vii Intrinsic volumes και quermassintegrals... 7

Transcript

1 Γεωμετρικά Προβλήματα στη Μη-Γραμμική Συναρτησιακή Ανάλυση Διδακτορική Διατριβή Γιώργος Χασάπης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 08

2 Η διδακτορική διατριβή υλοποιήθηκε με υποτροφία του ΙΚΥ η οποία χρηματοδοτήθηκε από την Πράξη «Πρόγραμμα χορήγησης υποτροφιών για μεταπτυχιακές σπουδές δεύτερου κύκλου σπουδών» από πόρους του ΕΠ «Ανάπτυξη Ανθρώπινου Δυναμικού, Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση», με τη συγχρηματοδότηση του Ευρωπαϊκού Κοινωνικού Ταμείου Ε.Κ.Τ) και του Ελληνικού Δημοσίου.

3 Εισηγητής: Απόστολος Γιαννόπουλος

4

5 Περιεχόμενα Πρόλογος vii Συμβολισμός και θεωρητικό υπόβαθρο. Κυρτά σώματα Γεωμετρικές ανισότητες Itrisic volumes και quermassitegrals Απόσταση Baach-Mazur και το Θεώρημα του Joh Μέτρα πιθανότητας στον R Λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας Οι κατανομές Βήτα και Βήτα Παρουσίαση των αποτελεσμάτων 5. Ευκλείδεια κανονικοποίηση στη θέση Joh Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων Εκτιμήσεις για μέτρα τομών κυρτών σωμάτων Φαινόμενα κατωφλίου για τυχαία πολύτοπα σε υψηλές διαστάσεις Εκτιμήσεις για τα αφφινικά quermassitegrals Ευκλείδεια κανονικοποίηση στη θέση Joh 3 3. Εισαγωγή Συμβολισμός και ορισμοί Κανονικοποίηση στη θέση Joh και θεωρήματα τύπου Dvoretzy Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων Εισαγωγή Βελτιωμένη έκδοση του θεωρήματος του Hajela Προσημασμένα αθροίσματα τυχαίων διανυσμάτων Νόρμες προσημασμένων αθροισμάτων τυχαίων διανυσμάτων Τυχαία σημεία από κυρτά σώματα

6 vi Περιεχόμενα 5 Εκτιμήσεις για μέτρα τομών κυρτών σωμάτων Εισαγωγή Εργαλεία από την ολοκληρωτική γεωμετρία Εκτιμήσεις για το μέτρο τομών χαμηλότερης διάστασης Φαινόμενα κατωφλίου για τυχαία πολύτοπα σε υψηλές διαστάσεις Εισαγωγή και κεντρικά αποτελέσματα Συμβολισμός και βοηθητικες εκτιμήσεις Οι κατανομές Βήτα και Βήτα Ισοτροπικά λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας Κυρτές θήκες τυχαίων σημείων Προπαρασκευαστικά Λήμματα Αποδείξεις για τη Βήτα κατανομή Itrisic volumes Βήτα πολυτόπων Αποδείξεις για τη Βήτα κατανομή Τομές από τυχαίους ημίχωρους Απόδειξη του Θεωρήματος Απόδειξη του Θεωρήματος Εκτιμήσεις για τα αφφινικά quermassitegrals Εισαγωγή Η περίπτωση των τυχαίων πολυτόπων Κυρτή θήκη τυχαίων σημείων από ισοτροπικό κυρτό σώμα Βήτα πολύτοπα Η περίπτωση των ucoditioal κυρτών σωμάτων Ενα γενικό κάτω φράγμα Βιβλιογραφία 7

7 Πρόλογος Συνδυάζοντας πιθανοθεωρητικές τεχνικές με γεωμετρικά και αναλυτικά εργαλεία, στην παρούσα διατριβή ασχολούμαστε με έναν αριθμό προβλημάτων που εμπίπτουν στον ευρύτερο κλάδο της Α- συμπτωτικής Γεωμετρικής Ανάλυσης. Βασικός άξονας στην περιοχή αυτή, που γεννήθηκε από τη διάδραση της τοπικής θεωρίας χώρων Baach και της κλασικής κυρτότητας, είναι η μελέτη των ιδιοτήτων των συμμετρικών) κυρτών σωμάτων του R από την ασυμπτωτική σκοπιά, θεωρώντας δηλαδή ότι η διάσταση του υποκείμενου χώρου τείνει στο άπειρο. Ακολουθεί μια συνοπτική περιγραφή των αποτελεσμάτων της διατριβής.. Ευκλείδεια κανονικοποίηση στη θέση Joh. Δεδομένου ενός κυρτού σώματος K στον R που βρίσκεται σε θέση Joh, ορίζουμε, για κάθε t > K t := cov{k, tb }. Συμβολίζουμε επιπλέον M t = S x Kt dσx). Ενα αποτέλεσμα του Frese δίνει μια εκτίμηση για την τάξη μεγέθους του μέσου M t, συγκεκριμένα, για κάθε t, Mt c log + t ), όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Με αφετηρία την εκτίμηση αυτή, δίνουμε μια νέα σύντομη απόδειξη του Ισομορφικού Θεωρήματος Dvoretzy των V. Milma και Schechtma: Υπάρχουν απόλυτες σταθερές c, c > 0 τέτοιες ώστε για κάθε N, κάθε c log και κάθε -διάστατο χώρο με νόρμα X υπάρχει -διάστατος υπόχωρος Y του X τέτοιος ώστε dy, l ) c log ), + όπου με dy, l ) παραπάνω συμβολίζουμε την απόσταση Baach-Mazur του Y από τον l. Στην πραγματικότητα μπορούμε να δείξουμε ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα των Litva, Maiewicz και Tomcza-Jaegerma από το οποίο έπεται ότι ο τυχαίος υπόχωρος Y ικανοποιεί την παραπάνω ανισότητα με πολύ μεγάλη πιθανότητα. Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο αποδεικνύουμε επίσης ότι αν K είναι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R σε θέση Joh, τότε για κάθε δ/log + )), όπου δ 0, ) είναι μια απόλυτη σταθερά, η τυχαία -άδα ορθογώνιων μετασχηματισμών U,..., U O) ικανοποιεί, με πιθανότητα μεγαλύτερη από exp c 4 ), την ) d G Ui K ), B c 3 log, i=

8 viii Περιεχόμενα όπου c 3, c 4 > 0 είναι απόλυτες σταθερές, και με d G K, L) συμβολίζουμε τη γεωμετρική απόσταση δύο συμμετρικών κυρτών σωμάτων K, L στον R. Το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να ιδωθεί σαν μια ισομορφική εκδοχή της λεγόμενης «ολικής μορφής» του Θεωρήματος Dvoretzy που αποδείχθηκε από τους Bourgai, Lidestrauss και V. Milma.. Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων. Δείχνουμε ότι αν f) είναι μια συνάρτηση με lim f) = και f) = o) και 0, τότε για κάθε S {, } με S /f) υπάρχουν ορθοκανονικά διανύσματα x,..., x R τέτοια ώστε ɛ i x i c log f) i= για κάθε ɛ,..., ɛ ) S, όπου c 0, ) είναι μια απόλυτη σταθερά. Το αποτέλεσμα αυτό βελτιώνει μια προηγούμενη εκτίμηση του Hajela στην κατεύθυνση απόδειξης μιας αρνητικής απάντησης στη γνωστή εικασία του Komlós: Υπάρχει απόλυτη σταθερά C > 0 τέτοια ώστε για κάθε x,..., x B υπάρχουν ɛ,..., ɛ {, } τέτοια ώστε ɛ i x i C. i= Για την απόδειξη θεωρούμε τυχαίες στροφές της συνήθους ορθοκανονικής βάσης e,..., e R και χρησιμοποιούμε μια ανισότητα τύπου small ball για τις τιμές της στην Ευκλείδεια σφαίρα S. Γενικεύοντας την προσέγγισή μας αυτή, αποδεικνύουμε παρόμοια αποτελέσματα στην περίπτωση που το ρόλο της παίρνει μια νόρμα που επάγεται από ένα τυχόν συμμετρικό κυρτό σώμα D στον R, καθώς και στην περίπτωση που τα σημεία x,..., x επιλέγονται από μια τυχαία στροφή ενός συμμετρικού κυρτού σώματος K στον R. Για την απόδειξη χρησιμοποιούμε ένα αποτέλεσμα των Glusi και V. Milma, που μας επιτρέπει επίσης να δώσουμε μια νέα απόδειξη ενός θεωρήματος του Baasczcy: Για κάθε ζευγάρι συμμετρικών κυρτών σωμάτων K και L στον R υπάρχουν x,..., x K τέτοια ώστε για κάθε ɛ,..., ɛ {, }, ɛ i x i c L ) / vol K), vol L) i= όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. 3. Εκτιμήσεις για μέτρα τομών κυρτών σωμάτων. Μελετάμε τις γενικευμένες εκδοχές δύο κλασικών προβλημάτων της Ασυμπτωτικής Γεωμετρικής Ανάλυσης, της Εικασίας του Υπερεπιπέδου και του Ισομορφικού Προβλήματος Busema-Petty. Εστω µ ένα μέτρο στον R, απολύτως συνεχές ως προς το μέτρο Lebesgue. Για κάθε ακέραιο συμβολίζουμε με α, µ) τον μικρότερο α > 0 με την ιδιότητα: Για κάθε κεντραρισμένο κυρτό σώμα K στον R ισχύει ότι µk) α max µk F ) vol K), F G, όπου με G,m συμβολίζουμε το σύνολο των m-διάστατων υπόχωρων του R. Για κάθε συμβολίζουμε επίσης με β, µ) τον μικρότερο β με την ιδιότητα: Για κάθε ζευγάρι κεντραρισμένων κυρτών σωμάτων K, L στον R για τα οποία ισχύει ότι µk F ) µl F ) για κάθε F G,, έχουμε ότι µk) β µl).

