραμετρικούς και τους μη παραμετρικούς τελεστές. Στη συνέχεια θα μελετηθούν αντιπροσωπευτικοί τελεστές από κάθε κατηγορία για την τομή, την ένωση και το συμπλήρωμα..4.. Μη παραμετρικοί τελεστές τομής Οι τελεστές που υλοποιούν την τομή δύο ασαφών συνόλων Α και Β αναφέρονται ως τριγωνικές νόρμες, t- νόρμες ή t-στάθμες (tringulr norms, t-norms). ποτελούν συναρτήσεις που πραγματοποιούν την απεικόνιση t : [0,] [0,] [0,] και συμβολίζονται ως ~ B ( x) t ( x), B ( x) ( x) B ( x) (.37) όπου ~ είναι ένας δυαδικός τελεστής για τη συνάρτηση t(). Mία συνάρτηση t() για να χαρακτηρισθεί τελεστής τομής πρέπει να ικανοποιεί τα αξιώματα του Πίνακα.3 (, b, c[0, ]).Ο τελεστής τομής υλοποιεί τη λογική πράξη ND: -3-

14 .. Αντιμεταθετικότητα (ommuttivity) t t( b, ).. Προσεταιριστικότητα (ssocitivity) t t( b, c)) t( t(,, c).3. Μονοτονία (Monotonicity) Εάν c και b d τότε t t( c, d).4. Οριακές συνθήκες (Boundry conditions) t ( 0,0) 0 και t(, ) t(, ) Πίνακας.3 Αξιώματα των τελεστών τομής. Σύμφωνα με το αξίωμα., η πράξη της τομής είναι ανεξάρτητη της σειράς εμφάνισης των ορισμάτων. Το αξίωμα Α. επιτρέπει την επέκταση της πράξης της τομής σε περισσότερα από δύο ασαφή σύνολα. Σύμφωνα με το αξίωμα Α.3, μία μείωση στους βαθμούς συμμετοχής των κα b δε συνεπάγεται μείωση του βαθμού συμμετοχής της τομής τους. Το αξίωμα.4 περιγράφει τις οριακές συνθήκες της πράξης. Οι βασικοί μη παραμετρικοί τελεστές τομής είναι οι ακόλουθοι: (α) min (minimum) (β) αλγεβρικό γινόμενο (lgebric product) tmin min b (.38.α) t p b b (.38.β) (γ) φραγμένο γινόμενο (bounded product) t bp mx(0, b ) 0( b ) (.38.γ) (δ) δραστικό γινόμενο (drstic product), εάν b tdp b, εάν 0, εάν b, (.38.δ).4... Παράδειγμα υλοποίησης των τελεστών τομής σε κώδικα MTLB Θεωρούμε τα πεδία ορισμού U [0,0] και U [0,40], στα οποία ορίζονται τα ασαφή σύνολα Α, Β και με συναρτήσεις συμμετοχής: x y ( x) tri_ MF( x;,6,9) (.39.α) ( x) trp_ MF( x;3,5,8,9) (.39.β) B ( y) trp_ MF( y;6,30,34,38) (.39.γ) Δημιουργείται μία συνάρτηση σε κώδικα MTLB, η οποία δέχεται ως ορίσματα δύο διανύσματα και b. Επιστρέφει τέσσερα διανύσματα, που αποτελούν τα εξαγόμενα της εφαρμογής των τελεστών τομής, t, t, t, t b ). dp bp p min Στο Σχήμα.7 απεικονίζονται τα εξαγόμενα των τελεστών όταν τα ορίσματα και b είναι τα ασαφή σύνολα Α και Β, τα οποία έχουν κοινό πεδίο ορισμού, U. Στο Σχήμα.8 απεικονίζονται σε τρισδιάστατα γραφήματα τα εξαγόμενα των τελεστών όταν τα ορίσματα και b είναι τα ασαφή σύνολα Β και. Eφόσον τα ασαφή σύνολα έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού, τα προκύπτοντα ασαφή σύνολα έχουν ως πεδίο ορισμού το καρτεσιανό γινόμενο των U και U. Ο κώδικας της τραπεζοειδούς και της τριγωνικής συνάρτησης συμμετοχής παρουσιάζεται στις.9. και.9., αντίστοιχα. x x y -4-

15 Σχήμα.7 Oι τελεστές t-norm για ασαφή σύνολα με κοινό πεδίο ορισμού. (α) O τελεστής minimum (β) O τελεστής αλγεβρικό γινόμενο (γ) O τελεστής φραγμένο γινόμενο (δ) O τελεστής δραστικό γινόμενο t dp Σχήμα.8 Oι τελεστές t-norm για ασαφή σύνολα με διαφορετικά πεδία ορισμού. πό τις μορφές των γραφημάτων των Σχημάτων.7 και.8 συνάγεται ότι t t t min (.40) bp p -5-

16 Οι παραπάνω ανισότητες αποδεικνύονται και αναλυτικά. Συνεπώς ο τελεστής t dp αποτελεί το κατώτερο όριο, ενώ ο τελεστής t αποτελεί το ανώτερο όριο των τελεστών τομής. min % % Τελεστές τομής % clc; close ll; cler ll; % Τομή ασαφών συνόλων στο ίδιο πεδίο ορισμού xx=linspce(0,0,5); [t_min t_p t_bp t_dp]=t_norm_opertors(tri_mf(xx,,6,9),trp_mf(xx,3,5,8,9)); figure() edit_figure(,xx,t_min,'minimum'); edit_figure(,xx,t_p,'αλγεβρικό γινόμενο'); edit_figure(3,xx,t_bp,'φραγμένο γινόμενο'); edit_figure(4,xx,t_dp,'δραστικό γινόμενο'); % Τομή ασαφών συνόλων σε διαφορετικά πεδία ορισμού yy=linspce(0,0,5); x,y] = meshgrid(trp_mf(xx,3,5,8,9),trp_mf(yy,6,30,34,38)); t_min t_p t_bp t_dp]=t_norm_opertors(x,y); edit_3d_figure(,xx,yy,t_min); edit_3d_figure(,xx,yy,t_p); edit_3d_figure(3,xx,yy,t_bp); edit_3d_figure(4,xx,yy,t_dp); % Τέλος προγράμματος % % Συνάρτηση υλοποίησης των τελεστών τομής % function [minim,p,bp,dp]=t_norm_opertors(, minim=min(,; p=.*b; bp=mx(0,+b-); z = zeros(size()); z(find(b==))=(find(b==)); z(find(==))=b(find(==)); dp=z; % function edit_figures_3(plot_no,x,y,tlt) subplot(4,,plot_no); plot(x,y); text(0.5,0.7,tlt); % function edit_3d_figures_3(plot_no,x,x,y) figure(plot_no+); mesh(x,x,y); vie(-5,30); set(gc,'box','on');.4.. Μη παραμετρικοί τελεστές ένωσης Οι τελεστές που υλοποιούν την ένωση δύο ασαφών συνόλων Α και Β αναφέρονται ως s-νόρμες ή t- συστάθμες (s norms, t conorms). ποτελούν συναρτήσεις που πραγματοποιούν την απεικόνιση s : [0,] [0,] [0,] και συμβολίζονται ως -6-

17 ~ B ( x) s ( x), B ( x) ( x) B ( x) (.4) όπου ~ είναι ένας δυαδικός τελεστής για τη συνάρτηση s(). Mία συνάρτηση s() για να χαρακτηρισθεί τελεστής τομής πρέπει να ικανοποιεί τα αξιώματα του Πίνακα.4 (, b, c[0, ]).Ο τελεστής ένωσης υλοποιεί τη λογική πράξη OR:.. Αντιμεταθετικότητα (ommuttivity) s s( b, ).. Προσεταιριστικότητα (ssocitivity) s t( b, c)) s( t(,, c).3. Μονοτονία (Monotonicity) Εάν c και b d τότε s s( c, d).4. Οριακές συνθήκες (Boundry conditions) s (, ) και s( 0, ) s(,0) Πίνακας.4 Αξιώματα των τελεστών ένωσης. Ως προς την ερμηνεία τους, τα αξιώματα του Πίνακα.4 είναι αντίστοιχα με τα αξιώματα των τελεστών τομής της.4.. Οι βασικοί μη παραμετρικοί τελεστές ένωσης είναι οι ακόλουθοι: (α) mx (mximum) smx mx b (.4.α) (β) αλγεβρικό άθροισμα (lgebric sum) s s b b (.4.β) (γ) φραγμένο άθροισμα (bounded sum) min(, ( (.4.γ) (δ) δραστικό άθροισμα (drstic sum) s bs, εάν b 0 sdp b, εάν 0, εάν b, (.4.δ) Oι τελεστές τομής και ένωσης είναι δυαδικές συναρτήσεις και υπακούουν στους γενικευμένους κανόνες DeMorgn: s t, b (.43.α) t s, b (.43.β) (α) smx tmin (.44.α) Από την Εξ. (.43.α) προκύπτει ότι s mx. Σύμφωνα με την Εξ. (.43.β) ισχύει b min, b t,. Oι δύο σχέσεις είναι ίσες βάσει της Εξ. (.69), κατά συνέπεια ισχύει η ανωτέρω ισοδυναμία. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύονται οι ακόλουθες ισοδυναμίες: (β) ss tp (.44.β) (γ) sbs tbp (.44.γ) (δ) sds tdp (.44.δ).4... Παράδειγμα υλοποίησης των τελεστών ένωσης σε κώδικα MTLB Θεωρούμε τα πεδία ορισμού και τα ασαφή σύνολα του παραδείγματος.4... Δημιουργείται μία συνάρτηση σε κώδικα MTLB, η οποία δέχεται ως ορίσματα δύο διανύσματα και b. Επιστρέφει τέσσερα διανύσματα, που αποτελούν τα εξαγόμενα της εφαρμογής των τελεστών ένωσης, s, s, t, s b ). Kατ αντιστοιχία με το προηγούμενο παράδειγμα: ds bs s mx Στο Σχήμα.9 απεικονίζονται τα εξαγόμενα των τελεστών όταν τα ορίσματα και b είναι τα ασαφή σύνολα Α και Β, τα οποία έχουν κοινό πεδίο ορισμού, U. x -7-

18 Στο Σχήμα.0 απεικονίζονται σε τρισδιάστατα γραφήματα τα εξαγόμενα των τελεστών όταν τα ορίσματα και b είναι τα ασαφή σύνολα Β και. Eφόσον τα ασαφή σύνολα έχουν διαφορετικά πεδία ορισμού, τα προκύπτοντα ασαφή σύνολα έχουν ως πεδίο ορισμού το καρτεσιανό γινόμενο των U και U. x y Σχήμα.9 Oι τελεστές s-norm για ασαφή σύνολα με κοινό πεδίο ορισμού. (α) O τελεστής mximum (β) O τελεστής αλγεβρικό άθροισμα (γ) O τελεστής φραγμένο άθροισμα (δ) O τελεστής δραστικό άθροισμα s mx Σχήμα.0 Oι τελεστές s-norm για ασαφή σύνολα με διαφορετικά πεδία ορισμού. πό τις μορφές των γραφημάτων των Σχημάτων.9 και.0 συνάγεται ότι s s s (.45) s bs ds -8-

19 Οι παραπάνω ανισότητες αποδεικνύονται και αναλυτικά. Συνεπώς ο τελεστής s mx αποτελεί το κατώτερο όριο, ενώ ο τελεστής s ds αποτελεί το ανώτερο όριο των τελεστών ένωσης. % % Τελεστές ένωσης % clc; close ll; cler ll; % Ένωση ασαφών συνόλων στο ίδιο πεδίο ορισμού xx=linspce(0,0,5); [s_mx s_s s_bs s_ds]=s_norm_opertors(tri_mf(xx,,6,9),trp_mf(xx,3,5,8,9)); figure() edit_figure(,xx,s_mx,'mximum'); edit_figure(,xx,s_s,'αλγεβρικό άθροισμα'); edit_figure(3,xx,s_bs,'φραγμένο άθροισμα'); edit_figure(4,xx,s_ds,'δραστικό άθροισμα'); % Ένωση ασαφών συνόλων σε διαφορετικά πεδία ορισμού yy=linspce(0,0,5); [x,y] = meshgrid(trp_mf(xx,3,5,8,9),trp_mf(yy,6,30,34,38)); [s_mx s_s s_bs s_ds]=s_norm_opertors(x,y); edit_3d_figure(,xx,yy,s_mx); edit_3d_figure(,xx,yy,s_s); edit_3d_figure(3,xx,yy,s_bs); edit_3d_figure(4,xx,yy,s_ds); % Τέλος προγράμματος % % Συνάρτηση υλοποίησης των τελεστών ένωσης % function [mxim,s,bs,ds]=s_norm_opertors(, mxim=mx(,; s=+b-.*b; bs=min(,+; z = ones(size()); z(find(b==0))=(find(b==0)); z(find(==0))=b(find(==0)); ds=z; % function edit_figures_3(plot_no,x,y,tlt) subplot(4,,plot_no); plot(x,y); text(0.5,0.7,tlt); % function edit_3d_figures_3(plot_no,x,x,y) figure(plot_no+); mesh(x,x,y); vie(-5,30); set(gc,'box','on');.4.3. Παραμετρικοί τελεστές ένωσης και τομής Στη βιβλιογραφία εμφανίζεται μία σειρά ομάδων παραμετρικών τελεστών ένωσης και τομής, όπως οι ομάδες Yger, Dubois-Prde, Sugeno, Dombi, Scheizer-Sklr, Hmcher. Ενδεικτικά θα μελετηθούν οι πρώτες δύο ομάδες, καθώς αποτελούνται από εκθετικές και ρητές συναρτήσεις, αντίστοιχα. -9-

20 Α. Ομάδα Yger (Yger clss) Οι τελεστές τομής της ομάδας Yger περιγράφονται από τη συνάρτηση: t min, ( ) ( (.46) όπου ( 0, ). Για, ο τελεστής t μεταπίπτει στον μη παραμετρικό τελεστή t bp. Όταν 0, ο t τείνει προς τον τελεστή, δηλαδή lim t 0 t dp Όταν, ο t τείνει προς τον τελεστή min, t t dp min (, b ), δηλαδή (.47.α) lim t t (.47.β) min Οι τελεστές ένωσης της ομάδας Yger περιγράφονται από τη συνάρτηση: s min b (.48) όπου ( 0, ). Για, ο τελεστής s ) μεταπίπτει στον μη παραμετρικό τελεστή s bs. b Όταν 0, ο s 0(, τείνει προς τον τελεστή s ds lim s s 0 ds Όταν, ο s τείνει προς τον τελεστή s mx lim smx(, s, δηλαδή, δηλαδή (.49.α) (.49.β) Παρατηρήσεις: Λαμβάνοντας υπόψη τις ανισοϊσότητες των Εξ. (.40), (.45) και τις συνθήκες μετάπτωσης που περιγράφονται από τις Εξ. (.47), (.49), ο τελεστής t διατρέχει όλο το διάστημα των τελεστών τομής από τον t dp έως τον t min και ο τελεστής s διατρέχει όλο το διάστημα των τελεστών ένωσης από τον s mx(, έως τον s ds. Επομένως οι τελεστές Υger είναι γενικευμένοι τελεστές ένωσης και τομής. Οι τελεστές t και s αποδεικνύεται ότι πληρούν τα αξιώματα των Πινάκων.3 και.4. Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι τελεστές t και s είναι δυαδικοί τελεστές, υπό την έννοια ότι ικανοποιούν τις Εξ. (.43). B. Ομάδα Dubois-Prde (Dubois Prde clss) Οι τελεστές ένωσης και τομής της ομάδας Dubois Prde περιγράφονται από τις συναρτήσεις: s DP b b min, b,( k) b, k) (.50.α) mx(, b, k) b t DP b, k) (.50.β) mx b, k) όπου k [0,]. Παρατηρήσεις: Για k, ο τελεστής s DP b,) μεταπίπτει στον μη παραμετρικό τελεστή s s. Για k, ο τελεστής t DP b,) μεταπίπτει στον μη παραμετρικό τελεστή t p. -0-

21 Όλες τις προαναφερθείσες κατηγορίες τελεστών s και t, παραμετρικών και μη παραμετρικών, οι οποίοι υλοποιούν την ένωση και την τομή δύο ασαφών συνόλων, κινούνται ανάμεσα σε ένα κατώτερο και σε ένα ανώτερο όριο. Αποδεικνύεται ότι τα όρια δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: t(, t min (.5.α) t dp s mx s(, s (.5.β) ds.4.4. Tελεστές ασαφούς συμπληρώματος Το συμπλήρωμα ενός ασαφούς συνόλου Α συμβολίζεται με και στη γενική περίπτωση καθορίζεται από μία συνάρτηση c που εκτελεί την απεικόνιση c :[0,] [0, ], έτσι ώστε ( x) c ( x) (.5) Για να ενεργεί μία συνάρτηση ως τελεστής ασαφούς συμπληρώματος πρέπει να ικανοποιεί τα αξιώματα του Πίνακα.5. Σημειώνεται χαρακτηριστικά ότι ο συνήθης ορισμός του συμπληρώματος (μη παραμετρική συνάρτηση συμπληρώματος) ( x) ( x), που δόθηκε στο κεφάλαιο, ικανοποιεί τα κάτωθι αξιώματα:.. Αυτοπαθής (Involution) cc( ).. Συνέχεια (ontinuity) H c () είναι συνεχής συνάρτηση.3. Μονοτονία (Monotonicity) Εάν b τότε c( ) c(.4. Οριακές συνθήκες (Boundry conditions) c ( 0) και c ( ) 0 Πίνακας.5 Αξιώματα των τελεστών ασαφούς συμπληρώματος. To αξίωμα Α. υποδηλώνει ότι το συμπλήρωμα του συμπληρώματος είναι το αρχικό ασαφές σύνολο. Όπως και στην περίπτωση των τελεστών ένωσης και τομής, έτσι και στην παρούσα περίπτωση, το ασαφές συμπλήρωμα δύναται να υλοποιηθεί με διάφορες ομάδες τελεστών. Από τις πλέον χαρακτηριστικές είναι η ομάγα Yger και η ομάδα Sugeno. Α. Ομάδα Yger (Yger clss) Η ομάδα Yger παρέχει παραμετρικούς τελεστές συμπληρώματος, οι οποίοι ονομάζονται συμπληρώματα ( complements) και ορίζονται από τη συνάρτηση: c ( ) (.53) όπου ( 0, ). Το συμπλήρωμα συμβολίζεται με ( x) ( x) η συνάρτηση συμμετοχής του εξάγεται ως ακολούθως: ( x) c (.54) Παρατηρήσεις: Για, ο τελεστής c ( ) μεταπίπτει στον τυπικό ορισμό του συμπληρώματος της Εξ. (.39). Για, το συμπλήρωμα Για 0, το συμπλήρωμα καλύπτει ολόκληρο τον άξονα των φυσικών αριθμών. τείνει προς το κενό σύνολο. Β. Ομάδα Sugeno (Sugeno clss) Kαι η ομάδα Sugeno παρέχει παραμετρικούς τελεστές συμπληρώματος, οι οποίοι ονομάζονται συμπληρώματα λ (λ complements) και ορίζονται από τη συνάρτηση: c ( ) (.55) --

22 όπου (, ). Το συμπλήρωμα συμβολίζεται με η συνάρτηση συμμετοχής του περιγράφεται ως εξής: ( x) ( x) c ( x) (.56) ( x) Παρατηρήσεις: Για 0, ο τελεστής c ( ) μεταπίπτει στον τυπικό ορισμό του συμπληρώματος της Εξ. (.39). Για, το συμπλήρωμα Για, το συμπλήρωμα καλύπτει ολόκληρο τον άξονα των φυσικών αριθμών. τείνει προς το κενό σύνολο Παράδειγμα υλοποίησης των τελεστών ασαφούς συμπληρώματος σε κώδικα MTLB Θεωρούμε το πεδίο ορισμού U x και το ασαφές σύνολο Α του παραδείγματος.4... Δημιουργούνται δύο συναρτήσεις σε κώδικα MTLB, οι οποίες υλοποιούν τους τελεστές Yger και Sugeno, αντίστοιχα. Η πρώτη συνάρτηση δέχεται ως ορίσματα τη συνάρτηση συμμετοχής του Α και μία τιμή της παραμέτρου της Εξ. (.54). Επιστρέφει τις τιμές της συνάρτησης συμμετοχής του συμπληρώματος του Α. Παρόμοια, η δεύτερη συνάρτηση δέχεται ως ορίσματα τη συνάρτηση συμμετοχής του Α και μία τιμή της παραμέτρου λ της Εξ. (.54). Επιστρέφει τις τιμές της συνάρτησης συμμετοχής του συμπληρώματος του Α. Στο Σχήμα..α απεικονίζονται το ασαφές σύνολο Α και τα συμπληρώματα για διάφορες τιμές της παραμέτρου. Στο Σχήμα..β απεικονίζονται τα προαναφερθέντα ασαφή σύνολα μετά την εφαρμογή του τελεστή συμπληρώματος Sugeno, για διάφορες τιμές της παραμέτρου λ. Από τις γραφικές παραστάσεις επιβεβαιώνονται οι παρατηρήσεις της.4.4: Για και 0 τα ασαφή συμπληρώματα ταυτίζονται με το κλασσικό συμπλήρωμα ( x), ενώ για αύξουσες τιμές του το συμπλήρωμα βαίνει εξαπλούμενο. Αντίθετα, για αύξουσες τιμές του λ το συμπλήρωμα βαίνει συρρικνούμενο. (α) O τελεστής Yger (β) O τελεστής Sugeno Σχήμα. Oι τελεστές ασαφούς συμπληρώματος Yger και Sugeno. % % Τελεστές ασαφούς συπληρώματος % clc; close ll; cler ll; x=linspce(0,0,0); mf_x(,:)=tri_mf(x,,6,9); % Τελεστής ασαφούς συμπληρώματος Yger --

23 =[ ]; figure() legendinfo{} = sprintf('μ(x)'); hold on; for i=:length() mf_x(i+,:)=yger_opertors(mf_x(,:),(i)); legendinfo{i+}=sprintf('=%.f',(i)); end plot(x,mf_x(:,:end)); xis([min(x) mx(x) 0.05]); legend(legendinfo,'loction','west'); % Τελεστής ασαφούς συμπληρώματος Sugeno lmd=[ ]; figure() legendinfo{} = sprintf('μ(x)'); hold on; for i=:length(lmd) mf_x(i+,:)=sugeno_opertors(mf_x(,:),lmd(i)); legendinfo{i+}=sprintf('λ=%.f',lmd(i)); end plot(x,mf_x(:,:end)); xis([min(x) mx(x) 0.05]); legend(legendinfo,'loction','southwest'); % Τέλος προγράμματος % % Συνάρτηση υλοποίησης των τελεστών Yger % function y=yger_opertors(x,) if == 0.0 error('illegl prmeter condition: = 0'); end y=(-x).^(/); % % Συνάρτηση υλοποίησης των τελεστών Sugeno % function y=sugeno_opertors(x,lmd) if lmd == -.0 error('illegl prmeter condition: lmd = -'); end y=(-x).*((+lmd*x).^(-));.5. Μεσοσταθμικοί τελεστές Όπως παρουσιάστηκε στην προηγούμενη ενότητα, οι συναθροιστικοί τελεστές αποτελούν συναρτήσεις οι οποίες συνδυάζουν δύο ασαφή σύνολα και παράγουν ένα νέο ασαφές σύνολο. Υπάρχει μία δεύτερη κατηγορία τελεστών, οι επονομαζόμενοι μεσοσταθμικοί τελεστές (verging opertors). Οι τελεστές αυτοί συμβολίζονται με και καλύπτουν το διάστημα ανάμεσα στο τελεστή tmin(, min και τον τελεστή smx(, mx : tmin smx (.57) Στη βιβλιογραφία έχει προταθεί μία σειρά από μεσοσταθμικούς τελεστές. Οι πλέον χαρακτηριστικοί περιγράφονται ακολούθως. Α. Μεσοσταθμικοί τελεστές mx min (mx min verges) -3-

24 Oι τελεστές mx-min ορίζονται από τη συνάρτηση: mx(, ( ) min (.58) όπου [0,]. Β. Γενικευμένος μέσος (generlized mens) Ο τελεστής ορίζεται ως εξής: b (.59) όπου και 0. Αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι κάτωθι οριακές συνθήκες: lim tmin min (.60.α) lim smx mx (.60.β) πό τις Εξ. (.60) συνάγεται ότι οι τελεστές καλύπτουν όλη την περιοχή από t min έως s. mx Γ. Ασαφές ND (fuzzy ND) Ο τελεστής ασαφές ND υλοποιείται από τη σχέση: ( p) ( p ( b, ) pmin( b, ) (.6) όπου p [0,]. Όταν p 0, ο τελεστής παράγει τη μέση τιμή ( b ) στον t. min, ενώ για p ο τελεστής μεταπίπτει Δ. Ασαφές OR (fuzzy OR) Ο τελεστής ασαφές OR να θεωρηθεί δυαδικός του τελεστή ασαφές ND. Περιγράφεται από τη συνάρτηση: ( ) ( ( b, ) mx( b, ) (.6) όπου [0,]. Όταν 0, ο τελεστής παράγει τη μέση τιμή ( b ) στον s. mx, ενώ για ο τελεστής μεταπίπτει Σημείωση: Από τις Εξ. (.5) συμπεραίνεται ότι όλοι οι τελεστές δύο ασαφών συνόλων (τομής, ένωσης και μεσοσταθμικοί) κινούνται στην περιοχή από t dp έως s ds. Η περιοχή λειτουργίας των τελεστών αποτυπώνεται στο Σχήμα.. Η επιλογή του κατάλληλου τελεστή εξαρτάται από την εκάστοτε περίπτωση, έτσι ώστε να συνδυασθούν κατάλληλα το ασαφή σύνολα και το προκύπτον σύνολο να έχει μία εύλογη ερμηνεία. Σχήμα. Ασκήσεις -4-

25 Άσκηση Έστω τα πεδία ορισμού X = και X = -,0,,,3,,3. Ορίζουμε τα ασαφή σύνολα Α = και Α =. Με χρήση του θεωρήματος της επέκτασης να υπολογισθεί το ασαφές σύνολο = f(, ). Η συνάρτηση f λαμβάνει τη μορφή y = f(x, x ) = x + x, όπου x X, x X και y Y. Άσκηση Για τα ασαφή σύνολα Α και Β του παραδείγματος.. να εκτελεσθούν οι πράξεις Α - Β και Άσκηση 3 Να αποδειχθεί ότι ο τελεστής τομής Yger της