Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση

Transcript

1 Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή στην Οικονομική Ανάλυση Νίκος Θεοχαράκης Σχέσεις μεταξύ συνολικών, μέσων και οριακών μεγεθών Νοέμβριος 2012

2 Σσέζειρ μεηαξύ ζςνολικών, μέζων και οπιακών μεγεθών Τν ζςνολικό (total) κέγεζνο είλαη TX=f(q) Τν μέζο (average) κέγεζνο είλαη AX=TX/q = f(q)/q=[ην ζπλνιηθό κέγεζνο αλά κνλάδα] Τν οπιακό (marginal) κέγεζνο είλαη MX= dtx/dq= d f(q)/dq = f (q)=[ε πξώηε παξάγσγνο ηνπ ζπλνιηθνύ κεγέζνπο]

3 Σρέζεηο κεηαμύ κέζνπ θαη νξηαθνύ κεγέζνπο Πξώηα ζα εμεηάζνπκε ηηο ζρέζεηο κεηαμύ κέζνπ θαη νξηαθνύ κεγέζνπο. Δηδηθόηεξα ζα εμεηάζνπκε πσο ζπκπεξηθέξεηαη ην νξηαθό κέγεζνο όηαλ κεηαβάιιεηαη ην κέζν κέγεζνο. Τελ κεηαβνιή ηνπ μέζος κεγέζνπο, αλ δει., απμάλεη, θζίλεη ή παξακέλεη ζηαζεξό ζα ηελ δηαπηζηώζνπκε εμεηάδνληαο ηελ πξώηε ηνπ παξάγσγν: Η πξώηε παξάγσγνο ηνπ ΑΦ σο πξνο q είλαη: dax f ( q) f q f 1 f 1 AX f 2 MX AX dq q q q q q Όπσο γλσξίδνπκε, όηαλ ε πξώηε παξάγσγνο είλαη ζεηηθή έλα κέγεζνο απμάλεη, όηαλ είλαη αξλεηηθή έλα κέγεζνο θζίλεη θαη όηαλ είλαη κεδεληθή ην κέγεζνο δελ κεηαβάιιεηαη. Από ηελ εμίζσζε (1) πξνθύπηεη όηη: (1) Το ππόζημο ηηρ παπάζηαζηρ (ΜΧ-ΑΧ) μαρ δίνει ηην κλίζη ηηρ ΑΧ

4 Σρέζεηο κεηαμύ κέζνπ θαη νξηαθνύ κεγέζνπο Σθεθζείηε ην θαη σο εμήο: Δίκαζηε ζηελ ηάμε θαη ππνινγίδνπκε ην κέζν όξν ηνπ ύςνπο ησλ θνηηεηώλ (ΑΧ) πνπ παξαθνινπζνύλ. Αλνίγεη ε πόξηα θαη κπαίλεη έλαο ςειόο (δει., πάλσ από ην κέζν όξν). Ο ςειόο είλαη ν νξηαθόο θνηηεηήο. Τν ύςνο ηνπ είλαη ΜΧ. Άξα. Ο κέζνο όξνο ηώξα αλεβαίλεη. Αληίζεηα, αλ κπεη έλαο θνληόο ν κέζνο όξνο θαηεβαίλεη. Aλ εμεηαζζείηε ζε έλα κάζεκα θαη πάξεηε θαιύηεξν βαζκό από ηνλ κέζν όξν ζαο, ν κέζνο όξνο ηεο βαζκνινγίαο ζαο αλεβαίλεη. Αλ αληίζεηα πάηε ρεηξόηεξα ν κέζνο όξνο ηεο βαζκνινγίαο ζαο πέθηεη.

5 Σρέζεηο κεηαμύ κέζνπ θαη νξηαθνύ κεγέζνπο Από ηελ εμίζσζε (1) πξνθύπηεη όηη 1. Όταν το ΑΧ έχει αρνητική κλίση το οριακό μέγεθος είναι μικρότερο από το μέσο, δηόηη dax 1 0 MX AX 0 MX AX dq q Αληίζηξνθα όταν το ΑΧ έχει θετική κλίση, το οριακό μέγεθος είναι μεγαλύτερο από το μέσο. Παπάδειγμα Α 1 TX Τόηε q q q AX q MX q q q 2 2 Τν ΜΧ είλαη κηθξόηεξν από ην ΑΧ. Απηό ζεκαίλεη όηη ην ΑΧ έρεη αξλεηηθή θιίζε. Η θιίζε δίλεηαη από ηελ ηηκή ηεο πξώηεο παξαγώγνπ. Γηα λα επηβεβαηώζεηε ινηπόλ όηη ε θιίζε ηνπ ΑΧ είλαη αξλεηηθή ππνινγίζηε ηελ πξώηε παξάγσγν ηνπ ΑΧ.

6 Σρέζεηο κεηαμύ κέζνπ θαη νξηαθνύ κεγέζνπο Τν ΜΧ είλαη κηθξόηεξν από ην ΑΧ. Απηό ζεκαίλεη όηη ην ΑΧ έρεη αξλεηηθή θιίζε. Η θιίζε δίλεηαη από ηελ ηηκή ηεο πξώηεο παξαγώγνπ. Γηα λα επηβεβαηώζεηε ινηπόλ όηη ε θιίζε ηνπ ΑΧ είλαη αξλεηηθή ππνινγίζηε ηελ πξώηε παξάγσγν ηνπ ΑΧ. Παπάδειγμα Β AX q q q q 2 TX q AX q MX q 2q q To MX είλαη ζεηηθό θαη δηπιάζην από ην ΑΧ, άξα ην ΑΧ πξέπεη λα αλεβαίλεη. Πξάγκαηη ΑΧ'=1 > 0

7

8

9 Παξαηεξείζηε ηώξα δύν ζύλνια θακππιώλ ζπλνιηθνύ, κέζνπ θαη νξηαθνύ κεγέζνπο Τν πξώην αλαθέξεηαη ζε θακπύιεο θόζηνπο Τν δεύηεξν αλαθέξεηαη ζε ζπλάξηεζε παξαγσγήο

10

11

12 Σε κηα θακπύιε ζπλνιηθνύ κεγέζνπο ην κέζν κέγεζνο γηα κηα δεδνκέλε πνζόηεηα δίλεηαη από ηελ ηξηγσλνκεηξηθή εθαπηνκέλε ηεο γσλίαο κηαο αθηίλαο πνπ μεθηλά από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη θαηαιήγεη ζην αληίζηνηρν ζεκείν ηνπ ζπλνιηθνύ κεγέζνπο γηα ηελ πνζόηεηα απηή. Σε κηα θακπύιε ζπλνιηθνύ κεγέζνπο ην νξηαθό κέγεζνο γηα κηα δεδνκέλε πνζόηεηα δίλεηαη από ηελ ηξηγσλνκεηξηθή εθαπηνκέλε ηεο γσλίαο ηεο επζείαο πνπ εθάπηεηαη ζην αληίζηνηρν ζεκείν ηνπ ζπλνιηθνύ κεγέζνπο γηα ηελ πνζόηεηα απηή. Σην ζεκείν πνπ ηέκλνληαη ην ζπλνιηθό θαη ην νξηαθό κέγεζνο ε εθαπηνκέλε ζην ζπλνιηθό κέγεζνο είλαη θαη αθηίλα. Άξα ην κέζν κέγεζνο ζην ζεκείν απηό είλαη είηε κέγηζην είηε ειάρηζην εθόζνλ ε αθηίλα είλαη θαη εθαπηνκέλε

13

14 2. Όηαλ ΜΧ=ΑΧ, ην ΑΧ έρεη κέγηζην ή ειάρηζην, δηόηη 1 AX MX AX 0 q Τν αλ είλαη κέγηζην ή ειάρηζην εμαξηάηαη από ην πξόζεκν ηεο δεύηεξεο παξαγώγνπ ηνπ ΤΧ. Αλ ην ΑΧ είλαη ειάρηζην, επεηδή πξώηα θζίλεη θαη κεηά απμάλεη, ην νξηαθό κέγεζνο «θόβεη» ην κέζν από ηα θάησ θαη κεηά αλεβαίλεη πάλσ από ην κέζν. Αλ ην ΑΧ είλαη κέγηζην, επεηδή πξώηα απμάλεη θαη κεηά θζίλεη, ην νξηαθό κέγεζνο «θόβεη» ην κέζν από ηα πάλσ θαη κεηά θαηεβαίλεη θάησ από ην κέζν.

15 Υπνινγίζηε ηε δεύηεξε παξάγσγν ηνπ ΑΧ ζην αθξόηαην ζεκείν όπνπ ε πξώηε παξάγσγνο είλαη κεδεληθή γηα λα δείηε αλ είλαη κέγηζην ή ειάρηζην: 1 dax dq q f f q q f f q f f q f q 1 q 2 2 q f f q f q q f f q 2 2 d AX dq q f f q f f q q 2 f 2q f f q f q 2 q dax dq q Αιιά ζην ζεκείν όπνπ ΑΦ =0 ε παξαπάλσ παξάζηαζε γίλεηαη 2 d AX dq 2 f q

16 Γειαδή ην πξόζεκν ηεο δεύηεξεο παξαγώγνπ ηνπ ΑΧ εμαξηάηαη από ην πξόζεκν ηεο δεύηεξεο παξαγώγνπ ηνπ ΤΧ Ξαλαδείηε ηα πξνεγνύκελα ζρήκαηα γηα λα ην θαηαλνήζεηε θαιύηεξα

17 Στο ςημείο όπου η καμπφλη ςυνολικοφ μεγζθουσ ςτρζφει τα κοίλα προσ τα ζξω δηλ., η δεφτερη παράγωγοσ τησ είναι θετική, το ςημείο τομήσ των καμπυλών μζςου και οριακοφ μεγζθουσ επιτυγχάνεται εκεί όπου το μζςο μζγεθοσ είναι ελάχιςτο

18 Στο ςημείο όπου η καμπφλη ςυνολικοφ μεγζθουσ ςτρζφει τα κοίλα προσ τα μζςα δηλ., η δεφτερη παράγωγοσ τησ είναι αρνητική, το ςημείο τομήσ των καμπυλών μζςου και οριακοφ μεγζθουσ επιτυγχάνεται εκεί όπου το μζςο μζγεθοσ είναι μζγιςτο

19 Φπζηθά, κπνξεί ην AX λα κελ έρεη νύηε κέγηζην νύηε ειάρηζην, αιιά λα παξακέλεη ακεηάβιεην, δειαδή, ζηαζεξό. Σε απηήλ ηελ πεξίπησζε ε θιίζε ηνπ ΑΧ είλαη κεδέλ θαη ην ΜΧ είλαη ζηαζεξό θαη ίζν κε ην ΑΧ. Γύν παξαδείγκαηα ζα ζαο βνεζήζνπλ λα ην θαηαιάβεηε: Παπάδειγμα Α Έζησ όηη ην ζπλνιηθό θόζηνο δίλεηαη από ηνλ ηύπν TC=cq, όπνπ c είλαη κία ζηαζεξά. Τν κέζν θόζηνο είλαη ζηαζεξό θαη ίζνλ κε c εθόζνλ AC=TC/q=cq/q=c. Τν νξηαθό θόζηνο είλαη επίζεο ζηαζεξό θαη ίζν κε ην κέζν θόζηνο εθόζνλ MC=TC =(cq) =c. Απηό είλαη ινγηθό. Δθόζνλ ην νξηαθό θόζηνο παξακέλεη ζηαζεξό ην κέζν θόζηνο δελ κπνξεί λα κεηαβάιιεηαη.

20 Παπάδειγμα B Έζησ κία απείξσο ειαζηηθή θακπύιε δήηεζεο. Σηελ πεξίπησζε απηή ε ηηκή είλαη ζηαζεξή. Όηαλ ε ηηκή (δειαδή, ην κέζν έζνδν) είλαη ζηαζεξή, ηόηε θαη ην νξηαθό έζνδν είλαη ζηαζεξό θαη ίζν κε ηελ ηηκή. Κάζε επηπιένλ κνλάδα πνπ πνπιάεη ε επηρείξεζε ηεο απνθέξεη επηπιένλ έζνδα ίζα κε ηελ ζηαζεξή ηηκή. Σπλνιηθά έζνδα TR=pq. Μέζν έζνδν AR=TR/q=(pq)/q=p Οξηαθό έζνδν MR=TR = =(pq) =p

21

22

23 3. Από ηελ εμίζσζε (1) πξνθύπηεη όηη dax 1 dax MX AX MX AX q dq q dq Γειαδή, όηη ην οπιακό μέγεθορ ιζούηαι με ηο μέζο μέγεθορ ζςν ηην οπιακή μεηαβολή πος ςπέζηη ηο μέζο μέγεθορ επί όλερ ηιρ μονάδερ. Γεληθά ην νξηαθό κέγεζνο, δεν είναι ηο μέγεθορ ηηρ οπιακήρ μονάδαρ, αιιά η μεηαβολή πος ςθίζηαηαι ηο ζςνολικό μέγεθορ ιόγσ ηεο νξηαθήο κνλάδαο.

24 Παξάδεηγκα, ζηελ πεξίπησζε ηνπ εζόδνπ, ην νξηαθό έζνδν δελ είλαη κόλν ε ηηκή ηεο επηπιένλ κνλάδαο πνπ πσιείηαη, αιιά ην κέγεζνο απηό κείνλ ηελ κεηαβνιή πνπ ππέζηεζαλ ηα έζνδα επεηδή θαη όιεο νη πξνεγνύκελεο κνλάδεο πσιήζεθαλ ζε ρακειόηεξε ηηκή. Απηό κπνξείηε λα ην δείηε θαη σο εμήο: Αλ ηα ζπλνιηθά έζνδα είλαη TR=PQ θαη απμεζεί ε δεηνύκελε πνζόηεηα θαηά ΓQ, θαη αληίζηνηρα ε ηηκή κεησζεί θαηά ΓΡ, ηόηε ηα λέα έζνδα ζα είλαη (P- ΓΡ)(Q+ΓQ). Τν νξηαθό έζνδν ζα είλαη ε δηαθνξά ηνπο MR= (P-ΓΡ)(Q+ΓQ) - PQ. Αλαπηύζζνληαο έρνπκε MR P P Q Q PQ PQ P Q P Q P Q PQ MR P P Q P Q Ο πξώηνο όξνο ζην δεμηό ζθέινο είλαη ην έζνδν πνπ εηζπξάηηνπκε από ηελ επηπιένλ αύμεζε ηεο πνζόηεηαο θαηά ΓQ, ελώ ν δεύηεξνο όξνο είλαη ην έζνδν πνπ ράζεθε επεηδή όιεο νη πξνεγνύκελεο κνλάδεο Q πσινύληαη ηώξα θαηά ΓΡ ιηγόηεξν.

25 Βεβαίσο, ζην παξάδεηγκα πνπ αλαθέξακε πην πξηλ γηα ηνλ ςειό πνπ κπαίλεη ζηελ ηάμε, ε έιεπζε ηνπ ςεινύ δελ επεξεάδεη ην κέζν ύςνο ηεο ηάμεο, άξα ζε απηή ηελ πεξίπησζε ην κέγεζνο ηεο νξηαθήο κνλάδαο είλαη ίζν κε ην νξηαθό κέγεζνο. Αιιά ζηελ πεξίπησζε ηεο δήηεζεο ε πώιεζε κηαο επηπιένλ κνλάδαο θάλεη ηηο άιιεο κνλάδεο λα πσιεζνύλ ζε λέα ρακειόηεξε ηηκή.

26 Γξακκηθή ζρέζε ηύπνπ ΑΧ = α+βq Τν ζπλνιηθό κέγεζνο είλαη ΤΧ = ΑΧq = αq+βq 2 Τν νξηαθό κέγεζνο είλαη MX=TX = α+2βq Οη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ΑΧ θαη ΜΧ είλαη αληίζηνηρα γηα β>0 θαη β<0

27

28

29 Γύν αζθήζεηο: Α. (εύθνιε). Σηα πξνεγνύκελα ζρήκαηα δείμαηε πνπ είλαη ην α θαη ην β. Σην δεύηεξν ζρήκα βξείηε ζε πνην ζεκείν ηέκλεη ην νξηαθό έζνδν ηνλ νξηδόληην άμνλα Β. (πην δύζθνιε). Έζησ κηα ηεζιαζκέλε θακπύιε δήηεζεο. Γξάςηε ηελ εμίζσζε γηα κηα ηέηνηα θακπύιε θαη δώζηε έλα αξηζκεηηθό παξάδεηγκα. Σρεδηάζηε ηελ θακπύιε ηνπ νξηαθνύ εζόδνπ ηεο θακπύιεο απηήο. Τη παξαηεξείηε;