9 Περιεχόμενα ix Αποδεικνύουμε ότι, για κάθε μέτρο µ όπως παραπάνω, α, µ) c για κάποια απόλυτη σταθερά c > 0, ενώ από την άλλη β, µ) c 4 για κάποια απόλυτη σταθερά c > 0, αν περιοριστούμε στην κλάση των συμμετρικών κυρτών σωμάτων, κάτω από την επιπλέον υπόθεση ότι το μέτρο µ είναι λογαριθμικά κοίλο. Οι εκτιμήσεις αυτές γενικεύουν και βελτιώνουν προηγούμενα αποτελέσματα των Koldobsy και Zvavitch. Οι αποδείξεις μας ακολουθούν μια διαφορετική μέθοδο από αυτή των προαναφερθέντων συγγραφέων, συνδυάζοντας εργαλεία από την ολοκληρωτική γεωμετρία, αντίστροφες ανισότητες Hölder για λογαριθμικά κοίλα μέτρα και ισοπεριμετρικού τύπου ανισότητες για τα δυϊκά αφφινικά quermassitegrals κυρτών σωμάτων, καθώς και συναρτησιακές γενικεύσεις αυτών. 4. Φαινόμενα κατωφλίου για τυχαία πολύτοπα σε υψηλές διαστάσεις. Εστω N > και x,..., x N R τυχαία σημεία που επιλέγονται ανεξάρτητα με κατανομή ένα μέτρο πιθανότητας ν στον R. Αν θεωρήσουμε ένα δεύτερο μέτρο πιθανότητας µ στον R, ένα γενικό πρόβλημα, στιγμιότυπα του οποίου έχουν κατά καιρούς απασχολήσει διάφορους συγγραφείς, είναι η μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς της ποσότητας E ν N µcov{x,..., x N }) καθώς, σαν συνάρτηση του πλήθους των κορυφών N. Σε πιο απλή γλώσσα, το ερώτημα που μας απασχολεί είναι: Πόσο μεγάλο χρειάζεται να είναι το πλήθος των κορυφών N = N), ώστε το τυχαίο πολύτοπο cov{x,..., x N } να έχει «σημαντικό» μέγεθος ως προς το μέτρο µ), καθώς η διάσταση μεγαλώνει; Ασχολούμαστε με τις περιπτώσεις κατά τις οποίες τα τυχαία σημεία x,..., x N επιλέγονται με βάση τις κατανομές Βήτα και Βήτα στον R. Συγκεκριμένα, για την περίπτωση της Βήτα κατανομής με παράμετρο β >, αν επιλέξουμε µ = vol )/vol B ) να είναι το κανονικοποιημένο μέτρο Lebesgue στη μοναδιαία μπάλα B του R, δείχνουμε το ακόλουθο φαινόμενο κατωφλίου: Για κάθε ε > 0, E vol cov{x,..., x N }) lim vol B ) = { 0 αν N exp ε)β + + ) log ) αν N exp + ε)β + + ) log ). Αποδεικνύουμε επιπλέον ίδιου τύπου αποτελέσματα για όλους τους itrisic volumes του Βήτα πολυτόπου, καθώς και για την περίπτωση της Βήτα κατανομής, θεωρώντας στη θέση του κανονικοποιημένου μέτρου Lebesgue ένα τυχόν λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας µ. Δείχνουμε πώς από τα αποτελέσματά μας μπορούν να προκύψουν αντίστοιχα παλιότερα αποτελέσματα του Pivovarov, για την περίπτωση κατά την οποία τα σημεία x,..., x N επιλέγονται με βάση το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας στην Ευκλείδεια σφαίρα S ή με βάση το μέτρο του Gauss γ στον R. 5. Εκτιμήσεις για τα αφφινικά quermassitegrals. Δίνουμε μερικά αποτελέσματα στην κατεύθυνση της επαλήθευσης της ασυμπτωτικής μορφής μιας εικασίας του Lutwa για τα αφφινικά quermassitegrals ενός κυρτού σώματος. Συγκεκριμένα, δεδομένου ενός κυρτού σώματος K στον R, ορίζουμε για κάθε το -στό κανονικοποιημένο αφφινικό quermassitegral του K, ) T, K) := vol vol K) / P F K)) dν, F ), G, και προσπαθούμε για συγκεκριμένες κλάσεις σωμάτων να βελτιώσουμε την καλύτερη ως τώρα γενική εκτίμηση T, K) c / log, όπου c > 0 μια απόλυτη σταθερά, που ισχύει για κάθε κυρτό σώμα K στον R και. Το ζητούμενο γενικά και το καλύτερο που θα μπορούσε να

10 x Περιεχόμενα περιμένει κανείς) είναι να απαλειφθεί ο λογαριθμικός όρος στο παραπάνω άνω φράγμα. Δείχνουμε αρχικά ότι κάτι τέτοιο ισχύει για μια ευρεία κλάση συμμετρικών τυχαίων πολυτόπων: αν N e και τα x,..., x N είναι τυχαία σημεία που επιλέγονται ανεξάρτητα και ομοιόμορφα από το εσωτερικό ενός ισοτροπικού κυρτού σώματος K, μπορούμε να δείξουμε ότι η εκτίμηση T, cov{x,..., x N }) c ισχύει με πιθανότητα που τείνει στο καθώς η διάσταση μεγαλώνει. Εξετάζουμε επίσης την περίπτωση κατά την οποία τα σημεία x,..., x N επιλέγονται με βάση τη Βήτα κατανομή στον R. Μπορούμε τότε πάλι να αφαιρέσουμε τον λογαριθμικό παράγοντα στο παραπάνω άνω φράγμα, κάτω από συγκεκριμένες υποθέσεις για τα, N. Μελετάμε τέλος το ίδιο πρόβλημα για την κλάση των ucoditioal κυρτών σωμάτων: Αν το K είναι ucoditioal, μπορούμε να δείξουμε το άνω φράγμα T, K) c / + log/), για κάθε. Περιγράφουμε ενδελεχέστερα τα παραπάνω αποτελέσματα στο Κεφάλαιο, πριν αναλύσουμε τις τεχνικές λεπτομέρειες των σχετικών αποδείξεων ξεχωριστά, στα αντίστοιχα Κεφάλαια 3-7. Παρά το ότι το θεωρητικό πλαίσιο και τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται από κεφάλαιο σε κεφάλαιο παρουσιάζουν μια σχετική αυτοτέλεια, συγκεντρώνουμε στο εισαγωγικό Κεφάλαιο τους ορισμούς κάποιων βασικών εννοιών και την ανάπτυξη του ενιαίου θεωρητικού υπόβαθρου σχετικά με τη γεωμετρία των κυρτών σωμάτων και ορισμένων κλάσεων μέτρων πιθανότητας στον R, που αποτελούν τα κεντρικά αντικείμενα μελέτης στα επιμέρους κομμάτια της εργασίας.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Συμβολισμός και θεωρητικό υπόβαθρο Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε μερικές βασικές έννοιες, καθώς και το συμβολισμό που θα χρησιμοποιηθεί με ενιαίο τρόπο στο σύνολο του κειμένου. Διατυπώνουμε επίσης ορισμένα κλασικά αποτελέσματα της σχετικής θεωρίας, που θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια. Επιπλέον έννοιες και βοηθητικά αποτελέσματα που μπορεί να απαιτούνται για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων κάθε ξεχωριστού κεφαλαίου θα κάνουν την εμφάνισή τους στην πορεία. Εργαζόμαστε στον R, τον οποίο θεωρούμε εφοδιασμένο με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο,, δηλαδή x, y := x i y i, για κάθε x = x, x,..., x ), y = y, y,..., y ) R. Συμβολίζουμε με την επαγόμενη Ευκλείδεια νόρμα, και γράφουμε B για την κλειστή Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα, και S := B για τη μοναδιαία σφαίρα, το σύνορο δηλαδή της B. Αντίστοιχα, για οποιοδήποτε p συμβολίζουμε με B p την κλειστή μοναδιαία μπάλα ως προς τη συνηθισμένη p-νόρμα i= ) /p x p = x i p, x = x,..., x ) R. i= Με e i ) i= συμβολίζουμε τη συνήθη βάση του R, και με o = 0,..., 0) την αρχή των αξόνων. Για κάθε ϑ S με ϑ συμβολίζουμε το κεντρικό υπερεπίπεδο που είναι κάθετο στο ϑ. Συμβολίζουμε παντού στο κείμενο με dx την ολοκλήρωση ως προς το -διάστατο μέτρο Lebesgue. Παρατηρήστε ότι έτσι δεν αναφέρουμε κάθε φορά τη διάσταση στην οποία λαμβάνει χώρα η ολοκλήρωση. Επιλέγουμε το συγκεκριμένο συμβολισμό χάριν απλότητας, ωστόσο τονίζουμε ότι η ολοκλήρωση γίνεται πάντα στην κατάλληλη διάσταση. Σε σημεία του κειμένου όπου μπορεί να προκληθεί σύγχυση, ενδέχεται να χρησιμοποιούμε τον αναλυτικότερο συμβολισμό dλ x) για τη Lebesgue ολοκλήρωση στις διαστάσεις. Τείνουμε να χρησιμοποιούμε τον όρο όγκος του A, όταν