Εξ. (.46) πληροί τις ακόλουθες συνθήκες: (α) t (,0)=, (β) t (,) =, (γ) t (,), (δ) Εάν, τότε t t Α Β. Άσκηση 4 Θεωρούμε δύο ασαφή σύνολα Α και Β σε κοινό πεδίο ορισμού U. Nα αποδειχθεί ότι, εάν το συμπλήρωμα ενός ασαφούς συνόλου δίνεται από την Εξ. (.39), ο τελεστής τομής αλγεβρικό γινόμενο και ο τελεστής ένωσης αλγεβρικό άθροισμα ικανοποιούν του νόμους De Morgn, δηλαδή: (α) B= B (β) B B= Να επαναληφθούν τα (α) και (β) για το ζεύγος φραγμένο γινόμενο φραγμένο άθροισμα. Άσκηση 5 Έστω =B= Άσκηση 6 [0,] x. Nα υπολογιστούν το αλγεβρικό άθροισμα και το αλγεβρικό γινόμενο των και Β. x H πτώση τάσης, V, στα άκρα μίας ωμικής αντίστασης είναι ίση με το γινόμενο της τιμής της αντίστασης, R, και του ρεύματος που διέρχεται από την αντίσταση, I ( V=IR, νόμος του Ohm.), Eάν τα τρία μεγέθη V, I, R θεωρηθούν ασαφή σύνολα και τα δύο τελευταία έχουν τις ακόλουθες συναρτήσεις συμμετοχής: I=, R= να εφαρμοσθεί ο νόμος του Οhm, κάνοντας χρήση της αρχής της επέκτασης για να υπολογιστεί το ασαφές σύνολο που περιγράφει την πτώση τάσης, V. Άσκηση 7 Για τα ασαφή σύνολα Α και Β του παραδείγματος.. να εφαρμοστούν οι μεσοσταθμικοί τελεστές mx min. Άσκηση 8 Για τα ασαφή σύνολα Α και Β του παραδείγματος.. να εφαρμοστούν οι τελεστές ασαφούς συμπληρώματος Sugeno και Yger. Άσκηση 9 Για τα ασαφή σύνολα Α και Β της Άσκησης 0 του κεφαλαίου να εφαρμοσθούν οι μη παραμετρικοί τελεστές τομής και ένωσης των.4.,

26 Άσκηση 0 Να εφαρμοσθεί η αρχή της ανάλυσης στα σαφή σύνολα της Άσκησης. Βιβλιογραφία κεφαλαίου I. Θεοχάρης, Ασαφή Συστήματα, ριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, 000. Γ. Θεοδώρου, Εισαγωγή στην Ασαφή Λογική, Εκδόσεις Τζιόλα, 00. E. ox, The Fuzzy Systems Hndbook, P Professionl, 994. D. Dubois, H. Prde, Fuzzy Sets nd Systems, cdemic Press, 980. J. Jng,. Sun, E. Mizutni, Neuro-Fuzzy nd Soft omputing, Prentice Hll, 997. G. Klir, B. Yun, Fuzzy Sets nd Fuzzy Logic: Theory nd pplictions, Prentice-Hll, 995. K. Lee, First ourse on Fuzzy Theory nd pplictions, Springer, Lin,. Lee, Neurl Fuzzy Systems, Neuro-Fuzzy Synergism to Intelligent Systems, Prentice Hll, 996. H. Nguyen, E. Wlker, First ourse in Fuzzy Logic, 3 rd Edition, hpmn & Hll/R, 005. T. Ross, Fuzzy Logic ith Engineering pplictions, John Wiley & Sons, 3 rd Edition, 00. L. Tsoukls, R. Uhrig, Fuzzy nd Neurl pproches in Engineering, John Wiley & Sons, 997. L. Wng, ourse in Fuzzy Systems nd ontrol, Prentice Hll, 997. R. Yger, On Generl lss of Fuzzy onnectives, Fuzzy Sets nd Systems, vol. 4, pp. 35-4,