BIOSTATISTIKA za studente medicine

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BIOSTATISTIKA za studente medicine"

Transcript

1 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI MEDICINSKI FAKULTET SPLIT Katedra za znanstvenu metodologiju BIOSTATISTIKA za studente medicine 5. izdanje Voditelj Katedre: Prof. dr. Davor Eterović Autori: Davor Eterović, Goran Kardum Akademska godina: 010/11 Tiskano: srpanj 010.

2

3 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI Ovaj je tekst izravno namijenjen studentima. godine Medicinskog fakulteta Sveučilišta u Splitu, potom općenito medicinarima. Teme uglavnom ne izlaze iz okvira elementarne statistike, s dodatkom metoda procjene dijagnostičkih testova. Ne samo primjeri, već i općenite teme razmatrani su sa stajališta medicinske prakse. Redoslijed i izbor tema nisu standardni. Uvod je tematski širi od uobičajenih i sadrži sve ono što smo smatrali da je zajedničko statističkim analizama u biomedicini. Stil je sažet, tako da studentu nije ostavljeno da sam prosuñuje što je važno. Tekst je praktično orijentiran, s ciljem da student nauči: što, kada i kako. Matematički obojene teme prisutne su u najmanjoj mogućoj mjeri. Predavanja iz Biostatistike na Katedri praćena su praktičnim radom na računalu, gdje studenti rade s podacima koje su dobili anketno, testovima i mjerenjima fizioloških parametara, gdje su sami bili i eksperimentatori i uzorak. Sadržaj se da izložiti u petnaestak sati predavanja, za praktičan rad preporučamo dvostruku satnicu. Ovo prvo izdanje Biostatistike za studente medicine nije prošlo recenziju nezavisnih stručnjaka, niti lektora. D.E. KOMENTAR. IZDANJU: U. su izdanju popravljene omaške i nejasne formulacije, te su dodani dijagrami toka odabira statističkih analiza. KOMENTAR 3. IZDANJU: U 3. su izdanju popunjene 'rupe' u izlaganju odjeljcima 3.4., 4.1 (u značajnijoj mjeri) i 5.1. i 6.. KOMENTAR 4. IZDANJU: 4. izdanje sadrži male, ali važne promjene odjeljka. - reinterpretaciju rezultata statističkog testa, u svjetlu bajezijanske statistike. Takoñer je odjeljak 5.1. dopunjen definicijama omjera izglednosti (likelihood ratios), što je koncept koji se sve više koristi u procjenama valjanosti dijagnostičkog testa. KOMENTAR 5. IZDANJU: 5. izdanje sadrži odjeljak o vezi snage statističkih testova i veličine uzorka, analiza čega je neizostavan dio planiranja biomedicinskih istraživanja. Takoñer je odjeljak o uporabi kontigencijskih tablica u medicini dopunjen prikazom ROC analize.

4

5 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI SADRŽAJ 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI (Eterović) Statistički podaci Raspodjele učestalosti Deskriptivna statistika Populacija i uzorak ŠTO JE ZAJEDNIČKO STATISTIČKIM ANALIZAMA (Eterović) Vrste statističkih analiza Statističko zaključivanje Filozofija statističkih testova usporedbe Statistička i biološka (klinička) značajnost USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI (Kardum) t-test Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka Neparametrijske inačice t-testa za dva zavisna uzorka Usporedbe triju ili više varijabli: Analiza varijance (ANOVA) Neparametrijske inačice ANOVE: nezavisni uzorci Neparametrijske inačice ANOVE: zavisni uzorci POVEZANOSTI KATEGORIJSKIH VARIJABLI (Kardum) Hi-kvadrat test UPORABE KONTINGENCIJSKIH TABLICA U MEDICINI (Eterović) Valjanost dijagnostičkih metoda POVEZANOST METRIČKIH VARIJABLI (Eterović) Funkcije i povezanost Linearna regresija i korelacija PROCJENE POTREBNE VELIČINE UZORAKA (Eterović) VJEŽBE IZ BIOSTATISTIKE Vježba 1: Prikupljanje podataka Vježba : Unos podataka Vježba 3: Deskriptivna statistika Vježbe 4 i 5: Usporedbe metričkih i kategorijskih varijabli... 8 Vježba 6: Dijagnostičke vrijednosti testa Vježba 7: Linearna regresija i korelacija Dijagrami toka za izbor statističke analize Pitanja za provjeru znanja... 91

6

7 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI 1.1. Statistički podaci Statistika se bavi rezultatima opisa/mjerenja/ankete više jedinki (bioloških ili drugih). Ti se rezultati (podaci) zovu varijable, zato što se mijenjaju od jedinke do jedinke (za razliku od konstanti). Pojam varijabla koristi se najčešće za skup više podataka iste vrste. Dakle, varijabla je sinonim (istoznačnica) za više podataka, ne za pojedini podatak (vrijednost, rezultat). Statističke se analize razlikuju prema vrstama varijabli: Kategorijske (kvalitativne, nominalne) varijable mogu imati nekoliko vrijednosti, meñu kojima ne postoji prirodan redoslijed. Tipičan je primjer spol, kategorijska varijabla koja ima dvije vrijednosti (muški, ženski). Spol, bračni status (vjenčan, nevjenčan), 5- godišnje preživljenje raka dojke (da, ne) primjeri su binarnih (ili dihotomnih) kategorijskih varijabli. Neke kategorijske varijable (rasa, religiozna pripadnost, nacionalnost, krvna grupe, tip bolesti ili lijeka) su multikategorijske, tj. imaju više od dvije vrijednosti. Ordinalne (ljestvične) varijable imaju vrijednosti meñu kojima postoji prirodan poredak, ali nije precizno odreñeno koliko se vrijednosti meñusobno razlikuju. Primjeri su: socijalni sloj (1=siromašan, =srednji, 3=bogat), tumorski stadij (1=bez metastaza, =lokalne metastaze, 3=metastaze prisutne i u udaljenijim organima i 4=obilje metastaza na mnogim lokacijama), te razni skorovi (zbrojevi) kojima se u medicini označava stupanj ozljede, bolesti ili pouzdanosti dijagnoze. Ocjena na usmenom ispitu takoñer je primjer ordinalne varijable, jer je subjektivna. Ordinalne varijable je najteže statistički analizirati i za njih postoje posebne metode. Metričkim ili kvantitativnim varijablama možemo pridružiti realne brojeve (ili točke pravca), te ih podvrgavati matematičkim operacijama. To su sve prirodne, fizikalne veličine (prostorne dimenzije, vrijeme, tlak, masa), kao i mnogi biološki parametri (npr. koncentracije raznih sastojaka krvi, volumen pluća, tjelesna visina i masa, dob, tlak krvi). Metričke varijable mogu imati meñusobno razmaknute, diskretne vrijednosti (npr. broj poroda, broj recidiva bolesti, broj brakova, broj lomova kostiju). Najčešće su vrijednosti metričkih varijabli kontinuirane, bez rupa meñu mogućim veličinama. Ako nije potrebna preciznost (ili ako mjerenja nisu jako točna), kontinuirane se varijable mogu zaokružiti na cjelobrojne vrijednosti. Ponekad se metričke varijable prikazuju na skali bez prirodne nule (npr. temperatura u C, ocjena na temelju test-ispita), pa ne možemo praviti omjere (npr. 0 C nije dva puta viša 1

8 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine temperatura od 10 C). To rješavamo uporabom prirodne skale (temperatura u stupnjevima kelvina, umjesto ocjene-broj bodova na testu). U medicini se često zbog jednostavnosti metričke varijable prikazuju kao kategorijske ili ordinalne. Tako se bolesnici često razvrstavaju u skupine prema graničnim vrijednostima krvnih tlakova u normotoničare (osobe normalnog krvnog tlaka) i hipertoničare (osobe kojima je krvni tlak povišen). Drugi su primjeri dobne skupine. 1.. Raspodjele učestalosti U puno raznih podataka nije lako imati direktan uvid. Tu pomažu 1. grafički prikazi. opisivanje velikog skupa podataka pomoću karakterističnih vrijednosti. Kategorijske i ordinalne varijable lako prikazujemo: svakoj vrijednosti varijable pridružena je njena učestalost (frekvencija), tj. broj jedinki koje imaju tu vrijednost (to su npr. brojevi muških i ženskih studenata vaše generacije). Sve učestalosti varijable čine distribuciju (raspodjelu) te varijable. Grafički distribucije prikazujemo kao stupičaste dijagrame (bar chart) ili tzv. pite (pie chart). Sljedeći primjer ilustrira prikaze učestalosti raznih vrsta poroda u jednoj klinici. Porodi su razvrstani u 3 kategorije: I: normalni porod, II: porod uz korištenje forcepsa i III: operacijski porod (carski rez). Podatke (učestalosti kategorijske varijable: broj poroda) možemo prikazati na više načina: tabelarno (TABLICA 1.1), pomoću stupčastog dijagrama (SLIKA 1.1) ili u obliku pite (SLIKA 1.). TABLICA 1.1. Načini poroda 600 beba u jednoj bolnici. Način poroda Broj beba Postotak Normalni Forceps Carski rez Ukupno Učestalostima kategorijske varijable proporcionalne su u stupčastom dijagramu visine stupića, a u piti površine kružnih isječaka.

9 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI normalni porodi forceps carski rez SLIKA 1.1. Stupčasti dijagram koji pokazuje načine poroda 600 beba u jednoj bolnici. normalni forceps carski rez SLIKA 1.. Dijagram tipa pita koji pokazuje načine poroda 600 beba u jednoj bolnici. I metrički se podaci mogu prikazati kao distribucije, ako ih prvo svrstamo u razrede (inače ne, jer svaku odreñenu točnu vrijednost često ima samo po jedna jedinka). To je smisleno ako metričkih podataka ima dovoljno (recimo više od 100). U suprotnom je broj razreda premali i ne vidi se oblik raspodjele, ili je u pojedinim razredima premalo podataka za pouzdaniju procjenu. Valja paziti da meñu razredima nema preklapanja. Slijedeći primjer ilustrira prikaz distribucije koncentracije hemoglobina u krvi u ispitanica ženskog spola (TABLICA 1.). 3

10 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine TABLICA 1.. Vrijednosti hemoglobina (g/100 ml) u 70 žena Prvo valja uočiti najmanju i najveću vrijednosti metričke varijable (dvije masno tiskane vrijednosti u gornjoj tablici), odnosno ukupni raspon podataka. Uputno je zaokružiti najmanju i najveću vrijednost na cijele brojeve, te tu razliku podijeliti s brojem razreda. Tako dobivamo osnovni distribucijski interval. Ugrubo, uglavnom se prikazuje 5-0 razreda, ovisno o veličini uzorka. U ovom se primjeru možemo odlučiti na interval od 1 g/100 ml, čime dobivamo 8 razreda. Nakon toga prebrojimo (mi ili računalo) koliko podataka ima u pojedinom razredu, što je prikazano u TABLICI 1.3. TABLICA 1.3. Distribucija koncentracije hemoglobina u 70 žena Hemoglobin Učestalosti Postoci (g/100 ml) Ukupno Distribucije metričkih varijabli takoñer se mogu prikazati stupčastim dijagramom, koji se gdjekad naziva histogramom (SLIKA 1.3). Prikazuju se učestalosti kao apsolutni brojevi ili kao postoci, u oba je slučaja oblik histograma jednak. 4

11 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI ,9 9-9, , ,9 1-1, , , ,9 0 SLIKA 1.3. Stupčasti dijagram distribucije koncentracije hemoglobina (g/100 ml) u 70 žena Deskriptivna statistika Distribucije metričkih podataka moguće je dodatno opisivati, jer su metrički podaci realni brojevi (za razliku od kategorijskih i ordinalnih podataka). Aritmetička sredina je prosječna vrijednost konačnog skupa metričkih podataka. Ako se metrička varijabla sastoji od N podataka (x 1, x,, x N ) aritmetička je sredina njihov zbroj podijeljen s N: x = x 1 + x N x N što skraćeno pišemo, koristeći Σ kao simbol za zbrajanje: x = Aritmetička je sredina u sredini simetrično distribuiranih podatka (kada su odstupanja od prosjeka podjednaka s obje strane). U sredini nesimetričnih distribucija nije aritmetička sredina, već medijan. To je, dakle, ona vrijednost od koje je pola podataka manje, a druga polovina veća. Ako neparan broj N podataka poredamo po veličini, medijan je (N+1)/ po redu. Ako je broj podataka paran, ne postoji srednji. Tada se medijan računa kao aritmetička sredina izmeñu dva susjedna oko sredine. N x 5

12 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine Osim medijana, koriste se i drugi parametri koji opisuju kojim tempom podaci rastu po veličini: donji kvartil je granica koja razdvaja po veličini prvih 5% podataka od ostalih (većih), dok je od gornjeg kvartila 75% podataka manje, a ostatak veći. Razlika izmeñu gornjeg i donjeg kvartila zove se interkvartilni raspon i obuhvaća 50% podataka. Finije detalje opisujemo pomoću percentila. Prvi percentil obuhvaća po veličini prvih 1% podataka, drugi % itd. Vrijednost koja ima najveću učestalost je mod distribucije. Kod simetričnih raspodjela aritmetička sredina, medijan i mod jedna su te ista vrijednost. SLIKA 1.4 prikazuje moguće oblike distribucija statističkih podataka u medicini: simetričnu distribuciju (npr. visinu ispitanika odreñenog spola), pozitivno asimetričnu distribuciju (npr. debljinu kožnog nabora iznad tricepsa), negativno asimetričnu distribuciju (npr. trajanje trudnoće), te rjeñe oblike bimodalnu (npr. koncentracije hormona u muškaraca i žena), jednokračnu (npr. vrijeme preživljenja nakon dijagnoze raka pluća) i uniformnu (npr. učestalost po mjesecima u godini bolesti koja nema sezonske varijacije). SLIKA 1.4. Razni oblici distribucija metričkih podataka. Srednja vrijednost, mod i medijan opisuju grupiranje podataka oko središta, te se nazivaju mjerama centralne tendencije. One ne govore o raspršenju podataka oko tih središta. Rasap vrijednosti (širinu distribucije) možemo opisivati pomoću razlike izmeñu najveće i najmanje vrijednosti. To je ukupna širina raspodjele, koju potpuno odreñuju samo dvije, ponekad slučajne vrijednosti. 6

13 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI Prosječno apsolutno odstupanje od aritmetičke sredine je informativnije. Još je bolja (iz matematičkih razloga u koje ne ulazimo) tzv. standardna devijacija (SD): kvadratni korijen iz prosjeka kvadrata odstupanja podataka od aritmetičke sredine: SD = (x N x 1 ) Pri računanju prosječnog kvadratičnog odstupanja, umjesto broja podataka N, koristili smo N-1 zbog toga što sva odstupanja podataka od aritmetičke sredine nisu nezavisna. Naime zbroj svih odstupanja uvijek je jednak nuli, pa se jedno može izračunati iz preostalih N-1. Tako korigirana veličina uzorka zove se stupnjevi slobode, što skraćujemo kao df (prema engl. degrees of freedom). Koeficijent varijacije (CV) je standardna devijacija izražena u postocima od aritmetičke sredine: Kvadrat SD zove se varijanca (var): SD CV= (%) x var = SD Srce statistike je simetrična, zvonolika raspodjela koju nazivamo normalnom ili Gaussovom raspodjelom (SLIKA 1.4). Potpuno je odreñena s dva parametra: 1. aritmetička sredina odreñuje os simetrije, dok. standardna devijacija podataka odreñuje širinu raspodjele i njen točan oblik (ne postoje dvije različite normalne raspodjele s istom aritmetičkom sredinom i standardnom devijacijom!). Za metričke varijable koje slijede normalnu raspodjelu vrijedi da sljedeći rasponi obuhvaćaju podatke na način: aritmetička sredina ± 1 SD: oko /3 (68%) podataka aritmetička sredina ± 1.96 SD: oko 95% podataka aritmetička sredina ±.58 SD: oko 99% podataka Statističke metode koje pretpostavljaju normalnu raspodjelu varijabli zovu se parametrijske metode. Njihova je moć sadržana u činjenici da je veliko broj normalno rasporeñenih podataka potpuno odreñen s dva parametra distribucije, poznavajući koje znamo cijeli skup. Standardna pogreška aritmetičke sredine (SE) je standardna devijacija aritmetičkih sredina. Možemo je odrediti tako da puno puta dobivamo podatke na N jedinki (uzorcima) iz nekog velikog skupa (populacije). Npr. ako izračunam aritmetičku sredinu tjelesne visine vaše generacije i tako zaredom 30 godina. Potom se izračuna srednja vrijednost tih 30 srednjih vrijednosti i njena standardna devijacija. Takva su istraživanja opsežna i često nemoguća. 7

14 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine = Na sreću, SE se da procijeniti iz standardne devijacije i broja podataka N samo jednog uzorka: Ako je populacijska raspodjela podataka normalna: SE govori kolika je pouzdana procjena aritmetičke sredine cijele populacije iz aritmetičke sredine jednog uzorka iz populacije. Valja uočiti: 1. Standardna devijacija je mjera individualne varijabilnosti podataka dobivenih jednim uzorkovanjem oko njihove aritmetičke sredine, dok standardna pogreška govori za varijabilnost aritmetičkih sredina tijekom budućih uzorkovanja.. SE je uvijek manja od SD, tim više što je broj uzoraka N veći, ali veza nije linearna: da bi SE smanjili na polovicu, potrebno je broj uzoraka učetverostručiti (ne udvostručiti). 3. Ako je populacijska raspodjela varijable normalna, isto vrijedi i za raspodjelu aritmetičkih sredina uzoraka iz populacije. Štoviše, ako su uzorci iz populacije dovoljno veliki, njihove aritmetičke sredine slijede normalnu raspodjelu bez obzira na populacijsku raspodjelu varijable Populacija i uzorak Populacija je veliki skup jedinki odreñenog istog svojstva (npr. sve Splićanke). Ali, druga se svojstva individualno razlikuju, tj. imaju svoje distribucije (dob, visina, bračni status, zanimanje...). Upravo ta druga svojstva nas u statistici zanimaju. Kada usporeñujemo dvije populacije (npr. Splićanke i Kaštelanke), one se razlikuju u osnovnom obilježju (prebivalište), dok im se distribucije ostalih svojstava mogu, ali ne moraju bitno razlikovati (npr. vjerojatno Splićanke nisu prosječno više od Kaštelanki, ali je moguće da se manje bave poljoprivredom). Populacije možemo usporeñivati u cijelosti (rijetko) ili na temelju UZORAKA (češće). Uzorak: Dio (podskup) populacije (npr. Splićanke koje stanuju u Varošu su uzorak iz populacije svih Splićanki). Uzorak je reprezentativan za populaciju iz koje potiče ako su njegova prosječna svojstva (točnije: distribucije svojstava) uglavnom slična prosječnim svojstvima (njihovim distribucijama) matične populacije. 8

15 1. TEMELJNI STATISTIČKI POJMOVI Npr. Varošanke se vjerojatno ne razlikuju od prosječnih Splićanki u mnogim svojstvima, ali je za pretpostaviti da su im roditelji nešto češće roñeni Splićani. Takoñer, stanovnici Meja (i Bačvica) vjerojatno nisu reprezentativan uzorak Splićana, ako je ispitivano obilježje imovinski status, ali to mogu biti u slučaju tjelesne visine. ZAŠTO UZIMAMO UZORKE: Cijele su populacije najčešće nedostupne (npr. u bolnici su u odreñenom vremenu samo neki srčani bolesnici, a ne svi iz tog grada), ili su prevelike za analizu (predugo, preskupo). Ako populacije usporeñujemo na temelju uzoraka, osnovni je preduvjet pouzdanosti zaključaka da su uzorci reprezentativni za populacije iz kojih potiču, posebno glede ispitivanog obilježja. Ako npr. usporeñujemo Splićanke i Omišanke, tada je slučajni uzorak od 10 Varošanki vjerojatno reprezentativan za populaciju Splićanki ako se usporeñuje tjelesna visina, ali nije reprezentativan ako se Splićanke i Omišanke usporeñuju glede porijekla roditelja. Ako uzorak ne možemo birati (npr. bolesnici koji su momentalno dostupni), njegovu reprezentativnost možemo samo procjenjivati, ali na nju ne možemo utjecati. Ako uzorak biramo, najbolja je metoda slučajnog izbora. Slučajni izbor ili randomizirano uzorkovanje (engl. random sampling): svaka jedinka iz populacije ima JEDNAKU šansu biti izabrana u uzorak. Idealni slučajni izbor nije jednostavno provesti (npr. ako izvlačimo kuglice iz vreće, obično se ne izvuku one na vrhu i one na samom dnu). Dobro je koristi automatske postupke (kada čovjek nema utjecaja) i rezultate prirodno slučajnih procesa. Metoda slučajnog izbora osigurava reprezentativan uzorak tim sigurnije što je broj jedinki uzorka (N) veći. Ako smo, npr. slučajno izabrali 5 Splićanki, lako se može dogoditi da su sve više od prosjeka (Splićanki). Na slučajnom uzorku veličine N=100, to je vrlo malo vjerojatno. Ako smo u našem istraživanju ograničeni na male uzorke, umjesto metode slučajnog izbora, možemo sami izabirati, nastojeći što više uzorak približiti populaciji. Tu je potrebno osigurati objektivnost, tako da se ne dogodi namještanje željenog rezultata (npr. želimo dokazati da su Splićanke više od Omišanki, pa u uzorak Splićanki uključimo nekoliko košarkašica). 9

16 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine 10

17 . ŠTO JE ZAJEDNIČKO STATISTIČKIM ANALIZAMA. ŠTO JE ZAJEDNIČKO STATISTIČKIM ANALIZAMA.1. Vrste statističkih analiza Tri su mogućnosti: Zanima nas samo uzorak, ne cijela populacije (npr. mene zanima vaše znanje stranih riječi, jer ovu skriptu pravim za vas i prilagodit ću ih sljedećoj generaciji studenata, ako ocijenim da su u tom pogledu drukčiji). Ispitujemo cijelu populaciju (jednu ili više njih). Zaključujemo iz uzorka (uzoraka) na populaciju (populacije). Prva su dva slučaja jednostavna. Statističke metode (u užem smislu) koriste se u trećem slučaju. Njihov je zadatak: PROCJENA POUZDANOSTI ZAKLJUČIVANJA NA TEMELJU UZORAKA Tri su osnovne namjene statističkih metoda: 1. testiraju hipoteze (pretpostavke) o različitosti populacija glede nekog svojstva. Primjer je pretpostavka da su muškarci viši od žena, ili da češće dobivaju rak pluća.. procjenjuju intenzitet povezanosti izmeñu dvije kategorijske varijable. Primjer je koliko češće pušači dobivaju rak pluća nego nepušači. 3. procjenjuju mogućnost predviñanja jednog svojstva (zavisne varijable) iz jednog ili više drugih svojstava (nezavisnih varijabli ili prediktora) iste populacije. Npr. ishod infarkta miokarda (da li je bolesnik preživio ili ne-kategorijska, zavisna varijabla) možemo dijelom predvidjeti iz veličine dijela srčanog mišića koji je odumro, činjenice da li se radi o prvom ili ponovljenom infarktu, dobi bolesnika (razne kategorijske i metričke prediktorske varijable). Ovisno o vrsti ispitivanog svojstva statističke metode koje testiraju hipoteze dijelimo na: metode koje usporeñuju metričke varijable (npr. t-test) i metode koje usporeñuju kategorijske varijable (npr. χ test), dok su za ordinalne varijable razvijeni su posebni, neparametrijski testovi. Obično metričke varijable usporeñujemo koristeći tzv. parametrijske testove. Bitna je pretpostavka tih testova da je raspodjela aritmetičkih sredina normalna, ili barem simetrična. To je uvijek tako ako su same varijable simetrično distribuirane, a za velike uzorke i bez obzira na njihovu raspodjelu (tzv. teorem o središnjoj graničnoj vrijednosti). Ako se radi o malim uzorcima i uz to su još varijable vrlo nesimetrično rasporeñene, parametrijski testovi nisu uporabivi. Naravno, parametrijski testovi nisu uporabivi niti za 11

18 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine ordinalne varijable. Zato su razvijeni tzv. neparametrijski testovi, koji ne tretiraju varijable kao brojeve s kojima su moguće matematičke operacije, već kao rangirani niz. Dakle, neparametrijske testove koristimo: uvijek za ordinalne varijable ponekad za metričke varijable, kada je broj podataka N mali, a podaci su nesimetrično distribuirani i ne mogu se transformirati u simetrično (normalno) rasporeñene. Odstupanje od normalne (Gaussove) raspodjele utvrñuje se posebnim testovima. Ne postoji oštra granica izmeñu velikih i malih uzoraka, ali se većina se statističara slaže: 1. Za N>30, bez obzira na raspodjelu podataka, koristimo parametrijsku statistiku (jer je za velike uzorke, raspodjela aritmetičkih sredina uvijek simetrična!).. Za 30>N>0 koristimo parametrijsku statistiku ako je poznato da je populacijska raspodjela varijable normalna, ili ako test pokaže da je raspodjela danih podataka približno normalna. U suprotnom možemo pokušati transformirati varijablu u drugu, koja ima simetričniju distribuciju (logaritmiranjem, kvadriranjem i sl.,), ili upotrijebiti neparametrijske metode. 3. Za N<0, za uporabu parametrijske statistike, nije dovoljno znati da je populacijska raspodjela normalna, već uvijek valja testirati danu raspodjelu (uzorak). Tako mali uzorci pretežito se testiraju neparametrijski. Inače, neparametrijske testove izbjegavamo jer su manje pouzdani od parametrijskih testova... Statističko zaključivanje Obzirom da nikad ne možemo biti sigurni koliko su uzorci reprezentativni za matične populacije, u statistici nema potpuno sigurnih tvrdnji, sve se vezuje za odreñene vjerojatnosti. Na uzorcima iz populacija istraživane varijable se uvijek barem malo razlikuju, bez obzira da li u matičnim populacijima stvarna razlika postoji ili ne (npr. izmjerimo svima vama visinu danas i nakon mjesec dana-malo je vjerojatno da ćemo dobiti potpuno iste aritmetičke sredine). To su tzv. opažene razlike (nasuprot stvarnim razlikama izmeñu matičnih populacija). Npr. neka je stvarna razlika aritmetičkih sredina visina muškaraca i žena vašeg raspona dobi u našoj Županiji 15 cm (za to valja izmjeriti cijele populacije). Ako bi to provjeravali na vama, opažena razlika može biti veća ili manja (recimo 1 ili 18 cm), redovno drukčija nego u sljedećoj generaciji. Štoviše, ako bi kao uzorke uzeli samo po 5 muškaraca i 5 žena, nije isključeno da dobijemo i suprotan zaključak (ako slučajno uzmemo natprosječno visoke žene i natprosječno niske muškarce). Dakle, opažene se razlike redovno razlikuju od stvarnih. Statistički testovi procjenjuju kvalitetu opaženih razlika. 1

19 . ŠTO JE ZAJEDNIČKO STATISTIČKIM ANALIZAMA Nul-hipoteza je pretpostavka da se populacije ne razlikuju u ispitivanom obilježju, tj. da su opažene razlike slučajne (da stvarne, populacijske razlike ne postoje). Statistički test računa tzv. p-vrijednost. To je vjerojatnost dobivanja uočene ili još veće razlike na slučajnim uzorcima iste veličine iz populacija koje se u istraživanom obilježju ne razlikuju, tj. pod pretpostavkom da je nul-hipoteza točna. Što je p-vrijednost manja, to je manje vjerojatno da je nul-hipoteza točna, dok velika p-vrijednost sugerira prihvatljivost nul-hipoteze. Iako vjerojatnost točnosti nul-hipoteze odgovara p-vrijednosti, njenu točnu vrijednost ne znamo. Nemoguće je, naime, izračunati vjerojatnost neke pretpostavke polazeći od toga da je ona točna. Ipak, iz p-vrijednosti moguće je izračunati, koristeći tzv. Bayesovu statistiku, za koliko istraživanje na našem uzorku modificira dotadašnju procjenu vjerojatnosti nul-hipoteze. 1 - p = odgovara vjerojatnosti da nul-hipoteza nije točna, tj. da stvarna razlika postoji i naziva se razina značajnosti. Što je p-vrijednost manja, razina značajnosti je veća, tj. pouzdanija je procjena stvarnih iz uočenih razlika. Ponekad unaprijed znamo da neko obilježje populacije A ne može biti prosječno manje nego u populaciji B, a nismo sigurni da li je veće (ili obrnuto). Npr. ispitujemo novi lijek za sniženje krvnog tlaka. Poznato je da taj lijek ne može povisiti krvni tlak, ali nije poznato da li ga smanjuje i koliko. Ta se testiranja zovu jednokračni testovi (one-tailed), nasuprot standardnim, dvokračnim testovima (two-tailed). Kod jednokračnih testiranja iste opažene razlike daju duplo manje p-vrijednosti (razina značajnosti je veća!), jer je 50% slučajnih ishoda unaprijed isključeno. Jednokračna testiranja treba kritički koristiti. U praksi su rijetka. Ako se posebno ne istakne suprotno, test je dvokračni. Često na osnovu rezultata statističkih testova donosimo odluke (npr. proizvodnja novog lijeka, primjena nove metode liječenja, dijagnosticiranje bolesti i sl.). To nas ponekad prisiljava da definiramo: graničnu razinu značajnosti (1- graničnu p-vrijednost) Granična je ona razina značajnosti iznad koje prihvaćamo da su uočene razlike stvarne, tj. zanemarujemo malu vjerojatnost (p-vrijednost) da se radi o slučaju. Kažemo da se uzorci statistički značajno razlikuju ako je dobivena p-vrijednost testa manja od granične p-vrijednosti. Ako to nije slučaj, tj. ako je p-vrijednost testa veća ili jednaka od granične p-vrijednosti, kažemo da se uzorci ne razlikuju statistički značajno. U prvom slučaju nul-hipotezu odbacujemo, a u drugom ju prihvaćamo. U biomedicini je uobičajena 95% granična razina značajnosti, odnosno čuvena granična p- vrijednost = 5%. 13

20 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine Tu graničnu p-vrijednost valja uzeti s debelom rezervom. Ako npr. u usporedbi novog lijeka sa starim dobijemo p=0.049, novi lijek prihvaćamo, dok ga u slučaju p=0.051 ne prihvaćamo. Razlika je drastična, a vjerojatnosti da novi lijek nema prednosti pred starim su podjednako male u oba slučaja (4.9 i 5.1%). No, tako je uvijek kada moramo odrediti granice (student koji ima na testu ima jedan bod ispod praga prolaznosti vjerojatno se ne razlikuje od onoga koji je prošao s jednim bodom više). Razgraničenje pomoću granične razine značajnosti povlači mogućnost pogrešaka u zaključivanju. Alfa (α) pogreška (ili pogreška tipa 1) je odbacivanje nul-hipoteze, dok je ona u stvari točna. Dakle, na osnovu rezultata statističkog testa ustvrdili smo da postoji razlika u istraživanom obilježju izmeñu populacija, iako ta razlika ne postoji, tj. na našim smo je uzorcima dobili slučajno. Vjerojatnost alfa pogreške odgovara p-vrijednosti. Vjerojatnost da nećemo napraviti pogrešku tipa 1 odgovara razini značajnosti (1-p). Beta (β) pogreška (ili pogreška tipa ) je prihvaćanje nul-hipoteze, dok je ona u stvarnosti netočna. Drugim riječima, razlika nañena na uzorcima nije testom bila statistički značajna, iako se populacije u istraživanom obilježju razlikuju. Vjerojatnost beta pogreške ovisi o tome što prihvaćamo kao stvarnu razliku u promatranoj veličini. Drugim riječima moramo definirati što smatramo stvarno značajnom razlikom (u medicini govorimo o biološkoj ili kliničkoj značajnosti). Jasno je da ćemo vrlo male razlike teže statistički potvrditi nego relativno velike. Vjerojatnost da nećemo napraviti pogrešku tipa povezana je sa snagom istraživanja. Snaga istraživanja raste s veličinom uzorka (N) i s veličinom razlike koju smatramo stvarno značajnom, a opada s razinom značajnosti (statističke). Ako nismo prisiljeni odreñivati granice, dobivene p-vrijednosti prosuñujemo ovisno o tome da li smo uočene razlike očekivali (npr. nećemo odbaciti p=0.08 u usporedbi visina desetgodišnjih dječaka i djevojčica, jer je to fiziološki očekivani rezultat), ili su neočekivani rezultat u mnoštvu usporedbi (ako se kocka često baca, pojavit će se i malo vjerojatne kombinacije, poput tri šestice zaredom). Nadalje važne su i posljedice interpretacije testa. Tako ćemo teško prihvatiti novi lijek i pored toga što je gotovo sigurno učinkovit (npr. p=0.01), ako je njegova proizvodnja vrlo skupa (u praksi se radi o milijardama dolara), dok ćemo manje oklijevati u slučaju lijeka koji može spasiti život, a ne postoji slični. Zbog toga se u novije vrijeme sve češće rezultati statističkih testiranju dopunjuju iskazima koji sadrže više informacija od same činjenice da li je dobivena p-vrijednost testa veća ili manja od izabrane granične p-vrijednosti. Radi se o tzv.: intervalima pouzdanosti (C.I., prema engl. Confidence Interval) Naime, na temelju uočenih razlika izmeñu uzoraka, mogu se, sa zadanom pouzdanošću, procijeniti intervali mogućih vrijednosti stvarnih (populacijskih) razlika. Tako je najčešće u uporabi tzv. 95% interval pouzdanosti (95 % C.I.). 14

21 . ŠTO JE ZAJEDNIČKO STATISTIČKIM ANALIZAMA Neka se negdje navede da je 95% C.I. razlike aritmetičkih sredina visina izmeñu odraslih Splićana i Splićanki 8-14 cm. To znači da je, temeljem mjerenja tjelesne visine na uzorku odraslih Splićanki i Splićana, 95% sigurno da je razlika prosječnih visina Splićana i Splićanki izmeñu 8 i 14 cm. Drugim riječima, ponavljanjem sličnog mjerenja na jednako velikim uzorcima u samo 5% slučajeva dobili bismo procjene koje su izvan (veće ili manje) tog intervala. Jednako se definiraju i ostali intervali pouzdanosti (90% C.I., 99% C.I., ili bilo koji drugi). Intervali pouzdanosti ne moraju se odnositi samo na razlike veličina, već, jednostavno, i na same veličine (npr. iz nekog mjerenja može se procijeniti da je 95% C.I. prosječne visine odraslih Splićana cm). Takoñer, ne mora se raditi o aritmetičkim sredinama, već i o raznim omjerima metričkih varijabli. Tako je uobičajen iskaz u medicinskoj literaturi npr. sljedeći: U ovom je istraživanju procijenjeno da je rak pluća 8 puta učestaliji (tijekom cijelog života) u pušača nego u nepušača (95% C.I. 4-17). To znači da, iako je najbolja procjena relativnog rizika razvoja raka pluća u pušača 8, postoji 5% vjerojatnost da je stvarni omjer rizika razvoja raka pluća izmeñu pušača i nepušača manji od 4, ali i veći od 17. Takav iskaz nameće kritičku prosudbu rezultata istraživanja, gdje se uočene razlike dopunjuju njihovim neodreñenostima i gdje se jasnije zrcali uloga veličine uzoraka (nego ako se samo citira p- vrijednost)..3. Filozofija statističkih testova usporedbe Tri su čimbenika pouzdanosti zaključivanja na temelju uzoraka iz populacija: 1. Koliko se ispitivane populacije zaista razlikuju u istraživanom obilježju (npr. lakše ćemo utvrditi da li postoji razliku u visini Splićana i stanovnika Tokija, nego Splićana i Trogirana). Kolike su širine distribucija, tj. varijabilnosti istraživane varijable u populacijima (npr. ako su u moru sve sive ribe veličine 10, a sve plave 1 cm, dovoljno je uhvatiti po jednu) 3. Kolike su veličine uzoraka iz populacija (veći uzorci osiguravaju bolju reprezentativnost-sličnost s matičnim populacijama). Naravno, stvarne razlike i varijabilnosti obilježja u populacijama ne znamo, te ih procjenjujemo iz opaženih razlika i varijabilnosti unutar uzoraka. Na temelju tih podataka i veličina uzoraka statistički testovi izračunavaju p-vrijednosti. Dakle, za sve testove usporedbe populacija na temelju uzoraka vrijedi isto: dobivena p- vrijednost tim je manja (procjena je pouzdanija), što su: opažene razlike veće, varijabilnosti manje i uzorci veći U praksi su prva dva čimbenika zadata i jedino možemo utjecati na treći: što su opažene razlike manje i varijabilnosti obilježja veće, za pouzdane procjene, potrebni su veći uzorci. 15

22 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine.4. Statistička i biološka (klinička) značajnost Često je, osobito u medicini, sporedno pitanje da li nekakva razlika izmeñu populacija postoji ili ne (uostalom, nepostojanje razlika samo je idealni koncept, u stvarnosti uvijek postoje nekakve, barem male razlike u bilo čemu izmeñu bilo čega), već je bitno procijeniti veličinu razlike. Intervali pouzdanosti daju uvid u veličine varijabli i njihovih razlika izmeñu populacija. Bitno je uočiti da se intervali pouzdanosti ne mogu procijeniti iz p-vrijednosti, bez poznavanja veličine uzoraka. Odreñena p-vrijednost testa može biti rezultat potpuno različitih situacija. Tako npr. mala p-vrijednost može značiti da je vrlo sigurno da postoji mala razlika, ili da je prilično (ali ne i jako) sigurno da postoji velika razlika u ispitivanom obilježju izmeñu populacija. PRIMJER.1. Uzmimo npr. da su stvarne razlike u visini (aritmetičke sredine razlika visina cijelih populacija) izmeñu odraslih Splićana i Zagrepčana 6 cm, a izmeñu Splićana i stanovnika Tokija 1 cm. Pretpostavimo nadalje da smo te razlike procijenili na uzorcima stanovnika ta 3 grada i da su odgovarajuće opažene razlike 5.5 cm (Split-Zagreb) i 13 cm (Split-Tokio). Ukoliko je usporedba Split-Zagreb bazirana na većem broju ispitanika nego usporedba Split-Tokio, moguće je da je u oba slučaja p-vrijednost testa jednaka, npr. 1%. Ne znajući ništa osim tih p-vrijednosti, možemo samo zaključiti da je jednako vjerojatno da nema razlike u visini izmeñu Splićana i Zagrepčana, kao i Splićana i stanovnika Tokija. Kako je vjerojatnost nulhipoteze mala, skloni smo ju odbaciti. Nakon što smo prilično sigurni da su prosječno Splićani viši i od Zagrepčana i od stanovnika Tokija, željeli bismo znati da li su razlike izmeñu Splićana, Zagrepčana i stanovnika Tokija veće ili manje od 5 cm, što smatramo antropološki značajnom razlikom. Iz p-vrijednosti ne možemo o tome prosuñivati, ali možemo iz intervala pouzdanosti U ovom bi slučaju 99% C.I. razlika visina izmeñu Splićana i Zagrepčana bio 0-11 cm (simetrično rasporeñen oko uočene razlike od 5.5 cm, zahvaćajući nulu na lijevom kraku), dok bi 99% C.I. razlika visina izmeñu Splićana i stanovnika Tokija iznosio 0-6 cm (simetrično rasporeñen oko uočene razlike od 13 cm, zahvaćajući nulu na lijevom kraku). Iz tih je podataka razvidno da je vjerojatnost da su Splićani barem 5 cm prosječno veći od Zagrepčana nešto veća od 50% (jer je 50% mogućih razlika veće od 5.5 cm) dok je ista vjerojatnost za stanovnike Tokija puno veća od 50% (jer je 50% mogućih razlika 13 cm ili više). Dakle, postojanje antropometrijski značajnih razlika u visini (koje uistinu postoje!) više nam sugerira istraživanju Split-Tokio, iako je provedeno na manjim uzorcima nego istraživanje Split-Zagreb! Taj naizgledni paradoks rezultat je činjenice da su stvarne, pa prema tom i uočene razlike visina, u tom istraživanju bile veće. PRIMJER.. Antihipertenzivni lijek A testiran je na 300, a lijek B na 60 bolesnika s povišenim arterijskim krvnim tlakom. Obje su skupine bile prispodobive po dobi, spolu, visini, masi i krvnim tlakovima. U oba je pokusa svaki bolesnik primao prvo lijek, pa placebo, ili obrnuto, randomiziranim poretkom. Antihipertenzivni lijek A snizio je dijastolički arterijski krvni tlak prosječno za mm Hg više od placeba, a lijek B za 8 mm Hg. No, kako je prvi pokus izveden na 5 puta većem uzorku, p vrijednosti značajnosti razlike prema placebu iznosile su % u oba slučaja. Odgovorite: a) Razlikuje li se vjerojatnosti da se pojedini lijek ne razlikuje od placeba, tj. da je farmakološki neučinkovit? b) Možemo li temeljem opisanih pokusa jednom od lijekova dati prednost? Zaključimo da nije bitno samo da li su opažene razlike statistički značajne, već i koliko su one velike. Često je statistički značajna razlika biološki (ili klinički) nevažna, dok opažena veća razlika zaslužuje veću pozornost, bez obzira na sličnu (ili čak manju) razinu značajnosti. U tim nam analizama pomažu intervali pouzdanosti. 16

23 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI 3.1 t-test Kada testiramo razlike izmeñu dvije skupine rezultata najpoznatiji parametrijski test zove se t-test ili Studentov-t test. Dakle, t-test je jedan od najpoznatijih statističkih testova za testiranje značajnosti razlika izmeñu dvije aritmetičke sredine. Postoje i odreñeni preduvjeti za primjenu t-testa: Za računanje t-testa obje varijable moraju biti metričke (kvantitativne). Broj mjerenja mora biti zadovoljavajući (ne manje od 0), osobito ako su distribucije rezultata značajno nesimetrične. Ovisno o vrsti podataka možemo razlikovati dvije procedure testiranja t-testom t-test za nezavisne uzorke Uzorci mogu biti stvarno nezavisni (npr. ako usporeñujemo znanje o dijabetesu izmeñu liječnika iz Zagreba i Rijeke) Unutar postojećeg uzorka u istraživanju možemo napraviti podjelu na dva nezavisna uzorka - npr. podjelu uzorka na muške i ženske ispitanike t-test za zavisne uzorke Mjerenje je provedeno na istim ispitanicima u dva različita stanja (npr. prije i poslije operacije) Kada primjenjujemo statističke metode gotovo uvijek radimo s uzorcima, a ne cijelim populacijama. Iz te činjenice proizlazi i smisao postojanja standardne pogreške mjerenja, koja se veže uz različite statističke parametre, poput aritmetičke sredine i standardne devijacije. U 1. poglavlju smo spomenuli da se standardna pogreška aritmetičke sredine (SE) da izraziti pomoću standardne devijacije SD i veličine uzorka (broja ispitanika) N: SE = Ako su podaci dobiveni na nezavisnim uzorcima (v1 i v), standardna pogreška razlike varijabli (v1-v) SE 1- da se izraziti pomoću SE 1 i SE na način: SD N SE + 1 = SE1 SE 17

24 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine SD1 SD SE 1 = + N N 1 Dakle, standardna pogreška razlike dviju varijabli veća je od svake pojedine, ali manja od njihovog zbroja, jer je hipotenuza pravokutnog trokuta kojemu se katete pojedine pogreške. Pretpostavimo da imamo dva velika uzorka liječnika u Sloveniji (N 1 =1000) i u Hrvatskoj (N =700) koji su rješavali test znanja o hipertenziji. Liječnici u Sloveniji su postigli prosječno 130 bodova (M 1 =130, SD 1 =15), dok su liječnici u Hrvatskoj postigli u prosjeku 15 bodova (M =15, SD =11). Ako iz izloženog primjera uvrstimo vrijednosti u formulu, dobivamo da je standardna pogreška razlika izmeñu aritmetičkih sredina Dobivenu vrijednost tumačimo jednako kao osnovne parametre normalne raspodjele. Dakle, 68% je vjerojatno da dobivena razlika izmeñu aritmetičkih sredina (130-15=5) ne odstupa od prave ili populacijske razlike (razlike izmeñu svih liječnika u Sloveniji i Hrvatskoj) više od ± Nadalje, 95% je vjerojatno da dobivena razlika ne odstupa od populacijske razlike više od ± 1. ( ). Isto je tako 99% vjerojatno da dobivena razlika ne odstupa od prave razlike više od ± 1.6 ( ). Na sljedećoj slici vidimo kako izgleda distribucija razlika aritmetičkih sredina uzoraka iz populacije kojoj je aritmetička sredina nula (nul-hipoteza), a standardna pogreška SLIKA 3.1 Prikaz distribucija razlika izmeñu dvije aritmetičke sredine uzoraka iz populacije kojoj je aritmetička sredina nula, a standardna pogreška 0.63, Prikazana je i uočena razlika od 5. Iz prethodno iznesenog slijedi da, ukoliko je razlika izmeñu dvije aritmetičke sredine na velikim uzorcima više od tri puta veća od svoje pogreške, onda je smatramo značajnom na 99%-noj razini. U osnovi, t vrijednost t-testa pokazuje koliko je puta dobivena razlika izmeñu dvije aritmetičke sredine veća od svoje standardne pogreške. 18

25 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI Dakle, t-test za nezavisne uzorke se zasniva na postupku oduzimanja dviju aritmetičkih sredina (jedne od druge), što se podjeli sa standardnom pogreškom njihove razlike. Rezultat se naziva t-vrijednošću: X 1 X t = SE 1 Računalo iz te t-vrijednosti računa vjerojatnost da je uočena razlika slučajna, tj. da će se takva ili veća razlika dobiti na uzorcima iz populacija koje se ne razlikuju u ispitivanoj varijabli. To je pripadajuća p-vrijednost t-testa. Ukoliko se odlučimo na korištenje granične razine značajnosti, t-test nam govori: 1) da su razlike u rezultatima dviju skupina (ili jedne skupine po dvije varijable) statistički značajne i da meñu njima postoje statistički značajne razlike Posljedica: Odbacivanje nul-hipoteze ili: ) da su razlike u rezultatima dviju skupina (ili jedne skupine po dvije varijable) statistički neznačajne, tj. da je mogućnost da su slučajne neprihvatljivo velika. Posljedica: Prihvaćanje nul-hipoteze Na sljedećoj slici prikazane su dvije distribucije rezultata. Vidljivo je da je aritmetička sredina druge distribucije veća od aritmetičke sredine prve distribucije, te da postoji odreñen broj vrijednosti koje su jednake u obje distribucije (površina distribucija se preklapaju). Razlike aritmetičkih sredina distribucija mogu biti statistički značajne i pored toga što se neki rezultati preklapaju. (npr. veći u prvoj distribuciji u odnosu na drugu, iako je prosjek prve manji). _ X _ X 1 SLIKA 3.. Odnos izmeñu distribucija rezultata dva uzorka čije se vrijednosti preklapaju < 19

26 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine Na sljedećoj je slici prikazana distribucija rezultata dva uzorka čije se vrijednosti ne poklapaju, te se gotovo sve vrijednosti jedne varijable razlikuju više od tri standardne devijacije druge varijable. _ X _ X 1 SLIKA 3.3. Odnos izmeñu distribucija rezultata dva uzorka čije se vrijednosti ne preklapaju Postoje još i daljnje podjele t-testa kojih ćemo se samo dotaknuti. Naime, osim izbora t- testa za zavisne ili nezavisne uzorke (dependent, independent t-test) moramo uzeti u obzir i veličinu uzorka. Sljedeće su inačice (varijante) t-testa: a) t-test za velike nezavisne uzorke b) t-test za male nezavisne uzorke c) t-test za velike zavisne uzorke d) t-test za male zavisne uzorke (metoda diferencije) No, navedenu podjelu je potrebno samo poznavati, jer računalo vodi računa o malim i velikim uzorcima i na korisniku je da samo u aplikaciji Statistica ili nekoj drugoj izabere vrstu t-testa (zavisni ili nezavisni uzorci). PRIMJER 3.1. Ukoliko želimo provjeriti da li postoji statistički značajna razlika izmeñu muških i ženskih ispitanika u vrijednostima sistoličkog tlaka nakon maksimalnog trčanja dionice od 100 m, trebamo imati sljedeće parametre i proceduru za provjeru razlika. Pretpostavimo da je u istraživanju sudjelovalo 80 žena i 100 muškaraca. Prosječna vrijednost sistoličkog tlaka (u mm Hg) za žene nakon opterećenja neka je 155, a za muškarce 140. Dakle, riječ je o nezavisnim uzorcima i razlikama izmeñu njihovih aritmetičkih sredina. Prema tome, ukoliko smo dobili takve podatke, radit ćemo t-test za nezavisne uzorke: 0 X ž = 155 SD ž =15 X m = 140 SD M =10 N ž = 80 N m =100

27 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI Standardna pogreška aritmetičke sredine sistoličkog tlaka za žene je: a za muškarce: SE Ž Sada možemo izračunati vrijednost t-testa, X t = 1 X SE Ž M SE M = SD = N SD = N 1.69 = = = = = = 7.65, p<0.01 Dakle, dobivena vrijednost t-testa je značajna na razini od 99% i možemo odbaciti nul hipotezu te zaključiti da postoji značajna razlika izmeñu muškaraca i žena u vrijednostima sistoličkog tlaka nakon opterećenja. Ovo je bio primjer t-testa za nezavisne uzorke. Odgovarajući primjer primjene t-testa za zavisne uzorke bio bi analiza razlike izmeñu sistoličkog tlaka u sjedećem položaju i sistoličkog tlaka nakon opterećenja. U tom slučaju analiziramo rezultate istih ispitanika kojima smo prvo izmjerili sistolički tlak u sjedećem položaju, a zatim nakon opterećenja. Dakle, t-test za zavisne uzorke uključuje dva mjerenja na istim ispitanicima i usporedbu dobivenih srednjih vrijednosti u ta dva mjerenja. 3. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka Znatan dio parametrijskih testova (t-test, analiza varijance) pretpostavlja normalnu raspodjelu varijabli u promatranim populacijama. No, često se dogaña da populacijska raspodjela varijable nije niti približno simetrična, nego čak pripada nekim drugim raspodjelama. Primjeri su multimodalna raspodjela, s najvećim učestalostima na krajnjim vrijednostima apscise (U-raspodjela) ili Poissonova raspodjela (raspodjela učestalosti vrlo rijetke pojave). Neparametrijska statistika koristi se kod podataka koji imaju neke od sljedećih karakteristika: o distribucija malog broja podataka značajno odstupa od normalne o podaci su izraženi na nominalnim ili ordinalnim mjernim ljestvicama Snaga neparametrijskih testova značajno je manja od snage parametrijskih testova. Ako izmeñu dvije populacije postoji razlika, veća je vjerojatnost da ćemo to otkriti parametrijskim nego neparametrijskim testom. U sljedećim ćemo poglavljima govoriti o različitim mjerama povezanosti metričkih varijabli. Ovdje ćemo samo navesti da i tu postoje parametrijski (Pearsonov koeficijent korelacije) i neparametrijski testovi (Spearmanova korelacija). 1

28 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine Neparametrijske testove možemo klasificirati prema dva kriterija: vrsti eksperimentalnog nacrta ili istraživanja (zavisni ili nezavisni uzorci) i broju varijabli koji se koristi u analizi rezultata. U sljedećem odjeljku razmatramo neparametrijske testove za dva uzorka i to za nezavisne i za zavisne uzorke. S druge strane, nakon poglavlja o analizi varijance raspravljamo o neparametrijskim testovima za više zavisnih ili nezavisnih uzoraka. U ovom poglavlju o usporedbi dviju varijabli obrañujemo neparametrijske inačice testova za dva nezavisna i dva zavisna uzorka. Neparametrijske inačice za dva nezavisna uzorka koriste se kada zbog jednog ili više poznatih razloga ne smijemo koristiti parametrijske testove (t-test). Neparametrijskih testova ima jako puno, no najčešće navoñeni u literaturi i u pojedinim aplikacijama su: test sume rangova (Wilcoxonov t-test, Mann-Whitney U-test) medijan test test homogenog niza (Run test, Wald-Wolfowitzov test) Siegel-Tukey test Parametrijskoj inačici t-testa, gdje nastojimo ispitati značajnost razlika izmeñu dvije aritmetičke sredine, približno odgovara neparametrijski test, medijan test. Medijan testom ispitujemo da li dva uzorka pripadaju populaciji s istim medijanom ili ne. Vrlo je jednostavan test koji se svodi na tzv. χ test (prikazan u 4. poglavlju). Prvi korak kod računanja medijan testa je pronalaženje centralne vrijednosti svih podataka iz oba uzorka zajedno. Nakon toga, u drugom koraku izračunamo kolika je učestalost rezultata koji su ispod ili iznad medijana i to odvojeno u oba uzorka. Nakon prebrojavanja rezultata dobivamo kontigencijsku tablicu (x), iz koje izračunavamo hi-kvadrat vrijednost testa. Dakle, test je vrlo jednostavan i krajnja interpretacija dobivenih rezultata je ista kao i kod hi-kvadrat testa. Jedan od najčešće korištenih neparametrijskih testova za dva nezavisna uzorka je test sume rangova (Mann-Whitney U test). Jednako kao i kod medijan testa, kod testa sume rangova testiramo da li dva uzorka pripadaju populaciji s jednakim medijanom. Vrlo je sličan testu homogenog niza, no koristi veći broj informacija te ga možemo smatrati snažnijim testom. Za razliku od parametrijskih testova, Mann-Whitney U test nije osjetljiv na oblik distribucije i jednakost varijanci promatranih varijabli. Mann-Whitney U test je alternativa t-testu za nezavisne uzorke i za izračunavanje potrebnih statističkih vrijednosti koristi rangove kao osnovne parametre, a ne realne vrijednosti koje koristi t-test za izračunavanje aritmetičke sredine. Sljedeći je primjer tipične uporabe Mann-Whitney U testa. PRIMJER 3.. U jednom istraživanju nastojalo se ispitati da li postoji značajna razlika izmeñu muškaraca i žena na testu prostorne vizualizacije. U testu je sudjelovalo ukupno 16 ispitanika i to 8 muškaraca i 8 žena koji su odabrani po slučaju. Slijedeća tablica pokazuju dobivene rezultate i njihove rangove.

29 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI Muškarci Rang (R1) Žene Rang (R) N=8 R1= 6 N=8 R= 74 Na osnovi dobivenih vrijednosti potrebno je izračunati pripadne U vrijednosti. UA= N1 N+ N1(N1+1) R1 UA= 8x8+ 8(8+1) 6 UA= UA=38 UB = N1 N UA UB = 64-38= 6 U B je niža vrijednost i kada uzmemo u obzir da je kritična vrijednost za proglašavanje značajne razlike (za N 1 =8, N =8) 13, zaključujemo da postoji statistički značajna razlika izmeñu muškaraca i žena. Naravno, sve vrijednosti koje su potrebne za tumačenje Mann-Whitney U testa dobivaju se automatski pomoću aplikacije na računalu. Prema osnovnim postavkama Mann-Whitney U testa, ukoliko se izrazito statistički značajno razlikuju dva uzorka, onda su njihovi rangovi poredani tako da su jedni na jednoj strani skale rangova, a drugi na drugoj strani skale rangova. S druge strane, ako nema statistički značajne razlike izmeñu dva uzorka, onda su pripadne vrijednosti rangova jednog i drugog uzorka meñusobno pomiješani. Ukoliko je uzorak ispitanika veći od 8 tada možemo koristiti z-vrijednosti za procjenjivanje značajnosti razlika unutar testa. Slijedeća slika pokazuje kako u programu Statistica izgleda rezultat provedbe Mann-Whitney U testa. Dakle, prikazane su sve potrebne vrijednosti (U, Z, p, korigirana Z i p vrijednost). 3

30 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine 3.3 Neparametrijske inačice t-testa za dva zavisna uzorka Kod neparametrijskih testova za dva nezavisna uzorka imali smo dva različita uzorka na kojima smo proveli mjerenja. Kod zavisnih uzoraka, imamo dva mjerenja na istim ispitanicima ili na dva uzorka ispitanika gdje svaki ispitanik ima svoj tzv. usklañeni par. Neparametrijske inačice testova za zavisne uzorke su: test predznaka (Sign test) Wilcoxonov test usklañenih parova (Wilcoxon matched pairs test) Test predznaka je neparametrijska alternativa t-testa za zavisne uzorke. Test predznaka je vrlo jednostavan i izračunava se na osnovi učestalosti slučajeva kada je vrijednost mjerenja A veća od vrijednosti mjerenja B. Na osnovi tzv. binomne raspodjele izračunava se z-vrijednost i pripadajuća p-vrijednost. Naravno, potrebno je poznavati svrhu i logiku primjene testa, a ostalo obavi računalo. Na sljedećoj je slici prikazan izbornik u aplikaciji Statistica pomoću kojega je potrebno odrediti varijable i vrstu testa. Dakle, nakon primjene testa predznaka računalo prikaže pripadajuću Z vrijednost i p. Wilcoxonov test usklañenih parova zahtijeva metričke podatke. Logika testa se sastoji u izračunavanju razlika izmeñu svakog para dvaju zavisnih uzoraka. Razlike mogu biti 4

31 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI pozitivne ili negativne. Sve izračunate razlike izmeñu pojedinog para se rangiraju. Ukoliko su dva para ili njih više po rangu isti, dobivaju zajednički rang. Ukoliko nema razlike izmeñu dva uzorka, tada je suma pozitivnih i negativnih rangova jednaka ili vrlo slična. Ako postoji značajna razlika u sumi pozitivnih i negativnih rangova, tada statistička aplikacija na računalu prema veličini razlike odreñuje brojčani iznos p vrijednosti. Snaga Wilcoxonovog testa značajno je veća od snage testa predznaka. Primjenom Wilcoxonovog testa dobivamo Z vrijednost koja ima svoju distribuciju, te na osnovi dobivene Z vrijednosti izračunava se p. PRIMJER 3.3. Istraživači su pokušali ispitati da li novoroñenče primjećuje u ranoj dobi odnos izmeñu govora i pomicanje usnama govornika. Na taj način istraživači pokušavaju uvidjeti važnost vizualnih informacija i razvoj govora u djece. Istraživači su novoroñenčad stavljali u dvije eksperimentalne situacije: a) govor i pomicanje usnama su istovremeni i normalno sinhronizirani b) govor kasni za pomicanjem usana za 400 msec. U obje eksperimentalne situacije istraživači su mjerili vrijeme (sekunde) koje novoroñenče provodi u promatranju istraživača koji govori. Na slijedećoj slici su prikazani podatci u obje situacije. Nakon unesenih podataka, statistička aplikacija (Statistica) izračunava prikladnu Z vrijednost i značajnost (p). Iz priloženog je vidljivo da je dobivena Z vrijednost (.67) statistički značajna na razini od 99% (p=0.0077; p<0.01) i zaključujemo da izmeñu dvije eksperimentalne situacije (a i b) postoji statistički značajna razlika u vremenu vizualnog procesiranja. 5

32 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine 3.4 Usporedbe triju ili više varijabli: Analiza varijance (ANOVA) ZAŠTO ANOVA Provedeno je istraživanje u kojem se želi vidjeti postoji li razlika u vrijednostima dijastoličkog krvnog tlaka izmeñu ispitanika koji su primali 1, ili 3 antihipertenziva. U istraživanju je ukupno sudjelovalo 150 ispitanika, gdje je po 50 ispitanika uzimalo kontinuirano 1, ili 3 antihipertenziva. Znači, u ovom se slučaju mijenja situacija u odnosu na t-test, gdje smo imali razliku izmeñu dva uzorka ili dva mjerenja. S jedne strane imamo kontinuiranu, metričku varijablu, te s druge strane kvalitativnu, trihotomnu varijablu. Dakle, želimo vidjeti da li izmeñu ispitanika/pacijenata koji pripadaju odreñenoj skupini (1, ili 3 antihipertenziva) postoji razlika u jednoj metričkoj, kontinuiranoj varijabli (dijastolički tlak). Riječ je o situaciji kada postoji indikacija za upotrebu tzv. analize varijance. Naime, u ovakvim slučajevima ne koristimo t-testove za svaki pojedini par skupina, jer povećavanjem broja t-testova povećavamo vjerojatnost slučajnog pozitivnog nalaza. Tako na primjer, u 0 usporedbi skupina gdje razlike izmeñu populacija nema (stvarna razlika jednaka nuli), prosječno će jedno testiranje proglasiti uočene razlike statistički značajnim uz 95% graničnu razini značajnosti. Analiza varijance je statistički postupak kojim se usporeñuju različite komponente varijance (kvadrirane standardne devijacije). Jednostavna analiza varijance primjenjuje se kada usporeñujemo rezultate jedne zavisne varijable unutar jedne nezavisne varijablom koja ime više razina ili kategorija. Primjer je istraživanje da li izmeñu četiri dobne skupine ispitanika (1: godina, : 0-9, 3: 30-49, 4: 50-59) postoji statistički značajna razlika u razini kolesterola u krvi. U ovom slučaju možemo primijeniti postupak jednostavne analize varijance jer želimo vidjeti da li izmeñu većeg broja dobnih skupina (nezavisna varijabla) postoji statistički značajna razlika u razini kolesterola u krvi (zavisna varijabla). Složena analiza varijance je statistički postupak koji se primjenjuje u onim slučajevima kada usporeñujemo rezultate više zavisnih varijabli unutar više nezavisnih varijabli koje imaju različite razine ili kategorije. Za razliku od jednostavne analize varijance, gdje imamo samo jednu zavisnu varijablu, kod složene analize varijance, osim utjecaja većeg broja nezavisnih varijabli na zavisnu, gledamo i meñudjelovanje (interakciju) izmeñu većeg broja zavisnih varijabli. Dakle, u slučaju jednostavne analizu varijance, kada želimo utvrditi kako neka nezavisna varijabla utječe na neku zavisnu varijablu potrebno je imati: a) veći broj kategorija nezavisne varijable b) za svaku od kategorija odreñeni broj ispitanika na kojima su prikupljeni podaci o zavisnoj varijabli c) zavisnu varijablu koja je metrička, kontinuirana varijabla Općenito logika jednostavne analize varijance počiva na: a) odstupanjima pojedinačnih rezultata od vlastite aritmetičke sredine, i tu imamo variranje unutar skupine kojoj pripada ispitanik i na: 6

33 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI b) odstupanjima aritmetičkih sredina pojedinih skupina rezultata od zajedničke aritmetičke sredine svih rezultata Ako ove dvije činjenice povežemo sa prije iznesenim primjerom koncentracije kolesterola u krvi možemo reći sljedeće: a) ako imamo ispitanika koji ima 35 godina onda njegova koncentracija kolesterola odstupa za neku vrijednost od aritmetičke sredine njegove skupine ispitanika od godina b) aritmetička sredina koncentracije kolesterola skupine od godina odstupa za neku vrijednost od zajedničke aritmetičke sredine sve četiri skupine ispitanika Dakle, za analizu varijance bitan je odnos variranja izmeñu i unutar skupina. Izračunava se tzv. F-vrijednost testa: V F = V V is varijanca izmeñu skupina V us varijanca unutar skupina Iz formule je vidljivo da što je veće variranje rezultata izmeñu skupina ispitanika u odnosu na variranje unutar skupina, to je F omjer veći. Što je veći F-omjer, uz pripadajuće stupnjeve slobode, to je i opravdanije odbacivanje nul-hipoteze. Na sljedećoj je slici prikazan jedan od tipičnih primjera distribucija rezultata zavisne varijable (npr. koncentracije leukocita) za četiri kategorije nezavisne varijable (npr. različitih vrsta leukemije), kada se rezultati značajno preklapaju. is us _ X X 1 X 3 _ X4 SLIKA Prikaz distribucija rezultata zavisne (metričke) varijable za 4 kategorije nezavisne (kvalitativne) varijable. Slika prikazuje slučaj značajnog preklapanja rezultata pojedinih skupina. Varijabilitet izmeñu skupina (V is ) je manji od varijabiliteta unutar skupina (V us ). Iz slike je vidljivo značajno preklapanje rezultata pojedinih skupina jer je varijabilitet izmeñu skupina (V is ) manji od varijabiliteta unutar skupina (V us ). Na sljedećoj je slici 7

34 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine vidljiva obrnuta situacija: jasna razlika izmeñu skupina očituje se zbog većeg varijabiliteta izmeñu skupina (V is ) u odnosu na varijabilitet unutar skupina (V us ). SLIKA 3.5. Prikaz distribucija rezultata zavisne (metričke) varijable za 4 kategorije nezavisne varijable. Slika prikazuje značajno razlikovanje rezultata pojedinih skupina. Rezultati meñu skupinama se ne poklapaju jer je varijabilitet izmeñu skupina (V is ) veći od varijabiliteta unutar skupina (V us ). Osnovna mjera koju dobijemo nakon provedene analize varijance je omjer varijance meñu skupinama i varijance unutar skupina. Slično smo imali i kod t-testa. U svakom slučaju logika je ista: dobije se odreñena vrijednost F-omjera, pripadajući stupnjevi slobode (df) i p-vrijednost (koja se tumači na isti način kao i kod svih ostalih statističkih testova). PRIMJER 3.4. Jedan od primjera primjene analize varijance je u slučaju kada želimo utvrditi da li postoji razlika izmeñu različitih dobnih skupina u vrijednostima sistoličkog tlaka nakon maksimalnog opterećenja. Znači, imamo ispitanike koji pripadaju različitim kategorijama dobne skupine, te bi prema tome shematski analiza trebala izgledati kao na slijedećoj slici. Ako se podsjetimo, kod t-testa smo imali samo dvije skupine izmeñu kojih smo testirali da li postoji statistički značajna razlika, dok kod analize varijance imamo nezavisnu varijablu koja ima više kategorija. Prema tome u ovom konkretnom slučaju gledamo da li postoji statistički značajna razlika izmeñu različitih dobnih skupina (kojih ima 5) glede sistoličkog tlaka nakon opterećenja. Imamo sve pretpostavke za korištenje analize varijance i to: nezavisnu varijablu koja ima više razina (kategorija) i zavisnu varijablu koja je metrička (sistolički tlaka u mmhg). 8

35 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI Za primjenu analize varijance i tumačenje značajnosti razlika važno je napomenuti i tzv. post hoc testiranja. Naime, ako dobijemo F-omjer koji je značajan, to znači da se promatrane skupine statistički značajno razlikuju u istraživanoj varijabli. No, još ne možemo tvrditi izmeñu kojih parova je razlika značajna! Da bi provjerili izmeñu kojih parova postoji razlika, moramo primijeniti jedan od naknadih testova (post hoc) koji slijede nakon analize varijance. Postoje različiti testovi (Scheffe, Tuckey, Duncan, Newman-Keuls ), jedni od najviše korištenih post hoc testova su Scheffeov test i HSD Tuckey test. No, potrebno je napomenuti da je Scheffeov post hoc test dosta strog ili 'konzervativan' za razliku od HSD Tuckey testa koji je podosta liberalan (izbor ovisi koju statističku pogrešku više želimo izbjeći: tipa 1 ili tipa ). Dakle, analiza varijance nije jednostavna metoda i uključuje niz modela: jednosmjerna (one-way) analiza varijance (ANOVA), s podvrstama za nezavisne i zavisne uzorke (repeated measures ANOVA) višesmjerna (multi-way) analiza varijance multifaktorska analiza varijance (MANOVA) analiza varijance s kontrolom kovarijabli (ANCOVA ili MANCOVA) U gornjim se definicijama smjerovi odnose na nezavisnu varijablu (više smjerova znači više načina kategorizacije), a faktori na zavisnu varijablu (više faktora znači više zavisnih varijabli). Kako smo već definirali, složena analiza varijance uključuje i višesmjernu i multifaktorsku ANOVA-u. Kovarijabla u analizi varijance je metrička varijabla koja može imati utjecaja na rezultata analize jer nije podjednako distribuirana po nezavisnim varijablama. U ANCOVI (MANCOVI) se njen utjecaj matematički odračunava. U višesmjernoj ANOVA-i postoji mogućnost istraživanja meñudjelovanja (interakcije) izmeñu nezavisnih varijabli, kao u primjeru koji slijedi. PRIMJER 3.5. U jednom istraživanju nastojalo se ispitati da li u funkciji dobi i spola postoje razlike u brzini procesiranja vizualno prostornih informacija. Primjenjen je test koji ispituje brzinu jednostavne konvergentne vizualne orijentacije koristeći CRD računalnu psihodijagnostički skup testova. Ispitanici su bila djeca u dobi od 11 do 15 godina, s tim da je u svakoj od 5 dobnih skupina bilo ukupno 50 djece. Postavlja se pitanje, da li osim razlike po dobi i spolu, postoji interakcija izmeñu navedenih zavisnih varijabli, npr. da li je utjecaj dobi vezan samo za jedan spol. Slika prikazuje razvojne krivulje promjene u funkciji dobi, zasebno za dječake i djevojčice. Pojedine točke su transformirane (tzv. z-vrijednosti) za jedan od testova CRD serije. 9

36 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine Promjene brzine rješavanja testa konvergentne vizualne orijentacije CRD-1 u funkciji dobi, posebno za za pojedini spol. U sljedećoj tablici su prikazani rezultati provedene analize varijance. Analiza varijance za vrijeme rješavanja CRD-1 testa konvergentne vizualne orijentacije (zavisna varijabla) u funkciji dobi i spola (nezavisne varijable). Prikazano je i meñudjelovanje nezavisnih varijabli (interkacija). Stupnjevi Varijanca Varijanca slobode izmeñu skupina unutar skupina F p Spol 1,0,67,03,859 Dob 4 5,39,67 37,64,000 Interakcija 4,55,67,8,513 Dakle, postoji statistički značajna razlika izmeñu dobnih skupina (F=37.64, p<0.01), ali ne postoji značajna razlika izmeñu spolova (F=0.8, p>0.05), niti postoji meñudjelovanje dobi i spola. No, iako znamo da postoji statistički značajna razlika izmeñu dobnih skupina, ne znamo izmeñu kojih. Zato moramo provesti post hoc analizu. U ovom primjeru izabrat ćemo Scheffeov test. Scheffeov test, prikaz značajnosti razlika meñu pojedinim skupinama ispitanika u odnosu na ukupno vrijeme rješavanja testa jednostavne vizualne orijentacije 30

37 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI Iz priložene tablice možemo točno očitati izmeñu kojeg para postoji statistički značajna razlika, jedna od onih koje uvjetuju značajan F omjer za dob. 3.5 Neparametrijske inačice ANOVE: nezavisni uzorci Ukoliko nisu zadovoljeni uvjete za korištenje parametrijskih testova, kod istraživačkih nacrta s više nezavisnih uzoraka koristimo neparametrijske inačice. Često korišteni testovi u okviru neparametrijskih inačica za više nezavisnih uzoraka su prošireni medijan test, te posebno Kruskal-Wallis test (K-W). Kruskal-Wallis test je u osnovi zamjena za analizu varijance. Za razliku od analize varijance K-W test koristi rangove umjesto 'sirovih' podataka. K-W test koristi više informacija od proširenog medijan testa, te je po svojoj prirodi 'snažniji' test. Prema tome, može se dogoditi da prošireni medijan test neda značajnu razliku izmeñu više uzoraka u promatranom mjerenju, dok isti rezultati kod K-W testa pokazuju značajnu razliku. Kruskal-Wallis test u osnovi usporeñuje medijane dvaju ili više nezavisnih uzoraka. Značajn rezultat testa znači statistički značajno različite medijane. Interpretacija K-W testa jednaka je interpretaciji analize varijance, osim što je K-W test neparametrijski test baziran na medijanu, a ne na aritmetičkoj sredini. Tipična situacija kada koristimo Kruskal-Wallis test je: podaci su nezavisni podaci mogu biti ordinalni distribucije podataka ne moraju biti normalne varijance pojedinih skupina rezultata ne moraju biti jednake uzorci trebaju biti slične, ali ne nužno i jednake veličine PRIMJER 3.6. U jednom su eksperimentalnom nacrtu istraživači nastojali ispitati kako različiti lijekovi utječu na stupanj otvorenosti kapaka kod zečeva (anti-imflammatory effects). Na svakoj od 4 skupine po 6 zečeva primijenjen je jedan od 4 različita lijeka. Stupanj otvorenosti oka 15 minuta nakon apliciranja lijeka mjeren je na skali od 4 stupnja: 0 oko potpuno otvoreno, 1- procjena srednje zatvorenosti oka, 3 oko potpuno zatvoreno. Podaci su: I skupina II skupina III skupina IV skupina Indomethicin Aspirin Piroxicam BW755C Zec Rezultat Rang Zec Rezultat Rang Zec Rezultat Rang Zec Rezultat Rang , , , , Kod Kruskal-Wallis testa je važno vidjeti visinu H vrijednosti i pripadajuću p vrijednost. U ovom primjeru H vrijednost iznosi i p<

38 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine 3.6 Neparametrijske inačice ANOVE: zavisni uzorci Kada ne postoje uvjeti za korištenje parametrijske statistike, a imamo više zavisnih uzoraka ili mjerenja, koristimo jedan od testova neparametrijske statistike za više zavisnih uzoraka: Friedmanov test, Fergusonov test monotonije trenda ili Cochranov Q test. Najčešće se koristi Friedmanov test, kojem odgovara parametrijska medoda analize varijance za zavisne uzorke. Dakle, za Friedmanov test nije bitan oblik distribucije, niti jednakost varijance promatranih zavisnih mjerenja. Koncept Friedmanovog testa svodi se na pretvaranje rezultata u rangove, a oni koji imaju isti rang dobivaju tzv. vezani ili zajednički rang. Važan statistički parametar je hi-kvadrat vrijednost s pripadajućim stupnjevima slobode, koji se računaju kao k-1 (gdje je k broj ponovljenih mjerenja) i, naravno, odgovarajuća p- vrijednost. PRIMJER 3.7. Konzilij od 10 liječnika procjenjivao je uspješnost tri terapeutska zahvata (A, B i C) na skali od 1 do 10 (1 označava potpuno neuspješno, 10 potpuno uspješno): Ocjene Rang Liječnik A B C A B C Postavlja se pitanje da li postoji razlika izmeñu uspješnosti 3 terapije prema procjenama liječnika? Rezultati Friedmanovog testa su χ =1.33 i p<0.05. Prema tome, postoji statistčki značajna razlika u uspješnosti postupaka prema liječničkoj prosudbi. 3

39 3. USPOREDBE METRIČKIH VARIJABLI Odnos izmeñu χ vrijednosti dobivene Friedmanovim testom i njegove značajnosti. Friedmanov test koristimo kada imamo veći broj eksperimentalnih situacija ili ponovljenih mjerenja. U slijedećem primjeru prikazan je način na koji aplikacija Statistica prikazuje rezultate Friedmanovog testa. 33

40 Eterović, Kardum: Biostatistika za studente medicine PRIMJER 3.8. Dvadeset majki zajedno sa svojom gluhom djecom polazili su seminar o treniranju odnosa prema djeci s poteškoćama u razvoju. Trinaest nepristranih članova voditelja seminara rangirali su majke prema stupnju uspješnosti odnosa prema djeci. Interesira nas da li postoje razlike izmeñu voditelja seminara u prosudbi poretka uspješnosti roditeljskog odnosa te skupine majki. Dakle, isiti skup majki prosuñen je više puta (ponovljena mjerenja). Rezultati su: Primjenom Friedmanovog testa pomoću aplikacije Statistica dobiva se: Dakle, Friedmanov testa pokazuje statistički značajan hi-kvadrat (χ =139.98, p<0.01), iz čega zaključujemo da razni ocjenjivači različito rangiraju majčinske odnose. 34

Uvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum

Uvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum Uvod u neparametrijske testove dr. sc. Goran Kardum 1 Usporedba NACRT ISTRAŽIVANJA PARAMETRIJSKA PROCEDURA NEPARAMETRIJSKA PROCEDURA Dva nezavisna uzorka T-test Mann-Whitney U-test Dva zavisna uzorka T-test

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

Počela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti

Počela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti Analiza brojčanih podataka Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice Kolegij: Počela biostatistike Statistička hipoteza postupak testiranja 1. postavljanje hipoteze: H 0, H 1 2. odabir

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1

(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1 χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE

PISMENI ISPIT IZ STATISTIKE 1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Analitička statistika Testiranje hipoteze.

Analitička statistika Testiranje hipoteze. Analitička statistika Testiranje hipoteze www.illustrationsof.com Dijelovi istraživanja Istraživačko pitanje Značenje Ustroj (design) - tip istraživanja Ispitanici Varijable Statistička obrada podataka

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u neparametarske testove

Uvod u neparametarske testove Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

4 Testiranje statističkih hipoteza

4 Testiranje statističkih hipoteza 4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA

STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike

Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu

Διαβάστε περισσότερα

Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010

Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi

Διαβάστε περισσότερα

Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).

Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim). Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Korelacija i regresija seminar

Korelacija i regresija seminar Korelacija i regresija seminar Podsjetnik Doc. dr. sc. Lidija Bilić Zulle, dipl. inž. specijalist medicinske biokemije Zavod za laboratorijsku dijagnostiku KBC Rijeka Katedra za medicinsku informatiku

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

9. TESTIRANJE HIPOTEZA O PARAMETRU. Josipa Perkov, prof., pred. 1

9. TESTIRANJE HIPOTEZA O PARAMETRU. Josipa Perkov, prof., pred. 1 9. TESTIRANJE HIPOTEZA O PARAMETRU Josipa Perkov, prof., pred. 1 na prethodnom predavanju upoznali smo se s metodom i postupcima koji omogućavaju da se iz dijela populacije, koji je slučajno izabran, procijeni

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija

UVOD DEFINICIJA: Statistika planiranje i provođenje pokusa skupljanje podataka interpretacija OSNOVE STATISTIKE UVOD DEFINICIJA: Statistika je grana matematike koja obuhvaća sakupljanje, analizu, interpretaciju i prezentaciju podataka te izradu predviđanja koja se temelje na tim podacima. Smatra

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij

SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij Test hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina K osnovnih skupova Seminarski rad Kolegij: Odabrana poglavlja

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa

Slučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij MANN-WHITNEY-WILCOXONOV TEST ZA NEZAVISNE UZORKE.

GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij MANN-WHITNEY-WILCOXONOV TEST ZA NEZAVISNE UZORKE. GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij MANN-WHITNEY-WILCOXONOV TEST ZA NEZAVISNE UZORKE Seminarski rad Kolegij: Odabrana poglavlja inžinjerske matematike Akademska

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE

NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE Neparametrijske tehnike se koriste za obradu podataka dobijenih na nominalnim i ordinalnim skalama. za testiranje značajnosti distribucije frekvencija po kategorijama jedne nominalne

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE

KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE Kontinuirana slučajna varijabla može poprimiti neprebrojivo (beskonačno mnogo vrijednosti. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE UVOD Razlike diskretnih i kontinuiranih slučajnih

Διαβάστε περισσότερα

4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1

4. MJERE DISPERZIJE. Josipa Perkov, prof., pred. 1 4. MJERE DISPERZIJE Josipa Perkov, prof., pred. 1 Kod mnogih mjerenja se može opaziti da se rezultati grupiraju i skupljaju oko jedne srednje vrijednosti Srednja vrijednost dobro reprezentira rezultate

Διαβάστε περισσότερα

Str

Str Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće

Διαβάστε περισσότερα

GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA.

GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA. GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA Seminarski rad KOLEGIJ: Odabrana poglavlja inženjerske matematike AKADEMSKA GODINA: 2016/2017

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi.

Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi. Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi. U SPSS-u su obradjeni: t test razlike između aritmetičke sredine osnovnog skupa i uzorka t test razlike

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Edukacijsko-rehabilitacijski fakultet Sveučilišta u Zagreb S T A T I S T I K A. Skripta. Pripremio: Branko Nikolić. Zagreb 2015./2016.

Edukacijsko-rehabilitacijski fakultet Sveučilišta u Zagreb S T A T I S T I K A. Skripta. Pripremio: Branko Nikolić. Zagreb 2015./2016. Edukacijsko-rehabilitacijski fakultet Sveučilišta u Zagreb S T A T I S T I K A Skripta Pripremio: Branko Nikolić Zagreb 05./06. LITERATURA: Obvezna:. Petz B., Kolesarić, V., Ivanec, D. (0): Petzova statistika.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite:

10. domaća zadaća. 3. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od odredite: Napomena: U svim zadacima treba koristiti tablicu standardne normalne razdiobe. 1. Neka je X neprekidna slučajna varijabla takva da je X N(0, 1). S točnošću od 10 5 odredite: a) P(X 1.16), b) P(X 0.59);

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina

Aritmetička sredina Medijan Mod. Harmonijska sredina MJERE CENTRALNE TENDENCIJE Aritmetička sredina Medijan Mod Geometrijska sredina Harmonijska sredina MJERA CENTRALNE TENDENCIJE ili središnja vrijednost jest brojčana vrijednost koja reprezentira skupinu

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u matematičku statistiku

Uvod u matematičku statistiku Uvod u matematičku statistiku Pojam matematičke statistike. Pojednostavljeno rečeno, matematička statistika je znanstvena disciplina koja iz poznavanja određenih svojstava uzorka donosi zaključke o svojstvima

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Testiranje statistiqkih hipoteza

Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene

Διαβάστε περισσότερα

MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE

MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva Odabrana poglavlja inženjerske matematike MODEL JEDNOSTAVNE LINEARNE REGRESIJE Studenti: Sara

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

SADR\AJ. Predgovor. POGLAVLJE 2 Grafičko opisivanje podataka Klasifikacija varijabli 10 Kvalitativne ili numeričke 10 Mjerne skale 11

SADR\AJ. Predgovor. POGLAVLJE 2 Grafičko opisivanje podataka Klasifikacija varijabli 10 Kvalitativne ili numeričke 10 Mjerne skale 11 KRATAK SADR\AJ Poglavlje 1 Čemu proučavati statistiku? 1 Poglavlje 2 Grafičko opisivanje podataka 9 Poglavlje 3 Numeričko opisivanje podataka 46 Poglavlje 4 Vjerojatnost 78 Poglavlje 5 Diskretne slučajne

Διαβάστε περισσότερα