12 Συμβολισμος και θεωρητικο υποβαθρο αναφερόμαστε στο -διάστατο μέτρο Lebesgue ενός πλήρους διάστασης) A μετρήσιμου υποσυνόλου του R. Συμβολίζουμε τον όγκο ενός τέτοιου A με vol A). Γράφουμε GL) για το σύνολο όλων των αντιστρέψιμων γραμμικών μετασχηματισμών T : R R, και SL) = {T GL) : dett ) = } είναι το υποσύνολο των T GL) που διατηρούν τον όγκο. Με O) συμβολίζουμε ως συνήθως την ορθογώνια ομάδα, το σύνολο δηλαδή των ορθογώνιων μετασχηματισμών, στον R. Η συμπαγής ομάδα O) είναι εφοδιασμένη με ένα μοναδικό μέτρο πιθανότητας μέτρο Haar) το οποίο συμβολίζουμε με ν. Η Ευκλείδεια μοναδιαία σφαίρα είναι εφοδιασμένη με ένα αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς μέτρο πιθανότητας, το οποίο συμβολίζουμε με σ για συντομία, απαλείφουμε και εδώ στο συμβολισμό μας την εξάρτηση από τη διάσταση, η οποία όμως κάθε φορά θα είναι σαφής από το περιεχόμενο). Το μέτρο σ επάγεται από το μέτρο ν της O) ως εξής: Σταθεροποιώντας ένα οποιοδήποτε x 0 S, ορίζουμε, για κάθε μετρήσιμο A S, σa) := ν {U O) : Ux 0 ) A}). Λόγω της μοναδικότητας του μέτρου Haar, το μέτρο πιθανότητας σ ταυτίζεται με το λεγόμενο coe measure στη σφαίρα, έχουμε δηλαδή σa) = vol CA)) vol B ), για κάθε μετρήσιμο A S, όπου CA) = {tx : x A, t [0, ]}. Για κάθε φυσικό <, με G, συμβολίζουμε την πολλαπλότητα Grassma, το σύνολο των -διάστατων υπόχωρων του R. Η G, είναι επίσης εφοδιασμένη με ένα μέτρο Haar πιθανότητας που συμβολίζουμε με ν,, και ορίζεται επίσης μέσω του μέτρου στην O): Για κάθε μετρήσιμο S G,, ν, S) := ν {U O) : UR ) S} ). Για έναν υπόχωρο F G,, συμβολίζουμε με P F την ορθογώνια προβολή από τον R επί του F. Τα γράμματα c, c, c, c, c κλπ. συμβολίζουν απόλυτες θετικές σταθερές που η τιμή τους μπορεί να αλλάζει από γραμμή σε γραμμή. Οταν γράφουμε a b, εννοούμε ότι υπάρχει μια απόλυτη σταθερά c > 0 τέτοια ώστε a cb. Γράφουμε επίσης a b αν a b και b a. Ομοια, αν K, T R θα γράφουμε K T αν υπάρχουν απόλυτες σταθερές c, c > 0 τέτοιες ώστε c K T c K. Συμβολίζουμε τέλος με A τον πληθάριθμο ενός πεπερασμένου συνόλου A, και ενδέχεται, σε κάποια σημεία να χρησιμοποιούμε το συμβολισμό [] = {,,..., }.. Κυρτά σώματα Ενα K R λέμε ότι είναι ένα κυρτό σώμα στον R αν είναι συμπαγές, κυρτό, και itk). Λέμε ότι το K είναι κεντραρισμένο ή ότι έχει κέντρο βάρους την αρχή των αξόνων αν η x, ϑ dx = 0 K Ο συμβολισμός αυτός δεν συγχέεται με τον εξ ίσου συνηθισμένο big-o συμβολισμό που περιγράφει την τάξη μεγέθους μιας ποσότητας ως συνάρτηση του, καθώς οι συγκεκριμένες έννοιες χρησιμοποιούνται πάντα σε διαφορετικό πλαίσιο.

13 . Κυρτα σωματα 3 ισχύει για κάθε ϑ S. Επίσης, το K λέγεται συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων) αν K = K. Συμβολίζουμε με K το συναρτησοειδές Miowsi του K, δηλαδή x K = mi{t > 0 : x tk}, x R. Ο συγκεκριμένος συμβολισμός έχει το εξής νόημα: Αν το K είναι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα, τότε το συναρτησοειδές Miowsi K είναι μια νόρμα στον R, η κλειστή μοναδιαία μπάλα της οποίας είναι το K, ισχύει δηλαδή ότι K = {x R : x K }. Αντίστροφα, αν X = R, ) είναι ένας -διάστατος χώρος με νόρμα, η κλειστή μοναδιαία μπάλα του X, B X = {x R : x } είναι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα. Η κλάση των -διάστατων χώρων με νόρμα ταυτίζεται με αυτόν τον τρόπο με το σύνολο των συμμετρικών κυρτών σωμάτων στον R. Δεδομένου ενός κυρτού σώματος K στον R, η συνάρτηση στήριξης του K, h K : R R δίνεται από την h K x) = max{ x, y : y K}. Ο παραπάνω ορισμός έχει μια χρήσιμη γεωμετρική ερμηνεία: Αν επιλέξουμε μια διεύθυνση ϑ S, τότε εύκολα μπορούμε να δούμε ότι η ποσότητα h K ϑ) είναι η προσημασμένη) απόσταση του υπερεπιπέδου στήριξης του K στη διεύθυνση ϑ από την αρχή των αξόνων. Μια σημαντική παρατήρηση είναι ότι η συνάρτηση στήριξης χαρακτηρίζει το σώμα: Εχουμε h K h L αν και μόνο αν K L. Από τον ορισμό της συνάρτησης στήριξης, βλέπουμε ότι η ποσότητα h K ϑ) + h K ϑ) στην ουσία μετράει το «πλάτος» του σώματος K στη διεύθυνση ϑ S. Παίρνοντας τη μέση τιμή και διαιρώντας με ) παίρνουμε το λεγόμενο μέσο πλάτος του κυρτού σώματος K, που συμβολίζουμε με wk): wk) := h K ϑ) dσϑ). S Είναι άμεσο ότι το συναρτησοειδές h K είναι υποπροσθετικό και θετικά ομογενές. Λόγω της θετικής ομογένειας μάλιστα, είναι συνηθισμένο να θεωρούμε την h K ορισμένη μόνο στη σφαίρα S, αντί σε ολόκληρο τον R. Παρατηρήστε επιπλέον ότι η h K είναι άρτια αν και μόνο αν το K είναι συμμετρικό, και θετική αν και μόνο αν o itk). Οταν ισχύουν τα παραπάνω, η h K είναι λοιπόν μια νόρμα στον R. Η κλειστή μοναδιαία μπάλα αυτής της νόρμας είναι το πολικό σώμα του K, το οποίο μπορεί να οριστεί και χωρίς την υπόθεση της συμμετρίας: Για κάθε κυρτό σώμα K στον R τέτοιο ώστε o K, ορίζουμε { } K := x R : max x, y. y K Στην περίπτωση που το K είναι συμμετρικό, αν X = R, K ), παρατηρήστε ότι K = B X, δηλαδή το K δεν είναι παρά η κλειστή μοναδιαία μπάλα του δυϊκού χώρου X. Παρατηρήστε τέλος ότι K ) = K και h K ) = K για κάθε κυρτό σώμα K με o K. Μια, κατά κάποιο τρόπο, δυϊκή έννοια της συνάρτησης στήριξης είναι αυτή της ακτινικής συνάρτησης ρ K : R \ {o} R ενός κυρτού σώματος K στον R, η οποία δίνεται από την ρ K x) = max{t > 0 : tx K}. Παρατηρήστε ότι η ρ K είναι θετικά ομογενής βαθμού, δηλαδή ρ K ax) = a ρ K x) για κάθε a > 0.

14 4 Συμβολισμος και θεωρητικο υποβαθρο Με τον όρο περιγεγραμμένη ακτίνα ενός κυρτού σώματος K στον R εννοούμε την ακτίνα της μικρότερης o-συμμετρικής Ευκλείδειας μπάλας που περιέχει το K. Χρησιμοποιούμε για την περιγεγραμμένη ακτίνα το συμβολισμό RK), έχουμε δηλαδή RK) := mi{r > 0 : K rb }. Παρατηρήστε ότι RK) = max x K x = max ϑ S h K ϑ). Αντίστοιχα ορίζεται και η εγγεγραμμένη ακτίνα, rk) του K ως η ακτίνα της μεγαλύτερης o-συμμετρικής Ευκλείδειας μπάλας που περιέχεται στο K, δηλαδή rk) = max{r > 0 : rb K}. Και πάλι, εύκολα βλέπει κανείς ότι rk) = mi ϑ S h K ϑ). Χρησιμοποιούμε συχνά το συμβολισμό ω = vol B ) για τον όγκο της μοναδιαίας μπάλας. Ολοκληρώνοντας σε πολικές συντεταγμένες, μπορεί κανείς να δει ότι..) ω = π/ Γ + ). Καθώς, από τον τύπο του Stirlig, έχουμε Γ + ) πe ) / +, έπεται ότι ω / /. Η εκτίμηση αυτή για τον όγκο της -διάστατης Ευκλείδειας μπάλας υπεισέρχεται συχνά στους υπολογισμούς μας. Ενα κυρτό σώμα K στον R λέγεται ισοτροπικό αν έχει όγκο, είναι κεντραρισμένο, και ο πίνακας αδρανείας του είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού πίνακα, δηλαδή αν υπάρχει σταθερά L K > 0 τέτοια ώστε..) x, ϑ dx = L K K για κάθε ϑ S. Για κάθε κεντραρισμένο κυρτό σώμα K στον R υπάρχει αντιστρέψιμος γραμμικός μετασχηματισμός T GL) τέτοιος ώστε το T K) να είναι ισοτροπικό. Αυτή η ισοτροπική εικόνα του K είναι μονοσήμαντα ορισμένη αν αγνοήσουμε ορθογώνιους μετασχηματισμούς... Γεωμετρικές ανισότητες Παραθέτουμε στην παράγραφο αυτή μερικές βασικές γεωμετρικές ανισότητες που θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια. Ξεκινάμε με ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα της κλασικής κυρτότητας. Θεώρημα.. Ανισότητα Bru-Miowsi). Εστω K και L δύο μη-κενά συμπαγή υποσύνολα του R. Τότε,..3) vol K + L) / vol K) / + vol L) /. Αν υποθέσουμε επιπλέον ότα τα K και L είναι κυρτά σώματα, τότε η ισότητα στην..3) ισχύει αν και μόνον αν τα K και L είναι ομοθετικά. Η ανισότητα Bru-Miowsi συνδέει τον όγκο με το άθροισμα Miowsi. Συναντάται συχνά σε δύο άλλες στην ουσία ισοδύναμες) μορφές: Για κάθε λ 0, ), και κάθε δύο μη-κενά, συμπαγή K, L R,..4) vol λk + λ)l) / λvol K) / + λ)vol L) /,

15 . Κυρτα σωματα 5 ή χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου),..5) vol λk + λ)l) vol K) λ vol L) λ. Η τελευταία σχέση δείχνει ότι ο όγκος είναι μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση ως προς την άθροιση Miowsi). Θα χρησιμοποιήσουμε επιπλέον την ακόλουθη συναρτησιακή γενίκευση της ανισότητας Bru- Miowsi. Θεώρημα.. Ανισότητα Préopa-Leidler). Εστω f, g, h : R R + μετρήσιμες συναρτήσεις και έστω λ 0, ). Υποθέτουμε ότι οι f και g είναι ολοκληρώσιμες και ότι, για κάθε x, y R, Τότε hλx + λ)y) fx) λ gy) λ. ) λ ) λ hx) dx fx) dx gx) dx. R R R Παρατηρήστε ότι η ανισότητα Bru-Miowsi έπεται άμεσα από την ανισότητα Préopa- Leidler, εφαρμόζοντας την τελευταία για f = K, g = L και h = λk+ λ)l. Μια κλασική ανισότητα που μπορεί να δειχθεί σαν συνέπεια της ανισότητας Bru-Miowsi και της συμμετρικοποίησης κατά Steier για μια απόδειξη, βλ. [, Θεώρημα.5.]) είναι η ανισότητα του Urysoh. Θεώρημα..3 Ανισότητα του Urysoh). Εστω K ένα κυρτό σώμα στον R. Τότε wk) ) / vol K) vol B ). Παρατηρήστε ότι το δεξί μέλος της παραπάνω ανισότητας ισούται ακριβώς με την ακτίνα της Ευκλείδειας μπάλας στον R που έχει τον ίδιο όγκο με το σώμα K. Αναφερόμαστε λοιπόν συχνά σε αυτή την ποσότητα με τον όρο ακτίνα όγκου του K, και συμβολίζουμε vradk) = ) / vol K) vol B ). Η ανισότητα του Urysoh μας δίνει μια εκτίμηση για το μέσο πλάτος ενός κυρτού σώματος K αν έχουμε ένα κάτω φράγμα για την ακτίνα όγκου του K και αντίστροφα). Ενα κλασικό αποτέλεσμα που συνδέει τον όγκο ενός κυρτού σώματος με τον όγκο του πολικού του είναι το παρακάτω, που διατυπώθηκε αρχικά από τον Blasche για συμμετρικά σώματα στις 3 διαστάσεις και αποδείχθηκε από τον Sataló για κάθε διάσταση, ενώ αργότερα φάνηκε ότι ισχύει και χωρίς την υπόθεση της συμμετρίας. Θεώρημα..4 Ανισότητα Blasche-Sataló). Εστω K ένα κεντραρισμένο κυρτό σώμα στον R. Τότε vol K)vol K ) ω.

16 6 Συμβολισμος και θεωρητικο υποβαθρο Η παραπάνω ανισότητα στην ουσία λέει ότι το γινόμενο όγκων vol K)vol K ) μεγιστοποιείται στην περίπτωση που το K είναι ελλειψοειδές. Οπως με την ανισότητα του Urysoh, η ανισότητα Blasche-Sataló μπορεί να δειχθεί χρησιμοποιώντας την ανισότητα Bru-Miowsi και συμμετρικοποίηση κατά Steier βλ. [, Παράγραφος.5.4]) Δεδομένου του ασυμπτωτικού τύπου ω / /, ένα μεταγενέστερο αποτέλεσμα των Bourgai και Milma εξασφαλίζει ότι στην ουσία η ανισότητα Blasche-Sataló αντιστρέφεται. Ενδέχεται λοιπόν να αναφερόμαστε στην ακόλουθη ανισότητα και με τον όρο «αντίστροφη ανισότητα Sataló». Θεώρημα..5 Ανισότητα Bourgai-Milma). Εστω K ένα κυρτό σώμα στον R, τέτοιο ώστε o itk). Τότε υπάρχει μια απόλυτη σταθερά c > 0 τέτοια ώστε vol K)vol K )) / c. Παρατηρήστε ότι από τις ανισότητες Blasche-Sataló και Bourgai-Milma έπεται ότι vradk)vradk ), για κάθε κεντραρισμένο κυρτό σώμα K στον R. Μία ακόμη συνέπεια της ανισότητας Bru-Miowsi που θα χρησιμοποιήσουμε είναι το επόμενο αποτέλεσμα του C. Borell [30], το οποίο είναι γνωστό σαν το «Λήμμα του Borell». Θεώρημα..6 Borell). Εστω K ένα κυρτό σώμα όγκου στον R, και A R κλειστό, κυρτό και συμμετρικό, με volk A) = δ >. Τότε για κάθε t, δ volk ta) c ) δ δ Σχέδιο της απόδειξης. Δείχνουμε πρώτα ότι A c t+ ta)c + t t+ A, και μετά παίρνουμε την τομή με το K και εφαρμόζουμε την ανισότητα Bru-Miowsi. Ενα χρήσιμο Πόρισμα του Λήμματος του Borell είναι η ακόλουθη αντίστροφη ανισότητα Hölder για ημινόρμες στον R. Πόρισμα..7. Εστω K ένα κυρτό σώμα όγκου στον R. Αν f : R R + είναι μια ημινόρμα, τότε για κάθε p < q έχουμε K /p fx) dx) p όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. K ) t+ ) /q fx) q dx c q /p fx) dx) p, p K. Απόδειξη. Η αριστερή ανισότητα παραπάνω είναι απλά η ανισότητα Hölder. ανισότηα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα..6 για το σύνολο Δείχνουμε τη δεξιά A = {x R : fx) 3 f p },

17 . Κυρτα σωματα 7 το οποίο είναι κλειστό, συμμετρικό και κυρτό. Από την ανισότητα του Marov βλέπουμε ότι volk A) 3 p > /. Παρατηρήστε ότι για δ > / έχουμε δ δ δ ) t+ < t δ) δ t = ) t δ, και για δ = 3 p, δ = για κάθε t >, με c = /4. Τώρα γράφουμε K 3 p 3 e p/. Από το Θεώρημα..6 έπεται τότε ότι p vol{x K : fx) 3t f p }) e cpt ) fx) q dx = 0 qs q vol{x K : fx) s}) ds 3 f p ) q + 3 f p ) q qt q e cpt ) dt 3 f p ) q + e cp 3 f p ) q qt q e cpt dt ) q 3 f p ) q + e cp 3 f p Γq + ). c p Το ζητούμενο έπεται τότε εφαρμόζοντας τον τύπο του Stirlig και το γεγονός ότι a + b) /q a /q + b /q για κάθε a, b > 0 και q... Itrisic volumes και quermassitegrals Δεδομένου ενός κυρτού σώματος K στον R, ο τύπος του Steier δείχνει ότι ο όγκος του αθροίσματος Miowsi K + tb μπορεί να γραφεί σαν ένα πολυώνυμο του t: Υπάρχουν μη-αρνητικοί συντελεστές W K)) =0 τέτοιοι ώστε..6) vol K + tb ) = =0 ) W K)t. Ο όρος W K) στην παραπάνω έκφραση καλείται το -στο quermassitegral του K. Οι ποσότητες αυτές έχουν μια ολοκληρωτική αναπαράσταση, μέσω του τύπου του Kubota:..7) W K) = ω vol P F K)) dν, F ) ω G, Παρατήρηση..8. α) Εφαρμόζοντας την..7) για = παίρνουμε W K) = ω wk), ενώ εύκολα βλέπουμε ότι W 0 K) = vol K), W K) = ω. β) Από την ανισότητα Alexadrov-Fechel βλ. [, Θεώρημα Β..]) έπεται ότι για κάθε 0 j <. W K) ω ) ) Wj j K), ω

18 8 Συμβολισμος και θεωρητικο υποβαθρο Η παραπάνω Παρατήρηση μας παρακινεί να θεωρήσουμε μια διαφορετική κανονικοποίηση. Ορίζουμε, για κάθε ) W K) Q K) :=. Καλούμε το Q K) το κανονικοποιημένο -στό quermassitegral του K. Παρατηρήστε ότι με αυτό το συμβολισμό, από την Παρατήρηση..8 έπεται ότι Q K) = wk), Q K) = vradk), καθώς επίσης και το γεγονός ότι η Q K)) είναι φθίνουσα ακολουθία του. Ο τύπος του Kubota δίνει μια ολοκληρωτική αναπαράσταση για το Q, ανάλογη της..7: ω ) / Q K) = vol P F K)) dν, F ). ω G, Η ακολουθία των itrisic volumes ενός κυρτού σώματος προκύπτει επίσης από μια διαφορετική κανονικοποίηση των quermassitegrals. Ορίζουμε τον -στο itrisic volume V K) του K, μέσω της..8) V K) := ω ) W K) βλ. π.χ. [0, 4.9)]). Σημειώνουμε ότι, με αυτή την κανονικοποίηση, V 0 K) =, V K) = vol K) και V K) = ω ω wk)...3 Απόσταση Baach-Mazur και το Θεώρημα του Joh Με την έννοια της απόστασης Baach-Mazur μετράμε το πόσο «όμοιοι» είναι δύο χώροι με νόρμα. Συγκεκριμένα αν X και Y είναι δύο ισόμορφοι χώροι με νόρμα ενδεχομένως άπειρης διάστασης), ορίζουμε την απόσταση Baach-Mazur των X και Y d BM X, Y ) := if{ T T : T : X Y ισομορφισμός} στην περίπτωση που οι X, Y δεν είναι ισόμορφοι, θέτουμε κατά σύμβαση d BM X, Y ) = ). Σημειώνουμε μερικές βασικές ιδιότητες της απόστασης d BM. Πρόταση..9. Εστω X, Y και Z χώροι με νόρμα. Τότε α) d BM X, Y ), και η ισότητα ισχύει αν και μόνον αν οι X, Y είναι ισομετρικά ισόμορφοι. β) d BM X, Y ) = d BM Y, X). γ) d BM X, Y ) d BM X, Z)d BM Z, Y ). δ) Αν οι X και Y είναι αυτοπαθείς, τότε d BM X, Y ) = d BM X, Y ). Η παρακάτω Πρόταση δίνει μια γεωμετρική ερμηνεία της απόστασης Baach-Mazur: Δύο χώροι με νόρμα είναι «κοντά» ως προς τη d BM αν υπάρχει γραμμικός μετασχηματισμός της μοναδιαίας μπάλας του ενός που «μοιάζει» με τη μοναδιαία μπάλα του δεύτερου. Πρόταση..0. Εστω X και Y ισόμορφοι χώροι με νόρμα. Τότε d BM X, Y ) = if{d > 0 : υπάρχει T : X Y ώστε B Y T B X ) db Y }.

19 . Κυρτα σωματα 9 Μια άλλη, σχετική, έννοια απόστασης κυρτών σωμάτων είναι η λεγόμενη γεωμετρική απόσταση. Συγκεκριμένα, δεδομένων δύο συμμετρικών κυρτών σωμάτων K και L στον R, ορίζουμε d G K, L) := if { d > 0 : υπάρχουν a, b > 0 με ab d ώστε a L K bl }. Παρατηρήστε ότι αν X K, X L είναι δύο -διάστατοι χώροι με νόρμα με μοναδιαίες μπάλες K, L αντίστοιχα, τότε d BM X K, X L ) = if{d G K, T L)) : T GL)}. Με τον όρο ελλειψοειδές στον R εννοούμε κάθε κυρτό σώμα της μορφής { } E = x R x, v i :, i= όπου {v,..., v } είναι μια ορθοκανονική βάση του R και a,..., a είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί οι διευθύνσεις και τα μήκη των ημιαξόνων του E αντίστοιχα). Μια χρήσιμη ισοδύναμη περιγραφή των ελλειψοειδών δίνεται από το επόμενο λήμμα. Λήμμα... Ενα κυρτό σώμα E στον R είναι ελλειψοειδές αν και μόνο αν υπάρχει T GL) ώστε E = T B ). Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R. Ενα επιχείρημα συμπάγειας δείχνει ότι υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E που περιέχεται στο K και έχει το μέγιστο δυνατό όγκο. Λέμε σε αυτή την περίπτωση ότι το E είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Ομοίως δείχνεται ότι υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του K, δηλαδή μοναδικό ελλειψοειδές που έχει τον ελάχιστο όγκο, ανάμεσα σε όλα τα ελλειψοειδή που περιέχουν το K. Θα λέμε ότι ένα συμμετρικό κυρτό σώμα K βρίσκεται σε θέση Joh, όταν το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K είναι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B. Αντίστοιχα λέμε ότι το K είναι σε θέση Löwer αν η B είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του K. Ενα x R λέγεται σημείο επαφής του K και της B αν x = x K =. Το κλασικό Θεώρημα του F. Joh [6] στην πραγματικότητα μας δίνει ακόμη περισσότερες πληροφορίες για ένα σώμα που βρίσκεται στην ομώνυμη θέση, περιγράφοντας την κατανομή των σημείων επαφής στη μοναδιαία σφαίρα S. Θεώρημα.. Joh). Εστω ότι το συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R έχει ελλειψοειδές μέγιστου όγκου τη B. Τότε υπάρχουν σημεία επαφής u,..., u m του K και της B, και θετικοί πραγματικοί αριθμοί c,..., c m τέτοιοι ώστε..9) x = για κάθε x R. a i m c j x, u j u j, j= Παρατήρηση..3. Το Θεώρημα.. μας λέει ισοδύναμα ότι ο ταυτοτικός τελεστής Id στον R μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή..0) Id = m c j u j u j, j=

20 0 Συμβολισμος και θεωρητικο υποβαθρο όπου με u j u j συμβολίζουμε την προβολή στη διεύθυνση του u j : u j u j )x) := x, u j u j. Παρατηρήστε ότι από την..9) έπεται ότι, για κάθε x R, x = x, x = m c j x, u j. Επίσης, εφαρμόζοντας την ίδια σχέση για x = e i, όπου {e,..., e } είναι η συνήθης ορθοκανονική βάση του R, έχουμε = e i = i= i= j= j= m m m c j e i, u j = c j u j = c j. Μια πολύ γνωστή συνέπεια του Θεωρήματος.. που επίσης αποκαλείται συχνά «το Θεώρημα του Joh» ) είναι η παρακάτω. Πρόταση..4. Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R που βρίσκεται σε θέση Joh. Τότε K B. Παρατηρήστε ότι χρησιμοποιώντας τη γλώσσα της γεωμετρικής απόστασης δύο κυρτών σωμάτων, που ορίστηκε παραπάνω, η τελευταία Πρόταση μας λέει ότι για κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R που βρίσκεται σε θέση Joh έχουμε d G K, B ). Επεται ότι για κάθε -διάστατο χώρο με νόρμα X, d BM X, l ). Χρησιμοποιώντας την υποπολλαπλασιαστική ιδιότητα της d BM Πρόταση..9 γ) ) μπορούμε τότε να δούμε ότι το άνω φράγμα d BM X, Y ) ισχύει για κάθε ζευγάρι -διάστατων χώρων με νόρμα X, Y. j= j=. Μέτρα πιθανότητας στον R Συμβολίζουμε με P την κλάση των Borel μέτρων πιθανότητας στον R τα οποία είναι απολύτως συνεχή ως προς το μέτρο Lebesgue. Για κάθε µ P υπάρχει μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση f µ : R [0, + ) τέτοια ώστε µa) = f µ x) dx. R Λέμε ότι η f µ είναι η συνάρτηση πυκνότητας ή απλά η πυκνότητα) του µ. Λέμε επιπλέον ότι το µ P είναι κεντραρισμένο ή ότι έχει κέντρο βάρους το 0) και γράφουμε barµ) = 0 αν, για κάθε ϑ S,..) x, ϑ dµx) = R x, ϑ f µ x)dx = 0. R Ενα µ P καλείται άρτιο αν µa) = µ A) για κάθε Borel υποσύνολο A του R... Λογαριθμικά κοίλα μέτρα πιθανότητας Μια ιδιαιτέρως ενδιαφέρουσα υποκλάση της P είναι η κλάση των λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας στον R. Μια συνάρτηση f : R [0, ) λέγεται λογαριθμικά κοίλη αν ο φορέας της, {f > 0}, είναι κυρτό σύνολο και ο περιορισμός της log f σε αυτόν είναι κοίλη συνάρτηση. Αναλόγως ορίζεται η έννοια του λογαριθμικά κοίλου μέτρου.

21 . Μετρα πιθανοτητας στον R Ορισμός... Ενα μέτρο µ P λέγεται λογαριθμικά κοίλο αν για κάθε ζεύγος μη-κενών, συμπαγών υποσυνόλων του R και για κάθε λ 0, ) έχουμε µ λ)a + λb) µa) λ µb) λ. Αν η f : R [0, + ) είναι μια λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα, δηλαδή μια λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση με R fx) dx =, τότε από την ανισότητα Préopa-Leidler Θεώρημα..) έπεται ότι το μέτρο µ f που έχει πυκνότητα την f είναι λογαριθμικά κοίλο. Από την άλλη, είναι γνωστό από ένα θεώρημα του Borell [30] ότι αν το µ είναι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R με την ιδιότητα µh) < για κάθε υπερεπίπεδο H, τότε µ P και έχει μια λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα f µ, δηλαδή dµx) = fx) dx. Στεκόμαστε σε δύο συγκεκριμένα παραδείγματα λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας στον R. Το πρώτο αφορά την κλάση των μέτρων πιθανότητας που επάγονται από κυρτά σώματα. Συγκεκριμένα, δεδομένου ενός κυρτού σώματος K στον R, ορίζουμε το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας στο K, µ K. Αυτό είναι το μέτρο πιθανότητας με φορέα το K, που δίνεται από την µ K A) = vol K A), vol K) για κάθε Borel A R. Παρατηρήστε ότι το γεγονός ότι το µ K είναι λογαριθμικά κοίλο είναι άμεση συνέπεια της ανισότητας Bru-Miowsi Θεώρημα..). Το δεύτερο βασικό μας παράδειγμα αφορά το τυπικό μέτρο του Gauss γ στον R, που δίνεται από την γ A) = π) / R exp x /) dx. Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση fx) = π) / exp x /) είναι μια λογαριθμικά κοίλη πυκνότητα, άρα το γ είναι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας στον R. Παρατήρηση... Θυμηθείτε ότι το Λήμμα του Borell είναι άμεση συνέπεια του ότι ο - διάστατος όγκος vol ) είναι λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση ανισότητα Bru-Miowsi). Το Θεώρημα..6, και άρα και το Πόρισμα..7 μπορούν να διατυπωθούν στο γενικότερο πλαίσιο των λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας. Συγκεκριμένα, αν µ P είναι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο και η f : R R + είναι μια ημινόρμα, τότε για κάθε p < q έχουμε ) /p ) /q fx) p dµx) fx) q dµx) c q ) /p fx) p dµx), R R p R όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Αν µ είναι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο στον R με πυκνότητα f µ, ορίζουμε την ισοτροπική σταθερά του µ ως εξής:..) L µ := ) supx R f µ x) [det Covµ)], f R µ x)dx όπου Covµ) είναι ο πίνακας συνδιακυμάνσεων του µ με συντεταγμένες x R..3) Covµ) ij := i x j f µ x) dx x R i f µ x) dx x R j f µ x) dx f R µ x) dx f R µ x) dx f R µ x) dx.

22 Συμβολισμος και θεωρητικο υποβαθρο Λέμε ότι ένα λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας µ στον R είναι ισοτροπικό αν barµ) = 0 και ο Covµ) είναι ο ταυτοτικός πίνακας, και γράφουμε IL για την κλάση των ισοτροπικών λογαριθμικά κοίλων μέτρων πιθανότητας στον R. Σημειώνουμε ότι ένα κυρτό σώμα K όγκου στον R είναι ισοτροπικό, δηλαδή ικανοποιεί την..), αν και μόνο αν το λογαριθμικά κοίλο μέτρο πιθανότητας µ K με πυκνότητα x L K K/L K x) είναι ισοτροπικό. Θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι για κάθε λογαριθμικά κοίλο μέτρο µ στον R ισχύει η ανισότητα..4) L µ κl, όπου κ > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά μια απόδειξη δίνεται στο [3, Πρόταση.5.])... Οι κατανομές Βήτα και Βήτα Παρουσιάζουμε σε αυτή την παράγραφο δύο οικογένειες μέτρων πιθανότητας στον R που θα μας απασχολήσουν σε ορισμένα κομμάτια της εργασίας μας. Πρόκειται για τις λεγόμενες κατανομές τύπου Βήτα και Βήτα. Δίνουμε τους απαραίτητους ορισμούς και εξηγούμε κάποιες βασικές ιδιότητες, καθώς και τη σχέση τους με άλλα γνωστά μέτρα πιθανότητας στον R. Ορισμός..3 Η Βήτα κατανομή στον R ). Εστω β >. Θέτουμε c,β := π / Γ β + + ), Γβ + ) και ορίζουμε ν β να ειναι το μέτρο πιθανότητας με φορέα την B, και συνάρτηση πυκνότητας p,β x) := c,β x ) β, x B. Με άλλα λόγια, για κάθε μετρήσιμο A B. ν β A) = c,β A x ) β dx, Παρατήρηση..4. α) Για κάθε β >, το μέτρο ν β είναι αναλλοίωτο ως προς στροφές. Ισχύει δηλαδή ότι ν β A) = ν β UA)), για κάθε μετρήσιμο A R. β) Παρατηρήστε ότι για β = 0 στον παραπάνω ορισμό παίρνουμε c,0 = ω. Επεται ότι το μέτρο ν 0 ταυτίζεται με το κανονικοποιημένο μέτρο Lebesgue στη μοναδιαία Ευκλείδεια μπάλα, µ B. Ολοκληρώνοντας στις συντεταγμένες, είναι εύκολο να δούμε ότι η μονοδιάστατη περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας του μέτρου ν β είναι η όπου f β t) := α,β t β+ ), t [, ], α,β := c,β = π / Γ β + + ) c,β Γ ) β + +. Παρατηρήστε ότι, από τους παραπάνω ορισμούς, προκύπτει ότι f β = p,β+. Το γεγονός αυτό γενικεύεται και στις υψηλότερες διαστάσεις.

23 . Μετρα πιθανοτητας στον R 3 Πρόταση..5. Εστω και F G,. Αν X είναι ένα τυχαίο διάνυσμα στον R με κατανομή ν β, τότε το P F X) ακολουθεί την κατανομή ν β+ στον R. Απόδειξη. Αρκεί να εξετάσουμε την περίπτωση =, γιατί δεδομένης αυτής μπορούμε μετά να ολοκληρώσουμε επαγωγικά. Λόγω του αναλλοίωτου σε στροφές, μπορούμε τότε να υποθέσουμε ότι F = {x R : x = 0}. Εστω x = x,..., x ) B με x = r <. Τότε, αν συμβολίσουμε P F x ) =: x = x,..., x, x ) B, έπεται ότι x r. Επιπλέον, x = r + x, οπότε ολοκληρώνοντας ως προς τη -στή συντεταγμένη έχουμε c,β r r x ) β dx = c,β r r x ) β dx r r ) β = c,β r ) β x r dx = c,β r ) β+ = p,β+ x), r όπου στο προτελευταίο βήμα κάναμε την αλλαγή μεταβλητής y = ισχύει γιατί c,β y ) β dy = c,β+. y ) β dy x r, και η τελευταία ισότητα Μία ακόμη ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας στην Ευκλείδεια σφαίρα, μπορεί κατά κάποιο τρόπο να ιδωθεί σαν οριακό σημείο των μέτρων ν β, καθώς β. Πρόταση..6. Η οικογένεια των μέτρων ν β ) β> στον R συγκλίνει υπό την ασθενή έννοια) καθώς β, στο ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας σ στην S. Απόδειξη. Λόγω της συμπάγειας της B, η οικογένεια ν β ) β> είναι tight. Από το Θεώρημα του Prohorov τότε είναι και ασθενώς ακολουθιακά συμπαγής, δηλαδή υπάρχει μια ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία ν β ) N ν β ) β> με β. Για κάθε τέτοια ακολουθία το οριακό μέτρο πιθανότητας πρέπει να είναι αναλλοίωτο σε στροφές και έχει φορέα το σύνορο της B. Από τη μοναδικότητα του μέτρου Haar τότε έπεται ότι το όριο της ν β ) N ταυτίζεται με το μέτρο σ στην S. Μια παραλλαγή της Βήτα κατανομής, είναι η λεγόμενη Βήτα κατανομή. Ορισμός..7 Η Βήτα κατανομή στον R ). Εστω β > / και σ > 0. Θέτουμε c,β,σ := σ π / Γβ) Γβ ), και ορίζουμε ν β,σ να είναι το μέτρο πιθανότητας στον R με πυκνότητα ) β p,β,σ x) := c,β,σ + x σ, x R, δηλαδή για κάθε μετρήσιμο A R. ν β,σ A) = c,β,σ A ) β + x σ dx,

24 4 Συμβολισμος και θεωρητικο υποβαθρο Ανάλογα με την περίπτωση της Βήτα κατανομής, η μονοδιάστατη περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας του ν β,σ δίνεται από την όπου f β,σ t) := α,β,σ + t β+ ), t R, α,β,σ := c,β,σ = σ / Γβ π ) c,β,σ Γβ ). Παρατηρήστε ότι, για κάθε σταθερό N, έχουμε lim β β / Γβ) Γβ ) = και ) β ) lim β + x x β = exp. Επιλέγοντας λοιπόν σ = β στους παραπάνω ορισμούς έχουμε ότι lim p,β, β x) = β π) / exp ) x. Βλέπουμε έτσι ότι το τυπικό μέτρο του Gauss γ στον R μπορεί να ληφθεί σαν «όριο» της οικογένειας ν,β β ) β>/, καθώς β.

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παρουσίαση των αποτελεσμάτων Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα της διατριβής. Τα περιεχόμενα κάθε κεφαλαίου αντιστοιχούν σε ξεχωριστές εργασίες, οι περισσότερες εκ των οποίων έχουν γίνει δεκτές για δημοσίευση ή έχουν ήδη δημοσιευθεί. Πιο συγκεκριμένα: α) Τα περιεχόμενα του Κεφαλαίου 3 προέρχονται από την εργασία G. Chasapis ad A. Giaopoulos, Euclidea regularizatio i Joh s positio, Idiaa Uiversity Mathematics Joural 65 06), β) Τα περιεχόμενα του Κεφαλαίου 4 προέρχονται από την εργασία G. Chasapis ad N. Sarmogiais, A ote o orms of siged sums of vectors, υποβεβλημένη, υπό κρίση). γ) Τα περιεχόμενα του Κεφαλαίου 5 προέρχονται από την εργασία G. Chasapis, A. Giaopoulos ad D.-L. Liaopoulos, Estimates for measures of lower dimesioal sectios of covex bodies, Advaces i Mathematics ), δ) Τα περιεχόμενα του Κεφαλαίου 6 προέρχονται από την εργασία G. Boet, G. Chasapis, J. Grote, D. Temesvari ad N. Turchi, Threshold pheomea for high-dimesioal radom polytopes, Commuicatios i Cotemporary Mathematics δεκτή για δημοσίευση). ε) Τα περιεχόμενα του Κεφαλαίου 7 αποτελούν κομμάτι εργασίας που βρίσκεται σε εξέλιξη, και δεν έχουν ακόμα δημοσιευθεί.

26 6 Παρουσιαση των αποτελεσματων. Ευκλείδεια κανονικοποίηση στη θέση Joh Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε μια νέα απόδειξη του «Ισομορφικού Θεωρήματος Dvoretzy» των V. Milma και Schechtma [9], καθώς και μια «ισομορφική» μορφή της «ολικής εκδοχής» του Θεωρήματος του Dvoretzy, που αποδείχθηκε από τους Bourgai, Lidestrauss και V. Milma, [34]. Αφετηρία μας είναι το κλασικό θεώρημα του Dvoretzy [44] για τις σχεδόν σφαιρικές τομές συμμετρικών κυρτών σωμάτων σε υψηλές διαστάσεις, και συγκεκριμένα η απόδειξη του V. Milma, [88]. Για κάθε -διάστατο χώρο με νόρμα X = R, ), ορίζουμε τις παραμέτρους MX) := x dσx) S και bx) := max{ x : x S } αν K είναι η μοναδιαία μπάλα του X, γράφουμε MK) := MX) και bk) := bx)). Θεώρημα.. Dvoretzy, V. Milma). Εστω ε 0, ) και X = R, ) ένας -διάστατος χώρος με νόρμα. Υπάρχουν απόλυτες σταθερές c, c > 0 με την ακόλουθη ιδιότητα: Για κάθε X ε) := c ε log /ε)mx)/bx)) υπάρχει ένα υποσύνολο A, G, μέτρου ν, A, ) exp c ε ) τέτοιο ώστε για κάθε F A, και x F ισχύει ότι + ε) MX) x x MX) + ε) x. Η παράμετρος X ε) την παραπάνω διατύπωση ονομάζεται διάσταση Dvoretzy του X. Το θεώρημα των Dvoretzy-Milma εξασφαλίζει την ύπαρξη μάλιστα «πολλών» ) -διάστατων υπόχωρων του R που είναι «σχεδόν Ευκλείδειοι», υπό την έννοια ότι η Baach-Mazur απόσταση ανάμεσα στην B X F και την B F είναι απολύτως φραγμένη, για κάθε X ε). Η λεγόμενη «ισομορφική» εκδοχή του Θεωρήματος του Dvoretzy, δίνει ένα ακριβές) ανάλογο αποτέλεσμα για τις «μεγάλες» τιμές του. Πιο συγκεκριμένα, το ακόλουθο αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τους V. Milma και Schechtma, [9] μια ασθενέστερη εκδοχή είχε δοθεί προηγουμένως στο [89], ενώ μια διαφορετική απόδειξη δόθηκε και από τον Guédo, [58]). Θεώρημα.. V. Milma-Schechtma). Υπάρχουν απόλυτες σταθερές C, C > 0 με την ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε, για κάθε C log και κάθε -διάστατο χώρο με νόρμα X, υπάρχει -διάστατος υπόχωρος Y του X τέτοιος ώστε..) d BM Y, l ) C log ). + Ενα ισχυρότερο αποτέλεσμα, το οποίο δίνει επιπλέον πληροφορία για τη διάμετρο της τυχαίας -διάστατης τομής ενός συμμετρικού κυρτού σώματος K στον R σε θέση Joh αποδείχθηκε αργότερα από τους Litva, Maiewicz και Tomcza-Jaegerma [8]. Θεώρημα..3 Litva-Maiewicz-Tomcza). Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R τέτοιο ώστε η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B να είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Για κάθε cmk)/bk)) έχουμε ότι ο τυχαίος υπόχωρος F G, ικανοποιεί την..) c 3 B F K F c 4 log ) + B F

27 . Ευκλειδεια κανονικοποιηση στη θεση Joh 7 με πιθανότητα μεγαλύτερη από exp c 5 ), όπου c, c 3, c 4, c 5 > 0 είναι απόλυτες σταθερές. Δίνουμε μια σύντομη και πολύ απλούστερη απόδειξη των Θεωρημάτων.. και..3 χρησιμοποιώντας ένα αποτέλεσμα του Frese, [49] για την «Ευκλείδεια κανονικοποίηση» ενός συμμετρικού κυρτού σώματος σε θέση Joh. Θεώρημα..4 Frese). Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R σε θέση Joh, και έστω K t := cov{k, tb }. Τότε υπάρχουν απόλυτες σταθερές c, c > 0 τέτοιες ώστε ) MKt ) t c bk t ) log ) c t, για κάθε t [c 3, c 4 ], όπου c3, c 4 > 0 κατάλληλες απόλυτες σταθερές. Η ιδέα της απόδειξης που δίνουμε για τα Θεωρήματα.. και..3 μπορεί να περιγραφεί ως εξής: Δεδομένου ενός -διάστατου χώρου με νόρμα X με μοναδιαία μπάλα K και N σχετικά «μεγάλου» ), μπορούμε να επιλέξουμε κατάλληλα ένα t που ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος..4 έτσι ώστε ο -διάστατος χώρος με νόρμα X t με μοναδιαία μπάλα το K t να έχει διάσταση Dvoretzy μεγαλύτερη από. Μπορούμε τότε να εφαρμόσουμε το κλασικό Θεώρημα του Dvoretzy για τον X t, και το ζητούμενο αποτέλεσμα για τον X θα προκύψει από το γεγονός ότι η Baach- Mazur απόστασή του X t από τον X είναι αρκετά «μικρή» παρατηρήστε ότι d BM K, K t ) t). Χρησιμοποιώντας την ίδια ιδέα, αποδεικνύουμε επίσης μια νέα «ισομορφική» εκδοχή του ακόλουθου αποτελέσματος των Bourgai, Lidestrauss και V. Milma, [34]. Θεώρημα..5 Bourgai-Lidestrauss-V. Milma). Εστω X = R, ) ένας -διάστατος χώρος με νόρμα. Για κάθε ε 0, /) και για κάθε ακέραιο c ) 6 b ε, M η τυχαία επιλογή ορθογώνιων μετασχηματισμών U,..., U O) ικανοποιεί την )..3) d G Ui K ), B + ε), i= με πιθανότητα μεγαλύτερη από exp cε M/b) ), όπου c > 0 είναι μια απόλυτη σταθερά. Το παραπάνω Θεώρημα αναφέρεται συχνά στη βιβλιογραφία σαν η «ολική» εκδοχή του Θεωρήματος του Dvoretzy. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα..4, μπορούμε να δείξουμε ένα αντίστοιχο αποτέλεσμα για τις «μικρές» τιμές του, στην περίπτωση που το σώμα μας βρίσκεται σε θέση Joh. Θεώρημα..6. Εστω K ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R τέτοιο ώστε η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B να είναι το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K. Για κάθε δ/ log + ), όπου δ 0, ) είναι μια απόλυτη σταθερά, η τυχαία -άδα ορθογώνιων μετασχηματισμών U,..., U O) ικανοποιεί με πιθανότητα μεγαλύτερη από exp c 7 ) )..4) d G Ui K ), B C 3 log, i= όπου C 3, c 7 > 0 είναι απόλυτες σταθερές. Σχολιάζουμε τέλος την ακρίβεια της παραπάνω εκτίμησης. Οι αποδείξεις των παραπάνω αποτελεσμάτων βρίσκονται στην Παράγραφο 3.3.

28 8 Παρουσιαση των αποτελεσματων. Προβλήματα εξισορρόπησης διανυσμάτων Μελετάμε προβλήματα σχετικά με την τάξη μεγέθους της νόρμας προσημασμένων αθροισμάτων διανυσμάτων στον R. Αφετηρία μας είναι τα κλασικά θεωρήματα των Bec-Fiala, [6] και Specer, [03], καθώς και ένα γνωστό ανοικτό ερώτημα του Komlós. Δεδομένων δύο συμμετρικών κυρτών σωμάτων K, L στον R, ορίζουμε { } βk, L) := mi r > 0 : x i ) i= K ɛ i ) i= {, } ώστε ɛ i x i r. L Το πρόβλημα εξαγωγής κατά το δυνατόν ακριβών εκτιμήσεων για την παράμετρο βk, L), ιδίως στην περίπτωση που τα K και L είναι συγκεκριμένα κυρτά σώματα ιδιαιτέρου ενδιαφέροντος, έχει απασχολήσει πολλούς συγγραφείς από παλιά. Ενδεικτικά αναφέρουμε πώς σύμφωνα με μια εκδοχή του Θεωρήματος Bec-Fiala, [6], η παράμετρος βb, B ) είναι φραγμένη από μια απόλυτη σταθερά, ανεξάρτητη της διάστασης. Από την άλλη, οι Báráy και Griberg, [3] έχουν δείξει ότι βk, K) για κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R, ενώ ένα γνωστό αποτέλεσμα του Specer, [03] αποδεδειγμένο ανεξάρτητα και από τον Glusi, [53]) εξασφαλίζει μια πολύ καλύτερη εκτίμηση στην περίπτωση που K = B, συγκεκριμένα ότι βb, B ) c για κάποια απόλυτη σταθερά c > 0. Το σημαντικότερο και πιο γνωστό ανοικτό σχετικό πρόβλημα είναι η εικασία του Komlós, σύμφωνα με την οποία η ακολουθία βb, B )) N είναι φραγμένη. Η καλύτερη μέχρι σήμερα γνωστή εκτίμηση σχετικά οφείλεται στον Baaszczy [9]: Υπάρχει μια απόλυτη σταθερά c > 0 τέτοια ώστε βb, B ) c log. Στην αντίθετη κατεύθυνση, ένα γενικό κάτω φράγμα για την παράμετρο β έχει δοθεί επίσης από τον Baaszczy, [8]: Για κάθε ζευγάρι συμμετρικών κυρτών σωμάτων K, L στον R,..) βk, L) c ) / vol K). vol L) Στο Κεφάλαιο 4, εξετάζουμε κατά πόσο η εκτίμηση αυτή μπορεί να βελτιωθεί για ορισμένα ζεύγη σωμάτων, αν επιτρέψουμε λιγότερες επιλογές προσήμων ɛ,..., ɛ. Το πρώτο μας αποτέλεσμα είναι ένα κάτω φράγμα για την l -νόρμα του προσημασμένου αθροίσματος i= ɛ ix i σε αυτή την περίπτωση. Θεώρημα... Υπάρχει απόλυτη σταθερά c 0, ) που ικανοποιεί τα παρακάτω: Για κάθε και < δ <, και για κάθε S {, } με S δ, υπάρχουν ορθοκανονικά διανύσματα x,..., x στον R τέτοια ώστε ɛ i x i c log/δ) για κάθε ɛ,..., ɛ ) S. i= Παρατηρήστε ότι αν f) είναι οποιαδήποτε συνάρτηση με lim f) = και f) = o), τότε για αρκετά μεγάλο η επιλογή δ = f) ικανοποιεί την υπόθεση του Θεωρήματος.., οπότε για οποιοδήποτε υποσύνολο S του {, } με S /f) μπορούμε να βρούμε i=

29 . Προβληματα εξισορροπησης διανυσματων 9 ορθοκανονικά x,..., x R τέτοια ώστε ɛ i x i c log f), i= για κάθε ɛ,..., ɛ ) S, όπου c 0, ) είναι μια απόλυτη σταθερά. Αυτή η εκτίμηση βελτιώνει ένα παλιότερο αποτέλεσμα του Hajela [59] στην κατεύθυνση απόδειξης μιας αρνητικής απάντησης στην εικασία του Komlós που αναφέραμε παραπάνω. Η απόδειξή μας βλ. Παράγραφος 4.) ακολουθεί την αρχική ιδέα του Hajela να θεωρήσει κανείς τυχαίες στροφές της συνήθους ορθοκανονικής βάσης e,..., e R, την οποία συνδυάζουμε με μια ισχυρότερη εκτίμηση για το μέτρο των «μικρών» τιμών της στην S μια ανισότητα τύπου small ball, βλ. Λήμμα 4..). Μπορεί η μέθοδος που ακολουθούμε να είναι εκ φύσεως ανεπαρκής για την κατάρριψη της αρχικής εικασίας του Komlós, στη συνέχεια ωστόσο του Κεφαλαίου 4 διερευνούμε περαιτέρω τη σχέση ανάμεσα σε ανισότητες τύπου small ball και κάτω φράγματα για τυχούσες νόρμες προσημασμένων αθροισμάτων διανυσμάτων που επιλέγονται από την Ευκλείδεια μπάλα B ή ένα τυχόν συμμετρικό κυρτό σώμα. Πιο συγκεκριμένα, και για μια συνοπτικότερη παρουσίαση των αποτελεσμάτων μας, ας δώσουμε αρχικά τον παρακάτω ορισμό: Για κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα D στον R και δ 0, ), θέτουμε t D,δ := max{t > 0 : γ t md)d) δ e) }, όπου md) είναι η διάμεσος media) της συνάρτησης D ως προς το μέτρο του Gauss γ στον R. Θεώρημα... Εστω δ 0, ), έστω D ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R και S {, } με S δ. Τότε, ) P x i ) i= B : ɛ i x i D 0 t D,δmD), για κάποιο ɛ S e. i= Η πιθανότητα στο παραπάνω αποτέλεσμα λαμβάνεται ως προς το γινόμενο του ομοιόμορφου μέτρου πιθανότητας στη B, µ B. Το Θεώρημα.. μπορεί να θεωρηθεί σαν μια επέκταση του Θεωρήματος.., αντικαθιστώντας την l -νόρμα με τυχούσα νόρμα στον R, και με το κάτω φράγμα να ισχύει με μεγάλη πιθανότητα για την τυχαία -άδα x,..., x B. Το πόσο καλό είναι το φράγμα που δίνεται από το παραπάνω αποτέλεσμα είναι βέβαια συνάρτηση του γινομένου t D,δ md) για το εκάστοτε σώμα D, που με τη σειρά του σχετίζεται, από τον ορισμό του t D,δ, με την εξαγωγή ισχυρών small ball ανισοτήτων για το μέτρο Gauss του D. Εξηγούμε πώς, για παράδειγμα στην περίπτωση που D = B ισχύει όντως ότι το t D,δ md) είναι της τάξης της log, και εξετάζουμε σχετικές εκτιμήσεις για την περίπτωση των l p -μπαλών Bp, p. Το Θεώρημα.. αποδεικνύεται συνδυάζοντας μια γενίκευση της ιδέας της απόδειξης του Θεωρήματος.. βλ. Πρόταση 4.3.) και του κάτω φράγματος του Baasczcy..). Δίνουμε ακόμη μια νέα απόδειξη της..) σαν άμεσο πόρισμα ενός γενικότερου αποτελέσματος των Glusi και V. Milma, [54]. Πρόταση..3 Glusi-V. Milma). Εστω D ένα αστρόμορφο σώμα στον R με o itd) και V,..., V m μετρήσιμα υποσύνολα του R με vol D) = vol V ) =... = vol V m ). Για κάθε

30 0 Παρουσιαση των αποτελεσματων λ,..., λ m R και κάθε 0 < t < έχουμε P x i ) m m i=, x i V i : λ i x i t D m i= i= λ i ) / ) ) te t. Το παραπάνω αποτέλεσμα αποτέλεσε και το έναυσμά μας για τη διατύπωση μιας γενίκευσης του Θεωρήματος.. με τη μορφή του Θεωρήματος... Στο ίδιο πνεύμα, αποδεικνύουμε τέλος ένα ακόμη γενικότερο αποτέλεσμα, θεωρώντας διανύσματα που επιλέγονται ομοιόμορφα από τυχαίες στροφές ενός συμμετρικού κυρτού σώματος K στον R. Θεώρημα..4. Υπάρχει απόλυτη σταθερά c > 0 που ικανοποιεί τα παρακάτω: Εστω δ 0, ), έστω D ένα συμμετρικό κυρτό σώμα στον R και S {, } με S δ. Για κάθε συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R με vol K) = vol B ) μπορούμε να βρούμε U O) με ν U) > e / τέτοιο ώστε, για κάθε U U, ) P z i ) i= UK) UK) : ɛ i z i ct D,δ md), για κάποιο ɛ S e D /. i= Οι λεπτομέρειες των αποδείξεων των παραπάνω ισχυρισμών αναπτύσσονται στην Παράγραφο Εκτιμήσεις για μέτρα τομών κυρτών σωμάτων Στο πέμπτο Κεφάλαιο ασχολούμαστε με τις γενικευμένες εκδοχές δύο κλασικών προβλημάτων της Ασυμπτωτικής Γεωμετρικής Ανάλυσης: α) Η εικασία του υπερεπιπέδου: Υπάρχει απόλυτη σταθερά C > 0 τέτοια ώστε για κάθε N και κάθε κεντραρισμένο κυρτό σώμα K στον R, vol K) C max vol K ϑ ). ϑ S β) Το ισομορφικό πρόβλημα Busema-Petty: Υπάρχει απόλυτη σταθερά C > 0 με την ιδιότητα: Για κάθε ζευγάρι K, L συμμετρικών κυρτών σωμάτων στον R που ικανοποιούν την vol K ϑ ) vol L ϑ ) για κάθε ϑ S, ισχύει ότι vol K) C vol L). Σημειώνουμε ότι τα δύο παραπάνω προβλήματα παραμένουν ανοικτά και είναι ισοδύναμα, τόσο μεταξύ τους όσο και με ένα άλλο διάσημο πρόβλημα, την εικασία της ισοτροπικής σταθεράς. Η τελευταία ισχυρίζεται ότι, αν θέσουμε L := max{l K : K ισοτροπικό κυρτό σώμα στον R }, τότε η ακολουθία L ) N είναι φραγμένη. Η καλύτερη έως τώρα εκτίμηση για το τελευταίο αυτό πρόβλημα είναι ότι υπάρχει απόλυτη σταθερά c > 0 έτσι ώστε L c 4 και οφείλεται στον Klartag