Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions"

Ἰωσήφ Αλεξάνδρου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΞΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΤΟΥ ΛΗΜΜΑΤΟΣ SCHWARZ ΓΙΑ ΟΛΟΜΟΡΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γαλάτεια Κλεάνθους Υποστήριξη διδακτορικής διατριβής 25/02/2014

2 Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions under geometric conditions for the image. Comp. Meth. Funct. Th. 133 no 2 (2013), A geometric version of Schwarz Lemma and a bound for elliptically schlicht functions (preprint).

3 Α. Μονοτονιακά Θεωρήματα για αναλυτικές συναρτήσεις με κέντρο το άπειρο Λήμμα Schwarz : Αν D := {z C : z 1}, f : D C, ολόμορφη με τότε, (α) f (D) D, (β) f (0) = 0, (i) f (z) z, z D, (ii) f (0) 1. Ισότητα αν-ν f (z) = cz, c = 1.

4 R.B. Burckel, D.E. Marshall, D. Minda, P. Poggi-Corradini, T.J. Ransford. Area, capacity and diameter versions of Schwarz s lemma. Conform. Geom. Dyn. 12 (2008),

5 Θεώρημα «ακτίνας» f : D C ολόμορφη, «Ακτίνα»: Συνάρτηση «ακτίνας» Radf (rd) = sup f (z) f (0), 0 < r < 1. (1) z rd φ Rad (r) = Radf (rd), (2) r γνησίως αύξουσα για 0 < r < 1, εκτός όταν f γραμμική δηλ, f (z) = az + b, a, b C, (3) οπότε είναι σταθερή. Επίσης, lim φ Rad (r) = f (0). r 0

6 Πόρισμα: Λήμμα Schwarz Από (α) και (β) lim r 0 + φ Rad(r) = f (0), (4) Αφού φ Rad (r) : [0, 1), r (0, 1), κι επομένως, lim φ Rad(r) 1. (5) r 1 r f (0) Radf (rd) r, (6) (i) f (z) z, z D, (ii) f (0) 1.

7 Θεωρήματα εμβαδού, διαμέτρου, μήκους, χωρητικότητας φ Area (r) = Areaf (rd) πr 2, Diamf (rd) φ Diam (r) =, 2r Length f (rd) φ Length (r) =, 2πr Capf (rd) φ Cap (r) =, r γνησίως αύξουσες για 0 < r < 1, εκτός όταν f γραμμική οπότε είναι σταθερές. Επίσης, lim φ Diam (r) = lim φ Length (r) = lim φ Cap (r) = f (0), r 0 r 0 r 0 lim φ Area (r) = f (0) 2. r 0

8 Θεώρημα εμβαδού : R. Aulaskari, H. Chen. Area inequality and Qp norm. J. Funct. Anal. 221 (2005), G. Julia. Sur les moyennes des modules de fonctions analytiques. Bull. Sci. Math. (2) 51 (1927), D. Betsakos. Holomorphic functions with image of given logarithmic or elliptic capacity. J. Aust. Math. Soc. 94, No.2, (2013).

9 Κλάση Σ f Σ αν-ν f αναλυτική στο C \ D, 1-1, f (z) = z + c 0 + c 1 z + c , z > 1. (7) z2 Σ S όπου f S αν-ν f μερόμορφη στο D, 1-1, f (z) = 1 z + b 0 + b 1 z + b 2 z , 0 < z < 1. (8)

10 Pólya και Szegö : f Σ, D f := Diam(C \ f (C \ D)) (9) 2 D f 4. D f = 4 αν-ν f (z) = z + c + e it /z, t R. (10) D f = 2 αν-ν f μεταφορά δηλ. f (z) = z + c 0, Jenkins, Pfluger.

11 r > 1, C r := {z C : z = r}, Θεώρημα 1. (διαμέτρου) (α) Η συνάρτηση διαμέτρου f Σ, Γ f (r) := f (C r ), D f (r) := Diam(Γ f (r)). ϕ D (r) = D f (r), 1 < r <, (11) 2r είναι γνησίως φθίνουσα, εκτός όταν f μεταφορά, οπότε είναι σταθερή. (β) lim r ϕ D (r) = 1. (γ) lim r 1 ϕ D (r) = D f /2, (δ) (Πόρισμα) D f 2 με D f = 2 αν-ν f μεταφορά.

12 Θεώρημα 2. (ακτίνας) Η συνάρτηση ακτίνας R f (r) := sup z C r f (z) c 0. (12) ϕ R (r) = R f (r), r > 1 (13) r είναι γνησίως φθίνουσα, εκτός όταν f μεταφορά, οπότε είναι σταθερή. Επίσης, lim r ϕ R(r) = 1.

13 Θεώρημα 3. (μήκους) Η συνάρτηση μήκους L f (r) := Length Γ f (r). ϕ L (r) = L f (r) 2πr, r > 1 (14) είναι γνησίως φθίνουσα, εκτός όταν f μεταφορά, οπότε είναι σταθερή. Επίσης, lim r ϕ L(r) = 1.

14 Θεώρημα 4. (εμβαδού) Η συνάρτηση εμβαδού A f (r) := Area int(γ f (r)). ϕ A (r) = A f (r) πr 2, r > 1 (15) είναι γνησίως αύξουσα, εκτός όταν f μεταφορά, οπότε είναι σταθερή. Επίσης, lim r ϕ A(r) = 1. Θεώρημα 5. (χωρητικότητας) Η συνάρτηση χωρητικότητας C f (r) := Cap int(γ f (r)). ϕ C (r) = C f (r), r > 1, (16) r είναι σταθερή και ίση με 1.

15 Β. Θεωρήματα αυξητικότητας για ολόμορφες συναρτήσεις κάτω από γεωμετρικές συνθήκες για την εικόνα Λήμμα Schwarz : f : D C ολόμορφη, τότε, (α) f (D) D, (β) f (0) = 0, (i) f (z) z, z D, (ii) f (0) 1.

16 R.B. Burckel, D.E. Marshall, D. Minda, P. Poggi-Corradini, T.J. Ransford τότε, z D, Ισότητα αν-ν (α ) Diamf (D) = 2, f (z) f (0) α C, b D \ {0}, c D (Μοναδικό z = 2b/(1 + b 2 )). 2 z z 2. (17) f (z) = α + c z b 1 bz, (18)

17 D θ = {w C : Arg(w) < θ/2}, θ (0, 2π). f : D C ολόμορφη, f (D) D θ, (19) τότε z D, W.K. Hayman f (z) f (0) όπου C r = {z C : z = r}. ( ) 1 + z θ/π. (20) 1 z m(f (D) C r ) θr, r > 0, (21)

18 Θεώρημα 6. Αν θ (0, 2π), f : D C, με Τότε, z D, m(f (D) C r ) θr, r > 0. (22) f (z) f (0) f (0) ( ) 1 + z θ/π f (0). (23) 1 z Η ισότητα στην (23) για κάποιο z 0 = z 0 e iα D \ {0}, τότε f (z) = c ( 1 + e iα ) θ/π z 1 e iα, (24) z c C \ {0}. Εάν η f έχει τη μορφή (24), τότε η (23) ισχύει ως ισότητα z = re iα, 0 r < 1.

19 Τριγωνική ανισότητα, f (z) f (0) ( ) 1 + z θ/π. (25) 1 z f (0) 2θ π f (0). (26) Υπερβολική πυκνότητα και μετρική, κυκλική συμμετρικοποίηση, πόλωση, καθολικές καλύψεις.

20 Υπερβολική πυκνότητα: Ω C υπερβολικός τόπος. Εστω h : Ω D ολόμορφη καθολική κάλυψη. Τότε, Π.χ. λ(z, Ω) = λ(z, D) = Υπερβολική μετρική: z 1, z 2 Ω, ϱ Ω (z 1, z 2 ) = inf Κυκλική συμμετρικοποίηση 2 h (z), z Ω. (27) 1 h(z) 2 2, z D. (28) 1 z 2 γ λ(z, Ω) dz. (29)

21 Απόδειξη Θεωρήματος 6 Λήμμα: θ (0, 2π), Ω C τόπος τ.ω. m(ω C r ) θr, r > 0. Τότε z 1, z 2 Ω, ϱ Ω (z 1, z 2 ) ϱ Dθ ( z 1, z 1 + z 1 z 2 ). (30) Ισότητα στην (30)για z 1, z 2 Ω, z 1 z 2 όταν Ω = e ib D θ, όπου Arg(z 1 ) = Arg(z 2 ) = b και z 1 < z 2.

22 Απόδειξη λήμματος: z 1, z 2 Ω. Βήμα 1. γ Ω τυχαία ομαλή καμπύλη που ενώνει τα z 1, z 2 και ζ γ. Θ.δ.ο. λ(ζ, Ω) λ( z 1 + z 1 ζ, D θ ). (31) 1. λ( ζ, SΩ) λ(ζ, Ω). 2. SΩ D θ λ( ζ, SΩ) λ( ζ, D θ ). 3. λ(z, D θ ) = π z π/θ 1 θr(z π/θ ). 4. λ( ζ, D θ ) = π 1 θ ζ π 1 θ z 1 + z 1 ζ = λ( z 1 + z 1 ζ, D θ ).

23 (1)-(4): Βήμα 2. γ : c(t) : [0, 1] Ω. 5. Από (31), γ λ(ζ, Ω) dζ = λ(ζ, Ω) λ( z 1 + z 1 ζ, D θ ). (31) = λ(c(t), Ω) c (t) dt 6. d dt (z 1 c(t)) d dt z 1 c(t). 0 λ( z 1 + z 1 c(t), D θ ) c (t) dt λ( z 1 + z 1 c(t), D θ ) (z 1 c(t)) dt.

24 7. Από (5), (6) λ(ζ, Ω) dζ γ = 1 λ( z 1 + z 1 c(t), D θ ) d dt z 1 c(t) dt 0 z1 + z 1 z 2 z 1 λ(s, D θ )ds = ϱ Dθ ( z 1, z 1 + z 1 z 2 ), Infimum στην (7) ως προς γ, ϱ Ω (z 1, z 2 ) ϱ Dθ ( z 1, z 1 + z 1 z 2 ).

25 Απόδειξη Θεωρήματος. z D \ {0}, f (0) = Από Λήμμα, ϱ f (D) (1, f (z)) ϱ Dθ (1, 1 + f (z) 1 ). 2. ϱ D (0, z) ϱ f (D) (f (0), f (z)). ( ) 1 + z 3. ϱ D (0, z) = log. 1 z 4. ϱ Dθ (1, 1 + f (z) 1 ) = log (1 + f (z) 1 ) π/θ. (1)-(4) ( ) 1 + z θ/π f (z) z

26 Littlewood: f : D D ολόμορφη, f (0) = 0. Τότε, w f (D), w j z j (w), (32) όπου {z j (w)} οι προεικόνες του w. Lehto: Ισότητα αν-ν f εσωτερική συνάρτηση. Π.χ. f (z) = z n, n N.

27 Burckel, Marshall, Minda, Poggi-Corradini, Ransford : f : D C ολόμορφη, z D, όπου f (z) f (0) Diam(f (D))Ψ( z ), (33) x Ψ(x) = 1 +, x [0, 1]. (34) 1 x 2 D. Betsakos: f : D C ολόμορφη, w f (D) ( ) w f (0) Diam(f (D))Ψ z j (w). (35) j

28 D. Betsakos: f : D C ολόμορφη, μη σταθερή, φραγμένη, f (0) = 0, τότε z D \ {0}, f (z) 4d(f (D))e µ( z ), (36) όπου d(f (D)) η λογαριθμική χωρητικότητα της εικόνας f (D). µ(x) = πk( 1 x 2 ), x (0, 1). (37) 2K(x) K(x) πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα K(x) = 1 0 dt, x (0, 1). (38) (1 t 2 )(1 x 2 t 2 )

29 Θεώρημα 7. f : D C μη σταθερή, φραγμένη, ολόμορφη. Τότε, w f (D) \ {f (0)}, ( w f (0) 4d(f (D)) exp µ ( z j (w) )). (39) Ισότητα στην (39) για κάποιο w 0 f (D) \ {f (0)} αν-ν f = h k + c, όπου, k : εσωτερική συνάρτηση, k(0) = 0, h : σύμμορφη απεικόνιση του D επί του τόπου που είναι φραγμένος από έλλειψη με εστίες τα σημεία 0 και w 0 f (0), c : σταθερά του C. j

30 Από (39), Ισχύει επιπλέον Άρα, f (z) f (0) 4d(f (D)) exp ( µ ( z )), (40) µ(x) > log x 2. (41) x f (0) d(f (D)). (42) Lindelof s principal, Green function, Steiner συμμετρικοποίηση, modulus μετρική και πυκνωτές.

31 Γ. Μια γεωμετρική εκδοχή του λήμματος Schwarz κι ένα φράγμα για ελλειπτικά απλές συναρτήσεις Shah: f : D C ελλειπτικά απλή, ολόμορφη με f (0) = 0, τότε, f (z) z, z D. (43) 1 z 2 D. Betsakos: z D \ {0}, f (z) ϕ µ 1( ) µ( z ) log d e (f (D)), (44) όπου, ϕ(x) = x, x (0, 1), (45) 1 x 2

32 Θεώρημα 8. f : D C ελλειπτικά απλή, ολόμορφη με f (0) = 0. Τότε, w f (D) \ {0}, w ϕ µ 1( µ ( z j (w) ) ) log d e (f (D)). (46) Ισότητα για κάποιο w 0 f (D) \ {0} αν-ν j f = h k, όπου k : εσωτερική συνάρτηση, k(0) = 0, h : σύμμορφη απεικόνιση του D επί του εσωτερικού της καμπύλης Γ(r, w 0 ) για κάποιο r με d e ([0, w 0 ]) < r 1.

33 Ισχύουν x (0, 1) µ(x) > log x 2, (47) x Από (46), (47) και (48) καταλήγουμε ότι µ(x) < log 4 x. (48) f (0) d e f (D). Κυκλική συμμετρικοποίηση και σύνδεση με ελλειπτική χωρητικότητα.

34 φ [0, 2π], A φ := {z = re iφ : 0 r 1}. Θεώρημα 9. Αν f : D C ολόμορφη με f (0) = 0 και (α ) A φ \ f (D), φ [0, 2π], τότε, f (0) 1. (49) Ισότητα στην (49) αν-ν f (z) = cz, c D.

35 Υπερβολική πυκνότητα: λ(z, D) = 2, z D. (50) 1 z 2 Πόρισμα 1. Ω υπερβολικός τόπος στο C. Υποθέτουμε ότι υπάρχει z 0 Ω τ.ω. λ(z 0, Ω) 2. Τότε το Ω είτε περιέχει ένα κλειστό ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1 με ένα άκρο στο z 0, είτε Ω = {z C : z z 0 < 1}. Πόρισμα 2. f : D C ολόμορφη, f (0) = 0. Εάν f (0) 1, τότε είτε f (D) = D, είτε το f (D) περιέχει ένα κλειστό διάστημα μήκους 1 με ένα άκρο στο 0.

36 Βοηθητικοί ορισμοί. Λογαριθμική χωρητικότητα. E C, n 2, d n (E) = sup 1 j<k n z j z k d(e) = lim n d n(e). 2/(n(n 1)). (51) Ελλειπτική χωρητικότητα. z j z k [z j, z k ] e = z j z k 1 + z j z k. (52)

37 Περιγραφή αποδείξεων. Θεώρημα 1. (διαμέτρου). f Σ. Θ.δ.ο. ϕ D (r) = D f (r) r φθίνουσα. Εστω 1 < r < s <. 1. z 1, z 2 C s : z 1 z 2 = D f (s). 2. w = z 1 z 2 = e iα, α R. 3. Φ s (z) = f (wz) f (z), για κάθε z C \ D. ολόμορφη στο C \ D. 5. max Ψ s (z) = max Φ s (z) z C r z C r 2z D f (r). 2r 4. Ψ s (z) = Φ s(z) 2z

38 6. Αρχή Μεγίστου z C \ rd, Ψ s (z) = Φ s (z) 2z D f (r). 2r 7. z = z 2, ϕ D (s) = D f (s) 2s = Φ s (z 2 ) 2z 2 D f (r) 2r = ϕ D (r).

39 Θεώρημα 7. f : D C, f (0) = 0. Εστω w f (D) \ {0}. Θ.δ.ο. w 4d(f (D)) exp µ ( z j (w) ). (53) 1. Αρχή Lindelöf: g D (z j (w), 0) g f (D) (w, 0). j 2. l ευθεία που ορίζουν τα 0, w: g f (D) (w, 0) g Sl f (D)(w, 0). 3. S l f (D) απλά συναφής: µ Sl f (D)(w, 0) = Φ ( g Sl f (D)(w, 0) ). 4. S l f (D) =Steiner συμμετρικοποιημένο, 0, w l : µ Sl f (D)(w, 0) = cap(s l f (D), [0, w]). j

40 5. Αφού g D (z, w) = log 1 zw z w, z w. (1)-(4) Φ log j z j (w) cap(s l f (D), [0, w]). 6. Grötzsch: cap(s l f (D), [0, w]) 7. d(s l f (D)) d(f (D)). 8. d([0, w]) = w 4. 2π log d(s l f (D)) log d([0, w]).

41 9. Φ = Φ 1 Φ 2, Φ 2 (x) = log 1 + e x ( 1 e x, ) 1 Φ 1 (x) = γ, tanh(x/2) γ(x) = 2π µ(1/x), x > 1. Φ(x) = 2π µ(e x ). (54) (5)-(9) w 4d(f (D)) exp µ ( z j (w) ). j

Σχετικά έγγραφα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΞΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΤΟΥ ΛΗΜΜΑΤΟΣ SCHWARZ ΓΙΑ ΟΛΟΜΟΡΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΓΑΛΑΤΕΙΑ