Σεκεηώζεηο δηαιέμεωλ

Transcript

1 Παλεπηζηήκην Ησαλλίλσλ, Τκήκα Οηθνλνκηθψλ Δπηζηεκψλ Μεηαπηπρηαθφ Πξφγξακκα Σπνπδψλ, Μάζεκα: Μαθξννηθνλνκηθή Γηδάζθσλ: Γεκήηξηνο Φαηδεληθνιάνπ α/α 3 Σεκεηώζεηο δηαιέμεωλ Μέξνο Ι: Οηθνλνκηθή κεγέζπλζε Κεθάιαην 0: Σηνηρεηώδεηο έλλνηεο, καζεκαηηθνί ηύπνη θαη εκπεηξηθά γεγνλόηα 0.1 Δηζαγωγή Σπλήζσο, θαηά ηε δηδαζθαιία ηεο Μαθξννηθνλνκηθήο πνιχο ρξφλνο αθηεξψλεηαη ζηηο βξαρπρξφληεο νηθνλνκηθέο δηαθπκάλζεηο θαη ιίγνο ζηελ νηθνλνκηθή κεγέζπλζε, παξά ην γεγνλφο φηη ε ηειεπηαία είλαη πνιχ πην ζπνπδαία. Γηα λα ηνλίζεη απηφ αθξηβψο ην ζεκείν, ν D. Romer (006, ζ. 7) αλαθέξεη φηη θαηά ηε δηάξθεηα κίαο πθέζεσο κέζεο εληάζεσο ζηηο ΖΠΑ, ην πξαγκαηηθφ θαηά θεθαιήλ εηζφδεκα είλαη κηθξφηεξν απφ απηφ ηεο ηάζεσο (trend output per person, δειαδή απηνχ πνπ ζα παξεηεξείην αλ δελ ππήξρε χθεζε) θαηά ιίγεο πνζνζηηαίεο κνλάδεο, ελψ ε κείσζε ηνπ ξπζκνχ κεγεζχλζεσο ηεο παξαγσγηθφηεηαο ηεο εξγαζίαο απφ ηηο αξρέο ηεο δεθαεηίαο ηνπ 70 κέρξη θαη ηα κέζα ηεο δεθαεηίαο ηνπ 90 είρε σο ζπλέπεηα ηε κείσζε ηνπ πξαγκαηηθνχ θαηά θεθαιήλ εηζνδήκαηνο θαηά 5%! Καηά ηε δεθαεηία ηνπ 60 ππήξρε πνιχ ελδηαθέξνλ απφ ηνπο νηθνλνκνιφγνπο γηα έξεπλα ζηελ νηθνλνκηθή κεγέζπλζε, ηδίσο κεηά ηε δεκνζίεπζε ηνπ άξζξνπ ηνπ λνκπειίζηα νηθνλνκνιφγνπ Robert Solow ην έηνο Καηφπηλ, φκσο, γηα δχν πεξίπνπ δεθαεηίεο, ε έξεπλα απηή ζρεδφλ ζηακάηεζε, κέρξη ην 1985, νπφηε ην ελδηαθέξνλ αλαδσππξψζεθε, κεηά ηε δεκνζίεπζε άξζξσλ ζηε λέα ζεσξία νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο, ηεο ελδνγελνύο νηθνλνκηθήο κεγεζύλζεωο, ε νπνία εμεηάδεη ην ξφιν ησλ απμνπζψλ απνδφζεσλ θιίκαθαο, ηνπ αλζξσπίλνπ θεθαιαίνπ, ηεο έξεπλαο θαη αλαπηχμεσο (R & D), ησλ εμσηεξηθψλ επηδξάζεσλ, ησλ κνλνπσιηαθψλ ζηνηρείσλ θ.ιπ. Έλαο άιινο παξάγσλ πνπ έπαημε ζεηηθφ ξφιν γηα ηελ αλαδσπχξσζε ηνπ ελδηαθέξνληνο γηα έξεπλα ζηελ νηθνλνκηθή κεγέζπλζε ήηαλ ην γεγνλφο φηη δεκνζηεχζεθαλ ζπγθξίζηκα καθξννηθνλνκηθά δεδνκέλα γηα πνιιέο ρψξεο, νπφηε ελζαξξχλζεθε ε εκπεηξηθή έξεπλα ζην ρψξν. 0. Οξηζκόο θαη κέηξεζε ηεο νηθνλνκηθήο κεγεζύλζεωο Με ηνλ φξν «νηθνλνκηθή κεγέζπλζε» ζπλήζσο ελλννχκε ηε καθξνρξφληα απμεηηθή ηάζε ζην «βηνηηθό επίπεδν» (standard of living), ην νπνίν κεηξείηαη κε ην πξαγκαηηθό θαηά θεθαιήλ εηζόδεκα κίαο νηθνλνκίαο, Τ/Ν, φπνπ Τ = πξαγκαηηθφ αθαζάξηζην εγρψξην πξντφλ (ΑΔΠ) θαη Ν = πιεζπζκφο. Ο φξνο «ξπζκφο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο» ζπλήζσο ζεκαίλεη ηελ αλαινγηθή κεηαβνιή ζην κέγεζνο Τ/Ν, ε νπνία ζπκβνιίδεηαη κε r /N θαη ε νπνία ζε ζπλερή ρξφλν νξίδεηαη σο εμήο: r / N N, N (0.1) φπνπ ε ηειεία (.) πάλσ απφ κία κεηαβιεηή ζεκαίλεη παξάγσγν σο πξνο ην ρξφλν. Γεληθά, αλ κία κεηαβιεηή Υ κεηξείηαη ζε ζπλερή ρξφλν, ηφηε X ( t) dx ( t) / dt. 1

2 Ωο γλσζηφλ, ην κέγεζνο Τ/Ν είλαη κελ ην πιένλ ζχλεζεο κέηξν νηθνλνκηθήο επεκεξίαο κίαο ρψξαο, αιιά δελ είλαη θαη ην ηέιεην κέηξν, δηφηη δελ ιακβάλεη ππ φςε θάπνηνπο ζεκαληηθνχο παξάγνληεο πνπ ζρεηίδνληαη κε ηελ πνηφηεηα δσήο. Γηα παξάδεηγκα, δελ ιακβάλεη ππ φςε ηελ αλάπαπζε. Ωο έλα άιιν παξάδεηγκα, εάλ θηηζζεί έλα λέν εξγνζηάζην θαη παξάγεη πξντφληα, αιιά ηαπηφρξνλα ξππαίλεη θαη ηελ αηκφζθαηξα, ε κεηξνύκελε επεκεξία (Τ/Ν) απμάλεη, αιιά ε πξαγκαηηθή κπνξεί θαη λα κεησζεί εμ αηηίαο ηεο ξππάλζεσο πνπ δεκηνπξγεί ην εξγνζηάζην, ε νπνία φκσο αγλνείηαη. Αο ζεκεησζεί φηη κεξηθέο θνξέο ν φξνο «νηθνλνκηθή κεγέζπλζε» αλαθέξεηαη ζηελ αχμεζε ηνπ πξαγκαηηθνχ ΑΔΠ, Τ, θαη φρη ηνπ θαηά θεθαιήλ πξαγκαηηθνχ ΑΔΠ, Τ/Ν. Δπίζεο, ζπλήζσο γίλεηαη δηάθξηζε κεηαμχ ησλ φξσλ «νηθνλνκηθή κεγέζπλζε», ν νπνίνο αλαθέξεηαη ζηε βειηίσζε ηνπ επηπέδνπ δηαβηψζεσο κίαο ήδε αλεπηπγκέλεο νηθνλνκίαο, θαη «νηθνλνκηθή αλάπηπμε», ν νπνίνο αλαθέξεηαη ζην πέξαζκα κίαο ππναλάπηπθηεο νηθνλνκίαο ζηελ νκάδα ησλ αλεπηπγκέλσλ νηθνλνκηψλ, πνπ κπνξεί λα επηηεπρζεί κε ζεζκηθέο αιιαγέο, κε ηελ εηζαγσγή λέαο ηερλνινγίαο θ.ιπ. Ζ δηάθξηζε απηή δελ ζεσξείηαη πάληνηε ρξήζηκε, σζηφζν (βι. Κνιιίληδαο, 003, ζ. 11-1). 0.3 Αλαινγηθή κεηαβνιή, πνζνζηηαία κεηαβνιή θαη ν ηύπνο ηνπ αλαηνθηζκνύ Πξηλ πξνρσξήζνπκε, αο αλαθέξνπκε δχν ρξήζηκνπο νξηζκνχο θαη δχν ρξήζηκνπο ηχπνπο. Πξψηνλ, ζε δηαθξηηφ ρξφλν ε αλαινγηθή κεηαβνιή (proportionate change) ηεο κεηαβιεηήο x, r x, νξίδεηαη σο εμήο: r x = (x 1 x 0 )/x 0 = Γx/x 0, (0.) φπνπ x 0 είλαη ην αξρηθφ επίπεδν ηεο κεηαβιεηήο θαη x 1 είλαη ην ηειηθφ ηεο επίπεδν, δειαδή ην επίπεδφ ηεο κεηά ηε κεηαβνιή. Γεχηεξνλ, κε ηνλ φξν πνζνζηηαία κεηαβνιή (percentage change) ηεο x, g x, ελλννχκε ην γηλφκελν g x = 100 r x. Γειαδή, ζε δηαθξηηφ ρξφλν, ην g x νξίδεηαη σο εμήο: g x = 100 (x 1 x 0 )/x 0 = 100 (Γx/x 0 ). (0.3) Οη δχν ηχπνη πνπ ζέινπκε λ αλαθέξνπκε εδψ είλαη απηνί ηνπ αλαηνθηζκνύ (compounding interest) ζε δηαθξηηφ θαη ζε ζπλερή ρξφλν. Σε δηαθξηηφ ρξφλν, είλαη εχθνιν λ απνδεηρζεί φηη Σε ζπλερή ρξφλν, ε Δμίζσζε (0.4) γξάθεηαη σο x t = x 0 (1 + r x ) t. (0.4) r x(t) = x(0) x t e, (0.5) φπνπ ην αξρηθφ θαη ην ηειηθφ επίπεδν ηεο κεηαβιεηήο ζπκβνιίδνληαη ηψξα κε x(0) θαη x(t), αληίζηνηρα, ελψ t είλαη ν αξηζκφο ησλ εηψλ κεηά ην έηνο 0. Ζ απφδεημε ηνπ ηχπνπ (0.5) έρεη σο εμήο. Έζησ φηη νη απμήζεηο ηεο x ιακβάλνπλ ρψξα m θνξέο θαη έηνο, νπφηε ζε t έηε ζα γίλνπλ ζπλνιηθά mt απμήζεηο. Δθφζνλ ν ρξφλνο είλαη ζπλερήο, έπεηαη φηη m. Αθφκε, εθφζνλ r x = εηήζηνο ξπζκφο απμήζεσο, έπεηαη φηη ν ξπζκφο απμήζεσο απφ ηε κία ζηηγκή ζηελ άιιε ζα είλαη r x /m. Τψξα, εθφζνλ ην αξρηθφ επίπεδν ηεο x είλαη x(0), έπεηαη φηη ηελ επνκέλε ζηηγκή ην επίπεδν ηεο x ζα είλαη x(0) + (r x /m)x(0) = x(0)(1 + r x /m). Τελ ακέζσο επνκέλε ζηηγκή ζα είλαη x(0)(1 + r x /m) + [x(0)(1 + r x /m)](r x /m) = x(0)(1 + r x /m). Καηά ηνλ ίδην ηξφπν, βξίζθνπκε φηη ζην ηέινο ηνπ έηνπο ην επίπεδν ηεο x ζα είλαη x(0)(1 + r x /m) m, ελψ κεηά απφ t έηε, ζα είλαη x(t) = x(0)(1 + r x /m) mt. Θέηνπκε φπνπ m/r x = w, νπφηε ε πξνεγνχκελε εμίζσζε γξάθεηαη σο εμήο:

3 w r t x 1 x( t) x(0) 1. (0.6) w Απφ ηνλ δηαθνξηθφ ινγηζκφ, φκσο, γλσξίδνπκε φηη w 1 lim 1 e. w w Αληηθαζηζηψληαο ην απνηέιεζκα απηφ ζηελ Δμίζσζε (0.6), πξνθχπηεη ε Δμίζσζε (0.5). Έλα άιιν ζπνπδαίν απνηέιεζκα πνπ ζα πξέπεη πάληνηε λα ζπκφκαζηε είλαη φηη d ln X ( t) dt 1 dx ( t) X ( t) dt X ( t) X ( t) r X. (0.7) Σπλεπψο, γηα λα ππνινγίζνπκε ην ξπζκφ κεγεζχλζεσο κίαο κεηαβιεηήο Υ(t), r Υ, αξθεί λα πάξνπκε ηελ παξάγσγν ηνπ ινγαξίζκνπ ηεο Υ(t) σο πξνο ην ρξφλν (t). 0.4 Σπνπδαηόηεηα ηεο νηθνλνκηθήο κεγεζύλζεωο Σπλήζσο, ηα εγρεηξίδηα νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο αξρίδνπλ ηνλίδνληαο ηε ζπνπδαηφηεηα ηεο απμήζεσο ηνπ ξπζκνχ νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο, r /N. Γηφηη, αθφκε θαη κηθξέο απμήζεηο ζην r /N νδεγνχλ καθξνρξφληα ζε κεγάιεο απμήζεηο ηνπ βηνηηθνχ επηπέδνπ, /N. Γηα λα θάλνπκε θη εδψ κεξηθνχο ππνινγηζκνχο, αο απνδείμνπκε θαη αξρήλ ηνλ ιεγφκελν «θαλόλα ηνπ 70» (βι. Dornbusch θαη Fischer, 1994, ζ. 61). Σχκθσλα κ απηφλ ηνλ θαλφλα, γηα λα ππνινγίζνπκε πξνζεγγηζηηθά ην ρξφλν (t) πνπ απαηηείηαη γηα λα δηπιαζηαζζεί ην επίπεδν κίαο κεηαβιεηήο, x, δηαηξνχκε ηνλ αξηζκφ 70 κε ηελ πνζνζηηαία κεηαβνιή ηεο x, δειαδή κε g x = 100 r x : t 70. (0.8) g x Γηα ηελ απφδεημε απηνχ ηνπ ηχπνπ, ρξεζηκνπνηνχκε ηελ Δμίζσζε (0.4), x t = x 0 (1 + r x ) t. Δθφζνλ ζε t έηε απφ ζήκεξα ζέινπκε λα ηζρχεη φηη x t = x 0, έπεηαη φηη ζηελ Δμίζσζε (0.4) πξέπεη λα ηζρχεη φηη (1 + r x ) t =. Παίξλνληαο ινγαξίζκνπο, πξνθχπηεη φηη t ln(1 + r x ) = ln(). (0.9) Αιιά, γηα r x 0, ηζρχεη φηη ln(1 + r x ) r x. Καη επεηδή ln() = 0, ,70, ε Δμίζσζε (0.9) γξάθεηαη σο εμήο: tr x 0,70. Πνιιαπιαζηάδνληαο ηελ εμίζσζε απηή κε 100 θαη ρξεζηκνπνηψληαο ηνλ νξηζκφ g x = 100 r x, έρνπκε φηη tg x 70, απφ ηελ νπνία πξνθχπηεη ε Δμίζσζε (0.8). Σχκθσλα, ινηπφλ, κε ηνλ ηχπν (0.8), αλ g /N = 1, πνπ ζεκαίλεη φηη r /N = 0,01, δειαδή φηη ην /N απμάλεηαη κε εηήζην ξπζκφ 1%, ηφηε απαηηνχληαη t 70/1 = 70 πεξίπνπ έηε γηα λα δηπιαζηαζζεί ην βηνηηθφ επίπεδν κίαο ρψξαο. Αλ g /N =, ηφηε απαηηνχληαη t 35 έηε, ελψ, αλ g /N = 3, ηφηε απαηηνχληαη t 3 έηε γηα λα δηπιαζηαζζεί ην βηνηηθφ επίπεδν ηεο ρψξαο. 3

4 Πξνθαλψο, ν ξπζκφο κεγεζχλζεσο r /N είλαη κία ζπνπδαία καθξννηθνλνκηθή κεηαβιεηή. Έλα θξίζηκν εξψηεκα πνπ ηίζεηαη επζχο εμ αξρήο είλαη ην εμήο: Πνηνί είλαη νη πξνζδηνξηζηηθνί παξάγνληεο ηνπ ξπζκνχ νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο (r /N ) κίαο ρψξαο; Ο θπξηψηεξνο ζθνπφο ηεο ζεσξίαο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο είλαη λ απαληήζεη ζ απηφ ην εξψηεκα. Έλα άιιν θξίζηκν εξψηεκα ζην νπνίν θαιείηαη λ απαληήζεη ε ζεσξία νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο είλαη: Γηαηί ηα /N θαη r /N δηαθέξνπλ απφ ρψξα ζε ρψξα; Ωζηφζν, ε ζχγθξηζε ησλ ηηκψλ ηνπ /N απφ ρψξα ζε ρψξα δελ είλαη εχθνιε. Υπάξρνπλ, φκσο, δηεζλψο ζπγθξίζηκα ζηνηρεία, ηα νπνία έρνπλ δεκνζηεπζεί ζηνλ γλσζηφ σο Penn World Table απφ ηνπο R. Summers θαη A. Heston θαη έρνπλ ρξεζηκνπνηεζεί πνιχ ζηελ εκπεηξηθή έξεπλα θαηά ηα ηειεπηαία 15 ρξφληα. Τν θχξην ραξαθηεξηζηηθφ απηψλ ησλ ζηνηρείσλ είλαη φηη νη κεηαβιεηέο πνπ αλαθέξνληαη ζε δαπάλεο κεηξνχληαη κ έλα θνηλφ ζχλνιν ηηκψλ ζε θνηλφ λφκηζκα, έηζη ψζηε λα είλαη δπλαηή ε ζχγθξηζε πνζνηήησλ ηφζν κεηαμχ δηαθνξεηηθψλ ρσξψλ φζν θαη κεηαμχ δηαθνξεηηθψλ εηψλ. 1 Παξάδεηγκα 0.1. Με βάζε ηα ζηνηρεία ησλ Summers θαη Heston, ην έηνο 1990 ίζρπαλ ηα εμήο γηα ηηο Ζ.Π.Α. θαη ηελ Κνξέα: (/N) US = $ 1360, g /N, US = 1,7, (/N) KOREA = $ 7190 θαη g /N, KOREA = 7,1 (βι. Dornbusch and Fischer, 1994, ζ. 6). Υπνζέηνληαο φηη απηνί νη ξπζκνί κεγεζχλζεσο παξακέλνπλ ζηαζεξνί, ζε πφζα έηε ην θαηά θεθαιήλ πξαγκαηηθφ ΑΔΠ ηεο Κνξέαο ζα ηζνχηαη κε απηφ ησλ Ζ.Π.Α.; Λύζε. Με βάζε ηνλ ηχπν (0.4), ιχλνπκε ηελ εμίζσζε ,017 t = ,071 t. Υπνινγίδνπκε φηη απαηηνχληαη t = 1 έηε. 0.5 Δκπεηξηθά γεγνλόηα πνπ ραξαθηεξίδνπλ ηελ νηθνλνκηθή κεγέζπλζε (stlized facts) Ο νηθνλνκνιφγνο N. Kaldor (1961, ζ ) παξεηήξεζε φηη ηα αθφινπζα εκπεηξηθά γεγνλφηα ραξαθηεξίδνπλ ηε δηαδηθαζία ηεο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο: 1. Ζ κέζε παξαγσγηθφηεηα ηεο εξγαζίαο (/L) απμάλεηαη δηαρξνληθά κε ζηαζεξφ ξπζκφ, g /L >0.. Ο ιφγνο θεθαιαίνπ πξνο πξντφλ είλαη πξνζεγγηζηηθά ζηαζεξφο δηαρξνληθά, δειαδή g Κ/Τ Ο ιφγνο θεθαιαίνπ πξνο εξγαζία απμάλεη δηαρξνληθά, δειαδή g Κ/L > Ζ απφδνζε ηνπ θεθαιαίνπ (ην πξαγκαηηθφ επηηφθην, r) είλαη πξνζεγγηζηηθά ζηαζεξή δηαρξνληθά, δειαδή g r Τα κεξίδηα ηνπ θπζηθνχ θεθαιαίνπ θαη ηεο εξγαζίαο ζην ζπλνιηθφ εηζφδεκα (α K θαη α L, αληίζηνηρα) είλαη πξνζεγγηζηηθά ζηαζεξά δηαρξνληθά, δειαδή g ακ 0 θαη g αl Ο ξπζκφο απμήζεσο ηνπ /N δηαθέξεη ζεκαληηθά απφ ρψξα ζε ρψξα, δειαδή g (/N) i g (/N) j γηα ηηο ρψξεο i θαη j, φπνπ i j. Οη εκπεηξηθέο απηέο παξαηεξήζεηο ηνπ Kaldor έρνπλ επηβεβαησζεί θαη απφ άιινπο εξεπλεηέο γηα πνιιέο ρψξεο. Σπλεπψο, ε πξφθιεζε γηα κία ζεσξία νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο είλαη λα κπνξεί λα εξκελεχζεη ηα εκπεηξηθά απηά γεγνλφηα. 1 Υπάξρνπλ, βέβαηα, θαη άιιεο δπζθνιίεο φηαλ ζπγθξίλνπκε ηηκέο ηνπ κεηαμχ δηαθφξσλ ρσξψλ. Γηα παξάδεηγκα, νη κνξθέο θαη ε έθηαζε ηεο παξανηθνλνκίαο, ε νπνία είλαη δχζθνιν λα κεηξεζεί, δηαθέξνπλ απφ ρψξα ζε ρψξα. 4

5 Κεθάιαην 1: Τν λενθιαζηθό ππόδεηγκα νηθνλνκηθήο κεγεζύλζεωο Solow-Swan 1.1 Δηζαγωγή Αλ θαη ππήξμαλ πνιιέο ζπλεηζθνξέο ζηελ νηθνλνκηθή κεγέζπλζε πξηλ απφ ηε δεθαεηία ηνπ 1950, ήηαλ νη εξγαζίεο ησλ Solow (1956) θαη Swan (1956) πνπ έβαιαλ ηα ζεκέιηα ηεο ζχγρξνλεο ζεσξίαο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο, κε ηελ θαηαζθεπή ηνπ λενθιαζηθνχ ππνδείγκαηνο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο. Πην γλσζηή είλαη ε εξγαζία ηνπ Solow (1956), ν νπνίνο ην 1987 πήξε βξαβείν Nobel γη απηή ηνπ ηε ζπλεηζθνξά. Τν ππφδεηγκα Solow-Swan ππνζέηεη φηη ην πνζνζηφ ηεο απνηακηεχζεσο ζην εηζφδεκα (saving rate, s) είλαη κία εμσγελήο ζηαζεξά. Αξγφηεξα, νη Cass (1965) θαη Koopmans (1965), βαζηζκέλνη ζηελ εξγαζία ηνπ Ramse (198), βειηίσζαλ ην αξρηθφ ππφδεηγκα ηνπ Solow (1956), θαζηζηψληαο ην s ελδνγελή κεηαβιεηή, ε νπνία πξνζδηνξίδεηαη απφ ηελ αξηζηνπνηεηηθή ζπκπεξηθνξά ησλ λνηθνθπξηψλ. Τν ππφδεηγκα Solow-Swan ππνζέηεη επίζεο φηη ε γλψζε (Α) βειηηψλεηαη κ έλα εμσγελή ζηαζεξφ ξπζκφ, g. Ζ ππφζεζε απηή ζα αξζεί αξγφηεξα, ζηα πιαίζηα ηνπ ππνδείγκαηνο ηεο ελδνγελνχο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο (βι. Κεθ. 3). Αο ζεκεησζεί φηη εδψ ν φξνο «γλψζε» πεξηιακβάλεη θαη ηελ ηερλνινγία, ηηο εμεηδηθεχζεηο, ην ζεζκηθφ πιαίζην, ηε δεκφζηα ππνδνκή, αθφκε θαη ηηο αληηιήςεηο πνπ επηθξαηνχλ ζε κία θνηλσλία (βι. Romer, 006, ζ. 8). 1. Η βαζηθή δνκή ηνπ ππνδείγκαηνο νηθνλνκηθήο κεγεζύλζεωο Solow-Swan Οη θπξηψηεξεο ππνζέζεηο ηνπ λενθιαζηθνχ ππνδείγκαηνο Solow-Swan είλαη νη εμήο: 1. Σε θάζε ρξνληθή ζηηγκή, ε νηθνλνκία απνηειείηαη απφ έλα αξηζκφ λνηθνθπξηψλ (L), ηα νπνία είλαη ίδηα κεηαμχ ηνπο. Ο αξηζκφο απηφο απμάλεηαη εμσγελψο κε ζηαζεξφ ξπζκφ, n. Γειαδή, L ( t) / L( t) n, (1.1) φπνπ ν ζπκβνιηζκφο L(t) ππνλνεί ζπλερή ρξφλν (ελψ ν ζπκβνιηζκφο L t ππνλνεί δηαθξηηφ ρξφλν). Φάξηλ επθνιίαο, σζηφζν, κεξηθέο θνξέο παξαιείπνπκε ηνλ δείθηε ηνπ ρξφλνπ.. Όπσο πξναλαθέξζεθε, ε «γλψζε» (Α) απμάλεηαη επίζεο εμσγελψο, κε ζηαζεξφ ξπζκφ g: A ( t) / A( t) g. (1.) 3. Ζ νηθνλνκία είλαη αληαγσληζηηθή θαη παξάγεη κφλν έλα αγαζφ, ην νπνίν είλαη νκνγελέο θαη ην νπνίν κπνξεί είηε λα θαηαλαισζεί είηε λα απνηακηεπζεί θαη λα επελδπζεί, φπνπ ε επέλδπζε (Ι) αλαθέξεηαη ζηε δεκηνπξγία λένπ θπζηθνχ θεθαιαίνπ θαζψο θαη ζηελ απφζβεζε πεπαιαησκέλνπ θεθαιαίνπ. Πξφθεηηαη, δειαδή, γηα αθαζάξηζηε επέλδπζε (gross investment), νπφηε γξάθνπκε I K K, (1.3) φπνπ Κ είλαη ην απφζεκα θεθαιαίνπ θαη δ είλαη ν ξπζκφο απνζβέζεσο, ν νπνίνο ππνηίζεηαη φηη είλαη ζηαζεξφο θαη δεδνκέλνο εμσγελψο. Φάξηλ απιφηεηαο, ζηε ζεκειηώδε καθξννηθνλνκηθή ηαπηόηεηα, Τ C + I + G + NX, ζέηνπκε G = NX = 0 (σο λα κελ ππάξρεη θπβέξλεζε, νχηε εμσηεξηθφο ηνκέαο!), νπφηε ε ηαπηφηεηα απηή γξάθεηαη εδψ σο εμήο: Τν θεθάιαην απηφ βαζίδεηαη θπξίσο ζην βηβιίν ηνπ Romer (006). 5

6 Ζ ηαπηφηεηα απηή γξάθεηαη θαη σο εμήο: Τ = C + I, (1.4) = C + S, (1.5) φπνπ S = απνηακίεπζε. Ζ ζπλάξηεζε απνηακηεχζεσλ ππνζέηνπκε φηη είλαη ε αθφινπζε: S = s, 0 < s < 1, (1.6) φπνπ s είλαη κία εμσγελήο ζηαζεξά. Απφ ηηο ηαπηφηεηεο (1.4) θαη (1.5) πξνθχπηεη φηη 4. Ζ ζπλάξηεζε ζπλνιηθήο παξαγσγήο είλαη I = S. (1.7) Τ(t) = F(K(t), A(t)L(t)), (1.8) φπνπ A(t) παξηζηάλεη ην επίπεδν ηεο γλψζεσο ή ηερλνινγίαο ζην ρξφλν t, ην νπνίν ππνηίζεηαη φηη πξνζδηνξίδεηαη εμσγελψο. Αο παξαηεξήζνπκε ηα εμήο. Πξψηνλ, ε κεηαβιεηή A(t) ππεηζέξρεηαη ζηε ζπλάξηεζε (1.8) πνιιαπιαζηαζηηθά κε ηε κεηαβιεηή L(t). Τν γηλφκελν A(t)L(t) νλνκάδεηαη ζηα Αγγιηθά effective labor, φξνο πνπ έρεη κεηαθξαζζεί ζηα Διιεληθά σο «απνηειεζκαηηθή εξγαζία», αλ θαη κία θαιχηεξε κεηάθξαζή ηνπ ίζσο ζα ήηαλ «ιεηηνπξγηθή εξγαζία» ή «πξαγκαηηθή εξγαζία», εθφζνλ ν φξνο απηφο ζεκαίλεη εξγαζία πνπ πξαγκαηηθά ρξεζηκνπνηείηαη. Όηαλ ε γλψζε ή ηερλνινγία ππεηζέξρεηαη θαη απηφλ ηνλ ηξφπν ζηε ζπλάξηεζε παξαγσγήο, ηφηε ιέγεηαη φηη επαπμάλεη ηελ εξγαζία (labor-augmenting technical progress) θαη νλνκάδεηαη ηερλνινγηθή πξόνδνο νπδέηεξε θαηά Harrod (Harrod-neutral technical progress). Δθφζνλ ην A(t) απμάλεη δηαρξνληθά, ε νπδέηεξε θαηά Harrod ηερλνινγηθή πξφνδνο ζεκαίλεη, γηα παξάδεηγκα, φηη ε εξγαζία πνπ πξνζθέξεη ηψξα έλαο εξγαδφκελνο ηζνδπλακεί κε ηελ εξγαζία πνπ πξφζθεξαλ αξρηθά δχν εξγαδφκελνη κεηά απφ θάπνην ρξφλν, ε εξγαζία ηνπ ζα ηζνδπλακεί κε ηελ εξγαζία πνπ πξφζθεξαλ αξρηθά ηξεηο εξγαδφκελνη θ.ιπ. 3 Γεχηεξνλ, ν ρξφλνο (t) δελ ππεηζέξρεηαη ζαλ επηπξφζζεηε κεηαβιεηή ζηε ζπλάξηεζε (1.8), αιιά κφλν δηά κέζνπ ησλ κεηαβιεηψλ K(t), A(t) θαη L(t). Γειαδή, ε ζπλάξηεζε (1.8) δελ κεηαηνπίδεηαη απιά θαη κφλν κε ηελ πάξνδν ηνπ ρξφλνπ, αιιά κφλν φηαλ απμεζεί ην επίπεδν ηεο γλψζεσο, A(t). Υπνζέηνπκε φηη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο (1.8) έρεη ηηο αθφινπζεο ηδηφηεηεο, νη νπνίεο νλνκάδνληαη λενθιαζηθέο ηδηόηεηεο: (α) Έρεη ζεηηθά θαη θζίλνληα νξηαθά πξνϊόληα, δειαδή F Κ = ΜΡΚ = F/ Κ = Τ/ Κ > 0, F L = ΜΡL = F/ L = Τ/ L > 0, F ΚK = Τ/ Κ < 0, F LL = Τ/ L < 0. (1.9α) (1.9β) (1.9γ) (1.9δ) 3 Υπάξρεη θαη ηερλνινγηθή πξόνδνο νπδέηεξε θαηά Solow, φηαλ επαπμάλεη ην θεθάιαην (capital augmenting), δειαδή Τ = F(AK, L). Τέινο, ππάξρεη θαη ηερλνινγηθή πξόνδνο νπδέηεξε θαηά Hicks, φηαλ Τ = AF(K, L). Δδψ, ππνζέηνπκε ηερλνινγηθή πξφνδν νπδέηεξε θαηά Harrod, δηφηη ε ππφζεζε απηή είλαη απαξαίηεηε γηα λα έρεη ην ππφδεηγκα ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο (βι. Τκήκα 1.3). Βι. Barro and Sala-i-Martin (1995, ζ , 54-55). 6

7 (β) Παξνπζηάδεη ζηαζεξέο απνδόζεηο θιίκαθαο (constant returns to scale). Γειαδή, γηα ι 0, F(ιK, Α(ιL)) = ιf(k, ΑL) = ιτ. (1.10) Όπσο ζεκεηψλεη ν Romer (006, ζ. 10), ε ππφζεζε απηή κπνξεί λα ζεσξεζεί φηη ζπλδπάδεη ηηο εμήο δχν ππνζέζεηο: Πξψηνλ, φηη ε νηθνλνκία είλαη αξθεηά κεγάιε θαη αλεπηπγκέλε, ψζηε λα έρνπλ ιάβεη ρψξα φιεο νη εμεηδηθεχζεηο θαη λα κελ ππάξρνπλ νθέιε απφ πεξαηηέξσ εμεηδηθεχζεηο. Έηζη, αλ π.ρ. δηπιαζηαζζνχλ νη πνζφηεηεο ησλ εηζξνψλ, νη επηπιένλ απηέο πνζφηεηεο ζα ρξεζηκνπνηεζνχλ θαηά ηνλ ίδην πεξίπνπ ηξφπν φπσο θαη νη πξνεγνχκελεο, νπφηε ην πξντφλ ζα δηπιαζηαζζεί. Δλψ, ζε κία κηθξή ή αλαπηπζζφκελε νηθνλνκία, φπνπ ππάξρνπλ δπλαηφηεηεο γηα πεξαηηέξσ εμεηδίθεπζε ησλ εηζξνψλ, ν δηπιαζηαζκφο ηνπο ίζσο λα σδεγνχζε ζε ππεξδηπιαζηαζκφ ηνπ πξντφληνο, νπφηε ζα είρακε αύμνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο. Δθφζνλ εδψ ππνζέηνπκε ζηαζεξέο απνδφζεηο θιίκαθαο, ππνλνείηαη φηη αλαθεξφκαζηε ζε κία κεγάιε θαη αλεπηπγκέλε νηθνλνκία, γη απηφ θαη γίλεηαη ιφγνο γηα κεγέζπλζε θαη φρη αλάπηπμε (βι. Τκήκα 0.). Γεχηεξνλ, εθηφο απφ ηελ εξγαζία θαη ην θεθάιαην, άιιεο εηζξνέο, φπσο π.ρ. ην έδαθνο θαη νη θπζηθνί πφξνη, δελ ζπκβάιινπλ νπζηαζηηθά ζηελ παξαγσγή. Αλ ζπλέβαιιαλ, ηφηε, κε ζηαζεξά ην έδαθνο θαη ηνπο θπζηθνχο πφξνπο, ν δηπιαζηαζκφο ηεο εξγαζίαο θαη ηνπ θεθαιαίνπ ζα σδεγνχζε ζε ιηγψηεξν απφ δηπιάζην πξντφλ, νπφηε ζα είρακε θζίλνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο θαη φρη ζηαζεξέο. (γ) Ηθαλνπνηεί ηηο ζπλζήθεο Inada: lim ( MPK) K 0 lim( MPL) L 0 (1.11α) θαη lim ( MPK) K lim ( MPL) L 0. (1.11β) Γειαδή, θαη ηα δχν νξηαθά πξντφληα αξρίδνπλ απφ ην άπεηξν θαη, θαζψο απμάλνληαη ηα επίπεδα ησλ εηζξνψλ K θαη L, κεηψλνληαη, ηείλνληαο πξνο ην κεδέλ. Ζ ππφζεζε ησλ ζηαζεξψλ απνδφζεσλ θιίκαθαο καο επηηξέπεη λα γξάςνπκε ηε ζπλάξηεζε παξαγσγήο πην απιά. Θέηνληαο ι = 1/ΑL ζηελ (1.10), πξνθχπηεη φηη ή F K 1, 1 F( K, AL AL AL ) (1.1) AL φπνπ = f(k), (1.13) = Τ/ΑL, k = K/ΑL θαη f(k) = F(k, 1). (1.14) Δθηφο απφ ηελ απιφηεηα, ππάξρεη θαη δεχηεξνο ιφγνο πνπ ζέινπκε λα γξάςνπκε ηε ζπλάξηεζε παξαγσγήο κε ηε κνξθή ηεο Δμ. (1.13) θαη φρη κε ηε κνξθή ηεο Δμ. (1.8). Δπεηδή ην ελδηαθέξνλ καο ζηξέθεηαη θπξίσο γχξσ απφ ηε κέζε παξαγσγηθφηεηα ηεο εξγαζίαο, Τ/L, ε Δμ. (1.13) πξνζθέξεηαη θαιχηεξα γηα ηε κειέηε ηεο ζπκπεξηθνξάο απηήο ηεο κεηαβιεηήο απ φ,ηη ε Δμ. (1.8). 7

8 Αο απνδείμνπκε ηψξα φηη θαη ΜΡΚ = f (k) > 0 (1.15) MPK 1 F KK f ''( k) 0. (1.16) K AL Ζ (1.15) ηζρχεη, δηφηη MPK F( K, AL) K [ ALf ( k)] K ALf '( k) dk dk K d( ) ALf '( k) AL dk AL ALf '( k) f '( k) ( AL) 0, επεηδή απφ ηελ (1.9α) έρνπκε φηη ΜΡΚ > 0. Ζ (1.16) ηζρχεη, δηφηη F KK MPK K [ f '( k)] K f ''( k) dk dk 1 f ''( k) AL 0, επεηδή απφ ηελ (1.9γ) έρνπκε φηη F ΚK < 0. Αο παξαηεξήζνπκε επίζεο φηη, εμ αηηίαο ησλ ζπλζεθψλ Inada, Δμ. (1.11α)-(1.11β), ηζρχεη φηη lim k 0 f '( k) (1.17α) θαη lim k f '( k) 0. (1.17β) Δθφζνλ απφ ηηο (1.15)-(1.16) έρνπκε φηη f '(k) > 0 θαη f ''(k) < 0, έπεηαη φηη ην πξντφλ θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, = f(k), είλαη αχμνπζα ζπλάξηεζε ηνπ ιφγνπ θπζηθνχ θεθαιαίνπ θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, απμάλεη δε κε θζίλνληα ξπζκφ, πνπ ζεκαίλεη φηη ε ζπλάξηεζε απηή είλαη απζηεξώο θνίιε (strictl concave). Σχκθσλα κε ηηο Δμηζψζεηο (1.17α)-(1.17β), ε θιίζε απηήο ηεο ζπλαξηήζεσο θζίλεη απφ ην άπεηξν (φηαλ k = 0) ζην κεδέλ (φηαλ k ). Γηαγξακκαηηθά, έρνπκε ηελ αθφινπζε ζπλάξηεζε: f(k) 0 k Γηάγξακκα 1.1. Ζ ζπλάξηεζε ηνπ πξντφληνο θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, = f(k) 8

9 1.3 Η δπλακηθή ηνπ ππνδείγκαηνο Δίλαη πξνθαλέο φηη ζην ππφδεηγκα Solow-Swan ν κφλνο ηξφπνο λ απμεζεί ην πξντφλ θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο () είλαη λ απμεζεί ν ιφγνο θπζηθνχ θεθαιαίνπ θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο (k). Σπλεπψο, πξέπεη λα εμεηάζνπκε ηνπο παξάγνληεο πνπ επεξεάδνπλ ηε κεηαβιεηή k. Καη αξρήλ, απφ ηηο Δμ. (1.6) θαη (1.7), πξνθχπηεη φηη I = s. Αληηθαζηζηψληαο απηή ηελ εμίζσζε ζηελ Δμ. (1.3) θαη αλαδηαηάζζνληαο ηνπο φξνπο, πξνθχπηεη φηη K s K, (1.18) δειαδή ε θαζαξή επέλδπζε (K ) ηζνχηαη κε ηελ αθαζάξηζηε επέλδπζε (s = I) κείνλ ηηο απνζβέζεηο (δκ). Γηαηξψληαο ηελ (1.18) κε ΑL, πξνθχπηεη φηη Γηα λα εηζαγάγνπκε ηψξα ην k ζηελ (1.19), αο ππνινγίζνπκε K / AL s f ( k) k. (1.19) d K KAL K( AL AL ) K A L K A L k ( ) k k k. (1.0) dt AL ( AL) AL A L AL A L Αιιά, απφ ηηο (1.1)-(1.), έρνπκε φηη L / L n θαη A / A g, νπφηε απφ ηελ (1.0) πξνθχπηεη φηη K / AL k k( g n). (1.1) Αληηθαζηζηψληαο ηελ (1.1) ζηελ (1.19), πξνθχπηεη φηη k k( g n) sf ( k) k ή k s f ( k) ( n g ) k. (1.) Ζ Δμίζσζε (1.) απνηειεί ηε ζεκειηώδε δηαθνξηθή εμίζωζε ηνπ ππνδείγκαηνο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο Solow-Swan. Ζ εμίζσζε απηή ιέγεη φηη γηα ηελ αχμεζε ηνπ ιφγνπ θεθαιαίνπ θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, k, πξέπεη ε απνηακίεπζε (= επέλδπζε) θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, i = sf(k), φπνπ i = I/AL, λα ππεξβαίλεη ηε δαπάλε (n + g + δ)k, ε νπνία απαηηείηαη γηα ηε ζπληήξεζε ηνπ k ζην ηξέρνλ επίπεδφ ηνπ. Αλ δελ πξαγκαηνπνηεζεί απηή ε δαπάλε, ηφηε ν ιφγνο k = K/AL ζα κεησζεί. Γηφηη, πξψηνλ, ππάξρεη θζνξά ηνπ θεθαιαίνπ (K) θαη, δεχηεξνλ, ε απνηειεζκαηηθή εξγαζία (AL) απμάλεηαη κε ξπζκφ n + g, νπφηε, γηα λα δηαηεξεζεί ν ιφγνο K/AL ζηαζεξφο, πξέπεη θαη ην θεθάιαην (Κ) λ απμάλεηαη κε ηνλ ίδην ξπζκφ, n + g. Ζ δαπάλε (n + g + δ)k νλνκάδεηαη «εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε» (breakeven investment) θαη αλαθέξεηαη ζηελ αχμεζε ηνπ εξγαηηθνχ δπλακηθνχ (nk), ζηελ αχμεζε ηεο ηερλνινγίαο (gk) θαη ζηηο απνζβέζεηο (δk). Γηα παξάδεηγκα, νη απνζβέζεηο (δk) απνηεινχλ «εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε», εθφζνλ πξφθεηηαη γηα αληηθαηάζηαζε ηνπ πεπαιαησκέλνπ θεθαιαίνπ, πξνθεηκέλνπ ην k λα δηαηεξεζεί ζην ηξέρνλ επίπεδφ ηνπ. Δπίζεο, ην γηλφκελν nk απνηειεί «εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε» κε ηελ εμήο έλλνηα: θαζψο απμάλεη ην εξγαηηθφ δπλακηθφ (L), γηα λα παξακείλεη ν ιφγνο K/AL ζηαζεξφο, απαηηείηαη πεξηζζφηεξε επέλδπζε, έηζη ψζηε λ απμεζεί ην ζπλνιηθφ θεθάιαην (K), γηα λα κπνξέζνπλ νη λένη 9

10 εξγαδφκελνη λα εμνπιηζζνχλ κε ην απαξαίηεην θεθάιαην (εξγαιεία, κεραλέο, θαηνηθίεο, θεθάιαην γηα ηελ παξαγσγή πεξηζζνηέξσλ ηξνθίκσλ, εηδψλ ελδχζεσο θαη ππνδήζεσο θ.ιπ.). Ζ αχμεζε ηνπ Κ πνπ απνζθνπεί ζηε δηαηήξεζε ηνπ k ζην ηξέρνλ επίπεδφ ηνπ νλνκάδεηαη «δηεύξπλζε θεθαιαίνπ» (capital widening), ελψ ε αχμεζε ηνπ Κ πνπ απνζθνπεί ζηελ αχμεζε ηνπ k νλνκάδεηαη «εκβάζπλζε θεθαιαίνπ» (capital deepening). 4 Τέινο, ην γηλφκελν gk απνηειεί «εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε» κε ηελ έλλνηα φηη, θαζψο απμάλεη ε ηερλνινγία, απαηηείηαη δηεχξπλζε θεθαιαίνπ (π.ρ. λέα ππνδνκή, λέεο κεραλέο θ.ιπ.), πξνθεηκέλνπ λα δηαηεξεζεί ην k ζην ηξέρνλ επίπεδφ ηνπ. Μεηά απφ απηή ηε ζπδήηεζε, ε «εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε» (n + g + δ)k ζα κπνξνχζε λα νλνκαζζεί θαη «πξαγκαηηθή απόζβεζε» (effective depreciation) ηνπ k. Γηφηη, αλ δελ ππήξρε απηή ε «εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε», ηφηε ην k ζα κεησλφηαλ. Έζησ, γηα παξάδεηγκα, φηη s = 0, νπφηε δελ ζα ππήξρε επέλδπζε. Τφηε, φπσο είλαη θαλεξφ απφ ηελ Δμ. (1.), k = (n + g + δ)k < 0, πνπ ζεκαίλεη φηη ην k ζα κεησλφηαλ ζπλερψο, εμ αηηίαο ησλ απνζβέζεσλ (δ > 0), ηεο απμήζεσο ηνπ εξγαηηθνχ δπλακηθνχ (n > 0) θαη ηεο απμήζεσο ηεο ηερλνινγίαο (g > 0). 5 Ζ ιχζε ηεο Δμηζψζεσο (1.) πξνζδηνξίδεη ηελ ηηκή ηνπ k γηα ηελ νπνία ε νηθνλνκία βξίζθεηαη ζε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεωο (stead state equilibrium). Αο πξνζδηνξίζνπκε ηε ιχζε ηεο (1.) δηαγξακκαηηθά, κε ηε βνήζεηα ηνπ Γηαγξάκκαηνο 1.. Έρνληαο ππ φςε ηελ Δμίζσζε (1.), ζην Γηάγξακκα 1. είλαη θαλεξφ φηη ε θάζεηε απφζηαζε κεηαμχ ηεο θακπχιεο sf(k) θαη ηεο γξακκήο (n + g + δ)k ηζνχηαη κε k. Σπλεπψο, φηαλ ε θακπχιε sf(k) βξίζθεηαη πάλσ απφ ηε γξακκή (n + g + δ)k, δειαδή φηαλ sf(k) > (n + g + δ)k, πνπ ζεκαίλεη φηη ε επέλδπζε θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο ππεξβαίλεη ηελ εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε, ηφηε k >0 θαη ην k απμάλεηαη. Απηφ ζπκβαίλεη γηα «κηθξέο» ηηκέο ηνπ k, γηα ηηο νπνίεο ε θιίζε ηεο θακπχιεο sf(k) είλαη κεγάιε, εμ αηηίαο ηεο ζπλζήθεο Inada (1.17α). Όηαλ, φκσο, ε θακπχιε sf(k) βξίζθεηαη θάησ απφ ηε γξακκή (n + g + δ)k, δειαδή φηαλ sf(k) < (n + g + δ)k, πνπ ζεκαίλεη φηη ε επέλδπζε θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο ππνιείπεηαη ηεο εμηζνξξνπεηηθήο επελδχζεσο, ηφηε k < 0 θαη ην k κεηψλεηαη. Απηφ ζπκβαίλεη γηα «κεγάιεο» ηηκέο ηνπ k, εμ αηηίαο ηεο ζπλζήθεο Inada (1.17β). (n + g + δ)k sf(k) 0 k k Γηάγξακκα 1.. Ηζνξξνπία ζην ππφδεηγκα Solow-Swan Ηζνξξνπία επηηπγράλεηαη ζην ζεκείν φπνπ ε θακπχιε sf(k) ηέκλεη ηε γξακκή (n + g + δ)k, δειαδή εθεί φπνπ k = 0, νπφηε απφ ηελ Δμίζσζε (1.) πξνθχπηεη φηη 4 Βι. Jones (1975, ζ. 100). 5 Βι. Barro and Sala-i-Martin (1995, ζ. 18). 10

11 sf(k) = (n + g + δ)k. (1.3) Τν ζεκείν απηφ ηζνξξνπίαο είλαη κνλαδηθφ, γηαηί ε ζπλάξηεζε sf(k) είλαη απζηεξψο θνίιε, εθφζνλ f (k) < 0. Ζ ηηκή ηζνξξνπίαο ηνπ k, k, πξνζδηνξίδεηαη απφ ηε ιχζε ηεο Δμηζψζεσο (1.3). Δθφζνλ ε ηηκή απηή ηνπ k είλαη ζηαζεξή, απφ ηελ Δμ. (1.13) παξαηεξνχκε φηη ζηαζεξή ζα είλαη θαη ε ηηκή ηνπ,, εθφζνλ ε ζπλάξηεζε f δελ εμαξηάηαη απφ t. Αιιά, εθφζνλ ν ιφγνο = Τ/(ΑL) = (Τ/L)/Α είλαη ζηαζεξφο, έπεηαη φηη Τ/L θαη Α απμάλνληαη κε ην ίδην ξπζκφ, g. Όκσο, ν ιφγνο Τ/L είλαη ην πξντφλ θαηά εξγαδφκελν (ε κέζε παξαγσγηθφηεηα ηεο εξγαζίαο) ή ην θαηά θεθαιήλ πξαγκαηηθφ εηζφδεκα, αλ, ράξηλ απιφηεηαο, ζεσξήζνπκε φηη L = Ν. Πξφθεηηαη, δειαδή, γηα ηε κεηαβιεηή, ν ξπζκφο κεγεζχλζεσο ηεο νπνίαο απνηειεί ην θπξίσο ελδηαθέξνλ καο (βι. Τκήκα 0.). Ώζηε, ινηπφλ, ζηε καθξνρξφληα ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο ηνπ ππνδείγκαηνο Solow- Swan ν ξπζκφο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο (δειαδή ν ξπζκφο απμήζεσο ηνπ πξντφληνο θαηά εξγαδφκελν, Τ/L) ηζνχηαη κε ην ξπζκφ απμήζεσο ηεο ηερλνινγίαο, g. Αλ δελ ππάξρεη ηερλνινγηθή πξφνδνο, δειαδή, αλ g = 0, ηφηε δελ ππάξρεη νηθνλνκηθή κεγέζπλζε. Όπσο είδακε πην πάλσ, ακέζσο κεηά ηελ Δμ. (1.), πξνθεηκέλνπ ην k λα δηαηεξεζεί ζηαζεξφ ζην ηξέρνλ επίπεδφ ηνπ, ην θεθάιαην (Κ) πξέπεη λ απμάλεηαη κε ξπζκφ g + n. Δπνκέλσο, εθφζνλ ζε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο ην k είλαη ζηαζεξφ (ζην επίπεδν k ), έπεηαη φηη ην Κ απμάλεηαη κε ξπζκφ g + n. Δπίζεο, κφιηο είδακε φηη ν ιφγνο Τ/L ζ απμάλεηαη κε ξπζκφ g θαη επνκέλσο ην πξντφλ Τ ζ απμάλεηαη κε ξπζκφ g + n. Δπίζεο, νη κεηαβιεηέο C θαη Ι ζ απμάλνληαη θαη απηέο κε ξπζκφ g + n. Σπλνπηηθά, ζε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, νη κεηαβιεηέο Κ, Τ, C θαη Ι απμάλνληαη φιεο κε ηνλ ίδην ξπζκφ, g + n, ελψ ε κεηαβιεηή πνπ πξσηίζησο καο ελδηαθέξεη, Τ/L, απμάλεηαη κε ξπζκφ g. Απ φπνπ θαη αλ μεθηλήζεη ε νηθνλνκία, ηειηθά ζπγθιίλεη ζε κία ηξνρηά ηζνξξόπνπ κεγεζύλζεωο (balanced growth path), φπνπ φιεο νη κεηαβιεηέο ηνπ ζπζηήκαηνο απμάλνληαη κ έλα ζηαζεξφ ξπζκφ. (Γεληθά, ν ξπζκφο απηφο κπνξεί λα δηαθέξεη απφ κεηαβιεηή ζε κεηαβιεηή.) Δλψ, νη κεηαβιεηέο πνπ εθθξάδνληαη ζε κνλάδεο απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, k = Κ/AL, = /AL, c = C/AL θαη i = I/AL ζηαζεξνπνηνχληαη ζηα επίπεδα k, = f(k ), c = i θαη i = s. Απφ ηε ζπλζήθε ηζνξξνπίαο (1.3), είλαη θαλεξφ φηη ε ηηκή ηζνξξνπίαο k εμαξηάηαη απφ ηηο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ δ, n, g θαη s. Δπνκέλσο, αλ κία απφ απηέο ηηο παξακέηξνπο κεηαβιεζεί, ζα κεηαβιεζεί θαη ε ηηκή ηζνξξνπίαο k, άξα θαη ε ηηκή. Σπλεπψο, ζε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, έρνπκε ηελ αθφινπζε ζρέζε: (s, n, g, δ) = f(k (s, n, g, δ)). (1.4) 1.4 Δπίδξαζε κίαο κεηαβνιήο ζηελ νξηαθή ξνπή γηα απνηακίεπζε (s) Γηαγξακκαηηθή αλάιπζε Έζησ φηη θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t 1 ε νηθνλνκία βξίζθεηαη ζε κία ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο, φηαλ απμάλεηαη ε νξηαθή ξνπή γηα απνηακίεπζε, απφ s 1 ζε s, ceteris paribus. Αο ππνζέζνπκε φηη ε αχμεζε απηή είλαη κφληκε. Ζ ελ ιφγσ αχμεζε κπνξεί λα νθείιεηαη ζε κία εμσγελή κεηαβνιή ησλ πξνηηκήζεσλ ησλ λνηθνθπξηψλ γηα πεξηζζφηεξε κειινληηθή (θαη άξα ιηγψηεξε ηξέρνπζα) θαηαλάισζε. Μπνξεί, φκσο, θαη λα νθείιεηαη ζε κία λέα πνιηηηθή ηεο θπβεξλήζεσο, ε νπνία κεηψλεη ην θνξνινγηθφ ζπληειεζηή επί ησλ ηφθσλ ησλ θαηαζέζεσλ ή επί ησλ θεξδψλ θεθαιαίνπ πνπ πξνθχπηνπλ απφ ηελ αγνξαπσιεζία ρξεκαηηζηεξηαθψλ αμηψλ. 11

12 Όπσο δείρλεη ην Γηάγξακκα 1.3, ε θακπχιε s 1 f(k) ζα κεηαηνπηζζεί πξνο ηα πάλσ. Σην αξρηθφ επίπεδν ηνπ k, k 1, ε απνηακίεπζε ππεξβαίλεη ηψξα ηε δαπάλε πνπ απαηηείηαη απιψο γηα ηε δηαηήξεζε ηνπ k ζην επίπεδν k 1. Έηζη, ζχκθσλα κε ηελ Δμίζσζε (1.), ην k ζ απμεζεί. Ωο εθ ηνχηνπ, ην εηζφδεκα θαη ε επέλδπζε θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο ζ απμεζνχλ, εθφζνλ = f(k ) θαη i = s. Σχκθσλα, ινηπφλ, κε ην ππφδεηγκα πνπ εμεηάδνπκε, αλ δχν ρψξεο είλαη θαζ φια ίδηεο, εθηφο απφ ην γεγνλφο φηη δηαθέξνπλ σο πξνο ηελ νξηαθή ξνπή γηα απνηακίεπζε, s, ηφηε, ζε ζέζε ηζνξξνπίαο, ε ρψξα κε ηε κεγαιχηεξε ηηκή ηνπ s ζα έρεη θαη κεγαιχηεξν εηζφδεκα θαηά εξγαδφκελν. sf(k) (n + g + δ)k s f(k) s 1 f(k) 0 k 1 k k Γηάγξακκα 1.3. Απνηέιεζκα κίαο απμήζεσο ηνπ s απφ s 1 ζε s, φπνπ s > s 1 Σηε λέα ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, ε νπνία ππνζέηνπκε φηη επηηπγράλεηαη θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή t, ζα έρνπκε θαη πάιη k = 0 θαη ην k ζα παξακείλεη ζηαζεξφ ζην λέν ηνπ επίπεδν, k. Ζ ζπκπεξηθνξά ησλ κεηαβιεηψλ k /k θαη k απεηθνλίδεηαη ζηα Γηαγξάκκαηα 1.4 θαη 1.5: k / k 0 t 1 t t Γηάγξακκα 1.4. Ζ πνξεία ηνπ k /k φηαλ ζην ρξφλν t 1 ην s απμάλεη απφ s 1 ζε s k k k 1 t 1 t t Γηάγξακκα 1.5. Ζ πνξεία ηνπ k φηαλ ζην ρξφλν t 1 ην s απμάλεη απφ s 1 ζε s 1

13 Δπεηδή, φκσο, ην ελδηαθέξνλ καο ζηξέθεηαη θπξίσο γχξσ απφ ηε ζπκπεξηθνξά ηνπ πξντφληνο θαηά εξγαδφκελν, Τ/L = Αf(k), αο εμεηάζνπκε πψο ε αχμεζε ηνπ s επεξεάδεη ηελ πνξεία ηφζν ηνπ ξπζκνχ απμήζεσο απηήο ηεο κεηαβιεηήο, r /L, φζν θαη ηνπ επηπέδνπ ηεο. Ζ πξψηε απεηθνλίδεηαη ζην Γηάγξακκα 1.6, ελψ ε δεχηεξε ζην Γηάγξακκα 1.7. Γηα λα θαηαιάβνπκε ην Γηάγξακκα 1.6, αο ζπκεζνχκε φηη ζηελ αξρηθή ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο ν ξπζκφο απμήζεσο ηνπ Τ/L ηζνχηαη κε g. Όηαλ φκσο απμεζεί ην s, απμάλεη ην k θαη άξα θαη ην f(k), εθφζνλ f (k) > 0. Σπλεπψο, ν ξπζκφο απμήζεσο ηνπ Τ/L = Αf(k) ζα ππεξβαίλεη ην g κέρξη λα θζάζεη ε νηθνλνκία ζηε λέα ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, φπνπ ην k, θαη άξα θαη ην f(k), ζα είλαη θαη πάιη ζηαζεξά, νπφηε ν ξπζκφο απμήζεσο ηνπ Τ/L = Αf(k) ζα επηζηξέςεη θαη πάιη ζην g. r /L g t 1 t Γηάγξακκα 1.6. Ζ πνξεία ηνπ r /L φηαλ ζην ρξφλν t 1 ην s απμάλεη t Ώζηε, ινηπφλ, φπσο δείρλεη ην Γηάγξακκα 1.6, κία κόληκε αχμεζε ζην s επηθέξεη κία πξόζθαηξε αχμεζε ζην ξπζκφ νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο, r /L. Ο ιφγνο είλαη φηη ζηε λέα ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, φπνπ ην k είλαη πςειφηεξν, ε επηπιένλ απνηακίεπζε πνπ δεκηνπξγείηαη απφ ην πςειφηεξν s αθηεξψλεηαη εμ νινθιήξνπ ζηε δηαηήξεζε ηνπ πςεινηέξνπ k. Αο έιζνπκε ηψξα ζην Γηάγξακκα 1.7, φπνπ εμεηάδνπκε ηελ πνξεία ηνπ Τ/L: ln(τ/l) θιίζε = g a t 1 t t Γηάγξακκα 1.7. Ζ πνξεία ηνπ Τ/L φηαλ ζην ρξφλν t 1 ην s απμάλεη Γηα ηελ αθξίβεηα, ζην Γηάγξακκα 1.7 εμεηάδνπκε ηελ πνξεία ηνπ ln(τ/l), δηφηη έηζη ε εξκελεία ηνπ δηαγξάκκαηνο είλαη επθνιψηεξε. Ο ιφγνο είλαη φηη ε παξάγσγνο ηνπ ln(τ/l) σο πξνο ην ρξφλν ηζνχηαη κε ην ξπζκφ κεγεζχλζεσο ηνπ Τ/L [βι. Δμ. (0.7)]. Έηζη, αλ γλσξίδνπκε φηη ν ξπζκφο απηφο είλαη ζηαζεξφο, ηφηε γλσξίδνπκε φηη ε θιίζε ηεο ζπλαξηήζεσο ln[τ(t)/l(t)] είλαη ζηαζεξή, πνπ ζεκαίλεη φηη ε ζπλάξηεζε απηή είλαη γξακκηθή. Έρνληαο απηφ ην γεγνλφο ππ φςε, θαζψο θαη ην γεγνλφο φηη κέρξη ην ρξφλν t 1 ην Τ/L απμάλεη κε ξπζκφ g, έρνπκε φηη ln[τ(t)/l(t)] = a + gt, νπφηε ζχξνπκε κία επζεία γξακκή κε θιίζε g πνπ θζάλεη κέρξη ην ρξφλν t 1. Απφ ην ζεκείν απηφ θαη κεηά, φκσο, φπσο είδακε ζην Γηάγξακκα 1.6, ν ξπζκφο απμήζεσο ηνπ Τ/L 13

14 ππεξβαίλεη ην g κέρξη ην ρξφλν t, φηαλ επηηπγράλεηαη ε λέα ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, νπφηε ν ξπζκφο απμήζεσο ηνπ Τ/L επηζηξέθεη θαη πάιη ζην g. Σπλεπψο, απφ ην ρξφλν t θαη κεηά ζχξνπκε κία επζεία γξακκή πάιη κε θιίζε g. Σπκπεξαίλνπκε, ινηπφλ, φηη ε αχμεζε ηεο νξηαθήο ξνπήο πξνο απνηακίεπζε επεξεάδεη κόληκα ηα επίπεδα ησλ κεηαβιεηψλ, αιιά κόλν πξόζθαηξα ηνπο ξπζκνύο κεγεζύλζεώο ηωλ. Σην ππφδεηγκα Solow-Swan (θαζψο θαη ζηα ππνδείγκαηα Ramse-Cass-Koopmans θαη Diamond, ηα νπνία ζα εμεηάζνπκε ζην Κεθ. ), κφλν κία αχμεζε ζην ξπζκφ απμήζεσο ηεο ηερλνινγίαο (g) κπνξεί λα επηθέξεη κφληκε αχμεζε ζην ξπζκφ νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο, r /L. Δλψ, ζηα ππνδείγκαηα ελδνγελνχο κεγεζχλζεσο (βι. Κεθ. 3) κπνξεί λα ππάξμεη κεγέζπλζε θαη φηαλ g = «Χξπζόο θαλόλαο» ζπζζωξεύζεωο θεθαιαίνπ Όπσο έρνπκε ήδε αλαθέξεη, ε αχμεζε ηεο νξηαθήο ξνπήο γηα απνηακίεπζε, s, ceteris paribus, πξνθαιεί αχμεζε ζηα κεγέζε k, θαη i. Γελ έρνπκε πξνζδηνξίζεη, φκσο, ηί ζα ζπκβεί ζηελ θαηαλάισζε θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, c. Δθ πξψηεο φςεσο, εθφζνλ ηφζν ην φζν θαη ην i απμάλνπλ, θαη εθφζνλ c = i, δελ είλαη εχθνιν λα πξνβιέςνπκε ηί ζα ζπκβεί ζην c. Αληηθαζηζηψληαο ζηελ εμίζσζε c = i φπνπ = f(k ) θαη i = s, πξνθχπηεη φηη c = f(k ) sf(k ). Αιιά, ζχκθσλα κε ηελ Δμίζσζε (1.3), ζε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο ηζρχεη φηη sf(k ) = (n + g + δ)k. Αληηθαζηζηψληαο απηφ ην απνηέιεζκα ζηελ εμίζσζε c = f(k ) sf(k ), παξαηεξνχκε φηη ζε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο ηζρχεη φηη c = f(k ) (n + g + δ)k. (1.5) Όπσο έρνπκε ήδε αλαθέξεη [ακέζσο κεηά ηελ Δμ. (1.3)], ην k πξνζδηνξίδεηαη απφ ηε ιχζε ηεο εμηζψζεσο sf(k ) = (n + g + δ)k, νπφηε κπνξεί λα ζεσξεζεί φηη είλαη ζπλάξηεζε ησλ παξακέηξσλ s, n, g θαη δ. Γειαδή, k = k (s, n, g, δ), νπφηε ε (1.5) γξάθεηαη θαη σο εμήο: c (s, n, g, δ) = f(k (s, n, g, δ)) (n + g + δ)k (s, n, g, δ). (1.6) Παξαγσγίδνληαο ηελ (1.6) σο πξνο s, πξνθχπηεη φηη c s k k f ( k ) ( n g ). (1.7) s s Αιιά, f (k )( k / s) είλαη ε αχμεζε ηνπ πξντφληνο πνπ νθείιεηαη ζηελ αχμεζε ηνπ k πνπ νθείιεηαη ζηελ αχμεζε ηνπ s, ελψ (n + g + δ)( k / s) είλαη ε αχμεζε ζηελ εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε πνπ απαηηείηαη γηα ηε δηαηήξεζε ηνπ k ζην λέν ηνπ επίπεδν. Σπλεπψο, αλ ην δεμηφ ζθέινο ηεο Δμηζψζεσο (1.7) είλαη ζεηηθφο αξηζκφο, απηφ ζεκαίλεη φηη ε αχμεζε ηνπ πξντφληνο ππεξεπαξθεί γηα ηελ απαηηνχκελε αχμεζε ζηελ εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε γηα λα δηαηεξεζεί ην k ζην πςειφηεξν επίπεδφ ηνπ, νπφηε ε θαηαλάισζε απμάλεηαη ελψ, αλ είλαη αξλεηηθφο αξηζκφο, ηφηε ε αχμεζε ηνπ πξντφληνο δελ επαξθεί γηα ηελ απαηηνχκελε αχμεζε ζηελ εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε γηα λα δηαηεξεζεί ην k ζην πςειφηεξν επίπεδφ ηνπ, νπφηε ε θαηαλάισζε κεηψλεηαη. Τέινο, αλ ην δεμηφ ζθέινο ηεο (1.7) είλαη κεδέλ, ηφηε ε αχμεζε ηνπ πξντφληνο είλαη αθξηβψο ίζε κε ηελ απαηηνχκελε αχμεζε ζηελ εμηζνξξνπεηηθή επέλδπζε, πξνθεηκέλνπ λα δηαηεξεζεί ην k ζην λέν ηνπ επίπεδν, νπφηε ε θαηαλάισζε δελ κεηαβάιιεηαη. Έρεη θζάζεη ζην κέγηζην επίπεδφ ηεο (σο ζπλάξηεζε ηνπ s). Δθφζνλ απηφ ηζρχεη φηαλ f (k )( k / s) (n + g + δ)( k / s) = 0 θαη, φπσο έρνπκε απνδείμεη, k / s > 0, δηαηξψληαο ηελ πξνεγνχκελε εμίζσζε κε k / s, πξνθχπηεη φηη f (k ) = n + g + δ. (1.8) 14

15 Ζ ζπλζήθε απηή είλαη αλαγθαία γηα ηελ επίηεπμε κίαο ηζνξξνπίαο ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, φπνπ ηαπηφρξνλα επηηπγράλεηαη ην κέγηζην επίπεδν θαηαλαιψζεσο θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, c Μ. [Αο κελ μερλνχκε φηη θζάζακε ζηε ζπλζήθε (1.8) μεθηλψληαο απφ ηελ Δμ. (1.5), ε νπνία ηζρχεη κφλν ζε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο.] Όπσο δείρλεη ε (1.8), ε ηζνξξνπία απηή επηηπγράλεηαη ζην επίπεδν θεθαιαίνπ θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο k = k Μ, φπνπ ε θιίζε ηεο ζπλαξηήζεσο f(k) ηζνχηαη κε ηελ θιίζε ηεο ζπλαξηήζεσο (n + g + δ)k. Τν επίπεδν k Μ νλνκάδεηαη επίπεδν θεθαιαίνπ ηνπ «ρξπζνύ θαλόλα», ελψ ε ζπλζήθε (1.8) νλνκάδεηαη «ρξπζόο θαλόλαο» ζπζζωξεύζεωο θεθαιαίνπ (golden rule of capital accumulation). Βι. Γηάγξακκα 1.8. Ζ ηηκή ηνπ s πνπ ιχλεη ηελ (1.8) ζπκβνιίδεηαη κε s Μ θαη πξνζδηνξίδεη ηα ππφινηπα κεγέζε, φπσο k Μ θαη c Μ. Σχκθσλα κε ηελ (1.5), ην επίπεδν c Μ είλαη c Μ = f(k Μ ) (n + g + δ)k Μ. (1.9) Με άιια ιφγηα, ην δεηνχκελν εδψ είλαη εθείλε ε ηηκή ηνπ s ε νπνία ππνρξεψλεη ηελ θακπχιε sf(k) λα ηκήζεη ηε γξακκή (n + g + δ)k ζην ζεκείν φπνπ ε δηαθνξά f(k) (n + g + δ)k είλαη κεγίζηε. Σ απηφ ην ζεκείν (θαη κφλν ζ απηφ), ε δηαθνξά απηή είλαη ίζε κε c. [Γεληθά, c = i = f(k) sf(k). Σην ζεκείν ηζνξξνπίαο ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, φκσο, ηζρχεη φηη sf(k) = (n + g + δ)k, νπφηε ζ απηφ ην ζεκείν ηζρχεη θαη φηη c = f(k) (n + g + δ)k.] Δπίζεο, ζ απηφ ην ζεκείν, ε θιίζε ηεο θακπχιεο f(k) ηζνχηαη κε ηελ θιίζε ηεο γξακκήο (n + g + δ)k. Καη επεηδή ην ελ ιφγσ ζεκείν είλαη θαη ζεκείν ηζνξξνπίαο ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, έπεηαη φηη εθεί επηηπγράλεηαη «ρξπζή επνρή» (κε ηελ έλλνηα ηεο κεγίζηεο θαηαλαιψζεσο) ζην δηελεθέο. f(k) f(k) c M (n + g + δ)k s Μ f(k) 0 k Μ k Γηάγξακκα 1.8. «Φξπζφο θαλφλαο» ζπζζσξεχζεσο θεθαιαίνπ Πνζνηηθόο ππνινγηζκόο ηεο καθξνρξόληαο επηδξάζεωο ηνπ s επί ηνπ Θα πξνζπαζήζνπκε ηψξα λα ππνινγίζνπκε θαη πνζνηηθά ηε καθξνρξφληα επίδξαζε πνπ έρεη κία κφληκε κεηαβνιή ηεο νξηαθήο ξνπήο πξνο απνηακίεπζε (s) ζην πξντφλ θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο,. Παξαγσγίδνληαο ηελ Δμίζσζε (1.4) σο πξνο s, πξνθχπηεη φηη s k f ( k ). (1.30) s 15

16 Γηα λα ππνινγίζνπκε ηελ παξάγσγν k / s, εθηηκάκε πξψηα ηελ (1.3) ζε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, δειαδή γξάθνπκε θαη θαηφπηλ παξαγσγίδνπκε σο πξνο s: Λχλνληαο ηελ (1.3) σο πξνο k / s, πξνθχπηεη φηη sf(k (s, n, g, δ)) = (n + g + δ)k (s, n, g, δ), (1.31) k k f ( k ) sf ( k ) ( n g ). (1.3) s s k s ( n g f ( k ) ) sf '( k. (1.33) ) Αληηθαζηζηψληαο ηελ (1.33) ζηελ (1.30), πξνθχπηεη φηη s ( n f ( k g ) f ( k ) ) sf ( k. (1.34) ) Γηα λα εξκελεχζνπκε ηελ (1.34), θάλνπκε ηηο εμήο δχν αιιαγέο ζ απηήλ. Πξψηνλ, πνιιαπιαζηάδνπκε θαη ηα δχν κέιε ηεο κε s/ = s/f(k ), έηζη ψζηε ζην αξηζηεξφ ζθέινο λα πξνθχςεη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ σο πξνο s, ηελ νπνία αο ζπκβνιίζνπκε κε. Τν απνηέιεζκα είλαη,s, s ( n s f '( k g ) ) sf '( k. (1.35) ) Γεχηεξνλ, ιχλνπκε ηελ (1.31) σο πξνο s, νπφηε πξνθχπηεη φηη s = (n + g + δ)k /f(k ), (1.36) θαη αληηθαζηζηνχκε απηφ ην απνηέιεζκα ζηελ (1.35), νπφηε πξνθχπηεη φηη, s f ( k )[( n g ( n ) g ( n ) k g f '( k ) ) k f '( k ) / f ( k )] ή k f '( k ) / f ( k ). (1.37), s 1 k f '( k ) / f ( k ) Αιιά, ην κέγεζνο k f (k )/f(k ), ην νπνίν αο ζπκβνιίζνπκε κε α Κ (k ), είλαη πξνθαλψο ε ειαζηηθφηεηα ηνπ πξντφληνο σο πξνο ην θεθάιαην, 6 εθηηκεκέλε ζην ζεκείν k = k. Με ην λέν απηφ ζπκβνιηζκφ, ε (1.37) γξάθεηαη σο εμήο: 6 Απηφ ηζρχεη ηφζν γηα ηελ πεξίπησζε φπνπ ηα δχν απηά κεγέζε κεηξνχληαη ζε κνλάδεο απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο, δειαδή θαη k, φζν θαη γηα ηελ πεξίπησζε ησλ επηπέδσλ, Τ θαη Κ. Ζ πξψηε πεξίπησζε είλαη πξνθαλήο. Γηα λα 16

17 , s 1 K ( k ). (1.38) ( k ) K Υπφ ηελ πξνυπφζεζε φηη ε νηθνλνκία ιεηηνπξγεί ππφ ζπλζήθεο πιήξνπο αληαγσληζκνχ θαη φηη δελ ππάξρνπλ εμσηεξηθέο επηδξάζεηο (εμσηεξηθέο νηθνλνκίεο ή αληη-νηθνλνκίεο), ην θεθάιαην ακείβεηαη κε ην νξηαθφ ηνπ πξντφλ, ην νπνίν είλαη f (k). Σ απηή ηελ πεξίπησζε, ην κεξίδην ηνπ θεθαιαίνπ ζην ζπλνιηθφ πξντφλ, δειαδή ΜΡΚ Κ/Τ, ην νπνίν γηα ηηο πεξηζζφηεξεο ρψξεο εθηηκάηαη φηη είλαη πεξίπνπ 1/3, είλαη ίζν κε ηελ ειαζηηθφηεηα α Κ (k). Τν ηειεπηαίν ηζρχεη, δηφηη ΜΡΚ Κ/Τ = f (k) (k/) = kf (k)/f(k) = α Κ (k). Σπλεπψο, αληηθαζηζηψληαο α Κ (k ) 1/3 ζηελ (1.38), πξνθχπηεη φηη ε καθξνρξφληα ειαζηηθφηεηα ηνπ πξντφληνο θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο σο πξνο s είλαη, s 1/. (1.39) Έηζη, ράξηλ παξαδείγκαηνο, κία κφληκε αχμεζε ηνπ s θαηά 10%, ceteris paribus, π.ρ. απφ s 1 = 0,0 ζε s = 0,, καθξνρξφληα ζα νδεγήζεη ζε αχμεζε ηνπ πξντφληνο θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο θαηά 5% Ταρύηεηα κεηαβάζεωο ζην ζεκείν ηζνξξνπίαο Δθηηκήζακε πην πάλσ φηη κία κφληκε αχμεζε ηνπ s θαηά 10% πξνθαιεί καθξνρξφληα κία αχμεζε ζην θαηά 5%. Έλα ελδηαθέξνλ εξψηεκα πνπ πξνθχπηεη είλαη: Πφζν γξήγνξα επηηπγράλεηαη απηή ε αχμεζε ζην ; Φάξηλ απιφηεηαο, αο απαληήζνπκε ζ απηφ ην εξψηεκα φρη γηα ηε κεηαβιεηή, αιιά γηα ηε κεηαβιεηή k. Δπεηδή δελ έρνπκε ππνζέζεη κία ζπγθεθξηκέλε ζπλαξηεζηαθή κνξθή γηα ηε ζπλάξηεζε f(k), νχηε γλσξίδνπκε ηηο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ δ, n, g θαη s, ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε κία πξνζέγγηζε θαηά Talor γχξσ απφ ηε καθξνρξφληα ηζνξξνπία. Απφ ηε ζεκειηψδε δηαθνξηθή εμίζσζε (1.), είλαη θαλεξφ φηη ην k εμαξηάηαη απφ k, νπφηε έρνπκε ηε ζπλάξηεζε k k(k). (1.40) Αλαπηχζζνληαο απηή ηε ζπλάξηεζε σο έλα πνιπψλπκν πξψηνπ βαζκνχ θαηά Talor γχξσ απφ ην ζεκείν ηζνξξνπίαο k, πξνθχπηεη φηη k ( k) k ( k) k k ( k ) ( k k ) ( k k ), (1.41) k k k k k k επεηδή k ( k ) 0. Απφ ηελ (1.), φκσο, έρνπκε φηη k ( k) sf '( k ) ( n g k k k ). (1.4) δνχκε φηη ηζρχεη θαη ζηε δεχηεξε, μεθηλνχκε απφ ηνλ νξηζκφ απηήο ηεο ειαζηηθφηεηαο, ( Τ/ Κ)(Κ/Τ). Αιιά, απφ ηελ Δμίζσζε (1.15) έρνπκε φηη Τ/ Κ = ΜΡΚ = f (k), νπφηε ( Τ/ Κ)(Κ/Τ) = f (k)(κ/τ) = f (k)(k/) = kf (k)/f(k) = α Κ (k). 17

18 Αληηθαζηζηψληαο ηελ (1.36) ζηελ (1.4) θαη ρξεζηκνπνηψληαο ηνλ νξηζκφ ηεο ειαζηηθφηεηαο α Κ (k ), ηνλ νπνίν δψζακε πην πάλσ, πξνθχπηεη φηη k ( k) ( n g ) k f '( k ) ( n g ) ( n g )[ ( k ) k k K k f ( k ) 1]. (1.43) Αληηθαζηζηψληαο ηελ (1.43) ζηελ (1.41), πξνθχπηεη φηη ή ή φπνπ k {( n g )[ ( k ) 1]}( k k ) (1.44) K k ( t) ( k( t) k ), (1.45) k ( t) k( t) k, (1.46) ι = (n + g + δ)(1 α Κ (k )). (1.47) Ζ (1.46) είλαη κία γξακκηθή δηαθνξηθή εμίζσζε. Ζ γεληθή κνξθή ησλ γξακκηθψλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ είλαη d( t) dt p( t) ( t) q( t), (1.48) φπνπ p(t) θαη q(t) είλαη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ηνπ t, φπσο είλαη θαη ε κεηαβιεηή (t). Ζ γεληθή ιχζε ηεο (1.48) είλαη (βι. Λνπθάθε, 1997, ζ. 58) ( t) e p( t) dt [ q( t) e p( t) dt dt b], (1.49) φπνπ b είλαη κία απζαίξεηε ζηαζεξά. Σηελ Δμίζσζε (1.46), έρνπκε (t) = k(t), p(t) = ι θαη q(t) = ιk. Αληηθαζηζηψληαο ζηελ (1.49), βξίζθνπκε (κεηά απφ πξάμεηο), φηη ε γεληθή ιχζε ηεο (1.46) είλαη k(t) k + be -ιt. (1.50) Γηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηε ζηαζεξά b, ζέηνπκε ζηελ (1.50) t = 0, νπφηε πξνθχπηεη φηη b = k(0) k, (1.51) φπνπ k(0) είλαη ε αξρηθή ηηκή ηνπ θεθαιαίνπ θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο. Αληηθαζηζηψληαο ηελ (1.51) ζηελ (1.50), πξνθχπηεη ε αθφινπζε ιχζε: k(t) k e -ιt (k(0) k ) (1.5) ή k( t) k(0) k k e t. (1.53) 18

19 Ζ (1.53) εξκελεχεηαη σο εμήο: ε απφζηαζε k(t) k, ε νπνία απνκέλεη έσο φηνπ ην θεθάιαην θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο θζάζεη ηελ ηηκή ηζνξξνπίαο ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, κεηξνχκελε σο θιάζκα ηεο ζπλνιηθήο απνζηάζεσο, k(0) k, ε νπνία πξέπεη λα δηαλπζεί αλ ε νηθνλνκία μεθηλήζεη απφ κία αξρηθή θαηάζηαζε ζε ρξφλν t = 0, κεηψλεηαη κε εηήζην ξπζκφ ι, φπνπ ην ι νξίδεηαη απφ ηελ Δμίζσζε (1.47). Παξάδεηγκα 1.1. Έζησ φηη δ = 0,04, g = 0,01, n = 0,01 θαη α Κ = 1/3. Απφ ηελ Δμίζσζε (1.47), παίξλνπκε ι = (0,04 + 0,01 + 0,01) (1 1/3) = 0,04. Τψξα, κε βάζε ηελ Δμίζσζε (1.53), αο ππνινγίζνπκε ηνλ αξηζκφ ησλ εηψλ πνπ απαηηνχληαη έσο φηνπ απνκείλεη κφλν ην 1/5 ηεο ζπλνιηθήο δηαθνξάο k(0) k, δειαδή έσο φηνπ θαιπθζνχλ ηα 4/5 ηεο ζπλνιηθήο δηαθνξάο κεηαμχ ηεο αξρηθήο ηηκήο ηνπ θεθαιαίνπ θαηά κνλάδα απνηειεζκαηηθήο εξγαζίαο θαη ηεο ηηκήο ηνπ ζηελ ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο. Λχλνπκε ηελ αθφινπζε εμίζσζε: 1/5 = e 0,04t. Παίξλνληαο ινγαξίζκνπο, έρνπκε ln(5) = 0,04t, απ φπνπ πξνθχπηεη φηη t 40,4. Γειαδή, απαηηνχληαη πεξίπνπ 40,4 έηε γηα λα θαιπθζνχλ ηα 4/5 (ην 80%) ηεο δηαθνξάο k(0) k. Δπίζεο, ηζρχεη θαη φηη ( t) (0) e t, (1.54) φπνπ ην ι νξίδεηαη θαη πάιη απφ ηελ Δμ. (1.47). Ζ Δμ. (1.54) πξνθχπηεη σο εμήο. Καη αξρήλ, αο παξαηεξήζνπκε φηη, εθφζνλ = f(k) θαη f (k) > 0 [βι. Δμ. (1.15)], έπεηαη φηη ε αληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο f ππάξρεη, δειαδή k = f -1 () k(). Τψξα, εθφζνλ = f(k), έπεηαη φηη f '( k) k, νπφηε, ρξεζηκνπνηψληαο ηελ (1.), πξνθχπηεη φηη f '( k)[ sf ( k) ( n g δ) k]. Καη εθφζνλ k = k(), ε ηειεπηαία εμίζσζε γξάθεηαη σο εμήο [φπνπ ε αξίζκεζε ησλ επνκέλσλ ηξηψλ εμηζψζεσλ είλαη ηέηνηα ψζηε λα καο ζπκίδεη ηα βήκαηα ηεο εμαγσγήο ηεο Δμ. (1.53)]: f '( k( ))[ sf ( k( )) ( k( )) ( n g δ) k( )]. (1.40α) Αλαπηχζζνληαο απηή ηε ζπλάξηεζε σο έλα πνιπψλπκν πξψηνπ βαζκνχ θαηά Talor γχξσ απφ ην ζεκείν ηζνξξνπίαο, πξνθχπηεη φηη ( k( )) ( k( )) ( k( )) ( ) ( ), (1.41α) επεηδή ( k( )) 0, εθφζνλ ζην ζεκείν ηζνξξνπίαο ην είλαη ζηαζεξφ. Απφ ηελ (1.40α), φκσο, ππνινγίδνπκε ή ( k( )) dk f '' d f '( k( [ sf ( k( ))[ sf '( k( )) dk )) d ( n g δ) k( ( n g )] dk δ) d ] 19

20 ( k( )) sf '( k( )) ( n g δ), (1.4α) επεηδή, πξψηνλ, ζην ζεκείν ηζνξξνπίαο ηζρχεη φηη sf ( k( )) ( n g δ) k( ) [βι. Δμ. (1.3)], νπφηε ν πξψηνο φξνο ηεο παξαπάλσ εμηζψζεσο είλαη κεδέλ θαη δεχηεξνλ, επεηδή dk d 1 d dk. 1 f '( k( )) Τα ππφινηπα βήκαηα πνπ νδεγνχλ ζηελ (1.54) είλαη παξφκνηα κε απηά πνπ πεξηγξάθνληαη ακέζσο κεηά ηελ Δμ. (1.4) θαη πνπ νδεγνχλ ζηελ Δμ. (1.53). Σπλεπψο, ηα παξαιείπνπκε. Σην Παξάδεηγκα 1.1, φπνπ α Κ = 1/3 θαη ι = 0,04, κε βάζε ηελ (1.54), απαηηνχληαη πεξίπνπ 40,4 έηε γηα λα θαιπθζνχλ ηα 4/5 ηεο δηαθνξάο (0). Παξάδεηγκα 1.. Όπσο είδακε πην πάλσ, κία κφληκε αχμεζε ηνπ s θαηά 10%, απφ s 1 = 0,0 ζε s = 0,, καθξνρξφληα νδεγεί ζε αχμεζε ηνπ θαηά 5% (= ε ζπλνιηθή δηαθνξά πνπ πξέπεη λα θαιπθζεί). Με ηα δεδνκέλα ηνπ πξνεγνπκέλνπ παξαδείγκαηνο, δειαδή κε α Κ = 1/3 θαη ι = 0,04, έπεηηα απφ έλα έηνο πφζε απφ απηή ηελ αχμεζε ζ απνκείλεη λα πξαγκαηνπνηεζεί; Έπεηηα απφ 10 έηε; Έπεηηα απφ 40,4 έηε; Λύζε. Σχκθσλα κε ηελ (1.54), εθφζνλ e 0,04 1 = 0,96, έπεηαη φηη κεηά απφ έλα έηνο ζ απνκείλεη λα πξαγκαηνπνηεζεί ην 96% ηεο απνζηάζεσο (0). Καη επεηδή 0,96 0,05 = 0,048, έπεηαη φηη κεηά απφ έλα έηνο ζ απνκείλεη ην 4,8% λα πξαγκαηνπνηεζεί. (Δθφζνλ 0,04 0,05 = 0,00, έπεηαη φηη ζ έλα έηνο ζα έρεη πξαγκαηνπνηεζεί πνζνζηφ 0,% ηεο απνζηάζεσο.) Καηά ηνλ ίδην ηξφπν, εθφζνλ e 0,04 10 = 0,67, έπεηαη φηη κεηά απφ 10 έηε ζ απνκείλεη λα πξαγκαηνπνηεζεί ην 67% ηεο απνζηάζεσο (0), δειαδή 0,67 0,05 = 0,0335. [Δθφζνλ (1 0,67) 0,05 = 0,0165, έπεηαη φηη θαηά ηα 10 πξψηα έηε ζα έρεη πξαγκαηνπνηεζεί πνζνζηφ 1,65%.] Τέινο, εθφζνλ e 0,04 40,4 = 0,0, έπεηαη φηη κεηά ηελ πάξνδν 40,4 εηψλ ζ απνκείλεη ην 0% λα πξαγκαηνπνηεζεί, δειαδή 0, 0,05 = 0,01. [Δθφζνλ (1 0,0) 0,05 = 0,04, έπεηαη φηη θαηά ηα 40,4 πξψηα έηε ζα έρεη πξαγκαηνπνηεζεί πνζνζηφ 80% ηεο ζπλνιηθήο δηαθνξάο (0) = 0,05, δειαδή ην 0,04.) Πξηλ θιείζνπκε απηφ ην ηκήκα, αο ζεκεησζεί φηη εθφζνλ νη παξαπάλσ ππνινγηζκνί βαζίδνληαη ζ έλα πνιπψλπκν πξψηνπ βαζκνχ θαηά Talor γχξσ απφ ην ζεκείν ηζνξξνπίαο k [βι. ακέζσο κεηά ηελ Δμ. (1.40)], έπεηαη φηη ηζρχνπλ κφλν γηα πνιχ κηθξέο κεηαβνιέο γχξσ απφ ην k. Ο Romer (006, ζ. 6, ππνζεκείσζε 18) ζεκεηψλεη φηη ζην ππφδεηγκα Solow-Swan, φηαλ εμεηάδνπκε ηηο επηδξάζεηο κηθξψλ κφλν κεηαβνιψλ ζηηο παξακέηξνπο (φπσο π.ρ. κία αχμεζε ηνπ s θαηά 10%), ηφηε ππνινγηζκνί φπσο νη παξαπάλσ είλαη αμηφπηζηνη. 1.5 Η ηθαλόηεηα ηνπ ππνδείγκαηνο λα εμεγεί ηα γεγνλόηα θαη λ απαληά ζε εξωηήκαηα Όπσο είδακε, ζην ππφδεηγκα Solow-Swan ην πξντφλ θαηά εξγαδφκελν απμάλεηαη δηαρξνληθά κε ξπζκφ g. Σπλεπψο, ην ππφδεηγκα εξκελεχεη ην πξώην εκπεηξηθφ γεγνλφο ηνπ Kaldor. 0

