ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή ιαιθητική ειγµατοληψία ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα Απλή Τυχαία ειγµατοληψία Στρωµατοποιηµένη Τυχαία ειγµατοληψία Συτηµατική ειγµατοληψία ειγµατοληψία Κατά Οµάδες Αποτελεµατικότητα ειγµατοληπτικών Σχηµάτων... 46

3 . Ειαγωγή Στατιτική είναι η επιτήµη που αχολείται µε τη υλλογή, παρουίαη, επεξεργαία, ανάλυη και ερµηνεία αριθµητικών δεδοµένων τα οποία προέρχονται από παρατηρήεις και τα οποία αναφέρονται ε ιδιότητες φυικών, οικονοµικών και κοινωνικών φαινοµένων. Το ύνολο των παρατηρήεων που υνδέονται µε το φαινόµενο που θέλουµε να µελετήουµε ονοµάζεται πληθυµός (populato). Επειδή δε περιέχει όλες τις δυνατές παρατηρήεις ο πληθυµός αναφέρεται και επίης και ως ολότητα (uverse). Η ποότητα η οποία εκφράζει κάποιο χαρακτηριτικό του πληθυµού το οποίο θέλουµε να µελετήουµε ονοµάζεται παράµετρος (parameter). Σε αντίθεη µε τον πληθυµό που αχολείται από όλες τις δυνατές παρατηρήεις, το δείγµα (sample) περιέχει µόνο µερικές από τις παρατηρήεις. Είναι µε άλλα λόγια ένα υπούνολο του πληθυµού. Για τη υλλογή των πληροφοριών που απαιτούνται για τη διεξαγωγή µιας τατιτικής µελέτης µπορούµε να χρηιµοποιήουµε τόο την απογραφική όο και την δειγµατοληπτική µέθοδο. Με την απογραφική µέθοδο παίρνουµε πληροφορίες από κάθε τοιχείο του πληθυµού. Προφανώς µια τέτοια διαδικαία είναι εξαιρετικά χρονοβόρα και πολυδάπανη και γι αυτό πάνια χρηιµοποιείται την πράξη. Με τη δειγµατοληπτική µέθοδο, από την άλλη πλευρά παίρνουµε πληροφορίες από ένα δείγµα το οποίο περιέχει οριµένα µόνο τοιχεία του πληθυµού. Η δειγµατοληπτική µέθοδος είναι αφώς ταχύτερη και οικονοµικότερη της απογραφικής. Το ερώτηµα όµως που γεννιέται είναι αν τα υµπεράµατα που βαίζονται ε αυτή είναι εξίου αξιόπιτα µε τα υµπεράµατα που βαίζονται την απογραφή. Για να απαντηθεί το ερώτηµα αυτό θα πρέπει καταρχήν να διευκρινιθεί ότι µε οποιοδήποτε τρόπο και να επιλέξει κανείς τα τατιτικά τοιχεία αυτά θα περιέχουν κάποιο φάλµα. Τα φάλµατα διακρίνονται ε: - δειγµατοληπτικά και - µη δειγµατοληπτικά. Τα δειγµατοληπτικά φάλµατα υπάρχουν µόνο τις παρατηρήεις που υλλέγονται µε τη δειγµατοληπτική µέθοδο και οφείλονται ακριβώς το ότι οι παρατηρήεις αυτές δεν προέρχονται από όλες τις µονάδες του πληθυµού. Τα µη δειγµατοληπτικά φάλµατα παρατηρούνται τα τοιχεία που υλλέγονται και µε τις δύο µεθόδους και οφείλονται ε πολλούς παράγοντες όπως η αδύνατη µνήµη, η υτηµατική απόκρυψη τις αλήθειας και άλλες ειδικές υνθήκες. Η ύπαρξη ενός επιπλέον τύπου φάλµατος τα τοιχεία που υλλέγονται µε τη δειγµατοληπτική µέθοδο θα µπορούε ίως να θεωρηθεί ως ένδειξη ότι η µέθοδος 3

4 αυτή δειγµατοληψίας υτερεί ε αξιοπιτία. Τα πράγµατα όµως δεν είναι έτι. Αν ληφθεί υπόψη ότι από τη µία πλευρά εφαρµόζοντας ύγχρονες µεθόδους δειγµατοληψίας µπορούµε να µειώουµε το δειγµατοληπτικό φάλµα το ελάχιτο και ότι από την άλλη πλευρά οι δυνατότητες που υπάρχουν για περιοριµό του µη δειγµατοληπτικού φάλµατος είναι εκ των πραγµάτων πολύ µεγαλύτερες όταν επιλέγουνε τοιχεία παρά από τον πληθυµό υµπεραίνουµε ότι η δειγµατοληπτική µέθοδος δεν είναι µόνο ταχύτερη και οικονοµικότερη, αλλά κάτω από οριµένες υνθήκες, και πιο αξιόπιτη. Για αυτό ακριβώς το λόγο η χρήη της δειγµατοληψίας επεκτείνεται υνεχώς ε βάρος της απογραφής. Για να έχουν όµως τα τοιχεία που υλλέγονται µε τη δειγµατοληπτική µέθοδο τα παραπάνω πλεονεκτήµατα θα πρέπει το χρηιµοποιούµενο δείγµα να είναι αντιπροωπευτικό του πληθυµού. Ο βαθµός αντιπροωπευτικότητας ενός δείγµατος προδιορίζεται από δύο παράγοντες: - το µέγεθός του και - τον τρόπο επιλογής των µονάδων του. Το µέγεθος του δείγµατος προδιορίζεται µε βάη την αρχή ότι όο µεγαλύτερος είναι ο βαθµός διαποράς (ανοµοιογένειας) των τιµών του χαρακτηριτικού που εξετάζουµε µεταξύ τω µονάδων του πληθυµού τόο µεγαλύτερο πρέπει να είναι και το µέγεθος του δείγµατος. Ο τρόπος επιλογής των µονάδων του δείγµατος προδιορίζεται από την ανάγκη ελαχιτοποίηης του δειγµατοληπτικού φάλµατος και κατά υνέπεια της µεγιτοποίηης του βαθµού αντιπροωπευτικότητας του δείγµατος. Προκειµένου να επιλέξουµε από τον πληθυµό που µελετάµε το δείγµα που θα εξετάουµε πρέπει καταρχήν να ορίουµε τον πληθυµό αυτό ως ένα ύνολο επιµέρους µονάδων οι οποίες ονοµάζονται δειγµατοληπτικές µονάδες. Το ύνολο των δειγµατοληπτικών µονάδων που αντιτοιχούν τον εξεταζόµενο πληθυµό αποτελεί το πλαίιο δειγµατοληψίας. Ανάλογα µε το αντικείµενο της έρευνας η δειγµατοληπτική µονάδα µπορεί να αναφέρεται ε φυικά πρόωπα (π.χ. άνεργοι), ε αντικείµενα (π.χ. αυτοκίνητα ιδιωτικής χρήης) ή ε γεγονότα (π.χ. εργατικά ατυχήµατα). Επιπλέον πολλές φορές η δειγµατοληπτική µονάδα είναι τεχνητή µε την έννοια ότι καθορίζεται αποκλειτικά για τους κοπούς της υγκεκριµένης δειγµατοληψίας. Αν, για παράδειγµα, θέλουµε να πάρουµε δείγµα από το έδαφος µιας περιοχής χωρίζουµε την επιφάνεια του χάρτη της περιοχής ε µικρά τετράγωνα και επιλέγουµε κάποια από αυτά. Στην περίπτωη αυτή δειγµατοληπτική µονάδα είναι το κάθε τετράγωνο. Τέλος, ε οριµένες περιπτώεις η δειγµατοληπτική µονάδα µπορεί να µεταβάλλεται ως προς το µέγεθος ή τη ύνθεή της. Ο άνεργος, για παράδειγµα, ως δειγµατοληπτική µονάδα αποτελείται πάντα από ένα φυικό πρόωπο ενώ αντίθετα η οικογένεια, ως δειγµατοληπτική µονάδα αποτελείται από κυµαινόµενο αριθµό φυικών προώπων. Όπως ήδη αναφέρθηκε το ύνολο των δειγµατοληπτικών µονάδων που εξετάζουµε πληθυµού αποτελεί το πλαίιο δειγµατοληψίας. Προκειµένου ένα τέτοιο πλαίιο να µπορεί να χρηιµοποιηθεί ως βάη για τη δειγµατοληψία θα πρέπει να πληροί τις παρακάτω βαικές προϋποθέεις: 4

5 α. Να είναι πλήρες. β. Να είναι ακριβές. γ. Να είναι ενηµερωµένο. δ. Να µην έχει διπλές ή πολλαπλές εγγραφές. ε. Να µην έχει απροπέλατες µονάδες. Μετά τον προδιοριµό του πλαιίου δειγµατοληψίας ακολουθεί η λήψη του δείγµατος. Ο τρόπος επιλογής των επί µέρους µονάδων του δείγµατος καθορίζεται από το δειγµατοληπτικό χέδιο που θα επιλεγεί. Κύριος τόχος κάθε δειγµατοληπτικού χεδίου είναι να εξαφαλίζει δείγµα αντιπροωπευτικό του πληθυµού ο οποίος µελετάται, να αποτρέπει κάθε µεροληψία επιλογής και να µεγιτοποιεί την ακρίβεια των εκτιµήεων πάντοτε µέα τα πλαίια των πόρων που διατίθενται για το κοπό αυτό. Τα πιο γνωτά δειγµατοληπτικά χέδια παρουιάζονται τη υνέχεια. 5

6 . ιαιθητική ειγµατοληψία Μερικά δειγµατοληπτικά χέδια έχουν διαιθητική βάη. Αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίουν υγκεκριµένα προβλήµατα, εξελίχθηκαν όµως ε δηµοφιλή χέδια και είναι αρκετά διαδεδοµένα. Σ αυτά περιλαµβάνονται τα ακόλουθα: ειγµατοληψία Ευκολίας (Coveece Samplg) Στην περίπτωη αυτή το δείγµα επιλέγεται από ένα τµήµα του πληθυµού το οποίο υπάρχει εύκολη πρόβαη. Είναι προφανές ότι ένα τέτοιο δείγµα δεν µπορεί να είναι αντιπροωπευτικό του πληθυµού από τον οποίο προέρχεται. Κατά υνέπεια, ο βαθµός αξιοπιτίας των υµπεραµάτων που µπορεί κανείς να βγάλει µε βάη το δείγµα αυτό είναι περιοριµένος. ειγµατοληψία Κρίης ή Σκοπιµότητας (Judgmetal Samplg) Στην περίπτωη αυτή το δείγµα επιλέγεται υποκειµενικά και περιέχει µονάδες οι οποίες κατά την αντίληψη του ερευνητή είναι αντιπροωπευτικές του πληθυµού. ειγµατοληψία τέτοιου τύπου χρηιµοποιείται κυρίως ε περιπτώεις που ο πληθυµός από τον οποίο λαµβάνεται το δείγµα αποτελείται από διαφορετικούς τύπους µονάδων. ειγµατοληψία µε Προκαθοριµένα Ποοτά (Quοta Samplg) Το ειγµατοληπτικό αυτό χήµα είναι αποτέλεµα υνδυαµού της κρίης του ερευνητή και της πρόβαης του τις µονάδες του πληθυµού. Χρηιµοποιείται όπως και το προηγούµενο όταν ο πληθυµός αποτελείται από µονάδες που ανήκουν ε διαφορετικές κατηγορίες και µπορεί να θεωρηθεί ως αναλογική εκπροώπηη το δείγµα των επί µέρους κατηγοριών του πληθυµού. 6

7 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα Τα δειγµατοληπτικά χέδια που περιγράφηκαν παραπάνω µπορούν, εφόον η κρίη και η διαίθηη του ερευνητή είναι ωτή, να δώουν αντιπροωπευτικά δείγµατα τα οποία θα οδηγήουν ε χρήιµα υµπεράµατα. Από την άλλη πλευρά παρουιάζουν ένα ηµαντικό µειονέκτηµα. Το γεγονός ότι τερούνται του τοιχείου της τυχαιότητας κατά την επιλογή των µονάδων τους ηµαίνει ότι δεν υπάρχει µέτρο ύγκριης της αντιπροωπευτικότητας, καταλληλότητας και ακριβείας των εκτιµητριών που θα βαιτούν ε δείγµατα που έχουν ληφθεί µέω των χεδίων αυτών. Για να ξεπεραθεί το πρόβληµα αυτό πρέπει το δείγµα να επιλέγεται ύµφωνα µε κάποιο µηχανιµό πιθανότητας (probablty mechasm). Στην περίπτωη αυτή η δειγµατοληψία ονοµάζεται ειγµατοληψία κατά Πιθανότητα (Ρrοbablty Samplg). Η ειαγωγή ενός τέτοιου µηχανιµού µπορεί να γίνει ως εξής: Έτω Ν το µέγεθος του πληθυµού, το µέγεθος του δείγµατος που θέλουµε να επιλέξουµε από αυτόν και S,,,... όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους τα οποία µπορούν να επιλεγούν από τον πληθυµό αυτό. Η ειγµατοληψία κατά πιθανότητα βαίζεται την αντιτοίχιη µιας πιθανότητας π ε κάθε δείγµα S και τη υνέχεια επιλογή ενός δείγµατος ύµφωνα µε ένα µηχανιµό πιθανότητας ο οποίος εξαφαλίζει το δείγµα S πιθανότητα επιλογής π. Προφανώς υπάρχει απειρία διαφορετικών δειγµατοληπτικών χεδίων τα οποία αντιτοιχούν τις διαφορετικές κατανοµές πιθανότητας π {π, π, }που µπορούν να οριθούν πάνω το ύνολο των δυνατών δειγµάτων {S, S, }. Μερικά από τα ευρύτερα χρηιµοποιούµενα χήµατα θα παρουιαθούν τη υνέχεια και θα υγκριθούν ως προς την ακρίβεια της εκτίµηης οριµένων παραµέτρων τις οποίες υνήθως υγκεντρώνεται το ενδιαφέρον των ερευνητών. Οι παράµετροι αυτές είναι οι ακόλουθες: - Μέη τιµή ενός χαρακτηριτικού του πληθυµού. - Συνολικό µέγεθος ενός χαρακτηριτικού του πληθυµού. - Λόγος των µέων τιµών ή των υνολικών µεγεθών δύο χαρακτηριτικών του πληθυµού. - Ποοτό ή αριθµός µονάδων του πληθυµού που ανήκουν ε κάποια κατηγορία. Τέλος για κάθε δειγµατοληπτικό χέδιο θα προδιοριθεί το µέγεθος του δείγµατος που θα πρέπει να ληφθεί από τον πληθυµό ώτε µε πιθανότητα -α το φάλµα που κάνει ο ερευνητής εκτιµώντας την άγνωτη τιµή ενός χαρακτηριτικού του πληθυµού µε κάποια υνάρτηη του δείγµατος να µην υπερβαίνει µια προκαθοριµένη τιµή e. 3.. Απλή Τυχαία ειγµατοληψία Η Απλή Τυχαία ειγµατοληψία (Smple Radom Samplg) είναι η απλούτερη µορφή δειγµατοληψίας κατά πιθανότητα. Χρηιµοποιείται ευρύτατα και επιπλέον αποτελεί τη βάη για κάποια πιο ύνθετα δειγµατοληπτικά χήµατα τα οποία θα εξετάουµε τη υνέχεια. Αν Ν είναι το µέγεθος του πληθυµού και το µέγεθος του δείγµατος που θέλουµε να επιλέξουµε τότε το πλήθος όλων των δυνατών διακεκριµένων δειγµάτων είναι: 7

8 ! ( )...( + )!( )! Απλή Τυχαία ειγµατοληψία ονοµάζεται η διαδικαία επιλογής ενός από τα δυνατά δείγµατα αν καθένα από αυτά έχει πιθανότητα επιλογής ίη µε Στην πράξη όµως δεν είναι πάντα εύκολος ο χηµατιµός όλων των δυνατών δειγµάτων, ιδιαίτερα όταν το µέγεθος του πληθυµού Ν είναι µεγάλο. Στις περιπτώεις αυτές επιλέγονται διαδοχικά µονάδες από τον πληθυµό µε τυχαίο τρόπο, δηλαδή µε τρόπο που εξαφαλίζει την ίδια πιθανότητα επιλογής για κάθε µία από τις Ν µονάδες του πληθυµού. Αυτό γίνεται ως εξής: α. Αντιτοιχούµε ε κάθε µονάδα του πληθυµού έναν αριθµό από µέχρι το Ν. β. Επιλέγουµε µια ειρά τυχαίων αριθµών µεταξύ και Ν µε τη βοήθεια του Πίνακα Τυχαίων Αριθµών. Εύκολα µπορεί να αποδειχθεί ότι και µε τον τρόπο αυτό καθένα από τα διακεκριµένα δείγµατα έχει πιθανότητα επιλογής. Εδώ θα πρέπει να ηµειωθεί ότι το δειγµατοληπτικό χέδιο που µόλις περιγράφτηκε κάθε µονάδα αποµακρύνεται από το πληθυµό µετά την επιλογή της. Για το λόγο αυτό η δειγµατοληψία αυτή ονοµάζεται και Απλή Τυχαία ειγµατοληψία χωρίς επανάθεη. Σε οριµένες όµως περιπτώεις η µονάδα του πληθυµού που επιλέγεται ε κάθε δοκιµή επανατοποθετείται τον πληθυµό. Στην περίπτωη αυτή η δειγµατοληψία ονοµάζεται Απλή Τυχαία ειγµατοληψία µε επανάθεη και προφανώς δίνει τη δυνατότητα επιλογής της ίδιας µονάδας του πληθυµού το δείγµα περιότερες από µία φορές. Επειδή ο υπολογιµός οριµένων εκτιµητριών είναι ευκολότερος την περίπτωη δειγµατοληψίας µε επανατοποθέτηη η τεχνική αυτή χρηιµοποιείται µερικές φορές ε υνθετότερα δειγµατοληπτικά χήµατα. Στις ενότητες που ακολουθούν µε τον όρο Απλή Τυχαία ειγµατοληψία θα εννοούµε Απλή Τυχαία ειγµατοληψία χωρίς επανάθεη εκτός αν ρητά αναφέρεται κάτι διαφορετικό. Μετά την παρουίαη της µεθοδολογίας της Απλής Τυχαίας ειγµατοληψίας θα τη χρηιµοποιήουµε για την εκτίµηη των παραµέτρων ενός πληθυµού. Για οµοιοµορφία την παρουίαη οι τιµές των Ν µονάδων του πληθυµού που αναφέρονται ε κάποιο υγκεκριµένο χαρακτηριτικό του θα υµβολίζονται µε µικρά γράµµατα x, x,, x Ν ενώ οι αντίτοιχες τιµές των µονάδων ενός δείγµατος µεγέθους από τον πληθυµό αυτό µε κεφαλαία γράµµατα Χ, Χ,, Χ. Τέλος η εκτιµήτρια µιας παραµέτρου θ ενός πληθυµού υµβολίζεται µε ˆΘ. 8

9 Α. Εκτίµηη Παραµέτρων α. Εκτίµηη του µέου ενός πληθυµού Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ το χαρακτηριτικό του οποίου τη µέη τιµή µ x (.) θέλουµε να εκτιµήουµε. Λαµβάνουµε απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους και έτω Χ, Χ,, Χ οι τιµές του χαρακτηριτικού αυτού για τις µονάδες του δείγµατος. Αποδεικνύεται ότι: - Ο µέος (.) του τυχαίου δείγµατος είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της µέης τιµής µ του πληθυµού. - Η διακύµανη του µέου είναι: V ( ) (.3) όπου x µ (.4) ( ) είναι η διακύµανη του πληθυµού - Το τυπικό φάλµα του µέου είναι: (.5) Στην περίπτωη που ο πληθυµός είναι πεπεραµένος και το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο ε χέη µε το µέγεθος Ν του πληθυµού (δηλαδή αν / f 0.05 ή ε οριµένες περιπτώεις αν / f 0.0) τότε τον υπολογιµό της διακύµανης και κατά υνέπεια και του τυπικού φάλµατος του 9

10 µέου υπειέρχεται και ο παράγοντας -f -/ (-)/ ο οποίος ονοµάζεται διορθωτικός παράγοντας πεπεραµένου πληθυµού. Κατά υνέπεια την περίπτωη αυτή οι τύποι (.3) και (.5) γίνονται αντίτοιχα: V ( ) ( ) ( f ) (.6) f (.7) Η γνώη του τυπικού φάλµατος µιας εκτίµηης είναι πολύ ηµαντική για δύο λόγους:. Επιτρέπει τη µέτρηη του βαθµού ακρίβειας της εκτίµηης αυτής και τη ύγκριη του µε το βαθµό ακρίβειας που παρέχει οποιοδήποτε άλλο δειγµατοληπτικό χήµα.. ίνει τη δυνατότητα εκτίµηης του µεγέθους του δείγµατος που απαιτείται ε µια δειγµατοληπτική έρευνα ώτε να επιτευχθεί ο επιθυµητός βαθµός ακρίβειας. Όπως φαίνεται από τους τύπους (.5) και (.7) για τον υπολογιµό του τυπικού φάλµατος του µέου είναι απαραίτητη η γνώη της τιµής του. Στην πράξη όµως το πάνια είναι γνωτό και για το λόγο αυτό απαιτείται µια εκτίµηης του. Στην περίπτωη αυτή ως αµερόληπτη εκτιµήτρια του χρηιµοποιείται η υνάρτηη: ( ) (.8) S οπότε οι τύποι (.3), (.5), (.6) και (.7) γίνονται αντίτοιχα: S V( ) S (.9) S S (.0) S Vˆ( ) S ( f ) (.) και S S f (.) 0

11 Το S ονοµάζεται εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του. Στο ηµείο αυτό θα πρέπει να ηµειωθεί ότι τις επόµενες ενότητες οι τύποι της διακύµανης και του τυπικού φάλµατος εκτίµηης των παραµέτρων θα δίνονται, εκτός οριµένων εξαιρέεων, µόνο για την περίπτωη f / < Οι τύποι που ιχύουν για f / 0.05 προκύπτουν από αυτούς, αν τους πολλαπλαιάουµε µε (-f) την περίπτωη της διακύµανης f την περίπτωη του τυπικού φάλµατος. β. Εκτίµηη του υνολικού µεγέθους κάποιου χαρακτηριτικού ενός πληθυµού Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ το χαρακτηριτικό του οποίου το υνολικό µέγεθος x x (.3) θέλουµε να εκτιµήουµε. Λαµβάνουµε απλό τυχαίο δείγµα Χ, Χ,., Χ µεγέθους από τον πληθυµό και έτω ο µέος του. Αποδεικνύεται ότι η τατιτική υνάρτηη: ˆ (.4) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του υνολικού µεγέθους x. Η διακύµανη της ˆ, ύµφωνα µε τα όα αναφέρθηκαν παραπάνω είναι: ˆ V ( ) V ( ) V ( ) ( ˆ V ) (.5) Το τυπικό φάλµα της ˆ, ύµφωνα µε τα όα αναφέρθηκαν την προηγούµενη ενότητα, είναι: ˆ (.6)

12 Επειδή όµως την πράξη το πανίως είναι γνωτό χρηιµοποιούµε αντί γι αυτό την αµερόληπτη εκτιµήτρια του S. Έτι η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης της ˆ είναι: S ˆ s (.7) γ. Εκτίµηη Λόγου Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ, Υ δύο διαφορετικά χαρακτηριτικά των µονάδων του. Τα, (.8) x x, Y Y εκφράζουν τα υνολικά µεγέθη των δύο αυτών χαρακτηριτικών και τα, x µ x µ, Y Y (.9) τις αντίτοιχες µέες τιµές τους. Ο λόγος που θέλουµε να εκτιµήουµε είναι: y Y R x ηλαδή, y µ R x µ y (.0) x Λαµβάνουµε δύο απλά τυχαία δείγµατα µεγέθους,,, και Y, Y,, Y από τους αντίτοιχους πληθυµούς και έτω και Y οι δειγµατικοί µέοι τους. Αποδεικνύεται ότι, για µεγάλα η τατιτική υνάρτηη:

13 Y ˆ R Y (.) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του λόγου Y µ µ y x (Σηµειώνεται ότι για µικρά η ˆR δεν είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του R). Η διακύµανη της R είναι: V ( Rˆ ) ( y Rx ) ( ) µ x (.) Επειδή όµως το R δεν είναι υνήθως γνωτό αντί της V( ˆR ) χρηιµοποιούµε την εκτιµήτρια V ˆ ( R ˆ ) που δίνεται από τη χέη: ( Y ˆ ˆ ˆ R ) Y R Y+ R Rˆ Vˆ ( Rˆ ) S ( ) ( ) (.3) Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του ˆR είναι: S ˆ ˆ Y R Y+ R Rˆ ( ) (.4) δ. Εκτίµηη Μέων Τιµών και Συνολικών Μεγεθών Υποπληθυµών Έτω πληθυµός µεγέθους Ν από τον οποίο επιλέγεται δείγµα µεγέθους. Έτω ακόµη Ν 0 από τις µονάδες του πληθυµού αυτού ανήκουν ε ένα υπούνολο του και έτω 0 ο αριθµός των µονάδων του δείγµατος που ανήκουν το υπούνολο αυτό. Στην περίπτωη αυτή αποδεικνύεται ότι το υπούνολο των 0 µονάδων του αρχικού δείγµατος µεγέθους αποτελεί ένα απλό τυχαίο δείγµα από τον υποπληθυµό των Ν 0 µονάδων και ιχύει: 3

14 0 E 0 Η πρόταη αυτή έχει µεγάλη πρακτική ηµαία γιατί δίνει τη δυνατότητα τους ερευνητές να χρηιµοποιούν πληροφορίες από το αρχικό δείγµα για τη υναγωγή υµπεραµάτων όχι µόνο για το υνολικό πληθυµό από τον οποίο επιλέχτηκε το δείγµα αλλά για οποιονδήποτε υποπληθυµό του. Οι υποπληθυµοί τους οποίος µπορεί να αναλυθεί ένας πληθυµός ονοµάζονται υνήθως περιοχές µελέτης. Έτω για παράδειγµα ένας πληθυµός µεγέθους Ν ο οποίος υποδιαιρείται ε υποπληθυµούς. Τότε κάθε µονάδα Χ, Χ,, Χ Ν του πληθυµού ανήκει ε έναν από τους υποπληθυµούς και ιχύει: όπου το µέγεθος του υποπληθυµού. Έτω επιπλέον ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους από τον πληθυµό αυτό. Προφανώς και κάθε µονάδα του δείγµατος ανήκει ε έναν από τους υποπληθυµούς και ιχύει: όπου το µέγεθος του δείγµατος που οι µονάδες του ανήκουν τον υποπληθυµό. Όπως ήδη γνωρίζουµε η µέη τιµή του πληθυµού µεγέθους Ν δίνεται από τη χέη: µ x Αντίτοιχα, η µέη τιµή του υποπληθυµού δίνεται από τη χέη: µ x ( ) (.5) όπου µε x () υµβολίζονται οι µονάδες του αρχικού πληθυµού που ανήκουν το υποπληθυµό του. Αποδεικνύεται ότι: 4

15 - Η τατιτική υνάρτηη ( ) (.6) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µ, όπου µε () I υµβολίζονται οι µονάδες του δείγµατος που προέρχονται από τον υποπληθυµό. - Η διακύµανη του είναι V ( ) (.7) - Το τυπικό φάλµα του µέου είναι (.8) Στην πράξη όµως το πάνια είναι γνωτό και για το λόγο αυτό απαιτείται µια εκτίµηή του. Στην περίπτωη αυτή ως αµερόληπτη εκτιµήτρια του χρηιµοποιείται η υνάρτηη ( ) ( ) S (.9) Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του. S S (.30) ή S S S f αν f (.3)., 0,05 Αν το Ν δεν είναι γνωτό χρηιµοποιείται αντί του λόγου / ο λόγος /. Στην περίπτωη αυτή ο τύπος (.3) γίνεται: 5

16 S S (.3) x ( ) ( ) x (.33) του υποπληθυµού χρηιµοποιείται η τατιτική υνάρτηη ˆ ( ) (.34) Σύµφωνα µε τα όα έχουν ήδη αναφερθεί το τυπικό φάλµα εκτίµηης του () είναι: S ˆ ( ) S (.35) Ο υπολογιµός του S x () από τον τύπο (.35) προϋποθέτει γνώη της τιµής του Ν το οποίο όµως την πράξη δεν είναι υνήθως γνωτό. Στις περιπτώεις αυτές ως εκτιµήτρια του x () χρηιµοποιείται αντί της χέης (.34) η υνάρτηη: ˆ ( ) ( ) (.36) Το τυπικό φάλµα της εκτίµηης είναι S S ˆ ( ) S S ˆ ( ), αν f 0,05 (.37) όπου S ( ) ( ) ( ) (.38) 6

17 ε. Εκτίµηη Ποοτών Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και έτω p το ποοτό των µανάδων του που ανήκουν ε κάποια κατηγορία Α. Επιλέγουµε απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους και έτω Χ ο αριθµός των µονάδων του δείγµατος που ανήκουν την κατηγορία Α. Με βάη την πληροφορία αυτή θέλουµε να εκτιµήουµε το p. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη (.39) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του ˆp. - Η διακύµανη του p είναι V ( ) p( p) (.40) Για τον υπολογιµό του V( ˆp ) πρέπει µα είναι γνωτό το p. Όταν όµως δεν είναι, χρηιµοποιείται αντί του V( ˆp ) η αµερόληπτη εκτιµήτριά του S ( ) (.4) - Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του ˆp είναι S ( ) (.4) ή ( ) S ( ) ( f), αν f 0,05 Σε οριµένες περιπτώεις εκτός του p θέλουµε να εκτιµήουµε και το υνολικό αριθµό µονάδων, Ν Α, του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. 7

18 Αποδεικνύεται ότι: Η τατιτική υνάρτηη ˆ A (.43) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του Ν Α. Η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του Χ Α είναι S ˆ ( ) A (.44) Β. Μέγεθος είγµατος Μετά την ολοκλήρωη της παρουίαης των εκτιµητριών που χρηιµοποιούνται για την εκτίµηη των παραµέτρων ενός πληθυµού θα προχωρήουµε τον προδιοριµό του µεγέθους του απαιτούµενου δείγµατος τις παρακάτω δύο περιπτώεις δειγµατοληψίας: - ειγµατοληψία για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός πληθυµού. - ειγµατοληψία για την εκτίµηη ενός ποοτού. Η τιµή του ε κάθε περίπτωη εξαρτάται από το βαθµό ακριβείας µε τον οποίο ο ερευνητής επιθυµεί να εκτιµήει τη υγκεκριµένη παράµετρο του πληθυµού. Ο τρόπος προδιοριµού του για καθεµία από τις περιπτώεις αυτές περιγράφεται τη υνέχεια. α. ειγµατοληψία για την εκτίµηη της Μέης Τιµής ενός πληθυµού Στην περίπτωη αυτή, όπως ήδη γνωρίζουµε, η άγνωτη µέη τιµή µ του πληθυµού µε διακύµανη εκτιµάται από το δειγµατικό µέο ενός απλού τυχαίου δείγµατος µεγέθους. Το ζητούµενο είναι ποια πρέπει να είναι η τιµή του έτι ώτε το φάλµα που κάνει ο ερευνητής εκτιµώντας το µ µε το να µην υπερβαίνει µια προκαθοριµένη τιµή e µε µια επίης προκαθοριµένη πιθανότητα -α. Με άλλα λόγια θέλουµε να βρούµε την τιµή του για την οποία ιχύει: ( ) P µ e α (.45) 8

19 p Χ µ e α (.46) Αν ο πληθυµός τον οποίο αναφερόµατε µπορεί να θεωρηθεί κανονικός, ή κατά προέγγιη κανονικός, έχουµε: µ (, ) ή µ (0,) (.47) Τότε η (.46) ιχύει και µόνο αν e z (.48) α / όπου Κατά υνέπεια, z α / z α / z α / * α / e e z e e (.49) Όταν / 0.05 ιχύει ότι: Στην περίπτωη αυτή, µε ανάλογο τρόπο, προκύπτει ότι: * * + Άρα, γενικά το µέγεθος του δείγµατος δίνεται από τον τύπο: 9

20 *, αν 0,05, αν > 0,05 * + * (.50) όπου z e * α / Αν η διακύµανη του πληθυµού, που υπειέρχεται τον υπολογιµό του *, δεν είναι γνωτή τότε για τον υπολογιµό του χρηιµοποιείται µια εκτίµηη της βαιζόµενη ε δείγµα µεγέθους 30. β. ειγµατοληψία για την εκτίµηη ποοτού Στην περίπτωη αυτή το άγνωτο ποοτό των µονάδων ενός πληθυµού που ανήκουν ε µια οριµένη κατηγορία εκτιµάται από το ˆp / όπου Χ είναι ο αριθµός των µονάδων ενός απλού τυχαίου δείγµατος µεγέθους που ανήκουν την κατηγορία αυτή. Το ζητούµενο εδώ είναι ποια πρέπει να είναι η τιµή του έτι ώτε τα φάλµα που κάνει ο ερευνητής εκτιµώντας το άγνωτο ˆp µε το p να µην υπερβαίνει µια προκαθοριµένη τιµή e µε µια προκαθοριµένη πιθανότητα - α. Με άλλα λόγια πρέπει να βρούµε την τιµή του για την οποία ( ) P p e α (.5) ή P p e (.5) Η χέη (.5) ιχύει αν και µόνο αν e z (.53) α / όπου p( p) (.54) 0

21 Κατά υνέπεια, e e e z α / z z α / α / p( p) p( p) p( p) z p( p) e α / α / * e z (.55) Όταν / 0,05 ιχύει ότι: p( p) Στην περίπτωη αυτή, µε ανάλογο τρόπο, προκύπτει ότι: * * + Άρα γενικά το µέγεθος του δείγµατος δίνεται από τον τύπο: *, αν 0,05, αν 0,05 * + * (.56) όπου z p( p) e * α / Προφανώς η τιµή του * δεν µπορεί να υπολογιτεί αφού το p δεν είναι γνωτό. Για το λόγο αυτό αντί της άγνωτης τιµής p χρηιµοποιείται µια εκτίµηη της που βαίζεται ε προηγούµενη εµπειρία του ερευνητή. Αν τέτοια εµπειρία δεν υπάρχει τότε χρηιµοποιείται η τιµή p / η οποία µεγιτοποιεί το γινόµενο p(-p).

22 3.. Στρωµατοποιηµένη Τυχαία ειγµατοληψία Αν ο πληθυµός που εξετάζεται δεν είναι αρκετά οµοιογενής η απλή τυχαία δειγµατοληψία ενδέχεται να δώει δείγµα µη αντιπροωπευτικό το οποίο θα οδηγήει ε εκτιµήεις µειωµένης ακρίβειας. Ένας τρόπος για να βελτιωθεί η ακρίβεια των εκτιµήεων είναι να αυξηθεί το µέγεθος του δείγµατος. Μια τέτοια αύξηη µειώνει την τιµή του τυπικού φάλµατος εκτίµηης (όπως φαίνεται από τους τύπους που παρουιάτηκαν την προηγούµενη ενότητα) αλλά από την άλλη πλευρά αυξάνει το κότος της δειγµατοληψίας. Ένας άλλος τρόπος για να αυξήουµε την ακρίβεια των εκτιµήεων διατηρώντας παράλληλα ταθερό του δείγµατος και κατά υνέπεια το κότος δειγµατοληψίας είναι να βελτιώουµε την αντιπροωπευτικότητα του δείγµατος εφαρµόζοντας για το κοπό αυτό τρωµατοποιηµένη τυχαία δειγµατοληψία (stratfed radom samplg). Έτω πληθυµός µεγέθους Ν ο οποίος µπορεί να υποδιαιρεθεί ε εωτερικά οµοιογενείς υποπληθυµούς µεγέθους Ν, Ν,,. Αν αυτοί οι υποπληθυµοί είναι ξένοι µεταξύ τους ώτε να ιχύει τότε ονοµάζονται τρώµατα (strata). Έτω επιπλέον ότι από καθένα από τα τρώµατα επιλέγεται ένα απλό τυχαία δείγµα µεγέθους,,,, ανεξάρτητο από τα άλλα. Το δείγµα µεγέθους που προκύπτει από την ένωη των ανεξάρτητων απλών τυχαίων δειγµάτων ονοµάζεται τρωµατοποιηµένο τυχαίο δείγµα (stratfed radom samplg) και η διαδικαία επιλογής του τρωµατοποιηµένη τυχαία δειγµατοληψία (stratfed radom samplg). Από τη φύη του το ενιαίο δείγµα είναι αντιπροωπευτικότερο ε ύγκριη µε εκείνο της απλής τυχαίας δειγµατοληψίας γιατί είναι βέβαιο ότι ε αυτό θα περιέχονται τοιχεία από όλες τις κατηγορίες (τρώµατα) του πληθυµού κάτι που δεν εξαφαλίζεται µε την απλή τυχαία δειγµατοληψία. Με την τρωµατοποίηη του πληθυµού διαχωρίζουµε τη υνολική διακύµανη της µεταβλητής που εξετάζουµε ε δύο µέρη: - ιακύµανη µεταξύ των τρωµάτων - ιακύµανη εντός των τρωµάτων Επειδή όµως το τρωµατοποιηµένο τυχαίο δείγµα αντιπροωπεύονται όλα τα τρώµατα η διακύµανη της δειγµατικής κατανοµής δεν επηρεάζεται από τη διακύµανη µεταξύ των τρωµάτων. Έτι η διακύµανη της δειγµατικής κατανοµής προδιορίζεται από τη διακύµανη εντός των τρωµάτων. Συνεπώς είναι προφανές ότι η τρωµατοποίηη του πληθυµού πρέπει να γίνεται µε τέτοιο τρόπο ώτε οι µονάδες του που εντάονται ε κάθε τρώµα να διαφέρουν µεταξύ τους όο το δυνατό λιγότερο.

23 Α. Επιµεριµός του υνολικού δείγµατος τα τρώµατα Ένα πρόβληµα που υνδέεται άµεα µε την τεχνική της τρωµατοποιηµένης δειγµατοληψίας είναι ο επιµεριµός του υνολικού αριθµού των µονάδων του δείγµατος,, τα επί µέρους τρώµατα δηλαδή ο προδιοριµός των µεγεθών,,, των απλών δειγµάτων. Ο επιµεριµός του µπορεί να γίνει µε τρεις διαφορετικούς τρόπους οι οποίοι παρουιάζονται τη υνέχεια. α. Αναλογικός Επιµεριµός του (Proportoal Allocato) Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το δειγµατοληπτικό κότος ανά µονάδα είναι το ίδιο για όλα τα τρώµατα (c c) και παράλληλα οι διακυµάνεις τρωµάτων δεν διαφέρουν ηµαντικά. Σύµφωνα µε το χεδιαµό αυτό τα επιλέγονται έτι ώτε να ιχύει,,,..., (.57) Με άλλα λόγια το µέγεθος του δείγµατος από ένα τρώµα είναι ανάλογο του ποοτού των µονάδων του πληθυµού που εκπροωπεί το υγκεκριµένο τρώµα. Η δειγµατοληπτική αυτή τεχνική ονοµάζεται και αναλογική τρωµατοποιηµένη δειγµατοληψία (proportoal stratfed radom samplg). β. Βέλτιτος Επιµεριµός του µε ταθερό κότος ανά δειγµατοληπτική µονάδα (Optmum Allocato wth costat cost per ut) ή Επιµεριµός eyma (eyma Allocato) Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το δειγµατοληπτικό κότος ανά µονάδα είναι το ίδιο για όλα τα τρώµατα (c c) αλλά οι διακυµάνεις των τρωµάτων διαφέρουν ηµαντικά. Για να εκπροωπηθούν ωτά όλα τα τρώµατα το δείγµα θα πρέπει αυτά µε τη µεγαλύτερη διακύµανη να εκπροωπηθούν από µεγαλύτερο αριθµό µονάδων το δείγµα. Με άλλα λόγια θα πρέπει ο λόγος / να είναι ανάλογος της τυπικής απόκλιης του τρώµατος. Αποδεικνύεται ότι η ακρίβεια των εκτιµήεων γίνεται η µέγιτη δυνατή αν τα,, επιλεγούν έτι ώτε: 3

24 ,,,..., (.58) Αν οι τιµές των, δεν είναι γνωτές χρηιµοποιούνται τη θέη τους οι τιµές S, S των αντιτοίχων δειγµατικών µεγεθών. γ. Βέλτιτος Επιµεριµός (Optmum Allocato) Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το δειγµατοληπτικό κότος ανά µονάδα, c, διαφέρει από τρώµα ε τρώµα και παράλληλα οι διακυµάνεις,, των τρωµάτων διαφέρουν ηµαντικά. Στην περίπτωη αυτή ο ερευνητής θα πρέπει να επιλέξει τα έτι ώτε αφενός να είναι ανάλογα των διακυµάνεων των τρωµάτων (όπως την προηγούµενη περίπτωη) και αφετέρου αντιτρόφως ανάλογα του αντίτοιχου δειγµατοληπτικού κότους c. c c c Αν 0 + είναι υνολικό κότος µιας δειγµατοληψίας αποδεικνύεται ότι η ακρίβεια των εκτιµήεων γίνεται η µέγιτη δυνατή αν τα,,, επιλεγούν έτι ώτε c,,,..., ( c ) (.59) Αν οι τιµές των, δεν είναι γνωτές χρηιµοποιούνται τη θέη τους οι τιµές S, S των αντιτοίχων δειγµατικών µεγεθών. Β. Εκτίµηη Παραµέτρων α. Εκτίµηη του µέου ενός πληθυµού Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ το χαρακτηριτικό του οποίου τη µέη τιµή µ θέλουµε να εκτιµήουµε. Ο πληθυµός αυτός υποδιαιρείται ε οµοιογενή τρώµατα µεγέθους,,,, µε µέη τιµή και τυπική () απόκλιη µ και αντίτοιχα. Συµβολίζουµε µε x τη µονάδα του πληθυµού που ανήκει το τρώµα και µε () τη µονάδα του δείγµατος (δηλαδή του δείγµατος από το τρώµα). 4

25 Από καθένα από τα τρώµατα επιλέγονται απλά τυχαία δείγµατα µεγέθους και έτω ο δειγµατικός µέος τους. Προφανώς, ( ),,,..., είναι ο µέος του δείγµατος, και µ x µ ( ) ο µέος του πληθυµού την άγνωτη τιµή του οποίου θέλουµε να εκτιµήουµε µε βάη τα τοιχεία του δείγµατος. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη µ ˆ (.60) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µέου µ, του πληθυµού. - Η διακύµανη του είναι: V ( ) - Το τυπικό φάλµα του είναι: (.6) Στην περίπτωη που τα αµερόληπτη εκτιµήτριά τους δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούµε αντί για αυτά την S ( ) ( Χ ) 5

26 όπου () η παρατήρηη του δείγµατος. Έτι η χέη (.6) γίνεται: S S (.6) ή S S S ( ), αν 0, 05 f f Η τατιτική υνάρτηη φάλµατος εκτίµηης του S ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού. β. Εκτίµηη του υνολικού µεγέθους κάποιου χαρακτηριτικού ενός πληθυµού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε την προηγούµενη ενότητα θέλουµε να εκτιµήουµε το υνολικό µέγεθος: x ( ) x (.63) όπου x η µονάδα του πληθυµού που ανήκει το τρώµα. ( ) Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ˆ (.64) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του x. - Το τυπικό φάλµα της Χ είναι ˆ (.65) Επειδή όµως την πράξη το πάνια είναι γνωτό χρηιµοποιούµε αντί γι αυτό την αµερόληπτη εκτιµήτριά του 6

27 ( ) ( ) S Έτι η χέη (.65) γίνεται: S S ˆ (.66) Η τατιτική υνάρτηη S ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού ˆ φάλµατος εκτίµηης του ˆ. γ. Εκτίµηη ποοτού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε προηγουµένως Ν Α () είναι ο άγνωτος αριθµός των µονάδων του τρώµατος που ανήκουν ε µια κατηγορία Α και Χ () ο αριθµός των αντιτοίχων µονάδων του απλού τυχαίου δείγµατος. Προφανώς, p A ( ) το ποοτό των µονάδων του τρώµατος του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α, και ( ) A p p το άγνωτο ποοτό των µονάδων του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α το οποίο θέλουµε να εκτιµήουµε µε βάη τα τοιχεία του δείγµατος. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ( ) (.67) ι όπου 7

28 ( ) ι είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της παραµέτρου p. - Η διακύµανη του ˆp είναι p ( p ) V ( ) (.68) Για τον υπολογιµό του V( ˆp ) απαιτείται γνώη του p. Επειδή όµως αυτή δεν υπάρχει χρηιµοποιείται αντί του V( ˆp ) η αµερόληπτη εκτιµήτρια υνάρτηή της S ˆ ( ˆ p p ) (.69) Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του ˆp είναι: S ˆ ( ˆ p p ) (.70) Σε οριµένες περιπτώεις εκτός του p θέλουµε να εκτιµήουµε και το υνολικό αριθµό µονάδων Ν Α του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ˆ A (.7) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του Ν Α. - Η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος του A είναι S ˆ A ( ) (.7) 8

29 Γ. Μέγεθος δείγµατος Μετά την παρουίαη των εκτιµητριών υναρτήεων που χρηιµοποιούνται για την εκτίµηη οριµένων παραµέτρων ενός πληθυµού θα προχωρήουµε τον προδιοριµό του µεγέθους,, του απαιτούµενου πληθυµού ε διάφορες περιπτώεις. Υπενθυµίζουµε ότι την περίπτωη τρωµατοποιηµένου πληθυµού χρηιµοποιούµε τον εξής υµβολιµό: Ν: µέγεθος υνολικού πληθυµού Ν : µέγεθος του,,,, υποπληθυµού (τρώµατος) : µέγεθος υνολικού δείγµατος : µέγεθος του,,,, δείγµατος το οποίο λαµβάνεται από τον αντίτοιχο υποπληθυµό : διακύµανη των παρατηρήεων το τρώµα,,,κ c : µοναδιαίο κότος δειγµατοληψίας από το τρώµα,,,, η Περίπτωη Στην περίπτωη αυτή θεωρούµε ότι το υνολικό κότος δειγµατοληψίας είναι προκαθοριµένο και δίνεται από τη χέη (.73) c c+ c ( c > 0) 0 0 Όπως έχει ήδη αναφερθεί την περίπτωη αυτή η ακρίβεια των εκτιµήεων γίνεται η µέγιτη δυνατή αν τα,,, επιλεγούν έτι ώτε c ( c),,,, (.74) Αντικαθιτώντας τις τιµές των, όπως δίνονται από τη (.74) τη (.73) και λύνοντας ως προς έχουµε: 9

30 ( c c0 ) c c c (.75) η Περίπτωη Στην περίπτωη αυτή θεωρούµε ότι η διακύµανη της εκτιµήτριας προκαθοριµένη και δίνεται από τη χέη: είναι V ( ) (.76) Αντικαθιτώντας τις τιµές όπως δίνονται από τη χέη (.74) τη (.76) και λύνοντας ως προς έχουµε: c c V ( ) + (.77) 3η Περίπτωη Στην περίπτωη αυτή, η οποία είναι και η γενικότερη, θέλουµε να προδιορίουµε το υνολικό µέγεθος ενός τρωµατοποιηµένου δείγµατος του οποίου ένα υγκεκριµένο ποοτό µονάδων (w %) προέρχεται από το τρώµα (,,,) (δηλαδή w,,,,, Σw ) έτι ώτε το φάλµα που κάνει ο ερευνητής εκτιµώντας το µ µε το να µην υπερβαίνει µια προκαθοριµένη πιθανότητα -α. Με άλλα λόγια θέλουµε να βρούµε την τιµή του για την οποία ιχύει ( ) P µ e α (.78) µ e P α (.79) Η χέη ιχύει αν και µόνο αν 30

31 e z (.80) α/ όπου ή w (.8) Αντικαθιτώντας την τιµή του έχουµε ότι: τη χέη (.80) και λύνοντας ως προς * + z α/ e (.8) όπου * α/ z (.83) e w Άρα γενικά το µέγεθος του δείγµατος δίνεται από τον τύπο: * * + z α/ e, αν 0,05, αν > 0,05 3

32 3.3 Συτηµατική ειγµατοληψία Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και x, x,, x οι µονάδες του. Οριµένες φορές για την επιλογή ενός δείγµατος µεγέθους από τον πληθυµό αυτό επιλέγουµε τυχαία µια οµάδα από τις πρώτες µονάδες του πληθυµού και περιλαµβάνουµε το δείγµα αυτό και κάθε άλλη µονάδα του πληθυµού που η θέη της είναι πολλαπλάιο του µέχρι, φυικά, να χηµατιθεί δείγµα µεγέθους. Προφανώς την περίπτωη αυτή η επιλογή της πρώτης µονάδας καθορίζει ολόκληρο το δείγµα. Αν για παράδειγµα από τις µονάδες του πληθυµού επιλεγεί η 0 το δείγµα θα αποτελείται από τις µονάδες x 0, x 0+, x 0+,, x 0+(-) Η δειγµατοληπτική αυτή τεχνική η οποία ειάγει ένα υτηµατικό τοιχείο τη διαδικαία επιλογής των µονάδων του πληθυµού ονοµάζεται υτηµατική δειγµατοληψία (systematc samplg) και το δείγµα το οποίο προκύπτει από αυτή -ανά- υτηµατικό. Αν επιπλέον οι µονάδες του πληθυµού εµφανίζονται µε τυχαία ειρά τη λίτα από όπου παίρνουµε το δείγµα αυτό ονοµάζεται ψευδοτυχαίο (pseudoradom). Επειδή το µέγεθος Ν του πληθυµού δεν είναι γενικά πολλαπλάιο του διαφορετικά υτηµατικά δείγµατα µπορεί να έχουν διαφορετικό µέγεθος. Αν για παράδειγµα Ν4, 4 τα δυνατά -ανά-4 υτηµατικά δείγµατα είναι τα παρακάτω: (x, x 5, x 9, x 3 ) : 4 (x, x 6, x 0, x 4 ) : 4 (x 3, x 7, x ) : 3 (x 4, x 8, x ) : 3 Για την αποφυγή του προβλήµατος αυτού και την εξαφάλιη δειγµάτων ταθερού µεγέθους χρηιµοποιείται η ακόλουθη µέθοδος. Υπολογίζεται ο λόγος / και το ορίζεται ως ο πληιέτερος προς αυτό ακέραιος (τρογγυλοποιηµένος προς τα πάνω). Τα τοιχεία του πληθυµού θεωρούνται ως ηµεία της περιφέρειας ενός κύκλου. Ένα από αυτά επιλέγεται τυχαία και περιλαµβάνεται το δείγµα µαζί µε όλα τα άλλα ηµεία της περιφέρειας που η απόταη τους από το αρχικό είναι πολλαπλάιο του. Η επιλογή των τοιχείων γίνεται καθώς διατρέχουµε την περιφέρεια κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού και υνεχίζεται µέχρις ότου εξαφαλίουµε δείγµα του επιθυµητού µεγέθους. Εφαρµόζοντας αυτή τη µέθοδο το προηγούµενο παράδειγµα έχουµε: 4 3,5 4 4 Κατά υνέπεια, όλα τα -ανά- υτηµατικά δείγµατα είναι τα παρακάτω: 3

33 (x, x 5, x 9, x 3 ) (x, x 6, x 0, x 4 ) (x 3, x 7, x, x 5 )... (x 4, x 4, x 8, x ) Ένα υτηµατικό τυχαίο δείγµα είναι την ουία ένα τρωµατοποιηµένο δείγµα που οι µονάδες του έχουν την ίδια χετική θέη το τρώµα. Κατά υνέπεια, το υτηµατικό δείγµα είναι πιο οµοιόµορφα κατανεµηµένο τον πληθυµό µε αποτέλεµα να δίνει υχνά πιο ακριβείς εκτιµήεις από ένα αντίτοιχο τρωµατοποιηµένο ή απλό τυχαίο δείγµα. Το βαικό πλεονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι η ταχύτητα επιλογής του δείγµατος και ο χετικός υψηλός βαθµός ακρίβειας τις εκτιµήεις που δίνει. Από την άλλη πλευρά το ηµαντικότερο µειονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ο κίνδυνος εφαλµένων εκτιµήεων την περίπτωη ύπαρξης περιοδικότητας τις µονάδες του πληθυµού, κάτι που δεν µπορεί εύκολα να εντοπιθεί. Α. Εκτίµηη παραµέτρων α. Εκτίµηη του µέου Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ το χαρακτηριτικό του οποίου τη µέη τιµή µ θέλουµε να εκτιµήουµε χρηιµοποιώντας -ανά- τρωµατοποιηµένα απλά τυχαία δείγµατα µεγέθους. Έτω επιπλέον ότι. Όλα τα δείγµατα υνοψίζονται παρακάτω: Συµβολίζουµε µε ΕΙΓΜΑΤΑ x x x I x x + x + x + x x (-)+ x (-)- x (-)+ x (-)+ x (-)+ x (-)+ x (-)+ x (-)+ το τοιχείο του υτηµατικού δείγµατος και µε () το µέο του δείγµατος. Προφανώς, ( ) 33

34 Αποδεικνύεται ότι: ( ) (.84) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µέου, µ, του πληθυµού. - Η διακύµανη του είναι ( ) ( ) V ( ) µ - Το τυπικό φάλµα του είναι ( ) ( ) µ (.85) Επειδή όµως την πράξη τα µ, δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούµε αντί γι αυτά τις αµερόληπτες εκτιµήτριές τους, οπότε η χέη (.85) γίνεται: ( ) ( ) S S (.86) Η τατιτική υνάρτηη φάλµατος εκτίµηης του s. ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού β. Εκτίµηη του υνολικού µεγέθους κάποιου χαρακτηριτικού του πληθυµού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε την προηγούµενη ενότητα θέλουµε να εκτιµήουµε το υνολικό µέγεθος x x Αποδεικνύεται ότι: 34

35 - Η τατιτική υνάρτηη ˆ (.87) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του x. - Η διακύµανη της ˆ είναι ( ) ( ) V ( ˆ ) V ( ) µ - Κατά υνέπεια, το τυπικό φάλµα της ˆ είναι ˆ x ( ) ( ) ι (.88) µ Επειδή όµως την πράξη τα µ, δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούµε αντί για αυτά τις αµερόληπτες εκτιµήεις τους και η χέη (.88) γίνεται: ˆ ( ) ( ) (.89) S s S Η τατιτική υνάρτηη S είναι αµερόληπτη του ˆ υνάρτηή του τυπικού φάλµατος εκτίµηης της ˆ. και ονοµάζεται εκτιµήτρια ˆ Η διαίρεη του αρχικού πληθυµού των µονάδων ε οµάδες δίνει τη δυνατότητα έκφραης της διακύµανης του πληθυµού ως υνάρτηης της διακύµανης «µεταξύ» των οµάδων και της διακύµανης «µέα» τις οµάδες. Αποδεικνύεται ότι: ( ) ν + ( ) w (.90) Χ όπου Η διακύµανη του πληθυµού Η διακύµανη της εκτίµηης του µέου του πληθυµού, δηλαδή η διακύµανη µεταξύ των οµάδων w Η διακύµανη «µέα» τις οµάδες 35

36 Λύνοντας τη χέη (.90) ως προς V( ) ( ) V ( ) w (.9) Η αντίτοιχη χέη για την απλή τυχαία δειγµατοληψία όπως ήδη γνωρίζουµε ότι: ( ) V Ν (.9) Από τις χέεις (.9) και (.9) προκύπτει ότι: V ( ) < V ( ) > w Με άλλα λόγια η υτηµατική δειγµατοληψία οδηγεί ε µικρότερο τυπικό φάλµα αν η διακύµανη µέα το δείγµα είναι µεγαλύτερη από τη διακύµανη ολόκληρου του πληθυµού. Κατά υνέπεια, µεγαλύτερη ακρίβεια έχουµε την περίπτωη που η ετερογένεια µεταξύ των µονάδων είναι µεγαλύτερη από την ετερογένεια µεταξύ των µονάδων του πληθυµού. γ. Εκτίµηη Ποοτού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε προηγουµένως Ν Α είναι ο αριθµός των µονάδων που ανήκουν ε µια κατηγορία Α και Χ () ο αριθµός των αντιτοίχων µονάδων ενός τυχαία επιλεγµένου υτηµατικού δείγµατος. Με βάη τα τοιχεία αυτά θέλουµε να εκτιµήουµε το άγνωτο ποοτό p των µονάδων του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ( ) (.93) όπου ( ) x ( ) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της παραµέτρου p. - Η διακύµανη του p είναι 36

37 V ( ) p p ( ) ( ) ˆ (.94) Για τον υπολογιµό του V( ˆp ) απαιτείται γνώη του p. Στην περίπτωη που αυτό δεν είναι γνωτό χρηιµοποιείται αντί του V( ˆp ) η αµερόληπτη εκτιµήτριά του: S p p ( ) ( ) ˆ ˆ (.95) - Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του ˆp είναι S p p ( ) ( ˆ ˆ) (.96) Σε οριµένες περιπτώεις εκτός από το p θέλουµε να εκτιµήουµε και το υνολικό αριθµό Ν Α του πληθυµού οι οποίες ανήκουν την κατηγορία Α. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ˆ A είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του Ν Α. - Η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος Χ Α είναι: ˆ A ( ) ( ) ˆ ˆ (.97) S p p 37

38 3.4 ειγµατοληψία Κατά Οµάδες Κάθε πληθυµός τον οποίο θέλουµε να µελετήουµε µπορεί να θεωρηθεί ως ύνολο διακεκριµένων οµάδων που αποτελούνται από δειγµατοληπτικές µονάδες. Για παράδειγµα ο πληθυµός των βιοµηχανικών εργατών της χώρας µας µπορεί να θεωρηθεί ως ύνολο χωριµένο ε οµάδες, τις βιοµηχανικές µονάδες της χώρας. Η δειγµατοληψία από έναν τέτοιο πληθυµό µπορεί να γίνει µε δειγµατοληπτική µονάδα την οµάδα. ηλαδή από το ύνολο των Μ οµάδων του πληθυµού επιλέγονται τυχαία m (m<m) οµάδες και οι µονάδες που τις αποτελούν, ή µέρος αυτών, υνενώνονται ε ένα ενιαίο ύνολο. Η δειγµατοληπτική τεχνική η οποία υποδιαιρεί τις τοιχειώδεις µονάδες του πληθυµού ε οµάδες (clusters), επιλέγει ένα δείγµα των οµάδων αυτών και περιλαµβάνει το τελικό δείγµα όλες τις τοιχειώδεις µονάδες που ανήκουν τις οµάδες αυτές λέγεται δειγµατοληψία κατά οµάδες ε ένα τάδιο (Sglestage cluster samplg). Αν µετά την επιλογή του δείγµατος οµάδων επιλεγούν διαδοχικά δείγµατα µικρότερων οµάδων µε τελικό τάδιο την επιλογή δείγµατος αποτελούµενου από το ύνολο ή µέρος των τοιχειωδών µονάδων της τελευταίας κατηγορίας υνθέτων οµάδων η δειγµατοληπτική τεχνική ονοµάζεται δειγµατοληψία κατά οµάδες ε πολλά τάδια (Multstage cluster samplg). Αν κατά τα διάφορα τάδια της δειγµατοληψίας οι ύνθετες µονάδες επιλέγονται µε απλή τυχαία δειγµατοληψία το δειγµατοληπτικό χέδιο ονοµάζεται απλή τυχαία δειγµατοληψία κατά οµάδες (Smple cluster samplg) ε ένα ή περιότερα τάδια. Τέλος αν οι ύνθετες οµάδες τοιχείων είναι βαιµένες ε γεωγραφικές περιοχές ο δειγµατοληπτικός χεδιαµός ονοµάζεται δειγµατοληψία κατά περιοχές (area samplg). ειγµατοληψία κατά οµάδες χρηιµοποιούµε όταν δεν διαθέτουµε δειγµατοληπτικό πλαίιο µε τις βαικές µονάδες του πληθυµού οι οποίες αποτελούν το αντικείµενο της έρευνας µας. Στο παράδειγµα των βιοµηχανικών εργατών που αναφέρθηκε παραπάνω δεν µπορεί να χηµατιθεί απλό τυχαίο δείγµα από τέτοιους εργάτες γιατί δεν υπάρχει κατάλογος όλων των βιοµηχανικών εργατών της χώρας. Αντίθετα, µπορούµε εύκολα να έχουµε τυχαίο δείγµα των βιοµηχανικών µονάδων τις οποίες απαχολούνται οι εργάτες αυτοί. Παρά το γεγονός ότι κάθε οµάδα θα µπορούε εύκολα να θεωρηθεί ως τρώµα η δειγµατοληψία κατά οµάδες διαφέρει ουιατικά από την τρωµατοποιηµένη δειγµατοληψία. Στην πρώτη επιλέγουµε τυχαία οριµένες οµάδες και τη υνέχεια όλες τις µονάδες που έχει κάθε οµάδα του δείγµατος ενώ τη δεύτερη επιλέγουµε τυχαίο δείγµα µονάδων από κάθε τρώµα. Έτι τη δειγµατοληψία κατά οµάδες πρέπει να έχουµε δηµιουργήει τις οµάδες µε τέτοιο τρόπο ώτε ε κάθε µία από αυτές να υπάρχει τόη ανοµοιογένεια όη ε ολόκληρο τον πληθυµό τον οποίο αντιπροωπεύει. Αντίθετα τη τρωµατοποιηµένη δειγµατοληψία πρέπει να έχουµε τη µέγιτη δυνατή οµοιογένεια ε κάθε τρώµα και τη µέγιτη δυνατή ανοµοιογένεια µεταξύ των τρωµάτων έτι ώτε κάθε ένα από αυτά να αποτελεί µια ξεχωριτή οµοιογενή οµάδα του πληθυµού. 38

39 Α. Εκτίµηη Παραµέτρων α. Εκτίµηη του µέου του πληθυµού Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ ένα χαρακτηριτικό του οποίου θέλουµε να εκτιµήουµε τη µέη τιµή χρηιµοποιώντας δειγµατοληψία κατά οµάδες. Στην περίπτωη αυτή (α) Ο πληθυµός {Χ, Χ,, Χ Ν } διαιρείται ε Μ οµάδες u, u,, u M µεγέθους Ν, Ν,, Ν Μ αντίτοιχα Αν µε x υµβολίουµε την τιµή της µονάδας της οµάδας του πληθυµού τότε: u {,,, },,,,M,,,, Επίης M µ η άγνωτη µέη τιµή του πληθυµού µ η µέη τιµή της οµάδας,,,,m M M µ µ M M η µέη τιµή ανά οµάδα M M M το µέο µέγεθος των οµάδων Προφανώς, M µ µ M µ (β) Επιλέγεται από τον πληθυµό των Μ οµάδων τυχαίο δείγµα m οµάδων {U, U,, U m } µεγέθους Ν, Ν,, Ν m αντίτοιχα. Αυτό αντιτοιχεί το πρώτο τάδιο της δειγµατοληψίας. Αν µε U υµβολίουµε το τοιχείο της επιλεγείας οµάδας τότε U {U, U,, U },,,,m,,,, 39

40 (γ) Στην περίπτωη που επακολουθεί και δεύτερο τάδιο δειγµατοληψίας επιλέγεται τυχαίο δείγµα, µονάδων από την οµάδα U, που επελέγη κατά το πρώτο τάδιο (,,,m). Τότε, m m Το µέο µέγεθος των m δειγµάτων του δεύτερου ταδίου δειγµατοληψίας. Ο µέος του δείγµατος του δεύτερου ταδίου δειγµατοληψίας,,,,m. U U S U U ( ) η διακύµανη του δείγµατος,, m. Για την εκτίµηη της µέης τιµής του αρχικού πληθυµού θα περιοριτούµε την περίπτωη ενός ταδίου δειγµατοληψίας οπότε και U µ,,,,m και θα διακρίνουµε δύο περιπτώεις: ιοµεγέθεις και ανιοµεγέθεις οµάδες. () Ιοµεγέθεις οµάδες Ν Στην περίπτωη αυτή τα µεγέθη των οµάδων που θα επιλεγούν θα είναι ία µε δηλαδή,,,,m. ' Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη m m U ή ιοδύναµα η τατιτική υνάρτηη m m U µ (.98) m m είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της µέης τιµής µ. 40

41 - Η διακύµανη του είναι M m M m V ( ) ( µ µ ) M M m m M - και το τυπικό φάλµα της εκτίµηης του M m M m µ µ m m M M m m m ( ) (.99) Επειδή όµως τα µ, µ, δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούµε αντί γι αυτά τις αµερόληπτες εκτιµήτριές τους. Έτι η χέη (.99) γίνεται M m M m S U S m m m M m m m ( ) (.00) Η τατιτική υνάρτηη φάλµατος εκτίµηης του S. ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού () Ανιοµεγέθεις οµάδες Ν Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη m m U (.0) είναι µία αµερόληπτη εκτιµήτρια της µέης τιµής µ. - Η διακύµανη του είναι M M m V ( ) µ M m M - Κατά υνέπεια το τυπικό φάλµα του είναι 4

42 M M m µ M m M (.0) Επειδή όµως το µ δεν είναι γνωτό χρηιµοποιούµε αντί για αυτό την αµερόληπτη εκτιµήτρια του. Έτι η χέη (.0) γίνεται m ' (.03) M m S U M m m Η τατιτική υνάρτηη S είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του. και ονοµάζεται β. Εκτίµηη του υνολικού µεγέθους κάποιου χαρακτηριτικού του πληθυµού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε την προηγούµενη ενότητα θέλουµε να εκτιµήουµε το υνολικό µέγεθος m x Mµ M µ όπου η τιµή της µονάδας που ανήκει την οµάδα. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ˆ (.04) MΝΧ είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του υνολικού µεγέθους x. - Το τυπικό φάλµα της ˆΧ είναι ( M ) (.05) - Η εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού φάλµατος εκτίµηης της ˆΧ είναι S M S (.06) ˆΧ ( ) 4

43 Οι χέεις (.04), (.05) και (.06) ιχύουν τόο για ιοµεγέθεις () όο και για ανιοµεγέθεις (Ν ) οµάδες. Αυτό που αλλάζει είναι ο τρόπος υπολογιµού των ποοτήτων που υπειέρχονται τις χέεις αυτές. Συγκεκριµένα: α. Για ιοµεγέθεις οµάδες ταχ, (.99) και (.00) αντίτοιχα., s υπολογίζονται από τους τύπους (.98), β. Για ανιοµεγέθεις οµάδες τα Χ,, (.0), (.0) και (.03) αντίτοιχα. s, υπολογίζονται από τους τύπους γ. Εκτίµηη Ποοτού Έτω ο πληθυµός µεγέθους Ν ο οποίος διαιρείται ε Μ οµάδες u, u,, u M µεγέθους Ν, Ν,, Ν Μ αντίτοιχα. Έτω επιπλέον Ν Α ο άγνωτος αριθµός των µονάδων της οµάδας που ανήκουν την κατηγορία Α. Προφανώς p A ( ) το ποοτό των µονάδων της οµάδας που ανήκουν την κατηγορία Α και p M M p το ποοτό των µονάδων του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. Στη υνέχεια, α. Από τον πληθυµού των Μ οµάδων επιλέγεται απλό τυχαίο δείγµα m οµάδων {U, U,, U M } µεγέθους Ν, Ν,, Ν m αντίτοιχα. Αυτό αντιτοιχεί το πρώτο τάδιο δειγµατοληψίας. β. Στην περίπτωη που ακολουθεί και δεύτερο τάδιο δειγµατοληψίας επιλέγεται τυχαίο δείγµα µονάδων από την οµάδα U που επελέγη κατά το πρώτο τάδιο (,,,m). Αν µε () υµβολίουµε τον αριθµό των µονάδων του δείγµατος που ανήκουν την κατηγορία Α τότε µια αµερόληπτη εκτιµήτρια του p είναι η 43

44 ( ),,,..., m Με βάη τα τοιχεία του δείγµατος θέλουµε να εκτιµήουµε το ποοτό p των µονάδων του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. Για την εκτίµηη του ποοτού αυτού θα περιοριτούµε την περίπτωη ενός ταδίου δειγµατοληψίας οπότε και θα διακρίνουµε δύο περιπτώεις: ιοµεγέθεις και ανιοµεγέθεις οµάδες. () Ιοµεγέθεις οµάδες Ν Στην περίπτωη αυτή, ˆp p,,,,m κατά υνέπεια ( ),,,..., m Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη p m m M ( ) ˆ m (.07) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του ποοτού p. - Η διακύµανη του ˆp είναι m M m V ( ) ( p p) m m M - Το τυπικό φάλµα του p ˆ είναι M M m p p (.08) M m M ( ) Επειδή όµως τα p, p δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούνται αντί γι αυτά οι αµερόληπτες εκτιµήτριές τους. Έτι η (.08) γίνεται 44

45 m M m S ˆ ( ˆ ˆ p p ) p (.09) M m m Η τατιτική υνάρτηη φάλµατος εκτίµηης του ˆp. Sˆp ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού () Ανιοµεγέθεις οµάδες Ν Στην περίπτωη αυτή αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη m m ( ) (.0) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του ποοτού p. - Η διακύµανη του ˆp είναι M M m V ( ) A p m m M ( ) ( ) - Το τυπικό φάλµα του p είναι M M m A p M m M ( ) ( ) (.) Στη χέη (.) τα ˆp, A (), είναι εν γένει άγνωτα. Αντικαθιτώντας το p µε την αµερόληπτη εκτιµήτρια του p και παρατηρώντας ότι αυτή είναι ουιατικά µια εκτιµήτρια λόγου δύο µεγεθών (περίπτωη που έχει ήδη εξεταθεί) αποδεικνύεται ότι η χέη (.) γίνεται M m S p p m m m ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ p + M m m (.) Η τατιτική υνάρτηη S Pc ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του p c 45

46 4. Αποτελεµατικότητα ειγµατοληπτικών Σχηµάτων Η αποτελεµατικότητα ενός ύνθετου δειγµατοληπτικού χήµατος ε χέη την Απλή Τυχαία ειγµατοληψία προδιορίζεται από ένα µέτρο γνωτό ως Επίδραη του ειγµατοληπτικού Σχήµατος (Desg Effect-Deff). Το µέτρο αυτό ορίζεται ως ο λόγος της διακύµανης της εκτίµηης µιας παραµέτρου του πληθυµού που βαίζεται ε ένα δείγµα το οποίο λαµβάνεται χρηιµοποιώντας το υπό εξέταη δειγµατοληπτικό χήµα προς τη διακύµανη της εκτίµηης που προκύπτει από ένα απλό τυχαίο δείγµα του ίδιου µεγέθους. Με άλλα λόγια: Deff V V Σ Α όπου V A και V Σ υµβολίζουν τη διακύµανη της εκτίµηης της παραµέτρου του πληθυµού που προκύπτει από το ύνθετο δειγµατοληπτικό χήµα και την απλή τυχαία δειγµατοληψία αντίτοιχα. Προφανώς Deff < φανερώνει ότι υπερτερεί η εκτίµηη του ύνθετου δειγµατοληπτικού χεδίου ενώ αντίθετα Deff > δηλώνει ότι υπερτερεί η εκτίµηη που βαίζεται την απλή τυχαία δειγµατοληψία. Εκτός από τη χρήη της για τον προδιοριµό της χετικής αποτελεµατικότητας ενός ύνθετου δειγµατοληπτικού χήµατος η επίδραη του ειγµατοληπτικού Σχήµατος χρηιµοποιείται και για τον κατά προέγγιη υπολογιµό του δειγµατικού µεγέθους για το χήµα αυτό. Επειδή οι τύποι προδιοριµού του δειγµατικού µεγέθους για ύνθετα δειγµατοληπτικά χήµατα είναι πολύπλοκοι µπορούµε να χρηιµοποιήουµε τους αντίτοιχους απλούς τύπους που ιχύουν την περίπτωη της απλής τυχαίας δειγµατοληψίας για να υπολογίουµε το µέγεθος του δείγµατος την περίπτωη αυτή. Στη υνέχεια προδιορίζουµε προεγγιτικά το µέγεθος του δείγµατος του ύνθετου χήµατος πολλαπλαιάζοντας το µέγεθος του απλού τυχαίου δείγµατος µε το Deff. 46

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο

ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΑΠΛΗ ΤΥΧΑΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Α. Εκτίµηη Παραµέτρων α. Εκτίµηη του Μέου ενός Πληθυµού Μέος Πληθυµού µ Εκτίµηη

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

PDF processed with CutePDF evaluation edition

PDF processed with CutePDF evaluation edition Κατανοµές ιαφάνειες ιαλέξεων - 0-0303 Περιεχόµενα της Ενότητας ειγµατοληψία και Κατανοµές Ενότητα η. ειγµατοληψία Πιθανοτικέςκαι και µη πιθανοτικές µέθοδοι. Εκτιµητές, ηµειακές εκτιµήεις, φάλµα δειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1

ιάστηµα εµπιστοσύνης της µ 1 ιάτηµα εµπιτούνης της µ - µ δύο ανεξάρτητων τ.µ. X και X Μέες τιµές: µ και µ ιαπορές: και είγµα µεγέθους, από τον πληθυµό τηςx, X ειγµατικές µέες τιµές: και ειγµατικές διαπορές: και Θέλουµε ναεκτιµήουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Έλεγχος Υποθέσεων II. Στατιστική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ. Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Έλεγχος Υποθέεων II Στατιτική IΙ, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Στατιτική ΙΙ Συμπεραματολογία Βαιμένη ε Ένα Δείγμα: Έλεγχοι υποθέεων Μέρος ο Εϖιλογή Μεγέθους είγατος για Έλεγχο του Μέου - 1 - Παράδειγα Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

ειγματοληπτικές κατανομές

ειγματοληπτικές κατανομές ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ Κουγιουµτζής ηµήτρης Γενικό Τµήµα, Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ Θερινό Εξάµηνο 004 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ...4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...8. Περιγραφή τατιτικών δεδοµένων...8..

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N)

( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Α)Με βάη το θεώρηµα Shannon για την κωδικοποίηη αναλογικού ήµατος να χαράξετε το διάγραµµα της χέης (S/N) =(), =bit/sample για ένα ήµα µε Gaussian κατανοµή. Β) Χρηιµοποιείτε τους Πίνακες 6.

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var (

ο εκτιμητής LS είναι n 1 x y 2 t Οι βασικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: ( ) = β, αμεροληψία, . Αν έχουμε n x C, τότε Var Τότε, θα έχουμε Var ( Στο γραμμικό υπόδειγμα y = β + u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι = β = = y Οι βαικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: E ( β ) = β, αμεροληψία, Var ( β ) = = Αν έχουμε =, τότε y = β =, ο δειγματικός μέος του y

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση Νευρο-ασαφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήση Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθησης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Εκπαίδευση Νευρο-ασαφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήση Τεχνικών Επιβλεπόµενης Μάθησης ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Εκπαίδευη Νευρο-ααφούς Ταξινοµητή Προτύπων Με Τη Χρήη Τεχνικών Επιβλεπόµενης

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευτών Εργατήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Υπολογιτικό θέµα : «Η βέλτιτη χεδίαη πτερύγωης τροβιλοµηχανής και η δηµιουργία χετικού µεταπροτύπου»

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

1 N N 1 N ( ) x dx (1) , (2) N xi. i= 1. = A exp , (3) dx = 1. (4) x σ 68% 2. (5) σ x x x . (6) . (7)

1 N N 1 N ( ) x dx (1) , (2) N xi. i= 1. = A exp , (3) dx = 1. (4) x σ 68% 2. (5) σ x x x . (6) . (7) Περί φλµάτων µετρήεων κι ποτελεµάτων Προδιοριµός φάλµτος (ή ειότητς) ενός ποτελέµτος Σφάλµ µις µετρήεως: φάλµ νγνώεως, π.χ. ±/ υποδιιρέεως κλίµκος. Σφάλµ πολλπλών, επνληπτικών µετρήεων: ( ) ( ) Πρόκειτι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής Στοχατική Προοµοίωη ιδιάτατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηη της Εµµονής Παρουίαη ιπλωµατικής Εργαίας 22/07/2004 Νίκος Θεοδωράτος Επιβλέπων:. Κουτογιάννης, Αν. Καθηγητής Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 5 η 6 η. Υποδειγµα Ιορροπίας τις Κεφαλαιαγορές Υπόδειγµα Αποτίµηης Περιουιακών Στοιχείων Γραµµή Αξιογράφων Συντελετής βήτα

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας Σχεδιαµός, Μεθοδολογία και Λογιµικό Παρακολούθηης Συγκλίεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαιίας Κ. ΛΑΚΑΚΗΣ Λέκτορας Α.Π.Θ Σ. Π. ΧΑΛΙΜΟΥΡ ΑΣ Υπ. ιδάκτωρ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪ ΗΣ Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάαµε την κίνηη ενός υλικού ηµείου υπό την επίδραη µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού ηµείου έχοµε ένα τερεό ώµα. Η µελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΠΕΝ ΥΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1. Η Αγορά Κεφαλαίου Η αγορά κεφαλαίου αποτελεί ένα από τους ηµαντικότερους χρηµατοοικονοµικούς θεµούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) 5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Εκτίµηση Φάσµατος. Παραµετρικά µοντέλα ΒΕΣ 6 Προαρµοτικά Συτήµατα τις Τηλεπικοιννίες Θερία Στοχατικών Σηµάτν: Εκτίµηη φάµατος, Παραµετρικά µοντέλα Ειαγγή Μοντέλα Στοχατικών Βιβλιογραφία Ενότητας uto []: Κεφάλαιo Widrow [985]: Chaptr 3 Hayi

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 015-016 Εαρινό Εξάµηνο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Α.Α.Δράκος Διάλεξη 3 η 4 η. Ανάλυη Θεωρίας Χαρτοφυλακίου 1. Αναµενόµενη Χρηιµότητα και Καµπύλες Αδιαφορίας. Κινδύνος και Απόδοη Χαρτοφυλακίου

Διαβάστε περισσότερα

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας

6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Εισαγωγή. 6.2 Μεταβλητότητα και Τυχαιότητα. 6.3 Κλάσεις Μεταβλητότητας Σχεδιαµός και Έλεγχος Συτηµάτων Παραγωγής 1 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ 6.1 Ειαγωγή Η µεταβλητότητα (vibiliy) είναι η ποιότητα της µη οµοιοµορφίας ε µια κλάη οντοτήτων. Σε υτήµατα παραγωγής υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Επιλογή δείγματος Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 1 Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφική

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις ρ.χ. Στρουθόπουλος, e-mail: stch@teise.g ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ

Διαβάστε περισσότερα