DUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ
|
|
- Νίκων Καρράς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTEŞ DANA PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ
2 Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ
3 Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Editur UNIVERSITARIA CRAIOVA 3
4 Refereţi ştiiţifici: Prof.uiv.dr.Costti Năstăsescu,Uiversitte Bucuresti Membru corespodet l Acdemiei Româe Prof.uiv.dr. Costti Niţă,Uiversitte Bucureşti Prof.uiv.dr. Alexdru Dică,Uiversitte Criov EUC CRAIOVA All rights reserved. No prt of this publictio my be reproduce, stored i retrievl system, or trsmitted, i y forms or by y mes, electroic, mechicl, photocopyig, recordig, or other wise, without the prior writte permissio of the publisher. Tehoredctre computeriztă : D Piciu, Floreti Chirteş Copertă: Cătăli Buşeg Descriere CIP Bibliotecii N iole Dumitru Buşeg (coordotor), Probleme de Algebră Bu de tipr:.. Tipogrfi Uiversităţii di Criov, Strd, Al. Cuz, r.3 Criov, Româi Published i Romi by: EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 4
5 ISBN:
6 CUPRINS Prefţă i Idex de otţii şi brevieri ii Prte : Euţurile problemelor. Operţii lgebrice. Semigrupuri. Mooizi. Morfisme de mooizi. Grup. Subgrup. Subgrup geert de o mulţime. Clcule îtr-u 6 grup. Grupuri de permutări 3. Teorem lui Lgrge. Ordiul uui elemet. Idicele uui 7 subgrup. Subgrupuri ormle 4. Morfisme şi izomorfisme de grupuri. Grupuri fctor. Teoremele 4 de izomorfism petru grupuri 5. Produse directe de grupuri Iel. Subiel. Exemple. Clcule îtr-u iel. Elemete iversbile. 39 Divizori i lui zero. Elemete idempotete. Elemete ilpotete. Produse directe de iele 7. Morfisme şi izomorfisme de iele 5 8. Idele. Ltice idelelor uui iel comuttiv. Aultorul şi rdiclul 54 uui iel. Fctorizre uui iel pritr-u idel bilterl. Idele prime. Idele mximle 9. Corp. Subcorp. Crcteristic uui corp. Morfisme şi 6 izomorfisme de corpuri. Iele de poliome 7 Prte : Soluţiile problemelor 79. Operţii lgebrice. Semigrupuri. Mooizi. Morfisme de mooizi 79. Grup. Subgrup. Subgrup geert de o mulţime. Clcule îtr-u 9 grup. Grupuri de permutări 3. Teorem lui Lgrge. Ordiul uui elemet. Idicele uui 9 subgrup. Subgrupuri ormle 6
7 4. Morfisme şi izomorfisme de grupuri. Grupuri fctor. Teoremele 3 de izomorfism petru grupuri 5. Produse directe de grupuri Iel. Subiel. Exemple. Clcule îtr-u iel. Elemete iversbile. 75 Divizori i lui zero. Elemete idempotete. Elemete ilpotete. Produse directe de iele 7. Morfisme şi izomorfisme de iele 8 8. Idele. Ltice idelelor uui iel comuttiv. Aultorul şi rdiclul 5 uui iel. Fctorizre uui iel pritr-u idel bilterl. Idele prime. Idele mximle 9. Corp. Subcorp. Crcteristic uui corp. Morfisme şi 44 izomorfisme de corpuri. Iele de poliome 76 Bibliogrfie 3 7
8 Prefţă Lucrre de fţă este destită î pricipl semirizării cursurilor de lgebră legte de structurile lgebrice fudmetle (grup, iel, corp). E cupride probleme legte de grupuri, iele, corpuri şi iele de poliome. Acestă lucrre este utilă î primul râd studeţilor de l fcultăţile de mtemtică - iformtică dr şi celor de l fcultăţile tehice. E pote fi îsă utilă î eglă măsură tât profesorilor de mtemtică di îvăţămîtul preuiversitr (î procesul didctic şi de perfecţiore), c şi elevilor di ultim clsă de liceu prticipţi l trdiţiolele cocursuri de mtemtici de l oi. Petru umite specte teoretice recomdăm cititorilor lucrările [4,, 3, 8, 9,, ]. Atât tehoredctre cât şi corectur prţi utorilor. Criov,.. Autorii 8
9 Idex de otţii şi brevieri.î. : stfel îcât ( ) : implicţi (echivleţ) logică ( ) (( )) : cutifictorul uiversl (existeţil) x A : elemetul x prţie mulţimii A A B : mulţime A este iclusă î mulţime B A B : mulţime A este iclusă strict î mulţime B A B : itersecţi mulţimilor A şi B A B : reuiue mulţimilor A şi B A \ B : difereţ mulţimilor A şi B A B : difereţ simetrică mulţimilor A şi B P(M) : fmili submulţimilor mulţimii M C M A : complemetr î rport cu M mulţimii A A B : produsul crtezi l mulţimilor A şi B M (su crd M) : crdilul mulţimii M ( dcă M este fiită M reprezită umărul elemetelor lui M) A : fucţi idetică mulţimii A N(N*) : mulţime umerelor turle (eule) Z(Z*) : mulţime umerelor îtregi (eule) Q(Q*) : mulţime umerelor rţiole (eule) : mulţime umerelor rţiole strict pozitive Q * R(R*) R * : mulţime umerelor rele (eule) : mulţime umerelor rele strict pozitive C(C*) : mulţime umerelor complexe (eule) δ ij : simbolul lui Kroecker ( dică petru i j şi petru i j) z : modulul umărului complex z U : mulţime rădăciilor complexe de ordi le uităţii T : mulţime umerelor complexe de modul m : umărul îtreg m divide umărul îtreg [m,] : cel mi mic multiplu comu l umerelor turle m şi c.m.m.m.c. : cel mi mic multiplu comu (m,) : cel mi mre divizor comu l umerelor turle m şi 9
10 c.m.m.d.c. : cel mi mre divizor comu m ( mod p) : m este cogruet cu modulo p ( dică p m-) Z : mulţime clselor de resturi modulo umărul turl ( ) M (K) : mulţime mtricelor pătrtice de ordi cu elemete di mulţime K M m, (K) : mulţime mtricelor cu m liii şi coloe, cu elemete di mulţime K I (O ) : mtrice uitte ( ulă) de ordi ( ) Tr(M) : urm mtricei pătrtice M det(m) : determitul mtricei pătrtice M U(M,o ) : mulţime elemetelor iversbile di mooidul (M, o ) ϕ() ( N*) : umărul umerelor turle mi mici decât şi prime cu (ϕ portă umele de idictorul lui Euler) GL (K) : grupul liir de grd peste corpul K SL (K) : grupul specil de grd peste corpul K Σ(X) : grupul simetric l mulţimii X ( dică grupul fucţiilor bijective f : X X reltiv l compuere fucţiilor) S : grupul simetric l uei mulţimi cu elemete A : grupul lter de grd D : grupul diedrl de grd DI : grupul diciclic de grd Q : grupul quterioilor Q : grupul geerlizt l quterioilor o(g) : ordiul elemetului g di grupul G H G : H este subgrup l grupului G H G : H este subgrup orml l grupului G G:H : idicele subgrupului H î grupul G (G/H) d : mulţime clselor l drept le grupului G reltive l subgrupul H l grupului G (G/H) s : mulţime clselor l stâg le grupului G reltive l subgrupul H l grupului G G/H : grupul fctor l grupului G pri subgrupul său orml H L(G) : mulţime subgrupurilor grupului G L (G) : mulţime subgrupurilor ormle le grupului G <X> : subgrupul geert de mulţime X î grupul G (X G) H K : subgrupul geert de H K î grupul G ( H,K G) H K H K : mulţime elemetelor de form h k cu h H şi k K (H,K G) : grupurile H şi K sut izomorfe
11 H K Hom(G,G ) : grupurile H şi K u sut izomorfe : mulţime morfismelor de grup de l grupul G l grupul G Aut(G) : mulţime utomorfismelor grupului G I(G) : mulţime utomorfismelor iteriore le grupului G C M (x) : cetrliztorul î mooidul M l elemetului x ( dică mulţime elemetelor lui M ce comută cu x) Z(M) : cetrul mooidului M ( mulţime elemetelor lui M ce comută cu oricre elemet l lui M) N G (H) : ormliztorul lui H î G ( dică mulţime elemetelor x G petru cre xh Hx, H G) [x,y] : x - y - xy ( comuttorul elemetelor x şi y di grupul G) ch (e e - ) / : cosius hiperbolic sh (e - e - ) / : sius hiperbolic Cr(A) : crcteristic ielului A U(A) : grupul uităţilor ielului A Z(A) : cetrul ielului A N(A) : mulţime elemetelor ilpotete le ielului A Id(A) : mulţime idelelor ielului comuttiv A A / I : ielul fctor l lui A pri idelul I J(A) : rdiclul Jcobso l ielului comuttiv A r(i) : rdiclul idelului I A(I) : ultorul idelului I (M) : idelul geert de submulţime M di ielul A [x,y] : comuttorul elemetelor x şi y di ielul A (dică xy yx) A[[X]] :ielul seriilor formle peste ielul A A[X] :ielul poliomelor îtr-o edetermită cu coeficieţi î ielul comuttiv A A[X,,X ] : ielul poliomelor î edetermitele X,,X ( ) cu coeficieţi di ielul comuttiv A ~ f : fucţi poliomilă tştă poliomului f A[X]
12 Prte : Euţurile problemelor. Operţii lgebrice.semigrupuri. Mooizi. Morfisme de mooizi... Fie M o mulţime cu elemete. (i) Câte operţii lgebrice se pot defii pe M? (ii) Câte ditre ceste sut comuttive? (iii) Câte ditre ceste dmit elemet eutru? (iv) Să se rte că umărul operţiilor lgebrice ce se pot defii pe M cre sut î celşi timp comuttive şi cu elemet eutru este... Pe R cosiderăm operţi lgebrică : xo y xy x by c (, b, c R). (i) Petru ce vlori le lui,b,c operţi o este socitivă? (ii) Să se demostreze că operţi o este socitivă re elemet eutru ; (iii) Î ipotez că operţi o este socitivă, să se puă î evideţă U(R, )..3. Pe Z cosiderăm operţi lgebrică : xo y xy b(x y) c (, b, c Z). Să se demostreze că: (i) Operţi o este socitivă b -b-c ; (ii) Dcă b -b-c, tuci operţi o re elemet eutru dcă şi umi dcă b c..4. Fie M o mulţime evidă ir o o operţie lgebrică socitivă pe M. Să se demostreze că : H { M: (x o ) o y x o ( o y), petru orice x,y M} este prte stbilă lui M î rport cu operţi dtă..5. Fie M o mulţime evidă. Pe M se defieşte o operţie lgebrică socitivă. Arătţi că dcă M este fiită şi există M.î. fucţi f: M M, f(x) x este ijectivă, tuci (M, ) este mooid.