21 Δπίζεο, εξκελεχεη θαη ην δεύηεξν εκπεηξηθφ γεγνλφο ηνπ Kaldor, εθφζνλ πξνβιέπεη φηη ν ιφγνο Κ/Τ παξακέλεη ζηαζεξφο δηαρξνληθά. Πξάγκαηη, φπσο είδακε ζην ηέινο ηνπ Τκήκαηνο 1.3, ηφζν ην Κ φζν θαη ην Τ απμάλνληαη κε ξπζκφ g + n, νπφηε ν ιφγνο Κ/Τ παξακέλεη δηαρξνληθά ζηαζεξφο. Τν ππφδεηγκα εξκελεχεη θαη ην ηξίην εκπεηξηθφ γεγνλφο ηνπ Kaldor, εθφζνλ ν ιφγνο Κ/L απμάλεηαη δηαρξνληθά. Πξάγκαηη, εθφζνλ ην Κ απμάλεη κε ξπζκφ g + n, ελψ ην L απμάλεη κε ξπζκφ n, έπεηαη φηη ν ιφγνο Κ/L απμάλεη κε ξπζκφ g. Δξκελεχεη επίζεο θαη ην ηέηαξην εκπεηξηθφ γεγνλφο ηνπ Kaldor, φηη δειαδή ε απφδνζε ηνπ θπζηθνχ θεθαιαίνπ είλαη ζηαζεξή δηαρξνληθά. Σε κία αληαγσληζηηθή νηθνλνκία, νη ζπληειεζηέο ακείβνληαη κε ην νξηαθφ ηνπο πξντφλ. Σπλεπψο, ε πξαγκαηηθή απφδνζε ηνπ θπζηθνχ θεθαιαίνπ είλαη ίζε κε ην νξηαθφ πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ (ΜΡΚ) κείνλ ην ξπζκφ απνζβέζεσο, δ. Απφ ηελ (1.15), γλσξίδνπκε φηη ΜΡΚ = f (k), ην νπνίν ζε ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο είλαη ζηαζεξφ, εθφζνλ ην k είλαη ζηαζεξφ ζην επίπεδν k. Άξα, απφδνζε ηνπ θεθαιαίνπ = ΜΡΚ δ = ζηαζεξή. Τν ππφδεηγκα εξκελεχεη θαη ην πέκπην εκπεηξηθφ γεγνλφο ηνπ Kaldor, φηη δειαδή ηα κεξίδηα ηνπ θπζηθνχ θεθαιαίνπ θαη ηεο εξγαζίαο ζην ζπλνιηθφ εηζφδεκα είλαη ζηαζεξά δηαρξνληθά. Πξψηνλ, ην κεξίδην ηνπ θεθαιαίνπ, α Κ = (ΜΡΚ Κ)/Τ = f (k) (Κ/Τ), είλαη ζηαζεξφ δηαρξνληθά, εθφζνλ ηφζν ην k φζν θαη ην Κ/Τ είλαη ζηαζεξά δηαρξνληθά. Γεχηεξνλ, ην κεξίδην ηεο εξγαζίαο, (ΜΡL L)/Τ = [Αf(k) f (k) (Κ/L)] (L/Τ) = 1 f (k) (Κ/Τ), είλαη ζηαζεξφ δηαρξνληθά, εθφζνλ ηφζν ην k φζν θαη ην Κ/Τ είλαη ζηαζεξά δηαρξνληθά. Τν γεγνλφο φηη ΜΡL = Αf(k) f (k) (Κ/L) απνδεηθλχεηαη σο εμήο: MPL L [ ALf ( k)] L Af ( k) ALf '( k) k L Af ( k) K f '( k) L A[ f ( k) kf'( k)]. (1.55) Τέινο, ην ππφδεηγκα είλαη ζπλεπέο θαη κε ην έθην εκπεηξηθφ γεγνλφο ηνπ Kaldor, φηη δειαδή ν ξπζκφο απμήζεσο ηνπ εηζνδήκαηνο θαηά εξγαδφκελν δηαθέξεη απφ ρψξα ζε ρψξα. Όπσο έρνπκε δεη, ν ξπζκφο απηφο ηζνχηαη κε g, πνπ είλαη ν ξπζκφο απμήζεσο ηεο ηερλνινγίαο, ν νπνίνο είλαη θπζηθφ λα δηαθέξεη απφ ρψξα ζε ρψξα. Δθφζνλ ην ππφδεηγκα Solow-Swan ζπκθσλεί κε φια ηα εκπεηξηθά γεγνλφηα ηνπ Kaldor, δελ κπνξνχκε λα ην απνξξίςνπκε. Πξάγκαηη, ην ππφδεηγκα απηφ ρξεζηκεχεη σο βάζε γηα ηα κεηαγελέζηεξα ππνδείγκαηα νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο. Αο δνχκε ηψξα πψο ην ππφδεηγκα Solow-Swan απαληά ζηα δχν θξίζηκα εξσηήκαηα πνπ ζέζακε ζην Τκήκα 0.4, ήηνη: (1) πνηνί είλαη νη πξνζδηνξηζηηθνί παξάγνληεο ηνπ ξπζκνχ νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο κίαο ρψξαο; θαη () γηαηί ην πξντφλ θαηά εξγαδφκελν θαη ν ξπζκφο απμήζεψο ηνπ δηαθέξνπλ απφ ρψξα ζε ρψξα (ή δηαρξνληθά γηα κία ζπγθεθξηκέλε ρψξα); Δθφζνλ ην ππφδεηγκα Solow-Swan ζεσξεί ην ξπζκφ νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο εμσγελψο δεδνκέλν, είλαη θαλεξφ φηη δελ απαληά ηθαλνπνηεηηθά ζην πξψην εξψηεκα. Τν γεγνλφο απηφ απνηειεί έλα απφ ηα βαζηθά κεηνλεθηήκαηα ηνπ ππνδείγκαηνο. Όζνλ αθνξά ην δεχηεξν εξψηεκα, ην ήκηζπ ηνπ νπνίνπ (απηφ πνπ αθνξά ην ξπζκό απμήζεωο ηνπ πξντφληνο θαηά εξγαδφκελν, r /L ) είλαη ην έθην εκπεηξηθφ γεγνλφο ηνπ Kaldor, έρνπκε ήδε αλαθέξεη κία αηηία γηα ηηο δηαθνξέο ζηνπο ξπζκνχο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο απφ ρψξα ζε ρψξα (ή δηαρξνληθά γηα κία ζπγθεθξηκέλε ρψξα). Ζ αηηία απηή είλαη νη δηαθνξέο ζηνπο ξπζκνχο απμήζεσο ηεο ηερλνινγίαο απφ ρψξα ζε ρψξα (ή δηαρξνληθά γηα κία ζπγθεθξηκέλε ρψξα). Τν άιιν ήκηζπ ηνπ εξσηήκαηνο αθνξά ην επίπεδν ηνπ πξντφληνο θαηά εξγαδφκελν, Τ/L. Φπζηθά, θαη ζ απηή ηελ πεξίπησζε νη δηαθνξέο ζηνπο ξπζκνχο απμήζεσο ηεο ηερλνινγίαο απνηεινχλ θαη πάιη αηηία. 1

22 Μία άιιε αηηία γηα ηηο δηαθνξέο ζην Τ/L απφ ρψξα ζε ρψξα (ή δηαρξνληθά γηα κία ζπγθεθξηκέλε ρψξα) είλαη νη δηαθνξέο ζην ιφγν θεθαιαίνπ-εξγαζίαο, Κ/L. Οη δηαθνξέο ζην Κ/L πνπ παξαηεξνχληαη ζηελ πξάμε, φκσο, δελ εμεγνχλ πιήξσο ηηο ππάξρνπζεο δηαθνξέο ζην Τ/L. Όπσο ηνλίδεη ν Romer (006, ζ. 6-7), ην Τ/L ησλ θπξίσο βηνκεραληθψλ ρσξψλ ζήκεξα είλαη πεξίπνπ δεθαπιάζην ηνπ Τ/L πνπ επηθξαηνχζε ζηηο ίδηεο ρψξεο πξηλ απφ 100 ρξφληα, θαζψο επίζεο θαη δεθαπιάζην απηνχ πνπ επηθξαηεί ζήκεξα ζηηο πησρέο ρψξεο. Δάλ ε κφλε αηηία γηα ην δεθαπιάζην ηνπ Τ/L ήηαλ νη δηαθνξέο ζην Κ/L, ηφηε ζα έπξεπε ην Κ/L λα είλαη πεξίπνπ 1000 θνξέο κεγαιχηεξν απηνχ πνπ επηθξαηνχζε ζηηο θπξίσο βηνκεραληθέο ρψξεο πξηλ απφ 100 ρξφληα ή απηνχ πνπ επηθξαηεί ζήκεξα ζηηο πησρέο ρψξεο. Αιιά, ηέηνηεο δηαθνξέο ζην ιφγν Κ/L δελ έρνπλ παξαηεξεζεί. Σπλεπψο, νη δηαθνξέο ζην Κ/L δελ είλαη ε κφλε αηηία γηα ηηο δηαθνξέο ζην Τ/L. Οη πξνεγνχκελνη ππνινγηζκνί κπνξνχλ λα δηθαηνινγεζνχλ σο εμήο. Έζησ φηη Α θαη Β είλαη δχν ρψξεο, πινχζηα θαη πησρή, αληίζηνηρα, ή δχν ρξνληθέο πεξίνδνη πνπ απέρνπλ κεηαμχ ηνπο 100 ρξφληα, φπνπ ην Α ζπκβνιίδεη ηε λεψηεξε θαη ην Β ηελ παιαηφηεξε ρξνληθή πεξίνδν. Απηφ πνπ παξαηεξείηαη ζήκεξα είλαη (Τ/L) Α 10(Τ/L) Β. Δάλ ε κφλε αηηία ήηαλ νη δηαθνξέο ζην ιφγν Κ/L, ηφηε ε ηερλνινγία δελ ζα έπαηδε ξφιν, νπφηε ζα κπνξνχζε λ αγλνεζεί. Έηζη, αληί ηεο ζπλαξηήζεσο παξαγσγήο (1.8), ζα είρακε ηε ζπλάξηεζε Τ = F(K, L), απφ ηελ νπνία ζα πξνέθππηε ε ζπλάξηεζε = f(k), φπνπ = Τ/L θαη k = K/L. Σπλήζσο, ππνζέηνπκε ηελ αθφινπζε ζπλαξηεζηαθή κνξθή: = k α, φπνπ α είλαη ην κεξίδην ηνπ θεθαιαίνπ ζην ζπλνιηθφ εηζφδεκα, 0 < α < 1. Όπσο έρνπκε ήδε αλαθέξεη, α 1/3 [βι. ηε ζπδήηεζε ακέζσο κεηά ηελ Δμίζσζε (1.38)]. Σπλεπψο, ε εμίζσζε (Τ/L) Α 10(Τ/L) Β γξάθεηαη ηψξα σο εμήο: Α 10 Β, νπφηε ζα έρνπκε φηη k Α 1/3 10k Β 1/3 ή (πςψλνληαο ζηελ ηξίηε δχλακε) k Α 1000k Β. Γειαδή, αλ αγλνεζεί ε ηερλνινγία, ηφηε ην γεγνλφο φηη (Τ/L) Α 10(Τ/L) Β νδεγεί ζην εμσπξαγκαηηθφ ζπκπέξαζκα φηη k Α 1000k Β. Τψξα, ζηελ πεξίπησζε πνπ ζπγθξίλνπκε κία βηνκεραληθή ρψξα κε ηνλ εαπηφ ηεο πξηλ απφ 100 ρξφληα, νπφηε Α θαη Β είλαη δχν ρξνληθέο πεξίνδνη πνπ απέρνπλ κεηαμχ ηνπο 100 ρξφληα, νη δηαθνξέο πνπ έρνπλ παξαηεξεζεί γηα ην ιφγν θεθαιαίνπ-εξγαζίαο δελ είλαη ηεο ηάμεσο ηνπ 1000, αιιά ηνπ 10 πεξίπνπ, δειαδή, ζηελ πξάμε ηζρχεη φηη k Α 10k Β. Δπίζεο, ζηελ πεξίπησζε πνπ κηιάκε γηα δηαθνξέο κεηαμχ πινπζίσλ θαη πησρψλ ρσξψλ, φπνπ ην Α ζπκβνιίδεη ηελ πινχζηα θαη ην Β ηελ πησρή ρψξα, έρεη παξαηεξεζεί φηη (Κ/Τ) Α (Κ/Τ) Β ή ην πνιχ (Κ/Τ) Α 3(Κ/Τ) Β. Γηαηξψληαο αξηζκεηή θαη παξνλνκαζηή ηνπ θάζε έλα απφ απηνχο ηνπο ιφγνπο κε ην αληίζηνηρν L, νη εμηζψζεηο απηέο γξάθνληαη θαη σο εμήο: k Α / Α (k Β / Β ) θαη k Α / Α 3(k Β / Β ). Αλαδηαηάζζνληαο ηνπο φξνπο, έρνπκε k Α /k Β ( Α / Β ) θαη k Α /k Β 3( Α / Β ). Όπσο πξναλαθέξζεθε, φκσο, Α / Β 10. Δπνκέλσο, απφ ηηο πξνεγνχκελεο δχν εμηζψζεηο πξνθχπηεη φηη k Α /k Β 0 θαη k Α /k Β 30 ή k Α 0k Β θαη k Α 30k Β. Σπλεπψο, θαη ζ απηή ηελ πεξίπησζε νη δηαθνξέο ζην Κ/L είλαη ηεο ηάμεσο ηνπ 0 ή ηνπ 30, φρη ηνπ Άξα, ινηπφλ, απφ κφλεο ηνπο, νη ππάξρνπζεο δηαθνξέο ζην ιφγν Κ/L δελ εμεγνχλ ηηο ππάξρνπζεο δηαθνξέο ζην ιφγν Τ/L. Γηα λα δείμεη φηη νη παξαηεξνχκελεο δηαθνξέο ζην ιφγν Κ/L δελ εμεγνχλ πιήξσο ηηο δηαθνξέο ζην Τ/L, φηαλ ζπγθξίλνπκε είηε κία αλεπηπγκέλε ρψξα ζε δχν ρξνληθέο πεξηφδνπο είηε κία αλεπηπγκέλε κε κία ππναλάπηπθηε ρψξα, ν Romer (006, ζ. 7) παξαζέηεη θαη ην αθφινπζν επηρείξεκα. Σε κία αληαγσληζηηθή νηθνλνκία, ε απφδνζε ηνπ θεθαιαίνπ ηζνχηαη κε ην νξηαθφ ηνπ πξντφλ κείνλ ην πνζνζηφ απνζβέζεσο, δειαδή f (k) δ. Υπνζέηνληαο θαη πάιη φηη = f(k) = k 1/3, ππνινγίδνπκε φηη f (k) = (1/3)k -/3. Δθφζνλ = k 1/3, έπεηαη φηη k = 3. Σπλεπψο, f (k) = (1/3) -. Φάξηλ απιφηεηαο, αο ππνζέζνπκε θαη αξρήλ φηη δ = 0. Σ απηήλ πεξίπησζε, ν ιφγνο ησλ απνδφζεσλ θεθαιαίνπ ζε κία ρψξα κεηαμχ δχν ρξνληθψλ πεξηφδσλ Α θαη Β, νη νπνίεο απέρνπλ κεηαμχ ηνπο 100 ρξφληα, ή κεηαμχ δχν ρσξψλ Α θαη Β, φπνπ Α είλαη ε πινχζηα θαη Β ε πησρή ρψξα, είλαη f (k Α )/f (k Β ) = {[(1/3) Α - ]/[(1/3) B - ]} = ( Α / B ) - = 10 - = 0,01 ή f (k Α ) = 0,01f (k Β ). Απηφ ζεκαίλεη, π.ρ., φηη ε απφδνζε ηνπ θεθαιαίνπ ζηελ πινχζηα ρψξα είλαη ίζε κε ην έλα κφλν