ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η γενική περίπτωση της ελαστικως εδραζοµενης δοκού επί υποβάθρου τριών παραµέτρων

Transcript

1 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων ΚΕΑΛΑΙΟ. Η γενική περίπτωση της ελαστικως εδραζοµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων.. Εισαγωγή Όπως τονίστηκε στο Κεφάλαιο (Παράγραφος..) όπου έγινε παρουσίαση των προσοµοιωµάτων του εδάφους ως ελαστικού υποάθρου, ως προσοµοιώµατα τριών παραµέτρων χαρακτηρίζονται τα προσοµοιώµατα των Kerr, Hetényi, και Reissner. Τα προσοµοιώµατα αυτά διαφέρουν µεταξύ τους όχι µόνον όσον αφορά τις ασικές παραδοχές στις οποίες στηρίζονται, αλλά και ως προς την µορφή των διαφορικών εξισώσεων οι οποίες τα διέπουν. Το προσοµοίωµα του Kerr έχει την ιδιότητα να αποτελεί άµεση επέκταση του µηχανικού προσοµοιώµατος των δυο παραµέτρων του asterna (Κεφάλαιο, Παράγραφοι... και..7). Αυτό έχει ως αποτέλεσµα τη δυνατότητα ειδίκευσης των εξισώσεων του καθώς και κάθε µητρωικού µεγέθους που προκύπτει από αυτές, όπως π.χ. τα µητρώα δυσκαµψίας στις αντίστοιχες εξισώσεις του προσοµοιώµατος των δυο παραµέτρων, οι οποίες θα παρουσιαστούν στο Κεφάλαιο (Παράγραφος.). Στο παρόν κεφάλαιο θα καταστρωθούν και θα επιλυθούν αναλυτικά οι διαφορικές εξισώσεις οι οποίες διέπουν το πρόληµα της κάµψης των δοκών Euler και Timosheno επί ελαστικού υποάθρου τριών παραµέτρων τύπου Kerr, τόσο στα πλαίσια της θεωρίας α όσο και τάξης. Πιο συγκεκριµένα, θα σχηµατιστούν τα µητρώα δυσκαµψίας, µεταφοράς και φόρτισης (για καθολική τραπεζοειδή φόρτιση, για φόρτιση από µοναχικό φορτίο ή ροπή σε τυχούσα θέση, και για φόρτιση λόγω ανοµοιόρφης θερµοκρασιακής µεταολής), και στη συνέχεια θα πραγµατοποιηθεί µια γενίκευση των µητρώων αυτών µε: τη θεώρηση ακάµπτων ραχιόνων και στροφικών ελατηρίων στα άκρα των δοκών, τη θεώρηση της επιρροής του εδάφους εκατέρωθεν των δοκών, και τη θεώρηση στρεπτικών και αξονικών αθµών ελευθερίας µε στρεπτική και αξονική ελαστική έδραση... Κατάστρωση των διαφορικών εξισώσεων του προλήµατος... οκός Timosheno... Θεωρία τάξης Η κατάστρωση της διαφορικής εξίσωσης και στην παρούσα αλλά και στις επόµενες παραγράφους του παρόντος κεφαλαίου, θα γίνει µε άση το επίπεδο πρόληµα και πιο συγκεκριµένα µε άση την παραδοχή συνθηκών επίπεδης παραµόρφωσης. Για το σκοπό αυτό θεωρείται µια πλακολωρίδα «απείρου» µήκους και πλάτους, η οποία εδράζεται επί ελαστικού υποάθρου τριών παραµέτρων. Υπενθυµίζεται ότι το µηχανικό µόρφωµα του εδαφικού προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων σε δυο διαστάσεις, συνίσταται από µια διατµητική στρώση µοναδιαίου πάχους (µε µέτρο διάτµησης [N/m]), η οποία εδράζεται επί µιας στρώσης πυκνά τοποθετηµένων γραµµικών ελατηρίων σταθεράς Κ [N/m ]. Η πλακολωρίδα, καθώς και η κάθε άλλου τύπου κατασκευή, εδράζεται επί του µηχανικού προσοµοιώµατος µέσω µια άλλης στρώσης πυκνά τοποθετηµένων γραµµικών ελατηρίων σταθεράς C [N/m ]. Η φόρτιση της πλακολωρίδας q(x) είναι οµοιόµορφη κατά τη διεύθυνση του µήκους της έτσι ώστε να πληρεί τις προϋποθέσεις ισχύος των συνθηκών

2 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 5 επίπεδης παραµόρφωσης. Λόγω της εκπλήρωσης των συνθηκών του επιπέδου προλήµατος, ο σχηµατισµός των εξισώσεων µπορεί να γίνει θεωρώντας µόνον µια λωρίδα πλάτους b (Σχήµα.α). Για την κατάστρωση της διαφορικής εξίσωσης του προλήµατος θα χρησιµοποιηθεί η αρχή της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας του συστήµατος δοκός ελαστικό υπόαθρο (Σχήµα.). Η ελαστική ενέργεια του συστήµατος δίνεται από τη σχέση: π T ψ b ψ ( ) C b q(x) (.) Στην παραπάνω σχέση ο πρώτος όρος αντιπροσωπεύει την ενέργεια καµπτικής παραµόρφωσης της δοκού η οποία εξαρτάται από τη πρώτη παράγωγο της καµπτικής γωνίας στροφής των διατοµών ψ. Ο δεύτερος όρος εκφράζει την ενέργεια παραµόρφωσης λόγω της ολίσθησης των διατοµών, όπου (/ ψ) είναι η γωνία ολίσθησης των διατοµών, Β F, Β είναι το µέτρο διάτµησης του υλικού της δοκού και F η επιφάνεια ολίσθησης της διατοµής. Οι επόµενοι όροι αντιπροσωπεύουν κατά σειρά την ενέργεια παραµόρφωσης της άνω στρώσης των ελατηρίων, την ενέργεια παραµόρφωσης της κάτω στρώσης των ελατηρίων, την ενέργεια παραµόρφωσης της διατµητικής στρώσης και το έργο της εξωτερικής φόρτισης που καταπονεί τη δοκό. b K ' Ο τελευταίος όρος εκφράζει την ενέργεια παραµόρφωσης λόγω της αξονικής (θεωρούµενης εδώ ως θλιπτικής) δύναµης, η οποία εκτελεί έργο µόνον εξαιτίας της αξονικής ράχυνσης της δοκού αφού οι αξονικές παραµορφώσεις θεωρούνται αµελητέες. Πλακολωρίδα απείρου µήκους ' y z b ιατµητικό στρώµα q(x) C (α) K " " x Cb 'b Kb, BF' Σχήµα.. Αναγωγή του προλήµατος σε πρόληµα επίπεδης παραµόρφωσης (α), Η κάµψη δοκού Timosheno επί ελαστικού υποάθρου τριών παραµέτρων τύπου Kerr στα πλαίσια της θεωρίας τάξης (). Όσον αφορά τα µεγέθη,, υπενθυµίζεται ότι: η συνολική κατακόρυφη µετακίνηση του άξονα της δοκού. η συνιστώσα της συνολικής κατακόρυφης µετακίνησης, η οποία οφείλεται στην παραµόρφωση της άνω στρώσης των ελατηρίων του προσοµοιώµατος. η συνιστώσα της συνολικής κατακόρυφης µετακίνησης, η οποία οφείλεται στην παραµόρφωση της κάτω στρώσης των ελατηρίων του προσοµοιώµατος. () p(x)

3 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Όπως είναι φυσικό ισχύει: (.) Σύµφωνα µε την αρχή της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας παραµόρφωσης, η συνθήκη ισορροπίας του συστήµατος είναι: πmin (.) Με άση τη θεωρία των συναρτησιακών, αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ακραίας τιµής ενός συναρτησιακού αποτελεί ο µηδενισµός της πρώτης µεταολής δπ. Επειδή όµως η συνθήκη αυτή δεν είναι και ικανή, ο όρος «ακραία τιµή» οφείλει να αντικατασταθεί από τον όρο «στάσιµη τιµή». Τα παραπάνω συνοψίζονται από την εξής συµολική διατύπωση: Ισορροπία συστήµατος π stat. δπ (.) Εποµένως θα πρέπει να υπολογιστεί η πρώτη µεταολή του συναρτησιακού π T (Σχέση.). Πριν σχηµατιστεί η πρώτη µεταολή της ενέργειας παραµόρφωσης του συστήµατος, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη το γεγονός ότι οι τρεις άγνωστες συναρτήσεις του προλήµατος (οι µετακινήσεις,, ), δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, καθώς συνδέονται µέσω της (.). Όπως είναι γνωστό από το λογισµό των µεταολών, για να ισχύουν οι κλασσικές σχέσεις µε τη οήθεια των οποίων σχηµατίζεται η πρώτη µεταολή ενός συναρτησιακού, θα πρέπει στην έκφραση του συναρτησιακού αυτού να συµπεριλαµάνονται συναρτήσεις ανεξάρτητες µεταξύ τους. Για να παρακαµφθεί το πρόληµα αυτό, αρκεί να αντικατασταθεί στην σχέση (.) η συνάρτηση, από τις, οι οποίες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Μετά την αντικατάσταση αυτή και µε εφαρµογή των αρχών του λογισµού των µεταολών, προκύπτει η πρώτη µεταολή του π T, η οποία δίνεται από την παρακάτω σχέση: δπ T ψ ΕΙ δψ ( ) δ ( ) ψ q( x) ΕΙ ψ ψ δψ ψ δ δ δ (.5) Όπου Cb (N/m ), Kb (N/m ), και b (N). Στην παραπάνω σχέση έχουν αναδιαταχθεί και συγκεντρωθεί οι όροι οι οποίοι αναφέρονται στις παραλλαγές δ, δψ, δ. Για την εκπλήρωση της συνθήκης δπ T θα πρέπει αφενός οι ολοκληρωτές των ολοκληρωµάτων να είναι όλοι ίσοι µε το µηδέν, και αφετέρου οι τιµές των εκφράσεων εντός των αγκυλών να µηδενίζονται στα άκρα της δοκού, δηλαδή στα όρια x και x. Έτσι προκύπτουν οι εξισώσεις: ( ) ψ q( x) δ (.α) (.) ( )

