5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα Αρχικών τιμών (B)

Transcript

1 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα Αρχικών τιμών B p://ecoursescemengnuagr/courses/compuaional_meods_or_engineers/

2 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Α Επίλυση μίας συνήθους ης τάξης ΔΕΠρόβλημα Αρχικών Τιμών = Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών Διαμέριση ανεξάρτητης μεταβλητής Δ =? Δ = Δ Επιλογή σχήματος πεπερασμένων διαφορών Forward Euler Bacward Euler

3 Αντικατάσταση στη ΔΕ Forward Euler = ==> = n Bacward Euler Δ = ==> = n ή Δ = Δ

4 III Runge - Kua + = +[a κ +α κ + +α n κ n ] 4 order RK: Seven C Capra Ramond P Canale "Numerical Meods or Engineers 6 ediion"

5 Μέθοδος Runge-Kua 4 order : Βή = Βήμα ο = = Βήμα ο = =

6 B Επίλυση συστήματος ΔΕ ης τάξης n ΔΕ με n αρχικές συνθήκες επίλυση χρησιμοποιώντας τις ίδιες μεθόδους πεπερασμένες διαφορές για κάθε μία εξίσωση ταυτόχρονη επίλυση σε κάθε βήμα όλων των μεταβλητών n

7 παράδειγμα: Loa-Volerra equaions Predaor-Pra model : pra : predaor ac: grow/deca raes bd bd: grow/deca raes due o ineracion i = = a=;b=6;c=8; ; b=6; c=8; d= I Άμεση Μέθοδος Euler / Forward Finie Dierences / Forward Euler Διαμέριση Επιλογή σχήματος ΠΔ Αντικατάσταση στις ΔΕ Δ = = Δ a c b d

8 4 Άμεση ταυτόχρονη επίλυση ως προς το + και + a c b d = n Βήμα ο = Δ= a b 6 = = a= ; b=6; c=8; d= c d 8 98 Βήμα ο = Δ= a b c d Βήμα ο = Δ= a b c d

9 II Έμμεση Μέθοδος Euler / Bacward Finie Dierences / Bacward Euler 4 Έμμεση ταυτόχρονη επίλυση ως προς το + και + Συνήθως Σύστημα μή γραμμικών εξισώσεων--- Newon solve b a d c b a = n Επίλυση με solve = = F >> solvef [ ; ] Επίλυση με Newon για μη γραμμικά συστήματα = J \ J = J \ J

10 Βήμα ο = Δ= = = a b c d a b c d : : J Δa b Δb - Δd Δ-c d Newon ο = = J \ \ Newon ο = 97 =984 J \ \

11 Βήμα ο = Δ= =98 =984 a b c d a b c d : : d J Δa b Δb - Δd Δ-c d Newon ο = 98 =984 J \ \ Newon ο 696 = 696 =976 Newon ο = = STOP TOL

12 III Μέθοδος Runge-Kua 4 order : Βή Δ Βήμα ο = Δ= d c b a 8 d c 484 b a b 484 a 8 d c d 79 c b 486 a d 8 c

13 Βήμα ο = Δ= =48 =

14 Ευστάθεια Sabili and Ακαμψία Siness Διαφορική ήεξίσωση ης τάξης ΠΑΤ Α Τ d d ss παράδειγμα : = d Έχει μία μόνιμη κατάσταση ss = και είναι ευσταθής d ss πράγματι η ακριβής λύση της ΔΕ = e - δηλώνει ότι από όποια αρχική συνθήκη η λύση θα πλησιάσει το = σε μεγάλους χρόνους ss =

15 παράδειγμα : = Έχει μία μόνιμη κατάσταση ss = και είναι ασταθής d d ss ss = παράδειγμα : = Έχει δύο μόνιμες καταστάσεις ss =- και ss =+ ss = ss =- d d ss ss είναι ευσταθής ss =+ d d ss ss είναι ασταθής ss =- Για αρχικές συνθήκες κοντά σε Μόνιμη Κατάσταση οι λύσεις τείνουν προς την ευσταθή και απομακρύνονται από την ασταθή ΜΚ

16 Σύστημα Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων ης τάξης ΠΑΤ = = έχει ακριβή λύση : = e - -e - = - e - + e - και άρα τείνει σε μεγάλους χρόνους στην μόνιμη κατάσταση = = λόγω των αρνητικών εκθετών e - και e - Οι εκθέτες προέρχονται από τις ιδιοτιμές του πίνακα των συντελεστών λ =- λ =- A eiga Ευστάθεια Μόνιμης Κατάστασης λ και λ < Αριθμητική Ευστάθεια Forward Euler d Κατά αντιστοιχία με τη συνθήκη σε μία ΔΕ d ss Κατά αντιστοιχία με τη συνθήκη σε μία ΔΕ Στο άνω παράδειγμα Δ για orward Εuler </ άρα μεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος λ << λ δηλώνει άκαμπτο σύστημα

17 Άκαμπτα Si Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων Συστήματα που περιέχουν στοιχεία που μεταβάλλονται γρήγορα και στοιχεία που μεταβάλλονται αργά Σημαντική διαφορά στις ιδιοτιμές λ λ Αριθμητική ευστάθεια απαιτεί πολύ μικρό βήμα Δαπό τη μέγιστη απόλυτη ιδιοτιμή που ανεβάζει το υπολογιστικό κόστος

18 Ανάλυση μη Γραμμικών Συστημάτων = = Εύρεση Μόνιμων Καταστάσεων = και = ==> ss ss i Τοπική Ευστάθεια Μόνιμων Καταστάσεων J Σχηματισμός Ιακωβιανού πίνακα J Υπολογισμός Ιακωβιανού πίνακα Jσε κάθε ΜΚ ss ss Εύρεση Ιδιοτιμών του J λ λ λ και λ < τότε ss ss ευσταθής ΜΚ ss ss

19 Τοπική ευστάθεια μόνιμων καταστάσεων σε γραμμικά και μη-γραμμικά συστήματα Ιδιοτιμές Μόνιμη Κατάσταση λ λ πραγματικοί Ευσταθές σημείο λ < και λ < sable node λ λ πραγματικοί λ > και λ > Ασταθές σημείο unsable node λ λ πραγματικοί λ < και λ > λ λ μιγαδικοί μγ Reλ < Reλ < λ λ μιγαδικοί Reλ > Reλ > Ασταθής σέλλα Saddle node Ευσταθές επίκεντρο Sable Spiral Ασταθές επίκεντρο Unsable Spiral γραμμικά συστήματα: λ λ ιδιοτιμές του πίνακα Α των συντελεστών μη-γραμμικά συστήματα: λ λ ιδιοτιμές του Ιακωβιανού πίνακα J

20 παράδειγμα: Εύρεση Μόνιμων Καταστάσεων = και = ==> ΜΚ : =- =- και ΜΚ: = = Σχηματισμός Ιακωβιανού πίνακα J J Υπολογισμός Ιακωβιανού πίνακα Jσε κάθε ΜΚ ss ss - Εύρεση Ιδιοτιμών του J λ λ ΜΚ : =- =- J -- λ =- και λ =- ΜΚ είναι ευσταθές σημείο ΜΚ : = = J λ =- και λ = ΜΚ είναι ασταθής σέλλα saddle node

21 C Επίλυση ΔΕ τάξης > ΠΑΤ ΔΕ βαθμού n με n αρχικές συνθήκες επίλυση μετασχηματίζοντας την σε ΠΑΤ με σύστημα n ΔΕ ορίζουμε: τότε: και επιλύουμε το σύστημα :