13 .6. Fie S u semigrup fiit şi S. Să se rte că există m N *.î. m este idempotet..7. Fie A o mulţime evidă şi o operţie lgebrică socitivă pe A cu propriette că există N *.î. x y yx, petru orice x,y A. Arătţi că operţi dtă este comuttivă..8. Fie M şi o operţie lgebrică socitivă cu propriette că există N *.î. (xy) yx, petru orice x,y M. Atuci operţi lgebrică este comuttivă..9. Pe mulţime M se defieşte o operţie lgebrică cu proprietăţile: ) x x, petru orice x M; ) (xy)z (yz)x, petru orice x,y,z M. Să se rte că operţi este socitivă şi comuttivă... Pe mulţime S se defieşte o operţie lgebrică socitivă cu următorele proprietăţi: ) x 3 x, petru orice x S ) xy x y x y, petru orice x,y S. Să se rte că operţi este comuttivă... Fie Z[i]{xyi : x,y Z, i C, i -}. Să se demostreze că (Z[i], ) este mooid comuttiv. Să se determie U(Z[i], )... Fie d u umăr turl liber de pătrte (d ) ir Z[ d ] {xy d x,y Z}. Defiim N : Z[ d ] Z[ d ] pri N(xy d ) x - dy, petru orice x,y Z. Să se demostreze că (Z[ d ], ) este mooid comuttiv ir z U(Z[ d ], ) N(z) {±}..3. Să se demosteze că U(Z[ ], ) este o mulţime ifiită..4. Fie u umăr turl, şi M {x Z: (,x) }. Să se demostreze că M este prte stbilă lui (Z,) este o putere turlă uui umăr prim. 3
14 .5. Fie M C prte stbilă lui (C,).î. {z C: z } M. Să se demostreze că M C..6. Pe mulţime M Z Z defiim operţi lgebrică : (x, y ) o (x, y ) (x x, x y y ). Să se demostreze că (M, o ) este mooid ir poi să se determie U(M, o ). b.7. Fie M {,b,c,d Z şi b c d }. c d Să se demostreze că M împreuă cu îmulţire mtricelor este mooid ir poi să se puă î evideţă uităţile mooidului M..8. Fie A {f : N * C}. Pe A defiim operţi lgebrică stfel: (f g) f()g(/d). d Să se demosteze că (A, ) este mooid comuttiv şi f U(A, ) f(). Observţie. Fucţiile di A se umesc fucţii ritmetice ir operţi lgebrică portă umele de produs de covoluţie su produs Dirichlet..9. Fie (M, ) u mooid şi elemetrul său eutru. (i) Să se rte că dcă M este mulţime fiită, tuci u există,b M.î. b şi b ; (ii) Să se de u exemplu de două plicţii f,g : N N.î. fo g N şi go f N ; (iii) Fie şi b î M.î. b şi b. Să se rte că dcă b m b q p cu m,,p,q N *, tuci q şi m p... Să se demostreze că dcă M C este prte stbilă reltiv l operţiile de dure şi îmulţire umerelor complexe şi R M C, tuci M R su M C... Petru mooidul (M, ) defiim Z(M) {x M xy yx, petru orice y M}. Să se demostreze că Z(M) este submooid l lui M. Observţie. Z(M) portă umele de cetrul mooidului M... Fie N,. Să se demostreze că 4
15 Z (M (C), ) { I C}..3. Fie mtrice A M (C). (i) Să se determie X M (C).î. AX XA ; (ii) Să se rezolve î M (C) ecuţi X A ( N, ). b.4. Fie A M (R).î. d > şi det (A). c d Să se demostreze că A I, petru orice N,..5. Fie N, şi A,B M (C).î. A B AB. Să se demostreze că AB BA..6. Fie N, şi A,B M (C). Să se demostreze că I - AB U(M (C), ) I - BA U(M (C), )..7. Fie S u semigrup. Să se rte că există u mooid M şi u morfism ijectiv de semigrupuri f : S M..8. Fie M, M mooizi, f,g : M M două morfisme de mooizi, M f,g {x M : f(x) g(x)} ir i : M f,g M morfismul icluziue. Să se demostreze că : (i) M f,g este submooid l lui M ir f o i go i ; (ii) Dcă M este u lt mooid ir i : M M este u morfism de mooizi.î. fo i go i, tuci există u uic morfism de mooizi u : M M f,g.î. i o u i. Observţie. Dubletul (M f,g, i) îl otăm cu Ker(f,g) şi portă umele de ucleul perechii de morfisme de mooizi (f,g). Dcă g este morfismul ul (g(x), ( ) x M ), otăm Ker(f) M f, {x M : f(x) } şi îl umim ucleul lui f..9. Fie M,M mooizi, f : M M u morfism de mooizi. Cosiderăm următorele firmţii : (i) f este plicţie ijectivă ; (ii) Ker(f) {}. 5
16 Să se demostreze că (i) (ii) îsă î geerl (ii) (i)..3. Fie M,M mooizi, f : M M u morfism de mooizi. Cosiderăm următorele firmţii : (i) f este plicţie ijectivă ; (ii) Dcă M este u lt mooid ir g,h :M M sut morfisme de mooizi.î. fo g f o h, tuci g h ; (iii) Ker(f) {}. Să se demostreze că (i) (ii) şi (ii) (iii). Observţie. U morfism ce verifică (ii) se umeşte moomorfism de mooizi..3. Fie M,M mooizi, f : M M u morfism de mooizi. Cosiderăm următorele firmţii : (i) f este plicţie surjectivă ; (ii) Dcă M 3 este u lt mooid ir g,h :M M 3 sut morfisme de mooizi.î. go f ho f, tuci g h. Să se demostreze că (i) (ii) îsă î geerl (ii) (i). Observţie. U morfism ce verifică (ii) se umeşte epimorfism de mooizi.. Grup. Subgrup. Subgrup geert de o mulţime. Clcule îtr-u grup. Grupuri de permutări... Pe mulţime Z defiim operţi lgebrică: x o y xy (x y ). (i) Să se rte că dubletul (Z,o ) u este grup ; (ii) Să se determie ce mi mre submulţime G Z (fţă de icluziue).î. dubletul (G, o ) să fie grup comuttiv... Pe mulţime Q se defieşte operţi lgebrică : x o y x y kxy (k Q * fixt). Să se rte că există Q.î. (Q \ {},o ) să fie grup beli..3. Fie,b,c,d R * şi operţi lgebrică : xo y xyxbyc. Ce codiţie trebuie să îdepliescă,b şi c petru c ((d, ), o ) să fie grup beli? 6
17 7.4. Fie G >, : l R. Să se demostreze că G împreuă cu îmulţire mtricelor este grup comuttiv..5. Fie G } { : R x x x x x. Să se demostreze că G împreuă cu îmulţire mtricelor este grup comuttiv..6. Să se determie x R.î. mulţime : M,,,, : bc d R d c b d c x b să fie grup î rport cu operţi de îmulţire mtricelor..7. Să se determie umerele rele şi b.î.: G 4,, : y x R y x y x bx y bx y y x să formeze u grup î rport cu îmulţire mtricelor..8. Fie turl, dt. Să se rte că mulţime : G,,, : I A C y x y x A este u grup î rport cu îmulţire mtricelor. Câte elemete re grupul G?.9. Să se rte că mulţime : G,, : 4 4 y x R y x y x y y y x împreuă cu îmulţire mtricelor formeză grup comuttiv.
18 8.. Fie G mulţime mtricelor de form M(,b) b b b b b b cu propriette că det M(,b). Să se rte că G este grup î rport cu îmulţire mtricelor... Cosiderăm mulţime M.,,, 3, ele tre i prime sut X g s i cx bx f ir R c b c b b c c b Să se rte că M este grup î rport cu îmulţire mtricelor... Fie E R R ir petru t R, fucţi f t :E E, f t (x,y) (x ty t /, y t), oricre r fi (x,y) E. Să se demostreze că mulţime G {f t : t R} formeză grup comuttiv î rport cu compuere fucţiilor..3. Se cosideră mulţime : G, ) ( ) ) ( ( 4 d b c d b c R M d c b b d c c b d d c b. (i) Să se rte că (G, ) este grup beli ; (ii) Petru N şi X G, să se rte că există, b, c, d R şi H {A,B,C,D}, H G,.î. (H, ) să fie grup beli şi X A b B c C d D petru orice umăr turl. (iii) Petru N* clculţi : Fie A şi M A { x I 3 y A (x,y) R* R}. Să se rte că :
19 (i) det X u depide de y, petru orice X M A ; (ii) (M A, ) este u grup beli ; (iii) (X*) (X*) - M A şi det ( (X*) (X*) - ) 8, petru orice N* şi orice X M A, ude X* este djuct lui X. b.5. Fie M, b Q,, b. b (i) Să se rte că (M, ) este grup ; (ii) Să se determie tote mtricele X M.î. X X t I ; (iii) Ecuţi Y t Y I re soluţii î M?.6. Să se demostreze că U {z C* : z } şi T {z C * : z } este subgrup l grupului (C *, ) ( N)..7. Fie K o mulţime cu ptru elemete K {,,b,c}. Pe K cosiderăm operţi de îmulţire cărei tbelă este: b c b c c b b b c c c b Să se demostreze că dubletul (K, ) este grup comuttiv. Observţie. Grupul K portă umele de grupul lui Klei..8. Determiţi,b,c R.î. să fie subgrup l grupului (R, ). G {x R cos x b si x c }.9. Determiţi mtricele A M (R), ( 3), petru cre mulţime G(A) {B M (R) det(ab) det(a)det(b)} este grup î rport cu dure mtricelor di M (R)... Să se demostreze că orice grup cu cel mult cici elemete este comuttiv... Să se demostreze că pe orice mulţime fiită se pote defii o structură de grup comuttiv. 9
20 .. Să se demostreze că u grup u se pote scrie c reuiue două subgrupuri proprii le sle..3. Să se demostreze că există grupuri ce se pot scrie c reuiue trei subgrupuri proprii le sle..4. Să se rte că u există ici u grup cre să fie reuiue trei subgrupuri proprii le sle, ditre cre două u câte trei elemete..5. Fie (G, ) u grup şi H {x x G}. Să se rte că dcă G este comuttiv, tuci H este subgrup l lui G. Reciproc este devărtă?.6. Fie (G, ) u dublet formt ditr-o mulţime şi o operţie lgebrică socitivă. Să se rte că dcă oricre r fi,b,c G există x G.î. xb c, tuci (G, ) este grup..7. Fie (G, ) u grup şi,b G.î. b c, cu c G şi N *. Să se rte că există d G.î. b d..8. Fie p 3 u umăr turl impr. Costruiţi u grup (G, ) cu p 3 elemete, ude p > este umăr impr, cu propriette că petru orice x G, x p..9. Fie G o mulţime fiită pe cre este defiită o operţie lgebrică socitivă, ottă multiplictiv. Dcă operţi re propriette că : xy xz y z, yx zx y z, petru orice x, y, z G, tuci (G, ) este u grup..3. Fie (G, ) u grup î cre re loc implicţi xy z x y z, ude N *. Să se rte că (G, ) este grup beli..3. Fie (G. ) u grup şi,b G.î. b bb. Să se rte că dcă şi umi dcă b..3. Fie (G,) u grup beli fiit cu r elemete şi să cosiderăm două elemete fixte şi b di cest grup. Petru m şi umere turle dte,
21 otăm cu M m, (G) mulţime mtricelor cu m liii şi coloe vâd elemetele di grupul G, ir cu M(,b) otăm submulţime lui M m, (G) formtă di cele mtrice cu propriette că sum elemetelor de pe fiecre liie este, ir sum elemetelor de pe fiecre coloă este b. Să se demostreze că : (i) (M m, (G), ) este grup beli vâd r m elemete; (ii) Dcă m b, tuci M(,b) este mulţime vidă ; (iii) Dcă m b, tuci M(,b) re r (m-)(-) elemete..33. Fie G u grup ir A,B,C G.î. A B, A C B C şi AC BC. Să se demostreze că A B ( ude AC {c A şi c C})..34. Fie G u grup, H,K G ir x,y G.î. H x K y. Să se demostreze că H K..35. Fie G u grup ir A,B G. Să se demostreze că AB A B A B..36. Fie G u grup fiit ir A,B G.î. A B > G. Să se demostreze că G AB..37. Fie (G, ) u grup cu proprietăţile: ) Dcă x, tuci x ; ) (xy) (yx), oricre r fi x,y G. Să se demostreze că grupul G este beli..38. Fie G u grup.î. x, petru orice x G. Să se demostreze că G este comuttiv ir dcă G este fiit, tuci G este o putere turlă lui..39. Fie G u grup fiit şi p u umăr prim cre divide ordiul lui G. Atuci umărul soluţiilor ecuţiei x p este u multiplu eul l lui p..4. Dcă G este u grup, să se demostreze că Z(G) G (vezi problem...)..4. Fie G u grup ir x,y G.î. xy Z(G). Să se demostreze că xy yx..4. Fie (G, ) u grup, x, y G şi m, N *.î. (m,). Să se rte că dcă x comută cu y m şi y, tuci x comută şi cu y.
22 .43. Fie G u grup ir H G u subgrup propriu l său. Să se demostreze că < G \ H > G..44. Fie (G, ) u grup cre re u subgrup H.î. G \ H re u umăr fiit de elemete. Să se rte că grupul G este fiit..45. Fie (G, ) u grup beli fiit. Spuem că subgrupul H l lui G re propriette (A) dcă G H şi produsul elemetelor lui H este egl cu produsul elemetelor di G \ H. Să se rte că dcă G re u subgrup cu propriette (A), tuci orice subgrup l lui G, diferit de G re propriette (A). sle..46. Petru u grup fiit G otăm cu s(g) umărul de subgrupuri le Să se rte că: (i) Petru orice umăr rel > există grupuri fiite G.î. (ii) Petru orice umăr rel > există grupuri fiite G.î. G < s( G) G >. s( G) ;.47. Fie o operţie lgebrică socitivă pe mulţime M. Să se demostreze că (M, ) este grup dcă şi umi dcă oricre r fi M, există N*.î. f : M M, f (x) x să fie surjectivă..48. Să se demostreze că grupul ditiv (Q,) u este fiit geert..49. Fie H u subgrup l grupului ditiv (Q, ). Să se rte că dcă Q H Z, tuci H Q..5. Fie (G, ) u grup (beli), G o mulţime petru cre există o bijecţie f : G G. Petru x,y G defiim xo y f(f - (x) f - (y)). Să se rte că î felul cest (G, o ) devie grup (beli)..5. Să se demostreze că pe orice itervl deschis şi mărgiit de umere rele se pote defii o operţie lgebrică ce determiă pe itervlul respectiv o structură de grup..5. Fie (G, ) u grup. Să se rte că următorele firmţii sut echivlete : (i) Orice prte stbilă lui G este subgrup l său ; (ii) Petru orice x G, există k N *.î. x k.
23 .î. :.53. Fie (G, ) u grup, N, 3 şi H, H,,H subgrupuri le lui G ) U H i G i ) H i U H i. i i j Să se rte că petru orice x G, există k N*, k (-)!.î. x k I H. i i.54. Petru orice N * cosiderăm H { k! k Z}. Să se demostreze că: (i) H este subgrup l grupului (Q, ) şi că Q U H ; N * (ii) Dcă G,G,,G m sut subgrupuri le grupului (Q,) şi G i Q, petru orice i m tuci m U G Q. i i.55. Fie N * ir U {z C* : z }. Să se demostreze că U (C *, ), U ir U este grup ciclic (vezi problem.6.)..56. Fie (G, ) u grup comuttiv cu elemetul uitte şi m, N*. Să se rte că : H m H H [m,], ude m ott H {x G x }, H m H {xy x H m, y H }, ir [m,] c.m.m.m.c (m,)..57. Fie (G, ) u grup ir L(G) mulţime subgrupurilor lui G. Să se rte că (L(G), ) este ltice completă..58. Să se rte că î ltice L(Z) petru H mz şi K Z, cu m, N, H K [m,]z ir H K (m,)z. Să se deducă de ici fptul că (L(Z), ) este ltice distributivă..59. Fie G u grup cu propriette că (xy) x y, petru orice x,y G. Să se demostreze că G este comuttiv. 3
24 .6. Fie G u grup cu propriette că există N *.î. (xy) k x k y k, petru k,,, oricre r fi x,y G. Să se demostreze că G este comuttiv..6. Fie G u grup cu propriette că există N *.î. (xy) k x k y k, petru k,, 4, oricre r fi x,y G. Să se demostreze că G este comuttiv..6. Fie G u grup cu propriette că există m, N *, (m,).î. oricre r fi x,y G, (xy) (yx) şi (xy) m (yx) m. Să se demostreze că G este comuttiv..63. Fie G u grup cu propriette că x 3 şi x y y x, oricre r fi x,y G. Să se demostreze că G este comuttiv..64. Fie G u grup ir x,y G. Notăm [x,y] x - y - xy. Să se demostreze că dcă x,y,z G, tuci: (i) xy yx [x,y] ; (ii) [xy,z] y - [x,z] y [y,z] ; (iii) [x,yz] [x,z] z - [x,y] z ; (iv) y - [[x,y - ],z] y z - [[y,z - ],x] z x - [[z,x - ],y] x. Observţie. [x,y] portă umele de comuttorul lui x şi y..65. Fie X o mulţime evidă ir F(X) {f : X X}. Să se demostreze că reltiv l compuere fucţiilor, F(X) este u mooid ir U(F(X), o ) {f F(X) : f este o bijecţie}. Observţie. Vom ot U(F(X), o ) Σ(X); grupul (Σ(X),o ) portă umele de grupul de permutări supr mulţimii X. Dcă X este o mulţime fiită cu elemete, vom ot Σ(X) pri S..66. Î grupul permutărilor Σ(R) cosiderăm elemetele σ,τ defiite stfel: σ(x) x şi τ(x) x, petru orice x R ir G < σ,τ > Σ(R). Petru N *, fie σ τ - σ τ G şi H < σ > G. Să se demostreze că petru orice, H H ir H U este subgrup fiit geert l lui G. 4 H u.67. Să se determie f : R R cre dmit primitive pe R, cu propriette că mulţime primitivelor lui f este subgrup l grupului bijecţiilor lui R ( î rport cu compuere fucţiilor).
25 .68. Fie (X,d) u spţiu metric ir Izom(X) {f Σ(X) : d(f(x), f(y)) d(x,y), petru orice x,y X}. Să se demostreze că Izom(X) Σ(X). Observţie. Elemetele lui Izom(X) se umesc izometrii le lui X..69. Fie X E plul euclidi îzestrt cu fucţi distţă uzulă. Vom ot pri Tr(E ) mulţime trslţiilor lui E ir petru u puct fixt O E, Rot(O,E ) mulţime rotţiilor lui E î jurul lui O. Să se demostreze că : (i) Tr(E ) Izom(E ), Rot(O,E ) Izom(E ) ; (ii) Petru orice f Izom(E ), există ρ Rot(O,E ), τ Tr(E ).î. f ρo τ, cu O E..7. Fie (X,d) u spţiu metric, Y X ir S X (Y) {f Izom (X) f(y) Y}. Să se demostreze că S X (Y) Izom(X). Observţie. S X (Y) portă umele de grupul de simetrie l lui Y î rport cu X..7. Petru u umăr turl şi P u poligo regult cu lturi, defiim D S E ( P) ( P fiid coturul lui P ). Fie O cetru lui P, ρ rotţi î jurul lui O de ughi π/ ir ε simetri fţă de u di xele de simetrie le lui P. Să se demostreze că D {, ρ, ρ, ρ 3,, ρ -, ε, ρε,, ρ - ε}. Observţie. Grupul D de ordi portă umele de grupul diedrl de grd..7. Să se demostreze că grupul simetric S este geert de trspoziţiile τ i (i,i), i,,, Să se demostreze că grupul simetric S este geert de trspoziţiile τ i (,i), i,,,..74. Să se demostreze că petru orice k, grupul simetric S este geert de trspoziţiile (,k), (,k),,(k-,k), (k,k),, (,k)..75. Să se demostreze că grupul simetric S este geert de trspoziţi τ (,) şi ciclul σ (,,,)..76. Să se demostreze că grupul lter A este geert de ciclii de lugime 3. 5
26 .77. Să se demostreze că grupul lter A este geert de ciclii (,,3), (,,4),,(,,)..78. Să se demostreze că î S vem : (,,,r) (,3,,r,) (r,,,,r-) (r )..79. Să se demostreze că dcă α este u r-ciclu î S, tuci α r e (r ) şi r este cel mi mic umăr turl cu cestă propriette..8. Fie α şi β doi r-ciclii î S (r ). Să se demostreze că dcă există i S.î. α(i) i şi β(i) i ir α k (i) β k (i) petru orice k turl, tuci α β..8. Două permutări α,β S se zic disjucte dcă tuci câd u di ele schimbă u elemet, celltă îl fixeză. Să se demostreze că dcă α (i,i,,i r ), β (j,j,, j s ), r, s, tuci α şi β sut disjucte {i,i,,i r } {j,j,, j s }..8. Să se demostreze că dcă permutările α,β S sut disjucte, tuci αβ βα. A..83. Să se demostreze că S pote fi privit c subgrup l lui.84. Să se demostreze că petru 4, Z(A ) {e}..85. Să se demostreze că petru 3, Z(S ) {e}..86. Să se demostreze că î S două permutări sut cojugte dcă şi umi dcă u ceeşi structură ciclică..87. Să se rezolve î S ecuţi x (,,,)..88. Fie p u umăr prim ir σ S u ciclu de lugime m (m ). Să se demostreze că : (i) Dcă p m, tuci σ p este u ciclu de lugime m, vâd ceeşi orbită c şi σ ; (ii) Dcă p m, tuci σ p este u produs de p cicli disjucţi de lugime m/p..89. Fie p u umăr prim. Să se demostreze că : 6
27 (i) Dcă σ S este u ciclu de lugime m, ude p m, tuci există τ S u ciclu de lugime m.î. τ p σ ; (ii) Dcă σ,σ,,σ p S sut ciclii disjucţi de ceeşi lugime k, tuci există τ S u ciclu de lugime mkp.î. τ p σ σ σ p..9. Fie u umăr prim, σ S, σ e. Să presupuem că î descompuere î ciclii disjucţi lui σ pr α ciclii de lugime m, α ciclii de lugime m,, α t ciclii de lugime m t (m, m,, m t fiid disticte două câte două) ir m, m,,m k (k t) sut divizibile cu p. Să se demostreze că ecuţi x p σ re soluţie î S α,α,, α k sut divizibile pri p. Aplicţie. Să se studieze comptibilitte ecuţiilor: x î S 9 ; x î S Dcă p este u umăr prim, p, să se demostreze că ecuţi x p σ re soluţie petru orice σ S, σ e..9. Fie p u umăr prim. Să se demostreze că x S este soluţie ecuţiei x p e x este u produs de ciclii disjucţi de lugime p di S..93. Fie G u grup comuttiv cu elemete. Să se demostreze că orice subgrup l lui G pote fi geert de cel mult elemete..94. Să se demostreze că grupul (Q,) u dmite u sistem de geertori miiml..95. Să se demostreze că orice subgrup fiit geert l lui (Q,) este ciclic (u stfel de grup se umeşte locl ciclic). 7
28 3. Teorem lui Lgrge. Ordiul uui elemet. Idicele uui subgrup. Subgrupuri ormle. 3.. Fie G u grup fiit.î. Z(G) > G. Să se demostreze că grupul G este comuttiv. 3.. Fie G u grup fiit comuttiv.î. x petru mi mult de jumătte di elemetele lui G. Să se demostreze că x, oricre r fi x G Să se demostreze că îtr-u grup G cu elemete, ude este umăr impr, există cel mult elemete de ordi. că : 3.4. Fie G u grup ir x G u elemet de ordi fiit. Să se demostreze o(x ) o(x), oricre r fi N Să se rte că îtr-u grup beli G există u elemet l cărui ordi este egl cu c.m.m.d.c l ordielor tuturor elemetelor x le lui G Fie G u grup, x,y G.î. xy yx ir x m y (m, N). Să se demostreze că (xy) k, ude k [m,]. Putem ve o(xy) < k? 3.7. Fie G u grup ir x,y G. Să se demostreze că o(xy) o(yx) şi o(x) o(x - ) Fie G u grup ir x G u elemet de ordi fiit. Să se demostreze că petru orice m N *, o(x m ) /(m,) Fie G u grup şi x,y G cu o(x), o(y) fiite, (, ) ir xy yx. Să se demostreze că o(xy) o(x) o(y). Dcă codiţi (, ) se îlocuieşte cu <x> <y> {}, să se rte că o(xy) [, ]. 3.. Fie G u grup, x G.î. o(x) cu, N *, (, ). Să se demostreze că există şi sut uic determite elemetele y,z G.î. x yz zy şi o(y), o(z). 8
29 3.. Fie G u grup ir x,y G.î. o(x) m, o(y), (m, N*). Să se demostreze că dcă x şi y comută cu [x, y], tuci [x,y] d, ude d (m,). 3.. Fie (G, ) u grup comuttiv de ordi fiit. Sut echivlete : (i) G este de ordi impr ; (ii) Petru orice G ecuţi x re soluţie uică î G Fie (G, ) u grup fiit. Dcă m şi sut divizori i ordiului grupului, tuci ecuţiile x m şi x u o sigură soluţie comuă dcă şi umi dcă (m,) Fie G u grup cu elemete î cre există,b G \ {} disticte.î b. Să se rte că G u este beli Î mooidul multiplictiv M (Z) cosiderăm mtricele: A şi B. Să se demostreze că o(a) 4, o(b) 3 ir o(ab) Fie G u grup, H G şi x G.î. o(x) ( N * ). Să se demostreze că dcă x m H petru orice m N *.î. (m, ), tuci x H Fie G u grup comuttiv de ordi. Arătţi că produsul celor elemete le lui G este egl cu produsul tuturor elemetelor de ordi cel mult. Aplicâd cest rezultt grupului multiplictiv (Z p, ) cu p prim, să se demostreze că p (p-)!. Observţie. Coseciţ de l problem 3.7. este dtortă lui Wilso Fie p u umăr prim ir u umăr turl. Să se demostreze că: (i) Dcă p şi >, tuci î grupul U(Z, ) umi elemetele ˆ,ˆ, -, - u ordiul cel mult ; 9
30 (ii) Dcă p >, tuci î grupul U(Z p, ) umi elemetele ˆ şi -ˆ u ordiul cel mult ; (iii) Să se deducă de ici următorele vrite de geerlizre petru teorem lui Wilso: ) Dcă p este u umăr prim, p > şi u umăr turl, tuci : p ( ) < p (, p) b) Dcă p şi >, tuci : ( < (,) c) Dcă p şi, tuci : ( < (,) ). ). U p Fie p u umăr prim, N* şi U p Să se demostreze că: (i) U p U p U p U (ii) Dcă otăm U p U p C * ; U p {z C * p : z, tuci U p (C *, ); }. (iii) Dcă H (U p, ) este propriu, tuci există N.î. H 3.. Fie A u iel uitr, N,. Notăm GL (A) {M M (A): det(m) U(A, )} şi SL (A) {M M (A): det(m)}. Să se demostreze că GL (A) este u grup reltiv l îmulţire mtricelor ir SL (A) GL (A). Observţie. Grupurile GL (A) şi SL (A) portă umele de grupul liir geerl (respectiv specil) de grd peste ielul A. 3.. Dcă K este u corp fiit cu q elemete, să se demostreze că: GL (K) (q - )(q - q) (q - q - ). 3.. Fie U,V M (Z), U, V. Să se demostreze că U,V SL (Z) ir < {U,V} > SL (Z) Fie U,V,W M (Z), U, V, W. 3
31 Să se demostreze că U,V,W GL (Z) ir < {U,V,W} > GL (Z) Fie (G, ) u grup ir L (G) mulţime subgrupurilor ormle le lui G. Să se rte că L (G) este subltice modulră lui L(G) Dcă M este u A-modul, tuci ltice (L A (M), ) submodulelor lui M este modulră Fie G u grup, H G.î. H Z(G). Să se demostreze că H < G Fie G u grup ir H < G. Să se demostreze că Z(H) < G. Z(G) Fie G u grup şi H<G cu H. Să se demostreze că H 3.9. Fie G u grup, H G.î. G:H.Să se demostreze că H < G Fie G u grup fiit şi N *.î. (, G ). Să se demostreze că oricre r fi x G există şi este uic y G.î. y x. Să se deducă de ici că dcă y,z G şi y z, tuci y z Fie G u grup.î. G:Z(G) ( N * ). Să se demostreze că oricre r fi x,y G vem: [x,y] [x,y ] [y - xy, y] Dcă orice subgrup propriu l uui grup G este comuttiv, rezultă că grupul G este comuttiv? Fie G u grup fiit cu elemete. Să se demostreze că x, petru orice x G. Să se deducă de ici că dcă, N *.î. (,), tuci ϕ() -. Observţie. Coseciţ cestui rezultt este dtort lui Euler Fie G {,,, } u subgrup l grupului (C*, ) şi k N*. Să se rte că : (i) G U ; (ii) Există relţi : 3
32 k k... k,, ( dc k u este multiplu de ( dc k este multiplu de Fie G u grup.î. există A G fiită şi evidă cu propriette că G \ A este u subgrup l lui G. (i) Să se rte că G este fiit şi G A ; (ii) Dcă A este prim, tuci G A su G A Să se demostreze că cel mi mic subgrup orml l lui G ce coţie pe H este subgrupul lui G geert de elemetele de form g - hg cu g G şi h H. Observţie. Cel mi mic subgrup orml l lui G ce coţie pe H se oteză pri N G (H) şi portă umele de îchidere ormlă lui H î G ( su ormliztorul lui H î G) Fie A,B,C subgrupuri le grupului G. Să se demostreze că : (i) Dcă A B, tuci B : A (C B) : (C A) ; (ii) G : (A B) G : A G : B ; (iii) (A B) : B A : (A B) Fie A,B subgrupuri le uui grup G.î. G : A şi G : B sut fiite şi prime ître ele. Să se demostreze că : (i) G : (A B) G : A G : B ; (ii) Dcă î plus G este fiit, tuci G AB Fie G u grup fiit ir A,B subgrupuri le lui G. Să se demostreze că dcă A : (A B) > G : B, tuci A B G Fie G u grup fiit geert. Să se demostreze că orice subgrup de idice fiit î G este fiit geert Să se demostreze că îtr-u grup G itersecţi uui umăr fiit de subgrupuri de idice fiit este u subgrup de idice fiit Fie G u grup, x G ir C G (x) { y G : xy yx}. Să se demostreze că C G (x) G ir mulţime cojugţilor lui x (dică elemetelor de form x - cu G) re crdilul egl cu G : C G (x). 3
33 Observţie. C G (x) portă umele de cetrliztorul lui x î G; î geerl, dcă M este o submulţime lui G, defiim C G (M) c fiid itersecţi cetrliztorelor tuturor elemetelor lui M Fie G u grup ir K G. Să se demostreze că C G (K) {} Z(H) {}, oricre r fi H.î. K H G Fie u umăr turl,, K u corp, K Z ir D mulţime mtricelor digole di GL (K). (i) Arătţi că C G (D) D. Deduceţi de ici că Z(GL (K)) {I : K}; (ii) Presupuâd î plus că 3 su K Z 3 să se demostreze că C GL (K) (D SL (K)) D şi deduceţi de ici că Z(SL (K)) SL (K) Z(GL (K)) Să se demostreze că petru 3, D re u sigur subgrup de ordi Fie 3. Să se demostreze că dcă este impr, tuci Z(D ) ir dcă este pr, tuci Z(D ) Să se demostreze că grupul lter A 4 (cre re ordiul ) u re subgrupuri de ordi 6. Observţie. Acest exerciţiu e rtă că reciproc teoremei lui Lgrge u este devărtă. 4. Morfisme şi izomorfisme de grupuri. Grup fctor. Teorem lui Cuchy. Teoremele de izomorfism petru grupuri. 4.. Fie G, G două grupuri, f,g : G G morfisme de grupuri, G {x G : f(x) g(x)} ir i : G G icluziue coică. Să se demostreze că G G şi că dubletul (G,i) verifică următore propriette de uiverslitte: (i) f o i g o i; (ii) Dcă G este u lt grup, i : G G u morfism de grupuri.î. f o i g o i, tuci există u uic morfism de grupuri u : G G.î. i o u i. Observţie. Dubletul (G,i) se oteză pri Ker(f,g) şi portă umele de ucleul perechii de morfisme (f,g). 33
