Γιωργος Λαλας Α.Μ: 331/ Το Θεωρηµα Dvoretzky. Πτυχιακη Εργασια. AΠανεπιστήµιο Αιγαίου, Τµήµα Στατιστικής

Transcript

1 Γιωργος Λαλας Α.Μ: 331/ Το Θεωρηµα Dvoretzky Πτυχιακη Εργασια AΠανεπιστήµιο Αιγαίου, Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών - Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών Σάµος Ιουνιος 2011

2

3 Εισηγητής: Ταχτσής Ελευθέριος Επιτροπή Τσολοµύτης Αντώνιος Ταχτσής Ελευθέριος Καβαλλάρης Νικόλαος

4

5 Στους γονείς µου

6

7 Περιεχόµενα Πρόλογος ix I Η Γεωµετρία των Κυρτών Σωµάτων 1 1 Η Γεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα Εισαγωγικά και συµβολισµοί 3 1.1α Χώροι µε νόρµα 3 1.1β Κυρτά σύνολα, Γραµµικοί Τελεστές και Γραµµικά Συναρτησοειδή 7 1.1γ υϊκοι Χώροι και υϊκοι Τελεστές Χώροι µε εσωερικό γινόµενο α Ο υϊκος Χώρος ενός χώρου Hilbert Ογκος Μοναδιαίας Μπάλας και Ελλειψοειδή Η Απόσταση Banach Mazur 20 II Σχεδόν Ευκλείδειες Τοµές Κυρτών Σωµάτων 23 2 Γκαουσιανές Τυχαίες Μεταβλητές και το µέτρο Haar Τυχαίες µεταβλητές και µέτρο Gauss Το Γκαουσιανό Μέτρο και δράση της Ορθογώνιας Οµάδας Το µέτρο Haar 30 3 Το Θεώρηµα Dvoretzky Το ϑεώρηµα Dvoretzky α Το ϕαινόµενο συγκέντρωσης µέτρου και το ϑεώρηµα Dvoretzky Η απόδειξη του ϑεωρήµατος Dvoretzky 39 Βιβλιογραφία 49

8

9 Πρόλογος Σε αυτό το σηµείο, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω ϑερµά τον επιβλέποντα καθηγητή µου, κύριο Αντώνη Τσολοµύτη για το χρόνο και την ενέργεια που αφιέρωσε στην εργασία αυτή, όπως επίσης και για τις γνώσεις και τον τρόπο µε τον οποίο µου τις µετέδωσε. Η συνεισφορά του για την εκπόνηση της εργασίας αυτής, ήταν εξαιρετικά σηµαντική για µένα. Οσα µε δίδαξε όλο αυτό το χρονικό διάστηµα, αποτελούν εφόδια για την υπόλοιπη Ϲωή µου σε κάθε επίπεδο. Θα ήταν παράλειψη µου να µην ευχαριστήσω τον κύριο Ελευθέριο Ταχτσή, για την καταλυτική του προσφορά ως άνθρωπος και ως καθηγητής κατά τη διαρκεια της ϕοίτησης µου στο τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών του Παν. Αιγαίου, όπως επίσης και τον κύριο Νικόλαο Καβαλλάρη για την εµπιστοσύνη που µου έδειξε καθώς και για τις χρήσιµες συµβουλές του. Τέλος, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω και πάλι τους τρεις προαναφερθέντες κα- ϑηγητές, για τη συµµετοχή τους στην εξεταστική επιτροπή της πτυχιακής µου εργασίας. Γ. Λάλας, Σάµος 2011.

10

11 Μέρος I Η Γεωµετρία των Κυρτών Σωµάτων

12

13 Κεφάλαιο 1 Η Γεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα 1.1 Εισαγωγικά και συµβολισµοί Στο κεφάλαιο αυτό δίνουµε συνοπτικά τα ϐασικά εργαλεία για την µελέτη των γραµµικών χώρων µε νόρµα και πιο συγκεκριµένα του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου R n, δηλαδή του R n εφοδιασµένου µε την ευκλείδεια νόρµα 2. Επίσης δίνονται οι συµβολισµοί και οι έννοιες των κυρτών σωµάτων και κάποια ϐασικά α- ποτελέσµατα που αφορούν τον όγκο της µοναδιαίας µπάλας και των ελλειψοειδών. Στο τέλος του κεφαλαίου αυτού παρουσιάζουµε την απόσταση Banach Mazur η οποία χρησιµοποίειται από το ϑέωρηµα Dvoretzky που ϑα µελετήσουµε στο τελευταίο κεφάλαιο. 1.1α Χώροι µε νόρµα Ορισµός Ενα µη κενό σύνολο X λέγεται γραµµικός χώρος (ή διανυσµατικός χώρος) πάνω από το R (ή το C) αν είναι εφοδιασµένο µε δύο πράξεις + : X X X (πρόσθεση) και : R X X (πολλαπλασιασµός) που ικανοποιούν τα εξής : (1) Αξιώµατα της πρόσθεσης : για κάθε x, y, z X, (i) x+ y=y+x (ii) x+ (y+z)=(x+ y)+z (iii) Υπάρχει ένα στοιχείο 0 X ώστε, για κάθε x X, 0+x= x (iv) Για κάθε x X υπάρχει (µοναδικό) x X ώστε x+ ( x)=0 (2) Αξιώµατα του πολλαπλασιασµού : για κάθε x, y X και λ, µ R (ή C), (i) λ(µx)=(λµ)x

14 4 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα (ii) 1x= x (iii) λ(x+ y)=λx+ λy (iv) (λ+µ)x= λx+ µx Τα στοιχεία του X τα ονοµάζουµε σηµεία ή διανύσµατα ενώ τα λ, µ ϐαθµωτά (scalars) στο R ή στο C αντίστοιχα. Αν τα ϐαθµωτά επιλέγονται από το R τότε ο Χ ονοµάζεται πραγµατικός γραµµικός χώρος ενώ αν επιλέγονται από το C τότε ο Χ ονοµάζεται µιγαδικός γραµµικός χώρος (γενικότερα µπορούµε να ϑεωρήσουµε γραµµικούς χώρους σε αυθαίρετα σώµατα και όχι µόνο στα R και C). Άµεσες συνέπειες των αξιωµάτων του γραµµικού χώρου είναι, για παράδειγµα, οι 0x= 0, λ0=0, x= ( 1)x. Σε αυτήν την πτυχιακή ϑα χρησιµοποιούµε µόνο πραγµατικούς διανυσµατικούς χώρους. Ορισµός Αν Χ είναι γραµµικός χώρος και Υ ένα µη κενό υποσύνολο του Χ, το Υ λέγεται (γραµµικός) υπόχωρος του Χ αν για κάθε x, y Y και λ, µ R έχουµε λx+ µy Y. Ο n-διάστατος Ευκλείδειος χώρος R n αποτελείται από όλες τις n-άδες x = (x 1,..., x n ) πραγµατικών αριθµών. Ο R n είναι γραµµικός χώρος µε τις πράξεις του πολλαπλασιασµού και της πρόσθεσης που ορίσαµε παραπάνω. Πιο συγκεκριµένα, µπορούµε να προσθέτουµε σηµεία : Αν x= (x 1,..., x n ) και y=(y 1,..., y n ) τότε ορίζουµε x+ y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Μπορούµε να πολλαπλασιάζουµε ένα σηµείο µε ένα πραγµατικό αριθµό: Αν x= (x 1,..., x n ) και λ Rτότε ορίζουµε λx := (λx 1,..., λx n ). Ορισµός Αν Α και Β δύο µη κενά υποσύνολα του R n τότε το άθροισµα των Α και Β κατα Minkowski είναι το σύνολο A+B={a+ b : a A, b B}. Στην ειδική περίπτωση, A={x}, γράφουµε x+ B αντί του{x}+b (το x+ B είναι η µεταφορά του Β κατά x). Επίσης, για κάθε µη κενό A R n και για κάθε t 0 ορίζουµε ta={ta : a A} Ορισµός Εστω ότι Χ είναι ένας γραµµικός χώρος. Μια συνάρτηση : X R λέγεται νόρµα αν ικανοποιεί τα εξής: Για κάθε x, y X και λ R (1) x 0 (2) x =0 x= 0

15 1.1 Εισαγωγικά και συµβολισµοί 5 (3) λx = λ x (4) x+ y x + y Η νόρµα του διανύσµατος x µετράει την απόσταση του x από το 0 και όπως ϕαίνεται από τον ορισµό της νόρµας Ϲητάµε να έχει τις ιδιότητες που µια «απόσταση» πρέπει να έχει. Ορισµός Ενας γραµµικός χώρος Χ εφοδιασµένος µε µια νόρµα ονοµά- Ϲεται γραµµικός χώρος µε νόρµα και τον συµβολίζουµε µε (X, ). Στη συγκεκριµένη εργασία συµβολίζουµε µε l n p τον χώρο Rn εφοδιασµένο µε την νόρµα x =( n x i p ) 1/p. Ετσι, µε l n 2 εννοούµε τον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, δηλαδή τον R n εφοδιασµένο µε τη νόρµα x 2 = ( n x i 2 ) 1/2. Κάθε νόρµα επάγει µια µετρική στον Χ : για κάθε x, y X, ορίζουµε d(x, y)= x y. Πρόταση Η d(x, y)= x y είναι µετρική στον γραµµικό χώρο Χ. Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της νόρµας που είδαµε παραπάνω (Ορισµός 1.1.4) έχουµε : Καταρχάς d(x, y)= x y 0λόγω τις (1). Επίσης d(x, y)=0 x y =0 x y=0 x= y από την (2). Ακόµη d(y, x)= y x = ( 1)(x y) = 1 x y = x y =d(x, y) λόγω της (3). Για την τριγωνική ανισότητα έχουµε: d(x, y)= x y = (x z)+(z y) x z + z y =d(x, z)+d(z, y) µε x, y, z X λόγω της (4). Λέµε ότι η ακολουθία (x n ) n N ενός χώρου µε νόρµα Χ συγκλίνει σε ένα σηµείο x X αν και µόνον αν x n x 0. Η ανοικτή µπάλα κέντρου x 0 και ακτίνας r > 0 ορίζουµε να είναι το σύνολο D(x 0, r)={x : x x 0 < r}. Ενα σύνολο O X λέγεται ανοικτό αν και µόνον αν για κάθε x O, υπάρχει r > 0 ώστε D(x, r) O. Ενα σύνολο F X λέγεται κλειστό εάν το X\ F είναι ανοικτό. Ενας µετρικός χώρος λέγεται πλήρης εαν κάθε ακολουθία Cauchy του χώρου συγκλίνει σε σηµείο του χώρου. Ορισµός Ενα γραµµικός χώρος µε νόρµα λέγεται χώρος Banach εάν είναι πλήρης (ως προς την µετρική d που επάγεται από την νόρµα). Ορισµός ύο νόρµες 1 και 2 σε ένα γραµµικό χώρο Χ λέγονται ισοδύναµες αν υπάρχουν σταθερές α και ϑετικές, ώστε α x 1 x 2 x 1 x X. Παρατήρηση Αν οι νόρµες 1 και 2 είναι ισοδύναµες τότε παράγουν την ίδια τοπολογία στο χώρο Χ.

16 6 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα Λήµµα Εστω ότι Χ είναι ένας γραµµικός χώρος πεπερασµένης διάστασης. Αν και είναι δύο νόρµες στον Χ τότε αυτές είναι ισοδύναµες. Απόδειξη. Εστω ότι η διάσταση του Χ είναι n και έστω ότι{u 1,..., u n } είναι µια ϐάση του Χ. Εάν x X υπάρχουν σταθερές c 1,..., c n ώστε x= c 1 u 1 + +c n u n. Η έκφραση x 1 = c 1 + c c n είναι µια νόρµα στον Χ. Θα αποδείξουµε ότι η και 1 είναι ισοδύναµες. Πράγµατι : άρα αν = max k=1,...,n u k τότε x = c 1 u 1 + +c n u n. c 1 u c n u n = c 1 u c n u n ( max k=1,...,n u k )( c c n ) (1.1) x x 1 Αποµένει να δείξουµε ότι υπάρχει a > 0 ώστε (1.2) a x 1 x Αν x 1 = 0 τότε x= 0 οπότε η (1.2) ισχύει. Εστω τώρα ότι x 1 0. Αρκεί να δείξουµε ότι (1.3) a x x µε x 1 = 1 Ας υποθέσουµε ότι η (1.3) δεν ισχύει τότε για κάθε n N υπάρχει x n X µε x n 1 = 1 και x n < 1/n. Επειδή x k = c k,1 + + c k,n =1ηακολουθία (c k,1 ) είναι ϕραγµένη c k,1 1 k=1, 2,..., άρα από Bolzano Weierstrass έπεται ότι υπάρχει υποακολουθία (c σ1 (k),1) της (c k,1 ) µε c σ1 (k),1 c 1 R. Τότε όµως έχουµε x σ1 (k) = c σ1 (k),1 + c σ1 (k),2+ + c σ1 (k),n =1. Οπότε η ακολουθία (c σ1 (k),2) είναι ϕραγµένη c σ1 (k),2 1άρα όπως πριν έχει συγκλίνουσα υποακολουθία έστω (c σ2 (k),2) µε c σ2 (k),2 c 2. Επαναλαµβάνοντας αυτό το εγχείρηµα n ϕορές αποδεικνύουµε την ύπαρξει µιας ακολουθίας (x σ(k) ) ώστε c σ(k),i c i για i = 1,..., n. Εστω ότι x= c 1 u 1 + +c n u n. τότε x 1 = c 1 + c c n και x σ(k) x = (c σ(k),1 c 1 )u 1 + +(c σ(k),n c n ) c σ(k),i c i u i c σ(k),i c i 0 καθώς k Εποµένως xσ(k) x xσ(k) x 0 αν k δηλαδή x σ(k) x και επειδή x σ(k) 0 (υπενθυµίζουµε ότι υποθέσαµε x k < 1/k) έπεται ότι x =0δηλαδή x= 0 αλλά x 1 = 1. Άτοπο, άρα υπάρχει a > 0 ώστε a x 1 x.

17 1.1 Εισαγωγικά και συµβολισµοί 7 Άρα οι νόρµες και 1 είναι ισοδύναµες και επειδή οι νόρµα ήταν τυχαία όλες είναι ισοδύναµες µε την 1 και άρα µεταξύ τους. 1.1β Κυρτά σύνολα, Γραµµικοί Τελεστές και Γραµµικά Συναρτησοειδή Ορισµός Ενα υποσύνολο Κ ενός γραµµικού χώρου Χ λέγεται κυρτό εάν για κάθε x, y X και για κάθε t [0, 1] το σηµείο tx+ (1 t)y ανήκει στο Κ. Ενα σηµείο της µορφής tx+ (1 t)y λέγεται κυρτός συνδυασµός των x, y. Ο παραπάνω ορισµός µάς λέει µε άλλα λόγια, ότι ένα σύνολο είναι κυρτό αν για κάθε δύο σηµεία του, περιέχει και το ευθύγραµµο τµήµα που τα συνδέει. Παρατήρηση Η κυρτότητα διατηρείται µέσω γραµµικών µετασχηµατισµών. Πράγµατι έστω Χ και Ζ γραµµικοί χώροι, K X κυρτό και T : X Z ένας γραµµικός µετασχηµατισµός. είχνουµε ότι T(K) είναι κυρτό. Αν u, v T(K) υπάρχουν x, y K έτσι ώστε u= T(x) και v=t(y). Ετσι αν t [0, 1] έχουµε tu+ (1 t)v=tt(x)+(1 t)t(y)=t(tx)+t((1 t)y)=t(tx+ (1 t)y) και επειδή το Κ είναι κυρτό, tx + (1 t)y K οπότε ή tu+ (1 t)v T(K). T(tx+ (1 t)y) T(K) Ορισµός Εστω Ε ένα τυχαίο υποσύνολο ενός γραµµικού χώρου Χ. Η κυρτή ϑήκη του Ε ορίζεται να είναι η τοµή όλων των κυρτών συνόλων που περιέχουν το Ε. Συµβολίζεται µε ˆΕ. Ισοδύναµα κυρτή ϑήκη ορίζουµε να είναι το µικρότερο κυρτό σύνολο που περιέχει το Ε. Ορισµός Κυρτό Σώµα στονr n είναι ένα κυρτό και συµπαγές σύνολο Κ που έχει µη κενό εσωτερικό. Το Κ λέγεται συµµετρικό ως προς το 0, αν x K x K. Συµβολίζουµε µεk={k R n : K κυρτό σώµα} το σύνολο των κυρτών σωµάτων. Στην συνέχεια δίνουµε συνοπτικά τους ορισµούς και κάποιες από τις ιδιότητες των γραµµικών τελεστών και των γραµµικών συναρτησοειδών. Ορισµός Εστω Χ και Y δύο χώροι µε νόρµα. Γραµµικός Τελεστής από τον Χ στον Υ είναι µια απεικόνιση T : X Y που ικανοποιεί την T(λx+ (1 λ)y)=λt(x)+(1 λ)t(y) για κάθε x, y X και λ R. Συνήθως γράφουµε Tx αντί T(x). Το σύνολο N(T)={x X : Tx = 0} το ονοµάζουµε πυρήνα του τελεστή και το D(T)={Tx : x X} το λέµε εικόνα του τελεστή. Οι χώροι Χ και Υ έχουν τοπολογία που επάγεται από τις νόρµες τους. Μας ενδιαφέρει να δούµε πότε ένας γραµµικός τελεστής είναι συνεχής και τι ορίζουµε σαν νόρµα τελεστή. Ξεκινούµε µε τον ορισµό του ϕραγµένου τελεστή.

18 8 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα Ορισµός (1) Εστω Χ και Υ δύο χώροι µε νόρµα. Ενας γραµµικός τελεστής T : X Y λέγεται ϕραγµένος αν υπάρχει σταθερά c > 0 τέτοια ώστε Tx Y c x X για κάθε x X. (2) Αν ο Τ είναι ϕραγµένος, ορίζουµε τη νόρµα T του τελεστή Τ σαν την µικρότερη σταθερά για την οποία η (1) ισχύει για κάθε x X. Ετσι ϑα είναι T =inf{c 0 : Tx Y c x X }. Από εδώ και πέρα ϑα γράφουµε απλά αντί των X και Y χωρίς να δηµιουργείται σύγχυση. Η πρόταση που ακολουθεί µας δίνει έναν χρήσιµο τρόπο ορισµού της νόρµας του τελεστή. Πρόταση Η νόρµα ενός ϕραγµένου τελεστή T : X Y δίνεται από την σχέση: Tx T =sup x 0 x Απόδειξη. Από την σχέση Tx T x έχουµε ότι : Tx x T x 0 Άρα Tx Εστω =sup x Τότε x 0 Tx sup x 0 x T. Tx x Tx x x 0 Η σχέση αυτή ισχύει και για x= 0. Άρα Tx x x X. Επειδή η T είναι το µικρότερο τέτοιο ϑα είναι T ή Tx Άρα τελικά έπεται ότι T =sup x. x 0 Tx T sup x 0 x Παρατήρηση Το σύνολο όλων των ϕραγµένων γραµµικών τελεστών είναι διανυσµατικός χώρος, και ϑα τον συµβολίζουµε µε L(X, Y ) Θεώρηµα Εάν Χ είναι ένας χώρος µε νόρµα και Υ είναι ένας πλήρης χώρος µε νόρµα τότε ο γραµµικός χώρος είναι χώρος Banach. L(X, Y ) ={T : X Y, όπου Τ ϕραγµένος γραµµικός τελεστής}

19 1.1 Εισαγωγικά και συµβολισµοί 9 Απόδειξη. Εστω (T n ) n N µια ακολουθία Cauchy στον L(X, Y ). Τότε για κάθε ϸ > 0, υπάρχει n 0 N ώστε: T n T m < ϸ n, m n 0. Θα δείξουµε ότι υπάρχει ένα στοιχείο T L(X, Y ), ώστε T n T. Παρατηρούµε ότι για κάθε x X και n, m n 0 ισχύει ότι: T n (x) T m (x) Y = (T n T m )(x) Y T n T m (x) < ϸ x. Εποµένως, για οποιοδήποτε x X η ακολουθία (T n (x)) n N είναι ακολουθία Cauchy στον Υ. Οµως ο Υ είναι πλήρης από την υπόθεση, άρα έχουµε ότι για κάθε x X υπάρχει T(x) Y µε T(x)= lim n T n (x). Ο τελεστής Τ είναι γραµµικός. Πράγµατι, αν x 1, x 2 X και λ, µ R έχουµε T(λx 1 + µx 2 ) = lim T n (λx 1 + µx 2 ) n = lim (λt n (x 1 )+µt n (x 2 )) n = λ lim T n (x 1 )+µ lim T n (x 2 ) n n = λt(x 1 )+µt(x 2 ) Επίσης είναι ϕραγµένος διότι T(x) Y sup T n (x) Y n N x X sup T n n N ισοδύναµα T sup T n < n N καθώς η ακολουθία ( T n ) n N είναι Cauchy στον R και άρα ϕραγµένη. Άρα T L(X, Y ). Τώρα µένει να αποδείξουµε ότι T n T. Πράγµατι, εφόσον η (T n ) n N είναι ακολουθία Cauchy έχουµε ότι ϸ > 0 n 0 N : T n T m < ϸ n, m n 0 από αυτό όµως έπεται ότι T n (x) T m (x) < ϸ, για κάθε x X µε x 1 και n, m n 0. Παίρνοντας το m προκύπτει ότι T n (x) T(x) ϸ για κάθε x X µε x 1και n n 0. Εποµένως, από την παραπάνω ανισότητα έχουµε ότι T n T = sup T n (x) T(x) ϸ x 1 για κάθε n n 0. Άρα T n T. Η πρόταση που ακολουθεί περιγράφει τους γραµµικούς τελεστές που ορίζονται σε χώρους πεπερασµένης διάστασης.

20 10 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα Πρόταση Εστω ότι Χ και Υ χώροι µε νόρµα, και dimx= dimy= n <, και T : X Y γραµµικός τελεστής. Τότε ο Τ είναι ϕραγµένος. Απόδειξη. Εστω ότι η διάσταση του Χ είναι n και έστω ότι{u 1,..., u n } είναι µια ϐάση του Χ. Αν x X τότε x= c 1 u c n u n, οπότε Άρα: T(x)=T(c 1 u 1 + +c n u n )=c 1 T(u 1 )+ + c n T(u n ). T(x) Y = c 1 T(u 1 )+ +c n T(u n ) c 1 T(u 1 ) + + c n T(u n ) ( max k=1,...,n T(u k) )( c c n ) = x 1. όπου = max k=1,...,n T(u k) ) και x 1 = c c n. Επειδή ο Χ είναι πεπερασµένης διάστασης οι νόρµες και 1 είναι ισοδύναµες. Άρα υπάρχουν σταθερές δ 1 και δ 2 ώστε: δ 1 x 1 x δ 2 x 1. Τότε όµως έχουµε ότι: Tx x 1 δ 1 x άρα ο Τ είναι ϕραγµένος και T δ 1. Ορισµός Ενας γραµµικός τελεστής T : X Y λέγεται συνεχής αν για κάθε x 0 X και ϸ > 0, υπάρχει δ= δ(ϸ, x 0 ) ώστε: x x 0 < δ Tx Tx 0 < ϸ Ισοδύναµα έχουµε τον ακόλουθο ορισµό για την συνέχεια του τελεστή ο οποίος δίνει µια «τοπολογική εικόνα» Ορισµός Ενας τελεστής Τ λέγεται συνεχής σε ένα σηµείο x o D εάν, δεδοµένης µιας περιοχής 1 V του σηµείου y 0 = Tx 0, υπάρχει περιοχή U του σηµείου x 0 ώστε Tx V για όλα τα x U D. Λέµε ότι ο τελεστής Τ είναι συνεχής εάν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο x o D. Πρόταση Εστω ότι T : X Y ένας γραµµικός τελεστής. (1) Εαν ο Τ είναι ϕραγµένος, τότε είναι οµοιόµορφα συνεχής. (2) Εαν ο Τ είναι συνεχής σε ένα σηµείο, τότε είναι ϕραγµένος, άρα από το (1) συνεχής παντού. 1 Σε ένα µετρικό χώρο Χ, έστω ένα U X και έστω α U, λέµε ότι το σύνολο U είναι περιοχή του σηµείου α εάν υπάρχει ϸ > 0 ώστε D(α, ϸ) U, όπου D(α, ϸ) ανοικτή µπάλα κέντρου α και ακτίνας ϸ.

21 1.1 Εισαγωγικά και συµβολισµοί 11 Απόδειξη. (1) Εαν T =0από την Tx T x Tx =0για κάθε x X, οπότε T= 0 που είναι συνεχής. Εστω λοιπόν ότι T 0και έστω ϸ > 0. Τότε από την σχέση : Tx Ty = T(x y) T x y έπεται ότι εάν x y ϸ T = δ τότε Tx Ty < ϸ. (2) Εστω ότι ο Τ είναι συνεχής στο x 0 X και ας υποθέσουµε ότι δεν είναι ϕραγ- µένος. Τότε n N υπάρχει (x n ) n N X ώστε Tx n > n x n. Ορίζουµε την ακολουθία y n = x n x n x n. Τότε y n x 0 = 1 n x n x n = 1 n 0 άρα y n x 0 και εφόσον ο Τ είναι συνεχής έχουµε ότι Ty n Tx 0, δηλαδή Ty n Tx n 0. Οµως ( ) 1 Ty n Tx 0 = T n x n x 1 n = n x n Tx n οπότε Ty n Tx 0 = 1 n x n Tx n > 1 n x n n x n =1 δηλαδή Ty n Tx 0 > 1 το οποίο είναι άτοπο οπότε Τ είναι ϕραγµένος και λόγω της (1) οµοιόµορφα συνεχής. Ορισµός Αν Χ και Ζ είναι δύο χώροι µε νόρµα, ένας γραµµικός τελεστής T L(X, Y ) λέγεται : (1) Ισοµορφισµός: αν είναι 1-1,επί και οι T : X Y, T 1 : Y X είναι ϕραγµένοι τελεστές (2) Ισοµετρία: αν T(x) = x x X (3) Ισοµετρικός Ισοµορφισµός: εάν είναι ισοµορφισµός και ισοµετρία ύο γραµµικοί χώροι µε νόρµα λέγονται ισοµετρικά ισόµορφοι εάν υπάρχει ένας ισοµετρικός ισοµορφισµός µεταξύ τους. Αν οι δύο χώροι είναι ισοµετρικά ισόµορφοι γράφουµε X Z Οπως είδαµε παραπάνω οι γραµµικοί τελεστές ορίζονται ως απεικονίσεις από έναν γραµµικό χώρο Χ σε έναν γραµµικό χώρο Υ. Συναρτησοειδές είναι ένας γραµµικός τελεστής F : X R. Ο,τι ισχύει για τους γραµµικούς τελεστές ισχύει και για τα γραµµικά συναρτησοειδή. Εποµένως ό,τι δείξαµε προηγουµένως ισχύει και για τα συναρτησοειδή. Θεώρηµα Εστω ότι Χ ένας χώρος µε νόρµα και F : X R ένα γραµµικό συναρτησοειδές. Το F είναι ϕραγµένο αν υπάρχει c > 0 ώστε, για κάθε x X, F(x) c x. Η νόρµα του F είναι η µικρότερη τέτοια σταθερά, και ισούται µε: F(x) F =sup x 0 x

22 12 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα Ορισµός Ενα συναρτησοειδές f ορισµένο σε ένα γραµµικό χώρο Χ λέγεται κυρτό εάν: (1) f (x) 0 x X (2) f (λx)=λf (x) x X και λ 0 (3) f (x+ y) f (x)+f (y) x, y X Παρατήρηση Σε αντίθεση µε την περίπτωση των γραµµικών συναρτησοειδών εδώ δεν υποθέτουµε ότι το f (x) είναι πεπερασµένο x X. Μπορούµε δηλαδή να έχουµε f (x)= για κάποιο x X. Θεώρηµα Εστω ότι f είναι ένα κυρτό συναρτησοειδές ορισµένο σε έναν γραµµικό χώρο Χ και k οποιοσδήποτε ϑετικός αριθµός, τότε το σύνολο E={x : f (x) k} είναι κυρτό. Εάν το f είναι πεπερασµένο τότε το Ε είναι κυρτό σώµα µε εσωτερικό I(E)={x : f (x) < k}. Απόδειξη. Εστω ότι x, y E και a, b 0, µε a+ b=1, τότε f (ax+ by) af (x)+b(fy) k που σηµαίνει ότι Ε είναι κυρτό. Εστω τώρα ότι f είναι πεπερασµένο, και έστω ότι f (x) < k, t > 0, y X. Τότε f (x± ty) f (x)+tf (±y). Εάν f ( y)=f (y)=0, τότε x± ty E για κάθε t. Από την άλλη µεριά εάν κάποιος από τους f ( y), f (y) δεν είναι µηδέν, τότε x ± ty E εάν t < k f (y) max{f (y),f ( y)}. 1.1γ υϊκοι Χώροι και υϊκοι Τελεστές Ορισµός Εστω ότι Χ χώρος µε νόρµα. Ο δυϊκός χώρος του Χ είναι ο γραµµικός χώρος X των ϕραγµένων γραµµικών συναρτησοειδών F : X R. ηλαδή, X = L(X,R) Πρόταση Εαν Χ είναι ένας γραµµικός χώρος µε νόρµα τότε ο X είναι χώρος Banach Απόδειξη. Επειδή ο (R, ) είναι πλήρης χώρος το αποτέλεσµα έπεται άµεσα χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα (1.1.19) και άρα ο X είναι χώρος Banach. Εστω ότι T : X Y είναι ένας ϕραγµένος γραµµικός τελεστής, και έστω ότι φ Y. Η ποσότητα f (x)=φ(t(x)), x X, ορίζει ένα γραµµικό συναρτησοειδές στον Χ. Επιπλέον ισχύει ότι f (x) = φ(t(x)) φ Y T x.

23 1.2 Χώροι µε εσωερικό γινόµενο 13 Άρα το f είναι ϕραγµένο και έτσι έχουµε ότι f X. Σύµφωνα µε τα παραπάνω παρατηρούµε ότι έχουµε µια απεικόνιση T : Y X µε φ f T φ. Η απεικόνιση αυτή είναι γραµµική. Ετσι, για κάθε x X και φ Y έχουµε (T φ)(x) φ(tx). Ο τελεστής T είναι ϕραγµένος και µάλιστα ισχύει Πράγµατι, έχουµε ότι T = T. T = sup T (φ) X φ =1 = sup sup T (φ)(x) φ =1 x =1 = sup sup φ(tx) = sup sup φ(tx) φ =1 x =1 Tx Y = T = sup x =1 Ο τελεστής T καλείται υϊκος Τελεστής του Τ. x =1 φ =1 1.2 Χώροι µε εσωερικό γινόµενο Ορισµός Εάν Χ είναι ένας µιγαδικός γραµµικός χώρος, µια συνάρτηση, : X X C λέγεται εσωτερικό γινόµενο εάν ισχύουν τα παρακάτω: (1) x, x 0για κάθε x X και x, x =0 x= 0 (2) x+ y, z = x, z + y, z για x, y, z X (3) λx, y =λ x, y για x, y X και λ C (4) x, y = y, x για κάθε x, y X, όπου για a C µε ā συµβολίζουµε τον συζυγή του a. Παρατηρούµε ότι αν x, y, z X και λ, µ C έχουµε: x, λy+µz = λy+µz, x = λ y, x +µ z, x = λ x, y + µ x, z Επίσης εάν ο χώρος είναι πραγµατικός αντί της (4) έχουµε την x, y = y, x. Πρόταση Σε ένα γραµµικό χώρο Χ µε εσωτερικό γινόµενο η σχέση ορίζει νόρµα. x = x, x Απόδειξη. Εχουµε x, x 0από τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου, άρα

24 14 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα (1) x = x, x 0 και x = 0 τότε και µόνο τότε αν x, x = 0 δηλαδή x =0 x= 0. (2) Αν λ C, λx = λx, λx = λ λ x, x = λ2 x, x = λ x, x = λ x (3) (1.4) x+ y 2 = x+ y, x+ y = x, x + x, y + y, x + y, y = x 2 ++ x, y + x, y + y 2 = x 2 + 2Re x, y + y 2 x x, y + y 2 x x, x 1/2 y, y 1/2 + y 2 = x x y + y 2 = ( x + y ) 2 απ οπου έπεται ότι x+ y x + y. Η (1.4) έπεται από την ανισότητα Cauchy Schwarz 1 Σε ένα χώρο Χ µε εσωτερικό γινόµενο τη νόρµα που ορίζεται µε την σχέση x = x, x τη λέµε επαγόµενη νόρµα. Πρόταση Εστω Χ ένας χώρος µε εσωτερικό γινόµενο και έστω η επαγώ- µενη νόρµα. Αν (x n ) n N και (y n ) n N είναι ακολουθίες στον Χ µε x n x και y n y τότε x n, y n x, y. (δηλαδή το εσωτερικό γινόµενο είναι συνεχής συνάρτηση) Απόδειξη. Από τις σχέσεις x n x xn x και y n y yn y έχουµε ότι x n x και y n y. Άρα οι ακολουθίες ( x n ) και ( y n ) είναι ϕραγµένες. Άρα υπάρχει M > 0 ώστε x n M και y n M για κάθε n N. Εχουµε : άρα x n, y n x, y. x n, y n x, y = x n, y n x n, y + x n, y x, y x n, y n x n, y + x n, y x, y = x n, y n y + x n x, y n x n y n y + y x n x M y n y + y x n x n 0 Ορισµός Ενας χώρος µε εσωτερικό γινόµενο ο οποίος είναι πλήρης ως προς την νόρµα που ορίζεται µε την σχέση x = x, x 1/2, λέγεται χώρος Hilbert. 1 Ανισότητα Cauchy Schwarz: Σε ένα χώρο Χ µε εσωτερικό γινόµενο ισχύει η ανισότητα x, y 2 x, x y, y

25 1.2 Χώροι µε εσωερικό γινόµενο 15 Ισοδύναµα ένας χώρος Hilbert είναι ένας χώρος Banach του οποίου η νόρµα επάγεται από εσωτερικό γινόµενο. Ενας πραγµατικός χώρος µε εσωτερικό γινό- µενο x, y R, για κάθε Ϲευγάρι x, y στοιχείων του χώρου, ο οποίος είναι πλήρης ως προς την επαγώµενη νόρµα, ϑα λέµε ότι είναι ένας πραγµατικός χώρος Hilbert. Αν x= (a 1,..., a n ) R n και y=(b 1,..., b n ) R n ορίζουµε x, y = a k b k. Η παραπάνω σχέση ορίζει εσωτερικό γινόµενο και η επαγώµενη νόρµα είναι η k=1 x = n a 2 k. k=1 Ο χώρος (R n, 2 ) είναι πλήρης και άρα ο χώρος αυτός είναι πραγµατικός χώρος Hilbert. Ορισµός ύο στοιχεία x, y ενός γραµµικού χώρου Χ µε εσωτερικό γινόµενο λέγονται ορθογώνια ή κάθετα µεταξύ τους (συµβολίζουµε µε x y) εάν x, y =0. Εάν E X, ορίζουµε E ={x X : x, y =0, για κάθε y E}. Το E λέγεται ορθογώνιο συµπλήρωµα του Ε. Ορισµός Ενα υποσύνολο{x k } n k=1 ενός χώρου µε εσωτερικό γινόµενο λέγεται ορθοκανονικό εάν : 1 i= j x i, x j = 0 i j και x k =1 k= 1,..., n 1.2α Ο υϊκος Χώρος ενός χώρου Hilbert Εστω ότι Η είναι ένας χώρος Hilbert. Αν y H ορίζουµε την συνάρτηση f (x)= x, y για κάθε x H. Η f είναι ένα ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδές και f = y. Πράγµατι αν x, z H και λ, µ C τότε f (λx+ µz) = λx+ µz, y = λx, y + µz, y = λ x, y +µ z, y = λf (x)+µf (z) Επίσης έχουµε ότι f (x) = x, y x y (λόγω ανισότητας Cauchy Schwarz) άρα (1.5) f y Επίσης έχουµε f (y)= y, y = y 2 y 0 f (y) y = y

26 16 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα και άρα f (x) (y) (1.6) f =sup f x 0 x y = y Από (1.5) και (1.6) συνεπάγεται f = y. Άρα f H. Το ϑεώρηµα που ακολουθεί δείχνει ότι όλα τα ϕραγµένα γραµµικά συναρτησοειδή στον H δίνονται µε αυτόν τον τρόπο. Θεώρηµα (Θεώρηµα αναπαράστασης Riesz). Αν f είναι ένα γραµµικό συναρησοειδές στον χώρο Hilbert H, τότε υπάρχει µοναδικό στοιχείο y H ώστε για όλα τα x H. Επιπλέον f = y. f (x)= x, y 1.3 Ογκος Μοναδιαίας Μπάλας και Ελλειψοειδή Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζεται ο υπολογισµός και κάποια αποτελέσµατα για τον όγκου των κυρτών σωµάτων, όπως για παράδειγµα της µοναδιαίας ευκλείδειας µπάλας και των ελλειψοειδών. Πρώτα όµως πρέπει να ορίσουµε τα σύνολα αυτά. Με B n 2 ={x Rn : x 2 1} συµβολίζουµε την µοναδιαία ευκλείδεια µπάλα στον R n και µε S n 1 ={x R n : x 2 = 1} την µοναδιαία ευκλείδεια σφαίρα στον R n. Συµβολίζουµε τον όγκο της Ευκλείδειας µπάλας του R n µε vol(b n) 2 ή µε Bn 2, δηλαδή vol(b n 2 )=vol{x Rn : x 2 1} Ο όγκος υπολογίζεται µε την ϐοήθεια του ολοκληρώµατος I= e x 2 2 dx R n πρώτα όµως ϑα χρειαστούµε το αποτέλεσµα της επόµενης πρότασης Πρόταση Αν a > 0 ισχύει : (1.7) R n e a x 2 2 dx= ( π a Απόδειξη. Εστω I n = e a x 2 R n 2 dx. Για n=2και κάνοντας αλλαγή σε πολικές συντεταγµένες έχουµε I 2 = e a x 2 2 dx = e ar 2 rdrdθ R 2 0 S 1 = 2π re ar2 dr ) n/2 0 = 2π e ar2 2a = π a 0

27 1.3 Ογκος Μοναδιαίας Μπάλας και Ελλειψοειδή 17 Τώρα από ϑεώρηµα Fubini έχουµε ότι I n = (I 1 ) n διότι I n = e a x 2 R n 2 dx = ax 1 e R R 2 e ax2 n dx1 dx n = R e ax2 1 dx1 R e ax2 2 dx2 R e ax2 n dxn = (I 1 ) n. Ετσι I 2 = (I 1 ) 2 I 1 = π a άρα τελικά ( π I n = a ) n/2 Επιστρέφοντας τώρα στον υπολογισµό του όγκου της B n 2 παρατηρούµε ότι (1.8) I= e x 2 2 dx= ( π) n R n Επίσης έχουµε: I = = = = e x 2 2 dx= ( e t 2 ) dtdx R n R n x 2 2te t 2 dtdx R n x 2 1 {y:y> x 2 }(t) 2te t2 dtdx R n 0 ( 1 {y:y> x 2 }(t) 2te t2) dxdt 0 R n = 2te t2 vol{x : x 2 < t}dt 0 = 2te t2 vol(t B n 2 )dt 0 = vol(b2) n 2te t2 t n dt 0 = vol(b n 2 ) 2t n+1 e t2 dt 0 Άρα καταλήξαµε στην I= vol(b n) 2 0 2tn+1 e t2 dt. Χρησιµοποιώντας την (1.8) και λύνοντας ως προς vol(b n) 2 έχουµε (1.9) vol(b n 2 )= ( π) n 0 2tn+1 e t2 dt. Παρατήρηση Στην παραπάνω απόδειξη χρησιµοιήσαµε το γεγονός ότι vol n (tk)=

28 18 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα t n vol n (K) όπου t R και K= B n 2. Αυτό επαληθεύεται ώς εξής : vol n (tk) = = x tk y= x t K = tk 1(x)dx 1 tk (x)dx R n 1 tk (yt)t n dy R n = 1 K (y)t n dy R = t n vol n (K) (1 tk (yt)=1 y K) Τώρα, ϑα χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση Γάµµα για να έχουµε µια καλύτερη εικόνα για τον όγκο της µοναδιαίας Ευκλείδειας µπάλας. Η συνάρτηση Γάµµα ορίζεται ώς :Γ : (0, ) Rµε Γ(x)= t x 1 e t dt. 0 Η συνάρτηση Γάµµα έχει τις εξής ιδιότητες : (1) Γ(1)=1 (2) Γ(1/2)= π (3) Γ(x+ 1)=xΓ(x) (4) Αν n ακέραιος τότεγ(n)=(n 1)Γ(n 1)=(n 1)(n 2)Γ(n 2) =(n 1)! δηλαδήγ(n)=(n 1)! (5) Αν n άρτιος τότεγ( n+ 1)=( ) n 2 2! ενώ αν n περιττόςγ( n 2 + 1)= π n! 2 n ( n 1 2 )! Επιστρέφοντας στην (1.9) και χρησιµοποιώντας την συνάρτηση Γάµµα καταλλήγουµε: vol(b n 2 )= Bn 2 = ( π) n Γ( n+ 2 1). Σε αυτό το σηµείο παρατηρούµε ένα ενδιαφέρον ϕαινόµενο για τον όγκο της µοναδιαίας µπάλας. Αν υψώσουµε τον όγκο στην 1/n έχουµε: π (1.10) W 1/n n = B n 2 1/n = (Γ( n+. 2 1))1/n Χρησιµοποιώντας τώρα τον τύπο του Stirling: ( e 1 n ) n 12n+1 2πn < n! < 2πn e ( n e ) n e 1 12n

29 1.3 Ογκος Μοναδιαίας Μπάλας και Ελλειψοειδή 19 και υποθέτοντας ότι n άρτιος, η (1.10) γίνεται: W 1/n n = π (( )) n 1/n 2! π ( 2π ( n ) n/2 ) 1/n n 2 e 1 6n 2 e 2eπ 0 C n n n Παρόµοια, στην περίπτωση όπου η διάσταση του χώρου είναι περιττός αριθµός έχουµε πάλι W 1/n n 0. n ηλαδή, καθώς η διάσταση του χώρου µεγαλώνει ο όγκος της µοναδιαίας Ευκλείδειας µπάλας πηγαίνει στο µηδέν, και µάλιστα ϱαγδαία. Ορισµός Ελλειψοειδές στον R n είναι ένα κυρτό σώµα της µορφής (1.11) E= x x, u i 2 Rn : 1 όπου{u 1,..., u n } είναι ορθοκανονική ϐάση τουr n και a 1,..., a n είναι ϑετικοί πραγ- µατικοί αριθµοί (οι διευθύνσεις και τα µήκη των ηµιαξόνων του Ε αντίστοιχα) Πρόταση Ενα κυρτό σώµα Ε στον R n είναι ελλειψοειδές αν και µόνον αν υπάρχει T αντιστρέψιµος γραµµικός µετασχηµατισµός ώστε E= T(B n 2 ). Απόδειξη. Υποθέτουµε πρώτα ότι το Ε είναι ελλειψοειδές, δηλαδή ορίζεται από την (1.11) για κάποια ορθοκανονική ϐάση {u 1,..., u n } του R n και κάποιους a 1,..., a n > 0. Εστω ότι Τ γραµµικός µετασχηµατισµός του R n µε T(u i ) = a i u i, i= 1,..., n. Ο Τ είναι αντιστρέψιµος και x T(B n 2 ) αν και µόνον αν υπάρχει y= n j=1 t ju j B n 2 µε x= T(y). Εχουµε : (1.12) x, u i 2 = a 2 i a 2 i n j=1 t ja j u j, u i 2 a i = η οποία δείχνει ότι x T(B n) 2 αν και µόνον αν x E, δηλαδή E=T(Bn 2 ). Αντίστροφα, έστω ότι Τ είναι αντιστρέψιµος γραµµικός µετασχηµατισµός και έστω ότι E= T(B n 2 ). Εχουµε: x 2 E= x 2 T(B n 2 )= T 1 x 2 2= T 1 x, T 1 x = (T 1 ) T 1 x, x. Ο T T είναι συµµετρικός και ϑετικά ορισµένος, άρα γράφεται στη µορφή U DU όπου D διαγώνιος πίνακας µε στοιχεία a 2 1,..., a 2 n (όπου a i > 0) και ο U είναι ορθογώνιος πίνακας. Θεωρούµε τον διαγώνιο πίνακα D 1 = D µε διαγώνια στοιχεία τα a 1 1,..., a 1 n. Εφόσον ο U είναι ορθογώνιος, έχουµε T T= A 2, όπου A=U D 1 U. ηλαδή, (1.13) x 2 E= A 2 x, x = Ax 2 2= D 1 Ux 2 2= t 2 i Ux, e i 2 = a 2 i x, u i 2 a 2 i

30 20 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα όπου τα u i = U e i αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του R N. Άρα έπεται ότι x E αν και µόνον αν ικανοποιείται η (1.11) για τα συγκεκριµένα u i και a i (όπως καταλήξαµε στην (1.13), δηλαδή το Ε είναι ελλειψοειδές. Παρατήρηση Από την παραπάνω πρόταση παρατηρούµε ότι ο όγκος του Ε ισούται µε n E = B n 2 Θεώρηµα (F.John). Εστω X= (R n, ) ένας n-διάστατος χώρος µε νόρµα και έστω D το ελλειψοειδές µεγίστου όγκου που είναι εγγεγραµένο στη B X. Εστω 2 η Ευκλείδεια νόρµα που επάγει το D (δηλαδή, D={x : x 1}) Τότε, ( ) 1 x 2 x x 2 n Απόδειξη. Εφόσον D B X, έχουµε ότι x x 2. Θέλουµε να δείξουµε ότι B X nd. Εφαρµόζοντας ένα γραµµικό µετασχηµατισµό, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι D= (x 1,..., x n ) R n : x 2 i 1 Εάν B X nd τότε υπάρχει y B X µε y 2 > n. Αφού B X κυρτό τότε και το K= conv(d (±y) B X ) είναι κυρτό. Θέλουµε να δείξουµε ότι το K περιέχει ελλειψοειδές µεγαλύτερου όγκου από τον όγκο της D, σε αντίθεση µε την υπόθεση. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας µπορούµε να υποθέσουµε ότι y=(d, 0,..., 0) µε d > n. Το ελλειψοειδές E= a i x Rn : x2 1 a 2+ έχει όγκο E =ab n 1 Vol(D) και όσο ισχύει xi 2 b 2 1 (1.14) a 2 d 2+ (1 1 d 2 )b2 1 το παραπάνω ελλειψοειδές περιέχεται στο K. Το Ϲεύγος a = d n, b = ικανοποιεί την (1.14) και a b n 1 > n 1 1 d Η Απόσταση Banach Mazur Η έννοια της απόστασης Banach Mazur εµφανίζεται στο ϐιβλίο του Stefan Banach «Theory of Linear Operators» (1932) και ορίζεται ως εξής: Ορισµός Εστω Χ και Υ δύο χώροι µε νόρµα. ορίζουµε την απόσταση Banach Mazur ώς Αν Χ,Υ είναι ισόµορφοι (1.15) d(x, Y )=inf{ T T 1 T : X Y ισοµορφισµός} Αν Χ και Υ δεν είναι ισόµορφοι ϑέτουµε d(x, Y )=+. Αν Χ και Υ είναι ισόµορφοι και αν d(x, Y ) λ, τότε λέµε ότι οι Χ και Υ είναι λ-ισόµορφοι ή ότι ο Χ είναι λ-ισόµορφος µε τον Υ (X λ Y).

31 1.4 Η Απόσταση Banach Mazur 21 Πρόταση Εστω Χ,Υ,Ζ ισόµορφοι χώροι µε νόρµα, τότε (1) d(x, Y ) 1 (2) d(x, Y )=d(y, X) (3) d(x, Y ) d(x, Z)d(Z, Y ) Απόδειξη. (1) Εστω ότι I x : X X ο ταυτοτικός τελεστής. Για κάθε ισοµορφισµό T : X Y ισχύει: 1= I x = T 1 T T 1 T 1 d(x, Y ). (2) T : X Y ισοµορφισµός αν και µόνον αν T 1 : Y X είναι ισοµορφισµός και (T 1 ) 1 = T. Από τον ορισµό της απόστασης ϐλέπουµε ότι d(x, Y )= d(y, X). (3) Εστω ότι T : X Z και T : Z Y ισοµορφισµοί. Τότε ο T= T T : X Y είναι ισοµορφισµός. Άρα d(x, Y ) T T 1 = T T (T ) 1 (T ) 1 T (T ) 1 T (T ) 1 d(x, Z)d(Z, Y ) Παρατήρηση Η απόσταση Banach Mazur δεν είναι µετρική. Οµως από την (3) της παραπάνω πρότασης παρατηρούµε ότι εάν πάρουµε D(X, Y )=log d(x, Y ) η (3) γίνεται D(X, Y ) D(X, Z)+D(Z, Y ) ισχύει δηλαδή η τριγωνική ανισότητα, άρα η D(X, Y )=log d(x, Y ) είναι µετρική. Η γεωµετρική ερµηνεία της απόστασης Banach Mazur δίνεται στην επόµενη πρόταση Πρόταση Εστω Χ,Υ ισόµορφοι χώροι µε νόρµα. Τότε ρ(x, Y )=inf{d > 0 T : X Y : B Y T(B X ) db Y } Η πρόταση αυτή µας λέει ότι η απόσταση δύο χώρων Χ και Υ είναι µικρή αν υπάρχει γραµµικός µετασχηµατισµός της µοναδιαίας µπάλας του Χ που µοιάζει µε την µοναδιαία µπάλα του Υ (περιέχει την B Y και περιέχεται σε µικρό πολλαπλάσιο της B Y ). Απόδειξη. Εστω ότι ϸ > 0. Υπάρχει T : X Y ισοµορφισµός ώστε d(x, Y )+ϸ T T 1 Εφόσον Τ ισοµορφισµός, ο T και ο T 1 είναι ϕραγµένοι. άρα Tx Y T x X T(B X ) T B Y

32 22 ΗΓεωµετρία του R n και τα Κυρτά Σώµατα όµοια για τον αντίστροφο έχουµε (1.16) T 1 x X T 1 x Y T 1 (B y ) T 1 B X B Y T( T 1 B X )= T 1 T(B X ) T 1 T B Y ρ(x, Y ) T 1 T d(x, Y )+ϸ ρ(x, Y ) d(x, Y ) Από την άλλη µεριά υπάρχει d > 0 για το οποίο υπάρχει T : X Y ισοµορφισµός ώστε B Y T(B X ) db Y. Εστω ότι ϸ > 0 ρ(x, Y )+ϸ d Τώρα για κάθε y B Y, T 1 y T 1 B Y B X. και T 1 y X 1. Αν y Y y y B Y και άρα y T 1 y 1 T 1 y y T 1 1. Τώρα x X x x B X ( ) x T db Y x ( x x ) Y T d Tx d x T d Άρα τελικά d(x, Y ) T 1 T d ρ(x, Y )+ϸ ηλαδή (1.17) d(x, Y ) ρ(x, Y ) Από (1.16) και (1.17) προκύπτει ότι d(x, Y ) = ρ(x, Y ).

33 Μέρος II Σχεδόν Ευκλείδειες Τοµές Κυρτών Σωµάτων

34

35 Κεφάλαιο 2 Γκαουσιανές Τυχαίες Μεταβλητές και το µέτρο Haar 2.1 Τυχαίες µεταβλητές και µέτρο Gauss Λόγω του ότι η ϑεωρία πιθανοτήτων αναπτύχθηκε πριν γίνει η σύνδεση της µε την ϑεωρία µέτρου πολλές ϕορές δηµιουργείται σύγχυση µεταξύ εννοιών των πι- ϑανοτήτων και της ανάλυσης. Μια σύνδεση των εννοιών παρουσιάζεται στο [Fo, Chapter 9]. Εστω ο χώρος πιθανότητας (Ω,F,P). Μια συνάρτηση X :Ω Rονοµάζεται τυχαία µεταβλητή εάν για κάθε α R το σύνολο X 1 ([α, )) ανήκει στηνf. ηλαδή {ω Ω : X(ω) a} F. (ϐλ.[cap Knopp, Chapter 3,p.66]) Εάν Χ είναι τυχαία µεταβλητή στον Ω, τότε η Χ ορίζει ένα Borel µέτρο πιθανότητας, το P X που δίνεται από τον τύπο P X (A)=P(X A), το οποίο καλείται κατανοµή της Χ (συµβολίζεται και µε dist(x)), και η συνάρτηση F(t)=P X ((, t])=p(x t) καλείται συνάρτηση κατανοµής της Χ. Γενικότερα, έστω ότι X 1,..., X n είναι τυχαίες µεταβλητές ορισµένες σε κάποιο χώρο πιθανότητας (Ω,F.P) δηλαδή τότε το µέτρο (X 1,..., X n ) :Ω R n P (X1,...,X n )(B)=P((X 1,..., X n ) B), B R n στον R n καλείται από κοινού κατανοµή (joint distribution) των X 1,..., X n. ύο τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2 λέγονται ανεξάρτητες εάν τα X 1 1 (B), X 1 2 (B) είναι ανεξάρτητα για κάθε Borel υποσύνολο Β. Άρα, P ( X 1 1 (B 1) X 1 2 (B 2) ) = P((X 1, X 2 ) 1 (B 1 B 2 ))=P (X1,X 2 )(B 1 B 2 )= P(X 1 1 (B 1))P(X 1 2 (B 2))=(P X1 P X2 )(B 1 B 2 ) P (X1,X 2 )= P X1 P X2.

36 26 Γκαουσιανές Τυχαίες Μεταβλητές και το µέτρο Haar Το τελευταίο µας λέει ότι δύο τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2 λέγονται ανεξάρτητες αν η από κοινού συνάρτηση κατανοµής των X 1, X 2 είναι ίση µε το γινόµενο της συνάρτησης κατανοµής της X 1 µε την συνάρτηση κατανοµής της X 2, δηλαδή εάν F X1,X 2 (x 1, x 2 )=F X1 (x 1 )F X2 (x 2 ). Επίσης δύο τυχαίες µεταβλητές X 1, X 2 λέγονται ισόνοµες εάν P X1 = P X2. Στην εργασία αυτή ϑα χρειαστούµε τις Γκαουσιανές (Gaussian) τυχαίες µεταβλητές. Ως Γκαουσιανή τυχαία µεταβλητή εννούµε την τυπική κανονική κατανοµή. ηλαδή όταν έχουµε µια ακολουθία (g n ) n 1 ανεξάρτητων και ισόνοµων Γκαουσιανών τυχαίων µεταβλητών, εννούµε ότι οι{g n } είναι ανεξάρτητες και για κάθε n έχουµε P(g n > t)=(2π) 1/2 t e x2 /2 dx, t R. Γενικότερα, για κάθε Borel υποσύνολο B R n έχουµε : P({g 1,..., g n B})=(2π) n/2 exp 1 2 B 1 x 2 i dx 1,..., dx n Θα δώσουµε µια γεωµετρική ερµηνεία της ανεξαρτησίας των Γκαουσιανών τυχαίων µεταβλητών. Πρώτα όµως ϑα χρειαστούµε τους ακόλουθους ορισµούς: Ορισµός Εστω Χ,Υ δύο τυχαίες µεταβλητές µε µ x = E(X), µ y = E(Y ) και σ X = Var(X), σ Y = Var(Y ). Τότε η ποσότητα Cov(X, Y )=E [ (X µ x )(Y µ y ) ] λέγεται συνδιακύµανση των Χ,Υ. Ως συντελεστή συσχέτισης δύο τυχαίων µεταβλητών ορίζουµε την ποσότητα : όπου σ X,Y = Cov(X, Y ). ρ=ρ X,Y = Cov(X, Y ) Var(X) Var(Y ) = σ X,Y σ X σ Y Παρατήρηση Ο συντελεστής συσχέτισης που ορίσαµε παραπάνω δίνεται και από τον τύπο Cov(X, Y )=E(XY ) E(X)E(Y ) Πράγµατι, έστω ότι µ x = E(X), µ y = E(Y ), από τον όρισµο έχουµε: Cov(X, Y )=E [ (X µ x )(Y µ y ) ] = E [ XY Xµ y µ x Y+ µ x µ y ] = E(XY ) E(X)E(Y ) E(X)E(Y )+E(X)E(Y )=E(XY ) E(X)E(Y ). Ορισµός ύο τυχαίες µεταβλητές λέγονται ασυσχέτιστες αν Cov(X, Y )=0 Ορισµός ύο τυχαίες µεταβλητές Χ,Υ λέγονται ορθογώνιες αν είναι ορθογώνια ως διανύσµατα στον χώρο L 2 (Ω,P) µε εσωτερικό γινόµενο το X, Y = X YdP=E(XY )=0 Ω

37 2.1 Τυχαίες µεταβλητές και µέτρο Gauss 27 Η παρακάτω πρόταση δίνει µια σηµαντική ιδιότητα των Γκαουσιανών τυχαίων µεταβλητών: Πρόταση ύο Γκαουσιανές τυχαίες µεταβλητές είναι ανεξάρτητες αν και µόνον αν είναι ορθογώνιες. Απόδειξη. Εστω ότι X, Y L 2 ανεξάρτητες Γκαουσιανές τυχαίες µεταβλητές. Τότε X, Y = X 1 X 2 dp= t 1 t 2 dp (X1,X 2 )= t 1 t 2 d(p X1 P X2 )= t 1 dp X1 t2 dp X2 = E(X)E(Y )=0. Από την άλλη µεριά έστω ότι X, Y είναι ορθογώνιες γκαουσιανές τυχαίες µεταβλητές. Θα αποδείξουµε ότι είναι ανεξάρτητες. Εφόσον X, Y ορθογώνιες έπεται ότι E(XY )=0, άρα Cov(X, Y )=0 και ρ X,Y = 0. Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των X, Y είναι 1 1 f (x, y)= exp (2π)σ x σ y 1 ρ 2 2(1 ρ 2 ) Q(x, y), x, y R X,Y X,Y όπου ( ) 2 ( x µx x µx Q(x, y)= 2ρ X,Y σ x σ x )( y µy σ y ) + ( y µy (ϐλ.[μ.κ, Κεφάλαιο 6 σελίδα 255]) Οµως ρ X,Y = 0 και µ x = 0, µ y = 0 καθώς και σ x = 1, σ y = 1 (εφόσον X, Y Γκαουσιανές), οπότε τελικά: ] [ x2 + y 2 f (x, y)= 1 exp (2π) 1/2 2 = 1 e x (2π) 1/2 2 /2 1 σ y e y (2π) 1/2 ) 2. 2 /2 = f (x)f (y). Παρατήρηση Η παραπάνω πρόταση ισχύει ειδικά στην περίπτωση των Γκαουσιανών τυχαίων µεταβλητών λόγω του ότι όπως ϕάνηκε και στην απόδειξη οι Γκαουσιανές είναι ανεξάρτητες αν και µόνον αν είναι ασυσχέτιστες κάτι που δεν ισχύει για οποιεσδήποτε τυχαίες µεταβλητές. Στην συνέχεια ορίζουµε το Γκαουσιανό Μέτρο Ορισµός Ενα Borel µέτρο πιθανότητας γ στον R ονοµάζεται Γκαουσιανό εάν έχει πυκνότητα: ) 1 γ(µ, σ)= exp (x µ)2 ( σ 2π 2σ 2 Οι παράµετροι µ και σ ονοµάζονται µέση τιµή και διακύµανση του γ. Εάν µ = 0 και σ = 1 τότε το µέτρο ονοµάζεται standard. Παρακάτω όπου αναφέρεται το Γκαουσιανό µέτρο ϑα εννούµε το standard γκαουσιανό µέτρο στονr n. ηλαδή: 1 γ n = exp (2π) n/2 1 x 2 i 2 dx 1,..., dx n Περισσότερα για το Γκαουσιανό µέτρο ο αναγνώστης µπορεί να ϐρεί στα [Bo] και [LT, Chapter 3].

38 28 Γκαουσιανές Τυχαίες Μεταβλητές και το µέτρο Haar 2.2 Το Γκαουσιανό Μέτρο και δράση της Ορθογώνιας Οµάδας Το σύνολο όλων των αντιστρέψιµων n n πινάκων σχηµατίζει µια οµάδα ως προς τον πολλαπλασιασµό πινάκων. Η οµάδα αυτή ονοµάζεται γενική γραµµική οµάδα και συµβολίζεται ως GL n. Η συλλογή όλων των ορθογώνιων n n πινάκων αποτελεί µια υποοµάδα της GL n. Η υποοµάδα αυτή καλείται Ορθογώνια οµάδα και συµβολίζεται µε O n. 1 Πρόταση Το Γκαουσιανό µέτρο γ n = exp ( ) 1 n (2π) 2 n/2 x2 i dx 1,..., dx n είναι αναλλοίωτο στην δράση της Ορθογώνιας Οµάδας. Απόδειξη. Εστω ότι T= (a ij ) O n. ηλαδή TT = T T= 1, ισοδύναµα T 1 = T ή T 1 = T t.. Επίσης έστω Β ένα Borel υποσύνολο του R n. Εχουµε: (2.1) P ( ) (g 1,..., g n ) t T 1 1 B = exp T 1 B (2π) n/2 1 x 2 i 2 dx 1,..., dx n Εδώ x= (x 1,..., x n ) t T 1 B Tx B. Θέτουµε y=tx οπότε J= dett=±1. Επίσης T 1 y 2 = y 2. Αυτό είναι σωστό διότι T 1 y 2 2 = T 1 y, T 1 y = (T 1 ) T 1 y, y = (T ) 1 T 1 y, y = (TT ) 1 y, y = I 1 y, y = y, y = y 2 2 Άρα η 2.1 γίνεται: P ( ) (g 1,..., g n ) t T 1 B ( 1 = B (2π) exp 1 ) n/2 2 T 1 y 2 2 dett dy 1,..., dy n ( 1 = B (2π) exp 1 ) n/2 2 y 2 2 dy 1,..., dy n = P ( (g 1,..., g n ) t B ) Η παραπάνω πρόταση έχει πολλές συνέπειες. παρακάτω. Μια από αυτές είναι και η Πρόταση Εστω ότι (g n ) n N ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων Γκαουσιανών τυχαίων µεταβλητών και έστω a= (a 1,..., a n ) R n. Ισχύει dist(a 1 g 1,..., a n g n )=dist(g 1 a 2 ) Απόδειξη. Εστω ότι (g n ) n N ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων Γκαουσιανών τυχαίων µεταβλητών δηλαδή για κάθε n 1 P(ω Ω : g n (ω) > t)= e x2 /2 dx. (2π) 1/2 Για κάθε Borel υποσύνολο Β του R n έχουµε: P ( (g 1,..., g n ) t B ) = P ( {ω Ω : (g 1 (ω),..., g n (ω)) t B ) 1 = e 1 n 2 x2 i dx (2π) n/2 1,..., dx n B t

39 2.2 Το Γκαουσιανό Μέτρο και δράση της Ορθογώνιας Οµάδας 29 a 1j g j g 1 g 1 j=1 Εστω ότι T = (a ij ) O n. Το διάνυσµα. = T. =. έχει την ίδια g n g n a nj g j j=1 g 1 κατανοµή µε το.. g n ηλαδή P (( g 1,..., g n ) t B)=P ((g 1,..., g n ) t B). Αυτό συµβαίνει διότι P ( ( g 1,..., g n ) t B ) g 1 = P T. B g n = P ( ) (g 1,..., g n ) t T 1 B = P ( (g 1,..., g n ) t B ) όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι T 1 O n και το Γκαουσιανό µέτρο µένει αναλλοίωτο στη δράση της O n όπως είδαµε στην προηγούµενη πρόταση. Τώρα, υπάρχει ορθογώνιος µετασχηµατισµός T O n ώστε 1 a 1 a 1 T. = a 0 2. Τα διανύσµατα.. και a 2e 1 είναι ισοµήκη και παράγουν έ- a n a 0 n ναν υπόχωρο διάστασης 2, έστω F. Ο F έχει διάσταση n 2, και έστω f 3, f 4,..., f n ορθοκανονική ϐάση του F. Εστω e 2 στον F ένα από τα δύο κάθετα στο e 1 µοναδιαία διανύσµατα. Τότε a= a, e 1 e 1 + a, e 2 e 2. Ο πίνακας ( ) 1 a, e1 a, e 2 a 2 a, e 2 a, e 1 είναι ορθογώνιος στον F και στέλνει το a στο a 2 e 1. Στον R n τώρα ως προς την ορθοκανονική ϐάση e 1, e 2, f 3, f 4,..., f n ορίζουµε τον a n T= 1 a, e a, e a, e a, e ο οποίος είναι ορθογώνιος πίνακας και Ta= a 2 e 1. Οπότε µε ϐάση τα προηγού- µενα P (a 1 g 1 + +a n g n (, t]) = P (a 1 g 1 + +a n g n ) t) = P ( a, g t) a 1 g 1 Οπου a=. και g=.. Θέτουµε g n B={x R n : a, x t}.

40 30 Γκαουσιανές Τυχαίες Μεταβλητές και το µέτρο Haar Από το γεγονός ότι y TB T 1 y B a, T 1 y t (T 1 ) a, y t (T ) 1 a, y t (T 1 ) 1 a, y t a 2 e 1, y t έχουµε ότι: TB={x R n : e 1, x t a 2 }. g 1 Τότε P ( a, g t)=p (g B)=P (g TB)=P. TB = P( ) g 1 t a 1 2 = P (g 1 a 2 t) g n 2.3 Το µέτρο Haar Για να ορίσουµε το µέτρο Haar ϑα χρειαστούµε την ϐοήθεια ενός αποτελέσµατος της συνδυαστικής που ονοµάζεται Marriage Theorem. Εδώ το συγκεκριµένο ϑεώρηµα παρουσιάζεται και αποδεικνύεται εκφρασµένο στην ϑεωρία πεπερασµένων γραφηµάτων. Εστω ότι S είναι ένα σύνολο από κορυφές ενός γράφου G, και έ- στω ότι d(s) είναι ο αριθµός των κορυφών στον G οι οποιές είναι γειτονικές 1 µε τουλάχιστον µία κορυφή από το S. Το ακόλουθο αποτέλεσµα είναι γνωστό και ώς Marriage Theorem του Phillip Hall (1935). Θεώρηµα Εστω A, B, A = B =nνα είναι τα κοµµάτια ενός διµερή 2 του οποίου γράφου µε την ιδιότητα ότι d(s) S για κάθε S A. Τότε υπάρχει µια απεικόνιση 1-1 και επί, f : A Bώστε για κάθε a A η a είναι γειτονική µε την f (a). Απόδειξη. Με επαγωγή στο n. Εστω ότι υπάρχει S Aώστε d(s) =S. Εστω τώρα T A\S. Αν d(t) (B\d(S) < T τότε : d(s T) = d(s) (d(t) (B\d(S)) = d(s) + d(t) (B\d(S)) = S + d(t) (B\d(S)) < S + T = S T το οποίο όµως είναι άτοπο. Άρα και A\ S και B\ d(s) επίσης ικανοποιηούν την υπόθεση. Επαγωγικά έχουµε τις απεικονίσεις S d(s) και A\S B\d(S). Από την άλλη µεριά, έστω ότι δεν υπάρχει S Aώστε d(s) = S. ιαλέγουµε ένα οποιοδήποτε Ϲεύγος γειτονικών κορυφών a, b µε a A, b B. Εστω τώρα T A\{a}, έχουµε d(t) > T d(t) 1 T (λόγω του ότι δεν υπάρχει S A ώστε d(s) = S ), άρα d(t) (B\{b} d(t) 1 T. Επαγωγικά έχουµε την απεικόνιση f : A\{a} B\{b} και επεκτείνουµε την f ϑέτωντας f (a)=b. 1 Με την έννοια γειτονικές εννούµε ότι υπάρχει ακµή που τις συνδέει 2 ιχοτοµίσιµος ή διµερής ονοµάζεται ένας γράφος του οποίου το σύνολο όλων τον κορυφών του, έστω V, µπορεί να διαµεριστέι σε δύο σύνολα V 1 και V 2 έτσι ώστε κάθε ακµή συνδέει ακριβώς µια κορυφή του V 1 µε µία κορυφή του V 2

41 2.3 Το µέτρο Haar 31 Εστω ότι (M, ρ) είναι ένας συµπαγής µετρικός χώρος και έστω ότι G είναι η οµάδα της οποίας τα µέλη δρούν ώς ισοµετρίες στον M, δηλαδή : g G, t, s M, ρ(gt, gs) = ρ(t, s). Εισάγουµε το µέτρο Haar. Θεώρηµα Υπάρχει ένα κανονικό µέτρο µ ορισµένο στα Borel υποσύνολα του Μ το οποίο µένει αναλλοίωτο στην δράση στοιχείων την οµάδας G, δηλαδή: µ(a)=µ(ga) A M, g G. Η αλλιώς : f (t)dµ(t)= f (gt)dµ(gt) g G, f C(M). ( Οπου C(M) είναι ο γραµµικός χώρος όλων των πραγµατικών συνεχών συναρτήσεων επί του Μ.) Απόδειξη. Για κάθε ϸ > O έστω ότι N ϸ ={x 1,..., x n } είναι ένα ελαχιστικό ε-δίκτυο στο Μ. Άρα x M j : x x j < ϸ x B(x j, ϸ), οπότε M= n B(x j, ϸ). Θέτουµε n ϸ = N ϸ =n την πληθικότητα του ε-δικτύου. Για j=1 κάθε f C(M) ορίζουµε: µ ϸ (f )= 1 n ϸ f (x j ) n ϸ j=1 j=1 όπου µ ϸ : C(M) R γραµµική απεικόνιση και επιπλέον αν f κ f C(M), τότε µ ϸ (f κ )= 1 n ϸ f n ϸ κ (x j ) κ 1 n ϸ f (x n ϸ j )=µ ϸ (f ) είναι δηλαδή και συνεχής. Επίσης µ ϸ C(M) = (C(M), ) (εξόρισµού της µ ϸ ) είναι δηλαδή ένα γραµµικό συναρτησοειδές στον C(M) µε : µ ϸ C(M) = sup µ ϸ (f ) = sup 1 n ϸ f (x j ) sup f 1 f 1 n ϸ j=1 j=1 1 n ϸ f 1n ϸ j=1 f (x j ) =1. Άρα µ C(M) 1 για κάθε ϸ > 0, είναι δηλαδή και οµοιόµορφα ϕραγµένη. Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα Αλάογλου έχουµε ότι για κάποια ακολουθία ϸ i 0 ι- i σχύει µ ϸi (f ) C(M) µε µ 1 1 i i µ(f ) f C(M). ηλαδή, έστω ϸ i = 1 και µ 1 i i (το δείξαµε ότι ισχύει για κάθε ϸ > 0), από το ϑ.αλάογλου έπεται ότι υπάρχει µ 1 ώ- ki (f ) µ(f ) f C(M). Τώρα, από το Θεώρηµα Αναπαράστασης του Riesz 1 στε µ 1 ki τα µ( ) ορίζουν κανονικά Borel µέτρα πιθανότητας στο Μ, µε µ(m)=1. Στη συνέχεια ϑέλουµε να δείξουµε ότι το µ είναι µοναδικό. ηλαδή άν µ ϸ είναι ορισµένο διαλέγοντας ένα διαφορετικό ε-δίκτυο τότε για κάποια ακολουθία 1 Θεώρηµα (Αναπαράστασης Riesz). Εστω Χ τοπικά συµπαγής χώρος Hausdorff και Ι ένα ϑετικό γραµµικό συναρτησοειδές του C(X). Τότε υπάρχει ένα µοναδικό κανονικό µέτρο Borel µ στο Χ ώστε I(f )= fdµ για κάθε f C(X)

42 32 Γκαουσιανές Τυχαίες Μεταβλητές και το µέτρο Haar ϸ i ϑα έχουµε µ ϸ i (f ) µ(f ). Εάν N ϸ είναι ένα διαφορετικό ελαχιστικό ε-δίκτυο στο Μ ισχυριζόµαστε ότι υπάρχει µια 1-1 και επί απεικόνιση ϕ : N ϸ N ϸ µε ρ(t, ϕ(t)) 2ϸ t N ϸ. Για να το δείξουµε αυτό χρησιµοποιούµε το Marriage Theorem που είδαµε παραπάνω. Ας ϑεωρήσουµε ότι τα t N ϸ και s N ϸ σχετίζονται εάν B(t, ϸ) B(s, ϸ). Τότε τα στοιχεία οποιουδήποτε υποσυνόλου Κ του N ϸ σχετίζονται µε τα στοιχεία ενός συνόλου L στο N ϸ το οποίο έχει τουλάχιστον τόσα στοιχεία όσα και το Κ. Πράγµατι, έστω ότι L={s N ϸ ; B(s, ϸ) B( t KB(t, ϸ)) }, τότε L K διαφορετικά L (N ϸ \ K) είναι ένα ϸ-δίκτυο µε λιγότερα από N ϸ στοιχεία. Το Marriage Theorem µας λέει ότι σε τέτοιες περιπτώσεις (όπου κά- ϑε στοιχείο του N ϸ σχετίζεται µε τουλάχιστον όσα του N ϸ ) υπάρχει 1-1 και επί απεικόνιση ϕ : N ϸ N ϸ µε t και ϕ(t) να σχετίζονται για κάθε t N ϸ. Στην περίπτωσή µας : B(t, ϸ) B(ϕ(t), ϸ), δηλαδή ρ(t, ϕ(t)) 2ϸ. Αν τώρα µ ϸ ορίζεται χρησιµοποιώντας το N ϸ, µε ανάλογο τρόπο όπως το µ ϸ από το N ϸ, έπεται ότι : µ ϸ (f ) µ ϸ(f ) 1 n ϸ t N ϸ f (t) f(ϕ(t)) ω(2ϸ) όπου ω(ϸ)=sup{ f (t) f (s) : ρ(t, s) ϸ}, έτσι το lim i µ ϸ i (f ) υπάρχει και ισούται µε µ(f ). Μένει να δείξουµε ότι το µ µένει αµετάβλητο στη δράση των στοιχείων της οµάδας G. Εστω ότι g Gκαι N ϸ = (gt) t N ϸ, δηλαδή N ϸ ={gx 1,..., gx n }. Το N ϸ είναι ελαχιστικό ε-δίκτυο. Πράγµατι, ϑέλουµε x M, j : ρ(gx j, x) < ϸ. ηλαδή g 1 x M, j : ρ(x j, g 1 x) < ϸ το οποίο ισχύει γιατί το N ϸ είναι ε-δίκτυο και άρα εφαρµόζοντας την g έχουµε ρ(gx j, gg 1 x)=ρ(gx j, x) < ϸ. Επίσης είναι και ελαχιστικό διότι έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων µε το N ϸ. Εφόσον το N ϸ είναι ελαχιστικό ε-δίκτυο έχουµε : 1 1 µ(f g)= lim f (g(t))= lim i n ϸi i t N ϸi n ϸi t N ϸi f (s)= lim i µ ϸ i (f )=µ(f ).

43 Κεφάλαιο 3 Το Θεώρηµα Dvoretzky 3.1 Το ϑεώρηµα Dvoretzky Θεώρηµα (Dvoretzky). Για κάθε ε > 0 και n N, υπάρχει αριθµός N(ε, n) ώστε κάθε χώρος Banach Ε διάστασης τουλάχιστον N(ε, n) περιέχει έναν n-διάστατο υπόχωρο F ώστε: d(f, l n 2 ) 1+ε Για απειροδιάστατους χώρους Banach έχουµε την ακόλουθη άµεση συνέπεια: Πόρισµα Εστω E να είναι ένας απειροδιάστατος χώρος Banach. Τότε για κάθε ε > 0, υπάρχει ακολουθία{e n } υπόχωρων του E τέτοια ώστε d(e n, l n 2 ) 1+ε για όλα τα n. Οµως η περίπτωση της πεπερασµένης διάστασης είναι αυτή που µας ενδιαφέ- ϱει πιο πολύ. Σε αυτή την περίπτωση ϑα αποδείξουµε την ακόλουθη αναδιατύπωση του ϑεωρήµατος Dvoretzky Θεώρηµα Για κάθε ε > 0, υπάρχει αριθµός φ(ϸ) > 0 µε την ακόλουθη ιδιότητα: Εστω ότι Ε ένας χώρος Banach πεπερασµένης διάστασης Ν. Τότε ο Ε περιέχει έναν υπόχωρο F E διάσταστης n = [φ(ϸ) log N] ώστε d(f, l n 2) 1+ε Παρατήρηση Σύµφωνα µε τα παραπάνω παρατηρούµε τα εξής: (1) Το ϑεώρηµα (3.1.3) µας δίνει µια εκτίµηση για την δίασταση του υπόχωρου F δεδοµένου ότι ο χώρος Ε έχει διάσταση Ν, ενώ στο ϑεώρηµα (3.1.1) έχουµε εκτίµηση για την δίασταση του χώρου δεδοµένου ότι ο υπόχωρος είναι διάστασης n. (2) Με γεωµετρικούς όρους το ϑεώρηµα Dvoretzky µας λέει ότι εάν n= [φ(ϸ) log N] τότε κάθε µπάλα B R N ορίζει µια τοµή η οποία (1+ε)-ισοδύναµη µε ένα ελλειψοειδές, δηλαδή υπάρχει υπόχωρος F R N διάστασης dimf= n και ένα ελλειψοειδές D F ώστε D F B (1+ε)D.

44 34 Το Θεώρηµα Dvoretzky Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα ακολουθήσουµε την µετροθεωρητική οπτική της απόδειξης του Milman, αλλά ϑα χρησιµοποιήσουµε Γκαουσιανά µέτρα αντί για µέτρα επιφανείας σε Ευκλείδειες σφαίρες. Θα αποδείξουµε το ακόλουθο ϑεώρηµα το οποίο µπορεί να ϑεωρηθεί και ως µια Γκαουσιανή αναδιατύπωση του ϑεωρήµατος Dvoretzky. Θεώρηµα Εστω ότι (g k ) k N είναι µια ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων Γκαουσιανών τυχαίων µεταβλητών σε κάποιο χώρο πιθανότητας (Ω, A, P). Εστω ότι Ε είναι ένας χώρος Banach και έστω (z k ) k N µια ακολουθία στοιχείων του Ε. Θεωρούµε ότι η σειρά X= g k z k k=1 συγκλίνει στον L 1 (Ω,A, P; E). Εστω ότι σ(x)=sup ζ (z k ) 2 και k=1 d(x)= 1/2 ( ) 2 E( X ). σ(x) ζ E, ζ 1 Τότε για κάθε ϸ > 0 υπάρχει αριθµός φ 1 (ϸ) > 0 ώστε ο Ε περιέχει έναν υπόχωρο F διάστασης n= [φ 1 (ϸ)d(x)] Παρατήρηση (1) Η καλύτερη εκτίµηση για τον αριθµό φ 1 (ϸ) > 0 του ϸ παραπάνω ϑεωρήµατος είναι φ 1 (ϸ)= log(1/ϸ) (ϐλ.[sch]) 2 (2) Η ποσότητα d(x) καλείται διάσταση της τυχαίας µεταβλητής Χ και πιο συγκεκριµένα «διάσταση συγκέντρωσης» της Χ. Εδώ η έννοια «διάσταση» δεν εξαρτάται µόνο από την τυχαία µεταβλητή Χ αλλά και από την νόρµα του χώρου Banach Ε από τον οποίο η Χ παίρνει τιµές. Επίσης η ποσότητα d(x) είναι πραγµατικός αριθµός και όχι απαραίτητα ακέραιος. (3) Το ϑεώρηµα Dvoretzky ϑα προκύψει εάν διαλέξουµε κατάλληλα z k ώστε d(x) = log N. ηλαδή το ϑεώρηµα (3.1.5) ανάγει την απόδειξη του ϑεωρήµατος Dvoretzky στο να ϐρούµε Γκαουσιανές τυχαίες µεταβλητές Χ (όπως στο ϑεώρηµα (3.1.5) ) µε µεγάλη δίασταση d(x). Πιο συγκεκριµένα, ας συµβολίσουµε µε n ε (E) τον µεγαλύτερο ακέραιο n ώστε να υπάρχει ένας n-διάστατος υπόχωρος F E που ικανοποιεί την d(f, l n 2) 1+ε. Εστω ότι δ(ϸ)=sup d(x). Τότε από το ϑεώρηµα (3.1.5) για κάποια συνάρτηση φ 2 (ϸ) > 0 έχουµε ότι : n ε (E) φ 2 (ϸ)δ(ϸ). Υπάρχει επίσης µια αντίστροφη εκτίµηση η οποία δείχνει ότι η µετροθεωριτική προσέγγιση του ϑεωρήµατος (3.1.5) στο ϑεώρηµα Dvoretzky είναι αυστηρή. Την αντίστροφη αυτή εκτίµηση την υπολογίζουµε στην επόµενη πρόταση. Πρόταση δ(e)(π/2)(1+ε) 2 n ε (E)

45 3.1 Το θεώρηµα Dvoretzky 35 Απόδειξη. Εστω ότι F E,ώστε d(f, l n 2 ) 1+ε. Εστω ότι T : ln 2 F είναι τέτοιος ώστε T T 1 1+ε. Ορίζουµε X= g i T(e i ). Τότε σ(x) 1/2 = sup (ζ (T(e i )) 2 ζ E, ζ 1 = sup{ ζ (T(e 1 )),..., ζ (T(e n )) 2 ζ E, ζ 1} 1/2 = sup < T (ζ ), e i > 2 ζ 1 = sup T (ζ ) 2 ζ 1 = T = T Το παραπάνω προκύπτει από τον ορισµό του δυϊκού τελεστή όπως παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο 1. Επίσης: ( ( ) n n 1/2 T 1 E X E T 1 (X) =E ( g i 2 ) ) 1/2 (E g i ) Οµως, E g 1 = 1 2π x e x2 /2 dx= 2 2π 0 2 2π ( 0+1)=(2/π) 1/2. Αρα η παραπάνω ανισότητα γίνεται τελικά : xe x2 /2 dx= 2 2π [ e x 2 /2 ] 0 = T 1 E X n 1/2 (2/π) 1/2. Από όπου έπεται d(x) (2/π)n( T T 1 ) 2 (2/π)n(1+ε) 2, το οποίο µας δίνει την Πρόταση (3.1.7). 3.1α Το ϕαινόµενο συγκέντρωσης µέτρου και το ϑεώρηµα Dvoretzky Για την απόδειξη του ϑεωρήµατος (3.1.5), η ακόλουθη εκτίµιση της διασποράς της X απο την µέση τιµή της ϑα είναι σηµαντική. Στην ορολογία του Milman αυτό είναι ένα ϕαινόµενο συγκέντρωσης µέτρου Θεώρηµα Εστω X να είναι όπως στο ϑέωρηµα (3.1.5) Εχουµε : (3.1) t > 0 P{ X E X > t} 2 exp( Kt 2 /σ(x) 2 ) όπου K είναι µια αριθµητική σταθερά (K= (2π) 2 στην απόδειξη παρακάτω) Απόδειξη. Μπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι ο E είναι χώρος πεπερασµένης διάστασης και ότι η σειρά στην (3.1.5) που ορίζει την Χ είναι στην πραγµατικότητα ένα πεπερασµένο άθροισµα. X= m g k z k (z k E) 1