Υπολογισμός αρχικού ποσού C 0, όταν είναι γνωστό το τελικό ποσό C t Από την εξίσωση (2) και επιλύνοντας ως προς C 0 ή από την εξίσωση (3) λαμβάνουμε:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Υπολογισμός αρχικού ποσού C 0, όταν είναι γνωστό το τελικό ποσό C t Από την εξίσωση (2) και επιλύνοντας ως προς C 0 ή από την εξίσωση (3) λαμβάνουμε:"

Χριστός Μητσοτάκης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ημερομηνία αξιολόγησης Η αξία του κεφαλαίου δεν είναι σταθερή στο χρόνο, και κάθε εξίσωση που περιλαμβάνει το επιτόκιο είναι εξίσωση αξίας, γιατί απεικονίζει ισοδυναμία μεταξύ δυο χρηματικών ποσών σε μια κοινή ημερομηνία, η οποία ονομάζεται ημερομηνία αξιολόγησης. Άξονας χρόνου Χρησιμοποιείται για την καλύτερη κατανόηση της ισοδυναμίας μεταξύ των χρηματικών ποσών στην ημερομηνία αξιολόγησης Είναι μια ευθεία γραμμή, στην οποία παριστάνονται οι χρονικές περίοδοι ανατοκισμού t, το αρχικό κεφάλαιο C 0, η τελική αξία C t και το επιτόκιο r. Η ημερομηνία αξιολόγησης σημειώνεται με ένα κύκλο. Υπολογισμός αρχικού ποσού C 0, όταν είναι γνωστό το τελικό ποσό C t Από την εξίσωση (2) και επιλύνοντας ως προς C 0 ή από την εξίσωση (3) λαμβάνουμε: C 0 = C t (1 + r) -t Ο άξονας του χρόνου, που αντιστοιχεί στην εξίσωση αυτή, είναι: Διαφέρει από τον προηγούμενο άξονα μόνον ως προς την ημερομηνία αξιολόγησης. Το χρηματικό κεφάλαιο C 0 ονομάζεται προεξοφλητέα αξία του Ct ή παρούσα ή ανηγμένη αξία. Ο όρος (1 + r) -t ονομάζεται συντελεστής προεξόφλησης ή αναγωγής σε παρούσα αξία Το επιτόκιο r ονομάζεται επιτόκιο προεξόφλησης ή αναγωγής. Απεικόνιση χρηματικών ροών Δυνατότητα απεικόνισης των χρηματικών ροών, μιας επιχείρησης, στον άξονα του χρόνου πιο εποπτικά: - Οι θετικές ροές (εισροές ή έσοδα) σημειώνονται με βέλος, του οποίου η αιχμή είναι προς τα πάνω. - Οι αρνητικές ροές (εκροές ή έξοδα) σημειώνονται με βέλος, του οποίου η αιχμή είναι προς τα κάτω. Απεικόνιση χρηματικών ροών στην περίπτωση της επιχείρησης ή του δανειζόμενου Εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα: - Οι θετικές ροές C 0 (έσοδα) που έχει μια επιχείρηση από τη λήψη ενός δανείου σημειώνονται με βέλος, του οποίου η αιχμή είναι προς τα πάνω

2 - Οι αρνητικές ροές n (δόσεις) που απαιτούνται (C 1, C 2, C 3,, C n ) για την αποπληρωμή του σημειώνονται με βέλος, του οποίου η αιχμή είναι προς τα κάτω. Απεικόνιση χρηματικών ροών στην περίπτωση της τράπεζας ή του δανειστή Έχει την αντίστροφη μορφή: - Οι θετικές ροές (C 1, C 2, C 3,, C n ) (δόσεις) που λαμβάνει η τράπεζα από το δανειζόμενο σημειώνονται με βέλος, του οποίου η αιχμή είναι προς τα πάνω - Οι αρνητικές ροές C 0 (έξοδα) που απαιτούνται για την καταβολή του αρχικού ποσού σημειώνονται με βέλος, του οποίου η αιχμή είναι προς τα κάτω Μεταφορά ποσού στο παρόν και στο μέλλον Παρουσιάζεται συνοπτικά στο ακόλουθο σχήμα: - για τη μεταφορά ενός ποσού στο μέλλον το πολλαπλασιάζουμε με το συντελεστή ανατοκισμού (1+r) n - για τη μεταφορά ενός ποσού στο παρελθόν το πολλαπλασιάζουμε επί το συντελεστή 1/(1+r) n ή (1+r) -n Προσδιορισμός αξίας σε τυχαία χρονική στιγμή όταν είναι γνωστό το αρχικό ή το τελικό ποσό C 0 ή C n Σύμφωνα με τα παραπάνω: - Η αξία C m θα ισούται με την αξία C n προεξοφλημένη κατά (n - m) περιόδους. Άρα: C m = C n (l+r) -(n-m) - Η αξία C m εάν υποτεθεί ότι είναι η τελική αξία του αρχικού κεφαλαίου C0, είναι: C m = C 0 (l + r) m

3 Ο αντίστοιχος άξονας του χρόνου είναι ο παρακάτω: Προσδιορισμός χρόνου t και επιτοκίου r Από την αρχική εξίσωση (2), με λογάριθμους έχουμε: lnc t = lnc 0 + tln(l + r) ή t = (lnct lnc0) / ln(1+r) (5) Από την αρχική εξίσωση (2), προκύπτει: (1 + r) t = C t / C 0 ή t ln(1 + r) = ln(c t /C 0 ) / t ή r = antiln{ln(c t /C 0 ) / t} 1 (6) Ζητείται να υπολογιστεί το κεφάλαιο C 0, το οποίο θα πρέπει να κατατεθεί σήμερα προς ετήσιο επιτόκιο r = 10%, ώστε να σχηματιστεί κεφάλαιο C 5 = στο τέλος των 5 ετών. Αρχική δημιουργία του παρακάτω άξονα του χρόνου. Από την εξίσωση C0 = C t (l+r) -t, έχουμε: C 0 = (1+0,10) - 5 = Εάν η αξία ενός χρηματικού ποσού στο τέλος του 10ου έτους είναι C10 = , να υπολογιστεί η αξία του στο τέλος των 5 ετών, με ετήσιο επιτόκιο προεξόφλησης r = 10%. Με βάση τα παραπάνω ισχύει: C 5 = C 10 (l+r) -5 = (l+0,10) -5 = ,6209 =

4 Κατασκευαστική επιχείρηση καταθέτει σήμερα χρηματικό ποσό C 0 = , το οποίο ανατοκίζεται ανά εξάμηνο με επιτόκιο r=7%. Να υπολογιστεί το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να συγκεντρωθεί κεφάλαιο Co = Ο χρόνος θα υπολογιστεί από τη σχέση (5) αντικαθιστώντας τα δεδομένα του προβλήματος: t = (ln ln10.000) / ln(1+0,07) = 16,23 εξάμηνα ή 8,1 έτη Κατασκευαστική εταιρία οφείλει σε εργαζόμενό της διάφορα ποσά. Συμφωνήθηκε εξαρχής, μεταξύ των δύο, οι πληρωμές να γίνουν σε ένα συγκεκριμένο βάθος χρόνου και με συγκεκριμένα επιτόκια. Έτσι η εταιρία θα πληρώσει στον εργαζόμενο: - μετά από 2 έτη 10.00, με ετήσιο επιτόκιο 4% - μετά από 6 μήνες 5.000, άτοκα - μετά από ενάμιση έτος 8.000, με εξαμηνιαίο επιτόκιο 3%. Ο εργαζόμενος πήρε από την εταιρία προ ενός έτους. Η εργασία όμως δεν έγινε και ο εργαζόμενος οφείλει το ποσό αυτό πίσω στην εταιρία με εξαμηνιαίο επιτόκιο 6%. Η εταιρία κάλεσε το εργαζόμενο και συμφώνησαν σε τρέχον επιτόκιο 5% ανά εξάμηνο, προκειμένου να κλείσουν σήμερα όλες οι οφειλές. Ποιος χρωστάει σε ποιόν και ποιο ποσό; Χρησιμοποιούμε τις εξής υποθέσεις: - έστω ότι τα ποσά είναι C 1 =10.000, C 2 =5.000, C 3 =8.000, C 4 = από τα ποσά C 1, C 2 και C 3 προκύπτουν στο μέλλον κάποια άλλα ποσά C 1, C 2 και C 3 (είναι τα τοκισμένα αρχικά ποσά για τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα) - η πληρωμή των ποσών C 1, C 2 και C 3 γίνεται στο τέλος του χρόνου που συμφωνήθηκε - από το ποσό C 4 προκύπτει σήμερα κάποια άλλο ποσό C 4 (είναι το τοκισμένο αρχικό ποσό για το αντίστοιχο χρονικό διάστημα) - οι οφειλές C 1, C 2 και C 3 θεωρούνται ως έξοδα για την εταιρία - το ποσό C 4 που οφείλει να επιστρέψει ο εργαζόμενος θεωρείται ως έσοδο - η ημερομηνία αξιολόγησης είναι σήμερα Για την επίλυση του προβλήματος σχεδιάζουμε τον παρακάτω άξονα του χρόνου: Τα ποσά C 1, C 2 και C 3 που προκύπτουν στο μέλλον σύμφωνα με τα συμφωνηθέντα είναι: - C 1 = C 1 (1 + r 1 ) 2 = (1 + 0,04) 2 = ,0816 = C 2 = C 2 = C 3 = C 3 (1 + r 3 ) 3 = (1 + 0,03) 3 = ,0927 = Σήμερα, η παρούσα αξία από την παλαιά οφειλή του εργαζόμενου είναι: - C 4 = C 4 (1 + r 4 ) 2 = (1 + 0,06) 2 = ,1236 = Σήμερα, η συνολική παρούσα αξία όλων των οφειλών της εταιρίας είναι: C 2 (1+r) -1 + C 3 (1+r) -3 + C 1 (1+r) -4 = (1+0,05) (1+0,05) (1+0,05) -4 =

5 , , ,8227 = Άρα η εταιρία οφείλει στον εργαζόμενο ποσό: = Κατασκευαστική εταιρία ανέθεσε σε υπεργολάβο την εκτέλεση διαφόρων εργασιών. Σήμερα γίνεται η τακτοποίηση των οικονομικών εκκρεμοτήτων, και σύμφωνα με τα συμφωνητικά που υπάρχουν διαπιστώνεται ότι η εταιρία οφείλει στον υπεργολάβο τα παρακάτω ποσά. Ποσό ( ) Χρόνος έναρξης οφειλής Χρόνος πληρωμής Επιβάρυνση C προ εξαμήνου μετά από ένα έτος 7% ανά εξάμηνο C προ ενός έτους μετά από ένα εξάμηνο καμία C προ δύο ετών μετά από ενάμιση έτος 6% ανά εξάμηνο C σήμερα μετά από δύο έτη 8% ανά έτος Επίσης, ο υπεργολάβος οφείλει επιστροφές προκαταβολών και για εργασίες που ανέλαβε να εκτελέσει προ ενός έτους, αλλά λόγω αλλαγής της σύμβασης δεν εκτέλεσε. Για τα ποσά αυτά προβλέπεται επιβάρυνση 5% ανά 6μηνο και 8% ανά έτος, αντίστοιχα. Μεταξύ της εταιρίας και του υπεργολάβου συμφωνείται να γίνει τακτοποίηση των εκκρεμοτήτων με ενιαίο επιτόκιο 5% ανά 6μηνο. Να υπολογιστεί το ποσό που πρέπει να πληρώσει η εταιρία στον εργολάβο ύστερα από 1 έτος. Χρησιμοποιούμε τις εξής υποθέσεις: - από τα ποσά C 1, C 2, C 3 και C 4 προκύπτουν στο μέλλον κάποια άλλα ποσά C 1, C 2, C 3 και C 4 (είναι τα τοκισμένα αρχικά ποσά για τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα) - η πληρωμή των ποσών C 1, C 2, C 3 και C 4 γίνεται στο τέλος του χρόνου που συμφωνήθηκε - οι οφειλές C 1, C 2, C 3 και C 4 και το ποσό που θα πληρώσει η εταιρία θεωρούνται ως έξοδα - τα ποσά που οφείλει να επιστρέψει ο εργολάβος θεωρούνται ως έσοδα - η ημερομηνία αξιολόγησης είναι μετά από ένα έτος - έστω ότι οι προκαταβολές και παρίστανται ως C 5 και C 6 - από τα ποσά C 5 και C 6 προκύπτουν σήμερα κάποια άλλα ποσά C 5 και C 6 (είναι τα τοκισμένα αρχικά ποσά για τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα) Για την επίλυση του προβλήματος σχεδιάζουμε τον παρακάτω άξονα του χρόνου: Τα ποσά C 1, C 2, C 3 και C 4 που προκύπτουν στο μέλλον σύμφωνα με τα συμφωνηθέντα είναι: - C 1 = C 1 (1 + r 1 ) 3 = (1 + 0,07) 3 = ,2250 = C 2 = C 2 = C 3 = C 3 (1 + r 3 ) 7 = (1 + 0,06) 7 = ,5036 =

6 - C 4 = C 4 (1 + r 4 ) 2 = (1 + 0,08) 2 = ,1664 = Σήμερα, η συνολική παρούσα αξία από όλες τις παλαιές επιστροφές είναι: - C 5 = C 5 (1 + r 5 ) 2 = (1 + 0,05) 2 = ,1025 = C 6 = C 6 (1 + r 6 ) 1 = (1 + 0,08) 1 = ,08 = Σύνολο: C 5 + C 6 = = Μετά από ένα χρόνο, η συνολική παρούσα αξία των οφειλών είναι: C 2 (1+r) 1 + C 1 + C 3 (1+r) -1 + C 4 (1+r) -2 = (1+0,05) (1+0,05) (1+0,05) -2 = , , ,9070 = Μετά από ένα χρόνο, η συνολική παρούσα αξία των σημερινών επιστροφών είναι: (C 5 + C 6 ) (1 + r) 2 = (1+0,05) 2 = ,1025 = Το ποσό που οφείλει η εταιρία στον εργολάβο, μετά από ένα έτος, είναι ίσο με τη διαφορά των οφειλών και των επιστροφών: =

Σχετικά έγγραφα

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1]

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1] Ο υπολογισμός των δόσεων που οφείλει ένας δανειζόμενος στον δανειστή του, για την εξόφληση ενός χρέους, βασίζεται στις προηγούμενες εξισώσεις και εξαρτάται από την ημερομηνία αξιολόγησης. Σε αυτές τις