34 Dcă g este morfismul ul (dică g(x), petru orice x G ), coveim să otăm Ker(f) Ker(f,) {x G : f(x) } ( fără mi specific morfismul icluziue). 4.. Fie G, G două grupuri, f : G G u morfism de grupuri. Să se demostreze că următorele firmţii sut echivlete: (i) f este plicţie ijectivă; (ii) Ker(f) {} Fie G, G două grupuri, f : G G u morfism de grupuri. Să se demostreze că următorele firmţii sut echivlete: (i) f este plicţie ijectivă; (ii) Dcă G este u lt grup şi g,h : G G sut morfisme de grupuri.î. f o g f o h, tuci g h. Observţie. Acest exerciţiu e rtă că î ctegori grupurilor, moomorfismele sut exct morfismele ijective Fie G, G două grupuri, f : G G u morfism de grupuri. Să se demostreze că următorele firmţii sut echivlete: (i) f este plicţie surjectivă; (ii) Dcă G 3 este u lt grup şi g,h : G G 3 sut morfisme de grupuri.î. g o f h o f, tuci g h. Observţie. Acest exerciţiu e rtă că î ctegori grupurilor, epimorfismele sut exct morfismele surjective Fie M u mooid comuttiv cu propriette că dcă x,y M şi xy xz tuci y z. Să se demostreze că există u grup G M şi u morfism ijectiv de mooizi i M : M G M.î. petru orice grup beli G şi orice morfism de mooizi u : M G există u uic morfism de grupuri u : G M G.î. u o i M u. Observţie. Acest rezultt este dtort lui Mlţev Fie M (, ) şi o operţie lgebrică pe M, o : M M M, defiită stfel: x o y xy x by c (,b,c R). Să se determie,b,c ştiid că ( M, o ) este grup şi să se rte că (M, o ) este izomorf cu (R,) Fie G u subgrup eul l lui grupului (R,) cu propriette că G (-,) este mulţime fiită, oricre r fi R, >. Să se rte că grupul (G,) este izomorf cu grupul (Z,). 34
35 4.8. Îtr-u grup (G, ) se cosideră submulţimile: H {x G x }, N *. Să se rte că: (i) H este subgrup l lui G xy yx petru orice x,y H ; (ii) Dcă p este u umăr prim cu propriette că H p re cel mult p elemete, tuci H p {} su H p este subgrup l lui G izomorf cu grupul (Z p,) Fie G (, ) \{} şi G, α R *. Defiim pe G operţi lgebrică: α log y xo y x şi otăm cu G,α (G, o ). Să se rte că : (i) G,α este grup beli; (ii) Dcă b G, β R * tuci grupurile G,α şi G b,β sut izomorfe. 4.. Arătţi că mulţime M mtricelor de form ch sh A, R, formeză u grup multiplictiv izomorf cu (R, ). sh ch 4.. Fie mulţimile: b 3b M A M ( Q), b,, b Q şi b b G { x Q( ) x b, b,,b Q}. Să se rte că : (i) (M, ) şi (G, ) sut grupuri î rport cu operţiile de îmulţire obişuite ; (ii) Avem izomorfismul de grupuri (M, ) (G, ). x y 4.. Fie T mulţime mtricelor de form ude x şi y y x prcurg mulţime Z 3 clselor de resturi modulo 3. (i) Determiţi umărul elemetelor mulţimii T; (ii) Să se determie mulţime G mtricelor x y y x di T.î. x y ˆ ; (iii) Arătţi că mulţime G formeză u grup fţă de operţi de îmulţire mtricelor ; 35
36 36 (iv) Arătţi că grupul G este izomorf cu grupul ditiv (Z 4,) l clselor de resturi modulo (i) Fie M,,, i b R b ib ib. Arătţi că M este u grup î rport cu îmulţire mtricelor, izomorf cu grupul (C*, ) ; (ii) Dcă A i i, clculţi A (folosid evetul izomorfismul ditre grupurile (C*, ) şi (M, )) Să se rte că : (i) Mulţime M Z k k D k, formeză grup î rport cu operţi de îmulţire mtricelor, grup izomorf cu grupul (Z,) ; (ii) Mulţime M Z k k M k, este grup beli î rport cu îmulţire mtricelor, izomorf cu (Z,) ; (iii) Mulţime M R A, este subgrup l grupului mtricelor iversbile di M (R), izomorf cu (R,) Fie M R M, ) ( ) (. (i) Să se rte că (M, ) este grup izomorf cu (R *, ); (ii) Să se clculeze [M()], R* Să se demostreze că mulţime: G R z y x z y x,, este grup î rport cu îmulţire mtricelor, ir grupul utomorfismelor lui G este ifiit.
37 4.7. Petru fixt, se oteză cu M mulţime mtricelor A M (R) de form : x... x x... x x... x A(x) cu x x... x x... x Să se rte că : (i) M este grup beli fţă de îmulţire mtricelor ; (ii) Grupurile (M, ) şi (R *, ) sut izomorfe Fie α R fixt şi A siα (i) Să se clculculeze A 3 ; cosα siα cosα. (ii) Petru x R defiim A x I 3 xa x A. Să se rte că G { A x x R} este grup beli î rport cu îmulţire mtricelor; (iii) (G, ) (R,). db 4.9. Fie M d, b R, db, ude d R este u umăr b rel fixt. Să se determie vlorile lui d petru cre (M d, ) este grup izomorf cu grupul (C*, ). 4.. Fie G mulţime mtricelor pătrtice de ordi vâd pe fiecre liie câte u elemet egl cu şi celellte elemete egle cu şi celşi lucru vlbil şi pe coloe. Să se demostreze că G este grup reltiv l operţi de îmulţire mtricelor ir G S. 4..Se cosideră (G, o ) şi (R, ) ude G (3, ) şi xo y xy 3x 3y, oricre r fi x,y G. Să se rte că : (i) (G, o ) este u grup beli ; 37
38 (ii) Să se determie,b R.î. f : R (3, ), f(x) x b să fie u izomorfism de grupuri ; (iii) Să se clculeze x, ude x G şi N*. 4.. G (5, ) şi lege o defiită pri xo y xy 5x 5y 3, oricre r fi x,y G. Să se rte că : (i) (G, o ) este u grup beli; (ii) (G, o ) (R, ); (iii) (G, o ) (R,) ; (iv) Să se clculeze x, ude x G şi N* Fie S { A M (R) A I este iversbilă}. Pe S defiim o stfel: Ao B A B AB. Să se rte că (S, o ) este grup izomorf cu grupul mtricelor de ordi cu elemete rele, iversbile Spuem că grupul (G, ) re propriette g() dcă coţie cel puţi elemete şi oricre r fi x, x,,x G \ {} există x G.î. x x x x. Să se rte că: (i) Dcă (G, ) re propriette g(), tuci, petru orice x G, există y G.î. x y ; (ii) Grupul (R *, ) re propriette g(); (iii) (R *, ) (R*, ) Fie G u grup petru cre f : G G, f(x) x 3 este u morfism de grupuri. Să se rte că : (i) Dcă f este u morfism ijectiv, tuci (G, ) este beli ; (ii) Dcă f este u morfism surjectiv, tuci (G, ) este beli Fie (G, ) u grup şi H u subgrup propriu l său. Să se rte că x, x H fucţi f : G G, f(x) re propriette că duce subgrupuri î, x G \ H subgrupuri, dr u este morfism de grupuri Fie G,G grupuri, f:g G morfism de grupuri şi x G. Să se demostreze că : (i) Dcă o(x) N * o(f(x)) ; 38
39 (ii) Dcă f este izomorfism de grupuri, tuci o(f(x))o(x) Fie G,G două grupuri, (G comuttiv) ir Hom(G,G ) { f: G G f morfism de grupuri}. Petru f,g Hom(G,G ) defiim fg:g G pri (fg)(x)f(x) g(x). Să se demostreze că : (i) Dubletul (Hom(G,G ), ) este grup comuttiv ; (ii) Dcă G (Z,), tuci Hom(Z,G ) G ; (iii) Dcă G (Z m,), G (Z,), tuci Hom(Z m,z ) Z d, ude d (m,), (m, N * ) Fie mulţime G { f : (, ) (, ), f (x) (x-), Z}. Să se rte că (G, o ) este grup beli izomorf cu grupul beli (Z,) Fie grupul (Z,). Să se rte că : (i) Fucţiile f m : Z Z defiite pri f m (x) mx sut morfisme de grup ; (ii) Orice morfism de l (Z,) l (Z,) este de cest tip ; (iii) Să se determie utomorfismele grupului (Z,) Fie k>. Pe mulţime G (-k,k) se defieşte operţi lgebrică k ( b) o b. Să se rte că: k b (i) (G, ) este grup beli; (ii) Fucţi f : G R, f(t) de l (G, o ) l (R,). t k x 4.3. Pe R cosiderăm operţi lgebrică x y dx este u izomorfism de grupuri y y. x x Să se rte că (R, ) este grup comuttiv, izomorf cu (R,) Fie R* fixt, M { -rctg kπ k Z}, grupurile G (R,) şi H (R*, ) ir f : G H o fucţie defiită pri: tgx, x M f(x) si x cos x, x G \ M 39.
40 (i) Arătţi că există u subgrup G l lui G petru cre restricţi f G lui f l G este morfism de grupuri ; (ii) Determiţi reuiue subgrupurilor G cu propriette de l (i) Să se demostreze că grupul Hom(Q, Z) este ul. ul Să se demostreze că dcă, tuci grupul Hom(Z,Z) este Fie G u grup fiit ir f:g G u morfism de grupuri ce u re pucte fixe etrivile (dică f(x) x x ) şi fo f G. Să se demostreze că G este comuttiv Fie G u grup comuttiv.î. sigurul utomorfism l său este cel idetic. Să se rte că x, oricre r fi x G Fie G u grup cu propriette că plicţiile f(x) x 4 şi g(x) x 8 sut utomorfisme le lui G. Să se rte că G este beli Fie (G, ) u grup şi f Ed (G). (i) Dcă plicţiile x xf(x) şi x x f(x) sut edomorfisme le lui G, tuci G este beli; (ii) Dcă plicţiile x x f(x) şi x x 4 f(x) sut edomorfisme le lui G, tuci G este beli Fie (G, ) u grup fiit şi f Aut(G). Să se demostreze că f re u sigur puct fix dcă şi umi dcă fucţi F : G G, F(x) x - f(x) este bijectivă Fie (G, ) u grup, f,g : G G edomorfisme şi H G u subgrup propriu. Dcă f g pe G \ H, tuci f g pe G Fie G u grup şi presupuem că există N,.î. f : G G, f(x) x, petru orice x G este u utomorfism l lui G. Să se demostreze că petru orice x G x - Z(G) Fie (G, ) u grup. Dcă există N * stfel îcât fucţiile f, g : G G, f(x) x, g(x) x să fie morfisme surjective de grup, tuci grupul G este beli. 4
41 4.44. Să se demostreze că sigurul morfism de grupuri de l grupul (Q,) l grupul simetric (S, o ) este cel ul ( N * ) Fie p u umăr prim, p. Să se demostreze că sigurul morfism de grupuri de grupul (Z p,) l grupul (Z p, ) este cel ul Defiiţi pe (,) R o operţie cre să cofere cestei mulţimi structură de grup izomorf cu grupul multiplictiv l umerelor rele strict pozitive ((, ), ). grupul (Q *, ) Să se determie tote morfismele de grupuri de l grupul (Q,) l Să se rte că grupul (Q, ) u este izomorf cu ici u subgrup propriu l său Fie G u grup şi petru G, ϕ : G G, ϕ (x) x -. (i) Să se demostreze că petru orice G, ϕ Aut(G) ; (ii) Aplicţi ϕ:g Aut(G), ϕ() ϕ, este morfism de grupuri ir Ker(ϕ) Z(G); (iii) Dcă otăm Im(ϕ) I(G), să se rte că I(G) G este comuttiv. Observţie. ϕ portă umele de utomorfism iterior l lui G Fie G u grup. Să se demostreze că dcă Z(G) {}, tuci şi Z(Aut(G)) {} Să se determie tote grupurile cre dmit u sigur utomorfism Să se determie tote grupurile comuttive şi fiite cre u u umăr impr de utomorfisme Să se demostreze că u grup ciclic este izomorf cu (Z,) su cu (Z,), după cum grupul respectiv este ifiit su re elemete Să se demostreze că dcă u grup re u umăr fiit de subgrupuri, tuci şi el este fiit Arătţi că orice grup ifiit re o ifiitte de subgrupuri disticte. 4
42 4.56. Să se demostreze că u grup cu 4 elemete este izomorf cu Z 4 su cu grupul lui Klei, ir Z 4 K Fie G u grup cu propriette că G se scrie c reuiue de trei subgrupuri diferite de G, ditre cre două u câte două elemete. Să se rte că G este izomorf cu grupul lui Klei Să se demostreze că u grup cu 6 elemete este izomorf cu Z 6 su cu S 3, ir Z 6 S 3 (vezi problem 4.75.) Să se demostreze că grupurile ditive (Z,), (Q,) şi (R,) u sut izomorfe două câte două Să se demostreze că grupurile ditive (R,) şi (C,) sut izomorfe Să se demostreze că grupurile multiplictive (Q *, ), (R *, ) şi (C *, ) u sut izomorfe două câte două Fie Q {x Q : x >} şi R {x R : x >}. Să se demostreze că: (i) Q (Q*. ) şi R (R*, ) ; (ii) (R, ) (R,), (Q, ) (Q,) Să se demostreze că grupurile (Z,) şi (Q *, ) u sut izomorfe Să se rte că (Q,) u este izomorf cu grupul (Q[i],) (Q[i] { bi C,b Q}) Să se demostreze că grupurile (Z,) şi (Z[X],) u sut izomorfe Să se demostreze că grupurile ditive (Q,) şi (Q[X],) u sut izomorfe. 4
43 4.67. Să se demostreze că grupurile ditive (Z[X],) şi (Q[X],) u sut izomorfe Determiţi edomorfismele grupului (R,) itegrbile pe [-b,b], ude b > este u umăr rel fixt Să se rte că orice grup de mtrice di M (C) î rport cu îmulţire mtricelor, l cărui elemet eutru este diferit de I, este izomorf cu u subgrup l grupului (C *, ) 4.7. Fie (K,, ) u corp etrivil ( ). Să se demostreze că grupurile (K,) şi (K *, ) u sut izomorfe Fie G u grup.î. G/Z(G) este ciclic. Să se rte că G este grup beli Fie G u grup, H< G şi presupuem că H m N *. Cosiderăm de semee x G şi N *.î. (m,). Să se demostreze că: (i) Dcă o(x), tuci o(xh) (xh privit c elemet î G/H); (ii) Dcă o(xh) (î G/H), tuci există y G.î. o(y) şi xh yh. fiit. ifiit Fie G u grup comuttiv ir H subgrupul elemetelor de ordi Să se demostreze că î G/H orice elemet diferit de re ordiul Fie G u grup fiit, p u umăr prim, p.î. p G. Să se demostreze că există x G.î. o(x) p (echivlet cu există H G.î. H p). Observţie. Acest rezultt este dtort lui Cuchy Fie p u umăr prim, p. Să se demostreze că orice grup ecomuttiv cu p elemete este izomorf cu grupul diedrl D p Fie G u grup fiit ir p u umăr prim, p. Să se demostreze că următorele firmţii sut echivlete: (i) Ordiul oricărui elemet l lui G este o putere turlă lui p; (ii) G este o putere turlă lui p. 43
44 Observţie. U grup î cre ordiul oricărui elemet este o putere turlă lui p se zice p-grup Fie p u umăr prim, p. Să se demostreze că dcă G este u p-grup fiit, tuci Z(G) p Fie p u umăr prim, p. Să se demostreze că orice grup fiit cu p elemete este comuttiv Să se determie tote grupurile G cu propriette că orice utomorfism, diferit de cel idetic, dmite u puct fix Cosiderăm Z (Q,). (i) Să se descrie grupul cât Q/Z şi să se demostreze că orice elemet di cest grup re ordi fiit ; (ii) Să se rte că petru orice umăr turl, Q/Z re u sigur subgrup de ordi ir cest este ciclic Fie G u p grup fiit cu G p m (m N). Să se demostreze că există subgrupurile ormle G,G,, G m le lui G.î. G < G < < G m G şi G i p i petru orice i m Crcterizţi grupurile fiite cu propriette că tote subgrupurile sle proprii u celşi umăr de elemete Cosiderăm Z (R,) şi T {z C* : z }. Să se demostreze că: (i) T (C *, ) şi R/Z T ; (ii) C * /T (R, ) ; (iii) R (C*, ) şi C * /R T ; (iv) R (R,) şi C/R (R,) Fie N* şi A {,,, }. Costruiţi u izomorfism ître grupurile (P(A), ) şi (M (Z ), ) Fie N, 3 ir Q u grup de ordi geert de două elemete şi b ce verifică relţiile: b (b). 44
45 Să se demostreze că dcă G este u grup de ordi geert de două elemete şi b ce verifică relţiile, bb - - şi b, tuci G Q. Observţie. Q 3 (cre se mi oteză şi pri Q su C 8 ) portă umele de grupul quterioilor ir Q ( 4) de grupul geerlizt l quterioilor Î mooidul multiplictiv M (C) cosiderăm mtricele: i j, k i ir G <j,k>, J <j>, K <k>. Să se demostreze că G 8, J K 4, J,K< G ir G Q Î mooidul multiplictiv M (C) cosiderăm mtricele: i A, B i ir G <A,B>. Să se demostreze că G Q Cosiderăm mulţime G {±, ±i, ±j, ±k} cu următore regulă de multiplicre: i j k -, ij k, jk i, ki j, ji -k, kj -i, ik -j, - şi fiid supuse multiplicării obişuite. Să se demostreze că G Q Să se crcterizeze Z(Q 3 ) Să se demostreze că Q 3 /Z(Q 3 ) este comuttiv Să se demostreze că Q 3 D Să se demostreze că u grup ecomuttiv cu 8 elemete este izomorf cu Q 3 su cu D Să se demostreze că dcă G este u grup, tuci G/Z(G) I(G) Fie N* şi K u corp. Să se rte că plicţi α : GL (K) GL (K), α(a) (A t ) -, oricre r fi A GL (K) este corect defiită şi că α Aut(GL (K)). Demostrţi de semee că dcă K u este Z su Z 3, tuci α u este utomorfism iterior l lui GL (K). 45
46 4.95. Să se demostreze că umărul structurilor de grup ce se pot defii pe o multime cu elemete, izomorfe cu o structură de grup fixt (G, ) este egl cu!/ Aut(G, ) Să se demostreze că umărul structurilor de grup ciclic ce se pot defii pe o mulţime cu elemete este egl cu! / ϕ(), ude ϕ este idictorul lui Euler. Să se deducă de ici că umărul structurilor de grup ciclic ce se pote defii pe o mulţime cu elemete ( prim) este egl cu (-)! Să se demostreze că (Q,) este divizibil Să se demostreze că dcă p este u umăr prim, tuci grupul U, ) este divizibil (vezi problem 3.9.). ( p Să se demostreze că orice grup comuttiv divizibil coţie u subgrup izomorf cu (Q, ) su cu u grup de form ( U, ) cu p prim (vezi problem 3.9.). 4.. Să se demostreze că orice grup fctor l uui grup divizibil este divizibil. 4.. Să se demostreze că î ctegori grupurilor beliee obiectele ijective sut exct grupurile divizibile 5. Produse directe de grupuri 5.. Dcă H,K sut grupuri, să se demostreze că H {} < H K şi {} K < H K. 5.. Să se demostreze că dcă {G i } i I este o fmile fiită de grupuri, tuci Z( G i ) Z(G i ). i I i I Să se deducă de ici că u produs direct de grupuri este comuttiv dcă şi umi dcă fiecre di fctorii produsului este comuttiv Fie G u grup ir Ĝ G {(x,x) : x G}. Să se demostreze că : (i) Ĝ G G, Ĝ G; (ii) Ĝ < G G G este comuttiv; 46 p
47 (iii) N G G ( Ĝ ) Ĝ Z(G) Fie G u grup ir H,K < G.î. G H K. Să se demostreze că G/(H K) G/H G/K Fie H,K două grupuri, J< H, L< K. Să se demostreze că (J L) < H K şi (H K) / (J L) H/J K/L Să se demostreze că (C *, ) (R *, ) (T, ) Să se demostreze că (Q *, ) (Q *, ) ({-,}, ) Să se demostreze că (R *, ) (R *, ) ({-,}, ) Să se demostreze că (C *, ) (R,) (R/Z,). 5.. Să se demostreze că (C,) (R,) (R,). 5.. Să se demostreze că : (i) (R,) (R,) (R,) ; (ii) (Q,) (Q,) (Q,). 5.. Să se demostreze că (Q *, ) (Z,) (Z[X],) Să se demostreze că grupul (Z,) (Z,) u este ciclic Să se descrie subgrupurile grupului (Z,) (Z,) Să se demostreze că dcă este u umăr turl,, tuci grupul (Z,) (Z,) u este ciclic. b 5.6. Fie K u corp ir H c :, b, c K. Să se demostreze că : H GL 3 (K), Z(H) (K,) şi H/Z(H) (K,) (K,). 47
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραAlgebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor
Διαβάστε περισσότεραTESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότερα1. Ordinul unui element al unui grup (D. Heuberger) 2. Teoremele lui Lagrange şi Cauchy pentru grupuri finite (D. Heuberger)
CLASA XII- ALGEBRĂ Ordiul uui elemet l uui grup D Heuerger Teoremele lui Lgrge şi Cuchy petru grupuri iite D Heuerger 3 Aplicţii le teoremei lui Lgrge î proleme de teori umerelor V Pop 3 Noţiui şi rezultte
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS ALGEBRÃ... 5 I. Elemente de logicã matematicã... 5 I.1. Noţiunea de propoziţie... 5 I.2. Operatori logici... 5 I.3. Expresii în calculul
Zhri Virgil-Mihil Mic memortor mtemtic UPRINS ALGEBRÃ. 5 I. Elemete de logicã mtemticã 5 I.. Noţiue de propoziţie 5 I.. Opertori logici.. 5 I.. Epresii î clculul propoziţiilor 7 I.4. Noţiue de predict
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραAdrian Stan Editura Rafet 2007
Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότερα9. Polinoamele Taylor asociate unor funcţii (I. Boroica) 9.1. Formulele lui Taylor şi polinoamele Taylor asociate funcţiilor elementare
lgeră Cupris Mtrice de ordi doi şi plicţii (IDicou VPop Mtrice de ordi doi Proleme rezolvte Teorem lui Cle- Hmilto 4 Proleme rezolvte 5 Determire puterilor turle le uei mtrice de ordi doi 6 Proleme rezolvte
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραTransformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
Διαβάστε περισσότεραStructuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009
Grup Fie G-evidã şi *: GxG G, (x,y) x*y, œx,y0g. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,z G (asociativitatea); G2. e G astfel îcât x*e = e*x = x, x G (e elemet eutru); G3. x G x G astfel îcât x *x
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραTITULARIZARE 2002 Varianta 1
TITULARIZARE 2002 Vrint 1 A. Omotetii plne: definiţie, oricre două triunghiuri omotetice sunt semene, mulţime omotetiilor de celşi centru formeză un grup belin izomorf cu grupul multiplictiv l numerelor
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραDUMITRU BUŞNEAG. PROBLEME de ALGEBRĂ LINIARĂ
DUMITRU BUŞNEG FLORENTIN CHIRTEŞ DN PICIU PROBLEME de LGEBRĂ LINIRĂ Prefţă estă ouă lurre pre o otiure firesă lurării [6]; mele reprezită de fpt pliţii l lurările [ ] Dă [6] oţie pliţii legte de struturile
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότερα2) Numim matrice elementara o matrice:
I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραDreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri
reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor
Διαβάστε περισσότεραREZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραIV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
Διαβάστε περισσότερα4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier
4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. Manual pentru clasa a XII-a. Trunchi comun + curriculum diferenţiat
Marius Burtea Georgeta Burtea MATEMATICĂ Maual petru clasa a XII-a M Truchi comu + curriculum difereţiat Maualul a fost aprobat pri Ordiul miistrului Educaţiei, Cercetării şi Tieretului r. 6/ di 6.6.7
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραλ C valoare proprie a matricei A dacă x, x 0
ALULUL NUMERI AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VETORILOR PROPRII A mtrice pătrtică de ordiul cu elemete rele vlore proprie mtricei A dcă, R : A ; () vector propriu l mtricei A socit vlorii () (A I), I mtrice
Διαβάστε περισσότεραCapitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor
Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραTema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
Διαβάστε περισσότεραπ } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
Διαβάστε περισσότεραmatricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente
LECłII DE SINTEZĂ î vederea pregătirii sesiuii iulie-august a eameului de BACALAUREAT - M petru cadidańii absolveńi ai liceelor di filiera tehologică, profil: servicii, resurse aturale şi protecńia mediului,
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραBreviar teoretic Vectori în plan
Proiect cofiţt i Foul Socil Europe pri Progrmul Operţiol Sectoril Dezvoltre Resurselor Ume 7- prioritră Eucţi şi formre profesiolă î sprijiul creşterii ecoomice şi ezvoltării societăţii zte pe cuoştere
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραSpaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ MATEMATICI SUPERIOARE
UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE FACULTATEA DE SILVICULTURĂ DEPARTAMENTUL PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ MATEMATICI SUPERIOARE PENTRU ÎNVĂŢĂMÂNTUL LA DISTANŢĂ - Ediţie reviuită - Lector Agel Picu Editur Uiversităţii
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV
CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE
Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,
Διαβάστε περισσότερα1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.
Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότερα3.4 Integrarea funcţiilor trigonometrice. t t. 2sin cos 2tg. sin + cos 1+ cos sin 1 tg t cos + sin 1+ x 1
3.4 Iegrre fucţiilor rigoomerice ) R( si,cos ) d Susiuţi recomdă ese: uei fucţii rţiole. g =, (, ) şi iegrl dă se reduce l iegrre si cos si cos g si + cos + g = = = + cos si g cos + si + g = = = + = rcg
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραEXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα