f p = lim (1 a n ) < n=0

Transcript

1 Πανειστήμιο Κρήτης Τμήμα Μαθηματικών Συντελεστές Taylor συναρτήσεων σε χώρους Hardy Καλλιόη Παολίνα Κουτσάκη Ειβλέων Καθηγητής: Μιχαήλ Πααδημητράκης Ειτροή: Μιχαήλ Κολουντζάκης, Θεμιστοκλής Μήτσης και Μιχαήλ Πααδημητράκης 7 Αυγούστου 3

2 Ευχαριστίες Πρώτα α όλα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον ειβλέοντα της διλωματικής εργασίας μου, Αναληρωτή Καθηγητή κ. Μιχαήλ Πααδημητράκη, για την ολύτιμη βοήθεια και καθοδήγησή του κατά τη διάρκεια των σουδών μου. Είσης ευχαριστώ τα υόλοια μέλη της τριμελούς ειτροής, Καθηγητή κ. Μιχαήλ Κολουντζάκη και Αναληρωτή Καθηγητή κ. Θεμιστοκλή Μήτση, για την αοτελεσματική συνεργασία και συμβολή τους στην ολοκλήρωση της αρούσας εργασίας. Καλλιόη Παολίνα Κουτσάκη

3 Κεφάλαιο Εισαγωγή Θα συμβολίζουμε με D το μοναδιαίο δίσκο, δηλαδή D = {z C : z < } και με H(D) το χώρο των αναλυτικών συναρτήσεων στο δίσκο. Ορισμοί. Αν r < και f H(D), θέτουμε M p (r, f) = /p f(re iθ ) p dθ, όταν < p <, M (r, f) = sup f(re iθ ) και M (r, f) = exp log + f(re iθ ) dθ θ Αν f H(D) και p, θέτουμε f p = sup{m p (r, f) : r < } Αν < p, ο χώρος Hardy H p αοτελείται αό εκείνες τις συναρτήσεις f στον H(D) για τις οοίες f p <. Ορίζουμε N να είναι η κλάση των συναρτήσεων f f <. H(D) για τις οοίες Σχόλια. [] Ισχύει ότι H H p H s N, αν < s < p <. [] Οταν p, το M p (r, f) είναι αύξουσα συνάρτηση του r. Εομένως, f p = lim r M p (r, f). [3] Οταν p, ο χώρος H p είναι χώρος Banach. Ορισμός. Μια ακολουθία σημείων (a n ) στο μοναδιαίο δίσκο, με a n, λέμε ότι ικανοοιεί την συνθήκη Blaschke, όταν ( a n ) < n=

4 Δοσμένης μιας τέτοιας ακολουθίας, το γινόμενο Blaschke ορίζεται να είναι B(z) = z k n= a n a n a n z a n z όου k μη αρνητικός ακέραιος. Το γινόμενο Blaschke ορίζει συνάρτηση αναλυτική στο δίσκο με μοναδικές ρίζες τα a n (και το αν k > ). Ειλέον, B(z) < και, άρα, B H. Λήμμα.. Ισχύει ότι log e iθ dθ =. Αόδειξη. Εστω Ω = {z : Re z < }. Αφού z στο Ω και το Ω είναι αλά συνεκτικό, υάρχει h H(Ω) τέτοια ώστε exp{h(z)} = z στο Ω, και η h είναι μοναδικά ορισμένη αν ειβάλλουμε τη συνθήκη h() =. Εειδή Re( z) > στο Ω, έχουμε Re h(z) = log z, Im h(z) < (z Ω). (.) Για μικρό δ >, έστω Γ το μονοάτι Γ(t) = e it (δ t δ) (.) και έστω γ το τόξο με κέντρο το, το οοίο διέρχεται αό το e iδ στο e iδ εσωτερικά του D. Τότε δ δ log e iθ dθ = Re [ h(z) dz ] [ = Re h(z) dz ] i Γ z i γ z (.3) Το μήκος του γ είναι μικρότερο αό δ, έτσι η (.) δείχνει ότι η αόλυτη τιμή του τελευταίου ολοκληρώματος στην (.3) είναι μικρότερο αό Cδ log δ, όου C σταθερά. Το αοτέλεσμα ροκύτει αν άρουμε όριο δ. Θεώρημα.. Εστω Ω = D(; R), f H(Ω), f(), < r < R και a,, a N οι ρίζες της f στο D(; r), λαμβάνοντας υόψη και την ολλαλότητά τους. Τότε N r f() a n = exp log f(re iθ ) dθ (.4) n= 3

5 Αόδειξη. Χωρίζουμε τα σημεία a j έτσι ώστε τα a,, a m να είναι στο D(; r) και a m+ = = a N = r. Θέτουμε g(z) = f(z) m n= r a n z r(a n z) N n=m+ a n a n z (.5) Τότε g H(D), όου D = D(; r + ɛ) για κάοιο ɛ >, η g δεν έχει ρίζες στο D, εομένως η log g(z) είναι αρμονική στο D και, άρα, Αό την (.5), log g() = g() = f() log g(re iθ ) dθ. (.6) m n= r a n. (.7) Για n m, οι αράγοντες στην (.5) έχουν αόλυτη τιμή ίση με αν z = r. Αν, τώρα, a n = re iθ n για m < n N, συνεάγεται ότι log g(re iθ ) = log f(re iθ ) Η (.8) και το λήμμα (.) μας δίνει ότι log f(re iθ ) dθ = = N n=m+ log g(re iθ ) dθ + log g(re iθ ) dθ log e i(θ θ n) (.8) N n=m+ Εομένως, λόγω της (.6) και της (.7), m exp log f(re iθ ) dθ = g() = f() r a n και η αόδειξη είναι λήρης. log e i(θ θ n) dθ Θεώρημα.. Υοθέτουμε ότι f N, η f δεν είναι ταυτοτικά μηδέν στο D, και a, a, είναι οι ρίζες της f, λαμβάνοντας υόψη και την ολλαλότητά τους. Τότε, τα a n ικανοοιούν τη συνθήκη του Blaschke. n= 4

6 Αόδειξη. Θα χρησιμοοιήσουμε χωρις αόδειξη το εξής αοτέλεσμα αό τη θεωρία άειρων γινομένων: Εστω u n <. Τότε ( u n ) > αν και μόνο αν u n <. (*) n= Στη συνέχεια θα υοθέσουμε ότι η f έχει άειρες ρίζες στο D. Αν είχε μόνο εερασμένες, τότε το αραάνω γινόμενο θα ήταν εερασμένο και δε θα υήρχε κάτι ρος αόδειξη. Είσης, υοθέτουμε ότι a n a n+. Αν το είναι ρίζα της f τάξης m, και g(z) = z m f(z), τότε g N και η g έχει τις ίδιες ρίζες με την f, εκτός του μηδενός. Εομένως, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μορούμε να υοθέσουμε ότι f(). Εστω n(r) το λήθος των ριζών της f στο D(; r). Σταθεροοιούμε ακέραιο k και βρίσκουμε r <, τέτοιο ώστε n(r) > k. Τότε αό το θεώρημα (.) συνεάγεται ότι, f() k r a n f() = exp exp n= n(r) r a n n= n= log f(re iθ ) dθ log + f(re iθ ) dθ Αφού f N, θα υάρχει σταθερά C, τέτοια ώστε το τελευταίο εκθετικό στην αραάνω εξίσωση να είναι φραγμένο αό C για κάθε r <. Άρα, έχουμε k a n C f() r k n= Εομένως, με το k σταθερό, αφήνουμε το r και ροκύτει k a n C f() (.9) Η (.9) ισχύει για κάθε k, άρα n= n= a n C f() > Τελικά, με βάση την (*), ροκύτει το ζητούμενο. Θεώρημα.3. Υοθέτουμε ότι f H p, < p, η f δεν είναι ταυτοτικά μηδέν και έστω B το γινόμενο Blaschke ου αντιστοιχεί στις ρίζες της f. Θέτουμε g = f/b. Τότε, g H p και g p = f p. 5

7 Αόδειξη. Εστω B n το εερασμένο γινόμενο Blaschke ου αντιστοιχεί στις n ρώτες ρίζες της f, λαμβάνοντας υόψη και την ολλαλότητά τους. Θέτουμε g n = f/b n. Αφού για κάθε n έχουμε ότι B n (re iθ ) ομοιόμορφα καθώς r, ισχύει ότι g n p = lim r g n (re iθ ) p dθ = lim r f(re iθ ) B n (re iθ ) p dθ = f p Είσης, η g n είναι αύξουσα ως ρος n και g n g, άρα αό το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης, g(re iθ ) p dθ = lim g n (re iθ ) p dθ n Το δεξί μέλος της τελευταίας εξίσωσης είναι το ολύ f p για κάθε < r <. Εομένως, αν άρουμε όριο r, ροκύτει g p f p. Τέλος, εειδή g(z) f(z), για κάθε σημείο του μοναδιαίου δίσκου, αίρνουμε και g p f p, ου μαζί με την αραάνω ανισότητα μας δίνει το ζητούμενο. Θεώρημα.4. Υοθέτουμε ότι f H p, < p, η f δεν είναι ταυτοτικά μηδέν και έστω B το γινόμενο Blaschke ου αντιστοιχεί στις ρίζες της f. Τότε υάρχει συνάρτηση h H, η οοία δε μηδενίζεται, τέτοια ώστε f = B h /p (.) Αόδειξη. Αό το ροηγούμενο θεώρημα έχουμε ότι f/b H p και μάλιστα f/b p = f p. Εειδή η f/b δεν έχει ρίζες στο δίσκο, ο οοίος είναι αλά συνεκτικό σύνολο, υάρχει αναλυτική συνάρτηση φ, τέτοια ώστε exp(φ) = f/b. Θέτουμε h = exp(pφ/). Τότε η h είναι αναλυτική και h = f p και άρα, h H. 6

8 Κεφάλαιο Συντελεστές Taylor στους χώρους H p Θεώρημα.. Εστω f(z) = a n z n. Τότε f H αν και μόνο αν n= a n <. Πιο συγκεκριμένα, αν f H, έχουμε ότι a n = f. n= Θεώρημα.. Αν f H, f(z) = a n z n, τότε n= n= n= a n n+ f. Για την αόδειξη του θεωρήματος θα χρειαστούμε τα αρακάτω λήμματα. Το ρώτο λήμμα είναι η ανισότητα Fejer-Riesz: Λήμμα.. Αν g H p, < p <, το ολοκλήρωμα της g(x) p κατά μήκος του τμήματος x συγκλίνει, και g(x) p dx g(e iθ ) p dθ (.) Αόδειξη. Θεωρούμε ρώτα την ερίτωση p =, και υοθέτουμε για τη στιγμή ότι η g είναι ραγματική στον ραγματικό άξονα. Αό το θεώρημα του Cauchy, ροκύτει ότι r [g(x)] dx + [g(z)] dz =, (.) όου Γ = {re iθ, θ }, και < r <. Τώρα, η (.) γίνεται r r [g(x)] dx + Γ [g(re iθ )] ire iθ dθ = r 7

9 Εειδή η g είναι ραγματική στον ραγματικό άξονα, r [g(x)] dx = ir [g(re iθ )] e iθ dθ r [g(re iθ )] e iθ dθ r για κάθε r <. Εομένως, r [g(x)] dx g(re iθ ) dθ (.3) r Ομοια, στο κάτω ημικύκλιο Γ = {re iθ, θ }, r [g(x)] dx = [g(z)] dz Άρα, r Γ r [g(x)] dx = ir [g(re iθ )] e iθ dθ r r r [g(re iθ )] e iθ dθ g(re iθ ) dθ Προσθέτουμε τις (.3) και (.4), r g(re iθ ) dθ (.4) [g(x)] dx g(re iθ ) dθ g(e iθ ) dθ r Η ζητούμενη ανισότητα ροκύτει αν άρουμε όριο r. Στη γενικότερη ερίτωση, γράφουμε την τυχαία συνάρτηση g H στη μορφή g(z) = (b n + ic n )z n = b n z n + i c n z n = g (z) + ig (z), n= n= n= 8

