Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Διδακτορική Διατριβή Γεωμετρικές Εκδοχές Λήμματος Schwarz και Ημιομάδ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Διδακτορική Διατριβή Γεωμετρικές Εκδοχές Λήμματος Schwarz και Ημιομάδ"

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Διδακτορική Διατριβή Γεωμετρικές Εκδοχές Λήμματος Schwarz και Ημιομάδες Ολόμορφων Συναρτήσεων Μαρία Κούρου Θεσσαλονίκη, 219

2

3 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Διδακτορική Διατριβή Γεωμετρικές Εκδοχές Λήμματος Schwarz και Ημιομάδες Ολόμορφων Συναρτήσεων Μαρία Κούρου Το έργο συγχρηματοδοτείται από την Ελλάδα και την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) μέσω του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Ανάπτυξη Ανθρώπινου Δυναμικού, Εκπαίδευση και Διά Βίου Μάθηση», στο πλαίσιο της Πράξης «Ενίσχυση του ανθρώπινου ερευνητικού δυναμικού μέσω της υλοποίησης διδακτορικής έρευνας» (MIS-5432), που υλοποιεί το Ιδρυμα Κρατικών Υποτροφιών (ΙΚΥ).

4

5 Υποβλήθηκε στη Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Ημερομηνία Προφορικής Εξέτασης: 21 Μαΐου 219 Την τριμελή συμβουλευτική επιτροπή της διδακτορικής διατριβής απετέλεσαν οι Π. Γαλανόπουλος, Επίκουρος Καθηγητής, Δ. Μπετσάκος, Καθηγητής (επιβλέπων), Αν. Φωτιάδης, Επίκουρος Καθηγητής. Στην επταμελή εξεταστική επιτροπή συμμετείχαν επιπλέον οι Ρ.-Δ. Μαλικιώσης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Μ. Μαριάς, Καθηγητής, Φ. Πεταλίδου, Επίκουρη Καθηγήτρια, Σ. Σταματάκης, Καθηγητής.

6

7 Μαρία Κούρου Α.Π.Θ. Τίτλος: Γεωμετρικές Εκδοχές Λήμματος Schwarz και Ημιομάδες Ολόμορφων Συναρτήσεων Η έγκριση της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα. (Ν. 5343/1932, άρθρο 22, παρ. 2)

8

9 Ευχαριστίες Αρχικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου Δημήτριο Μπετσάκο για τη συνεχή στήριξη, τις συμβουλές και τη μύηση στον ερευνητικό χώρο της Μιγαδικής Ανάλυσης. Παράλληλα, θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Επιπλέον, ευχαριστώ τα άλλα δύο μέλη της τριμελούς επιτροπής Πέτρο Γαλανόπουλο και Ανέστη Φωτιάδη για την ενθάρρυνση και το ενδιαφέρον τους ήδη από τα χρόνια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Ευχαριστώ τα μέλη της επταμελούς επιτροπής για τις παρατηρήσεις τους. Παράλληλα, ευχαριστώ όλα τα μέλη του Τμήματος Μαθηματικών Α.Π.Θ. για τη συμβολή τους στις σπουδές μου τα τελευταία δέκα χρόνια. Θα ήθελα να ευχαριστήσω το Ιδρυμα Κρατικών Υποτροφιών, καθώς μέρος της έρευνας μου (κατά την περίοδο Απρίλιος 218-Μάρτιος 219) πραγματοποιήθηκε με χρηματοδότηση στα πλαίσια της Πράξης «Ενίσχυση του ανθρώπινου ερευνητικού δυναμικού μέσω της υλοποίησης διδακτορικής έρευνας». Ευχαριστώ ακόμη τους γονείς μου, Ευάγγελο και Παρασκευή, και την αδερφή μου Άννα, για την υποστήριξή τους σε όλα τα επίπεδα και τους αφιερώνω την εργασία μου.

10

11 Περιεχόμενα 1 Κλάσεις Ολόμορφων Συναρτήσεων Αμφιμονότιμες ολόμορφες συναρτήσεις Αστρόμορφες Συναρτήσεις Κυρτές Συναρτήσεις - Κυρτές ως προς Κατεύθυνση Συναρτήσεις Θεωρία Δυναμικού Αρμονικές και Υφαρμονικές Συναρτήσεις Λογαριθμική Χωρητικότητα Αρμονικό Μέτρο Συνάρτηση και Δυναμικό Green Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz Θεωρήματα Μονοτονίας Οι εκτιμήσεις του Keogh Εκδοχές Λήμματος Schwarz για κυρτές συναρτήσεις Ολική Απόλυτη Καμπυλότητα L p -νόρμα της καμπυλότητας Μετασχηματισμοί Möbius Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου Η υπερβολική μετρική Ημι-υπερβολική μετρική Υπερβολική Χωρητικότητα Αρχή Ανάκλασης του Minda Υπερβολικά Κυρτές Συναρτήσεις Παραλλαγές Λήμματος Schwarz Ημιομάδες Ολόμορφων Συναρτήσεων Η συνάρτηση Koenigs Τροχιά συμπαγούς συνόλου Αρμονικό μέτρο Ενέργεια Green Ποσότητες της Υπερβολικής Γεωμετρίας Μηδενικό υπερβολικό βήμα

12 6 Overview Euclidean Geometry in the Unit Disk Hyperbolic Geometric Aspects of Schwarz s Lemma Importance of Hyperbolic Convexity Semigroups of Holomorphic Functions Βιβλιογραφία Ευρετήριο... 99

13 Εισαγωγή Η διδακτορική μου διατριβή εμπίπτει κυρίως στην περιοχή της Μιγαδικής Ανάλυσης και σχετίζεται άμεσα με τη Γεωμετρία. Πιο συγκεκριμένα, οι δύο πρώτες εργασίες μου Conformal Mapping, Convexity and Total Absolute Curvature Length and Area Estimates for (Hyperbolically) Convex Mappings, οι οποίες είναι δημοσιευμένες στα περιδικά Conformal Geometry and Dynamics, AMS, και Computational Methods and Function Theory, αντίστοιχα, εμπίπτουν στην περιοχή της Γεωμετρικής Θεωρίας Συναρτήσεων. Σε αυτές εξετάζονται θεωρήματα μονοτονίας και γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz στην Ευκλείδεια αλλά και την Υπερβολική Γεωμετρία. Η τρίτη εργασία μου Harmonic Measures, Green Potentials and Semigroups of Holomorphic Functions, η οποία είναι δημοσιευμένη στο περιοδικό Potential Analysis πραγματεύεται προβλήματα που συνδυάζουν τη Γεωμετρική Θεωρία Συναρτήσεων και τη Θεωρία Δυναμικού. Μελετώνται οι ημιομάδες ολόμορφων συναρτήσεων του μοναδιαίου δίσκου καθώς και η ασυμπτωτική συμπεριφορά των εικόνων συμπαγών συνόλων. Η ασυμπτωτική συμπεριφορά εξετάζεται υπό το πρίσμα μεγεθών της Υπερβολικής Γεωμετρίας και της Θεωρίας Δυναμικού. Τα πρώτα δύο κεφάλαια είναι εισαγωγικά και περιέχουν έννοιες σχετικές με τις ολόμορφες συναρτήσεις αλλά και με τη Θεωρία Δυναμικού. Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται αρχικά ήδη γνωστά θεωρήματα μονοτονίας, που αποτελούν γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz. Στην πορεία, αποδεικνύουμε δύο θεωρήματα μονοτονίας για κυρτές συναρτήσεις και μία γεωμετρική παραλλαγή του Λήμματος Schwarz για την ολική καμπυλότητα. Στο τέταρτο κεφάλαιο, εξετάζουμε αν υπάρχουν αντίστοιχα θεωρήματα μονοτονίας όταν ο μοναδιαίος δίσκος είναι εφοδιασμένος με την υπερβολική μετρική. Αποδεικνύουμε γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz για την κλάση των υπερβολικά κυρτών συναρτήσεων. Στο πέμπτο κεφάλαιο, γίνεται εισαγωγή στη θεωρία των ημιομάδων ολόμορφων συναρτήσεων του μοναδιαίου δίσκου. Διατυπυπώνουμε το πρόβλημα με το οποίο ασχολούμαστε, που αφορά τη συμπεριφορά της εικόνας ενός συμπαγούς συνόλου μέσω μίας ημιομάδας. 3

14

15 Κεφάλαιο 1 Κλάσεις Ολόμορφων Συναρτήσεων Στο εισαγωγικό αυτό κεφάλαιο, θα δούμε βασικές ιδιότητες διαφόρων σημαντικών κλάσεων ολόμορφων συναρτήσεων του μιγαδικού επιπέδου. Οι ολόμορφες συναρτήσεις έχουν μελετηθεί εκτενώς τον 2ό αιώνα. Παραπέμπουμε στα εξής βιβλία που περιέχουν αναλυτικά τη θεωρία που θα παρουσιαστεί στο συγκεκριμένο κεφάλαιο [23], [35], [62], [63]. Στα επόμενα κεφάλαια θα χρησιμοποιηθούν οι εξής συμβολισμοί. Με D συμβολίζουμε το μοναδιαίο δίσκο D = {z C : z < 1} και με r D το δίσκο r D = {z C : z < r}, για r (, 1). Επίσης, για z C, ορίζεται ο δίσκος κέντρου z και ακτίνας r ως D(z, r) = {w C : z w < r}. Το σύνορο του D, δηλαδή ο μοναδιαίος κύκλος, θα συμβολίζεται με T και με r T ο κύκλος κέντρου μηδέν και ακτίνας r (, 1). 1.1 Αμφιμονότιμες ολόμορφες συναρτήσεις Εστω H ένα χωρίο του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου Ĉ = C { }. Μία συνάρτηση ονομάζεται αμφιμονότιμη ολόμορφη στο H αν και μόνο αν είναι ολόμορφη στο H (εκτός ίσως από ένα σημείο, το οποίο είναι απλός πόλος της) και f(z 1 ) f(z 2 ), z 1, z 2 H, με z 1 z 2. Η συνάρτηση f ονομάζεται τοπικά αμφιμονότιμη στο z H αν είναι αμφιμονότιμη σε μία περιοχή του z. Μία ισοδύναμη συνθήκη για να είναι μία συνάρτηση f τοπικά αμφιμονότιμη σε ένα σημείο z H είναι η f (z ). 5

16 Αμφιμονότιμες ολόμορφες συναρτήσεις Αν μία συνάρτηση είναι αμφιμονότιμη ολόμορφη στο χωρίο H, τότε καλείται σύμμορφη απεικόνιση. Από το Θεωρήματος Σύμμορφης Απεικόνισης του Riemann [28, σελ. 295], κάθε απλά συνεκτικό χωρίο, διάφορο του C, απεικονίζεται σύμμορφα στο μοναδιαίο δίσκο. Ετσι, αρκεί να εξετάσουμε τη θεωρία των σύμμορφων απεικονίσεων που ορίζονται επί του μοναδιαίου δίσκου. Θεωρούμε μία κανονικοποίηση της σύμμορφης απεικόνισης f στο μοναδιαίο δίσκο D, δηλαδή f() = και f () = 1. Τότε η f γράφεται ως δυναμοσειρά γύρω από το με την εξής μορφή f(z) = z + a 2 z , για z D. Θεωρούμε την κλάση Schlicht των συναρτήσεων S = { f : D C σύμμορφη : f(z) = z + a 2 z }. Ενα βασικό παράδειγμα συνάρτησης στην S είναι η συνάρτηση του Koebe, k(z) = z (1 z) 2 = z + 2z2 + 3z , η οποία απεικονίζει το D σύμμορφα στο C \ (, 1 4]. Η συνάρτηση k β (z) = z (1 e iβ z) 2, β R, επίσης ανήκει στην κλάση S και είναι ουσιαστικά στροφή της συνάρτησης του Koebe. Για τις συναρτήσεις της κλάσης S, υπάρχει πληθώρα θεωρημάτων αυξητικότητας και στρέβλωσης. Ενα από τα βασικότερα είναι η εικασία του Bieberbach [62, 1.3], όσον αφορά τους συντελεστές της δυναμοσειράς μίας f S. Θεώρημα 1.1 (De Brange). Αν f S, τότε a n n, για κάθε n 2, με ισότητα αν και μόνο αν η f είναι στροφή της συνάρτησης του Koebe. Επίσης, έχουμε το ονομαζόμενο 1 4-Θεώρημα του Koebe. Θεώρημα 1.2. [23, Θεώρημα 2.3] Εστω f S. Τότε 1 4 dist(, f(d)) 1 4. Επεται, επομένως, ότι στην εικόνα f(d) περιέχεται πάντα ένας δίσκος κέντρου και ακτίνας. Παράλληλα, ισχύει το εξής αποτέλεσμα. Θεώρημα 1.3. [23, Θεώρημα 2.4] Για κάθε f S, zf (z) f (z) 2r2 1 r 2 4r, z = r < 1. 1 r2 Ετσι καταλήγουμε στο Θεώρημα Στρέβλωσης του Koebe.

17 Κεφάλαιο 1. Κλάσεις Ολόμορφων Συναρτήσεων 7 Θεώρημα 1.4. [62, Θεώρημα 1.6] Αν f S, τότε, για κάθε z D, z (1 + z ) 2 f(z) z (1 z ) 2 1 z (1 + z ) 3 f (z) 1 + z (1 z ) 3 1 z 1 + z z f (z) f (z) 1 + z 1 z Η ισότητα ισχύει, σε κάθε περίπτωση, αν και μόνο αν η f είναι στροφή της συνάρτησης του Koebe. Επιπλέον, έχουμε και το αντίστροφο, δηλαδή μία ανισότητα που αποτελεί συνθήκη ώστε η f να είναι αμφιμονότιμη. Θεώρημα 1.5. [63, Θεώρημα 1.11] Εστω f μία ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη συνάρτηση στο D. Αν ισχύει (1 z 2 ) z f (z) f (z) 1, z D, τότε η f είναι αμφιμονότιμη ολόμορφη στο D. 1.2 Αστρόμορφες Συναρτήσεις Πριν δώσουμε τον ορισμό της αστρόμορφης συνάρτησης, θα αναφέρουμε την εξής κλάση (κλάση του Καραθεοδωρή [62, σελ. 39]) ολόμορφων συναρτήσεων P = {φ : D C ολόμορφη με φ() = 1 και Re φ(z) > }. Σύμφωνα με τον τύπο του Herglotz [62, Θεώρημα 2.4], κάθε τέτοια συνάρτηση φ στην κλάση P, μπορεί να γραφεί ως ένα ολοκλήρωμα Poisson-Stieljes φ(z) = όπου µ είναι θετικό μέτρο πιθανότητας. 2π e it + z e it z dµ(t), Λήμμα 1.1. [23, Λήμμα Καραθεοδωρή] Αν η φ P και τότε c n 2, για n = 1, 2,... φ(z) = 1 + c n z n, Ενα σύνολο E C ονομάζεται αστρόμορφο ως προς ένα σημείο w E, αν για κάθε σημείο w E, το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το w με το w περιέχεται στο E. Μία σύμμορφη απεικόνιση f(z) = a 1 z +... καλείται αστρόμορφη στο D, αν είναι αμφιμονότιμη ολόμορφη και το f(d) είναι αστρόμορφο χωρίο ως προς το, δηλαδή για t 1, με w f(d), τότε το tw f(d). n=1

18 Κυρτές Συναρτήσεις - Κυρτές ως προς Κατεύθυνση Συναρτήσεις Θεώρημα 1.6. [62, Θεώρημα 2.5] Η ολόμορφη συνάρτηση f είναι αστρόμορφη στο D αν και μόνο αν η z f (z) f(z) P. Παράλληλα, οι αστρόμορφες συναρτήσεις έχουν την εξής αναπαράσταση. Θεώρημα 1.7. [62, Θεώρημα 2.6] Η συνάρτηση f(z) = a 1 z +... είναι αστρόμορφη στο D αν και μόνο αν { 2π } 1 f(z) = a 1 z exp 2 log 1 e it z dγ(t), z < 1 για κάποια αύξουσα συνάρτηση γ(t) με γ(2π) γ() = 1. Επίσης, μία συνάρτηση μπορεί να είναι αστρόμορφη ως προς ένα σημείο του συνόρου. Πρόταση 1.1. [26, σελ. 4] Εστω f μία σύμμορφη απεικόνιση του D, με f(1) := lim f(rz) =. r 1 Τότε η f είναι αστρόμορφη ως προς ένα συνοριακό σημείο αν και μόνο αν { Re (1 z) 2 f } (z) <, z D. f(z) Σχετικά με τις αστρόμορφες συναρτήσεις ως προς ένα συνοριακό σημείο, παραπέμπουμε στο [26]. 1.3 Κυρτές Συναρτήσεις - Κυρτές ως προς Κατεύθυνση Συναρτήσεις Ενα χωρίο E του μιγαδικού επιπέδου ονομάζεται κυρτό αν για κάθε δύο σημεία του, το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει περιέχεται στο E.Ισοδύναμα, μπορούμε να πούμε ότι το E είναι κυρτό αν είναι αστρόμορφο ως προς κάθε εσωτερικό σημείο του. Μία συνάρτηση f είναι κυρτή στο D αν είναι αμφιμονότιμη ολόμορφη και το f(d) είναι κυρτό, δηλαδή για κάθε z 1, z 2 D, το tf(z 1 ) + (1 t)f(z 2 ) f(d), για κάθε t [, 1]. Θεώρημα 1.8. [62, Θεώρημα 2.7] Μία συνάρτηση f(z) = a 1 z +... είναι κυρτή στο D αν και μόνο αν η συνάρτηση 1 + z f (z) f P. (1.1) (z) Η (1.1) μπορεί ισοδύναμα να γραφεί ως { v f (z) := Re 1 + z f } (z) f >, (1.2) (z)

19 Κεφάλαιο 1. Κλάσεις Ολόμορφων Συναρτήσεων 9 για κάθε z D. Επιπλέον, σύμφωνα με το Θεώρημα του Study [7], αν η f είναι κυρτή, τότε το f(r D) είναι κυρτό χωρίο, για κάθε r (, 1). Να σημειώσουμε εδώ πως κάθε κυρτή συνάρτηση είναι αστρόμορφη, αλλά δεν ισχύει το αντίστροφο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση του Koebe είναι αστρόμορφη αλλά όχι κυρτή. Υπάρχει η εξής σύνδεση μεταξύ αυτών των δύο κλάσεων συναρτήσεων, που αποδείχθηκε πρώτα το 1915 από τον Alexander [3]. Θεώρημα 1.9. [23, Θεώρημα 2.12] Εστω f ολόμορφη στο D, με f() = και f () = 1. Τότε η f είναι κυρτή αν και μόνο αν η zf (z) είναι αστρόμορφη στο D. Παράλληλα, έχουμε και μία βελτιωμένη εκδοχή του Θεωρήματος 1.2 για τις κυρτές συναρτήσεις. Θεώρημα 1.1. [23, Θεώρημα 2.15] Αν η f είναι κυρτή στο D, τότε ο δίσκος D(, 1 2 ) περιέχεται στο f(d). Στο άρθρο [25], εισάγεται και μία νέα κλάση κυρτών συναρτήσεων, οι κυρτές ως προς κατεύθυνση. Ορισμός 1.1. Εστω σύμμορφη απεικόνιση f στο D, με f() =. Η f ονομάζεται κυρτή ως προς τη θετική κατεύθυνση αν για κάθε z D και t >, f(z) + t f(d) και lim t + f 1 (f(z) + t) = 1. Η κλάση των συναρτήσεων αυτών συμβολίζεται με Σ[1]. Προκύπτει, ακόμη, ο εξής χαρακτηρισμός της κλάσης Σ[1] με τη χρήση της κλάσης του Καραθεοδωρή. Εστω σύμμορφη απεικόνιση f στο D, με f() =. Τότε f Σ[1] αν και μόνο αν (1 z) 2 f (z) P. Για περισσότερες πληροφορίες για τις κυρτές απεικονίσεις, μπορεί κανείς να κοιτάξει στα [13], [23], [26], [25], [35], [53] και [62].

20

21 Κεφάλαιο 2 Θεωρία Δυναμικού Στο κεφάλαιο αυτό, θα δούμε κάποιους ορισμούς και βασικές ιδιότητες της Θεωρίας Δυναμικού, ακολουθώντας τα βιβλία των Armitage-Gardiner [4], Helms [37] και Ransford [66]. 2.1 Αρμονικές και Υφαρμονικές Συναρτήσεις Αρχικά, θα συμβολίσουμε με τον τελεστή της Λαπλασιανής μίας C 2 -συνάρτησης με 2 = 1 4 z z = 2 x y 2. Εστω D ένα ανοιχτό υποσύνολο του C. Μία συνάρτηση h : D C ονομάζεται αρμονική αν h C 2 (D) και h = στο D. Κάποια παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων δίνονται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 2.1. [66, Θεώρημα 1.1.2] Εστω D ένα χωρίο στο C. 1. Αν η f είναι ολόμορφη στο D και h = Re f, τότε η h είναι αρμονική στο D. 2. Αν η h είναι αρμονική στο απλά συνεκτικό D, τότε η h είναι το πραγματικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης στο D. Βασικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων είναι η ιδιότητα του μέσου όρου, η Αρχή του Μεγίστου και το Θεώρημα του Liouville. Θεώρημα 2.2 (Ιδιότητα Μέσου Ορου). [66, Θεώρημα 1.1.6] Μία συνάρτηση h είναι αρμονική σε μία ανοικτή περιοχή του δίσκου D(w, ρ) αν και μόνο αν h(w) = 1 2π h(w + ρe it )dt. 2π Θεώρημα 2.3 (Αρχή Μεγίστου). [66, Θεώρημα 1.1.8] Εστω μία αρμονική συνάρτηση h σε ένα χωρίο D του C. 1. Αν η h λαμβάνει τοπικό ακρότατο στο D, τότε η h είναι σταθερή στο D. 11

22 Αρμονικές και Υφαρμονικές Συναρτήσεις 2. Αν η h επεκτείνεται συνεχώς στο D και h στο D, τότε h στο D. Θεώρημα 2.4 (Θεώρημα του Liouville). [66, Πόρισμα 1.3.2] Κάθε αρμονική απεικόνιση στο C, η οποία είναι είτε άνω είτε κάτω φραγμένη, είναι σταθερή. Στη συνέχεια, διατυπώνουμε το πρόβλημα του Dirichlet και θα δούμε τη λύση του στο μοναδιαίο δίσκο. Εστω D χωρίο του C και φ : D R μία συνεχής συνάρτηση. Το πρόβλημα του Dirichlet αφορά την ύπαρξη αρμονικής συνάρτησης h στο D τέτοιας ώστε lim z ζ h(z) = φ(ζ), για κάθε ζ D. Ορίζουμε τον πυρήνα του Poisson. Ορισμός 2.1. [66, Ορισμός 1.2.3] Ο πυρήνας του Poisson P : D D R ορίζεται ως P (z, ζ) := Re ( ) ζ + z = 1 z 2, z < 1, ζ = 1. ζ z ζ z 2 Επίσης, για D = D(w, ρ) και φ : D R Lebesgue-ολοκληρώσιμη συνάρτηση, τότε το Poisson ολοκλήρωμά της P D φ : D R ορίζεται ως P D φ(z) := 1 2π ( ) z w P, e iθ φ(w + ρe iθ )dθ, z D. 2π ρ Το ολοκλήρωμα Poisson είναι αρμονική συνάρτηση στο D και αν η φ είναι συνεχής στο ζ D, τότε lim z ζ P D φ(z) = φ(ζ ). Αν επιπλέον η φ είναι συνεχής σε όλο το σύνορο D, τότε η h := P D φ είναι η λύση του προβλήματος Dirichlet. Περνάμε στη συνέχεια στην κλάση των υφαρμονικών συναρτήσεων. Θα χρειαστούμε αρχικά τον ορισμό της ημισυνέχειας (semicontinuity). Ορισμός 2.2. Εστω X ένας τοπολογικός χώρος. Η συνάρτηση u : X [, + ) καλείται άνω ημισυνεχής (upper semicontinuous) αν το σύνολο {x X : u(x) < α} είναι ανοικτό στο X, για κάθε α R. Επίσης, η v : X (, + ] καλείται κάτω ημισυνεχής (lower semicontinuous) αν η v είναι άνω ημισυνεχής. Ορισμός 2.3. [66, Ορισμός 2.2.1] Εστω D ένα ανοικτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου. Η συνάρτηση u : D [, + ) ονομάζεται υφαρμονική (subharmonic) αν είναι άνω ημισυνεχής και ικανοποιεί τοπικά την ανισότητα του μέσου όρου, δηλαδή για δοθέν w D, υπάρχει ρ > τέτοιο ώστε u(w) 1 2π u(w + re it )dt, r < ρ. 2π Επίσης, η v : D (, + ] καλείται υπεραρμονική (superharmonic) αν η v είναι υφαρμονική.

23 Κεφάλαιο 2. Θεωρία Δυναμικού 13 Ενας ισοδύναμος ορισμός για μία λεία υφαρμονική (ή αντίστοιχα υπεραρμονική) συνάρτηση υπάρχει με τη χρήση της Λαπλασιανής. Ορισμός 2.4. Εστω D ένα ανοικτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου και u C 2 (D). Αν u στο D, τότε η u καλείται υφαρμονική, ενώ αν u στο D, η u ονομάζεται υπεραρμονική. Παρατηρούμε ότι μία συνάρτηση είναι αρμονική αν και μόνο αν είναι υφαρμονική και υπεραρμονική ταυτόχρονα. Με πράξεις προκύπτουν τα παρακάτω δύο αποτελέσματα. Θεώρημα 2.5. [66, Θεώρημα 2.2.2] Αν η f είναι ολόμορφη σε έναν ανοικτό τόπο D, τότε η log f είναι υφαρμονική στο D. Λήμμα 2.1. Εστω f ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη συνάρτηση σε έναν ανοικτό τόπο D. Τότε η log f (z) είναι αρμονική στο D. Εχουμε τις εξής ιδιότητες για τις υφαρμονικές συναρτήσεις. Θεώρημα 2.6 (Αρχή του Μεγίστου). Εστω συνάρτηση u υφαρμονική στον τόπο D. Αν η u λαμβάνει μέγιστο στο D, τότε είναι σταθερή. Επίσης, αν lim sup z ζ u(z), για κάθε ζ D, τότε u στο D. Θεώρημα 2.7 (Ανισότητα Μέσου Ορου). Αν η u είναι υφαρμονική σε ένα ανοικτό σύνολο D του C, και αν D(w, ρ) D, τότε u(w) 1 2π u(w + ρe iθ )dθ. 2π Θα συμβολίζουμε για μία υφαρμονική συνάρτηση u στο r T, το μέσο όρο της με m(r, u) = 1 2π u(re it )dt 2π και τον εμβαδικό μέσο όρο της με b(r, u) := 1 πr 2 u(z)da(z), r D όπου A είναι το διδιάστατο μέτρο Lebesgue. Σύμφωνα με το [66, Θεώρημα 2.6.8], οι m(r, u) και b(r, u) είναι αύξουσες και κυρτές συναρτήσεις του log r και ισχύει m(r, u) b(r, u) u(). Επιπρόσθετα, lim m(r, u) = lim b(r, u) = u(). (2.1) r r Για τις περιπτώσεις ισότητας σε κάποιες αποδείξεις του Κεφαλαίου 3, θα χρειαστούμε τα παρακάτω λήμματα.

24 Λογαριθμική Χωρητικότητα Λήμμα 2.2. [44, Λήμμα 2.1] Εστω ότι η u είναι συνεχής και υφαρμονική στο δίσκο {z D : z < R}. Τότε για r 1 < r 2 < R, είτε m(r 1, u) < m(r 2, u), είτε η u είναι αρμονική στο {z D : z < r 2 } και συνεπώς, ο m(r, u) είναι σταθερός στο [, r 2 ]. Απόδειξη. Εστω h η μοναδική συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής στο {z D : z r 2 }, αρμονική στο δίσκο {z D : z < r 2 } και ίση με u στο r 2 T. Τότε, είτε ισχύει ότι u < h, είτε u = h στο {z D : z < r 2 }. Πρέπει να σημειώσουμε επίσης ότι, καθώς η h είναι αρμονική, η συνάρτηση m(r, h) είναι σταθερή και ίση με h(), για r [, r 2 ). Ετσι, παίρνουμε είτε ότι m(r 1, u) < m(r 1, h) = m(r 2, h) = m(r 2, u), είτε ότι η u είναι αρμονική στο δίσκο {z D : z < r 2 }, στην οποία περίπτωση ο μέσος όρος m(r, u) είναι σταθερός για r [, r 2 ]. Λήμμα 2.3. [36, Θεώρημα του Hadamard, Άσκηση 4, σελ. 8] Εστω ότι η u είναι συνεχής και υφαρμονική στο δακτύλιο {z D : R 1 < z < R 2 }. Τότε για R 1 < r 1 < r < r 2 < R 2, m(r, u) log r 2 log r log r 2 log r 1 m(r 1, u) + log r log r 1 log r 2 log r 1 m(r 2, u). (2.2) Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η u είναι αρμονική στο {z D : r 1 < z < r 2 }. Η ανισότητα (2.2) διατυπώνει ουσιαστικά ότι ο μέσος όρος μίας υφαρμονικής συνάρτησης είναι λογαριθμικά κυρτός στο δακτύλιο {z D : R 1 < z < R 2 }. Τέλος, έχουμε ακόμα μία κλάση συναρτήσεων που μας ενδιαφέρει. Ορίζεται η P L := {u : D R, όπου log u είναι υφαρμονική} των PL-υφαρμονικών συναρτήσεων. Εύκολα παρατηρούμε ότι κάθε συνάρτηση στην κλάση PL είναι και η ίδια υφαρμονική. Η θεωρία των αρμονικών και υφαρμονικών συναρτήσεων, καθώς και το πρόβλημα του Dirichlet, αναπτύσσονται αναλυτικότερα, στα βιβλία [28], [65] και [66]. 2.2 Λογαριθμική Χωρητικότητα Εστω K ένα συμπαγές υποσύνολο του C. Η ευκλείδεια n-διάμετρος του K, n N, ορίζεται με χρήση της 2 d n (K) = sup w µ w ν n(n 1), (2.3) w 1,...,w n K 1 µ<ν n όπου το supremum λαμβάνεται, καθώς το K είναι συμπαγές, για μία n-άδα σημείων στο σύνορο, η οποία ονομάζεται Fekete n-άδα, βλέπε [66, Ορισμός 5.5.1]. Το σύνολο αυτό των σημείων δεν είναι απαραίτητα μοναδικό για κάποιο συμπαγές σύνολο K. Η λογαριθμική χωρητικότητα του K ορίζεται ως το όριο cap K = lim d n(k). n +

25 Κεφάλαιο 2. Θεωρία Δυναμικού 15 Για παράδειγμα, η λογαριθμική χωρητικότητα ενός δίσκου είναι ίση με την ακτίνα του. Επίσης, αν δύο σύνολα A, B C διαφέρουν σε ένα σύνολο μηδενικής λογαριθμικής χωρητικότητας (δηλαδή cap(a \ B) = cap(b \ A) = ) λέμε ότι είναι σχεδόν παντού (σ.π.) ίσα. Σύνολα μηδενικής λογαριθμικής χωρητικότητας ονομάζονται πολικά και μπορούν να θεωρηθούν αμελητέα υπό το πρίσμα της Θεωρίας Δυναμικού. Για περαιτέρω θεωρία σχετικά με τη λογαριθμική χωρητικότητα, καθώς και παραδείγματα για διάφορα συμπαγή σύνολα, παραπέμπουμε στο [66, Κεφάλαιο 5]. 2.3 Αρμονικό Μέτρο Εστω D ένα χωρίο του Ĉ με μη πολικό σύνορο και B( D) μία σ-άλγεβρα του Borel του D. Θεωρούμε ότι E B( D). Το αρμονικό μέτρο για το D είναι η συνάρτηση για την οποία ισχύουν τα εξής. ω : D B( D) [, 1] 1. Για κάθε z D, η απεικόνιση B( D) E ω(z, E, D) είναι ένα Borel μέτρο πιθανότητας στο D. 2. Αν η φ : D R είναι μία συνεχής συνάρτηση, τότε η λύση του προβλήματος Dirichlet στο D είναι το γενικευμένο Poisson ολοκλήρωμα της φ στο D, P D φ(z) := D φ(ζ)dω(z, ζ, D). Το αρμονικό μέτρο του E στο σημείο z D είναι η λύση του γενικευμένου προβλήματος Dirichlet στο D με συνοριακές τιμές 1 στο E και στο D \ E. Αν το σύνορο του D δεν είναι πολικό, τότε το αρμονικό μέτρο ορίζεται κατά μοναδικό τρόπο και σε ένα σημείο z δίνεται από τον τύπο ω(z, E, D) = sup { u(z) : u υφαρμονική στο D και lim sup u(w) X E (ζ), ζ D w ζ όπου X E είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του E. Για σταθερό E B( D), το ω(, E, D) είναι μία αρμονική και φραγμένη συνάρτηση στο D. Επίσης, αν ζ D, το οποίο βρίσκεται εκτός του περιβλήματος του E, τότε lim ω(z, E, D) = X E(ζ). z ζ Η σημαντικότερη ίσως ιδιότητα του αρμονικού μέτρου είναι ότι αποτελεί μία σύμμορφα αναλλοίωτη ποσότητα. },

26 Συνάρτηση και Δυναμικό Green Θεώρημα 2.8 (Subordination Principle). [66, Θεώρημα 4.3.8] Εστω D 1, D 2 δύο χωρία του Ĉ με μη πολικό σύνορο. Εστω B 1, B 2 δύο Borel υποσύνολα των συνόρων τους, αντίστοιχα. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : D 1 B 1 D 2 B 2, η οποία είναι μερόμορφη στο D 1, με f(d 1 ) D 2 και f(b 1 ) B 2. Τότε ω(z, B 1, D 1 ) ω(f(z), B 2, D 2 ), z D 1, με ισότητα αν η f είναι και ομοιομορφισμός του D 1 B 1 στο D 2 B 2. Για ευκολία στο συμβολισμό, όταν E είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του D θετικής λογαριθμικής χωρητικότητας, θα γράφουμε ω(z, E, D) := ω(z, E, D \ E). Πληροφορίες και αναλυτικά η θεωρία του αρμονικού μέτρου μπορούν να βρεθούν στα βιβλία [29] και [66, Κεφάλαιο 4]. 2.4 Συνάρτηση και Δυναμικό Green Θα ξεκινήσουμε την παράγραφο αυτή με τον ορισμό της συνάρτησης Green. Εστω D ένα χωρίο του Ĉ. Η συνάρτηση του Green, για το D είναι η απεικόνιση τέτοια ώστε για κάθε w D, να ισχύουν g D : D D (, + ], 1. η g D (, w) είναι αρμονική στο D \ {w} και φραγμένη έξω από κάθε περιοχή του w, 2. g D (w, w) =, και καθώς z w { log z + O(1), w = g D (z, w) = log z w + O(1), w 3. η g D (z, w), καθώς το z ζ, για κάθε σχεδόν ζ D. Παράλληλα, η συνάρτηση του Green είναι συμμετρική ως προς τα ορίσματα, ισχύει δηλαδή g D (z, w) = g D (w, z), για κάθε z, w D, όταν το σύνορο του D δεν είναι πολικό. Παραδείγματος χάριν, η συνάρτηση του Green στο μοναδιαίο δίσκο D, είναι g D (z, w) := log 1 zw z w. Αν το σύνορο του D δεν είναι πολικό, δηλαδή δεν έχει μηδενική λογαριθμική χωρητικότητα, τότε η g D είναι μοναδική. Μία από τις βασικότερες ιδιότητες της συνάρτησης Green είναι ότι αποτελεί μία ποσότητα σύμμορφα αναλλοίωτη.

27 Κεφάλαιο 2. Θεωρία Δυναμικού 17 Θεώρημα 2.9 (Subordination Principle). [66, Θεώρημα 4.4.4] Εστω D 1, D 2 δύο τόποι στο Ĉ, με μη πολικά σύνορα και έστω f : D 1 D 2 μία μερόμορφη συνάρτηση. Τότε με ισότητα όταν η f είναι σύμμορφη. g D1 (z, w) g D2 (f(z), f(w)), z, w D 1, Η θεωρία των συναρτήσεων Green, καθώς και η μορφή που παίρνουν για διάφορα χωρία του μιγαδικού επιπέδου, αναπτύσσεται αναλυτικά στο [66], όπως επίσης και σε άλλα βιβλία Θεωρίας Δυναμικού όπως [4], [3], [37] και [47]. Η συνάρτηση του Green συνδέεται άμεσα με το αρμονικό μέτρο. Για παράδειγμα, αυτό γίνεται μέσω της εξίσωσης των Poisson-Jensen. Θεώρημα 2.1. [66, Θεώρημα 4.5.1] Εστω D ένας φραγμένος τόπος στο C, με μη πολικό σύνορο, και μία υφαρμονική συνάρτηση u σε μία περιοχή του D, η οποία δεν ταυτίζεται με το στο D. Τότε u(z) = u(ζ)dω(z, ζ) 1 g D (z, w) u(w)da(w), D 2π D για z D. Θα αναφερθούμε στη συνέχεια τα δυναμικά Green. Εστω D ένα χωρίο του Ĉ. Για κάθε μέτρο µ με συμπαγή φορέα στο D, ορίζεται το δυναμικό Green με χρήση της G D µ (x) = g D (x, y)dµ(y), για x D. Το δυναμικό Green είναι μία υπεραρμονική συνάρτηση στο D και αρμονική στο D \ supp{µ}. Επίσης, για ένα μέτρο µ με συμπαγή φορέα στο D, η Green ενέργειά του ορίζεται ως το ολοκλήρωμα I[µ, µ] := g D (x, y)dµ(x)dµ(y) = G D µ (x)dµ(x). Η αμοιβαία ενέργεια Green δύο μέτρων µ 1, µ 2 με συμπαγή φορέα στο D ορίζεται ως I[µ 1, µ 2 ] := g D (x, y)dµ 1 (x)dµ 2 (y) και καθώς η συνάρτηση Green είναι συμμετρική, έχουμε ότι I[µ 1, µ 2 ] = I[µ 2, µ 1 ]. Το αποτέλεσμα αυτό γράφεται και ως G D µ 1 (x)dµ 2 (x) = G D µ 2 (x)dµ 1 (x) (2.4) που ονομάζεται ιδιότητα αμοιβαιότητας (reciprocity), βλέπε [37, Θεώρημα 3.5.1] και [47, Ι.4]. Στο βιβλίο του Landkof [47], αν ένα μέτρο µ έχει πεπερασμένη ενέργεια, τότε η νόρμα του ορίζεται ως εξής, µ = I[µ, µ].

28 Συνάρτηση και Δυναμικό Green Ας συμβολίσουμε με E το χώρο όλων των προσημασμένων μέτρων πεπερασμένης ενέργειας. Εστω (µ n ) n N ακολουθία μέτρων με φορέα στο D. Υπάρχουν τρεις τύποι σύγκλισης σε μέτρο στο E. 1. Η ακολουθία των μέτρων (µ n ) συγκλίνει ισχυρά (strongly) σε ένα μέτρο µ, αν lim µ n µ =. n 2. Η ακολουθία (µ n ) συγκλίνει ασθενώς (weakly) σε ένα μέτρο µ, αν για κάθε ν E. lim I[µ n, ν] = I[µ, ν], n 3. Αν για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο D με συμπαγή φορέα, ισχύει ότι fdµ n = fdµ, lim n τότε η ακολουθία των μέτρων (µ n ) συγκλίνει vaguely σε ένα μέτρο µ. Λεπτομέρειες για τις συγκλίσεις μέτρων ως προς την Green ενέργεια υπάρχουν στα [37, 6.3] και [47, σελ. 82]. Λήμμα 2.4. [37, Θεώρημα 6.3] Εστω (µ n ) μία ακολουθία στο E. Η ισχυρή σύγκλιση της ακολουθίας συνεπάγει ασθενή σύγκλιση και ότι η νόρμα είναι φραγμένη. Αν επιπλέον η νόρμα των μέτρων της ακολουθίας (µ n ) είναι φραγμένη, η ασθενής και vague σύγκλιση συμπίπτουν. ως Εστω E ένα συμπαγές υποσύνολο του D. Η Green ενέργεια του E ως προς το D ορίζεται V (E, D) = inf µ I[µ, µ], όπου το infimum είναι για όλα τα μέτρα Borel µ με συμπαγή φορέα στο E και µ(e) = 1. Επίσης, η χωρητικότητα Green του E ως προς το D ορίζεται ως cap D (E) := 1 V (E, D). (2.5) Αν η V (E, D) < +, τότε το infimum λαμβάνεται για ένα μέτρο Borel µ, το οποίο ονομάζεται μέτρο ισορροπίας Green του E. Σύμφωνα με το Θεώρημα του Frostman, το δυναμικό Green του μέτρου ισορροπίας ενός συμπαγούς συνόλου E συμπεριφέρεται με τον εξής τρόπο. Λήμμα 2.5. [37, σελ. 164] Εστω D ένας τόπος του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου, όπου ορίζεται η συνάρτηση Green και µ το μέτρο ισορροπίας ενός συμπαγούς συνόλου E D ως προς το D. Τότε G D µ (x) = V (E, D), για κάθε x E και σχεδόν κάθε x E. Για περισσότερες πληροφορίες για τη Green χωρητικότητα και τα δυναμικά Green, παραπέμπουμε στα βιβλία [4], [37] και [47], καθώς και στις εργασίες [48] και [64].

29 Κεφάλαιο 3 Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz Το Λήμμα του Schwarz μαζί με το Θεώρημα Σύμμορφης Απεικόνισης του Riemann και το Θεώρημα του Cauchy αποτελούν ίσως τα σημαντικότερα θεωρήματα της Μιγαδικής Ανάλυσης. Είναι δύσκολο να βρεθεί αποτέλεσμα με περισσότερες εφαρμογές και εκδοχές από το Λήμμα του Schwarz. Ταυτόχρονα, έχει συμβάλλει στην ανάπτυξη πολλών ερευνητικών περιοχών όπως η γεωμετρική θεωρία συναρτήσεων, η θεωρία σταθερού σημείου ολόμορφων συναρτήσεων, οι τελεστές σύνθεσης, η θεωρία ημιομάδων, η υπερβολική γεωμετρία, κ.τ.λ. Λήμμα 1 (Λήμμα του Schwarz). Εστω f : D D ολόμορφη με f() =. Τότε 1. f(z) z, για κάθε z D \{}, και 2. f () 1. Ισότητα σε οποιαδήποτε από τις δύο ανισότητες προκύπτει αν και μόνο αν η f είναι περιστροφή, δηλαδή f(z) = e iθ z, για κάποιο θ [, 2π]. Η απόδειξη του Λήμματος Schwarz δόθηκε από τον Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή ( ) στις αρχές του 2ου αιώνα [19]. Το Λήμμα του Schwarz αφορά την περίπτωση που μία ολόμορφη συνάρτηση έχει σταθερό σημείο στο εσωτερικό του μοναδιαίου δίσκου. Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που δεν υπάρχει σταθερό σημείο στο εσωτερικό του δίσκου; Διατυπώθηκε έτσι η συνοριακή εκδοχή του Λήμματος Schwarz, το Θεώρημα του Wolff. Θεώρημα 1. [67, Θεώρημα του Wolff, σελ. 81] Εστω f : D D ολόμορφη χωρίς σταθερά σημεία στο D. Τότε υπάρχει μοναδικό σταθερό σημείο ζ D, τέτοιο ώστε για κάθε z D, 1 f(z)ζ 2 1 zζ 2 1 f(z) 2 1 z 2. Τα τελευταία χρόνια έχουν μελετηθεί εκτενώς γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz, όπως θα δούμε και στην επόμενη παράγραφο. Παράλληλα, όμως, το Λήμμα του Schwarz συνεχίζει να παράγει πληθώρα ερευνητικών προβλημάτων. 19

30 Θεωρήματα Μονοτονίας Στην πορεία του Κεφαλαίου, θα δούμε κάποιες παραλλαγές του Λήμματος Schwarz που αποδείχθηκαν στην παρούσα διατριβή. Τα αποτελέσματα αυτά βρίσκονται στα άρθρα [44] και [46]. 3.1 Θεωρήματα Μονοτονίας Το Λήμμα του Schwarz μπορεί να θεωρηθεί και ως ένα θεώρημα μονοτονίας. Παρακάτω θα διατυπώσουμε διάφορες γεωμετρικές παραλλαγές του, οι οποίες είναι μονοτονιακά θεωρήματα. Εστω f : D D μία ολόμορφη συνάρτηση και r (, 1). Ορίζεται η ακτίνα του f(r D) ως Rad f(r D) = sup f(z) f(). z <r Η ακτίνα Rad f(r D) είναι η ακτίνα του μικρότερου δίσκου κέντρου f() που περιέχεται στο f(r D). Ετσι, το Λήμμα του Schwarz παίρνει την ακόλουθη μορφή. Θεώρημα 3.1. [18, Θεώρημα 1.1] Αν η f είναι ολόμορφη στο δίσκο, τότε η φ Rad (r) = Rad f(r D), r (, 1), r είναι γνησίως αύξουσα, εκτός αν η f είναι γραμμική. Στην περίπτωση αυτή, η φ Rad (r) είναι σταθερή. Το 197, οι Landau και Toeplitz χρησιμοποίησαν την έννοια της διαμέτρου του f(r D) και απέδειξαν το εξής αποτέλεσμα. Θεώρημα 3.2. [18, Θεώρημα 1.3] Εστω f ολόμορφη στο δίσκο με Diam f(r D) = 2. Ισχύει 1. Diam f(r D) 2r, για κάθε r (, 1), 2. f () 1, με ισότητα σε κάποια από τις δύο ανισότητες αν και μόνο αν η f είναι γραμμική. Πρόσφατα, το παραπάνω θεώρημα επεκτάθηκε από τους Burckel, Marshall, Minda, Poggi- Corradini, και Ransford στο [18], οι οποίοι έδωσαν αντίστοιχο θεώρημα μονοτονίας για την n-διάμετρο του f(r D). Στο [18], εμφανίζεται και το εξής θεώρημα μονοτονίας για την n-διάμετρο. Καθώς, όπως είδαμε, η λογαριθμική χωρητικότητα είναι το όριο για n + της n-διαμέτρου του f(r D), προκύπτει αποτέλεσμα και για τη μονοτονία της λογαριθμικής χωρητικότητας. Θεώρημα 3.3. [18, Θεώρημα 1.6] Εστω f ολόμορφη στο δίσκο. Οι συναρτήσεις r d nf(r D) d n (r D) και r cap f(r D) r είναι γνησίως αύξουσες στο (, 1), εκτός αν η f είναι γραμμική. Στην περίπτωση αυτή, οι παραπάνω συναρτήσεις είναι σταθερές.

31 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 21 Οι δύο βασικές γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz, που ενέπνευσαν τη συγκεκριμένη διατριβή, είναι σχετικές με το μήκος και το εμβαδόν της εικόνας μίας ολόμορφης συνάρτησης. Σύμφωνα με τους G. Pólya και G. Szegő [6, σελ.165, Πρόβλημα 39], η συνάρτηση L(r) := L f(r T) L(r T) = 1 2π f (re it ) dt, (3.1) 2π είναι αύξουσα για r (, 1), όπου με L συμβολίζεται το ευκλείδειο μήκος καμπύλης. Επίσης, οι Aulaskari και Chen στο [6, Θεώρημα 6] απέδειξαν το ίδιο για τη συνάρτηση A(r) := A f(r D) A(r D) = 1 A f(r D), < r < 1, (3.2) πr2 όπου με A συμβολίζεται το ευκλείδειο εμβαδόν χωρίου. Παράλληλα, οι Μπετσάκος και Πουλιάσης απέδειξαν αντίστοιχα θεωρήματα μονοτονίας για μεγέθη της Θεωρίας Δυναμικού, και πιο συγκεκριμένα, την εσωτερική ακτίνα και τη χωρητικότητα πυκνωτών [16]. Επίσης, στο άρθρο [9], βλέπουμε θεωρήματα μονοτονίας για την κλάση των quasi-regular συναρτήσεων. Για περισσότερες πληροφορίες σε γεωμετρικές εκδοχές του Λήμματος Schwarz, παραπέμπουμε στις εργασίες [1], [15] και [21]. Τα παραπάνω αποτελέσματα μονοτονίας συγκρίνουν το μέγεθος του δίσκου r D ή του κύκλου r T με τις εικόνες τους, αντίστοιχα. Με αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε πληροφορίες για την εικόνα του δίσκου μέσω μίας ολόμορφης συνάρτησης και βρίσκουμε άνω φράγματα για τα γεωμετρικά μεγέθη του χωρίου f(r D). Αυτός είναι και ο λόγος που τα παραπάνω θεωρήματα λογίζονται ως γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz. 3.2 Οι εκτιμήσεις του Keogh Για την κλάση των κυρτών απεικονίσεων, ο F.R. Keogh στο [42], έδωσε άνω φράγματα για διάφορες γεωμετρικές ποσότητες της εικόνας του r T. Θεώρημα 3.4. [42, Θεώρημα Β] Εστω f κυρτή στο D με f() = f () 1 =. Για το μήκος της εικόνας του r T, ισχύει με ισότητα αν και μόνο αν η f(z) = L f(r T) z 1 z. 2πr 1 r 2, (3.3) Με χρήση της ισοπεριμετρικής ανισότητας, εύκολα μπορούμε να πάρουμε ένα άνω φράγμα για το εμβαδόν του f(r D), A f(r D) L2 f(r T) 4π πr2 (1 r 2 ) 2, (3.4) με ισότητα, επίσης, αν και μόνο αν η f(z) = z 1 z.

32 Εκδοχές Λήμματος Schwarz για κυρτές συναρτήσεις z Καθώς όμως η 1 z απεικονίζει το D σύμμορφα στο ημιεπίπεδο {z C : Re z > 1 2 }, κάθε απεικόνιση του D επί ενός ημιεπιπέδου μπορεί να γραφεί ως az 1 z + b, όπου a, b C. Ετσι, επεκτείνονται οι ανισότητες του Keogh, στην περίπτωση που δεν έχουμε κανονικοποίηση της κυρτής συνάρτησης. Για κάθε κυρτή f στο D, η συνάρτηση g(z) := f(z) f() f () ικανοποιεί την (3.3). Το μήκος 1 της καμπύλης g(r T) είναι ίσο με το μήκος της f () f(r T), έτσι οι (3.3) και (3.4) γράφονται, αντίστοιχα, L f(r T) f () 2πr 1 r 2 (3.5) και A f(r D) L2 f(r T) f () 2 πr 2 4π (1 r 2 ) 2, (3.6) με ισότητα αν και μόνο αν η f απεικονίζει το δίσκο σύμμορφα σε ένα ημιεπίπεδο. Επίσης, στο άρθρο του Keogh, μπορεί κανείς να δει αντίστοιχα φράγματα στην περίπτωση που έχουμε αστρόμορφη συνάρτηση, [42, Θεωρήματα C και D]. 3.3 Εκδοχές Λήμματος Schwarz για κυρτές συναρτήσεις Στην παράγραφο αυτή, αλλά και σε αυτές που ακολουθούν, παρουσιάζουμε αποτελέσματα των εργασιών [44] και [46], σχετικά με την ευκλείδεια γεωμετρία του μιγαδικού επιπέδου. Θα εξετάσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης για r (, 1). L(r) := ( 1 r 2) L f(r T) 2πr = ( 1 r 2 ) 2π 2π f (re it ) dt, Θεώρημα 3.5. Εστω f μία κυρτή απεικόνιση του D. Η συνάρτηση L(r) είναι φθίνουσα για r (, 1). Ακόμα, είναι γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν η εικόνα του D μέσω της f δεν είναι ημιεπίπεδο. Στην περίπτωση αυτή, η L(r) είναι σταθερή και ίση με f (). Απόδειξη. Εστω f κυρτή απεικόνιση του D. Από το [2], έχουμε ότι ( 1 z 2 ) f (z) f (z) 2 { 4 Re 1 + z f } (z) f, (3.7) (z) με ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν η f απεικονίζει το δίσκο σύμμορφα σε ένα ημιεπίπεδο. Η συνάρτηση L(r) = 1 r2 2π 2π f (re iθ ) dθ είναι ο μέσος όρος της h f (z) := ( 1 z 2) f (z), για z D. Καθώς η f είναι σύμμορφη, η παράγωγός της δε μηδενίζεται. Ετσι, η Log f, που είναι ο πρωτεύων κλάδος του λογαρίθμου

33 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 23 της f, είναι καλά ορισμένη και ολόμορφη στο δίσκο. Η συνάρτηση f (z) 1 2 επίσης ολόμορφη και το f (z) μπορεί να γραφεί ως εξής f (z) = f (z) 1 2 f (z) 1 2, = e 1 2 Log f (z) είναι με παράγωγο Υπολογίζουμε τη Λαπλασιανή f (z) = f (z) f ( ) (z) z 2f (z) = z f (z). h f (z) = 4 z Η παράγωγος της h f (z) ως προς z είναι ίση με ( ( (1 zz) f (z) )). (3.8) z ( (1 zz) f (z) ) = z f (z) + (1 z 2 ) f (z) f (z) z 2f (z). (3.9) Επειτα παραγωγίζουμε ως προς z και παίρνουμε ότι Από τις (3.7) και (3.8), έπεται ότι ( z f (z) + (1 z 2 ) f (z) ) f (z) = z 2f (z) f (z) [ { 1 Re z f } ( (z) 1 z 2 ) f + f (z) 2] (z) 4 f. (z) h f (z) = 4 f (z) [ 1 Re { z f } ( (z) 1 z 2 ) f + (z) 4 f (z) 2] f, (3.1) (z) που μας οδηγεί στο ότι η h f είναι υπεραρμονική στο D. Η συνάρτηση L(r) είναι ο μέσος όρος της υπεραρμονικής συνάρτησης και επομένως, είναι φθίνουσα για r (, 1), [66, Θεώρημα 2.6.8]. Για να αποδείξουμε τη γνήσια μονοτονία, θεωρούμε το μέσο όρο της h f, m (r, h f (z)) = 1 2π h f (re it )dt = L(r). 2π Καθώς όμως η h f είναι υφαρμονική, ο μέσος όρος της m (r, h f ) πληροί το Λήμμα 2.2 και παίρνουμε ότι η L(r) είναι είτε γνησίως αύξουσα στο (, 1) είτε σταθερή. Επομένως, η L(r) είναι είτε γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του r (, 1) είτε σταθερή και ίση με 1 r 2 2π lim f (re it ) dt = f (), r 2π

34 Εκδοχές Λήμματος Schwarz για κυρτές συναρτήσεις για κάθε r (, 1). Αν η L(r) είναι σταθερή, τότε L f(r T) = 2π f () r 1 r 2. Με χρήση του Λήμματος 2.2, το παραπάνω ισχύει αν και μόνο αν η h f είναι αρμονική. Ετσι, η περίπτωση της ισότητας στην (3.7) ισχύει και η f απεικονίζει το D σε ένα ημιεπίπεδο. Συμπερασματικά, η L(r) είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 1), εκτός και αν η f απεικονίζει σύμμορφα το D σε ένα ημιεπίπεδο. Τότε η L είναι σταθερή και ίση με f (). Παρόμοιο αποτέλεσμα έχουμε και όσον αφορά το εμβαδόν του f(r D). Θεωρούμε τη συνάρτηση ( 1 r 2 ) 2 A(r) = f πr 2 (z) 2 da(z) και καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα. Θεώρημα 3.6. Εστω f μία κυρτή απεικόνιση του D. Η συνάρτηση A(r) είναι φθίνουσα για r (, 1). Επίσης, είναι γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν η f δεν απεικονίζει σύμμορφα το D σε ένα ημιεπίπεδο. Στην περίπτωση αυτή, η A(r) είναι σταθερή και ίση με f () 2. Η A(r) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, 1). Για να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση A(r), χρειαζόμαστε το εξής λήμμα. Λήμμα 3.1. Για κάθε υφαρμονική συνάρτηση u στο δίσκο D, ισχύει r D ( d 2π ) u(re it )dt = 1 u(z)da(z). dr r r D Απόδειξη. Σύμφωνα με την εξίσωση Poisson-Jensen, από το Θεώρημα 2.1, έχουμε ότι 2πu() = 2π u(re it )dt u(z) log r r D z da(z), για r (, 1). Παραγωγίζουμε την παραπάνω εξίσωση και παίρνουμε ( d 2π ) u(re it )dt dr = d dr = 1 r ( r D u(z) log r ) r D z da(z) u(z)da(z). Η πρώτη παράγωγος της A(r) είναι ίση με d A r4 (r) = 21 f dr πr 3 (z) ( 2 1 r 2 ) 2 2π da(z) + f (re it ) 2 dt (3.11) r D πr

35 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 25 και η δεύτερη ίση με d 2 A + 2r4 (r) =6 dr2 πr 4 ( 1 r 2 ) 2 + πr 2 r D f (z) ( 2 1 r 2 ) (3 + 5r 2 ) da(z) πr 2 r D 2π f (re it ) 2 dt f (z) 2 da(z), (3.12) με χρήση του Λήμματος 3.1 για τη συνάρτηση f (z) προκύπτει ( d 2π f (re it ) ) 2 dt = 1 f (z) 2 da(z). dr r r D Στόχος μας είναι να πάρουμε μία διαφορική ανισότητα της A(r), βρίσκοντας ένα άνω φράγμα για την ποσότητα r D f (z) 2 da(z). Λήμμα 3.2. Εστω f μία κυρτή απεικόνιση του D. Η συνάρτηση ( 1 z 2 ) 2 f (z) 2 2 f(z) 2 είναι υπεραρμονική στο D. Επίσης, για κάθε r (, 1), ( 1 r 2 ) 2 r 2 r D f (z) 2 da(z) 4 ( 1 r 2) 2π + 8 r 2 με ισότητα αν και μόνο αν η f απεικονίζει το D σε ένα ημιεπίπεδο. r D f (re it ) 2 dt f (z) 2 da(z), (3.13) Απόδειξη. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό της προηγούμενης απόδειξης, έστω και υπολογίζουμε τη Λαπλασιανή της h 2 f (z) = ( 1 z 2) 2 f (z) 2, h 2 f (z) = 2h f (z) h f (z) + 2 h f (z) 2. Με τη βοήθεια των (3.9) και (3.1), βρίσκουμε h 2 f (z) = 8h f (z) f (z) ( 1 z 2 f (z) 2 4 f (z) v f (z) + = 8h f (z) f (z) ( 2v f (z) + 1 z 2 f (z) 2 2 f (z) + Από την (3.7), έπεται ότι h 2 f (z) 8 f (z) 2 = 2 f(z) z z 2 1 z 2 f (z) z + 2 f (z) ). 2 ) [ h 2 f (z) 2 f(z) 2]. (3.14)

36 Εκδοχές Λήμματος Schwarz για κυρτές συναρτήσεις Συνεπώς, η h 2 f (z) 2 f(z) 2 είναι υπεραρμονική στο D και ο μέσος όρος της r ( 1 r 2) 2π 2 f (re it ) 2π 2 dt 2 f(re it ) 2 dt (3.15) είναι φθίνουσα συνάρτηση του r (, 1), από το [66, Θεώρημα 2.6.8]. Με χρήση του Λήμματος 3.1, υπολογίζουμε την παράγωγο που είναι αρνητική Άρα ( 1 r 2 ) 2 r 2 4r ( 1 r 2) 2π f (re it ) ( 2 1 r 2 ) 2 dt + f (z) 2 da(z) r r D 2 f(z) 2 da(z). r r D f (z) 2 da(z) 4 ( 1 r 2) 2π r D f (re it ) 2 dt + 8 r 2 r D f (z) 2 da(z). Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η (3.15) είναι σταθερή για κάθε επιλογή του r (, 1). Ομως, σύμφωνα με το Λήμμα 2.2, είτε ισχύει ότι ο μέσος όρος είναι γνησίως φθίνουσα είτε ότι η συνάρτηση είναι αρμονική στο D με σταθερό μέσο όρο. Ετσι, η συνάρτηση (3.15) είναι σταθερή μόνο αν η h 2 f (z) 2 f(z) 2 είναι αρμονική στο D, δηλαδή ισχύει ισότητα στην (3.14). Επομένως, έχουμε ισότητα και στην (3.7), και η f απεικονίζει σύμμορφα το D σε ένα ημιεπίπεδο. Λήμμα 3.3. Εστω f μία κυρτή απεικόνιση του D. Τότε d 2 A dr 2 (r) 3 + r2 r (1 r 2 ) d A dr (r), για κάθε r (, 1). Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η f δεν απεικονίζει το D σύμμορφα σε ένα ημιεπίπεδο. Απόδειξη. Εφαρμόζοντας την ανισότητα (3.13) στην (3.12), προκύπτει d 2 A dr 2 (r) 6 + 2r4 + 8r 2 f πr 4 (z) ( 2 1 r 2 ) ( 3 + r 2) da(z) r D πr 2 [ π r2 = 3 + r2 r πr 3 = 3 + r2 d A r (1 r 2 ) dr (r), r D f (z) 2 da(z) 1 r2 πr 2π f (re it ) 2 dt f (re it ) 2 dt για κάθε r (, 1), με ισότητα, σύμφωνα με το Λήμμα 3.2, μόνο όταν η f απεικονίζει σύμμορφα το D σε ένα ημιεπίπεδο. Για την απόδειξη του Θεωρήματος 3.6, χρειαζόμαστε ένα επιπλέον λήμμα σχετικά με την οριακή συμπεριφορά της d A dr, όταν το r πλησιάζει το μηδέν. ]

37 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 27 Λήμμα 3.4. Εστω f μία κυρτή απεικόνιση του D. Τότε Απόδειξη. Η συνάρτηση lim sup r + d A (r) =. dr r 1 πr 2 f (z) 2 da(z) r D είναι αύξουσα, σύμφωνα με το [66, Θεώρημα 2.6.8], και η παράγωγός της είναι ( ) d 1 dr πr 2 f (z) 2 da(z) = 2 r D πr 3 f (z) 2 da(z) + 1 2π f (re it ) 2 dt. r D πr Από την (3.11), d dr A(r) = ( 1 r [ 2) 2 ( 1 + r 2) πr 3 f (z) 2 da(z) + 1 ] 2π r2 f (re it ) 2 dt r D πr = ( 1 r 2) ( ) d 1 dr πr 2 f (z) 2 da(z) r D 2 1 r2 f (z) 2 da(z) (1 r2 )r 2π f (re it ) 2 dt. πr π r D Ετσι lim sup r + d dr ( A(r) = lim sup 1 r 2 ) d r + dr = lim sup r + ( d 1 dr πr 2 ( ) 1 πr 2 f (z) 2 da(z) r D ) f (z) 2 da(z), (3.16) r D καθώς η f (z) 2 είναι υφαρμονική στο D και έχουμε ότι 2 lim f (z) 2 r 2π da(z) = lim f (re it ) 2 dt =, r + πr r D r + π από το [66, Θεώρημα 2.6.8]. Επίσης, από την (3.11) προκύπτει d A 1 lim sup (r) = lim sup [ 2 1 r4 f r + dr r + πr r 2 (z) 2 da(z) + ( 1 r 2) 2π 2 f (re it ) ] 2 dt. r D (3.17) Σύμφωνα με τη γενική μορφή του κανόνα De L Hospital, για δύο πραγματικές παραγωγίσιμες συναρτήσεις f(x) και g(x) ισχύει lim sup x x f(x) g(x) lim sup x x f (x) g (x). (3.18)

38 Εκδοχές Λήμματος Schwarz για κυρτές συναρτήσεις Επομένως, από την (3.17), προκύπτει η ανισότητα lim sup r + d A dr (r) 1 [ ( ) 4 lim sup π r + r 3 + 4r f (z) 2 da(z) 2 1 r4 r D r 4r ( 1 r 2) 2π f (re it ) ( 2 1 r 2 ) 2 dt + r Από το Λήμμα 3.2, ακολουθεί ότι lim sup r + [ ( d A 1 + r 2 ) 2 (r) lim sup 4 dr r + πr 3 ( r 2 ) = lim sup (3.11) r + 1 r 2 r D r D f (z) 2 da(z) 2 1 r4 πr ( d A dr (r) Συνδυάζοντας τις (3.16) και (3.19), παίρνουμε ότι lim sup r + ) d A (r) lim sup dr r + = 2 lim sup r + d A (r) =. dr 2π f (re it ) 2 dt f (z) ] 2 da(z). 2π f (re it ) ] 2 dt d A (r). (3.19) dr Ολοκλήρωση της απόδειξης του Θεωρήματος 3.6. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο s (, 1) τέτοιο ώστε d A dr (s) >. Λόγω του Λήμματος 3.4 και της συνέχειας της πρώτης παραγώγου της A(r), υπάρχει σημείο µ [, s), με d A d A dr (µ) =, τέτοιο ώστε dr (r) >, για κάθε r (µ, s]. Από την (3.3), έχουμε ότι για r (µ, s]. Επομένως, η d A dr d 2 A dr 2 (r) 3 + r2 r (1 r 2 ) d A (r) <, dr είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (µ, s] και έτσι, d A dr (s) < d A (µ) =, dr το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση για την ύπαρξη σημείου όπου η d A dr είναι θετική. Επομένως, η d A (r), για κάθε r (, 1), που μας οδηγεί στο ότι η A είναι dr φθίνουσα στο (, 1). Θα εξετάσουμε την περίπτωση όπου η A(r) δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 1). Θεωρούμε ότι υπάρχει ένα διάστημα [µ 1, µ 2 ], όπου η A είναι σταθερή. Τότε η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της είναι ίση με μηδέν και έχουμε ισότητα στη διαφορική ανισότητα (3.3). Άρα, η f απεικονίζει το D σύμμορφα σε ένα ημιεπίπεδο. Θυμίζουμε ότι κάθε απεικόνιση του D σε ένα ημιεπίπεδο γράφεται στη μορφή az 1 z + b, όπου a, b C. Τότε ο δίσκος r D απεικονίζεται σε ένα δίσκο ακτίνας a r 1 r 2. Εχουμε, συνεπώς, ισότητα στην ισοπεριμετρική ανισότητα (3.6) και η A(r) είναι σταθερή στο (, 1) και ίση με

39 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 29 f () 2. Ως αποτέλεσμα, η A(r) είναι γνησίως φθίνουσα εκτός αν η f απεικονίζει σύμμορφα το D σε ένα ημιεπίπεδο. Τα παραπάνω αποτελέσματα μας δίνουν μία εκτίμηση για την ακρίβεια των φραγμάτων του Keogh [42]. Επίσης, μας δείχνουν τη συμπεριφορά των συναρτήσεων (3.1) και (3.2) ως προς τα άνω φράγματά τους, όταν η f είναι μία κυρτή απεικόνιση. Μία άμεση συνέπεια των παραπάνω θεωρημάτων μονοτονίας είναι η ισοπεριμετρικού τύπου ανισότητα για την εικόνα του r D μέσω μίας κυρτής απεικόνισης. Πόρισμα 3.1. Εστω f μία κυρτή απεικόνιση του D. Τότε για r (, 1). L 2 f(r T) < 4π 1 + r2 A f(r D), 1 r2 Απόδειξη. Η παράγωγος της A(r) είναι αρνητική στο (, 1). Από την (3.11), έχουμε ότι r 2 ( 1 r 2) 2π f (re it ) 2 dt 2 ( 1 + r 2) f (z) 2 da(z), (3.2) r D όπου η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η f απεικονίζει σύμμορφα το D σε ένα ημιεπίπεδο, σύμφωνα με το Θεώρημα 3.6. Λόγω της ανισότητας Cauchy-Schwarz, παίρνουμε ότι ( 2π f (re it ) 2 2π dt) 2π f (re it ) 2 dt. (3.21) Ισότητα έχουμε αν και μόνο αν το f (z) είναι σταθερό, που ισχύει αν και μόνο αν η f είναι γραμμική. Συνδυάζοντας τις ανισότητες (3.2) και (3.21), έπεται ότι 1 r 2 2π που μπορεί να γραφεί ως ( 2π r f (re it ) ) 2 dt 2 ( 1 + r 2) f (z) 2 da(z) r D L 2 f(r T) 4π 1 + r2 A f(r D), (3.22) 1 r2 για κάθε r (, 1). Ομως, η ισότητα ισχύει μόνο όταν η f είναι γραμμική και απεικονίζει σύμμορφα το δίσκο σε ένα ημιεπίπεδο. Αυτά τα δύο, όμως δεν είναι δυνατόν να συμβαίνουν ταυτόχρονα. Επομένως, έχουμε αυστηρή ανισότητα για κάθε κυρτή απεικόνιση στο D. Το παραπάνω Πόρισμα δίνει ένα άνω φράγμα για τον ισοπεριμετρικό λόγο του χωρίου f(r D).

40 Ολική Απόλυτη Καμπυλότητα 3.4 Ολική Απόλυτη Καμπυλότητα Εστω f μία σύμμορφη απεικόνιση του μοναδιαίου δίσκου. Για αρκετά μικρή ακτίνα r, η καμπύλη f(r T) είναι σχεδόν κύκλος. Μάλιστα, ο ισοπεριμετρικός λόγος L2 f(r T) A f(r D) πλησιάζει το 4π, για r, όπου με L και A συμβολίζουμε το μήκος και το εμβαδόν, αντίστοιχα, βλέπε [27]. Για κάθε r 2 3, η καμπύλη f(r T) είναι κυρτή και το χωρίο f(r D) είναι επίσης κυρτό, σύμφωνα με το [23, Θεώρημα 2.13]. Ο αριθμός 2 3 ονομάζεται ακτίνα κυρτότητας και αποτελεί ένα αυστηρό φράγμα όσον αφορά την κυρτότητα του χωρίου f(r D). Χρειαζόμαστε έναν τρόπο μέτρησης για να εξετάζουμε κατά πόσο η f(r T) είναι κυρτή καμπύλη ή πόσο απέχει από το να είναι κυρτή. Η πλέον κατάλληλη γεωμετρική ποσότητα με αυτήν την ιδιότητα είναι η ολική απόλυτη καμπυλότητα της f(r T). Ενας επιπλέον λόγος χρήσης αυτής της ποσότητας είναι το γεγονός ότι συνδυάζει τις έννοιες της καμπυλότητας και της κυρτότητας. Εξάλλου, η ολική απόλυτη καμπυλότητα της f(r T) μετράει κατά κάποιο τρόπο την απόκλιση της από το να είναι κυρτή. Για τον ορισμό της ολικής απόλυτης καμπυλότητας, θεωρούμε μία λεία καμπύλη γ στο D. Συμβολίζουμε με κ(z, γ) την προσημασμένη ευκλείδεια καμπυλότητα της γ στο σημείο z γ. Η ολική απόλυτη καμπυλότητα της γ είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κ(z, γ) dz. γ Είναι γνωστό ότι η ολική απόλυτη καμπυλότητα μίας λείας κλειστής καμπύλης είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 2π, με ισότητα αν και μόνο αν η καμπύλη γ είναι κυρτή. Το αποτέλεσμα αυτό αποδείχθηκε πρώτα από τον W. Fenchel, βλέπε [69, Πόρισμα 6.18]. Εστω f μία ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη συνάρτηση στο D. Με κ(w, f(γ)) θα συμβολίζουμε την ευκλείδεια καμπυλότητα της f(γ) στο σημείο w f(γ). Επομένως, η ποσότητα κ(w, f(γ)) dw f(γ) είναι η ολική απόλυτη καμπυλότητα της f(γ) και συνεπώς, όσο αυξάνει η ποσότητα αυτή, τόσο περισσότερο απέχει η f από το να είναι κυρτή. Θεώρημα 3.7. Εστω f μία ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη συνάρτηση στο D. Τότε η απεικόνιση r κ(w, f(r T)) dw (3.23) f(r T) είναι μία γνησίως αύξουσα και λογαριθμικά κυρτή συνάρτηση του r (, 1), εκτός αν η f είναι κυρτή. Στην περίπτωση αυτή, είναι σταθερή και ίση με 2π. Επίσης, κ(w, f(r T)) dw = 2π. (3.24) lim r f(r T) Στο σημείο αυτό, πρέπει να παρατηρήσουμε ότι η ολική απόλυτη καμπυλότητα της r T είναι σταθερή, καθώς είναι κύκλος και επομένως κυρτή καμπύλη. Άρα η ολική απόλυτη καμπυλότητά

41 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 31 της είναι ίση με 2π. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(r T) κ(w, f(r T)) dw Φ(r) = r T κ(z, r T) dz = 1 2π f(r T) κ(w, f(r T)) dw, (3.25) η οποία είναι ο λόγος των ολικών απόλυτων καμπυλοτήτων των f(r T) και r T. Θα χρειαστούμε τον τύπο του Gauss-Bonnet στην παρακάτω μορφή, βλέπε [69, Θεώρημα 6.5]. Εστω M μία διδιάστατη προσανατολισμένη πολλαπλότητα Riemann, με καμπυλότητα Gauss K και εμβαδικό στοιχείο da. Εστω N M μία συμπαγής διδιάστατη πολλαπλότητα με μη κενό σύνορο, για την οποία υπάρχει διαφορομορφισμός που την απεικονίζει σε ένα σύνολο L R 2, του οποίου το σύνορο είναι συνεκτικό. Εστω ds το εμβαδικό στοιχείο του N και κ η προσημασμένη γεωδαισιακή καμπυλότητα του N. Τότε KdA + κds = 2π. (3.26) N N Το Θεώρημα των Gauss-Bonnet, καθώς και η αντίστοιχη θεωρία της διαφορικής γεωμετρίας, αναπτύσσεται αναλυτικά στα βιβλία [4] και [49]. Το μιγαδικό επίπεδο C, εφοδιασμένο με την ευκλείδεια μετρική είναι μία διδιάστατη πολλαπλότητα Riemann. Η καμπυλότητα Gauss της ευκλείδειας μετρικής είναι ίση με μηδέν. Επομένως, για ένα φραγμένο χωρίο Ω του C ισχύει από την (3.26) κ(z, γ) dz = 2π, (3.27) γ όπου γ είναι το σύνορο του Ω και είναι μία λεία, απλή και κλειστή καμπύλη. Αρχικά, θα υπολογίσουμε την ευκλείδεια ολική απόλυτη καμπυλότητα της f(r T). Αν η f είναι ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη στο D, η ευκλείδεια καμπυλότητα της f(r T) δίνεται από τον τύπο 1 κ(f(z), f(r T)) = z f (z) v f (z), (3.28) όπου η συνάρτηση v f είναι ορισμένη στην (1.2) και είναι αρμονική στο D, ως πραγματικό μέρος ολόμορφης συνάρτησης, όπως βλέπουμε και στο Θεώρημα 2.1. Επομένως, η ολική απόλυτη καμπυλότητα της f(r T) δίνεται από τον τύπο f(r T) κ(w, f(r T)) dw = = r T 2π κ(f(z), f(r T)) f (z) dz = r T 1 r f (z) v f (z) f (z) dz 1 2π r v f (re it ) rdt = v f (re it ) dt. (3.29) τεξτβφαπόδειξη Θεωρήματος 3.7. Για να εξετάσουμε την αυστηρή μονοτονία, παρατηρούμε στην (3.29), ότι η ολική απόλυτη καμπυλότητα της f(r T) είναι ο μέσος όρος της v f, η οποία είναι υφαρμονική στο D, καθώς η v f είναι αρμονική στο D. Ετσι, σύμφωνα με το [66, Θεώρημα 2.6.8], η ολική απόλυτη καμπυλότητα της f(r T) είναι μία αύξουσα λογαριθμικά κυρτή συνάρτηση του r (, 1).

42 L p -νόρμα της καμπυλότητας Οπως είδαμε, η Φ(r) στην (3.25), μπορεί να γραφεί και ως Φ(r) = 1 2π v f (re it ) dt = m(r, v f ). 2π Η μονοτονία της συνάρτησης Φ(r) ταυτίζεται με τη μονοτονία της ολικής απόλυτης καμπυλότητας της f(r T). Ετσι, για την ολοκλήρωση της απόδειξης, αρκεί να δείξουμε ότι η Φ(r) είναι γνησίως αύξουσα λογαριθμικά κυρτή συνάρτηση, εκτός αν η f είναι κυρτή. Η συνάρτηση v f είναι συνεχής και υφαρμονική στο D και εφαρμόζουμε το Λήμμα 2.2. Συμπεραίνουμε ότι είτε Φ(r 1 ) = m(r 1, v f ) < m(r 2, v f ) = Φ(r 2 ), για r 1 < r 2 < 1, είτε η v f είναι αρμονική στο D. Επεται ότι η Φ(r) είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε σταθερή στο [, 1). Επίσης, μπορούμε να εφαρμόσουμε το Λήμμα 2.3 και να πάρουμε ότι η Φ(r) είναι γνησίως λογαριθμικά κυρτή στο δακτύλιο {z D : R 1 < z < R 2 }, εκτός αν η v f είναι αρμονική στον {z D : R 1 < z < R 2 }. Η επιλογή των R 1 και R 2 είναι αυθαίρετη, και έτσι παίρνουμε τα όρια R 1 και R 2 1. Επομένως, η Φ(r) είναι γνησίως λογαριθμικά κυρτή συνάρτηση του r (, 1), εκτός αν η v f είναι αρμονική στο D. Αν η v f είναι αρμονική στο D, καθώς και η v f είναι αρμονική, θα ισχύει είτε ότι η v f διατηρεί πρόσημο, για κάθε z D, είτε v f = παντού στο δίσκο. Ομως, v f () = 1 που σημαίνει ότι η v f είναι αυστηρά θετική, για κάθε z D. Επίσης, αυτό σημαίνει ότι η f είναι κυρτή σύμμορφη απεικόνιση στο δίσκο με Φ(r) = lim r Φ(r) = lim r m(r, v f ) = v f () = 1. (3.3) Αποδείχθηκε, επομένως, ότι η Φ(r) είναι γνησίως αύξουσα λογαριθμικά κυρτή συνάρτηση του r (, 1), εκτός αν η f είναι κυρτή σύμμορφη απεικόνιση. Για το αντίστροφο, αν η f είναι κυρτή, τότε ισχύει v f (z) >, για κάθε z D, και έτσι η Φ(r) είναι σταθερή και ίση με v f () = 1, για κάθε r (, 1). Ως αποτέλεσμα, η συνάρτηση στην (3.23) είναι γνησίως αύξουσα λογαριθμικά κυρτή συνάρτηση του r (, 1), εκτός αν η f είναι κυρτή σύμμορφη απεικόνιση. Τότε είναι ίση με 2π. Η τιμή του ορίου στην (3.24) προκύπτει απευθείας από την (3.3). 3.5 L p -νόρμα της καμπυλότητας Στη συνέχεια, ορίζουμε τη συνάρτηση f(r T) Φ p (r) = dw r T κ(z, r, T) p dz < r < 1, (3.31) όπου p R. Οταν η f δεν είναι κυρτή, η καμπυλότητά της f(r T) μηδενίζεται σε κάποιο σημείο της w. Ετσι, η Φ p (r) δεν είναι καλά ορισμένη όταν p < και η f δεν είναι κυρτή.

43 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 33 Για p =, η συνάρτηση Φ (r) έχει τη μορφή (3.1) και είναι αύξουσα. Στο [18], έχει αποδειχθεί ότι η Φ (r) είναι γνησίως αύξουσα εκτός αν η f είναι γραμμική. Στην περίπτωση αυτή, η Φ είναι σταθερή. Για τη συνάρτηση Φ (r) έχουμε τα εξής αποτελέσματα για τη λογαριθμική κυρτότητά της και τη μονοτονία του λογαρίθμου της. Πρόταση 3.1. Η Φ (r) είναι κυρτή συνάρτηση του log r. Επίσης, η log Φ (r) είναι γνησίως αύξουσα κυρτή συνάρτηση του log r, r (, 1), εκτός αν η f είναι γραμμική. Τότε η log Φ (r) είναι σταθερή. Απόδειξη. Εφαρμόζοντας την (3.31), η Φ (r) είναι ίση με Φ (r) = 1 2π f (re it ) dt. 2π Σύμφωνα με το [66, Θεώρημα 2.4.8], η Φ (r) είναι αύξουσα και κυρτή συνάρτηση του log r. Η αυστηρή μονοτονία ισχύει αν και μόνο αν η f δεν είναι γραμμική, όπως βλέπουμε στο [18]. Επομένως, η log Φ (r) είναι επίσης και γνησίως αύξουσα, εκτός αν η f είναι γραμμική. Επιπλέον, η f ανήκει στην κλάση των PL-υφαρμονικών συναρτήσεων, που σημαίνει ότι ο λογάριθμος της είναι υφαρμονική συνάρτηση. Αυτό ισχύει εξαιτίας του Λήμματος 2.1 και [65, 2.16], και παίρνουμε ότι η log Φ (r) είναι κυρτή συνάρτηση του log r, για r (, 1). Για μια κυρτή συνάρτηση f, όταν p = 2, η Φ 2 (r) είναι ο λόγος της ελαστικής ενέργειας των f(r T) και r T (βλέπε [27] και [38]). Επιπρόσθετα, όταν p = 1, η ολοκληρωτέα ποσότητα είναι η ακτίνα καμπυλότητας κάθε καμπύλης. Για αρνητικές τιμές του p, έχουμε το εξής θεώρημα. Θεώρημα 3.8. Αν η f είναι μία κυρτή σύμμορφη απεικόνιση του D, οι συναρτήσεις Φ p (r) και log Φ p (r), για p <, είναι γνησίως αύξουσες και λογαριθμικά κυρτές στο (, 1), εκτός αν η f είναι γραμμική. Σε αυτήν την περίπτωση, η Φ p (r) είναι σταθερή και ίση με f () 1 p. Επίσης, lim Φ p(r) = f () 1 p. (3.32) r Απόδειξη. Εστω p R. Ορίσαμε τη συνάρτηση Φ p (r) στην (3.31), η οποία σύμφωνα με υπολογισμούς, μπορεί να γραφεί ως 1 Φ p (r) = 2π κ(f(z), f(r T)) p f (z) dz r 1 p dt r T = rp 1 1 2π z p f (z) p v f (z) p f (z) dz r T 2π = rp 1 2π = 1 2π 2π r 1 p v f (re it ) p f (re it ) 1 p dt v f (re it ) p f (re it ) 1 p dt.

44 L p -νόρμα της καμπυλότητας Σύμφωνα με το Θεώρημα 3.8, υποθέτουμε ότι η f είναι κυρτή και ότι p <. Ορίζουμε την h(z) = v p f (z) f (z) 1 p, για z D. Ετσι, η Φ p (r) είναι ο μέσος όρος της h. Ο λογάριθμος της h είναι log h(z) = p log v f (z) + (1 p) log f (z). (3.33) Από την [66, Άσκηση 2, σελ. 47], καθώς η log x είναι κυρτή συνάρτηση του x (, 1), παίρνουμε ότι η log v f (z) είναι υφαρμονική στο μοναδιαίο δίσκο D και έτσι, η συνάρτηση log v f (z) είναι υπεραρμονική στο D. Συνεπώς, η log h(z) είναι υπεραρμονική στο D, ως το άθροισμα υφαρμονικής και αρμονικής συνάρτησης στην (3.33). Επομένως, η h(z) ανήκει στην κλάση των PL-υφαρμονικών συναρτήσεων, που σημαίνει ότι η ίδια η h είναι υφαρμονική και ο μέσος όρος της Φ p (r) είναι αύξουσα και λογαριθμικά κυρτή συνάρτηση του r (, 1). Επίσης, η log Φ p (r) είναι αύξουσα και από την [65, 2.16], είναι και λογαριθμικά κυρτή. Με χρήση του Λήμματος 2.2, παίρνουμε ότι οι Φ p (r) και log Φ p (r) είναι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις του r (, 1), εκτός αν η h είναι αρμονική στο D. Ακόμα, από το Λήμμα 2.3 και υποθέτοντας ότι R 1 και R 2 1, καθώς η επιλογή τους ήταν τυχαία, οι συναρτήσεις Φ p (r) και log Φ p (r) είναι επίσης γνησίως λογαριθμικά κυρτές στο (, 1), εκτός αν η h είναι αρμονική στο D. Στην περίπτωση αυτή, η Φ p (r) είναι σταθερή και ίση με h() = v p f () f () 1 p = f () 1 p. Επιπλέον, η log h είναι υπεραρμονική στο D, καθώς είναι λογάριθμος αρμονικής συνάρτησης, από την [66, Άσκηση 2, σελ. 47]. Ομως, από την (3.33), η log h είναι και υφαρμονική και υπεραρμονική, οπότε αρμονική στο D. Υπολογίζουμε τη Λαπλασιανή της log h [ ( h log h = 1 ) 2 ( ) ] h 2 h x y h h (3.34) και καθώς οι h και log h είναι αρμονικές στο D, έχουμε ότι ( ) h 2 + x ( ) h 2 =, y για z = x + iy D. Ως συμπέρασμα, καταλήγουμε ότι η h είναι σταθερή στο D, ίση με f () 1 p και είναι αληθές ότι για κάθε z D. Επομένως, v p f (z) f (z) 1 p = f () 1 p, p log v f (z) = (1 p) log f () (1 p) log f (z) και άρα, η log v f είναι αρμονική στο D, καθώς η log f είναι αρμονική για μία τοπικά αμφιμονότιμη συνάρτηση f. Γράφοντας την (3.34) για την v f και έχοντας υπόψιν ότι οι v f και log v f είναι και οι δύο αρμονικές στο D, παίρνουμε ότι η v f είναι σταθερή και ίση με v f () = 1. Αυτό συνεπάγεται ότι η f (z) =, για κάθε z D, που συμβαίνει αν και μόνο αν η f είναι σταθερή, ή ακολούθως, αν και μόνο αν η f είναι γραμμική.

45 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 35 Για το αντίστροφο, υποθέτουμε ότι η f είναι γραμμική. Τότε v f (z) = 1 και f (z) = f (), για κάθε z D. Ετσι, η Φ p (r) = 1 2π f () 1 p dt = f () 1 p 2π είναι σταθερή στο (, 1). Συμπερασματικά, η Φ p είναι σταθερή και ίση με f () 1 p αν και μόνο αν η f είναι γραμμική. Τέλος, για το όριο έχουμε lim Φ p(r) = lim m(r, h) = f () 1 p. r r Πόρισμα 3.2. Αν η f είναι κυρτή απεικόνιση στο D, ο λόγος των ακτινών καμπυλότητας των f(r T) και r T είναι PL-υφαρμονική συνάρτηση για r (, 1). Τι γίνεται όμως όταν το p παίρνει τιμές στα διαστήματα (, 1) και (1, + ); Θα δούμε, στη συνέχεια, κάποια αντιπαραδείγματα για αυτές τις τιμές του p σχετικά με τη μονοτονία της Φ p. Εξετάζοντας την περίπτωση της συνάρτησης του Koebe k(z) = z (1 z) 2, η οποία απεικονίζει το δίσκο σύμμορφα στο C \ (, 1 4], έχουμε με υπολογισμούς ότι Φ p (r) = 1 2π 1 r 4 + 4r cos t 4r 3 cos t p (1 + r 2 1 p + 2r cos t) 2 2π (1 + r 4 2r 2 cos(2t)) p (1 + r 2 2r cos t) 3(1 p) 2 Παρακάτω βλέπουμε τα γραφήματα των Φ p (r), για διάφορες τιμές του p, τα οποία έχουν γίνει με τη βοήθεια της Mathematica. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές του r και ο κάθετος τις τιμές της συνάρτησης Φ p (r). dt. Σχήμα 3.1: p = 2 Σχήμα 3.2: p = 1 3

46 L p -νόρμα της καμπυλότητας Συνεπώς, η Φ p δεν είναι μονότονη πάντα όταν p, 1, για μη-κυρτές συναρτήσεις. Εξετάζοντας έπειτα την περίπτωση που η συνάρτηση είναι κυρτή, έχουμε ήδη δείξει ότι η Φ p είναι αύξουσα για p και p = 1. Θα δώσουμε αντιπαράδειγμα για p (, 1) (1, + ). Θεωρούμε την ολόμορφη συνάρτηση Τότε για z = r (, 1). Η ποσότητα και 1 r cos t >, έτσι το άθροισμά τους σ(z) = z 1 = e 1 2 Log(z 1). { } v f (z) = Re 1 + z σ (z) σ = 2 + r2 3r cos t (z) 2(1 + r 2 2r cos t), 1 z 2 = 1 + r 2 2r cos t > 2 + r 2 3r cos t > και η σ είναι κυρτή απεικόνιση στο D. Με υπολογισμούς, προκύπτει Φ p (r) = 1 4π 2π (2 + r 2 3r cos t) p (1 + r 2 2r cos t) 1+3p 4 και τα γραφήματά της, για διάφορες τιμές του p, με τη βοήθεια της Mathematica, είναι dt Σχήμα 3.3: p = 2 Σχήμα 3.4: p = 1 3 Συνεπώς, λόγω των παραπάνω αντιπαραδειγμάτων, καταλήγουμε ότι δεν υπάρχουν αποτελέσματα μονοτονίας για τις περιπτώσεις που δεν καλύπτονται από τα Θεωρήματα 3.7 και 3.8. Το επόμενο Θεώρημα μας δίνει ανισότητες για την L p -νόρμα της καμπυλότητας της f(r T). Θεώρημα 3.9. Αν η f είναι ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη στο D, τότε για p > 1, κ(w, f(r T)) p dw 2πr 1 p, (3.35) f(r T)

47 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 37 ενώ, για < p < 1, ισχύει f(r T) κ(w, f(r T)) p dw > 2πr 1 p f () p. Ισότητα στην (3.35) προκύπτει αν και μόνο αν η f είναι κυρτή και p = 1. Για την απόδειξη, χρειαζόμαστε το εξής λήμμα από το [34, Κεφάλαιο 6]. Λήμμα 3.5. Εστω g μία πραγματική συνάρτηση στο μετρικό χώρο (X, µ). Ο ολοκληρωτικός μέσος ( ) 1 M p (g) = g p p dµ είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση του p R, εκτός αν η g είναι σταθερή. Απόδειξη του Θεωρήματος 3.9. Βλέπουμε τη συνάρτηση Φ p (r) = 1 2π 2π X ) ( v f (re it ) f (re it ) 1 p p p dt που είναι η L p -νόρμα της v f f 1 p p, στη δύναμη p, ως συνάρτηση του p. Με χρήση του ορισμού της στην (3.31), η Φ p (r) γράφεται και ως Φ p (r) = rp 1 2π f(r T) κ(w, f(r T)) p dw. Από το Λήμμα 3.5, η συνάρτηση Φ 1/p p (r) είναι αύξουσα ως προς p, για p R, εκτός αν η v f f 1 p p είναι σταθερή. Υποθέτουμε ότι η v f f 1 p p δεν είναι σταθερή. Ως αποτέλεσμα, για p > 1, Φ 1/p p (r) > Φ 1 (r) και παίρνουμε ότι ( Φ p (r) > Φ p 1 2π p 1 (r) = v f (re ) dt) it 1. (3.36) 2π Επομένως, Οταν < p < 1, ισχύει f(r T) κ(w, f(r T)) p dw 2πr 1 p. (3.37) Φ 1/p p (r) > Φ (r) Φ p (r) > Φ p (r) και συνεπώς, r p 1 2π f(r T) κ(w, f(r T)) p dw > ( 1 2π p f (re ) dt) it. 2π

48 Μετασχηματισμοί Möbius Καθώς η f είναι υφαρμονική, παίρνουμε την εξής ανισότητα κ(w, f(r T)) p dw > 2πr 1 p f () p. f(r T) Ισότητα στην (3.37) ισχύει αν και μόνο αν έχουμε ισότητα στην (3.36). Αυτό μας οδηγεί στο ότι p = 1. Επίσης, σύμφωνα με το Λήμμα 3.5, η συνάρτηση v f f 1 p p είναι σταθερή και καθώς p = 1, v f (z) = c, για κάθε z D. Αν η σταθερά c είναι ίση με μηδέν, τότε v f (z) =, για κάθε z D, που σημαίνει ότι η καμπυλότητα κ(w, f(r T)) =. Δηλαδή η f(r T) είναι ευθεία (γεωδαισιακή του επιπέδου), για κάθε r (, 1). Ομως, η f(r T) είναι κλειστή καμπύλη και έτσι η c δεν μπορεί να είναι μηδέν. Άρα η v f (z) = ±c και διατηρεί το πρόσημό της, άρα και τη συνέχεια. Αν η v f είναι αρνητική, τότε η f είναι μερόμορφη κοίλη συνάρτηση με απλό πόλο στο μηδέν, όπως βλέπουμε στο [59]. Οι μερόμορφες κοίλες συναρτήσεις, όμως, έχουν αποκλειστεί από την κλάση των συναρτήσεων που εξετάζουμε. Συμπερασματικά, η v f (z) είναι θετική συνάρτηση του D και έτσι, η f είναι κυρτή. Άρα, ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η f είναι κυρτή και p = Μετασχηματισμοί Möbius Τώρα θα αποδείξουμε ένα θεώρημα σχετικά με τη μονοτονία της Φ p (r), για κάθε δυνατή τιμή του p R. Θεώρημα 3.1. Αν T : D C είναι ένας μετασχηματισμός Möbius της μορφής T (z) = az + b, a, b, c, d C, ad bc, cz + d η συνάρτηση Φ p (r) είναι μονότονη στο (, 1), για κάθε επιλογή του p. Πιο συγκεκριμένα, για p > 1, είναι γνησίως φθίνουσα και για p < 1, είναι γνησίως αύξουσα αν και μόνο αν ο T δεν ( 1 p είναι γραμμικός. Σε αυτήν την περίπτωση, η Φ p είναι σταθερή και ίση με a d ). Απόδειξη. Καθώς ο T είναι σύμμορφος στο D, τότε cz + d z d c και έτσι το σημείο d c βρίσκεται εκτός του δίσκου, ή ισοδύναμα d > c. Υπολογίζουμε την v T : { v T (z) = Re 1 + z T } { (z) T = Re 1 2cz } = (z) cz + d = 1 cz + d 2 Re { (d cz)(cz + d) } 1 cz + d 2 Re { d 2 c 2 z 2 2 Im{dcz}i } = d 2 c 2 z 2 cz + d 2 > που μας επαληθεύει ότι κάθε μετασχηματισμός Möbius είναι κυρτή απεικόνιση. Επίσης, Φ p (r) = 1 2π v T (re it ) p T (re it ) 1 p ad 2π bc 1 p dt = 2π 2π ( d 2 c 2 r 2 ) p cre it + d 2 dt

49 Κεφάλαιο 3. Γεωμετρικές Εκδοχές του Λήμματος Schwarz 39 και αν θέσουμε d c = w + iy, τότε Φ p (r) = ad bc 1 p 2π 2π ( d 2 c 2 r 2 ) p d 2 + c 2 r 2 dt. (3.38) + 2rw cos t + 2ry sin t Με στοιχειώδεις υπολογισμούς μιγαδικής ανάλυσης, το ολοκλήρωμα στην (3.38) δίνει Φ p (r) = ( ) ad bc 1 p d 2 c 2 r 2, η οποία είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση για p < 1, σταθερή για p = 1 και γνησίως φθίνουσα για p > 1. Αν ο T είναι γραμμικός, τότε c = και η Φ p (r) είναι σταθερή και ίση με ( a d ) 1 p. Η κλάση των μετασχηματισμών Möbius είναι η μόνη κλάση ολόμορφων συναρτήσεων όπου έχουμε θεωρήματα μονοτονίας για την Φ p (r) όταν p > 1.

50

51 Κεφάλαιο 4 Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου Το πιο φυσικό περιβάλλον για να εξετάσουμε το Λήμμα του Schwarz είναι ο μοναδιαίος δίσκος εφοδιασμένος με τη μετρική του Poincaré. Τότε ο δίσκος είναι μία διδιάστατη πολλαπλότητα Riemann και αποτελεί μοντέλο της υπερβολικής γεωμετρίας. Πράγματι, η μετρική του Poincaré (ή αλλιώς υπερβολική μετρική) είναι σύμμορφα αναλλοίωτη ποσότητα και έτσι, μέσω του Θεωρήματος Σύμμορφης Απεικόνισης του Riemann, μπορούμε να μεταφέρουμε την υπερβολική γεωμετρία σε οποιοδήποτε απλά συνεκτικό χωρίο του μιγαδικού επιπέδου. Αυτό δεν ισχύει αν χρησιμοποιούμε την ευκλείδεια μετρική. Για αυτό το λόγο, είναι σημαντική και η μελέτη της υπερβολικής γεωμετρίας, καθώς προκύπτουν με φυσικό τρόπο γεωμετρικές ιδιότητες για οποιοδήποτε απλά συνεκτικό τόπο. Στην Παράγραφο 4.3, θα δούμε αποτελέσματα που παρουσιάζονται στις εργασίες [44] και [46], τα οποία αποτελούν γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz στην υπερβολική γεωμετρία του δίσκου. Μάλιστα, είναι τα αντίστοιχα θεωρήματα μονοτονίας των συναρτήσεων (3.1), (3.2) και (3.25). 4.1 Η υπερβολική μετρική Η υπερβολική μετρική στο D είναι λ D (z) dz = dz 1 z 2, όπου με λ D συμβολίζουμε την πυκνότητα. Η υπερβολική μετρική έχει καμπυλότητα Gauss ίση με log λ D(z) λ 2 D (z) = 4. Εστω U ένα υπερβολικό χωρίο του μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή το συμπλήρωμά του περιέχει δύο τουλάχιστον σημεία. Τότε η υπερβολική μετρική λ U (z) dz στο U δίνεται από τη σχέση λ U (f(z)) = λ D(z) f (z), (4.1) 41

52 Η υπερβολική μετρική όπου η f είναι η ολόμορφη προβολή κάλυψης (covering projection) του μοναδιαίου δίσκου στο U. Ο ορισμός είναι ανεξάρτητος της συνάρτησης f. Επίσης, αν το U είναι απλά συνεκτικό, τότε η f είναι σύμμορφη, λόγω του Θεωρήματος Σύμμορφης Απεικόνισης του Riemann. Αν U 1, U 2 είναι δύο υπερβολικά χωρία του μιγαδικού επιπέδου με U 1 U 2, τότε για τις υπερβολικές πυκνότητες τους ισχύει λ U2 (z) λ U1 (z), (4.2) για κάθε z U 1. Η (4.2) είναι ουσιαστικά το Schwarz-Pick Λήμμα, βλέπε [7, Θεώρημα 3.2]. Η υπερβολική απόσταση μεταξύ δύο σημείων a, b U είναι d U (a, b) = inf λ U (z) dz, γ U όπου γ είναι οποιαδήποτε ευθυγραμμίσιμη καμπύλη που βρίσκεται μέσα στο U που ενώνει τα a και b. Η καμπύλη για την οποία λαμβάνεται το infimum ονομάζεται υπερβολική γεωδαισιακή. Οι υπερβολικές γεωδαισιακές υπάρχουν πάντα, αλλά η μοναδικότητα για το τόξο της υ- περβολικής γεωδαισιακής που ενώνει δύο σημεία ισχύει μόνο όταν το U είναι απλά συνεκτικό. Για την υπερβολική απόσταση στο μοναδιαίο δίσκο, έχουμε συγκεκριμένο τύπο. Για z, w D, είναι d D (z, w) = arctanh z w 1 zw. Επίσης, στο D, οι υπερβολικές γεωδαισιακές είναι τα τόξα των ευκλείδειων κύκλων που περιέχονται στο μοναδιαίο δίσκο και είναι κάθετα στο σύνορό του. γ Σχήμα 4.1: Γεωδαισιακές του υπερβολικού δίσκου Παράλληλα, μπορούμε να ορίσουμε υπερβολικούς δίσκους μέσα στο D, ή ισοδύναμα μέσα σε οποιοδήποτε απλά συνεκτικό χωρίο. Ο υπερβολικός δίσκος κέντρου α και ακτίνας ρ είναι το σύνολο { } D h (α, ρ) := z D : d D (z, α) = arctanh z α 1 αz < ρ (4.3) και μάλιστα είναι και ευκλείδειος δίσκος. Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι για α =, ο υπερβολικός δίσκος D h (, ρ) είναι ευκλείδειος δίσκος κέντρου και ακτίνας r = tanh ρ. Το

53 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου 43 σύνορό του είναι D h (, ρ) = {z D : z = tanh ρ} = D(, r) = r T, (4.4) δηλαδή κύκλος ακτίνας r = tanh ρ. Το υπερβολικό μήκος του κύκλου r T μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ως 2π r 2πr L h (r T) = λ D (z) dz = dt = 1 r2 1 r 2. Το υπερβολικό εμβαδόν του r D υπολογίζεται ως A h (r D) = (λ D (z)) 2 da(z) = = r T r D 2π r r D p πr2 (1 p 2 dpdt = ) 2 1 r 2, 1 (1 z 2 ) 2 da(z) όπου da είναι το διδιάστατο μέτρο Lebesgue στο δίσκο. Συμβολίζουμε το σύνολο όλων των σύμμορφων αυτομορφισμών του δίσκου D με Aut(D). Δηλαδή το σύνολο αυτό αποτελείται από όλες τις απεικονίσεις της μορφής g(z) = e iθ z α 1 ᾱz, όπου α D και θ R. Σχετικά με το σύνολο Aut(D), έχουμε την εξής πρόταση. Πρόταση 4.1. Εστω g Aut(D), διαφορετική της ταυτοτικής απεικόνισης. Τότε 1. η g έχει ένα σταθερό σημείο στο D, ή 2. η g έχει ένα σταθερό σημείο στο T, ή 3. η g έχει δύο σταθερά σημεία στο T. Εχουμε επομένως έναν διαχωρισμό της κλάσης των σύμμορφων αυτομορφισμών του δίσκου. Η g θα ονομάζεται ελλειπτικός, παραβολικός ή υπερβολικός αυτομορφισμός, αντίστοιχα με τις παραπάνω περιπτώσεις. Οπως αναφέρθηκε, η υπερβολική απόσταση παραμένει αναλλοίωτη από σύμμορφους αυτομορφισμούς. Εστω f : D U σύμμορφη απεικόνιση. Τότε d D (z, w) = d U (f(z), f(w)), για κάθε επιλογή των z, w D. Επιπρόσθετα, το υπερβολικό εμβαδόν είναι σύμμορφα αναλλοίωτο, όπως βλέπουμε και στην (4.1). Εστω E ένα συμπαγές υποσύνολο του D. Τότε το υπερβολικό εμβαδόν του δίνεται από τον τύπο A D h (E) = λ D (z) 2 da(z). Ετσι A U h (f(e)) = AD h (E). E

54 Η υπερβολική μετρική Στη συνέχεια, βλέπουμε πώς μεταβάλλονται μεγέθη της υπερβολικής γεωμετρίας μέσω της εικόνας μίας σύμμορφης απεικόνισης f : D D. Το υπερβολικό μήκος της εικόνας του r T μέσω μίας σύμμορφης απεικόνισης f είναι ίσο με L h f(r T) = = f(r T) r T λ D (w) dw = f (z) dz 1 f(z) 2 = r f(r T) 2π dw 1 w 2 f (re it ) 1 f(re it ) 2 dt. Παράλληλα, το υπερβολικό εμβαδόν της εικόνας του δίσκου r D μέσω της f είναι A h f(r D) = f(r D) (λ f(d) (w)) 2 da(w) = r D f (z) 2 (1 f(z) 2 2 da(z). (4.5) ) Για οποιαδήποτε ολόμορφη συνάρτηση από το δίσκο στον εαυτό του, ισχύει η ανισότητα λ D (f(z)) f (z) λ D (z), λόγω του Λήμματος Schwarz-Pick (π.χ. [7]), με ισότητα αν και μόνο αν η f Aut(D). Ετσι, ισχύουν οι ανισότητες L h f(r T) L h (r T) και A h f(r D) A h (r D). Η υπερβολική μετρική, και γενικότερα η υπερβολική γεωμετρία, έχει μελετηθεί εκτενώς τις τελευταίες δεκαετίες. Ενδεικτικά αναφέρουμε κάποιες εργασίες και βιβλία που περιέχουν τη βασική θεωρία [7], [28] και [63] Ημι-υπερβολική μετρική Για δύο σημεία z 1, z 2 σε έναν απλά συνεκτικό τόπο U, η ημι-υπερβολική (quasi-hyperbolic) απόσταση ορίζεται ως d dw U(z 1, z 2 ) = min C C dist(w, U), όπου το ελάχιστο λαμβάνεται σε όλες τις καμπύλες C στο U που ενώνουν τα z 1 και z 2, βλέπε [63, σελ.92]. Η επόμενη ανισότητα που συνδέει την υπερβολική με την ημι-υπερβολική απόσταση είναι άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 1.2. Ισχύει για κάθε z U, όπου λ U (z) = 1 dist(z, U) 1 4 λ U(z) λ U (z) λ U(z), (4.6) είναι η πυκνότητα της ημι-υπερβολικής μετρικής.

55 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου Υπερβολική Χωρητικότητα Εστω K ένα συμπαγές υποσύνολο του μοναδιαίου δίσκου. Η υπερβολική n-διάμετρός, n N, του ορίζεται ως 2 d D n,h (K) = sup w µ w ν n(n 1) 1 w µ w ν, w 1,...,w n K 1 µ<ν n όπου το supremum λαμβάνεται για κάποια n-άδα σημείων στο σύνορο του K. Η n-άδα σημείων δεν είναι απαραίτητα μοναδική και ονομάζεται υπερβολική Fekete n-άδα του K. Η υπερβολική χωρητικότητα του K είναι caph K = lim n + dd n,h (K) (4.7) και είναι σύμμορφα αναλλοίωτη ποσότητα. Μία χρήσιμη σύνδεση μεταξύ της λογαριθμικής και υπερβολικής χωρητικότητας ενός συμπαγούς συνόλου K D(, δ), δ < 1, δίνεται στο [61, Λήμμα 1] και είναι η 1 cap K caph K. (4.8) 1 + δ2 Επίσης, η υπερβολική χωρητικότητα συνδέεται άμεσα με την Green χωρητικότητα. Παρατήρηση 4.1 ( [47]). Για ένα απλά συνεκτικό χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου, η Green χωρητικότητα συμπίπτει με την υπερβολική χωρητικότητα συμπαγών υποσυνόλων Αρχή Ανάκλασης του Minda Η αρχή ανάκλασης της υπερβολικής μετρικής διατυπώθηκε από τον Minda [56] και έχει γνωρίσει πολλές εφαρμογές. Μας ενδιαφέρει η περίπτωση όπου η ανάκλαση γίνεται ως προς μία κατακόρυφη ευθεία του μιγαδικού επιπέδου, όπως διατυπώνεται στο [13, Λήμμα 1]. Λήμμα 4.1. Εστω Ω ένα απλά συνεκτικό χωρίο του C. Εστω α = {x + iy : y R} μία κατακόρυφη ευθεία. Θέτουμε Ω α = Ω {z : Re z < x } και Ω + α = Ω {z : Re z > x }. Η ανάκλαση ως προς την α συμβολίζεται με R α. Αν R α (Ω α ) Ω + α, τότε λ Ω (w) λ Ω (R α (w)), για κάθε w Ω α, με ισότητα αν και μόνο αν το Ω είναι συμμετρικό ως προς την α.

56 Υπερβολικά Κυρτές Συναρτήσεις 4.2 Υπερβολικά Κυρτές Συναρτήσεις Στο προηγούμενο κεφάλαιο, είδαμε γεωμετρικές εκδοχές του Λήμματος Schwarz όταν το f(d) είναι ένα τυχαίο χωρίο του μιγαδικού επιπέδου C και αυτό είναι εφοδιασμένο με την ευκλείδεια μετρική. Αλλά τι συμβαίνει όταν έχουμε ολόμορφες συναρτήσεις f από το δίσκο στον εαυτό του και βλέπουμε το f(d) υπό το πρίσμα της υπερβολικής γεωμετρίας; Τα μόνα αντίστοιχα αποτελέσματα, μέχρις στιγμής, βρίσκονται στην εργασία του Μπετσάκου [11], όπου έχει αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις r R h f(r D) r και r caph f(r D) r είναι αύξουσες ως προς r (, 1). Με caph συμβολίζεται η υπερβολική χωρητικότητα και με R h η ακτίνα-υπερβολικού εμβαδού του f(r D). Για να βρούμε την R h, υπολογίζουμε το υπερβολικό εμβαδόν A h f(r D) του f(r D) και παίρνουμε τον υπερβολικό δίσκο D h (, R h ), με κατάλληλη ακτίνα ώστε το υπερβολικό εμβαδόν του να είναι ίσο με το A h f(r D). Στην παράγραφο αυτή, θα ορίσουμε την κλάση των υπερβολικά κυρτών απεικονίσεων, όπως έχει διατυπωθεί από τους Ma και Minda στο άρθρο [51]. Η κλάση των συναρτήσεων αυτών είναι ιδιαίτερα σημαντική στην παρούσα διατριβή, καθώς με χρήση αυτής, θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε γεωμετρικές παραλλαγές του Λήμματος Schwarz, στην υπερβολική γεωμετρία. Εστω f μία ολόμορφη συνάρτηση στο D με f(d) D. Ενα χωρίο Ω D ονομάζεται υπερβολικά κυρτό αν για κάθε ζεύγος σημείων του Ω, η υπερβολική γεωδαισιακή που τα ενώνει, βρίσκεται στο Ω. Τότε το σύνορο του Ω καλείται υπερβολικά κυρτή καμπύλη. Μία σύμμορφη απεικόνιση f : D D καλείται υπερβολικά κυρτή αν η εικόνα f(d) είναι υπερβολικά κυρτό χωρίο του D. Τα υπερβολικά χωρία συνδέονται άμεσα με τις αστρόμορφες συναρτήσεις. Αν η f είναι υπερβολικά κυρτή και f(d), τότε η f είναι αστρόμορφη, όπως βλέπουμε στο [55]. Από το Θεώρημα του Study [51] για την υπερβολική γεωμετρία, προκύπτει μία βασική ιδιότητα των υπερβολικά κυρτών συναρτήσεων. Εστω f σύμμορφη με f(d) D. Αν η f είναι υπερβολικά κυρτή, τότε απεικονίζει κάθε δίσκο του D σε ένα υπερβολικά κυρτό χωρίο. Πιο συγκεκριμένα, για < r < 1, η συνάρτηση f(rz) είναι υπερβολικά κυρτή. Εχουμε ακόμα ότι αν η f είναι μία σύμμορφη απεικόνιση από το δίσκο D στον εαυτό του, η καμπύλη f(r T) είναι υπερβολικά κυρτή, για r 2 3. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται ακτίνα υπερβολικής κυρτότητας και αποτελεί ένα αυστηρό φράγμα για την υπερβολική κυρτότητα του χωρίου f(r D). Παρόμοια με την ευκλείδεια περίπτωση, το ερώτημα είναι τι συμβαίνει όταν το r είναι μεγαλύτερο από 2 3. Παράλληλα, προκύπτει το παρακάτω λήμμα. Λήμμα 4.2. [51, Λήμμα 1] Εστω Ω D ένα υπερβολικά κυρτό χωρίο. c Ω D και ρ >, το Ω D h (c, ρ) είναι υπερβολικά κυρτό στο Ω. Τότε, για κάθε Επίσης, μία ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη συνάρτηση f στο D, με f(d) D, είναι υπερβολικά κυρτή αν και μόνο αν η συνάρτηση { } u f (z) := Re 1 + zf (z) f (z) + 2zf (z)f(z) 1 f(z) 2 >, (4.9)

57 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου 47 για κάθε z D. Από το άρθρο του Παπαδημητράκη [57], η παραπάνω συνάρτηση είναι υφαρμονική στο δίσκο D αν και μόνο αν η f είναι υπερβολικά κυρτή. Για τις ολόμορφες συναρτήσεις f : D D, ορίζονται οι εξής διαφορικοί τελεστές και D h1 f(z) = (1 z 2 )f (z) 1 f(z) 2 D h2 f(z) = (1 z 2 ) 2 f (z) 1 f(z) 2 + 2(1 z 2 ) 2 f (z) 2 f(z) (1 f(z) 2 ) 2 2 z(1 z 2 )f (z) 1 f(z) 2, οι οποίοι εξετάζονται λεπτομερώς στα [5] και [51]. Μάλιστα, ισχύει το εξής θεώρημα. Θεώρημα 4.1. Εστω f : D D μία ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη συνάρτηση. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα 1. Η f είναι υπερβολικά κυρτή 2. Για κάθε z D, ισχύει D h2 f(z) 2D h1 f(z) < 1 (4.1) 3. Για κάθε z D, u f (z) >. Με πράξεις, η (4.1) παίρνει τη μορφή ( 1 z 2 ) f ( (z) 1 z 2 ) f(z)f (z) 2f + (z) 1 f(z) 2 z 1. (4.11) Ομως, από το [51, Θεώρημα 5], για μία υπερβολικά κυρτή συνάρτηση f στο D ισχύει ότι ( 1 z 2 ) f ( (z) 1 z 2 ) f(z)f (z) ( (1 z 2 2f + (z) 1 f(z) 2 z 1 ) f ) 2 (z) 1 f(z) 2, (4.12) για κάθε z D. Επιπρόσθετα, θα δούμε πώς ορίζεται η υπερβολική καμπυλότητα [51]. Εστω γ μία λεία καμπύλη, με γ : z = z(t), t [α, b], και μη μηδενική παράγωγο. Η υπερβολική καμπυλότητα της γ στο σημείο z = z(t) δίνεται από τον τύπο { } κ h (z, γ) = (1 z 2 z(t)z (t) )κ(z, γ) + 2 Im z, (4.13) (t) όπου κ(z, γ) είναι η ευκλείδεια καμπυλότητα της γ στο z. Εστω f μία ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη απεικόνιση στο D με f(d) D. Η υπερβολική καμπυλότητα της f γ στο σημείο f(z), z = z(t) γ, είναι ίση με κ h (f(z), f γ) D h1 f(z) = κ h (z, γ) + Im { Dh2 f(z) D h1 f(z) z (t) z (t) }. (4.14)

58 Παραλλαγές Λήμματος Schwarz Αν η συνάρτηση f είναι υπερβολικά κυρτή, τότε η υπερβολική καμπυλότητα κ h (f(z), f γ) σε κάθε σημείο z γ είναι θετική. Οι παραπάνω τύποι παρουσιάζονται στο [51]. Περισσότερες πληροφορίες για την υπερβολική κυρτότητα, μπορεί κανείς να βρει στις εργασίες [5], [51], [52], [54] και [55]. Η μονοτονική συμπεριφορά των συναρτήσεων που ορίζονται στις (3.1), (3.2) και (3.25) παίζει καθοριστικό ρόλο στη γεωμετρική θεωρία συναρτήσεων στο μιγαδικό επίπεδο. Μέχρι στιγμής, δεν παρουσιάζονται πουθενά αντίστοιχα αποτελέσματα σχετικά με το μήκος και το εμβαδόν στην υπερβολική γεωμετρία του δίσκου. Στην κλάση των υπερβολικά κυρτών συναρτήσεων, θα αποδείξουμε αντίστοιχα αποτελέσματα της μονοτονίας των συναρτήσεων (3.1), (3.2) και (3.25) στην υπερβολική γεωμετρία. 4.3 Παραλλαγές Λήμματος Schwarz Θεωρούμε μία σύμμορφη απεικόνιση f : D D, η οποία είναι υπερβολικά κυρτή. Θέτουμε L h (r) := L h f(r T), r (, 1), (4.15) L h (r T) όπου L h συμβολίζει το υπερβολικό μήκος καμπύλης του δίσκου. Προκύπτει το εξής αποτέλεσμα για τη μονοτονία της συνάρτησης L h (r). Θεώρημα 4.2. Εστω f : D D μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση. Τότε, η L h είναι φθίνουσα στο (, 1). Επίσης, η L h είναι γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν η f δεν είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του D. Στην περίπτωση αυτή, η L h είναι σταθερή και ίση με 1. Απόδειξη. Αφού η f είναι υπερβολικά κυρτή απεικόνιση, τότε η καμπύλη f(r T) είναι απλή, κλειστή και λεία στο D. Το υπερβολικό της μήκος είναι ίσο με 2π f (re it ) L h f(r T) = r 1 f(re it dt. (4.16) ) 2 Για να απλοποιήσουμε τους συμβολισμούς, για ολόμορφες συναρτήσεις f, θέτουμε σ f (z) := f (z) 1 f(z) 2, για z D. Από τα [2, σελ.12] και [52], η σ f είναι η πυκνότητα της σύμμορφης μετρικής με καμπυλότητα Gauss ίση με 4. Επομένως, ικανοποιεί την εξίσωση log σ f σ 2 f = 4 και ο λογάριθμός της είναι υφαρμονική συνάρτηση. Ετσι, η σ f ανήκει στην κλάση των PLυφαρμονικών συναρτήσεων και είναι και η ίδια υφαρμονική στο D. Η L h (r) γράφεται ως L h (r) = 1 r2 2π 2π σ f (re it )dt

59 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου 49 και είναι ο μέσος όρος της συνάρτησης q f (z) := ( 1 z 2) σ f (z). Η παραπάνω συνάρτηση μπορεί επίσης να γραφτεί ως q f (z) = ( 1 z 2) f (z) 1 f(z) 2 = λ D(f(z)) f (z) = λ D (z) λ D(f(z)) λ f(d) (f(z)). (4.17) Καθώς το f(d) είναι υπερβολικό χωρίο και υπερβολικά κυρτό, προκύπτει από το [43, Θεώρημα 2] ότι η λ D(f(z)) λ f(d) (f(z)) είναι υπεραρμονική στο f(d). Συνεπώς, η q f (z) είναι υπεραρμονική στο D και ο μέσος όρος της L h είναι φθίνουσα συνάρτηση για r (, 1). Αν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου, σύμφωνα με το Λήμμα Schwarz-Pick, η λ D(f(z)) λ f(d) (f(z)) είναι σταθερή και ίση με 1. Άρα, η Lh είναι επίσης σταθερή και ίση με 1, καθώς L h f(r T) = L h (r T). Ας υποθέσουμε ότι f / Aut(D). Τότε q f (z) < 1, (4.18) για κάθε z D. Ακολουθώντας την ίδια μέθοδο απόδειξης, όπως στο Θεώρημα 3.5, συμβολίζουμε το μέσο όρο της υφαρμονικής συνάρτησης q f (z) με m (r, q f (z)) = L h (r). Άρα, η L h (r) ικανοποιεί το Λήμμα 2.2 και ισχύει ότι είτε η L h (r) είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 1) είτε η q f (z) είναι αρμονική στο D και L h (r) είναι σταθερή και ίση με 1 r 2 2π f (re it ) lim r Lh (r) = lim r 2π 1 f(re it ) 2 dt = f () < 1. (4.19) 1 f() 2 Υποθέτουμε ότι η q f (z) είναι αρμονική στο D και έτσι η L h (r) είναι σταθερή. Από το [43, Θεώρημα 2], έχουμε ότι ( ) ( ) 1 λ 2 D (z) λd (f(z)) 4λ D(f(z)) 1 λ2 D (f(z)) λ f(d) (f(z)) λ f(d) (f(z)) λ 2 f(d) (f(z)), (4.2) καθώς το f(d) είναι υπερβολικά κυρτό χωρίο. Επίσης, η q f (z) = από την ανισότητα (4.2), προκύπτει ότι 4q f (z) ( 1 q 2 f (z)). λ D(f(z)) λ f(d) (f(z)) είναι αρμονική και Παρόλ αυτά, το αριστερό μέλος της παραπάνω ανισότητας είναι θετικό, και λόγω του Λήμματος Schwarz-Pick, καταλήγουμε ότι πρέπει να ισχύει q f (z) = ( 1 z 2) σ f (z) = 1, για κάθε z D, γεγονός που αντιτίθεται στην ανισότητα (4.18). Επομένως, η f Aut(D) και η L h (r) είναι γνησίως φθίνουσα εκτός αν f Aut(D).

60 Παραλλαγές Λήμματος Schwarz Επίσης, έχουμε παρόμοιο αποτέλεσμα για το υπερβολικό εμβαδόν. Ορίζουμε τη συνάρτηση όπου A h είναι το υπερβολικό εμβαδόν ενός χωρίου στο D. A h (r) := A h f(r D), r (, 1), (4.21) A h (r D) Θεώρημα 4.3. Εστω f : D D μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση. Τότε η A h είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 1). Επίσης, η A h είναι γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν η f δεν είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου. Σε αυτήν την περίπτωση, η A h είναι σταθερή και ίση με 1. Για την απόδειξη θα χρειαστούμε κάποια βοηθητικά λήμματα. Το πρώτο είναι ένα αποτέλεσμα υπεραρμονικότητας της συνάρτησης ( 1 z 2) 2 σ 2 f (z) και μία ανισότητα που προκύπτει από αυτό. Λήμμα 4.3. Εστω f : D D μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση. Τότε η συνάρτηση ( 1 z 2 ) 2 σ 2 f (z) είναι υπεραρμονική στο D και r D σf 2 (z) da(z) 4r2 2π 1 r 2 σf 2 (reit )dt. (4.22) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου. Απόδειξη. Συνεχίζουμε με τους ίδιους συμβολισμούς της προηγούμενης απόδειξης. Η Λαπλασιανή της q 2 f (z) = ( 1 z 2) 2 σ 2 f (z) δίνεται από τον τύπο όπου Ομως Συνεπώς, η (4.23) μπορεί να γραφεί ως q 2 f (z) = 2q f (z) q f (z) + 2 q f (z) 2, (4.23) q f (z) 2 = 4 z q f (z) 2. log q f (z) 2 = 1 q 2 f (z) q f (z) 2. (4.24) 1 2qf 2(z) q2 f (z) = 1 q(z) q f (z) + log q f (z) 2, (4.25) για κάθε z D. Καθώς όμως η f είναι υπερβολικά κυρτή, η ανισότητα (4.2) ικανοποιείται και, σύμφωνα με το άρθρο [43], γράφεται 1 q f (z) q 4 ( f (z) 1 q 2 (1 z 2 ) 2 f (z) ). (4.26)

61 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου 51 Με υπολογισμούς, έχουμε 1 σ f (z) z q f (z) = ( 1 z 2) f (z) 2f (z) + ( 1 z 2) f(z)f (z) 1 f(z) 2 z, για κάθε z D και έτσι, με χρήση της (4.24), βρίσκουμε log q f (z) 2 4 ( = (1 z 2 ) 2 1 z 2 ) f (z) 2f (z) + ( 1 z 2) f(z)f (z) 1 f(z) 2 z Εφαρμόζοντας την (4.12), παίρνουμε log q f (z) 2 4 (1 z 2 ) 2 ( 1 q 2 f (z) ) 2, (4.27) για κάθε z D. Επιστρέφοντας στην (4.25) και λόγω των ανισοτήτων (4.26) και (4.27), έπεται ότι 1 2qf 2(z) q2 f (z) 4 ( 1 q 2 (1 z 2 ) 2 f (z) ) 4 ( + 1 q 2 (1 z 2 ) 2 f (z) ) 2 = 4q2 f (z) (1 z 2 ) 2 ( 1 q 2 f (z) ), (4.28) για κάθε z D. Επομένως, qf 2(z) = ( 1 z 2) 2 σ 2 f (z) και η συνάρτηση ( 1 z 2) 2 σ 2 f (z) είναι υπεραρμονική στο D. Άρα η r ( 1 r 2) 2 2π σ 2 f (reit )dt, είναι φθίνουσα στο (, 1), ως μέσος όρος υπεραρμονικής συνάρτησης. Ετσι και η παράγωγός της είναι αρνητική 4r ( 1 r 2) 2π σf 2 (reit )dt + ( 1 r 2) ( 2 d 2π ) σf 2 dr (reit )dt, (4.29) για κάθε r στο (, 1). Με χρήση της ταυτότητας των Hardy-Stein για τη συνάρτηση σf 2 (βλέπε π.χ. [58]), η παράγωγος του μέσου όρου της σf 2 είναι ίση με ( d 2π ) σf 2 dr (reit )dt = 1 σf 2 (z) da(z). (4.3) r Προκύπτει από την (4.29) ότι r D σf 2 (z) da(z) 4r2 r D 2π 1 r 2 σf 2 (reit )dt. (4.31) Η ισότητα συμβαίνει αν και μόνο αν ο μέσος όρος της qf 2 (z) είναι σταθερός, που σύμφωνα με το Λήμμα 2.2, ισχύει αν και μόνο αν η qf 2(z) είναι αρμονική στο D. Από την (4.28), η q2 f (z) είναι αρμονική στο D μόνο αν qf 2 (z) = 1, το οποίο συμβαίνει αν και μόνο αν η f Aut(D). 2.

62 Παραλλαγές Λήμματος Schwarz Το επόμενο λήμμα είναι μία διαφορική ανισότητα που συνδέει την πρώτη με τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης A h, που είναι ορισμένη στην (4.21). Λήμμα 4.4. Εστω f : D D μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση. Για κάθε r (, 1), d 2 A h dr 2 (r) 3 r όπου η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν f Aut(D). d A h (r), (4.32) dr Απόδειξη. Η συνάρτηση A h (r) = A h f(r D) A h (r D) = 1 r2 πr 2 r D σf 2 (z) da(z) είναι παραγωγίσιμη στο (, 1), με πρώτη παράγωγο d A h 2 (r) = dr πr 3 σ 2 1 2π r2 f (z) da(z) + σf 2 r D πr (reit )dt, (4.33) για r (, 1). Η δεύτερη παράγωγος είναι d 2 A h dr 2 (r) = 6 πr 4 r D + 1 r2 πr 2 2π σf 2 (z) da(z) (3 + r2 ) πr 2 σf 2 (reit )dt σf 2 (z) da(z), (4.34) r D για r (, 1). Από το Λήμμα 4.3, έχουμε ότι d 2 A h dr 2 (r) 6 πr 4 = 3 r = 3 r r D [ 2 πr 3 d A h dr (r). ( 4 σf 2 (z) da(z) + π 3 + ) 2π r2 πr 2 σf 2 (reit )dt σf 2 1 2π ] r2 (z) da(z) + σf 2 πr (reit )dt r D Σύμφωνα με το Λήμμα 4.3, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά της παραγώγου του διπλού ολοκληρώματος της σf 2 στον δίσκο r D, όταν το r τείνει στο μηδέν. Λήμμα 4.5. Εστω f μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση στο D. Τότε lim sup r + ( ) d 1 dr πr 2 σf 2 (z) da(z) =. (4.35) r D

63 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου 53 Απόδειξη. Θεωρούμε τον εμβαδικό μέσο όρο b(r, σf 2 ) στο r D, b(r, σf 2 ) = 1 πr 2 σf 2 (z) da(z). Σύμφωνα με το [66, Θεώρημα 2.6.8], η συνάρτηση b(r, σf 2 ) είναι αύξουσα για r (, 1), καθώς η σf 2 είναι υφαρμονική στο D. Επίσης, από την (2.1), έχουμε b(r, σ2 f ) r + σ2 f (). Ως αποτέλεσμα, η b(r, σf 2 ) έχει θετική παράγωγο ίση με db dr (r, σ2 f ) = d ( 1 dr πr 2 = 2 πr 3 Παίρνοντας όριο για r +, lim sup r + = 1 πr 2π r r D ( 2π db dr (r, 1 σ2 f ) = lim sup r + πr r D ) σf 2 (ρeit )ρdρdt σf 2 (z)dxdy + 1 πr σf 2 (reit )dt 2 r 2 ( 2π 2π r D σ 2 f (reit )dt 2 r 2 σ 2 f (reit )dt σ 2 f (z)dxdy ). (4.36) r D σ 2 f (z)dxdy ). (4.37) Εφαρμόζοντας τη γενική μορφή του κανόνα De L Hospital (3.18) στην (4.37), έχουμε ότι db lim sup r + dr (r, σ2 f ) 1 [ ( d 2π ) lim sup σf 2 π r + dr (reit )dt 2π db ] dr (r, σ2 f ) db 3 lim sup r + dr (r, σ2 f ) 1 ( d 2π ) lim sup σf 2 π r + dr (reit )dt = 1 1 lim sup σf 2 (z) da(z), (4.38) π r + r r D όπου κάνουμε και χρήση της ταυτότητας των Hardy-Stein για την σf 2. Από την ανισότητα (4.22) του Λήμματος 4.3, το όριο στην (4.38) παίρνει τη μορφή lim sup r + db dr (r, σ2 f ) 1 1 lim sup π r + r 1 lim sup π r + = σf 2 () = 4r 1 r 2 σf 2 (z) da(z) r D 2π σ 2 f (reit )dt και καθώς η συνάρτηση b(r, σf 2 ) έχει θετική παράγωγο, παίρνουμε ότι lim sup r + db dr (r, σ2 f ) =.

64 Παραλλαγές Λήμματος Schwarz Επίσης έχουμε το εξής λήμμα που αφορά τη συνοριακή τιμή της παραγώγου της συνάρτησης A h (r), καθώς το r τείνει στο μηδέν. Λήμμα 4.6. Εστω f μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση στο D. Τότε Απόδειξη. Από την (4.33), έπεται ότι lim sup r + d A h (r) = lim sup dr r + = lim sup r + lim sup r + [ 2 πr 3 r D [ db dr (r, σ2 f ) r π d A h (r) =. (4.39) dr σf 2 1 r2 (z) da(z) + πr ] 2π σ 2 f (reit )dt με χρήση της (4.36). Εφαρμόζοντας το Λήμμα 4.5, προκύπτει ότι lim sup r + d A h db (r) = lim sup dr r + dr (r, σ2 f ) =., 2π ] σf 2 (reit )dt Το τελευταίο λήμμα που χρειαζόμαστε, πριν την απόδειξη του Θεωρήματος 4.3, είναι η ανισότητα του Gronwall. Λήμμα 4.7. [33] Αν για μία παραγωγίσιμη συνάρτηση φ : [a, b] R, ισχύει η διαφορική ανίσωση φ (t) β(t)φ(t), όπου β μία πραγματική ολοκληρώσιμη συνάρτηση στο [a, b], τότε ( t ) φ(t) φ(a) exp β(s)ds. a Απόδειξη του Θεωρήματος 4.3. Οπως είδαμε στην (4.32), ισχύει η διαφορική ανισότητα d 2 A h dr 2 (r) 3 d A h r dr (r), για r (, 1). Σύμφωνα με την ανισότητα του Gronwall, προκύπτει ότι για r (, 1) d A h dr = ( lim sup r + ( d A h lim sup r + dr (r) d A h ) ( r dr (r) exp 3 ) ) 1 x dx ( exp 3 lim log r log ɛ ɛ ) =,

65 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου 55 χρησιμοποιώντας και το Λήμμα 4.6. Ετσι, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση A h είναι φθίνουσα στο (, 1). Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε ότι η A h είναι γνησίως φθίνουσα εκτός αν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου. Υποθέτουμε ότι η A h δεν είναι γνησίως φθίνουσα. Λόγω συνέχειας, υπάρχει ένα διάστημα [s 1, s 2 ] (, 1) όπου A h είναι σταθερή και d A h dr (r) = d2 A h (r) =, dr2 για κάθε r [s 1, s 2 ]. Επομένως έχουμε ισότητα στη διαφορική ανισότητα (4.32) και από το Λήμμα 4.4, συμπεραίνουμε ότι η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου. Σύμφωνα με το Λήμμα Schwarz-Pick, ισχύει ότι A h f(r D) = A h (r D), για κάθε r (, 1), το οποίο δίνει ότι η A h είναι σταθερή και ίση με 1. Συνεπώς, η A h είναι γνησίως φθίνουσα αν και μόνο αν f / Aut D. Μία άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 4.3 είναι η ακόλουθη ανισότητα ισοπεριμετρικού τύπου για την εικόνα του δίσκου r D. Πόρισμα 4.1. Για μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση f στο D, ισχύει L 2 h f(r T) 4π 1 r 2 A h f(r D), για r (, 1). Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν η f Aut(D). Απόδειξη. Οπως είδαμε, η συνάρτηση A h είναι φθίνουσα. Επομένως, για κάθε r (, 1), d A h 2 (r) = dr πr 3 σf 2 1 2π r2 (z) da(z) + σf 2 πr (reit )dt (4.4) r D και έπεται ότι ( 1 r 2 ) 2π r 2 σf 2 (reit )dt 2 σf 2 (z) da(z). (4.41) r D Εφαρμόζοντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz για τη συνάρτηση ( 1 z 2) σ f (z), έχουμε ότι ( (1 r 2 ) 2π ) 2 σ f (re it )dt 2π ( 1 r 2) 2π 2 σf 2 (reit )dt και η (4.41) γράφεται ή ισοδύναμα ( 1 r 2 ) r 2 ( 2π 2 σ f (re )dt) it 4π σf 2 (z) da(z) r D L 2 h f(r T) 4π 1 r 2 A h f(r D). (4.42) Ισότητα στην (4.41) ισχύει αν και μόνο αν f Aut(D). Ακόμα, ισότητα στην Cauchy- Schwarz έχουμε μόνο όταν η ( 1 z 2) σ f (z) είναι σταθερή συνάρτηση στο D, κάτι που επίσης ισχύει αν και μόνο αν f Aut(D). Συνεπώς, η (4.42) είναι αληθής για κάθε υπερβολικά κυρτή απεικόνιση με ισότητα αν και μόνο αν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου.

66 Παραλλαγές Λήμματος Schwarz Ενας διαφορετικός τρόπος γραφής της (4.42) παράγει την ανισότητα 1 2π 2π f (re it ) 2 (1 f(re it ) 2 ) 2 dt λ D(re it ) πr 2 r D f (z) 2 (1 f(z) 2 2 da(z), (4.43) ) ή αλλιώς m(r, σ 2 f ) λ D(r) b(r, σ 2 f ), f 2 (1 f 2 ) 2 η οποία συγκρίνει το μέσο όρο της συνάρτησης με το διπλό ολοκλήρωμα της, για κάθε υπερβολικά κυρτή απεικόνιση f. Το Πόρισμα 4.1 μας δίνει ένα άνω φράγμα για τον υπερβολικό ισοπεριμετρικό λόγο του χωρίου f(r D). Επίσης, τα Θεωρήματα 4.2 και 4.3 οδηγούν σε Schwarz-τύπου ανισότητες, οι οποίες εμπεριέχουν το υπερβολικό μήκος και εμβαδόν, όπως επίσης και πληροφορίες για την οριακή τους συμπεριφορά. Πόρισμα 4.2. Εστω f : D D μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση. Τότε L h f(r T) f ( ) () 2πr 1 1 f() 2 1 r 2 και L h f(r T) = O 1 r 2, (4.44) καθώς r 1. Αν A h f(d) < +, τότε L h f(r T) = O ( ) 1 1 r 2, καθώς r 1. Η ισότητα ισχύει στην (4.44) αν και μόνο αν f Aut(D). Παρόμοιο αποτέλεσμα έχουμε για το υπερβολικό εμβαδόν του f(r D). Πόρισμα 4.3. Εστω f : D D μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση. Τότε A h f(r D) καθώς r 1. Αν A h f(d) < +, τότε f () 2 πr 2 ( ) 1 (1 f() 2 ) 2 1 r 2 και A h f(r D) = O 1 r 2, (4.45) A h f(r D) = O ( ) 1 1 r 2, καθώς r 1. Η ισότητα στην (4.45) ισχύει αν και μόνο αν f Aut(D). Απόδειξη των Πορισμάτων 4.2 και 4.3. Οπως είδαμε στα Θεωρήματα 4.2 και 4.3, οι συναρτήσεις L h και A h είναι φθίνουσες στο (, 1), οπότε είναι φραγμένες από τα όρια τους καθώς το r τείνει στο μηδέν. Από την (4.19), ισχύει ότι L h (r) lim r + Lh (r) = f () 1 f() 2

67 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου 57 και έτσι προκύπτει η ανισότητα L h f(r T) f () 1 f() 2 L h(r T) = f () 1 f() 2 2πr 1 r 2, για κάθε r (, 1). Οσον αφορά το υπερβολικό εμβαδόν, έχουμε A h 1 r 2 (r) lim r Ah (r) = lim + r + πr 2 σf 2 (z) da(z) = f () 2 r D (1 f() 2 ) 2, το οποίο οδηγεί στην εξής ανισότητα A h f(r D) f () 2 (1 f() 2 ) 2 A h(r D) = f () 2 (1 f() 2 ) 2 πr 2 1 r 2, για κάθε r (, 1). Οι ποσότητες ( 1 r 2) L h f(r T) και ( 1 r 2) A h f(r D) είναι φραγμένες στο (, 1). Το ίδιο ισχύει και όταν η ακτίνα r πλησιάζει το 1, και έτσι, καταλήγουμε ότι ( ) 1 L h f(r T) = A h f(r D) = O 1 r 2, καθώς το r 1. Αν το χωρίο f(d) είναι φραγμένο στην υπερβολική γεωμετρία του δίσκου, τότε έχει πεπερασμένο υπερβολικό εμβαδόν A h f(r D) < +. Ως αποτέλεσμα, 1 r 2 lim r 1 Ah (r) = lim r 1 πr 2 A h f(r D) =. Επίσης, με χρήση της ανισότητας (4.42), 1 r 2 1 r lim r 1 Lh (r) = lim r 1 2π L 2 h f(r T) lim A h f(r D) =, r 1 π οπότε, A h f(r D) = L h f(r T) = O ( ) 1 1 r 2, r 1. Από τα παραπάνω, οδηγούμαστε σε μία νέα εκδοχή του κλασικού Λήμματος Schwarz-Pick για την κλάση των υπερβολικά κυρτών απεικονίσεων. Το Λήμμα Schwarz-Pick διατυπώνεται ως εξής: f (z) 1 f(z) 2 1 z 2, z D, (4.46) για κάθε ολόμορφη συνάρτηση f : D D, με ισότητα ακριβώς τότε όταν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου. Αν περιοριστούμε στην κλάση των υπερβολικά κυρτών απεικονίσεων του D, έχουμε μία ίδιου τύπου ανισότητα με χρήση του μέσου όρου της συνάρτησης f (z) 1 f(z) 2.

68 Παραλλαγές Λήμματος Schwarz Πόρισμα 4.4. Εστω f : D D μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση. Τότε για κάθε r (, 1), 1 ( 1 z 2 ) f (z) 2π r T 1 f(z) 2 dz f () 1 f() 2 r r, ή ισοδύναμα m ( r, (1 z 2 )σ f (z) ) rσ f (), όπου ισότητα ισχύει αν και μόνο αν f Aut(D). Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι f / Aut(D). Στο Πόρισμα 4.2, είδαμε ότι το οποίο ισοδύναμα γράφεται για r (, 1). Επομένως, 2π L h f(r T) < f () 1 f() 2 2πr 1 r 2, f (re it ) 1 f(re it ) 2 dt < 2π f () 1 f() r 2, 1 ( 1 z 2 ) f (z) 2π r T 1 f(z) 2 dz < r f () 1 f() 2 < r, για κάθε r (, 1). Στην περίπτωση που f Aut(D), σύμφωνα με το Θεώρημα 4.2, ισότητα ισχύει στις παραπάνω ανισότητες. Προκύπτει το ερώτημα αν τα Θεωρήματα 4.2 και 4.3 μπορούν να γενικευτούν για όλες τις ολόμορφες συναρτήσεις του δίσκου, ή τουλάχιστον για τις σύμμορφες. Η απάντηση είναι αρνητική και η υπερβολική κυρτότητα δεν μπορεί να εξαλειφθεί ως ιδιότητα από τα παραπάνω αποτελέσματα. Θα δούμε πώς συμπεριφέρονται οι συναρτήσεις L h και A h για μία συνάρτηση g : D D σύμμορφη αλλά όχι υπερβολικά κυρτή, δίνοντας ένα αντιπαράδειγμα για τη μονοτονία τους. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) 1 g(z) = k 1 2 k(z), όπου k(z) = z (1 z) 2 είναι η συνάρτηση του Koebe. Η g απεικονίζει τον D σύμμορφα επί του D \( 1, p], όπου p = 3 2 2, και δίνεται από τον τύπο g(z) = 1 + z z 1 + z z.

69 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου 59 Είναι φανερό ότι το D \( 1, p] δεν είναι υπερβολικά κυρτό χωρίο. Η παράγωγος της g είναι g (z) = 2(1 + z) 1 + z 2 ( 1 + z z) 2. Άρα, σ g (z) := g (z) 1 g(z) 2 = z 1 + z z z (1 2 1+z 2 1+z 1+z 2 +1 z 2) = 1 + z z Re {(1 z) }. 1 + z 2 Χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες, έχουμε σ g (re it ) = 2(1 + r 4 + 2r 2 cos 2t) 1 2 [ r cos (1 + r 2 + 2r cos t) 1 2 ( t 1 2 arctan r2 sin 2t 1+r 2 cos 2t ) ( )]. + cos 1 2 arctan r2 sin 2t 1+r 2 cos 2t Θα εξετάσουμε αν το υπερβολικό μήκος της g(r T) και το υπερβολικό εμβαδόν του g(r D) ικανοποιούν τα αποτελέσματα των Θεωρημάτων 4.2 και 4.3. Θεωρούμε τις συναρτήσεις και L h (r) = 1 r2 2π A h (r) = 1 r2 πr 2 2π r D σ g (re it )dt σ 2 g(z) da(z), για r (, 1). Με χρήση της Mathematica, μπορούμε να δούμε παρακάτω τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων L h (r) και A h (r). Σχήμα 4.2: L h (r) = L h(g(r T)) L h (r T) Σχήμα 4.3: A h (r) = A h(g(r D)) A h (r D)

70 Παραλλαγές Λήμματος Schwarz Καθώς για τη συνάρτηση g, οι συναρτήσεις L h (r) και A h (r) δεν είναι φθίνουσες, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η υπόθεση της υπερβολικής κυρτότητας δεν μπορεί να παραλειφθεί από τα Θεωρήματα 4.2 και 4.3. Στη συνέχεια, θα δείξουμε ένα θεώρημα μονοτονίας για την υπερβολική εκδοχή της συνάρτησης Φ(r). Ορίζουμε τη συνάρτηση Φ h (r) = f(r T) κ h(w, f(r T)) ds r T κ, < r < 1, (4.47) h(z, r T) ds η οποία είναι ο λόγος της υπερβολικής ολικής απόλυτης καμπυλότητας της f(r T) προς την υπερβολική ολική απόλυτη καμπυλότητα του κύκλου r T. Θεώρημα 4.4. Εστω f μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση του D. Η Φ h (r) είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του r (, 1), εκτός αν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου. Σε αυτήν την περίπτωση, η Φ h είναι σταθερή και ίση με 1. Στην απόδειξη του Θεωρήματος 4.4, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Gauss-Bonnet (3.26). Ο μοναδιαίος δίσκος D εφοδιασμένος με την υπερβολική μετρική είναι μία διδιάστατη πολλαπλότητα Riemann με σταθερή καμπυλότητα Gauss ίση με 4. Αν το Ω είναι ένα υπερβολικό χωρίο στο D, από τον τύπο του Gauss-Bonnet (3.26) προκύπτει 4 A h (Ω) + κ h (z, γ)λ D (z) dz = 2π, (4.48) γ όπου γ είναι το σύνορο του Ω και είναι λεία, απλή και κλειστή καμπύλη στο D. Απόδειξη του Θεωρήματος 4.4. Αρχικά θα υπολογίσουμε την Φ h (r) και πιο συγκεκριμένα τις υπερβολικές γεωδαισιακές καμπυλότητες των r T και f(r T). Ο υπερβολικός δίσκος D h (, ρ), < ρ < 1, είναι ταυτόχρονα και ευκλείδειος δίσκος r D με σύνορο r T, όπου r = tanh ρ. Η υπερβολική γεωδαισιακή καμπυλότητα δίνεται από τον τύπο (4.13) και είναι ίση με και η ολική καμπυλότητα είναι r T κ h (z, r T) = 1 r2 r κ h (z, r T)λ D (z) dz = { re it ire it } + 2 Im = 1 + r2 r r 2π 1 + r 2 r r 1 + r2 dt = 2π 1 r2 1 r 2, (4.49) για r (, 1). Σχετικά με την καμπύλη f(r T), η υπερβολική γεωδαισιακή καμπυλότητα δίνεται από την (4.14). Υπολογίζουμε αρχικά τις ποσότητες D h2 f(z) D h1 f(z) = (1 z 2 ) f (z) f (z) z 2 1 f(z) 2 f(z)f (z) 2 z

71 Κεφάλαιο 4. Υπερβολική Γεωμετρία Μοναδιαίου Δίσκου 61 και Im { Dh2 f(z) D h1 f(z) ire it r } = 1r { Re (1 z 2 )z f (z) f (z) } z 2 1 f(z) 2 zf(z)f (z) 2 zz { } = 1 r2 Re z f (z) r f (z) + 2 zf(z)f (z) 1 f(z) 2 2r. Άρα, κ h (f(z), f(r T)) D h1 f(z) = 1 + r2 r 2r + 1 r2 r Re { } z f (z) f (z) + 2 zf(z)f (z) 1 f(z) 2 και με υπολογισμούς παίρνουμε κ h (f(z), f(r T)) = 1 f(z) 2 r f u f (z), (4.5) (z) όπου η u f (z) ορίστηκε στην (4.9). Συνεπώς, με χρήση της (4.5), η υπερβολική ολική καμπυλότητα της f(r T) είναι 2π κ h (w, f(r T))λ D (w) dw = κ h (f(z), f(r T))λ D (f(z)) f (z) dz = u f (re it )dt. f(r T) r T Εφαρμόζοντας τον τύπο του Gauss-Bonnet (3.26) στο χωρίο f(r D) θεωρώντας το ως μία διδιάστατη πολλαπλότητα με σύνορο πάνω στην επιφάνεια Riemann της f, παίρνουμε ότι 2π u f (re it )dt = 2π + 4 A h (f(r D)), (4.51) όπου A h (f(r D)) είναι το υπερβολικό εμβαδόν του f(r D), μετρώντας τις πολλαπλότητες. Στην περίπτωσή μας όμως, η f ως υπερβολικά κυρτή είναι αμφιμονότιμη ολόμορφη στο D. Η Φ h (r) από την (4.47) γράφεται ως Φ h (r) = 1 r2 2π(1 + r 2 ) 2π u f (re it ) dt, < r < 1 και καθώς από την υπόθεση η f είναι υπερβολικά κυρτή, από την (4.51), συνεπάγεται ότι Φ h (r) = όπου η A h είναι ορισμένη στην (4.21). Υπολογίζουμε την παράγωγο της Φ h : 1 r2 2π(1 + r 2 ) (2π + 4 A h (f(r D))) = 1 r2 1 + r 2 + 2r2 1 + r 2 Ah (r), (4.52) d Φ h d r (r) = 4r (1 + r 2 ) 2 + 4r (1 + r 2 ) 2 Ah (r) + 2r2 d A h 1 + r 2 dr (r) = 4r ( (1 + r 2 ) A h (r) ) + 2r2 d A h 1 + r 2 dr (r), (4.53)

72 Παραλλαγές Λήμματος Schwarz καθώς από το Θεώρημα 4.3, η A h είναι φθίνουσα και μικρότερη από 1. Η ισότητα θα ισχύει, σύμφωνα επίσης με το Θεώρημα 4.3, αν και μόνο αν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου. Αν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου, λόγω του ότι η υπερβολική μετρική είναι σύμμορφα αναλλοίωτη, έχουμε ότι A h (f(r D)) = A h (r D). Με χρήση της (4.48), οι καμπύλες r T και f(r T) έχουν ίση υπερβολική ολική καμπυλότητα και η Φ h είναι σταθερή και ίση με 1 στο (, 1). Αν η f / Aut(D), τότε dφ h dr (r) <, για κάθε r (, 1), και έτσι η Φ h(r) είναι γνησίως φθίνουσα στο (, 1). Από το Θεώρημα 4.4, παίρνουμε επίσης το εξής Schwarz-τύπου αποτέλεσμα. Πόρισμα 4.5. Εστω f μία υπερβολικά κυρτή απεικόνιση στο D. Τότε f(r T) κ h (w, f(r T))ds r T κ h (z, r T)ds = 2π(1 + r2 ) 1 r 2, (4.54) για κάθε r (, 1), με ισότητα αν και μόνο αν η f είναι σύμμορφος αυτομορφισμός του δίσκου. Απόδειξη. Συνδυάζοντας το γεγονός ότι η Φ h (r) είναι φθίνουσα και ότι lim Φ h(r) = 1, r προκύπτει ότι Φ h (r) 1, για κάθε r (, 1). Συνεπώς, κ h (w, f(r T))ds κ h (z, r T)ds, f(r T) η οποία ισοδύναμα παίρνει τη μορφή 2π r T u f (re it )dt 2π(1 + r2 ) 1 r 2, < r < 1. Η ισότητα ισχύει, σύμφωνα με το Θεώρημα 4.4, αν και μόνο αν η f Aut(D). Από την (4.51) οδηγούμαστε επίσης στο εξής συμπέρασμα για την συμπεριφορά της συνάρτησης u f. Πόρισμα 4.6. Η συνάρτηση m(r, u f ) είναι θετική και γνησίως αύξουσα στο (, 1), για κάθε ολόμορφη και τοπικά αμφιμονότιμη συνάρτηση f : D D.

73 Κεφάλαιο 5 Ημιομάδες Ολόμορφων Συναρτήσεων Σε διάφορους τομείς των Μαθηματικών, αλλά και σε άλλες φυσικές επιστήμες, η Θεωρία των Επαναλήψεων έχει γνωρίσει αρκετές εφαρμογές. Τέτοιοι τομείς είναι τα Μιγαδικά Δυναμικά Συστήματα, οι Μαρκοβιανές στοχαστικές διαδικασίες, η Θεωρία Τελεστών κ.τ.λ. Τι εννοούμε με τον όρο επανάληψη; Θεωρούμε μία ολόμορφη συνάρτηση φ στο μοναδιαίο δίσκο D του μιγαδικού επιπέδου C. Η ακολουθία των επαναλήψεων της φ είναι η (φ k ) k N, όπου κάθε όρος της ακολουθίας δίνεται από τον τύπο φ k = φ... φ. }{{} k - φορές Από το Θεώρημα του Montel [28, σελ. 321], γνωρίζουμε ότι υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία της (φ k ). Ποιό είναι όμως το όριό της; Η ασυμπτωτική συμπεριφορά της ακολουθίας αυτής όσο το k πλησιάζει το άπειρο έχει αποτελέσει αντικείμενο ευρείας έρευνας. Ο Julia [41] απέδειξε ότι αν η φ έχει σταθερό σημείο z στο D, τότε η ακολουθία (φ k ) συγκλίνει ομοιόμορφα στην g(z) = z, για κάθε z D. Τι συμβαίνει όμως στην περίπτωση που η φ δεν έχει σταθερό σημείο στο D; Οι Wolff και Denjoy απέδειξαν πως υπάρχει ένα σημείο τ στο σύνορο του δίσκου, το Denjoy-Wolff σημείο της φ, τέτοιο ώστε η ακολουθία (φ k ) να συγκλίνει τοπικά ομοιόμορφα στη συνάρτηση g(z) = τ, για κάθε z D. Αυτό είναι το Wolff-Denjoy Θεώρημα [1, Θεώρημα 1.3.9]. Στην παραπάνω περίπτωση, το k είναι ένας φυσικός αριθμός. Οι Berkson και Porta [8] μελέτησαν το Θεώρημα Wolff-Denjoy για συνεχή παράμετρο. Συνεπώς, αντί για ακολουθία συναρτήσεων προκύπτει μία μονο-παραμετρική οικογένεια (φ t ) t ολόμορφων συναρτήσεων στο D, η οποία αποτελεί μία ημιομάδα με πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων. Οι μονο-παραμετρικές ημιομάδες ολόμορφων συναρτήσεων του δίσκου D στον εαυτό του έχουν εξεταστεί εκτενώς τα τελευταία χρόνια λόγω της άμεσης σύνδεσης τους με τα δυναμικά συστήματα. Εισάγεται με αυτόν τον τρόπο η κλασική Μιγαδική Ανάλυση στη μελέτη και κατανόηση των δυναμικών συστημάτων. Για τη βασική θεωρία και τις εφαρμογές των ημιομάδων ολόμορφων συναρτήσεων, παραπέμπουμε στα [1], [12], [22], [24], [26], [32], [39], [68]. 63

74 64 Ορισμός 5.1. Μία οικογένεια ολόμορφων συναρτήσεων (φ t ) t στο D ονομάζεται ημιομάδα αν ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: 1. η φ είναι η ταυτοτική συνάρτηση στο D 2. φ t+s (z) = (φ t φ s ) (z), για κάθε t, s και z D 3. φ t (z) t + z, τοπικά ομοιόμορφα στο D. Μία βασική ιδιότητα της ημιομάδας (φ t ) προκύπτει από το εξής θεώρημα. Θεώρημα 2 (Θεώρημα , [1]). Εστω (φ t ) μία μονο-παραμετρική ημιομάδα ολόμορφων συναρτήσεων του δίσκου, που δεν περιέχει κανέναν ελλειπτικό αυτομορφισμό του δίσκου. Τότε, για κάθε z D, lim φ t(z) = τ, (5.1) t + όπου τ D είναι σταθερό σημείο της ημιομάδας και ονομάζεται Denjoy-Wolff σημείο. Το σημείο αυτό είναι ουσιαστικά το Denjoy-Wolff σημείο της συνάρτησης φ 1, βλέπε [1, Θεώρημα ]. Ανάλογα με το πού βρίσκεται το τ, στο εσωτερικό του D ή στο σύνορο, διακρίνουμε τις ημιομάδες σε τρεις κατηγορίες. Αν τ D και φ t δεν είναι ελλειπτικός αυτομορφισμός του D για κανένα t, τότε η (φ t ) είναι μία ελλειπτική ημιομάδα ολόμορφων συναρτήσεων. Στην περίπτωση που τ D, χρησιμοποιούμε τις έννοιες γωνιακό όριο και γωνιακή παράγωγος, βλέπε [67, Κεφάλαιο 4]. Το Denjoy-Wolff σημείο της ημιομάδας είναι σταθερό σημείο για κάθε συνάρτηση φ t, t, οπότε το γωνιακό όριο της φ t είναι Η γωνιακή παράγωγος της φ t στο τ είναι lim z τ φ t (z) = τ. φ t(τ) = lim z τ φ t (z) τ z τ όπως μπορούμε να δούμε και στα [1] και [67]. Αν φ t(τ) < 1, τότε η (φ t ) ονομάζεται υπερβολική ημιομάδα. Αν φ t(τ) = 1, τότε η ημιομάδα (φ t ) καλείται παραβολική. Θα ασχοληθούμε με τις περιπτώσεις που η ημιομάδα ολόμορφων συναρτήσεων είναι είτε υπερβολική είτε παραβολική. Η κλάση των παραβολικών ημιομάδων χωρίζεται σε δύο υποκατηγορίες. Αν για κάθε s > και z D, η υπερβολική απόσταση d D (φ t (z), φ t+s (z)) t +, τότε η ημιομάδα καλείται παραβολική μηδενικού υπερβολικού βήματος. Αν το όριο δε μηδενίζεται για κάποιο s > ή z D, τότε η παραβολική ημιομάδα καλείται θετικού υπερβολικού βήματος. Επιπρόσθετα, έχουμε την εξής πρόταση για την περίπτωση που η ημιομάδα είναι ομάδα. Πρόταση 1. [1, Πρόταση 1.4.7] Η ημιομάδα (φ t ) είναι ομάδα αυτομορφισμών του D αν και μόνο αν η φ t είναι αυτομορφισμός του D, για κάποιο t. 1,

75 Κεφάλαιο 5. Ημιομάδες Ολόμορφων Συναρτήσεων 65 Οπως προαναφέρθηκε, οι ημιομάδες έχουν άμεση σύνδεση με τα δυναμικά συστήματα. Για κάθε ημιομάδα (φ t ), υπάρχει μοναδική ολόμορφη συνάρτηση G : D C, ώστε η (φ t ) να είναι λύση του προβλήματος αρχικής τιμής της διαφορικής εξίσωσης { u t (t, z) = G(u(t, z)) u(, z) = z, (5.2) βλέπε [8]. Η συνάρτηση G ονομάζεται απειροστικός γεννήτορας (infinitesimal generator) της (φ t ) και όπως προκύπτει από το [8], γράφεται υπό τη μορφή G(z) = (τ z)(1 τz)p(z), όπου p(z) ολόμορφη συνάρτηση με Re p(z) και τ το Denjoy-Wolff σημείο της αντίστοιχης ημιομάδας. Περισσότερες πληροφορίες για την παραπάνω διαφορική εξίσωση και τον απειροστικό γεννήτορα μπορούν να βρεθούν στα [8], [22], [25], [26] και [68]. Στην Παράγραφο 5.2, θα δούμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν στο άρθρο [45] για τα γεωμετρικά μεγέθη και τις ποσότητες της θεωρίας δυναμικού της εικόνας ενός συμπαγούς συνόλου μέσω μίας ημιομάδας ολόμορφων συναρτήσεων του δίσκου. 5.1 Η συνάρτηση Koenigs Θεωρούμε την τροχιά γ z του σημείου z D, η οποία είναι η καμπύλη γ z : [, + ) D με γ z (t) = φ t (z). Σύμφωνα με το Θεώρημα Denjoy-Wolff, υπάρχει μοναδικό σημείο τ D ώστε lim γ z(t) = lim φ t(z) = τ, (5.3) t + t + για κάθε z D. Ετσι, για κάθε σημείο στο D, η τροχιά του πλησιάζει ένα σταθερό σημείο του μοναδιαίου κύκλου T, το Denjoy-Wolff σημείο της ημιομάδας. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε στο εξής ότι τ = 1. Στόχος μας είναι η εξέταση της οριακής συμπεριφοράς της τροχιάς των σημείων του δίσκου. Ομως είναι δύσκολο να το πετύχουμε αυτό στην υπερβολική γεωμετρία του δίσκου. Για κάθε τέτοια ημιομάδα (φ t ) με Denjoy-Wolff σημείο 1, προκύπτει από το [1, Θεώρημα ] ότι υπάρχει μία σύμμορφη απεικόνιση h : D C με h() =, η οποία απεικονίζει το μοναδιαίο δίσκο D σε ένα απλά συνεκτικό χωρίο Ω. Η απεικόνιση h ονομάζεται συνάρτηση Koenigs και για κάθε z D, ισχύει φ t (z) = h 1 (h(z) + t). (5.4) Αυτό που λαμβάνεται με τον ορισμό αυτής της συνάρτησης είναι η γραμμικοποίηση της τροχιάς των σημείων του δίσκου στο χωρίο Ω. Η εικόνα της τροχιάς ενός σημείου z μέσω της συνάρτησης Koenigs είναι η καμπύλη h(γ z (t)) = h(z) + t, t,

76 Η συνάρτηση Koenigs η οποία είναι μία ημιευθεία παράλληλη με τον πραγματικό άξονα. Σχήμα 5.1: Εικόνα μέσω της συνάρτησης Koenigs Για κάθε z D, το σύνολο {h(z) + t : t } περιέχεται στο Ω. Ετσι, το χωρίο Ω είναι κυρτό ως προς τη θετική κατεύθυνση και ανάλογα με το είδος της ημιομάδας έχει και επιπλέον γεωμετρικές ιδιότητες. Ετσι, και η συνάρτηση h είναι κυρτή ως προς τη θετική κατεύθυνση. Άρα ικανοποιεί τη διαφορική ανισότητα Re { (1 z) 2 h (z) }, για κάθε z D. Ανάλογα με το είδος του χωρίου h(d), μπορούμε να διακρίνουμε το είδος της ημιομάδας. Σύμφωνα με το [22], η ημιομάδα είναι υπερβολική αν και μόνο αν το Ω περιέχεται σε μία οριζόντια λωρίδα του μιγαδικού επιπέδου. Επίσης, σύμφωνα με το [12, Θεώρημα 1], αν η (φ t ) είναι παραβολική θετικού υπερβολικού βήματος, τότε το Ω περιέχεται σε ένα οριζόντιο ημιεπίπεδο του C. Και στις δύο περιπτώσεις, μπορούμε να βρούμε το μικρότερο, ως προς εγκλεισμό, οριζόντιο χωρίο που περιέχει το Ω. Θέτουμε S τη μικρότερη οριζόντια λωρίδα, που περιέχει το Ω, στην περίπτωση της υπερβολικής ημιομάδας, και H το μικρότερο οριζόντιο ημιεπίπεδο που περιέχει το Ω, όταν η (φ t ) είναι παραβολική ημιομάδα θετικού υπερβολικού βήματος. Η τριάδα (S, h, φ t ) ή (H, h, φ t ), αντίστοιχα, καλείται ολόμορφο μοντέλο της (φ t ) και η S (ή το H, αντίστοιχα) καλείται χώρος βάσης (base space) της ημιομάδας. Περισσότερες πληροφορίες περιέχονται στο [5].

77 Κεφάλαιο 5. Ημιομάδες Ολόμορφων Συναρτήσεων 67 Οπως θα διαπιστώσουμε, η συμπεριφορά αυτών των δύο ειδών ημιομάδας είναι παρόμοια. Θα συμβολίζουμε με Ω τον αντίστοιχο χώρο βάσης της ημιομάδας, ανεξαρτήτου του τύπου της, και θα είναι το μικρότερο οριζόντιο χωρίο που περιέχει το Ω. Στην περίπτωση που έχουμε παραβολική ημιομάδα μηδενικού υπερβολικού βήματος, δεν μπορούμε απαραίτητα να βρούμε οριζόντιο χωρίο που περιέχει το Ω. Ετσι, ο αντίστοιχος χώρος βάσης είναι ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Η παρακάτω πρόταση συνδέει την περίπτωση ομάδας με την αντίστοιχη συνάρτηση του Koenigs. Λήμμα 5.1. [1, Θεώρημα ] Η ημιομάδα (φ t ) είναι ομάδα αυτομορφισμών του D αν και μόνο αν η εικόνα h(d) είναι οριζόντιο ημιεπίπεδο ή οριζόντια λωρίδα. 5.2 Τροχιά συμπαγούς συνόλου Εστω K ένα συμπαγές υποσύνολο του μοναδιαίου δίσκου D με θετική λογαριθμική χωρητικότητα. Το συμπαγές σύνολο γ K (t) := γ z (t) = φ t (z) = φ t (K) z K ονομάζεται τροχιά του K και αποτελείται από τις τροχιές όλων των σημείων z K. Οσο το t αυξάνει, η φ t (K) προσεγγίζει το Denjoy-Wolff σημείο της ημιομάδας, το οποίο βρίσκεται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο. Ο βασικός στόχος μας είναι να διευκρινίσουμε τον τρόπο προσέγγισης και να μελετήσουμε πώς συμπεριφέρονται τα γεωμετρικά και δυναμικά χαρακτηριστικά του συμπαγούς συνόλου φ t (K), όσο αυξάνει το t. Η τροχιά του K απεικονίζεται μέσω της συνάρτησης του Koenigs h στο συμπαγές σύνολο z K h(φ t (K)) = h(k) + t, λόγω της (5.4). Ετσι έχουμε μία γραμμικοποίηση της τροχιάς του K. Αρχικά, υποθέτουμε ότι η (φ t ) t είναι είτε υπερβολική είτε παραβολική ημιομάδα θετικού υπερβολικού βήματος ολόμορφων συναρτήσεων του δίσκου, με αντίστοιχη συνάρτηση Koenigs h και χώρο βάσης Ω Αρμονικό μέτρο Θα ξεκινήσουμε με τη μελέτη της συμπεριφοράς του αρμονικού μέτρου ω(φ t (z), φ t (K), D) του συνόρου του φ t (K). Για κάθε t >, η απεικόνιση ζ ω(ζ, φ t (K), D) είναι η Perron λύση του προβλήματος Dirichlet στο D \φ t (K) με συνοριακές τιμές 1 στο σύνορο του φ t (K) και στο T. Θεωρώντας το αρμονικό μέτρο ω(φ t (z), φ t (K), D) ως συνάρτηση του t, έχουμε το εξής αποτέλεσμα μονοτονίας. Θεώρημα 5.1. Το αρμονικό μέτρο ω(φ t (z), φ t (K), D) είναι αύξουσα συνάρτηση του t, για κάθε z D \K.

78 Τροχιά συμπαγούς συνόλου Απόδειξη. Η απόδειξη είναι μία άμεση συνέπεια του Subordination Principle για το αρμονικό μέτρο, βλέπε Θεώρημα 2.8. Εστω < t < s. Σταθεροποιούμε ένα σημείο z D \K. Τότε ω(φ s (z), φ s (K), D) = ω(φ s t (φ t (z)), φ s t (φ t (K)), D) ω(φ t (z), φ t (K), D). Άρα, το όριο του αρμονικού μέτρου ω(φ t (z), φ t (K), D), καθώς το t πλησιάζει το άπειρο, υπάρχει. Ετσι, παίρνουμε πληροφορίες για την ασυμπτωτική συμπεριφορά του φ t (K). Θεώρημα 5.2. Εστω (φ t ) μία υπερβολική ή παραβολική ημιομάδα θετικού υπερβολικού βήματος. Τότε lim ω(φ t(z), φ t (K), D) = ω(h(z), h(k), Ω ), t + z D \K. Απόδειξη. Το αρμονικό μέτρο είναι σύμμορφα αναλλοίωτο και έτσι έχουμε ω(φ t (z), φ t (K), D) = ω(h(φ t (z)), h(φ t (K)), h(d)) = ω(h(z) + t, h(k) + t, Ω). Σταθεροποιούμε ένα z D \K. Για την απόδειξη του Θεωρήματος 5.2, θα χρειαστεί να κατασκευάσουμε το εξής χωρίο. Θέτουμε ν 1 (t) := inf {y < : h(z) + t2 } + iy Ω και ν 2 (t) := sup {y > : h(z) + t2 } + iy Ω. Επειτα ορίζουμε το Ω t = { w C : Re w > Re h(z) + t } 2, ν 1(t) < Im w < ν 2 (t). Υποθέτουμε πως το t είναι αρκετά μεγάλο ώστε h(k)+t Ω t. Καθώς Ω t Ω, προκύπτει ω(h(z) + t, h(k) + t, Ω t ) ω(h(z) + t, h(k) + t, Ω). (5.5) Η συνάρτηση g(w) = w t είναι σύμμορφη και απεικονίζει το Ω t στο { Ω t := w C : Re w > Re h(z) t } 2, ν 1(t) < Im w < ν 2 (t). Καθώς το αρμονικό μέτρο είναι σύμμορφα αναλλοίωτο, η (5.5) γράφεται ως ω(h(z), h(k), Ω t ) ω(h(z) + t, h(k) + t, Ω). (5.6) Η οικογένεια των χωρίων {Ω t } t είναι αύξουσα. Σύμφωνα με το [29, Θεώρημα 5.1, Παράγραφος ΙΙΙ], αν G = t Ω t, τότε lim ω(h(z), h(k), Ω t) = ω(h(z), h(k), G). (5.7) t + Πρέπει όμως να προσδιορίσουμε το χωρίο G.

79 Κεφάλαιο 5. Ημιομάδες Ολόμορφων Συναρτήσεων 69 Σχήμα 5.2: Σχέση μεταξύ Ω και Ω t Υποθέτουμε ότι η (φ t ) είναι μία υπερβολική ημιομάδα. Τότε ο χώρος βάσης της είναι μία οριζόντια λωρίδα S = {z C : ρ 1 < Im z < ρ 2 }, ρ 1 < < ρ 2. Η ένωση των Ω t είναι η S, καθώς ν 1 (t) t + ρ 1 και ν 2 (t) t + ρ 2, οπότε και από την (5.6) έπεται ότι Ομως, αφού Ω S, ισχύει ότι Συνεπώς, lim ω(h(z), h(k), Ω t) = ω(h(z), h(k), S) t + lim ω(h(z) + t, h(k) + t, Ω) ω(h(z), h(k), S). t + ω(h(z) + t, h(k) + t, Ω) ω(h(z) + t, h(k) + t, S) = ω(h(z), h(k), S). lim ω(φ t(z), φ t (K), D) = lim ω(h(z) + t, h(k) + t, Ω) = ω(h(z), h(k), S). t + t +

Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions

Monotonicity theorems for analytic functions centered at infinity. Proc. Amer. Math. Soc. (to appear). Growth theorems for holomorphic functions ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΞΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΤΟΥ ΛΗΜΜΑΤΟΣ SCHWARZ ΓΙΑ ΟΛΟΜΟΡΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γαλάτεια Κλεάνθους Υποστήριξη διδακτορικής διατριβής 25/02/2014 Monotonicity theorems for analytic functions

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τριμελής εξεταστική επιτροπή: Επίκουρος Καθηγητής Πέτρος Γαλανόπουλος Καθηγητής Δημήτριος Μπετσάκος (επιβλέπων) Λέκτορας Ανέστης Φωτιάδης iii

Τριμελής εξεταστική επιτροπή: Επίκουρος Καθηγητής Πέτρος Γαλανόπουλος Καθηγητής Δημήτριος Μπετσάκος (επιβλέπων) Λέκτορας Ανέστης Φωτιάδης iii Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμα Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σύμμορφα αναλλοίωτες ποσότητες στο μιγαδικό επίπεδο και σχέσεις μεταξύ τους Διπλωματική Εργασία Χριστίνα Καραφυλλιά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΑΥΞΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ-ΠΑΡΑΛΛΑΓΕΣ ΤΟΥ ΛΗΜΜΑΤΟΣ SCHWARZ ΓΙΑ ΟΛΟΜΟΡΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΓΑΛΑΤΕΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.

v y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση.

π B = B και άρα η π είναι ανοικτή απεικόνιση. 3 Παράρτημα 2 Παρατηρήσεις, ασκήσεις και Διορθώσεις Παράγραφος ) Σελίδα, : Παρατηρούμε τα ακόλουθα για το χώρο πηλίκο / Y : Y = / Y και (α) { } (β) = Y / Y { } Επίσης από τον τύπο () έπεται ιδιαίτερα ότι

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 15

Λογισμός 4 Ενότητα 15 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 15: Αρμονικές συναρτήσεις. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine.

4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα. 4.1 θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldstine. 8 Έστω (, ) 4 Ασθενείς τοπολογίες σε χώρους με νόρμα 4. θεωρήματα Mazur, Alaoglou, Goldste. χώρος με νόρμα. Υπενθυμίζουμε ότι η ασθενής τοπολογία T του έχει ως βάση ( ανοικτών ) περιοχών του όλα τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3

Αρµονική Ανάλυση ( ) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 Αρµονική Ανάλυση (2017 2018) Φυλλάδιο Ασκήσεων 3 0. (α) Εστω f L (T). είξτε ότι σ n ( f ) f n N. (ϐ) Εστω f L (T). είξτε ότι (γ) είξτε ότι S n ( f ) f + n k=1 sin(kt) k n k= n [Υπόδειξη: Για το (γ) ϑεωρήστε

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ).

f(f 1 (B)) f(f 1 (B)) B. X \ (f 1 (C)) = X \ f 1 (C) = f 1 (Y \ C) X \ (f 1 (C)) f 1 (Y \ C). f 1 (Y \ C) = f 1 (Y \ C ) = X \ f 1 (C ). Κεφάλαιο 4 Συναρτήσεις μεταξύ μετρικών χώρων 4.1 Συνεχείς συναρτήσεις Εστω (X, ρ) και (Y, σ) δύο μετρικοί χώροι. Στην 2.2 δώσαμε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f : X Y σε κάποιο σημείο x 0 X:

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ 8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ»

ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ. και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ» Εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 3: Αρμονικές Συναρτήσεις Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2

u x = 2uu y u y = 0 ϕ x = x t h (t), ϕ xx = x2 t 3 h (t) και ϕ y = y t h (t), ϕ yy = y2 t 3 h (t). t 2 h (t) + x2 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Β 9 Ιουνίου, 07 Θ. αʹ) Αν το G είναι ένας τόπος, δηλαδή ένα ανοικτό και συνεκτικό σύνολο στο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1

Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης users.uoa.gr/ iandroul iandroul@math.uoa.gr Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας Περίληψη Στη διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 4: Ολοκλήρωση επί Καρτεσιανών γινομένων Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012 ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A. Απόδειξη Σελ. 53 Α. Ορισμός Σελ 9 Α3. Ορισμός Σελ 58 Α. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β.. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1,

Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1, Πανελληνίων Θέμα Α Α. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 53 σχολικού βιβλίου. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι. Πράγματι, στο διάστημα, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει, Επειδή, οπότε έχουμε και,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη

4.2 Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια * * X, x X, είναι επί του. X. Σημειώνουμε ότι υπάρχουν παραδείγματα μη 94 Ένας χώρος με νόρμα (, ( ( ( ϕ : : ϕ =, ( 4. Αυτοπάθεια και ασθενής συμπάγεια λέγεται αυτοπαθής ( refleive, αν η κανονική εμφύτευση,, είναι επί του, δηλαδή ϕ =. Παρατηρούμε ότι ένας αυτοπαθής χώρος

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους.

3.5 Το θεώρημα Hahn-Banach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. 7 3.5 Το θεώρημα Hah-Baach σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Εξετάζουμε καταρχήν τη σχέση μεταξύ ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου E και του υποκείμενου πραγματικού χώρου E R. Έστω E μιγαδικός διανυσματικός

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z)

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z) ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τους ολοκληρωτικούς τύπους Cauchy υπολογίστε το ολοκλήρωμα I = πi z(z π) 3 dz,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση

ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση Αφορμή γι αυτή τη σύντομη εργασία έδωσε μια ημερίδα διδασκαλίας των Μαθηματικών, η οποία οργανώθηκε από το Σχολικό Σύμβουλο

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΕΙΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω μια δυναμοσειρά a (x ξ) = a 0 + a (x ξ) + a 2 (x ξ) 2 + με ακτίνα σύγκλισης R και με ρ = lim a. Αν x = ξ, η δυναμοσειρά συγκλίνει και έχει άθροισμα

Διαβάστε περισσότερα

To Je rhma tou Mergelyan

To Je rhma tou Mergelyan Diplwmatik ErgasÐa To Je rhma tou Mergelyan gia omoiìmorfh sôgklish poluwnômwn se sumpag uposônola tou migadikoô epipèdou. Ν. Παττακός Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Άνοιξη 008 Την Επιτροπή Εξέτασης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Άσκηση 11.1.2. (i) Είναι η συνάρτηση d : R R R με τύπο d(x, y) = (x y) 2 μετρική στο R; (ii) Ίδια ερώτηση για την d : R R R με τύπο d(x, y) = x y

Διαβάστε περισσότερα

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.

5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές. 5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών - Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και η σφαίρα του Riemann............ 0

Διαβάστε περισσότερα

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski)

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1 ΘΕΜΑ Έστω οι συναρτήσεις, g με () και g() ln( + ) +. Να αποδείξετε ότι οι C, C g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Στη συνέχεια να δείξετε ότι στο σημείο αυτό έχουν κοινή εφαπτόμενη, την οποία και να βρείτε.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 2: Το Θεώρημα Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018 ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Δείκτες Poincaré και Θεώρημα Frommer

Δείκτες Poincaré και Θεώρημα Frommer Δείκτες Poinaré και Θεώρημα Frommer Ζαφειράκογλου Απόστολος 1 Θεωρητική εισαγωγή Στη διαφορική γεωμετρία, ως απόλυτη καμπυλότητα ορίζουμε το ολοκλήρωμα μια επίπεδης καμπύλης, θεωρώντας απειροστή διαμέριση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης

Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θέματα Αρμονικής Ανάλυσης Ενότητα 4: Μετασχηματισμός Fourier Μιχ. Μ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Απειροστικού Λογισμού ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Περιεχόμενα Υπακολουθίες και ακολουθίες Cuchy Σειρές πραγματικών αριθμών 3 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 3 4 Ολοκλήρωμα

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Χώροι µε νόρµα - Χώροι Hilbert Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ., τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο x., τότε η f είναι συνεχής στο x. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1) Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα