1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov"

Transcript

1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Γιώργος Γιανναράκης και αυιδούλα ηµοπούλου Περίληψη Το 1939, ο Alexandr Alexandrov απέδειξε το ακόλουθο ϑεώρηµα : Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε, η f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη σχεδόν παντού στο C. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζουµε µία απόδειξη του ϑεωρήµατος. 1 Το ϑεώρηµα του Alexandrov Ενα από τα ϐασικά αποτελέσµατα της ϑεωρίας της κυρτής ανάλυσης είναι το ϑεώρηµα του Alexandrov σχετικά µε την διαφορισιµότητα δευτέρου ϐαθµού των κυρτών συναρτήσεων. Θεώρηµα 1.1. Εστω C R d ανοιχτό και κυρτό, f : C R µια κυρτή συνάρτηση. Τότε, η f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη σχεδόν παντού στο C. Περιγράφουµε συνοπτικά τα εργαλεία που χρησιµοποιούνται για την απόδειξη του ϑεω- ϱήµατοσ: (α) Το ϑεώρηµα του Rademacher: οι Lipschitz συναρτήσεις είναι διαφορίσιµες σχεδόν παντού. Βασικό ϱόλο στην απόδειξη αυτού του αποτελέσµατος παίζει το ϑεώρηµα του Lebesgue για την διαφορισιµότητα των απολύτως συνεχών συναρτήσεων g : [a, b] R. Οι κυρτές συναρτήσεις f : C R d R είναι τοπικά Lipschitz, άρα σχεδόν παντού διαφορίσιµες (ϑεώρηµα Reidemeister). Περιγράφουµε αυτά τα αποτελέσµατα στην Παράγραφο 2. (ϐ) Το γεγονός ότι η εικόνα του συνόλου των κρίσιµων σηµείων µιας Lipschitz συνάρτησης έχει µηδενικό µέτρο. Για κάθε K : R d R d, το σύνολο X το σύνολο των κρίσιµων σηµείων της K είναι το σύνολο των x R d στα οποία η K δεν είναι διαφορίσιµη ή είναι διαφορίσιµη αλλά ο πίνακας Jacobi A x της K στο x δεν είναι αντιστρέψιµος. Αν η K : R d R d είναι Lipschitz συνάρτηση, τότε το σύνολο των x στα οποία η K δεν είναι διαφορίσιµη έχει µηδενικό µέτρο (από το ϑεώρηµα του Rademacher) και το ίδιο ισχύει για την εικόνα του. Από την άλλη πλευρά, αν N R d είναι το σύνολο των x στα οποία η K είναι διαφορίσιµη µε det A x = 0, ϑα δείξουµε ότι λ(k(n)) = 0 χρησιµοποιώντας το λήµµα κάλυψης του Besicovitch. Περιγράφουµε αυτά τα αποτελέσµατα στην Παράγραφο 3. 1

2 (γ) Θεµελιώδη ϱόλο στην απόδειξη παίζουν οι ιδιότητες του υποδιαφορικού f µιας κυρτής συνάρτησης f : C R. Στην Παράγραφο 4 ϑα αποδείξουµε ότι η f είναι διαφορίσιµη συνάρτηση σχεδόν παντού. Στην Παράγραφο 5 συνδυάζουµε όλα τα παραπάνω για την απόδειξη του ϑεωρήµατος του Alexandrov. 2 Lipschitz συναρτήσεις Εστω A ανοικτό υποσύνολο του R d. υπάρχει σταθερά M > 0 τέτοια ώστε Μια συνάρτηση f : A R m λέγεται Lipschitz αν (2.1) f(x) f(y) M x y για κάθε x, y A, όπου z είναι η Ευκλείδεια νόρµα του z. Θεώρηµα 2.1 (ϑεώρηµα επέκτασης των McShane-Whitney). Εστω f : A R, A R d µια M-Lipschitz συνάρτηση. Τότε, υπάρχει M-Lipschitz συνάρτηση f : R d R τέτοια ώστε F A = f. Απόδειξη. Για κάθε a A ορίζουµε την συνάρτηση (2.2) f a (x) = f(a) + M x a, x R d. Τώρα, ορίζουµε F : R d R µε (2.3) F (x) = inf a A f a(x). Για τυχόν x A, έχουµε f(x) f(a) M x a άρα f(a) + M x a f(x) µε ισότητα αν a = x. Συνεπώς, (2.4) F (x) = inf f a(x) = inf {f(a) + M x a } = f(x). a A a A Μένει να δείξουµε ότι η F είναι M-Lipschitz. Εστω x, y R d. Θα δείξουµε ότι F (x) F (y) M x y. Ισοδύναµα Ϲητάµε M x y F (x) F (y) M x y, δηλαδή (2.5) F (y) M x y F (x) F (y) + M x y. Αρκεί να δείξουµε την δεξιά ανισότητα. Η άλλη, προκύπτει µε εναλλαγή των x και y. Θα δείξουµε ότι F (x) = inf {f(a) + M x a } inf a A = F (y) + M x y. a A {f(a) + M y a } + M x y 2

3 Για κάθε a A έχουµε x a y a + x y, άρα f(a) + M x a f(a) + M y a + M x y, άρα inf a A αφού, γενικά, ισχύει {f(a) + M x a } inf {f(a) + M y a + M x y } a A = inf {f(a) + M y a } + M x y, a A (2.6) inf {f(x) + κ} = inf {f(x)} + κ. x X x X Για την απόδειξη της τελευταίας ισότητας δείχνουµε τις δύο ανισότητες. Ενδεικτικά, για την (2.7) inf{f(x) + κ : x X} inf{f(x) : x X} + κ αρκεί να δείξουµε πως ο αριθµός inf{f(x) : x X}+κ είναι κάτω ϕράγµα του {f(x)+κ : x X}. Εστω x X. Τότε, f(x) inf{f(x) : x X} άρα f(x)+κ inf{f(x) : x X}+κ. Το x ήταν τυχόν, άρα το inf{f(x) : x X} + κ είναι κάτω ϕράγµα του {f(x) + κ : x X}. Σηµείωση. Το Θεώρηµα 2.1 γενικεύεται στην περίπτωση που η f είναι διανυσµατική συνάρτηση, δηλαδή, f : A R n, όπου A R m. Η γενίκευση αυτή είναι γνωστή ως το ϑεώρηµα του Kirszbraunn. Σύµφωνα µε ένα κλασσικό αποτέλεσµα του Lebesgue, αν g : [a, b] R είναι µια απολύτως συνεχής συνάρτηση τότε η παράγωγός της ορίζεται σχεδόν παντού στο [a, b], είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη, και για κάθε y < x στο [a, b] ισχύει (2.8) (y) = g(x) + y x g (t)dt. Οι Lipschitz συναρτήσεις f : [a, b] R είναι απολύτως συνεχείς, συνεπώς το ϑεώρηµα του Lebesgue εφαρµόζεται γι αυτέσ: Θεώρηµα 2.2. Εστω g : [a, b] R µια Lipschitz συνάρτηση µε σταθερά M. Τότε, η παράγωγος της g ορίζεται σχεδόν παντού στο [a, b] και (2.9) g (x) M σχεδόν για κάθε x [a, b]. Επίσης, η g είναι Lebesgue ολοκληρώσιµη, και για κάθε y < x στο [a, b] ισχύει (2.10) (y) = g(x) + y x g (t)dt. 3

4 Από την κυρτή ανάλυση γνωρίζουµε πως κάθε κυρτή συνάρτηση f : A R, όπου A είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του R d, είναι τοπικά Lipschitz: είναι Lipschitz σε κάθε συµπαγές υποσύνολο του A. Άρα, ϑα µπορούµε να εφαρµόσουµε το Θεώρηµα 2.2 για κάθε ευθύγραµµο τµήµα που περιέχεται στο A. Υπενθυµίζουµε τώρα τον ορισµό της διαφορισιµότητας για µια απεικόνιση K : C R d. Ορισµός 2.3. Η απεικόνιση K : C R d, C R d ανοιχτό, λέγεται διαφορίσιµη σε κάποιο x C αν υπάρχει d d πίνακας A (ο πίνακας Jacobi της K στο x) τέτοιος ώστε (2.11) K(y) = K(x) + A(y x) + o( x y ) για y x, y C. Το ϑεώρηµα διαφόρισης του Rademacher εξασφαλίζει ότι οι Lipschitz συναρτήσεις είναι σχεδόν παντού διαφορίσιµεσ: Θεώρηµα 2.4 (ϑεώρηµα διαφόρισης του Rademacher). Εστω C R d ανοιχτό, και f : C R m µια Lipschitz συνεχής συνάρτηση. Τότε, η f είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού στο C. Η απόδειξη του Θεωρήµατος 2.4 παραλείπεται. Φυσικά, µας ενδιαφέρει η περίπτωση m = 1. εδοµένου ότι οι κυρτές συναρτήσεις είναι τοπικά Lipschitz, το ϑεώρηµα του Rademacher εφαρµόζεται γι αυτές. Συγκεκριµένα, ϑα χρησιµοποιήσουµε το ϑεώρηµα του Reidemeister. Θεώρηµα 2.5 (Reidemeister). Εστω C ανοιχτό και κυρτό υποσύνολο του R d, και f : C R κυρτή συνάρτηση. Τότε, η f είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού στο C. Απόδειξη. Το ϑεώρηµα προκύπτει άµεσα από το ϑεώρηµα του Rademacher και από το γεγονός ότι κάθε κυρτή f : C R είναι Lipschitz στα συµπαγή υποσύνολα του C. Θα χρειαστούµε επίσης την εξής πρόταση : Πρόταση 2.6. Εστω K : R d R d µια Lipschitz συνεχής συνάρτηση, και έστω N R d µε λ(n) = 0. Τότε, λ(k(n)) = 0. Απόδειξη. Εστω ε > 0. Αφού λ(n) = 0, υπάρχουν B k = B(a k, r k ), k N, ώστε N B k και λ(b k) < ε. Είναι : K(B k ) = {K(x) : x B k }. Η K είναι L-Lipschitz, άρα K(x) K(a k ) L x a k Lr k για κάθε x B k. ηλαδή, το K(B k ) περιέχεται σε µπάλα ακτίνας Lr k. Ετσι, λ (K(B k )) L d λ(b k ). Τελικά, ( ) (2.12) λ (K(N)) λ K(B k ) L d λ(b k ) < L d ε. Αφήνοντας το ε 0, το Ϲητούµενο έπεται. 4

5 3 Το σύνολο των κρίσιµων σηµείων µιας Lipschitz συνάρτησης Εστω f : R d R d, και έστω X το σύνολο των κρίσιµων σηµείων της f, δηλαδή το σύνολο των x R d στα οποία η f δεν είναι διαφορίσιµη ή είναι διαφορίσιµη αλλά ο πίνακας Jacobi της f έχει τάξη µικρότερη από d (δεν είναι αντιστρέψιµος). Αν το x είναι κρίσιµο σηµείο της f που ανήκει στην δεύτερη κατηγορία, λέµε ότι η παράγωγος της f στο x είναι ιδιάζουσα. Εµάς, µας ενδιαφέρει το εξής ϑεώρηµα για την κλάση των Lipschitz συναρτήσεων : Θεώρηµα 3.1. Εστω K : R d R d µια Lipschitz συνεχής συνάρτηση, και έστω N R d το σύνολο των σηµείων του R d στα οποία η K είναι διαφορίσιµη µε ιδιάζουσα παράγωγο, δηλαδή det A x = 0, όπου A x ο d d πίνακας Jacobi της K στο x. Τότε, λ(k(n)) = 0. Το ϑεώρηµα 3.1 προκύπτει από το εξής λήµµα : Λήµµα 3.2. Εστω K : R d R d µια Lipschitz συνεχής συνάρτηση, και έστω N M R d το σύνολο των σηµείων του R d στα οποία η K είναι διαφορίσιµη και det A x M, όπου M > 0. Τότε, (3.1) λ(k(n M )) C 1 (d)mλ(n M ), όπου C 1 (d) είναι µια ϑετική σταθερά που εξαρτάται µόνο από τη διάσταση. Απόδειξη. Η απόδειξη ϐασίζεται σε ένα κλασσικό λήµµα κάλυψης του Besicovitch: Λήµµα 3.3 (Besicovitch, 1945). Υπάρχει σταθερά C(d) ώστε : για κάθε A R d και για κάθε συνάρτηση r : A (0, ) µε (3.2) sup{r(x) : x A} < µπορούµε να ϐρούµε ακολουθία {a k } σηµείων του A τέτοια ώστε (3.3) A B(a k, r(a k )) και, για κάθε x R d, το πλήθος των k για τους οποίους x B(a k, r(a k )) είναι το πολύ ίσο µε C(d). Συνεχίζουµε µε την απόδειξη του Λήµµατος 3.2. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι λ(n M ) < (αλλιώς, δεν έχουµε τίποτα να δείξουµε). Μπορούµε να ϐρούµε ανοικτό σύνολο U τέτοιο ώστε N M U και λ(u) 2λ(N M ). Σταθεροποιούµε ε > 0. Για κάθε x N M, χρησιµοποιώντας την υπόθεση ότι det A x M και ένα επιχείρηµα παρόµοιο µε αυτό της απόδειξης της Πρότασης 2.6, µπορούµε να ϐρούµε αρκετά µικρό r x = r x (ε) > 0 µε την εξής ιδιότητα : η κλειστή µπάλα B(x, r x ) περιέχεται στο U και (3.4) λ(k(b(x, r x ))) (M + ε)λ(b(x, r x )). 5

6 Από το γεγονός ότι B(x, r x ) U για κάθε x N M και λ(u) <, συµπεραίνουµε ότι (3.5) sup{r x : x N M } <. Μπορούµε τότε να χρησιµοποιήσουµε το λήµµα κάλυψης του Besicovitch και να ϐρούµε ακολουθία {x k } σηµείων του N M τέτοια ώστε (3.6) N M B(x k, r k ), (όπου r k := r xk ) και κάθε x N M ανήκει σε C(d) το πολύ από τις µπάλες B(x k, r k ). Η τελευταία ιδιότητα της κάλυψης µας επιτρέπει να γράψουµε (3.7) χ B(xk,r k ) (x) C(d)χ U(x), x R d. Συνεπώς, λ(b(x k, r k )) = R d χ B(xk,r k ) (x)dx C(d)χ U (x)dx R d = C(d)λ(U) 2C(d)λ(N M ). Τώρα, γράφουµε ( ( λ(k(n M )) λ K B(x k, r k )) ) (M + ε) λ(k(b(x k, r k ))) λ(b(x k, r k )) 2C(d)(M + ε)λ(n M ). Εφόσον το ε > 0 ήταν τυχόν, παίρνουµε το συµπέρασµα µε C 1 (d) = 2C(d). Απόδειξη του Θεωρήµατος 3.1. Αν λ(n) < τότε ο ισχυρισµός του ϑεωρήµατος προκύπτει άµεσα από το Λήµµα 3.2. Για κάθε M > 0 ισχύει N N M, άρα (3.8) λ(k(n)) λ(k(n M )) C 1 (d)mλ(n M ). Αφήνοντας το M 0 ϐλέπουµε ότι λ(k(n)) = 0. Αν λ(n) =, γράφουµε N = m=1 (N B(0, m)) και παρατηρούµε ότι λ(k(n B(0, m))) = 0 εφαρµόζοντας το προηγούµενο αποτέλεσµα για το σύνολο N B(0, m) το οποίο έχει πεπερασµένο µέτρο. Τέλος, από την ( ( (3.9) λ(k(n)) = λ K (N B(0, m))) ) λ(k(n B(0, m))) = 0 έπεται το συµπέρασµα. m=1 m=1 6

7 4 Υποδιαφορικό κυρτής συνάρτησης Θεµελιώδη ϱόλο στην απόδειξη, έχει το υποδιαφορικό κυρτής συνάρτησης. Ορισµός 4.1. Αν C R d είναι ανοικτό κυρτό σύνολο και f : C R είναι µια κυρτή συνάρτηση, τότε για κάθε x C το υποδιαφορικό της f στο x είναι το σύνολο των u R d για τα οποία ισχύει (4.1) f(y) f(x) + u, y x, y C. Γράφουµε (4.2) f(x) := {u R d : f(y) f(x) + u, y x, y C}. Παρατηρούµε πως το υποδιαφορικό ορίζει µια απεικόνιση x f(x) της οποίας οι τιµές είναι υποσύνολα του R d. Από την κυρτή ανάλυση γνωρίζουµε πως το f(x) είναι συµπαγές, µη κενό και πως είναι µονοσύνολο, έστω f(x) = {u}, αν και µόνο αν η f είναι διαφορίσιµη στο x. Σε αυτή την περίπτωση, ταυτίζουµε το f(x) µε το u, και τότε το υποδιαφορικό δεν είναι παρά η κλίση της f στο x. Πρόταση 4.2. Η απεικόνιση f είναι µονότονη, µε την εξής έννοια : αν x, y C, u f(x) και v f(y), τότε (4.3) x y, u v 0. Απόδειξη. Από τον ορισµό του υποδιαφορικού έχουµε (4.4) f(y) f(x) + u, y x και f(x) f(y) + v, x y. Προσθέτοντας τις δύο ανισότητες παίρνουµε (4.5) 0 u, y x + v, x y = u, y x v, y x = u v, y x, άρα (4.6) u v, x y = u v, y x 0. Σε αυτό το σηµείο, ορίζουµε µια απεικόνιση η οποία ϑα ϐοηθήσει στην απόδειξη χρήσιµων ιδιοτήτων του υποδιαφορικού. Στα επόµενα, I είναι η ταυτοτική απεικόνιση. Θεωρούµε το σύνολο (4.7) D = (x + f(x)). x C 7

8 Πρόταση 4.3. Η απεικόνιση (µε τιµές σύνολα) K = (I + f) 1, µε πεδίο ορισµού το D, είναι Lipschitz. Ειδικότερα, οι τιµές της είναι µονοσύνολα. Επεξηγήσεις. x + f(x) := {x + u : u f(x)}. Αν x + u D τότε το K(x + u) είναι το σύνολο όλων των t C µε x + u t + f(t). Οταν γράφουµε ότι η K είναι Lipschitz, εννοούµε το εξήσ: αν w K(x + u) και z K(y + v), τότε (4.8) (y + v) (x + u). Απόδειξη. Εστω x + u, y + v D και w K(x + u), z K(y + v). Υποθέτουµε ότι z w, αλλιώς η (4.8) ισχύει τετριµµένα. Εχουµε x + u w + f(w) και y + v z + f(z). Από την Πρόταση 4.2, (4.9) z w, y + v z x u + w 0. [Πράγµατι, έχουµε z, w C και x + u w + f(w), άρα x + u w f(w) και y + v z + f(z), άρα y + v z f(z).] Ξαναγράφουµε αυτήν την ανισότητα στη µορφή (4.10) z w, y + v x u + z w, w z 0, απ όπου παίρνουµε (4.11) z w, y + v x u z w, z w = 2. Επεται ότι (4.12) 2 z w, y + v x u y + v x u, άρα (4.13) y + v x u. είχνουµε τώρα ότι οι τιµές της K είναι µονοσύνολα. Εστω ότι για κάποιο x C υπάρχουν w, z K(x + u) για κάποιο u f(x), και w z. Τότε, (4.14) 0 < x + u x u = 0, το οποίο είναι άτοπο. 8

9 Στα επόµενα ϑα ασχοληθούµε µε την συνέχεια της απεικόνισης του υποδιαφορικού. Τονίζουµε πως αν το f(x) είναι µονοσύνολο τότε ο ορισµός της συνέχειας είναι ο κλασικόσ: αν {u} = f(x), λέµε ότι η f είναι συνεχής στο x αν για κάθε περιοχή N του x το σύνολο f(y) περιέχεται στην N για κάθε y C που η απόστασή του y x από το x είναι αρκούντως µικρή. Εφαρµόζοντας αυτό το ϑεώρηµα για την f έχουµε : Λήµµα 4.4. Η f είναι διαφορίσιµη στο C \ Z, όπου Z C είναι ένα σύνολο µέτρου µηδέν. Θεώρηµα 4.5. Εστω C ανοιχτό και κυρτό υποσύνολο του R d, και f : C R κυρτή συνάρτηση. Τότε, η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο C. Απόδειξη. είχνουµε ότι η f είναι συνεχής στο C \ Z, όπου Z το σύνολο στο Λήµµα 4.4. Θεωρούµε x C \ Z και τυχούσα ακολουθία (x n ) διανυσµάτων του C R d µε x n x. Θα δείξουµε ότι f(x n ) f(x). Επειδή η f είναι διαφορίσιµη στο x, έχουµε f(x) = {u} για κάποιο u R d. Τα f(x n ) όµως, αφού x n C, είναι υποσύνολα του R d. Τονίζουµε πως ο χώρος στον οποίον ανήκουν, είναι αυτός των συµπαγών υποσυνόλων του R d, τον οποίο συµβολίζουµε µε H(R d ), εφοδιασµένος µε τη µετρική Hausdorff. Για να δείξουµε την f(x n ) f(x), ϑεωρούµε τυχόντα u n f(x n ) και ϑα δείξουµε ότι u n u. Εχουµε : επειδή u n f(x n ), για κάθε y C ισχύει (4.15) f(y) f(x n ) + u n, y x n. Θεωρούµε µια περιοχή N C του x τέτοια ώστε η f να είναι L-Lipschitz εκεί. Επειδή x n x N, υπάρχουν πεπερασµένοι όροι της ακολουθίας έξω απ το N. Απαλοίφοντάς τους, και αλλάζοντας αν χρειάζεται δείκτη (η σύγκλιση δεν επηρεάζεται) ϑεωρούµε πως x n N, n = 1, 2,.... Για κάθε n N διαλέγουµε y n N τέτοιο ώστε : y n x n 0 και το y n x n έχει την ίδια κατεύθυνση µε το διάνυσµα u n. Από την (4.15) είναι (4.16) L y n x n f(y n ) f(x n ) u n, y n x n = u n y n x n, άρα u n L. ηλαδή, η (u n ) είναι ϕραγµένη. Για την απόδειξη της u n u αρκεί να δείξουµε ότι για κάθε συγκλίνουσα υπακολουθία (u kn ) της (u n ) έχουµε (4.17) u kn u. Τότε, η u n u έπεται ως εξήσ: έστω ότι u n u. Τότε, υπάρχει ε > 0 ώστε u n u ε για άπειρα n N. Θεωρούµε την υπακολουθία (u kn ) αυτών των όρων. Είναι ϕραγµένη, άρα έχει συγκλινουσα υπακολουθία u kλn v u. Αφού η (u kλn ) είναι υπακολουθία της (u n ) οδηγούµαστε σε άτοπο. 9

10 Μένει να δείξουµε την (4.17). Εστω (u kn ) τυχούσα συγκλίνουσα υπακολουθία της (u n ), µε u kn v. Εχουµε x kn x και η f είναι συνεχής. Από την (4.15) έχουµε (4.18) f(y) f(x kn ) + u kn, y x kn για κάθε y C. Παίρνοντας όρια, έχουµε (4.19) f(y) f(x) + v, y x για κάθε y C. Άρα, v f(x) = {u}, το οποίο αποδεικνύει ότι v = u. Για x C, ο ορισµός της διαφορισιµότητας της f είναι αυτός που αναφέρθηκε προηγου- µένως για την K, µε την προϋπόθεση ότι το f(x) είναι µονοσύνολο, έστω f(x) = {u} u. Ισοδύναµα, µπορούµε να πούµε πως η f είναι διαφορίσιµη στο x C αν (4.20) f(y) = u + H(y x) + o( y x ) καθώς y x, y C, ή αλλιώς, (4.21) v = u + H(y x) + o( y x ) καθώς y x, y C οµοιόµορφα ως προς v f(y). Θα χρησιµοποιήσουµε την τελευταία περιγραφή της διαφορισιµότητας για να δείξουµε την ακόλουθη πρόταση : Πρόταση 4.6. Εστω ότι η f είναι συνεχής στο x C, και ότι η απεικόνιση K, όπως ορίστηκε προηγουµένως, είναι διαφορίσιµη στο w = x + u, όπου u f(x), µε µη-ιδιάζουσα παράγωγο. Τότε η f είναι διαφορίσιµη στο x. Ιδιαίτερα, η παράγωγός της είναι H = A 1 I. Απόδειξη. Παρατηρούµε ότι µεγάλο µέρος της απόδειξης είναι αποτέλεσµα της διαφορισιµότητας της K στο w: είχνουµε πρώτα ότι (4.22) K(z) K(w) = A(z w) + r, z D, όπου το r z w είναι αυθαίρετα µικρό αν το είναι αρκούντως µικρό. Με άλλα λόγια, για κάθε ε > 0 υπάρχει δ(ε) > 0: αν < δ τότε r z w < ε. Πράγµατι, έστω w = x + u D, u = f(x), z = y + v D, y C, v f(y) και εποµένως x = K(w), y = K(z) από τον ορισµό της K. Εχουµε άρα y x = A(z w) + r A 1 (y x) = z w + A 1 r y + v x u + A 1 r = A 1 (y x) (4.23) v = u + (A 1 I)(y x) A 1 r. 10

11 Πρέπει όµως να δείξουµε ότι το A 1 r y x είναι αυθαίρετα µικρό, οµοιόµορφα ως προς v f(y), αν το y x είναι αρκούντως µικρό. Αυτό ϑα γίνει ως εξήσ: Αρχικά, ορίζουµε µια νόρµα για πραγµατικούς d d πίνακες ως εξήσ: αν B = (b ik ) R d d, τότε (4.24) B := d i, Χρησιµοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz εύκολα δείχνουµε το ακόλουθο : για κάθε p R d έχουµε (4.25) Bp 2 B p 2, άρα (4.26) p = B 1 Bp B 1 Bp. ηλαδή, (4.27) Bp p B 1 για κάθε p R d και για κάθε B R d d µε det B 0. Στη συνέχεια αποδεικνύουµε ότι : το είναι αυθαίρετα µικρό, οµοιόµορφα ως προς v f(y), αν το y x είναι αρκούντως µικρό. Με άλλα λόγια, (4.28) Για κάθε ε > 0 υπάρχει δ(ε) > 0 : αν y x < δ, τότε < ε οµοιόµορφα ως προς v f(y). Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε τη συνέχεια του f στο x. Εστω ε > 0. Γνωρίζουµε πως υπάρχει δ(ε) > 0 τέτοιο ώστε, αν y C και y x < δ τότε το f(y) περιέχται στην B(u, ε), όπου u = f(x). Ετσι, για κάθε v f(y) έχουµε u v < ε και από την τριγωνική ανισότητα (4.29) = y + v x u v u + y x, άρα, αφήνοντας το y x 0 (τελικά, ϑα έχουµε y x < δ) παίρνουµε < ε. b 2 ik 1/2. Τώρα, χρησιµοποιώντας τους ισχυρισµούς (4.22), (4.27) και (4.28) ϑα δείξουµε ότι y x = K(z) K(w) A(z w) r A 1 2 A 1 = 2 A 1. 11

12 Απόδειξη. Από τον ισχυρισµό (4.22) έχουµε (4.30) K(z) K(w) = A(z w) + r, άρα (4.31) A(z w) = K(z) K(w) r K(z) K(w) + r, απ όπου έπεται ότι (4.32) A(z w) r K(z) K(w) = y x}. Από την (4.27), (4.33) A(z w) A 1. Επειδή r > 0, από την (4.28), για αρκετά µικρό y x έχουµε z w 2 A 1 r, άρα (4.34) A(z w) r A 1 2 A 1 = 2 A 1. Επιστρέφοντας στην (4.23), έχουµε από την τελευταία πρόταση, (4.35) 2 A 1 1 y x, άρα A 1 r y x 2 (A 1 ) 2 r. Για y x, δηλαδή y x 0, από την (4.28) έχουµε ότι και το 0, άρα (4.36) r 0 από την (4.22). Άρα, (4.37) 2 (A 1 ) 2 r 0, άρα A 1 r y x 0 καθώς το y x, οµοιόµορφα ως προς v f(y). Συνδυάζοντας τα προηγούµενα αποτελέσµατα, δείχνουµε το εξής. Πρόταση 4.7. Η f είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού στο C. 12

13 Απόδειξη. Από την Πρόταση 4.3, η K = (I + f) 1 : D R d είναι συνάρτηση Lipschitz, άρα επεκτείνεται σε µια συνάρτηση Lipschitz ορισµένη στον R d, από το ϑεώρηµα επέκτασης των McShane-Whitney (Θεώρηµα 2.1). Συµβολίζουµε πάλι µε K αυτήν την επέκταση. Ορίζουµε M το σύνολο των σηµείων του R d στα οποία η K δεν είναι διαφορίσιµη, και N το σύνολο των σηµείων στα οποία είναι διαφορίσιµη αλλά έχει ιδιάζουσα παράγωγο. Από το Θεώρηµα 2.5, την Πρόταση 2.6 και το Θεώρηµα 3.1, το σύνολο K(M N) έχει µηδενικό µέτρο. Από το Λήµµα 4.4 και το Θεώρηµα 4.5, το σύνολο L έχει κι αυτό µηδενικό µέτρο, άρα το K(M N) L έχει µηδενικό µέτρο. Θα δείξουµε ότι το f είναι διαφορίσιµο σε κάθε x C \ (K(M N) L): Για κάθε τέτοιο x, από το Θεώρηµα 4.5 έχουµε ότι το f είναι συνεχές στο x, και από τον ορισµό των M και N συµπεραίνουµε πως η K είναι διαφορίσιµη στο x + u, µε µη-ιδιάζουσα παράγωγο. Πράγµατι, (4.38) x + u = (I + f)(x) = K 1 (x) / M N. Από την Πρόταση 4.6 έπεται το συµπέρασµα. 5 Απόδειξη του ϑεωρήµατος Θα δείξουµε ότι κάθε κυρτή συνάρτηση f : C R, όπου C κυρτό και ανοιχτό υποσύνολο του R d, είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη σχεδόν παντού στο C. ηλαδή : Θεώρηµα 5.1. Σχεδόν για κάθε x C, υπάρχουν u R d (η κλίση της f στο x) και ένας H R d d (ο Εσσιανός πίνακας της f στο x) ώστε : (5.1) f(y) = f(x) + u, y x (y x)t H(y x) + o( y x 2 ) καθώς το y x, y C. Ιδιαίτερα, u = f(x) και H είναι η παράγωγος της f στο x. Απόδειξη. Η ιδέα είναι η εξήσ: ϑα περιορίσουµε την f σε ένα ευθύγραµµο τµήµα του πεδίου ορισµού της, στο οποίο ϑα είναι παραγωγίσιµη σχεδόν παντού. Υστερα, ϑα την γράψουµε ως το ολοκλήρωµα της παραγώγου της. Από το Λήµµα 4.4 και την Πρόταση 4.7 γνωρίζουµε πως οι f και f είναι διαφορίσιµες σχεδόν παντού στο C. Εστω x C στο οποίο είναι και οι δύο διαφορίσιµες. Από την διαφορισιµότητα της f στο x έχουµε (5.2) f(y) = u + H(y x) + o( y x ) καθώς το y x, y C, όπου u = f(x) και H είναι η παράγωγος της f στο x. Το Λήµµα 4.4 δείχνει και κάτι άλλο : Η f είναι διαφορίσιµη στο x + th για όλα σχεδόν τα µοναδιαία διανύσµατα h και για όλα σχεδόν τα t 0 για τα οποία ισχύει x + th C. 13

14 Θεωρούµε λοιπόν µοναδιαίο h R d και t 0 ώστε : x+th C και η f είναι διαφορίσιµη στο x + th. Εχουµε (5.3) f(y) = f(x + th) + v, y (x + th) + o( y (x + th) ) καθώς το y x + th, y C, όπου v = f(x + th). Ειδικότερα, προσεγγίζοντας το x + th από την ίδια ευθεία (ϑέτουµε y = x + sh) έχουµε f(x + sh) = f(x + th) + v, sh th + o( h s t ) = f(x + th) + v, h (s t) + o( s t ), για x + sh x + th, δηλαδή για s t (µε x + th C). Εχουµε δηλαδή ότι η κυρτή συνάρτηση t f(x + th) µιάς µεταβλητής είναι διαφορίσιµη σχεδόν για όλα τα t 0 για τα οποία x + th C. Η παράγωγός της είναι v, h, όπου v = f(x + th). Εφαρµόζοντας το Θεώρηµα 2.2 για την s f(x + sh) στο [0, t] έχουµε (από την (5.2)) f(x + th) = f(x) + = f(x) + = f(x) + = f(x) + t 0 t 0 t 0 t 0 f(x + sh), h ds u + H(sh) + o( sh ), h ds ( u, h + s H(h), h + o( s ), h ) ds ( u, h + s h T Hh + o( s )) ds = f(x) + t v, h (ht Hh)t 2 + o(t 2 ) καθώς το t 0, οµοιόµορφα ως προς h. Άρα, (5.4) f(y) = f(x) + u, y x (y x)t H(y x) + o( y x 2 ) για y x, y C, οµοιόµορφα ως προς y της µορφής x + th, άρα για σχεδόν όλα τα y C. Επειδή τα f(y) και f(x) + u, y x (y x)t H(y x) εξαρτώνται συνεχώς από το y, η (5.4) ισχύει για όλα τα y C. Ετσι, δείξαµε την (5.1), δηλαδή το ϑεώρηµα του Alexandrov. Αναφορές [1] P. M. Gruber, Convex anf discrete geometry. [2] J. Heinonen, Lectures on Lipschitz analysis. [3] R. Howard, Alexandrov s theorem on the second derivatives of convex functions vi Rademacher s theorem on the first derivatives of Lipschitz functions. [4] Τ. Χατζηαφράτης, Απειροστικός Λογισµός σε πολλές µεταβλητές. 14

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R

Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Το ϑεώρηµα παραγώγισης του Lebesgue στο R Μαρία Μαστροθεοδώρου και Αγγελική Χαντζηθάνου Περίληψη Το κεντρικό αποτέλεσµα της εργασίας είναι ότι µια συνάρτηση f είναι απόλυτα συνεχής στο [, b] αν και µόνο

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard.

Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, Lipschitz, Picard. Μη Γραµµική Συναρτησιακή Ανάλυση Το Θεώρηµα των Cauchy, ipschitz, Picard. Νίκος Σταµάτης nstam84@gmail.com 7 Φεβρουαρίου 212 Περίληψη Σε αυτή την εργασία παρουσιάζουµε µια αναλυτική απόδειξη του ϑεωρήµατος

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ

1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΑ Μια Εισαγωγή στη Θεωρία Παιγνίων Κώστας Στροπωνιάτης ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ A ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΑΜΟΣ 1 Επιβλέπων Βαγγέλης Φελουζής Επιτροπή Χρήστος Νικολόπουλος Νίκος Παπαλεξίου 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m.

D 1 D, D n+1 D n, D n G n, diam(d n ) < 1 n. B := ρ(x n, x m ) diam(d m ) < 1 m. Σηµειώσεις Συναρτησιακής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Το ϑεώρηµα κατηγορίας του Baire 4 2. Χώροι Banach 5 3. Φραγµένοι γραµµικοί τελεστές 8 4. Χώροι πεπερασµένης

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13112012 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης

Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Θεωρία Μετρικών Χώρων Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Μετρικοί χώροι 5 Σύγκλιση ακολουθιών 7 Ανοιχτά και κλειστά σύνολα 9 Συνεχείς συναρτήσεις 13 Κλειστότητα, σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014

Θεµέλια των Μαθηµατικών. Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό. Φεβρουάριος 2014 Θεµέλια των Μαθηµατικών Προαπαιτούµενες έννοιες για µια εισαγωγή στον Απειροστικό Λογισµό Επιµέλεια: Νίκος Σκούταρης, nskoutaris@gmail.com Φεβρουάριος 2014 ii Θεµέλια των Μαθηµατικών Το κείµενο αυτό περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης

ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης ιανυσµατική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 13.1.2013 Σηµείωση : Οι παρούσες σηµειώσεις δηµιουργούνται κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του µαθήµατος Απειροστικός Λογισµός ΙΙΙ σε ϕοιτητές του τρίτου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις

Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης. Σηµειώσεις Στοιχεία Συναρτησιακής Ανάλυσης Σηµειώσεις σύντοµη εκδοχή Ε. Στεφανόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αιγαίου Καρλόβασι 2016 2 Περιεχόµενα 1 Γραµµικοι χωροι µε νορµα 5 1.1 Γραµµικοί χώροι......................................

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων Περιεχόµενα 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων 3 11 Ο Χώρος των Ελευθέρων ιανυσµάτων 3 12 Εσωτερικές και Εξωτερικές Πράξεις 8 13 Η έννοια του σώµατος 9 2 ιανυσµατικοι Χωροι 13 21 ιανυσµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο

Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ. Το εσωτερικό γινόµενο Ο ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΟΣ ΧΩΡΟΣ Το εσωτερικό γινόµενο Σε πολλές πρακτικές καταστάσεις, η τιµή µιας ποσότητας εξαρτάται από τις τιµές δύο ή περισσότερων άλλων ποσοτήτων. Για παράδειγµα η συνάρτηση V = π r h υπολογίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Κυριάκος Γ. Μαυρίδης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΥΝΟΛΑ.... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ...9 3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... 9 4. ΣΕΙΡΕΣ... 33 5. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 43 6. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 57 7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις για τα Μαθήµατα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ι και Εισαγωγή στην Ανάλυση ΙΙ Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Το Αξίωµα τής Πληρότητας 5 Ασκήσεις 9

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται

Η τροχιά του δυναµικού συστήµατος µε αρχική συνθήκη X γράφεται Απόδειξη Θεωρήµατος Poincare-Bendixson Το δυναµικό σύστηµα είναι στο επίπεδο, προσδιορίζεται από το διάνυσµατικό πεδίο ταχυτήτων v(x), και οι τροχιές ικανοποιούν την δυνα- µική: ẋ = v(x). Η τροχιά του

Διαβάστε περισσότερα

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης

Διανυσματική Ανάλυση. Γιάννης Γιαννούλης Διανυσματική Ανάλυση Γιάννης Γιαννούλης Ιωάννινα, 30 Απριλίου 2014 Σημείωση: Οι παρούσες σημειώσεις δημιουργήθηκαν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας του μαθήματος Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ και IV σε φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Βούτες, 70013 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com Ανοιξη 2013-14 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα