ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου"

Transcript

1 ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε τον υπολογιμό ανάλογα με το εάν ο επενδυτής χρηιμοποιεί ιτορικά τοιχεία ή αναμενόμενα τοιχεία τα οποία προάπτει μια πιθανότητα πραγματοποίηης. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται υνοπτικά οι διαφορές τους οριμούς και τους τύπους υπολογιμού ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Μέη Απόδοη = i ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Αναμενόμενη Απόδοη E( i) = π i i ιακύμανη αποδόεων Τυπική απόκλιη (κίνδυνος) Συνδιακύμανη αποδόεων δύο αξιογράφων Α και Β Συντελετής μεταβλητότητας (κίνδυνος ανά μονάδα απόδοης) Συντελετής υχέτιης των αποδόεων δύο αξιογράφων Α και Β ΑΒ = = = ( ) i ( )( Αi Α Βi Β) ΣΜ = ΑΒ ραβ = * Α Β ιακύμανη αποδόεων Τυπική απόκλιη (κίνδυνος) Συνδιακύμανη αποδόεων δύο αξιογράφων Α και Β Συντελετής μεταβλητότητας (κίνδυνος ανά μονάδα απόδοης) Συντελετής υχέτιης των αποδόεων δύο αξιογράφων Α και Β = πi( i E( i) ) = = π[( i E ( )( i E ( )] ΑΒ i Α Α Β Β i = ΣΜ = Ε ( ) ρ ΑΒ ΑΒ = * Α Β

2 .. Απόδοη και κίνδυνος ε ιτορικά τοιχεία Όταν γνωρίζουμε τα ιτορικά τοιχεία για τις τιμές και τα μερίματα ενός αξιογράφου τότε μπορούμε να υπολογίουμε την πραγματοποιηθεία απόδοη του αξιογράφου ως Dt + Pt- Pt- = HP = t t Pt Για παράδειγμα ας υποθέουμε ότι μας δίνονται τα παρακάτω ιτορικά τοιχεία για την τιμή και τα μερίματα της μετοχής Α. Μετοχή Α Χρόνος (ε έτη) Τιμή Μέριμα Η απόδοη κάθε έτος θα υπολογίζεται από τον τύπο t = D + P-P P t t t- t Ειδικότερα οι αποδόεις τους έτη, 3,4,5,6 & 7 υπολογίζονται όπως παρακάτω ( ΠΡΟΣΟΧΗ! Για να υπολογίω την απόδοη ε κάποια χρονική τιγμή θα πρέπει να γνωρίζω την τιμή τη προηγούμενη χρονική περίοδο. Αυτός είναι ο λόγος που δεν μπορώ να υπολογίω απόδοη το έτος ) D + P -P 0, ,87 57,75 P 57,75 = = = = 0,0480 4,80%

3 D + P-P 0, ,37 59, = = = = P 59,87 0,0630 6,30% 4 D + P -P 0, ,50 55,37 P 55, = = = = 3 0,059,59% D + P-P 0,7 + 56,5 55, = = = = P4 55,50 D + P-P 0, , = = = = P5 56,5 0,065,65% 0,063 6,3% 7 D + P -P 0, , 5 59 P = = = = 6 0,0334 3,34% Επομένως για τη μετοχή Α υπολογίαμε τις ετήεις αποδόεις Μετοχή Α Χρόνος (ε έτη) Τιμή Μέριμα Ετήιες Απόδοη % % % % % % Η μέη απόδοη της μετοχής θα δίνεται από = Συνεπώς i = Εάν αντικατατήουμε τις αποδόεις η μέη απόδοη θα είναι 3

4 0, ( 0,0630) + 0, , , ,0334 = = 0, 003 =, 03% 6 Προκειμένου να βρούμε τον κίνδυνο των αποδόεων πρέπει να βρούμε αρχικά τη διακύμανη των αποδόεων Η διακύμανη των αποδόεων θα βρεθεί από Επομένως = ( ) i ( ) + ( 3 ) + ( 4 ) + ( 5 ) + ( 6 ) + ( 7 ) = 6 Εάν αντικατατήουμε τις αποδόεις η μέη διακύμανη των αποδόεων θα είναι (0, , 003) + ( 0, 063 0, 003) + (0, 059 0, 003) + (0, 065 0, 003) + (0, 063 0, 003) + (0, , 003) = = 0, Ο κίνδυνος των αποδόεων μετράται από την τυπική απόκλιη = = = = 0,0064 0,0405 4,05% Ο κίνδυνος των αποδόεων ανά μονάδα κινδύνου μετράται με το υντελετή μεταβλητότητας ΣΜ ΣΜ = 0,0405, 99 = 0,003 = ΠΡΟΣΟΧΗ! Όταν είναι να επιλέξουμε μεταξύ αξιόγραφων θα επιλέγουμε αυτό με τον μικρότερο υντελετή μεταβλητότητας 4

5 Εάν έχουμε τις ιτορικές αποδόεις αξιόγραφων θα είματε ε θέη να υπολογίουμε τη υνδιακύμανη και το υντελετή υχέτιης μεταξύ των αποδόεων αξιογράφων. Παράδειγμα Έτω ότι οι ετήιες αποδόεις των μετοχών Α και Β δίνονται τον παρακάτω πίνακα Έτος Απόδοη μετοχής Α ( ia) Απόδοη μετοχής Β ( ib ) 004 5% % 005 0% 5% 006 3% 5% 007-5% -0% 008 -% -8% 009 9% 4% Να υπολογιτεί η υνδιακύμανη και ο υντελετής υχέτιης των αποδόεων των μετοχών Αρχικά υπολογίζουμε τη μέη απόδοη κάθε μετοχής Η μέη απόδοη της μετοχής Α είναι A ia 0,5 + 0,0 + 0,03 + ( 0,05) + ( 0,) + 0,09 = = = 0, Η μέη απόδοη της μετοχής Β είναι B ib 0, + 0,5 + 0,05 + ( 0,0) + ( 0,08) + 0,04 = = = 0,03 6 Ο κίνδυνος κάθε μετοχής δίνεται από την τυπική απόκλιη των αποδόεων Προκειμένου να βρούμε την τυπική απόκλιη των αποδόεων αρχικά βρίκουμε τη διακύμανη των αποδόεων κάθε μετοχής. 5

6 ( ia A) (0,5 0,0333) + (0,0 0,0333) + 0, (0,09 0,0333) = = = 0, A ( ib B ) (0, 0,03) + (0,5 0,03) + 0, (0,04 0,03) = = = 0, B H τυπική απόκλιη κάθε μετοχής δίνεται από = Α = = A 0, , 093 = = 0, = 0, 093 Β Β Η υνδιακύμανη των αποδόεων των μετοχών είναι ίη με AΒ ΑΒ ( ia A)( iβ Β) = (0,5 0,0333)*(0, 0,03) (0,09 0,0333)*(0,04 0,03) = = 0, Ο υντελετής υχέτιης των αποδόεων των μετοχών είναι ΑΒ 0,00646 ραβ = = = 0,74 * 0,093*0,093 Α Β Παρατηρήεις για το υντελετή υχέτιης. Ο υντελετής υχέτιης μας δείχνει το κατά πόο υπάρχει γραμμική χέη μεταξύ μεταβλητών. Στην περίπτωη του παραδείγματος ο υντελετής υχέτιης μας δείχνει κατά πόο ευταθεί μια εξίωη της μορφής A = α + β * Β. Οι τιμές του υντελετή υχέτιης κυμαίνονται από ρ Εάν ρ=- υπάρχει τέλεια αρνητική γραμμική χέη μεταξύ των αποδόεων ρ=0 δεν υπάρχει γραμμική χέη μεταξύ των αποδόεων ρ= υπάρχει τέλεια θετική γραμμική χέη μεταξύ των αποδόεων. 6

7 .. Απόδοη και κίνδυνος ε αναμενόμενα τοιχεία Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε πως υπολογίζουμε την αναμενόμενη απόδοη και τον κίνδυνο ενός αξιογράφου όταν μας δίνεται η κατανομή πιθανοτήτων χετικά με τις αποδόεις του. Στην περίπτωη αυτή υπολογίζουμε την απόδοη που αναμένουμε το μέλλον γι αυτό και προάπτουμε πιθανότητες για κάθε πιθανή απόδοη. πιθανότητα Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης (Αγορά) Κρατικό Ομόλογο 0. -5% % -8% 5% 0.3 0% 5% 4% 5% 0.5 5% -5% 0% 5% Να βρεθεί η αναμενόμενη απόδοη, ο κίνδυνος, ο υντελετής μεταβλητότητας (χετικός κίνδυνος), η υνδιακύμανη και ο υντελετής υχέτιης των αξιογράφων Αναμενόμενη απόδοη Η αναμενόμενη απόδοη της μετοχής Α δίνεται από E ( ) = π = 0,0*( 0,5) + 0,3*0,0 + 0,5*0,5 = 0,5 Α i iα Η αναμενόμενη απόδοη της μετοχής Β δίνεται από E ( ) = π = 0,0*0, + 0,3*0,05 + 0,5*( 0,05) = 0,04 Β i iβ Η αναμενόμενη απόδοη του γενικού δείκτη ή αγοράς δίνεται από E ( ) = π = 0,0*( 0,08) + 0,3*0,04+ 0,5*0,0 = 0,046 Μ i iμ Η αναμενόμενη απόδοη του κρατικού ομολόγου είναι ίη με 7

8 E ( ) = π = 0,0*0,05+ 0,3*0,05+ 0,5*0,05= 0,05 Ο i iο ιακύμανη αποδόεων Η διακύμανη της απόδοης της μετοχής Α δίνεται από Α πi iα E Α = ( ( )) = 0,*( 0,5 0,5) + 0,3*(0,0 0,5) + 0,5*(0,5 0,5) = 0.03 Η διακύμανη της απόδοης της μετοχής Β δίνεται από Β πi iβ E Β = ( ( )) = 0,*(0, 0,04) + 0,3*(0,05 0,04) + 0,5*( 0,05 0,04) = Η διακύμανη της απόδοης του γενικού δείκτη (αγοράς) δίνεται από Μ πi iμ E Μ = ( ( )) = 0,*( 0,08 0,046) + 0,3*(0,04 0,046) + 0,5*(0, 0,046) = 0,0046 Η διακύμανη της απόδοης του κρατικού ομολόγου δίνεται από Ο = πi( iο E( Ο)) = 0, *(0, 05 0, 05) + 0,3*(0, 05 0, 05) + 0,5*(0, 05 0, 05) = 0 Τυπική απόκλιη ( κίνδυνος) Η τυπική απόκλιη (κίνδυνος) των αποδόεων της μετοχής Α δίνεται από Α = = 0.03 = 0,5 = 5, % Α Η τυπική απόκλιη (κίνδυνος) των αποδόεων της μετοχής Β δίνεται από Β = = 0,0046 = 0,068 = 6,8% Β Η τυπική απόκλιη (κίνδυνος) των αποδόεων της αγοράς δίνεται από Μ = = 0,0046 = 0,068 = 6,8% Μ Η τυπική απόκλιη (κίνδυνος) των αποδόεων του κρατικού ομολόγου δίνεται από Ο = = 0 = 0 Ο Συντελετής μεταβλητότητας ( χετική μέτρηη του κινδύνου κίνδυνος ανά μονάδα απόδοης) Ο υντελετής μεταβλητότητας της μετοχής Α είναι 8

9 Α 0,5 ΣΜ Α = = =, Ε( ) 0,5 Α Ο υντελετής μεταβλητότητας της μετοχής Β είναι Β 0,068 ΣΜ Β = = = 4,88 Ε( ) 0,04 Β Επομένως εάν ο επενδυτής έπρεπε να επιλέξει μεταξύ των μετοχών Α και Β θα έπρεπε να επιλέξει τη μετοχή Α που έχει το μικρότερο υντελετή μεταβλητότητας κίνδυνο ανά μονάδα απόδοης Συνδιακύμανη Η υνδιακύμανη των αποδόεων της μετοχής Α με τη μετοχή Β δίνεται από = π[( E( )( E( )] ΑΒ i Αi Α Βi Β = 0,0*(-0,5-0,5)*(0,-0,04) + 0,3*(0,0 0,5)*(0,05 0,04) + 0,5*(0,5 0,5)*( 0,05 0,04) = 0,000 Η υνδιαοκύμανη των αποδόεων της μετοχής Α με την αγορά δίνεται από = π[( E( )( E( )] ΑΜ i Αi Α Μi Μ = 0,0*(-0,5-0,5)*( 0,08-0,046) + 0,3*(0,0 0,5)*(0,04 0,046) + 0,5*(0,5 0,5)*(0,0 0,046) = 0,0035 Η υνδιακύμανη των αποδόεων της μετοχής Β με την αγορά δίνεται από = π[( E( )( E( )] ΒΜ i Βi Α Μi Μ = 0,0*(0,-0,04)*( 0,08-0,046) + 0,3*(0,05 0,04)*(0,04 0,046) + 0,5*(0,5 0,5)*( 0,05 0,064) = 0,0044 Τέλος οι υνδιακύμανεις της μετοχής Α με το κρατικό ομόλογο, της μετοχής Β με το κρατικό ομόλογ και της αγοράς Μ με το κρατικό ομόλογο είναι ίες με μηδέν ΑΟ = 0 9

10 ΒΟ = 0 ΜΟ = 0 Συντελετής υχέτιης Ο υντελετής υχέτιης της μετοχής Α με τη Β είναι ρ ΑΒ ΑΒ 0,000 = = = 0,97 * 0,5*0,068 Α Β Παρατηρούμε ότι οι μετοχές Α και Β έχουν χεδόν τέλεια γραμμική αρνητική υχέτιη. Αυτό ημαίνει ότι όταν αυξάνονται οι αποδόεις της μετοχής Α μειώνονται οι αποδόεις της μετοχής Β Ο υντελετής υχέτιης της μετοχής Α με την αγορά είναι ρ ΑΜ ΑΜ 0,0035 = = = 0,99 * 0,5*0,068 Α M Παρατηρούμε ότι οι μετοχή Α και ο γενικός δείκτης (αγορά) έχουν χεδόν τέλεια γραμμική θετική υχέτιη. Αυτό ημαίνει ότι όταν αυξάνονται οι αποδόεις της αγοράς (γενικού δείκτη) αυξάνονται οι αποδόεις της μετοχής Α - Η μετοχή Α ακολουθεί την αγορά Ο υντελετής υχέτιης της μετοχής Β με την αγορά είναι ρ BΜ BΜ 0,0044 = = = 0,957 * 0,068*0,068 B M Παρατηρούμε ότι η μετοχή Β και η αγορά έχουν χεδόν τέλεια γραμμική αρνητική υχέτιη. Αυτό ημαίνει ότι όταν αυξάνονται οι αποδόεις της αγοράς (γενικού δείκτη) μειώνονται οι αποδόεις της μετοχής Β - Η μετοχή Β κινείται αντίθετα από την αγορά Τέλος οι υντελετές υχέτιης της μετοχής Α, Β και της αγοράς με το κρατικό ομόλογο μηδενικού κινδύνου είναι ίοι με μηδέν. Οι αποδόεις του κρατικού ομολόγου είναι ταθερές και δεν χετίζονται με τις αποδόεις των μετοχών και της αγοράς. ρ ΑΟ = 0 ρ ΒΟ = 0 ρ ΜΟ = 0 0

11 Τα αποτελέματα υνοψίζονται τον παρακάτω πίνακα ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΟΣΗ ΚΑΙ ΚΙΝ ΥΝΟΣ Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης Κρατικό Ομόλογο Αναμενόμενη,5%,4% 4,6% 5% Απόδοη Κίνδυνος 5,% 6,8% 6,8% 0% ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ - ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ Συνδιακύμανη Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης Κρατικό Ομόλογο Μετοχή Α 0,03-0,000 0, Μετοχή Β -0,000 0,0046-0, Γενικός είκτης 0,0035-0,0044 0, Κρατικό Ομόλογο ΠΡΟΣΟΧΗ! Η υνδιακύμανη των αποδόεων μιας μετοχής με τις αποδόεις της ι ίδιας της μετοχής μας δίνει τη διακύμανη των αποδόεων της δηλαδή Α = ΑΑ

12 . Απόδοη και κίνδυνος χαρτοφυλακίου Στην ενότητα αυτή θα εξετάουμε πως υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου τόο εάν μας δίνονται ιτορικά τοιχεία και έχουμε υπολογίει τις μέες αποδόεις και του κινδύνους των αξιογράφων που απαρτίζουν το χαρτοφυλάκιο όο εάν έχουμε τη διάθεη μας τις κατανομές των αποδόεων και έχουμε υπολογίει τις αναμενόμενες αποδόεις και κινδύνους των αξιογράφων που απαρτίζουν το χαρτοφυλάκιο. Με w θα υμβολίζουμε το ποοτό ( υντελετή τάθμιης) όπου κάθε αξιόγραφο υμμετέχει το χαρτοφυλάκιο. Σε ότι αφορά τα ιτορικά τοιχεία θα έχουμε Μέη απόδοη χαρτοφυλακίου w i i i = ιακύμανη αποδόεων χαρτοφυλακίου N N = j= ww ι j ij Για 3 αξιόγραφα η διακύμανη των αποδόεων ενός χαρτοφυλακίου είναι = w + w + w + w w + w w + w w Για αξιόγραφα η διακύμανη των αποδόεων ενός χαρτοφυλακίου είναι = w + w + w w ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα μπορούε να μας έδινε αν δεδομένο το υντελετή υχέτιης και να μην ήταν αναγκαίο να αντικατατήουμε τη υνδιακύμανη. Θυμηθείτε ότι ο υντελετής υχέτιης είναι ίος με ρ = = ρ * *,, * Επομένως ο τύπος της διακύμανης μπορεί να γραφτεί και ως = w + w + w ρ w,

13 Τυπική απόκλιη ενός χαρτοφυλακίου (απόλυτη μέτρηη του κίνδυνου) = Παράδειγμα : Tα παρακάτω τοιχεία αφορούν τις ετήιες αποδόεις των μετοχών της Geeral Motors () και της Microsoft (MSFT) για τα έτη Για να υπολογίουμε την μέη απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από 50% επένδυη τη και 50% επένδυη τη ΜSFT θα ακολουθήουμε τα παρακάτω βήματα. Χαρτοφυλάκιο με μετοχές της ( Geeral Motors) και της MSFT (Microsoft) ποοτά υμμετοχής το χαρτοφυλάκιο ποοτό υμμετοχής - w 50% ποοτό υμμετοχής MSFT - w 50% Ημερομηνία Αποδόεις μετοχών Αποδόεις Χαρτοφυλακίου MSFT εκ % 7.99% 30.73% εκ %.76% 55.% εκ % 5.% 5.8% εκ % -5.56% 33.54% εκ % 5.63% 4.93% εκ % 43.56% 35.84% εκ % 88.3% 48.39% εκ % 56.43% 37.7% εκ-98.09% 4.60% 67.85% εκ-99.34% 68.36% 44.85% Μέη Απόδοη 4.5% 6.7% 38.49% 3

14 ιακύμανη αποδόεων 6.38% 4.43%.44% Τυπική απόκλιη 5.5% 37.99% 5.6% Συνδιακύμανη,,MSFT =Cov(r,r MSFT ) -5.5% Αρχικά υπολογίζουμε τη μέη απόδοη, τον κίνδυνο και τη υνδιακύμανη των μετοχών Μέες αποδόεις και ΜSFT H μέη απόδοη της μετοχής είναι i = = 4,5% Η μέη απόδοη της μετοχής MSFT είναι MSFT imsft = = 6,7% ιακυμάνεις αποδόεων και ΜSFT ( i ) = = 6,38% (imsft MSFT MSFT ) = = 4,43% Tυπικές αποκλίεις ( κίνδυνοι) αποδόεων και MSFT = = 0, 0638 = 5, 5% MSFT = = 0,443 = 37,99% MSFT Συνδιακύμανη αποδόεων και ΜSFT, MSFT ( i )( MSFTi MSFT ) = = 0,055 4

15 Η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου που αποτελείται από 50% επένδυη τη ( w = 50% ) και κατά το υπόλοιπο 50% από επένδυη τη ΜSFT ( w = 50% θα δίνεται από = w = w * + w * i i MSFT MSFT i = 0,5*0,45 + 0,5*0,67 = 0,3849 = 38, 49% Η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου θα δίνεται από = w + w + w w MSFT MSFT MSFT, MSFT MSFT = 0,5 *0, ,5 *0,443+ *0,5*0,5*( 0, 055) = 0, 044 ΠΡΟΣΟΧΗ! Θα μπορούε να μας έδινε αν δεδομένο το υντελετή υχέτιης και να μην ήταν αναγκαίο να αντικατατήουμε τη υνδιακύμανη. Θυμηθείτε ότι ο υντελετής υχέτιης είναι ίος με ρ ρ, MSFT, ΜSFT =, MSFT =, ΜSFT * * MSFT * MSFT Επομένως ο τύπος της διακύμανης μπορεί να γραφτεί και ως = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT Η τυπική απόκλιη ( κίνδυνος) των αποδόεων του χαρτοφυλακίου είναι = = 0,044 = 0,56 = 5,6% Οι ίδιοι τύποι θα χρηιμοποιούνται και όταν μας δίνονται αναμενόμενες αποδόεις και κίνδυνοι ( μελλοντικά τοχεία). Συγκεκριμένα Αναμενόμενη απόδοη χαρτοφυλακίου ( με αξιόγραφα) Ε ( ) = ( ) = * ( ) + * ( ) we i i w E w E ιακύμανη αποδόεων χαρτοφυλακίου ( αξιόγραφα) = w + w + w w 5

16 ή = w + w + ww ρ,. Αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων Στο προηγούμενο παράδειγμα υπολογίαμε την αναμενόμενη απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου με δεδομένο ότι έχουμε επενδύει 50% τη και 50% τη ΜSFT. Ο παραπάνω πίνακας μας δίνει την μέη απόδοη και τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου για διάφορα χαρτοφυλάκια που έχουν δημιουργηθεί από τις μετοχές και ΜSFT με διαφορετικά ποοτά επένδυης τις μετοχές ποοτό ποοτό επένδυης επένδυης τυπική Μέη τη τη MSFT απόκλιηαπόδοη 0% 00% 37.99% 6.7% 0% 90% 3.80% 57.87% 0% 80% 7.79% 53.03% 30% 70% 3.08% 48.8% 40% 60% 8.88% 43.33% 50% 50% 5.6% 38.49% 60% 40% 3.98% 33.64% 70% 30% 4.5% 8.79% 80% 0% 7.0% 3.95% 90% 0% 0.78% 9.0% 00% 0% 5.5% 4.5% Eαν αναπαρατήουμε γραφικά τη χέη μεταξύ της απόδοης και του κινδύνου (τυπική απόκλιη των αποδόεων) των παραπάνω χαρτοφυλακίων εξάγουμε το παρακάτω γράφημα Τα χαρτοφυλάκια που δημιουργήθηκαν είναι δυνατόν να διαχωριτούν ε αποτελεματικά και μη αποτελεματικά χαρτοφυλάκια. Αποτελεματικό είναι ένα χαρτοφυλάκιο που 6

17 Για το ίδιο επίπεδο κινδύνου αποδίδει μεγαλύτερη απόδοη από οποιοδήποτε άλλο χαρτοφυλάκιο Για το ίδιο επίπεδο απόδοης έχει το μικρότερο κίνδυνο ε χέη με οποιοδήποτε άλλο χαρτοφυλάκιο Το άνω τμήμα της καμπύλης που αποτελείται από τα αποτελεματικά χαρτοφυλάκια ονομάζεται αποτελεματικό ύνορο. Αναμενόμενη απόδοη, E(r ),700 Απόδοη και κίνδυνος χαρτοφυλακίου- Αποτελεματικό Σύνορο,600,500,400,300,00,00 Το χαρτοφυλάκιο ελάχιτης διακύμανης Tα χαρτοφυλακία το πάνω μέρος είναι αποτελεματικά - εμφανίζουν μια θετική χέη μεταξύ κινδύνου και απόδοης. Το τμήμα της καμπύλης με τα αποτελεματικά χαρτοφυλάκια είναι το αποτελεματικό ύνορο,000,000,050,00,50,00,50,300,350,400 Τυπική απόκλιη αποδόων χαρτουφυλακίου, Το χαρτοφυλάκιο ελάχιτης διακύμανης υπολογίζεται εάν ελαχιτοποιήουμε τη υνάρτηη της διακύμανης ως προς το ποοτό τάθμιης της μίας μετοχής Συγκεκριμένα γνωρίζουμε ότι = w + w + w w MSFT MSFT MSFT, MSFT και ότι w + w = w = w MSFT MSFT Εάν αντικατατήουμε τη υνάρτηη της διακύμανης έχουμε = w + ( w ) + w *( w ) * MSFT, MSFT Μια υνάρτηη έχει ελάχιτο όταν ιχύουν οι παρακάτω υνθήκες 7

18 d Συνθήκη ά τάξης : dw = 0 Συνθήκη B τάξης d > 0 dw Ειδικότερα εάν υπολογίουμε τις παραγώγους έχουμε d dw = + w ( w ) MSFT ( 4 w ), MSFT d 4 MSFT, MSFT dw = + >0 Καθώς ύμφωνα με τα ευρήματα μας, MSFT <0 Θέτοντας την πρώτη παράγωγο ίη με το μηδέν και λύνοντας ως προς το ποοτό επένδυης της έχουμε w ( w ) MSFT ( 4 w ), MSFT MSFT, MSFT w = + MSFT, MSFT + = 0 Εάν αντικατατήουμε έχουμε ότι το χαρτοφυλάκιο ελάχιτης διακύμανης πρέπει να επενδύουμε τη w 0,443 ( 0, 055) = = = 0, 684 = 6,84% + 0, ,443 *( 0, 055) MSFT, MSFT MSFT, MSFT Και το ποοτό που πρέπει να επενδύουμε τη MSFT είναι w = w w = 0, 684 = 0,386 = 38,6% MSFT MSFT Στην περίπτωη αυτή η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου θα ήταν = w = w * + w * i i MSFT MSFT i = 0,684*0,45 + 0,386*0,67 = 0,374 = 3,74% 8

19 η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου θα ήταν = w + w + w w MSFT MSFT MSFT, MSFT = 0, 684 *0, ,386 *0,443+ *0, 684*0,386*( 0, 055) = 0, 093 Η τυπική απόκλιη ( κίνδυνος) του χαρτοφυλακίου ελάχιτης διακύμανης είναι = = 0,093 = 0,39 = 3,9%.3 Συντελετής υχέτιης, διαφοροποίηη και κίνδυνος χαρτοφυλακίου Στο προηγούμενο αριθμητικό παράδειγμα με τα προηγούμενα δεδομένα ο υντελετής υχέτιης ήταν αρνητικός ρ, ΜSFT 0,055 * 0,55*0,3799, MSFT = = = MSFT 0,57 Σε αυτή την ενότητα θα εξετάουμε κατά πόο ο υντελετής υχέτιης μεταξύ των αποδόεων των αξιογράφων έχει ημαία για τη μείωη του κινδύνου όλου του χαρτοφυλακίου Η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου δίνεται ως = w + w + w w MSFT MSFT MSFT, MSFT Εάν αντικατατήουμε τη υνδιακύμανη, MSFT ρ, Μ =, = ρ, Μ * * * SFT MSFT SFT MSFT MSFT Καταλήγουμε ότι η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT ιακρίνουμε τις παρακάτω τρεις περιπτώεις Έτω οι μετοχές έχουν θετική υχέτιη (ρ,msft =0,5) Στην περίπτωη αυτή όπως βλέπουμε το αποτελεματικό ύνορο έχει μετατοπιτεί προς τα δεξιά καθώς για όλα τα υπο εξέταη χαρτοφυλάκια έχει αυξηθεί ο κίνδυνος για δεδομένη απόδοη. 9

20 Έτω οι μετοχές έχουν τέλεια θετική υχέτιη (ρ,msft =) Στην περίπτωη αυτή όπως βλέπουμε το αποτελεματικό ύνορο είναι ευθεία γραμμή και όλα τα υπό εξέταη χαρτοφυλάκια έχουν το μέγιτο κίνδυνο για δεδομένη απόδοη.. Όπως θα δούμε η διαφοροποίηη δεν μειώνει τον κίνδυνο. Ο κίνδυνος του επενδυτή είναι ο ίδιος με αυτόν που θα είχε εάν επένδυε τις μετοχές ξεχωριτά. Γνωρίζουμε ότι = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT Για ρ,msft = καταλήγουμε = w + w + w w * * MSFT MSFT MSFT MSFT = ( w + w ) MSFT MSFT = w + w MSFT MSFT ηλαδή ο κίνδυνος του χαρτοφυλακίου είναι ο ταθμικός μέος των επι μέρους κινδύνων των μετοχών. εν υπάρχει κέρδος από την διαφοροποίηη 0

21 Έτω οι μετοχές έχουν τέλεια αρνητική υχέτιη (ρ,msft = -) Στην περίπτωη αυτή μπορούμε να χηματίουμε ένα χαρτοφυλάκιο που θα προομοιώνει μια επένδυη μηδενικού κινδύνου. Αυτό θα είναι το χαρτοφυλάκιο μηδενικού κινδύνου. Το χαρτοφυλάκιο μηδενικού κινδύνου τη περίπτωη αυτή θα βρεθεί εάν ελαχιτοποιήουμε τη υνάρτηη διακύμανης με δεδομένα ότι ρ = και w + w = w = w, MSFT MSFT MSFT Γνωρίζουμε ότι = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT Για ρ,msft =- καταλήγουμε = w + w w w * * MSFT MSFT MSFT MSFT = w + ( w ) w ( w ) * * MSFT MSFT Εάν ελαχιτοποιήουμε τη υνάρτηη διακύμανης καταλήγουμε ε w MSFT 0,67 = = = 0,60066 = 60,066% + 0,67 + 0,45 ΜSFT

22 Αντίτοιχα το ποοτό επένδυης τη MSFT για το οποίο έχουμε ελάχιτο κίνδυνο είναι w MSFT = w = 0, = 0,39934 = 39,934% Στην περίπτωη αυτή η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου θα ήταν = w = w * + w * i i MSFT MSFT i = 0,60066*0,45 + 0,39934*0,67 = 0,336 = 33,6% η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου θα ήταν = w + w + w w * ρ * * MSFT MSFT MSFT, ΜSFT MSFT = 0, *0, ,39934 *0,443+ *0, 60066*0,39934*0, 55*0,3799*( ) = 0 Η τυπική απόκλιη ( κίνδυνος) του χαρτοφυλακίου ελάχιτης διακύμανης είναι = = 0 = 0 Επομένως όταν έχουμε τέλεια αρνητική υχέτιη μεταξύ των μετοχών. Η διαφοροποίηη μειώνει τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου. Είναι δυνατό να δημιουργήουμε ένα χαρτοφυλάκιο με μηδενικό κίνδυνο

23 Συμπεράματα Όταν έχουμε αρνητική υχέτιη των αποδόεων μετοχών (-<ρ<0) τότε η διαφοροποίηη της επένδυης μας ε ένα χαρτοφυλάκιο με τις αυτές μετοχές μειώνει τον κίνδυνο μας ε χέη με την μεμονωμένη επένδυη τις μετοχές Όταν έχουμε τέλεια αρνητική υχέτιη (ρ=-) μεταξύ των αυτών μετοχών τότε μπορούμε να πετύχουμε απόδοη με μηδενικό κίνδυνο, δηλαδή με τη διαφοροποίηη μειώνουμε τον κίνδυνο τον ελάχιτο βαθμό. Όταν έχουμε τέλεια θετική υχέτιη μεταξύ των αποδόεων των μετοχών (ρ=) τότε η διαφοροποίηη της επένδυης μας δεν μειώνει τον κίνδυνο.4 Απόδοη και κίνδυνος χαρτοφυλακίου με ακίνδυνο αξιόγραφο Έτω ότι κατακευάζουμε ένα χαρτοφυλάκιο με μία μετοχή Α και ένα αξιόγραφο μηδενικού κινδύνου F, όπως πχ ένα έντοκο γραμμάτιο του δημοίου Η αναμενόμενη απόδοη του χαρτοφυλακίου θα είναι Ε ( ) = we( ) = w * E( ) + w * i i Α Α f f Όπου E ( Α ) = αναμενόμενη απόδοη της μετοχής Α f = απόδοη μηδενικού κινδύνου ( δεν βάζουμε το ύμβολο της αναμενόμενης τιμής Ε γιατί η απόδοη είναι ίγουρη και όχι αναμενόμενη!) Η διακύμανη των αποδόεων του χαρτοφυλακίου θα είναι = waa+ wff + wawfa, F Mε δεδομένο ότι το αξιόγραφο μηδενικού κινδύνου δεν έχει κίνδυνο θα έχουμε ότι F = 0 και, A F, = ρα, * Α* A F F F Επομένως η διακύμανη καταλήγει ε w = AA = wa Α =0 καθώς η υνδιακύμανη αναλύεται ε ηλαδή ο κίνδυνος του νέου χαρτοφυλακίου θα είναι ίος με το τι ποοτό επενδύαμε το επικίνδυνο αξιόγραφο επί τον κίνδυνο του επικίνδυνου αξιογράφου. 3

24 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΑ. Έτω τα παρακάτω δεδομένα για τις αναμενόμενες αποδόεις και κινδύνους των μετοχών Α και Β, του Γενικού είκτη και ενός κρατικού ομολόγου μηδενικού κινδύνου με απόδοη 5% ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΑΠΟ ΟΣΗ ΚΑΙ ΚΙΝ ΥΝΟΣ Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης Αναμενόμενη,5%,4% 4,6% Απόδοη Κίνδυνος 5,% 6,8% 6,8% ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ - ΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ Συνδιακύμανη Μετοχή Α Μετοχή Β Γενικός είκτης Μετοχή Α 0,03-0,000 0,0035 Μετοχή Β -0,000 0,0046-0,0044 Γενικός είκτης 0,0035-0,0044 0,0046 Να βρεθεί η αναμενόμενη απόδοη και κίνδυνος ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από α) 50% από τη μετοχή Α και 50% από τη μετοχή Β β) 50% από τη μετοχή Α και 50% από το κρατικό ομόλογο γ) 30% από τη μετοχή Α, 30 % από τη μετοχή Β και 40% από το κρατικό ομόλογο δ) 50% από τη μετοχή Α και 50% από ένα αμοιβαίο κεφάλαιο με μετοχές του γενικού δείκτη ε) 50% από τη μετοχή Β και 50% και 50% από ένα αμοιβαίο κεφάλαιο με μετοχές του γενικού δείκτη τ) 30% από τη μετοχή Α, 30 % από τη μετοχή Β και 0% από ένα αμοιβαίο κεφάλαιο με μετοχές του γενικού δείκτη και 0% από ένα κρατικό ομόλογο. Έτω ότι γνωρίζετε τα ακόλουθα τοιχεία για τις μετοχές των εταιριών Α και Β Μετοχή Α Μετοχή Β Αναμενόμενη απόδοη 5% 48% ιακύμανη αποδόεων 0,08 0,6 Συντελετής υχέτιης 0,03094 αποδόεων 4

25 α) Να βρείτε την αναμενόμενη απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου όπου η μετοχή Α υμμετέχει κατά 90% και κατά το υπόλοιπο 0% η μετοχή Β β) Προτείνετε ένα υγκεκριμένο χαρτοφυλάκιο όπου βελτιώνεται η απόδοη ε χέη με το ερώτημα α) αλλά διατηρείται το ίδιο επίπεδο κινδύνου γ) Υπολογίτε τον κίνδυνο του χαρτοφυλακίου ελαχίτου κινδύνου. 3. Έτω ότι έχετε τα παρακάτω δεδομένα για τις μετοχές «ΑΒΓ» και «ΕΖ» Αναμενόμενη Απόδοη (%) Τυπική απόκλιη απόδοης (%) Μετοχή «ΑΒΓ» 5 33 Μετοχή «ΕΖ» 5 46 Συνδιακύμανη αποδόεων 0,0865 Α) Υπολογίτε την αναμενόμενη απόδοη και τον κίνδυνο ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται κατά 5% από τη μετοχή «ΑΒΓ» και κατά 75% από τη μετοχή «ΕΖ» Β) Υπολογίτε τις αποδόεις των χαρτοφυλακίων για υνδυαμούς των μετοχών με τους υντελετές τάθμιης να αυξάνονται με βήμα 0% ( από 0%,0%, 00%). Παρατήτε γραφικά αυτούς τους υνδυαμούς Γ) Βρείτε το χαρτοφυλάκιο ελάχιτης διακύμανης 4. ίνονται τα παρακάτω ιτορικά δεδομένα για 3 μετοχές Μετοχή Μετοχή Μετοχή 3 Χρόνος (ε μήνες) Τιμή Μέριμα Τιμή Μέριμα Τιμή Μέριμα α) Να υπολογίετε την μηνιαία πραγματοποιηθεία απόδοη για κάθε μετοχή β) Να υπολογίετε την μέη απόδοη κάθε μετοχής, τον κίνδυνο και τον υντελετή μεταβλητότητας γ) Να υπολογίετε τον υντελετή υχέτιης μεταξύ και των τριών μετοχών 5

26 δ) Να βρείτε την μέη απόδοη, τον κίνδυνο των αποδόεων και των υντελετή μεταβλητότητας των αποδόεων που είχαν τα παρακάτω χαρτοφυλάκια Συμμετοχή το χαρτοφυλάκιο ΧΑΡTOΦΥΛΑΚΙΟ Μετοχή Μετοχή Μετοχή 3 Α 30% 40% 30% Β 40% 60% - Γ 45% - 55% 6

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 3 η 4 η. Ανάλυη Θεωρίας Χαρτοφυλακίου 1. Αναµενόµενη Χρηιµότητα και Καµπύλες Αδιαφορίας. Κινδύνος και Απόδοη Χαρτοφυλακίου

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΛΕΛΕΔΑΚΗΣ Άσκηση : ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΜΕΤΟΧΗ Α ΜΕΤΟΧΗ Β Απόδοση Πιθανότητα Απόδοση Πιθανότητα -0,0 0,50-0,0 0,50 0,50

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

www.oleclassroom.gr ΘΕΜΑ 4 Στον πίνακα που ακολουθεί παρατίθενται οι κατανομές των αποδόσεων δύο μετοχών. Πιθανότητα (π ) 0,5 0,5 0,5 0,5 r Α 10% 6% 13% 3% r Β 0% 5% -1% 16% Α. Να υπολογιστεί η εκτιμώμενη

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής Στοχατική Προοµοίωη ιδιάτατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηη της Εµµονής Παρουίαη ιπλωµατικής Εργαίας 22/07/2004 Νίκος Θεοδωράτος Επιβλέπων:. Κουτογιάννης, Αν. Καθηγητής Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt

όπου Z 1,Z 2,,Z n ανεξ. τ.μ. που ακολουθούν N(0,1), δηλαδή μ Δt + σ Δt Zi σ 2 Δt) για κάποιες σταθερές μ, σ 2. Οι τ.μ. Δ t Z1, Δt 5.3. Προομοίωη τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων Σε αυτή την παράγραφο θα εξετάουμε ένα μοντέλο που μπορεί να χρηιμοποιηθεί για την μελέτη της εξέλιξης των τιμών χρηματοοικονομικών προϊόντων (π.χ. μετοχές,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τιμολόγηση Δικαιωμάτων σε συνεχή χρόνο Το μοντέλο των Black and Scholes ΚΕΑΛΑΙΟ 6 Τιμολόγηη Δικαιμάτν ε υνεχή χρόνο Το μοντέλο τν Blk nd hol 6.. Το Μοντέλο τν Blk hol ή Blk hol Mon Έτ μια χρηματοοικονομική αγορά εξεταζόμενη το χρονικό διάτημα [0 ] για κάποιο δεδομένο Τ. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ31 Λύση 2 ης γραπτής εργασίας

ΔΕΟ31 Λύση 2 ης γραπτής εργασίας 1 ΔΕΟ31 Λύση 2 ης γραπτής εργασίας 2015-16 Προσοχή! Όλες οι εργασίες ελέγχονται για αντιγραφή. Μελετήστε προσεκτικά και δώστε τη δική σας λύση ΘΕΜΑ 1 ο Α) Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε τη μηνιαία πραγματοποιηθείσα

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ-Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ TARGET DATE FUNDS

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ-Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ TARGET DATE FUNDS ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΑ ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΚΑΙ Η ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥΣ-Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΩΝ TARGET DATE FUNDS ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΟΓΚΑΣ ιατριβή υποβληθεία προς µερική εκπλήρωη των απαραιτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N)

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Α)Με βάη το θεώρηµα Shannon για την κωδικοποίηη αναλογικού ήµατος να χαράξετε το διάγραµµα της χέης (S/N) =(), =bit/sample για ένα ήµα µε Gaussian κατανοµή. Β) Χρηιµοποιείτε τους Πίνακες 6.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var (

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var ( Στο γραμμικό υπόδειγμα y = β + u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι = β = = y Οι βαικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: E ( β ) = β, αμεροληψία, Var ( β ) = = Αν έχουμε =, τότε y = β =, ο δειγματικός μέος του y

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων

2.5 Τιµολόγηση Συµβολαίων Μελλοντικής Εκπλήρωσης και ικαιωµάτων Προαίρεσης επί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουσιακών Στοιχείων Η Αγορά Ξένου Συναλλάγµατος 6.5 ιµολόγηη Συµβολαίων Μελλοντικής Εκλήρωης και ικαιωµάτων Προαίρεης εί Χρη- µατοοικονοµικών Περιουιακών Στοιχείων ιµολόγηη υµβολαίων µελλοντικής εκλήρωης * : όου: F0, 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής Έχουε δει ότι ένα βαικό ειονέκτηα του αριθητικού έου είναι ότι είναι ευαίθητος ε ακραίες παρατηρήεις. Θηκόγραα (bo-plot) Γραφική παρουίαη των έτρων θέης ιας εταβλητής Ένας ιοταθιένος (p %) αριθητικός έος

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 1 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Ειαγωγή Η µεταβλητότητα (vibiliy) είναι η ποιότητα της µη οµοιοµορφίας ε µια κλάη οντοτήτων. Σε υτήµατα παραγωγής υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Αποτελεσματικό ονομάζεται το χαρτοφυλάκιο το οποίο έχει τη μεγαλύτερη απόδοση για δεδομένο επίπεδο κινδύνου ή το μικρότερο κίνδυνο για δεδομένο επίπεδο απόδοσης. Το σύνολο των αποτελεσματικών χαρτοφυλακίων

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ

Επιλογή του τρόπου κρούσης και απώλεια επαφής Β Γ Επιλογή του τρόπου κρούης και απώλεια επαφής Οι δύο µικρές φαίρες και του χήµατος έχουν ίες µάζες και κινούνται το λείο οριζόντιο δάπεδο. Οι φαίρες υγκρούονται και η κρούη τους είναι κεντρική και πλατική.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Ο συνολικός κίνδυνος ή τυπική απόκλιση χωρίζεται σε : α) συστηματικό κίνδυνο δηλαδή ο κίνδυνος που οφείλεται στις οικονομικοπολιτικές (γενικές) συνθήκες της αγοράς β) μη συστηματικό

Διαβάστε περισσότερα

Νόµος των Wiedemann-Franz

Νόµος των Wiedemann-Franz Άκηη 7 Νόµος των Wiedemann-Franz 7.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η µέτρηη της ταθεράς Lorentz ε δύο διαφορετικά µέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ηµαντικά. Η ταθερά του Lorentz µετράται µέω

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα