Transcript

1 Λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski και το λογαριθμικό πρόβλημα Minkowski Διπλωματική Εργασία Παύλος Καλαντζόπουλος Επιβλέπων: Απόστολος Γιαννόπουλος Τμημα Μαθηματικων Πανεπιστημιο Αθηνων

2

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Η ανισότητα και το πρόβλημα Κυρτά σώματα Ανισότητα Brunn-Minkowski Εφαρμογές της ανισότητας Brunn-Minkowski Το θεώρημα του John Μεικτοί όγκοι Χωρία Wulff Επιφανειακό και cone-volume μέτρο Αποτελέσματα μοναδικότητας Λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski Οι p-κυρτοί συνδυασμοί και οι ανισότητες Ισοδυναμία των προβλημάτων Στο επίπεδο Για τα unconditional σώματα του R n Η B-ιδιότητα Πρόβλημα Minkowski Μέτρα στήριξης Θεώρημα ύπαρξης του Minkowski Άρτιο λογαριθμικό πρόβλημα Minkowski Τα cone-volume μέτρα ικανοποιούν την SCC Μέτρα με την SCC είναι cone-volume μέτρα iii

4

5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Η ανισότητα και το πρόβλημα Η θεωρία Brunn-Minkowski βασίζεται στη σύνδεση του αθροίσματος Minkowski κυρτών σωμάτων με τον όγκο. Κεντρικό ρόλο σε αυτή τη θεωρία έχουν η ανισότητα Brunn-Minkowski και οι μεικτοί όγκοι του Minkowski. Η αντικατάσταση του αθροίσματος Minkowski από άλλου τύπου αθροίσματα δημιουργεί σε όλη την θεωρία νέα ερωτήματα όπως: νέου τύπου ανισότητες, προβλήματα ύπαρξης, μοναδικότητας και χαρακτηρισμού μέτρων με γεωμετρική σημασία. (I) Λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski Πίσω από τη μελέτη γεωμετρικών ανισοτήτων (ή προβλημάτων) που αφορούν τον όγκο, υπάρχουν συχνά κανόνες συμπεριφοράς του όγκου κάτω από το άθροισμα Minkowski. Μια μορφή σύνδεσης όγκου και διανυσματικής άθροισης είναι η ανισότητα Brunn-Minkowski που λέει ότι: V (λk + (1 λ)l) V (K) λ V (L) 1 λ, όπου K, L είναι συμπαγή υποσύνολα του R n και λ (0, 1). Αυτή η ανισότητα έχει έναν πλούσιο κατάλογο εφαρμογών (μερικές από αυτές περιγράφονται στην Παράγραφο 2.2) και το πρώτο μέρος αυτής της εργασίας αφορά μια ανισότητα ακόμα πιο ισχυρή από αυτήν. Ο περιορισμός της ανισότητας Brunn-Minkowski στα κυρτά σώματα δίνει τη δυνατότητα έκφρασης του κυρτού συνδυασμού λk + (1 λ)l μέσω των συναρτήσεων στήριξης h K, h L, ως την τομή των παρακάτω ημιχώρων: λk + (1 λ)l = {x R n : x, u λh K (u) + (1 λ)h L (u)}. u S n 1 Αυτή η έκφραση δίνει την ιδέα για νέους «κυρτούς συνδυασμούς» που προκύπτουν με την αντικατάσταση της συνάρτησης που προσδιορίζει τους παραπάνω ημιχώρους λh K ( ) + (1 λ)h L ( ) από 1

6 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η άλλες συναρτήσεις. Παράδειγμα τέτοιου κυρτού συνδυασμού, το οποίο είναι και το κύριο ενδιαφέρον μας, είναι ο 0-κυρτός συνδυασμός που ορίζεται να είναι το κυρτό σώμα λ K + o (1 λ) L := {x R n : x, u h K (u) λ h L (u) 1 λ }. u S n 1 Εφόσον ο 0-κυρτός συνδυασμός περιέχεται στον Minkowski κυρτό συνδυασμό τίθεται το ερώτημα αν ισχύει η παρακάτω ισχυρότερη ανισότηα τύπου Brunn-Minkowski, γνωστή ώς λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski: Εικασία Αν K, L είναι 0-συμμετρικά κυρτά σώματα στον R n και λ [0, 1] τότε V (λ K + o (1 λ) L) V (K) λ V (L) 1 λ Οι Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang έδειξαν ότι η ανισότητα είναι ισοδύναμη με το αν για κάθε K Ke n (0-συμμετρικό κυρτό σώμα του R n ) η συνάρτηση (1.1.1) Ke n L h L (u) dv K (u) S n 1 (όπου V K είναι το cone volume μέτρο του K, βλέπε παρακάτω) ελαχιστοποιείται στο K, κάτω από την υπόθεση V (K) = V (L) = 1. Ο Χ. Σαρόγλου έδειξε (βλέπε Παράγραφο 3.5) ότι η ανισότητα ισχύει αν: για κάθε n N και K Ke n και t 1,..., t n > 0 η συνάρτηση ( R s µ Cn diag(t s 1,..., t s n)k ) είναι λογαριθμικά κοίλη, όπου C n := [ 1 2, 1 2 ]n ο n-διάστατος κύβος και µ Cn (A) = V (C n A). Η ανισότητα σήμερα είναι ανοικτό πρόβλημα, όμως είναι γνωστό ότι ισχύει για σώματα του επιπέδου και για τα unconditional κυρτά σώματα του R n. Ο πρώτος ισχυρισμός είναι αποτέλεσμα των Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang και όπως θα δούμε προκύπτει με χρήση της μεθόδου διαταραχής του Aleksandrov στον ελαχιστοποιητή της (1.1.1), ενώ ο δεύτερος είναι αποτέλεσμα του Χ. Σαρόγλου και προκύπτει με χρήση της ανισότητας Prékopa-Leindler. (II) Άρτιο λογαριθμικό πρόβλημα Minkowski Ο όρος «πρόβλημα Minkowski» αναφέρεται γενικά σε προβλήματα χαρακτηρισμού μέτρων πάνω στην σφαίρα τα οποία προέρχονται από κυρτά σώματα. Ξεκινώντας με το επιφανειακό μέτρο S K κυρτού σώματος K που δίνεται από την S K (ω) = H n 1 (ν 1 K (ω)) όπου ν K : K S n 1 η απεικόνιση του Gauss, ο Minkowski έθεσε το πρόβλημα:

7 1.1. Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ 3 Πρόβλημα Minkowski: Να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ένα πεπερασμένο μέτρο Borel πάνω στη σφαίρα S n 1 έτσι ώστε να είναι το επιφανειακό μέτρο ενός κυρτού σώματος. Οι συνθήκες βρέθηκαν από τον Minkowski στην περίπτωση που το μέτρο έχει πεπερασμένο φορέα (βλέπε Παράγραφο 4.2). Με ένα επιχείρημα προσέγγισης αποδεικνύεται ότι οι αντίστοιχες συνθήκες ώστε ένα (γενικό) μέτρο µ να είναι επιφανειακό μέτρο κυρτού σώματος είναι: να μη συγκεντρώνεται σε καμία σφαίρα χαμηλότερης διάστασης και να έχει κέντρο βάρους το μηδέν, δηλαδή για κάθε (n 1)-διάστατο υπόχωρο ξ και µ(ξ S n 1 ) < µ(s n 1 ) S n 1 u dµ(u) = 0. Στο Κεφάλαιο 4 μελετάμε μια οικογένεια προβλημάτων που προκύπτει με αντικατάσταση του επιφανειακού μέτρου από το cone-volume μέτρο, το οποίο ορίζεται για κυρτά σώματα K με 0 intk από τη σχέση V K (ω) = 1 n x ν 1 K (ω) x, ν K (x) dh n 1 (x) όπου ω Borel υποσύνολο της S n 1. Τίθεται το πρόβλημα: Λογαριθμικό πρόβλημα Minkowski: Να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ένα πεπερασμένο μέτρο Borel πάνω στη σφαίρα S n 1 έτσι ώστε να είναι το conevolume μέτρο ενός κυρτού σώματος. Το πρόβλημα αυτό παραμένει ανοικτό, όμως στην περίπτωση που το μέτρο είναι άρτιο οι Böröczky- Lutwak-Yang-Zhang βρήκαν συνθήκη που σχετίζεται με τη συγκέντρωση του μέτρου στα σύνολα ξ S n 1, όπου ξ υπόχωρος του R n. Η συνθήκη ονομάσθηκε subspace concentration condition, για συντομία SCC. Ενα μέτρο µ ικανοποιεί την SCC αν: για κάθε υπόχωρο ξ του R n ισχύει (1.1.2) µ(ξ S n 1 ) dim ξ n µ(sn 1 ) και αν έχουμε ισότητα για κάποιον υπόχωρο ξ, τότε υπάρχει ξ συμπληρωματικός υπόχωρος του ξ στον R n, ώστε επίσης να έχουμε µ(ξ S n 1 ) = dim ξ n µ(sn 1 ). [Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang]: Ενα πεπερασμένο, μη-μηδενικό και άρτιο μέτρο Borel πάνω στη σφαίρα S n 1 είναι cone-volume μέτρο ενός 0-συμμετρικού κυρτού σώματος αν και μόνο αν ικανοποιεί την (SCC). Ιδέα της απόδειξης: Η κατεύθυνση ότι τα cone-volume μέτρα ικανοποιούν την SCC γίνεται με μέθοδο συμμετρικοποίησης. Για την άλλη κατεύθυνση κάνουμε μια μικρή περαιτέρω ανάλυση:

8 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η Υποθέτουμε ότι για κάθε υπόχωρο ξ του R n τέτοιον ώστε 0 < dim ξ < n ισχύει µ(ξ S n 1 ) < dim ξ n µ(sn 1 ). Από αυτή την ανισότητα προκύπτει ότι υπάρχει το ελάχιστο της συνάρτησης (1.1.3) Ke n L h L (u) dµ(u). S n 1 κάτω από τις υποθέσεις µ(s n 1 ) = 1, V (L) = 1. Επειτα, για οποιοδήποτε K 0 Ke n που είναι ελαχιστοποιητής της (1.1.3), η μέθοδος διαταραχής του Aleksandrov δίνει µ = V K0. Η ύπαρξη συμπληρωματικών υποχώρων ξ, ξ ώστε να έχουμε ισότητα στην (1.1.2) δίνει την ύπαρξη σωμάτων D Ke dim ξ και D dim ξ Ke ώστε το µ να είναι το cone-volume του D + D Ke n.

9 Κεφάλαιο 2 Βασικά αποτελέσματα από τη θεωρία των κυρτών σωμάτων Δουλεύουμε στον R n, ο οποίος είναι εφοδιασμένος με το εσωτερικό γινόμενο,. Συμβολίζουμε με 2 την αντίστοιχη Ευκλείδεια νόρμα, γράφουμε B2 n για την Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα και S n 1 για την μοναδιαία σφαίρα. Ο όγκος (μέτρο Lebesgue) συμβολίζεται με V n είτε με V αν δεν υπάρχει θέμα σύγχησης. Με H α θα συμβολίζουμε το α-διάσατο μέτρο Hausdorff. Κυρτό σώμα στον R n είναι ένα συμπαγές κυρτό υποσύνολο K του R n με μη κενό εσωτερικό. Λέμε ότι το K είναι 0-συμμετρικό αν έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, δηλαδή, x K τότε x K. Με K n θα συμβολίζουμε το σύνολο όλων των κυρτών σωμάτων ενώ με Ko n τα στοιχεία του K n τα οποία περιέχουν το μηδέν στο εσωτερικό τους. Το σύνολο των 0-συμμετρικών κυρτών σωμάτων το συμβολίζουμε με K n e. Προφανώς K n K n o K n e. Με δ H συμβολίζουμε την απόσταση Hausdorff, η οποία, για δύο μη κενά συμπαγή υποσύνολα K και L του R n, ορίζεται να είναι δ H (K, L) = inf{t > 0 : K L + tb n 2 και L K + tb n 2 }. Η δ H είναι μετρική στην κλάση C των μη κενών συμπαγών υποσυνόλων του R n. Βασικές ιδιότητες: (1) Ο (C, δ H ) είναι ένας πλήρης μετρικός χώρος (2) Αν K κυρτό σώμα, τότε υπάρχει ακολουθία πολυτόπων P n που συγκλίνει στο K (3) Θεώρημα επιλογής του Blaschke: Κάθε φραγμένη ακολουθία κυρτών και συμπαγών συνόλων έχει συγκλίνουσα υπακολουθία που συγκλίνει σε κυρτό και συμπαγές σύνολο. Η ακτινική συνάρτηση ρ K : R n \ {0} R + ενός κυρτού σώματος K με 0 int(k) ορίζεται ρ K (x) = max{t > 0 : tx K}. 5

10 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Η συνάρτηση στήριξης h K : R n R ενός κυρτού και συμπαγούς υποσύνολου K του R n ορίζεται h K (x) = max{ x, y : y K}. Προφανώς, για K, L συμπαγή υποσύνολα του R n έχουμε h K h L αν και μόνο αν K L. Επίσης η συνάρτηση στήριξης είναι θετικά ομογενής βαθμού ένα και προσθετική, δηλαδή h sk = sh K για s > 0, και h K+L = h K + h L. Παρατηρήστε ότι για κάθε θ S n 1 ισχύει ρ K (θ) h K (θ). Η h K είναι κυρτή και αν επιπλέον το K K n o τότε η h K είναι αυστηρά θετική και συνεχής στην σφαίρα S n 1. Επίσης για δύο κυρτά σώματα K, L K n, έχουμε δ H (K, L) = sup h K (u) h L (u). u S n 1 Επομένως μια ακολουθία κυρτών σωμάτων K n συγκλίνει στο σώμα K αν και μόνο αν συγκλίνουν ομοιόμορφα οι συναρτήσεις στήριξης h Kn στην h K πάνω στην σφαίρα S n 1, δηλαδή lim K n = K αν και μόνο αν h Kn h K L (S n n 1 ) Ανισότητα Brunn-Minkowski Το άθροισμα Minkowski δύο μη-κενών συνόλων K, L R n και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός ορίζονται ως εξής: K + L := {x + y : x K, y L} και λk := {λx : x K} αντίστοιχα. Η ανισότητα Brunn-Minkowski συνδέει το διανυσματικό άθροισμα και τον όγκο. Θεώρημα (Brunn-Minkowski). Εστω K και L δύο μη-κενά συμπαγή υποσύνολα του R n. Τότε, (2.1.1) V n (K + L) 1/n V n (K) 1/n + V n (L) 1/n. Στην περίπτωση που τα K και L είναι κυρτά σώματα, έχουμε ισότητα αν και μόνο αν τα K και L είναι ομοιοθετικά. Το Θεώρημα εκφράζει το γεγονός ότι ο όγκος είναι λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση ως προς το άθροισμα Minkowski. Γι αυτό το λόγο, συχνά την γράφουμε στην ακόλουθη μορφή: αν K και L είναι μη-κενά συμπαγή υποσύνολα του R n τότε για κάθε λ (0, 1) έχουμε (2.1.2) V n (λk + (1 λ)l) 1/n λv n (K) 1/n + (1 λ)v n (L) 1/n.

11 2.1. ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI 7 Από την (2.1.2) και την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου παίρνουμε (2.1.3) V n (λk + (1 λ)l) V n (K) λ V n (L) 1 λ. Αυτή η μορφή της ανισότητας Brunn-Minkowski έχει το πλεονέκτημα ότι δεν περιέχει τη διάσταση. Μπορούμε μάλιστα να δείξουμε ότι είναι ισοδύναμη με την (2.1.1), με την έννοια ότι αν γνωρίζουμε την (2.1.3) για κάθε K, L και λ τότε, όπως θα δούμε παρακάτω, μπορούμε να δείξουμε και την ισχυρότερη ανισότητα (2.1.1). Ανισότητα Prékopa-Leindler Η ανισότητα των Prékopa και Leindler είναι η γενίκευση της ανισότητας Brunn-Minkowski στο πλαίσιο των μετρήσιμων θετικών συναρτήσεων. Θεώρημα Εστω f, g, h : R n R + τρείς ολοκληρώσιμες συναρτήσεις και λ (0, 1). Υποθέτουμε ότι για κάθε x, y R n ισχύει h(λx + (1 λ)y) f(x) λ g(y) 1 λ. Τότε, (2.1.4) ( h R n R n f ) λ ( R n g ) 1 λ. Απόδειξη. Θα δείξουμε την ανισότητα με επαγωγή ως προς τη διάσταση n. (α) n = 1: Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι f και g είναι συνεχείς και γνήσια θετικές. Ορίζουμε x, y : (0, 1) R μέσω των x(t) f = t f, y(t) g = t Σύμφωνα με τις υποθέσεις μας οι x, y είναι παραγωγίσιμες, και για κάθε t (0, 1) έχουμε x (t)f(x(t)) = g. f, y (t)g(y(t)) = g. Ορίζουμε z : (0, 1) R με z(t) = λx(t) + (1 λ)y(t). Οι x και y είναι γνήσια αύξουσες. Επομένως, η z είναι κι αυτή γνήσια αύξουσα. Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, z (t) = λx (t) + (1 λ)y (t) (x (t)) λ (y (t)) 1 λ.

12 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Μπορούμε λοιπόν να εκτιμήσουμε το ολοκλήρωμα της h κάνοντας την αλλαγή μεταβλητών s = z(t): 1 h(s)ds = h(z(t))z (t)dt ( = h(λx(t) + (1 λ)y(t))(x (t)) λ (y (t)) 1 λ dt ( f f λ (x(t))g 1 λ (y(t)) ) λ ( f g) 1 λ. f(x(t)) ) λ ( ) 1 λ g dt g(y(t)) (β) Επαγωγικό βήμα: Υποθέτουμε ότι n 2 και ότι το θεώρημα έχει αποδειχθεί για k {1,..., n 1}. Εστω f, g, h όπως στο θεώρημα. Για κάθε s R ορίζουμε h s : R n 1 R + με h s (w) = h(w, s), και με ανάλογο τρόπο ορίζουμε f s, g s : R n 1 R +. Από την υπόθεση του θεωρήματος για τις f, g και h έπεται ότι, αν x, y R n 1 και s 0, s 1 R τότε και η επαγωγική υπόθεση μας δίνει H(λs 1 + (1 λ)s 0 ) := h λs1 +(1 λ)s 0 (λx + (1 λ)y) f s1 (x) λ g s0 (y) 1 λ, ( R n 1 h λs1 +(1 λ)s 0 R n 1 f s1 ) λ ( R n 1 g s0 ) 1 λ =: F λ (s 1 )G 1 λ (s 0 ). Εφαρμόζοντας τώρα ξανά την επαγωγική υπόθεση για n = 1 στις συναρτήσεις F, G και H, παίρνουμε h = R n R ( H F R ) λ ( 1 λ G) = R ( R n f ) λ ( R n g ) 1 λ. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Prékopa Leindler μπορούμε να αποδείξουμε την ανισότητα Brunn Minkowski. Δείχνουμε πρώτα το εξής. Πρόταση Εστω K, L συμπαγή μη κενά υποσύνολα του R n, και λ (0, 1). Τότε, V n (λk + (1 λ)l) V n (K) λ V n (L) 1 λ. Απόδειξη. Ορίζουμε f = 1 K, g = 1 L, και h = 1 λk+(1 λ)l. Εύκολα ελέγχουμε ότι ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Πράγματι, αν x / K ή y / L τότε h(λx + (1 λ)y) 0 = [f(x)] λ [g(y)] 1 λ, ενώ αν x K και y L τότε λx + (1 λ)y λk + (1 λ)l, άρα h(λx + (1 λ)y) = 1 = [f(x)] λ [g(y)] 1 λ. Εφαρμόζοντας την ανισότητα Prékopa-Leindler παίρνουμε το ζητούμενο.

13 2.2. ΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ ΤΗΣ ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑΣ BRUNN-MINKOWSKI 9 Θεωρούμε τώρα συμπαγή μη-κενά K και L (με V n (K) > 0 και V n (L) > 0, αλλιώς δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε), και ορίζουμε K 1 = V n (K) 1/n K, L 1 = V n (L) 1/n L, λ = Τα K 1 και L 1 έχουν όγκο 1, οπότε από την Πρόταση παίρνουμε (2.1.5) V n (λk 1 + (1 λ)l 1 ) 1. Ομως, λk 1 + (1 λ)l 1 = επομένως η (2.1.5) παίρνει την μορφή και έπεται το ζητούμενο. V n (K + L) K + L V n (K) 1/n + V n (L) 1/n, ( V n (K) 1/n + V n (L) 1/n) n, V n (K) 1/n V n (K) 1/n + V n (L) 1/n. 2.2 Εφαρμογές της ανισότητας Brunn-Minkowski στην κυρτή γεωμετρία Σε αυτή την παράγραφο περιγράφουμε συνοπτικά κάποιες κλασσικές εφαρμογές της ανισότητας Brunn-Minkowski. Μερικές από αυτές θα χρησιμοποιηθούν στα επόμενα. Ισοπεριμετρική ανισότητα Η ισοπεριμετρική ανισότητα απαντάει στο ερώτημα ποιό σύνολο μεταξύ όλων των συνόλων ίσου όγκου έχει τη μικρότερη επιφάνεια. Για την απάντηση χρησιμοποιούμε τον παρακάτω ορισμό της επιφάνειας, ο οποίος υπολογίζει την επιφάνεια ως το ρυθμό αύξησης του όγκου του σώματος όταν του προσθέτουμε, κατά Minkowski, μικρή Ευκλείδεια μπάλα. Ορισμός (επιφάνεια κατά Minkowski). Εστω K συμπαγές υποσύνολο του R n. Η επιφάνεια S(K) του K ορίζεται να είναι η S(K) = lim inf t 0 + V n (K + tb2 n) V n(k). t Παρατηρούμε ότι αν το K είναι κυρτό σώμα τότε το παραπάνω lim inf είναι όριο. Θεώρημα (ισοπεριμετρική ανισότητα). Αν K είναι ένα μη-κενό συμπαγές υποσύνολο του R n, τότε S(K) nv n (K) n 1 n Vn (B n 2 ) 1 n.

14 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Brunn-Minkowski έχουμε V n (K + tb n 2 ) V n(k) t ( Vn (K) 1 n + tv n (B2 n ) ) 1 n n Vn (K) t = V n(k) + ntv n (K) n 1 n V n (B2 n) 1 n + O(t 2 ) V n (K) t = nv n (K) n 1 n Vn (B2 n ) 1 n + O(t), όπου στην πρώτη ισότητα θεωρήσαμε το διωνυμικό ανάπτυγμα. Ετσι, καθώς το t 0 + παίρνουμε (2.2.1) S(K) = lim inf t 0 + V n (K + tb n 2 ) V n(k) t nv n (K) n 1 n Vn (B n 2 ) 1 n, Μία ακόμα μορφή της ισοπεριμετρικής ανισότητας είναι ( ) 1 S(K) n 1 S(B2 n) Για αυτή, επειδή S(B n 2 ) = nv n(b n 2 ) έχουμε απ όπου παίρνουμε ( ) 1 Vn (K) n. V n (B2 n) S(K) S(B2 n) nv n 1 n(k) n V n (B2 n) 1 n nv n (B2 n), ( ) 1 ( ) S(K) n 1 nv n (K) n 1 n V n (B 2 n) 1 1 n 1 n S(B2 n) nv n (B2 n) = ( ) 1 Vn (K) n. V n (B2 n) Θεώρημα Εστω K συμπαγές υποσύνολο του R n και r > 0 τέτοιος ώστε V n (K) = V n (rb2 n ). Τότε S(K) S(rB n 2 ) Απόδειξη. Από τη μία πλευρά, αφού V n (K) = r n V n (B2 n ), η ισοπεριμετρική ανισότητας θα δώσει S(K) nr n 1 V n (B n 2 ) n 1 n Vn (B n 2 ) 1 n = nr n 1 V n (B n 2 ). Από την άλλη πλευρά, από τον ορισμό της επιφάνειας βλέπουμε ότι Άρα, S(K) S(rB n 2 ). S(rB2 n V n (rb2 n ) = lim + tbn 2 ) V n(rb2 n) = V n (B n (r + t) n r n t ) lim t t 0 + t = V n (B n 2 )nr n 1.

15 2.2. ΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ ΤΗΣ ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑΣ BRUNN-MINKOWSKI 11 Αρχή του Brunn Εστω K R n ένα κυρτό σώμα και θ S n 1 ένα μοναδιαίο διάνυσμα. Ενδιαφερόμαστε για τη συμπεριφορά της συνάρτησης f θ : R R με f θ (t) = V n 1 (K (θ + tθ)), όπου θ = {x R n : x, θ = 0}. Η αρχική ερώτηση του Brunn ήταν αν για t < r < s στον φορέα της f θ ισχύει ότι (2.2.2) f θ (r) min{f θ (t), f θ (s)}. Η απάντηση είναι καταφατική και την παίρνουμε από το παρακάτω (ισχυρότερο) αποτέλεσμα. Θεώρημα (αρχή του Brunn). Εστω K R n ένα κυρτό σώμα και έστω μια διεύθυνση θ S n 1. Τότε, η συνάρτηση f 1 n 1 θ είναι κοίλη στο φορέα της. Απόδειξη. Αρκεί να το δείξουμε για όλα τα n-διάστατα κυρτά σώματα K και για τη διεύθυνση θ = e n, γιατί για τυχόν θ μπορούμε να στρέψουμε κατάλληλα το σώμα. Ετσι, αρκεί να δείξουμε ότι η f θ (t) = V n 1 (K {x n = t}) είναι κοίλη στο φορέα της. Για t στο φορέα της f θ θέτουμε K t = {x R n 1 : (x, t) K}. Από την κυρτότητα του K έχουμε ότι αν τα t, s ανήκουν στο φορέα της f θ και λ (0, 1), τότε K (1 λ)t+λs (1 λ)k t + λk s. Για να δείξουμε αυτόν τον εγκλεισμό, παίρνουμε x K t και y K s. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα (x, t), (y, s) K περιέχεται στο K, λόγω κυρτότητας. Ετσι, το (1 λ)(x, t) + λ(y, s) = ((1 λ)x + λy, (1 λ)t + λs) K, δηλαδή (1 λ)x + λy K (1 λ)t+λs. Τώρα, ο προηγούμενος εγκλεισμός και η ανισότητα Brunn-Minkowski δίνουν V n 1 (K (1 λ)t+λs ) 1 n 1 (1 λ)vn 1 (K t ) 1 n 1 + λvn 1 (K s ) 1 n 1, το οποίο δείχνει ότι η t V n 1 (K t ) 1 n 1 = fθ (t) 1 n 1 είναι κοίλη. Για την απάντηση του αρχικού ερωτήματος (2.2.2) γράφουμε r = (1 λ)t + λs και, ξέροντας τώρα ότι η f 1 n 1 θ απ όπου έπεται η (2.2.2). είναι κοίλη, παίρνουμε f θ (r) 1 n 1 (1 λ)fθ (t) 1 n 1 + λfθ (s) 1 n 1 min{fθ (t) 1 n 1 fθ (t) 1 n 1 },

16 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Παρατήρηση Από την αρχή του Brunn μπορούμε να πάρουμε την ανισότητα Brunn- Minkowski για κυρτά σώματα με τον εξής τρόπο. Αν K και L είναι δύο κυρτά σώματα στον R n, ορίζουμε K 1 = K {0} και L 1 = L {1} στον R n+1 και θεωρούμε την κυρτή τους θήκη C. Αν ελέγχουμε εύκολα ότι C(0) = K, C(1) = L και C(t) = {x R n : (x, t) C} (t [0, 1]) C(1/2) = K + L. 2 Εφαρμόζοντας την αρχή του Brunn για τον F = R n βλέπουμε ότι το οποίο αποδεικνύει την (2.1.1). ( ) K + L 1/n V n V n(k) 1/n V n(l) 1/n, Ανισότητα Grünbaum Το επόμενο αποτέλεσμα είναι γνωστό ως «λήμμα του Grünbaum». Ισχυρίζεται ότι αν K είναι ένα κυρτό σώμα στον R n με κέντρο βάρους το 0, δηλαδή x, u dx = 0 K για κάθε u S n 1, τότε κάθε υπερεπίπεδο που περνάει από την αρχή των αξόνων χωρίζει το K σε δύο μέρη που έχουν περίπου τον ίδιο όγκο. Λήμμα (Grünbaum). Εστω K ένα κυρτό σώμα στον R n με κέντρο βάρους το 0. Τότε, για κάθε u S n 1. 1 e V n({x K : x, u 0}) 1 1 e Απόδειξη. Εστω u S n 1. Υπάρχει M > 0 τέτοιος ώστε V n ({x K : x, u > M}) = 0. Ορίζουμε G(t) = V n ({x K : x, u t}). Από την ανισότητα Brunn-Minkowski προκύπτει εύκολα ότι η G είναι μια αύξουσα λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση (η log G είναι κοίλη στο φορέα της) και έχουμε G(t) = 0 για t M και G(t) = 1 για t M. Αφού το K έχει κέντρο βάρους το 0, έχουμε επίσης M M tg (t)dt = 0,

17 2.3. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ ΤΟΥ JOHN 13 και εφαρμόζοντας ολοκλήρωση κατά μέρη παίρνουμε Θέλουμε να δείξουμε ότι M M G(t)dt = M. G(0) 1 e (η άλλη ανισότητα, G(0) 1 1/e, θα προκύψει κι αυτή άμεσα αν αντικαταστήσουμε το u με το u και επαναλάβουμε το επιχείρημα). Αφού η log G είναι κοίλη συνάρτηση, έχουμε G(t) G(0)e αt όπου α = G (0)/G(0). Επιλέγουμε M αρκετά μεγάλο ώστε 1/α < M. Τότε, χρησιμοποιώντας την G(t) G(0)e αt για t 1/α και το γεγονός ότι, τετριμμένα, G(t) 1 αν t > 1/α, μπορούμε να γράψουμε M = M M G(t)dt 1/α Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι G(0) 1/e, όπως θέλαμε. M G(0)e αt dt + 1 dt = eg(0) 1/α α + M 1 α. 2.3 Το θεώρημα του John Ελλειψοειδές στον R n είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } n E = x R n x, v i 2 : 1, i=1 όπου {v 1,..., v n } είναι ορθοκανονική βάση του R n και α 1,..., α n είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί (οι διευθύνσεις και τα μήκη των ημιαξόνων του E αντίστοιχα). α 2 i Ισοδύναμα, ενα κυρτό σώμα E στον R n είναι ελλειψοειδές αν και μόνο αν υπάρχει αντιστρέψιμος γραμμικός μετασχηματισμός T (T GL(n)) ώστε E = T (B2 n ). Ο όγκος του E ισούται με n V n (E) = V n (B2 n ) α i. Εστω K ένα 0-συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R n. Θεωρούμε την οικογένεια E(K) όλων των ελλειψοειδών που περιέχουν στο K. Ο F. John έδειξε ότι υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E που περιέχει το K και έχει τον ελάχιστο δυνατό όγκο. Λέμε ότι το E είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου του K. Ο John έδειξε επίσης το εξής. Θεώρημα Εστω K ένα 0-συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n. Υποθέτουμε ότι η Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B n 2 είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το K. Τότε, B n 2 nk. i=1

18 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι το συμπέρασμα δεν ισχύει. Τότε, υπάρχει x στο σύνορο του K το οποίο είναι εσωτερικό σημείο της (1/ n)b2 n. Αλλάζοντας συντεταγμένες αν χρειαστεί, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το εφαπτόμενο υπερεπίπεδο του K στο x είναι παράλληλο με το {x : x 1 = 0}. Δηλαδή, K P = { x R n : x 1 1 }, c όπου c > n. Για κάθε a, b > 0 ορίζουμε το ελλειψοειδές { } n E a,b = x R n : a 2 x b 2 x 2 i 1. Ισχυρισμός. Αν a2 b 2 c 2 + b 2 1, τότε K E a,b. Πράγματι: αν y K, τότε y P B n 2. Άρα, i=2 Επεται ότι Δηλαδή, y E a,b. a 2 y b 2 y 1 1 c και n yi 2 = (a 2 b 2 )y1 2 + b 2 i=2 n yi 2 1. i=1 n i=1 y 2 i a2 b 2 c 2 + b 2 1. Ο όγκος του E a,b ισούται με V n (E a,b ) = V n (B n 2 )/(abn 1 ). Αν λοιπόν ab n 1 > 1, τότε V n (E a,b ) < V n (B n 2 ). Με την υπόθεση ότι c > n, θα δείξουμε ότι υπάρχουν a, b > 0 που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις ab n 1 a 2 b 2 > 1 και c 2 + b 2 1. Αυτό είναι άτοπο, γιατί θα έχουμε βρεί ελλειψοειδές που περιέχει το K και έχει όγκο γνήσια μικρότερο από τον όγκο της B n 2. Για κάθε ε (0, 1/2), θέτουμε b ε = 1 ε και a ε = (1 + ε + 2ε 2 ) n 1. Τότε, a ε b n 1 ε = [(1 ε)(1 + ε + 2ε 2 )] n 1 = (1 + ε 2 2ε 3 ) n 1 > 1. Επίσης, a 2 ε b 2 ε c 2 + b 2 ε = (1 + ε + 2ε2 ) 2(n 1) c 2 + (1 1c ) 2 (1 ε) 2 = 1 c 2 [1 + 2(n 1)ε + O(ε2 )] + (1 1c ) 2 (1 2ε + ε 2 ) ( n ) = 1 + 2ε c O(ε 2 ). Αφού (n/c 2 ) 1 < 0, είναι φανερό ότι η ποσότητα αυτή γίνεται μικρότερη από 1 αν αφήσουμε το ε 0 +. Για μικρό λοιπόν ε > 0, το ελλειψοειδές E aε,bε μας οδηγεί σε άτοπο.

19 2.4. ΜΕΙΚΤΟ Ι ΟΓΚΟΙ 15 Εφαρμόζοντας κατάλληλο γραμμικό μετασχηματισμό σε ένα 0-συμμετρικό κυρτό σώμα K και το ελλειψοειδές E ελάχιστου όγκου του K (αυτόν που μετασχηματίζει το E στην Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B2 n ) και με απευθείας εφαρμογή του Θεωρήματος 2.3.1, βλέπουμε ότι K E nk. Εντελώς ανάλογα, αν θεωρήσουμε την οικογένεια E 1 (K) όλων των ελλειψοειδών που περιέχονται στο K, τότε υπάρχει μοναδικό ελλειψοειδές E 1 που περιέχεται στο K και έχει τον μέγιστο δυνατό όγκο. Γι αυτό το ελλειψοειδές, το ελλειψοειδές μέγιστου όγκου του K, έχουμε E 1 K ne Μεικτοί όγκοι Συμβολίζουμε με K n τον κυρτό κώνο όλων των μη-κενών συμπαγών κυρτών υποσυνόλων του R n. Το θεμελιώδες θεώρημα του Minkowski για τους μεικτούς όγκους ισχυρίζεται ότι υπάρχει μια συνάρτηση V : ( K n ) n R + που έχει τις εξής ιδιότητες: (i) Η V έχει ως «διαγώνιο» τον όγκο: αν K K n τότε V (K,..., K) = V n (K). (ii) Η V είναι θετικά γραμμική ως προς κάθε συντεταγμένη της: ισχύει η V (K 1,..., t 1 K (1) i + t 2 K (2) i,..., K n ) = 2 j=1 για κάθε t 1, t 2 0 και K 1,..., K (1) i, K (2) i,..., K n K n. t j V (K 1,..., K (j) i,..., K n ) (iii) Η V είναι συμμετρική: αν K 1,..., K n K n και σ είναι οποιαδήποτε μετάθεση των δεικτών, τότε V (K σ(1),..., K σ(n) ) = V (K 1,..., K n ). Η τιμή V (K 1,..., K n ) ονομάζεται μεικτός όγκος των K 1,..., K n. Επεται ότι, για κάθε m N και K 1,..., K m K n, η συνάρτηση F : (R + ) m R με F (t 1, t 2, t m ) = V n (t 1 K 1 + t 2 K t m K m ) είναι ένα ομογενές πολυώνυμο βαθμού n ως προς t i > 0, m m V n (t 1 K t m K m ) =... V (K i1,..., K in )t i1 t in. Ειδική περίπτωση: i 1 =1 i n=1

20 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ (1) (Τύπος Minkowski-Steiner) Για K, L K n η συνάρτηση t V n (K +tl) είναι πολυώνυμο ως προς t [0, ): (2.4.1) V n (K + tl) = n j=0 ( ) n V j (K, L) t j, j όπου V j (K, L) = V (K; n j, L; j) είναι ο j-οστός μεικτός όγκος των K και L. Στο εξής θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό L; j εννοώντας L,..., L j-φορές. (2) (Τύπος του Steiner) Για L = B n 2 V n (K + tb n 2 ) = ο τύπος Minkowski-Steiner γράφεται: n j=0 ( ) n W j (K)t j, j όπου W j (K) = V j (K, B n 2 ) = V (K; n j, B n 2 ; j) είναι το j-οστό quermassintegral του K. Τα quermassintegrals W j έχουν αρκετές από τις ιδιότητες των μεικτών όγκων: είναι μονότονα, συνεχή ως προς τη μετρική Hausdorff δ H, και ομογενή βαθμού n j. Συμπεράσματα: Από την (2.4.1) βλέπουμε ότι (2.4.2) V 1 (K, L) = 1 n lim V n (K + tl) V n (K), t 0 + t το οποίο μαζί με την κλασσική ανισότητα Brunn-Minkowski V n (K+tL) 1/n V n (K) 1/n +tv n (L) 1/n συνεπάγεται: Θεώρημα (πρώτη ανισότητα του Minkowski) Για n-διάστατα κυρτά σώματα K, L K n (2.4.3) V 1 (K, L) V n (K) n 1 n Vn (L) 1 n Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα K και L είναι ομοιοθετικά. 2.5 Χωρία Wulff Κάθε κυρτό σώμα K στον R n είναι η τομή των ημιχώρων που ορίζουν τα υπερεπίπεδα στήριξης τα οποία προσδιορίζονται από τη συνάρτηση στήριξης h K, δηλαδή ισχύει K = {x R n : x, u h K (u)}. u S n 1 Θεωρώντας οποιαδήποτε θετική συνεχή συνάρτηση f στη σφαίρα S n 1 μπορούμε να γενικεύσουμε αυτή τη σχέση ως εξής.

21 2.5. ΧΩΡ ΙΑ WULFF 17 Ορισμός Εστω f : S n 1 (0, ) συνεχής συνάρτηση. Το κυρτό σώμα K f := {x R n : x, u f(u)} u S n 1 ονομάζεται το χωρίο Wulff που αντιστοιχεί στην f. Αρχικά, αν h είναι η συνάρτηση στήριξης ενός κυρτού σώματος K K0 n με το χωρίο Wulff που αντιστοιχεί στην h τότε το K συμπίπτει Παρατηρήσεις: Εστώ f : S n 1 (0, ) συνεχής με γνήσια θετικές τιμές και K το χωρίο Wulff της f τότε: (i) Το K K n 0 είναι κυρτό σώμα με εσωτερικό σημείο το 0. (ii) Αν επιπλέον η f είναι άρτια τότε το K K n e είναι συμμετρικό ως προς το 0 κυρτό σώμα. (iii) h K (u) = f(u) S K -σχεδόν για κάθε u S n 1, όπου h K είναι η συνάρτηση στήριξης του K. Οι πρώτες δύο παρατηρήσεις έπονται άμεσα. Την (iii) την έχουμε από την προφανή h K (u) f(u) για κάθε u S n 1 και από το ακόλουθο Λήμμα του Aleksandrov: Λήμμα (Aleksandrov). Εστω f : S n 1 (0, ) συνεχής και K το χωρίο Wulff της f. Τότε, το σύνολο ν 1 K ({u Sn 1 : h K (u) < f(u)}) περιέχεται στο σύνολο των ιδιαζόντων σημείων του K. Εφόσον το σύνολο των ιδιαζόντων σημείων του K έχει (n 1)-διάστατο μέτρο Hausdorff ίσο με μηδέν, άμεση συνέπεια του Λήμματος είναι ότι S K ({u S n 1 : h K (u) < f(u)}) = H n 1 (ν 1 K ({u Sn 1 : h K (u) < f(u)})) = 0 δηλαδή, h K (u) f(u) S K -σχεδόν για κάθε u S n 1. Ισχύει επίσης το ακόλουθο λήμμα σύγκλισης του Aleksandrov. Λήμμα Εστω K i τα χωρία Wulff που αντιστοιχούν στις συνεχείς συναρτήσεις h i για i N {0}. Αν (h i ) i N συγκλίνει ομοιόμορφα στην h 0, τότε (K i ) i N συγκλίνουν στο K 0. Απόδειξη. Παραλείπεται [σελ. 449, Schneider] Το επόμενο λήμμα είναι χρήσιμο για μεθόδους διαταραχής. Συνδέει την παράγωγο ως προς t του όγκου μιας οικογένειας χωρίων Wulff {K t } t I με την παράγωγο των συναρτήσεων {k t } t I που τα ορίζουν.

22 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Λήμμα Εστω {K t } t I τα χωρία Wulff που αντιστοιχούν στις συνεχείς συναρτήσεις k t (u) := k(t, u) : I S n 1 (0, ) όπου I R ανοικτό διάστημα. Αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στην S n 1, τότε k(t, u) t dv n (K t ) dt Αποδεικνύουμε το Λήμμα σε δύο βήματα. k(t + s, u) k(t, u) = lim s 0 s k(t, u) = S Kt (u). S n 1 t Λήμμα Εστω I ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει το 0 και {K t } t I τα χωρία Wulff μιας οικογένειας συνεχών συναρτήσεων k t (u) := k(t, u) : I S n 1 (0, ). Αν η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στην S n 1, τότε k(t, u) t V n (K t ) V n (K 0 ) lim = t 0 + t k(t + s, u) k(t, u) = lim s 0 s S n 1 k +(0, u) S Kt (u). Απόδειξη. Αφού k(t, u) k(0, u) ομοιόμορφα στην S n 1 καθώς το t 0 +, από το Λήμμα έχουμε lim K t = K 0. t 0 + Από την ασθενή συνέχεια του επιφανειακού μέτρου και το γεγονός ότι τα S Kt είναι πεπερασμένα, w παίρνουμε S Kt SK0. Από την υπόθεση ότι k(t, u) k(0, u) t ομοιόμορφα στην S n 1, παίρνουμε k(t, u) k(0, u) (2.5.1) lim t 0 + S n 1 t Από το Λήμμα γνωρίζουμε ότι, για κάθε t I, k +(0, u) ds Kt (u) = k +(0, u) ds K0 (u). S n 1 h Kt (u) k(t, u) και h Kt (u) = k(t, u) σχεδόν παντού ως προς S Kt. Άρα, V n (K t ) = 1 h Kt (u) ds Kt (u) = 1 k(t, u) ds Kt (u). n S n 1 n S n 1 Μπορούμε λοιπόν στο t = 0 να γράψουμε V n (K t ) V 1 (K t, K 0 ) lim inf = 1 k(t, u) h K0 (u) lim inf ds Kt (u) t 0 + t n t 0 + S n 1 t 1 k(t, u) k(0, u) lim inf ds Kt (u). n t 0 + S n 1 t

23 2.5. ΧΩΡ ΙΑ WULFF 19 Συνδυάζοντας αυτή την ανισότητα με την (2.5.1) βλέπουμε ότι V n (K t ) V 1 (K t, K 0 ) lim inf 1 k t 0 + t n +(0, u) ds K0 (u). S n 1 Από την ανισότητα του Minkowski έπεται ότι 1 k V n (K t ) V 1 (K t, K 0 ) n +(0, u) ds K0 (u) lim inf S n 1 t 0 + t lim inf t 0 + V n (K t ) V n (K t ) 1 1 n V n (K 0 ) 1 n t 1 = V n (K 0 ) 1 1 V n (K t ) n V n (K 0 ) 1 n n lim inf, t 0 + t όπου η τελευταία ισότητα ισχύει διότι lim t 0 + V n (K t ) = V n (K 0 ). Ομοια ελέγχουμε ότι V 1 (K 0, K t ) V n (K 0 ) lim sup = 1 t 0 + t n lim sup t 0 + h Kt (u) k(0, u) S n 1 t k(t, u) k(0, u) S n 1 t 1 lim sup n t 0 + = 1 k n +(0, u) ds K0 (u), S n 1 ds K0 ds K0 όπου η τελευταία ισότητα ισχύει από την (2.5.1). Εφαρμόζοντας την ανισότητα Minkowski στο αριστερό μέλος, και από την lim t 0 + V n (K t ) = V n (K 0 ), βλέπουμε ότι (2.5.2) 1 1 k n +(0, u) ds K0 (u) V n (K 0 ) 1 1 V n (K t ) n V n (K 0 ) 1 n n lim sup. S n 1 t 0 + t Συνδυάζοντας τα παραπάνω έχουμε (2.5.3) 1 1 k n +(0, u) ds K0 (u) = V n (K 0 ) 1 1 V n (K t ) n V n (K 0 ) 1 n n lim. S n 1 t 0 + t Για να ολοκληρώσουμε την απόδειξη θεωρούμε την g(t) := V n (K t ) 1 n. Εχουμε ήδη δείξει ότι η δεξιά πλευρική παράγωγος της g στο 0 υπάρχει. Αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχει η δεξιά πλευρική παράγωγος της g n στο 0, άρα g(t) n g(0) n lim t 0 + t Τέλος, από τον ορισμό της g παίρνουμε το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη. V n (K t ) V n (K 0 ) lim = n 1 t 0 + t n = ng(0) n 1 g(t) g(0) lim. t 0 + t S n 1 k +(0, u) ds K0 (u),

24 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Απόδειξη του Λήμματος Χωρίς περιορισμό της γενικότητας θα αποδείξουμε το λήμμα για t = 0 και για ένα ανοικτό διάστημα I που περιέχει το 0. Από το Λήμμα 2.5.5, το μόνο που μένει να δείξουμε είναι ότι V n (K t ) V n (K 0 ) lim = k (0, u) ds K0 (u). t 0 t S n 1 Για το σκοπό αυτό, ορίζουμε μια συνάρτηση k : I S n 1 (0, ) με k(t, u) = k( t, u). Για την αντίστοιχη οικογένεια {K t } t I χωρίων Wulff που ορίζονται από την k, έχουμε K t = K t και K 0 = K 0. Εφαρμόζοντας το Λήμμα παίρνουμε V n (K t ) V n (K 0 ) V n (K t ) V n (K 0 ) lim = lim = k (0, u) ds K0 (u). t 0 t t 0 + t S n 1 Παρατηρώντας ότι k (0, u) = k (0, u) έχουμε το ζητούμενο. 2.6 Επιφανειακό και cone-volume μέτρο Για κάθε κυρτό σώμα εισάγουμε δύο μέτρα Borel πάνω στην σφαίρα S n 1, γνωστά ως το επιφανειακό μέτρο (Aleksandrov-Fenchel-Jessen surface area measure) και το cone-volume μέτρο. Υπενθυμίζουμε ότι η συνάρτηση στήριξης h K : R n R ενός κυρτού και συμπαγούς συνόλου K R n ορίζεται ως εξής: h K (x) = max{ y, x : y K}. Λέμε ότι ένα συνοριακό σημείο x bd(k) του K έχει εξωτερικό κάθετο διάνυσμα το u S n 1 αν x, u = h K (u). Το x bd(k) λέγεται ιδιάζον αν έχει περισσότερα από ένα εξωτερικά κάθετα διανύσματα. Το ουσιώδες σύνορο (ή σύνολο των ομαλών συνοριακών σημείων) του K είναι το σύνολο bd (K) όλων των x bd(k) τα οποία έχουν μοναδικό εξωτερικό κάθετο διάνυσμα, δηλαδή αποτελείται από όλα τα μη ιδιάζοντα σημεία του συνόρου του K. Αν K είναι ένα κυρτό σώμα στον R n, η απεικόνιση Gauss ν K : bd (K) S n 1 απεικονίζει κάθε x bd (K) στο μοναδικό εξωτερικό κάθετο διάνυσμά του, δηλαδή ικανοποιεί (2.6.1) x, ν K (x) = h K (ν K (x)). Για τη μετέπειτα χρήση της ν K μπορούμε να την θεωρούμε ορισμένη και σε ολόκληρο το σύνορο του K, ως μια οποιαδήποτε επέκταση, εφόσον το σύνολο των ιδιαζόντων συνοριακών σημείων του K έχει μηδενικό (n 1)-διάστατο μέτρο Hausdorff.

25 2.6. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚ Ο ΚΑΙ CONE-VOLUME Μ ΕΤΡΟ 21 Σχήμα 2.1: Απεικόνιση Gauss Για ένα Borel σύνολο ω S n 1, η αντίστροφη εικόνα ν 1 K (ω) του ω είναι το σύνολο όλων των συνοριακών σημείων του K που έχουν μοναδιαίο εξωτερικό κάθετο διάνυσμα στο ω. Επίσης το ν 1 K (ω) είναι μετρήσιμο ως προς το (n 1)-διάστατο μέτρο Hausdorff στο σύνορο του K. Συμβολίζουμε B(S n 1 ) το σύνολο των Borel υποσυνόλων της σφαίρας S n 1. Ορισμός Εστω K K n ένα n-διάστατο κυρτό σώμα. Το μέτρο S K : B(S n 1 ) [0, ) που ορίζεται από την S K (ω) = H n 1 (ν 1 K (ω)) = ν 1 K (ω) dh n 1 (u), ονομάζεται επιφανειακό μέτρο του K. Μια περιγραφή του S K είναι η εξής: αν B είναι ένα Borel υποσύνολο της S n 1 τότε το S K (B) είναι το (n 1)-διάστατο μέτρο Hausdorff του συνόλου όλων των συνοριακών σημείων του K στα οποία υπάρχει εξωτερικό κάθετο διάνυσμα που ανήκει στο B. Ορισμός Εστω K K0 n ένα n-διάστατο κυρτό σώμα με το μηδέν εσωτερικό του σημείο. Το μέτρο V K : B(S n 1 ) [0, ) που ορίζεται από την V K (ω) = 1 x, ν K (x) dh n 1 (x) n x ν 1 K (ω) ονομάζεται cone-volume μέτρο του K. Θα χρησιμοποιούμε συχνά την παρακάτω γενική Πρόταση: Πρόταση Εστω (X, A, µ) χώρος μέτρου και συνάρτηση f : (X, A, µ) Y. ορίσουμε ένα μέτρο ν στον Y μέσω της ν(a) = µ(f 1 (A)), τότε για κάθε μετρήσιμη συνάρτηση g : Y R ισχύει Y g(y) dν(y) = X g f(x) dµ(x). Αν

26 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Το παραπάνω μέτρο ν λέγεται μέτρο εικόνα της f και συμβολίζεται με ν = f(µ). Με την παραπάνω ορολογία, εφοδιάζοντας το bd(k) με το (n 1)-διάστατο μέτρο Hausdorff, το επιφανειακό μέτρο S K είναι το μέτρο εικόνα της απεικόνισης Gauss ν K : (bd(k), H n 1 ) S n 1 δηλαδή S K = ν K (H n 1 ). Από τη (2.6.1) και το συμπέρασμα της Πρότασης 2.6.3, το μέτρο V K μπορεί ισοδύναμα να ορισθεί V K (ω) = 1 h K (u) ds K (u) n δηλαδή ισχύει ότι u ω dv K = 1 n h K ds K. Ο όγκος ενός K K n μπορεί να υπολογισθεί ως ένα ολοκλήρωμα ως προς το μέτρο S K ως εξής V n (K) = 1 (2.6.2) h K (u) ds K (u), n S n 1 επομένως V K (S n 1 ) = V n (K). Το cone-volume μέτρο πιθανότητας V K του K ορίζεται κανονικοποιώντας το cone-volume μέτρο V K, δηλαδή ορίζεται να είναι το Παραδείγματα: V K = 1 V (K) V K. (1) Στη μπάλα: Αν B είναι η μοναδιαία μπάλα τότε Ενώ αν rb είναι μπάλα ακτίνας r τότε S B ( ) = H n 1 ( ) και V B ( ) = V n (conv(0, )). S rb ( ) = r n 1 H n 1 ( ) και V rb ( ) = r n V n (conv(0, )). (2) Στα πολύτοπα: Με τον όρο πολύτοπο εννοούμε την κυρτή θήκη ενός πεπερασμένου συνόλου σημείων του R n. Κάθε πολύτοπο στον R n (με μη κενό εσωτερικό) έχει πεπερασμένες το πλήθος έδρες F 1,..., F N με εξωτερικά κάθετα διανύσματα u 1,..., u N αντίστοιχα. Αν το K είναι πολύτοπο τότε τα μέτρα S K και V K είναι διακριτά μέτρα που έχουν φορέα το {u 1,..., u N } με S K ({u i }) = V n 1 (F i ) και V K ({u i }) = V n (conv(0, F i )), i = 1,..., N, δηλαδή το επιφανειακό μέτρο έχει τη μορφή S K = N V n 1 (F i )δ ui i=1

27 2.6. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚ Ο ΚΑΙ CONE-VOLUME Μ ΕΤΡΟ 23 Σχήμα 2.2: πολύτοπο όπου δ ui το μέτρο Dirac που συγκεντρώνεται στο u i, ενώ το cone-volume είναι το V K = = 1 n N V n (conv(0, F i ))δ ui i=1 N h P (u i )V n 1 (F i )δ ui, i=1 από το γνωστό τύπο V = 1 na h για τον όγκο κώνου με βάση A και ύψος h. Η απόδειξη της (2.6.2) προκύπτει άμεσα από το επόμενο λήμμα και ένα επιχείρημα προσέγγισης. Λήμμα Εστω P ένα n-διάστατο πολύτοπο, με έδρες F 1,..., F N εξωτερικά κάθετα διανύσματα u 1,..., u N αντίστοιχα. Τότε, (2.6.3) και N V n 1 (F i )u i = 0 i=1 (2.6.4) V n (P ) = 1 n N h P (u i )V n 1 (F i ). i=1 Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι, για κάθε z R n, ο (n 1)-διάστατος όγκος της προβολής του P στον z είναι ίσος με και με z,u i 0 z,u i <0 V n 1 (F i ) z, u i V n 1 (F i ) z, u i.

