ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων Στο κεφάλαιο αυτό θα δοθούν εφαρµογές των εξισώσεων που διέπουν το πρόβληµα της κάµψης δοκών επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων και θα γίνει µια αναφορά στα προβλήµατα κάµψης δοκών επί ελαστικού υποβάθρου δυο παραµέτρων. Πιο συγκεκριµένα, θα γίνει αρχικά εφαρµογή της επίλυσης των εξισώσεων στο πρόβληµα κάµψης δοκών «απείρου» µήκους επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων, η λύση του οποίου δεν είναι διαθέσιµη στη βιβλιογραφία. Κατόπιν θα δοθεί η εφαρµογή της επιλύουσας εξίσωσης για προβλήµατα δοκών επί ελαστικού υποβάθρου τύπου lasov µε την θεώρηση και των οριζοντίων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου. Η αναφορά στο προσοµοίωµα του lasov µε τη θεώρηση των οριζοντίων µετακινήσεων θα γίνει σε πρώτο στάδιο µε βάση την επίλυση του προβλήµατος όπως αυτή είναι γνωστή από τη βιβλιογραφία. Σε δεύτερο στάδιο θα παρουσιαστεί για πρώτη φόρα µια διαφορετική προσέγγιση του ίδιου προβλήµατος και θα δοθούν οι αντίστοιχες διαφορικές εξίσωσεις. Τέλος, θα γίνει µια αναφορά σε προβλήµατα κάµψης δοκών επί ελαστικού υποβάθρου δυο παραµέτρων, τα οποία αποτελούν «οριακή» περίπτωση των αντιστοίχων προβληµάτων κάµψης δοκών επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων. Η αναφορά αυτή αφορά αρχικά στην παράθεση των εξισώσεων που διέπουν το πρόβληµα και την επίλυση διερεύνηση τους. Κατόπιν, παρατίθεται µια συνοπτική αλλά διεξοδική επισκόπηση των διαθέσιµων στοιχείων της βιβλιογραφίας και επισηµαίνονται τα υφιστάµενα κενά για τα οποία και δίνονται οι κατάλληλες λύσεις... Επίλυση του προβλήµατος δοκού Timosheno και Euler «απείρου» µήκους επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων. Στην παρούσα παράγραφο θα γίνει εφαρµογή των λύσεων των εξισώσεων (.8α) και (.8β) για την επίλυση του προβλήµατος κάµψης δοκού Timosheno «απείρου» µήκους υπό µοναχική κατακόρυφη δύναµη P ή ροπή M (Σχήµα.). οκός απείρου µήκους P P Μ α P οκός απείρου µήκους c x c x G G z z (α) (β) Σχήµα.. οκός «απείρου» µήκους υπό µοναχική κατακόρυφη φόρτιση (α), και υπό µοναχική ροπή (β). Από τις εκφράσεις των µεγεθών έντασης και µετακίνησης που θα προκύψουν, θα γίνει αναγωγή στις αντίστοιχες εκφράσεις που αφορούν τη δοκό Euler.

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων... οκός Timosheno υπό µοναχική κατακόρυφη δύναµη. Πρόκειται για συµµετρικό πρόβληµα, και για τον λόγο αυτό είναι δυνατή η επίλυση του δεξιού τµήµατος του συστήµατος δοκός ελαστικό υπόβαθρο. Κατά συνέπεια, θα πρέπει να προσδιοριστούν οι συνοριακές συνθήκες τόσο στο σηµείο εφαρµογής του φορτίου (x, βλέπε σχήµα.α) όσο και για x. Ως γνωστόν (Παράγραφος...), η επίλυση του προβλήµατος κάµψης δοκού Timosheno επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων επιτυγχάνεται µε τον προσδιορισµό των βασικών παραµέτρων µεγεθών µετακίνησης w, w, ψ από τις σχέσεις (.α γ). Για την παρούσα ανάλυση θα γίνει η παραδοχή, ότι η µορφή των συναρτήσεων που απαρτίζουν τις εκφράσεις αυτές αντιστοιχεί στην περίπτωση λύσης Α, η οποία όπως αποδείχθηκε και στην αντίστοιχη παράγραφο της διερεύνησης των περιπτώσεων λύσης των διαφορικών εξισώσεων του προβλήµατος (Παράγραφος..) αποτελεί την περίπτωση λύσης που αντιστοιχεί στις συνήθεις τιµές των εδαφικών παραµέτρων. Εποµένως: w Rx Rx Rx Rx Rx Rx ( x) C e C e C e cos( Qx) C e sin( Qx) C e cos( Qx) C e sin( Qx) (.α) w Cf w Cf w Cf w Cf w Cf w w(x) C f (.β) ψ(x) C (.γ) fψ C f ψ Cf ψ C f ψ Cf ψ C f ψ (Οι συναρτήσεις f iw, f iψ δίνονται από τις σχέσεις (.α) και (.β)). Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι η επίλυση του προβλήµατος απαιτεί τον προσδιορισµό έξι () σταθερών ολοκλήρωσης. Από την µορφή της φόρτισης συνάγεται το συµπέρασµα ότι για x ισχύει: w w (.) Αυτό σηµαίνει ότι θα πρέπει να µηδενίζονται εκείνες οι σταθερές ολοκλήρωσης που αντιστοιχούν σε εκθετικές συναρτήσεις οι οποίες έχουν ως εκθέτη θετικό αριθµό. Εποµένως, επειδή το πρόβληµα επιλύεται για θετικές τιµές του x, θα πρέπει C C C. Οι υπόλοιπες σταθερές θα προσδιοριστούν από τις συνοριακές συνθήκες στο σηµείο x. Ο προσδιορισµός των συνοριακών αυτών συνθηκών µπορεί να γίνει µε την εφαρµογή της αρχής της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας του συστήµατος δοκός υπόβαθρο. Η ελαστική ενέργεια παραµόρφωσης του συστήµατος δοκός ελαστικό υπόβαθρο δίνεται από την παρακάτω σχέση: dψ dw dw π EI Φ ψ c ( w w ) w G P w() Σχηµατίζοντας την πρώτη µεταβολή του παραπάνω συναρτησιακού προκύπτει: π d ψ dw ΕΙ Φ ψ δψ c d w ( w w ) w G δw c( w w ) [ G (x)δw ] [ M(x)δψ ] [ (x)δw ] [ G (x)δw ] [ M(x)δψ ] [ (x)δw (P )δw ] Φ d dw ψ δw Από τους ολοκληρωτές των ολοκληρωµάτων της πρώτης µεταβολής προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις (.α γ) οι οποίες παρουσιάστηκαν στην Παράγραφο.. και εκφράζουν τις εξισώσεις ισορροπίας του συστήµατος. Οι όροι στις αγκύλες µε δείκτες ( ) καθορίζουν τις συνοριακές συνθήκες για x οι οποίες είναι προφανείς. Τέλος οι όροι στις αγκύλες µε δείκτη καθορίζουν τις ζητούµενες συνοριακές συνθήκες για x. Πιο συγκεκριµένα στο σηµείο x η ροπή δεν µπορεί να έχει µηδενική τιµή, και εποµένως θα πρέπει δψ() που σηµαίνει ότι ψ(). Επίσης λόγω της συµµετρίας του προβλήµατος θα πρέπει να ισχύει (dw /) x. Τέλος επειδή w() δw(). Αυτό σηµαίνει ότι η τρίτη συνοριακή συνθήκη στο σηµείο x είναι () P /.

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων Από την εφαρµογή της αρχής αυτής (βλέπε προηγούµενη σελίδα) προκύπτουν αφενός δυο συνθήκες που αντιστοιχούν στην συµµετρική µορφή του προβλήµατος: ψ() και dw x (.α, β) ενώ η τρίτη απαιτούµενη συνθήκη προκύπτει από την ισότητα της τέµνουσας δύναµης της δοκού στο σηµείο x µε το ήµισυ της εξωτερικής φόρτισης P. Εποµένως: dw () Φ ψ x d ψ ΕΙ x P (.γ) Οι συνθήκες (.α γ), συνθέτουν ένα γραµµικό σύστηµα τριών εξισώσεων µε αγνώστους τις εναποµένουσες άγνωστες σταθερές C, C και C. Μετά τους απαραίτητους µετασχηµατισµούς προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις για τα µεγέθη µετακίνησης του προβλήµατος: P w(x) R x Rx { A ( A Q A R) e [ cos(qx) sin(qx) ] e } A (A Q A R ) A (A R A R ) A (A Q A R ) A (A R A R ) R x Rx {(A Q A R)e [(A Q A R )cos(qx) (A R A R )sin(qx)] e } w (x) P ψ(x) (.α) P (.β) R x Rx { A (A Q A R)e [ cos(qx) sin(qx) ] e } A (A R A R ) A (A Q A R ) (.γ) A (A R A R ) A (A Q A R ) Στις παραπάνω σχέσεις: [ (A b A b ) R A (A R A Q) A (b Q b R) ] EI R (.δ) Από τις σχέσεις (.α-γ) µπορούν να υπολογιστούν τα εντατικά µεγέθη του προβλήµατος όπως ορίζονται από τις σχέσεις (.9α-γ): x Rx { A R (A Q A R)e [ ] } R (Q R )cos(qx) (Q R )sin(qx) e EIP M(x) (.ε) [ ] (R Q ) RQ cos(qx) Rx e [ (R Q ) RQ ] sin(qx) EIP R x (x) A R (A Q A R)e (.στ) GP G (x) S Rx Rx { R (A Q A R)e [ S cos(qx) S sin(qx) ] e } R(A Q A R ) Q(A R A R ) (.ζ) S R(A R A R ) Q(A Q A R )

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων... οκός Timosheno υπό µοναχική ροπή. Το πρόβληµα της δοκού Timosheno υπό µοναχική ροπή Μ επιλύεται, όπως και στην περίπτωση της φόρτισης µε µοναχικό κατακόρυφο φορτίο, µε εφαρµογή των εξισώσεων (.α γ) σε συνδυασµό µε τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες. Οι συνθήκες αυτές είναι όµοιες µε την περίπτωση φόρτισης µε µοναχικό κατακόρυφο φορτίο για x. Αντίθετα, στο σηµείο x είναι διαφορετικές καθώς ταυτίζονται µε τις συνθήκες που αντιστοιχούν στην περίπτωση συµµετρικού φορέα υπό αντισυµµετρική φόρτιση, και εποµένως είναι: w w (.α) Η τρίτη απαιτούµενη συνοριακή συνθήκη για το σηµείο x είναι: dψ EI x M (.β) (Εδώ θα πρέπει να τονιστεί ότι οι συνοριακές αυτές συνθήκες µπορούν να προκύψουν και από την εφαρµογή της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας του συστήµατος δοκός ελαστικό υπόβαθρο, µε διαδικασία που παρουσιάστηκε στην προηγούµενη παράγραφο και πιο συγκεκριµένα στην σελίδα ). Ακολουθώντας την διαδικασία που περιγράφεται και στην Παράγραφο.., προκύπτουν οι παρακάτω εκφράσεις: x Rx { A (α Q α R)e [ ] } R ( R Q)cos(Qx) ( Q R)sin(Qx) M (R Q )R w(x) (.α) e R x Rx { A (α Q α R)e e [(Q R )cos(qx) (Q R )sin(qx)]} M (R Q )R ψ(x) (.β) M (x) (R Q )R Rx Rx {(α Q α R)e e [S cos(qx) S sin(qx)] } w (.γ) R x Rx { A R (α Q α R)e e [S cos(qx) S sin(qx)] } EIM (R Q )R M(x) (.δ) R x Rx { A R (α Q α R)e e [(RS QS )cos(qx) (QS RS )sin(qx)]} EIM (R Q )R (x) (.ε) GM (x) (R Q )R Rx Rx { (α Q α R)R e e [(RS QS )cos(qx) (QS RS )sin(qx)]} G Όπου: {(R Q )(α Q α R) [α Q (α Α Q)R]R } (.στ) (.7) (A α A α ) A (A R A Q) (A α A α ) A (A Q A R) A (α A Q) A (α A R) A (α A Q) A (α A R) (.8α) S (R Q ) RQ S (R Q ) RQ R(α Α Q) Q(α R) R(α Α R) Q(α Q) S Α S Α (.8β)

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων... Ειδίκευση των σχέσεων για την περίπτωση δοκού Euler Bernoulli Όλες οι παραπάνω σχέσεις των µεγεθών έντασης και µετακίνησης που αφορούν τη δοκό Timosheno µπορούν να µετασχηµατιστούν πολύ εύκολα για την περίπτωση της δοκού Euler Bernoulli. Για το σκοπό αυτό, αρκεί να σχηµατιστούν οι οριακές τιµές όσων παραµέτρων περιέχουν την σταθερά Φ (ΦG Β F, βλέπε Παράγραφο...) η οποία εκφράζει την επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων. Σχηµατίζοντας τις οριακές αυτές τιµές για Φ προκύπτουν οι εκφράσεις για την περίπτωση της δοκού Euler Bernoulli. Στην Παράγραφο...α δίνονται όλες οι παράµετροι που υπεισέρχονται στις σχέσεις προσδιορισµού των µεγεθών έντασης και µετακίνησης που αντιστοιχούν στην περίπτωση λύσης Α. Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν: lim Α Φ lim Α Φ lim Α Φ ΑR α α (.9α) (.9β) (.9γ) Έτσι εάν εφαρµοστούν οι (.9α-γ) στις σχέσεις (.α-ζ) και (.α-στ), τότε προκύπτουν οι αντίστοιχες εκφράσεις για την περίπτωση της δοκού Euler Bernoulli. Θα πρέπει τέλος να τονιστεί, ότι κατά το µετασχηµατισµό θα πρέπει να ληφθούν υπόψη και οι διαφορετικές τιµές των R, R, Q οι οποίες εξαρτώνται από τους συντελεστές J i των διαφορικών εξισώσεων του προβλήµατος οι οποίοι µε τη σειρά τους ορίζονται διαφορετικά στις περιπτώσεις δοκών Timosheno και Euler (βλέπε Πίνακα.). Ωστόσο ο µετασχηµατισµός αυτός δεν επηρεάζει την γενική µορφή των (.α-ζ) και (.α-στ).

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων.. Αναφορά στα προβλήµατα κάµψης δοκών επί ελαστικού υποβάθρου δυο παραµέτρων. Στο Κεφάλαιο της παρούσας διατριβής έγινε µια ανασκόπηση της βιβλιογραφίας που αφορά στο πρόβληµα της κάµψης δοκών επί ελαστικού υποβάθρου δυο παραµέτρων (Παράγραφος...). Από την επισκόπηση αυτή προέκυψε το συµπέρασµα, ότι τα κενά της βιβλιογραφίας, όσον αναφορά τα µητρώα δυσκαµψίας και φόρτισης για το πρόβληµα της κάµψης δοκών Euler ή Timosheno, δεν είναι µεγάλα. Στην παρούσα παράγραφο θα παρουσιαστούν εν συντοµία οι εξισώσεις που διέπουν το πρόβληµα και θα δοθεί µια σχηµατική περιγραφή των πεδίων ορισµού των διαφόρων περιπτώσεων λύσης των εξισώσεων αυτών. Θα πρέπει να τονιστεί, ότι ενώ σε βιβλιογραφικές αναφορές που κατέστη δυνατό να εντοπιστούν γίνεται αναφορά στις δυνατές περιπτώσεις λύσης της διαφορικής εξίσωσης του προβλήµατος της δοκού Euler (βλέπε π.χ. Karamanlidis και Praash (989)), σε καµία από αυτές δεν παρουσιάζεται µια διερεύνηση των περιοχών ορισµού των λύσεων αυτών. Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν και για την περίπτωση της δοκού Timosheno, και έτσι οι διερευνήσεις αυτές θα δοθούν εδώ για πρώτη φορά. Στην παράγραφο αυτή θα γίνει επίσης και µια πιο αναλυτική επισκόπηση (από την αντίστοιχη που έγινε στην εισαγωγή) των διαθέσιµων στοιχείων αλλά και των κενών της βιβλιογραφίας όσον αφορά τα µητρώα δυσκαµψίας και φόρτισης και θα δοθούν τα αντίστοιχα στοιχεία που καλύπτουν τα κενά αυτά. Πιο συγκεκριµένα, θα δοθούν οι κλειστές αναλυτικές εκφράσεις για µητρώα δυσκαµψίας που αντιστοιχούν σε όσες περιπτώσεις λύσης της διαφορικής εξίσωσης του προβλήµατος δεν είναι διαθέσιµες, και οι αντίστοιχες εκφράσεις για τα µητρώα φόρτισης του γενικευµένου στοιχείου που παρουσιάστηκε στην Παράγραφο..... Σύντοµη αναφορά στην κατάστρωση και επίλυση των εξισώσεων του προβλήµατος Στην Παράγραφο.. παρουσιάστηκαν αναλυτικά οι µαθηµατικές διατυπώσεις των προσοµοιωµάτων δυο παραµέτρων που είναι γνωστά από τη βιβλιογραφία. Η παρουσίαση των εξισώσεων αυτών έγινε για την περίπτωση της απευθείας φόρτισης της επιφάνειας του εδάφους από εξωτερικό φορτίο. Όταν η εισαγωγή της φόρτισης πραγµατοποιείται µέσω της κάµψης µιας δοκού, οι διαφορικές εξισώσεις ισορροπίας του συστήµατος δοκός ελαστικό υπόβαθρο είναι κατά δυο τάξεις υψηλότερες από τις αντίστοιχες εξισώσεις που διέπουν το πρόβληµα της απευθείας φόρτισης του εδάφους. Στην περίπτωση της κάµψης δοκού Timosheno τα άγνωστα µεγέθη µετακίνησης, όπως είναι γνωστό, είναι η κατακόρυφη µετακίνηση w και η καµπτική γωνία στροφής των διατοµών ψ. (Υπενθυµίζεται ότι η επιλογή της καµπτικής γωνίας στροφής ως δεύτερου αγνώστου µεγέθους µετακίνησης είναι µια από τις δυνατές επιλογές κατά το σχηµατισµό µητρώων δυσκαµψίας δοκών στις οποίες λαµβάνονται υπόψη και οι διατµητικές παραµορφώσεις σύµφωνα µε την υπόθεση του Timosheno (βλέπε Παράγραφο..)). Ο υπολογισµός των αγνώστων µεγεθών µετακίνησης γίνεται από τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: EI (P G) d w EI d w EI d p (P G) w p Φ Φ (.α) Φ EI (P G) d ψ EI d ψ dp (P G) ψ Φ Φ (.β)

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων Όπου και G είναι η πρώτη και η δεύτερη παράµετρος του εδαφικού προσοµοιώµατος, ενώ οι υπόλοιποι όροι των εξισώσεων ταυτίζονται µε τους όρους της σχέσης (.), (Παράγραφος...). Οι παραπάνω εξισώσεις αφορούν την θεωρία β τάξης και µπορούν να καταστρωθούν τόσο µε τις συνθήκες ισορροπίας ενός απειροστού στοιχείου του συστήµατος δοκού ελαστικού υποβάθρου, όσο και µε την εφαρµογή της αρχής της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας. Για την περίπτωση της κάµψης δοκού Euler Bernoulli η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση προκύπτει από την (.α) εάν θεωρηθεί ότι Φ : EI d w d w (P G) w p (.) (Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση (.β) προκύπτει από την παραγώγιση (.α) καθώς dw/ ψ και εποµένως δεν έχει νόηµα η επίλυση της). Από την σύγκριση των (.α), (.β) µε τις (.7α) και (.7β) αντίστοιχα, προκύπτει το συµπέρασµα ότι οι πρώτες αποτελούν ειδική περίπτωση των τελευταίων. Το γεγονός αυτό µπορεί να εξηγηθεί αν γίνει σύγκριση των µηχανικών προσοµοιωµάτων του Kerr (Σχήµα.α) και του Pasterna (Σχήµα.). Από τη σύγκριση αυτή καθίσταται σαφές, ότι εάν για την ελατηριακή σταθερά της άνω στρώσης των ελατηρίων του µηχανικού προσοµοιώµατος του Kerr δοθούν µεγάλες τιµές (και ειδικότερα όταν c ) τα δυο µηχανικά προσοµοιώµατα είναι πρακτικώς ισοδύναµα. Εάν εποµένως στις (.7α) και (.7β) θεωρηθεί ότι c και εάν ληφθεί υπόψη ότι στην περίπτωση αυτή w w (ότι δηλαδή στην περίπτωση του προσοµοιώµατος των δυο παραµέτρων οι κατακόρυφες µετακινήσεις της δοκού και της διατµητικής στρώσης ταυτίζονται, όπως προκύπτει από την (.) όταν c ), τότε οι εξισώσεις (.7α), (.7β) και (.) ανάγονται στις (.α) και (.β). Παρακάτω θα δοθούν κάποιες λεπτοµέρειες για την επίλυση και τη διερεύνηση των διαφορικών εξισώσεων (.α), (.β) και (.). Πιο συγκεκριµένα, θα παρουσιαστεί εν συντοµία η διαδικασία επίλυσης των οµογενών των εξισώσεων αυτών που έχουν τη γενική µορφή: d y d y J Jy (.) Οι συντελεστές J και J δίνονται από τον παρακάτω πίνακα. Πίνακας.. Εκφράσεις των συντελεστών J, J, ανάλογα µε τον τύπο της δοκού και την τάξη ανάλυσης οκός / Τάξη ανάλυσης J J Euler Timosheno Α τάξη Β τάξη G EI (Ρ G) EI Φ G Α τάξη Φ G EI Φ Φ (Ρ G) Β τάξη Φ (Ρ G) EI Φ EI EI Φ EI(Φ G) Φ EI[Φ (Ρ G)]

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων 7 Όπως είναι γνωστό η λύση των εξισώσεων της µορφής (.) έχει την εξής γενική µορφή: y(x) C i f i (.) i όπου ως γνωστόν C i είναι οι σταθερές ολοκλήρωσης, ενώ η µορφή των συναρτήσεων f i (x) εξαρτάται αφενός από τα πρόσηµα που λαµβάνουν οι συντελεστές J, J και αφετέρου από το πρόσηµο της διακρίνουσας J -J της χαρακτηριστικής εξίσωσης της (.). Μπορεί να αποδειχθεί (Karamanlidis και Praash (989)) ότι για την περίπτωση του στατικού προβλήµατος της δοκού Timosheno οι δυνατές περιπτώσεις λύσης είναι έξι. Οι περιοχές ορισµού των λύσεων αυτών καθώς και οι λεπτοµέρειες για τις συναρτήσεις f i δίνονται παρακάτω: Φ Περ. J > P>G P<G (P-G) Περ. J < Περ. Φ /(ΕΙ) (ΕΙ)/Φ J < J > J Περ. Περ. Περ. Ä> Ä< J < J > Περ. Φ /(ΕΙ) Ä ÄJ -J Ä Στα τìþìατα τηò καìπýληò Ä: (-) και (--): Περ. Στα τìþìατα τηò καìπýληò Ä: (-): Περ. Περ. f (x) f (x) f (x) f (x) R Q Περ. J > J > Ä> cos(rx) sin(rx) cos(qx) sin(qx) (/)(J - Ä ) (/)(J Ä ) Περ. Περ. Περ. Περ. J > J > J < J > J < J < J > J > J < J > Ä Ä< Ä> Ä> cos(qx) Rx e cos(qx) e Rx e Rx xcos(qx) Rx e sin(qx) e e -Rx -Rx sin(qx) -Rx e cos(qx) cos(qx) Qx e xsin(qx) -Rx e sin(qx) sin(qx) e -Qx - (J /)-(J /) (/)(-J Ä ) J / (J /)(J /) (/)(J Ä ) (/)(-J Ä ) (/)(-J - Ä ) Περ. J < J > Ä Rx e xe Rx e -Rx xe -Rx -J / - Σχήµα.. Περιπτώσεις λύσης και πεδία ορισµού τους για το πρόβληµα της δοκού Timosheno. Στο παραπάνω διάγραµµα επελέγη ως οριζόντιος άξονας ο άξονας τιµών της πρώτης εδαφικής παραµέτρου. Ως κατακόρυφος άξονας επελέγη όχι ο άξονας τιµών της δεύτερης παραµέτρου G αλλά ο άξονας τιµών της διαφοράς P G. Θα πρέπει να διευκρινισθεί, ότι η επιλογή αυτή έγινε για να εισαχθεί και η παράµετρος αξονικό (θλιπτικό ή εφελκυστικό) φορτίο που επηρεάζει τη λύσης της διαφορικής εξίσωσης του προβλήµατος. Θα πρέπει επίσης να τονιστεί ότι ο όρος P G αποκτά την έννοια µιας γενικευµένης αξονικής δύναµης εάν για την προσοµοίωση του εδάφους χρησιµοποιηθεί το προσοµοίωµα του Filoneno (Παράγραφος...). Έτσι ορίζεται η γενικευµένη αξονική δύναµη P GEN P G που προκύπτει από την αφαίρεση τις τιµής της δεύτερης εδαφικής παραµέτρου από την τιµή της αξονικής φόρτισης που καταπονεί τη δοκό. Θα πρέπει βέβαια να τονιστεί ότι η γενικευµένη αξονική δύναµη δεν θα πρέπει να χρησιµοποιείται

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων 8 για τον υπολογισµό των µεγεθών διαστασιολόγησης καθώς αποτελεί ένα βοηθητικό µέγεθος και όχι µια πραγµατική δύναµη που καταπονεί τη δοκό. Από το Σχήµα. καθίσταται σαφές ότι για τις συνήθεις τιµές των εδαφικών παραµέτρων και του αξονικού φορτίου (θλιπτικού ή εφελκυστικού) η αντιστοιχούσα µορφή λύσης είναι η (Περίπτωση ). Για το λόγο αυτό είναι διαθέσιµοι στη βιβλιογραφία, οι συντελεστές του µητρώου δυσκαµψίας που αντιστοιχούν στη λύση αυτή όπως θα παρουσιαστεί παρακάτω. Από τις υπόλοιπες περιπτώσεις λύσεων, εκείνη που εµφανίζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι η Περίπτωση, καθώς όπως φαίνεται από το παραπάνω σχήµα, το πεδίο ορισµού της αντιστοιχεί σε υψηλές τιµές θλιπτικού φορτίου. Αυτό σηµαίνει ότι είναι απαραίτητη σε περίπτωση υπολογισµού των κρισίµων φορτίων λυγισµού διότι σ αυτήν την περίπτωση η επαναληπτική διαδικασία που απαιτείται µπορεί να οδηγήσει στην ανάγκη επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων του προβλήµατος για τιµές του αξονικού φορτίου για τις οποίες ορίζεται η περίπτωση λύσης. Αξιοσηµείωτο είναι και το γεγονός ότι για την τιµή του γενικευµένου αξονικού φορτίου P GEN ίση µε την τιµή συντελεστή Φ (ο οποίος ως γνωστόν εκφράζει την επιρροή των διατµητικών παραµορφώσεων) ο συντελεστής J τείνει στο άπειρο ενώ εκατέρωθεν της τιµής αυτής αλλάζει πρόσηµο. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα για τιµές του P GEN >Φ να αλλάζει η µορφή της διαφορικής εξίσωσης του προβλήµατος και να εµφανίζεται η περίπτωση λύσης. Ωστόσο η πιθανότητα εκπλήρωσης της συνθήκης P GEN >Φ για τις συνήθεις τιµές των παραµέτρων του προβλήµατος είναι σχεδόν αδύνατη. (P-G) Περ. Ä> Ä< Ä P>G Περ. P<G Περ. Περ. Στo τìþìα τηò καìπýληò Ä: (-): Περ. Στo τìþìα τηò καìπýληò Ä: (-): Περ. Ä< Ä> Σχήµα.. Πεδία ορισµού των πιθανών περιπτώσεων λύσης της εξίσωσης του προβλήµατος της δοκού Euler (για τις συναρτήσεις f i (x) και τους συντελεστές R, Q ισχύουν τα δεδοµένα του Σχήµατος. µε τη διαφορά ότι για τις παραµέτρους J, J θα πρέπει να χρησιµοποιηθούν οι αντιστοιχούσες εκφράσεις του Πίνακα.). Στο Σχήµα. δίνονται σχηµατικά τα πεδία ορισµού των πιθανών περιπτώσεων λύσης της διαφορικής εξίσωσης που διέπει το πρόβληµα κάµψης δοκού Euler στα πλαίσια της θεωρίας β τάξης. Από το σχήµα αυτό φαίνεται, ότι στην παρούσα περίπτωση οι πιθανές περιπτώσεις λύσης είναι. Απουσιάζει η περίπτωση λύσης που εµφανίζονταν στο αντίστοιχο πρόβληµα της δοκού Timosheno. Το γεγονός αυτό οφείλεται

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων 9 στο ότι στην παρούσα περίπτωση Φ µε αποτέλεσµα όπως φαίνεται και από τον Πίνακα. να µην αλλάζει το πρόσηµο του συντελεστή J για κανένα συνδυασµό των εδαφικών παραµέτρων. Τέλος όπως και στην περίπτωση του προβλήµατος της δοκού Timosheno οι πιο σηµαντικές περιπτώσεις λύσης είναι οι περιπτώσεις και για τους ίδιους ακριβώς λόγους. Κλείνοντας την αναφορά στην κατάστρωση και την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης που διέπει την κάµψη δοκών επί ελαστικού υποβάθρου δυο παραµέτρων, αξίζει να γίνει η επισήµανση ότι µια ακόµα εφαρµογή της λύσης της (.) αποτελεί και η επίλυση της εξίσωσης που διέπει την κάµψη δοκών Euler επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων σύµφωνα µε την προσέγγιση των Fletcher και Hermann (97), η οποία παρουσιάστηκε στην Παράγραφο... Ξεκινώντας από τη βασική εξίσωση του προσοµοιώµατος (Σχέση.8), και συνδυάζοντας την µε την κλασσική εξίσωση του Euler προκύπτει η παρακάτω εξίσωση: d w d w (EI ) w p(x) η οποία όπως γίνεται εύκολα κατανοητό είναι όµοια µε τις (.) και (.), και εποµένως έχει των ιδίων µορφών λύσεις µε αυτές.... Επισήµανση των διαθέσιµων στοιχείων και των κενών της βιβλιογραφίας Η ανασκόπηση της βιβλιογραφίας που παρατίθεται στο Κεφάλαιο της παρούσας διατριβής (Παράγραφος...) είναι συνοπτική και έχει ως στόχο την παρουσίαση του πλήθους των δηµοσιεύσεων επί του αντικειµένου. Από την παρουσίαση αυτή δεν καθίστανται σαφή τα κενά της βιβλιογραφίας, και καθώς ένας εκ των στόχων της παρούσας είναι και η κάλυψη των κενών αυτών, ακολουθεί παρακάτω µια πιο συστηµατική επισκόπηση των σχετικών δηµοσιεύσεων. Ακολουθώντας την λογική µε την οποία έγινε η επισκόπηση στην εισαγωγή, θα παρουσιαστούν τα διαθέσιµα στοιχεία αλλά και τα κενά της βιβλιογραφίας πρώτα για την περίπτωση της δοκού Euler Bernoulli, και κατόπιν για την δοκό Timosheno. Η παρούσα επισκόπηση θα επικεντρωθεί στην περίπτωση του στατικού προβλήµατος. Για το πρόβληµα της κάµψης δοκών Euler στα πλαίσια της θεωρίας β τάξης είναι διαθέσιµα µητρώα δυσκαµψίας για όλες τις περιπτώσεις λύσης της διαφορικής εξίσωσης του προβλήµατος. Η πιο ολοκληρωµένη δηµοσίευση επί του συγκεκριµένου αντικειµένου είναι αυτή των Karamanlidis και Praash (989). Όσον αφορά τα µητρώα φόρτισης, είναι διαθέσιµα µητρώα που αφορούν τραπεζοειδή φόρτιση σε τµήµα της δοκού, και φόρτιση από µοναχική κατακόρυφη δύναµη ή ροπή σε τυχόν σηµείο του ανοίγµατος της (βλέπε Chiwanga και alsangar (988) ή Razaqpur και Shah (99)). Τα µητρώα αυτά είναι σχηµατισµένα µε βάση τη θεωρία α τάξης, ενώ αντίστοιχα µητρώα µε βάση τη θεωρία β τάξης δεν είναι διαθέσιµα. Τέλος θα πρέπει να τονιστεί ότι είναι διαθέσιµα µητρώα δυσκαµψίας µε βάση πολυωνυµικές / προσεγγιστικές συναρτήσεις παρεµβολής (Zhaohua και Coo (98)), και αντίστοιχα µητρώα φόρτισης για την περίπτωση φόρτισης µε καθολικό τραπεζοειδές φορτίο. Για το αντίστοιχο πρόβληµα της δοκού Timosheno, είναι διαθέσιµο µόνον το µητρώο δυσκαµψίας που αφορά τον συνήθη συνδυασµό τιµών των εδαφικών παραµέτρων, δηλαδή για την περίπτωση λύσης µε βάση τη θεωρία α τάξης (βλέπε Shirima και Giger (99)). Στην εργασία του jodjo (99) δίνονται µητρώα µεταφοράς για τις πιθανές περιπτώσεις λύσης του προβλήµατος, χωρίς όµως να δίνονται οι τελικές

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων κλειστές εκφράσεις των συντελεστών των µητρώων δυσκαµψίας. Όσον αφορά τα µητρώα φόρτισης δεν είναι διαθέσιµες κλειστές αναλυτικές εκφράσεις για τις βασικές περιπτώσεις φόρτισης (µερική τραπεζοειδής φόρτιση και µοναχική κατακόρυφη φόρτιση ή ροπή). Ωστόσο στην εργασία των Shirima και Giger (99) δίνεται η γενική πορεία σχηµατισµού των µητρώων αυτών χωρίς να δίνονται οι τελικές κλειστές εκφράσεις. Προκειµένου να καλυφθούν τα κενά της βιβλιογραφίας που εκτέθηκαν παραπάνω, θα δοθούν οι κλειστές αναλυτικές εκφράσεις των συντελεστών των µητρώων δυσκαµψίας που αφορούν το πρόβληµα κάµψης δοκού Timosheno επί ελαστικού υποβάθρου δυο παραµέτρων στα πλαίσια της θεωρίας β τάξης για όλες τις πιθανές περιπτώσεις λύσης. Τα µητρώα αυτά εµπεριέχουν ως ειδικές περιπτώσεις τα αντίστοιχα µητρώα που αφορούν τόσο το πρόβληµα της δοκού Timosheno στα πλαίσια της θεωρίας α τάξης, όσο και το πρόβληµα της δοκού Euler στα πλαίσια της θεωρίας α και β τάξης. Επιπλέον, µε σχηµατισµούς κατάλληλων οριακών τιµών µετασχηµατίζονται στα αντίστοιχα µητρώα που αφορούν την κάµψη δοκών επί ελαστικού υποβάθρου Winler. Για τον σχηµατισµό των µητρώων αυτών έγινε χρήση της µεθόδου που παρουσιάστηκε στην Παράγραφο...α, και οι συντελεστές των µητρώων δίνονται στο Παράρτηµα Β. Τα µητρώα δυσκαµψίας αυτά µπορούν να ενσωµατωθούν στις εξισώσεις του γενικευµένου πεπερασµένου στοιχείου που αναπτύχθηκε στο Κεφάλαιο (βλέπε Παράγραφο...). Όσον αφορά τα µητρώα φόρτισης, θα δοθούν οι κλειστές αναλυτικές εκφράσεις για δοκούς Timosheno µε στροφικά ελατήρια στα άκρα τους στα πλαίσια της θεωρίας β τάξης, για τις εξής περιπτώσεις φόρτισης: Μοναχική ροπή ή κατακόρυφο φορτίο σε τυχούσα θέση του ανοίγµατος Συνεχής οµοιόµορφη φόρτιση σε όλο το εύρος του ανοίγµατος ανοµοιόµορφη θερµοκρασιακή µεταβολή t µεταξύ της άνω και της κάτω ίνας της δοκού Ο λόγος για τον οποίο σχηµατίζονται µητρώα φόρτισης δοκών µε στροφικά ελατήρια στα άκρα, συνίσταται στην δυνατότητα που δίνεται για την ενσωµάτωση τους στις εξισώσεις του γενικευµένου πεπερασµένου στοιχείου που αναπτύχθηκε στο Κεφάλαιο (βλέπε Παράγραφο.). Η γενική µορφή των προκυπτουσών εκφράσεων επιτρέπει την προσαρµογή τους σε διάφορες υποπεριπτώσεις όπως συµβαίνει και στην περίπτωση των µητρώων δυσκαµψίας. Η µέθοδος µε την οποία θα σχηµατιστούν τα µητρώα φόρτισης δίνεται αναλυτικά στην Παράγραφο., ενώ οι αντίστοιχες εκφράσεις στο Παράρτηµα Β. Τέλος θα πρέπει να τονιστεί ότι για πρακτικούς λόγους δίνονται µόνον τα µητρώα που αφορούν τις περιπτώσεις λύσης,. Τέλος θα πρέπει να τονιστεί, ότι οι τέµνουσες που υπεισέρχονται τόσο στα µητρώα δυσκαµψίας όσο και στα µητρώα φόρτισης, δεν είναι οι τέµνουσες δυνάµεις που καταπονούν τη διατοµή της δοκού, αλλά οι «γενικευµένες τέµνουσες». Η έννοια της γενικευµένης τέµνουσας ορίζεται στα πλαίσια της προσοµοίωσης του εδάφους µε το µοντέλο των δυο παραµέτρων. Οι γενικευµένες αυτές τέµνουσες, ορίζονται ως το άθροισµα της τέµνουσας που καταπονεί τη διατοµή της δοκού, και της τέµνουσας του διατµητικού επιπέδου: d w dw οκός Euler γεν. ΕΙ G γεν. οκού διατ. επιπ. (.) d ψ dw οκός Timosheno ΕΙ G γεν. Η χρήση της γενικευµένης τέµνουσας έναντι της κλασσικής στα µητρώα δυσκαµψίας, είναι απαραίτητη

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων καθώς τα καθιστά συµµετρικά. Το γεγονός αυτό µπορεί να εξηγηθεί αν ληφθεί υπόψη η παρατήρηση, ότι στην κατάστρωση της διαφορικής εξίσωσης του προβλήµατος υπεισέρχεται η ενέργεια παραµόρφωσης του συστήµατος δοκός έδαφος, σε συνδυασµό µε το ότι το εργικώς ανταποκρινόµενο στην κατακόρυφη µετακίνηση των άκρων της δοκού εντατικό µέγεθος, είναι το άθροισµα της τέµνουσας που καταπονεί τη δοκό και της αντίστοιχης τέµνουσας που καταπονεί το διατµητικό επίπεδο. Η έννοια της γενικευµένης τέµνουσας δεν είναι απαραίτητη στην περίπτωση που το έδαφος προσοµοιώνεται µε τη βοήθεια του µοντέλου των τριών παραµέτρων, καθώς στην περίπτωση αυτή η τέµνουσα δύναµη της δοκού και η τέµνουσα του διατµητικού επιπέδου αντιστοιχούν σε διαφορετικούς βαθµούς ελευθερίας (Βλέπε Παράγραφο...α)... Προσοµοίωµα του lasov µε τη θεώρηση και των οριζοντίων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου. Στο Κεφάλαιο και στην Παράγραφο..., παρουσιάστηκε η βασική διατύπωση του προσοµοιώµατος του lasov καθώς και οι βασικές παραλλαγές τροποποιήσεις του. Στις περιπτώσεις αυτές, έγινε η βασική παραδοχή ότι οι οριζόντιες µετακινήσεις στο εσωτερικό του υποβάθρου είναι αµελητέες και κατά συνέπεια είναι δυνατό να αγνοηθούν. Έτσι, οι βασικές εξισώσεις του προσοµοιώµατος αλλά και των τροποποιήσεων του ξεκινούν από τις βασικές παραδοχές (.α) και (.β). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον ωστόσο παρουσιάζει η κατάστρωση των αντιστοίχων εξισώσεων στην περίπτωση κατά την οποία λαµβάνονται υπόψη και οι οριζόντιες µετακινήσεις, καθώς όπως θα αποδειχθεί παρακάτω η µορφή των εξισώσεων αυτών είναι ανάλογη των εξισώσεων που διέπουν την κάµψη δοκών επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων του Kerr που παρουσιάστηκαν αναλυτικά στο Κεφάλαιο. Στο πρώτο τµήµα της παρούσας παραγράφου θα παρουσιαστεί εν συντοµία η διαδικασία σχηµατισµού της διαφορικής εξίσωσης του προσοµοιώµατος του lasov µε τη θεώρηση και των οριζοντίων µετακινήσεων όπως καταστρώθηκε από τους Rao et al. (97), καθώς και µια σύντοµη περιγραφή της εφαρµογής της στο πρόβληµα κάµψης δοκού πεπερασµένου µήκους. Στο δεύτερο τµήµα της παραγράφου, θα καταστρωθούν οι αντίστοιχες εξισώσεις κάνοντας εφαρµογή όχι της αρχής των «δυνατών µετακινήσεων» του agrange όπως έγινε από τον lasov (9) και τους Rao et al. αλλά της αρχής της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας του συστήµατος δοκού ελαστικού υποβάθρου. Η διαδικασία αυτή δεν είναι διαθέσιµη στη βιβλιογραφία και παρουσιάζεται για πρώτη φορά. Οι προκύπτουσες εξισώσεις παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και µπορούν να επιλυθούν µε βάση τις επιλύουσες εξισώσεις των προσοµοιωµάτων δυο και τριών παραµέτρων που παρουσιάστηκαν στην Παράγραφο.. και στο Κεφάλαιο αντίστοιχα. Επιπλέον η προσέγγιση αυτή, καλύπτει την αδυναµία της προσέγγισης των Rao et al. για µαθηµατική τεκµηρίωση των σχέσεων που διέπουν την κατανοµή των οριζοντίων και κατακορύφων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου. Όπως θα αποδειχθεί, η εφαρµογή της αρχής της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας οδηγεί στο σχηµατισµό, πέραν της εξίσωσης ισορροπίας του συστήµατος δοκός ελαστικό υπόβαθρο, εξισώσεων από την επίλυση των οποίων προκύπτουν οι σχέσεις που διέπουν την κατανοµή των οριζοντίων και των κατακορύφων µετακινήσεων στο εσωτερικό του ελαστικού υποβάθρου.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων... Η υπάρχουσα προσέγγιση του προβλήµατος Στην Παράγραφο..., παρουσιάστηκε αναλυτικά η διαδικασία σχηµατισµού της µαθηµατικής διατύπωσης του προσοµοιώµατος του lasov χωρίς τη θεώρηση των οριζοντίων µετακινήσεων. Στην κλασσική του εργασία, ο lasov (9) δεν αναφέρεται ειδικότερα σε αυτή την εκδοχή. Μια τέτοια προσέγγιση γίνεται στην εργασία των Rao, as και Anandarishnan (97), οι οποίοι ξεκινώντας από την παραλλακτική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας την οποία χρησιµοποίησε και ο lasov, επέκτειναν το προσοµοίωµα λαµβάνοντας υπόψη και τις οριζόντιες µετακινήσεις. Στην εργασία αυτή γίνεται η παραδοχή της ισχύος κοινής µαθηµατικής σχέσης για την κατανοµή των κατακορύφων και των οριζοντίων µετακινήσεων. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η παραδοχή αυτή χρήζει κριτικής, καθώς δεν αναφέρεται το κριτήριο επιλογής της, αλλά ούτε και η τεκµηρίωση της. Η τεκµηρίωση αυτή πάντως επιτυγχάνεται µε βάση την κατάστρωση των εξισώσεων του προβλήµατος που θα δοθούν στην επόµενη παράγραφο του κεφαλαίου. Η θεµελιώδης διατύπωση του προσοµοιώµατος του lasov στηρίζεται σε πεδίο µετακινήσεων που διέπεται από τις σχέσεις (.7α) και (.7β). Από την εξειδίκευση των σχέσεων αυτών προκύπτει η σχέση (.). Εάν αρθεί η παραδοχή του αµελητέου των οριζοντίων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου, τότε το πεδίο µετακινήσεων µπορεί να περιγραφεί από τις σχέσεις: u(x,z) (x)φ (z) (.α) w(x,z) (x)ψ (z) (.β) Αντίστοιχα το πεδίο των τάσεων περιγράφεται από τις παρακάτω σχέσεις µε την υπόθεση ότι εκπληρούνται οι προϋποθέσεις ισχύος συνθηκών επιπέδου έντασης: E dψ σ xx φ ν( ) ( ν ) (.γ) E dψ ν( φ ) zz (.δ) ( ν ) dy σ E d dφ τ xz ψ ( ν) (.ε) Εισάγοντας τις σχέσεις (.α) και (.β) στις (.α) και (.β) προκύπτουν: α d ν ν d b νt c (.α) ν ν d ν νt c r s p Ε (.β) όπου οι συντελεστές α, b, c, r, s, t, p δίνονται από τις σχέσεις: α r Η Η dφ Η dφ φ b b b c ψ b p p(x)ψ () Η Η dψ Η dψ ψ b s b t φ b (.7)

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων (Όπου b είναι το πάχος του ελαστικού υποστρώµατος το οποίο στην περίπτωση των συνθηκών επίπεδης παραµόρφωσης λαµβάνεται ίσο µε τη µονάδα). Για τις συναρτήσεις φ, ψ µπορούν να επιλεγούν εκφράσεις ανάλογες αυτών που παρουσιάστηκαν στην Παράγραφο... για το αντίστοιχο πρόβληµα χωρίς την θεώρηση των οριζοντίων µετακινήσεων. Όπως είναι γνωστό, η κάµψη δοκού Euler Bernoulli διέπεται από την κλασσική εξίσωση: d w I q(x) p(x) (.8) E b Όπου q(x) είναι η εξωτερική φόρτιση της δοκού, και p(x) η κατανεµηµένη δύναµη αλληλεπίδρασης µεταξύ αυτής και του ελαστικού υποβάθρου. Συνδυάζοντας την (.8) µε τη σχέση p p(x)ψ (), και εκτελώντας τους κατάλληλους αλγεβρικούς µετασχηµατισµούς προκύπτει: d p q(x)ψ() ψ () Ε bi (.9) Εισάγοντας την (.9) στην (.β) προκύπτει: ν ν d ν d ν νt c r s Ε biψ () q(x)ψ() Ε Ε (.) Κάνοντας χρήση των παρακάτω διαφορικών τελεστών: d d d d (.) το σύστηµα εξισώσεων (.α) και (.) γράφεται: (.α) ν q(x)ψ () Ε (.β) Όπου: α b ν ν ν νt c E Iψ () b E Τέλος εκλέγεται η βοηθητική συνάρτηση F µε τις εξής ιδιότητες: ν r s df F (.α) d F F F (.β) Αν η συνάρτηση F εισαχθεί µέσω των σχέσεων (.α) και (.β), στις (.α) και (.β) τότε η µεν (.α) εκφυλίζεται στην ταυτότητα ενώ η (.β) µετατρέπεται στην παρακάτω εξίσωση: d F d F d F ν F q(x)ψ () ( ) Ε (.)

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων η οποία αποτελεί την εξίσωση της κάµψης δοκού Euler Bernoulli επί ελαστικού υποβάθρου lasov µε θεώρηση των οριζοντίων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου. Από την σύγκριση της (.) µε την (.α) ή την (.β) προκύπτει το συµπέρασµα ότι η επίλυση του παρόντος προβλήµατος επιτυγχάνεται µε την επίλυση εξίσωσης όµοιας µε την εξίσωση που διέπει το πρόβληµα της κάµψης δοκού Euler Bernoulli επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων του Kerr. Η εξίσωση (.) ισχύει για το τµήµα της επιφάνειας του υποστρώµατος που βρίσκεται εν επαφή µε τη δοκό, και εποµένως αρκεί για την επίλυση προβληµάτων δοκών «απείρου» µήκους. Η επίλυση του προβλήµατος αυτού µπορεί να γίνει κάνοντας χρήση των εκφράσεων που προέκυψαν κατά την επίλυση του αντίστοιχου προβλήµατος κάµψης δοκού Euler επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων (Παράγραφος..) λόγω της οµοιότητας των διαφορικών εξισώσεων που διέπουν τα δυο προβλήµατα. Θα πρέπει βέβαια να προηγηθεί η προσαρµογή των αντιστοίχων συντελεστών των διαφορικών εξισώσεων στις σχετικές εκφράσεις των µεγεθών έντασης και παραµόρφωσης. Για την περίπτωση επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών πεπερασµένου µήκους, είναι απαραίτητη και η κατάστρωση της εξίσωσης που διέπει τις µετακινήσεις της ελεύθερης επιφάνειας του εδάφους εκατέρωθεν της δοκού (βλέπε Σχήµα.). Στην περίπτωση αυτή η διαδικασία ξεκινά και πάλι από τις σχέσεις (.α), (.β) και την εισαγωγή των τελεστών: f f όπου: f f f f f d f (.) f f f Με τους παραπάνω τελεστές οι σχέσεις (.α) και (.β) παίρνουν µορφή ανάλογη αυτής των (.α) και (.β), ενώ µε την εισαγωγή της βοηθητικής συνάρτηση F f µε τις ιδιότητες (.α), (.β) και µε ανάλογους αλγεβρικούς µετασχηµατισµούς προκύπτει: d F f f ( ) f f f f f f f f d F f ν F f f f q f f ( )Ε (.) Στην παραπάνω εξίσωση έγινε η υπόθεση ότι η ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους φορτίζεται µε κατακόρυφο φορτίο q. Εάν η ελεύθερη επιφάνεια του υποστρώµατος είναι αφόρτιστη τότε αντί της εξίσωσης (.) ισχύει η αντίστοιχη οµογενής. Όπως γίνεται εύκολα κατανοητό η µορφή (.) ταυτίζεται µε τη µορφή της διαφορικής εξίσωσης που διέπει το πρόβληµα κάµψης δοκού Euler επί ελαστικού υποβάθρου δυο παραµέτρων (σχέση.). Εποµένως οι διάφορες περιπτώσεις λύσης της δίνονται στα Σχήµατα. και.. Η ταυτόχρονη επίλυση των εξισώσεων (.) και (.) απαιτεί τον υπολογισµό συνολικά σταθερών ολοκλήρωσης όπως θα φανεί από την εφαρµογή που ακολουθεί. Επίλυση του προβλήµατος δοκού Euler µε ελεύθερα άκρα Παρακάτω θα δοθεί εν συντοµία η πορεία επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκού πεπερασµένου µήκους µε ελεύθερα άκρα (Σηµειώνεται ότι η διαδικασία που θα ακολουθήσει είναι ανεξάρτητη του αν το

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων ελαστικό υπόβαθρο είναι πεπερασµένου ή «απείρου» πάχους). Όπως φαίνεται και στο σχήµα., το ελαστικό υπόβαθρο χωρίζεται σε τρία πεδία: Τα Πεδία Ι και ΙΙΙ: οι επιφάνειες των οποίων είναι αφόρτιστες και εποµένως οι µετακινήσεις περιγράφονται από την εξίσωση (.), και Το Πεδίο ΙΙ: η επιφάνεια του οποίου είναι εν επαφή µε τη δοκό και εποµένως φορτίζεται. Έτσι οι µετακινήσεις στο πεδίο αυτό περιγράφονται από την εξίσωση (.). Το σύνολο των σταθερών ολοκλήρωσης που θα πρέπει να προσδιοριστούν προκειµένου να λυθεί το πρόβληµα είναι δεκατέσσερις (). Οι σταθερές αυτές µπορούν να υπολογιστούν από τις οριακές συνθήκες αλλά και τις συνθήκες συνέχειας. Όπως φαίνεται και στο σχήµα., οι απαραίτητες συνθήκες συνίσταται από τέσσερις οριακές συνθήκες στα όρια x ± της ελεύθερης επιφάνειας του υποστρώµατος, και δέκα συνθήκες συνέχειας συµβιβαστού στα άκρα της δοκού. H u xö - w xö - F fi F fi i I C f i i u w x z(w) u - w x - x x x q(x) Εδαφικό στρώµα Ε, ν u w οκός: Ε bι - u w x x x - x M x M x T Τ x - x II T Τ x- x S Ν x - x S Ν F fii i C f i i x x - F fiii u xö w xö III i C f F fiii x(u) Ακλόνητο υπόβαθρο i i Σχήµα.. Συνοριακές συνθήκες του προβλήµατος κάµψης δοκού πεπερασµένου µήκους επί ελαστικού υποβάθρου lasov µε τη θεώρηση των οριζοντίων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου. Θα πρέπει να υπενθυµιστεί ότι τα µεγέθη Τ (x) και S (x) είναι οι γενικευµένες ορθές και διατµητικές δυνάµεις, που αντιπροσωπεύουν το «δυνατό» έργο των ορθών και των διατµητικών τάσεων που δρουν σε κάποια τυχούσα «διατοµή» του υποβάθρου, και εκφράζονται συναρτήσει της βοηθητικής συνάρτησης F II από τις παρακάτω σχέσεις (οι οποίες προκύπτουν από τις (.α), (.β) σε συνδυασµό µε τις (.γ), (.δ) και (.α), (.β)): E d FII E T (x) ( νt α ) ( νt ) F II (.7α) ν ν E d FII E dfii S(x) (r) ( r ) c (.7β) ( ν) ( ν) Επίσης το µέγεθος Ν(x), η γενικευµένη τέµνουσα της δοκού, η οποία είναι το άθροισµα της γενικευµένης διατµητικής δύναµης S (x) του υποστρώµατος και της κλασσικής τέµνουσας δύναµης (x) δίνεται από τη σχέση:

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων d w N(x) (x) S (x) N(x) E bi S(x) (.7γ) Για την επίλυση του προβλήµατος µπορεί να γίνει χρήση της µεθόδου των αρχικών παραµέτρων, η οποία παρουσιάστηκε αναλυτικά στην Παράγραφο... Έτσι παρακάτω θα δοθεί συνοπτικά η πορεία των υπολογισµών προσαρµοσµένη στο συγκεκριµένο πρόβληµα. Οι βασικές παράµετροι του προβλήµατος είναι η κατακόρυφη µετακίνηση της δοκού (x), η οριζόντια µετακίνηση (x) της επιφάνειας του υποστρώµατος στο πεδίο ΙΙ, η στροφή των διατοµών της δοκού d /, η ροπή κάµψης M(x), η γενικευµένη τέµνουσα της δοκού N(x) και η γενικευµένη ορθή δύναµη του υποστρώµατος Τ (x). Οι παράµετροι αυτές θα πρέπει, στα πλαίσια της µεθόδου, να εκφραστούν συναρτήσει των τιµών τους στο σηµείο x, δηλαδή συναρτήσει των λεγόµενων αρχικών παραµέτρων. Λαµβάνοντας υπόψη τις σχέσεις (.α), (.β) οι οποίες συνδέουν τα µεγέθη µετακίνησης,, καθώς και τις σχέσεις (.8α), (.7α), (.7β), (.7γ) που συνδέουν τα εντατικά µεγέθη Μ, Τ και Ν µε την βοηθητική συνάρτηση F II, οι βασικές παράµετροι µπορούν να γραφτούν συναρτήσει των αρχικών παραµέτρων ( ), ( ), (d /), M, N, (T ) ως εξής: ( x) ( x) d ( x) / T ( x) M( x) N( x) ( ) (d / ) ( ) (T ) M N F Q F F F [ F] y( x) Q d / Q Q T Q M Q N F F Q [ ] [ F][ y ] [ F ] (.8) Όπου [F] είναι το µητρώο µεταφοράς, τα στοιχεία συναρτήσεις του οποίου εξαρτώνται από τη µορφή λύσης της διαφορικής εξίσωσης (.). Επειδή όπως αναφέρθηκε και πιο πάνω η εξίσωση αυτή είναι όµοια µε την εξίσωση (.α), οι λύσεις της δίνονται στον Πίνακα.α. Επίσης το µητρώο [F Q ] είναι το µητρώο που αντιπροσωπεύει την κατακόρυφη εξωτερική φόρτιση της δοκού, και εποµένως εξαρτάται από τη µορφή της (βλέπε σχέσεις (.) ή (.)). Εφαρµόζοντας την (.8) για x και εισάγοντας τις συνθήκες συνέχειας του άκρου της δοκού x (βλέπε Σχήµα.), προκύπτει ένα σύστηµα εξισώσεων µε πέντε αγνώστους, όπως παρουσιάστηκε πιο αναλυτικά στην Παράγραφο... Από την επίλυση του συστήµατος αυτού προκύπτουν οι τιµές των αρχικών παραµέτρων, αλλά και των αντιστοίχων τιµών για το άλλο άκρο της δοκού x. Επιπλέον, οι συνθήκες συνεχείας στα δυο άκρα της δοκού, αλλά και οι οριακές συνθήκες για x ± επαρκούν για τον προσδιορισµό και των υπολοίπων σταθερών ολοκλήρωσης, και εποµένως για την πλήρη επίλυση του προβλήµατος. Αριθµητικές εφαρµογές της παραπάνω µεθόδου παρατίθενται στο αντίστοιχο κεφάλαιο των αριθµητικών εφαρµογών, στα πλαίσια των συγκρίσεων των διαφόρων µοντέλων προσοµοίωσης του εδάφους ως ελαστικού υποβάθρου.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων 7... Πρόταση νέας προσέγγισης του προβλήµατος Η κατάστρωση των εξισώσεων, οι οποίες διέπουν το πρόβληµα της κάµψης δοκών επί του ελαστικού υποβάθρου δυο παραµέτρων του lasov µε τη θεώρηση και των οριζοντίων µετακινήσεων, µπορεί να επιτευχθεί και µε εφαρµογή της αρχής της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας παραµόρφωσης του συστήµατος δοκός ελαστικό υπόβαθρο. Η εφαρµογή της αρχής αυτής για την περίπτωση του κλασικού υποβάθρου του lasov οδηγεί ως γνωστόν στην τεκµηρίωση της µαθηµατικής έκφρασης που διέπει το προφίλ των κατακορύφων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου, αλλά και στον προσδιορισµό µε µια επαναληπτική διαδικασία της παραµέτρου γ (σχέση (.β)), η οποία έχει σηµαντική επιρροή στα αποτελέσµατα που προκύπτουν από την εφαρµογή του προσοµοιώµατος (βλέπε allabhan και as (988), και Παράγραφο... της παρούσης διατριβής). Το γεγονός αυτό οδηγεί στο συµπέρασµα, ότι η εφαρµογή της αρχής της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας για την περίπτωση του ελαστικού υποβάθρου του lasov µε τη θεώρηση των οριζοντίων µετακινήσεων µπορεί να οδηγήσει στον σχηµατισµό των εξισώσεων που διέπουν το προφίλ των οριζοντίων και κατακορύφων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου. Η διαδικασία κατάστρωσης των εξισώσεων ξεκινά από τη θεώρηση του συστήµατος δοκός ελαστικό υπόβαθρο. Για λόγους απλοποίησης των εξισώσεων που θα παρατεθούν, θα δοθεί η συνοπτικά µόνον η διαδικασία που αφορά τη δοκό Euler Bernoulli. Έστω ότι το πάχος του συστήµατος στην εγκάρσια διεύθυνση είναι πολύ µεγάλο, και εποµένως πληρούνται οι προϋποθέσεις ισχύος των εξισώσεων επίπεδης παραµόρφωσης. Όπως φαίνεται στο σχήµα., το ελαστικό υπόβαθρο διακρίνεται σε τρία πεδία: Το πρώτο πεδίο ορίζεται για - <x< και <z<h (Πεδίο Ι) Το δεύτερο πεδίο ορίζεται για <x< και <z<η (Πεδίο ΙΙ) Το τρίτο πεδίο ορίζεται για <x< και <z<h (Πεδίο ΙΙΙ) Οι εκφράσεις των µετακινήσεων, των τάσεων και των παραµορφώσεων του υποβάθρου, ορίζονται ξεχωριστά σε κάθε πεδίο ως εξής: Μετακινήσεις Οριζόντιες µετακινήσεις: u(x,z) i (x)φ (z) (.9α) Κατακόρυφες µετακινήσεις: w(x,z) i (x)ψ (z) (.9β) Οι οριακές τιµές για τις συναρτήσεις φ(z), ψ(z) είναι: - Στην επιφάνεια του υποστρώµατος (z): φ ()ψ () (.9γ) - Στην βάση του υποστρώµατος (zh): φ (Η)ψ (Η) (.9δ) Παραµορφώσεις φ dψ ε i ε xx, i zz, i i ε di dφ ψ i (.) xz, i

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων 8 Τάσεις σ xx, i E( ν) i ν dψ φ ( )(i ) ( ν)( ν) ν (.α) E( ν) dψ ν i zz, i i ( )( φ ) ( ν)( ν) (.β) ν σ τ xz, i E di ψ ( ν) i dφ (.γ) Στις παραπάνω σχέσεις ο δείκτης i δηλώνει τη διαφοροποίηση των εκφράσεων των µετακινήσεων, των παραµορφώσεων και των τάσεων στα τρία πεδία στα οποία χωρίζεται το ελαστικό υπόστρωµα, και εποµένως λαµβάνει τιµές,,. Με βάση τα παραπάνω ελαστική ενέργεια παραµόρφωσης του συστήµατος δοκός εδαφικό υπόστρωµα λαµβάνει την παρακάτω µορφή: d π E I b H b q(x) (x) H [ σ ε σ ε τ ε ] H b [ σxx,ε xx, σzz,εzz, τxz,εxz,] dy [ σxx,ε xx, σzz,ε zz, τxz,ε xz,] b xx, xx, zz, zz, xz, xz, (.) (Στην παρούσα περίπτωση όπου το πρόβληµα είναι πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης, το b λαµβάνεται ίσο µε τη µονάδα). Σύµφωνα µε τη θεωρία των συναρτησιακών, η συνθήκη ισορροπίας του συστήµατος είναι (βλέπε και Παράγραφο...): Ισορροπία συστήµατος π stat. δπ (.) Εισάγοντας στην (.) τις εκφράσεις (.) και (.α γ) προκύπτει: Ε Η bι d Eb( ν) π φ ( ν)( ν) Ebν H dψ Eb φ ( ν)( ν) ( ν) Eb ( ν) Eb ( ν) Ebν ( ν)( ν) H d H H d dφ ψ dφ ψ Eb( ν) ( ν)( ν) dψ Eb φ ( ν) dψ dφ d ψ Eb H d Η dφ Eb( ν) dψ ψ φ ( ν) ( ν)( ν) Ebν H dψ H Eb dφ d φ ψ ( ν)( ν) ( ν) H H dψ φ dφ d ψ Η q(x) (x) (.)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων 9 Για τον υπολογισµό της πρώτης µεταβολής του συναρτησιακού (.) γίνεται εφαρµογή των αρχών του λογισµού των µεταβολών. Μετά την εφαρµογή των αρχών αυτών και την εκτέλεση των απαραίτητων αλγεβρικών µετασχηµατισµών που εδώ παραλείπονται προκύπτει η ακόλουθη σχέση: δπ ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) d E b I d Ε b Ι d Ε b Ι H ( ) δ ( M M ) d q(x) dφ d δ d ( ) δ N d d dψ d d d δ H ( M M ) M ψ N ψ δψ δ M φ δψ Η d N δ d dφ d δ dψ δ d M ψ δφ δ Η d d d M φ N φ δ δ δφ (.) Όπου: Εb( ν) H φ ( ν)( ν) Eb Η dφ ψ ( ν) και H Εb( ν) dψ Ebν Η dψ φ ( ν)( ν) ( ν)( ν) Eb Η ψ ( ν) Η Eb dφ ( ν) (.) m m m M m m m M M m m m M m m m (.7α) n n n N n n n N (.7β) m Εb( ν) ( ν)( ν) m Εb( ν) ( ν)( ν) Εb( ν) Ebν m m ( ν)( ν) ( ν)( ν) m Ebν Ebν m ( ν)( ν) ( ν)( ν) Eb d Eb l m m ( ν) ( ν) d (.7γ) (.7δ)

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων m m n n n Eb ( ν) d Eb d ( ν) Εb( ν) ( ν)( ν) Εb( ν) ( ν)( ν) Eb ( ν) m m n n n Eb d ( ν) Eb d ( ν) Εb( ν) ( ν)( ν) Eb ( ν) Eb ( ν) (.7ε) (.7στ) Για την εκπλήρωση της συνθήκης δπ θα πρέπει αφενός οι ολοκληρωτές των ολοκληρωµάτων της σχέσης (.) να είναι όλοι ίσοι µε το µηδέν και αφετέρου οι τιµές των εκφράσεων εντός των αγκυλών να µηδενίζονται στα όρια x± και z, H. Επειδή όµως οι µεταβολές δ i, δ i, δφ, δψ των συναρτήσεων i, i, φ, ψ είναι µη µηδενικές, η συνθήκη µηδενισµού της µεταβολής δπ διασπάται στις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: α. Επιφάνεια ελαστικού υποστρώµατος - <x<, z α. Τµήµα επιφανείας: - <x<, z Στο πεδίο αυτό ορίζονται οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: d d (.8α) ( ) d ( ) (.8β) Ξεκινώντας από τις δυο παραπάνω εξισώσεις και ακολουθώντας την µαθηµατική διαδικασία που παρουσιάστηκε και στην Παράγραφο.. προκύπτει η παρακάτω εξίσωση: d F d FI [ ] ( ) F I ( ) ( ) ( ) I (.9) Στην εξίσωση αυτή η συνάρτηση F I συνδέεται µε τα µεγέθη, µε τις παρακάτω σχέσεις: (.α),fi (.β),fi Όπου οι διαφορικοί τελεστές,,, δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: d d, ( ), (.) Η επίλυση της εξίσωσης (.9) οδηγεί στον προσδιορισµό της βοηθητικής συνάρτησης F I, και µε τη βοήθεια των (.α), (.β) στον προσδιορισµό τελικά των,.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων α. Τµήµα επιφανείας: <x<, z Στο πεδίο αυτό ορίζονται οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: d d (.α) ( ) d I d q(x) ( ) (.β) E b Ακολουθώντας την διαδικασία που ακολουθήθηκε και προηγουµένως, προκύπτει: ( ) d FII [( ) ( )] ( ) F q d FII d FII ( E B I B ) E I B B II (.) E BI B Όπου:,FII,FII,FII,FII (.) α. Τµήµα επιφανείας: <x<, z Στο πεδίο αυτό ορίζονται δυο διαφορικές εξισώσεις όµοιες µε τις (.8α) και (.8β) αλλά µε αγνώστους τις µετακινήσεις,. Εποµένως ακολουθώντας την ίδια διαδικασία όπως και προηγουµένως, προκύπτει: d F d FIII [ ] ( ) F III ( ) ( ) ( ) III (.) Για την βοηθητική συνάρτηση F III ισχύουν:,fiii,fiii,fiii,fiii (.) β. Κατανοµή των οριζοντίων και κατακορύφων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου, <z<h Η κατάστρωση της µαθηµατικής διατύπωσης του προσοµοιώµατος του lasov µε εφαρµογή της αρχής της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας παραµόρφωσης οδηγεί, πέραν των εξισώσεων από τις οποίες υπολογίζονται οι µετακινήσεις στην επιφάνεια του υποστρώµατος, και στις διαφορικές εξισώσεις που καθορίζουν την κατανοµή των µετακινήσεων στο εσωτερικό του. Έτσι από την σχέση (.) προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις µε άγνωστες τις συναρτήσεις φ (z) και ψ (z): dψ d φ (.7α) ( M ) M φ N M dφ d ψ ( M M ) M ψ N (.7β) Με εισαγωγή της βοηθητικής συνάρτησης G οι παραπάνω εξισώσεις συµπτύσσονται στην παρακάτω εξίσωση: d G [ ] ( M M ) G d G (.8) ( N ) ( M M ) ( M N M N ) N Η βοηθητική συνάρτηση G συνδέεται µε τις άγνωστες συναρτήσεις φ (z) και ψ (z) µε τις παρακάτω σχέσεις: dg ( Μ Μ ) φ(z) d G ψ(z) ΜG Ν (.9)

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων γ. Εισαγωγή των οριακών συνθηκών και των συνθηκών συνέχειας Κατά τη διαδικασία σχηµατισµού της πρώτης µεταβολής του συναρτησιακού (.) διατυπώθηκε η πρόταση η οποία είναι βασισµένη σε βασικό λήµµα του λογισµού των µεταβολών ότι ο µηδενισµός της απαιτεί τόσο το µηδενισµό των ολοκληρωτών των ολοκληρωµάτων της (.), όσο και τον µηδενισµό των αντιστοίχων εκφράσεων εντός των αγκυλών. Η απαίτηση για µηδενισµό των ολοκληρωτών εκπληρώνεται από την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων (.9), (.), (.) και (.8). Είναι προφανές, ότι ενώ ο µηδενισµός των ολοκληρωτών απαιτείται σε διαστήµατα τιµών τόσο της µεταβλητής x όσο και της µεταβλητής z, ο µηδενισµός των εκφράσεων εντός των αγκυλών απαιτείται σε συγκεκριµένα σηµεία του πεδίου. Εποµένως η εξίσωση µε το µηδέν όλων των εκφράσεων εντός των αγκυλών οδηγεί στην διατύπωση των συνοριακών συνθηκών του προβλήµατος. Όπως φαίνεται και στο Σχήµα., στα άκρα της δοκού (δηλαδή στα σηµεία x και x), τα οποία είναι τα σηµεία της επιφάνειας που βρίσκονται στα όρια των τριών πεδίων στα οποία χωρίζεται το ελαστικό υπόστρωµα, ισχύουν συνθήκες συνέχειας των οριζοντίων και κατακορύφων µετακινήσεων. Βάσει αξιώµατος του λογισµού των µεταβολών εφόσον υφίσταται ισότητα τιµών δυο συναρτήσεων σε κάποιο δεδοµένο σηµείο του πεδίου ορισµού τους, υφίσταται ισότητα και των µεταβολών τους στο δεδοµένο σηµείο. Εποµένως για τα σηµεία (x, z) και (x, z) θα ισχύουν: () () δ () δ () (.α) () () δ () δ () (.β) () () δ () δ () (.γ) () () δ () δ () (.δ) Λαµβάνοντας υπόψη τις παραπάνω ισότητες, και θεωρώντας ότι το πεδίο µετακινήσεων ικανοποιεί τις διαφορικές εξισώσεις (.9), (.), (.) και (.8) η σχέση (.) λαµβάνει την παρακάτω µορφή: δπ d E bi d E bi d δ d δ x δ d δ x d E bi ( ) x ( x ) ( x ) d E bi d δ N d δ x d x d dψ M φ δψ d δ δ Η N δ x δ ( x ) x Η dφ Mψ δφ (.) Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν και οι υπόλοιπες τρεις συνθήκες συνέχειας στα άκρα x και x της δοκού. Πιο συγκεκριµένα για το σηµείο x προκύπτουν οι παρακάτω συνθήκες:

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Εφαρµογές της επίλυσης του προβλήµατος κάµψης δοκών επί υποβάθρου τριών παραµέτρων x (.α) x d E I d d b d E I b x x (.β) (.γ) Η συνθήκη (.α) µαζί µε την (.α) εκφράζει την συνέχεια των οριζοντίων µετακινήσεων στο άκρο x της δοκού, και η συνθήκη (.γ) το µηδενισµό της ροπής κάµψης στο ίδιο σηµείο. Η συνθήκη (.β) επαληθεύεται από τη κλασσική θεώρηση των συνθηκών ισορροπίας: Όπως είναι γνωστό στα πλαίσια της διαδικασίας σχηµατισµού των εξισώσεων ισορροπίας του προσοµοιώµατος του lasov (Παράγραφος...) ορίζονται η γενικευµένη διαµήκης και η γενικευµένη εγκάρσια (διατµητική) δύναµη Τ και S (σχέσεις (.α) και (.β) αντίστοιχα). Ξεκινώντας από τις σχέσεις (.α) και (.β) και λαµβάνοντας υπόψη τις (.α), (.γ) και (.) προκύπτουν: (.α) Τ d (.β) S Από την εφαρµογή των (.α) και (.β) αριστερά και δεξιά του σηµείου x (δηλαδή για x - και x ) προκύπτουν: T( ) ( ) T T ( ) ( ) T x x d x (.α) S( ) ( ) S S ( ) ( ) S x x x x d (.β) Επειδή όµως η γενικευµένη διατµητική δύναµη S είναι η συνισταµένη των διατµητικών τάσεων στο εσωτερικό του υποστρώµατος, και αφού οι όλες οι συνθήκες ισορροπίας αφορούν όχι µόνο το εδαφικό υπόστρωµα αλλά το σύστηµα δοκός εδαφικό υπόστρωµα, θα πρέπει να προστεθεί στην τιµή της διατµητικής δύναµης S () και η τέµνουσα δύναµη της δοκού. Από την πρόσθεση αυτή προκύπτει η γενικευµένη τέµνουσα της δοκού Ν(x) για την οποία έγινε αναφορά στην Παράγραφο.. (Σχέση.), και στην Παράγραφο.. (Σχέση.7γ): Q d ( ) S ( ) E I ( ) N x b x x d (.) Επειδή προφανώς θα πρέπει να ισχύει: S ()N(), η εξίσωση των σχέσεων (.β) και (.) δίνει: d d d E b I ( ) ( ) (.) x x Αν όµως στην παραπάνω σχέση ληφθεί υπόψη το γεγονός ότι () () (Σχέση.α), τότε προκύπτει η (.β).