4 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 7 ψ ΕΙ ψ (.γ) Οι παραπάνω εξισώσεις συνθέτουν ένα σύστηµα τριών διαφορικών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους: την συνολική κατακόρυφη µετακίνηση, τη συνιστώσα της συνολικής κατακόρυφης µετακίνησης η οποία οφείλεται στην παραµόρφωση της κάτω στρώσης των ελατηρίων, και τη γωνία στροφής των διατοµών λόγω των καµπτικών παραµορφώσεων ψ. Με κατάλληλο συνδυασµό των εξισώσεων αυτών επιτυγχάνεται η αποσύζευξη των µεγεθών, ψ ως εξής: Καταρχήν επιλύεται η (.α) ως προς την πρώτη παράγωγο της γωνίας στροφής των διατοµών ψ/, καθώς και η (.) ως προς την συνολική κατακόρυφη µετακίνηση του άξονα της δοκού, οπότε προκύπτουν αντίστοιχα: ψ q (Ι) (ΙΙ) Με συνδυασµό των δυο παραπάνω εκφράσεων δηλαδή µε την εισαγωγή της (ΙΙ) και της δεύτερης παραγώγου της στην (Ι) επιτυγχάνεται ο συσχετισµός των µεγεθών ψ/ και : ψ q (ΙΙΙ) Τέλος, παραγωγίζοντας µια φορά την (.γ) και εισάγοντας σ αυτήν την (ΙΙ) την (ΙΙΙ) καθώς και τις ανώτερες παραγώγους τους, προκύπτει η αποσυζευγµένη από τις άλλες παραµέτρους διαφορική εξίσωση της µετακίνησης : ( ) q q (.7α) Για την κατάστρωση της αποσυζευγµένης διαφορικής εξίσωσης της γωνίας στροφής των διατοµών ψ, θα πρέπει να γίνουν οι κάτωθι µετασχηµατισµοί: Καταρχήν, επιλύονται οι (.γ) και (.α) ως προς / και αντίστοιχα, οπότε προκύπτουν: ΕΙ ψ ψ (IV) ψ q (V) Κατόπιν παραγωγίζεται µια φορά η (V) και εισάγονται σ αυτήν τόσο η (IV) και οι απαιτούµενες παράγωγοι της. Έτσι επιτυγχάνεται η έκφραση της ως προς την ψ χωρίς να υπεισέρχεται στη σχέση αυτή η : ψ ψ q ψ (VI)

5 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 8 Τέλος, παραγωγίζοντας µια φορά τη (.) και εισάγοντας σ αυτή την (IV), την (VI), καθώς και τις απαιτούµενες παράγωγους της τελευταίας, προκύπτει η αποσυζευγµένη διαφορική εξίσωση της στροφής των διατοµών ψ: ψ ψ ψ ( ) ψ q q Οι οµογενείς των παραπάνω εξισώσεων µπορούν να γραφούν ως εξής: (.7) (.8α) ψ ψ ψ ψ (.8) Όπου: (.9α) ΕΙ Ρ ( ) (.9) (.9γ) Ρ Ο τρίτος άγνωστος του προλήµατος, η συνάρτηση που περιγράφει τη συνολική κατακόρυφη µετακίνηση µπορεί να υπολογιστεί δευτερογενώς, αφού από την εξίσωση (.) προκύπτει: Εποµένως το πρόληµα της κάµψης δοκού Timosheno επί ελαστικού υποάθρου τριών παραµέτρων τύπου Kerr στα πλαίσια της θεωρίας τάξης, διέπεται από τις εξισώσεις (.7α), (.7) και (.). (.)... Θεωρία α τάξης Για την κατάστρωση των διαφορικών εξισώσεων για την παρούσα περίπτωση είναι δυνατό να γίνει χρήση της µεθόδου που παρουσιάστηκε στην προηγούµενη παράγραφο. Ωστόσο υπάρχει δυνατότητα χρήσης των (.7α), (.7) και (.) θέτοντας στις εν λόγω σχέσεις µηδενική τιµή για το αξονικό φορτίο. Εποµένως οι διαφορικές εξισώσεις: q q (.α) ψ ψ ψ q q ψ (.) µαζί µε την (.) είναι οι εξισώσεις που διέπουν το πρόληµα της κάµψης δοκού Timosheno επί ελαστικού υποάθρου τριών παραµέτρων τύπου Kerr στα πλαίσια της θεωρίας α τάξης.

6 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 9 Οι οµογενείς εξισώσεις των (.α) και (.) µπορούν να γραφούν µε τη µορφή των (.8α) και (.8), όπου στην περίπτωση αυτή οι συντελεστές,, είναι: (.α) (.) ΕΙ (.γ)... οκός Euler Bernouli... Θεωρία τάξης Ακολουθώντας την αρχή της στάσιµης τιµής της ελαστικής ενέργειας του συστήµατος δοκός ελαστικό υπόαθρο όπως και στην Παράγραφο... θα καταστρωθούν οι εξισώσεις της παρούσας περίπτωσης. Η ελαστική ενέργεια του συστήµατος είναι (Σχήµα.): b b b π E C( ) K ' q(x) (.) Η επεξήγηση των όρων που υπεισέρχονται στην παραπάνω σχέση είναι η ίδια µε αυτή που δίνεται για την αντίστοιχη σχέση της δοκού Timosheno (.). Στο σηµείο αυτό πρέπει να τονιστεί ότι η ενέργεια παραµόρφωσης λόγω της κάµψης της δοκού εξαρτάται από την καµπυλότητα ( / ) και όχι από τη πρώτη παράγωγο της συνάρτησης (ψ) η οποία εκφράζει τη γωνία στροφής των διατοµών, η οποία στα πλαίσια της θεωρίας Timosheno είναι διάφορη της κλίσης της ελαστικής γραµµής (/). BF'ö p(x) Σχήµα.. Η κάµψη δοκού Euler - Bernoulli επί ελαστικού υποάθρου τριών παραµέτρων τύπου Kerr στα πλαίσια της θεωρίας τάξης Η πρώτη µεταολή του συναρτησιακού π Ε είναι: δπ E ΕΙ δ ( ) ΕΙ δ δ δ ΕΙ ( ) q(x) δ (.)

7 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Για να εκπληρωθεί η συνθήκη δπ E θα πρέπει αφενός οι ολοκληρωτές των ολοκληρωµάτων να είναι όλοι ίσοι µε το µηδέν και αφετέρου οι τιµές των εκφράσεων εντός των αγκυλών να µηδενίζονται στα όρια x και x. Έτσι προκύπτουν οι εξισώσεις: ( ) ( ) x q ΕΙ (.5α) ( ) (.5) Απαλείφοντας το από την (.5α) και το από την (.5) καταλήγουµε στις παρακάτω εξισώσεις: q q (.α) q (.) Οι οµογενείς εξισώσεις των παραπάνω εξισώσεων µπορούν να γραφούν µε τη µορφή: (.7α) (.7) όπου οι συντελεστές,, είναι: (.8α) (.8) (.8γ)... Θεωρία α τάξης Οι εξισώσεις για τη θεωρία α τάξης προκύπτουν από τις εξισώσεις που σχηµατίστηκαν στην προηγούµενη παράγραφο εάν τεθεί Ρ: q q (.9α) q (.9) Οι αντίστοιχες οµογενείς εξισώσεις µπορούν να γραφούν στη µορφή των (.8α) και (.8), θέτοντας: (.α) (.)

8 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων (.γ) Τέλος θα πρέπει να τονιστεί ότι από τις διαφορικές εξισώσεις που παρουσιάστηκαν στις προηγούµενες παραγράφους µπορούν να προκύψουν οι αντίστοιχες εξισώσεις του προσοµοιώµατος των δυο παραµέτρων. Για την επίτευξη των µετατροπών αυτών, αρκεί στις εξισώσεις αυτές να θεωρηθεί η οριακή τιµή, ενώ παράλληλα θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι στην περίπτωση αυτή. Επί παραδείγµατι, από τις εξισώσεις (.7α) και (.7), εάν θεωρηθεί ότι, και τότε προκύπτουν οι εξισώσεις: q q (.α) ψ ψ q ψ (.) οι οποίες ως γνωστό διέπουν το πρόληµα της κάµψης δοκού Timosheno επί ελαστικού υποάθρου δυο παραµέτρων στα πλαίσια της θεωρίας τάξης (Παράγραφος...)... Λύση και διερεύνηση των διαφορικών εξισώσεων του προλήµατος... Η λύση των διαφορικών εξισώσεων Όπως αποδείχθηκε στην προηγούµενη παράγραφο, το πρόληµα της κάµψης δοκών επί ελαστικού υποάθρου τριών παραµέτρων τόσο στα πλαίσια της θεωρίας α τάξης όσο και στα πλαίσια της θεωρίας τάξης διέπεται από δυο διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. Η γενική µορφή των οµογενών διαφορικών εξισώσεων αυτών δίνεται από τις σχέσεις (.8α), (.8) για τη δοκό Timosheno, και τις (.8α), (.8) για τη δοκό Euler Bernoulli. Οι συντελεστές των εξισώσεων αυτών, δίνονται συγκεντρωτικά στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας.). Πίνακας.. Εκφράσεις των συντελεστών,, ανάλογα µε τον τύπο της δοκού και την τάξη ανάλυσης οκός / Τάξη ανάλυσης α τάξη Euler τάξη Timosheno α τάξη τάξη Ρ ΕΙ ΕΙ ( ) Ρ Οι εξισώσεις (.8α), (.8), (.8α), και (.8) ανήκουν στην κατηγορία των διαφορικών εξισώσεων µε τη γενική µορφή: y y y y όπου η συνάρτηση y να ταυτίζεται κάθε φορά µε µία εκ των συναρτήσεων,, ψ. (.)

9 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Η χαρακτηριστική εξίσωση της (.) είναι: r r r (.) Θέτοντας r µ η (.) παίρνει τη µορφή: µ µ µ (.) Θέτοντας επιπλέον µt ( /) η (.) γίνεται: (α)t t (.5) Όπου: α 7 (.) Με άση το πρόσηµο της διακρίνουσας α, διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις λύσης της εξίσωσης (.5): Περίπτωση Α (Κατηγορία Α): α >: τότε η ρίζα t της (.5) είναι πραγµατικός αριθµός, ενώ οι t, t µιγαδικοί Εποµένως κατ αντιστοιχία η ρίζα µ της (.) είναι πραγµατικός αριθµός και οι µ, µ µιγαδικοί: t (.7α) i t (.7) i t (.7γ) Λόγω του ότι έχει τεθεί r µt ( /), οι ρίζες της (.) είναι: t r r t r r t r r 5 (.8) Η γενική λύση της (.) στην περίπτωση κατά την οποία η ρίζα µ είναι θετικός αριθµός είναι (Περίπτωση Α ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Qx sin e C Qx os e C Qx sin e C Qx os e C e C e C x y Rx Rx 5 Rx Rx x R x R (.9) Όπου: R (.α) m n m R (.) m n m Q (.γ) m n

10 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Αντίστοιχα γενική λύση της (.) στην περίπτωση κατά την οποία η ρίζα µ είναι αρνητικός αριθµός είναι (Περίπτωση Α ): Rx Rx Rx Rx ( x) C os( Qx) C sin( Qx) C e os( Q x) C e sin( Q x) C e os( Q x) C e sin( Q x) y 5 (.) Όπου: Q (.) ενώ τα R, Q δίνονται από τις σχέσεις (.) και (.γ) αντίστοιχα. Περίπτωση Β (Κατηγορία Β): α <: τότε οι t, t, t και κατ επέκταση και οι µ, µ, µ είναι πραγµατικοί αριθµοί: t ( φ ) αos (.α) [( φ π) ] t αos (.) [( φ π) ] t αos (.γ) φ os (.δ) α Όπου τα α, δίνονται από τη σχέση (.). Στην περίπτωση αυτή για να καθοριστεί η µορφή της γενικής λύσης της (.) θα πρέπει να διερευνηθούν τα πρόσηµα των µ, µ, µ καθώς εφόσον ετέθη r µ, εάν κάποια από τις ρίζες µ i είναι θετική τότε η αντιστοιχούσα σε αυτή ρίζα r i είναι πραγµατικός αριθµός. Αντίστοιχα εάν µ i είναι αρνητικός αριθµός τότε η αντίστοιχη ρίζα r i είναι φανταστικός αριθµός. Εποµένως στη γενική περίπτωση είναι δυνατό να εµφανιστούν οι µορφές λύσης που δίνονται στον Πίνακα.α. Περίπτωση Γ (Κατηγορία Γ): α : και στην περίπτωση αυτή οι ρίζες t, t, t και κατ επέκταση και οι ρίζες µ, µ, µ είναι πραγµατικοί αριθµοί. Η διαφορά της περίπτωσης αυτής, από την περίπτωση Β συνίσταται στο ότι ανάλογα µε το πρόσηµο του (.) εµφανίζεται ισότητα των ριζών µ και µ, ή των ριζών µ και µ. Όλες οι δυνατές υποπεριπτώσεις δίνονται στον Πίνακα.α. Πρέπει να τονιστεί ότι η κατηγορία αυτή είναι εξαιρετικά απίθανο να εµφανιστεί στην πράξη, καθώς για να συµεί αυτό απαιτούνται συγκεκριµένοι συνδυασµοί τιµών των τριών εδαφικών παραµέτρων.

11 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Πίνακας.α. Οι περιπτώσεις λύσης της διαφορικής εξίσωσης του προλήµατος που διέπει την κάµψη δοκού επί ελαστικού υποάθρου τριών παραµέτρων. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΛΥΣΗΣ f f f f f 5 f Α < e Rx e -Rx e Rx os(qx) e Rx sin(qx) e -Rx os(qx) e -Rx sin(qx) α > > os(qx) sin(qx) e Rx os(q x) e Rx sin(q x) e -Rx os(q x) e -Rx sin(q x) Α Β µ >, µ >, µ > e Rx e -Rx e Rx e -Rx e Rx e -Rx Β µ >, µ <, µ < e Rx e -Rx os(qx) sin(qx) os(q x) sin(q x) Β µ >, µ <, µ > e Rx e -Rx os(qx) sin(qx) e Rx e -Rx Β µ >, µ >, µ < e Rx e -Rx e Rx e -Rx os(qx) sin(qx) < Β 5 µ <, µ <, µ > os(qx) sin(qx) os(q x) sin(q x) e Rx e -Rx Β µ <, µ >, µ < os(qx) sin(qx) e Rx e -Rx os(q x) sin(q x) Β 7 µ <, µ <, µ < os(qx) sin(qx) os(q x) sin(q x) os(q x) sin(q x) Β 8 µ <, µ >, µ > os(qx) sin(qx) e Rx e -Rx e Rx e -Rx Γ α µ >, µ µ > e Rx e -Rx e Rx e -Rx xe Rx xe -Rx Γ µ >, µ µ < e Rx e -Rx os(qx) sin(qx) xos(qx) xsin(qx) < Γ γ µ <, µ µ > os(qx) sin(qx) e Rx e -Rx xe Rx xe -Rx Γ δ µ <, µ µ < os(qx) sin(qx) os(q x) sin(q x) xos(q x) xsin(q x) Γ α µ µ >, µ > e Rx e -Rx e Rx e -Rx xe Rx xe -Rx Γ µ µ <, µ > os(qx) sin(qx) e Rx e -Rx xos(qx) xsin(qx) > Γ γ µ µ >, µ < e Rx e -Rx os(qx) sin(qx) xe Rx xe -Rx Γ δ µ µ <, µ < os(qx) sin(qx) os(q x) sin(q x) xos(qx) xsin(qx) Γ α < e Rx e -Rx xe Rx xe -Rx x e Rx x e -Rx α > os(qx) sin(qx) xos(qx) xsin(qx) x os(qx) x sin(qx) Γ Υπόµνηµα Τα µ, µ µ, είναι οι ρίζες της οηθητικής εξίσωσης (.). Οι εκφράσεις των α, δίνονται από τις σχέσεις (.), και του κατά περίπτωση από τον Πίνακα.. Οι εκφράσεις των R, R, R, Q, Q, Q δίνονται κατά περίπτωση στον επόµενο πίνακα (Πίνακας.)

12 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 5 Πίνακας.. Οι εκφράσεις των R, R, R, Q, Q, Q κατά τις περιπτώσεις του Πίνακα α R R R Q Q Q Β αos( φ ) ( ) αos[ ( φ π) ] ( ) αos[ ( φ π) ] ( ) Β αos( φ ) ( ) - αos[ ( φ π) ] ( ) - αos[ ( φ π) ] ( ) Β αos( φ ) ( ) αos[ ( φ π) ] ( ) - αos[ ( φ π) ] ( ) Β αos( φ ) ( ) αos[ ( φ π) ] ( ) αos[ ( φ π) ] ( ) - Β 5 αos[ ( φ π) ] ( ) αos( φ ) ( ) αos[ ( φ π) ] ( ) - - Β αos[ ( φ π) ] ( ) αos( φ ) ( ) - αos[ ( φ π) ] ( ) - Β 7 αos( φ ) ( ) αos[ ( φ π) ] ( ) αos[ ( φ π) ] ( ) Β 8 αos[ ( φ π) ] ( ) αos( φ ) ( ) Γ α Γ Γ γ - Γ δ Γ α α α Γ α Γ γ α α α Γ δ α α Γ α ( ) Γ ( )

13 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων... ιερεύνηση των περιπτώσεων λύσης του Πίνακα.α Στην προηγούµενη παράγραφο εκτέθηκαν όλες οι πιθανές µορφές που µπορεί να πάρει η λύση της ασικής διαφορικής εξίσωσης του προλήµατος (Σχέση (.)). Το σχετικά µεγάλο πλήθος των διαφορετικών µορφών λύσης (Πίνακας.α), επιάλλει τη διερεύνηση του προλήµατος µε στόχο τον αποκλεισµό των µορφών εκείνων που µε άση το εύρος των τιµών που µπορούν να λάουν οι συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης (.),,,, είναι απίθανο να εµφανιστούν. Όπως φαίνεται από τον Πίνακα.α οι δυνατές περιπτώσεις λύσης διακρίνονται σε τρεις γενικές κατηγορίες (Κατηγορίες Α, Β, Γ), η εµφάνιση ή όχι των οποίων εξαρτάται από το πρόσηµο της διακρίνουσας. Κάθε µια από αυτές τις κατηγορίες αυτές διακρίνεται σε υποπεριπτώσεις η εµφάνιση ή όχι των οποίων εξαρτάται από πρόσθετα κριτήρια, όπως τα πρόσηµα των ριζών µ, µ, µ της εξίσωσης (.) για τις κατηγορίες Β, Γ ή το πρόσηµο του συντελεστή για την κατηγορία Α. Εποµένως η πλήρης διερεύνηση των πιθανών µορφών λύσης θα πρέπει να γίνει σε δυο στάδια. Κατά το πρώτο στάδιο θα πρέπει διερευνάται η δυνατότητα εµφάνισης ή όχι κάθε µιας από τις τρεις γενικές κατηγορίες λύσης Α, Β, Γ, ενώ κατά το δεύτερο θα πρέπει να διερευνάται η δυνατότητα εµφάνισης ή όχι των υποπεριπτώσεων τους. Αυτή η διαδικασία διερεύνησης θα γίνει ξεχωριστά για κάθε µια από τις περιπτώσεις που παρουσιάζονται στον Πίνακα..... οκός Euler Bernoulli Θεωρία α τάξης Οι συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης (.),,, για την παρούσα περίπτωση δίνονται από τις σχέσεις (.α) (.γ). Με άση τις σχέσεις αυτές, η διακρίνουσα παίρνει την εξής µορφή: [ 8 ( ) ] ( ) ( ) (.) Α Στάδιο διερεύνησης Κατά το πρώτο στάδιο της διερεύνησης θα πρέπει να ελεγχθεί το πρόσηµο της (.) εντός του πεδίου τιµών των τριών εδαφικών παραµέτρων,,, οι οποίοι όπως είναι προφανές είναι θετικοί αριθµοί. Για τον έλεγχο αυτό θα πρέπει κατ αρχήν να επιλυθεί η εξίσωση, θεωρώντας ως άγνωστο τη σταθερά του διατµητικού επιπέδου. Η εξίσωση () είναι µια διτετράγωνη εξίσωση και το πεδίο τιµών της σταθεράς εντός του οποίου θα διερευνηθεί, είναι το πεδίο (, ). Ο αριθµός των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης αυτής εξαρτάται από τη διακρίνουσα της επιλύουσας της ΕΠ, η οποία δίνεται από τη σχέση: ΕΠ ΕΙ (.5) 8 Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν τα εξής: Εάν >/8 τότε ΕΠ < και εποµένως η εξίσωση () δεν έχει καµία πραγµατική ρίζα στο πεδίο ορισµού της.

14 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 7 Εάν </8 τότε ΕΠ > και εποµένως το είδος των ριζών της εξίσωσης () εξαρτάται από τα πρόσηµα των λόγων: Γ Α Α Β Α Γ ( ) Β ( ) [ 8 ( ) ] Α (.α) (.) Έστω κατ αρχήν ότι >/8. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση () δεν έχει πραγµατικές ρίζες, και εποµένως έχει σταθερό πρόσηµο σε όλο το πεδίο ορισµού της. Πολύ εύκολα µπορεί να αποδειχθεί ότι: lim ( ) και lim ( ) > (.7) Εποµένως όταν >/8 τότε ()> για κάθε τιµή της παραµέτρου καθώς και για κάθε τιµή των παραµέτρων, που πληρούν τον συγκεκριµένο περιορισµό. Άρα η µοναδική πιθανή µορφή λύσης ανήκει στην Κατηγορία Α (Σχήµα.) Έστω ότι </8. Στην περίπτωση αυτή η διερεύνηση µετατίθεται στον έλεγχο των προσήµων των λόγων (Γ/Α) και ( Β/Α). Από την (.α) όµως προκύπτει ότι (Γ/Α)> για κάθε τιµή των τριών παραµέτρων. Εποµένως θα πρέπει να διερευνηθεί η ανισότητα ( B / A) >. Αποδεικνύεται εύκολα ότι ( Β/Α)>, για <,5( 5 ). Η τιµή αυτή είναι µεγαλύτερη του (/8), οπότε στην περίπτωση αυτή συναληθεύουν οι ανισότητες: ΕΠ >, ( Β/Α)>, (Γ/Α)>. Αυτό σηµαίνει ότι όταν </8 η εξίσωση () έχει δυο θετικές και δυο αρνητικές ρίζες. Άρα η διακρίνουσα δεν έχει σταθερό πρόσηµο. Οι θετικές ρίζες της εξίσωσης () είναι: B Γ Β Γ (.8), όπου τα Β και Γ δίνονται από τις σχέσεις (.α), (.). Επειδή µπορεί να αποδειχθεί ότι και στην περίπτωση που </8 ισχύουν οι συνθήκες (.7), γαίνει το συµπέρασµα ότι: Εάν < ή > τότε ()>, όποτε οι πιθανές µορφές λύσης ανήκουν Κατηγορία Α ενώ, Εάν << τότε ()<, οπότε οι πιθανές µορφές λύσης ανήκουν Κατηγορία Β (Σχήµα.). Β Στάδιο διερεύνησης Κατά το δεύτερο στάδιο της διερεύνησης διερευνάται η πιθανότητα εµφάνισης κάθε υποπερίπτωσης των κατηγοριών που δίνονται στον Πίνακα.α. Όπως αποδείχθηκε κατά το πρώτο στάδιο της διερεύνησης, εντός του πεδίου τιµών των εδαφικών παραµέτρων, είναι δυνατή η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν τόσο στην κατηγορία Α όσο και στην κατηγορία Β. Όσο αναφορά την κατηγορία Α, θα πρέπει να τονιστεί ότι η µοναδική υποπερίπτωση της που είναι δυνατό να εµφανιστεί είναι η Α. Σύµφωνα µε τον Πίνακα.α, η συνθήκη που πρέπει να πληρούται προκειµένου να εµφανιστεί η υποπερίπτωση αυτή είναι <. Η συγκεκριµένη σχέση πληρούται για κάθε

15 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 8 πιθανό συνδυασµό των τριών εδαφικών παραµέτρων, όπως προκύπτει από τη σχέση (.γ). Προκειµένου να διερευνηθούν οι πιθανές υποπεριπτώσεις λύσης που ανήκουν στην κατηγορία Β, θα πρέπει να ελεγχθούν τα πρόσηµα των πραγµατικών ριζών της εξίσωσης (.). Παρακάτω θα αποδειχθεί ότι οι ρίζες µ, µ, µ είναι θετικές. Για το σκοπό της απόδειξης αυτής θεωρείται η συνάρτηση f(µ)µ µ µ. Τα πρόσηµα των συντελεστών,, για την παρούσα περίπτωση σύµφωνα µε τις σχέσεις (.α) (.γ) είναι: <, > και <. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η πρώτη παράγωγος της f(µ) έχει για τα δεδοµένα πρόσηµα των,,, δυο θετικές ρίζες (έστω µ, µ ) για τις οποίες ισχύουν µ <µ, f ( µ ) ( α ), f ( µ ) ( α ). < και > Επίσης ισχύει f() <. Εποµένως f()f(µ )< και f(µ )f(µ )<, γεγονός που δηλώνει ότι η εξίσωση (.) έχει από µια ρίζα στα διαστήµατα (, µ ) και (µ, µ ). Επειδή όµως µ > και µ > αυτό σηµαίνει ότι η (.) έχει δυο θετικές ρίζες. Από την άλγερα είναι γνωστό ότι µια εκ των σχέσεων (σχέσεις Vièta) που υφίστανται µεταξύ των συντελεστών και των ριζών της (.) είναι: µ (.9) µ µ Επειδή < και επειδή αποδείχθηκε ότι δυο από τις µ, µ, µ είναι θετικές, από την (.9) προκύπτει ότι και η τρίτη ρίζα είναι θετική. Εποµένως µ >, µ > και µ >. Σύµφωνα µε τον Πίνακα.α, τα δεδοµένα πρόσηµα αντιστοιχούν στην υποπερίπτωση Β. Εποµένως, από το δεύτερο στάδιο της διερεύνησης προκύπτουν τα εξής συµπεράσµατα: Στα πεδία τιµών των εδαφικών παραµέτρων όπου ισχύει ()> η µορφή λύσης της (.) αντιστοιχεί στην υποπερίπτωση Α, Στα πεδία τιµών των εδαφικών παραµέτρων όπου ισχύει ()< η µορφή λύσης της (.) αντιστοιχεί στην υποπερίπτωση Β. Όλα τα συµπεράσµατα και των δυο σταδίων διερεύνησης δίνονται παραστατικά στο Σχήµα.. () >/8 () </8 ()> για κάθε τιµή του Περίπτωση λύσης: Α Β, B Γ Β Γ [ 8 ( ) ] ( ) ( ) Γ Α Β Α (α) Σχήµα.. ιάγραµµα της διακρίνουσας όταν >/8 (α), και όταν </8 (). ()

16 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 9 Θεωρία τάξης Οι συντελεστές της εξίσωσης (.) για την παρούσα περίπτωση δίνονται από τις σχέσεις (.8α) (.8). Η εισαγωγή των εκφράσεων αυτών στον τύπο της διακρίνουσας α δίνει: { [ ( ) ] [ ( ) ( ) ] 8 ΕΙ [ ( ) ( ) ( )( ) ] [ ( ) ( ) ( 5) ] [ ( 9 )( ) ( 7 ) ( ) ( ) ]} (.) Η παρούσα περίπτωση χαρακτηρίζεται από την µεταλητότητα προσήµου που εµφανίζουν οι συντελεστές,,, καθώς όπως προκύπτει από τις (.8α) (.8) οι τιµές τους εξαρτώνται από την τιµή του αξονικού φορτίου όταν αυτό είναι θλιπτικό. Αντίθετα στην περίπτωση εφελκυστικού φορτίου οι,, έχουν σταθερό πρόσηµο. Εποµένως η διαδικασία διερεύνησης θα πρέπει να διακριθεί στην περίπτωση θλιπτικού και στην περίπτωση εφελκυστικού αξονικού φορτίου. Περίπτωση θλιπτικού φορτίου Α Στάδιο διερεύνησης Το πρώτο στάδιο της διερεύνησης ξεκινά από την µελέτη της εξίσωσης (Ρ), καθώς από τον υπολογισµό των ριζών της προκύπτουν οι οριακές τιµές των θλιπτικών φορτίων τα οποία αποτελούν τα «σύνορα» των περιοχών ορισµού των κατηγοριών λύσης της εξίσωσης (.). Η (Ρ) είναι αλγερική εξίσωση ου αθµού, µε γνωστή λύση. Ωστόσο η πολυπλοκότητα των συντελεστών της καθιστά πρακτικά αδύνατο το σχηµατισµό απλών κλειστών τύπων υπολογισµού των ριζών της. Για τον λόγο αυτό η µελέτη της θα γίνει µε έµµεσο τρόπο. Πιο συγκεκριµένα ο στόχος θα είναι η διερεύνηση της δυνατότητας εµφάνισης κάποιων από τις κατηγορίες λύσης που δίνονται στον Πίνακα.α, καθώς και ο αποκλεισµός κάποιων άλλων. Όπως φαίνεται πάντως από τον πίνακα αυτό, οι δυο πρακτικά πιθανές κατηγορίες λύσης είναι οι Α και Β, καθώς η κατηγορία Γ αντιστοιχεί στην οριακή συνθήκη, η οποία είναι πρακτικά αδύνατο να εµφανιστεί καθώς για να συµεί αυτό απαιτείται ένας και µόνον ένας συνδυασµός τιµών των παραµέτρων,,. Η διαδικασία της διερεύνησης ξεκινά από την παρακάτω σχέση: ( ) α < α < Ρ (.) η οποία δηλώνει ότι αναγκαία (αλλά όχι ικανή) συνθήκη για να είναι αρνητική η τιµή της διακρίνουσας (Ρ), είναι η συνθήκη α<. Η χρησιµότητα της σχέσης αυτής έγκειται στο γεγονός ότι η έκφραση α(ρ,): α ( Ρ, ) Ρ (.α) ΕΙ 9 9 είναι σαφώς πιο απλή στο χειρισµό της απ ότι η αντίστοιχη έκφραση της διακρίνουσας (), ενώ η εκπλήρωση της συνθήκης α(ρ,)> σηµαίνει αποκλεισµό της πιθανότητας εµφάνισης τη κατηγορίας Β για εκείνα τα πεδία τιµών των τριών εδαφικών παραµέτρων στα οποία πληρούται.

17 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Η εξίσωση α(,) µπορεί να θεωρηθεί είτε ως εξίσωση µε ασικό άγνωστο το αξονικό φορτίο Ρ (Σχέση (.α)), είτε ως εξίσωση µε ασικό άγνωστο την σταθερά του διατµητικού επιπέδου όποτε παίρνει την παρακάτω µορφή: α ( Ρ, ) (.) ΕΙ 9 Από τη µελέτη της ανίσωσης α(,)> κάνοντας χρήση της έκφρασης (.α) προκύπτουν οι παρακάτω χαρακτηριστικές τιµές της σταθεράς του διατµητικού επιπέδου: ( ) (.α) ( ) (.) Αποδεικνύεται ότι οι τιµές, διασπούν το πεδίο τιµών της σταθεράς σε τρεις περιοχές τιµών στις οποίες ισχύουν τα εξής (Σχήµα.): Όταν < η εξίσωση α(ρ) δεν έχει πραγµατικές ρίζες για καµία τιµή θλιπτικού ή εφελκυστικού φορτίου. Αποδεικνύεται ότι στο διάστηµα αυτό η (.α) έχει σταθερά αρνητικό πρόσηµο. Εποµένως λαµάνοντας υπόψη την σχέση (.), δεν µπορεί να αποκλειστεί η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν στην κατηγορία Β. Πάντως για Ρ που αντιστοιχεί στη θεωρία α τάξης η οποία µελετήθηκε στην Παράγραφο... αποδείχθηκε ότι (Ρ)> για >/8 ανεξαρτήτως της τιµής του, ενώ ακόµα και για </8 η τιµή του (Ρ) είναι θετική εντός του εύρους των τιµών του που ορίζεται από τιµές της παραµέτρου που δίνονται από τη (.8). Αυτό σηµαίνει ότι εντός του διαστήµατος (, ) και για µικρές τιµές θλιπτικού φορτίου είναι δυνατή η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν στην κατηγορία Α. Εποµένως, εντός του διαστήµατος (, ) είναι δυνατό να εµφανιστούν µορφές λύσης που ανήκουν τόσο στην κατηγορία Α όσο και στην κατηγορία Β (λέπε Σχήµα.). Όταν << η εξίσωση α(ρ) δεν έχει θετική ρίζα (έχει όµως αρνητικές που αντιστοιχούν σε εφελκυστικά φορτία). Άρα και στο διάστηµα αυτό η (.α) έχει σταθερά αρνητικό πρόσηµο ανεξαρτήτως τιµής του θλιπτικού φορτίου. Αυτό σηµαίνει ότι ισχύουν τα συµπεράσµατα που εκτέθηκαν προηγουµένως. Όταν > η εξίσωση α(ρ) έχει µια θετική ρίζα η οποία δίνεται από τη σχέση: ( ) ( ) p (.) Αυτό σηµαίνει αφενός ότι στο διάστηµα αυτό, η α(ρ) αλλάζει πρόσηµο και εποµένως µπορεί να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό. Πιο συγκεκριµένα, εάν < p τότε α(ρ)>, οπότε αποκλείεται η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν στην κατηγορία Β ενώ εάν > p τότε α(ρ)< όποτε είναι δυνατό να εµφανιστούν µορφές λύσης που ανήκουν και στην κατηγορία Α και στην κατηγορία Β.

18 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Αν σχηµατιστεί το όριο της έκφρασης (.) όταν προκύπτει ότι: lim p (.5) Αυτό σηµαίνει ότι για τιµές θλιπτικού φορτίου µεγαλύτερες του, η α() είναι πάντα αρνητική (Σχήµα.). Από τη µελέτη της ανίσωσης α(,)> κάνοντας χρήση της έκφρασης (.) προκύπτουν οι παρακάτω χαρακτηριστικές τιµές του θλιπτικού φορτίου: (.α) (.) για τις οποίες µπορούν να αποδειχθούν τα εξής (Σχήµα.): Όταν Ρ<Ρ τότε υπάρχει µια χαρακτηριστική τιµή της σταθεράς του διατµητικού επιπέδου a κάτω της οποίας α(,)<, ενώ άνω της τιµής αυτής α(,)>. Η χαρακτηριστική τιµή είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) a (.7α) Η παραπάνω έκφραση για δίνει: ( ) (.α) a ( ) ( ) (.7) Όταν << τότε για κάθε τιµή της σταθεράς του διατµητικού επιπέδου α(,)< (Υπάρχει περίπτωση να ισχύει α(,)<, για αρνητικές τιµές του που φυσικά απορρίπτονται). Όταν > τότε επίσης για κάθε τιµή της σταθεράς του διατµητικού επιπέδου α(,)< (είτε για θετικές είτε για αρνητικές τιµές του ). Ρ Ρ (>) Ρ Ρ (<) Περίπτωση Α ( ) ( ) ( ) (, )> α(, )> α(, ) α(, )< α(, )< α(, )< α(, )< α(, )< α(, )< α(, )< α(, )< α(, )< α(, )< Σχήµα.. ιάγραµµα διερεύνησης του πρόσηµου του α(,) για την περίπτωση θλιπτικού φορτίου.

19 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Πέραν των παραπάνω συµπερασµάτων πρέπει να τονιστεί πως από την (.α) προκύπτει ότι η πρώτη παράγωγος της α(ρ) έχει σταθερά αρνητικό πρόσηµο ανεξαρτήτως των τιµών των τριών εδαφικών παραµέτρων αλλά και ανεξαρτήτως τιµών του θλιπτικού φορτίου. Αυτό σηµαίνει ότι η α(ρ) είναι µια φθίνουσα συνάρτηση. Εποµένως και αφού α και η συνάρτηση (Ρ) είναι φθίνουσα, και µάλιστα από την (.) προκύπτει ότι: ( ) lim (.8) Άρα, ανεξαρτήτως των τιµών των τριών παραµέτρων,, υπάρχει µια χαρακτηριστική τιµή θλιπτικού φορτίου πέραν της οποίας η διακρίνουσα (Ρ) είναι σταθερά αρνητική και εποµένως αποκλείεται η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν στην κατηγορία Α. Εποµένως από το πρώτο στάδιο της διερεύνησης προκύπτει το γενικό συµπέρασµα ότι είναι δυνατή η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν τόσο στην κατηγορία Α όσο και στην κατηγορία Β. Β Στάδιο διερεύνησης Ξεκινώντας το δεύτερο στάδιο της διερεύνησης από τις πιθανές υποπεριπτώσεις της κατηγορίας Α, µπορεί από την σχέση (.8γ) να γίνει εύκολα η διαπίστωση ότι < ανεξαρτήτως τιµής θλιπτικού φορτίου. Εποµένως σύµφωνα µε τον Πίνακα.α η µόνη δυνατή υποπερίπτωση λύσης που ανήκει στην κατηγορία Α, είναι η Α. Η διερεύνηση των δυνατών υποπεριπτώσεων λύσης της κατηγορίας Β είναι εξαιρετικά σύνθετη, καθώς οι υποπεριπτώσεις αυτές εξαρτώνται εκτός από το πρόσηµο του συντελεστή, και από τα πρόσηµα και των συντελεστών, τα οποία δεν είναι σταθερά, αλλά µεταάλλονται εντός του πεδίου τιµών που µπορεί να λάει το θλιπτικό φορτίο. Για την απλοποίηση της διαδικασίας διερεύνησης ορίζονται οι παρακάτω χαρακτηριστικές τιµές θλιπτικού φορτίου: ( ) (.9α) (.9) καθώς και η παρακάτω χαρακτηριστική τιµή της σταθεράς του διατµητικού επιπέδου : ( ) (.5) Η τιµή Ρ είναι η τιµή του θλιπτικού φορτίου για την οποία µηδενίζεται ο συντελεστής, ενώ η τιµή Ρ είναι η αντίστοιχη τιµή µηδενισµού του. Τέλος η τιµή είναι η τιµή της σταθεράς του διατµητικού επιπέδου, για την οποία Ρ Ρ. Με τη χαρακτηριστική τιµή το δεύτερο στάδιο της διερεύνησης διασπάται σε δυο µέρη που χαρακτηρίζονται από τις εξής συνθήκες: Εάν < τότε Ρ >Ρ, Εάν > τότε Ρ <Ρ, ενώ µε τις χαρακτηριστικές τιµές Ρ, Ρ το πεδίο τιµών των θλιπτικών φορτίων χωρίζεται σε τρία πεδία εντός των οποίων οι συντελεστές της (.) και κατ επέκταση και της (.) έχουν σταθερό πρόσηµο.

20 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Ο λόγος για τον οποίο πραγµατοποιείται ο χωρισµός του πεδίου τιµών των θλιπτικών φορτίων σε τέτοιας µορφής επί µέρους πεδία, είναι το γεγονός ότι για τη διερεύνηση θα χρησιµοποιηθούν οι σχέσεις του Vièta οι οποίες εκτός της (.9) είναι: µ (.5α) µ µ µ (.5) µ µ µ µ µ Η χρήση των παραπάνω σχέσεων µπορεί να οδηγήσει σε ασφαλή συµπεράσµατα µόνον όταν η εφαρµογή τους γίνεται σε πεδία τιµών εντός των οποίων οι συντελεστές,, έχουν σταθερά πρόσηµα. Έστω κατ αρχήν ότι < οπότε Ρ >Ρ. Στην περίπτωση αυτή το πεδίο των τιµών των θλιπτικών φορτίων χωρίζεται σε τρία πεδία σε κάθε ένα από τα οποία ισχύουν τα εξής (Πίνακας.): Πεδίο Π, <Ρ<Ρ : Στο πεδίο αυτό ισχύουν επίσης τα εξής: <, >, <. Εφόσον διερευνώνται οι πιθανές υποπεριπτώσεις της κατηγορίας Β αυτό σηµαίνει ότι < και α<. Η συνάρτηση φos - (x) (.δ) ορίζεται µόνο για x και εποµένως φ π ή (φ/) (π/). Άρα η φ/ κείται στο πρώτο τεταρτηµόριο όπου os(x)> και sin(x)>. Έτσι από τη σχέση (.α) προκύπτει ότι t >, και επειδή < γαίνει το συµπέρασµα ότι µ > (µ t -( /)). Σ αυτό το σηµείο πρέπει να τονιστεί στο πεδίο αυτό τα πρόσηµα των i είναι ίδια µε αυτά τα οποία ισχύουν και για την περίπτωση της δοκού Euler στα πλαίσια της θεωρίας Α τάξης που µελετήθηκε στην Παράγραφο... Ακολουθώντας εποµένως τη µέθοδο που χρησιµοποιήθηκε στην παράγραφο αυτή (περίπτωση </8 και << ), αποδεικνύεται ότι µ > και µ >. Εποµένως µ >, µ > και µ >. Άρα σε αυτό το πεδίο τιµών των θλιπτικών φορτίων, εµφανίζεται η υποπερίπτωση λύσης Β. Πεδίο Π, << : Στο πεδίο αυτό ισχύουν: <, <, <. εδοµένου ότι <, σύµφωνα µε την ανάλυση που προηγήθηκε: µ >. Από την σχέση (.9) προκύπτει ότι µ µ µ >. Άρα οι µ, µ θα πρέπει είναι οµόσηµες. Όµως η σχέση (.5) επιάλλει όπως: µ µ µ µ µ µ <, γεγονός που αποκλείει το γεγονός να είναι οι µ, µ θετικοί αριθµοί. Εποµένως µ >, µ < και µ <. Άρα σε αυτό το πεδίο τιµών των θλιπτικών φορτίων, εµφανίζεται η υποπερίπτωση λύσης Β. Πεδίο Π, > : Στο πεδίο αυτό ισχύουν: >, <, <. Μπορεί να αποδειχθεί ότι µ >, ως εξής: Από τη (.α), τη σχέση µ t -( /) και αν υποτεθεί ότι µ < προκύπτει: os( φ ) <.5 ( ) ( ) ( ). Επειδή όµως > και <, αυτό σηµαίνει ότι αν µ < θα πρέπει σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση, να ισχύει os(φ/).5. Όπως όµως τονίστηκε και πιο πάνω: (φ/) (π/).5 os(φ/). Άρα µ >. Μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι µ < ως εξής: Επειδή (φ/) (π/) ( ) os[(φπ)/)] (.5). Έτσι από την (.) προκύπτει ότι t <. Αν γίνει η υπόθεση ότι µ > τότε από την (.) προκύπτει ότι [( ) ] φ π >.5 ( ) ( ) ( ) os. Εφόσον όµως > και < θα πρέπει σύµφωνα µε την παραπάνω σχέση να ισχύει os[(φπ)/)]> (Άτοπο). Εποµένως µ <, και άρα µε άση την (.9) µ <. Έτσι µ >, µ < και µ <. ηλαδή σε αυτό το πεδίο τιµών των θλιπτικών φορτίων, εµφανίζεται η υποπερίπτωση λύσης Β.

21 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Έστω ότι > οπότε Ρ <Ρ. Και στην περίπτωση αυτή το σύνολο των τιµών των θλιπτικών φορτίων χωρίζεται σε τρία πεδία σε κάθε ένα από τα οποία ισχύουν τα εξής: Πεδίο Π, <Ρ<Ρ : Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι στην περίπτωση αυτή α(ρ)> για κάθε τιµή των τριών εδαφικών παραµέτρων, και εποµένως αποκλείεται να εµφανιστεί µορφή λύσης που ανήκει στην κατηγορία Β (Σχήµα.). Άρα δεν τίθεται θέµα διερεύνησης υποπεριπτώσεων της κατηγορίας αυτής. Πεδίο Π, << : Στο πεδίο αυτό ισχύουν: >, > και <. Ακολουθώντας παρόµοια µέθοδο µε αυτήν που ακολουθήθηκε και για το Πεδίο Π αποδεικνύεται ότι µ >. Επίσης από τη σχέση (.) προκύπτει ότι t < και επειδή >, αλλά και µ t ( /): µ <. Τέλος η (.9) επιάλλει µ µ µ >, και επειδή µ > και µ < άρα µ <. Άρα σε αυτό το πεδίο τιµών των θλιπτικών φορτίων, εµφανίζεται η υποπερίπτωση λύσης Β. Πεδίο Π, Ρ>Ρ : Στο πεδίο αυτό ισχύουν: >, < και <. Τα πρόσηµα των i είναι όµοια µε αυτά του πεδίου Π στην περίπτωση <. Εποµένως όπως και στην περίπτωση εκείνη: µ >, µ < και µ <. ηλαδή σε αυτό το πεδίο τιµών των θλιπτικών φορτίων, εµφανίζεται η υποπερίπτωση λύσης Β. Με όλη την παραπάνω διαδικασία «σαρώθηκε» όλο το πεδίο των τιµών των τριών παραµέτρων του εδαφικού προσοµοιώµατος αλλά και των τιµών του αξονικού φορτίου όταν αυτό είναι θλιπτικό. Από την διερεύνηση αυτή προέκυψε το γενικό συµπέρασµα ότι από το σύνολο των πιθανών µορφών λύσης που δίνονται στον Πίνακα.α οι µόνες που είναι δυνατό να εµφανιστούν για την συγκεκριµένη περίπτωση είναι οι περιπτώσεις: Α, Β, Β όπως φαίνεται και από τον παρακάτω συγκεντρωτικό πίνακα (Πίνακας.). Πίνακας.. Υποπεριπτώσεις της κατηγορίας Β όπου αυτή εµφανίζεται. ΠΕΙΑ ΤΙΜΩΝ ΘΛΙΠΤΙΚΟΥ ΟΡΤΙΟΥ ΠΕΙΟ Π <Ρ<Ρ ΠΕΙΟ Π Ρ <Ρ<Ρ ΠΕΙΟ Π Ρ>Ρ Πρόσηµα i < > < < < < > < < < Πρόσηµα µ i µ > µ > µ > µ > µ < µ < µ > µ < µ < (Ρ >Ρ ) Περίπτωση λύσης Β Β Β ΠΕΙΟ Π <Ρ<Ρ ΠΕΙΟ Π Ρ <Ρ<Ρ ΠΕΙΟ Π Ρ>Ρ Πρόσηµα i > > < > < < > Πρόσηµα µ i Αποκλειστικά Περίπτωση µ > µ < µ < µ > µ < µ < (Ρ <Ρ ) Περίπτωση Α λύσης Β Β

22 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 5 Περίπτωση εφελκυστικού φορτίου Α Στάδιο διερεύνησης Και στην περίπτωση εφελκυστικού φορτίου ισχύει η (.) για αρνητικές τιµές του Ρ. Όπως αποδείχθηκε, στην Παράγραφο...α, όταν << (τα, δίνονται από τις σχέσεις (.α), (.) αντίστοιχα) η εξίσωση α() έχει ρίζες οι οποίες δεν είναι θετικές, και εποµένως δεν αντιστοιχούν σε θλιπτικά φορτία. Επίσης αποδείχθηκε ότι όταν > η εξίσωση αυτή έχει δυο ετερόσσηµες ρίζες από τις οποίες η p (η θετική) δίνεται από τη (.), ενώ η αρνητική Ρ n δίνεται από τη σχέση: ( ) ( ) n (.5) Εποµένως, στην περίπτωση εφελκυστικού φορτίου, για < η έκφραση α() έχει σταθερά αρνητικό πρόσηµο, ενώ για > υπάρχει τιµή αξονικού εφελκυστικού φορτίου (που δίνεται από την (.) για > και από την (.5) για < ) για την οποία επαληθεύεται η εξίσωση α(ρ). ηλαδή για > η έκφραση α(ρ) µπορεί να έχει και θετικό πρόσηµο, γεγονός που σηµαίνει ότι γενικά στην περίπτωση εφελκυστικού φορτίου είναι πιθανή η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν τόσο στην κατηγορία Α όσο και στην κατηγορία Β. Τέλος σχηµατίζοντας το όριο της σχέσης (.5) όταν τότε προκύπτει: lim n. Αυτό σηµαίνει ότι όταν < τότε α(ρ)< ανεξαρτήτως τιµής των εδαφικών παραµέτρων,,. Τα παραπάνω δίνονται παραστατικά στο διάγραµµα του σχήµατος.5. Ρn Ρp Περίπτωση Α (, )> α(, )> α(, )> ( ) ( ) α(, )> α(, )> Σχήµα.5. ιάγραµµα διερεύνησης του πρόσηµου του α(,) για την περίπτωση εφελκυστικού φορτίου.

23 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Β Στάδιο διερεύνησης Από το πρώτο στάδιο της διερεύνησης προέκυψε το συµπέρασµα ότι είναι δυνατή η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν τόσο στην κατηγορία Α όσο και στην κατηγορία Β. Στην περίπτωση εφελκυστικού φορτίου, οι συντελεστές,, έχουν τα εξής πρόσηµα: <, > και <. Τα πρόσηµα αυτά είναι σταθερά και ανεξάρτητα των τιµών που µπορεί να λάει η αξονική φόρτιση. Με άση τα πρόσηµα αυτά γαίνουν τα ακόλουθα συµπεράσµατα: Εφόσον <, από τον Πίνακα.α προκύπτει ότι για κάθε τιµή εφελκυστικού φορτίου για την οποία η µορφή λύσης ανήκει στην κατηγορία Α, η µορφή αυτή αντιστοιχεί στην υποπερίπτωση Α. Από τα δεδοµένα πρόσηµα των συντελεστών,, προκύπτει το συµπέρασµα ότι όταν εµφανίζεται µορφή λύσης που ανήκει στην κατηγορία Β η µορφή αυτή αντιστοιχεί στην υποπερίπτωση Β (λέπε σχετική απόδειξη που δόθηκε για το Πεδίο Π στην περίπτωση θλιπτικού φορτίου).... οκός Timosheno Θεωρία α τάξης Οι συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης (.),,, για την παρούσα περίπτωση δίνονται από τις σχέσεις (.α) (.γ). Μπορεί να αποδειχθεί ότι η διακρίνουσα στην περίπτωση αυτή είναι µια συνάρτηση της µορφής: ()(Α/ )(B/ )(Γ/ )(Ε/)Ζ. Τα Α, Β, Γ, Ε, Ζ, είναι πολύπλοκες εκφράσεις των,, και µε πρόσηµα που µεταάλλονται εντός του πεδίου τιµών των παραµέτρων αυτών. Εποµένως το πρώτο στάδιο της διερεύνησης θα γίνει µε τη οήθεια της έκφρασης: α ( ) ( ) (.5) 9 Α Στάδιο διερεύνησης Η διερεύνηση της (.5) θα γίνει για τις παρακάτω περιπτώσεις:. <: Όταν < και > ΕΙ τότε για κάθε τιµή της σταθεράς του διατµητικού επιπέδου, η α() λαµάνει αρνητικές τιµές (Σχήµα.). Εποµένως σε αυτό το πεδίο τιµών των παραµέτρων, είναι πιθανή η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν τόσο στην κατηγορία Α όσο και στην κατηγορία Β. Όταν < ΕΙτότε η ακόλουθη χαρακτηριστική τιµή του : ( ) ( ΕΙ) [ ( ΕΙ ) ( ΕΙ ) ] ( ΕΙ) (.5) αποτελεί ρίζα της εξίσωσης α() και εποµένως σε αυτό το πεδίο τιµών των,, η (.5) αλλάζει πρόσηµο. Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι όταν > τότε α()>, και εποµένως οι µόνες πιθανές µορφές λύσης που µπορούν να εµφανιστούν ανήκουν στην κατηγορία Α. Αντίστοιχα όταν < τότε α()< (λέπε Σχήµα.).

24 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 7 < α(, )> Περίπτωση Α α(, )< α(, ) α(, )< Καµπύλη σχεδιασµένη για.8 ΕΙ Σχήµα.. ιερεύνηση του προσήµου της έκφρασης α() για την περίπτωση <.. >: Όταν > η διερεύνηση πραγµατοποιείται στα παρακάτω πεδία τιµών της παραµέτρου : α. < ΕΙ (Σχήµα.7): Στην περίπτωση αυτή όταν < (το δίνεται από τη σχέση (.5)) τότε α()<, ενώ όταν > τότε α()>. Εποµένως είναι πιθανές τόσο οι λύσεις της κατηγορίας Α όσο και της κατηγορίας Β. Πάντως επειδή η α() λαµάνει αρνητικές τιµές µόνον για ένα µικρό εύρος τιµών των, είναι πολύ πιθανό να µην εµφανίζεται καθόλου λύση που ανήκει στην κατηγορία Β.. ΕΙ < < ΕΙ (Σχήµα.7α): Όταν η παράµετρος λαµάνει τιµές εντός αυτού του πεδίου, τότε για τη διερεύνηση του προσήµου της α() ορίζεται η παρακάτω χαρακτηριστική τιµή του : ( ) (.55) Μπορεί να αποδειχθεί ότι σε αυτό το πεδίο τιµών του, ισχύει: >. Όταν <, τότε η α() λαµάνει αρνητικές τιµές για κάθε τιµή του, γεγονός που δεν αποκλείει την εµφάνιση τόσο της κατηγορίας Α όσο και της κατηγορίας Β. Όταν > τότε ορίζονται δυο χαρακτηριστικές τιµές της παραµέτρου : [ ( ΕΙ) ( ΕΙ) ] ( ) ± ( ) (.5) ( ΕΙ) ( ΕΙ), > Όταν < ή > τότε α()< ενώ εάν << τότε α()>. Εποµένως υπάρχει διάστηµα τιµών του εντός του οποίου εµφανίζονται µόνον λύσεις που ανήκουν στην κατηγορία Α (όταν << ). Η πιθανότητα εµφάνισης λύσεων που ανήκουν στην κατηγορία Β περιορίζεται µόνο σε τιµές του πολύ κοντά στην τιµή ΕΙ. γ. > ΕΙ (Σχήµα.7): Στο πεδίο αυτό για κάθε τιµή του, η α() λαµάνει µόνον αρνητικές τιµές. Εποµένως είναι δυνατή η εµφάνιση λύσεων και της κατηγορίας Α και της κατηγορίας Β. Μάλιστα επειδή µπορεί να αποδειχθεί ότι το όριο της έκφρασης α() όταν τείνει στο είτε η παράµετρος, είτε η παράµετρος, είναι το -, αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει µια οριακή τιµή της παραµέτρου πάνω από την οποία ισχύει σταθερά < και εποµένως αποκλείεται η εµφάνιση λύσεων της κατηγορίας Α.

25 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 8 α() < < ΕΙ ΕΙ > α() < ΕΙ και > ΕΙ α(, )< > α(, )> < α(, )< Περίπτωση Α όταν > > α(, )< α(, )< Περίπτωση Α όταν: < ΕΙ < ΕΙ < > ΕΙ (α) () Σχήµα.7. ιαγράµµατα προσδιορισµού του προσήµου του α(,) για την περίπτωση της δοκού Timosheno (Θεωρία α τάξης) Β Στάδιο διερεύνησης Για τα δεδοµένα πρόσηµα των,, αποδεικνύεται όπως και στην περίπτωση της δοκού Euler στα πλαίσια της θεωρίας α τάξης ότι οι υποπεριπτώσεις λύσης που εµφανίζονται είναι οι Α και Β. Θεωρία τάξης Στην περίπτωση αυτή οι συντελεστές,, δίνονται από τις σχέσεις (.9α) (.9γ). Όπως γίνεται κατανοητό από τις σχέσεις αυτές, η παρούσα περίπτωση πέρα από την µεγαλύτερη πολυπλοκότητα σε σχέση µε τις προηγούµενες περιπτώσεις έχει την ιδιοµορφία να χαρακτηρίζεται από εκφράσεις των i οι οποίες εµφανίζουν στο σηµείο ασυνέχεια. Πράγµατι τα πλευρικά όρια των εκφράσεων αυτών όταν το Ρ είναι διάφορα µεταξύ τους και µη πεπερασµένα. Εποµένως το πρόληµα της διερεύνησης των πιθανών µορφών λύσης της (.) θα πρέπει να διασπαστεί σε δυο κλάδους που καθένας από αυτούς αντιστοιχεί σε τιµές του αξονικού φορτίου µικρότερες ή µεγαλύτερες του. Η παραπάνω διάκριση έχει νόηµα µόνον για την περίπτωση θλιπτικού φορτίου. Πριν εκτεθούν τα συµπεράσµατα της διερεύνησης θα πρέπει να τονιστεί ότι για τιµές του αξονικού φορτίου που ρίσκονται στην περιοχή γύρω από την τιµή οι εξαιρετικά υψηλές τιµές των παραµέτρων, καθιστούν αριθµητικά ασταθείς όλες τις εκφράσεις. Εκτός από το διαχωρισµό του προλήµατος της διερεύνησης µε άση το κριτήριο Ρ< ή Ρ>, υπάρχει η δυνατότητα περαιτέρω διάσπασης του µε άση την οριακή τιµή που λαµάνουν οι συντελεστές, όταν Ρ. Πιο συγκεκριµένα µε άση τις παρακάτω παρατηρήσεις: [ ] Όταν ( ΕΙ) > τότε lim, ενώ όταν ( ΕΙ) [ ] < τότε lim, Όταν > τότε lim, ενώ όταν < τότε lim, όπου το δίνεται από τη σχέση:

26 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων 9 (.57) lim ανεξαρτήτως τιµών των εδαφικών παραµέτρων,,, αλλά και µε άση το κριτήριο Ρ< η Ρ>, το πεδίο τιµών των δυο εδαφικών παραµέτρων, διακρίνεται σε 8 επιµέρους πεδία, τα οποία χαρακτηρίζονται από διαφορετικό και συγκεκριµένο κατά περίπτωση συνδυασµό προσήµων των συντελεστών i. Τα πεδία αυτά δίνονται συνοπτικά στον παρακάτω πίνακα (Πίνακας.), αλλά και στο Σχήµα.8 όπου δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των i κατά περίπτωση. Πίνακας.. Τα πρόσηµα των συντελεστών ι εντός των πεδίων τιµών των παραµέτρων,. < > > ΕΙ < ΕΙ > - - /- -/ < - /- - /- > -/ - - -/ < -/ /- - - i <, ΕΙ < i <, ΕΙ > i i >, < >, ΕΙ ΕΙ > Σχήµα.8. Γραφικές παραστάσεις των συντελεστών i για την περίπτωση θλιπτικού φορτίου.

27 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Ο διαχωρισµός του προλήµατος στις υποπεριπτώσεις αυτές διευκολύνει τη διαδικασία διερεύνησης, καθώς σε κάθε µια από αυτές είναι σαφώς ορισµένα τα πρόσηµα των συντελεστών i. Α Στάδιο διερεύνησης Η µέθοδος που θα χρησιµοποιηθεί για το πρώτο στάδιο της διερεύνησης διαφέρει από τις προηγούµενες περιπτώσεις, καθώς η µεγάλη πολυπλοκότητα των συντελεστών i καθιστά αδύνατη την αναλυτική διαδικασία. Έτσι θα πραγµατοποιηθεί αριθµητική και όχι αναλυτική διερεύνηση η οποία θα επικεντρωθεί αποκλειστικά σε εκείνο το πεδίο τιµών των τριών εδαφικών παραµέτρων που ανταποκρίνεται σε τιµές που [ ] είναι πιθανό να εµφανιστούν στην πράξη. Το πεδίο αυτό οριοθετείται από τις σχέσεις: ( ΕΙ) < και < (το δίνεται από τη σχέση (.57)). Όλη η παρακάτω διερεύνηση αφορά το συγκεκριµένο πεδίο τιµών. Κατ αρχήν θα µελετηθεί το πεδίο τιµών του αξονικού φορτίου (,). Όπως φαίνεται και από το Σχήµα.8, για τιµές του αξονικού φορτίου µικρότερες του, οι συντελεστές, αλλάζουν πρόσηµο. Ορίζονται έτσι οι παρακάτω χαρακτηριστικές τιµές του αξονικού φορτίου: [ ( ) ] ( ) (.58α) ( ) ( ) (.58) Όταν < τότε < (και αντίστοιχα όταν > τότε >), ενώ όταν < τότε > (και αντίστοιχα όταν > τότε <). Επειδή γενικά, το πεδίο (,) διακρίνεται σε τρία επιµέρους πεδία. Όπως θα αποδειχθεί παρακάτω, εντός του µελετούµενου πεδίου τιµών των, δεν υπάρχει σταθερή σχέση διάταξης µεταξύ των Ρ και Ρ (δηλαδή υπάρχει περίπτωση να ισχύει, τόσο Ρ >Ρ όσο και Ρ <Ρ ). Εποµένως κατά τη διαδικασία που θα ακολουθήσει, θα πρέπει να µελετηθεί τόσο η περίπτωση Ρ >Ρ αλλά και η περίπτωση Ρ <Ρ. Τα πρόσηµα που λαµάνουν οι συντελεστές,, κατά περίπτωση, δίνονται από τον παρακάτω πίνακα (Πίνακας.5). [ ] Πίνακας.5. Τα πρόσηµα των,, στο πεδίο που ορίζεται από τις συνθήκες ( ΕΙ) < και <. Ρ >Ρ Ρ <Ρ Ρ< Ρ< Ρ> <Ρ<Ρ Ρ <Ρ<Ρ Ρ>Ρ <Ρ<Ρ Ρ <Ρ<Ρ Ρ>Ρ Ρ> Η διαδικασία διερεύνησης που ακολουθήθηκε συνίσταται στα παρακάτω ήµατα:. Το µελετούµενο πεδίο τιµών των εδαφικών παραµέτρων,, διακριτοποιήθηκε ως εξής: Το πεδίο τιµών της παραµέτρου (, /ΕΙ) διακριτοποιήθηκε µε τις εξής οκτώ τιµές:.( /ΕΙ),.5( /ΕΙ),.( /ΕΙ),.( /ΕΙ),.( /ΕΙ),.( /ΕΙ),.8( /ΕΙ),.( /ΕΙ).

28 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Το πεδίο τιµών της παραµέτρου (, ) διακριτοποιήθηκε µε αντίστοιχο τρόπο µε εννέα τιµές:.,.,.5,.,.,.,.,.8,... Σχηµατίστηκαν όλοι οι δυνατοί συνδυασµοί των παραπάνω διακριτών τιµών των,. Για κάθε ζεύγος τιµών (, ) σχεδιάστηκαν σε σύστηµα αξόνων Ρ γραφήµατα της διακρίνουσας, για τις παρακάτω τιµές της παραµέτρου :.,, και (ενδεικτικές καµπύλες για την περίπτωση.( /ΕΙ) /. δίνονται στο Σχήµα.9). Ä(Ρ),,E -,E5,E5,E5 8,E5,E,E Ä(Ρ) 5,E,E5,E5,E5 8,E5,E,E,E Σχήµα.9. Καµπύλες της διακρίνουσας (Ρ) για την περίπτωση.( /ΕΙ) /.. Για κάθε καµπύλη, προσδιορίστηκαν, οι µεταολές του προσήµου της διακρίνουσας, και τα σηµεία (τιµές του αξονικού θλιπτικού φορτίου Ρ) αλλαγής προσήµου της. Παράλληλα προσδιορίστηκε η θέση των σηµείων αλλαγής του προσήµου σε σχέση µε τις χαρακτηριστικές τιµές του αξονικού φορτίου Ρ, Ρ (σχέσεις.58α,.58), καθώς και η σχέση διάταξης των τιµών αυτών (Ρ >Ρ ή Ρ >Ρ ).

29 ΚΕΑΛΑΙΟ : Η γενική περίπτωση της ελάστικώς εδραζόµενης δοκού επί υποάθρου τριών παραµέτρων Τα γενικά συµπεράσµατα που προέκυψαν από την παραπάνω διερεύνηση είναι τα ακόλουθα:. Η εξίσωση (Ρ) έχει σε κάθε περίπτωση πλην της οριακής περιπτώσεως.( /ΕΙ) / µια ρίζα εντός του διαστήµατος <Ρ<. Αυτό σηµαίνει ότι εντός του διαστήµατος αυτού η διακρίνουσα (Ρ) αλλάζει πρόσηµο. Εποµένως είναι πιθανή η εµφάνιση µορφών λύσης που ανήκουν τόσο στην κατηγορία Α όσο και στην κατηγορία Β.. Γενικά η ρίζα της εξίσωσης (Ρ) ρίσκεται στο διάστηµα (Ρ,) όταν Ρ >Ρ ή στο διάστηµα (Ρ,) όταν Ρ >Ρ. Στην πλειονότητα των περιπτώσεων η ρίζα αυτή ρίσκεται εντός του διαστήµατος που ορίζουν οι τιµές Ρ, Ρ. Για την περίπτωση Ρ> ακολουθήθηκε η ίδια διακριτοποίηση του πεδίου τιµών των παραµέτρων, όπως και στην περίπτωση Ρ<. Από την διερεύνηση αυτή προέκυψαν τα παρακάτω συµπεράσµατα: Αποδείχθηκε ότι για συγκεκριµένους συνδυασµούς τιµών των τριών εδαφικών παραµέτρων εντός του µελετούµενου πεδίου τιµών τους, η εξίσωση (Ρ) έχει µια (π.χ. όταν.( /ΕΙ) /. / ) ή δυο ρίζες (π.χ. όταν.( /ΕΙ) /. / ). Εποµένως στις περιπτώσεις αυτές η διακρίνουσα αλλάζει πρόσηµο. Υπάρχουν έαια περιπτώσεις συνδυασµών τιµών των τριών παραµέτρων για τους οποίους η εξίσωση (Ρ) δεν έχει καµία ρίζα (π.χ. όταν.( /ΕΙ) /. / ), και δεδοµένου ότι γενικά όπως µπορεί να αποδειχθεί αναλυτικά ισχύει: lim ( Ρ) ( ) ΕΙ ΕΙ < προκύπτει το συµπέρασµα ότι (Ρ)< σε όλο το πεδίο τιµών Ρ>. Από τις παραπάνω παρατηρήσεις προκύπτει το γενικό συµπέρασµα ότι στο πεδίο τιµών Ρ> είναι πιθανή η εµφάνιση περιπτώσεων λύσης που ανήκουν τόσο στην κατηγορία Α όσο και στην κατηγορία Β. B Στάδιο διερεύνησης Για τιµές του αξονικού φορτίου Ρ< το δεύτερο στάδιο της διερεύνησης των υποπεριπτώσεων της κατηγορίας Β θα πρέπει να γίνει σύµφωνα µε το δεύτερο συµπέρασµα του πρώτου σταδίου εντός των διαστηµάτων (Ρ, Ρ ) και (Ρ,) για την περίπτωση Ρ >Ρ, και εντός των διαστηµάτων (Ρ, Ρ ), (Ρ,) για την περίπτωση Ρ <Ρ (Πίνακας.5). Ρ >Ρ / Ρ <Ρ<Ρ : <, <, <. Η περίπτωση αυτή είναι αντίστοιχη µε αυτή του πεδίου Π που µελετήθηκε στα πλαίσια της διερεύνησης της δοκού Euler τάξης (Πίνακας.). Όπως αποδείχθηκε για την περίπτωση εκείνη, στα δεδοµένα πρόσηµα των i αντιστοιχεί η υποπερίπτωση λύσης Β. Ρ >Ρ / Ρ>Ρ και Ρ <Ρ / Ρ>Ρ : >, <, <. Η περίπτωση αυτή είναι αντίστοιχη µε αυτή του πεδίου Π που µελετήθηκε στα πλαίσια της διερεύνησης της δοκού Euler τάξης (Πίνακας.). Όπως αποδείχθηκε για την περίπτωση εκείνη, στα δεδοµένα πρόσηµα των i αντιστοιχεί η Περίπτωση Β. Ρ <Ρ / Ρ <Ρ<Ρ : >, >, <. Η περίπτωση αυτή είναι αντίστοιχη µε την περίπτωση του πεδίου Π που µελετήθηκε στα πλαίσια της διερεύνησης της δοκού Euler τάξης (Πίνακας.). Όπως αποδείχθηκε για τα δεδοµένα πρόσηµα των i αντιστοιχεί η Περίπτωση Β.