28 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Επομένως, η ισότητα των δύο ποσοτήτων μας δίνει ότι N V n 1 (F i ) z, u i = 0 i=1 για κάθε z R n, απ όπου έπεται η (2.6.3). Για την (2.6.4) μπορούμε να υποθέσουμε ότι 0 int(p ) γιατί το αριστερό μέλος της ισότητας είναι αναλλοίωτο ως προς τις μεταφορές του P, ενώ το ίδιο ισχύει και για το δεξί, γιατί N h P +z (u i )V n 1 (F i + z) = i=1 N (h P (u i ) + z, u i )V n 1 (F i ) = i=1 N h P (u i )V n 1 (F i ), i=1 λόγω της (2.6.3). Τώρα, μπορούμε να γράψουμε το P = N i=1 conv({0} F i), επομένως V n (K) = N V n (conv({0} F i )) = 1 n i=1 N h P (u i )V n 1 (F i ), i=1 από το γνωστό τύπο V = 1 na h για τον όγκο κώνου με βάση A και ύψος h. Σύγκλιση Εστω µ, µ 1, µ 2,... ακολουθία Borel μέτρων στην σφαίρα S n 1. Λέμε ότι η ακολουθία των μέτρων µ 1, µ 2,... συγκλίνει ασθενώς στο μέτρο µ αν f(u) dµ n (u) f(u) dµ(u) S n 1 S n 1 για κάθε συνεχή συνάρτηση f : S n 1 R. Το επόμενο αποτέλεσμα μας χρησιμεύει για μεθόδους προσέγγισης, για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [Gruber σελ 190]. Αν K n και K είναι κυρτά σώματα, τότε lim K n = K = lim S K n n n = S K Εναλλακτικός ορισμός του επιφανειακού μέτρου: ασθενώς. Σταθεροποιούμε K K n, και για κάθε L K n ορίζουμε f(h L ) = V 1 (K, L). Επεκτείνουμε την f γραμμικά στον υπόχωρο D(S n 1 ) = span{h L S n 1, L K n } του C(S n 1 ). Από την προσθετικότητα του V 1 ως προς L και το γεγονός ότι h L1 +L 2 = h L1 +h L2 για κάθε L 1, L 2 K n, η f είναι καλά ορισμένο θετικό συναρτησοειδές στον D(S n 1 ), άρα επεκτείνεται σε ένα θετικό συναρτησοειδές στον C(S n 1 ). Από το θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, μπορούμε να βρούμε ένα μέτρο S K στα Borel σύνολα της S n 1 τέτοιο ώστε (2.6.5) V 1 (K, L) = 1 h L (u)ds K (u), L K n. n S n 1 Το S K είναι το επιφανειακό μέτρο του K. Συνέπεια της ολοκληρωτικής αναπαράστασης του V 1 (K, L) είναι το γεγονός ότι αν L 1 L 2 τότε V 1 (K, L 1 ) V 1 (K, L 2 ). Για μια διαφορετική

29 2.6. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚ Ο ΚΑΙ CONE-VOLUME Μ ΕΤΡΟ 25 προσέγγιση της (2.6.5) μέσω πολυτόπων, παραπέμπουμε [Gruber σελ 192]. πρώτη ανισότητα του Minkowski γίνεται 1 h L (u) ds K (u) V (L) 1 n 1 (2.6.6) n V (K) n n S n 1 η οποία για L = B2 n είναι η ισοπεριμετρική ανισότητα. Σχόλια: Πατατηρήστε ότι η Το Λήμμα (2.5.4) μας δίνει μία ακόμα διαφορετική προσέγγιση του επιφανειακού και του conevolume μέτρου. Θεωρώντας τα σύνολα K + tl για t 0 δηλαδή τα χωρία Wulff των h K + th L συμπεραίνουμε ότι dv (K + tl) dt = h t=0 + L (u) ds K (u) S n 1 και μαζί με την (2.4.2) καταλήγουμε ξανά στην (2.6.5). Κάτι ανάλογο για το cone-volume μέτρο το έχουμε αν θεωρήσουμε τα σύνολα K t = u S n 1{x Rn : x, u h K (u)h L (u) t } γιατί τότε dv (K t ) dt Αποτελέσματα μοναδικότητας = n log h L (u) dv K (u). t=0 S n 1 Σε αυτή την υποπαράγραφο εξετάζουμε κατά πόσο τα μέτρα αυτά χαρακτηρίζονται μοναδικά από τα σώματα, με άλλα λόγια: αν έχουμε ότι S K = S L (ή V K = V L ) τότε υποχρεωτικά K = L;. Η απάντηση είναι όχι, όμως στην περίπτωση που K L υπάρχει γεωμετρική σχέση μεταξύ των δύο σωμάτων. Θεώρημα Αν K, L K n δυο n-διάστατα κυρτά σώματα με S K = S L τότε, είτε K = L είτε τα K, L είναι το ένα μεταφορά του άλλου. Απόδειξη. Από την (2.6.2) και τον εναλλακτικό ορισμό του επιφανειακού μέτρου έχουμε nv (K) = h K ds K = S n 1 h K ds L = nv 1 (K, L) S n 1 Άρα από την ανισότητα Minkowski έπεται ότι (2.6.7) V (K) n = V 1 (K, L) n V (K) n 1 V (L) συνεπώς V (K) V (L). Λόγω συμμετρίας, έχουμε επίσης V (L) V (K). Συνεπώς έχουμε ισότητα στην πρώτη ανισότητα Minkowski και άρα τα K, L είναι ομοιοθετικά και επειδή έχουν ίσους όγκους έπεται ότι το ένα είναι μεταφορά του άλλου.

30 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Σχήμα 2.3: Παραλληλόγραμμα ίσου όγκου με παράλληλες πλευρές Το αντίστοιχο θεώρημα για τα cone-volume μέτρα, είναι ανοικτό πρόβλημα. Σημειώνουμε για την περίπτωση του επιπέδου ότι, το εμβαδόν των τεσσάρων τριγώνων που σχηματίζονται από τις διαγωνίους ενώς παραλληλογράμμου είναι ίσο με το ένα τέταρτο του εμβαδού του παραλληλογράμμου. Επομένως όλα τα 0-συμμετρικά παραλληλόγραμμα ίσου όγκου με παράλληλες πλευρές έχουν το ίδιο cone-volume μέτρο. Στο επίπεδο, από τους Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang έχουμε το εξής αποτέλεσμα: Θεώρημα Εστω K, L R 2 δύο 0-συμμετρικά κυρτά σώματα με V K = V L τότε, είτε K = L είτε τα K, L είναι παραλληλόγραμμα με παράλληλες πλευρές. Για την απόδειξη ξεκινάμε με τον εξής : Ορισμός Εστω K, L δύο 0-συμμετρικά κυρτά σώματα στον R n. Η εσωτερική ακτίνα r(k, L) και η εξωτερική ακτίνα R(K, L) του K ως προς το L ορίζονται ως εξής: r(k, L) := sup{t > 0 : x + tl K, x R n }, R(K, L) := inf{t > 0 : x + tl K, x R n }. Άμεσα βλέπουμε ότι οι δύο ακτίνες ικανοποιούν την r(k, L) = 1 R(L, K).

31 2.6. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚ Ο ΚΑΙ CONE-VOLUME Μ ΕΤΡΟ 27 Αν L είναι η μοναδιαία μπάλα, τότε r(k, L) είναι η μεγαλύτερη ακτίνα μπάλας που περιέχεται στο K και R(K, L) είναι η μικρότερη ακτίνα μπάλας που περιέχει το K. Αν επιπλέον τα K, L είναι 0-συμμετρικά τότε τα παραπάνω sup, inf πιάνονται για μια διαστολή tl του L, άρα (2.6.8) h K (u) r(k, L) = sup{t > 0 : tl K} = min u S n 1 h L (u) h K (u) R(K, L) = inf{t > 0 : tl K} = max u S n 1 h L (u). Λήμμα Εστω K, L R n κυρτά σώματα και r = r(k, L). Για κάθε 0 t r ορίζουμε K t = {x R n : x + tl K}. Τότε, Απόδειξη. Γράφουμε (2.6.9) V n (K) V n (K t ) = n K t = t 0 V 1 (K s, L) ds. u S n 1 {x R n : h x+tl (u) h K (u)}. Επειδή για κάθε 0 t < r υπάρχει μεταφορά του K η οποία περιέχει το tl, έπεται ότι υπάρχουν (συγκεκριμένες) μεταφορές του K έτσι ώστε η k t := h K th L να είναι θετική και το K t να είναι το χωρίο Wulff της k t, δηλαδή K t = u S n 1 {x R n : x, u h K (u) th L (u)}. Από το Λήμμα και τον ορισμό του μεικτού όγκου V 1 (, L) έπεται ότι, για 0 < t < r, d dt V k t (u) (2.6.10) n(k t ) = ds Kt = h L (u) ds Kt S n 1 t S n 1 (2.6.11) Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι = nv 1 (K t, L). lim V n(k t ) = V n (K r ) και lim K t = K 0 = K, t r t 0 και ότι το K r έχει κενό εσωτερικό. Ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της (2.6.10) παίρνουμε ότι, για 0 t r, V n (K t ) V n (K) = n t 0 V 1 (K s, L) ds. Σε αυτή την παράγραφο θα γράφουμε V = V 2 για τον όγκο στο επίπεδο. Υπενθυμίζουμε επίσης τον τύπο του Steiner στον R 2 : (2.6.12) V (K + tl) = V (K) + 2tV 1 (K, L) + t 2 V (L).

32 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Θεώρημα Εστω K, L R 2 κυρτά σώματα και έστω r := r(k, L) και R := R(K, L). Για το πολυώνυμο A(t) = V (K) 2tV (K, L) + t 2 V (L) ισχύει ότι: (i) Αν r t R τότε A(t) 0. (ii) Αν r < t < R τότε A(t) < 0 (προφανές από το (i)). (iii) A(r) = 0 αν και μόνο αν το K είναι το Minkowski άθροισμα μιας διαστολής του L και κάποιου ευθύγραμμου τμήματος. (iv) A(R) = 0 αν και μόνο αν το L είναι το Minkowski άθροισμα μιας διαστολής του K και κάποιου ευθύγραμμου τμήματος. Απόδειξη. Εστω t [0, r]. Οπως και στην (2.6.9) θεωρούμε το χωρίο Wulff K t = u S 1 {x R 2 : x, u h K (u) th L (u)}. Από τον ορισμό του K t έχουμε ότι h Kt h K th L, συνεπώς K t + tl K. Τώρα, ο προηγούμενος εγκλεισμός και οι ιδιότητες μονοτονίας, γραμμικότητας και συμμετρίας των μεικτών όγκων δίνουν (2.6.13) V (K, L) V (K t + tl, L) = V (K t, L) + tv (L). Χρησιμοποιώντας το Λήμμα και την (2.6.13) έχουμε (2.6.14) (2.6.15) V (K) V (K t ) = 2 t 0 V (K s, L) ds 2 = 2tV (K, L) t 2 V (L). t 0 (V (K, L) sv (L)) ds Άρα, (2.6.16) V (K) 2tV (K, L) + t 2 V (L) V (K t ). Αφού το K r έχει κενό εσωτερικό, η (2.6.16) για t = r γίνεται (2.6.17) V (K) 2rV (K, L) + r 2 V (L) 0. Τώρα, αν αλλάξουμε τη θέση των K και L στην (2.6.17) θα έχουμε (2.6.18) V (L) 2r V (L, K) + r 2 V (K) 0, όπου r = r(l, K). Λόγω της συμμετρίας του μεικτού όγκου και της σχέσης r(l, K) = 1/R(K, L), η (2.6.18) γίνεται (2.6.19) V (K) 2RV (K, L) + R 2 V (L) 0,

33 2.6. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚ Ο ΚΑΙ CONE-VOLUME Μ ΕΤΡΟ 29 και έτσι έπεται η (i) από τις (2.6.17) και (2.6.19). Για τις περιπτώσεις ισότητας παρατηρούμε ότι το K r είναι ευθύγραμμο τμήμα ή σημείο γιατί V (K r ) = 0 και ότι στην (2.6.16) έχουμε ισότητα αν και μόνο αν για κάθε s [0, t] (2.6.20) V (K, L) = V (K s + sl, L). Η παραπάνω ισοδυναμία ισχύει γιατί ισότητα στην (2.6.16) σημαίνει ισότητα των ολοκληρωμάτων στην (2.6.14), και από την (2.6.13) παίρνουμε ότι για κάθε s [0, t] (2.6.21) V (K s, L) = V (K, L) sv (L), οπότε έχουμε την (2.6.20) λόγω της γραμμικότητας του μεικτού όγκου. Για το (iii) υποθέτουμε ότι A(r) = 0, δηλαδή (2.6.22) V (K) 2rV (K, L) + r 2 V (L) = 0 = V (K r ). Από την ισοδυναμία της (2.6.20) έχουμε (2.6.23) V (K) 2rV (K r + rl, L) + r 2 V (L) = 0. Προσθέτουμε το V (K r ) = 0 και, από τον τύπο Minkowski-Steiner (2.6.12), έχουμε V (K) V (K r + rl) = 0. Αφού K r + rl K και τα δύο σώματα έχουν ίσους όγκους, έπεται ότι K r + rl = K, δηλαδή το K είναι το Minkowski άθροισμα μιας διαστολής του L και του ευθύγραμμου τμήματος (ή σημείου) K r. Ετσι έχουμε το (iii). Για το (iv) όμοια υποθέτουμε ότι A(R) = 0, δηλαδή όπου r = r(l, K). Ομοια με πριν βγάζουμε ότι V (L) 2r V (L, K) + r 2 V (K) = 0, V (L) V (L r + r K) = 0, και, αφού L r + r K L και τα δύο σώματα έχουν ίσους όγκους, έπεται ότι L r + r K = L. Δηλαδή το L είναι το Minkowski άθροισμα μιας διαστολής του K και του ευθύγραμμου τμήματος (ή σημείου) L r. Ετσι έχουμε το (iv). Λήμμα Εστω K, L δύο 0-συμμετρικά κυρτά σώματα στον R 2. Τότε, h K (2.6.24) dv K V (K) h L dv K. S 1 h L V (L) h K Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα K, L είναι ομοιοθετικά ή παραλληλόγραμμα με παράλληλες πλευρές. S 1

34 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΥΡΤ Α Σ ΩΜΑΤΑ Απόδειξη. Επειδή τα K και L είναι 0-συμμετρικά έχουμε ότι, για u S 1, r(k, L) h K(u) h L (u) Από το Θεώρημα έπεται ότι A ( h K (u) h L (u) ) 0, δηλαδή (2.6.25) V (K) 2 h K(u) V (K, L) + h L (u) R(K, L). ( ) hk (u) 2 V (L) 0. h L (u) Ολοκληρώνουμε την (2.6.25) ως προς το μέτρο h L ds K, και έτσι (2.6.26) Ισοδύναμα, S 1 ( V (K) 2 h K(u) V (K, L) + h L (u) ( ) hk (u) 2 V (L)) h L (u) ds K (u) 0. h L (u) S1 h K (u) 2 V (K) h L (u) ds K (u) 2V (K, L) h K (u) ds K (u) + V (L) S 1 S 1 h L (u) ds K(u) 0. Χρησιμοποιώντας την (2.6.2), την (2.6.5) και την προηγούμενη ανισότητα, παίρνουμε S1 h K (u) 2 h L (u) ds K V (K) V (K) 2V (K, L) = h L ds K, V (L) V (L) S 1 και επειδή ds K = 2 1 h K dv K έπεται η (2.6.24). Για τη συνθήκη ισότητας, αρχικά παρατηρούμε ότι ισότητα στην (2.6.24) σημαίνει ισότητα στην (2.6.26), και αυτό με την σειρά του σημαίνει ότι, για κάθε u supp(s K ), ( ) hk (u) (2.6.27) A h L (u) = V (K) 2 h K(u) V (K, L) + h L (u) ( ) hk (u) 2 V (L) = 0. h L (u) Τώρα αν τα K, L είναι ομοιοθετικά, δηλαδή K = r(k, L)L, το Θεώρημα δίνει ( ) hk (u) A = A(r(K, L)) = 0 h L (u) για κάθε u S 1, επομένως ικανοποιείται η (2.6.27), άρα έχουμε ισότητα στην (2.6.24). Υποθέτοντας ότι τα K, L δεν είναι ομοιοθετικά και ότι ισχύει η ισότητα, θα δείξουμε ότι τα K, L είναι παραλληλόγραμμα με παράλληλες πλευρές και αυτό θα ολοκληρώσει την απόδειξη του Λήμματος. Αφού τα K, L δεν είναι ομοιοθετικά, έχουμε r(k, L) < R(K, L). Παίρνουμε u 0 supps K. Τότε, ισχύει ότι (2.6.28) h K (u 0 ) h L (u 0 ) = r(k, L) ή h K (u 0 ) = R(K, L), h L (u 0 ) αλλιώς, αν r(k, L) < h K (u 0 )/h L (u 0 ) < R(K, L) τότε το Θεώρημα θα δώσει ότι A 0, που έρχεται σε αντίφαση με την (2.6.27). Εστω ότι h K(u 0 ) h L (u 0 ) ( ) hk (u) h L (u) < = r(k, L). Τότε, απο την (2.6.27)

35 2.6. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚ Ο ΚΑΙ CONE-VOLUME Μ ΕΤΡΟ 31 και τη συνθήκη ισότητας του Θεωρήματος βλέπουμε ότι το K είναι διαστολή του L συν κάποιο ευθύγραμμο τμήμα (όχι σημείο). Ετσι, υπάρχει x 0 0 τέτοιο ώστε h K (u) = x 0, u + r(k, L)h L (u) για κάθε u S 1. Διαιρώντας με h L (u) και βάζοντας u = u 0 έχουμε r(k, L) = x 0, u 0 h L (u 0 ) + r(k, L), δηλαδή x 0 u 0. Το K είναι 0-συμμετρικό, άρα και το supp(s K ) είναι 0-συμμετρικό σύνολο. Ετσι, τα μόνα διανύσματα στο supp(s K ) που ικανοποιούν την h K ( )/h L ( ) = r(k, L) είναι τα ±u 0, γιατί κάθε άλλο τέτοιο διάνυσμα θα είναι κάθετο στο x 0 και είμαστε στο επίπεδο. Ο φορέας του S K δεν μπορεί να είναι μόνο τα ±u 0 άρα, απο την (2.6.28), υπάρχει u 1 ±u 0 στο φορέα του S K ώστε h K (u 1 )/h L (u 1 ) = R(K, L). Ομοια με πριν συμπεραίνουμε ότι τα μόνα διανύσματα στο φορέα του S K που ικανοποιούν την h K ( )/h L ( ) = R(K, L) είναι τα ±u 1. Ετσι, supp(s K ) = {±u 0, ±u 1 }, άρα το K είναι παραλληλόγραμμο και επειδή το K είναι διαστολή του L συν κάποιο ευθύγραμμο τμήμα, το L είναι παραλληλόγραμμο με πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του K. Θεώρημα Εστω K, L R 2, 0-συμμετρικά κυρτά σώματα με V K = V L. Τότε, είτε K = L ή τα K, L είναι παραλληλόγραμμα με παράλληλες πλευρές. Απόδειξη. Αφού V K = V L, έπεται ότι V (K) = V (L), επομένως το Λήμμα δίνει h K h L (2.6.29) dv K dv K S 1 h L S 1 h K και (2.6.30) S 1 S 1 h L h K dv L dv L. h K S 1 h L Χρησιμοποιώντας τις (2.6.29), (2.6.30) και την υπόθεση ότι V K = V L, έχουμε h L h L dv K = dv L dv L h K h K h L = S 1 S 1 h K h L dv K S 1 h K S 1 h L h K dv K. Επομένως, έχουμε ισότητα στις (2.6.29) και (2.6.30), και πάλι από το Λήμμα συμπεραίνουμε οτι τα K, L είναι ομοιοθετικά ή παραλληλόγραμμα με παράλληλες πλευρές. Τώρα, αν τα K, L είναι ομοιοθετικά, τότε K = L γιατί έχουν ίσους όγκους και μη-κενό εσωτερικό.

36

37 Κεφάλαιο 3 Λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski Εστω K και L είναι δύο κυρτά σώματα στον R n και λ [0, 1]. Η ανισότητα Brunn-Minkowski εκφράζει το γεγονός ότι ο όγκος είναι λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση ως προς το άθροισμα Minkowski, V (λk + (1 λ)l) V (K) λ V (L) 1 λ. Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα K και L είναι το ένα μεταφορά του άλλου. Υπάρχει η εικασία ότι ο όγκος είναι λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση ως προς τα p-αθροίσματα που παρουσιάζονται παρακάτω, δηλαδή ότι έχουμε μια οικογένεια ισχυρότερων ανισοτήτων τύπου Brunn-Minkowski τις L p -ανισότητες Brunn-Minkowski. 3.1 Οι p-κυρτοί συνδυασμοί και οι ανισότητες Υποθέτουμε ότι τα K και L είναι δύο κυρτά σώματα που περιέχουν το 0 στο εσωτερικό τους. Οι συναρτήσεις στήριξης είναι θετικά ομογενείς και προσθετικές ως προς τα αθροίσματα Minkowski, δηλαδή ικανοποιούν την h sk+tl = sh K + th L για s, t > 0. Επομένως. ο κυρτός συνδυασμός (1 λ)k + λl = {(1 λ)x + λy : x K, y L} μπορεί να εκφραστεί ως η τομή των ημιχώρων (1 λ)k + λl = { } x R n : x, u (1 λ)h K (u) + λh L (u). u S n 1 Για p > 0 ο p-κυρτός συνδυασμός (1 λ) K + p λ L ορίζεται να είναι (1 λ) K + p λ L = { } x R n : x, u ((1 λ)h K (u) p + λh L (u) p ) 1 p, u S n 1 33

38 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI Παρατηρούμε ότι για p 1 η συνάρτηση ((1 λ)h p K + λhp L ) 1 p είναι η συνάρτηση στήριξης του (1 λ) K + p λ L, ενώ για 0 < p < 1 εν γένει δεν είναι. Η οριακή κατάσταση, για p = 0, είναι ο 0-κυρτός συνδυασμός (1 λ) K + o λ L που ορίζεται από την (1 λ) K + o λ L = u S n 1 Συνέπεια της ανισότητας Hölder είναι ότι για 0 p q έχουμε { x R n : x, u h K (u) 1 λ h L (u) λ}, (1 λ) K + p λ L (1 λ) K + q λ L Για s, t 0 με s + t > 0 έχει νόημα να ορίσουμε γενικότερα s K + p t L = u S n 1 και L p -βαθμωτό πολλαπλασιασμό s K από την { } x R n : x, u (sh K (u) p + th L (u) p ) 1 p. (3.1.1) s K = s 1 p K. Σημειώνουμε ότι, στους παραπάνω συμβολισμούς + p και + o, συμβολίζουμε τον αντίστοιχο βαθμωτό πολλαπλασιασμό απλώς με εννοώντας p και o αντίστοιχα. Τα προβλήματα με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι τα εξής. Πρόβλημα (L p -ανισότητα Brunn-Minkowski). Εστω 0 < p < 1. Αν K και L είναι δύο 0-συμμετρικά κυρτά σώματα στον R n τότε, για κάθε λ [0, 1], V n ((1 λ) K + p λ L) V n (K) 1 λ V n (L) λ. Το πρόβλημα διατυπώνεται μόνο για 0 < p < 1, αφού για p = 1 η ανισότητα ισχύει από την κλασσική ανισότητα Brunn-Minkowski, ενώ για p > 1 έπεται από την περίπτωση p = 1 αφού τότε (1 λ) K + p λ L (1 λ)k + λl. Μάλιστα, αν p 1 δεν χρειάζεται να υποθέσουμε ότι τα K και L είναι 0-συμμετρικά. Απλά παραδείγματα δείχνουν ότι η L p -ανισότητα Brunn-Minkowski δεν ισχύει γενικά για κανένα p < 0, ακόμα κι αν περιοριστούμε στα 0-συμμετρικά κυρτά σώματα. Πρόβλημα (λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski). Αν K, L είναι δύο 0-συμμετρικά κυρτά σώματα στον R n τότε, για κάθε λ [0, 1], V n ((1 λ) K + o λ L) V n (K) 1 λ V n (L) λ.

39 3.1. ΟΙ P -ΚΥΡΤΟ Ι ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΕΣ 35 Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου βλέπουμε ότι h 1 λ K hλ L (hp K + hp L ) 1 p για κάθε p > 0, άρα (1 λ) K + o λ L (1 λ)k + p λl για κάθε 0 < p < 1. Από αυτόν τον εγκλεισμό συμπεραίνουμε ότι από τη λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski έπεται η L p -ανισότητα Brunn-Minkowski. ισχυρότερο από το Πρόβλημα Δηλαδή το Πρόβλημα είναι Απλά παραδείγματα (όπως ένας 0-συμμετρικός κύβος και κατάλληλη μεταφορά του) δείχνουν ότι χωρίς την υπόθεση της συμμετρίας για τα K και L, η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski δεν ισχύει απαραίτητα. Παρατηρήστε από την (2.6.6) ότι, μία ακόμα μορφή της πρώτης ανισότητας Minkowski είναι (3.1.2) S n 1 h L h K dv K ( ) 1 Vn (K) n. V n (L) Πρόβλημα (L p -ανισότητα Minkowski). Εστω 0 < p < 1. Αν K και L είναι δύο 0- συμμετρικά κυρτά σώματα στον R n τότε ( S n 1 ( hl h K ) p dv K ) 1 p ( ) 1 Vn (K) n. V n (L) Για κάθε p 1 η L p -ανισότητα Minkowski ισχύει για οποιαδήποτε κυρτά σώματα που περιέχουν το 0 στο εσωτερικό τους. Επίσης, για κάθε p > 0 είναι ισοδύναμη με την αντίστοιχη L p -ανισότητα Brunn-Minkowski. Ομως η ανισότητα Minkowski (περίπτωση p = 1) είναι ασθενέστερη από την L p -ανισότητα Minkowski για κάθε 0 < p < 1. Πρόβλημα (λογαριθμική ανισότητα Minkowski). Αν K και L είναι δύο 0-συμμετρικά κυρτά σώματα στον R n τότε S n 1 log h L h K dv K 1 n log V n(l) V n (K). Ακριβώς όπως η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski είναι ισχυρότερη από την ανισότητα Brunn-Minkowski, έτσι και η λογαριθμική ανισότητα Minkowski είναι ισχυρότερη από την ανισότητα Minkowski. Είναι επίσης ισχυρότερη από όλες τις L p -ανισότητες Minkowski με 0 < p < 1. Η ανισότητα Minkowski είναι αντίστοιχα ασθενέστερη από όλες αυτές. Αυτές οι σχέσεις προκύπτουν άμεσα από την ανισότητα Jensen. Είδαμε ότι η ανισότητα Brunn-Minkowski είναι ισοδύναμη με την V n ((1 λ)k + λl) V n (K) 1 λ V n (L) λ. Ανάλογου τύπου ισοδυναμίες έχουμε και με τα p-αθροίσματα. Λήμμα Εστω p > 0 και K, L δύο κυρτά σώματα που περιέχουν το 0 στο εσωτερικό τους. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα:

40 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI (α) Για κάθε s, t 0 ισχύει V n (s K + p t L) p n svn (K) p n + tvn (L) p n (β) Για κάθε 0 < λ < 1 ισχύει V n ((1 λ) K + p λ L) V n (K) 1 λ V n (L) λ Απόδειξη. (α) (β). Θέτοντας s = 1 λ και t = λ, και χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, έχουμε V n ((1 λ) K + p λ L) p n (1 λ)vn (K) p n + λvn (L) p n V n (K) (1 λ)p n V n (L) λp n, απ όπου παίρουμε την (β). (β) (α). Μπορούμε να υποθέσουμε ότι V n (K) > 0 και V n (L) > 0, αλλιώς το ζητούμενο ισχύει. Θέτουμε 1 1 K 1 = K, L V n (K) 1 1 = L, λ = n V n (L) 1 n Τα K 1 και L 1 έχουν όγκο 1, οπότε από την (β) παίρνουμε V n (L) p n V n (K) p n + V n (L) p n (3.1.3) V n ((1 λ) K 1 + p λ L 1 ) 1. Ομως η (3.1.1) θα δώσει (1 λ) K 1 + p λ L 1 = = Τώρα, από την (3.1.3) έχουμε 1 (V n (K) p n + V n (L) p n ) 1 p 1 (K + (V n (K) p n + V n (L) p n ) 1 p L). p 1 K + p L (V n (K) p n + V n (L) p n ) 1 p V n (K + p L) p n Vn (K) p n + Vn (L) p n, και έτσι καταλήγουμε στην (α), βάζοντας στην θέση των K, L τα s K, t L και παίρνοντας υπόψιν ξανά την (3.1.1). 3.2 Ισοδυναμία των προβλημάτων Σε αυτή την παράγραφο δείχνουμε ότι, για κάθε σταθερό p > 0, η L p -ανισότητα Brunn-Minkowski και η L p -ανισότητα Minkowski είναι ισοδύναμες: η μία είναι απλή συνέπεια της άλλης. Ειδικότερα για p = 1, η ανισότητα Brunn-Minkowski και η πρώτη ανισότητα του Minkowski είναι ισοδύναμες. Επίσης, η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski είναι ισοδύναμη με τη λογαριθμική ανισότητα Minkowski.

