Μέθοδος αιχμηρής εκτίμησης σε ασταθή γραμμικά μοντέλα
|
|
- Γῆ Αλαφούζος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος Μέθοδος αιχμηρής εκτίμησης σε ασταθή γραμμικά μοντέλα (Ridge regression) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
2 Στην παρούσα ενότητα θα μελετήσουμε και θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην εξής ερώτηση: Μπορώ να συνορθώσω τα ίδια δεδομένα για το ίδιο μαθηματικό μοντέλο αλλά με διαφορετικό τρόπο, αντί με την κλασσική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, ώστε να πάρω καλύτερα αποτελέσματα ;
3 Εισαγωγή Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ) αποτελεί το βασικότερο εργαλείο συνόρθωσης παρατηρήσεων και εκτίμησης παραμέτρων σε γραμμικά μοντέλα. Η ΜΕΤ δίνει αποτελέσματα που έχουν, από θεωρητική σκοπιά, σημαντικές βέλτιστες ιδιότητες. Αυτό δεν σημαίνει όμως ότι θα είναι κατ ανάγκη πάντα καλά αποτελέσματα! Σε ορισμένες περιπτώσεις η εφαρμογή της ΜΕΤ δίνει αποτελέσματα πολύ χαμηλής ακρίβειας τα οποία είναι (από πρακτική σκοπιά) σχεδόν άχρηστα!
4 Πότε η ΜΕΤ θα δώσει κακά αποτελέσματα ; Όταν υπάρχουν προβληματικές παρατηρήσεις π.χ.
5 Να θυμάστε ότι o Η ΜΕΤ είναι ιδιαίτερα ευάλωτη σε περιπτώσεις που υπάρχουν προβληματικές παρατηρήσεις Έστω και μία προβληματική παρατήρηση μπορεί να καταστρέψει εντελώς τη λύση συνόρθωσης. o Τι κάνω σε τέτοιες περιπτώσεις: Εφαρμογή στατιστικών ελέγχων για την απομάκρυνση προβληματικών παρατηρήσεων και μετά χρήση ΜΕΤ. Χρήση όλων των διαθέσιμων παρατηρήσεων με εναλλακτικές τεχνικές εκτίμησης παραμέτρων (robust techniques).
6 Πότε η ΜΕΤ θα δώσει κακά αποτελέσματα ; Όταν κάποιες στήλες του πίνακα σχεδιασμού είναι σχεδόν συγγραμικές (multi-collinearity) b1 a1,1 a1,2 a1, m x1 v1 b2 a2,1 a2,2 a2, m x2 v2 b n an,1 an,2 a n, m x m v n
7 Πότε η ΜΕΤ θα δώσει κακά αποτελέσματα ; Όταν κάποιες στήλες του πίνακα σχεδιασμού είναι σχεδόν συγγραμικές (multi-collinearity) b1 a1,1 a1,2 a1, m x1 v1 b2 a2,1 a2,2 a2, m x2 v2 b n an,1 an,2 a n, m x m v n π.χ. Α [1] Α [2] k Α [1]
8 Πότε η ΜΕΤ θα δώσει κακά αποτελέσματα ; Όταν κάποιες στήλες του πίνακα σχεδιασμού είναι σχεδόν συγγραμικές (multi-collinearity) b1 a1,1 a1,2 a1, m x1 v1 b2 a2,1 a2,2 a2, m x2 v2 b n an,1 an,2 a n, m x m v n π.χ. Α [1] Α [2] Α [m] k Α [1] + λ Α [2]
9 Γιατί η συγγραμικότητα στηλών αποτελεί πρόβλημα ; Ξεκινώντας από το αρχικό γραμμικό μοντέλο b Ax v b x1 A[1] x2 A[2] x3 A[3]... xma[ m] v σε περίπτωση συγγραμικότητας, π.χ. Α [2] k Α [1], θα έχουμε: b A A A v ( x kx ) x... xm m 1 2 [1] 3 [3] [ ] Οι παράμετροι x 1 και x 2 δεν μπορούν να διαχωρισθούν μέσω της συνόρθωσης! (δηλαδή να εκτιμηθούν ανεξάρτητα και με ακρίβεια από τα διαθέσιμα δεδομένα)
10 Να θυμάστε ότι o Σε περιπτώσεις συγγραμικότητας η ΜΕΤ δίνει εκτιμήσεις παραμέτρων με μεγάλες συσχετίσεις και πολύ χαμηλή στατιστική ακρίβεια. o Τι κάνω σε τέτοιες περιπτώσεις: Απλοποιώ το αρχικό παραμετρικό μοντέλο. Δεν τροποποιώ το αρχικό μοντέλο, αλλά χρησιμοποιώ πρόσθετες & κατάλληλα σχεδιασμένες παρατηρήσεις. Διατηρώ το αρχικό μοντέλο & τις διαθέσιμες παρατηρήσεις και εφαρμόζω άλλες τεχνικές συνόρθωσης.
11 Εισαγωγή (συνεχ.) Εναλλακτικές τεχνικές συνόρθωσης μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε περιπτώσεις που η ΜΕΤ δίνει προβληματικά αποτελέσματα. Σε τέτοιες περιπτώσεις θυσιάζουμε κάποιες από τις βέλτιστες ιδιότητες της ΜΕΤ, με αντάλλαγμα τον υπολογισμό καλύτερων, από πρακτική σκοπιά, αποτελεσμάτων για την εκτίμηση παραμέτρων. Η μέθοδος αιχμηρών εκτιμήσεων (ridge regression) είναι ένα πολύ σημαντικό εργαλείο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε περιπτώσεις όπου η λύση συνόρθωσης μέσω ΜΕΤ είναι προβληματική.
