Χρήση εναλλακτικών τεχνικών συνόρθωσης δικτύων μέσω στοχαστικών δεσμεύσεων και εκτίμησης συνιστωσών μεταβλητότητας αναφοράς

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στη Γεωπληροφορική Κατεύθυνση: Τοπογραφικές Εφαρμογές Υψηλής Ακρίβειας Χρήση εναλλακτικών τεχνικών συνόρθωσης δικτύων μέσω στοχαστικών δεσμεύσεων και εκτίμησης συνιστωσών μεταβλητότητας αναφοράς Επιβλέπων Καθηγητής Χριστόφορος Κωτσάκης Μεταπτυχιακός Φοιτητής: Γεώργιος Κ. Δημητριάδης Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 01

2

3 Περίληψη H παρούσα εργασία με τίτλο εκπονήθηκε ως Μεταπτυχιακή Εργασία στο πλαίσιο του Μεταπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών της Γεωπληροφορικής του τμήματος Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών του Α.Π.Θ. Σκοπός της εργασίας είναι στο πρώτο μέρος της, η παρουσίαση του μαθηματικού μοντέλου συνόρθωσης τοπογραφικών δικτύων εισάγοντας έναν ενιαίο συντελεστή βάρους για της δεσμεύσεις που ορίζουν το σύστημα αναφοράς του δικτύου, ο οποίος της «χαλαρώνει» τόσο ώστε να μην παρατηρείται μεγάλη παραμόρφωση στην εσωτερική γεωμετρία του που ορίζεται από της παρατηρήσεις. Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζεται ο αλγόριθμος υπολογισμού δύο μεταβλητοτήτων αναφοράς για τις δύο ανεξάρτητες ομάδες παρατηρήσεων και ψευδοπαρατηρήσεων, όπου ψευδοπαρατηρήσεις είναι η ομάδα των δεσμεύσεων με έναν πίνακα βάρους που ορίζεται από τον αντίστροφο πίνακα των συμμεταβλητοτήτων τους. Πιο συγκεκριμένα, στο 1 ο Κεφάλαιο της εργασίας γίνεται μια εισαγωγή στην έννοια των τοπογραφικών/ γεωδαιτικών δικτύων. Αναφέρονται βασικές έννοιες, όπως τι είναι το δίκτυο, πως προσδιορίζεται και μεθοδολογίες προσδιορίσμου. Επιπροσθέτως, αναφέρεται αναλυτικά ο σκοπός της συγκεκριμένης εργασίας καθώς και η δομή της. Στο ο Κεφάλαιο, παρουσιάζεται αναλυτικά το μαθηματικό υπόβαθρο της συνόρθωσης των δικτύων. Γίνεται αναφορά στο κριτήριο σχηματισμού των κανονικών εξισώσεων, με τον αλγόριθμο των οποίων επιλύεται το δίκτυο. Επιπροσθέτως, αναφέρεται η χρησιμότητα της εισαγωγής των δεσμεύσεων με τη χρήση των οποίων ορίζεται μία μοναδική λύση για το δίκτυο και «κλειδώνει» σε ένα Σύστημα Αναφοράς. Ακόμα, περιγράφονται τα είδη των δεσμεύσεων με τις απόλυτες ελάχιστες και πλεονάζουσες δεσμεύσεις και με την εισαγωγή ενός πίνακα βάρους ή ενός ενιαίου συντελεστή βάρους, τις δεσμεύσεις με βάρη ή «χαλαρές» δεσμεύσεις. Τέλος, παρουσιάζονται οι μαθηματικές σχέσεις του αλγορίθμου για την εκτίμηση των συνιστωσών μεταβλητότητας αναφοράς για την ομάδα των παρατηρήσεων και την ομάδα των δεσμεύσεων. Στο 3 ο Κεφάλαιο, γίνεται η εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με ενιαίο συντελεστή βάρους για τις δεσμεύσεις σε δύο δίκτυα. Το πρώτο δίκτυο είναι ένα οριζόντιο Τριπλευρικό δίκτυο μικρής έκτασης που βρίσκεται στο Μεταλλικό του Κιλκίς και το δεύτερο είναι ένα 3-Δ δίκτυο μετρημένο με δέκτες GPS, το οποίο εκτίνεται στο ανατολικό μέρος του Νομού Χαλκιδικής. Με την εφαρμογή του αλγορίθμου των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων, υπολογίζονται κάποιες ποσότητες, οι οποίες αναλύονται για την μελέτη της συμπεριφοράς της γεωμετρίας iii

4 του εκάστωτε δικτύου σε σχέση με την τιμή που παίρνει ο συντελεστής βάρους. Ακόμη, εξάγονται πληροφορίες για την ακρίβεια του δικτύου κάθε φορά. Στο 4 ο Κεφάλαιο γίνεται η εφαρμογή του αλγορίθμου για την εκτίμηση των δύο μεταβλητοτήτων αναφοράς δύο ανεξάρτητων ομάδων παρατηρήσεωνψευδοπαρατηρήσεων. Στη συγκεκριμένη περίπτωση πάλι γίνεται η εφαρμογή στα δύο δίκτυα που αναφέρθηκαν παραπάνω. Με την εκτίμηση των μεταβλητοτήτων αναφοράς υπολογίζονται και άλλες στατιστικές ποσότητες για τα σφάλματα των παρατηρήσεων και δεσμεύσεων για να κατανοηθεί καλύτερα η συμπεριφορά του αλγορίθμου. Τέλος, στο 5 ο Κεφάλαιο παρουσιάζονται τα συμπεράσματα από την ανάλυση και την εφαρμογή των μαθηματικών μοντέλων που προαναφέρθηκαν. Τα συμπεράσματα αφορούν τα αποτελέσματα των εφαρμογών και πως «συμπεριφέρεται» η γεωμετρία και η ακρίβεια του δικτύου σε διάφορα πειραματικά σενάρια. Επίσης, αναλύονται τα συμπεράσματα από την εφαρμογή του αλγορίθμου της εκτίμησης των δύο συνιστωσών μεταβλητότητας αναφοράς. Τέλος, γίνονται κάποιες προτάσεις για τη χρήση των συγκεκριμένων αλγορίθμων, καθώς επίσης και για χρήση τους σε μελλοντικές έρευνες. iv

5 Abstract The main objective of this Master s thesis is the study of alternative schemes for geodetic network adjustment through the use of stochastic datum constraints with simultaneous estimation of different variance components that are respectively associated with the network measurements and the datum-related constraints. The key advantage of such an approach is that it allows the use of all available reference stations for the reference frame fixation in a given network by taking into account the accuracy of their known coordinates through an appropriate weight matrix within the constrained normal equations system. In case that the accuracy level of the reference stations is considered unknown, a straightforward variance component estimation scheme may also be implemented in order to obtain an a posteriori estimate for the positioning accuracy of the reference stations on the basis of the available measurements in the underlying network. Our analysis considers also the case where the associated weight matrix of the datum constraints is not necessarily related to the actual accuracy level of the selected reference stations, but it corresponds to an empirical user choice aiming to the reduction of the geometrical distortion in the adjusted network. The mathematical formulation for the least squares network adjustment according to the aforementioned cases is presented in detail, along with the derivation of the corresponding error covariance matrices that will characterize the statistical accuracy of the adjusted network. A number of practical examples related to the adjustment of horizontal and three-dimensional networks are also provided to illustrate the theoretical findings of the present study. v

6

7 Ευχαριστίες Πρωτίστως, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Αναπληρωτή Καθηγητή και επιβλέποντα της μεταπτυχιακής εργασίας Χριστόφορο Κωτσάκη, τόσο που μου εμπιστεύτηκε την ανάθεση του θέματος, όσο και για την στήριξη του και τις πολύτιμες συμβουλές του που ήταν καθοριστικές για την έκβαση της εργασίας, καθώς επίσης και για τη γενικότερη συμβολή του καθ όλη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών. Επιπροσθέτως, θα ήθελα να ευχαριστήσω τα μέλη της εξεταστικής επιτροπής, τον Καθηγητή Δημήτριο Ρωσσικόπουλο και τον Αναπληρωτή Καθηγητή Χρήστο Πικριδά για τη συμβολή τους στην ολοκλήρωση της εργασίας. Ευχαριστίες στον φίλο κ. Δημήτριο Αμπατζίδη, διδάκτωρ του τμήματος Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών, για τη στήριξη και βοήθεια του καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Όπως επίσης και τους φίλους και συναδέλφους Ευάγγελο Φασνάκη, Μαρία Αζά, Νικόλαο Ασλανίδη, Σταύρο Σιδηρόπουλο, Αναστάσιο Μαραβέλια και Ελένη Σαλαπάνη για την συμπαράσταση τους κατά τη διάρκεια των προπτυχιακών και μεταπτυχιακών σπουδών μου. Τέλος, ένα πολύ μεγάλο ευχαριστώ στους γονείς μου, οι οποίοι με την βοήθεια, στήριξη και συμπαράστασή τους όλα αυτά τα χρόνια, κατάφεραν να με βοηθήσουν να φτάσω στο σημείο που είμαι τώρα και χάρις αυτούς κατάφερα να ολοκληρώσω τις προπτυχιακές και μεταπτυχιακές μου σπουδές επιτυχώς. Γεώργιος Κ. Δημητριάδης Δεκέμβριος, 01 vii

8

9 Περιεχόμενα Περίληψη... iii Abstract... v Ευχαριστίες... vii Περιεχόμενα... ix Συμβολισμοί & Συντομογραφίες... xiii Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Σκοπός Εργασίας Δομή Εργασίας... 3 Κεφάλαιο Συνόρθωση δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων Εισαγωγή Σχηματισμός των εξισώσεων παρατηρήσεων Σχηματισμός των κανονικών εξισώσεων για την επίλυση του δικτύου Εισαγωγή απόλυτων δεσμεύσεων Ελάχιστες δεσμεύσεων Πλεονάζουσες δεσμεύσεις Εισαγωγή δεσμεύσεων με βάρη Γενικευμένες κανονικές εξισώσεις με χρήση πίνακα βάρους W για τις δεσμεύσεις Αντικατάσταση του πίνακα βάρους των δεσμεύσεων W με έναν εννιαίο συντελεστή βάρους k Εκτίμηση δύο συνιστωσών μεταβλητότητας αναφοράς Re-scaling του πίνακα συμμεταβλητοτήτων των άγνωστων παραμέτρων Cˆx ix

10 Κεφάλαιο 3 Εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με χρήση ενιαίου συντελεστή βάρους k για τον ορισμό του Συστήματος Αναφοράς του δικτύου Εισαγωγή Τριπλευρικό Οριζόντιο Δίκτυο Μέθοδοι Μετρήσεων & Προεπεξεργασία των Παρατηρήσεων του Τριπλευρικού Δικτύου Εφαρμογή πειραμάτων και μελέτη της παραμόρφωσης της γεωμετρίας του Τριπλευρικού Δικτύου Αξιολόγηση της ακρίβειας των συντεταγμένων του Τριπλευρικού Δικτύου Re-scaling του πίνακα συμμεταβλητοτήτων C των συντεταγμένων του ˆx Τριπλευρικού οριζόντιου δικτύου Δίκτυο GPS Προεπεξεργασία Μετρήσεων Εφαρμογή πειραμάτων και μελέτη της παραμόρφωσης της γεωμετρίας του 3-Δ Δικτύου GPS Αποτελέσματα πειραμάτων με τη χρήση των προσεγγιστικών συντεταγμένων που προέκυψαν από το LGO Αποτελέσματα πειραμάτων με τη χρήση των χειρότερης ακρίβειας προσεγγιστικών συντεταγμένων Αξιολόγηση της ακρίβειας των συντεταγμένων του 3-Δ Δικτύου GPS Re-scaling του πίνακα συμμεταβλητοτήτων C των συντεταγμένων του 3- ˆx Δ δικτύου GPS με τη χρήση των «καλών» δεσμεύσεων Re-scaling του πίνακα συμμεταβλητοτήτων C των συντεταγμένων του 3- ˆx Δ δικτύου GPS με τη χρήση των «χειρότερης» ακρίβειας δεσμεύσεων Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή των εξισώσεων για την εκτίμηση δύο συνιστωσών μεταβλητότητας Εισαγωγή Εφαρμογή της εκτίμησης των δύο συνιστωσών μεταβλητοτήτων στο Τριπλευρικό δίκτυο Εφαρμογή της εκτίμησης των δύο συνιστωσών μεταβλητοτήτων στο 3-Δ δίκτυο GPS... 6 x

11 4.3.1 Αποτελέσματα εφαρμογής εκτιμήσεως των δύο μεταβλητοτήτων αναφοράς για το 3-Δ δίκτυο GPS με τις πλεονάζουσες δεσμεύσεις που προέκυψαν από το LGO Αποτελέσματα εφαρμογής εκτιμήσεως των δύο μεταβλητοτήτων αναφοράς για το 3-Δ δίκτυο GPS με τις «χειρότερης» ακρίβειας πλεονάζουσες δεσμεύσεις Κεφάλαιο 5 Συμπεράσματα και Προτάσεις Τελικά Συμπεράσματα από την εφαρμογή των αλγορίθμων Προτάσεις Βιβλιογραφία xi

12

13 Συμβολισμοί & Συντομογραφίες Συμβολισμοί Δείκτες: a b o «αληθινές» τιμές παρατηρήσεις προσεγγιστικές τιμές ˆ κατά εκτίμηση τιμές τιμές που αφορούν τις δεσμεύσεις a x i άγνωστη παράμετρος o x i προσεγγιστική τιμή άγνωστης παραμέτρου x x x διόρθωση της προσεγγιστικής τιμής a o i i i a y i c i παρατηρούμενο μέγεθος δέσμευση συνόρθωσης v i σφάλμα της μέτρησης v i σφάλμα της δέσμευσης y y v παρατήρηση (επηρεασμένο από σφάλμα εξαγόμενο μέτρησης) b a i i i o y i προσεγγιστική τιμή παρατήρησης b y y ανηγμένη παρατήρηση b o i i i n m αριθμός παρατηρήσεων αριθμός αγνώστων παραμέτρων αριθμός δεσμεύσεων xiii

14 Συντομογραφίες -Δ: 3-Δ: Α.Π.Δ.: GNSS: GPS: ΓΥΣ: E.Δ.: EUREF: IGS: ITRF: LGO: RMS: Δισδιάστατο Τρισδιάστατο Απόλυτες Πλεονάζουσες Δεσμεύσεις Global Navigation Satellite System Global Positioning System Γεωγραφική Υπηρεσία Στρατού Ελάχιστες Δεσμεύσεις European Reference Frame International GNSS Service International Terrestrial Reference Frame Leica Geo Office Root Mean Square xiv

15 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Βασικές Έννοιες Όπως είναι γνωστό, αντικείμενο της γεωδαισίας και της τοπογραφίας είναι η εξαγωγή πληροφοριών, οι οποίες σχετίζονται με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του χώρου είτε σε μεγάλο είτε σε μικρό εύρος, μέσω του καθορισμού της θέσης ενός συνόλου χαρακτηριστικών σημείων. Η θέση των σημείων εκφράζεται αναλυτικά από τις τιμές των συντεταγμένων σε σχέση με ένα επιλεγμένο σύστημα αναφοράς, έτσι γίνεται ευκολότερη η πρόσβαση στο συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς. Το σύνολο των σημείων αυτών αποτελούν τις κορυφές ενός γεωδαιτικού ή τοπογραφικού δικτύου. «Γεωδαιτικό ή τοπογραφικό δίκτυο ονομάζεται ένα σύνολο σημείων, με συγκεκριμένες θέσεις πάνω στην επιφάνεια της γης, τα οποία ενώνονται μεταξύ τους με παρατηρήσεις και χρησιμεύουν για την εξαγωγή πληροφοριών σχετικών με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του γήινου χώρου ή με το γήινο πεδίο βαρύτητας, από τις συγκεκριμένες παρατηρήσεις». (Ρωσσικόπουλος 1999) Η ίδρυση ενός δικτύου γίνεται είτε με κλασσικές παρατηρήσεις, όπως είναι οι οριζόντιες διευθύνσεις και οι αποστάσεις, είτε με τη χρήση των σύγχρονων δορυφορικών και διαστημικών μεθόδων, όπως είναι το δορυφορικό σύστημα GPS. Η χρήση των νέων τεχνολογικών αυτών επιτευγμάτων έχει διευρυνθεί τα τελευταία χρόνια, λόγω της γρήγορης, εύκολης και πλέον χαμηλού κόστους διαδικασίας μετρήσεων (Φωτίου 007). Είτε όμως οι παρατηρήσεις προέρχονται από κλασσικές μεθόδους μετρήσεων, είτε από πιο σύγχρονες μεθόδους είναι επηρεασμένες από σφάλματα τα οποία επηρεάζουν και τις τελικές παραμέτρους που καθορίζουν το δίκτυο. Για να ελαχιστοποιηθεί η επίδραση των σφαλμάτων είναι απαραίτητη η ανάλυση των εξαγομένων των μετρήσεων με μία διαδικασία που είναι γνωστή ως συνόρθωση των παρατηρήσεων. (Βλάχος & Δερμάνης 1983) Το μαθηματικό μοντέλο για τη συνόρθωση των δικτύων είναι οι εξισώσεις παρατηρήσεων, το οποίο είναι μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των παρατηρούμενων παραμέτρων και συντεταγμένων των κορυφών του δικτύου που πρόκειται να προσδιορισθούν. Η συνόρθωση γίνεται αποκλειστικά με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων βασισμένη στο κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων. Το στοχαστικό μοντέλο των τυχαίων σφαλμάτων ή των παρατηρήσεων συμπληρώνει το μαθηματικό 1

16 Εισαγωγή μοντέλο, καθώς είναι απαραίτητο για την εκτίμηση της ποιότητας των αποτελεσμάτων. (Φωτίου 007) Οι παρατηρήσεις που γίνονται, είτε είναι από κλασσικές μεθόδους είτε από μετρήσεις GPS, για τον καθορισμό του δικτύου, δίνουν πληροφορίες για το σχήμα και το μέγεθος του δικτύου, αλλά τυγχάνουν έλλειψης πληροφοριών για το σύστημα αναφοράς. Για το λόγο αυτό επιβάλλεται η εισαγωγή εξωτερικών συνθηκών, οι οποίες θα προσδιορίζουν με μοναδικό τρόπο το σύστημα αναφοράς. Οι εξωτερικές συνθήκες εισάγονται στον αλγόριθμο επίλυσης του δικτύου με τη μορφή δεσμεύσεων. Ο αριθμός των δεσμεύσεων είναι είτε ο ελάχιστος αριθμός, έτσι ώστε το δίκτυο να εξαρτηθεί από ένα πλαίσιο αναφοράς χωρίς κάποια παραμόρφωση στην εσωτερική γεωμετρία του, είτε μπορεί να είναι το πλήθος τους μεγαλύτερο από τον αριθμό των συντεταγμένων που χρειάζεται για να οριστεί το σύστημα αναφοράς και σε αυτή την περίπτωση οι δεσμεύσεις επιδρούν στο σχήμα, στο μέγεθος και προσανατολισμό του δικτύου όπως και στα σφάλματα των παρατηρήσεων. Σε αυτές τις περιπτώσεις ανάλογα με το πλήθος των δεσμεύσεων λέγεται ότι γίνεται συνόρθωση με ελάχιστες ή πλεονάζουσες δεσμεύσεις. (Kotsakis 01, Φωτίου 007, Schwarz 1994) Οι συντεταγμένες των σημείων που χρησιμοποιούνται ως δεσμεύσεις στη συνόρθωση, συνήθως είναι σημεία δικτύων ίδιας ή ανώτερης τάξης από το δίκτυο που εγκαθιδρύουμε, τα οποία μπορεί να είναι κρατικά δίκτυα, όπως το δίκτυο της ΓΥΣ ή μπορεί να είναι και δίκτυα οργανισμών όπως είναι το ευρωπαϊκό δίκτυο μόνιμων σταθμών GPS του EUREF. Συνήθως, οι συγκεκριμένες συντεταγμένες των σημείων αυτών θεωρούνται απολύτως γνωστές και στη διαδικασία της συνόρθωσης εισάγονται χωρίς καμία αβεβαιότητα. Όμως, κάποια δίκτυα λόγω του ότι μετρήθηκαν αρκετά χρόνια πριν και με μεθόδους ή όργανα που πλέον θεωρούνται απαρχαιωμένα και όχι τόσο ακριβείς, η αβεβαιότητα της θέσης των σημείων πλέον είναι μεγάλη. Οπότε η συνεισφορά της πληροφορίας των δεσμεύσεων αυτών στην επίλυση των δικτύων θα πρέπει να είναι ανάλογη με την αβεβαιότητα τους και τέτοια ώστε να μην χαλάνε την καλή εσωτερική ακρίβεια του δικτύου που μετρήθηκε με πιο σύγχρονες και ακριβέστερες μεθόδους. 1. Σκοπός Εργασίας Η παρούσα εργασία έχεις ως σκοπό την μελέτη της εισαγωγής ενός ενιαίου συντελεστή βάρους, ο οποίος με την εισαγωγή του στον αλγόριθμο της συνόρθωσης «χαλαρώνει» τις πλεονάζουσες δεσμεύσεις, ανάλογα με την τιμή που παίρνει, έτσι ώστε να μην παραμορφώνεται η καλή εσωτερική γεωμετρία του δικτύου που μετρήθηκε με πιο σύγχρονα όργανα, από τις ενδεχομένως κακής ακρίβειας συντεταγμένες τους.

17 Κεφάλαιο 1 Εκτός από την παρουσίαση του μαθηματικού μοντέλου με τις ιδιότητες που το διέπουν στο επόμενο Κεφάλαιο γίνεται και η εφαρμογή κάποιων πειραμάτων σε δύο δίκτυα, ένα μικρής έκτασης στο Μεταλλικό του Κιλκίς με παρατηρήσεις αποστάσεων και μικρό αριθμό βαθμών ελευθερίας (Ασλανίδης, Δημητριάδης, Μαραβέλιας & Φασνάκης 010) και ένα μεγαλύτερης έκτασης, μετρημένο με δέκτες GPS και με αρκετά μεγαλύτερο αριθμό βαθμών ελευθερίας (Ασλανίδης, Δημητριάδης, Κατσαδούρου, Κολυβάκη & Νατσιόπουλος 010). Στις συγκεκριμένες εφαρμογές εξετάζεται η συμπεριφορά των σφαλμάτων των παρατηρήσεων και άλλων ποιοτικών χαρακτηριστικών των δικτύων με την εφαρμογή του ενιαίου συντελεστή βάρους, ο οποίος παίρνει ένα μεγάλο εύρος τιμών. Επιπροσθέτως, στην παρούσα εργασία μελετώνται και οι μαθηματικές σχέσεις που δίνουν τις εκτιμήσεις των μεταβλητοτήτων αναφοράς για την ομάδα των παρατηρήσεων και την ομάδα των δεσμεύσεων με βάρη, οι οποίες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Σε αυτήν την περίπτωση oι σχέσεις αυτές εφαρμόζονται στα δύο προαναφερθέντα δίκτυα. 1.3 Δομή Εργασίας Η εργασία αποτελείται από 5 επιμέρους κεφάλαια. Το ο Κεφάλαιο γίνεται αναλυτική αναφορά στη συνόρθωση με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και στην επίλυση δικτύων των κανονικών εξισώσεων με απόλυτες ελάχιστες και πλεονάζουσες δεσμεύσεις και με δεσμεύσεις με βάρη. Επίσης, στο ίδιο Κεφάλαιο, δίνεται ο αλγόριθμος για την εκτίμηση δύο συνιστωσών μεταβλητοτήτων που αντιστοιχούν στις δύο ανεξάρτητες ομάδες, παρατηρήσεων και δεσμεύσεων. Στο 3 ο Κεφάλαιο παραθέτονται τα αποτελέσματα από την εφαρμογή του γενικευμένου αλγορίθμου επίλυσης των κανονικών εξισώσεων με τον ενιαίο συντελεστή βάρους και παρατηρείται η συμπεριφορά των δύο δικτύων, στα οποία γίνεται η εφαρμογή, για διάφορα σενάρια. Στο 4 ο Κεφάλαιο δίνονται τα αποτελέσματα από την εφαρμογή των σχέσεων για την εκτίμηση των δύο μεταβλητοτήτων αναφοράς. Τέλος, στο 5 ο Κεφάλαιο περιγράφονται τα συμπεράσματα τις εργασίας, όπως επίσης και προτάσεις για εφαρμογή και μελλοντική έρευνα. 3

18

19 Κεφάλαιο Συνόρθωση δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων.1 Εισαγωγή Στο παρών Κεφάλαιο αναφέρονται τα κριτήρια και τα μαθηματικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται στις τοπογραφικές και γεωδαιτικές εφαρμογές, με τα οποία παίρνουμε τα βέλτιστα αποτελέσματα. Παρουσιάζεται το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων, όπως επίσης και η εισαγωγή των δεσμεύσεων για τον ορισμό του συστήματος αναφοράς. Γίνεται ανάλυση των μαθηματικών σχέσεων με την εισαγωγή ελάχιστων και πλεοναζουσών δεσμεύσεων, οι οποίες θεωρούνται απόλυτες, και την εισαγωγή δεσμεύσεων με βάρη. Τέλος, παρουσιάζονται οι σχέσεις για την εκτίμηση δύο συνιστωσών μεταβλητοτήτων που αντιστοιχούν σε δύο ανεξάρτητες ομάδες «παρατηρήσεων», όπου στην περίπτωση αυτή είναι οι παρατηρήσεις του δικτύου και οι «ψευδοπαρατηρήσεις» - δεσμεύσεις του.. Σχηματισμός των εξισώσεων παρατηρήσεων Οι εξισώσεις παρατηρήσεων είναι η πιο απλή και άμεση μορφή μαθηματικού μοντέλου σε προβλήματα συνόρθωσης. Στην εφαρμογή της μεθόδου οι παρατηρήσεις εκφράζονται ως γνωστή συνάρτηση των άγνωστων παραμέτρων, όπως είναι οι συντεταγμένες σημείων ενός δικτύου. Συνήθως, το μαθηματικό μοντέλο είναι μη γραμμικό και για την εφαρμογή της συνόρθωσης με βάση το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων απαιτείται η γραμμικοποίησή του ως προς τις άγνωστες παραμέτρους (Δερμάνης, Φωτίου 1995 & Φωτίου 007). Το πλήθος των άγνωστων παραμέτρων είναι ίσο με τον παραμετρικό βαθμό r του συστήματος, δηλαδή των ελάχιστο αριθμό παρατηρήσεων που χρειάζεται, για να εξαχθεί μία μοναδική λύση των αγνώστων παραμέτρων. Για ύπαρξη προβλήματος συνόρθωσης, απαιτείται ένας πλεονασμός παρατηρήσεων, δηλαδή περισσότερες παρατηρήσεις από ότι χρειάζεται. 5

20 Συνόρθωση δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων «Ο αριθμός των πλεοναζουσών παρατηρήσεων ονομάζεται βαθμοί ελευθερίας.» (Ρωσσικόπουλος 1999) Η αρχική μορφή του μαθηματικού μοντέλου σε μορφή πινάκων είναι: y f x (.1) όπου, y y1 y y T n είναι οι αληθινές άγνωστες τιμές των παρατηρούμενων παραμέτρων πλήθους n, x x1 x x m παράμετροι πλήθους m, και ισχύει n > m. T οι άγνωστες Από τις μετρήσεις έχουν προκύψει οι n γνωστές παρατηρήσεις y y y y T, οι οποίες διαφέρουν από τις αληθινές τιμές b b b b 1 n άγνωστων σφαλμάτων v v1 v v n T, οπότε έχουμε την σχέση: y λόγω των b y y v (.) Οπότε από την (.1) και τη (.) προκύπτουν οι εξισώσεις παρατηρήσεων: b a y f( x ) v (.3) Συνήθως, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι εξισώσεις της μορφής (.3) δεν είναι γραμμικές. Οπότε, για να πραγματοποιηθεί η συνόρθωση, πρέπει να γραμμικοποιηθεί. Οι μη γραμμικές εξισώσεις (.1) αναπτύσσονται σε σειρά Taylor, με τη βοήθεια των προσεγγιστικών τιμών των άγνωστων παραμέτρων T x1 x x m x που βρίσκονται κοντά στις αντίστοιχες αληθινές τιμές. Έτσι προκύπτουν οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις: y y f ( x ) x x x o o (.4) T o o o o όπου, f( x ) y y1 y y n οι προσεγγιστικές παρατηρήσεις υπολογισμένες με βάση τις προσεγγιστικές τιμές x των άγνωστων παραμέτρων. Η εξίσωση (.) με βάση τη (.4) γράφεται: 6

21 Κεφάλαιο y y y x x v b o o x o y y y x x v b o o x o (.5) (.6) Θέτωντας: b o b y y, a o x x x, y Α x o (.7) Προκύπτει το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: b Ax v (.8) Όπου, b ο πίνακας ανηγμένων παρατηρήσεων, x οι άγνωστες διορθώσεις των προσεγγιστικών τιμών των άγνωστων παραμέτρων σχεδιασμού που υπολογίζεται με βάση τις 1995) & (Φωτίου 007) a x και Α ο n m πίνακας x. (Δερμάνης 1987), (Δερμάνης, Φωτίου.3 Σχηματισμός των κανονικών εξισώσεων για την επίλυση του δικτύου Ανάμεσα σε διάφορα κριτήρια ελαχιστοποίησης των σφαλμάτων, εκείνο που παρουσιάζει περισσότερα πλεονεκτήματα και χρησιμοποιείται στις τοπογραφικές και γεωδαιτικές εφαρμογές είναι το κριτήριο των ελάχιστων τετραγώνων. Η σχέση που ικανοποιεί το κριτήριο είναι η εξής: n 1 1 n n i i i1 p v p v p v p v min (.9) Όπου τα στοιχεία pi είναι τα διαγώνια στοιχεία ενός πίνακα βάρους P, θετικά ορισμένου, και ονομάζονται βάρη των αντίστοιχων παρατηρήσεων b i. Στην περίπτωση που όλες οι παρατηρήσεις έχουν την ίδια φυσική διάσταση και έχουν πραγματοποιηθεί με την ίδια ακρίβεια, τα βάρη λαμβάνονται ίσα με τη μονάδα, p 1, οπότε και ο πίνακας βάρους είναι μοναδιαίος i P Ι. Οπότε η γενικότερη μορφή του κριτηρίου σε μορφή πινάκων δίνεται από τη σχέση: T v Pv min (.10) 7

22 Συνόρθωση δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων Το βάρος των παρατηρήσεων συνδέονται με τις ακρίβειές τους, όπου οι ακρίβειες αυτές περιγράφονται από τους αντίστοιχους πίνακες συμμεταβλητότητας. Για τα σφάλματα των παρατηρήσεων v θεωρούμε ότι ισχύει: E 0 v και Evv T C, όπου C ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων. Οι ανεπηρέαστες γραμμικές εκτιμήσεις είναι βέλτιστες, δηλαδή έχουν τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια όταν ο πίνακας βάρους ληφθεί ίσος με τον αντίστροφο του πίνακα συμμεταβλητοτήτων των σφαλμάτων. (Φωτίου 007) 1 P C (.11) «Με τον όρο ανεπηρέαστη εκτίμηση σημαίνει ότι η προσδοκία μιας εκτίμησης παραμέτρου, που αντιστοιχεί τώρα σε τυχαία μεταβλητή, ισούται με την αληθινή της τιμή, όταν οι μετρήσεις επαναληφθούν άπειρες φορές.» (Δερμάνης, Ρωσσικόπουλος, Φωτίου 1995) Στις τοπογραφικές εφαρμογές συνήθως ο πίνακας C δεν είναι απόλυτα γνωστός. Στην περίπτωση του στοχαστικού μοντέλου Gauss Markov, για τον πίνακα συμμεταβλητοτήτων ισχύει: C Q (.1) όπου Q είναι ο γνωστός πίνακας των συντελεστών των μεταβλητοτήτων και είναι ένας άγνωστος συντελεστής μεταβλητότητας αναφοράς. Ο πίνακας βάρους μπορεί να προκύψει από την αντιστροφή του πίνακα Q (Φωτίου 007): 1 P Q (.13) Μπορούμε για τη μεταβλητότητα αναφοράς να θεωρήσουμε μία αρχική εκτίμηση της ποσότητας που την ονομάζουμε a-priori μεταβλητότητα, δηλαδή εκ των προτέρων μεταβλητότητα. Ο πίνακας βάρους μπορεί να χρησιμοποιηθεί είτε αυτός από τη σχέση (.13), είτε από την σχέση που ακολουθεί: 1 1 P Q (.14) Η εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς, που ονομάζεται και a-posteriori (εκ των υστέρων), δίνεται από τη σχέση: T ˆ ˆ ˆ v Pv f (.15) όπου, f=n-m οι βαθμοί ελευθερίας, που εκφράζουν την πλεονάζουσα πληροφορία. 8

23 Κεφάλαιο Επιστρέφοντας, από τις εξισώσεις (.8) και (.10), προκύπτει η σχέση (Δερμάνης 1987): b T Pb b T PAx x T A T PAx min (.16) Όπου μηδενίζοντας τη μερική παράγωγο του φ ως προς x έχουμε: ( xˆ) b T PA xˆ T A T PA 0 x (.17) Καταλήγουμε στο σύστημα των κανονικών εξισώσεων, το οποίο είναι (Δερμάνης 1987), (Δερμάνης, Φωτίου 1995), (Δερμάνης,Ρωσσικόπουλος, Φωτίου 1995), (Ρωσσικόπουλος 1999) : T T A PAxˆ A Pb (.18) Θέτοντας όπου N T A PA και u T A Pb, προκύπτει: Nxˆ u (.19) Οπότε οι διορθώσεις των άγνωστων παραμέτρων προκύπτουν από τη σχέση: ˆ 1 x N u (.0) Ο πίνακας N παρουσιάζει, για τη συνόρθωση δικτύων, το πρόβλημα ότι δεν αντιστρέφεται καθώς για την ορίζουσά του ισχύει det( N ) 0. Αυτό σημαίνει ότι το κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων (.10) ικανοποιείται από έναν άπειρο αριθμό λύσεων. Η αδυναμία βαθμού που παρουσιάζει ο πίνακας N οφείλεται στο ότι οι παρατηρήσεις φέρουν την πληροφορία που καθορίζει το σχήμα ή το σχήμα και το μέγεθος, αλλά δε φέρουν πληροφορία για τον ορισμό του συστήματος αναφοράς του δικτύου. Για τη εξάλειψη του προβλήματος αυτού εισάγονται δεσμεύσεις με τη μορφή «συνθηκών» που περιέχουν πληροφορίες για κάποιες συντεταγμένες του δικτύου, έτσι ώστε το δίκτυο να δεσμευτεί σε ένα σύστημα αναφοράς..4 Εισαγωγή απόλυτων δεσμεύσεων Όπως αναφέρθηκε στην παραπάνω παράγραφο, για να πραγματοποιηθεί η συνόρθωση με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων, έχοντας σαν συντεταγμένες τις άγνωστες παραμέτρους, πρέπει οι συντεταγμένες να αποκτήσουν φυσική 9

24 Συνόρθωση δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων οντότητα, δηλαδή να οριστεί το σύστημα αναφοράς. Για τον καθορισμό μίας μοναδικής λύσης για την εξίσωση (.0) εισάγονται οι δεσμεύσεις με τη μορφή «συνθηκών» ανάμεσα στις άγνωστες συντεταγμένες..4.1 Ελάχιστες δεσμεύσεων Ανάλογα με το είδος των παρατηρήσεων που μετρήθηκε το δίκτυο (π.χ. διευθύνσεις, αποστάσεις κλπ.), καθορίζεται και ο ελάχιστος αριθμός των δεσμεύσεων που απαιτείται, για να εξαρτηθεί το δίκτυο στο σύστημα αναφοράς. Για παράδειγμα αν από τις παρατηρήσεις ορίζεται το σχήμα ενός οριζόντιου -Δ δικτύου, δηλαδή έχουν πραγματοποιηθεί αποκλειστικά παρατηρήσεις διευθύνσεων, απαιτούνται 4 δεσμεύσεις, στην περίπτωση που οι παρατηρήσεις ορίζουν και την κλίμακα απαιτούνται 3 δεσμεύσεις, δηλαδή οι συντεταγμένες (x, y) ενός σημείου του και η τεταγμένη ή η τετμημένη ενός άλλου. «Οι δεσμεύσεις αυτές που δεν αλλοιώνουν τα χαρακτηριστικά του δικτύου (σχήμα και μέγεθος ή μόνο το σχήμα) που ορίζονται από τις παρατηρήσεις ονομάζονται ελάχιστες δεσμεύσεις και το πλήθος τους είναι ίσο με την αδυναμία βαθμού του δικτύου.» (Ρωσσικόπουλος 1999) Η λύση των ελάχιστων δεσμεύσεων ενός δικτύου συνδέεται με μία ομάδα k γραμμικών ανεξάρτητων εξισώσεων ( k mrankn, όπου m o αριθμός των συντεταγμένων όλων των σημείων): Hx c (.1) Ο πίνακας H είναι ο πίνακας σχεδιασμού διαστάσεων m, ο οποίος είναι πλήρη βαθμού σειρών και ικανοποιεί τη σχέση: rank N rankn rankh ( m ) m H (.) και ισούται: H I 0 (.3) Ο πίνακας c είναι το διάνυσμα κ διαστάσεων το οποίο ισούται: o c x Hx (.4) 10

25 Κεφάλαιο όπου, x είναι οι τιμές των συντεταγμένων όπου κρατούνται σταθερές και προσεγγιστικές τιμές των συντεταγμένων των σημείων. (Kotsakis 01) o x οι Η εξίσωση των κανονικών εξισώσεων (.0), με τη συμμετοχή των παραπάνω δεσμεύσεων διαμορφώνεται στην εξής σχέση: T 1 T ˆ ( ) ( ) x N H H u H c (.5) Εφαρμόζοντας το Νόμο Μετάδοσης Σφαλμάτων (Δερμάνης 1986) στην εξίσωση (.5) παίρνουμε τον πίνακα συμμεταβλητοτήτων ο οποίος δίνεται από την εξίσωση: T 1 T 1 Cx ˆ ( N H H) N( N H H ) (.6) Επίσης, η λύση μπορεί να δοθεί και με την εξής σχέση: ˆ ( ) ( ) T 1 T T 1 x N H H u E HE c (.7) όπου Ε είναι ένας βοηθητικός πίνακας πλήρους βαθμού, ίσου με την αδυναμία βαθμού του δικτύου, ο οποίος ικανοποιεί την σχέση: EA T 0 (.8) Σε αυτήν την περίπτωση, ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων των παραμέτρων ˆx υπολογίζεται με τη βοήθεια της σχέσης: Cˆ ( T ) T ( T ) ( T ) x N H H E HE EH E (.9) Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, οι ελάχιστες δεσμεύσεις είναι οι δεσμεύσεις οι οποίες δεν παραμορφώνουν την εσωτερική γεωμετρία του δικτύου. Οι αναλλοίωτες ποσότητες σ ένα δίκτυο, οι οποίες είναι ανεξάρτητες από τον ορισμό του συστήματος αναφοράς είναι: 1. Οι εκτιμήσεις των σφαλμάτων ˆv και οι συνορθωμένες παρατηρήσεις y ˆ a. T. Η τιμή του κριτηρίου βελτιστοποίησης ˆ vˆ Pvˆ και η εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ˆ. 3. Οι πίνακες συμμεταβλητοτήτων C ˆ και C ˆ a των συνορθωμένων σφαλμάτων ˆ v και συνορθωμένων παρατηρήσεων. 4. Οι παρατηρήσεις που υπολογίζονται από τις συνορθωμένες συντεταγμένες, καθώς και οι μεταβλητότητες και οι συμμεταβλητότητές τους. (Δερμάνης, Ρωσσικόπουλος, Φωτίου 1995) Μία ειδική περίπτωση ελαχίστων δεσμεύσεων είναι οι εσωτερικές δεσμεύσεις. Οι εσωτερικές δεσμεύσεις δίνουν τη συνόρθωση ελευθέρου δικτύου. Ο πίνακας των συμμεταβλητοτήτων των συνορθωμένων συντεταγμένων είναι ανεξάρτητος από τον yˆ 11

26 Συνόρθωση δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων ορισμό του συστήματος αναφοράς και έτσι τα μέτρα ακριβείας που υπολογίζονται αντανακλούν καλύτερα την εσωτερική ακρίβεια του δικτύου. Στη συγκεκριμένη συνόρθωση καμία συντεταγμένη δεν μένει αμετάβλητη. Επίσης, με την εφαρμογή των εσωτερικών δεσμεύσεων ελαχιστοποιείται το ίχνος του πίνακα συμμεταβλητοτήτων των συντεταγμένων. Εκτενέστερη αναφορά για τις εσωτερικές δεσμεύσεις δε θα γίνει στη συγκεκριμένη εργασία, καθώς δεν εξετάζεται η εφαρμογή των συγκεκριμένων και οι επιδράσεις τους στα δίκτυα. (Φωτίου 007).4. Πλεονάζουσες δεσμεύσεις Στην περίπτωση που σε μία συνόρθωση δικτύου οι συντεταγμένες που παραμένουν αμετάβλητες είναι περισσότερες από την αδυναμία βαθμού του δικτύου, τότε η συνόρθωση αυτή γίνεται με πλεονάζουσες δεσμεύσεις. Οι συγκεκριμένες δεσμεύσεις επιδρούν τόσο στο σχήμα όσο και στο μέγεθος του δικτύου, δηλαδή η εσωτερική γεωμετρία του, που καθορίζεται από τις παρατηρήσεις, παραμορφώνεται. Οι πλεονάζουσες δεσμεύσεις είναι μία κατηγορία ουσιαστικών δεσμεύσεων. Οι δεσμεύσεις αυτές περιέχουν: 1. τις ελάχιστες δεσμεύσεις για τον ορισμό του συστήματος αναφοράς. τις υπόλοιπες αυστηρά ουσιαστικές δεσμεύσεις που αναφέρονται στο σχήμα και στο μέγεθος του δικτύου. Με τη χρήση των πλεοναζουσών δεσμεύσεων, όταν οι συντετεγμένες αυτές που χρησιμοποιούνται ανήκουν σε ένα δίκτυο καλύτερης ακρίβειας από αυτό που συνορθώνουμε, είναι χωρίς αρνητική επίδραση στην τελική ακρίβειά του. Μπορεί η εσωτερική ακρίβειά του να μειωθεί, δηλαδή παρουσίαση μεγαλύτερης a-posteriori μεταβλητότητα αναφοράς, αλλά στην πραγματικότητα αυξάνεται η αξιοπιστία του. Οι πλεονάζουσες δεσμεύσεις, όπως και οι ελάχιστες, εισάγονται με τη μορφή που παρουσιάστηκε στην εξίσωση (.1), Hx c, η λύση δίνεται από τη σχέση (Ρωσσικόπουλος 1999): ˆ ( ) 1 1 T T 1 x R R H S HR u R H S c (.30) όπου T R N H H, 1 T S HR H (.31) Για τον πίνακα συμμεταβλητοτήτων των παραμέτρων ισχύει: 1 1 T 1 1 Cx ˆ R R H S HR (.3) 1

27 Κεφάλαιο Ακόμα και στην περίπτωση που θα γίνει συνόρθωση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις, είναι απαραίτητο, για τη στατιστική αξιολόγηση του δικτύου και τον ποιοτικό έλεγχο των παρατηρήσεων και των ακριβειών τους, να προηγηθεί συνόρθωση με ελάχιστες δεσμεύσεις. Σε αντίθετη περίπτωση, εάν χρησιμοποιηθούν πλεονάζουσες δεσμεύσεις και διαπιστωθεί πρόβλημα, θα είναι σχεδόν αδύνατο να προσδιορισθεί αν το πρόβλημα οφείλεται στην κακή ποιότητα των παρατηρήσεων ή των πλεοναζουσών δεσμεύσεων.(φωτίου 007).5 Εισαγωγή δεσμεύσεων με βάρη.5.1 Γενικευμένες κανονικές εξισώσεις με χρήση πίνακα βάρους W για τις δεσμεύσεις Στην συγκεκριμένη παράγραφο παρουσιάζεται το μαθηματικό μοντέλο συνόρθωσης με στοχαστικές δεσμεύσεις. Οι δεσμεύσεις που εισάγονται δεν θεωρούνται απόλυτες, καθώς έχουν κάποια αβεβαιότητα και εισάγονται μέσω εξισώσεων με κάποιο πίνακα βάρους. Οι εξισώσεις αυτές δεν διαφέρουν από τις εξισώσεις παρατηρήσεων των συνηθισμένων παρατηρήσεων, όπως περιγράφηκαν στις παραπάνω παραγράφους. Ο αλγόριθμος επίλυσης του δικτύου αντιμετωπίζει τις συγκεκριμένες συντεταγμένες ως «ψευδοπαρατηρήσεις». Η πλήρης ομάδα των εξισώσεων παρατηρήσεων, στη συγκεκριμένη περίπτωση, είναι: b Ax v c Hx v (.33) όπου v τα τυχαία σφάλματα των δεσμεύσεων. Ο συνολικός πίνακας βάρους για τη συνόρθωση του δικτύου θα έχει μία σύνθετη «διαγώνια» μορφή σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: 1 P 0 C v 0 P 1 0 W 0 Cv (.34) όπου, P o πίνακας βάρους των παρατηρήσεων που ισούται με τον αντίστροφο των 1 συμμεταβλητοτήτων των σφαλμάτων των παρατηρήσεων, C v, και W ο πίνακας βάρους των «ψευδοπαρατηρήσεων» - δεσμεύσεων, ο οποίος είναι ίσος με τον αντίστροφο πίνακα συμμεταβλητοτήτων των σφαλμάτων τους, 1 C v. 13

28 Συνόρθωση δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων Με την κοινή συνόρθωση των (.33), προκύπτει η λύση των «διευρυμένων» κανονικών εξισώσεων: T T T T ( A PA H WH)ˆ x A Pb H Wc (.35) T T ( N H WH)ˆ x u H Wc (.36) Οπότε, ο ενιαίος αλγόριθμος συνόρθωσης που προκύπτει δίνεται από τη σχέση: T 1 T ˆ ( ) ( ) x N H WH u H Wc (.37) Θέτωντας 1 T 1 N ( N H WH ) προκύπτει: 1 T ˆ ( ) x N u H Wc (.38) Στην περίπτωση που ο πίνακα σχεδιασμού των δεσμεύσεων H αντιστοιχεί σε πλεονάζουσες δεσμεύσεις, τότε ο πίνακας αντίστροφο πίνακα που συμβολίζεται 1 N αντιστοιχεί σε έναν γενικευμένο g N. (Ρωσσικόπουλος 1999) Ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων των παραμέτρων ˆx που προκύπτει εφαρμόζοντας το Νόμο Μετάδοσης Σφαλμάτων δίνεται από την εξίσωση: C N NN N H C HN (.39) xˆ T 1 1 v Όταν το βάρος των δεσμεύσεων μεγαλώνει, οι δεσμεύσεις γίνονται πιο «σκληρές» και οι τιμές των διορθώσεών τους μικραίνουν. Όπως γίνεται αντιληπτό, όσο το βάρος τείνει στο άπειρο,, οι δεσμεύσεις τείνουν και αυτές να γίνουν ακλόνητες, δηλαδή απόλυτες και οι εξισώσεις επίλυσης διαμορφώνονται στη μορφή που δόθηκαν στην παράγραφο O.4.. Επίσης όταν ο πίνακας σχεδιασμού Η αντιστοιχεί σε πίνακα «ελαχίστων δεσμεύσεων» ισχύει ότι: (Kotsakis 01) T Ο πίνακας 1 δεσμεύσεων. T N H WH A είναι ανεξάρτητος του πίνακα βάρους W των T T T T N H WH H W E ( HE ) 1 1 όπου E είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε AE T 0. 14

29 Κεφάλαιο.5. Αντικατάσταση του πίνακα βάρους των δεσμεύσεων W με έναν εννιαίο συντελεστή βάρους k. Παραπάνω παρουσιάστηκε η περίπτωση όπου ο πίνακας βάρους W των δεσμεύσεων είναι ίσος με τον αντίστροφο πίνακα συμμεταβλητοτήτων των τυχαίων σφαλμάτων των δεσμεύσεων. Ο συγκεκριμένος πίνακας W μπορεί να αντικατασταθεί από έναν πίνακα k I, όπου k είναι ένας ενιαίος συντελεστής βάρους για όλες τι δεσμεύσεις και επιλέγεται αυθαίρετα από το χρήστη και δεν έχει κάποια σχέση με τις συμμεταβλητότητες των σφαλμάτων των δεσμεύσεων. Η επιλογή του γίνεται με το κατά πόσο απόλυτες ή χαλαρές θέλει να είναι οι δεσμεύσεις που εισάγονται. Για παράδειγμα, έχει πραγματοποιήσει μετρήσεις σε ένα δίκτυο το οποίο θα πρέπει να ενταχθεί σε ένα προϋπάρχον δίκτυο ανώτερης τάξης, του οποίου όμως η ακρίβεια είναι χειρότερη από την ακρίβεια με την οποία μετρήθηκε το νέο δίκτυο. Η τιμή που θα πάρει ο συντελεστής αυτός θα είναι τέτοια, ώστε να ελαχιστοποιεί ή ακόμα και να εκμηδενίσει την παραμόρφωση στην γεωμετρία του, έχοντας «φιλτραριστεί», μέσω του συντελεστή, η πληροφορία από τις πλεονάζουσες δεσμεύσεις. T 1 T ˆ ( k ) ( k ) x N H H u H c (.40) Οπότε, και ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων του διανύσματος ˆx διαμορφώνεται ως εξής: C N NN k N H C HN (.41) xˆ T 1 v Όπου πλέων ισχύει, 1 T 1 N ( N k H H ). Είδος Δεσμεύσεων Απόλυτες Ελάχιστες Δεσμεύσεις Απόλυτες Πλεονάζουσες Δεσμεύσεις Δεσμεύσεις με πίνακα βάρους W Δεσμεύσεις με ενιαίο συντελεστή βάρους k Πίνακας.1 Συγκεντρωτικός Πίνακας αλγορίθμων Κανονικών Εξισώσεων και εξισώσεων για τους Πίνακες Συμμεταβλητοτήτων Συντεταγμένων Αλγόριθμος Κανονικών Εξισώσεων T 1 T xˆ ( N H H) ( u H c ) C ˆx Πίνακας Συμμεταβλητοτήτων Συντεταγμένων C ˆx Πίνακας Συμμεταβλητοτήτων Σφαλμάτων δεσμεύσεων C T 1 T 1 Cx ˆ ( N H H) N( N H H ) C v 0 C R R H S HR T T 1 xˆ ( R R H S HR ) u R H S c [1] 1 1 T 1 1 xˆ T 1 T xˆ ( N H WH) ( u H Wc ) T 1 T xˆ ( N k H H) ( u k H c ) C N NN N H C HN xˆ xˆ T 1 1 v C N NN k N H C HN T 1 v C v C 0, W C v C 0, W C v v 1 v 1 v T R N H H, S HR H [1] T 1 15

30 Συνόρθωση δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων Παρατηρώντας τον Πίνακα.1 την εξίσωση που δίνει τον πίνακα συμμεταβλητοτήτων των συντεταγμένων C ˆx, παρατηρείται ότι εξαρτάται τόσο από το βάρος που εισάγεται, που είναι ο ενιαίος συντελεστής βάρους k, όσο και από την αβεβαιότητα που διέπει τις συντεταγμένες και εισάγεται με τον πίνακα συμμεταβλητοτήτων των τυχαίων σφαλμάτων των δεσμεύσεων, C v. Στο επόμενο κεφάλαιο, μέσω της εφαρμογής των εξισώσεων (.40) & (.41), σε δύο δίκτυα και με το συντελεστή k να παίρνει ένα μεγάλο εύρος τιμών, εξετάζεται η συμπεριφορά των γεωμετρικών χαρακτηριστικών και των ακριβειών των συντεταγμένων των δικτύων αυτών..6 Εκτίμηση δύο συνιστωσών μεταβλητότητας αναφοράς Στη συγκεκριμένη ενότητα, αναλύεται το μαθηματικό μοντέλο της εκτίμησης δύο συνιστωσών μεταβλητοτήτων αναφοράς, οι οποίες αντιστοιχούν η μία στην ομάδα των παρατηρήσεων και η άλλη στην ομάδα των ψευδοπαρατηρήσεων, δηλαδή στις δεσμεύσεις που εισάχθηκαν με ένα πίνακα βάρους που αντιστοιχεί στον αντίστροφο 1 των συμμεταβλητοτήτων των δεσμεύσεων, W = C c. Όπως στην περίπτωση των παρατηρήσεων, η οποία αναλύθηκε, στην παράγραφο.3, έτσι και σε αυτήν την περίπτωση ο πίνακας των συμμεταβλητοτήτων δεν είναι πλήρως γνωστός. Υπάρχει μία μεταβλητότητα αναφοράς, η οποία είναι άγνωστη. Δηλαδή ισχύει: Cv Q v (.4) και ο πίνακας βάρους των δεσμεύσεων ισούται: W Q (.43) 1 v Οπότε για τις εξισώσεις των «παρατηρήσεων» (.33) ισχύουν οι εξής σχέσεις: Q 0 C v 0 Qv (.44) αντίστοιχα η συνόρθωση γίνεται με πίνακα βάρους: 1 P 0 Q v 0 P 1 0 W 0 Qv (.45) Και υπολογίζονται οι εξής εκτιμήσεις: 16

31 Κεφάλαιο ˆx από την εξίσωση (.37) vˆ b Ax ˆ (.46) vˆ c Hx ˆ (.47) Η εκτίμηση των συνιστωσών (Δερμάνης, Φωτίου 1995)., γίνεται από τον παρακάτω αλγόριθμο d tr( N N), d tr( N NN N ) (.48) J n d d, J d d (.49) J m d, J J J (.50) T ˆT ˆ J ˆ ˆ ˆ v Pv J1v Wv (.51) ˆ 1 T ˆ T J ˆ ˆ ˆ 1v Pv J11v Wv (.5) Η αδυναμία του παραπάνω αλγορίθμου, όπως φαίνεται και από τις εξισώσεις (.51) & (.5), είναι ότι δε διασφαλίζεται η θετικότητα του πρόσημου για τις εκτιμήσεις ˆ ˆ,. Συγκεκριμένα το πρόσημο επηρεάζεται από τους πίνακες βάρους P & W, και ενδέχεται να παρουσιαστούν περιπτώσεις στην πράξη που να μην μπορεί να γίνει η εκτίμηση των συνιστωσών μεταβλητοτήτων αναφοράς, κάτι το οποίο θα διαπιστωθεί και στο δεύτερο μέρος των πειραμάτων, όπου παρουσιάζονται στο 4 ο Κεφάλαιο, όπου εφαρμόζεται ο παραπάνω αλγόριθμος σε δύο δίκτυα..7 Re-scaling του πίνακα συμμεταβλητοτήτων των άγνωστων παραμέτρων C ˆx Όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο.5 οι εξισώσεις που μας δίνουν τις ακρίβειες των συντεταγμένων των σημείων, όταν επιλύεται με τις γενικευμένες κανονικές εξισώσεις, είναι οι (.39) & (.41) με τη συμμετοχή ενός πίνακα βάρους W ή ενός 17

32 Συνόρθωση δικτύου με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων ενιαίου συντελεστή βάρους k αντίστοιχα. Παρατηρώντας, τις δύο εξισώσεις αυτές παρατηρείται ότι ο πίνακας των συμμεταβλητοτήτων των συντεταγμένων είναι το άθροισμα δύο όρων. Ο πρώτος όρος δίνει τη συνεισφορά της αβεβαιότητας των παρατηρήσεων που έχουν γίνει και ονομάζεται εσωτερική αβεβαιότητα. Ο άλλος όρος περιέχει τη συνεισφορά της αβεβαιότητας των δεσμεύσεων και ονομάζεται εξωτερική αβεβαιότητα. Οπότε, οι δύο εξισώσεις μπορούν να γραφούν: C C C (.53) xˆ int ext όπου, ext 1 1 Cint N NN, 4 1 T 1 v C N H C HN για την εξίσωση (.39) και ext 1 T 1 1 v C k N H C HN για την εξίσωση (.41).(Schwarz 1994) Σε περιπτώσεις όπου η μεταβλητότητες αναφοράς, τόσο της ομάδας των παρατηρήσεων όσο και της ομάδας των δεσμεύσεων, είναι πολύ μεγαλύτερη από την a-priori μεταβλητότητα αναφοράς, και, τότε πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο της εξίσωσης (.53), με την αντίστοιχη μεταβλητότητα αναφοράς, έτσι ώστε να υπάρχει μία πιο ρεαλιστική εικόνα για την ακρίβεια του δικτύου. Cˆ ˆ C ˆ C (.54) xˆ int ext Σε περίπτωση που δεν υπολογιστούν οι δύο συνιστώσες των μεταβλητοτήτων αναφοράς με τον αλγόριθμο της παραγράφου.6, αλλά υπολογιστεί η μεταβλητότητα αναφοράς με τον τύπο (.15), τότε πολλαπλασιάζουμε μόνο τον πρώτο όρο, καθώς είναι αυτός που αναφέρεται στην αβεβαιότητα των παρατηρήσεων, δηλαδή ισχύει: ˆ ˆ xˆ int ext C C C (.55) Στις περιπτώσεις, των απόλυτων δεσμεύσεων που παρουσιάζονται στην παράγραφο.4, έχουμε μόνο έναν όρο, όπου είναι η επίδραση μόνο των παρατηρήσεων στις συμμεταβλητότητες των συντεταγμένων, για το λόγο αυτό η μεταβλητότητα αναφοράς στις εξισώσεις (.6), (.9) και (.3) πολλαπλασιάζεται με τον πίνακα C ˆx, δηλαδή ισχύει και για τις τρεις εξισώσεις: ˆ ˆ Cx ˆ C xˆ (.56) 18

33 Κεφάλαιο 3 Εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με χρήση ενιαίου συντελεστή βάρους k για τον ορισμό του Συστήματος Αναφοράς του δικτύου 3.1 Εισαγωγή Στο συγκεκριμένο Κεφάλαιο παρουσιάζεται η μελέτη της χρήσης των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων (.40), όπου χρησιμοποιείται ένας συντελεστής βάρους k, ο οποίος «χαλαρώνει» τις πλεονάζουσες δεσμεύσεις που εισάγονται. Μέσω πειραμάτων σε δύο δίκτυα, ο συντελεστής βάρους k παίρνει ένα μεγάλο εύρος τιμών και όσο αυξάνεται η τιμή του μελετάται το πώς επηρεάζεται η εσωτερική γεωμετρία του δικτύου, καθώς επίσης και η ακρίβεια των συντεταγμένων, έχοντας εισάγει πλεονάζουσες δεσμεύσεις για την επίλυσή τους. Τα δύο δίκτυα στα οποία γίνεται η εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων είναι ένα οριζόντιο τριπλευρικό δίκτυο, που βρίσκεται στον οικισμό Μεταλλικού του Ν. Κιλκίς και χρησιμοποιείται από το τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών του Α.Π.Θ. στο πλαίσιο του μαθήματος του 8 ου εξαμήνου «Ασκήσεις Υπαίθρου». Το δεύτερο δίκτυο είναι ένα 3Δ-δίκτυο GPS, τα σημεία του οποίου ανήκουν στο τριγωνομετρικό δίκτυο της ΓΥΣ, τα οποία βρίσκονται στο Νομό Χαλκιδικής και εκτίνονται σε 4 φύλλα χάρτη HATT κλίμακας 1:50000, οι κωδικοί των οποίων είναι 5, 1, 67 & 35, επίσης ως σημείο του δικτύου συμμετέχει και ο μόνιμος σταθμός αναφοράς AUT1, ο οποίος από τον Απρίλιο του 005 συμμετέχει στο δίκτυο του EUREF και βρίσκεται σε εγκαταστάσεις του Α.Π.Θ. στη Θέρμη Θεσσαλονίκης. (Φωτίου, Πικριδάς 006) Στην παρουσίαση των δύο εφαρμογών γίνεται, κατ αρχάς, μία γρήγορη αναφορά στην προεπεξεργασία των παρατηρήσεων. Έπειτα, ακολουθεί η επίλυση εισάγοντας πλεονάζουσες δεσμεύσεις και παρατίθενται τα αποτελέσματα από τα πειράματα, μέσω γραφικών παραστάσεων και πινάκων των στατιστικών στοιχείων των ποσοτήτων που εξάγονται για την μελέτη της συμπεριφοράς της γεωμετρίας των δικτύων ανάλογα με τις τιμές που παίρνει ο συντελεστής k. Οι ποσότητες οι οποίες παρουσιάζονται και μελετώνται για τη «συμπεριφορά» του δικτύου είναι οι εξής: Η νόρμα των σφαλμάτων των παρατηρήσεων ˆv, όπου δίνεται από τη σχέση 19

34 Εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με χρήση ενιαίου συντελεστή βάρους k για τον ορισμό του Συστήματος Αναφοράς του δικτύου ˆ ˆ T v v Pv ˆ (3.1) Το RMS των σφαλμάτων των παρατηρήσεων ˆv T vv ˆ ˆ RMS n (3.) Επίσης, μελετάται και η συμπεριφορά της ακρίβειας των συντεταγμένων, ανάλογα με τις τιμές που παίρνει ο συντελεστής βάρους k, αλλά και την αβεβαιότητα των δεσμεύσεων που εισάγονται, παραθέτοντας γραφικές παραστάσεις που απεικονίζουν, με την αύξηση της τιμής του συντελεστής βάρους k, πως διαμορφώνεται η ποσότητα της τετραγωνικής ρίζας του ίχνους του πίνακα των συμμεταβλητοτήτων των συντεταγμένων των σημείων, C ˆx, ο οποίος υπολογίζεται από την εξίσωση (.41), ως προς το πλήθος των συντεταγμένων, trace( ) m C xˆ. Όλοι οι υπολογισμοί των ποσοτήτων και οι σχηματισμοί γραφικών παραστάσεων πραγματοποιήθηκαν στη γλώσσα προγραμματισμού MATLAB. Η προεπεξεργασία των μετρήσεων για το δίκτυο GPS διεκπεραιώθηκε στο πρόγραμμα LGO v5. 3. Τριπλευρικό Οριζόντιο Δίκτυο 3..1 Μέθοδοι Μετρήσεων & Προεπεξεργασία των Παρατηρήσεων του Τριπλευρικού Δικτύου Το συγκεκριμένο δίκτυο, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, βρίσκεται στην περιοχή του Μεταλλικού Θεσσαλονίκης (Εικόνα 3.1). Οι παρατηρήσεις, που χρησιμοποιούνται στην παρούσα εργασία, μετρήθηκαν το 010 στα πλαίσια διπλωματικής εργασίας του τμήματος Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών (Ασλανίδης, Δημητριάδης, Μαραβέλιας & Φασνάκης 010). Τα σημεία του δικτύου, όπου πραγματοποιείται η εφαρμογή των πειραμάτων με τις προσεγγιστικές τους συντεταγμένες φαίνονται στον ακόλουθο Πίνακα

35 Κεφάλαιο 3 Πίνακας 3.1 Προσεγγιστικές συντεταγμένες Δικτύου Μεταλλικού σε m. Σημεία Χ (m) Υ (m) Εικόνα 3.1 Δίκτυο Μεταλλικού Κιλκίς Για την εκτέλεση των μετρήσεων χρησιμοποιήθηκε ένας γεωδαιτικός σταθμός τύπου Topcon GTS-3 με αριθμό πλαισίου 0390 A Οι παρατηρήσεις των αποστάσεων, που χρησιμοποιήθηκαν στο συγκεκριμένο δίκτυο, μετρήθηκαν από το κάθε σημείο στάσης ως προς τα άλλα 4 σημεία του δικτύου. Η κάθε απόσταση μετρήθηκε 8 φορές από το κάθε άκρο της. Ως τελική παρατήρηση, στη συνόρθωση, χρησιμοποιήθηκε ο μέσος όρος των παραπάνω μετρήσεων. Η μεταβλητότητα της κάθε παρατήρησης της απόστασης δίνεται από τον τύπο: s a b S (3.3) όπου, α είναι η μηδενική συνιστώσα που είναι ανεξάρτητη από την απόσταση που μετριέται και εκφράζει την εσωτερική ακρίβεια του οργάνου και b τα μέρη ανά εκατομμύριο (ppm: parts per million) που εξαρτώνται από την απόσταση που μετριέται και εκφράζει την εξωτερική ακρίβεια του οργάνου. Η κατασκευαστική ακρίβεια του οργάνου είναι mm ± ppm, οπότε για τον υπολογισμό της μεταβλητότητας κάθε παρατήρησης, η σχέση (4.4) διαμορφώνεται ως εξής: 1

36 Εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με χρήση ενιαίου συντελεστή βάρους k για τον ορισμό του Συστήματος Αναφοράς του δικτύου s (10 ) S 3 mm (3.4) όπου, S η απόσταση σε km. Ακολουθεί ο πίνακας με τις τελικές παρατηρήσεις των αποστάσεων και της συμμεταβλητότητές τους. Πίνακας 3.. Παρατηρήσεις Αποστάσεων του τριπλευρικού Δικτύου σε m και συμμεταβλητότητές τους σε mm. i j Παρατηρούμενη Απόσταση S (m) σ s (mm) Εφαρμογή πειραμάτων και μελέτη της παραμόρφωσης της γεωμετρίας του Τριπλευρικού Δικτύου Αφού πραγματοποιήθηκε η προεπεξεργασία των μετρήσεων, ακολούθησαν τα πειράματα επιλύοντας το δίκτυο με την εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων (.40). Το δίκτυο επιλύθηκε με τη χρήση των «χαλαρών» πλεοναζουσών δεσμεύσεων, καθώς ο σκοπός της εργασίας είναι η μελέτη της παραμόρφωσης της γεωμετρίας των δικτύων σε σχέση με την τιμή του συντελεστή k, καθώς επίσης, επιλύθηκε και με ελάχιστες δεσμεύσεις, αλλά και με τους τύπους των απόλυτων δεσμεύσεων (.30) & (.31), έτσι ώστε να γίνει σύγκριση με τα αποτελέσματα από τη χρήση της εξίσωσης (.40). Για την επίλυση των ελαχίστων δεσμεύσεων οι συντεταγμένες που «δεσμεύτηκαν» ήταν οι εξής: 41(Χ, Υ) & 31(Υ). Στην περίπτωση των «χαλαρών» και απόλυτων πλεοναζουσών δεσμεύσεων πραγματοποιήθηκαν δύο πειράματα, για την επίλυση των οποίων εισήχθησαν 4 και 6 δεσμεύσεις αντίστοιχα. Τα σημεία τα οποία κρατήθηκαν ως δεσμεύσεις είναι τα: 41(Χ, Υ), 31(Χ, Υ) & 1(Χ, Υ).

37 Κεφάλαιο 3 Ο πίνακας βάρους P των παρατηρήσεων είναι ένας διαγώνιος πίνακας του οποίου τα 1 στοιχεία αντιστοιχούν, όπου S η συμμεταβλητότητα όπως υπολογίστηκε στη ij διαδικασία της προεπεξεργασία των μετρήσεων. S ij Τέλος, οι βαθμοί ελευθερίας για τα διάφορα σενάρια συνόρθωσης για το οριζόντιο Τριπλευρικό δίκτυο είναι: Ελάχιστες δεσμεύσεις : f 3 Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (4): f 4 Πλεονάζουσες δεσμεύσεις (6): f 6 Ο συντελεστής k, ο οποίος «χαλαρώνει» την «αυστηρότητα» των δεσμεύσεων, 4 4 παίρνει τιμές: 10 k 10. Ακολουθούν οι γραφικές παραστάσεις, σε λογαριθμική κλίμακα για τον άξονα των x, των αποτελεσμάτων από τα πειράματα. 4 Δεσμεύσεις 6 Δεσμεύσεις Διάγραμμα 3.1 Μεταβολή του ˆv ως προς την τιμή του k για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο Διάγραμμα 3. Μεταβολή του ˆv ως προς την τιμή του k για 6 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο 3

38 Εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με χρήση ενιαίου συντελεστή βάρους k για τον ορισμό του Συστήματος Αναφοράς του δικτύου 4 Δεσμεύσεις 6 Δεσμεύσεις Διάγραμμα 3.3 Μεταβολή του RMS ως προς την τιμή του k για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο Διάγραμμα 3.4 Μεταβολή του RMS ως προς την τιμή του k για 6 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο Πίνακας 3.3 Στατιστικά στοιχεία των ποσοτήτων μελέτης της γεωμετρίας του Τριπλευρικού δικτύου για 4 δεσμεύσεις σε mm norma ( ˆv ) RMS ( ˆv ) (mm) (mm) min max Ε.Δ Α.Π.Δ Πίνακας 3.4 Στατιστικά στοιχεία των ποσοτήτων μελέτης της γεωμετρίας του Τριπλευρικού δικτύου για 6 δεσμεύσεις σε mm norma ( ˆv ) (mm) RMS ( ˆv ) (mm) min max Ε.Δ Α.Π.Δ Από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις και από τους Πίνακες 3.3 & 3.4, για τις δύο περιπτώσεις, παρατηρούνται τα εξής: Ε.Δ.: Ελάχιστες Δεσμεύσεις 3 Α.Π.Δ.: Απόλυτες Πλεονάζουσες Δεσμεύσεις 4

39 Κεφάλαιο 3 Η ελάχιστη τιμή και των τριών ποσοτήτων αντιστοιχεί στην τιμή που εξήχθηκε από την επίλυση με τις ελάχιστες δεσμεύσεις. Αντίστοιχα, η μέγιστη τιμή που παρουσιάζουν οι τρεις ποσότητες είναι ίση με τις τιμές που υπολογίστηκαν από τις επιλύσεις του δικτύου με τους τύπους των Απόλυτων Πλεοναζουσών Δεσμεύσεων. Οι ελάχιστες τιμές των ποσοτήτων παρουσιάζονται για τις μικρότερες τιμές του συντελεστή k, συγκεκριμένα όταν παίρνει τιμές ποσότητα ˆv και k για την ποσότητα RMS. k 1 10 για την Αντίστοιχα, οι τρεις ποσότητες «σταθεροποιούνται» στη μέγιστη τιμή τους καθώς ο k ξεπερνάει την τιμή k 0. Το εύρος των τιμών των τριών ποσοτήτων αυξάνεται με την αύξηση των πλεοναζουσών δεσμεύσεων. Τέλος, το εύρος των ποσοτήτων αυτών δεν θεωρείται σημαντικό σε μέγεθος, καθώς η μεγαλύτερη τιμή που παίρνει με τη χρήση των 6 δεσμεύσεων είναι μόλις 4. mm για τη νόρμα των εκτιμήσεων των σφαλμάτων και.3 του RMS τους Αξιολόγηση της ακρίβειας των συντεταγμένων του Τριπλευρικού Δικτύου Στην συγκεκριμένη παράγραφο γίνεται η αξιολόγηση της ακρίβειας των εκτιμήσεων των συντεταγμένων για τα δύο σενάριο δεσμεύσεων, μελετώντας την διακύμανση της ποσότητας trace( ) Cx ˆ με την αύξηση του συντελεστή βάρους k. Ο πίνακας Cˆx m υπολογίζεται από την εξίσωση (.41). Για κάθε σενάριο, 4 και 6 δεσμεύσεων, υπάρχουν και 4 υποσενάρια, καθώς εξετάζεται η συμπεριφορά της ποσότητας και ως προς το διαφορετικό πίνακα συμμεταβλητοτήτων των δεσμεύσεων, C v. Οι συντεταγμένες των δεσμεύσεων θεωρήθηκαν ότι έχουν κοινή αβεβαιότητα, οπότε ο πίνακας C v θεωρήθηκε διαγώνιος με ίδια διαγώνια στοιχεία. Τα 4 σενάρια που αφορούσαν τον πίνακα είναι τα εξής: 1 ο Σενάριο: Ακρίβεια δεσμεύσεων 1mm, άρα ο Σενάριο: Ακρίβεια δεσμεύσεων 5mm, άρα 3 ο Σενάριο: Ακρίβεια δεσμεύσεων 10mm, άρα 4 ο Σενάριο: Ακρίβεια δεσμεύσεων 0mm, άρα Cv Cv Cv Cv 1 5 I I 10 0 I I 5

40 Εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με χρήση ενιαίου συντελεστή βάρους k για τον ορισμό του Συστήματος Αναφοράς του δικτύου όπου, I μοναδιαίος πίνακας κ κ διαστάσεων. Ακολουθούν οι γραφικές παραστάσεις των αποτελεσμάτων. 4 Δεσμεύσεις Διάγραμμα 3.5 Μεταβολή του tr C ˆ / m x ως προς την Διάγραμμα 3.6 Μεταβολή του trc ˆ / m x τιμή του k για C =1 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο ως προς την τιμή k για C =5 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο Διάγραμμα 3.7 Μεταβολή του για tr C ˆ / m x ως προς την τιμή k Διάγραμμα 3.8 Μεταβολή του trc ˆ / m x C =10 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο ως προς την τιμή k για C =0 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο Πίνακας 3.5 Στατιστικά στοιχεία της ποσότητα μελέτης της ακρίβειας του Τριπλευρικού δικτύου για 4 δεσμεύσεις σε mm C Ι 1 v min max Ε.Δ

41 Κεφάλαιο 3 6 Δεσμεύσεις Διάγραμμα 3.9 Μεταβολή του tr C ˆ / m x ως προς την τιμή Διάγραμμα 3.10 Μεταβολή του trc ˆ / m x k για C =1 I για 6 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο ως προς την τιμή k για C =5 I για 6 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό Δίκτυο Διάγραμμα 3.11 Μεταβολή του k για δίκτυο tr C ˆ / m x ως προς την τιμή Διάγραμμα 3.1 Μεταβολή του trc ˆ / m x C =10 I για 6 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό ως προς την τιμή k για C =0 I για 6 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο Πίνακας 3.6 Στατιστικά στοιχεία της ποσότητα μελέτης της ακρίβειας του Τριπλευρικού δικτύου για 6 δεσμεύσεις σε mm C Ι 1 v min max Ε.Δ

42 Εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με χρήση ενιαίου συντελεστή βάρους k για τον ορισμό του Συστήματος Αναφοράς του δικτύου Από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις και τους πίνακες παρατηρούνται για τις δύο περιπτώσεις τα εξής: Η τιμή της ποσότητας που μελετάται για την λύση των ελαχίστων δεσμεύσεων, για όλες τις περιπτώσεις, είναι μεγαλύτερη από τις λύσεις των «χαλαρών» πλεοναζουσών δεσμεύσεων. Οι διακυμάνσεις των τιμών του μέτρου της ακρίβειας είναι πολύ μικρές, κάτι που φαίνεται τόσο στις γραφικές παραστάσει, όσο και στην τιμή του εύρους των τιμών. Η μεγαλύτερη τιμή του εύρους είναι στο 1 mm το οποίο παρουσιάζεται για τη λύση των 6 δεσμεύσεων και για αβεβαιότητα δεσμεύσεων 0 mm. Τέλος, με την αύξηση των δεσμεύσεων παρατηρείται ότι ελαττώνεται η τιμή της ποσότητας, αλλά αυξάνεται το εύρος της Re-scaling του πίνακα συμμεταβλητοτήτων C των συντεταγμένων ˆx του Τριπλευρικού οριζόντιου δικτύου Για τα δύο σενάρια συνόρθωσης του οριζόντιου Τριπλευρικού δικτύου, τα οποία παρατέθηκαν παραπάνω, υπολογίστηκε και η ποσότητα της μεταβλητότητας ˆ αναφοράς,, από τον τύπο (.15). Στη γραφική παράσταση (3.15) & (3.16), παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των εκτιμήσεων των μεταβλητοτήτων αναφοράς σε σχέση με την τιμή που παίρνει ο συντελεστής βάρους k, για το σενάριο της εισαγωγής των 4 και 6 δεσμεύσεων αντίστοιχα. Διάγραμμα 3.13 Μεταβολή του ˆ ως προς το συντελεστή k Διάγραμμα 3.14 Μεταβολή του ˆ ως προς το συντελεστή k για 4 δεσμεύσεις του Τριπλευρικού δικτύου για 6 δεσμεύσεις του Τριπλευρικού δικτύου Από τις δύο παραπάνω γραφικές παραστάσεις παρατηρείται ότι η μεταβλητότητα αναφοράς, ˆ, είναι αισθητά μεγαλύτερη από το 1. Οπότε, για πιο ρεαλιστική 8

43 Κεφάλαιο 3 θεώρηση της κατάστασης της ακρίβειας του δικτύου, είναι απαραίτητο να γίνει rescaling του πίνακα C ˆx, χρησιμοποιώντας τη σχέση (.55). Έτσι, θα υπολογιστεί ένας ρεαλιστικότερος πίνακας συμμεταβλητοτήτων C ˆ x ˆ. Ακολουθούν οι γραφικές παραστάσεις και οι πίνακες των αποτελεσμάτων, όπως πραγματοποιήθηκε και στην παράγραφο 3..3 για τα 4 σενάρια που παρατέθηκαν. 4 Δεσμεύσεις Διάγραμμα 3.15 Μεταβολή του τιμή του k για C =1 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο tr C ˆ ˆ / m x ως προς την Διάγραμμα 3.16 Μεταβολή του trcˆ ˆ / m x ως προς την τιμή k για C =5 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο Διάγραμμα 3.17 Μεταβολή του k για C =10 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο tr Cˆ ˆ / m x ως προς την τιμή Διάγραμμα 3.18 Μεταβολή του trcˆ ˆ / m x τιμή k για ως προς την C =0 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο 9

44 Εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με χρήση ενιαίου συντελεστή βάρους k για τον ορισμό του Συστήματος Αναφοράς του δικτύου Πίνακας 3.7 Στατιστικά στοιχεία της ποσότητα μελέτης της ακρίβειας του Τριπλευρικού δικτύου μετά το re-scaling για 4 δεσμεύσεις σε mm C Ι 1 v min max Ε.Δ Δεσμεύσεις Διάγραμμα 3.19 Μεταβολή του tr C ˆ ˆ / m x ως προς την Διάγραμμα 3.0 Μεταβολή του trcˆ ˆ / m x ως προς την τιμή τιμή του k για C c=1 I για 4 δεσμεύσεις στο k για C c=5 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό Τριπλευρικό δίκτυο δίκτυο Διάγραμμα 3.1 Μεταβολή του tr ˆ ˆ / m x για C c=10 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό δίκτυο C ως προς την τιμή k Διάγραμμα 3. Μεταβολή του trcˆ ˆ / m x ως προς την τιμή k για C c=0 I για 4 δεσμεύσεις στο Τριπλευρικό Δίκτυο 30

45 Κεφάλαιο 3 Πίνακας 3.8 Στατιστικά στοιχεία της ποσότητα μελέτης της ακρίβειας του Τριπλευρικού δικτύου μετά το re-scaling για 6 δεσμεύσεις σε mm C Ι 1 v min max Ε.Δ Μετά το re-scaling που έγινε, από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις και τους πίνακες παρατηρούνται για τις δύο περιπτώσεις τα εξής: Στο σενάριο των 4 δεσμεύσεων και με ακρίβεια δεσμεύσεων στο 1 mm παρατηρείται ότι η τιμή της ποσότητας trc ˆ xˆ / m των ελαχίστων δεσμεύσεων είναι περίπου ίση με τη μέγιστη τιμή των «χαλαρών» πλεοναζουσών δεσμεύσεων για τις υψηλές τιμές του συντελεστή k. Όσο χειροτερεύει η ακρίβεια των δεσμεύσεων, παρατηρείται ότι η διακύμανση της ποσότητας για τις «χαλαρές» πλεονάζουσες δεσμεύσεις «απομακρύνεται» από την τιμή της επίλυσης με ελάχιστες δεσμεύσεις. Επίσης, το ίδιο παρατηρείται και με την αύξηση των δεσμεύσεων που συμμετέχουν στην επίλυση. Τέλος, με την αύξηση των δεσμεύσεων παρατηρείται ότι η διακύμανση της ποσότητας βρίσκεται σε χαμηλότερες τιμές, αλλά το εύρος είναι αυξημένο σε σχέση με τα αποτελέσματα της συνόρθωσης των 4 δεσμεύσεων. 3.3 Δίκτυο GPS Το συγκεκριμένο δίκτυο αποτελείται από 8 τριγωνομετρικά σημεία της ΓΥΣ τα 5057, 5058, 508, 5066, 67004, 67006, 105, 3509, συν τον μόνιμο σταθμό AUT1. Τα σημεία της ΓΥΣ βρίσκονται στο Νομό Χαλκιδικής και η μεταξύ τους αποστάσεις κυμαίνονται από 4.5 km μέχρι 45 km και ο μόνιμος σταθμός AUT1 βρίσκεται στη Θέρμη στο Νομό Θεσσαλονίκης και απέχει από το μακρύτερο σημείο της ΓΥΣ περίπου 77 km (Εικόνα 3.). Το δίκτυο μετρήθηκε στα πλαίσια του μαθήματος «Εφαρμογές GPS», του μεταπτυχιακού προγράμματος Γεωπληροφορικής του τμήματος Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών (Ασλανίδης, Δημητριάδης, Κατσαδούρου, Κολυβάκη & Νατσιόπουλος 010). Χρησιμοποιήθηκαν για τις μετρήσεις 5 διπλόσυχνοι δέκτες GPS. Οι δέκτες που χρησιμοποιήθηκαν ήταν οι εξής: Leica System 500, Leica System 100 και 1 Promark 500. Στις παραμέτρους μέτρησης κάθε δέκτη επιλέχθηκαν τα εξής: 31

46 Εφαρμογή των γενικευμένων κανονικών εξισώσεων με χρήση ενιαίου συντελεστή βάρους k για τον ορισμό του Συστήματος Αναφοράς του δικτύου Μέθοδος μετρήσεων: στατική (static) γωνία αποκοπής : 15 ο ρυθμός καταγραφής : 15 sec τύπος κέντρωσης : pillar Εικόνα 3. Το Δίκτυο GPS Προεπεξεργασία Μετρήσεων Το δίκτυο GPS είναι ένα 3-Δ δίκτυο και όλα τα σημεία του ορίζονται από τις 3-Δ καρτεσιανές συντεταγμένες (Χ, Υ, Ζ). Ο μόνιμος σταθμός αναφοράς ΑUT1 χρησιμοποιήθηκε στις επιλύσεις ως σταθερό σημείο εξάρτησης, έτσι ώστε να γίνει η εξάρτηση των καρτεσιανών συντεταγμένων των σημείων στο ITRF05. Οι συντεταγμένες του AUT1 για το σύστημα αναφοράς ITRF05 στην εποχή , η οποία είναι η εποχή όπου πραγματοποιήθηκαν οι μετρήσεις, πάρθηκαν από την ιστοσελίδα της euref ( Αρχικά ήταν στο σύστημα αναφοράς ITRF05 στην εποχή , και με τις ταχύτητες που δίνονται και τις εξισώσεις (4.5), εξήχθησαν οι συντεταγμένες στο ζητούμενο σύστημα ανφοράς: X ( t) X ( t ) ( t t ) v 0 0 Y( t) Y( t ) ( t t ) v 0 0 Z( t) Z( t ) ( t t ) v 0 0 Y Z X (3.5) όπου v X, v Y και v οι ταχύτητες με τις οποίες μεταβαλονται κάθε χρόνο ο σταθμός AUT1. X Y Z ITRF epoch 005( ) 3