Isoperimetrikèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou

Transcript

1 Kefˆlaio 3 Isoperimetrikèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou 3.1 MetrikoÐ q roi pijanìthtac 3.1αʹ Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός (μετρικός χώρος πιθανότητας). Εστω (X, d) ένας μετρικός χώρος. Αν µ είναι ένα μέτρο πιθανότητας στη σ-άλγεβρα B(X) των Borel υποσυνόλων του (X, d), τότε η τριάδα (X, d, µ) λέγεται μετρικός χώρος πιθανότητας. Παραδείγματα Η σφαίρα S n 1. Συμβολίζουμε με την Ευκλείδεια νόρμα στον R n. Θεωρούμε την μοναδιαία σφαίρα (3.1.1) S n 1 = {x R n : x = 1} στον R n, εφοδιασμένη με την γεωδαισιακή μετρική ρ: η απόσταση ρ(x, y) δύο σημείων x, y S n 1 είναι η κυρτή γωνία xoy στο επίπεδο που ορίζεται από την αρχή των αξόνων o και τα x, y. Η S n 1 γίνεται χώρος πιθανότητας με το μοναδικό αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς μέτρο σ: για κάθε Borel σύνολο A S n 1 θέτουμε (3.1.) σ(a) := C(A) B n, όπου B n είναι η μοναδιαία Ευκλείδεια μπάλα, (3.1.3) C(A) := {sx : x A και 0 s 1}, και Q είναι το n-διάστατο μέτρο Lebesgue του Q. Η ρ είναι όντως μετρική στην S n 1 (άσκηση). Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι αν ρ(x, y) = θ τότε (3.1.4) x y = sin θ,

2 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου συνεπώς η γεωδαισιακή και η Ευκλείδεια απόσταση των x, y S n 1 συγκρίνονται μέσω της (3.1.5) π ρ(x, y) x y ρ(x, y).. Ο χώρος του Gauss. Θεωρούμε τον R n με την Ευκλείδεια μετρική και το μέτρο πιθανότητας γ n που έχει πυκνότητα την συνάρτηση (3.1.6) g n (x) = (π) n/ e x /. Δηλαδή, αν A είναι ένα σύνολο Borel στον R n, τότε 1 (3.1.7) γ n (A) = e x (π) n/ / dx. A Το γ n είναι το n-διάστατο μέτρο του Gauss και ο χώρος πιθανότητας Γ n = (R n,, γ n ) είναι ο n-διάστατος χώρος του Gauss. Το μέτρο του Gauss έχει δύο πολύ σημαντικές ιδιότητες: από την μία πλευρά είναι μέτρο γινόμενο, πιό συγκεκριμένα γ n = γ 1 γ 1. Από την άλλη πλευρά είναι αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς: αν U O(n) και A είναι ένα Borel υποσύνολο του R n, τότε (3.1.8) 1 γ n (U(A)) = e x (π) n/ / det U dx = e Uy U(A) (π) n/ / dy A 1 = e y (π) n/ / dy = γ n (A). A 3. Ο διακριτός κύβος. Θεωρούμε το σύνολο E n = { 1, 1} n, το οποίο ταυτίζουμε με το σύνολο των κορυφών του κύβου Q n = [ 1, 1] n στον R n. Στον E n ορίζουμε το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας µ n που δίνει μάζα n σε κάθε σημείο. Δηλαδή, αν A είναι ένα υποσύνολο του E n, τότε (3.1.9) µ n (A) = A n, όπου με A (αλλά και με card(a)) συμβολίζουμε τον πληθάριθμο ενός πεπερασμένου συνόλου. Ο E n γίνεται μετρικός χώρος με απόσταση την (3.1.10) d n (x, y) = 1 n card{i n : x i y i } = 1 n n x i y i. i=1

3 3.1 Μετρικοι χωροι πιθανοτητας 3 3.1βʹ Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα Ορισμός (t-περιοχή). Εστω (X, d) μετρικός χώρος. Για κάθε μη κενό A B(X) και για κάθε t > 0 ορίζουμε την t-περιοχή του A ως εξής: (3.1.11) A t = {x X : d(x, A) t}. Ορισμός (επιφάνεια κατά Minkowski). Εστω (X, d) μετρικός χώρος και έστω µ ένα (όχι αναγκαστικά πεπερασμένο) μέτρο στην Borel σ-άλγεβρα B(X). Η επιφάνεια ενός Borel υποσυνόλου A του X ορίζεται ως εξής: µ(a t \ A) (3.1.1) (A) = lim inf, t 0 + t όπου A t είναι η t-περιοχή του A. Αν µ(a) < (το οποίο φυσικά ισχύει αν ο (X, d, µ) είναι μετρικός χώρος πιθανότητας) τότε (3.1.13) (A) = lim inf t 0 + µ(a t ) µ(a). t Σε κάθε μετρικό χώρο πιθανότητας μπορούμε να διατυπώσουμε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα: Για δοσμένο 0 < α < 1, να βρεθεί το (3.1.14) inf{ (A) : A B(X), µ(a) α} και να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σύνολα A για τα οποία πιάνεται αυτό το infimum. Μπορούμε επίσης να διατυπώσουμε αντίστοιχο πρόβλημα για το μέτρο των t-περιοχών, σταθεροποιώντας t > 0: Για δοσμένα 0 < α < 1 και t > 0, να βρεθεί το (3.1.15) inf{µ(a t ) : A B(X), µ(a) α} και να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σύνολα A για τα οποία πιάνεται αυτό το infimum. Το infimum παίρνεται πάνω από όλα τα A B(X) για τα οποία µ(a) α (και όχι µ(a) = α) για καθαρά τεχνικούς λόγους: στο γενικό πλαίσιο που συζητάμε, μπορεί, για κάποια τιμή του α, να μην υπάρχουν σύνολα A B(X) ώστε µ(a) = α. Οι λύσεις του δεύτερου προβλήματος μπορεί να είναι διαφορετικές για διαφορετικές τιμές του t. Στα κλασικά όμως παραδείγματα δεν εξαρτώνται από το t και αυτό σημαίνει ότι είναι και λύσεις του πρώτου προβλήματος. Είναι μάλιστα, όπως θα δούμε, πολύ «συμμετρικά υποσύνολα» του X, το οποίο σημαίνει ότι μπορούμε σχετικά εύκολα να υπολογίσουμε το μέτρο της t-περιοχής τους και την επιφάνειά τους.

4 4 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου 3. Klasikèc isoperimetrikèc anisìthtec Σε αυτήν την παράγραφο θα συζητήσουμε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα για τα κλασικά παραδείγματα μετρικών χώρων πιθανότητας που ορίστηκαν στην προηγούμενη παράγραφο: την Ευκλείδεια μοναδιαία σφαίρα S n 1, τον χώρο του Gauss Γ n και τον διακριτό κύβο E n. 3.αʹ Ισοπεριμετρική ανισότητα στην σφαίρα Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα στην σφαίρα διατυπώνεται ως εξής: Δίνονται α (0, 1) και t > 0. Ανάμεσα σε όλα τα Borel υποσύνολα A της σφαίρας για τα οποία σ(a) = α, να βρεθούν εκείνα για τα οποία ελαχιστοποιείται η επιφάνεια σ(a t ) της t-περιοχής του A. Η απάντηση δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 3..1 (ισοπεριμετρική ανισότητα στην σφαίρα). Εστω α (0, 1) και έστω B(x, r) = {y S n 1 : ρ(x, y) r} μια μπάλα στην S n 1 με ακτίνα r > 0 που επιλέγεται ώστε σ(b(x, r)) = α. Τότε, για κάθε A S n 1 με σ(a) = α και για κάθε t > 0 έχουμε (3..1) σ(a t ) σ ( B(x, r) t ) = σ ( B(x, r + t) ). Δηλαδή, για οποιοδήποτε δοσμένο μέτρο α και οποιοδήποτε t > 0 οι γεωδαισιακές μπάλες μέτρου α δίνουν την λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος. Η απόδειξη της ισοπεριμετρικής ανισότητας γίνεται με σφαιρική συμμετρικοποίηση και επαγωγή ως προς την διάσταση (μια περιγραφή του επιχειρήματος δίνεται στο παράρτημα). Ας θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση α = 1/. Αν σ(a) = 1/ και t > 0, τότε μπορούμε να εκτιμήσουμε το μέγεθος του A t χρησιμοποιώντας την ισοπεριμετρική ανισότητα: (3..) σ(a t ) σ (B ( x, π + t)) για κάθε t > 0 και x S n 1. Εκτιμώντας από κάτω το δεξιό μέλος αυτής της ανισότητας οδηγούμαστε στο εξής: Θεώρημα 3... Εστω A S n+1 με σ(a) = 1 και έστω t > 0. Τότε, (3..3) σ(a t ) 1 π/8 exp( t n/). Απόδειξη. Λόγω της σφαιρικής ισοπεριμετρικής ανισότητας, αρκεί να φράξουμε από κάτω το σ(b(x, π + t)). Παρατηρήστε ότι (3..4) σ(b(x, π + t)) = π +t 0 sin n θdθ π 0 sinn θdθ,

5 3. Κλασικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 5 οπότε θέτοντας h(t, n) = 1 σ(b(x, π + t)), ζητάμε άνω φράγμα γιά την π π (3..5) h(t, n) = +t sinn π θdθ π 0 sinn θdθ = cos n φdφ t, I n όπου (3..6) I n = π/ 0 cos n φdφ. Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής s = φ n παίρνουμε 1 (3..7) h(t, n) = ni n π n t n cos n (s/ n)ds. Συγκρίνοντας τα αναπτύγματα Taylor των συναρτήσεων cos s και exp( s /) βλέπουμε οτι (3..8) cos s exp( s /) στο [0, π/], επομένως (3..9) 1 h(t, n) ni n 1 = ni n π n t n ( π t) n 0 e s ds exp( (s + t n) /)ds exp( t n/) exp( s /)ds ni n 0 π/8 = exp( t n/). nin Γιά την απόδειξη του θεωρήματος αρκεί λοιπόν να δείξουμε οτι ni n 1 γιά κάθε n 1. Γιά τον σκοπό αυτό παρατηρούμε ότι από την αναδρομική σχέση (n + )I n+ = (n + 1)I n έπεται ότι (3..10) n + In+ = n + n + 1 n + I n = n + 1 I n ni n, n + το οποίο σημαίνει οτι αρκεί να ελέγξουμε τις (3..11) I 1 = και (3..1) π/ 0 cos φ dφ = 1 1 I = π/ cos φ dφ = π

6 6 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Παρατήρηση. Αυτό που έχει σημασία σε σχέση με την εκτίμηση του θεωρήματος 3.. είναι ότι, όσο μικρό t > 0 κι αν διαλέξουμε, η ακολουθία exp( t n/) τείνει στο 0 καθώς n και μάλιστα με πολύ γρήγορο ρυθμό (εκθετικά ως προς n). Συνεπώς, το ποσοστό της σφαίρας που μένει έξω από την t-περιοχή οποιουδήποτε υποσυνόλου A της S n+1 με σ(a) = 1/ είναι «σχεδόν μηδενικό» αν η διάσταση n είναι αρκετά μεγάλη. 3.βʹ Ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss Η ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss είναι η εξής. Θεώρημα Εστω α (0, 1), θ S n 1, και H = {x R n : x, θ λ} ένας ημίχωρος του R n με γ n (H) = α. Τότε, γιά κάθε t > 0 και για κάθε Borel υποσύνολο A του R n με γ n (A) = α ισχύει (3..13) γ n (A t ) γ n (H t ). Στο παράρτημα περιγράφεται μια απόδειξη που βασίζεται στην «παρατήρηση του Poincaré» και ουσιαστικά ανάγει το πρόβλημα στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα για την σφαίρα. Αυτό που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι η παρακάτω ανισότητα, η οποία είναι συνέπεια του Θεωρήματος Θεώρημα Αν γ n (A) 1/, τότε για κάθε t > 0 (3..14) 1 γ n (A t ) 1 exp( t /). Απόδειξη. Από το Θεώρημα 3..3 γνωρίζουμε ότι (3..15) 1 γ n (A t ) 1 γ n (H t ) όπου H ημίχωρος μέτρου 1/. Αφού το γ n είναι αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς, μπορούμε να υποθέσουμε ότι H = {x R n : x 1 0}, οπότε ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς x,..., x n βλέπουμε ότι (3..16) 1 γ n (H t ) = 1 e s / ds. π Παραγωγίζοντας δείχνουμε ότι η συνάρτηση (3..17) F (x) = e x / x t e s / ds είναι φθίνουσα στο [0, + ). Από την F (t) F (0) προκύπτει το συμπέρασμα.

7 3. Κλασικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 7 3.γʹ Η ισοπεριμετρική ανισότητα στον E n Η t-περιοχή ενός A E n είναι ως συνήθως το σύνολο A t = {x E n : d n (x, A) t}. Οι τιμές που μπορεί να πάρει η d n είναι πεπερασμένες το πλήθος: 0, 1/n, /n,..., 1. Επομένως, αυτές είναι οι τιμές του t γιά τις οποίες η t-περιοχή του A παρουσιάζει ενδιαφέρον, με την έννοια ότι το A t παραμένει αμετάβλητο όταν το t παίρνει τιμές σε ένα διάστημα της μορφής [k/n, (k + 1)/n). Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα είναι λοιπόν το εξής. Μας δίνουν έναν φυσικό m = 1,,..., n και κάποιο t = k/n, k = 1,..., n. Γιά ποιό σύνολο A με πλήθος στοιχείων m είναι η k/n-περιοχή του A η μικρότερη δυνατή; Η απάντηση είναι ότι το A θα πρέπει να έχει όσο το δυνατόν «λιγότερα κενά». Αν περιέχει μιά n-άδα x = (x 1,..., x n ), τότε θα πρέπει να περιέχει κατά σειρά προτεραιότητας και τις «γειτονικές» της n-άδες, αυτές δηλαδή που διαφέρουν από την x σε μία συντεταγμένη, δύο συντεταγμένες, κ.ο.κ. (εφόσον το πλήθος των στοιχείων του A επαρκεί). Αυτό, γιατί η παραμικρή επέκταση του A θα τις συμπεριλάβει ούτως ή άλλως. Τα πιό οικονομικά σύνολα είναι οι d n -μπάλες (οι λεγόμενες Hamming μπάλες του E n ). Αποδεικνύεται η ακόλουθη ισοπεριμετρική ανισότητα γιά τον E n. Θεώρημα Εστω A E n 1,..., n l, έχουμε k=0 με m = l k=0 ( n k) στοιχεία. Τότε, γιά κάθε s = (3..18) µ n (A s/n ) 1 l+s ( ) n n = µ n (B(x, l/n) s/n ) = µ n (B(x, (l + s)/n)), k όπου x τυχόν στοιχείο του E n. Η ισοπεριμετρική αυτή ανισότητα οδηγεί σε μια προσεγγιστική ισοπεριμετρική ανισότητα για τον E n. Θεώρημα Αν µ n (A) 1/ και t > 0, τότε µ n (A c t) 1 exp( t n). Το Θεώρημα 3..6 ερμηνεύεται ως εξής: για να εκτιμήσουμε το µ n (A t ) αρκεί να θέσουμε l = n/ και s = tn στο θεώρημα Τότε βλέπουμε ότι (3..19) µ n (A c t) 1 n n j=( 1 +t)n ( ) n, j το οποίο φθίνει εκθετικά στο 0 καθώς n, γιατί οι «ακραίοι» διωνυμικοί συντελεστές είναι πολύ μικροί σε σύγκριση με τους «μεσαίους» όταν το n είναι μεγάλο. Η απόδειξη του Θεωρήματος 3..5 είναι συνδυαστική και γίνεται με επαγωγή ως προς n (περιγράφεται στο παράρτημα).

8 8 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου 3.3 Sunˆrthsh sugkèntrwshc Ορισμός (συνάρτηση συγκέντρωσης). Εστω (X, d, µ) ένας μετρικός χώρος πιθανότητας. Η συνάρτηση συγκέντρωσης του (X, d, µ) ορίζεται στο (0, ) από την (3.3.1) α µ (t) := sup{1 µ(a t ) : µ(a) 1/}. 0. Η συνάρτηση α µ είναι προφανώς φθίνουσα και, όπως δείχνει η επόμενη πρόταση, lim t α µ (t) = Πρόταση Σε κάθε μετρικό χώρο πιθανότητας (X, d, µ) ισχύει (3.3.) lim t α µ (t) = 0. Απόδειξη. Σταθεροποιούμε x X και 0 < ε 1/. Από το γεγονός ότι X = έπεται ότι υπάρχει r N ώστε (3.3.3) µ(b(x, r)) > 1 ε. n=1 B(x, n) Τότε, για κάθε A B(X) με µ(a) 1/ έχουμε A B(x, r), απ όπου έπεται ότι B(x, r) A r. [Πράγματι, υπάρχει a A ώστε d(x, a) r και τότε, για κάθε y B(x, r) έχουμε d(y, a) d(y, x) + d(x, a) r, δηλαδή y A r ]. Τότε, για κάθε t r έχουμε (3.3.4) 1 µ(a t ) 1 µ(a r ) 1 µ(b(x, r)) < ε, άρα α µ (t) ε. Ορισμός (συγκέντρωση του μέτρου). Λέμε ότι υπάρχει «συγκέντρωση του μέτρου» στον μετρικό χώρο πιθανότητας (X, d, µ) αν η α µ (t) φθίνει γρήγορα καθώς το t. Πιο συγκεκριμένα: (α) Λέμε ότι το µ έχει κανονική συγκέντρωση στον (X, d) αν υπάρχουν σταθερές C, c > 0 ώστε, για κάθε t > 0, (3.3.5) α µ (t) Ce ct. Τα αποτελέσματα της προηγούμενης παραγράφου (πιο συγκεκριμένα, οι εκτιμήσεις που προκύπτουν από τις λύσεις των αντίστοιχων ισοπεριμετρικών προβλημάτων) δείχνουν ότι αυτό ισχύει για την σφαίρα, για τον διακριτό κύβο και για τον χώρο του Gauss. Σύμφωνα με τον Ορισμό της συνάρτησης συγκέντρωσης, σε αυτούς τους χώρους έχουμε: (i) Για την σφαίρα (S n 1, ρ, σ) ισχύει α σ (t) π/8 exp( t n/).

9 3.3 Συναρτηση συγκεντρωσης 9 (ii) Για τον χώρο του Gauss (R n,, γ n ) ισχύει α γn (t) 1 exp( t /). (iii) Για τον διακριτό κύβο (E m, d n, µ n ) ισχύει α µn (t) 1 exp( t n). (α) Λέμε ότι το µ έχει εκθετική συγκέντρωση στον (X, d) αν υπάρχουν σταθερές C, c > 0 ώστε, για κάθε t > 0, (3.3.6) α µ (t) Ce ct. Πολλές από τις εφαρμογές της συγκέντρωσης του μέτρου βασίζονται στο εξής θεώρημα. Θεώρημα Εστω (X, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας. Αν f : X R είναι μια συνάρτηση Lipschitz με σταθερά 1, δηλαδή αν f(x) f(y) d(x, y) για κάθε x, y X, τότε (3.3.7) µ ({x X : f(x) med(f) > t}) α µ (t), όπου med(f) είναι ο μέσος Lévy της f. Σημείωση. Μέσος Lévy med(f) της f είναι ένας αριθμός για τον οποίο (3.3.8) µ({f med(f)}) 1/ και µ({f med(f)}) 1/. Απόδειξη του Θεωρήματος Θέτουμε A = {x : f(x) med(f)} και B = {x : f(x) med(f)}. Αν y A t τότε υπάρχει x A με d(x, y) t, οπότε (3.3.9) f(y) = f(y) f(x) + f(x) d(y, x) + med(f) med(f) t αφού η f είναι 1-Lipschitz. Ομοίως, αν y B t τότε υπάρχει x B με d(x, y) t, οπότε (3.3.10) f(y) = f(y) f(x) + f(x) d(y, x) + med(f) med(f) + t. Δηλαδή, αν y A t B t τότε f(x) med(f) t. Με άλλα λόγια, (3.3.11) {x X : f(x) med(f) > t} (A t B t ) c = A c t B c t. Ομως, από τον ορισμό της συνάρτησης συγκέντρωσης έχουμε µ(a t ) 1 α µ (t) και µ(b t ) 1 α µ (t). Επεται ότι (3.3.1) µ ({ f med(f) > t}) (1 µ(a t )) + (1 µ(b t )) α µ (t).

10 10 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Πόρισμα Εστω (X, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας. Αν f : X R είναι μια συνάρτηση Lipschitz με σταθερά f Lip, δηλαδή αν f(x) f(y) f Lip d(x, y) για κάθε x, y X, τότε (3.3.13) µ ({x X : f(x) med(f) > t}) α µ (t/ f Lip ), όπου med(f) είναι μέσος Lévy της f. Στην περίπτωση που η συνάρτηση συγκέντρωσης φθίνει πολύ γρήγορα, το Θεώρημα δείχνει ότι οι 1-Lipschitz συνεχείς συναρτήσεις είναι «σχεδόν σταθερές» σε «σχεδόν ολόκληρο το χώρο». Ισχύει μάλιστα και το αντίστροφο. Θεώρημα Εστω (X, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας. Αν για κάποιο η > 0 και κάποιο t > 0 ισχύει (3.3.14) µ ({x X : f(x) med(f) > t}) η για κάθε 1-Lipschitz συνάρτηση f : X R, τότε α µ (t) η. Απόδειξη. Εστω A Borel υποσύνολο του X με µ(a) 1/. Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = d(x, A). Η f είναι 1-Lipschitz και med(f) = 0 γιατί η f παίρνει μη αρνητικές τιμές και µ({x : f(x) = 0}) 1/. Από την υπόθεση παίρνουμε (3.3.15) µ({x X : d(x, A) > t}) η, δηλαδή 1 µ(a t ) η. Επεται ότι α µ (t) η. 3.4 Proseggistikèc isoperimetrikèc anisìthtec 3.4αʹ Η συνάρτηση συγκέντρωσης της σφαίρας Η απόδειξη του Θεωρήματος 3.. βασίζεται πολύ ισχυρά στην σφαιρική ισοπεριμετρική ανισότητα. Για τις περισσότερες όμως εφαρμογές που έχουμε στο νού μας είναι αρκετή μια ανισότητα της μορφής (3.4.1) σ(a t ) 1 c 1 exp( c t n) και όχι η ακριβής λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος. Θα δώσουμε μια απλή απόδειξη εκτίμησης «αυτού του τύπου» χωρίς να περάσουμε μέσα από την ισοπεριμετρική ανισότητα, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Brunn-Minkowski. Λήμμα Θεωρούμε το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας µ στην Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B n. Δηλαδή, µ(a) = A / B n για κάθε Borel σύνολο A B n. Αν A, C B n είναι Borel σύνολα και (3.4.) d(a, C) := min{ a c : a A, c C} = ρ > 0,

11 3.4 Προσεγγιστικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 11 τότε (3.4.3) min{µ(a), µ(c)} exp( ρ n/8). Απόδειξη. Θεωρούμε το σύνολο A+C. Από την ανισότητα Brunn Minkowski παίρνουμε A+C min{ A, C }. Συνεπώς, ( ) A + C (3.4.4) µ min{µ(a), µ(c)}. Από την άλλη πλευρά, αν a A και c C, ο κανόνας του παραλληλογράμμου δίνει (3.4.5) a + c = a + c a c 4 ρ, επομένως (3.4.6) A + C Συνδυάζοντας τα παραπάνω βλέπουμε ότι (3.4.7) min { µ(a), µ(c) } ( ) A + C µ 1 ρ 4 Bn. ) n/ (1 ρ exp( ρ n/8). 4 Απόδειξη του Θεωρήματος 3..: Εστω A S n 1 με σ(a) = 1/ και έστω t > 0. Θέτουμε C = S n 1 \ A t και θεωρούμε τα υποσύνολα (3.4.8) A 1 = {ρa : a A, 1/ ρ 1} και C 1 = {ρa : a C, 1/ ρ 1} της B n. Εύκολα ελέγχουμε ότι (3.4.9) d(a 1, C 1 ) sin t t π. Από το Λήμμα συμπεραίνουμε ότι (3.4.10) C 1 exp( d n/8) B n exp ( t n/(8π ) ) B n. Ομως, από τον ορισμό του σ έχουμε B n σ(c) = C και C 1 = (1 n ) C. Επεται ότι (3.4.11) σ(a c t) = σ(c) Δηλαδή, 1 1 n exp ( t n/(8π ) ). (3.4.1) σ(a t ) 1 c 1 exp( c t n) όπου c 1 = και c = 1/(8π ). Αυτή είναι η ανισότητα του Θεωρήματος 3.. αν εξαιρέσουμε τις ακριβείς τιμές των σταθερών c 1 και c.

12 1 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου 3.4βʹ Η συνάρτηση συγκέντρωσης του χώρου του Gauss Οπως και στην περίπτωση της σφαίρας, η απόδειξη της προσεγγιστικής ισοπεριμετρικής ανισότητας του πορίσματος 3..4 χρησιμοποιεί ισχυρά την ισοπεριμετρική ανισότητα του θεωρήματος Μπορούμε όμως να αποδείξουμε απευθείας την προσεγγιστική ισοπεριμετρική ανισότητα γιά το χώρο του Gauss. Θεώρημα Εστω A μη κενό Borel υποσύνολο του R n. Τότε, (3.4.13) /4 dγ n (x) 1 γ n (A), R n e d(x,a) όπου d(x, A) = inf{ x y : y A}. Επομένως, αν γ n (A) = 1/ τότε (3.4.14) 1 γ n (A t ) exp( t /4) γιά κάθε t > 0. Απόδειξη. Συμβολίζουμε με g n (x) την συνάρτηση (π) n/ exp( x /), και θεωρούμε τις συναρτήσεις (3.4.15) f(x) = e d(x,a) /4 g n (x), g(x) = χ A (x)g n (x), m(x) = g n (x). Γιά κάθε x R n και y A έχουμε (3.4.16) (π) n f(x)g(y) = e d(x,a) /4 e x / e y / ( x y exp x y 4 ( = exp x + ) y 4 ( ( = exp 1 )) x + y ( )) x + y = (π) (m n, όπου χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου και την d(x, A) x y. Παρατηρώντας ότι g(y) = 0 αν y / A, βλέπουμε ότι οι f, g, m ικανοποιούν τις υποθέσεις της ανισότητας Prékopa-Leindler με λ = 1/. Εφαρμόζουμε λοιπόν το Θεώρημα ;; και έχουμε ( ) ( ) ( ) (3.4.17) e d(x,a) /4 g n (dx) γ n (A) = f(x)dγ n (x) g(x)dγ n (x) R n R n R ( ) n m(x)dγ n (x) = 1. R n )

13 3.4 Προσεγγιστικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 13 Αυτό αποδεικνύει τον πρώτο ισχυρισμό του θεωρήματος. Γιά τον δεύτερο, παρατηρούμε ότι αν γ n (A) = 1/ τότε (3.4.18) e t /4 γ n (x : d(x, A) > t) e d(x,a) /4 γ n (dx) 1 γ n (A) =. Δηλαδή, γ n (A c t) exp( t /4). 3.4γʹ Η συνάρτηση συγκέντρωσης του διακριτού κύβου Θεωρούμε το σύνολο E n = { 1, 1} n, το οποίο ταυτίζουμε με το σύνολο των κορυφών του κύβου Q n = [ 1, 1] n στον R n. Στο E n ορίζουμε το κανονικό μέτρο πιθανότητας µ n που δίνει μάζα n σε κάθε σημείο. Για κάθε μη κενό A E n θέτουμε (3.4.19) φ A (x) = inf{ x y : y conv(a)}. Το βασικό θεώρημα αυτής της παραγράφου είναι το εξής. Θεώρημα Για κάθε A E n, (3.4.0) E exp(φ A/8) 1 µ n (A). Απόδειξη. Με επαγωγή ως προς το πλήθος των σημείων του A. Αν card(a) = 1 δηλαδή A = {y}, τότε (3.4.1) φ A (x) = inf{ x z : z conv(a) = {y}} = x y. Άρα, (3.4.) E exp(φ A/8) = E (e /8) x y = 1 n e x y /8. x E n Κάθε x E n διαφέρει από το y σε i θέσεις, i = 0, 1,..., n. Το πλήθος των x E n που διαφέρουν σε i θέσεις από το y είναι ( n i). Παρατηρούμε ότι x y = 4i όταν το x διαφέρει απο το y σε i θέσεις. Άρα, (3.4.3) Ee x y /8 = 1 n n i=0 ( ) n e i/ i = 1 ( n 1 + e 1/) ( n 1 + e 1/ = n = 1 µ n (A), ) n

14 14 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου αφού e 1/ e 3. Εστω τώρα ότι card(a). Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση n = 1. Αναγκαστικά έχουμε A = E 1, επομένως φ A (x) = 0 για κάθε x E 1. Άρα, (3.4.4) E exp(φ A/8) = Ee 0 = 1 = 1/µ 1 (A). Για το επαγωγικό βήμα θεωρούμε A E n+1 με card(a). γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι Χωρίς περιορισμό της (3.4.5) A = (A 1 {1}) (A 1 { 1}) όπου A 1, A 1. Μπορούμε επίσης να υποθέσουμε ότι card(a 1 ) card(a 1 ). Λήμμα Για κάθε x E n, (3.4.6) φ A ((x, 1)) φ A1 (x). Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι (3.4.7) { x y : y conv(a 1 )} { (x, 1) z : z conv(a)}. Εστω y conv(a 1 ). Τότε, y = m i=1 t ix i όπου t i 0 με m i=1 t i = 1 και x i A 1. Τότε όμως (x i, 1) A και m (3.4.8) t i (x i, 1) = ( m m ) t i x i, t i = (y, 1), i=1 i=1 i=1 δηλαδή (y, 1) conv(a). Αφού x y = (x, 1) (y, 1) και (3.4.9) (x, 1) (y, 1) { (x, 1) z : z conv(a)}, έχουμε το ζητούμενο. Λήμμα Για κάθε x E n και για κάθε 0 a 1, (3.4.30) φ A((x, 1)) 4a + aφ A 1 (x) + (1 a)φ A 1(x). Απόδειξη. Εστω z i conv(a i ) (i = 1, 1). Τότε, όπως προηγουμένως, (z i, i) conv(a). Το conv(a) είναι κυρτό, άρα (3.4.31) z := a(z 1, 1) + (1 a)(z 1, 1) = (az 1 + (1 a)z 1, a 1) conv(a). Εχουμε (3.4.3) (x, 1) z = (x az 1 (1 a)z 1, a) = (x az 1 (1 a)z 1, 0) + (0, a) (a x z 1 + (1 a) x z 1 ) + 4a a x z 1 + (1 a) x z 1 + 4a.

15 3.4 Προσεγγιστικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 15 Αφού τα z i conv(a i ) ήταν τυχόντα, έπεται ότι (3.4.33) φ A(x, 1) aφ A 1 (x) + (1 a)φ A 1 (x) + 4a. Χρησιμοποιώντας τα δύο Λήμματα, γράφουμε Ee φ A /8 = 1 n+1 e φ (3.4.34) A (x)/8 x E n+1 Θέτουμε = 1 n+1 e φ A ((x,1))/8 + 1 n+1 e φ A ((x, 1))/8 x E n x E n 1 n+1 e φ A (x)/ x E n 1 n+1 e φ A (x)/8 1 x E n ( + 1 / ea e φ A (x)/8 1 n+1 x E n (3.4.35) u 1 = E και (3.4.36) u 1 = E / ea e aφ n+1 x E n ) a ( A 1 (x)/8+(1 a)φ A 1 (x)/8 ) 1 a e φ A (x)/8 1 x E n = 1 E(eφ A /8 1 ) + 1 ( ) a ( ) 1 a / E(e ea φ A /8 1 ) E(e φ A /8 1 ). ( ) e φ A /8 1 1, v 1 = µ n (A 1 ) ( ) e φ A /8 1 1, v 1 = µ n (A 1 ). Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε u 1 v 1 και u 1 v 1. (επίσης, η card(a 1 ) card(a 1 ) γράφεται v 1 v 1 ). Άρα η προηγούμενη ανισότητα παίρνει τη μορφή (3.4.37) Ee φ A /8 1 u ea / (u 1 ) a (u 1 ) 1 a 1 u ea / (v 1 ) a (v 1 ) 1 a v 1 [1 + ea / (v 1 /v 1 ) a 1 ]. Η τελευταία ποσότητα γίνεται ελάχιστη για a = ln(v 1 /v 1 ). Η τιμή ln(v 1 /v 1 ) είναι περίπου ίση με 1 v 1 /v 1. Επιλέγουμε a 0 = 1 v 1 /v 1. Αφού v 1 v 1 έχουμε 0 a 0 1, οπότε μπορούμε να γράψουμε (3.4.38) E(e φ A /8 ) v 1 [1 + ea0 / (1 a 0 ) a0 1 ].

16 16 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Λήμμα Για κάθε 0 a 1 έχουμε (3.4.39) 1 + e a / (1 a) a 1 4 a. Απόδειξη. Απλές πράξεις δείχνουν ότι η ανισότητα που ζητάμε είναι ισοδύναμη με την (3.4.40) g(a) = ln( + a) ln( a) a / (a 1) ln(1 a) 0. Παραγωγίζοντας βλέπουμε ότι g 0 και g (0) = 0. Άρα η g είναι αύξουσα στο [0, 1]. Αφού g(0) = 0, έπεται το ζητούμενο. Χρησιμοποιώντας το Λήμμα έχουμε (3.4.41) E(e φ A /8 ) v 1 4 a 0 = v v 1 /v 1 = = 1/v 1 + 1/v 1 µ n (A 1 ) + µ n (A 1 ) 1 = µ n+1 (A). Η τελευταία ισότητα είναι φανερή αφού µ n+1 (A i {i}) = µ n (A i )/, i = ±1. Ετσι ολοκληρώνονται το επαγωγικό βήμα και η απόδειξη του Θεωρήματος Πόρισμα Για όλα τα t > 0, έχουμε (3.4.4) µ n (φ A t) 1 µ n (A) e t /8. Απόδειξη. Από το Θεώρημα έχουμε E exp(φ 1 A /8) µ. Άρα, n(a) (3.4.43) e t /8 µ n (φ A t) e t /8 e φ A /8 {φ A t} E(e φ A /8 ) 1 µ n (A). {φ A t} Εστω A μη κενό υποσύνολο του E n. Η συνάρτηση φ A του Θεωρήματος και η συνάρτηση απόστασης από το A { 1 (3.4.44) d n (x, A) = min n συγκρίνονται σύμφωνα με το επόμενο λήμμα. n i=1 } x i y i : y A

17 3.4 Προσεγγιστικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 17 Λήμμα Γιά κάθε μη κενό A E n έχουμε (3.4.45) nd n (x, A) φ A (x), x E n. Απόδειξη. Εστω x E n. Γιά κάθε y A ισχύει n (3.4.46) x y, x = x i (x i y i ) = nd n (x, y) nd n (x, A). i=1 Από την (3.4.46) έπεται ότι γιά κάθε y conv(a) (3.4.47) n x y x y, x nd n (x, A). Αυτό αποδεικνύει την (3.4.45). Συνδυάζοντας τα δύο παραπάνω λήμματα δείχνουμε την προσεγγιστική ισοπεριμετρική ανισότητα γιά τον E n : Θεώρημα Εστω A E n με µ n (A) = 1/. Τότε, γιά κάθε t > 0 έχουμε (3.4.48) µ n (A t ) 1 exp( t n/). Απόδειξη. Αν x / A t, τότε d n (x, A) t και το Λήμμα δείχνει ότι φ A (x) t n. Ομως, από το Θεώρημα έχουμε (3.4.49) e tn/ µ n (x : φ A (x) t n) exp(φ A(x)/8)dµ n (x) 1 µ n (A) =, το οποίο σημαίνει ότι (3.4.50) µ n (A c t) µ n (x : φ A (x) t n) exp( t n/). E n Το Θεώρημα έχει σαν συνέπεια την συγκέντρωση των κυρτών Lipschitz συναρτήσεων γύρω από τον μέσο Lévy τους. Θεώρημα Θεωρούμε μια κυρτή Lipschitz συνάρτηση f : R n R με σταθερά Lipschitz σ. Εστω M ένας μέσος Lévy της f στον E n. Τότε, για κάθε t > 0 έχουμε (3.4.51) µ n ({ f M t}) 4e t /8σ. Απόδειξη. Για τον M ισχύουν οι µ n ({f M}) 1/ και µ n ({f M}) 1/. Θέτουμε A = {f M}. Αφού η f είναι κυρτή, για κάθε y conva έχουμε f(y) M. Αν λοιπόν f(x) M + t για κάποιο x E n, τότε (3.4.5) f(x) M + t f(y) + t

18 18 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου για κάθε y conv(a). Άρα, σ x y f(x) f(y) t. Αυτό σημαίνει ότι (3.4.53) φ A (x) t/σ. Από το Πόρισμα και από την µ n (A) 1/ έχουμε (3.4.54) µ n ({f M + t}) µ n ({φ A t/σ}) 1 µ n (A) e t /8σ e t /8σ. Εστω t > 0 και B = {f M t}. Αν u < t, όπως πριν ελέγχουμε ότι (3.4.55) f(x) M t + u = φ B (x) u/σ και με χρήση του Πορίσματος έχουμε (3.4.56) µ n ({f(x) M}) µ n ({f(x) M t + u}) µ n ({φ B u/σ}) 1 µ n (B) e u /8σ Ομως 1/ µ n ({f(x) M}), άρα (3.4.57) µ n (B) e u /8σ. Αφήνοντας το u να τείνει στο t παίρνουμε (3.4.58) µ n (B) e t /8σ. Συνδυάζοντας τα παραπάνω βλέπουμε ότι (3.4.59) µ n ({ f M > t}) = µ n ({f M + t}) + µ n ({f M t}) e t /8σ + e t /8σ = 4e t /8σ. 3.5 Anisìthta Kahane-Khintchine Η ανισότητα Kahane-Khintchine γενικεύει την ανισότητα του Khintchine. Θεώρημα Υπάρχει σταθερά K ώστε για κάθε χώρο με νόρμα X, για κάθε n N, για κάθε x 1,..., x n X και για κάθε p 1, 1/p (3.5.1) E ε i x i p i n E i n ε i x i + Kσ p,

19 3.5 Ανισοτητα Kahane-Khintchine 19 όπου (3.5.) σ = sup { x (x i ) : x X, x 1 }. i n Η απόδειξη θα βασιστεί στο θεώρημα του Talagrand για τον διακριτό κύβο: Για κάθε A E n, όπου E exp(φ A/8) 1 µ n (A) φ A (x) = inf{ x y : y conv(a)}. Συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι η συγκέντρωση των κυρτών Lipschitz συναρτήσεων γύρω από τον μέσο Lévy τους. Θεώρημα Θεωρούμε μια κυρτή Lipschitz συνάρτηση f : R n R με σταθερά Lipschitz σ. Εστω M ένας μέσος Lévy της f στο E n. Τότε, για κάθε t > 0 έχουμε (3.5.3) µ n ({ f M t}) 4e t /8σ. Απόδειξη. Για τον M ισχύουν οι µ n ({f M}) 1/ και µ n ({f M}) 1/. Θέτουμε A = {f M}. Αφού η f είναι κυρτή, για κάθε y conv(a) έχουμε f(y) M. Αν λοιπόν f(x) M + t για κάποιο x E n, τότε f(x) M + t f(y) + t για κάθε y conv(a). Άρα, σ x y f(x) f(y) t. Αυτό σημαίνει ότι (3.5.4) φ A (x) t/σ. Από το προηγούμενο πόρισμα και από την µ n (A) 1/ έχουμε (3.5.5) µ n ({f M + t}) µ n ({f A t/σ}) 1 µ n (A) e t /8σ e t /8σ. Εστω t > 0 και B = {f M t}. Αν u < t, όπως πριν ελέγχουμε ότι (3.5.6) f(x) M t + u = φ B (x) u/σ, απ όπου παίρνουμε (3.5.7) µ n ({f(x) M}) µ n ({f(x) M t + u}) µ n ({φ B u/σ}) 1 µ n (B) e u /8σ.

20 0 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Ομως 1/ µ n ({f(x) M}), άρα µ n (B) e u /8σ. Αφήνοντας το u να τείνει στο t παίρνουμε (3.5.8) µ n (B) e t /8σ. Συνδυάζοντας τα παραπάνω βλέπουμε ότι (3.5.9) µ n ({ f M > t}) = µ n ({f M + t}) + µ n ({f M t}) e t /8σ + e t /8σ = 4e t /8σ. Πόρισμα Εστω X χώρος με νόρμα και (x i ) i n ακολουθία διανυσμάτων στον X. Θέτουμε (3.5.10) σ = sup { x (x i ) : x X, x 1 }. i n Αν M είναι μέσος Lévy της i n ε ix i στον E n τότε, για κάθε t 0, (3.5.11) µ n { ε i x i M t} 4e t /8σ. i n Απόδειξη. Θεωρούμε την f(u) = i n u ix i. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της νόρμας ελέγχουμε εύκολα ότι η f είναι κυρτή συνάρτηση. Εστω x X με x 1 και u, v R n. Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε x u i x i v i x i = u i x (x i ) (3.5.1) v i x (x i ) i n i n i n i n = (u i v i )x (x i ) i n x (x i ) i n σ u v. 1/ (u i v i ) i n Από το Θεώρημα Hahn-Banach συμπεραίνουμε ότι (3.5.13) f(u) f(v) u i x i v i x i σ u v, i n i n 1/

21 3.6 Deviation inequalities for Lipschitz functions 1 επομένως η f είναι Lipschitz συνεχής με σταθερά σ. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 3.5. για την f έχουμε το ζητούμενο. Μπορούμε τώρα να δώσουμε μία απόδειξη της ανισότητας Khintchine-Kahane με βέλτιστη εξάρτηση από το p. Απόδειξη του θεωρήματος Θεωρούμε την f : E n R + με (3.5.14) f(ε 1,..., ε n ) = ε i x i M. Από το Πόρισμα 3.5.3, κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής x = t /8σ έχουμε ε i x i M p dµ n (ε) = p t p 1 µ n (ε : ε i x i M t)dt i n Άρα, E n (3.5.15) i n i n pt p 1 e t /8σ dt = p+1 p( σ) p e x x p/ 1 dx (Kσ p) p. ε i x i M p dµ n (ε) i n 0 1/p Kσ p. Από την τριγωνική ανισότητα, (3.5.16) ε i x i p dµ n (ε) i n E n 1/p M + K 1 σp 1/ για κάθε p 1. Τέλος, παρατηρούμε ότι M E i n ε ix i από την ανισότητα του Markov. 3.6 Deviation inequalities for Lipschitz functions on classical metric probability spaces A direct consequence of our estimate for the concentration function of the sphere is the next deviation inequality for Lipschitz functions f : S n 1 R. Je wrhma Let f : S n 1 R be a Lipschitz continuous function with constant b. Then, for every t > 0, σ ( {x S n 1 : f(x) L f bt} ) exp( c 1 t n). where L f is the Lévy mean of f and c 1 > 0 is an absolute constant.

22 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου A very useful observation is that one can replace the Lévy mean of f by the expectation of f in Theorem Je wrhma Let f : S n 1 R be a Lipschitz continuous function with constant b. Then, for every t > 0, σ ( {x S n 1 : f(x) E(f) bt} ) 4 exp( c 1 t n), where E(f) is the expectation of f and c 1 > 0 is an absolute constant. One can give a direct proof of Theorem 3.6. starting from the corresponding result in Gauss space that will be described next. However, there is also a general argument which relates deviation from the expectation to deviation from the Lévy mean, and allows us to deduce Theorem 3.6. from Theorem Proof of Theorem We may clearly assume that b = 1. Let f be an independent copy of f on S n 1. Note that (σ σ)({(x, y) : f(x) f(y) t}) σ({x : f(x) L f t/}) for every t > 0. Then, we may write E σ σ ( exp(λ f f ) ) = 0 + σ({y : f(y) L f t/}) 4 exp( c 1 t n/4) λ te λ t (σ σ)({(x, y) : f(x) f(y) t}) dt 8λ te λ t c t n dt for any λ > 0, where c = c 1 /4. Choosing λ = c n/ we get 0 E σ σ ( exp(c3 n f f ) ) 4. Since t exp(c 3 nt ) is a convex function, Jensen s inequality implies that Then, Markov s inequality gives for every t > 0. E σ ( exp(c3 n f E(f) ) ) 4. σ({x : f(x) E(f) t}) e c3tn E σ ( exp(c3 n f E(f) ) ) 4e c3t n A simple proof of the corresponding result in Gauss space may be given by introducing infimum convolution and property (τ) that will be discussed in more detail in Chapter 11.

23 3.6 Deviation inequalities for Lipschitz functions 3 Orism os (infimum convolution). Let f and g be (Borel) measurable functions on R n. We denote by fg the infimum convolutioninfimum convolution of f and g, defined by (fg)(x) = inf {f(x y) + g(y) : y R n }. If µ is a probability measure on R n and ϕ is a non-negative measurable function on R n, we say that the pair (µ, ϕ) has property (τ)property (τ)(τ)-property if for every bounded measurable function f on R n we have ( ) ( ) e fϕ dµ e f dµ 1. R n R n Je wrhma (Maurey). The pair (γ n, x /4) has property (τ). Proof. A simple proof can be given using the Prékopa-Leindler inequality. Let f be a bounded measurable function on R n. We define ϕ(y) = y /4 and ψ = fϕ. If m(x) = f(x) + x then we easily check that So, In other words, which proves the theorem., g(y) = ψ(y) + y ( ) x + y h m(x) + g(y). and h(z) = z, ( ) ( ) ( ) e m(x) dx e g(x) dx e h(x) dx. R n R n R n ( ) ( ) e f dγ n e fϕ dγ n 1 R n R n As an application, we give a proof of a result of Pisier on the concentration of Lipschitz functions with respect to the measure γ n. Je wrhma Let f : R n R be a Lipschitz function with constant 1 with respect to the Euclidean norm. Then, for every t > 0, exp (t(f(x) f(y))) dγ n (x) dγ n (y) e t. R n R n Proof. We fix t > 0, consider the function ϕ(y) = y /4 and define ψ t = (tf)ϕ.

24 4 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Let x R n and y = y(x, t) R n such that Since f Lip 1, we get ψ t (x) = tf(y) + x y. 4 (3.6.1) ψ t (x) tf(x) t x y + x y 4 tf(x) t. From Theorem 3.6.4, ( ) ( ) e ψt dγ n e tf dγ n 1. R n R n Using (3.6.1) we get e tf dγ n e tf dγ n e t, R n R n or equivalently, exp (t(f(x) f(y))) dγ n (x) dγ n (y) e t as claimed. P orisma Let f : R n R be a Lipschitz function with f Lip 1. Then, }) γ n ({x : f(x) fdγ n s e s /4 R n for every s > 0. Proof. Let s > 0. From Theorem and Jensen s inequality we obtain ( ( )) E exp t(f E(f)) e t. for every t > 0. This shows that γ n (x : f(x) Ef s) exp ( t ts ) for every t > 0. Minimizing with respect to t and applying the same argument to f, we conclude the proof.