Breviar teoretic Vectori în plan
|
|
- Ἀχείμ Πυλαρινός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Proiect cofiţt i Foul Socil Europe pri Progrmul Operţiol Sectoril Dezvoltre Resurselor Ume 7- prioritră Eucţi şi formre profesiolă î sprijiul creşterii ecoomice şi ezvoltării societăţii zte pe cuoştere Domeiul mjor e iterveţie cces l eucţie şi formre profesiolă iiţilă e clitte Titlul proiectului: TEEN PERFORM - Progrm iovtor e îmuătăţire rezulttelor şcolre î îvăţămâtul licel Cotrct umăr: POSDRU/5//S/66 Beeficir: Ispectortul Şcolr Jueţe Sucev Discipli MTEMTICĂ FIŞĂ DE LUCRU Tem/Uitte: Vectori î pl Geometrie litică Epert eucție: prof Moisuc Niculi Mihel, Colegiul Tehic Răăuți, Sucev Brevir teoretic Vectori î pl I Segmete oriette Noţiue e vector O pereche orotă, Be pucte le plului etermiă î mo uic: ) u segmet B cu lugime l (, B); ) o irecţie tă e rept B ; c) u ses t e semirept (B Defiiţie: O pereche orotă e pucte, B i pl se umeşte segmet oriett (vector legt)notţie: B Oservţii: Puctul se umeşte origie (puctul e plicţie) ir puctul B etremitte (vâful) segmetului oriett B ; Lugime segmetuluib se umeşte moulul segmetului oriett B ; Notţie: B Drept B se umeşte suportul segmetului oriett B ir irecţi ei se umeşte irecţi segmetului oriett B Defiiţie: Se umesc segmete echipolete ouă segmete oriette cre u ceeşi irecţie, celşi moul şi celşi ses Notţie: B ~ CD Defiiţie: Mulţime tuturor segmetelor oriette echipolete cu u segmet oriett t B se umeşte vector (vector lier) Notţie: B Oservţii: Orice segmet oriett i cestă mulţime se umeşte reprezett l vectorului B ; Vectorii lieri se pot ot şi cu litere mici,, u, v, Defiiţie: Doi vectori se umesc vectori egli că u ceeşi irecţie, celşi ses şi celşi moul Defiiţie: Doi vectori se umesc vectori coliiri că u ceeşi irecţie Defiiţie: Doi vectori se umesc vectori opuşi că u celşi moul, ceeşi irecţie şi sesuri iferite Oservţii: Vectorul ul este vectorul cre re moulul ir irecţi şi sesul sut eetermite; Vectorul uitr (versor, vector uitte) este vectorul cre re moulul Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
2 O Regul triughiului B II ure vectorilor Defiiţie: Fie, oi vectori şi O, B reprezetţi i cestorse umeşte sum celor oi vectori vectorul s cre re c reprezett OB Regul prlelogrmului O B Regul triughiului se etie l ure mi multor vectori şi se umeşte regul poligoului: Dcă tuci Proprietăţile uării vectorilor: Oricre r fi vectorii u, v, wu loc: u v v u (comuttivitte); u u u ( este elemet eutru); ( u v) w u ( v w) (socitivitte); 4 u ( u) ( u) u ( u este vectorul opus lui u ) Notţie: u v u v,oricre r fi vectorii u şi v III Îmulţire cu sclri vectorilor Defiiţie: Fie v u vector şi Vectorul v este vectorul Proprietăţi le îmulţirii cu sclri: cre re: Oricre r fi vectorii uv, şi, u loc: ceeşi irecţie cu v ; v su v ; celşi ses cu v c α> şi ses opus cu v că ; v v; ( ) v ( v) ; moulul egl cu v 4 ( )v v v ; 5 ( u v) u v IV Coliiritte oi vectori Teoremă: Vectorii u şi v sut vectori coliiri că şi umi că eistă α stfel îcât v u Oservţii: * Vectorii u şi v sut vectori coliiri că şi umi că eistă, stfel îcât uv ; Dcă u şi v sut vectori ecoliiri, tuci i orice relţie e form uv ; Puctele,B,C sut pucte coliire că şi umi că eistă α îcât B BC V Reper crtezi Coorotele uui vector Defiiţie: Fie o reptă î pl Se umeşte reper crtezi pe rept o pereche Oi, formtă itr-u puct O e pe reptă şi u versor i l irecţiei cestei repte Notţie: O, Oi, Oservţii: se umeşte ă ( e coorote), O se umeşte origie ir i versorul reperului; Dcă M tuci OM i ; se umeşte scis (coorot) vectorului OM Defiiţie: Fie O şi O ouă e ortogole î pl Se umeşte reper crtezi î pl tripletul O,, i j, Y j i ( X C Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
3 ue i şi j sut versorii celor ouă e Notţie: O, O,, i j Oservţii: O se umeşte origie reperului, O se umeşte sciselor, ir O orotelor; Dcă (, ) este u puct i pl tuci O i j; ( se, ) umesc coorotele vectorului O Notţie: O (, ) Teoremă (escompuere vectorului B upă versorii i şi j ): Dcă (, ), B(, ) sut pucte i pl tuci B ( ) i ( ) j Proprietăţi: (, ), B(, ), C(, ) sut pucte ecoliire i pl tuci: Dcă B ( ) ( ) ; Dcă M este mijlocul segmetului B tuci M, ; Dcă G este cetrul e greutte l BC tuci G, Operţii cu vectori: Dcă u i j şi v i j tuci u loc: Teoremă: Vectorii u i j şi u v ( ) i ( ) j ; v i j sut vectori coliiri că u v ( ) i ( ) j ; şi umi că u i j, ;,, u 4 VI Vectorul e poziţie l uui puct î pl Defiiţie:Fie O u puct î pl Vectorul O se umeşte vectorul e poziţie l puctului şi se oteză r Teoremă: Dcă,B sut pucte isticte i pl tuci B rb r Teoremă: Dcă,B sut pucte isticte i pl şi M este mijlocul segmetului [B] r rb tuci rm M Teoremă: Fie şi B pucte isticte i pl şi M[B] stfel îcât kk, MB tuci r krb rm k M B r r M r B Teoremă: Dcă I este cetrul cercului îscris î r rb crc ri c Teoremă: Dcă I este cetrul cercului îscris î r rb crc ri c BC tuci BC tuci VII Cetre e greutte * Defiiţie: Fie,,,,, pucte i pl Se umeşte cetru e greutte l sistemului e pucte,,,, u puct G i pl cu propriette că G G G Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
4 * Teoremă (e uicitte şi eisteţă): U sistem,,,,, e pucte i pl mite u sigur cetru e greutte * Teoremă (relţi lui Leiiz): Dcă,,,,, este u sistem e pucte i pl, G cetrul său e greutte şi M u puct orecre i pl tuci M M M MG r rb rc Teoremă: Dcă G este cetrul e greutte l BC tuci rg Teoremă: Dcă G este cetrul e greutte l triughiului BC tuci G GB GC Teoremă: Dcă G este cetrul e greutte l BC tuci oricre r fi O u puct i pl re loc: OG ( O OB OC ) Teoremă (Pppus): Fie BC M B, N BC, P C împrt ceste segmete Dcă puctele î celşi rport tuci VIII lte teoreme remrcile î geometri plă BC şi MNP u celşi cetru e greutte Teoremă (Slvester): Dcă O şi H sut cetrul cercului circumscris, respectiv ortocetrul BC tuci: OH O OB OC Coseciţ : Îtr-u triughi cetrul cercului circumscris O, cetrul e greutte G şi ortocetrul H sut pucte coliire Oservţie: Drept pe cre se flă puctele O, G, H se umeşte rept lui Euler Coseciţ : Î orice triughi, cu otţiile uzule, u loc relţiile: ) H HB HC HG; ) H HB HC HO ' Coseciţ (relţi lui Euler): Fie BC şi O mijlocul segmetului OH tuci re loc relţi O OB OC OO Oservţie: Cercul cre trece pri mijlocele lturilor uui triughi, pri piciorele îălţimilor triughiului şi pri mijlocele segmetelor cre uesc vârfurile triughiului cu ortocetrul cestui se umeşte cercul lui Euler (cercul celor ouă pucte) Teoremă (Meelus): Fie triughiul BC şi, B, C trei pucte stfel îcât BC, B C, C B ' Dcă ', B ', C ' sut pucte coliire, tuci re loc relţi: B B C C C B C B Teoremă (Reciproc teoremei lui Meelus): Fie triughiul BC şi BC, B C, C B stfel îcât ouă itre puctele, B, C sut situte pe ouă lturi le triughiului, ir l treile puct este situt pe prelugire celei e- trei lturi su tote puctele, B, C sut situte pe prelugirile lturilor B B C C triughiului Dcă re loc relţi, tuci puctele, B, C sut pucte coliire C B C B Teoremă (Cev): Fie triughiul BC şi, B, C trei pucte stfel îcât,, BC B C C B Dcă reptele, BB, CC sut cocurete, tuci re loc relţi B B C C C B C B Teoremă (Reciproc teoremei lui Cev): Fie triughiul BC şi, B, C trei pucte stfel îcât 4 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
5 ,, BC B C C B Dcă re loc relţi, BB, CC sut cocurete B B C C, tuci reptele C B C B Teoremă (V uel): Fie triughiul BC şi puctele ' BC, C C ', B B ' Dcă reptele ' ' B C P, CB, BC sut cocurete îtr-u puct P, tuci re loc relţi B C C B P IX Prousul sclr oi vectori Defiiţie: Fie u şi v vectori Se umeşte prous sclr l vectorilor u şi v umărul rel u v cos( u, v) Notţie: u v= u v cos( u, v) Teoremă (eprimre î coorote prousului sclr): Dcă u i j şi v i j tuci u v Oservţie: i i, j j, i j j i Teoremă: Fie u şi v vectori u v Proprietăţi: Fie vectorii u, vw, şi m tuci u loc: u u u ; u v v u (comuttivitte); mu v muv u mv ; 4 u v u v 5 uv petru cos (, ) uv şi uv petru cos ( uv, ) ; 6 u v w u v u w (istriutivitte fţă e ure vectorilor); Elemete e geometrie litică Distţ itre ouă pucte, şi B, : B Pt reptei B : m B, Coorotele mijlocului M l segmetului B : B M, B M 4 Coorotele puctului N cre împrte segmetul B î rportul k : 5 Coorotele ortocetrului G l BC k N, k N ue,, B,, C G,, : G 6 Ecuţi reptei etermită e u puct şi o irecţie: Fie, : r r tv, t M, ue r vectorul e poziţie l puctului Oservţie: uv cos ( uv, ) u v M şi vectorul, k k v tuci M, ir r vectorul e poziţie l puctului 5 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
6 t 7 Ecuţii prmetrice le reptei : :, t t 8 Ecuţi crteziă reptei : :, şi 9 Ecuţi geerlă reptei : : c, su, ue m pt reptei Ecuţi eplicită reptei : : m, ue m este pt reptei şi este orot l origie Ecuţiile reptelor prlele cu ele e coorote : :, reptă verticlă, :, reptă orizotlă Ecuţi reptei pri tăieturi : :, şi ue, şi B, reprezită puctele e itersecţie le reptei cu ele e coorote Ecuţi reptei etermite e puctul M, şi pt m : m 4 Ecuţi reptei etermite e ouă pucte isticte, şi B, : : :, şi SU 5 Ughiul ouă repte î pl Fie : c şi : c tuci ughiul reptelor este ughiul formt e vectorii lor irectori şi este etermit e relţi: cos 6 Poziţi reltivă ouă repte î pl Dreptele : c şi : c sut : ) prlele c m m ) cofute c c c c) cocurete ) perpeiculre m m Coiţi e prlelism: m m Coiţi e perpeiculritte: m m 7 Distţ e l puctul, M l rept h : c : 8 ri triughiului cu vârfurile,, B,, C SU BC, ue c M, h BC, BC BC, : 9 Coiţi e coliiitte puctelor,, B,, C, : 6 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
7 BC, CERCUL, SU Ecuţi cercului este: r, ue C, este cetrul cercului, ir r, rz cercului Dcă C, O, ecuţi cercului este: Ecuţi geerlă cercului este: r m m p, ue,, este r p Tipuri e itemi (ivel : tehologic-t, știițele turii-ș, mtemtică iformtică-m) T Fie triughiul BC și M mijlocul lturii BC Să se rte că M B C B, BC, T Î triughiul BC puctele M, N, P sut mijlocele lturilor C Să se rte că M P N T Să se emostreze că î ptrulterul BCD re loc relți B CD D CB T4 Fie triughiul BC și M, N, P sut mijlocele lturilor BC, C, B, ir O u puct î pl Să se rte că O OB OC OM ON OP T5 Se cosieră pătrtul BCD și O cetrul său Să se clculeze O OB OC OD T6 Î triughiul BC se cosieră puctele D și E stfel îcât D DB, E BC Să se rte că reptele BC și DE sut prlele T7 Fie triughiul BC și M BC stfel îcât BC BM Să se rte că M B C T8 Pe lturile B și C le triughiului BC se iu puctele M și N stfel îcât M MB și N C Să se rte că vectorii MN și BC sut coliiri 4 T9 Î reperul O,, i j se cosieră vectorii u i j și v 5i j Să se etermie coorotele vectorului 5u v T Î reperul crtezi O se u vectorii O, și, petru cre vectorul O 5OB re coorotele, T Să se etermie Rștii că vectorii u 4i j și v i j sut coliiri T Să se etermie m Rstfel îcât vectorii u m 4i m j și iă celși moul T Să se etermie m R stfel îcât puctele,, B,4, C m, m OB Să se etermie umerele rele, v m i m j să să fie coliire 7 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
8 T4 Fie r i j, rb i j și rc i j vectorii e poziție i vârfurilor triughiului BC Să se etermie vectorul e poziție l cetrului e greutte l triughiului m, m 8, 5 C m, Să se etermie umerele rele m, T5 Se cosieră puctele, B, stfel îcât vectorul e poziție l cetrului e greutte l triughiului BC să fie vectorul ul, B, Să se etermie istț itre T6 Î reperul crtezi O se cosieră puctele și și B T7 Se cosieră puctele, m, B-m, Să se etermie m R T8 Î reperul crtezi O se cosieră puctele,, B, și 4,5 etermie vlorile lui petru cre triughiul este reptughic î T9 Să se etermie, R știi că rept e ecuție 5 B -,4 T Să se etermie istț e l puctul, : 8 stfel îcât B 4 C, ue R Să se, și trece pri puctele O l puctul e itersecție l reptelor : și Ș Fie triughiul BC Să se etermie kz stfel îcât BC C k B M C Să se etermie k Rstfel îcât Ș Fie G cetrul e greutte l triughiului BC și GM BC, GM kbc Ș Se cosieră puctele,, B, 4, C 6, și M BC vectorul M Ș4 Fie triughiul BC și puctele M B și N C stfel îcât MB BC 4 Să se etermie stfel îcât vectorii MN și BC sut coliiri Dcă M 4, BM m, N m și CN 6, să se etermie m N Ș5 Să se etermie coorotele simetricului puctului fță e mijlocul segmetului B (,), C (,) Ș6 Se cosieră puctele 6,, B 6,9,, u B BC Ș7 Să se clculeze B C CD BC că,4 C Să se etermie coorotele vectorului î czul 4,5, B 4,, C,,,6 D, Ș8 Să se etermie m R petru cre reptele : m și : m 5 sut prlele Ș9 Se cosieră î pl puctele, CD sut prlele, B,, C,, D, Ș Î reperul crtezi O se cosieră puctele,, B, și C, Să se verifice că reptele B și coorotele puctului D stfel îcât ptrulterul BCD să fie prlelogrm Ș Să se etermie m R petru cre puctele să fie coliire :,5,5,, B, m+ Să se etermie ), B, C m ; ),,, Ș Să se etermie ecuți meiei use i vârful C l triughiului BC î czurile :, 5,6,,, C m ), B, C ; ), B, C, Ș Să se etermie lugime îălțimii use i vârful O l triughiului MON, ue M 4,,, N și 8 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
9 O, Ș4 Să se etermie coorotele vârfurilor triughiului BC știi că suporturile lturilor triughiului sut reptele e ecuții :, : 4 și : Ș5 O reptă re pt reptă cre re orot eglă cu 7 m și coție puctul, M rătți că ughiul vectorilor u i j și v i j este otuz Să se etermie scis puctului P e pe M Puctele, B, C, D verifică relți B C D rătți că B, C, D sut coliire,, C, M Clculți istț e l puctul l rept etermite e puctele B și M4 Scrieți ecuți reptei cre coție puctul, M5 Î sistemul e coorote O se cosieră puctele, puctul M,5 l meitore segmetului B M și este perpeiculr pe rept : 5 și B, Determiți istț e l M6 Determiți Rpetru cre istț itre reptele : 5 și : să fie eglă cu M7 Determiți Rpetru cre reptele isticte : 4, : 4 și : 4 sut echiistte M8 Determiți Rpetru cre reptele :, : și : sut cocurete M9 Determiți ecuți reptei știi că reptele și : 4 sut simetrice fță e O M Să se etermie știi că reptele : și : coici M Fie puctele, M Fie, și, B, B 4,6 și,- M Fie puctele, și G,4 C flți lugime isectorei i triughiului BC B Determiți ecuțiile reptelor cre trec pri și sut situte l istț e coorotele mijlocului lturei BC,, C,, ue, Z M4 Fie puctele, B și Dcă G este cetrul e greutte l triughiului BC, etermiți ) rătți că, că, tuci puctele, B și C sut ecoliire ) rătți că că este umăr pr, tuci ri triughiului BC este u umăr turl impr M5 Î reperul crtezi O se cosieră puctele log,log9 și B -,, N ) Să se etermie ecuți reptei B și B ) Să se rte că B, oricre r fi N c) Să se emostreze că petru orice N, puctul prție reptei 9 Feerți Nțiolă socițiilor e Păriți - Îvățămât Preuiversitr
REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE
UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu Editur Uiversităţii
Διαβάστε περισσότεραDreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri
reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραTESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic UPRINS ALGEBRÃ. 5 I. Elemete de logicã mtemticã 5 I.. Noţiue de propoziţie 5 I.. Opertori logici.. 5 I.. Epresii î clculul propoziţiilor 7 I.4. Noţiue de predict
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραTransformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
Διαβάστε περισσότεραCERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu)
ERUL Prof. V orcalciuc Scoala r. 46 I.G. Duca ucuresti ( Lectie facuta dupa maualul de clasa a 7-a Prof.Radu) Defiitie:ercul cu cetrul i si de raza r este multimea tuturor puctelor di pla situate la distata
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραAdrian Stan Editura Rafet 2007
Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
Διαβάστε περισσότεραGeometria triunghiului
Geometri triunghiului 1 I Triunghiul ritrr Fie AB A c h m l β γ B D E A 1 Geometri triunghiului Formule de z pentru triunghiuri Notm prin:,, c lungimile lturilor B, A, respectiv AB; α, β, γ mrimile unghiurilor
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuatii liniare
Sisteme e eutii liire Sisteme e ou eutii u ou euosute Def.U sistem e ou eutii u ou euosute re form ( S : ue,,, se umes oefiietii euosutelor, ir, termeii lieri. Def.Se umeste solutie sistemului orie ulu
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότεραMETODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA
ETOE ŞI ETAPE ECESARE PETRU ETERIAREA UGHIULUI A OUĂ PLAE PROF. IACU ARIA, ŞCOALA ROUL LAEA, ORAVIłA, CARAŞ- SEVERI (). Unghi diedru. Fie α şi β două semiplne vând ceeşi frontieră (muchie)d. Se numeşte
Διαβάστε περισσότερα9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare
lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραTITULARIZARE 2002 Varianta 1
TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότεραa) De câte cămări are nevoie hârciogul pentru a depozita toate semințele? b) După al câtelea drum a umplut complet a doua cămară?
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2009 Cls V- 1. Un hârciog cră semințe într-o glerie. L primul drum duce cu el o sămânță, l l doile duce 3 semințe, l l treile duce 5 semințe, etc.,
Διαβάστε περισσότεραDUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ
DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTEŞ DANA PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Editur UNIVERSITARIA
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότερα4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier
4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE
MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. Precizri si recomdri privid desfsurre ctivittilor l discipli MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs obligtoriu Mulul de curs recomdt R. Trdfir I. Dud A. Bciu R. Io Mtemtici
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραREZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Διαβάστε περισσότεραSOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ
CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότερα2) Numim matrice elementara o matrice:
I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραλ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0
ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότερα1. Ordinul unui element al unui grup (D. Heuberger) 2. Teoremele lui Lagrange şi Cauchy pentru grupuri finite (D. Heuberger)
CLASA XII- ALGEBRĂ Ordiul uui elemet l uui grup D Heuerger Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri iite D Heuerger 3 Aplicţii le teoremei lui Lgrge î proleme de teori umerelor V Pop 3 Noţiui şi rezultte
Διαβάστε περισσότεραILEA MIHAIL-OVIDIU NOTE DE CURS Matematica Semestrul 1
ILEA MIHAIL-OVIDIU NOTE DE CURS Mtemti Semestrul .SPAŢII VECTORIALE Noţiue de spţiu vetoril ostituie oietul de studiu l lgerei liire şi repreită u ditre ele mi importte struturi lgerie utilită î diferite
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραIV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
Διαβάστε περισσότεραTEORIA SISTEMELOR AUTOMATE. Prof. dr. ing. Valer DOLGA,
TEORIA SISTEMELOR AUTOMATE Prof. dr. ig. Vler DOLGA, Curi_7_ Aliz i ruul iemelor liire i domeiul im II. Sieme de ordiul. Ruul iemului l emle drd imul uir re uir rm 3. Noiui rivid clie iemului de ordiul
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCINEMATICA RIGIDULUI
CNEMATCA GDULU CNEMATCA CPULU GD CNEMATCA CPULU GD 8.. Elementele generle le mişcării corpului rigid 8.. Problemele cinemticii corpului rigid Corpul rigid este un element importnt în tehnică şi semnifică
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE. Teorema (Teorema bisectoarei interioare) Fie triunghiul ABC, (AD bisectoarea interioară a unghiului A şi D (BC), atunci: DB =
1. Relţii metrie în triunghiul orere 1.1. Teoreme le isetorelor GEOMETRIE Teorem 1.1.1. (Teorem isetorei interiore) Fie triunghiul B, (D isetore interioră unghiului şi D (B), tuni: DB B. D Demonstrţie.
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότερα0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ
CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραCALCULUL BARELOR CURBE PLANE
CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată,
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Capitolul 5 VECTORI LIBERI. #1. Spaţiul vectorial al vectorilor liberi
GEOMETRIE ANALITICĂ Cpitolul 5 VECTORI LIBERI # Spţiul vectoril l vectorilor liberi Fie E spţiul tridimensionl l geometriei elementre orientt Definiţii Pentru oricre două puncte A B E considerăm segmentul
Διαβάστε περισσότεραAxiomele geometriei în plan şi în spańiu
xiomele geometriei în pln şi în spńiu 1 xiomele geometriei în pln şi în spńiu unoştinńele de geometrie cumulte în clsele gimnzile pot fi încdrte într-un sistem logic de propozińii mtemtice: xiome, definińii,
Διαβάστε περισσότεραINTERFERENŢA PE OGLINDA LUI FRESNEL FOLOSIND UN LASER CU He-Ne
INTERFERENŢA PE OGINDA UI FRESNE FOOSIND UN ASER CU He-Ne. Scopul lucrrii ucrre îşi propue să evieţieze iterfereţ ouă surse e lumiă virtule, coerete, obţiute pri reflexi uei rze e lumiă proveită e l u
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραŞiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN
Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.
Διαβάστε περισσότεραTema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραy y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότερα!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότερα