Aσαφής αριθμητική. Έστω A a 1, a ] και B b 1, b ] δύο διαστήματα εμπιστοσύνης στον άξονα των πραγματικών αριθμών,. a b, a ]. Επομένως τα κάτω και άνω

Transcript

1 σαφής αριθμητική Σύνοψη Το παρόν κεφάλαιο πραγματεύεται την ασαφή αριθμητική σύμφωνα με την οποία τα κυρτά κανονικά ασαφή σύνολα θεωρούνται ασαφείς αριθμοί. Αρχικά γίνεται εισαγωγή στην αριθμητική διαστημάτων όπου παρουσιάζεται η έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης και μελετώνται οι πράξεις διαστημάτων η εικόνα και το αντίστροφο διαστήματος καθώς η ασαφής αριθμητική μπορεί να μετασχηματιστεί σε αριθμητική διαστημάτων. Ακολούθως περιγράφονται οι ασαφείς αριθμοί οι ιδιότητές τους και οι πράξεις τους χρησιμοποιώντας την αρχή της ανάλυσης και τα σύνολα διατομής-α. Στη συνέχεια παρουσιάζεται μία ειδική κατηγορία ασαφών αριθμών οι L R αριθμοί και το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με τη μελέτη των τριγωνικών και τραπεζοειδών ασαφών αριθμών. Λέξεις κλειδιά αριθμητική διαστημάτων διάστημα βεβαιότητας/εμπιστοσύνης πράξεις διαστημάτων εικόνα διαστήματος αντίστροφο διαστήματος ασαφείς αριθμοί πράξεις ασαφών αριθμών L R ασαφείς αριθμοί τριγωνικοί/τραπεζοειδείς ασαφείς αριθμοί 3.. Αριθμητική διαστημάτων Η ασαφής αριθμητική fuzzy rithmetic αποτελεί πεδίο της ασαφούς λογικής και περιγράφει τις πράξεις ανάμεσα σε ασαφείς αριθμούς. Όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο ως ασαφείς αριθμοί ορίζονται τα κυρτά και κανονικά ασαφή σύνολα. Στο κεφάλαιο το θεώρημα της επέκτασης αποτέλεσε ένα μέσο για την εκτέλεση αλγεβρικών πράξεων με τελεσταίους ασαφή σύνολα. Παράλληλα το θεώρημα της αναπαράστασης επέτρεψε την περιγραφή ασαφών συνόλων με βάση τα σύνολα διατομής-α τα οποία είναι σαφή διαστήματα του πεδίου ορισμού. Κατά συνέπεια οι ασαφείς αριθμοί εμπεριέχουν την έννοια των διαστημάτων έτσι ώστε οι πράξεις ανάμεσα σε ασαφείς αριθμούς να μπορούν να αναχθούν σε αριθμητική διαστημάτων intervl rithmetic. Οι ασαφείς αριθμοί εκφράζουν αβέβαιες uncertin ή μη ακριβείς imprecise έννοιες όπως η έννοια «αριθμοί κοντά στο 3». Η αβεβαιότητα και η έλλειψη απόλυτης ακρίβειας είναι συχνό φαινόμενο σε μετρούμενα μεγέθη προβλημάτων του πραγματικού κόσμου καθώς εμφανίζονται αποκλίσεις από την «καθαρή» τιμή που παράγει ένα μαθηματικό μοντέλο ένεκα είτε σφαλμάτων μετρήσης είτε της διακριτικής ικανότητας των μετρητικών οργάνων είτε της ύπαρξης θορύβου κ.λ.π. Συνεπώς μία αναμενόμενη ακριβής τιμή μπορεί στην πράξη να προσεγγίζεται με τιμές που υπάγονται σε ένα διάστημα πέριξ του. Στην περίπτωση αυτή περιορίζεται η αβεβαιότητα της μέτρησης σε ένα διάστημα το οποίο χαρακτηρίζεται από ένα κατώτερο και ένα ανώτερο όριο. Το διάστημα που είναι ένα κλειστό και φραγμένο σύνολο αποτελούμενο από πραγματικούς αριθμούς καλείται διάστημα βεβαιότητας ή εμπιστοσύνης confidence intervl. Αν η τιμή του είναι σαφής τότε προφανώς. 3.. Πρόσθεση και αφαίρεση διαστημάτων Έστω και δύο διαστήματα εμπιστοσύνης στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Θεωρώντας ότι και y το άθροισμα y. Επομένως τα κάτω και άνω --

2 όρια του αθροίσματος προκύπτουν από το άθροισμα των κάτω και άνω ορίων των επιμέρους διαστημάτων αντίστοιχα. Συμβολικά η πράξη της πρόσθεσης δίνεται ως εξής: 3. H πρόσθεση διαστημάτων παρουσιάζει μία σειρά από ιδιότητες. Έστω Α Β και τρία διαστήματα πραγματικών αριθμών. Oι ιδιότητές τους δίνονται στον Πίνακα 3.: Ι.. Αντιμεταθετικότητα ommuttivity Ι.. Προσεταιριστικότητα ssocitivity Ι.3. Ουδέτερο στοιχείο Νeutrl numer Ι.. Εικόνα και αντίστροφο Imge nd Inverse Πίνακας 3. Ιδιότητες της πρόσθεσης διαστημάτων. Η αφαίρεση των διαστημάτων Α και Β δίνεται ως: 3. Από το αφαιρείται το μέγιστο των και από το αφαιρείται το ελάχιστο των. Η πράξη της αφαίρεσης διαστημάτων δεν ικανοποιεί τις ιδιότητες της αντιμεταθετικότητας και της προσεταιριστικότητας Πολλαπλασιασμός και διαίρεση διαστημάτων Έστω και δύο διαστήματα εμπιστοσύνης στον ημιάξονα των θετικών πραγματικών αριθμών. Συμβολικά η πράξη του πολλαπλασιασμού δίνεται ως εξής: 3.3 Ο πολλαπλασιασμός διαστήματος με έναν θετικό πραγματικό αριθμό k γίνεται ως ακολούθως: k k k k k 3. Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού διαστημάτων παρουσιάζονται στον Πίνακα 3. όπου : Ι.. Αντιμεταθετικότητα ommuttivity Ι.. Προσεταιριστικότητα ssocitivity Ι.3. Ουδέτερο στοιχείο Νeutrl numer Ι.. Εικόνα και αντίστροφο Imge nd Inverse Πίνακας 3. Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού διαστημάτων. Η διαίρεση των διαστημάτων Α και Β δίνεται ως: 3.5 Η πράξη της διαίρεσης διαστημάτων δεν ικανοποιεί τις ιδιότητες της αντιμεταθετικότητας και της προσεταιριστικότητας. 3.. Λοιπές πράξεις της αριθμητικής δαστημάτων --

3 Α. Εικόνα διαστήματος Εάν ένας πραγματικός αριθμός τότε το. Επομένως εάν τότε η εικόνα imge του Α είναι. Για την εικόνα ενός διαστήματος ισχύει η ιδιότητα: 3.6 Επιπλέον η έννοια της εικόνας ενός διαστήματος οδηγεί σε μία εναλλακτική υλοποίηση της αφαίρεσης διαστημάτων: 3.7 Β. Αντίστροφο διαστήματος Έστω. Το αντίστροφο inverse ορίζεται ως δηλαδή 3.8 Με βάση την έννοια του αντιστρόφου η διαίρεση μετασχηματίζεται σε πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο: 3.9 Η διαίρεση ενός διαστήματος με έναν θετικό πραγματικό αριθμό k γίνεται ως εξής: k 3. k k k k k Γ. Mέγιστο και ελάχιστο διαστημάτων Έστω και δύο διαστήματα εμπιστοσύνης στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Οι πράξεις του μεγίστου και του ελαχίστου των διαστημάτων δίνονται ως εξής: 3..α 3..β 3... Παράδειγμα εφαρμογής των πράξεων της αριθμητικής διαστημάτων Θεωρούμε τα διαστήματα 9 5 και 3. Εκτελώντας τις πράξεις διαστημάτων που αναπτύχθηκαν στις προκύπτει:

4 Πράξεις ασαφών αριθμών Θεωρούμε έναν ασαφή αριθμό Α. Στην. εφαρμόζοντας την αρχή της ανάλυσης ο αριθμός ασαφές σύνολο περιγράφηκε μέσω των σαφών συνόλων διατομής-α. Για κάθε επίπεδο α το σύνολο διατομής-α είναι ένα κλειστό διάστημα όπως φαίνεται στο Σχήμα 3. δηλαδή: 3. Σχήμα 3. Συνάρτηση συμμετοχής και σύνολο διατομής-α. Επομένως για το επίπεδο α το σαφές σύνολο μπορεί να θεωρηθεί ως το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης. Επιπλέον από τα προκύπτουν τα σαφή σύνολα έτσι ώστε η συνάρτηση συμμετοχής του Α να περιγράφεται ως σύνθεση όλων των για. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι οι ασαφείς αριθμοί είναι κυρτά ασαφή σύνολα για δύο σύνολα διατομής-α και εφόσον p q ισχύει: q q p p q p 3.3 Αντικαθιστώντας την Εξ. 3. στην..α προκύπτει: 3. πό την Εξ. 3. συνάγεται ότι ένας ασαφής αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση της έννοιας του διαστήματος καθώς αντί να θεωρούμε ένα διάστημα θεωρούμε περισσότερα διαστήματα σε διάφορα επίπεδα α. Εάν υπολογισθούν τα διαστήματα στα διάφορα επίπεδα τότε η Εξ. 3. παρέχει τον ασαφή αριθμό. Συνεπώς οι πράξεις ανάμεσα σε ασαφείς αριθμούς μπορούν να μετασχηματισθούν σε πράξεις ανάμεσα σε διαστήματα οπότε η ασαφής αριθμητική ανάγεται σε αριθμητική διαστημάτων. Εναλλακτικά οι πράξεις ανάμεσα σε ασαφείς αριθμούς μπορούν να γίνουν με χρήση του θεωρήματος της επέκτασης. Θεωρούμε δύο ασαφείς αριθμούς Α και Β οριζόμενους στα πεδία ορισμού U και U y --

5 -5- αντίστοιχα και τα σύνολα διατομής-α αυτών. Επίσης θεωρούμε ότι μία πράξη *. Σύμφωνα με το θεώρημα της επέκτασης η πράξη μεταξύ των Α και Β προκύπτει ως: min sup y z y z 3.5 Χρησιμοποιώντας τα σύνολα διατομής-α η Εξ. 3.3 γίνεται: 3.6 Η Εξ. 3.6 ερμηνεύεται ως εξής: Το σύνολο διατομής-α της πράξης ισούται με την πράξη των συνόλων διατομής-α των ορισμάτων. Επομένως η πράξη μπορεί να υπολογισθεί ως ένωση των δικών της συνόλων διατομής-α: Πρόσθεση και αφαίρεση ασαφών αριθμών Έστω δύο ασαφείς αριθμοί Α και Β. Για να υπολογισθεί το άθροισμά τους αρχικά χρησιμοποιούνται οι. Εξ. 3. και 3.6: 3.8 Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα της Εξ. 3.8 στην Εξ..7 εξάγεται ο ασαφής αριθμός : 3.9 Εναλλακτικά με χρήση του θεωρήματος της επέκτασης το άθροισμα των ασαφών αριθμών Α και Β υπολογίζεται βάσει της Εξ..33.α. Σε ότι αφορά την αφαίρεση ασαφών αριθμών κατ αναλογία με την πρόσθεση ισχύει: 3. Eπομένως 3. Με βάση το θεώρημα της επέκτασης o αριθμός υπολογίζεται ως εξής: min sup y z y z Παράδειγμα Θεωρούμε τους ασαφείς αριθμούς Α και Β με λεκτικές τιμές «περίπου 3» και «περίπου 6» αντίστοιχα οι οποίοι περιγράφονται ως εξής: α β Oι Εξ. 3.3 αποτυπώνονται στους Πίνακες 3.3 και 3. στους οποίους φαίνονται και τα σύνολα διατομής-α. /

6 / Πίνακας 3.3 O ασαφής αριθμός Α του παραδείγματος / / Πίνακας 3. O ασαφής αριθμός Β του παραδείγματος Από τους πίνακες προκύπτει ότι για τον υπολογισμό της πρόσθεσης και της αφαίρεσης D των Α και Β θα πρέπει να εφαρμοσθεί η Εξ. 3.8 στα επίπεδα α = Συνεπώς: και και και και. 66 Με εφαρμογή της Εξ. 3.9 εξάγεται ο ασαφής αριθμός ο οποίος απεικονίζεται γραφικά στον Πίνακα Κατ αντιστοιχία με την πρόσθεση με εφαρμογή της Εξ. 3. εξάγεται ο ασαφής αριθμός D ο οποίος απεικονίζεται γραφικά στον Πίνακα 3.6. D D D D

7 Παρατηρήσεις: To έχει ύψος. στο σημείο 9 και εκατέρωθεν αυτού φθίνει ομοιόμορφα λόγω της αντίστοιχης μορφής των Α και Β. Επομένως o μπορεί να ερμηνευθεί ως «περίπου 9» και η πρόσθεση περιγράφεται ως «περίπου 9» = «περίπου 3» + «περίπου 6». Τα σύνολα υποστήριξης των ορισμάτων προστίθενται καθώς Support 6 Support 39 και το Support 3 5. To D έχει ύψος. στο στοιχείο 3 και εκατέρωθεν αυτού φθίνει ομοιόμορφα όπως στην περίπτωση της άθροισης των ασαφών αριθμών Α και Β. Επομένως ο D μπορεί να ερμηνευθεί ως «περίπου 3» και η αφαίρεση D περιγράφεται ως «περίπου 3» = «περίπου 6» «περίπου 3». / / Πίνακας 3.5 O ασαφής αριθμός του παραδείγματος / / Πίνακας 3.6 O ασαφής αριθμός D του παραδείγματος Παράδειγμα Θεωρούμε τoυς ασαφείς αριθμούς και Β του παραδείγματος 3.6. οι οποίοι υλοποιούνται με συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής: 3 3..α β

8 Πρόσθεση = + Εξάγονται τα σύνολα διατομής-α και δηλαδή υπολογίζονται τα άκρα και. Η τιμή του υπολογίζεται από τον αριστερό ανερχόμενο κλάδο της συνάρτησης συμμετοχής : 3.5.α ενώ η τιμή του υπολογίζεται από τον δεξί κατερχόμενο κλάδο της συνάρτησης συμμετοχής : β Με παρόμοια συλλογιστική εξάγονται οι τιμές των από τον ανερχόμενο και τον κατερχόμενο κλάδο της Εξ. 3..β: α β Από τις Εξ. 3.5 συνάγεται ότι τα σύνολα διατομής-α των αριθμών Α και Β είναι α β Αντικαθιστώντας τις Εξ. 3.7 στην Εξ. 3.8 υπολογίζονται τα σύνολα διατομής-α του αθροίσματος: c c Για να εξαχθεί η συνάρτηση συμμετοχής του αθροίσματος πρέπει να βρεθούν οι περιοχές τιμών του για. Από την Εξ. 3.8 προκύπτει ότι για έχουμε c 5 c 3 και για έχουμε c c 9. Συνεπώς ο ανερχόμενος κλάδος της συνάρτησης συμμετοχής του προκύπτει ως εξής: L 5 c α Αντίστοιχα ο κατερχόμενος κλάδος της συνάρτησης συμμετοχής του είναι: R 3 c β Η συνάρτηση συμμετοχής του αθροίσματος η οποία παράγεται από τις Εξ. 3.9 και απεικονίζεται στο Σχήμα 3. είναι η εξής:

9 Σχήμα 3. O ασαφής αριθμός του παραδείγματος Αφαίρεση D = - Αντικαθιστώντας τις Εξ. 3.7.α στην Εξ. 3. υπολογίζονται τα σύνολα διατομής-α της διαφοράς D : d d Για να εξαχθεί η συνάρτηση συμμετοχής της διαφοράς πρέπει να βρεθούν οι περιοχές τιμών του για. Από την Εξ. 3.3 προκύπτει ότι για έχουμε d d 7 και για έχουμε d d 3. Συνεπώς ο ανερχόμενος κλάδος της συνάρτησης συμμετοχής του D προκύπτει ως εξής: L d D 3.3.α Αντίστοιχα ο κατερχόμενος κλάδος της συνάρτησης συμμετοχής του D είναι: R 7 d 7 D 3.3.β Η συνάρτηση συμμετοχής της διαφοράς η οποία παράγεται από τις Εξ. 3.3 και απεικονίζεται στο Σχήμα 3.3 είναι η εξής: D

10 -- Σχήμα 3.3 O ασαφής αριθμός D του παραδείγματος πό τις Εξ και τα Σχήματα συμπεραίνεται ότι και στην περίπτωση των συνεχών ασαφών αριθμών ισχύουν οι τρεις παρατηρήσεις που σημειώθηκαν στο παράδειγμα Πολλαπλασιασμός και διαίρεση ασαφών αριθμών Έστω δύο ασαφείς αριθμοί Α και Β. Για να υπολογισθεί το γινόμενό τους αρχικά χρησιμοποιούνται οι. Εξ. 3. και 3.6: 3.3 Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα της Εξ. 3.3 στην Εξ. 3.7 εξάγεται ο ασαφής αριθμός : 3.35 Συνεπώς το κατώτερο/ανώτερο άκρο του είναι ως το γινόμενο των κατώτερων/ανώτερων άκρων των και. Εναλλακτικά με χρήση του θεωρήματος της επέκτασης το γινόμενο των ασαφών αριθμών Α και Β υπολογίζεται με χρήση της Εξ..33.γ. Το γινόμενο του Α με έναν θετικό πραγματικό αριθμό k k είναι k k k k k 3.36 Σε ότι αφορά τη διαίρεση ασαφών αριθμών κατ αναλογία με τον πολλαπλασιασμό ισχύει: 3.37 Eπομένως 3.38 Με βάση το θεώρημα της επέκτασης o αριθμός υπολογίζεται ως εξής: min sup y z y z Παράδειγμα Θεωρούμε τoυς ασαφείς αριθμούς και Β του παραδείγματος 3.6. οι οποίοι υλοποιούνται με τις συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής των Εξ. 3.. Πολλαπλασιασμός = Τα σύνολα διατομής-α και δίνονται από τις Εξ Αντικαθιστώντας τις Εξ. 3.7 στην Εξ. 3.3 υπολογίζονται τα σύνολα διατομής-α του γινομένου: 6 c c 3. Για να εξαχθεί η συνάρτηση συμμετοχής του γινομένου πρέπει να βρεθούν οι περιοχές τιμών του για. Από την Εξ. 3. προκύπτει ότι για έχουμε c c και για έχουμε 8 c c. Συνεπώς ο υπολογισμός της συνάρτησης του αριστερού κλάδου της προκύπτει ως εξής: c L L L L 3.

11 H Εξ. 3. έχει δύο πραγματικές ρίζες L L Από τις δύο λύσεις της Εξ. 3. επιλέγεται εκείνη η οποία για 8 δίνει τιμές στο διάστημα. Εφόσον π.χ. για προκύπτει πρόσημο + οπότε: L επιλέγεται η λύση με το 3 L Αντίστοιχα ο κατερχόμενος κλάδος της συνάρτησης συμμετοχής του υπολογίζεται ως εξής: R R R R 6 6 c 3. H Εξ. 3. έχει δύο πραγματικές ρίζες R R Από τις δύο λύσεις της Εξ. 3.5 επιλέγεται εκείνη η οποία για 8 δίνει τιμές στο διάστημα. Εφόσον π.χ. για προκύπτει πρόσημο οπότε: R επιλέγεται η λύση με το R Η συνάρτηση συμμετοχής του γινομένου η οποία παράγεται από τις Εξ και απεικονίζεται στο Σχήμα 3. είναι η εξής: Διαίρεση D = Σχήμα 3. O ασαφής αριθμός του παραδείγματος

12 -- Αντικαθιστώντας την Εξ. 3.7.α στην Εξ υπολογίζονται τα σύνολα διατομής-α της διαίρεσης D : d d D 3.8 Για να εξαχθεί η συνάρτηση συμμετοχής της διαίρεσης πρέπει να βρεθούν οι περιοχές τιμών του για. Από την Εξ. 3.8 προκύπτει ότι για έχουμε 5 8 d d και για έχουμε d d. Συνεπώς ο ανερχόμενος κλάδος της συνάρτησης συμμετοχής του D προκύπτει ως εξής: 8 8 d L D L D L D 3.9.α Αντίστοιχα ο κατερχόμενος κλάδος της συνάρτησης συμμετοχής του D είναι: 5 5 d R D R D R D 3.9.β Η συνάρτηση συμμετοχής της διαφοράς η οποία παράγεται από τις Εξ. 3.9 και απεικονίζεται στο Σχήμα 3.5 είναι η εξής: D 3.5 Σχήμα 3.5 O ασαφής αριθμός D του παραδείγματος Παρατηρήσεις: To έχει ύψος. στο σημείο 8. Επομένως o μπορεί να ερμηνευθεί ως «περίπου 8» και o πολλαπλασιασμός περιγράφεται ως «περίπου 8» = «περίπου 3» «περίπου 6». To D έχει ύψος. στο σημείο.5. Επομένως ο D μπορεί να ερμηνευθεί ως «περίπου.5» και η αφαίρεση D περιγράφεται ως «περίπου.5» = «περίπου 3» «περίπου 6». H πράξη του πολλαπλασιασμού ασαφών αριθμών οδηγεί σε σύνολο υποστήριξης αρκετά ευρύτερο των αντίστοιχων συνόλων υποστήριξης των ασαφών αριθμών Α και Β. Δηλαδή ο ασαφής αριθμός περιέχει σημαντικά μεγαλύτερη ασάφεια από την ασάφεια των ορισμάτων.

13 Επειδή οι πράξεις μεταξύ ασαφών αριθμών ανάγονται σε πράξεις μεταξύ διαστημάτων συνάγεται ότι οι ιδιότητες του Πίνακα 3. ισχύουν για την πρόσθεση ασαφών αριθμών. Αντίστοιχα ισχύουν οι ιδιότητες του Πίνακα 3. για τον πολλαπλασιασμό ασαφών αριθμών. Επιπλέον εάν Α Β και είναι ασαφείς αριθμοί στο ισχύει η ιδιότητα της επιμεριστικότητας μεταξύ της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού: 3.5.α Πρέπει να τονισθεί ότι η ιδιότητα της επιμεριστικότητας δεν ισχύει για την ακόλουθη περίπτωση: 3.5.β 3.8. Υλοποίηση των πράξεων ασαφών αριθμών σε κώδικα MTL Θεωρούμε τους ασαφείς αριθμούς του παραδείγματος Ο κώδικας που ακολουθεί υλοποιεί τις πράξεις που προαναφέρθησαν. Οι προκύπτοντες ασαφείς αριθμοί για την πρόσθεση και την αφαίρεση έχουν απεικονισθεί στους Πίνακες 3.5 και 3.6 ενώ τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης αποτυπώνονται γραφικά στα Σχήμα 3.6.α και 3.6.β. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η εργαλειοθήκη Fuzzy Logic Toolo του MTL χρησιμοποιεί τη συνάρτηση fuzrith με ορίσματα α το πεδίο ορισμού β τους ασαφείς αριθμούς Α Β και γ ένα αλφαριθμητικό που υποδηλώνει την επιλεγόμενη πράξη πράξη. Η συνάρτηση επιστρέφει το διάνυσμα του ασαφή αριθμού που προκύπτει. Το πεδίο ορισμού θα πρέπει να είναι επαρκώς εκτενές ώστε στις πράξεις της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού να μπορούν να καλυφθούν τα διαστήματα που προκύπτουν τα οποία εν γένει είναι ευρύτερα από τα αρχικά. α β Σχήμα 3.6 Oι ασαφείς αριθμοί του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης του παραδείγματος % % Πράξεις με ασαφείς αριθμούς % close ll; cler ll; clc; =:; fn_ = ; fn_ = ; figure rfn_; is..; tet5'ασαφής αριθμός '; figure rfn_; -3-

14 is..; tet'ασαφής αριθμός Β'; % % Πρόσθεση Α+Β _sum =:; fn_sum=zerossize_sum; for i=.:.:. =lph_cutfn_i-eps; =lph_cutfn_i-eps; =+; =+; for j=:length_sum if _sumj>= & _sumj<= fn_sumj=i; figure3 r_sumfn_sum; is..; tet'πρόσθεση ασαφών αριθμών +'; % % Αφαίρεση Β-Α _diff =-5:; fn_diff=zerossize_diff; for i=.:.:. =lph_cutfn_i-eps; =lph_cutfn_i-eps; =-; =-; for j=:length_diff if _diffj>= & _diffj<= fn_diffj=i; figure r_difffn_diff; is-5..; tet'αφαίρεση ασαφών αριθμών Β-Α'; % % Πολλαπλασιασμός Β*Α _mul =:55; fn_mul=zerossize_mul; for i=.:.:. =lph_cutfn_i-eps; =lph_cutfn_i-eps; =.*; =.*; for j=:length_mul if _mulj>= & _mulj<= fn_mulj=i; --

15 figure5 r_mulfn_mul.3; is 6..; tet5'πολλαπλασιασμός ασαφών αριθμών Α*Β'; % % Διαίρεση Β/Α _div =:; fn_div=zerossize_div; for i=.:.:. =lph_cutfn_i-eps; =lph_cutfn_i-eps; =round/; =round/; for j=:length_div if _divj>= & _divj<= fn_divj=i; figure6 r_divfn_div; is..; tet5'διαίρεση ασαφών αριθμών Β/Α'; % Τέλος προγράμματος % % Η συνάρτηση δέχεται ως εισόδους το πεδίο ορισμού τη συνάρτηση % συμμετοχής και το επίπεδο του συνόλου τομής-α. % Επιστρέφει το αριστερό και το δεξί άκρο του συνόλου τομής-α % function = lph_cutmflevel =minfindmf>=level; =mfindmf>=level; 3.9. Ελάχιστο και μέγιστο ασαφών αριθμών Έστω δύο ασαφείς αριθμοί Α και Β. Το ελάχιστο αυτών είναι ένας ασαφής αριθμός τα σύνολα διατομής-α του οποίου υπολογίζονται ως εξής: 3.5.α Κατ αντιστοιχία το μέγιστο μεταξύ των Α και Β είναι ένας ασαφής αριθμός με τα ακόλουθα σύνολα διατομής-α: 3.5.β 3.. L R ασαφείς αριθμοί Από την ανάλυση των πράξεων ανάμεσα σε ασαφείς αριθμοί που παρουσιάστηκε στις προηγούμενες παραγράφους προκύπτει ότι οι πράξεις είναι απαιτητικές από πλευράς υπολογιστικού φόρτου γεγονός που δρα ανασταλτικά στην εφαρμογή τους σε προβλήματα του πραγματικού κόσμου. Για να μειωθεί ο φόρτος χωρίς περιορισμό της γενικότητας οι Duοis και Prde πρότειναν την L R αναπαράσταση L R representtion των ασαφών αριθμών. Ένας ασαφής αριθμός Α καλείται L R ασαφής αριθμός L R fuzzy numer εάν η συνάρτηση συμμετοχής του ορίζεται ως -5-

16 m L m m m R m 3.53 όπου L και R είναι μονότονα φθίνουσες συναρτήσεις που ονομάζονται αριστερή και δεξιά συνάρτηση αναφοράς left/right reference function. m είναι η μέση τιμή του Α και α β είναι η αριστερή και η δεξιά εξάπλωση left/right spred αντίστοιχα. Όταν οι εξαπλώσεις είναι μηδενικές ο Α είναι σαφής αριθμός. Όσο αυξάνουν οι τιμές των εξαπλώσεων τόσο αυξάνει η ασάφεια του Α. Εάν m λαμβάνει χώρα μετατόπιση του αριθμού προς τα αριστερά left trnsltion. Εάν m ο αριθμός μετατοπίζεται προς τα δεξιά right trnsltion. Εάν η αντίστοιχη συνάρτηση αναφοράς συστέλλεται contrction. Εάν η αντίστοιχη συνάρτηση αναφοράς διαστέλλεται diltion. Ο Α καθορίζεται μέσω των τριών παραμέτρων m α και αναπαρίσταται ως m LR 3.5 Ένεκα της παραμετρικής αναπαράστασης των συναρτήσεων L και R οι πράξεις με L R αριθμούς είναι αρκετά απλούστερες Πράξεις L R ασαφών αριθμών Θεωρούμε δύο L R ασαφείς αριθμοί m LR και m LR με φθίνουσες συναρτήσεις αναφοράς L και R. Α Πρόσθεση L R ασαφών αριθμών m m m m 3.55 LR LR LR Εικόνα L R ασαφούς αριθμού m LR m RL 3.56 Οι συναρτήσεις αναφοράς μπορούν να εναλλαχθούν και η εικόνα του Α να ληφθεί από τον Α με αριστερή μετατόπιση του m. Η δεξιά συνάρτηση αναφοράς χρησιμοποιείται ως αριστερή συνάρτηση αναφοράς με τιμή εξάπλωσης. Αντίστοιχα η αριστερή συνάρτηση αναφοράς χρησιμοποιείται ως δεξιά συνάρτηση αναφοράς με τιμή εξάπλωσης. Γ Αφαίρεση L R ασαφών αριθμών m m m m 3.57 LR LR RL Δ Πολλαπλασιασμός L R ασαφούς αριθμού με πραγματικό αριθμό km k k LR k k k m LR km k k RL k 3.58 Παρατήρηση: Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση L R ασαφών αριθμών δεν είναι εν γένει L R ασαφής αριθμός Παράδειγμα Θεωρούμε τις ακόλουθες συναρτήσεις αναφοράς: -6-

17 L και τους L R ασαφείς αριθμούς: 3.59.α R 3.59.β m LR 33 LR 3.6.α m LR 6 LR 3.6.β Με χρήση της Εξ επιτελείται η πρόσθεση του Α με τον Β: m LR m LR 363 LR 937 LR 3.6 Από τις Εξ και 3.6 προκύπτει ότι οι συναρτήσεις συμμετοχής των Α Β Α+Β έχουν τη μορφή: Οι και Α+Β απεικονίζονται γραφικά στο Σχήμα α 3.6.β 3.6.γ Σχήμα 3.7 Oι L R ασαφείς αριθμοί του παραδείγματος Πράξεις L R ασαφών διαστημάτων -7-

18 Ορισμένες φορές ένας L R ασαφής αριθμός δεν έχει κόρο αποτελούμενο από μία μόνο μέση τιμή m αλλά ο κόρος του είναι ένα διάστημα m m. Ένας τέτοιος αριθμός ονομάζεται L R ασαφές διάστημα fuzzy intervl. H συνάρτηση συμμετοχής του L R ασαφούς διαστήματος έχει την ακόλουθη μορφή oι συναρτήσεις αναφοράς θεωρούνται μονότονα φθίνουσες: m L m m m 3.63 m R m Ο Α καθορίζεται μέσω των τριών παραμέτρων m m α και αναπαρίσταται ως m m LR 3.6 Kατ αντιστοιχία με τις πράξεις L R ασαφών αριθμών τα L R ασαφή διαστήματα χρησιμοποιούνται στην πρόσθεση την αφαίρεση και τον πολλαπλασιασμό με πραγματικό αριθμό. Θεωρούμε δύο L R ασαφή διαστήματα m LR και m LR με φθίνουσες συναρτήσεις αναφοράς L και R. Α Πρόσθεση L R ασαφών διαστημάτων m m m m m m m m 3.65 LR LR LR Εικόνα L R ασαφούς αριθμού m m m m 3.66 LR RL Γ Αφαίρεση L R ασαφών αριθμών Επειδή οι συναρτήσεις αναφοράς δεν είναι κατ ανάγκη συμμετρικές τα L R ασαφή διαστήματα πρέπει να είναι αντίθετου τύπου δηλαδή m m m m. LR RL m m m m m m m m 3.67 LR RL LR Δ Πολλαπλασιασμός L R ασαφούς αριθμού με πραγματικό αριθμό km km k k LR k k k m m LR km km k k RL k Τραπεζοειδείς και τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί Οι τραπεζοειδείς και οι τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί αποτελούν ειδική περίπτωση των L R αριθμών. Σε αυτά τα δύο είδη αριθμών οι συναρτήσεις L και R είναι γραμμικές. Οι τραπεζοειδείς ασαφείς αριθμοί περιγράφονται από την τραπεζοειδή συνάρτηση συμμετοχής Εξ..55 στην.9. και χαρακτηρίζονται από την τετράδα των παραμέτρων {cd}. Θεωρώντας δύο τραπεζοειδείς ασαφείς αριθμούς c d και c d για την πρόσθεση και την αφαίρεσή τους ισχύει ότι το αποτέλεσμα είναι επίσης τραπεζοειδείς ασαφείς αριθμοί με τα ακόλουθα σύνολα παραμέτρων: Α Πρόσθεση τραπεζοειδών ασαφών αριθμών c c d d 3.69 Β Αφαίρεση τραπεζοειδών ασαφών αριθμών d c c d 3.7 Γ Εικόνα τραπεζοειδούς ασαφούς αριθμού -8-

19 c d d c 3.7 Oι τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί προκύπτουν από τους τραπεζοειδείς για c δηλαδή ένας τριγωνικός ασαφής αριθμός περιγράφεται από την τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής Εξ..57 στην.9. και χαρακτηρίζονται από την τριάδα των παραμέτρων {c}. Θεωρώντας δύο τριγωνικούς ασαφείς c c για την πρόσθεση και την αφαίρεσή τους ισχύει ότι το αριθμούς και αποτέλεσμα είναι τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί με τα ακόλουθα σύνολα παραμέτρων: Α Πρόσθεση τριγωνικών ασαφών αριθμών c c 3.7 Β Αφαίρεση τριγωνικών ασαφών αριθμών c c 3.73 Γ Εικόνα τριγωνικού ασαφούς αριθμού c c 3.7 Σε ότι αφορά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση τριγωνικών ασαφών αριθμών το αποτέλεσμά τους είναι τριγωνικός ασαφής αριθμός μόνο εάν oι παράμετροι των Α και Β ορίζονται στο. Στην περίπτωση αυτή ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση υπολογίζονται προσεγγιστικά: c c 3.75.α c 3.75.β c 3... Παράδειγμα Θεωρούμε τους τριγωνικούς ασαφείς αριθμούς 83 και 57 οι οποίοι ορίζονται στο U. Από τις Εξ παράγεται το άθροισμα και η διαφορά των Α και Β οι οποίοι απεικονίζονται γραφικά στο Σχήμα 3.8.α α β Σχήμα 3.8 Oι πράξεις των τριγωνικών ασαφών αριθμών του παραδείγματος

20 Εφόσον οι παράμετροι είναι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί ισχύουν οι Εξ και οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης παράγουν τους ακόλουθους τριγωνικούς ασαφείς αριθμούς που απεικονίζονται γραφικά στο Σχήμα 3.8.β Άσκηση Έστω δύο ασαφείς αριθμοί Α και Β. Nα δειχθεί ότι: α δεν ισχύει η επιμεριστικότητα: β ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: Ασκήσεις Β Β Άσκηση Να εξεταστεί κατά πόσον το ασαφές σύνολο Α με την ακόλουθη συνάρτηση συμμετοχής 3-3 3< 5 μ = > α είναι κυρτό β αποτελεί ασαφή αριθμό Άσκηση Για τους ασαφείς αριθμούς = και Β = να εκτελεστούν οι πράξεις της 6 6 αφαίρεσης του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Άσκηση Nα εκτελεστούν οι ακόλουθες πράξεις διαστημάτων: α β 3 γ 5-6 δ 36 3 Άσκηση 5 Έστω δύο L R ασαφείς αριθμοί = 3 LR και Β = 3 LR. Nα εκτελεστούν οι τέσσερις πράξεις και να απεικονιστούν η τομή και η ένωσή τους. Άσκηση 6 --

21 Θεωρούμε δύο ωμικές αντιστάσεις οι τιμές των οποίων δίνονται από τους ασαφείς τριγωνικούς αριθμούς αριθμούς R = ΚΩ και R = 35 ΚΩ. Να βρεθεί η τιμή της συνολικής αντίστασης όταν οι R και R είναι συνδεδεμένες: α σε σειρά β παράλληλα Άσκηση 7 Έστω οι τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί = 3 συνάρτησης y=. Άσκηση 8 Έστω δύο L R ασαφείς αριθμοί και = 3 3. Να γίνει η γραφική παράσταση της =.3. LR και Β =.. LR για τους οποίους - L = R = αλλιώς Να υπολογιστεί το άθροισμα και η διαφορά των Α και Β. Άσκηση 9 Για τους τραπεζοειδείς ασαφείς αριθμούς Α=86 και Β= οι οποίοι ορίζονται στο - να υπολογιστούν οι εικόνες τους το άθροισμα η διαφορά και το γινόμενό τους. Άσκηση Για τους τριγωνικούς ασαφείς αριθμούς Α=56 και Β=56 οι οποίοι ορίζονται στο να υπολογιστούν το άθροισμα η διαφορά και το γινόμενό τους. Βιβλιογραφία κεφαλαίου I. Θεοχάρης Ασαφή Συστήματα ριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Γ. Θεοδώρου Εισαγωγή στην Ασαφή Λογική Εκδόσεις Τζιόλα.. ede Mthemtics of Fuzzy Sets nd Fuzzy Logic Springer 3. G. hen T. Phm Introduction to Fuzzy Systems hpmn & Hll/R 6. D. Duois H. Prde Fuzzy Numers: n Overview στο nlysis of Fuzzy Informtion επιμ. J. ezdek R Press 988. J. Jng. Sun E. Mizutni Neuro-Fuzzy nd Soft omputing Prentice Hll Kufmnn M. Gupt Introduction to Fuzzy rithmetic Vn Nostrnd Reinhold 99. K. Lee First ourse on Fuzzy Theory nd pplictions Springer 5.. Lin. Lee Neurl Fuzzy Systems Neuro-Fuzzy Synergism to Intelligent Systems Prentice Hll 996. MTL Fuzzy Logic Toolo User s Guide The MthWorks Inc. 5. R. Moore R. ker Kerfott M. loud Introduction to Intervl nlysis SIM 9. H. Nguyen E. Wlker First ourse in Fuzzy Logic 3 rd Edition hpmn & Hll/R 5. T. Ross Fuzzy Logic with Engineering pplictions John Wiley & Sons 3 rd Edition. T. Terno K. si M. Sugeno Fuzzy Systems Theory nd Its pplictions cdemic-press 99. L. Tsoukls R. Uhrig Fuzzy nd Neurl pproches in Engineering John Wiley & Sons

22 --