ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ didefth.gr

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ www.pe03.gr. didefth.gr"

Transcript

1 . ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΠΑΘΑΡΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

2 Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών, Φθιώτιδας και Ευρυτανίας

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ο οδηγός αυτός απευθύνεται στους εκπαιδευτικούς που διδάσκουν το μάθημα των Μαθηματικών στις Α και Β τάξεις Ημερήσιου Γενικού Λυκείου. Το θέμα του οδηγού είναι οι γραπτές προαγωγικές εξετάσεις περιόδου Μαΐου Ιουνίου 2015 των τάξεων αυτών, οι ο- ποίες αποτελούν την τελική ετήσια γραπτή αξιολόγηση των μαθητών. Καθώς πλησιάζει η ημερομηνία λήξης των μαθημάτων, αρχίζει το στάδιο της εκπαιδευτικής διαδικασίας που αφορά τις επαναλήψεις, τις οδηγίες προς τους μαθητές ενόψει των γραπτών προαγωγικών εξετάσεων, τον καθορισμό της εξεταστέας ύλης και τη σύνταξη των θεμάτων των εξετάσεων. Η υλοποίηση του σταδίου αυτού, ιδιαίτερα όσο αφορά το μάθημα των Μαθηματικών, δεν είναι µια απλή, συνηθισμένη διαδικασία, αλλά ένα σοβαρό έργο με πολλές παραμέτρους. Για το σημαντικό αυτό έργο, θα θέλαμε να υπενθυμίσουμε τη σχετική νομοθεσία και να επισημάνουμε μερικά πράγματα, τα οποία πιστεύουμε ότι θα βοηθήσουν τους διδάσκοντες το μάθημα. Τέλος, με βάση τη νομοθεσία αλλά και τις επισημάνσεις μας, παραθέτουμε ορισμένα ενδεικτικά παραδείγματα θεμάτων, χρήσιμα για τις επαναλήψεις, αλλά και γενικότερα για την κατανόηση της φιλοσοφίας σύνταξής τους. Λαμία, 11 Μαΐου 2015 Δημήτριος Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

4 2

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Καθορισμός της εξεταστέας ύλης. 5 Επισημάνσεις για τον καθορισμό της εξεταστέας ύλης. 6 Οδηγίες προς τους μαθητές. 6 Ενδεικτικές προτάσεις για την εξεταστέα ύλη. 7 Ενδεικτικές προτάσεις για την εξεταστέα ύλη στην Άλγεβρα Α τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 7 Ενδεικτικές προτάσεις για την εξεταστέα ύλη στη Γεωμετρία Α τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 8 Ενδεικτικές προτάσεις για την εξεταστέα ύλη στην Άλγεβρα Β τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 9 Ενδεικτικές προτάσεις για την εξεταστέα ύλη στη Γεωμετρία Β τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 9 ΣΕΛΙΔΑ Ενδεικτικές προτάσεις για την εξεταστέα ύλη στα Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού των Θετικών Σπουδών Β τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 10 Σύνταξη των θεμάτων των γραπτών εξετάσεων στα Μαθηματικά ΓΕΛ. 11 Βασικά χαρακτηριστικά των θεμάτων. 12 Επισημάνσεις για τα θέματα θεωρίας. 13 Επισημάνσεις για τα θέματα ασκήσεων. 13 Τα σχήματα των θεμάτων. 13 Θέματα που πρέπει να αποφεύγονται. 13 Εξέταση μαθητών με αναπηρία ή ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες. 14 Ενδεικτικά θέματα εξετάσεων. 14 Ενδεικτικά θέματα εξετάσεων στην Άλγεβρα Α τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 15 Ενδεικτικά θέματα εξετάσεων στη Γεωμετρία Α τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 19 Ενδεικτικά θέματα εξετάσεων στην Άλγεβρα Β τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 21 Ενδεικτικά θέματα εξετάσεων στη Γεωμετρία Β τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 23 Ενδεικτικά θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού των Θετικών Σπουδών Β τάξης Ημερ. ΓΕΛ. 25 Δημοσιοποίηση των θεμάτων των εξετάσεων. 27 3

6 4

7 Οδηγίες καθορισμού της εξεταστέας ύλης στα Μαθηματικά των Α και Β τάξεων Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ενόψει των γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου Ιουνίου 2015 Καθορισμός της εξεταστέας ύλης Για τον καθορισμό της εξεταστέας ύλης των μαθημάτων των Α και Β τάξεων Ημερήσιου Γενικού Λυκείου σχετική είναι η 40132/Δ2/ εγκύκλιος του Υ.ΠΟ.ΠΑΙ.Θ. Σύμφωνα με την εγκύκλιο αυτή, στα Ημερήσια Γενικά Λύκεια η εξεταστέα ύλη για όλα τα μαθήματα των Α και Β τάξεων δεν μπορεί να είναι λιγότερη από το μισό και περισσότερη από τα 2/3 της διδακτέας ύλης. Για το σχολικό έτος η διδακτέα ύλη για τα μαθηματικά στο Ημερήσιο Γενικό Λύκειο έχει καθοριστεί ως ακολούθως: Για την Α τάξη με την Υ.Α /Γ2/ Για την Β τάξη με την Υ.Α /Γ2/ Στο σημείο αυτό οφείλουμε να τονίσουμε ότι πρέπει να διδάσκεται όλη η διδακτέα ύλη που προβλέπεται. Η ολοκλήρωση της διδακτέας ύλης είναι εφικτή, αν τηρήσουμε τις οδηγίες διαχείρισης της ύλης για κάθε τάξη. Όπως προκύπτει και στην πράξη, αυτό ισχύει στην πλειονότητα των περιπτώσεων. Η εξεταστέα ύλη είναι η ίδια για όλα τα τμήματα της ίδιας τάξης του ίδιου σχολείου. Η επιλογή και ο ακριβής προσδιορισμός της γίνεται με εισήγηση των διδασκόντων και με την 5

8 έγκριση του Διευθυντή του Λυκείου και γνωστοποιείται στους μαθητές πέντε εργάσιμες η- μέρες πριν από τη λήξη των μαθημάτων. Η εξεταστέα ύλη καταγράφεται στα βιβλία διδασκόμενης ύλης των τμημάτων και υπογράφεται από τον διδάσκοντα και από τον Διευθυντή του Λυκείου. H εξεταστέα ύλη των μαθηματικών, όπως και αυτή που δεν είναι εξεταστέα, υπολογίζονται συνήθως σε τρέχουσες σελίδες του βιβλίου, που περιλαμβάνουν θεωρία, εφαρμογές, ασκήσεις και προβλήματα. Επισημάνσεις για τον καθορισμό της εξεταστέας ύλης. Ο θεσμός του ορισμού της εξεταστέας ύλης έως το πολύ τα 2/3 της διδακτέας ύλης, δεν αποσκοπεί µόνο στην ελάφρυνση των μαθητών, αλλά έχει στόχο να δώσει στο διδάσκοντα τη δυνατότητα να επισημάνει στους μαθητές τις περισσότερο σημαντικές ενότητες. Έτσι θα του δώσει τη δυνατότητα να ελέγξει την απόκτηση βασικών γνώσεων και δεξιοτήτων στα μαθηματικά, μέσα από τις ενότητες αυτές. Το αναλυτικό πρόγραμμα κάθε τάξης περιέχει τη διδακτέα ύλη. Η ύλη όμως αυτή, ως γνωστό, συνίσταται από πληθώρα γνώσεων και δεξιοτήτων που πρέπει ο μαθητής να αποκτήσει. Όμως εκ των πραγμάτων δεν μπορούν να ελεγχθούν όλες στις προαγωγικές εξετάσεις, αλλά και δεν έχουν όλες την ίδια βαρύτητα, είτε ως προαπαιτούμενες για τις επόμενες τάξεις είτε ή ως γνώση γενικότερα. Έτσι είναι αναγκαίο να γίνει κάποια επιλογή, ασφαλώς µε κάποια κριτήρια. Δύο είναι τα βασικά κριτήρια με τα οποία επιλέγουμε την εξεταστέα ύλη: Ποιες γνώσεις και δεξιότητες από την διδαχθείσα ύλη θα χρειαστούν περισσότερο οι μαθητές μας στη ζωή τους. Ποιες είναι οι βασικές γνώσεις και δεξιότητες από την διδαχθείσα ύλη που πρέπει να κατέχουν οι μαθητές μας για τις επόμενες τάξεις. Ο καθορισμός της εξεταστέας ύλης δεν αφορά μόνο τη δίωρη γραπτή εξέταση των μαθητών. Αφορά ίσως περισσότερο την οργάνωση της μελέτης τους, ενόψει της προετοιμασίας τους για τις εξετάσεις. Σ αυτό το σημείο θα πρέπει να είμαστε αρκετά προσεκτικοί, στο πώς ακριβώς θα κατευθύνουμε τη μελέτη τους, καθορίζοντας την εξεταστέα ύλη με βάση τα παραπάνω κριτήρια. Δεν είναι καλή πρακτική να αφαιρούνται ολόκληρα κεφάλαια με μόνο κριτήριο τον απαιτούμενο αριθμό σελίδων. Καλή πρακτική είναι να αφαιρούνται επιμέρους παράγραφοι από ορισμένα κεφάλαια με κριτήριο, το τι είναι λιγότερο σημαντικό ή έχει διδαχθεί σε άλλη τάξη και απλά εδώ παρουσιάζεται για λόγους επανάληψης ή συμπλήρωσης ή εισαγωγής στις νέες έννοιες. Οδηγίες προς τους μαθητές. Για την ύλη των μαθηματικών που δεν είναι εξεταστέα, είναι σκόπιμο να επισημανθεί στους μαθητές ότι δεν θα τεθούν θέματα θεωρίας αλλά ούτε και ασκήσεις που θα απαιτούν κατά κύριο λόγο γνώσεις και δεξιότητες από την ύλη αυτή. Είναι, όμως, υποχρεωμένοι να γνωρίζουν βασικές γνώσεις από την ύλη αυτή, που θα τις χρησιμοποιήσουν ενδεχομένως για τη λύση ασκήσεων και προβλημάτων ή για να αποδείξουν προτάσεις που είναι στην ε- ξεταστέα ύλη. Το ίδιο ισχύει και για την ύλη προηγουμένων τάξεων. Αυτό αποτελεί µια βασική αρχή της δομής των μαθηματικών και πρέπει να γίνεται σαφές στους μαθητές. Στις εξετάσεις δεν μπορούμε να θέσουμε ως θέμα µια εφαρμογή του σχολικού βιβλίου ούτε μέρος αυτής. Οι εφαρμογές δεν εξετάζονται με κανένα τύπο ερωτήσεων (ανοικτού τύπου, πολλαπλής επιλογής, σωστό λάθος, κτλ) ούτε ως θεωρία, ούτε ως ασκήσεις. Έχουν όμως τη δυνατότητα οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν τα συμπεράσματα των εφαρμογών 6

9 και των παραδειγμάτων ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή προβλημάτων, όπως ακριβώς χρησιμοποιούν τα θεωρήματα, τις ιδιότητες και τους κανόνες της θεωρίας. Αυτό πρέπει να τους γίνει γνωστό με σαφήνεια. Σκόπιμο είναι δε να επισημανθούν οι ενδεχόμενες ε- φαρμογές που έχουν αυτό το πλεονέκτημα. Ενδεικτικές προτάσεις για την εξεταστέα ύλη. Στη συνέχεια παραθέτουμε κάποιες ενδεικτικές προτάσεις για την εξεταστέα ύλη. Οι προτάσεις αυτές γίνονται με την προϋπόθεση ότι έχουμε ολοκληρώσει όλη την ύλη που προβλέπεται, δηλαδή η διδαχθείσα ύλη είναι όση και η διδακτέα. Σε αντίθετη περίπτωση μπορούν να γίνουν οι σχετικές προσαρμογές, λιγοστεύοντας ανάλογα την εξεταστέα ύλη. Έχει γίνει προσπάθεια να συμπεριληφθούν οι περισσότερο σημαντικές ενότητες σε κάθε μάθημα της κάθε τάξης. Οι προτάσεις αυτές δεν είναι δεσμευτικές και οι διδάσκοντες έχουν τη δυνατότητα να κάνουν επιμέρους τροποποιήσεις. Σε περίπτωση που οι διδάσκοντες το μάθημα στην τάξη είναι περισσότεροι του ενός η συνεργασία για τον καθορισμό της εξεταστέας ύλης θα πρέπει να γίνεται με σύνεση και σε κλίμα αμοιβαίας κατανόησης. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 1.1 Δειγματικός Χώρος Ενδεχόμενα. ΚΕΦ. 1 ο 1.2 Έννοια της Πιθανότητας εκτός της υποπαραγράφου «Αξιωματικός Ορισμός Πιθανότητας». 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών εκτός της απόδειξης της ιδιότητας 4. ΚΕΦ. 2 ο 2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού. 2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών εκτός των αποδείξεων των ιδιοτήτων 3 και 4. ΚΕΦ. 3 ο 3.1 Εξισώσεις 1 ου βαθμού. 3.3 Εξισώσεις 2 ου βαθμού. ΚΕΦ. 4 ο 4.1 Ανισώσεις 1 ου βαθμού. 4.2 Ανισώσεις 2 ου βαθμού. 6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης. ΚΕΦ. 6 ο 6.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης εκτός της υποπαραγράφου «Απόσταση σημείων». 6.3 Η Συνάρτηση: f(x) αx β εκτός της κλίσης ευθείας ως λόγος μεταβολής. 7

10 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων εκτός της απόδειξης του θεωρήματος ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων εκτός της απόδειξης του θεωρήματος ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων εκτός της απόδειξης του θεωρήματος. ΚΕΦ. 3 ο 3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων εκτός της απόδειξης των θεωρημάτων Ι και ΙΙ. 3.7 Κύκλος Μεσοκάθετος Διχοτόμος Τριγωνική ανισότητα εκτός της απόδειξης του θεωρήματος Κάθετες και πλάγιες εκτός της απόδειξης του θεωρήματος ΙΙ Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου εκτός της απόδειξης του θεωρήματος Ι Εφαπτόμενα τμήματα. 4.6 Άθροισμα γωνιών τριγώνου. ΚΕΦ. 4 ο 4.7 Γωνίες με πλευρές κάθετες εκτός της απόδειξης του θεωρήματος και του πορίσματος. 4.8 Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου εκτός της απόδειξης του πορίσματος. 5.2 Παραλληλόγραμμα. 5.3 Ορθογώνιο. 5.4 Ρόμβος. 5.5 Τετράγωνο. ΚΕΦ. 5 ο 5.6 Εφαρμογές στα τρίγωνα εκτός της απόδειξης του θεωρήματος ΙΙΙ. 5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου εκτός της απόδειξης του θεωρήματος. 5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου χωρίς το πόρισμα. 5.9 Μια ιδιότητα του ορθογωνίου τριγώνου Τραπέζιο Ισοσκελές τραπέζιο. 6.2 Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης εκτός της απόδειξης του θεωρήματος. ΚΕΦ. 6 ο 6.3 Γωνία χορδής και εφαπτομένης εκτός της απόδειξης του θεωρήματος. 6.5 Το εγγεγραμμένο τετράπλευρο. 6.6 Το εγγράψιμο τετράπλευρο εκτός της απόδειξης του θεωρήματος. 8

11 ΚΕΦ. 1 ο 1.1 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Γραμμικά Συστήματα χωρίς τις αποδείξεις των συμπερασμάτων της υποπαραγράφου «Λύση - διερεύνηση γραμμικού συστήματος 2x Μη Γραμμικά Συστήματα. ΚΕΦ. 2 ο 2.1 Μονοτονία Ακρότατα Συμμετρίες Συνάρτησης ΚΕΦ. 3 ο 3.4 Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. 3.5 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις. ΚΕΦ. 4 ο 4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων. 4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις χωρίς την υποπαράγραφο «Προσδιορισμός ρίζας με προσέγγιση». 4.4 Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές. ΚΕΦ. 5 ο 5.2 Λογάριθμοι χωρίς την απόδειξη της αλλαγής βάσης. 5.1 Εκθετική Συνάρτηση. 5.3 Λογαριθμική Συνάρτηση με βάση μόνο το 10 και το e. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 9.2 Το πυθαγόρειο θεώρημα. ΚΕΦ. 9 ο ΚΕΦ. 10 ο ΚΕΦ. 11 ο 9.4 Γενίκευση του πυθαγορείου θεωρήματος χωρίς την εφαρμογή ΙΙ. 9.5 Θεωρήματα διαμέσων. 9.7 Τέμνουσες κύκλου Εμβαδόν ευθυγράμμου σχήματος Ισοδύναμα ευθύγραμμα σχήματα Εμβαδόν βασικών ευθυγράμμων σχημάτων Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου χωρίς την απόδειξη των τύπων Ι και ΙΙΙ Λόγος εμβαδών όμοιων τριγώνων πολυγώνων χωρίς την απόδειξη του θεωρήματος ΙΙ Ορισμός κανονικού πολυγώνου Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων χωρίς τις αποδείξεις των θεωρημάτων και του πορίσματος. Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους χωρίς τις εφαρμογές 2, Προσέγγιση του μήκους του κύκλου με κανονικά πολύγωνα Μήκος τόξου Προσέγγιση του εμβαδού του κύκλου με κανονικά πολύγωνα Εμβαδόν κυκλικού τομέα και κυκλικού τμήματος. 9

12 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΚΕΦ. 1 ο Συντεταγμένες στο Επίπεδο χωρίς την απόδειξη που περιλαμβάνεται στην υ- ποπαράγραφο «Συντεταγμένες Διανύσματος», χωρίς την εφαρμογή 2 στη σελίδα 35 και χωρίς την απόδειξη που περιλαμβάνεται στην υποπαράγραφο «Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων». Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων χωρίς την απόδειξη του τύπου της αναλυτικής έκφρασης Εσωτερικού Γινομένου. 2.1 Εξίσωση Ευθείας. ΚΕΦ. 2 ο 2.2 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας χωρίς την εφαρμογή Εμβαδόν Τριγώνου χωρίς τις αποδείξεις των τύπων της απόστασης σημείου από ευθεία, του εμβαδού τριγώνου και της εφαρμογής 1 στη σελίδα Ο Κύκλος χωρίς την υποπαράγραφο «Παραμετρικές Εξισώσεις Κύκλου». ΚΕΦ. 3 ο Η Παραβολή χωρίς την απόδειξη της εξίσωσης της παραβολής, την απόδειξη του τύπου της εφαπτομένης και την εφαρμογή 1 στη σελίδα 96. Η Έλλειψη χωρίς την απόδειξη της εξίσωσης της έλλειψης, την υποπαράγραφο «Παραμετρικές Εξισώσεις Έλλειψης» και χωρίς τις εφαρμογές αυτής της παραγράφου. 10

13 Οδηγίες σύνταξης των θεμάτων των γραπτών προαγωγικών εξετάσεων στα Μαθηματικά των Α και Β τάξεων Ημερήσιου Γενικού Λυκείου περιόδου Μαΐου Ιουνίου Σύνταξη των θεμάτων των γραπτών εξετάσεων στα Μαθηματικά Γενικού Λυκείου. Για τη διατύπωση των θεμάτων των γραπτών προαγωγικών εξετάσεων των Α και Β τάξεων Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ισχύει το Π.. 68/2014 και η /Δ2/ εγκύκλιος του Υ.ΠΟ.ΠΑΙ.Θ. Όσον αφορά την εξέταση των μαθητών µε αναπηρία και ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες ισχύει η Υπουργική απόφαση Φ.253/155439/Β6/ Σύμφωνα με τα παραπάνω στους μαθητές δίνονται τέσσερα (4) θέματα από την εξεταστέα ύλη, με τα οποία ελέγχεται η γνώση εννοιών και ορολογίας, η δυνατότητα αναπαραγωγής γνωστικών στοιχείων, η ικανότητα εκτέλεσης γνωστών αλγορίθμων, η ικανότητα του μαθητή να αναλύει, να συνθέτει και να επεξεργάζεται δημιουργικά ένα δεδομένο υλικό, καθώς και η ικανότητα επιλογής και εφαρμογής κατάλληλης μεθόδου. Τα τέσσερα θέματα που δίνονται στους μαθητές διαρθρώνονται ως εξής: α) Το πρώτο θέμα αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος περιέχει πέντε (05) ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου (πολλαπλής επιλογής, Σωστού - Λάθους, αντιστοίχισης) με τις οποίες ελέγχεται η γνώση και η κατανόηση των βασικών εννοιών και των σπουδαιότερων συμπερασμάτων της θεωρίας σε όσο το δυνατόν ευρύτερη έκταση της εξεταστέας ύλης. Στο δεύτερο μέρος ζητείται η απόδειξη μίας απλής πρότασης (ιδιότητας, λήμματος, θεωρήματος ή πορίσματος), που είναι αποδεδειγμένη στο σχολικό εγχειρίδιο. 11

14 β) Το δεύτερο θέμα αποτελείται από μία άσκηση που είναι εφαρμογή ορισμών, αλγορίθμων ή προτάσεων (ιδιοτήτων, θεωρημάτων, πορισμάτων). γ) Το τρίτο θέμα αποτελείται από μία άσκηση που απαιτεί από τον μαθητή ικανότητα συνδυασμού και σύνθεσης εννοιών και αποδεικτικών ή υπολογιστικών διαδικασιών. δ) Το τέταρτο θέμα αποτελείται από μία άσκηση ή ένα πρόβλημα που η λύση του απαιτεί από τον μαθητή ικανότητες συνδυασμού και σύνθεσης γνώσεων, αλλά και την ανάληψη πρωτοβουλιών για την ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσής του. Το δεύτερο, τρίτο και τέταρτο θέμα μπορούν να αναλύονται σε επιμέρους ερωτήματα που διευκολύνουν τον μαθητή στη λύση. Η βαθμολογία κατανέμεται ανά εικοσιπέντε (25) μονάδες στο καθένα από τα τέσσερα (4) θέματα. Ειδικότερα, στο πρώτο θέμα το πρώτο μέρος βαθμολογείται με δέκα (10) μονάδες, ενώ το δεύτερο μέρος βαθμολογείται με δεκαπέντε (15) μονάδες. Στο δεύτερο, τρίτο και τέταρτο θέμα η κατανομή της βαθμολογίας στα επιμέρους ερωτήματα μπορεί να διαφοροποιείται ανάλογα με το βαθμό δυσκολίας τους και καθορίζεται στη διατύπωση των θεμάτων. Σε όλα τα τμήματα της ίδιας τάξης, του ίδιου σχολείου, δίνονται κοινά θέματα από τον καθηγητή ή τους καθηγητές που διδάσκουν το μάθημα, σε συνεργασία µε το Διευθυντή του σχολείου. Κατ εξαίρεση είναι δυνατόν να δοθούν χωριστά θέματα, εάν συντρέχει αποχρών λόγος, ο οποίος αναγράφεται σε σημείωση στο έγγραφο που περιέχει τα θέματα και παράλληλα συντάσσεται και σχετική πράξη στο βιβλίο πράξεων του Διευθυντή. Το έγγραφο με τα θέματα υπογράφεται από τους καθηγητές που τα εισηγούνται, όπως επίσης και από τον Διευθυντή, και κατατίθενται στο αρχείο του σχολείου. Οι μαθητές υποχρεούνται να διαπραγματευτούν όλα τα θέματα. Η διάρκεια της εξέτασης είναι δύο (2) ώρες. Η βαθμολογία γίνεται στην κλίμακα Στο τέλος ο βαθμός ανάγεται στην κλίμακα 1-20 και γράφεται, όπου απαιτείται, ως δεκαδικός με προσέγγιση δεκάτου. Βασικά χαρακτηριστικά των θεμάτων. Τα θέματα των εξετάσεων πρέπει: Να είναι απλά στη δομή τους και επιστημονικά έγκυρα. Να είναι σύμφωνα µε τους στόχους της διδασκαλίας µας και το νοητικό επίπεδο των μαθητών της τάξης µας. Να είναι κλιμακούμενης δυσκολίας. Τα εύκολα ερωτήματα να προηγούνται και τα πιο δύσκολα να έπονται. Να ελέγχουν βασικές γνώσεις και δεξιότητες της εξεταστέας ύλης και να καλύπτουν όσο το δυνατόν περισσότερη εξεταστέα ύλη. Να μπορούν να απαντηθούν πλήρως εντός του χρονικού διαστήματος των δύο ωρών. Να είναι διατυπωμένα σε γλώσσα απλή, κατανοητή στους μαθητές, με σαφήνεια και α- κρίβεια. Δεν είναι σπάνιο το φαινόμενο πολλοί μαθητές να απαντούν σε άλλο θέμα από αυτό που τους ζητείται, επειδή δεν κατανόησαν καλά το ζητούμενο και όχι επειδή δεν γνώριζαν την απάντηση. Η ορολογία και η διατύπωση των θεμάτων να είναι ανάλογη με εκείνη του σχολικού βιβλίου. Να μη χρησιμοποιούνται συμβολισμοί που δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο. 12

15 Επισημάνσεις για τα θέματα θεωρίας. Οι απαντήσεις των θεμάτων θεωρίας πρέπει να προκύπτουν άμεσα από τη θεωρία που υπάρχει στα σχολικά βιβλία. Δεν πρέπει να προκύπτουν από τις εφαρμογές, ούτε να προκύπτουν εφαρμόζοντας τη θεωρία σε κάποια δεδομένα, γιατί τότε τα θέματα είναι εφαρμογές της θεωρίας και επομένως ασκήσεις. Επίσης η απάντηση δεν μπορεί να προέρχεται από ένα σύνθετο συλλογισμό με δεδομένη τη θεωρία, διότι τότε είναι ερωτήσεις κρίσεως. Επισημάνσεις για τα θέματα ασκήσεων. Το δεύτερο θέμα πρέπει να είναι απλό στη δομή και η λύση του να προκύπτει άμεσα από την εφαρμογή ορισμών, αλγορίθμων ή προτάσεων της θεωρίας. Το τρίτο θέμα που απαιτεί από το μαθητή ικανότητα συνδυασμού και σύνθεσης εννοιών αποδεικτικών ή υπολογιστικών διαδικασιών, πρέπει να αναλύεται σε επιμέρους ερωτήματα κλιμακούμενης δυσκολίας ώστε να έχουν τη δυνατότητα να απαντήσουν, τουλάχιστον στα πρώτα ερωτήματα, και οι αδύνατοι μαθητές. Το τέταρτο θέμα που λύση του απαιτεί από τον μαθητή ικανότητες συνδυασμού και σύνθεσης γνώσεων, αλλά και την ανάληψη πρωτοβουλιών για την ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσής του, πρέπει να είναι περισσότερο σύνθετο και να αναλύεται σε επιμέρους ερωτήματα, ώστε να κλιμακωθεί η δυσκολία και να διακριθούν οι άριστοι μαθητές. Είναι αυτονόητο ότι κάθε θέμα αποτελείται από μία άσκηση (ή πρόβλημα) που αναλύεται σε βήματα και όχι από δύο ή περισσότερες ασκήσεις που δεν σχετίζονται μεταξύ τους. Όταν πρόκειται να δώσουμε για θέμα μία άσκηση ή ένα πρόβλημα που έχει αναλυθεί σε επιμέρους ερωτήματα, τα οποία βοηθούν το μαθητή στη λύση των επομένων ερωτημάτων, πρέπει οι μαθητές να είναι ενήμεροι του τρόπου αντιμετώπισης τέτοιων θεµάτων. Πολλοί μαθητές έχουν την τάση τα επί μέρους ερωτήματα ενός τέτοιου θέματος να τα αντιμετωπίζουν ανεξάρτητα από τα προηγούμενα. Γι αυτό καλό είναι να έχουμε διδάξει παρόμοια στην τάξη και να έχουμε επιμείνει στο σχετικό τρόπο λύσης τους. Οι τελευταίες διδακτικές ώρες του έτους καλό είναι να διατεθούν σε επαναλήψεις στην εξεταστέα ύλη και σε λύσεις ασκήσεων και προβλημάτων οπότε μεταξύ των άλλων θα επισημανθούν και τα παραπάνω σχετικά. Τα σχήματα των θεμάτων. Η κατασκευή ενός σχήματος, με βάση τα δεδομένα, ίσως δυσκολέψει πολλούς μαθητές και είναι καλύτερα να δοθεί. Ενδεχομένως ένα εύκολο στην κατασκευή του σχήμα να μην δίνεται και ο σχεδιασμός του αυτός καθαυτός να αξιολογείται. Αυτό θα το κρίνει ο διδάσκων που θέτει τα θέματα ανάλογα με τους στόχους που έχει θέσει. Αν όμως δοθεί κάποιο σχήμα, τότε αυτό να είναι στη φωτοτυπία των θεμάτων. Δεν είναι καλή πρακτική να δίνονται τα θέματα σε φωτοτυπία χωρίς τα σχήματα και αυτά στη συνέχεια να σχεδιάζονται στον πίνακα. Σε περίπτωση αναβαθμολόγησης για παράδειγμα, ο πίνακας προφανώς δεν θα συνοδεύει τη φωτοτυπία των θεμάτων. Γενικότερα ό,τι δεδομένα έχουμε να δώσουμε και όποιες ερωτήσεις έχουμε να θέσουμε, να είναι όλα στη φωτοτυπία των θεμάτων. Θέματα που πρέπει να αποφεύγονται. Να αποφεύγεται η επιλογή αυτούσιων ασκήσεων ή προβλημάτων από εξωσχολικά βοηθήματα, ενώ αντίθετα μπορεί να είναι παραπλήσια µε αυτά του σχολικού βιβλίου. 13

16 Να αποφεύγονται τα ίδια ακριβώς θέματα ασκήσεων του προηγουμένου έτους ή και παρελθόντων ετών. Για το λόγο αυτό, πριν ξεκινήσουμε τη σύνταξη των θεμάτων, καλό είναι να ρίξουμε μια ματιά στο αρχείο θεμάτων του σχολείου. Να αποφεύγονται οι ασάφειες, όσον αφορά τη δομή των θεμάτων. Να είναι δηλαδή άρτια δομημένα. Για παράδειγμα, μια «εσωτερική» υπόθεση σε ένα ερώτημα όπως και το σχετικό συμπέρασμα που προκύπτει από αυτή, δεν αποτελούν δεδομένα για τα επόμενα ερωτήματα. Μια τέτοια πρακτική θα παραπλανήσει τους μαθητές και μάλιστα τους περισσότερο προσεκτικούς ή θα οδηγήσει σε δικαιολογημένες απορίες. Αυτό θα μας αναγκάσει να παρέμβουμε διορθωτικά εκ των υστέρων, πράγμα το οποίο μειώνει το κύρος μας και την αξιοπιστία μας. Αν έχουμε κάτι τέτοιο στο σχεδιασμό μας, θα πρέπει η «εσωτερική» υπόθεση του παραπάνω ερωτήματος να είναι στο «σενάριο» της άσκησης. Έτσι η υπόθεση αυτή, αλλά και τα συμπεράσματα που προέκυψαν με βάση αυτή, αποτελούν δεδομένα για τη συνέχεια. Στη διάρκεια του σχολικού έτους, ενδεχομένως σε κάποια τάξη να διδάξαμε κάτι περισσότερο από τα προβλεπόμενα για την τάξη αυτή. Αυτό μπορεί να το πράξαμε, διότι κάποιοι ικανοί μαθητές παρατήρησαν κάτι που μπορεί να γενικευτεί ή είχαν απορίες και κρίναμε ότι ήταν σκόπιμο να πούμε κάτι περισσότερο, αφού ήταν σε θέση να το αφομοιώσουν, χωρίς όμως να πλατειάσουμε. Σε καμία περίπτωση, όμως, κάτι τέτοιο δεν τίθεται στα θέματα των εξετάσεων. Ο μέσος μαθητής δεν είναι υποχρεωμένος να γνωρίζει κάτι που προβλέπεται για την επόμενη τάξη και εμείς απλά το αναφέραμε για τις ανάγκες της διδασκαλίας σε κάποια χρονική στιγμή. Εξέταση μαθητών με αναπηρία ή με ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες. Για την εξέταση των μαθητών µε αναπηρία και ειδικές εκπαιδευτικές ανάγκες θα πρέπει να συμβουλευτούμε την η απόφαση Φ.253/155439/Β6/ Στην απόφαση αυτή αλλά και στις παραπομπές της, αναφέρονται οι περιπτώσεις που οι μαθητές εξετάζονται προφορικά (δυσλεξία, αναπηρία άνω άκρων κτλ) και οι περιπτώσεις που εξετάζονται γραπτά (βαρηκοΐα κτλ), όπως και οι προϋποθέσεις για κάτι τέτοιο. Κατά τις προαγωγικές εξετάσεις, οι μαθητές των παραπάνω περιπτώσεων εξετάζονται ταυτόχρονα με τους μαθητές της τάξης στην οποία ανήκουν και στα ίδια θέματα. Όσοι εξετάζονται προφορικά, εξετάζονται ενώπιον επιτροπής, την οποία συγκροτεί για το σκοπό αυτό ο Διευθυντής του Λυκείου. Α- ποτελείται από τον ίδιο ή τον Υποδιευθυντή ως πρόεδρο, και από δύο καθηγητές της ίδιας ή συναφούς με τα εξεταζόμενα μαθήματα ειδικότητας, ως μέλη. Ο μέσος όρος των βαθμών των δύο καθηγητών είναι ο βαθμός του μαθητή στο εξεταζόμενο μάθημα. Ενδεικτικά θέματα εξετάσεων. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε ορισμένα ενδεικτικά θέματα εξετάσεων. Ο λόγος της παρουσίασης είναι να πάρουμε ορισμένες ιδέες, περισσότερο όσο αφορά τη φιλοσοφία των θεμάτων, και όχι να τα θέσουμε αυτούσια στις εξετάσεις του σχολείου μας. Σκόπιμο είναι τα θέματα να γραφούν με έναν επεξεργαστή κειμένου σε ηλεκτρονικό υπολογιστή, αλλά αν παρόλα αυτά δοθούν χειρόγραφα, να είναι ευανάγνωστα. Οι μαθητές, και μέσα από αυτούς οι γονείς τους, αλλά και η κοινωνία γενικότερα, μας κρίνουν καθημερινά. Ας έχουμε πάντα στο νου μας ότι κατά τη διάρκεια των εξετάσεων κρινόμαστε, και ότι µέσω της αξιολόγησης των μαθητών μας, αξιολογείται εν μέρει και το δικό µας εκπαιδευτικό έργο. 14

17 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡ. ΓΕΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΧΧΧΧΧΧ ΧΧ ΜΑΪΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α Α1) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν γ 0, τότε: α β α γ β γ β) Ισχύει α β α β για οποιουδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β. 2 γ) Αν η εξίσωση αx βx γ 0, α 0 έχει πραγματικές ρίζες x 1, x 2, τότε το άθροισμα S x1 x2 των ριζών της είναι S β α 2 δ) Το τριώνυμο αx βx γ 0, α 0, γίνεται ετερόσημο του α, μόνο όταν είναι Δ 0 και για τις τιμές του x, που βρίσκονται μεταξύ των ριζών. ε) Οι ευθείες της μορφής y αx β, όπου α σταθερό και β μεταβλητό, είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους. (M. 10) Α2) Αν α,β 0 να αποδείξετε ότι ν ν ν α β α β (M. 15) ΘΕΜΑ Β Ένα αγόρι και ένα κορίτσι από τους μαθητές της τάξης θα είναι οι παρουσιαστές μιας ομαδικής εργασίας. Δήλωσαν επιθυμία 3 αγόρια: ο Κώστας (Κ), ο Λάμπρος (Λ) και ο Νίκος (Ν) και 2 κορίτσια: η Αμαλία (Α) και η Βασιλική (Β). Από αυτούς επιλέγονται τυχαία ένα αγόρι και ένα κορίτσι για την παρουσίαση. B1) Να βρείτε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. (Μ. 7) B2) Να γράψετε σε μορφή συνόλων τα ενδεχόμενα: Α: Επιλέχθηκε η Βασιλική Β: Επιλέχθηκαν ο Κώστας και ο Νίκος Γ: Δεν επιλέχθηκαν ούτε ο Λάμπρος ούτε η Αμαλία (M. 9) B3) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ) των παραπάνω ενδεχομένων. (M. 9) 15

18 ΘΕΜΑ Γ Σε έναν άξονα με αρχή Ο τα σημεία Α, Β και Μ αντιστοιχούν στους πραγματικούς αριθμούς 2, 4 και x αντίστοιχα. Γ1) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων x 2 και x 4 (Μ. 8) Γ2) Αν ισχύει x 2 x 4, τότε ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου Μ αναγνωρίζετε; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μ. 8) Γ3) Αν ισχύει x 2 x 4, τότε με βάση το προηγούμενο ερώτημα να προσδιορίσετε τις θέσεις του σημείου Μ στον άξονα και να βρείτε τις τιμές του x. Στη συνέχεια να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας. (M. 9) ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι ευθείες (ε) της μορφής ε: y λx 4 2λ με λ. Δ1) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες (ε) διέρχονται από το σταθερό σημείο Α(2,4) για κάθε τιμή του λ. (M. 8) Δ2) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες προκύπτουν οι ευθείες ε 1, ε 2, ε 3 της παραπάνω μορφής όπως αυτές φαίνονται στο διπλανό σχήμα. (M. 9) Δ3) Να βρείτε τη μορφή των ευθειών (ζ) οι οποίες διέρχονται από το σταθερό σημείο Β(0,2) του άξονα y y και είναι παράλληλες ή συμπίπτουν με τις ευθείες (ε) για κάθε τιμή του λ. Για ποια τιμή του λ οι παραπάνω ευθείες συμπίπτουν; (Μ. 8) Να απαντήσετε στη κόλλα σας σε όλα τα θέματα. Διάρκεια εξέτασης δύο (2) ώρες. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΧΧΧΧΧΧΧΧ, ΧΧ Μαΐου 2015 Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές 16

19 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡ. ΓΕΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΧΧΧΧΧΧ ΧΧ ΜΑΪΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α Α1) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ισχύει η ισοδυναμία: αριθμούς α και β. 2 2 α β 0 α 0 και β 0 για οποιουδήποτε πραγματικούς β) Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν Α Β γ) Αν α 0, μ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε: δ) Αν η εξίσωση 2 αx βx γ 0, α 0, έχει πραγματικές ρίζες x 1, x 2, τότε το γινόμενο Ρ x1 x2 των ριζών της είναι β Ρ α ε) Οι ευθείες της μορφής y αx β, όπου β σταθερό και α μεταβλητό, διέρχονται ό- λες από το σημείο β του άξονα y y. (M. 10) Α2) Να αποδείξετε ότι α β α β για κάθε α,β. (M. 15) ΘΕΜΑ Β Μια συνάρτηση f ορίζεται ως εξής: «Σκέψου έναν φυσικό αριθμό, αφαίρεσε από το 1 τον αριθμό αυτό, πολλαπλασίασε τη διαφορά με το 4 και στο γινόμενο πρόσθεσε το τετράγωνο του αρχικού αριθμού». B1) Να βρείτε τον τύπο f(x) της συνάρτησης f και στη συνέχεια να τον εκφράσετε σε μορφή τέλειου τετραγώνου. (Μ. 9) B2) Να βρείτε τις τιμές f(0) και f(102) (Μ. 8) B3) Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει f(x) 900 (Μ. 8) α μ ν μ α ν 17

20 ΘΕΜΑ Γ Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f και g, που είναι ορισμένες στο. Γ1) Να λύσετε γραφικά την εξίσωση f(x) 3 Μ. 8) Γ2) Να λύσετε γραφικά την ανίσωση f(x) g(x) (M. 8) Γ3) Αν οι τύποι των συναρτήσεων f και g που φαίνονται στο διπλανό 2 x 2x 3 σχήμα είναι f(x) και 4 2 g(x) x 7x 7, να επαληθεύεστε αλγεβρικά τα συμπεράσματα των δύο προηγουμένων ερωτημάτων. (Μ. 9) ΘΕΜΑ Δ Σε ένα λούνα πάρκ υπάρχει ο τροχός της τύχης που έχει έξι ίσους κυκλικούς τομείς. Οι κυκλικοί τομείς είναι αριθμημένοι στη σειρά από το 1 έως το 6 και ο τροχός είναι αμερόληπτος. Η συμμετοχή το παιχνίδι είναι 2 για κάθε γύρο του τροχού. Αν σε μια προσπάθεια έρθει περιττός αριθμός τότε ο παίκτης χάνει, αν έρθει 2 ή 4 τότε εισπράττει 3 ενώ αν έρθει 6 τότε εισπράττει 4. Δ1) Να γράψετε σε μορφή συνόλου με αναγραφή των στοιχείων το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και τα ενδεχόμενα: Α: σε μια προσπάθεια ο παίκτης χάνει Β: σε μια προσπάθεια ο παίκτης εισπράττει 3 Γ: σε μια προσπάθεια ο παίκτης εισπράττει 4 (Μ. 8) Δ2) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ(Γ) των παραπάνω ενδεχομένων. (Μ. 9) Δ3) Να βρείτε πόσα χρήματα αναμένεται να εισπράξει ένας παίκτης μετά από τη συμμετοχή του σε 60 προσπάθειες του τροχού της τύχης. Με βάση το παραπάνω συμπέρασμα να εκτιμήσετε αν το παιχνίδι ευνοεί τον παίχτη ή τον ιδιοκτήτη του λούνα πάρκ. (Μ. 8) Να απαντήσετε στη κόλλα σας σε όλα τα θέματα. Διάρκεια εξέτασης δύο (2) ώρες. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΧΧΧΧΧΧΧΧ, ΧΧ Μαΐου 2015 Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές 18

21 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡ. ΓΕΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Α ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΧΧΧΧΧΧΧ ΧΧ ΜΑΪΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α Α1) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Δυο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μια προς μια είναι ίσα. β) Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 4 ορθές. γ) Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες. δ) Σε ένα κύκλο κάθε εγγεγραμμένη γωνία του ισούται με την επίκεντρη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο. ε) Κάθε τετράπλευρο που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο έχει τις απέναντι γωνίες του παραπληρωματικές. (Μ. 10) Α2) Να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. (Μ. 15) ΘΕΜΑ Β Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB AΓ και Μ το μέσο της ΒΓ. Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε δύο σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΑΔ ΑΕ. Να αποδείξετε ότι: Β1) ΒΔ ΓΕ (Μ. 8) Β2) Το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές. (Μ. 9) Β3) Το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μ. 8) 19

22 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Ημικύκλιο με διάμετρο την πλευρά ΒΓ τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ του τριγώνου στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Αν οι ΒΕ και ΓΔ τέμνονται στο Ζ να αποδείξετε ότι: ο Γ1) ΒΕΓ ˆ ΒΔΓ ˆ 90 (Μ. 9) Γ2) ΒΓ ΕΔ (Μ. 8) 2 Γ3) Το τετράπλευρο ΑΔΖΕ είναι εγγράψιμο. (Μ. 8) ΘΕΜΑ Δ Σε κύκλο (Ο,ρ) φέρνουμε τη διάμετρο ΑΒ και μια ο χορδή ΑΓ έτσι ώστε ΒΑΓ ˆ 30. Η εφαπτομένη του κύκλου στο Γ τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Δ. Να αποδείξετε ότι: Δ1) ΒΓΔ ˆ 30 ο (Μ. 9) Δ2) Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισοσκελές. (Μ. 8) Δ3) Ο κύκλος με διάμετρο ΓΔ διέρχεται από το μέσο του ΟΒ. (Μ. 8) Να απαντήσετε στη κόλλα σας σε όλα τα θέματα. Διάρκεια εξέτασης δύο (2) ώρες. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΧΧΧΧΧΧΧΧ, ΧΧ Μαΐου 2015 Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές 20

23 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡ. ΓΕΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΧΧΧΧΧΧΧ ΧΧ ΜΑΪΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α Α1) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π. β) Αν η πολυωνυμική εξίσωση ν ν 1 ν ν α x α x α x α 0 με ακέραιους συντελεστές έχει ρίζα τον ακέραιο ρ 0, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του όρου α ν γ) Η συνάρτηση f(x) x α με 0 α 1 είναι γνήσια αύξουσα στο. δ) Αν α 0 με α 1, τότε για οποιαδήποτε θ 1,θ2 0 ισχύει logα θ1 logα θ2 log α(θ1 θ 2) x ε) Για κάθε θ 0 ισχύει η ισοδυναμία lnθ x e θ (Μ. 10) Α2) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x ρ είναι ΘΕΜΑ Β ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x Δίνεται το σύστημα x ημθ y συνθ 0 x συνθ y ημθ 1 ρ, δηλαδή υ Ρ(ρ). (Μ. 15) όπου θ. Β1) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε θ. (Μ. 9) Β2) Να βρείτε τη μοναδική λύση x 0,y 0 του συστήματος συναρτήσει του θ. (Μ. 9) Β3) Να βρείτε τις τιμές του θ ώστε για την παραπάνω μοναδική λύση x 0,y 0 του συστήματος να ισχύει x0 y0 (Μ. 7) 21

24 ΘΕΜΑ Γ Δίνετε το πολυώνυμο P(x) x x α x 2α 1 με α. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το x 1 είναι 0 τότε: Γ1) Να αποδείξετε ότι α 1 (Μ. 9) Γ2) Να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) 0 (Μ. 9) Γ3) Να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x. (Μ. 7) ΘΕΜΑ Δ lnx 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) lnx 1 Δ1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f και το σημείο τομής K της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x'x. (Μ. 9) Δ2) Να λύσετε την εξίσωση 1 f(x) f x για κάθε x 0 με x e και 1 x. (Μ. 9) e Δ3) Να υπολογίσετε το γινόμενο Π f(e ) f(e ) f(e ) f(e ) f(e ) (Μ. 7) Να απαντήσετε στη κόλλα σας σε όλα τα θέματα. Διάρκεια εξέτασης δύο (2) ώρες. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΧΧΧΧΧΧΧΧ, ΧΧ Μαΐου 2015 Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές 22

25 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡ. ΓΕΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΧΧΧΧΧΧΧ ΧΧ ΜΑΪΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α Α1) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η ισοδυναμία: α β γ, αν και μόνο αν Α 1L β) Αν δυο χορδές ΑΒ, ΓΔ ενός κύκλου Ο,R ή οι προεκτάσεις τους τέμνονται σε ένα σημείο Ρ, τότε ισχύει: PA ΡΒ ΡΓ ΡΔ. γ) Αν δυο τρίγωνα έχουν ίσες βάσεις τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο των αντίστοιχων υψών τους. δ) Ένα κυρτό πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες είναι πάντοτε κανονικό. ε) Σε κύκλο Ο,R ένα τόξο μ έχει μήκος πrμ (Μ. 10) 360 Α2) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι Ε τρ όπου τ είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου και ρ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του. (Μ. 15) ΘΕΜΑ Β Δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A 90 και το ύψος του ΑΔ. Αν είναι AB 60 και AΓ 80 τότε: Β1) Να υπολογίσετε το μήκος της υποτείνουσας ΒΓ. (Μ. 9) Β2) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΒΔ και ΔΓ. (Μ. 8) Β3) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους ΑΔ. (Μ. 8) 23

26 ΘΕΜΑ Γ Δίνετε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 5, AΓ 8, A 60 και η διάμεσός του ΑΜ. Γ1) Να αποδείξετε ότι BΓ 7 και 129 ΑM (Μ. 9) 2 Γ2) Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι (ABΓ) 10 3 τ.μ. (Μ. 8) Γ3) Να υπολογίσετε την ακτίνα R του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓ. (Μ. 8) ΘΕΜΑ Δ Σε κύκλο Ο,R με R 4 3 παίρνουμε τα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ έτσι ώστε AB R και BΓ R 3. Με διάμετρο την ΒΓ γράφουμε ημικύκλιο που τέμνει την ΑΓ στο Δ. Δ1) Να αποδείξετε ότι η ΑΓ είναι διάμετρος του κύκλου Ο,R (Μ. 9) Δ2) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ημικυκλίου με διάμετρο τη ΒΓ (Μ. 9) Δ3) Να υπολογίσετε τo εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ΑΒΔ. (Μ. 7) Να απαντήσετε στη κόλλα σας σε όλα τα θέματα. Διάρκεια εξέτασης δύο (2) ώρες. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΧΧΧΧΧΧΧΧ, ΧΧ Μαΐου 2015 Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές 24

27 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΧΧΧΧΧΧΧΧΧ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΧΧΧΧΧΧΧ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘ. ΟΜ. ΠΡΟΣ. Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡ. ΓΕΛ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜ. ΠΡΟΣ. ΘΕΤ. ΣΠΟΥΔΩΝ ΧΧΧΧΧΧΧ ΧΧ ΜΑΪΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α Α1) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν α β τότε α β 1 για οποιαδήποτε διανύσματα α και β. β) Για μια ευθεία ε y'y που διέρχεται από το σημείο A(x 0,y 0) και έχει εξίσωση x x0 δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. 1 γ) Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι (ΑΒΓ) det(αβ,αγ) 2 δ) Η εφαπτομένη του κύκλου xx1 yy1 ρ ε) Η εφαπτομένη της παραβολής yy1 p(x x 1) x y ρ στο σημείο του Α(x 1,y 1) έχει εξίσωση 2 y 2px στο σημείο της Α(x 1,y 1) έχει εξίσωση (Μ. 10) Α2) Αν α (x 1,y 1) και β (x 2,y 2) είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που x1x2 y1y2 σχηματίζουν γωνία θ, να αποδείξετε ότι συνθ (Μ. 15) x y x y ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση παραμέτρου λ ώστε η εξίσωση: (λ 4)x (λ 2λ)y λ 3λ 2 0 όπου λ. Να βρεθούν οι τιμές της Β1) Να παριστάνει ευθεία. (Μ. 9) Β2) Να παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα y'y. (Μ. 8) Β3) Να παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. (Μ. 8) 25

28 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ με ΟΑ 3, ΟΒ 4 και ˆ π ΑΟΒ. 3 Γ1) Να αποδείξετε ότι ΟΑ ΟΒ 6 (Μ. 9) Γ2) Να βρείτε το ΑΒ (Μ. 9) Γ3) Αν Μ είναι σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε ΑΜ ΑΒ ΒΜ 12 να αποδείξετε ότι ΒΜ 1 (Μ. 7) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση 2 2 x y 8λx 6λy, όπου λ είναι πραγματικός αριθμός με λ 0. Δ1) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ 0 η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο ο οποίος διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο(0,0). (Μ. 9) Δ2) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του λ, με λ 0 τα κέντρα των παραπάνω κύκλων ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. (Μ. 9) Δ3) Να βρείτε το λ ώστε η ευθεία με εξίσωση x y 2015 να τέμνει τον παραπάνω κύκλο σε δύο σημεία Α, Β για τα οποία OA OΒ 0 όπου Ο η αρχή των αξόνων. (Μ. 7) Να απαντήσετε στη κόλλα σας σε όλα τα θέματα. Διάρκεια εξέτασης δύο (2) ώρες. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΧΧΧΧΧΧΧΧ, ΧΧ Μαΐου 2015 Ο Διευθυντής Οι Εισηγητές 26

29 Δημοσιοποίηση των θεμάτων των ενδοσχολικών εξετάσεων. Σύμφωνα με την 62602/Δ2/ εγκύκλιο του Υ.ΠΟ.ΠΑΙ.Θ. τα θέματα των ενδοσχολικών εξετάσεων των μαθητών Γυμνασίων και Λυκείων δεν εκτίθενται σε δημοσιότητα. Τα θέματα αυτά εξυπηρετούν, αποκλειστικώς και μόνο, την εκπαιδευτική διαδικασία. Υπό την έννοια αυτή, πρόσβαση στα θέματα των εξετάσεων έχουν οι Εκπαιδευτικοί που τα συντάσσουν, ο Διευθυντής της σχολικής μονάδας, ο Διευθυντής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης (σε περίπτωση αναβαθμολόγησης) και ο Σχολικός Σύμβουλος της ειδικότητας βάση των αρμοδιοτήτων του όπως αυτές προκύπτουν από το καθηκοντολόγιο. Για τους Σχολικούς Συμβούλους ΦΕΚ 1340/τ.β / Άρθρο 9 - Παρ. 2. θ. 27

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 13 Μαΐου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 339. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 13 Μαΐου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 339. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14 Βαθμός Ασφαλείας: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ-ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΡΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων εξετάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννινα: 18 Μαΐου 2015 Αριθμ. Πρωτ: 274

Ιωάννινα: 18 Μαΐου 2015 Αριθμ. Πρωτ: 274 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ, ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ------ ΠΕΡ/KH Δ/ΝΣΗ Α/ΘΜΙΑΣ & Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΗΠΕΙΡΟΥ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛ.ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ----- Ταχ. Δ/νση: Λουκή

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΓΕΝΙΚΑ Βασικός στόχος είναι η ανατροφοδότηση της εκπαιδευτικής διαδικασίας και ο εντοπισμός των μαθησιακών ελλείψεων με σκοπό τη βελτίωση της παρεχόμενης σχολικής εκπαίδευσης. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Φυσική Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΤΡΑΠΕΖΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ: ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Β. ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΠΕ03 ΡΟΔΟΣ, ΣΕΠΤΕΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ

ΜΕΛΕΤΗ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΚΕΕΠΕ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ.2.Α ΤΟΜΕΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ «ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ» Δημητρίου Γ. Κούρτη ΜΕΛΕΤΗ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΙΛΟΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα