Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά"

Transcript

1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρήτης Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά Σημειώσεις Διδασκαλίας Ανδρέας Αναστασάκης, Καθηγητής Εφαρμογών Ηράκλειο Ιανουάριος 2015

2 Περιεχόμενα ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ... 4 ΓΕΝΙΚΑ... 5 I. Μερισμός... 5 II. Η χρονική αξία του χρήματος ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΔΙΑΤΑΓΗ (ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ) Βασικοί τύποι προεξόφλησης γραμματίων ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣ ΔΙΑΤΑΓΗ (ΓΡΑΜΜΑΤΙΩΝ) Χρήσιμοι τύποι επίλυσης προβλημάτων αντικατάστασης γραμματίων ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Υπολογισμός της τελικής αξίας, όταν η χρονική δίνεται σε ακέραιο αριθμό περιόδων: Υπολογισμός της τελικής αξίας, όταν η χρονική δίνεται σε κλασματικό αριθμό περιόδων: Προεξόφληση στον Ανατοκισμό Ισοδυναμία στον Ανατοκισμό Χρήσιμοι τύποι επίλυσης προβλημάτων αντικατάστασης γραμματίων στον ανατοκισμό ΡΑΝΤΕΣ Μέλλουσα ή τελική αξία ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Υπολογισμός όρου με βάση την μελλοντική αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Μέλλουσα ή τελική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Υπολογισμός Όρου με βάση την μελλοντική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Μέλλουσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας Παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Υπολογισμός όρου με βάση την παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας Παρούσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Υπολογισμός όρου με βάση την παρούσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας Παρούσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ ΜΕ ΤΟΚΟΧΡΕΟΛΥΤΙΚΑ ΔΑΝΕΙΑ Μέθοδος προοδευτικού χρεολυσίου ή Γαλλικό σύστημα Υπολογισμός της δόσης (τοκοχρεολύσιο) Υπολογισμός του χρεολυσίου στο τέλος της μ περιόδου Υπολογισμός του ποσού του κεφαλαίου δανείου που εξοφλήθηκε στο τέλος της περιόδου μ (Ε μ ) Σελ.2/107

3 Υπολογισμός του ποσού του ανεξόφλητου κεφαλαίου δανείου στο τέλος της περιόδου μ (Κ μ ) Υπολογισμός του μέρους των τόκων στο τέλος της περιόδου μ (Ι μ ) Υπολογισμός των συνολικών τόκων του δανείου (Ι) Πίνακες εξυπηρέτησης δανείου Υπολογισμός κεφαλαίου, χρόνου και επιτοκίου Μέθοδος σταθερού χρεολυσίου ή Αμερικάνικο σύστημα ή Sinking Fund Γενικά Υπολογισμός τοκοχρεολυτικής δόσης Πίνακες εξυπηρέτησης δανείου Μέθοδος προοδευτικά μειωμένου τοκοχρεολυσίου ή ίσων μερών κεφαλαίου Γενικά Εξόφληση τοκοχρεολυτικών δανείων πριν από τη λήξη τους ΔΑΝΕΙΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟΥΣ Η ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΑ ΔΑΝΕΙΑ Γενικά Απόσβεση ομολογιακών δανείων στο άρτιο, με την προοδευτική μέθοδο Η σύνταξη του πίνακα απόσβεσης ομολογιακού δανείου Υπολογισμός με αλγεβρικό τρόπο των στοιχείων ομολογιακού δανείου Απόσβεση ομολογιακών δανείων σε τιμή διαφορετική από το άρτιο, με την προοδευτική μέθοδο Η σύνταξη του πίνακα απόσβεσης ομολογιακού δανείου Υπολογισμός με αλγεβρικό τρόπο των στοιχείων ομολογιακού δανείου Λαχειοφόρα ομολογιακά δάνεια που εξοφλούνται τοκοχρεολυτικά στο άρτιο ή σε τιμή διαφορετικά από το άρτιο Γενικά Τεχνικές υπολογισμού των όρων λαχειοφόρου ομολογιακού δανείου 104 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Σελ.3/107

4 Πρόλογος: Σκοπός του μαθήματος Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν την σύνθεση και ενοποίηση των διαλέξεων διδασκαλίας του μαθήματος «Οικονομικά Μαθηματικά», που περιλαμβάνεται στο προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών (ΠΠΣ) του Τμήματος Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος (ΤΕΙ) Κρήτης. Το κείμενο αυτό δεν φιλοδοξεί να αντικαταστήσει τα δόκιμα συγγράμματα της διεθνούς και εθνικής βιβλιογραφίας, που σχετίζονται με το εν λόγω γνωστικό αντικείμενο και ορισμένα από αυτά προτείνονται άλλωστε ως πολλαπλή βιβλιογραφία στο συγκεκριμένο μάθημα του ΠΠΣ του Τμήματος Λογιστικής. Αντίθετα φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα συμπληρωματικό χρήσιμο βοήθημα για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες που παρακολουθούν το συγκεκριμένο μάθημα. Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τα Μαθηματικά Πίστης. Ξεκινώντας από εφαρμογές απλής κεφαλαιοποίησης ο φοιτητής έρχεται σε επαφή με εφαρμογές και υποδείγματα που χρησιμοποιούνται για να αποτιμηθεί η αξία του κεφαλαίου μέσα στο χρόνο. Κατόπιν γίνεται εκτενής αναφορά στην προεξόφληση συναλλαγματικών καθώς και στην οικονομική ισοδυναμία συναλλαγματικών μέσα από τα υποδείγματα της παρούσας και μελλοντικής αξίας. Στη συνέχεια παρουσιάζονται εφαρμογές σύνθετης κεφαλαιοποίησης, ισοδυναμίας επιτοκίων, γραμμικής και εκθετικής συνθήκης αποτίμησης τελικής αξίας κεφαλαίου. Εδώ η αναφορά στην παρούσα και μελλοντική αξία κεφαλαίων είναι πιο εκτενής, με εφαρμογές ισοδυναμίας, προεξόφλησης και αποτίμησης κεφαλαίων, διαχρονικά. Η εισήγηση ολοκληρώνεται με εφαρμογές παρούσας και μελλοντικής αξίας σε σειρές κεφαλαίων (ράντες) και απλά παραδείγματα αποτίμησης παρούσας αξίας ταμειακών εισροών. Στο φροντιστηριακό μέρος του μαθήματος παρουσιάζονται οι σημαντικότερες συναρτήσεις των Οικονομικών Μαθηματικών και οι φοιτητές μαθαίνουν να κατασκευάζουν τύπους υπολογισμού για όλες τις εφαρμογές που παρουσιάζονται στο μάθημα. Ελπίζοντας ότι οι σημειώσεις αυτές θα αποδειχθούν χρήσιμες για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες του Τμήματος, τους ζητούμε εκ των προτέρων την επιείκεια τους για τις παραλείψεις που ενδεχομένως περιλαμβάνονται σε αυτές. Σελ.4/107

5 Γενικά I. Μερισμός Μερισμό ονομάζουμε το χωρισμό ενός αριθμού σε μέρη ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα μιας ή πολλών σειρών αριθμών. Δηλαδή άλλοτε απαιτείται να μερισθεί ένας αριθμός α) σε μέρη ανάλογα μιας σειράς αριθμών, β) σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα μιας σειράς αριθμών, και γ) σε μέρη ανάλογα δυο ή πολλών σειρών αριθμών. α) Μερισμός αριθμού χ σε μέρη ανάλογα μιας σειράς αριθμών α, β, γ Αν πρόκειται να μερισθεί ο αριθμός χ σε τρία μέρη ανάλογα των αριθμών α, β, γ, τότε διαιρούμε τον αριθμό χ με το άθροισμα των α, β, γ, και στην συνέχεια το πηλίκο αυτής της διαίρεσης πολλαπλασιάζουμε με τον κάθε ένα αριθμό χωριστά, για να εξάγουμε τα τρία μέρη του αριθμού χ, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Χ Μέρη αριθμού χ Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: β) Μερισμός αριθμού χ σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα μιας σειράς αριθμών α, β, γ Εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτον, δημιουργούμε τους αντίστροφους αριθμούς των α, β, γ, δηλαδή: Στην συνέχεια, μετατρέπουμε τους αντίστροφους αριθμούς σε ομώνυμα κλάσματα, δηλαδή: Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό χ ανάλογα με τους αριθμητές των κλασμάτων, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Χ Μέρη αριθμού χ Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Σελ.5/107

6 γ) Μερισμός αριθμού χ σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών α, β, γ και δ, ε, ζ Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: αδ, βε, δζ Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό χ ανάλογα με τους αριθμούς αυτούς, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Χ Μέρη αριθμού χ Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Παράδειγμα 1 Να μερισθεί ο αριθμός 72 σε μέρη ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4 Λύση: Μερισμός αριθμού 72 Μέρη αριθμού 72 Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Παράδειγμα 2 Να μερισθεί ο αριθμός 117 σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4 Λύση: Πρώτον, δημιουργούμε τους αντίστροφους αριθμούς των 2, 3, 4, δηλαδή: Στην συνέχεια, μετατρέπουμε τους αντίστροφους αριθμούς σε ομώνυμα κλάσματα, δηλαδή: Σελ.6/107

7 Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό χ ανάλογα με τους αριθμητές των κλασμάτων, δηλαδή: Μερισμός αριθμού 117 Μέρη αριθμού 117 Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Παράδειγμα 3 Να μερισθεί ο αριθμός σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4 και 5, 6, 7. Λύση: Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 2 5=10, 3 6=18, 4 7=28 Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό χ ανάλογα με τους αριθμούς αυτούς, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Μέρη αριθμού Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Παράδειγμα 4 Τα κέρδη για διανομή της ομόρρυθμης επιχείρησης Ζ την τελευταία χρήση ήταν Στο εταιρικό κεφάλαιο της επιχείρησης συμμετέχουν ο Α με , ο Β με , και ο Γ με Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα τριών άλλων αριθμών (των συμμετοχών των Α, Β, Γ). Θα έχουμε δηλαδή: Σελ.7/107

8 Μερισμός κερδών Μέρη κερδών Κέρδη Α εταίρου: Κέρδη Β εταίρου: Κέρδη Γ εταίρου: Παράδειγμα 5 Τα κέρδη για διανομή της ομόρρυθμης επιχείρησης Ζ την τελευταία χρήση ήταν Στο εταιρικό κεφάλαιο της επιχείρησης συμμετέχουν ο Α με , ο Β με , και ο Γ με Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα τριών άλλων αριθμών (των συμμετοχών των Α, Β, Γ). Θα έχουμε δηλαδή: Μερισμός κερδών Μέρη κερδών Κέρδη Α εταίρου: Κέρδη Β εταίρου: Κέρδη Γ εταίρου: Παράδειγμα 6 Ο Α ίδρυσε την 1/2 μια επιχείρηση με κεφάλαιο Την 1/6 συμφώνησε να συνεταιρισθεί με το Β, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης Την 1/9 συμφώνησαν και οι υο τους να συνεταιρισθούν με το Γ, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης Στο τέλος της χρήσης η επιχείρηση παρουσίασε κέρδη για διανομή Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα τριών άλλων αριθμών (των μηνών συμμετοχής στην επιχείρηση των Α, Β, Γ), επειδή οι τελευταίοι συμμετέχουν με ίσια ποσά στο εταιρικό κεφάλαιο. Δηλαδή πρέπει να γίνει ο μερισμός του αριθμού σε μέρη ανάλογα των αριθμών 11, 7, 4 (οι μήνες συμμετοχής των Α, Β, Γ στην επιχείρηση). Θα έχουμε δηλαδή: Σελ.8/107

9 Μερισμός κερδών Μέρη κερδών Κέρδη Α εταίρου: Κέρδη Β εταίρου: Κέρδη Γ εταίρου: Παράδειγμα 7 Ο Α ίδρυσε την 1/3 μια επιχείρηση με κεφάλαιο Την 1/4 συμφώνησε να συνεταιρισθεί με το Β, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης Την 1/6 συμφώνησαν και οι δυο τους να συνεταιρισθούν με το Γ, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση Στο τέλος της χρήσης η επιχείρηση παρουσίασε κέρδη για διανομή Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους. Λύση: Επειδή οι τρεις συνέταιροι συμμετέχουν με διαφορετικά ποσά στο εταιρικό κεφάλαιο αφενός και αφετέρου έχουν διαφορετικό χρόνο συμμετοχής στην επιχείρηση, η διανομή των κερδών σε αυτούς θα γίνει ανάλογα και των διαφορετικών ποσών συμμετοχής τους και του διαφορετικού χρόνου συμμετοχής τους. Το πρόβλημα δηλαδή έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή ) σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών, των ποσών συμμετοχής (68.000, , ) και των μηνών συμμετοχής των τριών εταίρων (10, 9, 7). Θα έχουμε επομένως: Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: =68.000, =27.000, = Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό ανάλογα με τους αριθμούς αυτούς, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Μέρη αριθμού Πρώτο μέρος: Δεύτερο μέρος: Τρίτο μέρος: Σελ.9/107

10 Παράδειγμα 8 Για την εκτέλεση ενός έργου εργάσθηκαν 4 εργάτες, οι Α, Β, Γ, Δ. Ο Α εξεργάσθηκε 12 ημέρες με 8 ώρες ημερήσια απασχόληση, ο Β εργάσθηκε 10 ημέρες με 7 ώρες ημερήσια απασχόληση, ο Γ εργάσθηκε 8 ημέρες με 9 ώρες ημερήσια απασχόληση και ο Δ εργάσθηκε 3 ημέρες με 4 ώρες ημερήσια απασχόληση. Το σύνολο της αμοιβής τους είναι Ζητείται να υπολογισθεί η αμοιβή κάθε εργάτη χωριστά. Λύση: Επειδή οι 4 εργάτες εργάσθηκαν διαφορετικές ημέρες αφενός και αφετέρου με διαφορετικές ώρες ημερήσιας απασχόλησης, η διανομή της συνολικής αμοιβής σε αυτούς θα γίνει ανάλογα και των διαφορετικών ημερών εργασίας και των διαφορετικών ωρών ημερήσιας απασχόλησης τους. Το πρόβλημα δηλαδή έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (συνολική αμοιβή 1.350) σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών, των ημερών απασχόλησης (12, 10, 8, 3) και των ωρών ημερήσιας απασχόλησης (8, 7, 9, 4). Θα έχουμε επομένως: Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 12 8=96, 10 7=70, 8 9=72, 3 4=12 Τέλος, μερίζουμε τον αριθμό ανάλογα με τους αριθμούς αυτούς, δηλαδή: Μερισμός αριθμού Μέρη αριθμού Α εργάτης: Β εργάτης: Γ εργάτης: Δ εργάτης: Σελ.10/107

11 II. Η χρονική αξία του χρήματος Η έκφραση χρονική αξία του χρήματος χρησιμοποιείται στα οικονομικά, διότι η αξία μιας δεδομένης ποσότητας χρήματος μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του χρόνου. Για παράδειγμα, αν αγοράσουμε ένα ομόλογο διάρκειας ενός έτους σε ονομαστική αξία 100 ευρώ και επιτόκιο 4% τότε δεν έχουμε πλέον αυτά τα 100 ευρώ σήμερα αλλά θα έχουμε 104 ευρώ σε ένα χρόνο. Επομένως 100 ευρώ είναι η σημερινή προεξοφλημένη αξία των «104 ευρώ σε ένα χρόνο». Ομοίως, η παρούσα αξία ενός ποσού πχ 100 ευρώ σε ένα χρόνο θα είναι ίση με την αγοραστική αξία που θα έχει αυτό το ποσό σε ένα χρόνο, πχ για ετήσιο πληθωρισμό 4% θα είναι 100/1,04=96 ευρώ και 15 λεπτά. Η έννοια της χρονικής αξίας του χρήματος είναι δηλαδή συνδεδεμένη με την έννοια του τόκου (ή του πληθωρισμού) και αυτού που οι οικονομολόγοι ονομάζουν κόστος ευκαιρίας του χρήματος. Βασικές μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στη μελέτη και την επίλυση των προβλημάτων για τη χρονική αξία του χρήματος είναι το κεφάλαιο, ο χρόνος, ο τόκος και το επιτόκιο. Κεφάλαιο (K) είναι κάθε οικονομικό αγαθό που μετράται σε χρηματικές μονάδες και χρησιμοποιείται για «παραγωγικούς» σκοπούς. Χρόνος (t) λέγεται το χρονικό διάστημα της παραγωγικής χρησιμοποίησης του κεφαλαίου. Τόκος (I) λέγεται η αύξηση του κεφαλαίου, κατά το χρονικό διάστημα της παραγωγικής του ικανότητας. Επιτόκιο (i) είναι ο τόκος μιας νομισματικής μονάδας στη μονάδα του χρόνου. Το άθροισμα C+I, που προκύπτει από την ενσωμάτωση του τόκου I στο κεφάλαιο C λέγεται τελική αξία ή μελλοντική αξία του κεφαλαίου και συμβολίζεται με FV (future value). Η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο από το οποίο προέκυψε λέγεται κεφαλαιοποίηση. Υπάρχουν δύο συστήματα κεφαλαιοποίησης σε ευρεία χρήση, ανάλογα με το πότε προκύπτει η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο : Απλή κεφαλαιοποίηση ή απλός τόκος (simple interest) είναι εκείνο το σύστημα στο οποίο ο τόκος ενσωματώνεται στο κεφάλαιο μόνο στο τέλος του χρονικού διαστήματος που το κεφάλαιο έχει επενδυθεί. Σύνθετη κεφαλαιοποίηση ή ανατοκισμός (compound interest) ονομάζεται το σύστημα στο οποίο ο τόκος κεφαλαιοποιείται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου στην οποία υποδιαιρείται το χρονικό διάστημα επένδυσης. Σελ.11/107

12 Μέρος Πρώτο: Βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις Οι βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις έχουν συνήθως διάρκεια από τρεις μήνες έως ένα έτος. Στο πλαίσιο τους λύνονται προβλήματα δανεισμού ή καταθέσεων (όπου ισχύει ο απλός τοκισμός), προεξόφλησης και ισοδυναμίας γραμματίων. 1. Απλός Τόκος Ο απλός τόκος είναι ανάλογος του κεφαλαίου, του επιτοκίου και του χρόνου. Επομένως ο τύπος υπολογισμού του δίνεται από τη σχέση: όπου: I = ο απλός τόκος Κ 0 = το αρχικό κεφάλαιο i = το επιτόκιο η = ο χρόνος Το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου ονομάζεται τελική αξία, συμβολίζεται με K n και δίνεται από τη σχέση: Οι παραπάνω τύποι υπολογισμού του τόκου ή της τελικής αξίας εξ ορισμού αποτελούν τη βάση για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος σχετικού με βραχυχρόνιες οικονομικές πράξεις. Δηλαδή ανάλογα με το τι θα ζητείται κάθε φορά σε ένα πρόβλημα, θα ξεκινάμε με αυτό το τύπο αρκεί το επιτόκιο και η χρονικά διάρκεια της οικονομικής πράξης (δανεισμός ή κατάθεση) να εκφράζονται σε ετήσια βάση. Διαφορετικά αν τα δύο αυτά μεγέθη, επιτόκιο και χρόνος, δίδονται σε διαφορετική χρονική βάση, τότε πρέπει πάντα να προσαρμόζεται το μέγεθος που δίδεται σε χρονική βάση μικρότερου του έτους, σε ετήσια βάση. Δηλαδή: Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε μήνες, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των μηνών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=μ/12, όπου μ ο αριθμός των μηνών διάρκειας της οικονομικής πράξης. Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε αριθμό ημερών, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των ημερών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=v/360, όπου v ο αριθμός των ημερών διάρκειας της οικονομικής πράξης. Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε μηνιαία βάση και ο χρόνος του δανείου σε έτη, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή του επιτοκίου σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το i με 12/m, όπου m ο αριθμός των μηνών του επιτοκίου. Μετά από αυτές τις προσαρμογές του βασικού τύπου του απλού τόκου ή της τελικής αξίας, θα τους επιλύουμε ως προς ένα από τα μεγέθη τους που αποτελούν το ζητούμενο του κάθε προβλήματος. Σελ.12/107

13 Παράδειγμα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου , το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 8 μήνες. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε μήνες. Επομένως θα τη μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 2 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου , το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 10% για 1 χρόνο και 4 μήνες. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες. Επομένως θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 3 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου , το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με εξαμηνιαίο 12% για 1 χρόνο. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και το επιτόκιο σε μηνιαία βάση. Επομένως θα μετατρέψουμε το επιτόκιο σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το στον παραπάνω με λ, όπου λ ο λόγος 12 αριθμό μηνών του επιτοκίου, Δηλαδή: Σελ.13/107

14 Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 4 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου , το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με τριμηνιαίο επιτόκιο 3% για 1 χρόνο και 3 μήνες. Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες και το επιτόκιο σε μηνιαία βάση. Επομένως θα μετατρέψουμε το επιτόκιο σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το στον παραπάνω τύπο με λ, όπου λ ο λόγος 12 αριθμό μηνών του επιτοκίου και επίσης θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου , το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 8% για 18 μήνες. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε μήνες. Επομένως θα μετατρέψουμε τους μήνες σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Άρα ο τόκος θα είναι: Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : Σελ.14/107

15 Παράδειγμα 6 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου , το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 10% για 1 χρόνο και 2 μήνες. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες. Επομένως θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Άρα ο τόκος θα είναι: Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 7 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου , το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με εξαμηνιαίο 4% για 1 χρόνο. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι το επιτόκιο δίδεται σε μηνιαία βάση και η χρονική διάρκεια δίδεται σε ετήσια βάση. Επομένως θα μετατρέψουμε το επιτόκιο σε ετήσιο πολλαπλασιάζοντας το στον παραπάνω τύπο με λ, όπου λ ο λόγος 12 αριθμό μηνών του επιτοκίου. Δηλαδή: Άρα ο τόκος θα είναι: Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : Σελ.15/107

16 Παράδειγμα 8 Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με τετραμηνιαίο επιτόκιο 2,5% για 1 χρόνο και 5 μήνες. Λύση Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο. Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες και το επιτόκιο σε μηνιαία βάση. Επομένως θα μετατρέψουμε το επιτόκιο σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το στον παραπάνω τύπο με λ, όπου λ ο λόγος 12 αριθμό μηνών του επιτοκίου, και επίσης θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε : Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : Παράδειγμα 9 Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο για 18 μήνες, θα αποκτήσει τελική αξία Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε μήνες. Επομένως θα μετατρέψουμε τους μήνες σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Στην συνέχεια επειδή το ζητούμενο είναι το επιτόκιο, επιλύουμε τον παραπάνω τύπο ως προς αυτό, δηλαδή: Επομένως το επιτόκιο θα είναι: Σελ.16/107

17 Παράδειγμα 10 Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο για 1 χρόνο και 3 μήνες θα αποκτήσει τελική αξία Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια δίδεται σε έτη και μήνες. Επομένως θα εκφράσουμε ολόκληρη τη χρονική διάρκεια σε μήνες και θα την μετατρέψουμε σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου το μ/12. Δηλαδή: Στην συνέχεια επειδή το ζητούμενο είναι το επιτόκιο, επιλύουμε τον παραπάνω τύπο ως προς αυτό, δηλαδή: Επομένως το επιτόκιο θα είναι: Παράδειγμα 11 Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο από 10/4 έως 24/10 θα αποκτήσει τελική αξία Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Παρατηρούμε ότι η χρονική διάρκεια ορίζεται με ημερομηνίες, δηλαδή σε αντίστοιχο αριθμό ημερών. Επομένως θα μετατρέψουμε τις ημέρες σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου ν/360. Δηλαδή: Στην συνέχεια επειδή το ζητούμενο είναι το επιτόκιο, επιλύουμε τον παραπάνω τύπο ως προς αυτό, δηλαδή: Πριν εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο, υπολογίζουμε τον αριθμό των ημερών, ως εξής: ΜΗΝΕΣ ΣΥΝΟΛΟ ΗΜΕΡΕΣ 30-9= Σελ.17/107

18 Επομένως το επιτόκιο θα είναι: Παράδειγμα 12 Να βρεθεί το χρονικό διάστημα κατά το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο με ετήσιο επιτόκιο 7,5 %, θα αποκτήσει τελική αξία Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Επειδή ισχύει ετήσιο επιτόκιο, θα επιλύσουμε τον παραπάνω τύπο απευθείας ως προς η, δηλαδή: Επομένως το χρονικό διάστημα θα είναι: Παράδειγμα 13 Να βρεθεί το χρονικό διάστημα κατά το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο με εξαμηνιαίο επιτόκιο 3,5%, θα αποκτήσει τελική αξία Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Επειδή ισχύει εξαμηνιαίο επιτόκιο, θα πολλαπλασιάσουμε στον παραπάνω τύπο το επιτόκιο με λ, όπου λ ο λόγος 12 μήνες επιτοκίου, και στην συνέχεια θα τον επιλύσουμε ως προς η, δηλαδή: Επομένως το χρονικό διάστημα θα είναι: Σελ.18/107

19 Παράδειγμα 14 Αν ένα κεφάλαιο κατατεθεί στις 20/4 με εξαμηνιαίο επιτόκιο 8%, να υπολογισθεί η ημερομηνία που θα αποκτήσει τελική αξία Λύση Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου: Ισχύει εξαμηνιαίο επιτόκιο αφενός και αφετέρου η χρονική διάρκεια ορίζεται με ημερομηνίες, δηλαδή σε αντίστοιχο αριθμό ημερών. Επομένως θα μετατρέψουμε τις ημέρες σε κλάσμα του έτους θέτοντας στον παραπάνω τύπο στη θέση του χρόνου ν/360 και θα πολλαπλασιάσουμε επίσης το επιτόκιο με λ, όπου λ ο λόγος 12 μήνες επιτοκίου. Δηλαδή: Επειδή δε ζητείται η ημερομηνία λήξης της κατάθεσης, απαιτείται ο υπολογισμός των ημερών κατάθεσης, οπότε επιλύουμε τον παραπάνω τύπο ως προς v, δηλαδή: Άρα οι ημέρες κατάθεσης θα είναι: Επομένως η ημερομηνία λήξης βρίσκεται ως εξής: ΜΗΝΕΣ ΣΥΝΟΛΟ ΗΜΕΡΕΣ 30-19= > Ημερομηνία λήξης: 27/9 Σελ.19/107

20 2. Προεξόφληση συναλλαγματικών σε διαταγή (γραμματίων) Οι σύγχρονες συναλλαγές έχουν σαν βασικό χαρακτηριστικό τους την μερική ή ολική αντικατάσταση του χρήματος με την πίστη. Δηλαδή στο σύνολο σχεδόν των συναλλαγών, οι συναλλασσόμενοι δεν συναλλάσσονται πλέον αποκλειστικά με μετρητά, αλλά και επί πιστώσει χωρίς τη μεσολάβηση του χρήματος. Με τις επί πιστώσει συναλλαγές δημιουργείται η έννοια της απαίτησης. Αυτή συνήθως παίρνει την μορφή της συναλλαγματικής εις διαταγή (γραμματίου), η οποία εκδίδεται από τον εκδότη (πωλητή) και αποτελεί εντολή προς τον οφειλέτη (πελάτη) να πληρώσει το αναγραφόμενο ποσό σε ορισμένο τόπο και χρόνο. Οι εκδότες - κάτοχοι γραμματίων με οφειλέτες τους πελάτες τους ενεργούν με τους εξής τρόπους: Τοποθετούν τα γραμμάτια σε ασφαλές μέρος και περιμένουν να λήξουν για να εισπράξουν το αναγραφόμενο ποσό από τους οφειλέτες τους. Μεταβιβάζουν με οπισθογράφηση τα γραμμάτια που κατέχουν σε τρίτους, οπότε μεταβιβάζουν και την απαίτηση τους. Αναθέτουν σε τράπεζα να εισπράξει τα αναγραφόμενα ποσά των γραμματίων που κατέχουν έναντι προμήθειας. Στη περίπτωση που έχουν ανάγκη χρημάτων, ρευστοποιούν τα γραμμάτια που κατέχουν σε τράπεζα, οπότε τους παρακρατούνται οι τόκοι που αντιστοιχούν στο χρονικό διάστημα από την ημέρα της ρευστοποίησης του γραμματίου μέχρι τη λήξη του. Η ρευστοποίηση αυτή λέγεται προεξόφληση. Οι τόκοι δε που παρακρατούνται από την τράπεζα κατά την ρευστοποίηση των γραμματίων ονομάζονται προεξόφλημα. Το προεξόφλημα υπολογίζεται με τους εξής δυο μεθόδους: 1) Βάση της Ονομαστικής Αξίας (Κ), δηλαδή του ποσού που αναγράφεται στο γραμμάτιο και εισπράττεται κατά τη λήξη του. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται Εξωτερική Προεξόφληση και το προεξόφλημα που παρακρατείται από την τράπεζα Εξωτερικό Προεξόφλημα (Ε). 2) Βάση της Παρούσας Αξίας (Α), δηλαδή του ποσού που εισπράττεται κατά την προεξόφληση του γραμμάτιου. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται Εσωτερική Προεξόφληση και το προεξόφλημα που παρακρατείται από την τράπεζα Εσωτερικό Προεξόφλημα (Ε ). 2.1 Βασικοί τύποι προεξόφλησης γραμματίων α) Υπολογισμός εξωτερικού προεξοφλήματος συναρτήσει της ονομαστικής αξίας Σύμφωνα με τον προαναφερθέντα ορισμό της εξωτερικής προεξόφλησης, το εξωτερικό προεξόφλημα υπολογίζεται βάση της ονομαστικής αξίας του γραμματίου αφενός και αφετέρου επειδή αποτελεί στην ουσία παρακρατηθέντα τόκο, λαμβάνεται υπόψη το επιτόκιο προεξόφλησης και το χρονικό διάστημα από την ημέρα προεξόφλησης του γραμματίου έως την ημέρα λήξη του. Δηλαδή ο τύπος υπολογισμού του είναι ανάλογος του τύπου του απλού τόκου, όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες. Θα είναι δηλαδή: Σελ.20/107

21 όπου: Κ= η ονομαστική αξία του γραμματίου ν= οι ημέρες προεξόφλησης, δηλαδή ο αριθμός ημερών από την ημέρα προεξόφλησης, μέχρι την ημέρα λήξης του γραμματίου i= το επιτόκιο προεξόφλησης Για την απλούστευση του τύπου, αν διαιρέσουμε αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος με i θα έχουμε: Στην συνέχεια απαλείφοντας το i από τον αριθμητή και θέτοντας όπου Δ Διαιρέτης ο αρχικός τύπος γίνεται: Με βάση τον προαναφερθέντα βασικό τύπο ορισμού εξάγονται όλοι οι αναγκαίοι τύποι υπολογισμού, που εφαρμόζονται στην επίλυση προβλημάτων εξωτερικής προεξόφλησης γραμματίων, όπου κάθε φορά το ζητούμενο θα είναι είτε το προεξόφλημα, είτε η ονομαστική αξία, είτε η παρούσα αξία, είτε ο χρόνος προεξόφλησης. Δεν υπάρχει δηλαδή λόγος αποστήθισης πολλών τύπων, απλώς απαιτείται πρακτική εξάσκηση στην επίλυση προβλημάτων εξωτερικής προεξόφλησης γραμματίων. β) Υπολογισμός εσωτερικού προεξοφλήματος συναρτήσει της παρούσας αξίας Σύμφωνα με τον προαναφερθέντα ορισμό της εσωτερικής προεξόφλησης, το εσωτερικό προεξόφλημα υπολογίζεται βάση της παρούσας αξίας του γραμματίου (του ποσού που εισπράττεται κατά την προεξόφληση) αφενός και αφετέρου επειδή αποτελεί στην ουσία παρακρατηθέντα τόκο, λαμβάνεται υπόψη το επιτόκιο προεξόφλησης και το χρονικό διάστημα από την ημέρα προεξόφλησης του γραμματίου έως την ημέρα λήξη του. Δηλαδή ο τύπος υπολογισμού του είναι ανάλογος του τύπου του απλού τόκου, όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες. Θα είναι δηλαδή: όπου: A= η παρούσα αξία του γραμματίου ν= οι ημέρες προεξόφλησης, δηλαδή ο αριθμός ημερών από την ημέρα προεξόφλησης, μέχρι την ημέρα λήξης του γραμματίου i= το επιτόκιο προεξόφλησης Για την απλούστευση του τύπου, αν διαιρέσουμε αριθμητή και παρανομαστή του κλάσματος με i θα έχουμε: Σελ.21/107

22 Στην συνέχεια απαλείφοντας το i από τον αριθμητή και θέτοντας όπου Δ Διαιρέτης ο αρχικός τύπος γίνεται: Με βάση τον προαναφερθέντα βασικό τύπο ορισμού εξάγονται όλοι οι αναγκαίοι τύποι υπολογισμού, που εφαρμόζονται στην επίλυση προβλημάτων εσωτερικής προεξόφλησης γραμματίων, όπου κάθε φορά το ζητούμενο θα είναι είτε το προεξόφλημα, είτε η ονομαστική αξία, είτε η παρούσα αξία, είτε ο χρόνος προεξόφλησης. Δεν υπάρχει δηλαδή λόγος αποστήθισης πολλών τύπων, απλώς απαιτείται πρακτική εξάσκηση στην επίλυση προβλημάτων εσωτερικής προεξόφλησης γραμματίων. Παράδειγμα 1 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη του εμπορεύματα αξίας Συμφώνησαν μεταξύ τους να εκδώσει ο πρώτος στο δεύτερο δυο γραμμάτια με αντίστοιχες λήξεις στις 30/4 και 30/6. Με δεδομένο ότι, ο έμπορος σκοπεύει να προεξοφλήσει στις 15/3 σε τράπεζα τα δυο γραμμάτια και να λάβει κατά την προεξόφληση του καθενός τη μισή αξία του εμπορεύματος που πούλησε, να υπολογισθούν τα προεξοφλήματα και οι ονομαστικές αξίες που αναγράφονται στα δυο γραμμάτια και με τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 10% και εμπορικό έτος, δηλαδή σύνολο ημερών έτους 360 και 30 ημέρες όλοι οι μήνες του έτους. Λύση 1) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής αξίας Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/4 με εξωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε το προεξόφλημα και την ονομαστική αξία του γραμματίου συναρτήσει της παρούσας αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την προεξόφληση του τη μισή αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει να στον προαναφερόμενο τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της παρούσας αξίας, θέτοντας όπου Κ=Α+Ε,, διότι η ονομαστική αξία είναι ίση με το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α) συν τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε). Τότε θα έχουμε: Σελ.22/107

23 Για την εφαρμογή του παραπάνω τύπου, καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-14= Στην συνέχεια υπολογίζουμε τον διαιρέτη Δ, δηλαδή: Ακολούθως για τον υπολογισμό του προεξοφλήματος θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: Άρα η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε= ,36=2.532,36. 2) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/6 με εξωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμόσουμε τον ίδιο τύπο. Καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-14= Ισχύει ο ίδιος διαιρέτης όπως και προηγουμένως, Δ=3.600 Ακολούθως για τον υπολογισμό του προεξοφλήματος θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: Άρα η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε= ,84=2.575,84. Σελ.23/107

24 3) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/4 με εσωτερική προεξόφληση. Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε το προεξόφλημα και την ονομαστική αξία του γραμματίου συναρτήσει της παρούσας αξίας του, θα εφαρμοσθεί απευθείας ο βασικός τύπος του εσωτερικού προεξοφλήματος: Ισχύουν οι 46 ημέρες προεξόφλησης και Δ=3.600 Άρα το προεξόφλημα θα είναι: Επομένως η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε= ,94=2.531,94. 4) Υπολογισμός του προεξοφλήματος Ε και της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/6 με εσωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως εφαρμόζεται ο ίδιος τύπος. Ισχύουν οι 106 ημέρες προεξόφλησης και Δ=3.600 Άρα το προεξόφλημα θα είναι: Επομένως η ονομαστική αξία του εν λόγω γραμματίου θα είναι: Κ=Α+Ε= ,94=2.573,61. Παράδειγμα 2 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη του εμπορεύματα αξίας Συμφώνησαν μεταξύ τους να εκδώσει ο πρώτος στο δεύτερο δυο γραμμάτια με αντίστοιχες λήξεις στις 30/5 και 30/8. Με δεδομένο ότι, ο έμπορος σκοπεύει να προεξοφλήσει στις 20/3 σε τράπεζα τα δυο γραμμάτια και να λάβει κατά την προεξόφληση του καθενός τη μισή αξία του εμπορεύματος που πούλησε, να υπολογισθούν οι ονομαστικές αξίες που αναγράφονται στα δυο γραμμάτια και με τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 8% και εμπορικό έτος. Λύση 1) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/5 με εξωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την ονομαστική αξία του γραμματίου συναρτήσει της παρούσας αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την Σελ.24/107

25 προεξόφληση του τη μισή αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει αρχικά να στον προαναφερόμενο τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της παρούσας αξίας, θέτοντας όπου Κ=Α+Ε, δηλαδή: Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την ονομαστική αξία του γραμματίου, επειδή η ονομαστική αξία είναι ίση με το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α) συν τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Κ=Α+Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Για την εφαρμογή του παραπάνω τύπου, καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-19= Στην συνέχεια υπολογίζουμε τον διαιρέτη Δ, δηλαδή: Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: 2) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/8 με εξωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος. Καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-19= Ισχύει Δ=4.500 Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα έχουμε: Σελ.25/107

26 3) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/5 με εσωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος: Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την ονομαστική αξία του γραμματίου, επειδή η ονομαστική αξία είναι ίση με το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α) συν τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Κ=Α+Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Ισχύουν 71 ημέρες προεξόφλησης και Δ=4.500 Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα έχουμε: 4) Υπολογισμός της ονομαστικής Κ του γραμματίου που έχει λήξη στις 30/8 με εσωτερική προεξόφληση. Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμόσουμε τον ίδιο τύπο. Ισχύουν 161 ημέρες προεξόφλησης και Δ=4.500 Ακολούθως για τον υπολογισμό της ονομαστικής αξίας θα εφαρμοσθεί ο τύπος που το υπολογίζει συναρτήσει της παρούσας αξίας, δηλαδή: Παράδειγμα 3 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη ένα εμπόρευμα και για το λόγο αυτό έκδωσε δύο γραμμάτια ονομαστικών αξιών 400 και 600 με λήξεις στις 30/7 και 25/8 αντίστοιχα. Με δεδομένο ότι ο έμπορος θα προεξοφλήσει και τα δύο γραμμάτια σε τράπεζα στις 18/3, να υπολογισθεί η αξία του εμπορεύματος λαμβάνοντας υπόψη και τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί επίσης υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 6% και εμπορικό έτος. Λύση Θεωρούμε ότι, τα ποσά που θα εισπράξει ο έμπορος κατά την προεξόφληση των δύο γραμματίων αποτελούν αθροιζόμενα την αξία του εμπορεύματος. Επομένως θα πρέπει να υπολογισθούν οι παρούσες αξίες των δύο γραμματίων, όπως ακολουθεί: α) Υπολογισμός των παρουσών αξιών με εξωτερική προεξόφληση α1) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του πρώτου γραμματίου Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Σελ.26/107

27 Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την παρούσα αξία του γραμματίου, επειδή η παρούσα αξία, το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α), είναι ίση με την ονομαστική αξία μείον τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Α=Κ-Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας, καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-17= Στην συνέχεια υπολογίζουμε το διαιρέτη Δ, δηλαδή: Ακολούθως η παρούσα αξία με εφαρμογή του προαναφερόμενου τύπου θα είναι: α2) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του δεύτερου γραμματίου Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμόσουμε τον προαναφερόμενο τύπο. Καταρχήν υπολογίζουμε τις ημέρες προεξόφλησης όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-17= Ισχύει Δ=6.000 Ακολούθως για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας θα εφαρμοσθεί όπως και προηγουμένως ο τύπος που το υπολογίζει συναρτήσει της ονομαστικής αξίας, δηλαδή: Άρα η αξία του εμπορεύματος είναι το άθροισμα των δύο παρουσών αξιών όπως προαναφέραμε, δηλαδή 391,13+584,20=975,33 Σελ.27/107

28 β) Υπολογισμός των παρουσών αξιών με εσωτερική προεξόφληση β1) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του πρώτου γραμματίου Ξεκινάμε με το βασικό τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την παρούσα αξία του γραμματίου συναρτήσει της ονομαστικής αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την προεξόφληση του τη μισή αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει αρχικά στον προαναφερόμενο τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της ονομαστικής αξίας, θέτοντας όπου Α=Κ-Ε, δηλαδή: Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει την παρούσα αξία του γραμματίου, επειδή η παρούσα αξία, το ποσό που εισπράττεται στην προεξόφληση (Α), είναι ίση με την ονομαστική αξία μείον τον τόκο που παρακρατείται από την τράπεζα (Ε), θα ισχύει: Α=Κ-Ε. Αν θέσουμε στη σχέση αυτή στη θέση του Ε τον προαναφερόμενο τύπο, τότε θα έχουμε: Ισχύουν ημέρες προεξόφλησης 133 και Δ=6.000 Για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας θα εφαρμοσθεί ο προαναφερόμενος τύπος, δηλαδή: β2) Υπολογισμός της παρούσας αξίας του πρώτου γραμματίου Ομοίως όπως και προηγουμένως θα εφαρμοσθεί ο ίδιος τύπος. Ισχύουν ημέρες προεξόφλησης 158 και Δ=6.000 Για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας θα εφαρμοσθεί όπως και προηγουμένως ο τύπος που το υπολογίζει συναρτήσει της ονομαστικής αξίας, δηλαδή: Άρα η αξία του εμπορεύματος είναι το άθροισμα των δύο παρουσών αξιών όπως προαναφέραμε, δηλαδή 391,33+584,61=975,94 Σελ.28/107

29 Παράδειγμα 4 Ένας έμπορος πούλησε επί πιστώσει σε ένα πελάτη ένα εμπόρευμα αξίας 500. Για το λόγο αυτό έκδωσε ένα γραμμάτιο ονοματικής αξίας μεγαλύτερης κατά 20 από την αξία του εμπορεύματος. Ποια ημερομηνία λήξης πρέπει να έχει το γραμμάτιο, ώστε αν ο έμπορος το προεξοφλήσει σε τράπεζα στις 18/3 να εισπράξει την αξία του εμπορεύματος. Να υπολογισθεί η ημερομηνία λήξης του γραμματίου, λαμβάνοντας υπόψη και τις δυο μεθόδους προεξόφλησης. Να ληφθεί επίσης υπόψη ότι, η τράπεζα εφαρμόζει επιτόκιο προεξόφλησης 9% και εμπορικό έτος. Λύση 1) Υπολογισμός της ημερομηνίας λήξης του γραμματίου με εξωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με τον βασικό τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την ημερομηνία λήξης του γραμματίου, δηλαδή τις ημέρες προεξόφλησης του, συναρτήσει της παρούσας αξίας του (ο έμπορος σκοπεύει να εισπράξει κατά την προεξόφληση του την αξία του εμπορεύματος), θα πρέπει αρχικά στον προαναφερόμενο τύπο του εξωτερικού προεξοφλήματος να εκφράσουμε το προεξόφλημα συναρτήσει της παρούσας αξίας, θέτοντας όπου Κ=Α+Ε, δηλαδή: Στην συνέχεια προκειμένου να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει τις ημέρες προεξόφλησης του γραμματίου, επιλύουμε τον προαναφερόμενο τύπο ως προς ν και θα έχουμε: Πριν την εφαρμογή του παραπάνω τύπου υπολογίζουμε το προεξόφλημα Ε από τη γνωστή σχέση Ε=Κ-Α=>Ε= =20 Επίσης υπολογίζεται ο διαιρέτης Δ: Άρα οι ημέρες προεξόφλησης θα είναι: Επομένως η ημερομηνία λήξης βρίσκεται, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Σελ.29/107

30 Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-17= > Ημερομηνία Λήξης: 21/8 2) Υπολογισμός της ημερομηνίας λήξης του γραμματίου με εσωτερική προεξόφληση. Ξεκινάμε με τον βασικό τύπο του εσωτερικού προεξοφλήματος: Επειδή μας ζητείται να υπολογίσουμε την ημερομηνία λήξης του γραμματίου, δηλαδή τις ημέρες προεξόφλησης του συναρτήσει της παρούσας αξίας του, θα πρέπει να εξάγουμε τον τύπο που υπολογίζει τις ημέρες προεξόφλησης του γραμματίου, αν επιλύουμε απευθείας τον προαναφερόμενο τύπο ως προς ν. Θα έχουμε: Ισχύουν όπως προηγουμένως Ε=20 και Δ=4000 Άρα οι ημέρες προεξόφλησης θα είναι: Επομένως η ημερομηνία λήξης βρίσκεται, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Μήνες Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σύνολο ημερών Ημέρες 30-17= > Ημερομηνία Λήξης: 27/8 Σελ.30/107

31 3. Αντικατάσταση συναλλαγματικών εις διαταγή (γραμματίων) Όπως έχουμε προαναφέρει στις προεξοφλήσεις γραμματίων, υπάρχουν περιπτώσεις που ο εκδότης γραμματίων (πωλητής) δεν προεξοφλεί τα γραμμάτια που του οφείλουν οι πελάτες του, αλά τα κρατά και περιμένει να εξοφληθούν από τους οφειλέτες τους όταν λήγουν. Σε τέτοιες περιπτώσεις συμβαίνει πολλές φορές οι οφειλέτες γραμματίων να ζητήσουν, προκειμένου να διευκολυνθούν, την αντικατάσταση των γραμματίων που ήδη οφείλουν με νέα γραμμάτια. Η αντικατάσταση των γραμματίων στηρίζεται στην αρχή της οικονομικής ισοδυναμίας. Δηλαδή τα αντικαθιστάμενα γραμμάτια πρέπει να είναι οικονομικώς ισοδύναμα με αυτά που τα αντικαθιστούν. Για να επιτευχθεί αυτό πρέπει, το άθροισμα των παρουσών αξιών των αντικαθιστάμενων γραμματίων να ισούται με το άθροισμα των παρουσών αξιών των νέων γραμματίων, σε ορισμένη χρονική στιγμή και με το ίδιο επιτόκιο. Η χρονική στιγμή κατά την οποία το άθροισμα των παρουσών αξιών των αντικαθιστάμενων γραμματίων είναι ίσο με το άθροισμα των παρουσών αξιών των νέων γραμματίων, ονομάζεται εποχή ισοδυναμίας. Συνήθως ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η ημέρα υπολογισμού, δηλαδή η ημέρα κατά την οποία γίνεται η αντικατάσταση των γραμματίων. Στις περιπτώσεις όμως που αντικαθίστανται πολλά γραμμάτια με ένα νέο μόνο, ή που αντικαθίσταται ένα γραμμάτιο με πολλά νέα, τότε είναι πιθανόν ως εποχή ισοδυναμίας να ληφθεί η ημέρα λήξης του ενός γραμματίου είτε του νέου που αντικαθιστά τα πολλά γραμμάτια, είτε αυτού που έχει ήδη εκδοθεί και αντικαθίσταται με πολλά νέα γραμμάτια. Σε αυτές τις περιπτώσεις ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η κοινή λήξη δηλ. η ημέρα λήξης του ενός γραμματίου. 3.1 Χρήσιμοι τύποι επίλυσης προβλημάτων αντικατάστασης γραμματίων. Σύμφωνα με την προαναφερόμενη αρχή της οικονομικής ισοδυναμίας ισχύει: όπου: Α 1, Α 2,...Α ν : οι παρούσες αξίες των γραμματίων που αντικαθίστανται. Α 1, Α 2,...Α ν : οι παρούσες αξίες των νέων γραμματίων. Η παραπάνω σχέση επεξεργάζεται περαιτέρω ως εξής: Δηλαδή η παρούσα αξία ενός γραμματίου θα είναι ίση με τη διαφορά της ονομαστικής αξίας του και του προεξοφλήματος του, όταν η ημέρα λήξης του είναι μεταγενέστερη χρονικά της ημέρας αντικατάστασης. Όταν όμως η ημέρα λήξης ενός γραμματίου είναι προγενέστερη χρονικά της ημέρας αντικατάστασης, τότε η παρούσα αξία του θα είναι ίση με το άθροισμα της ονομαστικής αξίας του και του προεξοφλήματος του, διότι όπως είναι ευνόητο η αξία του σε μεταγενέστερη χρονική στιγμή θα είναι μεγαλύτερη από την αξία που έχει όταν λήγει σε προηγούμενη χρονική στιγμή. Επομένως όταν εφαρμόζουμε την παραπάνω σχέση (2), θα επιλέγουμε το + ή το - πριν από το προεξόφλημα (Ε), ανάλογα αν η λήξη του γραμματίου είναι πριν ή μετά από την ημέρα αντικατάστασης. Σελ.31/107

32 Παράδειγμα 1 Έστω ότι ένας έμπορος είχε εκδώσει σε πελάτη του δύο γραμμάτια Κ 1 =300 και Κ 2 =400 με αντίστοιχες λήξεις την 13/5 και 20/7. Οι προαναφερόμενοι συμφώνησαν σήμερα (π.χ. 15/3) προς διευκόλυνση του δευτέρου, να αντικαταστήσουν τα γραμμάτια αυτά με δυο νέα γραμμάτια με αντίστοιχες λήξεις την 1/9 και 20/11, εκ των οποίων το δεύτερο θα έχει διπλάσια ονομαστική αξία από το πρώτο. Αν ισχύει επιτόκιο προεξόφλησης 10% και εποχή ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού, ζητείται να υπολογισθούν οι ονομαστικές αξίες των νέων γραμματίων α) εξωτερικώς και β) εσωτερικώς. Λύση Αφού ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η ημέρα υπολογισμού, τότε αυτή είναι η 13/5. παρατηρούμε ότι οι λήξεις όλων των γραμματίων παλιών και νέων είναι μετά από αυτή την ημερομηνία. Άρα οι παρούσες αξίες τους αυτή την ημέρα είναι ίσες με τη διαφορά των ονομαστικών αξιών τους με τα προεξοφλήματα τους. Επομένως η προαναφερόμενη σχέση (2) γίνεται: α) Υπολογισμός με εξωτερική προεξόφληση Στην συνέχεια επεξεργαζόμαστε την παραπάνω σχέση (1), θέτοντας στη θέση του Ε το γνωστό τύπο που εξ ορισμού το συσχετίζει με την ονομαστική αξία, δηλαδή: Οπότε η παραπάνω σχέση μετατρέπεται ως εξής: Αυτή τη σχέση θα λύσουμε ως προς Κ 1, Κ 2, λαμβάνοντας υπόψη ότι Κ 2 =2Κ 1 Στην συνέχεια υπολογίζουμε στον παρακάτω πίνακα τις ημέρες αντικατάστασης (ν) του κάθε γραμματίου, δηλαδή τις ημέρες που περιλαμβάνονται μεταξύ της ημέρας αντικατάστασης και της ημέρας λήξης του καθενός. Κ 1 Κ 2 Κ 1 Κ 2 Μ ΗΜ ΗΜ ΗΜ Μ = = = = Σ Σελ.32/107

33 Ακολούθως αντικαθιστούμε στην παραπάνω σχέση (2) τις ημέρες αντικατάστασης των γραμματίων, τις ονομαστικές αξίες των παλιών γραμματίων καθώς και όπου Δ=360/0,1= Θα έχουμε: Είναι γνωστό από τα δεδομένα ότι Κ 2 =2Κ 1 Επομένως από την (3) θα έχουμε: Άρα Κ 2 =2 241,78=483,56 β) Υπολογισμός με εσωτερική προεξόφληση Όπως και προηγουμένως επεξεργαζόμαστε την παραπάνω σχέση (1), θέτοντας στη θέση του Ε το γνωστό τύπο που εξ ορισμού το συσχετίζει με την παρούσα αξία, δηλαδή την ονομαστική αξία, δηλαδή: και στην συνέχεια τον επεξεργαζόμαστε για να τον συσχετίσουμε με Οπότε η παραπάνω σχέση (1) μετατρέπεται ως εξής: Αυτή τη σχέση θα λύσουμε ως προς Κ 1, Κ 2, λαμβάνοντας υπόψη ότι Κ 2 =2Κ 1 Ακολούθως αντικαθιστούμε στην παραπάνω σχέση (2) τις ημέρες αντικατάστασης των γραμματίων που έχουμε υπολογίσει παραπάνω, τις ονομαστικές αξίες των παλιών γραμματίων καθώς και όπου Δ=360/0,1= Θα έχουμε: Είναι γνωστό από τα δεδομένα ότι Κ 2 =2Κ 1 Επομένως από την (3) θα έχουμε: Άρα Κ 2 =2 241,05=482,11 Σελ.33/107

34 Παράδειγμα 2 Έστω ότι ένας έμπορος έχει εκδώσει σε πελάτη του τρία γραμμάτια Κ 1 =600, Κ 2 =700 και Κ 3 =900 με αντίστοιχες λήξεις την 19/5 και 29/6 και 12/7. Οι προαναφερόμενοι συμφώνησαν σήμερα προς διευκόλυνση του δευτέρου, να αντικαταστήσουν τα γραμμάτια αυτά με ένα νέο γραμμάτιο με λήξη την 9/9. Αν ισχύει επιτόκιο προεξόφλησης 10% και εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη, ζητείται να υπολογισθεί η ονομαστική αξία του νέου γραμματίου α) εξωτερικώς και β) εσωτερικώς. Λύση Αφού ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η κοινή λήξη, τότε αυτή είναι η 9/9, δηλαδή του ενός γραμματίου που αντικαθιστά τα παλιά. Παρατηρούμε ότι οι λήξεις των παλιών γραμματίων είναι πριν από αυτή την ημερομηνία. Άρα οι παρούσες αξίες τους αυτή την ημέρα είναι ίσες με το άθροισμα των ονομαστικών αξιών τους με τα προεξοφλήματα τους, η δε παρούσα αξία του νέου γραμματίου ταυτίζεται με την ονομαστική αξία του. Επομένως η προαναφερόμενη σχέση (2) γίνεται: α) Υπολογισμός με εξωτερική προεξόφληση Στην συνέχεια επεξεργαζόμαστε την παραπάνω σχέση, θέτοντας στη θέση του Ε το γνωστό τύπο που το συσχετίζει με την ονομαστική αξία, δηλαδή Οπότε η παραπάνω σχέση μετατρέπεται ως εξής: Αυτή τη σχέση θα λύσουμε ως προς Κ. Στην συνέχεια υπολογίζουμε στον παρακάτω πίνακα τις ημέρες αντικατάστασης (ν) του κάθε γραμματίου, δηλαδή τις ημέρες που περιλαμβάνονται μεταξύ της ημέρας αντικατάστασης και της ημέρας λήξης του καθενός. Κ 1 Κ 2 Κ 2 Μ ΗΜ ΗΜ ΗΜ = = = Σ Ακολούθως αντικαθιστούμε στην παραπάνω σχέση (2) τις ημέρες αντικατάστασης των γραμματίων, τις ονομαστικές αξίες των παλιών γραμματίων καθώς και όπου Δ=360/0,1= Θα έχουμε: Σελ.34/107

35 β) Υπολογισμός με εσωτερική προεξόφληση Όπως και προηγουμένως επεξεργαζόμαστε την παραπάνω σχέση (1), θέτοντας στη θέση του Ε το γνωστό τύπο που εξ ορισμού το συσχετίζει με την παρούσα αξία, δηλαδή την ονομαστική αξία, δηλαδή: και στην συνέχεια τον επεξεργαζόμαστε για να τον συσχετίσουμε με Οπότε η παραπάνω σχέση (1) μετατρέπεται ως εξής: Αυτή τη σχέση θα λύσουμε ως προς Κ. Ακολούθως αντικαθιστούμε στην παραπάνω σχέση (2) τις ημέρες αντικατάστασης των γραμματίων, τις ονομαστικές αξίες των παλιών γραμματίων καθώς και όπου Δ=360/0,1= Θα έχουμε: Παράδειγμα 3 Έστω ότι ένας έμπορος έχει εκδώσει σε πελάτη του ένα γραμμάτιο Κ=1.600 με λήξη την 5/7. Οι προαναφερόμενοι συμφώνησαν σήμερα προς διευκόλυνση του δευτέρου, να αντικαταστήσουν το γραμμάτιο αυτό με δυο νέα γραμμάτια Κ 1, Κ 2 με αντίστοιχες λήξεις την 19/6 και 29/8. Ζητείται να υπολογισθούν οι ονομαστικές αξίες των νέων γραμματίων, λαμβάνοντας υπόψη ότι ισχύει επιτόκιο 10%, εποχή ισοδυναμίας η κοινή λήξη και ότι η ονομαστική αξία του δεύτερου νέου γραμματίου είναι 100 μεγαλύτερη από αυτή του πρώτου νέου γραμματίου. Λύση Αφού ως εποχή ισοδυναμίας λαμβάνεται η κοινή λήξη, τότε αυτή είναι η 5/7, δηλαδή του ενός γραμματίου που αντικαθιστάται από τα δυο νέα. Παρατηρούμε ότι η λήξη του πρώτου νέου γραμματίου είναι πριν από αυτή την ημερομηνία και η λήξη του δεύτερου νέου γραμματίου είναι μετά από αυτή την ημερομηνία. Άρα η παρούσα αξία του πρώτου νέου γραμματίου είναι ίση με τη διαφορά της ονομαστικής αξίας του με το προεξόφλημα του, και η παρούσα αξία του δεύτερου νέου γραμματίου είναι ίση με το άθροισμα της ονομαστικής αξίας του με το προεξόφλημα του. Επίσης η παρούσα αξία του παλιού γραμματίου ταυτίζεται με την ονομαστική αξία του. Επομένως η προαναφερόμενη σχέση (2) γίνεται: Σελ.35/107

Εφαρμογές Ανατοκισμού

Εφαρμογές Ανατοκισμού Εφαρμογές Ανατοκισμού Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Μέσο επιτόκιο - Ισοδύναμα επιτόκια - Αντικατάσταση κεφαλαίων - Ρυθμός πληθωρισμού ΣΤΟΧΟΙ - Εύρεση μέσου επιτοκίου, όταν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων)

Ανατοκισμός. -Χρόνος (συμβολισμός n Ακέραιες περιόδους, μ/ρ κλάσμα χρονικών περιόδων) Ανατοκισμός Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχικό κεφάλαιο ή παρούσα αξία (συμβολισμός Κ ο ή PV) -Τελικό κεφάλαιο ή μελλοντική αξία (συμβολισμός Κ n ή FV) -Επιτόκιο (συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ρ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ ΑΣΙΛΑΣ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 1 ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΥΛΗΣ 1. Απλός τόκος 2. Ανατοκισµός 3. Ράντες 4. άνεια 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ Ι ΕΑ ΤΟΥ ΕΠΙΤΟΚΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο

Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο Όρος Τελική ή μέλλουσα αξία (future value) ή τελικό κεφάλαιο Απλός τόκος Έτος πολιτικό Έτος εμπορικό Έτος μικτό Τοκάριθμος Είδη καταθέσεων Συναλλαγματική Γραμμάτιο σε διαταγή Ονομαστική αξία Παρούσα αξία

Διαβάστε περισσότερα

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις

γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις γραμμάτια Ορισμοί Προεξόφληση Αντικατάσταση Μέση λήξη Ασκήσεις Έντυπη Έκδοση Κυριακάτικη Ελευθεροτυπία, Κυριακή 7 Νοεμβρίου 2010 Επιστρέψαμε στην εποχή του γραμματίου! Του ΜΠ. ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗ Την ώρα που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΦΩΤ. ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΑΛΑΜΑΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013 2014 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛ ΑΠΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΠΟΙΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 11: ΔΑΝΕΙΑ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια

3. ΔΑΝΕΙΑ. Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 3. ΔΑΝΕΙΑ Αποσβέσεις Leasing Αγορά Ομολογιακά Δάνεια 38 3. ΔΑΝΕΙΑ Κριτήρια Αξιολόγησης Επενδύσεων 3.1 Χρήσιμες Εφαρμογές Τα δάνεια χωρίζονται σε δύο κατηγορίες τα ενιαία ή αδιαίρετα και τα ομολογιακά.

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 ΤΟΜΟΣ Β ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ Κεφάλαιο 1 Η ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ Επιτόκιο: είναι η αμοιβή του κεφαλαίου για κάθε μονάδα χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Διάκριση Μαθηματικών Έννοια Χρηματοοικονομικών Ορισμοί Χρηματοοικονομικά Τράπεζες Χρηματιστήρια Προεξόφληση Αντικατάσταση Γραμματίων Δάνεια Ομόλογα Αμοιβαία Κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ. ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΥΡΙΑΚΗ ΚΟΣΜΙΔΟΥ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΡΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ kosmid@econ.auth.gr ΣΗΜΕΙΩςΕΙς ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗςΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ,

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 8: Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 9: ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Η ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Β Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creaive Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό

Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό 2. ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 1 Χρονική Αξία Χρήµατος Στη Χρηµατοοικονοµική, κεφάλαιο ονοµάζουµε εκείνο το χρηµατικό ποσό που µπορούµε να διαθέσουµε σε µια επένδυση για όποιο χρονικό διάστηµα θέλουµε. Εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 1 ΤΟΜΟΣ ΚΑΘΑΡΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Η καθαρή Παρούσα Αξία ισούται με το άθροισμα προεξοφλημένων καθαρών ταμειακών

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 2 Να βρεθεί η πραγματοποιηθείσα απόδοση της προηγούμενης άσκησης, υποθέτοντας ότι τα τοκομερίδια πληρώνονται δύο φορές το έτος.

Άσκηση 2 Να βρεθεί η πραγματοποιηθείσα απόδοση της προηγούμενης άσκησης, υποθέτοντας ότι τα τοκομερίδια πληρώνονται δύο φορές το έτος. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Άσκηση 1 Η ομολογία Β εκδόθηκε στο παρελθόν και έχει διάρκεια ζωής τρία ακόμη έτη. Η ονομαστική της αξία είναι 1.000 ευρώ και το εκδοτικό της επιτόκιο είναι 8%. Τα τοκομερίδια πληρώνονται

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι

Χρηματοοικονομική Ι. Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Ιωάννης Ταμπακούδης. Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι Χρηματοοικονομική Ι Ενότητα 4: Η Χρονική Αξία του Χρήματος (1/2) Τμήμα Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Βιομηχανικής και Ενεργειακής Οικονομίας ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 8 ο Εξάμηνο Βασικές έννοιες οικονομικής αξιολόγησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #17: Σειρές Πληρωμών ή Ράντες Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Καθαρή Παρούσα Αξία Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1]

C n = D [(l + r) n - 1]/r. D = C n r/[(l + r) n - 1] Ο υπολογισμός των δόσεων που οφείλει ένας δανειζόμενος στον δανειστή του, για την εξόφληση ενός χρέους, βασίζεται στις προηγούμενες εξισώσεις και εξαρτάται από την ημερομηνία αξιολόγησης. Σε αυτές τις

Διαβάστε περισσότερα

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα.

Ράντες. - Κατανόηση και χρησιμοποίηση μιας σειράς πληρωμών που ονομάζεται ράντα. Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Αρχική αξία - Τελική αξία - Δόση ή όρος - Περίοδος - Διάρκεια (συμβολισμός n) - Διηνεκής ράντα - Κλασματική ράντα ΣΤΟΧΟΙ - Κατανόηση και χρησιμοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα # 1: Βασικοί Χρηματοοικονομικοί Ορισμοί Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Χρηματοοικονομική Διοίκηση

Χρηματοοικονομική Διοίκηση Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ενότητα 2: Ράντες Γιανναράκης Γρηγόρης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο

Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο Προεξόφληση γραμματίων συναλλαγματικών με απλό τόκο Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Γραμμάτιο -Συναλλαγματική -Μελλοντική πληρωμή -Παρούσα αξία -Προεξόφληση -Εσωτερικό και εξωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου)

ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων Υποθέσεις υπολογισμού Στάδια υπολογισμού Πηγές χρηματοδότησης (κεφαλαίου) ΚΟΣΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Κόστος κεφαλαίου Ορισμός: είναι το κόστος ευκαιρίας των κεφαλαίων που έχουν όλοι οι επενδυτές της εταιρείας (μέτοχοι και δανειστές) Κόστος ευκαιρίας: είναι η απόδοση της καλύτερης εναλλακτικής

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

Η επιχείρηση που έχει στην κατοχή της ένα γραμμάτιο προς είσπραξη μπορεί να το εκμεταλλευτεί ποικιλοτρόπως:

Η επιχείρηση που έχει στην κατοχή της ένα γραμμάτιο προς είσπραξη μπορεί να το εκμεταλλευτεί ποικιλοτρόπως: Η Λογιστική των γραμματίων Α- Γραμμάτια εισπρακτέα Κάθε επιχείρηση φέρει στο χαρτοφυλάκιο της γραμμάτια ή συναλλάσσεται με αυτά. Ειδικότερα για τα «γραμμάτια εισπρακτέα» κάθε επιχείρηση τηρεί ένα λογαριασμό

Διαβάστε περισσότερα

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000

Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3 Έτος 4 Έτος 5 Εισπράξεις 270.000 300.000 350.000 500.000 580.000 Θέμα 1 0 Η εταιρία ΑΒΓ σχεδιάζει να επενδύσει σήμερα (στο έτος 0), σε ένα έργο το οποίο θα έχει αρχικό κόστος 00.000, διάρκεια ζωής 5 έτη και αναμένεται να δώσει τις ακόλουθες εισπράξεις: Έτος 1 Έτος 2

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Άσκηση (με 40 εγγραφές) Δίδεται ο ισολογισμός έναρξης της επιχείρησης Ε.Κ. την 31/12/10 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗ Ε.Κ. ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 31/12/10 ΠΑΘΗΤΙΚΟ+Κ.Θ. ΤΑΜΕΙΟ 40000 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 48000

Διαβάστε περισσότερα

ΜΈΤΡΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΎ ΑΠΌΔΟΣΗΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ

ΜΈΤΡΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΎ ΑΠΌΔΟΣΗΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ ΜΈΤΡΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΟΎ ΑΠΌΔΟΣΗΣ ΕΠΈΝΔΥΣΗΣ Η επένδυση μπορεί επίσης να ορισθεί ως η απόκτηση ενός περιουσιακού στοιχείου (π.χ. χρηματοδοτικού τίτλου) με την προσδοκία να αποφέρει μια ικανοποιητική απόδοση. Η

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση (τελικές 2009).onlineclassroom.gr Η Τράπεζα DIX CREDITS έχει τον ακόλουθο ισολογισμό σε τρέχουσες τιμές της αγοράς. Ενεργητικό σε 000 ευρώ Υποχρεώσεις και Καθαρή Θέση σε 000 Διαθέσιμα 125.000 Καταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

TEI ΑΜΘ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

TEI ΑΜΘ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής TEI ΑΜΘ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής 1 Μάθημα: Ελληνικά Λογιστικά Πρότυπα-Σχέδια 5 η εισήγηση Διδάσκων: Αθανάσιος Μανδήλας smand@teiemt.gr Χρηματοοικονομικά και Λοιπά Περιουσιακά Στοιχεία 2 Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 10: ΡΑΝΤΕΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creatve Commos εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 9: Κόστος κεφαλαίου - Χρηματορροές Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα.

(3) ... (2) Ο συντελεστής Προεξόφλησης (ΣΠΑ) υπολογίζεται από τον Πίνακα Π.2. στο Παράρτηµα. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος 2015-2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑ ΣΤΗ ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ 1 1 ο ΣΕΤ. ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΡΑΠΕΖΙΚΑ ΔΑΝΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ-ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΕΣ ΤΙΜΑΡΙΘΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΟΓΚΟΥ-ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ-ΑΞΙΑΣ ΔΤΚ-ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη

Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ «Επιστήµη και Τεχνολογία Υδατικών Πόρων» Οικονοµικά του Περιβάλλοντος και των Υδατικών Πόρων Αξιολόγηση επενδύσεων Τι ενδιαφέρει τον ιδιώτη Πόσα χρήµατα θα επενδύσω; Πότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου

Κεφάλαιο Απλός τόκος. 1.1 Η εξίσωση του απλού τόκου . Απλός τόκος Κεφάλαιο. Η εξίσωση του απλού τόκου Αν τοκίσουμε ένα κεφάλαιο Κ για ένα έτος με ετήσιο επιτόκιο i, τότε στο τέλος του έτους θα δημιουργηθεί τόκος ο οποίος θα δίνεται από τη σχέση: I= i. Συνεχίζοντας,

Διαβάστε περισσότερα

Δάνεια. - Εύρεση δόσης για δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ με δημιουργία εξοφλητικού αποθέματος.

Δάνεια. - Εύρεση δόσης για δάνεια εξοφλητέα εφάπαξ με δημιουργία εξοφλητικού αποθέματος. Δάνεια Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Κεφάλαιο δανείου - Ενιαία δάνεια - Απόσβεση δανείων - Χρεολύσιο - Τοκοχρεολύσιο - Εξοφλητικό απόθεμα - Σύστημα απόσβεσης δανείου ΣΤΟΧΟΙ - Εντοπισμός

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr ΕΡΩΤΗΣΗ. (5 μονάδες) Θέλετε να αξιολογήσετε τέσσερα ομόλογα. Όλα τα ομόλογα έχουν 0 χρόνια μέχρι την λήξη και ονομαστική αξία.000. Το ομόλογο Α έχει κουπόνι με ετήσια απόδοση % το οποίο παραμένει σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ

1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Σηµειώσεις στο Μάθηµα Ειδικά Θέµατα Χρηµατοδοτικής Διοίκησης. Π. Φ. Διαµάντης Α.Α.Δράκος 1 Ο Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΑΝΕΙΩΝ Τα Δάνεια, είναι τα πολύ γνωστά σε όλους µας πιστωτικά προϊόντα στα οποία η αποπληρωµή

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28

1 2,55 1.250 3,19 0,870 2,78 2 2,55 1.562 3,98 0,756 3,01 3 2,55 1.953 4,98 0,658 3,28 Άσκηση 1 Η κατασκευαστική εταιρία Κ εξετάζει την περίπτωση αγοράς μετοχών της εταιρίας «Ε» με πληρωμή σε μετρητά. Κατά τη διάρκεια της χρήσης που μόλις ολοκληρώθηκε, η «Ε» είχε κέρδη ανά μετοχή 4,25 και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος

11.1.1 Χρονική αξία του χρήματος Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ & : ΔΕΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδ. Έτος: 1-1 Θέμα 1 α) Ο επενδυτής μπορεί να εκμεταλλευτεί τις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραμματίων: Τα γραμμάτια διακρίνονται στους παρακάτω λογαριασμούς:. Ορισμένες φορές για λόγους απλούστευσης ονομάζεται με το όνομα του Πρωτοβάθμιου 31 Γραμμάτια εισπρακτέα. Εκεί καταχωρούνται όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι. Γενική Εισαγωγή ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. 1. Γενική Εισαγωγή. 2. Λογιστική Απεικόνιση o Τοκοφόρες και μη Υποχρεώσεις ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ

ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι. Γενική Εισαγωγή ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ. 1. Γενική Εισαγωγή. 2. Λογιστική Απεικόνιση o Τοκοφόρες και μη Υποχρεώσεις ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ Ι ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ T.E.I Κρή, Σχολή Διοίκησης & Οικονομίας Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης στη Λογιστική και στην Ελεγκτική Χειμερινό Εξάμηνο 2012-2013 ΖΗΣΗΣ Β.,, Ph. D. ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΧΡΕΩΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 31 Χρηματοοικονομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος: 2009-10 Γραπτή Εργασία 1 Χρηματοδοτική Διοίκηση

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου. Ομολογίες, Διάρκεια, Προθεσμιακά Επιτόκια, Ανταλλαγές Επιτοκίων

Διεθνείς Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου. Ομολογίες, Διάρκεια, Προθεσμιακά Επιτόκια, Ανταλλαγές Επιτοκίων Διεθνείς Αγορές Χρήματος και Κεφαλαίου Ομολογίες, Διάρκεια, Προθεσμιακά Επιτόκια, Ανταλλαγές Επιτοκίων 1 Η ομολογία είναι ένα εμπορικό έγγραφο, με το οποίο η εκδότρια εταιρεία αναγνωρίζει (ομολογεί) ότι

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν στο παραπάνω ερώτημα, ο λογαριασμός ήταν σύνθετου τόκου με j(12)=3%, ποιό είναι το ποσό που θα έπρεπε να καταθέσει ;

β) Αν στο παραπάνω ερώτημα, ο λογαριασμός ήταν σύνθετου τόκου με j(12)=3%, ποιό είναι το ποσό που θα έπρεπε να καταθέσει ; Άσκηση 1 α) Κάνει κάποιος κατάθεση ποσού 5 χιλ. σε λογαριασμό απλού τόκου με ετήσιο επιτόκιο 4%. Μετά από 3 μήνες κάνει ανάληψη 3 χιλ. και μετά από άλλους 7 μήνες επιθυμεί να κάνει μία κατάθεση, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 9: Διηνεκείς Ράντες Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική ΙΙ. Τι θα δούμε σε αυτή την ενότητα

Λογιστική ΙΙ. Τι θα δούμε σε αυτή την ενότητα Λογιστική ΙΙ Συναλλαγές σε ξένο νόμισμα Ν. Ηρειώτης Δ. Μπάλιος Β. Ναούμ Ηρειώτης-Μπάλιος-Ναούμ 1 Τι θα δούμε σε αυτή την ενότητα Τι είναι οι συναλλαγές σε ξένο νόμισμα Πως αποτιμώνται νομισματικά και μη

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Εκπαίδευσης και Εφαρμογών Λογιστικής. Εισαγωγή στην Χρηματοοικονομική Ανάλυση

Εργαστήριο Εκπαίδευσης και Εφαρμογών Λογιστικής. Εισαγωγή στην Χρηματοοικονομική Ανάλυση Εργαστήριο Εκπαίδευσης και Εφαρμογών Λογιστικής Εισαγωγή στην Χρηματοοικονομική Ανάλυση 1 Χρηματοοικονομική ανάλυση Χρηματοοικονομική Ανάλυση είναι η ανάλυση που σκοπός της είναι: ο προσδιορισμός των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

2) Στην συνέχεια υπολογίζουμε την ονομαστική αξία του πιστοποιητικού με το συγκεκριμένο αυξημένο επιτόκιο όπως και προηγουμένως, δηλαδή θα έχουμε:

2) Στην συνέχεια υπολογίζουμε την ονομαστική αξία του πιστοποιητικού με το συγκεκριμένο αυξημένο επιτόκιο όπως και προηγουμένως, δηλαδή θα έχουμε: 2) Στην συνέχεια υπολογίζουμε την ονομαστική αξία του πιστοποιητικού με το συγκεκριμένο αυξημένο επιτόκιο όπως και προηγουμένως, δηλαδή θα έχουμε: ( ) ( ) 3) Επομένως η θεωρητική αξία του πιστοποιητικού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση

Εφαρμογές με Ράντες. 1 Εισαγωγή. 2 Απόσβεση στοιχείων. Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι. - Απόσβεση Εφαρμογές με Ράντες Σύνοψη Οι βασικές έννοιες αυτού του κεφαλαίου είναι - Απόσβεση - Σύνθετη παραγωγική διάρκεια παγίων - Κεφαλαιοποιημένο κόστος - Καθαρά παρούσα αξία - Εσωτερικός βαθμός απόδοσης - Αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) 1.0 Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας (ΣΔΟ) Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μάθημα: Πληροφορική Ι (εργαστήριο) Ακαδημαϊκό έτος: 2013-2014 Εξάμηνο Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Κατασκευάστε ένα λογιστικό φύλλο

Διαβάστε περισσότερα

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ

1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ 1. ΑΝΟΙΚΤΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΤΗ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ Το διάγραμμα κυκλικής ροής της οικονομίας (κεφ. 3, σελ. 100 Mankiw) Εισόδημα Υ Ιδιωτική αποταμίευση S Αγορά συντελεστών Αγορά χρήματος Πληρωμές συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Slide 8.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου

Slide 8.1. ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική. Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου Slide 8.1 ΤΕΙ Πειραιά Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Λογιστική και Χρηματοοικονομική Δευτέρα 27 Ιανουαρίου & Τετάρτη 29 Ιανουαρίου Slide 8.2 Η μέθοδος λήψης αποφάσεων για αξιολόγηση επενδυτικών πλάνων Μετά το

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Διοικητική Λογιστική Λογιστική Εταιρειών Διδάσκοντες: Νικόλαος Ηρειώτης & Δημήτριος Μπάλιος Σημειώσεις με θέμα την 3 η ομάδα του

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο λογαριασμών. Ομάδα 4: Καθαρή θέση

Σχέδιο λογαριασμών. Ομάδα 4: Καθαρή θέση Σχέδιο λογαριασμών Ομάδα 1: Ενσώματα και άυλα μη κυκλοφορούντα (πάγια) περιουσιακά στοιχεία Ομάδα 2: Αποθέματα Ομάδα 3: Χρηματοοικονομικά και λοιπά περιουσιακά στοιχεία Ομάδα 4: Καθαρή θέση Ομάδα 5: Υποχρεώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Από την Θεωρία Θνησιµότητας Συνάρτηση Επιβίωσης : Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις Η s() δίνει την πιθανότητα άτοµο ηλικίας µηδέν, ζήσει πέραν της ηλικίας. όταν s() s( ) όταν o

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ ( 210.38.22.157 495 www.arnos.gr e-mail : info@arnos.gr ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Α.Ε.Ι. Α.Τ.Ε.Ι. Ε.Α.Π. Ε.Μ.Π.

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ ( 210.38.22.157 495 www.arnos.gr e-mail : info@arnos.gr ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΟΙΤΗΤΩΝ Α.Ε.Ι. Α.Τ.Ε.Ι. Ε.Α.Π. Ε.Μ.Π. ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Έννοια του ισολογισμού Ο ισολογισμός απεικονίζει τη χρηματοοικονομική κατάσταση της επιχείρησης μια δεδομένη χρονική στιγμή. Η χρηματοοικονομική κατάσταση μιας επιχείρησης αποτελείται από εξής

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Διοικητική Λογιστική Λογιστική Εταιρειών Διδάσκοντες: Νικόλαος Ηρειώτης & Δημήτριος Μπάλιος Σημειώσεις με θέμα «Πιστωτικοί Τίτλοι»

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Ρευστότητας: Άσκηση ανακεφαλαίωσης

Διαχείριση Ρευστότητας: Άσκηση ανακεφαλαίωσης Διαχείριση Ρευστότητας: Άσκηση ανακεφαλαίωσης Δίδονται τα παρακάτω στοιχεία της επιχείρησης «ΕΨΙΛΟΝ»: Ισολογισμός Ενεργητικό Παθητικό Έτος 1 Έτος 2 Έτος 1 Έτος 2 Πάγια 338.000 460.000 Μετοχικό κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 31 1 η γραπτή εργασία Τελική έκδοση με παρατηρήσεις

ΔΕΟ 31 1 η γραπτή εργασία Τελική έκδοση με παρατηρήσεις ΔΕΟ 31 1 η γραπτή εργασία 2013-14 - Τελική έκδοση με παρατηρήσεις ΠΡΟΣΟΧΗ! Αποτελεί υποδειγματική λύση. απάντηση! 1 Μελετήστε τη λύση και δώστε τη δική σας ΘΕΜΑ 1 Ο Επένδυση Α Για την επένδυση Α γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Λογιστική ΙΙ

Μάθημα: Λογιστική ΙΙ Μάθημα: Λογιστική ΙΙ Ν. Ηρειώτης Δ. Μπάλιος Β. Ναούμ Απαιτήσεις Λογιστική ΙΙ - ΤΟΕ-ΕΚΠΑ Ν. Ηρειώτης Δ. Μπάλιος Β. Ναούμ 1 Απαιτήσεις αποτελούν όλες οι αξιώσεις που έχει η επιχείρηση κατά φυσικών ή νομικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 4: Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Δ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (έκδοση )

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Δ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (έκδοση ) ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΤΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Δ - ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (έκδοση 18.4.2016) 440. Για μια κατάθεση 100 με ετήσιο επιτόκιο 12% και τριμηνιαίο ανατοκισμό, η ετήσια πραγματική απόδοση είναι : α) 12,42%

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e =

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e = ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας 47 48 49 50 5 l 348480 299692 d 43306 q 0.0 0.2 0.5 2 3 4 5 Η ένταση θνησιµότητας µ +t, 0 t, αλλάζει σε µ +t - c, όπου το c είναι θετικός σταθερός αριθµός. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1

ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ Εισαγωγική εισήγηση Νο1 ΒΑΣΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Είναι η επένδυση συμφέρουσα; Ποιός είναι ο πραγματικός χρόνος αποπληρωμής της επένδυσης; Κατά πόσο επηρεάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 7: Καθαρή Παρούσα Αξία Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική ΙΙ. Υποχρεώσεις. Ν. Ηρειώτης Δ. Μπάλιος Β. Ναούμ. Ν. Ηρειώτης Δ. Μπάλιος Β. Ναούμ

Λογιστική ΙΙ. Υποχρεώσεις. Ν. Ηρειώτης Δ. Μπάλιος Β. Ναούμ. Ν. Ηρειώτης Δ. Μπάλιος Β. Ναούμ Λογιστική ΙΙ Υποχρεώσεις Τι θα δούμε σε αυτή την ενότητα Την έννοια της υποχρέωσης Πως διακρίνονται οι υποχρεώσεις Λογαριασμούς υποχρεώσεων Παραδείγματα βάσει Ελληνικών Λογιστικών Προτύπων Η έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 8: Αγορές κεφαλαίου και γης Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών

Μικροοικονομική Ι. Ενότητα # 8: Αγορές κεφαλαίου και γης Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Μικροοικονομική Ι Ενότητα # 8: Αγορές κεφαλαίου και γης Διδάσκων: Πάνος Τσακλόγλου Τμήμα: Διεθνών και Ευρωπαϊκών Οικονομικών Σπουδών Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

Διαβάστε περισσότερα

www.onlineclassroom.gr

www.onlineclassroom.gr Η C-BNK έχει τον κάτωθι ισολογισμό σε τρέχουσες αξίες (εκατ. ευρώ): Ενεργητικό Υποχρεώσεις Μ Μετρητά στο ταμείο 0 Καταθέσεις 200 Στεγαστικά δάνεια 500 Δάνεια διατραπεζικής 200 Επιχειρηματικά δάνεια 400

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΤΩΝ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΤΩΝ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΤΩΝ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ Εισαγωγή Αν μια τράπεζα θέλει να μειώσει τις διακυμάνσεις των κερδών που προέρχονται από τις μεταβολές των επιτοκίων θα πρέπει να έχει ένα

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODEL)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODEL) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΚΙΝΔΥΝΟΣ ΕΠΙΤΟΚΙΩΝ ΚΑΙ ΤΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (DURATION MODL) Ορισμός και μέτρηση της διάρκειας H διάρκεια ενός χρηματοοικονομικού προϊόντος είναι ο μέσος σταθμικός χρόνος που απαιτείται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-5-) 5. Ράντες 5.1.1.Ορισμοι- Κατηγορίες Ράντα ονομάζουμε σειρά κεφαλαίων που καταβάλλονται ανά ισα χρονικά διαστήματα. Για τα κεφάλαια αυτά ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομικά Μαθηματικά

Οικονομικά Μαθηματικά Οικονομικά Μαθηματικά Ενότητα 6: Επιτόκιο Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 6 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 0 ΠΡΩΪΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 π.μ. π.μ. .......

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ FV Η συνάρτηση αυτή υπολογίζει την μελλοντική αξία μιας επένδυσης βάσει περιοδικών, σταθερών πληρωμών και σταθερού επιτοκίου. =FV(επιτόκιο; αριθμός περιόδων; δόση αποπληρωμής; παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Asset & Liability Management Διάλεξη 1

Asset & Liability Management Διάλεξη 1 Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΜΣ στην «Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου» Asset & Liability Management Διάλεξη Η μέτρηση και η αντιμετώπιση του επιτοκιακού κινδύνου Μιχάλης Ανθρωπέλος anthopel@unipi.g

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ

ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α: ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΚΑΙ ΕΠΕΝ ΥΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1: Το θεωρητικό υπόβαθρο της διαδικασίας λήψεως αποφάσεων και η χρονική αξία του χρήµατος Κεφάλαιο 2: Η καθαρή παρούσα αξία ως κριτήριο επενδυτικών

Διαβάστε περισσότερα