2η Εργαστηριακή Άσκηση.

Transcript

1 η Εργαστηριακή Άσκηση. Παράδοση: Θα γράψετε μια αναφορά σε στην οποία θα υπάρχουν οι απαντήσεις στα ερωτήματα και σχολιασμός των αποτελεσμάτων. Η παράδοση της ασκησης θα γίνει μέχρι την Δευτέρα 4/5 ώρα 8:00. Θα στείλετε με ένα αρχείο της μορφής ΕΠΝΥΜΟ-ΑΜ.tgz στοοποίοθαπεριέχεταιηαναφοράσεμορφή psήpdfκαθώςκαιοκώδικας.στηναναφορά θα αναγράφονται τα στοιχεία σας: ονοματεπώνυμο, ΑΜ, αριθμός εξαμήνου. Θεωρούμε σε αυτή την εργαστηριακή άσκηση το ίδιο πρόβλημα και την ίδια γεωμετρία με αυτότηςεργαστηριακήςάσκησης. Υποθέτουμεότι R είναιμίαανοικτή,φραγμένη περιοχήμεομαλόσύνορο =, g L (), k L (),καιύπαρχει α > 0τέτοιοώστε k(x) α, x (). Θέλουμε να βρούμε την θερμοκρασία u σε ένα υλικό με θερμική αγωγιμότητα k(x), div (k(x) u(x)) = g(x) στο () u = 0 στο καιθεώρουμεότιηπεριοχή χωρίζεταισεδύούπο-περιοχές =,καιότιη θερμική αγωγιμότητα είναι σταθερή σε κάθε περιοχή { k στην k(x) = (3) k στην k n Σ k Σχήμα:Ηπεριοχή = (αʹ) ράψτε την μεταβολική μορφή του προβλήματος() a(u, v) = L(v), v V (4)

2 (βʹ)θέλουμεναλύσουμετοπρόβλημαιδιοτιμών: Βρείτε λ Cκαι u V, u 0 τέτοια ώστε, a(u, v) = λ(u, v) v V (5) Τι μπορείτε να πείτε για αυτό το πρόβλημα? Υποθέτουμε ότι k m k(x) k M, x Χτησιμοποιόντας την αρχή του Min-Max, δώστε άνω και κάτω φράγμα για τις ιδιοτιμές του προβλήματος. Συμβολίζουμεμε Στοσύνορομεταξύ και, Σ =, j = j, j =,. Υποθέτουμεότι = [, ] καιθεωρούμεότι Σ = [, ] {y = 0}, = {y > 0} και = {y < 0}. Οπως στην άσκηση, προσεγγίζουμε το πρόβλημα(4) χρησιμοποιώντας πεπέρασμενα στοιχεία Q. Φτιάξτεμιαδιακριτοποίησητηςπεριοχής χρησιμοποιώνταςτετράγωναπλευράς h, = N el l= T l. Εστω N el οολικόςαριθμόςπεπερασμένωνστοιχείων, (M i ) i=..ns τασημείατηςδιακριτοποίησης(οικορυφέςτωντετραγώνων)όπου N s είναι οολικόςαριθμόςτωνσημείων. Εχουμε N s = N i +N d,με N i ταεσωτερικάσημεία(που δενανοικούνστοσύνορο = )και N d τασημείαπουανήκουνστοσύνορο με την συνοριακή συνθήκη Dirichlet. (αʹ) Κατασκεύαστε ένα πλέγμα της περιοχής, έτσι ώστε η διεπιφάνεια Σ να συμπίπτει με τις πλευρές των τετραγώνων(βλ. σχήμα ). Σ Θαπρέπειναορίσετε: Σχήμα : Παράδειγμα διακριτοποίησης (ι) N el, N i, N d, N s (ιι) coor(m, i),ηiσυντεταγμένητουσημείου m( m N s, i ). (ιιι) lg(l, i)οολικόςαριθμόςτουσημέιου iπουανήκειστο lστοιχείο( l Nel, i 4).

3 (ι ) ref(l)έναςδείκτηςτουστοιχέιου lτέτοιοςώστε, Εστω V h, ref(l) = { αν Tl αν T l V h = { v C 0 ( ), v /Tl Q (T l ), T l, } και (w J ) J=,Ns,οιολικέςσυναρτήσηςβάσης, w J (M I ) = δ IJ I, J N s Η προσεγγιστική λύση του προβλήματος γράφεται σύμφωνα με την μέθοδο της παρεμβολής N s u h (x) = u J w J (x) (βʹ)δείξτεότιτοδιακριτόπρόβλημαιδιοτιμώνγράφεται:βρείτε λ h και U = {u J } N i J=, J= KU = λ h MU (6) όπου M είναι ο πίνακας μάζας. M είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος άρα έχουμε M = L M L t M όπου L M κάτωτριγωνικόςαντιστρέψιμοςπίνακας. Δείξτε ότισεαυτήτηνπερίπτωσητοπρόβλημα(6)είναιισοδύναμομετοναβρεθούνοι ιδιοτιμέςκαιταιδιοδανύσματατουπίνακα B = L M KL t M. (γʹ) ράψτε ένα πρόγραμμα που υπολογίζει την λύση του(6). ια να τεστάρετε τον κώδικα σας οι λύσεις του συνεχούς προβλήματος για k =σταθερά είναι, ( (mπ ) ) λ m,p = k, m =,,..., p =,,..., u m,p = sin ) ( pπ + ( mπ ) (x + ) sin ( pπ (y + ) ), m =,,..., p =,,..... Τώρα ενδιαφερόμαστε να βρούμε τις αρμονικές λύσεις της κυματικής εξίσωσης που αντιστοιχούν σε δεδομένη κυκλική συχνότητα ω: div (k(x) u(x)) ω u = g(x) στην (7) u = 0 στο (αʹ) ράψτε την μεταβολική μορφή του προβλήματος(7). Χρησιμοποιόντας την εναλακτική του Fredholm, γράψτε υπό ποιες συνθήκες το πρόβλημα έχει μοναδική λύση. 3

4 (βʹ) Χρησιμοποιόντας το πρόγραμμα που γράψατε βρείτε τις ιδιοτιμές του προβλήματος (6)γιατηνγεωμετρίατουσχήματοςκαιγιατιςτιμές : (k, k ) = (, ), (, ), (, 0), (, ), (0, ) (γʹ) Θεωρούμε ότι το πρόβλημα έχει μοναδική λύση. Δείξτε ότι η επίλυση του προβλήματος(7)μεπεπερασμέναστοιχεία Q αντιστοιχείστοναβρεθείηλύση Uτου γραμμικού προβλήματος: όπου [g] = (g(m I )) I=,Ni. (δʹ) ράψτε ένα πρόγραμμα επίλυσης του(8). (εʹ) Τρέξτε το πρόγραμμα επίλυσης με g (K ω M)U = M[g] (8) g(x, y) = g(r) = ( r a )3 Ba (9) όπου r είναιηαπόστασητουσήμειου (x, y)απότοσημείο (x s, y s ) = (0, /) r = (x x s ) + (y y s ), a = 5hκαι Ba είναιησυνάρτησηπουπαίρνειτίμη στο εσωτερικό του δίσκου με ακτίνα a και 0 στο εξωτερικό του. ια τις τιμές (k, k ) = (, ), (, ), (, 0), (, ), (0, ) καιγιαδιαφορετικέςτιμέςτηςσυχνότητας f = ω π. Τομήκοςκύματοςορίζεται σεκάθεπεριοχή j, j =, λ j = π k j ω = kj f (0) ια να βρούμε μια καλή προσέγγιση της λύσης πρέπει να χρησιοποιήσουμε ένα πλέγμαμεαρκέτασημείαανάμήκοςκύματος.στηνπράξη,θεωρούμε NPWLτων αριθμό σημείων ανά μήκος κύματος και υπολογίζουμε το βήμα του πλέγματος από (για δεδομένη συχνότητα) km h f(npwl ) όπου k m = min k, k. (ϛʹ)πέρνονταςδιαφορετικέςτιμέςτου NPWL(5, 0, 5και 0)μελετήστετηνεπιροή του στην ποιότητα των αποτελεσμάτων. (ζʹ) Τι γίνεται όταν αυξάνεται η συχνότητα; (ηʹ) Τι γίνεται όταν η συχνότητα είναι κοντά σε μία ιδιοτιμή του προβλήματος(6) (ω = λ h ); 4

5 3. Το προγραμμά σας μπορείται να το γράψετε σε FORTRAN, C, MATLAB(C δεν ξέρω!). ια την επίλυση του γραμμικού συστήματος σε FORTRAN, C χρησιμοποιηστε μια απο τις subroutines lapack (SPORTS για παράδειγμα), για την εύρεση των ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων μπορείται να χρησιμοποιήστε την subroutine SSYEV για παράδειγμα. 5