10 όου οι g και g ειναι στον H και είναι ραγματικές στον ραγματικό άξονα. Εομένως, αό τα ροηγούμενα, g(x) dx = g (x) dx + g (x) dx g (e iθ ) dθ + g (e iθ ) dθ = g(e iθ ) dθ i [g (e iθ )g (e iθ ) g (e iθ )g (e iθ )] dθ Ομως το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι μηδέν, αφού η ρος ολοκλήρωση συνάρτηση είναι εριττή συνάρτηση του θ. Για να ροκύψει το αοτέλεσμα για γενικό p, θεωρούμε g συνάρτηση στον H p και έστω B το γινόμενο Blaschke ου αντιστοιχεί στις ρίζες της g. Τότε, αό το Θεώρημα.4, υάρχει συνάρτηση h H, η οοία δε μηδενίζεται, τέτοια ώστε g = Bh p. Εχουμε ότι, g(x) p dx = h p (x) p dx h(e iθ ) dθ = g(e iθ ) p dθ. Λήμμα.. Εστω g, h H με g(z) = b n z n και h(z) = c n z n. Τότε, n,m= n= b n c m n + m + g h. Αόδειξη. Θεωρούμε τις συναρτήσεις G(z) = n= n= b n z n και H(z) = c n z n, για τις οοίες ισχύει ότι G, H H, G = g και H = h. n= 9

11 Εχουμε ότι, G(x)H(x) dx = = = ( ) ( ) b n x n c m x m dx n= n,m= n,m= m= b n c m x n+m dx b n c m n + m + και αό την ανισότητα Cauchy-Schwarz και το Λήμμα., έχουμε τελικά b n c m n + m + [G(x)] dx [H(x)] dx n,m= [G(x)] dx ( G G(e iθ ) dθ ) = g h. ( H ) [H(x)] dx H(e iθ ) dθ Και τώρα είμαστε έτοιμοι να αοδείξουμε το Θεώρημα.: Αόδειξη. Εστω f H, f(z) = a n z n. Μορούμε, σύμφωνα με το Θεώρημα n=.3, να γράψουμε την f στη μορφη f = Bg, όου B το γινόμενο Blaschke ου αντιστοιχεί στις ρίζες τις f και g συνάρτηση στον H, η οοία δε μηδενίζεται, με g = f. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f = Bg και f = g. Τότε f, f H και f = f = f. Αν b n z n και c n z n είναι οι σειρές Taylor των f n= και f αντίστοιχα, τότε οι συντελεστές Taylor της f δίνονται αό τον τύο: a n = n c k b n k k= n=

12 Είναι, n= a m n + = n= ( n,m= n + ) n c k b n k k= b n c m n + m + f f = f. Θεώρημα.3. Αν f H p, όου p, με f(z) = a n z n, τότε Πιο συγκεκριμένα, n= (n + ) p a n p <. n= όου C p σταθερά ανεξάρτητη της f. n= ( ) p (n + ) p a n p C p f p, (.5) Αόδειξη. Εστω µ θετικό μέτρο ορισμένο στους ακέραιους ως εξής: Αν g L και g(t) µ ({n}) = ( n + ), n =, ±, ±,... n= b n e int, ορίζουμε g(n) = ( n + )b n, n =, ±, ±,... Για κάθε s >, ορίζουμε το σύνολο E s = {n : g(n) > s} Τότε, s µ(e s ) = n E s µ(n)s n E s µ(n) g(n) = n= n= µ(n) g(n) b n

13 Δηλαδή, s µ(e s ) g L (.6) Τώρα, αφού b n g L, και άρα E s F s = {n : ( n + ) g L > s}, έχουμε ότι, µ(e s ) µ(f s ) = n F s µ(n) = [ n = [ [ n= [ n= ] s g ] s g ] s g ] s g ( n + ) (n + ) ( n ) n + Τελικά, µ(e s ) Cs g. (.7) Γράφουμε τη g στη μορφή: g(t) = φ s (t) + ψ s (t), όου φ s (t) = { g(t), g(t) s, g(t) < s. Τότε, ( n + ) p b n p = g(n) p µ(n) n= n= ( p φ s (n) p µ(n) + n= n= ) ψ s (n) p µ(n). (.8)

14 Ορίζουμε ( α(s) = µ {n : φ ) s (n) > s}, ( β(s) = µ {n : ψ ) s (n) > s}. Εφαρμόζοντας την (.7) στην φ s, n= φ s (n) p µ(n) = p pc = pc = pc = s p α(s) ds s φ s s p ds s p g(t) pc (p ) = A p όου η σταθερά A p εξαρτάται μόνο αό το p. Παρόμοια, n= g(t) g(t) p dt, φ s (t) dt ds s p ds dt g(t) g(t) p dt ψ s (n) p µ(n) = p s p b(s)ds και εφαρμόζοντας αυτή τη φορά την (.6) στην ψ s, 3

15 n= ψ s (n) p µ(n) p = p = p = s p 3 ψ s ds s p 3 g(t) p (p ) = B p ψ s (t) dt ds g(t) g(t) p dt. Τώρα, σε συνδυασμό με την (.8), έχουμε ότι όταν g L. ( n= ( n + ) p b n p ) p s p 3 ds dt g(t) ( g(t) p ) dt C p g p, (.9) Αν, τώρα, f L p με p <, τότε η (.5) ροκύτει ροσεγγίζοντας τη συνοριακή συνάρτηση f(e it ) με τις { f(e it ), f(e it ) M g M (t) =, f(e it ) > M, στις οοίες εφαρμόζουμε την (.8) κι έειτα αφήνουμε το M να άει στο άειρο. Θεώρημα.4. Εστω q < και έστω {a n } n ακολουθία μιγαδικών αριθμών για τους οοίους ισχύει n q a n q <. n= 4

16 Τότε η συνάρτηση f(z) = a n z n είναι στον H q και n= f q C q ( n= ) q (n + ) q a n q, όου C q σταθερά η οοία εξαρτάται μόνο αό το q. Αόδειξη. Εστω q ο συζυγής εκθέτης του q, δηλαδή q = Εστω, είσης, G(e iθ ) = G L q. n k= n c k e ikθ q q, και, άρα, < q. ένα τυχαίο τριγωνομετρικό ολυώνυμο με Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση g(e iθ ) = n c k e ikθ είναι στον H q και ισχύει ότι όου το A q εξαρτάται μόνο αό το q. k= g q A q G L q A q, (.) Θέτουμε s n (z) = n a k z k. Τότε, k= G(e iθ )s n (re iθ ) dθ = ( n ( n c k e ikθ) k= n j= a j e ijθ r j ) dθ = ( n k= n ) n c k a j e i(k j)θ r j j= dθ = n k= n n j= c k a j e i(k j)θ r j dθ = n c j a j r j. j= 5

17 Αό την ανισότητα Hölder, και εειδή q q n G(e iθ )s n (re iθ ) dθ c k a k = k= n k= = q q έχουμε, c k (k + ) q q a k (k + ) q q ( n c k q (k + ) q k= ) q ( n k= a k q (k + ) q ) q Τώρα, αό το Θεώρημα.3 και την (.), ( n G(e iθ )s n (re iθ ) dθ C q A q k= a k q (k + ) q ) q Εειδή αυτό ισχύει για κάθε τριγωνομετρικό ολυώνυμο G με G L p, έχουμε ότι, M q (r, s n ) = sup G(e iθ )s n (re G L q, iθ ) dθ G τριγ. ολ. C q A q ( n k= a k q (k + ) q ) q και το αοτέλεσμα ροκύτει αν αφήσουμε το n να άει στο άειρο. 6

18 Κεφάλαιο 3 Αναλυτικές συναρτήσεις με συντελεστές Taylor ου φθίνουν Θεώρημα 3.. Εστω < p <. Αν η (a n ) n N είναι φθίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim a n =, τοτε η συνάρτηση f(z) = a n z n είναι στον H p n n= αν και μόνο αν (n + ) p a n p <. n= Αόδειξη. Αν < p, το ευθύ ροκύτει αό το Θεώρημα.3. Υοθέτουμε, λοιόν, ότι Είναι, (n + ) p a n p <. n= f(e iθ ) = a n e inθ n= N a n + n= N a n + n= n=n+ n=n+ a n e inθ a n ( n k= e ikθ n ikθ) e k= Θέτουμε s n = n e ikθ και A N = k= N a n. n= 7

19 Δηλαδή, έχουμε, f(e iθ ) A N + = A N + = A N + = A N + Αλλά, n=n+ n=n+ n=n+ n=n+ a n (s n s n ) a n s n a n s n A N + a N+ s N + s n = και εομένως, s n sin θ. n k= Ομως, για θ [, ], ισχύει ότι, θ έχουμε, Τώρα f(e iθ ) A N n=n+ a n s n a n+ s n n=n (a n a n+ )s n a N+ s N e ikθ = e inθ + a N+ θ = A N + θ a N+ f(e iθ ) p dθ = n=n+ (a n a n+ ) s n sin (n+)θ sin θ, sin θ θ, κι αφού η a n έχει όριο μηδέν, ( A N ( A N + θ n=n+ (a n a n+ ) + ) p θ a N+ dθ + ) p θ a N+ dθ Για θ [ N+, N ], ισχύει ότι N θ N, και τότε έχουμε f(e iθ ) A N + 4Na N+ A N + 4Na N. 8

20 Εομένως, f(e iθ ) p dθ N= N= N N+ N N+ ( A N + ) p θ a N+ dθ (A N + 4Na N ) p dθ Η ακολουθία των a n, όμως, είναι φθίνουσα, κι έτσι Άρα, A N = N a n (N + )a N Na N. n= f(e iθ ) p dθ Αρκεί, δηλαδή, να δείξουμε ότι N= a p N N p <. Εστω σ N = n=n n. Τότε, M N= A p N = N = M = N= N= N N+ 5 p A p N N= 5 p N= (5A N ) p dθ A p N N= N(N + ) N A p N N <, αν γνωρίζουμε ότι A p N (σ N σ N+ ) M A p N σ N N= A p σ + 9 M+ N= A p N σ N M (A p N Ap N )σ N N=

21 Αλλά, και AN A p N Ap N = p A N x p dx pa p N σ N N (A N A N ) = pa p N a N Εομένως, M N= A p N N A p σ + Αό την ανισότητα Hölder, έχουμε Είναι, δηλαδή, M N= M N= το οοίο μας δίνει A p N a N A p N M N= M N = N= ( M N= M N= A p N A p N A p N a N N C M N= A p N a N N ( ) ( ) p p p a n N N ) /p ( M ) /p a p N N N p N= ( M ) /p ( N C M ) /p A p N a p N N N p, N= N= A p N N C p M a p N N p C p N= N= Αφού η (3.) ισχύει για κάθε M, ροκύτει ότι A p N N C p a p N N p <. N= N= a p N N p. (3.) Θεώρημα 3.. Εστω (a n ) n N φθίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim a n =. Τότε η f(z) = a n z n είναι στον H αν και μόνο αν n n= a n n= n+ <.

22 Είσης, υάρχει σταθερά C ανεξάρτητη των a n, τέτοια ώστε C a k f k + C f. k= Αόδειξη. Το ευθύ είναι ουσιαστικά το Θεώρημα.. Για το αντίστροφο, γράφουμε την f στη μορφή f(z) = (a k a k+ ) k= με τη βοήθεια της άθροισης κατά μέρη. k j= z j Άρα, για < r <, M (r, f) = f(re iθ ) dθ ( a k a k+ k= (a k a k+ ) k= (a k a k+ ) k= και αν χρησιμοοιήσουμε την εκτίμηση k e ijθ dθ C j= k j= την οοία αοδεικνύουμε αρακάτω, έχουμε M (r, f) C (a k a k+ ) = C = C k= j= j= j + ) k r j e ijθ dθ j= k r j e ijθ dθ j= k e ijθ dθ j= j +. k j= j + (a k a k+ ) k=j j + a j.

23 Τελικά, f C k= a k k +. Λήμμα 3.. k e ijθ dθ C log(k + ) C j= Αόδειξη. Είδαμε στο Θεώρημα 3. ότι k e ijθ sin (k+)θ = sin θ j= k j= sin (k+)θ θ j +. Εομένως, k e ijθ dθ j= sin (k+)θ = k+ k+ θ sin (k+)θ θ dθ dθ + sin (k+)θ k+ k+ θ dθ + θ θ dθ k+ = ( + log + log(k + )) C log(k + ) θ dθ C k j= j +

24 Βιβλιογραφία [] Duren, Peter Larkin. (97) Theory of Hp spaces New York ; Academic Press, [] Miroslav Pavlović (3). Analytic functions with decreasing coefficients and Hardy and Bloch spaces. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series ), 56, pp doi:.7/s3953x. 3