Ρομποτική II. Περιεχόμενα Μαθήματος

Transcript

1 Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ. Μηχ/κών & Μηχ/κών Υπολ., Ε.Μ.Π. Τηλ.: , (Κτήριο Ηλεκτρ., Γραφείο Web: 1 Περιεχόμενα Μαθήματος ΕΝΟΤΗΤΑ-1: Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός Έλεγχος Ρομπότ με πλεονάζοντες β.ε. (redundant robots Έλεγχος Δύναμης / Μηχανικής Αντίστασης Μοντελοποίηση και έλεγχος επιδέξιου χειρισμού (Συνεργαζόμενα ρομπότ, Ρομποτικά χέρια ΕΝΟΤΗΤΑ-: Κινούμενα Ρομπότ Αρχιτεκτονικές Ελέγχου Κινούμενων Ρομπότ Σχεδιασμός δρόμου Αποφυγή εμποδίων Σύνθεση αισθητηρίων πληροφοριών Σύνθετοι ρομποτικοί χειριστές - Εφαρμογές

2 Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Επιδέξιος Ρομποτικός Χειρισμός 3 Επιδέξια Ρομπότ - Εισαγωγή Επιδεξιότητα: η ικανότητα στον έλεγχο με «ακρίβεια» πολλών βαθμών ελευθερίας για την εκτέλεση «λεπτών» και «σύνθετων» εργασιών (συνήθως εργασιών χειρισμού Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα (dextrous robots Ρομποτικοί Χειριστές με Πλεονάζοντες Βαθμούς Ελευθερίας (robot manipulators with kinematic and/or actuator redundancies Συνεργαζόμενοι ρομποτικοί χειριστές (cooperating manipulators Ρομποτικά χέρια (robot hands Θέματα προς μελέτη: Κινηματική/Στατική Ανάλυση Μέτρα Δεξιότητας / Ικανότητα χειρισμού Σχεδιασμός δράσης (task planning Έλεγχος συμμόρφωσης (force/impedance compliance control 4

3 Κινηματικός Έλεγχος Ρομπότ (1 p d p d x - e p p q K 1 p x J ( q Γ(. q προς ελεγκτή θέσης ρομπότ Αλγόριθμος Αντίστροφου Διαφορικού Κινηματικού Ελέγχου q= J 1 ( q ( pd Kp ep e K e = 0 p p p 5 Κινηματικός Έλεγχος Ρομπότ ( q(t=0 q(i Υπολογισμός j 1 A j και A 0 j (j=1,,n Υπολογισμός Ιακωβιανής J( q Βρόχος διόρθωσης (correction loop p p *( i = A0 n 1:3,4 - p(i1 p = p( i 1 p * ( i dt επιθυμητή τροχιά Επίλυση ανάστροφης διαφορικής κινηματικής p = J( q q Εύρεση q q( i 1 = q ( i q ( i dt dt: sampling time q( i 1, q ( i προς ελεγκτή θέσης ρομπότ i = i1 Σχήμα ελέγχου επιλυμένης ταχύτητας (Resolved motion-rate control 6

4 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Εισαγωγή Βασικές αρχές 6 β.ε. για θέση/προσανατολισμό στο χώρο Πλεονάζοντες β.ε. εισάγουν τη δυνατότητα απειρίας εφικτών κινήσεων στις αρθρώσεις για δοσμένη επιθυμητή κίνηση στο τελικό στοιχείο δράσης μηδενικός χώρος ρομποτικών αρθρώσεων (null space πλεονάζοντες β.ε. για ικανοποίηση επιπρόσθετων κινηματικών περιορισμών (βελτιστοίηση κριτηρίων για επιλογή κατάλληλης κίνησης στους πλεονάζοντες β.ε. Παράδειγμα ρομποτικού βραχίονα με πλεονάζοντες β.ε. (DLR lightweight 7dof robot 7 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική (1 N(J q R Χώρος αρθρώσεων (joint space n J J p R m R(J p = 0 Χώρος εργασίας (task space R(J: range space (σύνολο δυνατών ταχυτήτων στο χώρο εργασίας N(J: null space (μηδενικός χώρος q N( J J( q = 0 Όταν n>m : dimn(j dimr(j = n Όταν n>m, και rank(j=m (δηλαδή, J: πλήρους τάξης τότε έχουμε (n-m πλεονάζοντες (redundant βαθμούς ελευθερίας dimn(j = n m και dimr(j = m 8

5 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική ( Βέλτιστη λύση της διαφορικής κινηματικής εξίσωσης για πλεονάζοντα ρομπότ (redundant robots Διαφορική κινηματική εξίσωση: J q= p J: m x n, rank(j = m Ελαχιστοποίηση συνάρτησης κόστους: F( q= (1/ q = (1/ qq Mέθοδος Lagrange: F' q λ = q q λ ( Jq p q F'(, 0 q λ = F'( q, λ = 0 λ (, (1/ - - min q - J λ = 0 Jq- p= 0 q = Jλ ( p= Jq = JJ λ q=j p όπου J : ψευδοαντίστροφη της Ιακωβιανής J =J ( J J 1 (Moore-Penrose pseudoinverse 9 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική (3 Γενική βέλτιστη λύση της διαφορικής κινηματικής εξίσωσης για πλεονάζοντα ρομπότ (redundant robots Διαφορική κινηματική εξίσωση: J q= p 0 0 Ελαχιστοποίηση συνάρτησης κόστους: F( q= ( ( q q W ( q q ( W: symmetric, positive definite n x n, q Rn Mέθοδος Lagrange: F' q λ = ( ( q q0 W ( q q0 λ ( Jq p q F'( q, λ = 0 F'( q, λ = 0 λ (, - - min W ( q q0 - J λ = 0 Jq- p= 0 J: m x n, rank(j = m q=j p ( In J J (I n : μοναδιαία μήτρα nxn # # W W q0 N( J όπου J # W weighted pseudoinverse of the Jacobian matrix J =W J ( JW J # W 10

6 Ρομπότ με πλεονάζοντες βαθμούς ελευθερίας: Κινηματική (4 Γενική βέλτιστη λύση της διαφορικής κινηματικής εξίσωσης : Απόδειξη W ( q q0 - J λ = 0 Jq- p= 0 (1 ( q=w 1J λ q0 Jq- p= 0 q=w 1J λ q0 1 ( 0 JW J λ Jq = p rank(j=m q=w 1J λ q0 1 1 ( ( 0 λ = JW J p Jq 1 1 ( ( 0 q = W J JW J p I W J JW J J q J # W J # W 11 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Μεθοδολογία Διάσπασης Ρομποτικής Εργασίας Διάσπαση σύνθετων ρομποτικών εργασιών σε υποεργασίες με σειρά προτεραιότητας (task-decomposition (π.χ. έλεγχος θέσης ή δύναμης, αποφυγή εμποδίων ή ιδιομορφιών κλπ. Περιγραφή ρομποτικών υποεργασιών με βάση: επιθυμητή τροχιά του ρομπότ στο χώρο εργασίας (ή γενικότερα επιθυμητή «συμπεριφορά», π.χ. μηχανική αντίσταση, κλπ. κριτήρια στο χώρο διάταξης των αρθρώσεων (configuration space βελτιστοποίηση 1

7 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (1 Βασικές Σχέσεις (διάσπαση σε δύο ρομποτικές υπο-εργασίες Έστω q = [q 1,q,,q n ] : διάταξη των αρθρώσεων (configuration Πρώτη υπο-εργασία: Δεύτερη υπο-εργασία: Περίπτωση 1: Περίπτωση : p 1 = f 1 (q, p 1 : m 1 x 1 διάνυσμα επιθυμητή τροχιά p 1d (t p = f (q, p : m x 1 διάνυσμα επιθυμητή τροχιά p d (t Συνάρτηση κριτηρίου: c = V(q μεγιστοποίηση πρόβλημα βελτίστου ελέγχου 13 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ ( Πρώτη υπο-εργασία: p = J q ( p = f 1 (q=[f 11 (q f 1 (q... f 1m1 (q] Τ (1 f / q f / q f / q n όπου: J 1 = f 1 / q f / q f / q f / q n J = 1 f / q f / q f / q d n r1 q = J p I J J q Εκτέλεση 1ης υποεργασίας («εξωτερική κίνηση» (1 N( J 1 μηδενικός χώρος («εσωτερικές κινήσεις» 1m 1 1m 1m , όπου q r1 : τυχαίο διάνυσμα n x1 J = J 1 1 J J 1 1 : ψευδοαντίστροφη της μήτρας J 1 J : m n 1 1 J J = I 1 1 m1 J : n m 1 1 n 14

8 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (3 Δεύτερη υπο-εργασία -1η Περίπτωση : p = J q (a (1 (Τa Θέτουμε: p d ( p = f (q= [f 1 (q f (q... f m (q] Τ όπου: J = f / q p JJ p = J I JJ q d 1 1d n 1 1 r1 J = J I J J (m x n n 1 1 q = r1 J p d J J p 1 1d I n J J q (. r όπου q r : τυχαίο διάνυσμα n x1 Τελικά: q = J p J p J J p I 1 1 n J J J J q 1 d 1d d 1d 1 r 1η υποεργασία η υποεργασία Σημείωση: χρησιμοποιήθηκε η σχέση υπολείπονες πλεονάζοντες β.ε. I J J J = J n 1 1 (3 15 J Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (3β = J N Απόδειξη: JJJ = J όπου N = I 1 n J J Ισχύει N N = N και N = N Πρόταση: Για τις παραπάνω μήτρες ισχύει: In J J J = J δηλαδή: J = N J = J = JJ = JJ JJJ JJ JJ ( (1 (α = = N J J N J N J J J N J... (α (β 16

9 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (4 Δεύτερη υπο-εργασία / 1η Περίπτωση (συνέχεια Απλοποιημένη περίπτωση (η υποεργασία εκφρασμένη απ ευθείας ως επιθυμητή κίνηση στο χώρο των ρομποτικών αρθρώσεων Εάν p = q, δηλαδή J = I, τότε: J = I J J οπότε: n 1 1 n 1 1 = = n 1 1 J I J J I J J d 1d d από τη σχέση (3 1η υποεργασία η υποεργασία p d * = d d H d οπότε η (4 π.χ. γράφεται τελικά: d 1 1d = J n 1 1 I J J d H d Τελικά δηλαδή παίρνουμε: q = J p 1 In J J 1 1p Αντί για στις σχέσεις (3 και (4, χρησιμοποιείται συχνά η σχέση: p p p p q p p p p (4 (4 17 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (5 Δεύτερη υπο-εργασία -η Περίπτωση : «Συνάρτηση κριτηρίου» c = V(q max (b Έστω: q 1 = k r c Τ ξ όπου: ξ = ξ, ξ,, ξ 1 n ξ = V j q j k c : θετική σταθερά ξ : διάνυσμα κλίσης της συνάρτησης κριτηρίου c=v(q Έχουμε: (gradient vector ξ = [ ( q ] = V( q q d 1 1d kc J In J J 1 1 (1 q = p ξ (5 1η υποεργασία p 1 1d n 1 1 c = ξ J ξ I J J ξ k q V η υποεργασία c. ορθογώνια προβολή του q r1 στο Ν(J 1 > 0 c( q 18

10 Μεθοδολογία Διάσπασης Εργασίας Πλεοναζόντων Ρομπότ (6 Τυπικές Συναρτήσεις Κριτηρίου (objective functions Μέτρο Ικανότητας Χειρισμού: c ( J J q ( q = det ( q ( Απόσταση από Μηχανικά Όρια (joint limits, etc.: 1 ( = n qi qi c q n i= 1 qi(max qi(min Απόσταση από Εμπόδιο: c( q = min p( q o p: σημείο πάνω στο ρομπότ po, o: σημείο πάνω στο εμπόδιο 19 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές Παραδείγματα: 1. Αποφυγή Εμποδίων (obstacle avoidance. Αποφυγή Ιδιόμορφων Διατάξεων (avoiding singularities 0

11 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Εμποδίων (1 Redundant Robot Manipulators: Avoiding Obstacles y 0 Διάταξη αναφοράς q r για την αποφυγή εμποδίου l q l 3 O Ε 3 p 0 q 3 Επιθυμητή τροχιά - Υποεργασία 1: Εκτέλεση επιθυμητής τροχιάς p 1d (t : p 0 (t=0 p f (t=t f - Υποεργασία : Αποφυγή εμποδίου p d (t = q r 1 O 0 l 1 q 1 εμπόδιο p f x 0 Παράδειγμα: l 1 =1, l =1, l 3 =0.3 q 0 =[0 0,30 0,0 0 ] p 0 =[x 0,y 0 ] p f =[x 0,0] q r =[45 0,-70 0,0 0 ] (t f =1 1 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Εμποδίων ( - Υποεργασία 1η (p 1d : Εκτέλεση επιθυμητής τροχιάς p 0 (t=0 p f (t=t f Ορθό Γεωμετρικό μοντέλο p 1x = l 1 c 1 l c 1 l 3 c 13 p 1y = l 1 s 1 l s 1 l 3 s 13 θ = q 1 q q 3 όπου : c1 = cos(q 1 c1 = cos(q 1 q c13 = cos(q 1 q q 3 s1 = sin(q 1 s1 = sin(q 1 q Ορθό διαφορικό κινηματικό μοντέλο: (l 1 s 1 l s 1 l 3 s 13 (l s 1 l 3 s 13 l 3 s J 13 1 = (l 1 c 1 l c 1 l 3 c 13 (l c 1 l 3 c 13 l 3 c 13 p 1x p 1y = J 1 (q 1,q,q 3 0 s13 = sin(q 1 q q 3 1d ( t x p = y 3 tt y, 0 t 1 ( q 1 q q 3 Έστω π.χ. επιθυμητή τροχιά (1η υποεργασία: Υποεργασία η: p = q και p d = q r (διάταξη αναφοράς

12 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Εμποδίων (3 Παράδειγμα προσομοίωσης (3 β.ε. τοποθέτηση στο επίπεδο (εφαρμογή της παραπάνω σχέσης (4 qd = J p 1 1d ( In J J 1 1 Hp d p (k c = 0 (k c = 0 Χωρίς τον έλεγχο πλεοναζόντων β.ε. (H =0 Με έλεγχο των πλεοναζόντων β.ε. (H =k c Ι 3 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών (1 Redundant Robot Manipulators: Avoiding Singularities - Υποεργασία 1η (p 1d : Εκτέλεση επιθυμητής τροχιάς p 0 (t=0 p f (t=t f (l 1 s 1 l s 1 l 3 s 13 (l s 1 l 3 s 13 l 3 s J 13 1 = δηλ.: J (l 1 c 1 l c 1 l 3 c 13 (l c 1 l 3 c 13 l 1 = J 11 3 c 13 J 1 - Υποεργασία η: Μεγιστοποίηση συνάρτησης κριτηρίου c = V(q c = V(q= det J 1 : x3 1 1 ( JJ 1 1 : δείκτης ικανότητας χειρισμού (manipulability (μέτρο «απόστασης» από ιδιόμορφες διατάξεις JJ : x και ( JJ 1 1 det = 0 στις ιδιόμορφες διατάξεις 4

13 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών ( Επίλυση του προβλήματος αποφυγής ιδιόμορφων διατάξεων με έλεγχο των πλεοναζόντων β.ε. Εφαρμογή της παραπάνω σχέσης (5: όπου: Έχουμε: J J 1i 1j ij J1j J 1i ij, 1 ql q = l inversejj det ( 1 1 JJ ξ = V/ q = det JJ 1 1 / q = α l l l d 1 1d kc J In J J 1 1 q = p ξ : θετική σταθερά, και ξ = ξ, ξ,, ξ k c n ξ = V / q 1 όπου α ij : το (i,j στοιχείο του 1 1 και J 1i : το i-διάνυσμα γραμμής του πίνακα J 1 Τ 5 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών (3 Απόδειξη της παραπάνω σχέσης για το ξ l Έστω: J = J 1 και Β = JJ =[β ij ], οπότε: ij Ji J j β = Είναι: Δ =det(jj =det(b = β 11 β - β 1 β 1 Δ β β β β = και: 11 β 1 1 β11 β1 β q 1 l ql ql ql ql ij l l j i l l j l i j j όπου: β J J J i J J J = = i J J q q q q q Παίρνουμε τελικά: ξ 1 l= V/ ql= ( Δ / q Δ l= Δ q l όπου: α11 = β, α = β11, α1 = β1, α1 = β J J i j αij J j Δ ij, = 1 ql q l = J i 6

14 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές: Αποφυγή Ιδιομορφιών (4 Παράδειγμα προσομοίωσης (3 β.ε. τοποθέτηση στο επίπεδο (εφαρμογή της παραπάνω σχέσης (5 d 1 1d kc = J In J J 1 1 q p ξ Χωρίς τον έλεγχο πλεοναζόντων β.ε. (k c =0 Με έλεγχο των πλεοναζόντων β.ε. (k c =00 7 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Εφαρμογές - Παραδείγματα Αποφυγή εμποδίων σε πραγματικό χρόνο με κινηματικό έλεγχο των πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας του ρομποτικού χειριστή 8

15 Έλεγχος Πλεοναζόντων Ρομπότ Συμπεράσματα Πλεονάζοντες β.ε. εισάγουν τη δυνατότητα «απειρίας εφικτών κινήσεων» στις αρθρώσεις για δοσμένη επιθυμητή κίνηση στο τελικό στοιχείο δράσης (μηδενικός χώρος ρομποτικών αρθρώσεων Πλεονάζοντες βαθμοί ελευθερίας «Απειρία» λύσεων για το ανάστροφο κινηματικό πρόβλημα Βελτιστοποίηση Κινηματικός έλεγχος πλεοναζόντων βαθμών ελευθερίας Μεθοδολογία διάσπασης ρομποτικής εργασίας: Διάσπαση σύνθετων ρομποτικών εργασιών σε υπο-εργασίες με σειρά προτεραιότητας (task-decomposition Περιγραφή ρομποτικών υποεργασιών με βάση: επιθυμητή τροχιά ή γενικότερα επιθυμητή «συμπεριφορά» (π.χ. μηχανική αντίσταση του ρομπότ στο χώρο εργασίας (task space κριτήρια στο χώρο διάταξης των αρθρώσεων (configuration space βελτιστοποίηση 9

16 Ε.Μ.Π., ΣΗΜΜΥ, Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. Διδάσκων: Κ.Τζαφέστας Ρομποτική Ικανότητα Χειρισμού / Δείκτες Ρομποτικής Δεξιότητας (Robotic manipulability Dexterity measures Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 1 Ρομποτική ικανότητα χειρισμού (manipulability - Εισαγωγή Έστω ρομποτικός χειριστής με n β.ε. p = f p ( q (1 v = p = J p ( q q ( Ρομποτική ικανότητα χειρισμού (robotic manipulability «Ελλειψοειδές ικανότητας χειρισμού» (ellipsoid in the m-dimensional Euclidean space (3 Το σύνολο: M = { v= p: q 1} Δηλαδή, το σύνολο των δυνατών ταχυτήτων v του τελικού στοιχείου δράσης που μπορούν να επιτευχθούν από ταχύτητες στις αρθρώσεις: q 1 { v: v ( J J v 1} Αποδεικνύεται ότι: M = (4 όπου: v R( J και: J (range space of J, δηλαδή το σύνολο των δυνατών ταχυτήτων στο χώρο δράσης (ψευδοαντίστροφη της J Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ.

17 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Σχηματική Παράσταση q n σ u πρωτεύοντες άξονες του ελλειψοειδούς ικανότητας χειρισμού q v = J q σ 1 u 1 θα καθοριστούν στη συνέχεια... q 1 «Ελλειψοειδές Ρομποτικής Ικανότητας Χειρισμού» Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 3 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Απόδειξη Απόδειξη της σχέσης (4 q= J v ( I J J k (3 1 = = ( J J ( I J J ( I J J ( I J J J Αλλά: ( Ισχύει: q q q v v k k I J J J = 0 k v (α Άρα, (α 1 = ( J J ( I J J ( I J J v ( J J v 0 Δηλαδή, παίρνουμε τελικά: q 1 v ( J J v 1 q v v k k Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 4

18 Ψευδο-αντίστροφες Μήτρες Ορισμός (Moore-Penrose pseudoinverse Για κάθε μήτρα Α (m x n υπάρχει μια μοναδική n x m μήτρα Α για την οποία: A A A= A A A A = A ( A A ( = A A A A = A A Η n x m μήτρα Α ονομάζεται ψευδοαντίστροφη της Α Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 5 Ψευδο-αντίστροφες (συνέχεια Ιδιότητες (ψευδοαντίστροφης Α, της (m x n μήτρας Α : (i (ii ( A =A ( A = ( A και ( AA = ( A A ( 1 A = A AA και AA =Ι x ( 1 A = A A A και A A =Ιnxn (iii Εαν rank(a=m, (iv Εαν rank(a=n, m m Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 6

19 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Διάσπαση Ιδιοτιμής (1 Διάσπαση Ιδιοτιμής (singular value decomposition Μήτρα J (m x n J = U Σ V (έστω m < n Matlab function svd: [U,S,V] = svd(j; U: m x m και V: n x n ορθοκανονικές μήτρες σ 1 0 Σ: m x n μήτρα Σ = 0 mx( n m σ 1 : ιδιόμορφες τιμές (singular values 0 σ m ( σ 1 σ σ m 0 Ισχύει: σ i = λi, i = 1,,, n όπου λ i (i=1,,m οι m μεγαλύτερες ιδιοτιμές της μήτρας J J (οι στήλες της U: ιδιοδιανύσματα της JJ και οι στήλες της V: ιδιοδιανύσματα της J J Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 7 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Διάσπαση Ιδιοτιμής ( [ u1 u um ] H ορθοκανονική μήτρα U = ορίζει ένα πλαίσιο αναφοράς του οποίου οι πρωτεύοντες άξονες καθορίζονται από τα μοναδιαία διανύσματα u 1,, u m Μπορούμε να αποδείξουμε ότι τα σ i u i (i=1,,m καθορίζουν τους πρωτεύοντες άξονες του ελλειψοειδούς ικανότητας χειρισμού Ελλειψοειδές ικανότητας χειρισμού (σχέση (4 : Είναι: J = V Σ U Σ ( J q 1 v J v 1 όπου: 1 σ 1 0 = 1 0 σ m 0( n mxm Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 8

20 Ελλειψοειδές ρομποτικής ικανότητας χειρισμού Διάσπαση Ιδιοτιμής (3 Διάσπαση ιδιοτιμής της μήτρας J καθορισμός πρωτευόντων αξόνων του ελλειψοειδούς ικανότητας χειρισμού Έχουμε: J v= V Σ U v v =u v v u1 v Έστω: v= U v= u v = col[ v i =u i v ] u 1 v 1 =u1 v um v (δηλαδή: v το διάνυσμα συντεταγμένων του v στο πλαίσιο που ορίζει η U ( (0 (0 ( v =v U = U v αφου v = U v U ( Έχουμε επομένως: v ( J J v = v U( Σ V VΣ U v = v [( Σ ( Σ ] v m 1 i 1 i= 1 σ v i πρωτεύοντες άξονες του ελλειψοειδούς: { σ1 u, σ u,, σ u } 1 m m Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 9 u Μέτρα (δείκτες Ρομποτικής Ικανότητας Χειρισμού / Μέτρα Δεξιότητας Μέτρο ικανότητας χειρισμού: w = σ 1 σ σ m : ανάλογο του όγκου του ελλειψοειδούς Το μέτρο ικανότητας χειρισμού w έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: ( q q (i w = det J( J ( ( J q (ii Όταν m=n, w = det ( (iii Γενικά w 0, και w=0 όταν rank(j<m (singular configurations Δηλαδή, w=0 όταν ο ρομποτικής χειριστής βρίσκεται σε ιδιόμορφες διατάξεις, και το w 0 αποτελεί ένα μέτρο της «απόστασης» από τις ιδιόμορφες διατάξεις Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 10

21 Ελλειψοειδές Δύναμης Ρομποτικού Χειρισμού Έστω ρομποτικός χειριστής με n β.ε.: v = p = J( q q (J: Ιακωβιανή μήτρα m x n τ = J ( q F (στατικό μοντέλο ρομποτικού χειριστή Ρομποτική ικανότητα άσκησης δύναμης χειρισμού Το σύνολο: M { F : τ 1} F = «Ελλειψοειδές δύναμης χειρισμού» (ellipsoid in the m-dimensional Euclidean space (3 Δηλαδή, το σύνολο των δυνάμεων F που μπορεί να ασκήσει το τελικό στοιχείο δράσης, μέσω ροπών τ στις αρθρώσεις, για τις οποίες: τ 1 Ελλειψοειδές δύναμης χειρισμού: F J( q J ( q F 1 Πρωτεύοντες άξονες ελλειψοειδούς δύναμης χειρισμού: u 1 /σ 1, u /σ,..., u m /σ m Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 11 Βέλτιστοι ρομποτικοί σχηματισμοί με βάση τα μέτρα ικανότητας χειρισμού Βέλτιστες διατάξεις ρομποτικών χειριστών (με βάση το μέτρο w (optimal configurations Α. Ρομπότ συνδέσμων y l q ls 1 1 ls 1 ls 1 J = lc 1 1 lc 1 lc 1 l 1 q 1 x Μέτρο ικανότητας χειρισμού: w= = det ( J ll 1s w =0, όταν q =0,±π w =max, όταν q = ± π/ Επιπλέον, εαν l 1 l =σταθ. τότε w =max, όταν l 1 =l Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 1

22 Ελλειψοειδές ικανότητας χειρισμού: Παράδειγμα ρομπότ συνδέσμων Παράδειγμα Α. Ρομπότ συνδέσμων (συνέχεια w (index μέτρο ικανότητας χειρισμού y (cm ελλειψοειδή ικανότητας χειρισμού x (cm Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 13 Άλλοι Δείκτες Ρομποτικής Ικανότητας Χειρισμού / Μέτρα Δεξιότητας 1. Μέτρο ικανότητας χειρισμού: w 1 = σ 1 σ σ m : ανάλογο του όγκου του ελλειψοειδούς. Μέτρο τοπικής δεξιότητας (local dexterity measure: w = σ m /σ 1 0: singularity, 1: isotropy (ελλειψοειδές σφαίρα 3. Δείκτης w 3 = σ m (ελλάχιστη ακτίνα ελλειψοειδούς 4. Δείκτης w 4 = (σ 1 σ σ m 1/m γεωμετρικός μέσος των ακτινών σ 1, σ,, σ m του ελλειψοειδούς (ακτίνα σφαίρας που έχει τον ίδιο όγκο με το ελλειψοειδές ικανότητας χειρισμού Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Σχολή ΗΜ&ΜΥ. Μάθημα: Ρομποτική ΙΙ. 14