12 Μέθοδος αιχμηρών εκτιμήσεων Βασική τεχνική συνόρθωσης και εκτίμησης παραμέτρων σε ασταθή (ill-conditioned) γραμμικά μοντέλα λόγω προβλημάτων συγγραμικότητας στον πίνακα σχεδιασμoύ. Είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική και σχετικά απλή στην αλγοριθμική υλοποίησή της. Στηρίζεται σε πολλαπλές θεωρητικές ερμηνείες, γεγονός που οδηγεί συχνά σε κακή χρήση της ή/και παρερμηνείες των αποτελεσμάτων της.
13 Μια σύντομη ανασκόπηση της ΜΕΤ με έμφαση σε μερικά μειονεκτήματά της
14 Θεωρητικό υπόβαθρο Εξισώσεις παρατηρήσεων: b Ax v Κριτήριο ΜΕΤ v T Pv = min T ( A PA)ˆ x ΝΕQs: ˆ Nx T A Pb u Εκτίμηση BLUE T v ~ (, σ 2 P -1 ) ( A PA)ˆ x ΝΕQs: T ˆ Nx A Pb u Ιδιότητες λύσης: o Ανεπηρέαστες εκτιμήσεις παραμέτρων o Εκτιμήσεις παραμέτρων με ελάχιστη μεταβλητότητα o Βέλτιστη προσαρμογή στα διαθέσιμα δεδομένα
15 Μέθοδος ΜΕΤ/BLUE 1 Κλασσική λύση: xˆ N u, C xˆ 2 1 N Πλεονεκτήματα (θεωρητικές ιδιότητες) Μειονεκτήματα (σε ορισμένες περιπτώσεις) E{} xˆ x ανεπηρέαστες εκτιμήσεις Υπερ-εκτιμημένες τιμές παραμέτρων ή εκτιμήσεις με λάθος πρόσημα trace C x ˆ min ανάμεσα από οποιαδήποτε άλλη γραμμική ανεπηρέαστη εκτίμηση Μη-ικανοποιητική ακρίβεια (το ίχνος του πίνακα συμ-μεταβλ. μπορεί να μην είναι αρκετά μικρό σύμφωνα με τις απαιτήσεις ακρίβειας)
16 Ιδιο-ανάλυση του πίνακα Ν N UΛU T Ορθογώνιος πίνακας ιδιο-διανυσμάτων: U u u 1 m T T UU U U I Διαγώνιος πίνακας ιδιοτιμών: Λ diag ( 1,..., m ) Φασματική ανάλυση του πίνακα Ν: m m T i i i i i i1 i1 N u u U U i : ορθογώνιοι πίνακες
17 Μέθοδος ΜΕΤ/BLUE 1 Κλασσική λύση: xˆ N u, C xˆ 2 1 N Πλεονεκτήματα (θεωρητικές ιδιότητες) trace E{} xˆ C x ˆ x ανεπηρέαστες εκτιμήσεις min ανάμεσα από οποιαδήποτε άλλη γραμμική ανεπηρέαστη εκτίμηση Μειονεκτήματα (σε ορισμένες περιπτώσεις) T E{ xˆ xˆ} T 2 1 x x επηρεασμένο μήκος εκτιμήσεων όταν κάποιες ιδιοτιμές είναι πολύ μικρές trace C x ˆ 2 1 κακή ακρίβεια όταν κάποιες ιδιοτιμές είναι πολύ μικρές i i
18 Συμπερασματικά trace C xˆ 2 min T E{ xˆ xˆ} T x x 2 min Αν λ min τότε η λύση συνόρθωσης ΜΕΤ είναι ιδιαίτερα ασταθής και δίνει: πολύ μεγάλες μεταβλητότητες για τις εκτιμήσεις των παραμέτρων πολύ μεγάλες τιμές εκτιμήσεων σε σχέση με τις αληθινές τιμές των παραμέτρων
19 Ασταθή προβλήματα συνόρθωσης
20 Τι σημαίνει ασταθές πρόβλημα συνόρθωσης ; Ο πίνακας σχεδιασμού Α περιέχει στήλες που είναι σχεδόν συγγραμικές ή σχεδόν γραμμικά εξαρτημένες b Ax v b x1 A[1] x2 A[2]... xma[ m] v Σε τέτοιες περιπτώσεις η απευθείας αντιστροφή των κανονικών εξισώσεων είναι προβληματική! T ( A PA) xˆ N T A Pb u
21 Τι συμβαίνει σε ένα ασταθές πρόβλημα συνόρθωσης ; Μία ή περισσότερες ιδιοτιμές του πίνακα των κανονικών εξισώσεων θα είναι κοντά στο μηδέν. Ο πίνακας των κανονικών εξισώσεων είναι θεωρητικά αντιστρέψιμος, αλλά η αριθμητική αντιστροφή του θα είναι ιδιαίτερα δυσχερής. Η λύση ΜΕΤ έχει πολύ κακή ακρίβεια και υψηλές συσχετίσεις για τις εκτιμήσεις των παραμέτρων.
22 Τι συμβαίνει σε ένα ασταθές πρόβλημα συνόρθωσης ; Μικρές αλλαγές στις τιμές των παρατηρήσεων μπορεί να προκαλέσουν πολύ μεγάλη μεταβολή στις εκτιμήσεις των παραμέτρων του μοντέλου! Τα συνορθωμένα σφάλματα έχουν συνήθως λογικές τιμές και δίνουν καλή προσαρμογή του μοντέλου στις διαθέσιμες παρατηρήσεις! Η χρήση των εκτιμήσεων των παραμέτρων για πρόγνωση θα δώσει αναξιόπιστα αποτελέσματα.
23 Τι συμβαίνει σε ένα ασταθές πρόβλημα συνόρθωσης ; Nxˆ u 1 xˆ N u Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e-16. Θα πάρω λάθος αποτελέσματα για τη λύση ενός συστήματος εξισώσεων όταν λαμβάνω τέτοιου είδους μήνυμα από το Matlab ;
24 Παράδειγμα Σύστημα κανονικών εξισώσεων xˆ xˆ xˆ 3.78 Λύση συστήματος κανονικών εξισώσεων 1 xˆ xˆ xˆ
25 Παράδειγμα Λύση συστήματος κανονικών εξισώσεων ˆ 1 x xˆ xˆ Λύση συστήματος κανονικών εξισώσεων (μετά από μικρή διαταραχή των δεδομένων) ˆ 1 x xˆ xˆ
26 Παράδειγμα Λύση συστήματος κανονικών εξισώσεων ˆ 1 x xˆ xˆ Λύση συστήματος κανονικών εξισώσεων.5% 28%, 61%, (μετά από μικρή διαταραχή των δεδομένων) 128% ˆ 1 x xˆ xˆ
27 Παράδειγμα Λύση συστήματος κανονικών εξισώσεων 1 xˆ xˆ xˆ Ακρίβεια και συντελεστές συσχέτισης παραμέτρων xˆ 1 xˆ xˆ xˆ, xˆ 1 2 xˆ 1, xˆ 3.96 xˆ2, xˆ3 -.99
28 Που οφείλεται η αστάθεια σε ένα πρόβλημα συνόρθωσης ; Σε κακή επιλογή του παραμετρικού μοντέλου (π.χ. οver-parameterization). Σε ελλιπή ή κακά σχεδιασμένη συλλογή παρατηρήσεων. Σε κανέναν από τους παραπάνω λόγους, αλλά στην ίδια τη φύση του προβλήματος που προσπαθούμε να επιλύσουμε (π.χ. gravity field downward continuation).
29 Να θυμάστε ότι Σε ασταθή προβλήματα συνόρθωσης δεν είναι βέβαιο ότι οι εκτιμήσεις των παραμέτρων μέσω της ΜΕΤ θα είναι αναγκαστικά κακές. Υπάρχει όμως πολύ μεγάλη πιθανότητα ότι θα είναι κακές! Ο θόρυβος των παρατηρήσεων και άλλα αριθμητικά σφάλματα κατά την υπολογιστική διαδικασία μπορεί να έχουν τρομερά μεγάλη επίδραση στην ποιότητα των τελικών αποτελεσμάτων! Η αντιμετώπιση τέτοιων προβλημάτων απαιτεί μεγάλη προσοχή από τη μεριά του χρήστη.
30 Τα δύο επόμενα παραδείγματα έχουν διδακτικό χαρακτήρα και σκοπό να αναδείξουν τον κίνδυνο αστάθειας που μπορεί να υπάρξει σε απλά προβλήματα συνόρθωσης λόγω κακής γεωμετρίας των δεδομένων.
31 y ΤΑΤΜ ΑΠΘ Παράδειγμα 1 Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας πραγματική ευθεία y =.5x x Πόσο καλή εκτίμηση της πραγματικής ευθείας μπορώ να πάρω από διαφορετικά (simulated) σετ δεδομένων;
32 y ΤΑΤΜ ΑΠΘ y Παράδειγμα 1 Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας: y i = a x i + c + v i 6 σετ δεδομένων (α) 6 σετ δεδομένων (β) x x Ασυσχέτιστες παρατηρήσεις (y i ) ίδιας ακρίβειας σε διαφορετικό χωρικό εύρος (x i )
33 y ΤΑΤΜ ΑΠΘ y Παράδειγμα 1 Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας: y i = a x i + c + v i 6 σετ δεδομένων (α) 6 σετ δεδομένων (β) x Ελάχιστη ιδιοτιμή πίνακα Ν λ min = x Ελάχιστη ιδιοτιμή πίνακα Ν λ min = 2.
34 y ΤΑΤΜ ΑΠΘ y Παράδειγμα 1 Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας: y i = a x i + c + v i 6 estimated line 6 estimated line true line 3 true line x x εκτίμηση ευθείας 1.61 x +.34 εκτίμηση ευθείας y =.54 x
35 y ΤΑΤΜ ΑΠΘ Παράδειγμα 1 Η κακή γεωμετρία δεν οδηγεί πάντα σε κακή λύση true line estimated line x εκτίμηση ευθείας y =.43 x
36 y ΤΑΤΜ ΑΠΘ Παράδειγμα 1 αλλά έχει μεγάλη πιθανότητα να δώσει πολύ κακή λύση με υπερ-εκτιμημένες τιμές παραμέτρων και λάθος πρόσημα! true line 1 estimated line x εκτίμηση ευθείας y = -.73 x
37 Παράδειγμα
38 Παράδειγμα
39 Παράδειγμα 2 Μετασχηματισμός 2Δ συντεταγμένων y' y x' (x i, y i ) (x' i, y' i ) x Πόσο καλά μπορούν να εκτιμηθούν οι παράμετροι μετασχ/μού ομοιότητας από ένα δίκτυο σημείων με γνωστές συντεταγμένες σε δύο διαφορετικά ΣΑ;
40 Δεδομένα: Παράδειγμα 2 Σύστημα Αναφοράς 1 Σύστημα Αναφοράς 2 Χ Υ Χ' Υ' Χ, Υ: θεωρούνται γνωστές χωρίς σφάλμα Χ', Υ': θεωρούνται παρατηρήσεις, ασυσχέτιστες μεταξύ τους με κοινή ακρίβεια ±2 cm
41 2Δ μετασχηματισμός ομοιότητας (γραμμικοποιημένο μοντέλο) T x x E θ x1 x1 1 y x y1 y1 1 x y xn x N 1 yn x y y 1 x y N N x x 1 1 t x 1 1 t y N s T E N N θ ΤΑΤΜ ΑΠΘ
42 Παράδειγμα 2 Εκτιμήσεις παραμέτρων μετασχ/μού ομοιότητας Λύση ΜΕΤ t x (m) ± t y (m) ± ε (arcsec) ± δs (ppm) ± Πολύ κακή (εντελώς αναξιόπιστη) λύση για τις τιμές των παραμέτρων, ειδικά για τις μεταθέσεις!
