5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα Αρχικών τιμών (B)

Transcript

1 569: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Πρόβλημα Αρχικών τιμών B ttp://ecoursescemengntuagr/courses/computational_metods_or_engineers/

2 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Α Επίλυση μίας συνήθους ης τάξης ΔΕΠρόβλημα Αρχικών Τιμών = Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών Διαμέριση ανεξάρτητης μεταβλητής Δt =? Δt t = Δt t t t t Επιλογή σχήματος πεπερασμένων διαφορών tt Forward Euler t Bacward Euler tt

3 3 Αντικατάσταση στη ΔΕ Forward Euler = ==> t t = n Bacward Euler Δt t t t t = ==> t = n t ή Δt = t Δt t t

4 III Runge - Kutta + = +[a κ +α κ + +α n κ n ] 4 t order RK: Steven C Capra Ramond P Canale "Numerical Metods or Engineers 6 edition"

5 Μέθοδος Runge-Kutta 4 t order : Βή = Βήμα ο = = Βήμα ο = =

6 B Επίλυση συστήματος ΔΕ ης τάξης n ΔΕ με n αρχικές συνθήκες επίλυση χρησιμοποιώντας τις ίδιες μεθόδους πεπερασμένες διαφορές για κάθε μία εξίσωση ταυτόχρονη επίλυση σε κάθε βήμα όλων των μεταβλητών n

7 παράδειγμα: Lota-Volterra equations Predator-Pra model : pra : predator ac: growt/deca rates bd bd: growt/deca rates due to interaction ti = = a=;b=6;c=8; ; b=6; c=8; d=3 I Άμεση Μέθοδος Euler / Forward Finite Dierences / Forward Euler Διαμέριση Επιλογή σχήματος ΠΔ 3 Αντικατάσταση στις ΔΕ Δt = t = Δt t t t t t t a c b d

8 4 Άμεση ταυτόχρονη επίλυση ως προς το + και + t a t c b d = n Βήμα ο = Δt= a b 6 t = = a= ; b=6; c=8; d=3 c d t Βήμα ο = Δt= a b c d t t Βήμα 3 ο = Δt= t a b t c d

9 II Έμμεση Μέθοδος Euler / Bacward Finite Dierences / Bacward Euler 3 4 Έμμεση ταυτόχρονη επίλυση ως προς το + και + Συνήθως Σύστημα μή γραμμικών εξισώσεων--- Newton solve b a t d c t b a t = n Επίλυση με solve = = F >> solvef [ ; ] Επίλυση με Newton για μη γραμμικά συστήματα = J \ J = J \ J

10 Βήμα ο = Δt= = = t a b t c d a b c d : t : t J Δta b Δtb - Δtd Δt-c d Newton ο = = J \ \ Newton ο = 97 =984 J \ \

11 Βήμα ο = Δt= =98 =984 t a b t c d a b c d : t : t d J Δta b Δtb - Δtd Δt-c d Newton ο = 98 =984 J \ \ Newton ο 696 = 696 =976 Newton ο = = STOP TOL

12 III Μέθοδος Runge-Kutta 4 t order : Βή Δ Βήμα ο = Δt= d c b a 8 d c 484 b a b 484 a 8 d c d 79 c b 486 a d 8 c

13 Βήμα ο = Δt= =48 =

14 Ευστάθεια Stabilit and Ακαμψία Stiness Διαφορική ήεξίσωση ης τάξης ΠΑΤ Α Τ d d ss παράδειγμα : = d Έχει μία μόνιμη κατάσταση ss = και είναι ευσταθής d ss πράγματι η ακριβής λύση της ΔΕ = e -t δηλώνει ότι από όποια αρχική συνθήκη η λύση θα πλησιάσει το = σε μεγάλους χρόνους ss = t

15 παράδειγμα : = Έχει μία μόνιμη κατάσταση ss = και είναι ασταθής d d ss ss = t παράδειγμα 3: = Έχει δύο μόνιμες καταστάσεις ss =- και ss =+ ss = ss =- d d ss ss είναι ευσταθής t ss =+ d d ss ss είναι ασταθής ss =- Για αρχικές συνθήκες κοντά σε Μόνιμη Κατάσταση οι λύσεις τείνουν προς την ευσταθή και απομακρύνονται από την ασταθή ΜΚ

16 Σύστημα Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων ης τάξης ΠΑΤ = = έχει ακριβή λύση : = e -t -e -t = - e -t + e -t και άρα τείνει σε μεγάλους χρόνους στην μόνιμη κατάσταση = = λόγω των αρνητικών εκθετών e -t και e -t Οι εκθέτες προέρχονται από τις ιδιοτιμές του πίνακα των συντελεστών λ =- λ =- A eiga Ευστάθεια Μόνιμης Κατάστασης λ και λ < Αριθμητική Ευστάθεια Forward Euler d Κατά αντιστοιχία με τη συνθήκη σε μία ΔΕ d ss Κατά αντιστοιχία με τη συνθήκη σε μία ΔΕ Στο άνω παράδειγμα Δt για orward Εuler </ άρα μεγάλο υπολογιστικό κόστος λ << λ δηλώνει άκαμπτο σύστημα

17 Άκαμπτα Sti Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων Συστήματα που περιέχουν στοιχεία που μεταβάλλονται γρήγορα και στοιχεία που μεταβάλλονται αργά Σημαντική διαφορά στις ιδοτιμές λ λ Αριθμητική ευστάθεια απαιτεί πολύ μικρό βήμα Δtαπό τη μέγιστη ιδιοτιμή που ανεβάζει το υπολογιστικό κόστος

18 Τοπική ευστάθεια μόνιμων καταστάσεων σε γραμμικά και μη-γραμμικά συστήματα Ιδιοτιμές λ λ πραγματικοί λ < και λ < λ λ πραγματικοί λ > και λ > λ λ πραγματικοί λ < και λ > λ λ μιγαδικοί Reλ < Reλ < Μόνιμη Κατάσταση Ευσταθές σημείο stable node Ασταθές σημείο unstable node Ασταθής σέλλα Saddle node Ευσταθές επίκεντρο Stable Spiral λ λ μιγαδικοί Ασταθές επίκεντρο Reλ > Reλ > Unstable Spiral γραμμικά συστήματα: λ λ ιδιοτιμές του πίνακα Α των συντελεστών μη-γραμμικά συστήματα: λ λ ιδιοτιμές του Ιακωβιανού πίνακα J

19 παράδειγμα: Romeo and Juliet Μόνιμη Κατάσταση RJ= και R J= ==> ΜΚ : R= J= Σχηματισμός πίνακα συντελεστών Α - Εύρεση Ιδιοτιμών του Aλ λ Α λ =-3 και λ = ΜΚ είναι ασταθής σέλλα

20 Ανάλυση μη Γραμμικών Συστημάτων = = Εύρεση Μόνιμων Καταστάσεων = και = ==> ss ss i Τοπική Ευστάθεια Μόνιμων Καταστάσεων J Σχηματισμός Ιακωβιανού πίνακα J Υπολογισμός Ιακωβιανού πίνακα Jσε κάθε ΜΚ ss ss Εύρεση Ιδιοτιμών του J λ λ λ και λ < τότε ss ss ευσταθής ΜΚ ss ss

21 παράδειγμα: Εύρεση Μόνιμων Καταστάσεων = και = ==> ΜΚ : =- =- και ΜΚ: = = Σχηματισμός Ιακωβιανού πίνακα J J Υπολογισμός Ιακωβιανού πίνακα Jσε κάθε ΜΚ ss ss - Εύρεση Ιδιοτιμών του J λ λ ΜΚ : =- =- J -- λ =- και λ =- ΜΚ είναι ευσταθές σημείο ΜΚ : = = J λ =- και λ = ΜΚ είναι ασταθές σημείο

22 παράδειγμα: Rabbit vs Seep Εύρεση Μόνιμων Καταστάσεων = και = ==> ΜΚ : == ΜΚ: == ΜΚ3: =3= ΜΚ4: == Σχηματισμός Ιακωβιανού πίνακα J J 3 Υπολογισμός Ιακωβιανού πίνακα Jσε κάθε ΜΚ ss ss - Εύρεση Ιδιοτιμών του J λ λ ΜΚ := == ΜΚ : == ΜΚ3 3 : =3= 3 J λ =3 και λ = ΜΚείναι ασταθές σημείο J J 3 6 λ =3 και λ = λ =- και λ =- λ =-3 και λ =- ΜΚ είναι ευσταθές σημείο J 3 λ = 3 και λ = ΜΚ είναι ευσταθές σημείο ΜΚ4 : == J ΜΚ είναι ασταθής σέλλα

23 C Επίλυση ΔΕ τάξης > ΠΑΤ ΔΕ βαθμού n με n αρχικές συνθήκες επίλυση μετασχηματίζοντας την σε ΠΑΤ με σύστημα n ΔΕ ορίζουμε: τότε: και επιλύουμε το σύστημα :