Περιεχόμενα Μαθήματος

Transcript

1 Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: , (Κτήριο Ηλεκτρ., Γραφείο.36 Web: Περιεχόμενα Μαθήματος ΕΝΟΤΗΤΑ-: Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Έλεγχος Ρομπότ με πλεονάζοντες β.ε. (redundant robots Δείκτες Ικανότητας Χειρισμού (manipulability Έλεγχος «Αλληλεπίδρασης» με το περιβάλλον Έλεγχος «Συμμόρφωσης» (compliance Έλεγχος «Οπτικής Οδήγησης» (visual servoing Μοντελοποίηση και έλεγχος επιδέξιου χειρισμού (dextrous (Συνεργαζόμενα ρομπότ, Ρομποτικά χέρια Robot Hands ΕΝΟΤΗΤΑ-: Κινούμενα Ρομπότ (Mobile Robotics Αρχιτεκτονικές Ελέγχου Κινούμενων Ρομπότ Σχεδιασμός δρόμου Αποφυγή εμποδίων Σύνθεση αισθητηρίων πληροφοριών Σύνθετοι ρομποτικοί χειριστές - Εφαρμογές

2 Βιβλιογραφία (Εισαγωγή στη Ρομποτική Τζαφέστας, Σπύρος Γ., «Ρομποτική. Τομ. : Ανάλυση και έλεγχος.» (69.89 ΤΖΑ Yoshikawa, suneo, Foundations of robotics : analysis and control, he MI Press, 99. (69.89 YOS Asada, H., Slotine, J.-J., Robot Analysis and Control, John Wiley & Sons, 986. Craig, John J., Introduction to robotics : mechanics and control, Addison-Wesley, 989. (69.89 CRA Schilling, Robert J., Fundamentals of robotics : analysis and control, Prentice Hall, 99. (69.89 SCH K. S. Fu, R. C. Gonzalez, G. S. G. Lee, Robotics : control, sensing, vision, and intelligence, McGraw-Hill, 987. (69.89 FU Koren, Y., Robotics for Engineers, McGraw-Hill, Βιβλιογραφία (advanced robotics Murray, R.M., Li, Z., and Sastry, S., A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, CRC Press, 994. (69.89 MUR Mason, Matthew, Mechanics of Robotic Manipulation, MI Press,. Mason, M. and Salisbury, J.K., Jr., Robot Hands and the Mechanics of Manipulation, MI Press, 985. Latombe, Jean-Claude, "Robot motion planning," Kluwer Academic Publishers, 99. (69.89 Meystel, A., "Autonomous mobile robots : vehicles with cognitive control," World Scientific, 99. (69.89 MEY Borenstein, Johann, "Navigating mobile robots : systems and techniques," Wellesley, MA.: : AK Peters, Ltd., 996. ( Sheridan, homas B., "elerobotics, automation, and human supervisory control," he MI Press, 99. (6.46 SHE 4

3 Ρομποτική Ι: Ανάλυση, Έλεγχος, Εργαστήριο (Α Μηχανική Ανάλυση «Κλασσικών» (Βιομηχανικών Ρομποτικών Χειριστών: Κινηματική, Στατική, Δυναμική μοντελοποίηση (Β Εισαγωγή στον έλεγχο ρομποτικών χειριστών Σχεδιασμός ρομποτικού δρόμου, έλεγχος ρομποτικών αρθρώσεων, εισαγωγή σε μη γραμμικές τεχνικές ρομποτικού ελέγχου (Γ Εργαστήριο Ρομποτικής Προγραμματισμός ρομποτικού βραχίονα, ρομποτικό κύτταρο, δυναμικός έλεγχος ρομποτικών συστημάτων μέσω υπολογιστή Εφαρμογές «κλασσικών» ρομποτικών χειριστών: Αυτοματοποίηση Βιομηχανικών Διεργασιών Παραγωγής 5 (Α «Επιδέξιοι» Ρομποτικοί Χειριστές: Πλεονάζοντες βαθμοί ελευθερίας Έλεγχος ρομποτικής αφής Επιδέξια ρομποτική λαβή Ανάλυση σύνθετων ρομποτικών χειριστών, Ρομποτικά χέρια Ρομποτική ΙΙ: Ευφυή Ρομποτικά Συστήματα (Β «Αυτόνομα» κινούμενα ρομποτικά συστήματα: Μηχανισμοί κίνησης, αισθητήρες Αρχιτεκτονικές ευφυούς ρομποτικού ελέγχου Αυτόνομη Πλοήγηση, Σχεδιασμός κίνησης Σύνθεση αισθητηριακών πληροφοριών, χαρτογράφηση και εντοπισμός θέσης 6

4 Τι είναι Ρομπότ? (/3 Ετυμολογία του όρου: robota (Τσέχικα: άμισθη/εξαναγκασμένη εργασία rabu (Σλάβικα: σκλάβος, работать (rabotat : Ρώσικα: εργασία arbeit (Γερμανικά: εργασία, ή Erbe (κληρονόμος Ρίζα : rob ή rab επίσης, orb ή orph οrphelin - ορφανός... serf - σκλαβιά orbh (Ινδο-Ευρωπαϊκή ρίζα: κληρονόμος, κληρονομιά Πρώτη εμφάνιση της έννοιας: Karel Capek (9, «RUR: Les robots universels de Rossum", εμφάνιση ενός «Ανδροϊδούς» το οποίο αποκαλείται «robot»... 7 Τι είναι Ρομπότ? (/3 Μπορούμε να ορίσουμε ως ρομπότ μια μηχανή που «αισθάνεται», «σκέφτεται» και «επενεργεί» (sense, think, act. Άρα, ένα ρομπότ διαθέτει: αισθητήρες (sensors, για την απόκτηση πληροφορίας (a από το εξωτερικό περιβάλλον (exteroceptive, ή (b σε σχέση με την εσωτερική κατάσταση (proprioceptive δυνατότητες επεξεργασίας (processing αντίληψη, συλλογισμός, λήψη αποφάσεων, σχεδιασμός δράσης (cognition επενεργητές (actuators, για την εκτέλεση κάποιας εργασίας στο περιβάλλον (motion, manipulation 8

5 Τι είναι Ρομπότ? (3/3 Τρείς βασικές ιδιότητες ενός ρομπότ: δυνατότητες επαναπρογραμματισμού (programmability: a robot is a computer (information/data processing δυνατότητες μηχανικής δράσης (mechanical abilities, εκτέλεση φυσικών εργασιών πάνω στο περιβάλλον (physical, not data processing a robot is a machine (mechatronic device προσαρμοστικότητα, ευελιξία, πολυσχιδής λειτουργικότητα (adaptability, versatility, flexibility: adapt to different environment and task requirements 9 Ρομποτική Εισαγωγή ( Ρομπότ: «Ευφυείς», «ευέλικτοι», «προσαρμοζόμενοι» μηχανισμοί κίνηση και δράση στο χώρο Κατηγορίες Ρομποτικών Συστημάτων: - Βιομηχανικοί (κλασσικοί ρομποτικοί χειριστές (industrial robot manipulators - Επιδέξιοι ρομποτικοί χειριστές (dextrous robots - Αυτοκινούμενα ρομπότ ρομπότ προσφοράς υπηρεσιών (mobile/service robotics - Μικρο-ρομποτική (micro-robotics Τηλε-ρομποτική vs. Ευφυή/αυτόνομα ρομπότ

6 Ρομποτική Εισαγωγή ( Ρομποτική: «κατακόρυφη» κατάτμηση σε θεματολογικά επιστημονικά πεδία / «οριζόντια» κατάτμηση σε πεδία εφαρμογών Μηχανική (ανάλυση/σχεδίαση Ηλεκτρονική (μικρο-επεξεργαστές, Αισθητήρες, embedded systems etc. Αυτόματος Έλεγχος Συστημάτων Προγραμματισμός Υπολογιστών Διασύνδεση ανθρώπου-μηχανής Υπολογιστική Νοημοσύνη... Βιομηχανικές Εφαρμογές (robotized manufacturing etc. Προσφορά Υπηρεσιών (service & intervention robots - mobile robotics (wheeled, legged - dextrous robotics (medical etc. - telerobotics - microrobotics Ρομποτική και Αυτοματοποιημένα Συστήματα Παραγωγής Staubli Fanuc Ολοκληρωμένα συστήματα προγραμματισμού αυτοματο- ποιημένων διαδικασιών παραγωγής Computer Integrated Manufacturing (CIM

7 Επιδέξιοι Ρομποτικοί Χειριστές Ρομποτικοί Χειριστές με πλεονέζοντες βαθμούς ελευθερίας (redundant robot manipulators DLR lightweight 7dof robot On-line obstacle avoidance (kinematic redundancies 3 Ρομποτικοί Χειριστές με Πλεονάζοντες Βαθμούς Ελευθερίας (/ NASA Robotics Research Modular Redundant Robot ModArm 4

8 Ρομποτικοί Χειριστές με Πλεονάζοντες Βαθμούς Ελευθερίας (/ NASA RoboticsResearch - ModArm DLR KineMedic Redundant Robot Εφαρμογές στο Διάστημα Ιατρικές Εφαρμογές (όπου απαιτείται αυξημένη «ικανότητα χειρισμού» 5 Συνεργαζόμενοι Ρομποτικοί Χειριστές UΜass Humanoid Robot 6

9 Επιδέξια (Ανθρωπόμορφα Ρομποτικά Χέρια (Dexterous Robot Hands (/3 Δεξιότητα: Συνεργασία πολλαπλών βαθμών ελευθερίας για τον έλεγχο σύνθετων/λεπτών εργασιών χειρισμού JPL/NASA hand Utah/MI robot hand 7 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια (/3 DLR Hand ΙΙ Robonaut Humanoid / NASA 8

10 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια (3/3 Shadow Robot Hand humb & fingers Little finger Drill Demo 9 Αυτοκινούμενα Ρομπότ Περιβάλλον Κίνησης (ground, air, sea, underwater,... Μηχανισμοί κίνησης (wheeled, legged, hybrid, etc.... Αισθητηριακά Συστήματα (sensors Σύνθεση Αισθητήρων (sensor/data fusion για Χαρτογράφηση Χώρου (mapping Αυτοεντοπισμός θέσης (localization Συνδυασμένη χαρτογράφηση και παρακολούθηση σε άγνωστο δυναμικό περιβάλλον (SLAM Σχεδιασμός Δρόμου (path planning Σχεδιασμός Δράσης (task planning

11 Αυτοκινούμενα Ρομπότ Αισθητήρες (mobile robots sensors Laser Range Finder Μικρός Gripper Σύστημα Όρασης Ασύρματο Ethernet Αισθητήρες Υπερήχων Αισθητήρες Υπέρυθρων Video- ActiveMedia Robots RWI IS Robotics Video- UAV Unmanned Aerial Vehicles Παράδειγμα Εφαρμογών: Autonomous Helicopter Projects CMU Project

12 Αυτόνομα Υποβρύχια Ρομπότ (Environmentally Non-Disturbing Under-ice Robotic Antarctic Explorer NASA Endurance robot AMOUR: Autonomous Modular Underwater Robot Εφαρμογή: pipe inspection Δίκτυο υποβρύχιων αισθητήρων 3 Mars Rovers (Διαστημικά Ρομποτικά Οχήματα Rocky I Rocky IV Sojourner 4

13 Mars Rovers (συνέχεια Marsokhod concept (συνεργασία NASA ESA 5 Mars Rovers Spirit και Opportunity anim-part3 Χαρτογράφηση και Σχεδιασμός Δρόμου 6

14 Βαδίζοντα Ρομπότ (Ανθρωπόμορφα Δίποδα με Σύστημα Όρασης (biped walking robots Σύστημα Κατευθυνόμενης Στερεοσκοπικής Όρασης Σχεδιασμός και Έλεγχος της κίνησης του Ρομπότ Sample movie (Johnnie Johnnie Πολυτεχνείο Μονάχου (UM 7 Multi-Legged Mobile / Walking robots Σχεδίαση «εμπνευσμένη» από «φυσικά συστήματα» (adaptive behaviors Research (e.g. locomotion, gaiting, control Edutainement Genghis 6-legged robot AI lab / MI Quadruped Robot LittleDog CMU / Boston Dynamics SONY - Aibo Sample movie 8

15 Βαδίζοντα Ρομπότ - Εφαρμογές Εφαρμογές intervention, service, exploration, rescue, etc. Εξερεύνηση «δύσβατων» περιοχών Μεταφορά «Υλικού» - Επιχειρήσεις διάσωσης Εξάποδο (hexapod ρομπότ Dante Τετράποδο Ρομπότ BigDog, CMU / Boston Dynamics 9 Ολοκληρωμένα Κινούμενα Ρομποτικά Συστήματα Υπηρεσιών (Service Robots Κινούμενα Ρομπότ με Ενσωματωμένο Ρομποτικό Βραχίονα Βαδίζοντα Ανθρωπόμορφα Ρομπότ walk step χειρισμός συνεργασία Honda Humanoid Robot 3

16 Εφαρμογές Ολοκληρωμένων Κινούμενων Ρομποτικών Οχημάτων Intervention & Service Robots (Ρομπότ Παρέμβασης και Υπηρεσιών Εντοπισμός & απενεργοποίηση εκρηκτικών Ρομπότ «Διάσωσης» (Rescue Ρομπότ «Εξερεύνησης» σε περιβάλλον «μη φιλικό» προς τον άνθρωπο 3 «Υβριδικοί» Μηχανισμοί Κίνησης 3

17 Σύνθετοι Μηχανισμοί Κίνησης «Αναρριχόμενα» ρομπότ (climbing robots «Έρποντα» Ρομπότ (snake robots JPL s LEMUR robot Snake Rescue Robot Mod-Snake Robot (CMU 33 Ανασκόπηση Ρομποτικής Κινηματικής / Δυναμικής 34

18 Βασικοί Ορισμοί Αρχές Ρομποτικοί βραχίονες (βιομηχανικοί ρομποτικοί χειριστές (robot manipulators: ανοικτές κινηματικές αλυσίδες Κινηματική αλυσίδα (kinematic chain: σύστημα στερεών σωμάτων που συνδέονται μέσω αρθρώσεων (joints Βαθμοί ελευθερίας (degrees of freedom - DOF: αριθμός ανεξάρτητων μεταβλητών για την περιγραφή της διάταξης (configuration ενός μηχανισμού στο χώρο 35 Βασικές Ρομποτικές Αρθρώσεις Περιστροφική άρθρωση (revolute joint βαθμός ελευθερίας (degree of freedom DOF (Μεταβλητή : Υ ή q Γραμμική (πρισματική άρθρωση (prismatic joint DOF (linear (Variable - d Σφαιρική άρθρωση (Spherical Joint 3 DOF (Variables - Υ, Υ, Υ 3 36

19 Ρομποτικοί Βραχίονες / Χειριστές: Ανοικτές (σειριακές κινηματικές αλυσίδες Ορολογία: Link = σύνδεσμος Joint = άρθρωση Actuator = κινητήρας (κινητήριο στοιχείο End-effector = τελικό στοιχείο δράσης 37 Παράλληλες κινηματικές αλυσίδες Επίπεδος παράλληλος μηχανισμός Πλατφόρμα Stewart (6 DOF 38

20 Παράδειγμα Ρομποτικού Βραχίονα Το ρομπότ PUMA 56 PUMA: Programmable Universal Machine for Assembly Unimation Inc. 978 (now Staübli 3 4 he PUMA 56 has SIX (6 revolute joints A revolute joint has ONE degree of freedom ( DOF that is defined by its angle Κινηματική Δομή Κλασσικών Ρομποτικών Χειριστών: Ταξινόμηση Αρθρωτό ρομπότ (τύπου PUMA Ρομπότ τύπου SCARA Καρτεσιανό ρομπότ Κυλινδρικό ρομπότ Σφαιρικό ρομπότ 4

21 Κινηματική Ανάλυση των Ρομπότ Προκαταρκτικά Γεωμετρικά Εργαλεία Μετασχηματισμοί στο χώρο κλπ. Ορθή κινηματική ανάλυση ρομπότ (γεωμετρικό μοντέλο Μετατοπίσεις αρθρώσεων {q i } Θέση/Προσανατολισμός (x,θ τελικού στοιχείου δράσης του ρομπότ Ανάστροφη κινηματική ανάλυση Ορθή διαφορική κινηματική ανάλυση (κινηματικό μοντέλο Ιακωβιανή μήτρα J: ταχύτητες αρθώσεων {q i } ταχύτητα (v,ω τελικού στοιχείου δράσης του ρομπότ Ανάστροφη διαφορική κινηματική ανάλυση 4 Κινηματική Ανάλυση: Προκαταρκτικά Γεωμετρικά Εργαλεία Θέση και προσανατολισμός στερεού σώματος a r x z σ o Θέση: r = OO σ = r y z O σ y r σ z r O x y σ Προσανατολισμός: R = [ n, o, a ] n x n x o x a x Μήτρα προσανατολισμού (ή στροφής (3 x 3 : R = n y o y a y n z o z a z [ n, o, a] : ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς μοναδιαία διανύσματα : n = n x + n y + n z =, κλπ... κάθετα μεταξύ τους : n o=, n a=, o a= 4

22 Μετασχηματισμοί στο χώρο x O Μετασχηματισμοί συντεταγμένων z r Σ y n a z σ x σ O Σ y σ o P Έστω p Σ = [p n, p o, p a ] οι συντεταγμένες του σημείου P στο σύστημα αναφοράς R Σ p O = (OP O = r Σ + (O Σ P O (O Σ P O = p n n+ p o o+ p a a= O R Σ p Σ όπου O R Σ =[n, o, a] Άρα: p O = r Σ + O R Σ p Σ p Σ = -( O R Σ Τ r Σ + ( O R Σ Τ p Ο Στροφή του R Σ ως προς το R O Μετατόπιση ΟΟ Σ (εκφρασμένη στο R O 43 Στροφή Ειδικές Περιπτώσεις Περιστροφή γύρω από τον άξονα z (R R a O sin(θ z x n θ z x z z o cos(θ z y θ z y n x n = n y = n z O R =[n, o, a]= cos(θ z sin(θ z cos(θ z sin(θ z o x o = o y = o z -sin(θ z cos(θ z Περιστροφή γύρω από τον άξονα x : R x (θ x = Περιστροφή γύρω από τον άξονα y : R y (θ y = θ z cos(θ x sin(θ x cos(θ y -sin(θ y -sin(θ z cos(θ z = R z (θ z -sin(θ x cos(θ x sin(θ y cos(θ y 44

23 Παραμετροποίηση Στροφής Γωνίες Euler (στροφή ως προς: z x (or y z Euler(φ,θ,ψ = R z (φ R x (θ R z (ψ = c φ c ψ -s φ c θ s ψ -c φ s ψ -s φ c θ c ψ s φ s θ s φ c ψ +c φ c θ s ψ -s φ s ψ +c φ c θ c ψ -c φ s θ s θ s ψ s θ c ψ c θ Γωνίες κύλισης, ανύψωσης, στροφής, (roll,pitch,yaw x z y R(φ,θ,ψ = R z (φ R y (θ R x (ψ = c φ c θ c φ s θ s ψ -s φ c ψ c φ s θ c ψ +s φ s ψ s φ c θ s φ s θ s ψ +c φ c ψ s φ s θ c ψ -c φ s ψ -s θ c θ s ψ c θ c ψ 45 Ομογενείς Μετασχηματισμοί p O = r Σ + O R Σ p Σ P O = O A Σ P Σ o z O Σ y r σ Ο p p O σ p p Σ O P Σ x x y x σ Ο σ όπου: P O p = y, P Σ p n = y x Ο p σ z p z ομογενή διανύσματα συντεταγμένων a z σ και : O A Σ = O R Σ r Σ ομογενής μήτρα μετασχηματισμού (4 x 4 ( O A Σ - = (O R Σ Τ ( O R Σ Τ r Σ (ανάστροφη ομογενής μήτρα 46

24 Ομογενείς Μετασχηματισμοί (συνέχεια O z x y p ( x^ = n v x nx ny V ( v = y = v z nz z^ = a O o o o v ( ( A V x y z y^ = o v ( V a a a x y z p x py p z Το ομογενές διάνυσμα V ( = [v n,v o,v a,] εκφρασμένο στο «τοπικό» σύστημα αναφοράς R (n,o,a, ενώ το διάνυσμα V ( εκφράζεται ως προς το «κοινό» σύστημα αναφοράς R O -X,Y,Z της βάσης v a Η μήτρα περιστροφής και το διάνυσμα μετατόπισης p ( μπορούν να συνδυαστούν σε μία ομογενή μήτρα μετασχηματισμού, εφόσον εκφράζονται ως προς κοινό σύστημα αναφοράς. v n v o V ( = A V ( v ( = v n n + v o o + v a a + p ( v x = v n n x + v o o x + v a a x + p x 47 Z Ομογενείς Μήτρες Μετασχηματισμών Ειδικές Περιπτώσεις ( R O Y P X Γραμμική μετατόπιση (μεταφορά χωρίς στροφή Z o a Y a n o R N X = n Στροφή χωρίς μεταφορά Α O N Α N O nx n y = nz o o o x y z Μήτρα στροφής a a a px py p z x y z Γραμμική Μετατόπιση 48

25 Ομογενείς Μήτρες Μετασχηματισμών Ειδικές Περιπτώσεις ( Rot(x,θ x = cosθ x -sinθ x sinθ x cosθ x ra(x,d x = d x Rot(y,θ y = cosθ y sinθ y -sinθ y cosθ y ra(y,d y = d y Rot(z,θ z = cosθ z -sinθ z sinθ z cosθ z ra(z,d z = d z 49 Διαδοχικοί ομογενείς μετασχηματισμοί i- Α i : 4x4 ομογενής μήτρα μετασχηματισμού από το πλαίσιο i στο πλαίσιο i- (i=,,n δηλαδή, n διαδοχικοί μετασχηματισμοί από το πλαίσιο n στο πλαίσιο. Τότε : i- i n- n X = A A A A X X : ομογενές (4x διάνυσμα θέσης στο πλαίσιο n n X : ομογενές (4x διάνυσμα θέσης στο πλαίσιο n 5

26 Κινηματική Ανάλυση: Εισαγωγή Ορθή κινηματική ανάλυση Μετατοπίσεις αρθρώσεων {q i } Μετατόπιση τελικού στοιχείου δράσης (θέση p, προσανατολισμός R Μετασχηματισμός από το χώρο αρθρώσεων στο χώρο δράσης (εργασίας proprioception Ανάστροφη κινηματική ανάλυση Θέση τελικού στοιχείου δράσης (p, R {q i } Ανάστροφη διαφορική κινηματική ανάλυση Ταχύτητα τελικού στοιχείου δράσης (v, ω {q i } Σχεδιασμός δρόμου ρομπότ 5 Ορθή κινηματική ανάλυση: ανοικτές κινηματικές αλυσίδες Σύνδεσμος Σύνδεσμος Άρθρωση q z y Βάση z Σύνδεσμος O O x x y Γεωμετρικό μοντέλο : q 3... pn (q = O O n (q Σύνδεσμος i... Άρθρωση i q q i Άρθρωση i+ q i+ Άρθρωση O i ανοικτή κινηματική αλυσίδα x n y n Σύνδεσμος n z n Τελικό στοιχείο δράσης Δοσμένων των μεταβλητών αρθρώσεων {q i, i=,,n} Υπολογισμός των : - Θέση: p n = Γ(q R(q p n (q - Προσανατολισμός: R n n(q A n(q = O n R = n x y z n n n συνημίτονα κατεύθυνσης 5

27 Ορθή κινηματική ανάλυση: ανοικτές κινηματικές αλυσίδες (συνέχεια Κινηματική εξίσωση (γεωμετρικό μοντέλο ρομποτικού βραχίονα: i- Συνδυασμός των διαδοχικών μετασχηματισμών Α i (i=, n (από τη βάση Ο -x y z προς τον καρπό Ο n -x n y n z n της σειριακής κινηματικής αλυσίδας. = n i- i n- n Α (q = A (q A (q A (q i A (q n A (q y z O y z O x x y i- z i- x i- O i- i- A i (q i y i O i z i = A (q n x i y n x n O n z n 53 Ορθή κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y O y O l q x l y Ε O Ε x q x Ε θ i- A (q i = Rot(z,q i ra(x, l i = i = A = A A E Κινηματική μοντέλο: ( ανεξ. μεταβλητές: q και q Θέση : p Ε = [(p Ε x,(p Ε y ] Τ Προσανατολισμός : θ (ως προς q και q (p Ε x = l cos(q + l cos(q + q (p Ε y = l sin(q + l sin(q + q θ = q + q cos(q i -sin(q i l i cos(q i sin(q i cos(q i l i sin(q i 54

28 Ορθή κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα ( 3 βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y O y O l q x l y Ε l 3 q x Ε 3 q 3 y x x O O Ε θ Κινηματική μοντέλο: (p Ε x = l c + l c + l 3 c 3 (p Ε y = l s + l s + l 3 s 3 θ = q + q + q 3 όπου : c = cos(q c = cos(q + q c3 = cos(q + q + q 3 s = sin(q s = sin(q + q s3 = sin(q + q + q 3 55 Παράδειγμα : Ρομποτικός Βραχίονας -R--P z 3 O 3 y 3 x 3 Κινηματική Δομή: Διάγραμμα 3P Πίνακας Παραμέτρων Denavit-Hartenberg άρθρωση O d 3 x z q l l z y O x O άρθρωση z q x y O z x l l R q y O y x z z 3 O 3 y 3 x 3 z d 3 R Σύνδεσμος i 3 a i α i -9 o +9 o d i l l d 3 θ i q q q O x y Εύρεση κινηματικού μοντέλου 56

29 Παράδειγμα (-R--P (συνέχεια ( Πίνακας Παραμέτρων Denavit-Hartenberg Σύνδεσμος i 3 a i = A 3 = α i -9 o +9 o d i l l d 3 R 3(q,q θ i q q p (q,q,d 3 3 c c -s c s -l s +d 3 c s s c c s s l c +d 3 s s -s c l +d 3 c A = A = A 3 = cosq -sinq sinq cosq - l cosq sinq sinq -cosq l d 3 57 Παράδειγμα (-R--P (συνέχεια ( Γεωμετρικό μοντέλο : «Εποπτική» (γεωμετρική λύση z p 3z l O q O 3 d 3z d l 3 d 3xy l q p 3y y O p 3z = l + d 3z p 3y = l cosq + d 3y όπου: d 3y = d 3xy sinq p 3x = -l sinq + d 3x όπου: d 3x = d 3xy cosq ( d 3xy = d 3 sinq l q d 3xy d 3y y όπου: d 3z = d 3 cosq Άρα: p 3x = -l s + d 3 s c p 3y = l c + d 3 s s p 3z = l + d 3 c x x p (q,q,d

30 Παράδειγμα : Ρομποτικός Βραχίονας 3-R 3 βαθμοί ελευθ. 3D, στο χώρο y q άρθρωση z l y O z y O l q q 3 άρθρωση x x q z O y z y E O E Ε l 3 άρθρωση 3 x x x E q 3 q q Ρομποτικός Βραχίονας 3-R (3 περιστροφικές αρθρώσεις: q, q, q 3 Κινηματικό (γεωμετρικό μοντέλο: O Ε l 3 O l O l O z y x A = Rot(z,q ra(z,l A = Rot(y,q ra(z,l A 3= Rot(y,q 3 ra(z,l 3 3 A = A A A 3 59 Παράδειγμα (3-R (συνέχεια ( A (q = c -s s c l c s l s, A (q =, -s c l c A 3(q 3 = c 3 s 3 l 3 s 3 -s 3 c 3 l 3 c 3 O Ε q 3 l 3 O l A 3(q = c s l s -s c l c c 3 s 3 l 3 s 3 -s 3 c 3 l 3 c 3 = c 3 s 3 l s + l 3 s 3 -s 3 c 3 l c + l 3 c 3 q q O l O z y x A 3(q = c -s s c l c 3 s 3 l s + l 3 s 3 -s 3 c 3 l c + l 3 c 3 6

31 Παράδειγμα (3-R (συνέχεια ( z q Γεωμετρικό μοντέλο ρομπότ 3-R : O q 3 O 3 Αλγεβρικό γινόμενο διαδοχικών μετασχηματισμών: p (q,q,q 3 = 3 A 3[:3, 4 ] = (l s + l 3 s 3 c (l s + l 3 s 3 s l + l c + l 3 c 3 x l O l O q p 3xy p 3y «Εποπτική» (γεωμετρική λύση: y p 3z = l + l cosq + l 3 cos(q +q 3 p 3y = p 3xy sinq p 3x = p 3xy cosq όπου: p 3xy = l sinq + l 3 sin(q +q 3 p p 3x = (l s + l 3 s 3 c 3x p 3x = (l s + l 3 s 3 s p (q,q,q 3 3 p 3z = l + l c + l 3 c 3 6 Ανάστροφη Κινηματική Ανάλυση Ορθή κινηματική ανάλυση (γεωμετρικό μοντέλο: κινηματική εξίσωση ρομπότ, δηλ. από τις μετατοπίσεις q i (i=,..,n των n αρθρώσεων εύρεση θέσης και προσανατολισμού τελικού στοιχείου δράσης Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: εύρεση των μετατοπίσεων q i (i=,..,n των αρθρώσεων που οδηγούν το τελικό στοιχείο δράσης σε επιθυμητή θέση και προσανατολισμό Για την τοποθέτηση του τελικού στοιχείου σε οποιαδήποτε θέση/προσανατολισμό μέσα στο χώρο εργασίας (workspace απαιτείται το ρομπότ να έχει τουλάχιστον 6 βαθμούς ελευθερίας 6

32 Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: Ένα απλό παράδειγμα Σφαιρικός επίπεδος μηχανισμός (planar polar mechanism Δεδομένα: p x, p y Εύρεση: [q, q ] = [θ, d] Y (p x, p y d θ X p x = d cos(θ p y = d sin(θ tan(θ =p y / p x py Εύρεση θ : θ = arctan( ( ± k π rad p py Πιο συγκεκριμένα: θ = arctan ( p Εύρεση d : d = ( px + py x x 63 Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα p y y O y O l q x l (p x, p y y Ε O Ε q x p x θ x Ε θ Δεδομένα: l, l, p x, p y Εύρεση: [q, q ] p x = l cos(q + l cos(q + q p y = l sin(q + l sin(q + q θ = q + q ( p + ( p = l c + l c + ll cc + x y + l s + l s + ll ss q ( px + ( py l l = ± arccos ll ( p + ( p = l + l + ll (cc + ss x y cosq 64

33 Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα (συνέχεια p y η λύση y Ε O Ε x Ε θ q ( px + ( py l l = ± arccos ll y l q Γεωμετρική λύση για το q O l q x O p x [p x,p y ] Νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο Ο Ο Ο Ε : sinϕ = sinψ l d l sin(8 ο -q = d sinψ ψ = arcsin(l s /d όπου: d = sqrt((p x +(p y d q φ ψ q Άρα: tan(q +ψ = p y /p x q = arctan(p y /p x - ψ py l s = arctan arcsin px (p x + (p y q 65 O Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 6 βαθμών ελευθερίας (5-R--P x z x z y d 3 sinq z -q x y Σφαιρικός Καρπός y O E n a Σ o d 3 -d 3 cosq a z x y l y l z y o Σ O 3 O 4 O 5 z 3 z 5 x 3 x 4 x 5 Παράμετροι D-H Σύνδεσμος l i -9 o l q z 4 +9 o l q 3 d 3 d o q 4 O 5 +9 o q 5 z 6 l q 6 a i α i d i θ i 66

34 Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια ( A (q = c -s s c - l A (q = c s s -c l A 3(d 3 = d 3 3 A 4(q 4 = c 4 -s 4 s 4 c 4-4 A 5(q 5 = c 5 s 5 s 5 -c 5 5 A 6(q 6 = c 6 -s 6 s 6 c 6 l 3 = A (q A (q A (d 3 A (q 4 A (q 5 A (q 6 Ανάστροφο κινηματικό πρόβλημα: δοσμένου Τ εύρεση {q i } Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια ( l a o Έστω = n x o x a x p x n y o y a y p y n z o z a z p z Σ O 3 O 4 O 5 z 3 z 5 p p * O d 3 z z x y l y l z y z 4 Έστω επίσης: (η θέση του σημείου Σ p * = p -l a p = p * = [p* x p* y p* z ] Σ * p x * p y = * p z p x -l a x p y -l a y p z -l a z 68

35 Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια (3 (A - (q = c s - l -s c A 3(q,d 3 = c s d 3 s s -c -d 3 c l A = 3 3 (A - A = c s - l -s c p * * * x p x c +p y s p * y -p* p * = z + l z -p* x s +p* y c * * * * * px± ( px + ( py l l = - p s c arctan x + p y q = l + p* y τ = tan(θ/ sinθ = (τ/(+τ cosθ =(-τ /(+τ * * pxc + py arctan p* z l q s = * * * d =± ( p c + p s + ( p l 3 x y z 69 Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια ( Έστω = (A A A - = A = n x o x a x p x n y o y a y p y n z o z a z p z 3 A 4(q 4 = c 4 -s 4 s 4 c A 6(q 5,q 6 = A 5(q 5 A 6(q 6 = c 5 c 6 -c 5 s 6 s 5 l s 5 s 5 c 6 -s 5 s 6 -c 5 -l c 5 s 6 c A (q 5,q 6 = (A - = a xc 4 +a ys 4 -n z -o z -a z -n xs 4 +n yc 4 -o xs 4 +o yc 4 -a xs 4 +a yc 4 7

36 Ανάστροφη κινηματική ανάλυση: Ρομπότ 5-R--P (συνέχεια (5 -a xs 4 +a yc 4 = q 4 = arctan(a y / a x a xc 4 +a ys 4 = s 5 -a z = -c 5 ac + as ' ' x 4 y 4 5 = arctan a' z q -n xs 4 +n yc 4 = s 6 -o xs 4 +o yc 4 = c 6 -n s + n c ' ' x 4 y 4 6 = arctan -o ' ' x s 4 o y c + 4 q 7 Διαφορική Κινηματική Ανάλυση Ορθή διαφορική κινηματική ανάλυση Γενικευμένες ταχύτητες αρθρώσεων {q i } Εύρεση ταχύτητας (v, ω (γραμμική/γωνιακή τελικού στοιχείου δράσης ρομπότ Μετασχηματισμός από το χώρο αρθρώσεων στο χώρο δράσης (εργασίας proprioception Ανάστροφη διαφορική κινηματική ανάλυση Ταχύτητα τελικού στοιχείου δράσης (v, ω Εύρεση {q i } Σχεδιασμός δρόμου ρομπότ 7

37 Διαφορικές κινηματικές ρομποτικές εξισώσεις: Παράδειγμα ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y y l (p x, p y y Ε O Ε q x Ε θ z Ορθό Κινηματικό μοντέλο: ( βαθμοί ελευθερίας: q και q Δεδομένα: «Ταχύτητες» αρθρώσεων q, q Εύρεση: Ταχύτητα (γραμμική/γωνιακή τελικού στοιχείου δράσης [p x,p y, ω z ] Τ O O l q x x p x = l cos(q + l cos(q + q p y = l sin(q + l sin(q + q θ z = q + q J(q,q p x =(dp x /dt = q (l s +l s q l s p y = (dp y /dt = q (l c +l c + q l c ω z = θ z = q + q p x p y θ z = (l s +l s l s (l c +l c l c q q 73 Ορθή διαφορική κινηματική ανάλυση: Παράδειγμα ( 3 βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y Ε l 3 x Ε O Ε q 3 θ z Κινηματική μοντέλο: Δεδομένα: «Ταχύτητες» αρθρώσεων q, q, q 3 Εύρεση: Ταχύτητα (γραμμική/γωνιακή τελικού στοιχείου δράσης [p x,p y, ω z ] Τ y y y x O 3 l q p x = l c + l c + l 3 c 3 p y = l s + l s + l 3 s 3 θ z = q + q + q 3 O O l q x x p x p y θ z = (l s +l s +l 3 s 3 (l s +l 3 s 3 l 3 s 3 (l c +l c +l 3 c 3 (l c +l 3 c 3 l 3 c q q q 3 J(q, q, q 3 74

38 Διαφορική Κινηματική: Ιακωβιανή Μήτρα Ρομποτικού Χειριστή Έστω: p(q,q,q 3 = [ p x (q,q,q 3,p y (q,q,q 3, θ z (q,q,q 3 ] Τ ϑ p ( q, q, q ϑp ( q, q, q ϑp ( q, q, q dp = dq + dq + dq x x 3 x 3 x 3 ϑq 3 ϑq ϑq3 ϑ p ( q, q, q ϑp ( q, q, q ϑp ( q, q, q dp = dq + dq + dq y y 3 y 3 y 3 ϑq 3 ϑq ϑq3 ϑθ ( q, q, q ϑθ ( q, q, q ϑθ ( q, q, q dθ = dq + dq + dq z z 3 z 3 z 3 ϑq 3 ϑq ϑq3 dp dp = dp J dq x y = dθ z όπου dq dq = dq dq 3 και J = ϑ p ϑp ϑp ϑq ϑq ϑq ϑp ϑp ϑ p ϑq ϑq ϑq ϑθ ϑθ ϑθ ϑq ϑq ϑq x x x 3 y y z 3 z z z 3 Ιακωβιανή Μήτρα (Jacobian 75 Μεταχηματισμοί απειροστών περιστροφών Μήτρα απειροστής περιστροφής (dθ x γύρω από τον άξονα x: Rx( dθx = cos( dθx sin( dθx dθx sin( dθ cos( dθ dθ Αντίστοιχα: dθ y Ry( dθ y = dθ x x x y dθ z Rz( dθz = dθz Ισχύει: dθz dθ y R( dθx, dθy, dθz = Rx( dθx Ry( dθy Rz( dθz = dθz dθx dθ dθ και: ( dθz+ dθz ( dθy dθ + y Rd ( θx, dθy, dθz Rd ( θx, dθ y, dθz = ( dθz+ dθz ( dθx+ dθx ( dθ + dθ ( dθ + dθ y y x x = R( dθ + dθ, dθ + dθ, dθ + dθ x x y y y x z z Διάνυσμα απειροστής στροφής dθ dθ = dθ dθ x y z 76

39 Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας ( Έστω: d dp = r dθ v p = E E E ω E το (6x διάνυσμα απειροστής μετατόπισης (μεταφοράς dr E και στροφής dθ E του τελικού στοιχείου δράσης Ε όπου v E, ω E : γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του τελικού στοιχείου δράσης Ε Διαφορικό κινηματικό μοντέλο: p= J q όπου q =[q,, q n ] : (nx διάνυσμα των ταχυτήτων των αρθρώσεων = J J... J L L Ln J όπου, J J... J J L J i A i A A A n Ιακωβιανή Μήτρα (6xn : (3x διανύσματα στήλης «συνεισφορά» του q i (ταχύτητα άρθρωσης i στη γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του τελικού στοιχείου δράσης v = J iq +J iq + +J iq E L δηλαδή: L L n n ω =J iq+j iq+ +J iq E A A A n n 77 Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας ( J = b r L i J A i J b i i, E b i L i b i = J A i,..., i i : για στροφική άρθρωση όπου b i- :o άξονας της άρθρωσης i r i-,e : διάνυσμα Ο i- Ο Ε : για πρισματική άρθρωση = R i- ( q q b όπου: b = [,, ] (στη μεθοδολογία Denavit-Hartenberg r = A ( q q r - A ( q q r όπου: r = [,,, ],..., n,..., i, E n i- i άρθρωση i b i- O i- z y O A( q, q = A( q A( q A ( q,, q = A ( q,, q Ai-( q i- i i- i i- i A ( q,, q = A ( q,, q A ( q x b i- r i-,e O E dr Ε n- n n n- n n dθ Ε n 78

40 Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας Παράδειγμα: Ρομποτικός Βραχίονας 3-R A (q = O Ε l 3 q 3 l z q l q z 3 y3 z x 3 b x O b x O z b O c -s s c l y x c s l s, A (q =, -s c l c A (q,q = A (q A (q = A 3(q = A (q,q A (q 3 = 3 A 3(q 3 = c 3 s 3 l 3 s 3 -s 3 c 3 l 3 c 3 c c -s c s l c s s c c s s l s s -s c l + l c c c 3 -s c s 3 c (l s + l 3 s 3 s c 3 c s s 3 s (l s + l 3 s 3 -s 3 c 3 l + l c + l 3 c 3 79 Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας Ρομποτικoύ Βραχίονα 3-R (συνέχεια ( = b ( + l s ( ( c l s r = s l s + l s, E 3 3 l + l c + l c b r = s c ( + l s 3 3 ( ls ( lc + lc c l s = s ls+, E b = s c r ( lcs 33 ( lss ( lc =, E Υπενθύμιση : J = b r L i J A i i i, E b i : για στροφική άρθρωση i J L i b i = J A i : για πρισματική άρθρωση 8

41 Υπολογισμός Ιακωβιανής Μήτρας Ρομποτικoύ Βραχίονα 3-R (συνέχεια ( c l s + l s 3 3 s l s + l s 3 3 J = s l s l s c l s l s L b r =, E + 33 = + 33 l l c l c c l s + l s 3 3 c l c + l c 3 3 s c s l s l s s l c l c J = L b r =, E = lc + lc ls ls lcs lcc s J = c l ss l sc L b r = 3, E 33 = 33 lc ls J = A s J = c A s J = c A 3 8 Ανάστροφη Διαφορική Κινηματική Δεδομένης επιθυμητής ταχύτητας τελικού στοιχείου δράσης (v, ω Εύρεση {q i } (i=,,n v p= E = ( ω J q q E : ορθό διαφορικό κινηματικό μοντέλο Εάν η J(q είναι αντιστρέψιμη, δηλαδή: det(j(q, τότε : q= J-( q p q : ταχύτητες αρθρώσεων για να επιτύχουμε επιθυμητή ταχύτητα τελικού στοιχείου δράσης Εκφυλισμός διάταξης ρομποτικού βραχίονα. Ιδιόμορφες διατάξεις (singular configurations q για τις οποίες: det(j(q = Υπάρχει τουλάχιστον μία διεύθυνση κατά την οποία το ρομπότ δεν μπορεί να κινηθεί p 8

42 Ανάστροφη Διαφορική Κινηματική: Παράδειγμα ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y O y O l q x l (p x, p y y Ε O Ε q x x Ε θ z Ορθό Κινηματικό μοντέλο: ( βαθμοί ελευθερίας: q και q v x (l s +l s l s v y = (l c +l c l c J(q, q det( J(q, q = l l sin(q q q det( J(q, q =, όταν sin(q =, δηλαδή όταν : q = ή π (ιδιόμορφες διατάξεις q l c l s v vy x = q ll s ( lc + lc ( ls + l s J - (q, q : ανάστροφο κινηματικό μοντέλο 83 Έλεγχος αναλυμένης ταχύτητας q(t= (Resolved motion-rate control q(i Υπολογισμός j A j και A j (j=,,n Υπολογισμός Ιακωβιανής J( q Βρόχος διόρθωσης (correction loop p p *( i = A n :3,4 - p(i+ + p = p( i+ p * ( i dt επιθυμητή τροχιά Επίλυση ανάστροφης διαφορικής κινηματικής p = J( q q Εύρεση q q( i+ = q ( i + q ( i dt dt: sampling time i = i+ q( i+, q ( i προς ελεγκτή θέσης ρομπότ 84

43 Στατική Ανάλυση Ρομποτικών Χειριστών 85 Ανάλυση Δυνάμεων & Ροπών (/ Ni, i Σύνδεσμος (i- bˆi- O i- τ i Άρθρωση (i Σύνδεσμος (i fi, i τ = Κάθε άρθρωση εισάγει γεωμετρικούς (κινηματικούς περιορισμούς ως προς τη σχετική κίνηση των συνδέσμων τ τ τ n διάνυσμα γενικευμένων δράσεων στις αρθρώσεις q q = q q n διάνυσμα γενικευμένων ταχυτήτων στις αρθρώσεις τ ˆ i = i i, i b f : πρισματική άρθρωση τ ˆ i = i i, i b N : στροφική άρθρωση Γενικευμένη δράση (ροπή ή δύναμη, ασκούμενη στον (i σύνδεσμο από το σύνδεσμο (i-, δυνάμενη να παράγει έργο σε γενικευμένη μετατόπιση. 86

44 Ανάλυση Δυνάμεων & Ροπών (/ Ni, i O i- Άρθρωση i f ri, i i, i N ii+ ii+, r ici, Σύνδεσμος i f, O i Άρθρωση i+ Ισορροπία Δυνάμεων/Ροπών f f g i, i ii, + + m i = ( r r ( r ( N N f f i, i ii, + i, i + ici, i, i + ici, ii, + = nn, + nn, + F = f δράση από το ρομπότ πάνω στο N εξωτερικό περιβάλλον τ = τ τ τ n διάνυσμα γενικευμένων δράσεων στις αρθρώσεις b f : πρισματική άρθρωση τ ˆ i = i i, i b N : στροφική άρθρωση τ ˆ i = i i, i τ = J F Στατική εξίσωση ρομποτικού χειριστή 87 Στατικό ρομποτικό μοντέλο Αρχή Δυνατών Έργων (virtual work principle: Μηχανικό Σύστημα σε στατική ισορροπία Δυνατό Έργο δε = που παράγεται σε τυχαία (επιτρεπτή στοιχειώδη γενικευμένη μετατόπιση δq δ q τ δ q i τ i τ δ q n F δ E =... n ext δ p δ = δ + δ τ E p Fext q δ p= J δ q ( J δq F + δq τ = δq J F + δq τ = δq ext n ext Στατική εξίσωση ρομποτικού χειριστή τ = J F τ = J F ext όπου: F = F (nn+, δηλ.: F (robot external environment 88

45 Στατικό Μοντέλο Παράδειγμα ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο F = F F x y y l q τ O l q x τ J = (l s +l s l s (l c +l c l c Ιακωβιανή Μήτρα Στατικό Μοντέλο ( ( ( ( l sin( q q l cos( q q l sin q l sin q + q l cos q + l cos q + q F τ = = τ x τ Fy Δυϊσμός κινηματικής / στατικής q R n J p R m R(J Κινηματική N(J τ R n p = J J Τ q F p = R m R(J: range space (σύνολο δυνατών ταχυτήτων στο χώρο εργασίας N(J: null space (μηδενικός χώρος N(J: ορθογώνιο συμπλήρωμα (R(J Τ R(J: ορθογώνιο συμπλήρωμα (N(J Τ R(J Τ N(J Τ Στατική τ = J F 9

46 Μηχανική Αντίσταση (stiffness (α τ = J F : Στατικό Μοντέλο (β δ p= J δ q : Κινηματικό Μοντέλο ( τ = k Δq i qi i τ = K Δq q (i=,,n : Μοντέλο «μηχανικής αντίστασης» (ακαμψίας αρθρώσεων ( J K q J δ p= F τ = J F δ p = Jδ q C Compliance matrix Μήτρα «μηχανικής συμμόρφωσης» K F = K p δ p K = J K J p q = ( q kq kqn Stiffness matrix Μήτρα «μηχανικής αντίστασης» 9 Τέλος Εισαγωγικής Ενότητας 9

47 Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: , (Κτήριο Ηλεκτρ., Γραφείο.36 Web: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ Περιεχόμενα Μαθήματος ΕΝΟΤΗΤΑ-: Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Έλεγχος Ρομπότ με πλεονάζοντες β.ε. (redundant robots Έλεγχος Δύναμης / Μηχανικής Αντίστασης Μοντελοποίηση και έλεγχος επιδέξιου χειρισμού (Συνεργαζόμενα ρομπότ, Ρομποτικά χέρια ΕΝΟΤΗΤΑ-: Κινούμενα Ρομπότ Αρχιτεκτονικές Ελέγχου Κινούμενων Ρομπότ Σχεδιασμός δρόμου Αποφυγή εμποδίων Σύνθεση αισθητηρίων πληροφοριών Σύνθετοι ρομποτικοί χειριστές - Εφαρμογές Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ

48 Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας ΕΝΟΤΗΤΑ : Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 3 Επιδέξια Ρομπότ - Εισαγωγή Επιδεξιότητα: η ικανότητα στον έλεγχο με «ακρίβεια» πολλών βαθμών ελευθερίας για την εκτέλεση «λεπτών» και «σύνθετων» εργασιών (συνήθως εργασιών χειρισμού Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα (dextrous robots Ρομποτικοί Χειριστές με Πλεονάζοντες Βαθμούς Ελευθερίας (robot manipulators with kinematic and/or actuator redundancies Συνεργαζόμενοι ρομποτικοί χειριστές (cooperating manipulators Ρομποτικά χέρια (robot hands Θέματα προς μελέτη: Κινηματική/Στατική Ανάλυση Μέτρα Δεξιότητας / Ικανότητα χειρισμού Σχεδιασμός δράσης (task planning Έλεγχος συμμόρφωσης (force/impedance compliance control Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 4

49 Κινηματικός Έλεγχος Ρομπότ q(t= q(i Υπολογισμός j A j και A j (j=,,n Υπολογισμός Ιακωβιανής J( q Βρόχος διόρθωσης (correction loop p p *( i = A n :3,4 - p(i+ + p = p( i+ p * ( i dt επιθυμητή τροχιά Επίλυση ανάστροφης διαφορικής κινηματικής p = J( q q Εύρεση q q( i+ = q ( i + q ( i dt dt: sampling time q( i+, q ( i προς ελεγκτή θέσης ρομπότ i = i+ Σχήμα ελέγχου επιλυμένης ταχύτητας (Resolved motion-rate control Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 5 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Εισαγωγή Βασικές αρχές 6 β.ε. για θέση/προσανατολισμό στο χώρο Πλεονάζοντες β.ε. εισάγουν τη δυνατότητα απειρίας εφικτών κινήσεων στις αρθρώσεις για δοσμένη επιθυμητή κίνηση στο τελικό στοιχείο δράσης μηδενικός χώρος ρομποτικών αρθρώσεων (null space πλεονάζοντες β.ε. για ικανοποίηση επιπρόσθετων κινηματικών περιορισμών (βελτιστοίηση κριτηρίων για επιλογή κατάλληλης κίνησης στους πλεονάζοντες β.ε. Παράδειγμα ρομποτικού βραχίονα με πλεονάζοντες β.ε. (DLR lightweight 7dof robot Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 6

50 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική ( N(J q R Χώρος αρθρώσεων (joint space n J p R m R(J p = R(J: range space (σύνολο δυνατών ταχυτήτων στο χώρο εργασίας N(J: null space (μηδενικός χώρος J Χώρος εργασίας (task space q N( J Jq= ( Όταν n>m, και rank(j=m (δηλαδή, J: πλήρους τάξης τότε έχουμε (n-m πλεονάζοντες (redundant βαθμούς ελευθερίας dimn(j = n m dimn(j + dimr(j = n Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 7 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική ( Βέλτιστη λύση της διαφορικής κινηματικής εξίσωσης για πλεονάζοντα ρομπότ (redundant robots Διαφορική κινηματική εξίσωση: J q= p J: m x n, rank(j = m Ελαχιστοποίηση συνάρτησης κόστους: F( q= (/ q = (/ qq Mέθοδος Lagrange: F' q λ = q q λ ( Jq p q F'(, q λ = F'( q, λ = λ (, (/ - - min q - J λ = Jq- p= q = Jλ ( p= Jq = JJ λ q=j + p όπου J + : ψευδοαντίστροφη της Ιακωβιανής J =J ( J J + Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 8

51 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική (3 Γενική βέλτιστη λύση της διαφορικής κινηματικής εξίσωσης για πλεονάζοντα ρομπότ (redundant robots Διαφορική κινηματική εξίσωση: J q= p Ελαχιστοποίηση συνάρτησης κόστους: F( q= ( ( q k Q ( q k ( Q: symmetric, positive definite n x n, k Rn Mέθοδος Lagrange: F' q λ = ( ( q k Q ( q k λ ( Jq p q F'( q, λ = F'( q, λ = λ (, - - min ( - Qq k J λ = Jq- p= J: m x n, rank(j = m q=j p+ ( I J J k # # Q n Q (I n : μοναδιαία μήτρα nxn N( J J Q όπου # weighted pseudoinverse of the Jacobian matrix J =Q J ( J Q J # Q Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 9 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική (4 Γενική βέλτιστη λύση της διαφορικής κινηματικής εξίσωσης : Απόδειξη ( - Qq k J λ = Jq- p= ( ( q = Q J λ + k Jq- p= q = Q J λ + k ( JQ J λ + Jk= p rank(j=m q = Q J λ + k ( ( λ = JQ J p Jk ( + ( q = Q J JQ J p I Q J JQ J J k J # Q J # Q Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ

52 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Μεθοδολογία Διάσπασης Ρομποτικής Εργασίας Διάσπαση σύνθετων ρομποτικών εργασιών σε υποεργασίες με σειρά προτεραιότητας (task-decomposition (π.χ. έλεγχος θέσης ή δύναμης, αποφυγή εμποδίων ή ιδιομορφιών κλπ. Περιγραφή ρομποτικών υποεργασιών με βάση: επιθυμητή τροχιά του ρομπότ στο χώρο εργασίας (ή γενικότερα επιθυμητή «συμπεριφορά», π.χ. μηχανική αντίσταση, κλπ. κριτήρια στο χώρο διάταξης των αρθρώσεων (configuration space βελτιστοποίηση Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ ( Βασικές Σχέσεις (διάσπαση σε δύο ρομποτικές υπο-εργασίες Έστω q = [q,q,,q n ] : διάταξη των αρθρώσεων (configuration Πρώτη υπο-εργασία: p = f (q, p : m x διάνυσμα επιθυμητή τροχιά p d (t Δεύτερη υπο-εργασία: Περίπτωση : Περίπτωση : p = f (q, p : m x διάνυσμα επιθυμητή τροχιά p d (t Συνάρτηση κριτηρίου: c = V(q μεγιστοποίηση πρόβλημα βελτίστου ελέγχου Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ

53 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ ( Πρώτη υπο-εργασία: p = J q ( p = f (q=[f (q f (q... f m (q] Τ ( f / q f / q f / q n όπου: J = f / q f / q f / q f / q n J = f / q f / q f / q + + d n m m m q = J p + I J J k (, όπου k : τυχαίο διάνυσμα n x Εκτέλεση ης υποεργασίας («εξωτερική κίνηση» N( J μηδενικός χώρος («εσωτερικές κινήσεις» J + = J J J : ψευδοαντίστροφη της μήτρας J J : m n + + J J = I m J : n m n Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 3 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (3 Δεύτερη υπο-εργασία -η Περίπτωση : p = J q (a ( (Τa Θέτουμε: p d ( p = f (q= [f (q f (q... f m (q] Τ όπου: J = f / q p JJ p = J I JJ k + + d d n J = J I J J Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ (m x n + n k= J p J d J p + I d n J J k ( όπου k : τυχαίο διάνυσμα n x Τελικά: q = J p + J p J J p + I J J J J k d d d d n η υποεργασία η υποεργασία Σημείωση: χρησιμοποιήθηκε η σχέση υπολείπονες πλεονάζοντες β.ε. I J J J = J n (3 4

54 J Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (3β = J N Απόδειξη: JJJ = J όπου N = I n J+ J Ισχύει N N = N και N = N Πρόταση: Για τις παραπάνω μήτρες ισχύει: In J J J = J + + δηλαδή: J = N J = J + + = JJ + + = JJ JJJ JJ JJ ( ( (α = = N J J N J N J J J N J... (α (β Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 5 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (4 Δεύτερη υπο-εργασία / η Περίπτωση (συνέχεια Απλοποιημένη περίπτωση (η υποεργασία εκφρασμένη απ ευθείας ως επιθυμητή κίνηση στο χώρο των ρομποτικών αρθρώσεων Εάν p = q, δηλαδή J = I, τότε: J = I J J οπότε: + n + + n + + = = n J I J J I J J + + d d d από τη σχέση (3 η υποεργασία η υποεργασία p d * = d d+ H d οπότε η (4 π.χ. γράφεται τελικά: + d d + = J + n I J J d+ H d Τελικά δηλαδή παίρνουμε: q = J p + In J J p Αντί για στις σχέσεις (3 και (4, χρησιμοποιείται συχνά η σχέση: p p p p q p p p p (4 (4 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 6

55 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (5 Δεύτερη υπο-εργασία -η Περίπτωση : «Συνάρτηση κριτηρίου» c = V(q max (b Τ Έστω: k = k c ξ όπου: ξ = ξ, ξ,, ξ n ξ / j = V q j k c : θετική σταθερά ξ : διάνυσμα κλίσης της συνάρτησης κριτηρίου c=v(q Έχουμε: (gradient vector q [ V( q ] + d d kc + J In J J ( q = p + ξ (5 η υποεργασία + + p d n c = ξ J + ξ I J J ξ k ορθογώνια προβολή του k στο Ν(J Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ η υποεργασία c > c( q 7 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές Παραδείγματα:. Αποφυγή Εμποδίων (obstacle avoidance. Αποφυγή Ιδιόμορφων Διατάξεων (avoiding singularities Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 8

56 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Εμποδίων ( Redundant Robot Manipulators: Avoiding Obstacles y Διάταξη αναφοράς q r για την αποφυγή εμποδίου l q l 3 O Ε 3 p q 3 Επιθυμητή τροχιά - Υποεργασία : Εκτέλεση επιθυμητής τροχιάς p d (t : p (t= p f (t=t f - Υποεργασία : Αποφυγή εμποδίου p d (t = q r O l q εμπόδιο p f x Παράδειγμα: l =, l =, l 3 =.3 q =[,3, ] p =[x,y ] p f =[x,] q r =[45,-7, ] (t f = Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 9 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Εμποδίων ( - Υποεργασία η (p d : Εκτέλεση επιθυμητής τροχιάς p (t= p f (t=t f Ορθό Γεωμετρικό μοντέλο p x = l c + l c + l 3 c 3 p y = l s + l s + l 3 s 3 θ = q + q + q 3 όπου : c = cos(q c = cos(q + q c3 = cos(q + q + q 3 s = sin(q s = sin(q + q Ορθό διαφορικό κινηματικό μοντέλο: (l s +l s +l 3 s 3 (l s +l 3 s 3 l 3 s J 3 = (l c +l c +l 3 c 3 (l c +l 3 c 3 l 3 c 3 p x p y = J (q,q,q 3 s3 = sin(q + q + q 3 d ( t x p = y 3 tt y, t ( q q q 3 Έστω π.χ. επιθυμητή τροχιά (η υποεργασία: - Υποεργασία η: p = q και p d = q r (διάταξη αναφοράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ

57 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Εμποδίων (3 Παράδειγμα προσομοίωσης (3 β.ε. τοποθέτηση στο επίπεδο (εφαρμογή της παραπάνω σχέσης (4 + + qd = J p d + ( In J J H p d p (k c = (k c = Χωρίς τον έλεγχο πλεοναζόντων β.ε. (H = Με έλεγχο των πλεοναζόντων β.ε. (H =k c Ι Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών ( Redundant Robot Manipulators: Avoiding Singularities - Υποεργασία η (p d : Εκτέλεση επιθυμητής τροχιάς p (t= p f (t=t f (l s +l s +l 3 s 3 (l s +l 3 s 3 l 3 s J 3 = δηλ.: J (l c +l c +l 3 c 3 (l c +l 3 c 3 l = J 3 c 3 J - Υποεργασία η: Μεγιστοποίηση συνάρτησης κριτηρίου c = V(q c = V(q= det J : x3 ( JJ : δείκτης ικανότητας χειρισμού (manipulability (μέτρο «απόστασης» από ιδιόμορφες διατάξεις JJ : x και ( JJ det = στις ιδιόμορφες διατάξεις Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ

58 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών ( Επίλυση του προβλήματος αποφυγής ιδιόμορφων διατάξεων με έλεγχο των πλεοναζόντων β.ε. Εφαρμογή της παραπάνω σχέσης (5: όπου: Έχουμε: J J i j ij Jj+ J q i l q l inverse JJ ξl= V/ ql= det JJ / ql= α det( JJ ij, = + d d kc + J In J J q = p + ξ : θετική σταθερά, και ξ = ξ, ξ,, ξ k c n ξ = V / q όπου α ij : το (i,j στοιχείο του και J i : το i-διάνυσμα γραμμής του πίνακα J Τ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 3 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών (3 Απόδειξη της παραπάνω σχέσης για το ξ l Έστω: J = J και Β = JJ =[β ij ], οπότε: ij Ji J j β = Είναι: Δ =det(jj =det(b = β β - β β Δ β β β β = + και: β β β β q l ql ql ql ql ij l l j i l l j l i j j όπου: β J J J i J J J = + = i J + J q q q q q Παίρνουμε τελικά: ξ l= V/ ql= ( Δ / q Δ l= Δ q l όπου: α = β, α = β, α = β, α = β... J J i j αij J j Δ ij, = ql q l = + J i Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 4

59 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών (4 Παράδειγμα προσομοίωσης (3 β.ε. τοποθέτηση στο επίπεδο (εφαρμογή της παραπάνω σχέσης (5 + d d kc + = J + In J J q p ξ Χωρίς τον έλεγχο πλεοναζόντων β.ε. (k c = Με έλεγχο των πλεοναζόντων β.ε. (k c = Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 5 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές - Παραδείγματα Αποφυγή εμποδίων σε πραγματικό χρόνο με κινηματικό έλεγχο των πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας του ρομποτικού χειριστή Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 6

60 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Συμπεράσματα Πλεονάζοντες β.ε. εισάγουν τη δυνατότητα «απειρίας εφικτών κινήσεων» στις αρθρώσεις για δοσμένη επιθυμητή κίνηση στο τελικό στοιχείο δράσης (μηδενικός χώρος ρομποτικών αρθρώσεων Πλεονάζοντες βαθμοί ελευθερίας «Απειρία» λύσεων για το ανάστροφο κινηματικό πρόβλημα Βελτιστοποίηση Κινηματικός έλεγχος πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας Μεθοδολογία διάσπασης ρομποτικής εργασίας: Διάσπαση σύνθετων ρομποτικών εργασιών σε υπο-εργασίες με σειρά προτεραιότητας (task-decomposition Περιγραφή ρομποτικών υποεργασιών με βάση: επιθυμητή τροχιά ή γενικότερα επιθυμητή «συμπεριφορά» (π.χ. μηχανική αντίσταση του ρομπότ στο χώρο εργασίας (task space κριτήρια στο χώρο διάταξης των αρθρώσεων (configuration space βελτιστοποίηση Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 7

61 Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Ρομποτική Ικανότητα Χειρισμού / Δείκτες Ρομποτικής Δεξιότητας (Robotic manipulability Dexterity measures Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Ρομποτική ικανότητα χειρισμού (manipulability - Εισαγωγή Έστω ρομποτικός χειριστής με n β.ε. p = f p ( q ( v = p = J p ( q q ( Ρομποτική ικανότητα χειρισμού (robotic manipulability «Ελλειψοειδές ικανότητας χειρισμού» (ellipsoid in the m-dimensional Euclidean space (3 Το σύνολο: M = { v= p: q } Δηλαδή, το σύνολο των δυνατών ταχυτήτων v του τελικού στοιχείου δράσης που μπορούν να επιτευχθούν από ταχύτητες στις αρθρώσεις: q + + { v: v ( J J v } Αποδεικνύεται ότι: M = (4 όπου: v R( J και: J + (range space of J, δηλαδή το σύνολο των δυνατών ταχυτήτων στο χώρο δράσης (ψευδοαντίστροφη της J Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ.

62 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Σχηματική Παράσταση q n σ u πρωτεύοντες άξονες του ελλειψοειδούς ικανότητας χειρισμού q v = J q σ u θα καθοριστούν στη συνέχεια... q «Ελλειψοειδές Ρομποτικής Ικανότητας Χειρισμού» Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 3 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Απόδειξη Απόδειξη της σχέσης (4 + + q= J v+ ( I J J k (3 = = ( J J + ( I J J ( I J J ( I J J J + Αλλά: ( + Ισχύει: q q q v v k k I J J J = k v (α Άρα, (α = ( J J + ( I J J ( I J J + + v ( J J v Δηλαδή, παίρνουμε τελικά: + + q v ( J J v q v v k k Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 4

63 Ψευδο-αντίστροφες Μήτρες Ορισμός (Moore-Penrose pseudoinverse Για κάθε μήτρα Α (m x n υπάρχει μια μοναδική n x m μήτρα Α + για την οποία: + A A A= A A A A = A ( A A ( + + = A A + A A + = A A Η n x m μήτρα Α + ονομάζεται ψευδοαντίστροφη της Α Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 5 Ψευδο-αντίστροφες (συνέχεια Ιδιότητες (ψευδοαντίστροφης Α +, της (m x n μήτρας Α : (i (ii + + ( A =A ( A = ( A και ( AA = ( A A + ( + A = A AA και AA =Ι x + ( + A = A A A και A A =Ιnxn (iii Εαν rank(a=m, (iv Εαν rank(a=n, m m Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 6

64 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Διάσπαση Ιδιοτιμής ( Διάσπαση Ιδιοτιμής (singular value decomposition Μήτρα J (m x n J = U Σ V (έστω m < n Matlab function svd: [U,S,V] = svd(j; U: m x m και V: n x n ορθοκανονικές μήτρες σ Σ: m x n μήτρα Σ = mx( n m σ : ιδιόμορφες τιμές (singular values σ m ( σ σ σ m Ισχύει: σ i = λi, i =,,, n όπου λ i (i=,,m οι m μεγαλύτερες ιδιοτιμές της μήτρας J J Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 7 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Διάσπαση Ιδιοτιμής ( [ u u um ] H ορθοκανονική μήτρα U = ορίζει ένα πλαίσιο αναφοράς του οποίου οι πρωτεύοντες άξονες καθορίζονται από τα μοναδιαία διανύσματα u,, u m Μπορούμε να αποδείξουμε ότι τα σ i u i (i=,,m καθορίζουν τους πρωτεύοντες άξονες του ελλειψοειδούς ικανότητας χειρισμού Ελλειψοειδές ικανότητας χειρισμού (σχέση (4 : Είναι: J + = V Σ + U Σ + ( J + + q v J v όπου: σ = σ m ( n mxm Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 8

65 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Διάσπαση Ιδιοτιμής (3 Διάσπαση ιδιοτιμής της μήτρας J καθορισμός πρωτευόντων αξόνων του ελλειψοειδούς ικανότητας χειρισμού + Έχουμε: J + v= V Σ U v v =u v v u v Έστω: v= U v= u v = col[ v i =u i v ] u v =u v um v (δηλαδή: v το διάνυσμα συντεταγμένων του v στο πλαίσιο που ορίζει η U ( ( ( ( v =v U = U v αφου v = U v U ( Έχουμε επομένως: + + v ( J J v = v U( Σ V VΣ U v = v [( Σ ( Σ ] v m i i= σ v i πρωτεύοντες άξονες του ελλειψοειδούς: { σ u, σ u,, σ u } m m Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 9 u Μέτρα (δείκτες Ρομποτικής Ικανότητας Χειρισμού / Μέτρα Δεξιότητας Μέτρο ικανότητας χειρισμού: w = σ σ σ m : ανάλογο του όγκου του ελλειψοειδούς Το μέτρο ικανότητας χειρισμού w έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: ( q q (i w = det J( J ( ( J q (ii Όταν m=n, w = det ( (iii Γενικά w, και w= όταν rank(j<m (singular configurations Δηλαδή, w= όταν ο ρομποτικής χειριστής βρίσκεται σε ιδιόμορφες διατάξεις, και το w αποτελεί ένα μέτρο της «απόστασης» από τις ιδιόμορφες διατάξεις Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ.

66 Ελλειψοειδές Δύναμης Ρομποτικού Χειρισμού Έστω ρομποτικός χειριστής με n β.ε.: v = p = J( q q (J: Ιακωβιανή μήτρα m x n τ = J ( q F (στατικό μοντέλο ρομποτικού χειριστή Ρομποτική ικανότητα άσκησης δύναμης χειρισμού Το σύνολο: M { F : τ } F = «Ελλειψοειδές δύναμης χειρισμού» (ellipsoid in the m-dimensional Euclidean space (3 Δηλαδή, το σύνολο των δυνάμεων F που μπορεί να ασκήσει το τελικό στοιχείο δράσης, μέσω ροπών τ στις αρθρώσεις, για τις οποίες: τ Ελλειψοειδές δύναμης χειρισμού: F J( q J ( q F Πρωτεύοντες άξονες ελλειψοειδούς δύναμης χειρισμού: u /σ, u /σ,..., u m /σ m Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Βέλτιστοι ρομποτικοί σχηματισμοί με βάση τα μέτρα ικανότητας χειρισμού Βέλτιστες διατάξεις ρομποτικών χειριστών (με βάση το μέτρο w (optimal configurations Α. Ρομπότ συνδέσμων y l q ls ls ls J = lc lc lc + l q x Μέτρο ικανότητας χειρισμού: w= = det ( J ll s w =, όταν q =,±π w =max, όταν q = ± π/ Επιπλέον, εαν l +l =σταθ. τότε w =max, όταν l =l Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ.

67 Ελλειψοειδές ικανότητας χειρισμού: Παράδειγμα ρομπότ συνδέσμων Παράδειγμα Α. Ρομπότ συνδέσμων (συνέχεια 5 5 w (index μέτρο ικανότητας χειρισμού y (cm -5 - ελλειψοειδή ικανότητας χειρισμού x (cm Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 3 Άλλοι Δείκτες Ρομποτικής Ικανότητας Χειρισμού / Μέτρα Δεξιότητας. Μέτρο ικανότητας χειρισμού: w = σ σ σ m : ανάλογο του όγκου του ελλειψοειδούς. Μέτρο τοπικής δεξιότητας (local dexterity measure: w = σ m /σ : singularity, : isotropy (ελλειψοειδές σφαίρα 3. Δείκτης w 3 = σ m (ελλάχιστη ακτίνα ελλειψοειδούς 4. Δείκτης w 4 = (σ σ σ m /m γεωμετρικός μέσος των ακτινών σ, σ,, σ m του ελλειψοειδούς (ακτίνα σφαίρας που έχει τον ίδιο όγκο με το ελλειψοειδές ικανότητας χειρισμού Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 4

68 Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: , (Κτήριο Ηλεκτρ., Γραφείο.36 Web: Περιεχόμενα Μαθήματος ΕΝΟΤΗΤΑ-: Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Έλεγχος Ρομπότ με πλεονάζοντες β.ε. (redundant robots Έλεγχος «Αλληλεπίδρασης» με το περιβάλλον Έλεγχος Δύναμης / Μηχανικής Αντίστασης Έλεγχος Οπτικής Οδήγησης Μοντελοποίηση και έλεγχος επιδέξιας «ρομποτικής λαβής» (Συνεργαζόμενα ρομπότ, Ρομποτικά χέρια ΕΝΟΤΗΤΑ-: Κινούμενα Ρομπότ Αρχιτεκτονικές Ελέγχου Κινούμενων Ρομπότ Σχεδιασμός δρόμου Αποφυγή εμποδίων Σύνθεση αισθητηρίων πληροφοριών Σύνθετοι ρομποτικοί χειριστές - Εφαρμογές

69 Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος 6-7, 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Έλεγχος «Αλληλεπίδρασης» με το Περιβάλλον Έλεγχος Δύναμης Μηχανικής Εμπέδησης Έλεγχος Οπτικής Οδήγησης 3 Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος 6-7, 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Ρομποτικός Έλεγχος Δύναμης / Μηχανικής Αντίστασης (Force / Impedance Robot Manipulation Control 4

70 Ρομποτικός Έλεγχος Δύναμης - Εισαγωγή Έλεγχος μηχανικής αντίστασης (impedance control Passive impedance Remote center of compliance (RCC (εργαλεία παθητικής «συμμόρφωσης» Active Impedance Active stiffness control (έλεγχος «ενεργούς μηχανικής αντίστασης» Έλεγχος δύναμης (force control Υβριδικός έλεγχος θέσης/δύναμης (hybrid force/impedance control Παραδείγματα - Προσομοίωση 5 Μέθοδος Παθητικής Συμμόρφωσης (passive compliance Μηχανικά εργαλεία παθητικής συμμόρφωσης Remote Center of Compliance (RCC Αρχή λειτουργίας RCC (α συμμόρφωση σε οριζόντια δύναμη (β συμμόρφωση σε ροπή 6

71 Μέθοδος Παθητικής Συμμόρφωσης (συνέχεια ( Βασική Σχέση: f = Κ ε f = [f x, f y, f z, N x, N y, N z,] : εξωτερική δύναμη/ροπή ε = [ε x, ε y, ε z, α x, α y, α z,] : μηχανική παραμόρφωση (strain RCC 3 διαστάσεων K = Κ soft Κ soft Κhard Κ soft Κ soft Κ soft K : μήτρα μηχανικής σκληρότητας (stiffness matrix 7 Μέθοδος Παθητικής Συμμόρφωσης (συνέχεια ( Μηχανικά εργαλεία παθητικής συμμόρφωσης Remote Center of Compliance (RCC 8

72 Μέθοδος Παθητικής Συμμόρφωσης (συνέχεια (3 Εργαλεία παθητικής συμμόρφωσης σε ρομποτικές εργασίες συναρμολόγησης (peg-in-hole tasks 9 Ρομποτικοί Αισθητήρες Δύναμης (force sensors Αισθητήρας δύναμης: Κατάλληλη μηχατρονική διάταξη αισθητήρων ελαστικής (μηχανικής παραμόρφωσης (strain gauges strain/deformation transducers

73 Αισθητήρες ελαστικής παραμόρφωσης (strain gauge transducers Έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης (active-impedance control Απλό παράδειγμα β.ε. Δυναμικό μοντέλο συστήματος: mx + bx + kx= f + F a a a u m a, b a, k a : δυναμικές παράμετροι συστήματος f u : ελεγκτής F : εξωτερική δύναμη Επιθυμητή μηχανική αντίσταση (desired impedance: md x bd x kd x xd F Fd ή πληρέστερα: m x x + b x x + k x x = F F + + ( = ( ( ( d d d d d d d m d, b d, k d : επιθυμητές δυναμικές παράμετροι «κλειστού βρόχου» συστήματος (μοντέλο αναφοράς k d b d -F d m d F F : δύναμη ασκούμενη από το εξωτερικό περιβάλλον πάνω στο σύστημα F d : επιθυμητή δύναμη η οποία θέλουμε τελικά x x να ασκείται από το εξωτερικό περιβάλλον d πάνω στο σύστημα

74 Έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης: Απλό παράδειγμα β.ε. mx + bx + kx= f + F a a a u ( ( ( m x x + b x x + k x x = F F d d d d d d d d d ( ω = m, ζ = d mk d d Ελεγκτής ενεργούς μηχανικής αντίστασης: f = mu+ bx + kx F u a a a ( (3 k : ιδιοσυχνότητα u= x b ( : συντελεστής απόσβεσης : εξίσωση κλειστού βρόχου : Δυναμικό μοντέλο συστήματος : Επιθυμητή μηχανική αντίσταση (desired impedance (επιθυμητή συμπεριφορά κλειστού βρόχου ( ( ( u= xd + md bd x d x + kd xd x Fd F (3 Για να επιτύχουμε την επιθυμητή συμπεριφορά (, έχουμε για το u: ( (όπου u σήμα ελέγχου (4 3 Έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης: Απλό παράδειγμα β.ε. (συνέχεια ( Ο νόμος ελέγχου μηχανικής αντίστασης (3 και (4, γράφεται ουσιαστικά ως: m m m f = mx + b x x + k x x F F ( ( ( a a a u a d d d d d d md md md e x ex + bx a + kx a F ή άλλως: K V K P K F ( ( ( ( f = mx + bx+ kx + K x x + K x x + K F u a d a a V d P d F με K m a F =, KV = KFbd και KP = KFkd md Παρατήρηση: Το κέρδος ανάδρασης δύναμης K F επιτρέπει τη μεταβολή των «αδρανειακών» χαρακτηριστικών του συστήματος (στο κλειστό βρόχο ef (όταν F d = 4

75 Έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης: Απλό παράδειγμα β.ε. (συνέχεια ( k d b d m d F k c b c E Επαφή με εξωτερικό περιβάλλον E k c : σκληρότητα b c : απόσβεση x c : θέσης ισορροπίας x c x Δυναμική εξίσωση εξωτερικού περιβάλλοντος : b x x + k x x = F (5 ( ( c c c c Δυναμική εξίσωση ( κλειστού βρόχου συστήματος {M, b, k, f u } (μηχανική αντίσταση συστήματος που επιτυγχάνεται με τον ελεγκτή f u : ( ( ( m x x + b x x + k x x = F F d d d d d d d 5 Έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης: Απλό παράδειγμα β.ε. (συνέχεια (3 Δυναμική συμπεριφορά τελικού κλειστού συστήματος {M, b, k, f u } σε επαφή με το εξωτερικό περιβάλλον Ε (k c, b c, x c : ( (5 ( ( ( ( mx + b + b x + k + k x= mx + bx + bx d d c d c d d d d c c k + kx d d + kx c c F d+ kc bd+ bc d ω = m, ζ = d md ( kd+ kc : ιδιοσυχνότητα : συντελεστής απόσβεσης Δύναμη πάνω στο σύστημα από το εξωτερικό περιβάλλον εργασίας, = = στην τελική (μόνιμη κατάσταση (t : Fef F( t kc ( xc xf όπου x f : τελική θέση συστήματος x ( f x kdxd kcxc ( t + = = F Άρα: ef ( kk d c kc F = F t = x x + F ( ( c d kd+ kc ( kd+ kc ( kd+ kc ( kd+ kc d d 6

76 Έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης ρομποτικού χειριστή - Γενικά Γενική Περίπτωση (ρομποτικός χειριστής (a Σύστημα ελέγχου (ροπές τ i με ανάδραση δύναμης F (και θέσης y (b Μηχανική αντίσταση που θέλουμε να επιτύχουμε μέσω του ρομποτικού ελεγκτή ενεργούς μηχανικής αντίστασης 7 Δυναμική ρομποτικού χειριστή ( Δυναμικό μοντέλο ρομποτικού χειριστή (υπενθύμιση: M( q q + h( q, q = τ + J F (στο χώρο των γενικευμένων μεταβλητών q i των αρθρώσεων όπου Μ: μήτρα αδρανείας ρομπότ (συχνά συμβολίζεται και ως D(q h: όροι Coriolis και φυγοκέντρου δυνάμεως τ: ροπές (γενικευμένες μεταβλητές δράσης στις αρθρώσεις F e : εξωτερική δύναμη που ασκείται από το εξωτερικό περιβάλλον και J : Ιακωβιανή μήτρα του ρομπότ e (Δ Μοντέλο Lagrange : Μοντέλο Newton-Euler : τ = i d dt + i i i K K P q q q fi = mv i ci Ni = I ciωi+ ωi ( Iciωi K: κινητική ενέργεια P: δυναμική ενέργεια 8

77 Δυναμική ρομποτικού χειριστή ( Δυναμικό μοντέλο ρομποτικού χειριστή στο χώρο εργασίας (task-space: * * M p+ h = F + F (Δ-α όπου M * : μήτρα αδρανείας ρομπότ στο χώρο εργασίας, h * : όροι Coriolis και φυγοκέντρου δυνάμεως στο χώρο εργασίας, F a : (τ=j F a γενικευμένη δύναμη στο χώρο εργασίας οφειλόμενη στη δράση των κινητήριων στοιχείων του ρομπότ, F e : εξωτερική δύναμη που ασκείται από το εξωτερικό περιβάλλον. Έχουμε: p = J q p= J q+ J q και (Δ: M q + h= J Fa + J Fe q + M h= M J Fa + Fe Jq + JM h= JM J F + F Επομένως τελικά: και a με ( * * ( M J M M J = = * h = h q * M Q Q J M J e ( a e ( (Δ-β 9 Δυναμικός έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης ρομποτικού χειριστή ( Επιθυμητή μηχανική αντίσταση (desired impedance ρομποτικού χειριστή στο χώρο εργασίας (επιθυμητή δυναμική συμπεριφορά κλειστού βρόχου ( ( ( M p p + B p p + K p p = F F d d d d d d d e Δυναμική εξίσωση ρομποτικού χειριστή στο χώρο εργασίας (Δ-α: * * M p+ h = F + F a e Δυναμικός ελεγκτής ενεργούς μηχανικής αντίστασης: (βασισμένος στη μεθοδολογία ελέγχου υπολογισμένης ροπής (computed-torque control τ = J Fa (Ε ( u= p : εξίσωση κλειστού βρόχου * * Fa = M u+ h Fe με το σήμα ελέγχου u να δίνεται από τη σχέση (ώστε στο κλειστό βρόχο να έχουμε την (Ε u= pd + Md Bd ( p d p + Kd ( pd p ( Fd Fe (Ε3 σφάλμα ταχύτητας σφάλμα θέσης σφάλμα δύναμης (Ε

78 Δυναμικός έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης ρομποτικού χειριστή ( p d p d p d F d e p + x - + e x p - + x - K d e F B d ανάδραση δύναμης ανάδραση ταχύτητας ανάδραση θέσης Δυναμικός Ελεγκτής (Ε,(E3 τ Ρομποτικός Χειριστής (Δ ανάδραση δύναμης ανάδραση ταχύτητας ανάδραση θέσης p p F e Σχηματικό διάγραμμα (block-diagram δυναμικού ρομποτικού ελεγκτή ενεργούς μηχανικής αντίστασης (υπολογισμένης ροπής Δυναμικός έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης ρομποτικού χειριστή (3 Ρομποτικό Μοντέλο: M *,h * p d p d p d F d e p + x - + e x p - + x - K d e F B d ανάδραση δύναμης ανάδραση ταχύτητας J( q (task-space ανάδραση θέσης * h( q, q * M( q + + * + - MM Γ(q Ρομποτικός Χειριστής (Δ ανάδραση δύναμης ανάδραση ταχύτητας (joint space ανάδραση θέσης Σχηματικό διάγραμμα (block-diagram δυναμικού ρομποτικού ελεγκτή ενεργούς μηχανικής αντίστασης (υπολογισμένης ροπής d τ q q F e

79 Απλοποιημένος έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης ρομποτικού χειριστή Θεωρούμε: M * =I και h * = οπότε ο ελεγκτής (Ε-(Ε3 μπορεί να γραφεί: τ ( J p B e K e K e F = d + d p + d p Fd F e όπου: e = p p και e = F F p d F d e (Ε4 Εαν επιπλέον F d = και K Fd = I, καθώς και Β d =, pd =, τότε η (Ε4 γράφεται: (Ε5 τ K qd J K e J K J e = d p = d q όπου: και ονομάζεται active-stiffness control, όπου: eq = qd q K d : μήτρα «σκληρότητας» (stiffness matrix ορισμένη στο χώρο εργασίας K qd = J K d J : ισοδύναμη μήτρα «σκληρότητας» στο χώρο αρθρώσεων 3 Έλεγχος δύναμης για ρομποτικό χειριστή (Force control - Εισαγωγή ενεργός μηχανική αντίσταση ρομπότ K d M d B d Fe p Δύναμη πάνω στο ρομποτικό χειριστή από το εξωτερικό περιβάλλον εργασίας, στην τελική (μόνιμη κατάσταση (t : ( t K ( F = F = p p ef e e e f όπου p f : τελική θέση (στη μόνιμη κατάσταση του στοιχείου δράσης του ρομπότ p = p t = K + K K p + K p F Άρα: p e εξωτερικό περιβάλλον p d K e B e ( [ ] ( f d e d d e e d ( t K ( K K K ( Fef = Fe = e d + e d pe pd + Fd Βασική αρχή: Στον έλεγχο δύναμης θέτουμε: K d = F ef = F e (t = F d (δηλαδή δε λαμβάνουμε υπ όψη στον έλεγχο το σφάλμα θέσης E σφάλμα θέσης επιθυμητή δύναμη 4

80 Έλεγχος δύναμης ρομποτικού χειριστή Ρομποτικός έλεγχος δύναμης βασισμένος στο μοντέλο (υπολογισμένης ροπής: (computed torque ( u= p : εξίσωση κλειστού βρόχου τ = J F F u h F a * * a = M + e (F με το σήμα ελέγχου u να δίνεται από τη σχέση (ώστε στο κλειστό βρόχο να έχουμε την (Ε ( ( u= M B p F F = K p K F F d d d e Bd Fd d e ανάδραση ταχύτητας ανάδραση δύναμης (F Σε σύγκριση με το δυναμικό ελεγκτή ενεργούς μηχανικής αντίστασης (impedance control, στον έλεγχο δύναμης (force control θέτουμε K d =, δηλαδή: «Σκληρότητα» του συστήματος ελέγχου του ρομποτικού χειριστή = μηδέν (μηδενική φαινόμενη «σκληρότητα» -apparent stiffness- στο χώρο εργασίας Με άλλα λόγια δεν έχουμε ανάδραση σφάλματος θέσης παρά μόνο ανάδραση σφάλματος δύναμης (και ταχύτητας για ευστάθεια, οπότε τελικά: F ef = F e (t F d (επιθυμητή δύναμη 5 Υβριδικός έλεγχος δύναμης/τροχιάς ρομποτικού χειριστή (hybrid control Βασική Αρχή έλεγχος δύναμης έλεγχος θέσης Διαφορετικός τύπος ελέγχου σε διαφορετικές κατευθύνσεις στο χώρο εργασίας: Έλεγχος θέσης / δύναμης / ενεργούς μηχανικής-αντίστασης /... κλπ. ανάλογα με την υπο-εργασία 6

81 Υβριδικός έλεγχος δύναμης/τροχιάς ρομποτικού χειριστή (συνέχεια ( Παραδείγματα μηχανικών εργασιών που απαιτούν την εφαρμογή υβριδικού ελέγχου δύναμης/θέσης (σε διαφορετικούς άξονες στο χώρο του τελικού στοιχείου δράσης 7 Υβριδικός έλεγχος δύναμης/τροχιάς ρομποτικού χειριστή (συνέχεια ( Βασικό σχήμα υβριδικού ελέγχου δύναμης/τροχιάς ( Επιθυμητή Τροχιά + Εντολή κατεύθυνσης ελέγχου {s i } (i=,..,n Επιθυμητή Δύναμη Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων [S] [I] [S] c R c R Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων c R c R Έλεγχος Τροχιάς + + Έλεγχος Δύναμης Αισθητήρες Θέσης Ρομποτικός Χειριστής Αισθητήρας Δύναμης Θέση Δύναμη S=diag[s i ] s i = έλεγχος τροχιάς s i = έλεγχος δύναμης 8

82 Υβριδικός έλεγχος δύναμης/τροχιάς ρομποτικού χειριστή (συνέχεια (3 Βασικό σχήμα υβριδικού ελέγχου δύναμης/τροχιάς ( Επιθυμητή Τροχιά + Εντολή κατεύθυνσης ελέγχου {s i } (i=,..,n Επιθυμητή Δύναμη Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Έλεγχος Τροχιάς Έλεγχος Δύναμης ( c u p ( c u F Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων c R [S] [I] [S] c R Αισθητήρες Θέσης c R ανάστροφη δυναμική + u τ D (.+h Ρομπότ + c R Αισθητήρας Δύναμης Θέση Δύναμη S=diag[s i ] s i = έλεγχος τροχιάς s i = έλεγχος δύναμης 9 Ρομποτικός έλεγχος μηχανικής αντίστασης Παράδειγμα R-R D ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y O l l c m,i y O q m,i l c q x y Ε O Ε x όπου: vc= d ( p dt c και: p lc lc c c = + ls+ l s c x Ε θ Δυναμικό μοντέλο Lagrange : τ = i d dt + i i i K K P q q q K = ml q Iq c + = ˆ c ( s sin( q P mgl s = K = mvv I q + q + c c P = mgls ˆ + l s s q q c ( = sin ( + lsq l s q + q v c = lcq l c q q c + c + K: κινητική ενέργεια P: δυναμική ενέργεια ος σύνδεσμος ος σύνδεσμος 3

83 Ρομποτικός έλεγχος μηχανικής αντίστασης Παράδειγμα R-R D ( Άρα: d dt c c lsq lcs q q lcq lcc q q = lsq l s q q ll ssqq q c c + c + + c + + lcq + lcc q q + + ll ccc q q q = lq c c + l q q ll cq q q c + + c + vv vv vv = K ml q Iq I q q m l q l q q ll c q q q = c c c K ml q Iq I q q c q + m lq l c q q ll cc q+ q ll cs q + q q = P q q = mgl ˆ s+ mgˆ ls+ l s = mgl ˆ c+ mgˆ lc+ l c... c c c c 3 Ρομποτικός έλεγχος μηχανικής αντίστασης Παράδειγμα R-R D (3 Τελικά: Ρομποτικό Δυναμικό Μοντέλο D Χειριστή β.ε. = I + ml + I + m l + l + ll c q+ I + m l + ll c q τ c c c c c mll s qq q mgl c + + ˆ c+ mg c ˆ lc+ l c c τ I ml c llc c q I ml cq mllsq c mglc ˆ c = τ = M q + M q + h q h qq g + + τ = M q + M q h q g + + όπου: M = I+ ml c+ I + m ( l + lc + ll cc M = I + ml c M = M = I + m ( lc + ll cc h = h = h = mll cs g= mgl ˆ cc+ mg ˆ( lc + lcc g= mgl ˆ cc Δηλαδή: 3

84 Ρομποτικός έλεγχος μηχανικής αντίστασης Παράδειγμα R-R D (4 Είναι: Θέτουμε: M= M M = h = h q + h qq + g Ρομποτικός Ελεγκτής Ενεργούς Μηχανικής Αντίστασης (υπολογισμένης ροπής με F = Mu+ Mu+ h F ax h M M h h q g + με ( * * ( M J M M J * M = Q Q= J M J * h = h q τ = J F ax + J F ay και ax όπου, θέτοντας: με: * * * τ = J F + J F ex και ay ay (J: Ιακωβιανή μήτρα F = Mu+ Mu+ h F B d = Md Bd, K d = Md Kd και Μ d = M d e = p p και e = F F έχουμε: p d F d e * * * [ ] [ ] u = p + B e + B e + K e + K e M e M e dx d, xx px d, xy py d, xx px d, xy py d, xx Fx d, xy Fy u = p + B e + B e + K e + K e M e M e dy d, yx px d, yy py d, yx px d, yy py d, yx Fx d, yy Fy ey 33 Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Ρομποτικός Έλεγχος Δύναμης / Μηχανικής Αντίστασης (Παράδειγμα Εφαρμογής 34

85 Δυναμικός έλεγχος ενεργούς μηχανικής αντίστασης ρομποτικού χειριστή Επιθυμητή μηχανική αντίσταση (desired impedance ρομποτικού χειριστή στο χώρο εργασίας (επιθυμητή δυναμική συμπεριφορά κλειστού βρόχου ( ( ( M p p + B p p + K p p = F F d d d d d d d e Δυναμική εξίσωση ρομποτικού χειριστή στο χώρο εργασίας (Δ-α: * * M p+ h = F + F a Δυναμικός ελεγκτής ενεργούς μηχανικής αντίστασης: e (βασισμένος στη μεθοδολογία ελέγχου υπολογισμένης ροπής (computed-torque control τ = J Fa (Ε ( u= p : εξίσωση κλειστού βρόχου * * Fa = M u+ h Fe με το σήμα ελέγχου u να δίνεται από τη σχέση (ώστε στο κλειστό βρόχο να έχουμε την (Ε ( ( ( u= p + M B p p + K p p F F d d d d d d d e σφάλμα ταχύτητας σφάλμα θέσης σφάλμα δύναμης (Ε (Ε3 35 Έλεγχος δύναμης ρομποτικού χειριστή Ρομποτικός έλεγχος δύναμης βασισμένος στο μοντέλο: τ = J F F u h F a * * a = M + e (F ( u= p : εξίσωση κλειστού βρόχου με το σήμα ελέγχου u να δίνεται από τη σχέση (ώστε στο κλειστό βρόχο να έχουμε την (Ε ( ( u= M B p F F = K p K F F d d d e Bd Fd d e ανάδραση ταχύτητας ανάδραση δύναμης (F Σε σύγκριση με το δυναμικό ελεγκτή ενεργούς μηχανικής αντίστασης (impedance control, στον έλεγχο δύναμης (force control θέτουμε K d =, δηλαδή: «Σκληρότητα» του συστήματος ελέγχου του ρομποτικού χειριστή = μηδέν (μηδενική φαινόμενη «σκληρότητα» -apparent stiffness- στο χώρο εργασίας Με άλλα λόγια δεν έχουμε ανάδραση σφάλματος θέσης παρά μόνο ανάδραση σφάλματος δύναμης (και ταχύτητας για ευστάθεια, οπότε τελικά: F ef = F e (t F d (επιθυμητή δύναμη 36

86 Έλεγχος δύναμης ρομποτικού χειριστή Παράδειγμα R-R D ( βαθμοί ελευθ. D, επίπεδο y O l l c m,i y O q m,i l c q x y Ε O Ε x x Ε θ Ρομποτικό δυναμικό μοντέλο: τ = M q + M q + h q + h qq + g τ = M q + M q + h q + g όπου: M I ml I m l l ll c M I ml M = M = I + m ( lc + ll cc h = h = h = mll cs g= mgl ˆ cc+ mg ˆ( lc + lcc g = mgl ˆ c ( = + c+ + + c + c = + c c 37 Έλεγχος δύναμης ρομποτικού χειριστή - Παράδειγμα R-R D ( Ρομποτικό Δυναμικό Μοντέλο ρομπότ β.ε. (στο χώρο αρθρώσεων με: τ = M( q q + h( q, q J F M= M M = h = h q + h qq + g h M M h h q g + e Ρομποτικό Δυναμικό Μοντέλο ρομπότ β.ε. στο χώρο δράσης (task-space τ = J όπου: F a και: F p h F * * a = M + με ( * * ( M J M M J * M = Q Q= J M J * h = h q e (J: Ιακωβιανή μήτρα 38

87 Ρομποτικός έλεγχος συμμόρφωσης - Παράδειγμα R-R dof - Αποτελέσματα ( y (cm Fex,Fey (grf 3 x x (cm time t (sec Ελεγκτής τροχιάς υπολογισμένης ροπής (στο χώρο των αρθρώσεων (joint-space trajectory computed-torque controller τ = M( q u+ h( q, q u= qd + Bd ( q d q + Kd ( qd q σφάλμα ταχύτητας σφάλμα θέσης 39 Ρομποτικός έλεγχος συμμόρφωσης - Παράδειγμα R-R dof - Αποτελέσματα ( y (cm Fex,Fey (grf x (cm time t (sec Ελεγκτής ενεργούς μηχανικής αντίστασης (στο χώρο δράσης (task-space active impedance controller * * τ = J Fa Fa = M u+ h Fe u= pd + Md Bd ( p d p + Kd ( pd p ( Fd Fe σφάλμα ταχύτητας σφάλμα θέσης σφάλμα δύναμης 4

88 Ρομποτικός έλεγχος συμμόρφωσης - Παράδειγμα R-R dof - Αποτελέσματα (3 y (cm O y x O c Fey (task-space (grf x c y c 5 5 x (cm.5.5 time t (sec Υβριδικός έλεγχος δύναμης / μηχανικής αντίστασης (στο χώρο εργασίας (task-space hybrid force/impedance robot manipulation control Έστω R O -xyz, το γενικό πλαίσιο του χώρου εργασίας, και R c -x c y c z c το τοπικό πλαίσιο αναφοράς στο σημείο επαφής O R c η μήτρα στροφής του τοπικού πλαισίου αναφοράς R c ως προς το R Ο 4 τ = J Υβριδικός ρομποτικός έλεγχος δύναμης / τροχιάς - Παράδειγμα Υβριδικός ρομποτικός έλεγχος δύναμης / τροχιάς, βασισμένος στη δομή του δυναμικού ελέγχου ενεργούς μηχανικής αντίστασης F a F u h F * * a = M + ( c ( c ( c ( c ( c ( c ( c ( c ( c = d + Md Bd p + Kd p d e e O ( c O ( R c u ( F c e = R c Fe ( u= u p e e F F ( c O O ( c O O όπου ep = Rc ep = Rc ( pd p και ep = Rc ep = Rc ( pd p ( c ( c Για το K d μπορούμε να θέσουμε: Kd = S Kd όπου η μήτρα K d επιλέγεται κανονικά για έλεγχο μηχανικής αντίστασης, ενώ η μήτρα S (selection matrix είναι στο συγκεκριμένο παράδειγμα S=diag[s x,s y ] με s x (,s y =, για έλεγχο δύναμης στον άξονα x c (y c, για έλεγχο τροχιάς στον άξονα x c (y c ( ή γενικά s x (,s y στο διάστημα [,] 4

89 Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Ρομποτικός Έλεγχος Οπτικής Οδήγησης (Robot Visual Servoing 43 Διατάξεις Οπτικού Συστήματος Camera Placement Configurations R e t R e R c e R c R c t R t eye-in-hand ( hand-eye διάταξη Κάμερα προασαρτημένη στο τελικό εργαλείο δράσης του ρομπότ fixed camera ( static-eye διάταξη Κάμερα σταθερά τοποθετημένη στο περιβάλλον εργασίας Πλαίσια Αναφοράς (: βάση ρομπότ, (e: end-effector, (c: camera, (t: target/task (αντικείμενο/εργασία 44

90 Αρχιτεκτονικές Ελέγχου Οπτικής Οδήγησης. Οπτική οδήγηση Έλεγχος θέσης/τροχιάς ρομπότ a. Ιεραρχικός έλεγχος (look-and-move (οπτικό σύστημα παρέχει σήματα αναφοράς σε ρομποτικό ελεγκτή αρθρώσεων b. Απ ευθείας έλεγχος αρθρώσεων (direct visual servo. Πλαίσιο αναφοράς για σφάλμα ελέγχου a. Έλεγχος βασισμένος στη θέση (position-based: σφάλμα ορισμένο σε κάποιο Καρτεσιανό πλαίσιο αναφοράς b. Έλεγχος βασισμένος στην εικόνα (image-based: σφάλμα ορισμένο στο χώρο των οπτικών χαρακτηριστικών (feature space 45 Αρχιτεκτονικές Ελέγχου (συνέχεια (/4 (c p d + - Καρτεσιανός Νόμος Ελέγχου Cartesian-space control law q d Ελεγκτές αρθρώσεων (joint controllers Ενισχυτές (power amplifiers Ανάδραση q αισθητήρες αρθρώσεων (c pˆ Εκτίμηση Θέσης (pose estimation f Εξαγωγή Οπτικών Χαρακτηριστικών (feature extraction Εικόνα (video Position-based / look-and-move Aρχιτεκτονική Βασισμένου στη Θέση / Ιεραρχικού Ελέγχου 46

91 Αρχιτεκτονικές Ελέγχου (συνέχεια (/4 f d + - Νόμος Ελέγχου Οπτικών Χαρακτηριστικών Feature-space control law q d Ελεγκτές αρθρώσεων (joint controllers Ενισχυτές (power amplifiers Ανάδραση q αισθητήρες αρθρώσεων f Εξαγωγή Οπτικών Χαρακτηριστικών (feature extraction Εικόνα (video Image-based / look-and-move Aρχιτεκτονική Βασισμένου στην Εικόνα / Ιεραρχικού Ελέγχου 47 Αρχιτεκτονικές Ελέγχου (συνέχεια (3/4 (c p d + - Καρτεσιανός Νόμος Ελέγχου Cartesian-space control law τ Ελεγκτές αρθρώσεων (joint controllers Ενισχυτές (power amplifiers (c pˆ Εκτίμηση Θέσης (pose estimation f Εξαγωγή Οπτικών Χαρακτηριστικών (feature extraction Εικόνα (video Position-based / direct visual servo Aρχιτεκτονική Βασισμένου στη Θέση / Αμέσου Ελέγχου 48

92 Αρχιτεκτονικές Ελέγχου (συνέχεια (4/4 f d + - Νόμος Ελέγχου Οπτικών Χαρακτηριστικών Feature-space control law τ Ελεγκτές αρθρώσεων (joint controllers Ενισχυτές (power amplifiers f Εξαγωγή Οπτικών Χαρακτηριστικών (feature extraction Εικόνα (video Image-based / direct visual servo Aρχιτεκτονική Βασισμένου στην Εικόνα / Αμέσου Ελέγχου 49 Έλεγχος με βάση τη θέση (/ Position-Based Visual Servo Control Οπτικά χαρακτηριστικά εξάγονται από την εικόνα και χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της «θέσης» του «στόχου» (target pose ως προς την κάμερα... Συνάρτηση Κινηματικού Σφάλματος : E(p e = where p e : robot (end-effector pose E(.: m, where : robot workspace (robot poses Γενικά: SE 3 = 3 SO 3 5

93 Έλεγχος με βάση τη θέση (/ Position-Based Visual Servo Control (cont d Σημείο-προς-Σημείο (point-to-point positioning: Τοποθέτηση σημείου p του ρομποτικού εργαλείου, με end-effector coordinates p (e, σε επιθυμητή θέση p d ( e Epp = Pd Ae P Έστω: = 3 u 3 =K E pp ( ( Static-eye: u ˆ ˆ c ˆ e 3 = K Ac Pd Ae P Συνάρτηση κινηματικού σφάλματος Hand-eye: Aˆ e c ( pˆ c d βαθμονόμηση κάμερας κινηματική ρομπότ ( e ˆ e ˆ( c ( e ˆ e ˆ( c ˆ( c u3 = K Ac Pd P = K Ac Pd P σφάλμα ανεξάρτητο κινηματικής ρομπότ Σήμα Καρτεσιανού ελέγχου (επιθυμητή μεταβολή θέσης ρομποτικού εργαλείου : βαθμονόμηση κάμερας (τοποθέτηση ως προς ρομποτικό εργαλείο : παρατηρήσεις στόχου μέσω της κάμερας (camera observations 5 Έλεγχος με βάση την εικόνα (/8 Image-Based Visual Servo Control Camera Projection Models Y Μοντέλο Προοπτικής Προβολής (Perspective Projection X P=(x,y,z u x π ( xyz,, λ f=(u,v = = v z y Z viewpoint λ αντικείμενο λ: εστιακή απόσταση (focal length image plane Μοντέλο Ορθογραφικής Προβολής (Orthographic Projection u x oxyz (,, = = σ v y (σ: fixed scale (ειδική περίπτωση Μοντέλο Αφινικής Προβολής (Affine Projection u u ( c = + v A P v (A: x3 5

94 Έλεγχος με βάση την εικόνα (/8 Image-Based Visual Servo Control (cont d Image Jacobian («Ιακωβιανή Μήτρα Εικόνας» f = Jc( p p J c f: feature vector (k, π.χ.: f=[u,v,, u n,v n ] J: (k m Ιακωβιανή Εικόνας f p f pm f = = p f p f p k k m ( n=(k/ σημεία 53 Έλεγχος με βάση την εικόνα (3/8 Image-Based Visual Servo Control / «Eye-in-Hand» Παράδειγμα εξαγωγής Ιακωβιανής Μήτρας Εικόνας R c P (c P vz x = zωy ωz + Vx λ uz y = ωz zωx + Vy λ z z = ( vω uω + V λ x y z [ x y z] [ x y z] Έστω: ( c P = P = = P + V Τ ( c Τ ( c ( c ( c Ωe e λ λ λ u = x u x x z z = z z λ λ λ v = y v= y y z z z z 54

95 Έλεγχος με βάση την εικόνα (4/8 Παράδειγμα εξαγωγής Ιακωβιανής Μήτρας Εικόνας (συνέχεια λ u uv λ + u u = Vx Vz ωx + ωy vωz z z λ λ λ u λ v uv v = Vy Vz + ωx + ωy + uωz z z λ λ Vx u uv u V λ λ + y v u z z λ λ Vz f = v = λ u λ v uv ωx u z z λ λ ωy ωz 55 Έλεγχος με βάση την εικόνα (5/8 Για κίνηση σε επίπεδο: λ v Vx u Z V y v = λ u ωz Z και για περισσότερα (n χαρακτηριστικά (σημεία στην εικόνα, παίρνουμε για τη χρονική μεταβολή του διανύσματος χαρακτηριστικών : λ v Z u λ u v Z Vx f = = V y u n λ ωz v n v Z n n λ u n Zn J c 56

96 Έλεγχος με βάση την εικόνα (6/8 Image-Based Visual Servo Control (cont d Επίλυση Συστήματος Έλεγχος Οπτικής Οδήγησης Επιθυμητή Κίνηση της Κάμερας Επιθυμητή Σχετική Κίνηση Στόχου - Κάμερας Εανk m: = p (c =J f Εαν τώρα: k m, rank( J = min( k, m + + Εαν k < m: p (c = J f + ( I J J c + Εαν k > m: p (c =J f όπου όπου J = J ( JJ + + J = ( J J J 57 Έλεγχος με βάση την εικόνα (7/8 Καρτεσιανός Έλεγχος Επιλυμένης Ταχύτητας (resolved rate u (c Έστω: = K p (c ( e =Δ f = fd f ( όπου το επιθυμητό διάνυσμα χαρακτηριστικού f d ( Στόχος του ελεγκτή ασυμπτωτικήμείωσησφάλματοςe: e= K e (3 Από ( και (3: e = f = K e f = K e (4 Αλλά, ως γνωστόν, έχουμε: Νόμος Ελέγχου: p (c + c f (4 p (c K J + c (c u = J = J e K + c = e 58

97 Έλεγχος με βάση την εικόνα (8/8 Image-Based Visual Servo Control (cont d Πρόβλεψη κίνησης Παρακολούθηση χαρακτηριστικών στην εικόνα («παράθυρο» πρόβλεψης για αναζήτηση/παρακολούθηση χαρακτηριστικών ft+ h= ft+ h Jc( p u (h=δt Κατάστρωση εξισώσεων στο χώρο κατάστασης Βέλτιστη εκτίμηση (π.χ. Φίλτρο Kalman,... 59

98 Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια / Στατική Ανάλυση και Έλεγχος (Dexterous Robot Hands Grasp Analysis Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια - Εισαγωγή Κλασσικοί βιομηχανικοί ρομποτικοί βραχίονες: «μεγάλες» κινήσεις / δυνάμεις (large motions / payload Δυσκολίες: έλεγχος με ακρίβεια «μικρών» κινήσεων/δυνάμεων (π.χ. «λεπτές» εργασίες συναρμολόγησης Κλασσική ρομποτική αρπάγη (gripper : περιορισμένη εφαρμογή σε συγκεκριμένες κατηγορίες αντικειμένων Ρομποτικά χέρια: «πολυσχιδείς» (versatile μηχανισμοί «γενικής φύσεως» εργασίες χειρισμού «επιδέξιο» έλεγχο με ακρίβεια «λεπτών» εργασιών χειρισμού Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ

99 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Παραδείγματα ( JPL/NASA hand Utah/MI robot hand Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 3 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Παραδείγματα ( Utah/MI robot hand Robonaut Humanoid / NASA Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 4

100 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Παραδείγματα (3 DLR Hand ΙΙ UΜass Humanoid Robot Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 5 Ρομποτικό Χέρι (υπό κατασκευή Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 6

101 Επιδέξια Ρομποτικά Χέρια Γενικά Επιδέξια ρομποτικά χέρια (multi-fingered dexterous robot hands: «πολυσχιδείς», «πολυαρθρωτοί», παράλληλοι/συνεργαζόμενοι ρομποτικοί μηχανισμοί. Αρχές λειτουργίας (ανάλυση, σχεδίαση, έλεγχος παρόμοιες για μελέτη σχετικών συστημάτων: ρομποτικά χέρια, συνεργαζόμενα ρομπότ, παράλληλες ρομποτικές κινηματικές διατάξεις, αλλά και άλλων προβλημάτων (π.χ. ρομποτική βάδιση Θέματα προς μελέτη: Στατική / Κινηματική Ανάλυση Σχεδιασμός Δράσης Δυναμική Ανάλυση Έλεγχος Βασικές ιδιότητες ρομποτικής λαβής (robot grasp: «Σταθερότητα» ή Ευστάθεια: Ικανότητα «αντίστασης» σε εξωτερικές δυνάμεις και διαταραχές (force-closure «Επιδεξιότητα»: Ικανότητα χειρισμού (grasp manipulability Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 7 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Εισαγωγή Κινηματικοί Περιορισμοί ( Αλληλεπιδράσεις ανάμεσα σε στοιχεία δράσης του ρομποτικού χειριστή και στο περιβάλλον εργασίας κινηματικοί περιορισμοί Διάφοροι τύποι κινηματικών περιορισμών Ολονομικοί περιορισμοί:f(q,t= (α περιστροφική άρθρωση (β γραμμικός οδηγός x = l cos( θ x sin( θ y cos( θ = y= l sin( θ θ θ ( θ :σταθερα = Μη-Ολονομικοί περιορισμοί: (γ Παράδειγμα μη-ολονομικού περιορισμού («μονόκυκλο» x sin( θ y cos( θ = Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 8

102 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Εισαγωγή Κινηματικοί Περιορισμοί ( «αμφίπλευρος» κινηματικός περιορισμός y = = σταθ. θ = = σταθ. «μονόπλευρος» (μη-συμμετρικός κινηματικός περιορισμοί y y+ l sinθ y+ l sinθ + d cosθ y+ d cosθ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 9 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Εισαγωγή Κινηματικοί Περιορισμοί (3 mobility: Μ = 6( = 6 ή (l=: Μ = = 6 Ρομποτική λαβή με τρία δάχτυλα και κινηματικό μοντέλο της Τύπος του Grübler mobility: (M: συνολικοί β.ε. κίνησης N L : αριθμός συνδέσμων (links N J : αριθμός αρθρώσεων (joints C i : αριθμός κινηματικών περιορισμών που εισάγει κάθε άρθρωση (C i = 6 m i m i : βαθμοί ελευθερίας κάθε άρθρωσης l : αριθμός ανεξάρτητων βρόχων (loops ή = 6( L i= 6( Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ N J M N C i N J M = N N + m N J M = m 6l i= i (στο χώρο 3Δ L J i i= ή N J M = m 3l i= (στο επίπεδο i

103 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Στατική/Κινηματική Ανάλυση - Εισαγωγή O A Ci y ci C i z O x O O y O z ci x ci E A O z E E y E x E Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί (πλαίσια συντεταγμένων: Παλάμη (Ε Χειριζόμενο αντικείμενο (Ο Σημείο επαφής (C i E A O O A Ci Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Εισαγωγή Μοντέλα επαφής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ

104 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Εισαγωγή Μοντέλα επαφής (συνέχεια ( Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 3 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Εισαγωγή Μοντέλα επαφής (συνέχεια ( Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 4

105 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Στατική Ανάλυση Μοντέλo Τριβής ( Σχέση Δυναμικής / Στατικής Τριβής f ts f td Στατική τριβή: Δυναμική τριβή: ft fts = μs fn f = f = μ f t td d n ( f n = mg Στην πράξη θεωρούμε: μ s =μ d =μ συντελεστής τριβής Coulomb Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 5 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Στατική Ανάλυση Μοντέλo Τριβής ( Μοντέλο Τριβής Coulomb C i â f ci Μοντέλο Τριβής Coulomb: f f Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 6 t μ όπου μ: συντελεστής (στατικής τριβής Κώνος τριβής με γωνία α: α = tan - μ Είναι: fn = ( fci aˆ a ˆ με fci aˆ (unilateral contact constraint και ft = fci fn ( â : μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια στο σημείο επαφής C i ( δηλαδή, εαν R ci -x ci y ci z ci : το τοπικό πλαίσιο αναφοράς στο C i, aˆ = zˆ n ci

106 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Στατική Ανάλυση - Εισαγωγή Έστω: Fci γενικευμένη δύναμη/ροπή (wrench, κοχλιοστροφική δράση που ασκείται στο χειριζόμενο αντικείμενο στο σημείο επαφής C i, εκφρασμένη στο τοπικό πλαίσιο αναφοράς R ci -x ci y ci z ci στο C i R Ο -x Ο y Ο z Ο : γενικό πλαίσιο αναφοράς του αντικειμένου R ci -x ci y ci z ci : τοπικό πλαίσιο αναφοράς του αντικειμένου στο σημείο επαφής C i A O O R p = Ci O Ci Ci F Είναι: (Σ ci fci = nci : ομογενής μετασχηματισμός από το πλαίσιο R Ο R ci f ci : δύναμη (3x n ci : ροπή (3x f f f f f ( O O ( Ci O ( Ci Ci = RCi Ci = RCi ci, όπου: ci = Ci ( O O ( Ci O ( Ci Ci = RCi Ci = RCi ci, όπου: ci = Ci n n n n n Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 7 z O x O Fci y O O O A Ci z ci O Ci 33 y ci C i xci ( O R FCi = F R 33 O Ci ci Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Στατική Ανάλυση Τύποι επαφής ( C i â Fci Επαφή σημείου χωρίς τριβή (Frictionless point contact F ci = fci, ( fci, fci δηλαδή: F ci = Bci f ci, Bci = B ci : διανυσματική βάση δυνάμεων/ροπών επαφής (contact wrench basis Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 8

107 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Στατική Ανάλυση Τύποι επαφής ( C i Fci Επαφή σημείου με τριβή (Point contact with friction â F όπου: ci = f ci, ( f FC 3 { f } : μ, x y FC = f + f f f Ci z z ci Ci (FC: friction cone δηλαδή:, Fci = Bci fci Bci = (Σ-α ( f FC ci Ci B ci : διανυσματική βάση δυνάμεων/ροπών επαφής (contact wrench basis Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ 9 Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Στατική Ανάλυση Τύποι επαφής (3 C i «Εύκαμπτη» επαφή με τριβή ( soft-finger contact with friction â Fci f x f y Fci = ci, f f = ci FC f Ci z n z (FC: friction cone όπου: 4 f : f + f μ f, f, x y z z FC = Ci και n γ f ( γ: torsional friction coefficient Δηλαδή:, Fci = Bci fci Bci = ( f (Σ-β FC ci Ci Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ z z B ci : διανυσματική βάση δυνάμεων/ροπών επαφής (contact wrench basis

108 r ci ( O Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Στατική Ανάλυση ( n ( O ext f ( O ext n c : συνολικός αριθμός σημείων επαφής : διάνυσμα θέσης p ΟCi, εκφρασμένo στο πλαίσιο αναφοράς R O Έστω f η δύναμη επαφής στο C ci i εκφρασμένη στο γενικό πλαίσιο αναφοράς R O του αντικειμένου (θεωρούμε σημειακές επαφές με τριβή Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ ( O Έστω επίσης: ( O fext : η συνολική εξωτερική δύναμη ( O next : η συνολική εξωτερική ροπή που ασκούνται στο αντικείμενο Έχουμε (στατική ισορροπία: n c ( O ( O fci = fext i= n c (Σ3 ( r = n i= ( O ( O ( O ci fci ext Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Στατική Ανάλυση ( Από το παραπάνω σύστημα εξισώσεων (Σ3 έχουμε: ( O f c ( O ( O I33 I33 I33 fc f ext ( O ( O ( O = ( O c, c, c, n c r r r ( Σ3 next ( O fcn Μήτρα μετασχηματισμού c ( O W Ο : 6x(3n c Fext δυνάμεων ρομποτικής λαβής ( O (Grasp Force ransformation matrix fc,total ( O ( O Δηλαδή: WΟ fc,total = F ( O ( O ext ( Σ3 rci, z r ci, y ( ( ( O O O ( O όπου: ci, r η αντισυμμετρική μήτρα (3x3 ci, = rciz, rcix, r του εξωτερικού γινομένου ( O ( O διανυσμάτων rci, y rci, x : εξωτερική δύναμη/ροπή (external wrench Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