43 Παράδειγμα 2 Πίνακας συντελεστών συσχέτισης μεταξύ των εκτιμήσεων των παραμέτρων μετασχ/μού t x 1 t x t y ε δs t y. 1 ε δs
44 Παράδειγμα 2 Στατιστικά στοιχεία συνορθωμένων σφαλμάτων T vˆ x x E θˆ Λύση ΜΕΤ max.32 min -.6 mean. σ.25 rms.25 (*) τιμές σε m
45 Παράδειγμα 2 Εκτιμήσεις παραμέτρων μετασχ/μού ομοιότητας Λύση ΜΕΤ Λύση ΜΕΤ (μετά από διαταραχή λίγων cm στις παρατηρήσεις Χ' και Υ') t x (m) t y (m) ε (arcsec) δs (ppm) Πολύ μεγάλη μεταβολή στις εκτιμήσεις των παραμέτρων (unstable adjustment problem!)
46 Παράδειγμα 2 Στατιστικά στοιχεία συνορθωμένων σφαλμάτων T vˆ x x E θˆ Λύση ΜΕΤ Λύση ΜΕΤ (μετά από διαταραχή λίγων cm στις παρατηρήσεις Χ' και Υ') max min mean.. σ rms (*) τιμές σε m
47 Παράδειγμα 2 Μετασχηματισμός 2Δ συντεταγμένων y' y y' y x' x' x x επικίνδυνη περίπτωση ασφαλής περίπτωση ΤΑΤΜ ΑΠΘ
48 Πως αντιμετωπίζονται τα ασταθή προβλήματα συνόρθωσης ; Ένας εύκολος τρόπος είναι η απλοποίηση του αρχικού μαθηματικού μοντέλου. π.χ. μέσω αφαίρεσης παραμέτρων (ποιων όμως;) Αν αυτό δεν είναι εφικτό ή επιθυμητό, τότε θα πρέπει: είτε να χρησιμοποιηθεί πρόσθετη πληροφορία για τον υπολογισμό πιο αξιόπιστης λύσης είτε να εφαρμοσθεί άλλο κριτήριο βελτιστοποίησης για την εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων
49 Να θυμάστε ότι Η εξωτερική πληροφορία που χρησιμοποιείται συνήθως για τη βελτίωση ασταθών λύσεων συνόρθωσης οδηγεί σε επηρεασμένες εκτιμήσεις. Αυτό δεν είναι κατ ανάγκη κακό! Επηρεασμένες εκτιμήσεις δεν είναι αναγκαστικά λανθασμένες εκτιμήσεις! Αντίθετα, οι επηρεασμένες εκτιμήσεις μπορούν να έχουν βέλτιστες ιδιότητες που είναι πολύ σημαντικές στη θεωρία εκτίμησης (π.χ. ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα εκτίμησης).
50 Να θυμάστε ότι Η κλασσική λύση ΜΕΤ δεν χρησιμοποιεί μια πολύ σημαντική πηγή εξωτερικής πληροφορίας: οι άγνωστες παράμετροι σε κάθε πρόβλημα συνόρθωσης έχουν πάντα πεπερασμένες τιμές! Παρόλο που μπορεί να φαίνεται περίεργο, η χρήση τέτοιας πληροφορίας στη διαδικασία συνόρθωσης θα οδηγήσει συνήθως σε επηρεασμένες εκτιμήσεις.
51 Βασικοί δείκτες αξιολόγησης της στατιστικής ακρίβειας εκτιμήσεων παραμέτρων
52 Πως αξιολογούμε τη στατιστική ακρίβεια εκτιμήσεων; αληθινές τιμές παραμέτρων: x εκτιμήσεις των παραμέτρων: ˆx Παρέκκλιση εκτίμησης (bias): σφάλματα εκτίμησης: e xˆ x ξ E{ e} E{ xˆ } x Μέσο τετραγωνικό σφάλμα εκτίμησης: T MSEM E{ ee } C ξξ T mse E{ e e} trace C ξ ξ xˆ xˆ T T πίνακας βαθμωτό μέγεθος
53 Η έννοια του μέσου τετραγωνικού σφάλματος στη θεωρία εκτίμησης x ˆx αληθινή τιμή ˆx Ex {} ˆ ˆx εκτίμηση 2 2 xˆ 2 mse E{( xˆ x) } Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα αξιολογεί τη συνολική ποιότητα της εκτίμησης, λαμβάνοντας υπόψη: - αβεβαιότητα λόγω επίδρασης τυχαίων σφαλμάτων - συστηματική παρέκκλιση από την άγνωστη αληθινή τιμή
54 Η κλασσική περίπτωση (π.χ. ΜΕΤ, ΒLUE) Για ανεπηρέαστες εκτιμήσεις: Παρέκκλιση εκτίμησης (bias): ξ E{ e} E{ xˆ } x Μέσο τετραγωνικό σφάλμα εκτίμησης: MSEM E{ ee } Cxˆ T mse E{ e e} trace Cxˆ T πίνακας βαθμωτό μέγεθος
55 Η κλασσική περίπτωση (π.χ. ΜΕΤ, ΒLUE) ˆx ˆx E{} xˆ x αληθινή τιμή ˆx εκτίμηση x 2ˆ 2 mse E{( xˆ x) } Στις ανεπηρέαστες εκτιμήσεις έχουμε: μηδενική παρέκκλιση εκτίμησης η μεταβλητότητα της εκτίμησης μπορεί όμως να είναι πολύ μεγάλη (σε ασταθή προβλήματα συνόρθωσης)
56 Ανεπηρέαστες ή επηρεασμένες εκτιμήσεις ; Είναι δυνατό να έχουμε μια επηρεασμένη εκτίμηση με μικρότερο μέσο τετραγωνικό σφάλμα από την ανεπηρέαστη εκτίμηση ελαχίστων τετραγώνων! ΜΕΤ/BLUE Επηρεασμένη εκτίμηση ˆx ξ xˆ ξ MSEM mse C trace x ˆ > MSEM mse C xˆ C xˆ xˆ ξξ T T trace C ξ ξ
57 Ανεπηρέαστες ή επηρεασμένες εκτιμήσεις ; ˆx ˆx E{} xˆ x αληθινή τιμή ˆx ˆx ˆx x Ex { ˆ } ˆx Πλεονέκτημα επηρεασμένων εκτιμήσεων σε ασταθή προβλήματα συνόρθωσης: Η εισαγωγή μιας πολύ μικρής παρέκκλισης ξ μπορεί να συνοδεύεται από σημαντική μείωση της μεταβλητότητας της εκτίμησης!
58 Μέθοδος αιχμηρών εκτιμήσεων
59 Εκτιμήσεις αιχμηρού τύπου (ridge regression) Λύση συνόρθωσης μέσω ΜΕΤ/BLUE: 1 xˆ N u Λύση αιχμηρής συνόρθωσης: ( k) 1 xˆ ( N k I) u όπου k είναι μικρός θετικός συντελεστής (επιλογή χρήστη) (*) Υπάρχει πάντα ένα εύρος τιμών του συντελεστή k για το οποίο η λύση αιχμηρής συνόρθωσης έχει μικρότερο μέσο τετραγωνικό σφάλμα από την κλασσική λύση συνόρθωσης ελαχίστων τετραγώνων!
60 Μέσο τετραγωνικό σφάλμα εκτίμησης ως συνάρτηση του k Λύση αιχμηρής εκτίμησης mse ( xˆ ) Λύση ΜΕΤ ˆ ( k) mse ( x ) k opt 2 T 2 x x k
61 Αν γνωρίζουμε ότι: τότε επιλέγοντας: T Μέσο x x τετραγωνικό B σφάλμα 2 2 εκτίμησης k κρίση του χρήστη! εξασφαλίζουμε τη συνθήκη: B Η επιλεγμένη τιμή του Β εξαρτάται από τη φύση των παραμέτρων x και εμπεριέχει την υποκειμενική k 2 T 2 x x mse ( xˆ ) Λύση ΜΕΤ ˆ ( k) mse ( x ) k opt 2 T 2 x x Άγνωστο στην πράξη k
62 Στατιστικά χαρακτηριστικά αιχμηρών εκτιμήσεων Πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων ( k) Cˆ ( N ki) N( N ki) x ( k) Διάνυσμα παρέκκλισης 1 xˆ ( N k I) u 1 ξ k( N ki) x Πίνακας μέσων τετραγωνικών σφαλμάτων T 1 MSEM ( N k I) ( N k xx )( N k I)
63 Στατιστικά χαρακτηριστικά αιχμηρών εκτιμήσεων ( k) 1 xˆ ( N k I) u mse(k) bias(k) var(k) k
64 Στατιστικά χαρακτηριστικά αιχμηρών εκτιμήσεων ( k) 1 xˆ ( N k I) u mse(k) bias(k) mse ΜΕΤ var(k) k
65 Να θυμάστε ότι Στα συνήθη προβλήματα συνόρθωσης η λύση αιχμηρών εκτιμήσεων για βέλτιστες τιμές του συντελεστή k (δηλαδή για τιμές που ανήκουν μέσα στο διάστημα στο οποίο μειώνεται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα) δίνει πρακτικά τα ίδια αποτελέσματα με την κλασσική λύση ΜΕΤ. Σε ασταθή προβλήματα συνόρθωσης η λύση αιχμηρών εκτιμήσεων μπορεί να διαφέρει κατά πολύ σε σχέση με την κλασσική λύση ΜΕΤ, ακόμα και για πάρα πολύ μικρές τιμές του συντελεστή k.
66 Παράδειγμα 2 (συνεχ.) Εκτιμήσεις παραμέτρων μετασχ/μού ομοιότητας Λύση ΜΕΤ (k = ) Λύση αιχμηρής συνόρθωσης (k =.1) Λύση αιχμηρής συνόρθωσης (k =.1) t x (m) ± ± ±.1 t y (m) ± ± ±.1 ε (arcsec) ± ±.4.1 ±.1 δs (ppm) ± ±.22. ±.3 Οι αιχμηρές λύσεις δίνουν καλύτερες (και πιο αξιόπιστες) εκτιμήσεις για τις παραμέτρους του μοντέλου
67 Παράδειγμα 2 (συνεχ.) Στατιστικά στοιχεία συνορθωμένων σφαλμάτων T vˆ x x E θˆ Λύση ΜΕΤ (k = ) Λύση αιχμηρής συνόρθωσης (k =.1) Λύση αιχμηρής συνόρθωσης (k =.1) max min mean... σ rms (*) όλες οι τιμές σε m
68 Επιλογή του συντελεστή k ( k) 1 xˆ ( N k I) u Υπάρχουν διάφορες τεχνικές για την επιλογή του συντελεστή k κατά τον υπολογισμό λύσεων αιχμηρής εκτίμησης σε ασταθή γραμμικά μοντέλα. Ενδεικτικά αναφέρουμε παρακάτω μία απλή εμπειρική τεχνική για την επιλογή του συντελεστή k, γνωστή ως ridge-trace, που χρησιμοποιείται συχνά σε αρκετές πρακτικές εφαρμογές.
69 tx (m) ε (arcsec) ty (m) δs (ppm) ΤΑΤΜ ΑΠΘ Μεταβολή αιχμηρών εκτιμήσεων ως συνάρτηση του k k
70 LS criterion Μεταβολή αιχμηρών εκτιμήσεων ως συνάρτηση του k 2 15 tx ty ε δs k v T Pv k x 1-4 (*) Ridge-trace: η τιμή του k επιλέγεται εμπειρικά έτσι ώστε: o o οι εκτιμήσεις των παραμέτρων να έχουν σταθεροποιηθεί σε ρεαλιστικές τιμές τα αντίστοιχα συνορθωμένα σφάλματα να παραμένουν σχετικά μικρά
71 LS criterion ΤΑΤΜ ΑΠΘ Μεταβολή της ποσότητας vˆ Pv ˆ ως συνάρτηση του k T k x 1-4
72 Εναλλακτικές θεωρητικές ερμηνείες των αιχμηρών λύσεων συνόρθωσης
73 Να θυμάστε ότι b Ax v ( k) 1 xˆ ( N k I) u Μπορούμε να καταλήξουμε στην παραπάνω σχέση εκτίμησης μέσα από διάφορες προσεγγίσεις. Η λύση αιχμηρής συνόρθωσης μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει διάφορες βέλτιστες ιδιότητες ανάλογα με το θεωρητικό πλαίσιο στο οποίο μπορεί να θεμελιωθεί η παραπάνω σχέση εκτίμησης βλέπε παρακάτω.
74 Εναλλακτικές θεωρήσεις αιχμηρών εκτιμήσεων Επηρεασμένη γραμμική εκτίμηση με ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Εκτίμηση ΕΤ με ανισοτική δέσμευση για τις άγνωστες παραμέτρους. Εκτίμηση ΕΤ με ταυτόχρονη oμαλοποίηση των εκτιμήσεων των παραμέτρων. Εκτίμηση BLUE με a-priori στοχαστική πληροφορία για τις παραμέτρους.
75 Λύση συνόρθωσης ΜΕΤ με ανισοτική δέσμευση 1) Εξισώσεις παρατηρήσεων: b Ax v 2) Κριτήριο βέλτιστης εκτίμησης: v 2 T v Pv min 3) Δέσμευση μεγέθους παραμέτρων: x 2 T x x B Γενική μορφή λύσης: 1 xˆ ( N k I) u όπου ο συντελεστής k προσδιορίζεται από τη σχέση: T xˆ xˆ B (βλέπε linear programming theory in linear models)
76 Λύση συνόρθωσης ΜΕΤ με ταυτόχρονη ομαλοποίηση 1) Εξισώσεις παρατηρήσεων: b Ax v 2) Υβριδικό κριτήριο βελτιστοποίησης: 2 2 v k x v Pv kx x T T min Γενική μορφή λύσης: 1 xˆ ( N k I) u όπου ο συντελεστής ομαλοποίησης k επιλέγεται από το χρήστη σύμφωνα με διάφορα κριτήρια oμαλοποίησης (βλέπε regularization theory in linear models)
77 BLUE με στοχαστική προσέγγιση για τις άγνωστες παραμέτρους 1 ) Εξισώσεις παρατηρήσεων: b A x I vv x 2) Κριτήριο βέλτιστης εκτίμησης: v Pv v P v min T T x x x Γενική μορφή λύσης: xˆ ( N P ) 1 u x Px k I όπου ο συντελεστής 1/k αντιστοιχεί στην αρχική αβεβαιότητα (μεταβλητότητα) των τιμών των αγνώστων παραμέτρων (βλέπε Bayesian theory in linear models)
78 Για περισσότερες λεπτομέρειες, βλέπε επίσης Sen A., Srivastava M. (199) Regression analysis: theory, methods and applications. Springer, Berlin. Draper N.R., Smith H. (1998) Applied regression analysis. John Wiley & Sons, Inc. Rao C.R., Toutenburg H. (1999) Linear models: least-squares and alternatives. Springer, Berlin. Δερμάνης Α. (1987) Συνορθώσεις παρατηρήσεων & Θεωρία Εκτίμησης (τόμος ΙΙ). Εκδόσεις Ζήτη. βλέπε κεφάλαιο 8.6, σελ ΤΑΤΜ ΑΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων και Εφαρμογές (8 ο εξάμηνο) Χ. Κωτσάκης, 217
Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων
Διαβάστε περισσότεραΟδηγός λύσης θέματος 2
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 216-217 Οδηγός λύσης θέματος 2 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Τι προσπαθούμε να κάνουμε
Διαβάστε περισσότεραΟδηγός λύσης για το θέμα 2
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 218-219 Οδηγός λύσης για το θέμα 2 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Τι προσπαθούμε
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε παραμετρικές συνιστώσες
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2017-2018 Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε παραμετρικές συνιστώσες Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣύγκριση λύσεων δικτύου μέσω μετασχηματισμού συντεταγμένων
Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Σύγκριση λύσεων δικτύου μέσω μετασχηματισμού συντεταγμένων Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Έστω
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 2: Ανασκόπηση θεωρίας εκτίμησης παραμέτρων και συνόρθωσης παρατηρήσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣύγκριση λύσεων δικτύου μέσω μετασχηματισμού συντεταγμένων
Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου Σύγκριση λύσεων δικτύου μέσω μετασχηματισμού συντεταγμένων Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Έστω ότι έχουμε διαθέσιμες
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος
Διαβάστε περισσότεραΠαρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Η
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 16-17 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΗ έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2018-2019 Η έννοια και χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 18-19 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα ανάλυσης ακρίβειας συντεταγμένων από συνορθώσεις δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 06-07 Παραδείγματα ανάλυσης ακρίβειας συντεταγμένων από συνορθώσεις δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική
Διαβάστε περισσότεραΣύντομος οδηγός του μαθήματος
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Σύντομος οδηγός του μαθήματος Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Γενικές πληροφορίες
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ακρίβειας συντεταγμένων από διαφορετικά σενάρια συνόρθωσης δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 08-09 Ανάλυση ακρίβειας συντεταγμένων από διαφορετικά σενάρια συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος 017-018 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 216-217 Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Οριζόντιο
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 016-017 Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Οριζόντιο
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 218-219 Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Οριζόντιο
Διαβάστε περισσότεραΜερικά διδακτικά παραδείγματα
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 207-208 Μερικά διδακτικά παραδείγματα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Σημείωση Τα παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΜερικά διδακτικά παραδείγματα
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 206-207 Μερικά διδακτικά παραδείγματα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα Παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου (και όχι μόνο..) Χ. Κωτσάκης ΤΑΤΜ ΑΠΘ Ιούλιος 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Βασικές σχέσεις.3 Γραμμική vs. μη-γραμμική προσέγγιση του
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΣυνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2017-2018 Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,
Διαβάστε περισσότεραΠερί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ένα
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα συνόρθωσης υψομετρικού δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Παράδειγμα συνόρθωσης υψομετρικού δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίνεται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Επιλέξτε μία σωστή απάντηση σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα. 1) Η χρήση απόλυτων δεσμεύσεων για την συνόρθωση ενός τοπογραφικού
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 9: Η έννοια και η χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Επιλέξτε μία σωστή απάντηση σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα. 1) Η χρήση απόλυτων δεσμεύσεων για τη συνόρθωση ενός τοπογραφικού
Διαβάστε περισσότεραΠερί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2018-2019 Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ένα
Διαβάστε περισσότεραΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ
ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου (και όχι μόνο..) Χ. Κωτσάκης ΤΑΤΜ ΑΠΘ Ιούλιος 2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Βασικές σχέσεις.3 Γραμμική vs. μη-γραμμική προσέγγιση του
Διαβάστε περισσότεραΣύντομη σύγκριση μεθόδων ένταξης δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Σύντομη σύγκριση μεθόδων ένταξης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Bασικές
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Μου
Διαβάστε περισσότεραΣύντομος οδηγός του μαθήματος
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2018-2019 Σύντομος οδηγός του μαθήματος Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Γενικές πληροφορίες
Διαβάστε περισσότεραΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ
ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,
Διαβάστε περισσότεραΣύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ SUPPLEMENTARY COURSE NOTES Για περισσότερες λεπτομέρειες
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Εισαγωγή Μου τη
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο
Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας
Διαβάστε περισσότεραΟδηγός λύσης θέματος 1
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Οδηγός λύσης θέματος 1 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Αρχείο δεδομένων (DataSet1.txt)
Διαβάστε περισσότεραΟδηγός λύσης θέματος 4
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 217-218 Οδηγός λύσης θέματος 4 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Τι προσπαθούμε να
Διαβάστε περισσότεραΣχηματισμός κανονικών εξισώσεων δικτύου και το πρόβλημα ορισμού του συστήματος αναφοράς
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Σχηματισμός κανονικών εξισώσεων δικτύου και το πρόβλημα ορισμού του συστήματος αναφοράς Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και
Διαβάστε περισσότεραHMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων
HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Γραμμική παλινδρόμηση (Linear regression) Εμπειρική συνάρτηση μεταφοράς Ομαλοποίηση (smoothing) Y ( ) ( ) ω G ω = U ( ω) ω +Δ ω γ ω Δω = ω +Δω W ( ξ ω ) U ( ξ) G(
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 11: Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΠρο-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,
Διαβάστε περισσότεραΟδηγός λύσης θέματος 3
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 216-217 Οδηγός λύσης θέματος 3 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ ανά 5 λεπτά ανά 1 λεπτό
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο
ΛΥΣΕΙΣ ΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση (α) Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P είναι: ˆ 358.47 m, ˆ 4.46 m (β) Η a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα δημιουργίας συστήματος εξισώσεων παρατηρήσεων & πίνακα βάρους σε οριζόντιο δίκτυο
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Παράδειγμα δημιουργίας συστήματος εξισώσεων παρατηρήσεων & πίνακα βάρους σε οριζόντιο δίκτυο Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων
Διαβάστε περισσότεραΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ
ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 8: Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραAΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο
AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 1 Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ενός σημείου P μετρήθηκαν οι οριζόντιες αποστάσεις προς τρία γνωστά σημεία (βλέπε σχήμα).
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1) Ποιός είναι ο βασικός ρόλος και η χρησιμότητα των δικτύων στη Γεωδαισία και την Τοπογραφία; 2) Αναφέρετε ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα δημιουργίας συστήματος εξισώσεων παρατηρήσεων & πίνακα βάρους σε οριζόντιο δίκτυο
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Παράδειγμα δημιουργίας συστήματος εξισώσεων παρατηρήσεων & πίνακα βάρους σε οριζόντιο δίκτυο Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων
Διαβάστε περισσότεραΓενική λύση συνόρθωσης δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Πως ξεπερνάμε το
Διαβάστε περισσότεραΠρο-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Διαβάστε περισσότεραΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)
ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr
Διαβάστε περισσότεραΕξισώσεις παρατηρήσεων στα τοπογραφικά δίκτυα
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Εξισώσεις παρατηρήσεων στα τοπογραφικά δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Διαβάστε περισσότεραΣυνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΦίλτρα Kalman. Αναλυτικές μέθοδοι στη Γεωπληροφορική. ιατύπωση του βασικού προβλήματος. προβλήματος. μοντέλο. Πρωτεύων μοντέλο
Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους με βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Η συγγραμμικότητα (collinearity) ή πολυσυγγραμμικότητα (multicollinearity) είναι εκείνη η ανεπιθύμητη κατάσταση (εμφανίζεται στην πολυμεταβλητή παλινδρόμηση) όπου μία ανεξάρτητη
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 017-018 Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ. Άσκηση. γραμμάτων του επιθέτου σας (π.χ. για το επίθετο Κοσματόπουλος, οι αριθμοί α ι θα είναι a
Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Άσκηση Θεωρείστε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: Y ( s) a s 4 3 a3s a U ( s) s a όπου οι αριθμοί α ι αντιστοιχούν στους αντίστοιχους αριθμούς των 4 πρώτων γραμμάτων του
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 5: Προ επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραAΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο
AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 10 Σε ένα κατακόρυφο δίκτυο έχουν μετρηθεί, μέσω διπλής γεωμετρικής χωροστάθμησης, οι υψομετρικές διαφορές μεταξύ όλων των σημείων
Διαβάστε περισσότεραΣυνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ
Διαβάστε περισσότεραΕισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της
Διαβάστε περισσότεραΣύντομος οδηγός του μαθήματος
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2015-2016 Σύντομος οδηγός του μαθήματος Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Γενικές πληροφορίες
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii
Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...
Διαβάστε περισσότεραπροβλήµατος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισµένα προβλήµατα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: παραµέτρων αγνώστων
Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους µε βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ)
ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική περιγραφή τουπεδίουβαρύτητας
Στατιστική περιγραφή τουπεδίουβαρύτητας ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Οι ανωµαλίες της βαρύτητας σε παγκόσµια κλίµακα θεωρούνται στατιστικά µεγέθη µε µέση τιµή µηδέν Τα στατιστικά χαρακτηριστικά
Διαβάστε περισσότεραΕπιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη)
Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη) Ασχολoύνται με την κατασκευή μαθηματικών μοντέλων και με τεχνικές ποσοτικής ανάλυσης και τη χρήση υπολογιστών για την ανάλυση και την επίλυση επιστημονικών
Διαβάστε περισσότεραΧρήση εναλλακτικών τεχνικών συνόρθωσης δικτύων μέσω στοχαστικών δεσμεύσεων και εκτίμησης συνιστωσών μεταβλητότητας αναφοράς
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στη Γεωπληροφορική Κατεύθυνση: Τοπογραφικές Εφαρμογές Υψηλής Ακρίβειας Χρήση
Διαβάστε περισσότεραΑυτοματοποιημένη χαρτογραφία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # 4: Ψηφιακός χάρτης - Διαχείριση 2o μέρος Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)
Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη
ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα
Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 2
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 2 Πάτρα 2008 Εμπειρικός προσδιορισμός συνάρτησης μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 6: Σχηματισμός κανονικών εξισώσεων και το πρόβλημα ορισμού του ΣΑ Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΣύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού
Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου Σύγκριση υψομετρικών τεχνικών στο δίκτυο Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Υψομετρικές τεχνικές στο δίκτυο του
Διαβάστε περισσότεραΠρο-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού
Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Προ-επεξεργασία, συνόρθωση και στατιστική ανάλυση δικτύων Μεταλλικού Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίκτυο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέχρι τώρα τα προβλήματα που δημιουργούνται από την παραβίαση των υποθέσεων που πρέπει να ισχύουν ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 7: Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική
Διαβάστε περισσότεραStochastic Signals Class Estimation Theory. Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory
Stochastic Signals Class Estimation Theory Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory 1 Τι ειναι «Εκτιμηση» (Estimation)? Γενικο Πλαισιο: Θεωρια και Πραξη Συμπερασματων
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ - Θεμελιώδεις έννοιες - Επισκόπηση ύλης - Χρήσιμες πληροφορίες ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα επιλογής
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία
ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα
Διαβάστε περισσότερα