Εισαγωγή στη Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ι Σημειώσεις Διδασκαλίας

Transcript

1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρήτης Τμήμα Λογιστικής Εισαγωγή στη Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ι Σημειώσεις Διδασκαλίας Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Ηράκλειο, Φεβρουάριος 2017

2 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Μέλλουσα αξία χρήματος Περίπτωση ακέραιου αριθμού περιόδων ανατοκισμού Περίπτωση κλασματικού αριθμού περιόδων ανατοκισμού Παρούσα αξία χρήματος Περίπτωση ακέραιου αριθμού περιόδων ανατοκισμού Περίπτωση κλασματικού αριθμού περιόδων ανατοκισμού Ισοδύναμα επιτόκια Ράντες Μέλλουσα ή τελική αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Υπολογισμός όρου με βάση την μελλοντική αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Μέλλουσα ή τελική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Υπολογισμός Όρου με βάση την μελλοντική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Μέλλουσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας Μέλλουσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας κυμαινόμενης ράντας Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Υπολογισμός όρου με βάση την παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Υπολογισμός όρου με βάση την παρούσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας προκαταβλητέας κυμαινόμενης ράντας H ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Η χρηματοδότηση του κεφαλαίου κίνησης Η εσωτερική χρηματοδότηση του κεφαλαίου κίνησης Η εξωτερική χρηματοδότηση του κεφαλαίου κίνησης Η χρηματοδότηση επενδύσεων Χρηματοδότηση με τοκοχρεολυτικά δάνεια Εξόφληση τοκοχρεολυτικών δανείων πριν από τη λήξη τους Χρηματοδοτική μίσθωση (leasing) Factoring Προσφυγή στο Χρηματιστήριο Η ΛΗΨΗ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Οι παραδοσιακές μέθοδοι αξιολόγησης Η μέθοδος της απόδοσης του κεφαλαίου Η μέθοδος της περιόδου επανείσπραξης Οι μέθοδοι αξιολόγησης των προεξοφλουμένων ταμειακών ροών Το σταθμικό μέσο κόστος του κεφαλαίου επένδυσης Η μέθοδος της καθαρής παρούσας αξίας (NPV) Η μέθοδος του δείκτη αποδοτικότητας (ΡΙ) Η μέθοδος του εσωτερικού βαθμού απόδοσης (IRR) Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.2 / 104

3 3.2.4 Προβλήματα στην πρόκριση επενδύσεων με τις μεθόδους NPV και IRR Πληθωρισμός και αξιολόγηση επενδύσεων Ο κίνδυνος στον προϋπολογισμό επενδύσεων κεφαλαίου Η μέθοδος της ισοδυναμίας με τη βεβαιότητα Η μέθοδος της προσαρμογής του προεξοφλητικού επιτοκίου Η μέθοδος ανάλυσης της ευαισθησίας Η μέθοδος της ανάλυσης σεναρίου ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΡΕΥΣΤΟΤΗΤΑΣ Ανάλυση νεκρού ή ουδέτερου σημείου Προϋπολογισμός μελλοντικών χρηματοδοτικών αναγκών Η μέθοδος του ποσοστού επί των πωλήσεων Η μέθοδος του ταμειακού προϋπολογισμού Η μέθοδος του ταμειακού κύκλου εργασιών Ανάλυση πηγών και χρήσεων κεφαλαίου Ανάλυση αριθμοδεικτών Αριθμοδείκτες αποδοτικότητας Αριθμοδείκτες ρευστότητας Αριθμοδείκτες κυκλοφοριακής ταχύτητας Αριθμοδείκτες Μόχλευσης ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.3 / 104

4 Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν την σύνθεση και ενοποίηση των διαλέξεων διδασκαλίας του μαθήματος «Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ι», που περιλαμβάνεται στο προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών (ΠΠΣ) του Τμήματος Λογιστικής του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος (ΤΕΙ) Κρήτης. Το κείμενο αυτό δεν φιλοδοξεί να αντικαταστήσει τα δόκιμα συγγράμματα της διεθνούς και εθνικής βιβλιογραφίας, που σχετίζονται με το εν λόγω γνωστικό αντικείμενο και ορισμένα από αυτά προτείνονται άλλωστε ως πολλαπλή βιβλιογραφία στο συγκεκριμένο μάθημα του ΠΠΣ του Τμήματος Λογιστικής. Αντίθετα φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα συμπληρωματικό χρήσιμο βοήθημα για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες που παρακολουθούν το συγκεκριμένο μάθημα. Το κείμενο αυτό χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζεται η χρονική αξία του χρήματος, ως απαραίτητο στοιχείο στη λήψη επενδυτικών και χρηματοδοτικών αποφάσεων των επιχειρήσεων. Τα επόμενα τρία μέρη αντιστοιχούν στα τρία πεδία αποφάσεων των διοικήσεων των επιχειρήσεων. Το πρώτο πεδίο αφορά τον τρόπο εξωτερικής χρηματοδότησης τους. Δηλαδή με τι μέσα και από ποιες εξωτερικές πηγές θα γίνει η χρηματοδότηση του κεφαλαίου κίνησης ή των στοιχείων του παγίου εξοπλισμού, που περιλαμβάνονται σε ένα σχέδιο επένδυσης. Αν για παράδειγμα η πολιτική πωλήσεων μιας επιχειρήσεις προκρίνει την αύξηση των πιστώσεων στους πελάτες της, γεγονός που οδηγεί σε δέσμευση χρηματικών διαθεσίμων, τότε η κάλυψη των δαπανών μιας επένδυσης που σχεδιάζει ενδεχομένως θα οδηγήσει στην αναζήτηση εξωτερικών πηγών χρηματοδότησης. Το δεύτερο πεδίο αφορά τις αποφάσεις των διοικήσεων των επιχειρήσεων για επενδύσεις, δηλαδή για το αντικείμενο των επενδύσεων, το κόστος τους και τη χρονική διάρκεια τους, καθώς και την αξιολόγηση επενδυτικών σχεδίων σε συνθήκες βεβαιότητας και αβεβαιότητας. Το τρίτο πεδίο αφορά την αποτελεσματική αντιμετώπιση των υποχρεώσεων των επιχειρήσεων, γεγονός που απαιτεί τον συνεχή έλεγχο μετρητών ώστε να υπάρχει ανά πάσα στιγμή η επαρκής ποσότητα τους για τη κάλυψη των υποχρεώσεων τους. Οι επιχειρήσεις συνήθως χρηματοδοτούνται από τράπεζες ή με πιστώσεις των προμηθευτών τους. Επομένως η ανεπάρκεια χρηματικών κεφαλαίων σε μεσοπρόθεσμο και μακροπρόθεσμο χρονικό ορίζοντα καθιστά αδύναμες τις επιχειρήσεις να αντιμετωπίσουν τις υποχρεώσεις τους σε προμηθευτές και τράπεζες, και ενδεχομένως τις αναγκάζει σε περικοπή των δραστηριοτήτων τους ή και σε διακοπή της λειτουργίας τους. Ελπίζοντας ότι οι σημειώσεις αυτές θα αποδειχθούν χρήσιμες για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες του Τμήματος Λογιστικής, τους ζητούμε εκ των προτέρων την επιείκεια τους για τα λάθη και τις παραλείψεις που ενδεχομένως περιλαμβάνονται σε αυτές. Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.4 / 104

5 1. Η χρονική αξία του χρήματος Όταν ένα κεφάλαιο έχει τοποθετηθεί με σύνθετο τόκο ή ανατοκισμό, τότε ο τόκος που παράγεται στο τέλος κάθε περιόδου τοκισμού δεν εισπράττεται από το δικαιούχο, αλά προστίθεται στο κεφάλαιο και παράγει μαζί με αυτό τόκο από την αμέσως επόμενη περίοδο. Αυτό επαναλαμβάνεται κάθε περίοδο μέχρι το τέλος της διάρκειας του τοκισμού. Με αυτό τον τρόπο δηλαδή ο τόκος κάθε περιόδου κεφαλαιοποιείται, με αποτέλεσμα κεφάλαιο και τόκος να αυξάνονται από περίοδο σε περίοδο. Με αυτή την μέθοδο τοκισμού είναι δυνατόν ένα μικρό κεφάλαιο που θα τοποθετηθεί με ανατοκισμό για μεγάλο αριθμό περιόδων να μετασχηματισθεί τελικά σε ένα πολύ μεγάλο κεφάλαιο. Γενικά ο ανατοκισμός εφαρμόζεται στις μακροπρόθεσμες οικονομικές πράξεις. Κάθε χρονική περίοδο που γίνεται κεφαλαιοποίηση του τόκου λέγεται περίοδος, και μπορεί να είναι το έτος, το εξάμηνο, το τρίμηνο, ο μήνας κ.λπ. Το κεφάλαιο που τοποθετείται αρχικά λέγεται αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία, και το ποσό που δημιουργείται στο τέλος του ανατοκισμού λέγεται μέλλουσα αξία. Ο συνολικός αριθμός περιόδων που το αρχικό κεφάλαιο ανατοκίζεται λέγεται διάρκεια ανατοκισμού. 1.1 Μέλλουσα αξία χρήματος Περίπτωση ακέραιου αριθμού περιόδων ανατοκισμού Στην περίπτωση αυτή η μέλλουσα αξία (FV) του αρχικού κεφαλαίου (Ρ) υπολογίζεται, πολλαπλασιάζοντας το αρχικό κεφάλαιο με τον συντελεστή ανατοκισμού (1+i) n, όταν η περίοδος ανατοκισμού είναι ετήσια, ή με τον συντελεστή ανατοκισμού (1+j) n.λ, όταν η περίοδος ανατοκισμού είναι μικρότερη του έτους, πχ. μηνιαία, τριμηνιαία, τετραμηνιαία, εξαμηνιαία. Οι σχέσεις υπολογισμού της μέλλουσας αξίας είναι οι παρακάτω: FV= P(1+i) n (1) όπου i=το ετήσιο επιτόκιο και η= ο αριθμός των ετών ανατοκισμού. FV= P(1+j) n.λ (2) όπου j=το ισοδύναμο επιτόκιο της περιόδου ανατοκισμού, η= ο αριθμός των ετών ανατοκισμού και λ= ο αριθμός των περιόδων ανατοκισμού μέσα στο έτος. Είναι απαραίτητο πριν την εφαρμογή της παραπάνω σχέσης να υπολογίζεται το ισοδύναμο επιτόκιο περιόδου με βάση το ισχύον ετήσιο. Η ανάλογη σχέση υπολογισμού είναι η παρακάτω: j= (1+i) μ/12-1(3) Παράδειγμα εφαρμογής Ποια είναι η μέλλουσα αξία κεφαλαίου ευρώ που κατατέθηκε σε τράπεζα για 3 χρόνια με ετήσιο επιτόκιο 9%, στην περίπτωση ετήσιου ανατοκισμού και στην περίπτωση εξαμηνιαίου ανατοκισμού. Λύση: 1) Στην περίπτωση του ετήσιου ανατοκισμού εφαρμόζεται απευθείας η παραπάνω σχέση (1) και έτσι έχουμε: FV= PΧ(1+i) n =1.000 Χ (1+0,09) 3 =1.000 Χ1,2950=1.295,03 2) Στην περίπτωση του εξαμηνιαίου ανατοκισμού εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτα υπολογίζεται το ισοδύναμο εξαμηνιαίο επιτόκιο από την προαναφερόμενη σχέση(3) ως εξής: j= (1+i) μ/12λ -1=(1+0,09) 6/12-1=1,0440-1=0,0440 Στην συνέχεια εφαρμόζεται η παραπάνω σχέση (2) και έτσι έχουμε: FV= P(1+j) n.λ =1.000 Χ (1+0,0440) 3.2 =1.000 Χ 1,2950=1.295,03 Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.5 / 104

6 1.1.2 Περίπτωση κλασματικού αριθμού περιόδων ανατοκισμού Όταν ο αριθμός των περιόδων ανατοκισμού είναι κλασματικός, τότε η προαναφερόμενη σχέση (1) μετατρέπεται ως εξής: FV=P(1+i) n+μ/12 (1) Παράδειγμα εφαρμογής Ποια είναι η μέλλουσα αξία κεφαλαίου ευρώ που κατατέθηκε σε τράπεζα για 3 χρόνια και 3 μήνες με ετήσιο επιτόκιο 9%. Λύση: Εφαρμόζεται απευθείας η παραπάνω σχέση (3) και έτσι έχουμε: FV=P(1+i) n+μ/12 =1.000 Χ (1+0,09) 3+3/12 =1.000 Χ (1+0,09) 39/12 =1.000 Χ1,3232=1.323, Παρούσα αξία χρήματος Περίπτωση ακέραιου αριθμού περιόδων ανατοκισμού Στην περίπτωση αυτή το αρχικό κεφάλαιο (Ρ) ή διαφορετικά η παρούσα αξία υπολογίζεται, πολλαπλασιάζοντας την μελλοντική αξία (FV) με το αντίστροφο του συντελεστή ανατοκισμού (1+i) n, που καλείται και συντελεστής προεξόφλησης, όταν η περίοδος ανατοκισμού είναι ετήσια, ή με αντίστροφο του συντελεστή ανατοκισμού (1+j) n.μ, όταν ο η περίοδος ανατοκισμού είναι μικρότερη του έτους, πχ. μηνιαία, τριμηνιαία, τετραμηνιαία, εξαμηνιαία. Οι σχέσεις υπολογισμού της μελλοντικής αξίας είναι οι παρακάτω: 1 P = FV (1 + i) n (1) Όπου i=το ετήσιο επιτόκιο και η=ο αριθμός των ετών ανατοκισμού. 1 P = FV (1 + j) n.λ (2) Όπου j=το ισοδύναμο επιτόκιο της περιόδου ανατοκισμού, η= ο αριθμός των ετών ανατοκισμού και λ= ο αριθμός των περιόδων ανατοκισμού μέσα στο έτος. Είναι απαραίτητο πριν την εφαρμογή της παραπάνω σχέσης να υπολογίζεται το ισοδύναμο επιτόκιο περιόδου με βάση το ισχύον ετήσιο. Παράδειγμα εφαρμογής Πόσο κεφάλαιο πρέπει να κατατεθεί σήμερα στη τράπεζα, ώστε η μέλλουσα αξία του μετά από 3 χρόνια με ετήσιο επιτόκιο 9% να ισούται με ευρώ, στην περίπτωση ετήσιου ανατοκισμού και στην περίπτωση εξαμηνιαίου ανατοκισμού. Λύση: 1) Στην περίπτωση του ετήσιου ανατοκισμού εφαρμόζεται απευθείας η παραπάνω σχέση (1) και έτσι έχουμε: 1 P = FV (1 + i) n = (1 + 0,09) 3 = = ,7722 = 772,18 1,2950 2) Στην περίπτωση του εξαμηνιαίου ανατοκισμού εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτα υπολογίζεται το ισοδύναμο εξαμηνιαίο επιτόκιο από την προαναφερόμενη σχέση ως εξής: j= (1+i) μ/12-1=(1+0,09) 6/12-1=1,0440-1=0,0440 Στην συνέχεια εφαρμόζεται η προαναφερόμενη σχέση(2) και έτσι έχουμε: Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.6 / 104

7 1 P = FV (1 + j) n.λ = (1 + 0,0440) 6 = = ,7722 = 772,18 1, Περίπτωση κλασματικού αριθμού περιόδων ανατοκισμού Όταν ο αριθμός των περιόδων ανατοκισμού είναι κλασματικός, τότε η προαναφερόμενη σχέση (1) μετατρέπεται ως εξής: 1 P = FV (1 + i) n+μ/12 (1) Παράδειγμα εφαρμογής Πόσο κεφάλαιο πρέπει να κατατεθεί σήμερα στη τράπεζα, ώστε η τελική αξία του μετά από 3 χρόνια και 3 μήνες με ετήσιο επιτόκιο 9% να ισούται με ευρώ. Λύση: Εφαρμόζεται απευθείας η προαναφερόμενη σχέση(1) και έτσι έχουμε: 1 P = FV (1 + i) n+μ/12 = (1 + 0,09) 3+3/12 = = 755,73 (1,09) 39/ Ισοδύναμα επιτόκια Ισοδύναμα επιτόκια είναι εκείνα τα επιτόκια που με διαφορετικές περιόδους ανατοκισμού δίδουν από το ίδιο αρχικό κεφάλαιο το ίδιο τελικό κεφάλαιο. Οι τύποι υπολογισμού τους είναι οι εξής: 1) Στην περίπτωση που ζητείται να υπολογισθεί το ισοδύναμο επιτόκιο με περίοδο ανατοκισμού μικρότερη του έτους, όταν είναι γνωστό το ετήσιο επιτόκιο με ετήσια περίοδο ανατοκισμού, η σχέση υπολογισμού είναι η εξής: j = (1 + i) μ 12 1(1) όπου j=το ζητούμενο επιτόκιο με περίοδο ανατοκισμού μικρότερη του έτους, i=το δεδομένο ετήσιο επιτόκιο, και μ= ο αριθμός των μηνών του ζητούμενου επιτοκίου. 2) Στην περίπτωση που ζητείται να υπολογισθεί το ισοδύναμο ετήσιο επιτόκιο, όταν είναι γνωστό το επιτόκιο με περίοδο ανατοκισμού μικρότερη του έτους, η σχέση υπολογισμού είναι η εξής: 12 i = (1 + j) μ 1(2) όπου i=το ζητούμενο ετήσιο επιτόκιο με ετήσια περίοδο ανατοκισμού, j=το δεδομένο επιτόκιο με περίοδο ανατοκισμού μικρότερη του έτους, και μ= ο αριθμός των μηνών του δεδομένου επιτοκίου. Η χρησιμότητα των προαναφερόμενων σχέσεων, εκτός των άλλων, αναφέρεται και στις περιπτώσεις που απαιτείται να υπολογισθεί είτε το ετήσιο κόστος δανεισμού με γνωστό επιτόκιο περιόδου ανατοκισμού μικρότερης του έτους, είτε να αξιολογηθούν διαφορετικά σχέδια καταθέσεων. Παράδειγμα εφαρμογής 1 Έστω ότι η τράπεζα Α προσφέρει σε ένα καταθέτη ετήσιο επιτόκιο 10% με ετήσιο ανατοκισμό και η τράπεζα Β τριμηνιαίο επιτόκιο 2,5% με τριμηνιαίο ανατοκισμό. Ποια τράπεζα συμφέρει να επιλέξει ο εν λόγω καταθέτης; Λύση: Υπολογίζουμε το ισοδύναμο ετήσιο της τράπεζας Β, και το συγκρίνουμε με αυτό της Α, με απευθείας εφαρμογή της προαναφερόμενης σχέσης υπολογισμού (2) και έτσι θα έχουμε: Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.7 / 104

8 Τράπεζα Β: i = (1 + j) 12 μ 1 = (1 + 0,025) = 1, = 0,1038 ή 10,38% Επομένως τον συμφέρει η πρόταση της τράπεζας Β γιατί το ετήσιο επιτόκιο της είναι μεγαλύτερο από το ετήσιο επιτόκιο της τράπεζας Α. Παράδειγμα εφαρμογής 2 Έστω ότι η τράπεζα Α προσφέρει σε ένα καταθέτη εξαμηνιαίο επιτόκιο 5% με εξαμηνιαίο ανατοκισμό και η τράπεζα Β ετήσιο επιτόκιο 10% με ετήσιο ανατοκισμό. Ποια τράπεζα συμφέρει να επιλέξει ο εν λόγω καταθέτης; Λύση: Υπολογίζουμε το ισοδύναμο εξαμηνιαίο επιτόκιο της τράπεζας Β, και το συγκρίνουμε με αυτό της Α, με απευθείας εφαρμογή της προαναφερόμενης σχέση υπολογισμού (1) και έτσι θα έχουμε: ΤράπεζαΒ: j = (1 + i) μ 12 1 = (1 + 0,1) = 1, = 0,0488 ή 4,88% Επομένως τον συμφέρει η πρόταση της τράπεζας Α γιατί το εξαμηνιαίο επιτόκιο της είναι μεγαλύτερο από το εξαμηνιαίο επιτόκιο της τράπεζας Β. Παράδειγμα εφαρμογής 3 Έστω ότι μια επιχείρηση καλείται να επιλέξει μεταξύ των τραπεζών Α και Β για τη λήψη δανείου ευρώ για κεφάλαιο κίνησης. Η τράπεζα Α της προσφέρει μηνιαίο επιτόκιο 1% και η τράπεζα Β τριμηνιαίο επιτόκιο 3%. Πόσο θα τις κοστίσει ο δανεισμός σε κάθε τράπεζα, αν πληρώσει στο τέλος τους έτους, προκειμένου να αποφασίσει από ποια θα δανεισθεί; Λύση: 1) Πρώτα θα υπολογιστεί το κόστος δανεισμού στην τράπεζα Α, με δεδομένο ότι θα πληρώσει στο τέλος του χρόνου. Εργαζόμαστε ως εξής: Υπολογίζουμε το ισοδύναμο ετήσιο επιτόκιο με βάση το μηνιαίο επιτόκιο της τράπεζας με εφαρμογή της προαναφερόμενης σχέσης υπολογισμού (2). Θα έχουμε δηλαδή: i = (1 + j) 12 μ 1 = (1 + 0,01) = 1, = 0,1268 ή 12,68% Επομένως το κόστος δανεισμού στο τέλος του έτους θα είναι: Κόστος: Τ = Κ n i = ,1268 = 1.268,25 2) Στην συνέχεια θα υπολογιστεί το κόστος δανεισμού στην τράπεζα Β, με δεδομένο ότι θα πληρώσει στο τέλος του χρόνου. Εργαζόμαστε ως εξής: Υπολογίζουμε το ισοδύναμο ετήσιο επιτόκιο με βάση το τριμηνιαίο επιτόκιο της τράπεζας με εφαρμογή της προαναφερόμενης σχέσης υπολογισμού (2). Θα έχουμε δηλαδή: i = (1 + j) 12 μ 1 = (1 + 0,03) = 1, = 0,1255 ή 12,55% Επομένως το κόστος δανεισμού στο τέλος του έτους θα είναι: Κόστος: Τ = Κ n i = ,1255 = 1.255,09 Διαπιστώνουμε ότι την συμφέρει να επιλέξει την πρόταση δανείου της τράπεζας Β. Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.8 / 104

9 1.4 Ράντες Ράντα καλείται μια σειρά (ακολουθία) χρηματικών κεφαλαίων, τα οποία καταβάλλονται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Τα χαρακτηριστικά της ράντας είναι τα ακόλουθα: Όρος ή δόση: το ποσό χρηματικού κεφαλαίου που καταβάλλεται κάθε φορά. Περίοδος ράντας: ο χρόνος μεταξύ δύο καταβολών. Ληξιπρόθεσμη ράντα: η ράντα της οποίας η δόση καταβάλλεται στο τέλος της περιόδου. Προκαταβλητέα ράντα: η ράντα της οποίας η δόση καταβάλλεται στην αρχή της περιόδου. Ακέραια ράντα: η ράντα της οποίας ο αριθμός των όρων (δόσεων) είναι ίσος με τον αριθμό των περιόδων της. Κλασματική ράντα: η ράντα της οποίας ο όρος (δόση) διαιρείται σε ρ ίσα τμήματα και κάθε ένα από αυτά καταβάλλεται ρ φορές εντός της ακέραιης περιόδου. Σταθερή ράντα: η ράντα της οποίας οι όροι (δόσεις) είναι ίσοι. Μεταβλητή ράντα: η ράντα της οποίας οι όροι (δόσεις) είναι άνισοι Μέλλουσα ή τελική αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ράντα διάρκειας η ετών, που οι όροι της είναι σταθεροί ίσοι με R και καταβάλλονται στο τέλος κάθε έτους, και ισχύει ετήσιος ανατοκισμός με ετήσιο επιτόκιο i, τότε η τελική αξία όλων των όρων της στο τέλος του η έτους είναι ίση με το άθροισμα της τελικής αξίας κάθε όρου της στο τέλος του η έτους, δηλαδή: Ο πρώτος όρος που θα κατατεθεί στο τέλος του πρώτου έτους θα ανατοκισθεί για η-1 έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: R(1+i) η-1. Ο δεύτερος όρος που θα κατατεθεί στο τέλος του δεύτερου έτους θα ανατοκισθεί για η-2 έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: R(1+i) η-2. Ο προτελευταίος όρος που θα κατατεθεί στο τέλος του προτελευταίου έτους θα ανατοκισθεί για ένα μόνο έτος και θα αποκτήσει τελική αξία: R(1+i) η. Ο τελευταίος όρος που θα κατατεθεί στο τέλος του τελευταίου έτους δεν θα ανατοκισθεί και θα έχει αξία: R. Επομένως το άθροισμα όλων των τελικών αξιών των όρων αυτών θα είναι η τελική αξία όλης της ράντας, δηλαδή: FV = R (1 + i) n 1 + R (1 + i) n R ή FV = R + R (1 + i) +. +R (1 + i) n 2 + R (1 + i) n 1 ή FV = R [1 + (1 + i) +. +(1 + i) n 2 + (1 + i) n 1 Παρατηρούμε ότι το τμήμα μέσα στις αγκύλες του δεύτερου μέρους της παραπάνω εξίσωσης αποτελεί άθροισμα γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το 1, λόγο το (1+i) και τελευταίο όρο το (1+i) n-1. Οπότε αν στη θέση του εφαρμόσουμε το τύπο του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου, παραπάνω σχέση θα γίνει: FV = R (1 + i)n 1 i (1) Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.9 / 104

10 Παράδειγμα εφαρμογής: Αν μια επιχείρηση καταθέσει σε Τράπεζα ευρώ στο τέλος του χρόνου για 5 χρόνια με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 5%, τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στο τέλος του 5ου έτους; Λύση: Επειδή ζητείται να υπολογισθεί το συνολικό ποσό μετά από 5 χρόνια από μια σειρά ετήσιων ισόποσων καταθέσεων στο τέλος του κάθε έτους, θα εφαρμοσθεί η προαναφερόμενη σχέση (1) ως εξής: FV = R (1 + i)n 1 i = (1 + 0,05)5 1 0,05 = , ,05 = , Υπολογισμός όρου με βάση την μελλοντική αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Λύνουμε την προαναφερόμενη σχέση(1) ως προς R και έχουμε: FV = R (1 + i)n 1 i Παράδειγμα εφαρμογής: => R = FV (1+i) n 1 i (2) Για να εισπράξει μια επιχείρηση ευρώ μετά από 5 χρόνια από μια Τράπεζα, τι σταθερό ποσό πρέπει να καταθέτει στο τέλος του κάθε χρόνου για τα επόμενα 5 χρόνια, με δεδομένο ότι ισχύουν ετήσιος ανατοκισμός και ετήσιο επιτόκιο 5%. Λύση: Επειδή ζητείται να υπολογισθεί το ετήσιο σταθερό ποσό για μια σειρά ετήσιων ισόποσων καταθέσεων στο τέλος του κάθε έτους, γνωρίζοντας το συνολικό ποσό που θα εισπραχθεί μετά από 5 χρόνια, θα εφαρμοσθεί η προαναφερόμενη σχέση(2) ως εξής: R = FV (1+i) n 1 i = (1+0,05) 5 1 0,05 = 1.809, Μέλλουσα ή τελική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ράντα διάρκειας η ετών, που οι όροι της είναι σταθεροί ίσοι με R και καταβάλλονται στην αρχή κάθε έτους, και ισχύει ετήσιος ανατοκισμός με ετήσιο επιτόκιο i, τότε η τελική αξία όλων των όρων της στο τέλος του η έτους είναι ίση με το άθροισμα της τελικής αξίας κάθε όρου της στο τέλος του η έτους, δηλαδή: Ο πρώτος όρος που θα κατατεθεί στην αρχή του πρώτου έτους θα ανατοκισθεί για η έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: R(1+i) η. Ο δεύτερος όρος που θα κατατεθεί στην αρχή του δεύτερου έτους θα ανατοκισθεί για η-1 έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: R(1+i) η-1. Ο προτελευταίος όρος που θα κατατεθεί στην αρχή του προτελευταίου έτους θα ανατοκισθεί για δυο έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: R(1+i) 2. Ο τελευταίος όρος που θα κατατεθεί στην αρχή του τελευταίου έτους θα ανατοκισθεί για ένα έτος και θα αποκτήσει τελική αξία: R(1+i). Επομένως το άθροισμα όλων των τελικών αξιών των όρων αυτών θα είναι η τελική αξία όλης της ράντας, δηλαδή: FV = R (1 + i) n + R (1 + i) n R (1 + i) Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.10 / 104

11 ή FV = R (1 + i) + R (1 + i) R (1 + i) n 1 + R (1 + i) n ή FV = (1 + i)[r + R (1 + i) + + R (1 + i) n 2 + R (1 + i) n 1 ] Παρατηρούμε ότι το τμήμα μέσα στις αγκύλες του δεύτερου μέρους της παραπάνω εξίσωσης αποτελεί άθροισμα γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το 1, λόγο το (1+i) και τελευταίο όρο το (1+i) n-1. Οπότε αν στη θέση του εφαρμόσουμε το τύπο του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου, η παραπάνω σχέση θα γίνει: FV = R (1 + i) (1 + i)n 1 i Παράδειγμα εφαρμογής: (3) Αν μια επιχείρηση καταθέσει σε Τράπεζα ευρώ στην αρχή του κάθε χρόνου για 5 χρόνια με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 5%, τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στο τέλος του 5ου έτους; Λύση: Επειδή ζητείται να υπολογισθεί το συνολικό ποσό μετά από 5 χρόνια από μια σειρά ετήσιων ισόποσων καταθέσεων στην αρχή του κάθε έτους, θα εφαρμοσθεί η προαναφερόμενη σχέση(3) ως εξής: FV = (1 + 0,05) (1 + 0,05)5 1 0,05 = ,05 1, ,05 = , Υπολογισμός Όρου με βάση την μελλοντική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Λύνουμε την προαναφερόμενη σχέση (3) ως προς Α και έχουμε: FV = R (1 + i) (1 + i)n 1 i Παράδειγμα εφαρμογής: => R = FV (1 + i) (1+i)n 1 i Για να εισπράξει μια επιχείρηση ευρώ μετά από 5 χρόνια από μια Τράπεζα, τι σταθερό ποσό πρέπει να καταθέτει στην αρχή του κάθε χρόνου για τα επόμενα 5 χρόνια, με δεδομένο ότι ισχύουν ετήσιος ανατοκισμός και ετήσιο επιτόκιο 5%. Λύση: Επειδή ζητείται να υπολογισθεί το ετήσιο σταθερό ποσό για μια σειρά ετήσιων ισόποσων καταθέσεων στην αρχή του κάθε έτους, γνωρίζοντας το συνολικό ποσό που θα εισπραχθεί μετά από 5 χρόνια, θα εφαρμοσθεί η προαναφερόμενη σχέση (4) ως εξής: R = FV (1 + i) (1+i)n 1 i = (1 + 0,05) (1+0,05)5 1 0,05 = 1.723, Μέλλουσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ράντα διάρκειας η ετών, που οι όροι της είναι διαφορετικοί R1, R2, Rn και καταβάλλονται στο τέλος κάθε έτους, και ισχύει ετήσιος ανατοκισμός με ετήσιο επιτόκιο i, τότε η τελική αξία όλων των όρων της στο τέλος του η έτους είναι ίση με το άθροισμα της τελικής αξίας κάθε όρου της στο τέλος του η έτους, δηλαδή: (4) Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.11 / 104

12 Ο πρώτος όρος που θα κατατεθεί στο τέλος του πρώτου έτους θα ανατοκισθεί για η-1 έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: R1(1+i) η-1. Ο δεύτερος όρος που θα κατατεθεί στο τέλος του δεύτερου έτους θα ανατοκισθεί για η-2 έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: R2(1+i) η-2. Ο προτελευταίος όρος που θα κατατεθεί στο τέλος του προτελευταίου έτους θα ανατοκισθεί για ένα μόνο έτος και θα αποκτήσει τελική αξία: Rη-1(1+i) η. Ο τελευταίος όρος που θα κατατεθεί στο τέλος του τελευταίου έτους δεν θα ανατοκισθεί και θα έχει αξία: Rη. Επομένως το άθροισμα όλων των τελικών αξιών των όρων αυτών θα είναι η τελική αξία όλης της ράντας, δηλαδή: FV = R 1 (1 + i) n 1 + R 2 (1 + i) n R n (5) Παράδειγμα εφαρμογής: Αν μια επιχείρηση καταθέσει σε Τράπεζα 2.000, και ευρώ αντίστοιχα στο τέλος του κάθε χρόνου για τα επόμενα 3 χρόνια με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 5%, τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στο τέλος του 3ου έτους; Λύση: θα εφαρμοσθεί η προαναφερόμενη σχέση(5) ως εξής: FV = (1 + 0,05) (1 + 0,05) = Μέλλουσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας κυμαινόμενης ράντας Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ράντα διάρκειας η ετών, που οι όροι της είναι διαφορετικοί R1, R2, Rn και καταβάλλονται στην αρχή κάθε έτους, και ισχύει ετήσιος ανατοκισμός με ετήσιο επιτόκιο i, τότε η τελική αξία όλων των όρων της στο τέλος του η έτους είναι ίση με το άθροισμα της τελικής αξίας κάθε όρου της στο τέλος του η έτους, δηλαδή: Ο πρώτος όρος που θα κατατεθεί στην αρχή του πρώτου έτους θα ανατοκισθεί για η έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: R1(1+i) η. Ο δεύτερος όρος που θα κατατεθεί στην αρχή του δεύτερου έτους θα ανατοκισθεί για η-1 έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: R2(1+i) η-1. Ο προτελευταίος όρος που θα κατατεθεί στην αρχή του προτελευταίου έτους θα ανατοκισθεί για δυο έτη και θα αποκτήσει τελική αξία: Rη-1(1+i) 2. Ο τελευταίος όρος που θα κατατεθεί στην αρχή του τελευταίου έτους θα ανατοκισθεί για ένα έτος και θα έχει αξία: Rη(1+i) 1. Επομένως το άθροισμα όλων των τελικών αξιών των όρων αυτών θα είναι η τελική αξία όλης της ράντας, δηλαδή: FV = R 1 (1 + i) n + R 2 (1 + i) n R n (1 + i) 1 (6) Παράδειγμα εφαρμογής: Αν μια επιχείρηση καταθέσει σε Τράπεζα 2.000, και ευρώ αντίστοιχα στην αρχή του κάθε χρόνου για τα επόμενα 3 χρόνια με ετήσιο ανατοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 5%, τι ποσό θα έχει συγκεντρωθεί στο τέλος του 3ου έτους; Λύση: θα εφαρμοσθεί η προαναφερόμενη σχέση(6) ως εξής: FV = (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05) 1 = 6.735,75 Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.12 / 104

13 1.4.7 Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ράντα διάρκειας η ετών, που οι όροι της είναι σταθεροί ίσοι με R και καταβάλλονται στο τέλος κάθε έτους, και ισχύει ετήσιος ανατοκισμός με ετήσιο επιτόκιο i, τότε η σημερινή αξία όλων των όρων της στην αρχή της είναι ίση με το άθροισμα της σημερινής αξίας κάθε όρου στην αρχή της, δηλαδή: Ο πρώτος όρος που κατατίθεται στο τέλος του πρώτου έτους θα προ εξοφληθεί για 1 έτος και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R 1 (1+i) 1 Ο δεύτερος όρος που κατατίθεται στο τέλος του δεύτερου έτους θα προ εξοφληθεί για 2 έτη και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R 1 (1+i) 2 Ο προτελευταίος όρος που κατατίθεται στο τέλος του προτελευταίου έτους θα προ εξοφληθεί για η-1 1 έτη και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R (1+i) n 1 Ο τελευταίος όρος που κατατίθεται στο τέλος του τελευταίου έτους θα προ εξοφληθεί για η έτη και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R 1 (1+i) n Επομένως το άθροισμα όλων των σημερινών αξιών των όρων αυτών θα είναι η σημερινή αξία όλης της ράντας, δηλαδή: 1 PV = R (1 + i) 1 + R 1 (1 + i) R 1 (1 + i) n 1 + R 1 (1 + i) n 1 ή PV = R [ (1 + i) (1 + i) (1 + i) n (1 + i) n] Παρατηρούμε ότι το τμήμα μέσα στις αγκύλες του δεύτερου μέρους της παραπάνω εξίσωσης 1 αποτελεί άθροισμα γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το, λόγο το 1 και τελευταίο όρο το (1+i) (1+i) 1 (1+i) n Οπότε αν στη θέση του εφαρμόσουμε το τύπο του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου, η παραπάνω σχέση θα γίνει: 1 1 (1+i) PV = R ( n i ) => PV = R ( 1 (1 + i) n ) ) (7) i Παράδειγμα εφαρμογής: Τι ποσό θα πρέπει να καταθέσει μια επιχείρηση σήμερα στην Τράπεζα ώστε να μπορεί να εισπράττει ευρώ στο τέλος κάθε έτους για τα επόμενα 5 έτη και να έχει υπόλοιπο 0 στο τέλος του 5ου έτους. Ο ανατοκισμός θα είναι ετήσιος και το επιτόκιο 5%. Λύση: Επειδή ζητείται να υπολογισθεί το συνολικό σημερινό ποσό (παρούσα αξία) για μια σειρά ετήσιων ισόποσων εισπράξεων στο τέλος του κάθε έτους επί 5 έτη, θα εφαρμοσθεί η προαναφερόμενη σχέση (7) ως εξής: PV = ( 1 (1 + 0,05) 5 ) ) = 8.658,95 0,05 Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.13 / 104

14 1.4.8 Υπολογισμός όρου με βάση την παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Λύνουμε την προαναφερόμενη σχέση (6) ως προς Α και έχουμε: 1 (1 + i) n PV = R => R = i Παράδειγμα εφαρμογής: PV 1 (1+i) n i (8) Μια επιχείρηση αν καταθέσει στο τέλος του έτους ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 5% για 5 έτη, τι ποσό θα εισπράττει στο τέλος του κάθε έτους τα επόμενα έτη μέχρι το τέλος της κατάθεσης; Λύση: Με απευθείας εφαρμογή της προαναφερόμενης σχέσης (8) θα έχουμε: Α = PV 1 (1+i) n i = (1+0,05) 5 0,05 = 2.309, Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ράντα διάρκειας η ετών, που οι όροι της είναι σταθεροί ίσοι με R και καταβάλλονται στην αρχή κάθε έτους, και ισχύει ετήσιος ανατοκισμός με ετήσιο επιτόκιο i, τότε η σημερινή αξία όλων των όρων της στην αρχή της είναι ίση με το άθροισμα της σημερινής αξίας κάθε όρου στην αρχή της, δηλαδή: Ο πρώτος όρος που κατατίθεται στην αρχή του πρώτου έτους θα έχει σημερινή αξία: R Ο δεύτερος όρος που κατατίθεται στην αρχή του δεύτερου έτους θα προ εξοφληθεί για 1 έτος και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R 1 (1+i) 1 Ο προτελευταίος όρος που κατατίθεται στην αρχή του του προτελευταίου έτους θα προ εξοφληθεί για 1 η-2 έτη και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R (1+i) n 2 Ο τελευταίος όρος που κατατίθεται στην αρχή του του τελευταίου έτους θα προ εξοφληθεί για η-1 1 έτη και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R (1+i) n 1 Επομένως το άθροισμα όλων των σημερινών αξιών των όρων αυτών θα είναι η σημερινή αξία όλης της ράντας, δηλαδή: 1 PV = R + R (1 + i) 1 + R 1 (1 + i) R 1 (1 + i) n 2 + R 1 (1 + i) n 1 1 ή PV = R [ (1 + i) (1 + i) (1 + i) n (1 + i) n] Παρατηρούμε ότι το τμήμα μέσα στις αγκύλες του δεύτερου μέρους της παραπάνω εξίσωσης 1 αποτελεί άθροισμα γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το 1, λόγο το και τελευταίο όρο το 1 (1+i) n 1 Οπότε αν στη θέση του εφαρμόσουμε το τύπο του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου, η παραπάνω σχέση θα γίνει: 1 1 (1+i) PV = R (1 + i) n => PV = R (1 + i) i 1 (1 + i) n (9) i (1+i) Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.14 / 104

15 Παράδειγμα εφαρμογής: Τι ποσό θα πρέπει να καταθέσει μια επιχείρηση σήμερα στην Τράπεζα ώστε να μπορεί να εισπράττει ευρώ στην αρχή του κάθε έτους για τα επόμενα 5 έτη. Ο ανατοκισμός θα είναι ετήσιος και το επιτόκιο 5%. Λύση: Επειδή ζητείται να υπολογισθεί το συνολικό σημερινό ποσό (παρούσα αξία) για μια σειρά ετήσιων ισόποσων εισπράξεων στην αρχή του κάθε έτους επί 5 χρόνια, θα εφαρμοσθεί η προαναφερόμενη σχέση (9) ως εξής: 1 (1 + 0,05) 5 PV = (1 + 0,05) = ,05 1 0,7835 = 9.091,90 0,05 0, Υπολογισμός όρου με βάση την παρούσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Λύνουμε την προαναφερόμενη σχέση (8) ως προς Α και έχουμε: 1 (1 + i) n PV = R (1 + i) => R = i PV (1 + i) 1 (1+i) n i (10) Παράδειγμα εφαρμογής: Μια επιχείρηση αν καταθέσει στην τέλος του έτους ευρώ με ετήσιο επιτόκιο 5% για 5 έτη, τι ποσό θα εισπράττει στην αρχή του κάθε έτους τα επόμενα έτη μέχρι το τέλος της κατάθεσης; Λύση: Με απευθείας εφαρμογή της προαναφερόμενης σχέσης (10) θα έχουμε: A = PV (1 + i) 1 (1+i) n i = (1 + 0,05) 1 (1+0,05) 5 0,05 = 2.199, Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ράντα διάρκειας η ετών, που οι όροι της είναι διαφορετικοί R1, R2, Rn και καταβάλλονται στο τέλος κάθε έτους, και ισχύει ετήσιος ανατοκισμός με ετήσιο επιτόκιο i, τότε η σημερινή αξία όλων των όρων της στην αρχή της είναι ίση με το άθροισμα της σημερινής αξίας κάθε όρου στην αρχή της, δηλαδή: Ο πρώτος όρος που κατατίθεται στο τέλος του πρώτου έτους θα προ εξοφληθεί για 1 έτος και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R 1 1 (1+i) 1 Ο δεύτερος όρος που κατατίθεται στο τέλος του δεύτερου έτους θα προ εξοφληθεί για 2 έτη και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R 2 1 (1+i) 2 Ο προτελευταίος όρος που κατατίθεται στο τέλος του προτελευταίου έτους θα προ εξοφληθεί για η-1 1 έτη και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R η 1 (1+i) n 1 Ο τελευταίος όρος που κατατίθεται στο τέλος του τελευταίου έτους θα προ εξοφληθεί για η έτη και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R η 1 (1+i) n Επομένως το άθροισμα όλων των σημερινών αξιών των όρων αυτών θα είναι η σημερινή αξία όλης της ράντας, δηλαδή: Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.15 / 104

16 Η παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης είναι το άθροισμα των παρουσών αξιών των όρων της. Επομένως η σχέση υπολογισμού της θα είναι η ακόλουθη: 1 ΡV = R 1 (1 + i) 1 + R 1 2 (1 + i) R 1 n (1 + i) n (11) Παράδειγμα εφαρμογής: Τι ποσό πρέπει να καταθέσει μια επιχείρηση σε Τράπεζα σήμερα, ώστε να μπορεί να εισπράττει 2.000, και ευρώ αντίστοιχα στο τέλος του κάθε έτους για τα επόμενα 3 χρόνια, με ετήσιο ανατοκισμό και επιτόκιο 5%; Λύση: θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος (11 ως εξής: 1 ΡV = (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05) 3 = 5.541, Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας προκαταβλητέας κυμαινόμενης ράντας Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ράντα διάρκειας η ετών, που οι όροι της είναι διαφορετικοί R1, R2, Rn και καταβάλλονται στην αρχή κάθε έτους, και ισχύει ετήσιος ανατοκισμός με ετήσιο επιτόκιο i, τότε η σημερινή αξία όλων των όρων της στην αρχή της είναι ίση με το άθροισμα της σημερινής αξίας κάθε όρου στην αρχή της, δηλαδή: Ο πρώτος όρος που κατατίθεται στην αρχή του πρώτου έτους δεν θα προ εξοφληθεί και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R1 Ο δεύτερος όρος που κατατίθεται στην αρχή του δεύτερου έτους θα προ εξοφληθεί για 1 έτος και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R 2 1 (1+i) 1 Ο προτελευταίος όρος που κατατίθεται στην αρχή του προτελευταίου έτους θα προ εξοφληθεί για η-2 1 έτη και θα αποκτήσει σημερινή αξία: R η 1 (1+i) n 2 Ο τελευταίος όρος που κατατίθεται στην αρχή του τελευταίου έτους θα προ εξοφληθεί για η-1 έτη και 1 θα αποκτήσει σημερινή αξία: R η (1+i) n 1 Επομένως το άθροισμα όλων των σημερινών αξιών των όρων αυτών θα είναι η σημερινή αξία όλης της ράντας, δηλαδή: 1 ΡV = R 1 + R 2 (1 + i) R 1 n (12) (1 + i) n 1 Παράδειγμα εφαρμογής: Τι ποσό πρέπει να καταθέσει μια επιχείρηση σε Τράπεζα σήμερα, ώστε να μπορεί να εισπράττει 2.000, και ευρώ αντίστοιχα στην αρχή του κάθε έτους για τα επόμενα 3 χρόνια, με ετήσιο ανατοκισμό και επιτόκιο 5%; Λύση: θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος (11 ως εξής: 1 ΡV = (1 + 0,05) (1 + 0,05) 2 = 5.818,59 Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.16 / 104

17 2. H χρηματοδότηση των επιχειρήσεων Όπως είναι γνωστό, κάθε επιχείρηση έχει σαν απώτερο σκοπό το κέρδος. Για την επίτευξη όμως αυτού του σκοπού απαιτείται ένα πολύπλοκο φάσμα ενεργειών, που καλείται να φέρει σε πέρας. Σχηματικά θα μπορούσαμε να αποτυπώσουμε τη λειτουργία μιας επιχείρησης στους εξής δυο παράλληλους κύκλους: Η πραγματοποίηση του επιθυμητού κύκλου εργασιών. Η επιχειρηματική ανάπτυξη. Ο πιο πάνω διαχωρισμός στην πράξη έχει ασαφή όρια, γιατί μέσα στο δυναμικό περιβάλλον της επιχείρησης οι λειτουργίες αυτές είναι αλληλένδετες. Είναι χρήσιμος όμως, διότι μας βοηθάει να κατανοήσουμε καλύτερα τις μορφές χρηματοδότησης της επιχείρησης, επειδή είναι αντίστοιχες των δύο προαναφερομένων λειτουργιών, δηλαδή: Στις χρηματοδοτήσεις για κεφάλαια κίνησης. Στις χρηματοδοτήσεις για πάγιες εγκαταστάσεις και εξοπλισμό. Συγκεκριμένα, η πραγματοποίηση του επιθυμητού κύκλου εργασιών (επιθυμητού ύψους πωλήσεων) απαιτεί τη διάθεση ρευστών διαθεσίμων είτε για την αγορά των απαραίτητων πρώτων υλών και εμπορευμάτων, είτε για την παροχή πιστώσεων στους πελάτες της. Η πραγματοποίηση της λειτουργίας αυτής αντιμετωπίζει συνήθως τη δημιουργία έκτακτων αναγκών κεφαλαίου κίνησης, το οποίο άλλοτε καλύπτεται εξ ολοκλήρου με κεφάλαια της ίδιας της επιχείρησης (εσωτερική χρηματοδότηση), άλλοτε η επιχείρηση αδυνατεί πλήρως να το διαθέσει και προσφεύγει σε βραχυχρόνιο τραπεζικό δανεισμό ή άλλες μορφές βραχυχρόνιας χρηματοδότησης, και άλλοτε η κάλυψη του γίνεται σε συνδυασμό των παραπάνω τρόπων (εξωτερική χρηματοδότηση). Παράλληλα, οι επιχειρήσεις χρειάζεται να πραγματοποιήσουν δαπάνες επενδύσεων για να ανανεώσουν μερικώς ή ολικώς τον εξοπλισμό τους, να επεκτείνουν ή δημιουργήσουν νέες εγκαταστάσεις ή να καλύψουν σε συνδυασμό και τις δύο αυτές ανάγκες. Οι επενδύσεις αυτές, είναι απαραίτητες όχι μόνο για την ανάπτυξη τους αλλά πολλές φορές ακόμη και για την διατήρηση του μεριδίου τους στην αγορά. Η χρηματοδότηση τους όμως απαιτεί συνήθως τη διάθεση μεγάλων ποσών χρηματικών κεφαλαίων, των οποίων η απόδοση λαμβάνει χώρα σε ένα ευρύ χρονικό ορίζοντα. Οι πηγές χρηματοδότησης τους δε μπορεί να είναι είτε εξ ολοκλήρου με ίδια κεφάλαια της επιχείρησης(εσωτερική χρηματοδότηση), είτε εξ ολοκλήρου με μακροχρόνιο τραπεζικό δανεισμό ή άλλες μορφές μακροχρόνιας χρηματοδότησης (εξωτερική χρηματοδότηση), είτε σε συνδυασμό των παραπάνω τρόπων. Τις περισσότερες όμως φορές οι επιχειρήσεις καταφεύγουν στον τραπεζικό δανεισμό ή σε άλλες μορφές εξωτερικής χρηματοδότησης, ακόμη και όταν διαθέτουν τα απαραίτητα κεφάλαια, διότι σχεδιάζουν να χρησιμοποιήσουν αυτά για να αντιμετωπίσουν υποχρεώσεις τους βραχυπρόθεσμης λήξης. 2.1 Η χρηματοδότηση του κεφαλαίου κίνησης Η χρηματοδότηση του κεφαλαίου κίνησης όπως προαναφέραμε μπορεί να είναι εσωτερική ή εξωτερική, ανάλογα με την πηγή ή τις πηγές χρηματοδότησης Η εσωτερική χρηματοδότηση του κεφαλαίου κίνησης. Η βασική πηγή εσωτερικής χρηματοδότησης του κεφαλαίου κίνησης είναι τα χρηματικά διαθέσιμα της επιχείρησης. Συγκεκριμένα, είναι γνωστό ότι το αναγκαίο κεφάλαιο κίνησης της επιχείρησης είναι η διαφορά: Κυκλοφορούν ενεργητικό Βραχυχρόνιες υποχρεώσεις. Εφόσον δε η διαφορά αυτή είναι μεγαλύτερη του μηδενός και ταυτόχρονα αντιστοιχεί σε χρηματικά διαθέσιμα της επιχείρησης, αυτό συνεπάγεται ότι η κάλυψη των αναγκών της σε κεφάλαιο κίνησης γίνεται με τα χρηματικά διαθέσιμα της. Δηλαδή με άλλα λόγια η επιχείρηση πραγματοποιεί ένα επιθυμητό επίπεδο κύκλου εργασιών, σχετικά ομοιόμορφα κατανεμημένου μέσα στο χρόνο, που τις επιτρέπει να έχει τα αναγκαία χρηματικά διαθέσιμα για να καλύψει τις ανάγκες της σε κεφάλαιο κίνησης. Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.17 / 104

18 2.1.2 Η εξωτερική χρηματοδότηση του κεφαλαίου κίνησης. Όταν η διαφορά: Κυκλοφορούν ενεργητικό Βραχυχρόνιες υποχρεώσεις είναι αρνητική, δηλαδή όταν τα χρηματικά διαθέσιμα της επιχείρησης δεν αρκούν για να καλύψουν εν μέρει ή συνολικά τις ανάγκες σε κεφάλαιο κίνησης της επιχείρησης, τότε υποχρεωτικά αυτή αναγκάζεται να τις καλύψει από εξωτερικές μορφές-πηγές χρηματοδότησης. Οι κυριότερες μορφές εξωτερικής χρηματοδότησης είναι οι παρακάτω: (1) Η εφάπαξ χρηματοδότηση, (2) Ο ανοιχτός (αλληλόχρεος) λογαριασμός, (3) Η χρηματοδότηση εγγυημένη με αξιόγραφα, (4) Η καθαρή προεξόφληση, (5) Η χρηματοδότηση με ενέχυρο εμπορεύματα, (6) Τα εξαγωγικά δάνεια. (1) Εφάπαξ χρηματοδότηση Οι εφάπαξ χρηματοδοτήσεις έχουν σκοπό να καλύψουν ειδικές ή έκτακτες ανάγκες της επιχείρησης. Η διάρκειά τους, που καθορίζεται από τις τράπεζες σε συνάρτηση με το ταμειακό πρόγραμμα της επιχείρησης και τις ανάγκες που καλύπτουν, είναι κατά κανόνα βραχυπρόθεσμη και κυμαίνεται από λίγες ημέρες μέχρι ένα έτος. (2) Ανοιχτός αλληλόχρεος λογαριασμός Οι χρηματοδοτήσεις ανοιχτών αλληλόχρεων λογαριασμών έχουν σαν σκοπό να καλύψουν διαρκείς ανάγκες για κεφάλαιο κίνησης, που προκύπτουν από τη φύση του παραγωγικού και συναλλακτικού κυκλώματος της επιχείρησης. Ο πελάτης συμφωνεί με την τράπεζα ένα όριο (plafond), μέχρι το οποίο θα μπορεί να αναλαμβάνει ποσά για την κάλυψη των αναγκών του. Τα ποσά αυτά θα επιστρέψει, στη συνέχεα, εντός προκαθορισμένης προθεσμίας, πρόκειται δηλαδή για λογαριασμούς αυξομειούμενου υπολοίπου. Τα χορηγούμενα όρια έχουν διάρκεια συνήθως ενός χρόνου, μετά την λήψη του οποίου οι τράπεζες επανεξετάζουν τα στοιχεία του πελάτη καθώς και την σκοπιμότητα της χρηματοδότησης, προκειμένου να καθορίσουν νέο όριο για το επόμενο έτος. Παρέχεται ακόμη η δυνατότητα εφοδιασμού πελατών που εμφανίζουν μεγάλη κίνηση λογαριασμού, με βιβλιάριο επιταγών. Με τις επιταγές αυτές μπορούν να κάνουν τις πληρωμές τους, χρεώνοντας ταυτόχρονα τον λογαριασμό, χωρίς να εμφανίζονται στην τράπεζα. Η ευχέρεια αυτή πέραν του εγκεκριμένου ορίου, και για το λόγο αυτό απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή, παρακολούθηση και εκχώρηση της ευχέρειας μόνο σε απόλυτα φερέγγυους πελάτες. Οι ανοιχτοί λογαριασμοί, λόγω της ευελιξίας που παρουσιάζουν, είναι ιδιαίτερα επιθυμητοί από τους πελάτες και έτσι αποτελούν την πλειοψηφία των χρηματοδοτήσεων για κεφάλαιο κίνησης. Θα πρέπει, ωστόσο, να ελέγχονται από τις τράπεζες, ώστε να αποφεύγεται το <πάγωμα> του λογαριασμού, η ανάληψη δηλαδή όλου του ορίου από την αρχή και η εξόφλησή του με ταυτόχρονες νέες χορηγήσεις, γιατί τότε απομακρύνεται από την λογική τους, οι πελάτες δεν τους συμπεριλαμβάνουν στις υποχρεώσεις του ταμιακού τους προγράμματος και η είσπραξη τους καθίσταται προβληματική. Θα πρέπει τέλος να σημειωθεί ότι οι τράπεζες δεν δεσμεύονται να τηρούν τα συμφωνηθέντα όρια καθ όλη την διάρκεια του έτους, αντίθετα οφείλουν να παρακολουθούν από κοντά την εξέλιξη των εργασιών του πελάτη, προκειμένου να αυξάνουν ή και να μειώνουν το όριο της πίστωσης αν χρειαστεί, σε ενδιάμεσο χρονικό διάστημα. (3) Χρηματοδότηση εγγυημένη με αξιόγραφα Είναι η μορφή χρηματοδότησης κατά την οποία η τράπεζα χορηγεί δάνεια έναντι εμπορικών αξιόγραφων (συναλλαγματικών, επιταγών) βάσει των οποίων ο πελάτης έχει απαιτήσεις από την αγορά. Η τράπεζα παρακρατά ένα περιθώριο, που κυμαίνεται περίπου στο 15%. Το ύψος του περιθωρίου εξαρτάται από την φερεγγυότητα του πελάτη, το ποσοστό διαμαρτύρησης του χαρτοφυλακίου του καθώς και το χρόνο λήξης των αξιόγραφων, προκειμένου να καλυφθούν οι τόκοι, τα έξοδα και τυχόν επιστροφές που θα προκύψουν στο μέλλον. Η λογική των χρηματοδοτήσεων αυτών είναι αφενός μεν να διευκολύνεται ο πελάτης, εισπράττοντας από την τράπεζα σε Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.18 / 104

19 προγενέστερο χρόνο τις απαιτήσεις που έχεις την αγορά, η δε τράπεζα να λαμβάνει ως επιπρόσθετη εξασφάλιση για το δάνειο την ενοχή των υπόχρεων των αξιόγραφων. Πριν από την χορήγηση, εκτός από την φερεγγυότητα του δανειζομένου, θα πρέπει να ελέγχεται και η φερεγγυότητα των ενεχομένων στα αξιόγραφα καθώς και αν πρόκειται για προϊόντα πραγματικής εμπορικής συναλλαγής. Επειδή τα δάνεια αυτής της μορφής παρέχουν μεγαλύτερη εξασφάλιση και συνδυάζονται με το ταμιακό πρόγραμμα της επιχείρησης, προτιμώνται από τις τράπεζες έναντι του ανοιχτού αλληλόχρεου λογαριασμού ή της εφάπαξ χρηματοδότησης. Από την άλλη μεριά πελάτες που δεν διαθέτουν επαρκεί αξιόγραφα πελατείας τους αλλά διαπιστώνουν ότι θα ήταν ευκολότερο να αποσπάσουν από την τράπεζα χρηματοδότηση έναντι αξιόγραφων, δεν διστάζουν σε κάποιες περιπτώσεις να ανταλλάσουν κατασκευασμένα αξιόγραφα μεταξύ τους που δεν ανταποκρίνονται σε πραγματική εμπορική συναλλαγή. Η εξακρίβωση της πραγματικότητας της συναλλαγής προκύπτει από τον έλεγχο των αντίστοιχων τιμολογίων και θα πρέπει να τεκμαίρεται και από το αντικείμενο απασχόλησης των συναλλασσομένων μερών. Όπως είναι αυτονόητο, η χρηματοδότηση παρόμοιων αξιόγραφων εγκυμονεί κινδύνους για την ρευστοποίηση του δανείου και είναι προτιμότερο, σε περιπτώσεις που δεν υφίστανται εμπορικά αξιόγραφα, η τράπεζα να χορηγεί ακάλυπτους λογαριασμούς, ώστε να σταθμίζονται ακριβέστερα οι αναλαμβανόμενοι κίνδυνοι. Το ποσοστό ανείσπραχτων επιστραφέντων αξιόγραφων είναι ιδιαίτερα σημαντικό, καθώς καθορίζει σε μεγάλο βαθμό την στάση της τράπεζας σε μελλοντικά αιτήματα χρηματοδότησης του πελάτη αυτού. Με τον τρόπο αυτό, είναι κατανοητό ότι, μετά την είσπραξη των συναλλαγματικών δημιουργείται ένα απόθεμα, από το οποίο θα καλυφθούν τόκοι και έξοδα που θα προκύπτουν. (4) Καθαρή προεξόφληση. Είναι η μορφή χρηματοδότησης κατά την οποία ο πελάτης μεταβιβάζει με οπισθογράφηση αξιόγραφα στην τράπεζα πριν την λήξη τους και εισπράττει το ποσό της ονομαστικής τους αξίας, αφού αφαιρεθούν οι τόκοι που αντιστοιχούν μέχρι την λήξη, η προμήθεια και τα έξοδα. Η χρηματοδότηση μέσω προεξοφλημένων προσομοιάζει προς της χρηματοδοτήσεις ενεχυρίασης αξιόγραφων, με την διαφορά ότι εδώ υπολογίζεται ακριβώς το ποσό των τόκων και εξόδων που θα προκύψουν και αποδίδεται στον πελάτη το υπόλοιπο, ενώ στις χρηματοδοτήσεις ενεχυρίασης παρακρατείται ένα κατ εκτίμηση ποσοστό επί της αξίας των αξιόγραφων για την κάλυψη των τόκων και εξόδων και η εκκαθάριση του λογαριασμού γίνεται απολογιστικά στο τέλος της χρηματοδότησης. Η διαφορά αυτή, που συνιστά ένα σοβαρό πλεονέκτημα για τις χρηματοδοτήσεις μέσω ενεχυρίασης, καθόσον απλοποιείται κατά πολύ ο υπολογισμός του χορηγούμενου ποσού, είναι ο κύριος λόγος που η καθαρή προεξόφληση τείνει να υποκατασταθεί πλήρως από τις χρηματοδοτήσεις ενεχυρίασης. (5) Χρηματοδοτήσεις με ενέχυρο εμπορεύματα Πρόκειται για μία ακόμη μορφή χρηματοδότησης του κεφαλαίου κίνησης της επιχείρησης, κατά την οποία ενεχυριάζονται υπέρ της τράπεζας και σε ασφάλεια του δανείου πρώτες ύλες ή έτοιμα προϊόντα κυριότητας του πιστούχου, ελεύθερα βάρους ή διεκδίκησης. Θα πρέπει να είναι πράγματα γενικής χρησιμότητας, να φυλάσσονται, να ασφαλίζονται και να συντηρούνται, προκειμένου να διατεθούν ευχερώς στην αγορά από την τράπεζα, σε περίπτωση που το δάνειο δεν εξελιχθεί ομαλά. Η φύλαξή τους καλό είναι να ανατίθεται στις Γενικές Αποθήκες, ώστε να απαλλάσσονται οι τράπεζες από τις σχετικές διαδικασίες. Επειδή ο κίνδυνος της απαξίωσης ή καταστροφής των εμπορευμάτων είναι μεγάλος, η αξία τους δεν θεωρείται ουσιαστική εξασφάλιση για την τράπεζα και κατά κανόνα χρηματοδότησης της μορφής αυτής αποφεύγονται. (6) Εξαγωγικά δάνεια Οι εξαγωγικές επιχειρήσεις χρηματοδοτούνται με βραχυπρόθεσμα κεφάλαια κίνησης για την προετοιμασία και την διενέργεια των εξαγωγών τους. Πιο συγκεκριμένα, η διαδικασία που ακολουθούν μπορεί να είναι: Παραγγελία εξωτερικού Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.19 / 104

20 Φόρτωση και αποστολή Παραλαβή από τον οίκο του εξωτερικού Εξόφληση Προετοιμασία προϊόντων Η τράπεζα διαπιστώνει την ύπαρξη παραγγελιών, ελέγχοντας τυχόν συμβάσεις, fax, κτλ, και χρηματοδοτεί το ύψος της παραγγελίας σε ποσοστό 70 80%.Κατά την φάση αυτή δεν υπάρχει συνήθως ουσιαστική εξασφάλιση, δεδομένου ότι η παραγγελία είναι δυνατόν να ακυρωθεί. Ύπαρξη φορτωτικών εγγράφων Με την φόρτωση των εμπορευμάτων η τράπεζα είναι δυνατόν να εξασφαλιστεί ουσιαστικότερα, ενεχυριάζοντας τα φορτωτικά έγγραφα, και για τον λόγω αυτό το ποσοστό χρηματοδότησης φθάνει στο 85 90% της αξίας των φορτωτικών. Στην φάση αυτή και εφόσον η πίστωση καλύπτεται με εγγυητική επιστολή ή ενέγγυα πίστωση φερέγγυας τράπεζας, υφίσταται ουσιαστικότερη εξασφάλιση. Διάρκεια προθεσμιακού κανονισμού Εφόσον η συμφωνία του πελάτη μας περιλαμβάνει και προθεσμιακό διακανονισμό, για να έχουμε θετική εξασφάλιση, απαιτείται πλέον η ύπαρξη εγγυητικής επιστολής φερέγγυας τράπεζα. Ο ιδιαίτερος χαρακτήρας των εξαγωγικών δανείων εγκυμονεί κινδύνους για την τράπεζα, που μπορεί να προέρχεται από την κακοπιστία του αγοραστή των εμπορευμάτων, από την κακή ποιότητα των προϊόντων, από συναλλαγματικά προβλήματα της χώρας προορισμού κτλ., γεγονός που μας υποχρεώνει να ελέγχουμε με προσοχή την φερεγγυότητα του εξαγωγέα και την δυνατότητα του να ανταποκριθεί στην παραγγελία καθώς επίσης και να συλλέγουμε πληροφορίες για τον αγοραστή (εισαγωγέα του εξωτερικού). 2.2 Η χρηματοδότηση επενδύσεων Χρηματοδότηση με τοκοχρεολυτικά δάνεια Από την άλλη πλευρά οι εξωτερικές τραπεζικές χρηματοδοτήσεις για επενδύσεις σε πάγια περιουσιακά στοιχεία έχουν μεσοπρόθεσμο ή μακροπρόθεσμο χαρακτήρα και συνήθως παίρνουν τη μορφή τοκοχρεολυτικών δανείων. Δηλαδή δανείων που η αποπληρωμή τους γίνεται με τοκοχρεολυτικές δόσεις, δηλαδή με την καταβολή της κάθε δόσης κάθε φορά το ένα μέρος της εξοφλεί τους τόκους του δανείου και το άλλο μέρος της που λέγεται χρεολύσιο εξοφλεί το κεφάλαιο του δανείου. Ο υπολογισμός της τοκοχρεολυτικής δόσης ενός μεσομακροχρόνιου τραπεζικού δανείου καθώς και η σύνταξη του πίνακα εξυπηρέτησης του, δηλαδή του πίνακα που αποτυπώνει την ανάλυση της κάθε δόσης σε τόκο και χρεολύσιο, το σωρευμένο εξοφλημένο κεφάλαιο δανείου καθώς και το υπόλοιπο ανεξόφλητο κεφάλαιο δανείου με την καταβολή της κάθε δόσης, γίνονται με την εφαρμογή διαφόρων συστημάτων απόσβεσης δανείων. Στη συνέχεια παραθέτουμε εφαρμογές απόσβεσης μεσομακροχρόνιων τραπεζικών δανείων αντίστοιχες με τις συνηθέστερες μεθόδους που ισχύουν σήμερα. (1) Μέθοδος προοδευτικού χρεολυσίου ή Γαλλικό σύστημα. Σύμφωνα με αυτή την μέθοδο, η δόση του δανείου είναι τοκοχρεολυτική, δηλαδή αποτελεί άθροισμα του χρεολυσίου (μέρους του κεφαλαίου του δανείου) και το τόκου (μέρους των συνολικών τόκων του δανείου), που εξοφλούνται με κάθε καταβολή. Είναι σταθερή σε κάθε καταβολή της και υπολογίζεται από την εξής σχέση: i R = C [i + (1 + i) n 1 ] (1) όπου: C:το κεφάλαιο του δανείου. Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.20 / 104

21 i:το επιτόκιο του δανείου. n:η χρονική διάρκεια του δανείου σε έτη. Ο τόκος της κάθε δόσης υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας το επιτόκιο με το ανεξόφλητο κεφάλαιο του δανείου της προηγούμενης δόσης, δηλαδή το ποσό του τόκου της κάθε δόσης είναι μικρότερο από το αντίστοιχο της προηγούμενης δόσης, και υπολογίζεται από τον εξής τύπο: I = C α i (2) όπου Cα:το ανεξόφλητο κεφάλαιο δανείου της προηγούμενης δόσης. Το χρεολύσιο της κάθε δόσης υπολογίζεται αφαιρώντας από το ποσό της δόσης το ποσό του τόκου της, δηλαδή σύμφωνα με την εξής σχέση: Χ = C I (3) Με βάση τα παραπάνω συντάσσεται ο πίνακας εξυπηρέτησης του δανείου, όπου αποτυπώνονται οι δόσεις του, η ανάλυση της κάθε δόσης σε τόκο και χρεολύσιο, το σωρευμένο εξοφλημένο κεφάλαιο δανείου και επίσης το υπόλοιπο ανεξόφλητο κεφάλαιο δανείου με την καταβολή της κάθε δόσης. Παράδειγμα 1 Μια επιχείρηση σκοπεύει να πάρει τραπεζικό δάνειο ύψους ευρώ, διάρκειας 5 ετών με ετήσιο επιτόκιο 8%. Να υπολογισθεί η δόση του δανείου και να συνταχθεί ο πίνακας εξυπηρέτησης του, εφαρμόζοντας το σύστημα του προοδευτικού χρεολυσίου. Λύση: Καταρχήν υπολογίζεται η δόση του δανείου με την απευθείας εφαρμογή της προαναφερόμενης σχέσης (1) ως εξής: i R = C [i + (1 + i) n 1 ] = [0,08 + 0,08 (1 + 0,08) 5 1 ] = Ακολούθως συντάσσεται ο πίνακας εξυπηρέτησης του δανείου ως εξής: Έτος Τοκοχρεολύσιο Τόκος Χρεολύσιο Εξοφλημένο ποσό κεφαλαίου δανείου (1) Υπόλοιπο ανεξόφλητο κεφάλαιο δανείου (2) (1): το εξοφλημένο κεφάλαιο δανείου της πρώτης δόσης είναι ίσο με το χρεολύσιο της. Στις επόμενες δόσεις το σωρευμένο εξοφλημένο κεφάλαιο δανείου υπολογίζεται κάθε φορά προσθέτοντας στο εξοφλημένο κεφάλαιο της προηγούμενης δόσης το χρεολύσιο της συγκεκριμένης δόσης. (2): το υπόλοιπο ανεξόφλητο κεφάλαιο δανείου υπολογίζεται με την καταβολή της κάθε δόσης, αφαιρώντας από το κεφάλαιο του δανείου το εξοφλημένο ποσό κεφαλαίου δανείου της συγκεκριμένης δόσης. Ανδρέας Αναστασάκης, Διαλέξεις ΧΕ Σελ.21 / 104