41 3.2. ΙΣΟΔΥΝΑΜ ΙΑ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΩΝ 37 Λήμμα Η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski και η λογαριθμική ανισότητα Minkowski είναι ισοδύναμες στην κλάση K n e των 0-συμμετρικών κυρτών σωμάτων του R n. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski ισχύει για κάθε K, L Ke n. Εστω λ [0, 1] και Q λ = (1 λ) K + o λ L το χωρίο Wulff της q λ = h 1 λ K hλ L. Επεκτείνουμε την q λ στα λ ( ɛ 0, 1 + ɛ 0 ) για κάποιο ɛ 0 > 0, έτσι ώστε η q λ να παραμένει γνήσια θετική. Θεωρούμε την f : ( ɛ 0, 1 + ɛ 0 ) (0, ) με f(λ) = log V n (Q λ ). Θα δείξουμε ότι η f είναι κοίλη και από την παραγωγισιμότητά της στο μηδέν θα πάρουμε τη λογαριθμική ανισότητα Minkowski. Για το πρώτο, ότι η f είναι κοίλη, παίρνουμε λ, σ, τ [0, 1] και θέτουμε α = (1 λ)σ + λτ. Δηλαδή, f(α) = log V n (Q α ) = log V n ((1 α) K + o α L). Επειδή τα Q σ = (1 σ) K + o σ L και Q τ = (1 τ) K + o τ L είναι τα χωρία Wulff των h 1 σ K hσ L και h 1 τ K hτ L αντίστοιχα, από το λήμμα του Aleksandrov παίρνουμε ότι h 1 λ Q σ h λ Q τ (h 1 σ K hσ L) 1 λ (h 1 τ K hσ L) λ = h 1 α K hα L, συνεπώς (1 λ) Q σ + o λ Q τ (1 α) K + o α L. Τώρα, ο προηγούμενος εγκλεισμός και η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski δίνουν f(α) log V n ((1 λ) Q σ + o λ Q τ ) log V n (Q σ ) 1 λ V n (Q τ ) λ = (1 λ) log V n (Q σ ) + λ log V n (Q τ ) = (1 λ)f(σ) + λf(τ). Για το δεύτερο, εφαρμόζοντας αρχικά τον κανόνα του L Hôpital έχουμε d q λ q 0 q λ (u) = lim = h k log h L, dλ λ=0 λ 0 λ h K και παρατηρούμε ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στην S n 1. Επίσης έχουμε Q 0 = K. Από το Λήμμα συμπεραίνουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και ότι d V n (Q λ ) = h k log h L ds Q0 dλ λ=0 S n 1 h K = n log h L dv K. S n 1 h K Επομένως, f 1 d (0) = V n (Q λ ) V n (Q 0 ) dλ λ=0 = n log h L dv K V n (K) S n 1 h K = n log h L dv K. S n 1 h K

42 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI Τέλος, αφού η f είναι κοίλη και παραγωγίσιμη στο μηδέν, έχουμε ότι ή ισοδύναμα, f (0) f(1) f(0), n log h L dv K log V n (L) log V n (K) S n 1 h K από όπου έπεται η λογαριθμική ανισότητα Minkowski. Τώρα, υποθέτουμε ότι ισχύει η λογαριθμική ανισότητα Minkowski για κάθε K, L K n e. Για να πάρουμε τη λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski αρκεί να δείξουμε ότι log V n(k) 1 λ V n (L) λ V n (Q λ ) 0. Γράφουμε 1 n log V n(k) 1 λ V n (L) λ V n (Q λ ) = 1 n log V n(k) 1 λ V n (L) λ V n (Q λ ) 1 λ V n (Q λ ) λ = 1 n (1 λ) log V n(k) V n (Q λ ) + 1 n λ log V n(l) V n (Q λ ). Εφαρμόζοντας τώρα τη λογαριθμική ανισότητα Minkowski παίρνουμε 1 n log V n(k) 1 λ V n (L) λ V n (Q λ ) = 1 1 n V n (Q λ ) = 1 1 n V n (Q λ ) = 0, (1 λ) ( (1 λ) log h K dv Qλ + λ h Qλ h Qλ log h K h Qλ ds Qλ + λ h Qλ log h1 λ K hλ L h 1 λ h λ ds Qλ Q λ Q λ log h L dv Qλ h Qλ h Qλ log h L h Qλ ds Qλ όπου η τελευταία ισότητα ισχύει γιατί h Qλ = h 1 λ K hλ L, S Qλ-σχεδόν παντού, από το Λήμμα του Aleksandrov. Λήμμα Η L p -ανισότητα Brunn-Minkowski και η L p -ανισότητα Minkowski είναι ισοδύναμες στην κλάση K n e των 0-συμμετρικών κυρτών σωμάτων του R n. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι ισχύει η L p -ανισότητα Brunn-Minkowski και θεωρούμε K, L K n e. Εστω λ [0, 1] και Q λ = (1 λ) K + p λ L το χωρίο Wulff της q λ = ((1 λ)h p K + λhp L ) 1 p. Επεκτείνουμε την q λ για λ ( ɛ 0, 1 + ɛ 0 ), για κάποιο ɛ 0 > 0 έτσι ώστε η q λ να παραμένει γνήσια θετική. Θεωρούμε την f : ( ɛ 0, 1 + ɛ 0 ) (0, ) με ) f(λ) = V n (Q λ ) p n

43 3.2. ΙΣΟΔΥΝΑΜ ΙΑ ΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜ ΑΤΩΝ 39 Θα δείξουμε ότι η f είναι κοίλη και παραγωγίσιμη στο μηδέν, και ότι αυτό μας δίνει την L p - ανισότητα Minkowski. Για το πρώτο, ότι η f είναι κοίλη, παίρνουμε λ, σ, τ [0, 1] και θέτουμε α = (1 λ)σ + λτ. Ετσι f(α) = V n (Q α ) p n = Vn ((1 α) K + p α L) p n. Επειδή τα Q σ = (1 σ) K + p σ L και Q τ = (1 τ) K + p τ L είναι τα χωρία Wulff των ((1 σ)h p K + σhp L ) 1 p και ((1 τ)h p K + τhp L ) 1 p αντίστοιχα, από το Λήμμα του Aleksandrov (και κάποιες πράξεις) παίρνουμε ότι ((1 λ)h p Q σ + λh p Q τ ) 1 p ((1 α)h p K + αhp L ) 1 p, συνεπώς (1 λ) Q σ + p λ Q τ (1 α) K + p α L. Τώρα, ο προηγούμενος εγκλεισμός και η «ισχυρή» L p -ανισότητα Brunn-Minkowski δίνουν f(α) V n ((1 λ) Q σ + p λ Q τ ) p n (1 λ)v n (Q σ ) p n + λvn (Q τ ) p n = (1 λ)f(σ) + λf(τ). Για το δεύτερο, εφαρμόζοντας τον κανόνα του L Hôpital έχουμε λ λ=0 q λ (u) = lim λ 0 q λ q 0 λ = h1 p K hp L h k, p και η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στην S n 1. Από το Λήμμα συμπεραίνουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και ότι d V n (Q λ ) = dλ λ=0 = 1 p = n p S n 1 h S n 1 h K ( hl S n 1 1 p K hp L h k ds Q0 p ( ) p hl h K ds K 1 p ) p dv K n p V n(k), h K S n 1 h K ds K επομένως f (0) = p n V n(q 0 ) p n 1 d V n (Q λ ) ( dλ λ=0 ( ) p = V n (K) p n 1 hl dv K V n (K)). S n 1 h K Τέλος, αφού η f είναι κοίλη και παραγωγίσιμη στο μηδέν, έχουμε ότι f (0) f(1) f(0),

44 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI δηλαδή V n (K) p n 1 ( S n 1 ( hl h K ) p dv K V n (K)) V n (L) p n Vn (K) p n ( ) p hl dv K V n (L) p n Vn (K) p n Vn (K), S n 1 από όπου έπεται η L p -ανισότητα Minkowski. h K Τώρα υποθέτουμε οτι ισχύει η L p -ανισότητα Minkowski. Ο όγκος του κυρτού σώματος Q λ δίνεται από την V n (Q λ ) = 1 n Από Λήμμα του Aleksandrov έχουμε ότι h Qλ άρα S n 1 h Qλ ds Qλ. V n (Q λ ) = 1 ( (1 λ)h p K n + ) λhp L h 1 p Q S n 1 λ ds Qλ = (1 λ) 1 h p K n h1 p Q S n 1 λ ds Qλ + λ 1 h p L n h1 p Q S n 1 λ ( ) p ( ) p hk = (1 λ) dv Qλ S n 1 h + λ hl dv Qλ Qλ S n 1 h Qλ ( ) p hk = (1 λ)v n (Q λ ) dv + λv Qλ n(q λ ) S n 1 h Qλ = ((1 λ)h p K + λhp L ) 1 p, S Qλ -σχεδόν παντού, ds Qλ S n 1 ( hl h Qλ ) p dv Qλ, όπου στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήθηκε η 1 n h Q λ ds Qλ = dv Qλ. Εφαρμόζοντας τώρα την L p - ανισότητα Minkowski παίρνουμε ( ) p ( ) p Vn (K) n Vn (L) n V n (Q λ ) (1 λ)v n (Q λ ) + λvn (Q λ ) V n (Q λ ) V n (Q λ ) (1 λ)v n (Q λ ) 1 p n Vn (K) p n + λvn (Q λ ) 1 p n Vn (L) p n, και έτσι καταλήγουμε στην L p -ανισότητα Brunn-Minkowski ( ) V n (Q λ ) (1 λ)v n (K) p n + λvn (L) p n p n V n (K) 1 λ V n (L) λ. 3.3 Στο επίπεδο Σε αυτή την παράγραφο αποδεικνύουμε τη λογαριθμική ανισότητα Minkowski στο επίπεδο. Οπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, έπονται η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski και όλες οι L p -ανισότητες Brunn-Minkowski για p > 0.

45 3.3. ΣΤΟ ΕΠ ΙΠΕΔΟ 41 Λήμμα Εστω K R 2 ένα 0-συμμετρικό κυρτό σώμα, που δεν είναι παραλληλόγραμο, με V (K) = 1. Εστω επίσης {P n } μια μη-φραγμένη ακολουθία 0-συμμετρικών παραλληλογράμμων με κάθετες διαγωνίους και V (P n ) 2. Τότε, η ακολουθία (3.3.1) δεν είναι άνω φραγμένη. S 1 log h Pn (u) dv K (u) Απόδειξη. Εστω u 1,n, u 2,n τα μοναδιαία κάθετα διανύσματα στις διευθύνσεις των διαγωνίων του P n και ±h 1,n u 1,n, ±h 2,n u 2,n οι κορυφές του P n. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι u 1,n u 1, u 2,n u 2, 0 < h 1,n h 2,n. Οι πρώτες δύο υποθέσεις μπορούν να γίνουν γιατι η S 1 είναι συμπαγής, άρα αρκεί να δειχθεί το συμπέρασμα του Λήμματος για συγκλίνουσες υπακολουθίες των u 1,n, u 2,n, και η τρίτη υπόθεση από επιλογή. Για δ (0, 1 3 ) θεωρούμε την περιοχή U δ = {u S 1 : u, u 1 > 1 δ}. του {±u 1 } στην S 1. Τώρα, αφού V K (S 1 ) = V (K) = 1, βλέπουμε ότι για κάθε δ ισχύει (3.3.2) V K (U δ ) + V K (U c δ ) = V K(U δ U c δ ) = 1. Επίσης, παρατηρούμε ότι αν V K ({±u 1 }) > 0 τότε το K περιέχει ένα παραλληλόγραμμο όγκου 2V K ({±u 1 }), άρα 2V K ({±u 1 }) V (K) = 1, δηλαδή V K ({±u 1 }) 1 2. Επίσης, δεν γίνεται να έχουμε V K ({±u 1 }) = 1 2 γιατί τότε το K θα περιείχε παραλληλόγραμμο όγκου 1 και έχουμε V (K) = 1, άρα το K θα ήταν παραλληλόγραμμο. Ετσι, συμπεραίνουμε ότι V K ({±u 1 }) < 1 2. Επειδή η U δ είναι φθίνουσα, καθώς το δ μικραίνει έχουμε (3.3.3) ( ) lim V K(U δ ) = V K U δ = V K ({±u 1 }) < 1 δ 0 + 2, δ>0 επομένως υπάρχει δ 0 (0, 1 3 ) τέτοιο ώστε V K (U δ0 ) < 1 2. Από το τελευταίο βγάζουμε ότι υπάρχει ɛ 0 (0, 1 2 ) τέτοιος ώστε (3.3.4) τ 0 := V K (U δ0 ) ɛ 0 < 0,

46 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI και έτσι από την προηγούμενη ανισότητα και την (3.3.2) κρατάμε ότι (3.3.5) V K (U δ0 ) = 1 2 ɛ 0 + τ 0 και V K (U c δ 0 ) = ɛ 0 τ 0. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση στήριξης του P n είναι h Pn (u) = max{h 1,n u, u 1,n, h 2,n u, u 2,n }, γιατί για p P n η συνάρτηση, u p, u είναι συνεχής και κυρτή, άρα πιάνει maximum σε ακραίο σημείο του P n δηλαδή σε ένα από τα ±h 1,n u 1,n, ±h 2,n u 2,n. Τώρα, λόγω της σύγκλισης των u i,n στα u i έχουμε u i,n u i < δ 0 για αρκετά μεγάλα n και i = 1, 2. Ετσι, αν u U δ0 και το n είναι αρκετά μεγάλο, u, u 1,n u, u 1 u, u 1,n u 1 u, u 1 u 1,n, u 1 1 δ 0 δ 0 δ 0, όπου η τελευταία ανισότητα έπεται γιατί δ 0 < 1 3. Τώρα, αν u U c δ 0, η καθετότητα των u 1,n, u 2,n θα δώσει την καθετότητα των u 1, u 2 λόγω της σύγκλισης, άρα u, u 2 2 = 1 u, u (1 δ 0 ) 2 δ 2 0, όπου η δεύτερη ανισότητα ισχύει γιατί u / U δ0 αρκετά μεγάλο n, και η τελευταία ανισότητα πάλι γιατί δ < 1 3. Για u, u 2,n u, u 2 u, u 2,n u 2 u, u 2 u 2,n, u 2 2δ 0 δ 0 = δ 0. Άρα, για μεγάλα n έχουμε (3.3.6) h Pn (u) { δ 0 h 1,n, αν u U δ0 δ 0 h 2,n, αν u Uδ c. 0 Τέλος, log h Pn dv K = log h Pn dv K + log h Pn dv K S 1 U δ0 Uδ c 0 log δ 0 h 1,n dv K + log δ 0 h 2,n dv K U δ0 Uδ c 0 = V K (U δ0 )(log δ 0 + log h 1,n ) + V K (Uδ c 0 )(log δ 0 + log h 2,n ).

47 3.3. ΣΤΟ ΕΠ ΙΠΕΔΟ 43 Συνδυάζοντας τις (3.3.3) και (3.3.5) με την (3.3.6), και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι 0 < h 1,n h 2,n μαζί με την υπόθεση ότι h 1,n h 2,n 1 γιατί V (P n ) 2, και τέλος παίρνοντας υπόψη την επιλογή των ɛ 0, δ 0, έχουμε S 1 log h Pn dv K log δ 0 + ( 1 2 ɛ 0 + τ 0 ) log h 1,n + ( ɛ 0 τ 0 ) log h 2,n = log δ 0 + 2ɛ 0 log h 2,n + ( 1 2 ɛ 0) log(h 1,n h 2,n ) + τ(log h 1,n log h 2,n ) log δ 0 + 2ɛ 0 log h 2,n. Αφού η ακολουθία P n είναι μη-φραγμένη, η ακολουθία h 2,n είναι επίσης μη-φραγμένη, άρα η S 1 log h Pn (u) dv K (u) είναι μια μη-φραγμένη ακολουθία. Λήμμα Εστω K R 2 ένα 0-συμμετρικό κυρτό σώμα, που δεν είναι παραλληλόγραμμο, με V (K) = 1. Τότε, το πρόβλημα ελαχιστοποίησης { } (3.3.7) inf log h Q dv K : Q Ke, 2 V (Q) = 1 S 1 έχει λύση. Δηλαδή, το παραπάνω infimum είναι minimum. Συμβολίζουμε με K 2 e την κλάση των 0-συμμετρικών κυρτών σωμάτων του επιπέδου. Το παραπάνω Λήμμα διατυπώνεται ισοδύναμα: Λήμμα Αν το K K 2 e δεν είναι παραλληλόγραμμο, τότε υπάρχει K 0 K 2 e με V (K 0 ) = 1 τέτοιο ώστε για κάθε Q Ke 2 με V (Q) = 1 να ισχύει (3.3.8) log h Q dv K S 1 log h K0 dv K. S 1 Απόδειξη. Μπορούμε να κάνουμε την επιπλέον υπόθεση ότι V (K) = 1, γιατί με εφαρμογή του Λήμματος για το συνεπάγεται την K V (K) 1 n έχουμε ότι η S 1 log h Q dv K V (K) 1 n log h K0 dv S 1 log h Q dv K log h K0 dv K, S 1 S 1 K V (K) 1 n αν πάρουμε υπόψη μας ότι V αk = α 2 V K για κάθε α > 0. Η λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης (3.3.9) log h Q dv K, S 1 inf Q K 2 e V (Q)=1

48 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI δηλαδή η αλλαγή του παραπάνω infimum σε minimum, δίνει την ύπαρξη του K 0 K 2 e του λήμματος. Παίρνουμε ακολουθία {Q n } στην Ke 2 με V (Q n ) = 1, τέτοια ώστε (3.3.10) lim n log h Qn dv K = S 1 log h Q dv K. S 1 inf Q K 2 e V (Q)=1 Αρχικά θα δείξουμε ότι η ακολουθία {Q n } είναι φραγμένη, υπό την έννοια ότι η ακολουθία περιέχεται σε μια Ευκλείδεια μπάλα. Από το θεώρημα του John υπάρχουν 0-συμμετρικές ελλείψεις E n τέτοιες ώστε (3.3.11) E n Q n 2E n. Συμβολίζουμε με u 1,n, u 2,n τις κύριες διευθύνσεις της έλλειψης E n, ώστε h 1,n := h En (u 1,n ) h En (u 2,n ) := h 2,n. Θεωρούμε τα παραλληλόγραμμα P n E n που έχουν κορυφές τα {±h 1,n u 1,n, ±h 2,n u 2,n }. Τότε, τα P n έχουν κάθετες διαγωνίους, επειδή τα u 1,n, u 2,n είναι κάθετα, και επειδή η έλλειψη E n είναι περιγεγραμμένη στο παραλληλόγραμμο P n έχουμε ότι E n 2P n, άρα από την (3.3.11) βλέπουμε ότι (3.3.12) P n Q n 2P n. Επίσης V (Q n ) = 1, άρα V ( 8P n ) = 2V (2P n ) 2V (Q n ) = 2. Τώρα υποθέτουμε ότι η {Q n } δεν είναι φραγμένη, επομένως η ακολουθία παραλληλογράμμων {P n } δεν είναι φραγμένη. Εφαρμόζοντας το Λήμμα για τα παραλληλόγραμμα 8P n βγάζουμε ότι η ακολουθία (3.3.13) log h 8P n dv K S 1 δεν είναι φραγμένη και αφού P n Q n, δηλαδή h Pn h Qn, βγάζουμε ότι η ακολουθία (3.3.14) log h Qn dv K S 1 δεν είναι φραγμένη. Αφού έχει όριο, συμπεραίνουμε ότι τείνει στο άπειρο, άρα το infimum στην (3.3.10) είναι ίσο με άπειρο, το οποίο είναι άτοπο. Άρα, η {Q n } είναι φραγμένη. Εφόσον η {Q n } είναι φραγμένη, έχει δ H -συγκλίνουσα υπακολουθία (βλέπε Gruber σελ. 85) άρα υπάρχει 0-συμμετρικό κυρτό σώμα K 0 όγκου 1, τέτοιο ώστε δ H (K 0, Q ni ) 0

49 3.3. ΣΤΟ ΕΠ ΙΠΕΔΟ 45 καθώς n i. Επομένως έχουμε ομοιόμορφη σύγκληση των συναρτήσεων στήρηξης h Qni στην h K0 και αφού ο λογάριθμος είναι ομοιόμορφα συνεχής στα κλειστά διαστήματα έπεται η ομοιόμορφη σύγκληση log h Qni Τέλος log h K0, άρα log h Qni dv K log h K0 dv K. S 1 S 1 inf log h Q dv K = lim log h Qni dv K Q Ke 2 S 1 n i S 1 V (Q)=1 = log h K0 dv K. S 1 Τώρα είμαστε έτοιμοι να δείξουμε τη λογαριθμική ανισότητα Minkowski στο επίπεδο, από όπου παίρνουμε και τη λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski μέσω του Λήμματος 3.2.1, άρα και όλες τις L p -ανισότητες Brunn-Minkowski για p > 0. Θεώρημα Αν K, L R 2 είναι δύο 0-συμμετρικά κυρτά σώματα, τότε (3.3.15) log h L dv K 1 V (L) log S 1 h K 2 V (K) Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα K, L είναι διαστολές ή παραλληλόγραμμα με παράλληλες πλευρές. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε την κανονικοποιημένη εκδοχή, δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι για 0- συμμετρικά κυρτά σώματα K, L με V (K) = (L) = 1 ισχύει ότι (3.3.16) log h L dv K S 1 log h K dv K, S 1 με ισότητα αν και μόνο αν τα K, L είναι ομοιοθετικά ή παραλληλόγραμμα με παράλληλες πλευρές. Γιατί η εφαρμογή του για τα K = ή, ισοδύναμα, V K (S 1 ) log K V (K) 1 2 και L = S 1 log h L h K L V (L) 1 2 dv K 0,, έχουμε ( V (K) ) log h L dv K 0. V (L) S 1 h K Για την απόδειξη σταθεροποιούμε το K και διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις:

50 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI Το K δεν είναι παραλληλόγραμμο: Γνωρίζουμε από το Λήμμα ότι υπάρχει K 0 Ke 2 με V (K 0 ) = 1 τέτοιο ώστε (3.3.17) log h L dv K S 1 log h K0 dv K. S 1 για κάθε L K 2 e με V (L) = 1. Θα συμπεράνουμε ότι V K0 = V K επομένως απο το Θεώρημα , αφού το K δεν είναι παραλληλόγραμμο, έπεται ότι K 0 = K άρα (3.3.16). Αφού τα V K και V K0 είναι άρτια μέτρα, αρκεί να δείξουμε ότι (3.3.18) f(u) dv K0 = S 1 f(u) dv K S 1 για κάθε f C e (S 1 ). Παίρνουμε f : S 1 R άρτια και συνεχή, και για μικρό δ 0 > 0 θεωρούμε την οικογένεια των κυρτών σωμάτων {Q t } t που κατασκευάζονται ως τα χωρία Wulff των συνεχών συναρτήσεων q(, ) : ( δ 0, δ 0 ) S 1 R με Δηλαδή, q t (u) := q(t, u) = h K0 (u)e tf(u). Q t = u S 1 {x R 2 : x, u q t (u)}. Παρατηρούμε ότι τα Q t είναι 0-συμετρικά, με Q 0 = K 0 και Q t K 0 για t < 0, Q t K 0 για t > 0. Ορίζουμε F : ( δ 0, δ 0 ) R με F (t) = V (Q t ) 1 2 exp { S 1 log q t dv K Η f είναι φραγμένη στην S n 1, άρα η σύγκλιση q t q 0 t h K0 (u)f(u) είναι ομοιόμορφη στη S n 1, καθώς το t 0, επομένως το Λήμμα βγάζει ότι η F είναι παραγωγίσιμη στο t = 0 και, επιπλέον, d V (Q t ) = h K0 (u)f(u) ds K0. dt t=0 S n 1 Υπολογίζουμε d F (t) = d } V (Q t ) 1 2 exp q 0 dv K + V (Q 0 ) dt t=0 dt t=0 {S 1 d { } 2 exp log q t dv K 1 dt t=0 S [ 1 = 1 2 V (Q 0) 3 d 2 V (Q t ) + d ] { } log q t dv K exp log h K0 dv K dt t=0 dt t=0 S 1 S [ 1 = 1 ] { } (3.3.19) h K0 f ds K0 + f dv K exp log h K0 dv K. 2 S 1 S 1 S 1 }.

51 3.3. ΣΤΟ ΕΠ ΙΠΕΔΟ 47 Θα δούμε ότι η λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης (3.3.7) κάνει την F να παίρνει ελάχιστη τιμή στο t = 0. Ορίζουμε M : ( δ 0, δ 0 ) R με M(t) = V (Q t ) 1 2 exp {S 1 log h Qt dv K }, και, επειδή V K (S n 1 ) = V (K) = 1, επίσης έχουμε { M(t) = exp log h S 1 Q t V (Q t ) 1 2 dv K }. Επειδή οι όγκοι των Q t V (Q t) 1 2 είναι ίσοι με 1, από την (3.3.17) συμπεραίνουμε ότι η M παίρνει ελάχιστη τιμή στο t = 0. Επίσης, παρατηρούμε ότι M(0) = F (0) και M F γιατί h Qt q t. Από αυτά τα τρία βγάζουμε ότι η F παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο t = 0, άρα η παράγωγος της F στο μηδέν είναι μηδέν, επομένως από την (3.3.19) έχουμε S 1 f dv K = 1 2 S 1 fh K0 ds K0, το οποίο μας δίνει την (3.3.18). Επομένως δείξαμε ότι K 0 = K δηλαδή log h L dv K log h K dv K. S 1 S 1 με ισότητα αν και μόνο αν K = L. Το Κ είναι παραλληλόγραμμο: Μπορούμε να γράψουμε K = I 1 + I 2, όπου I 1, I 2 είναι δύο 0-συμμετρικά ευθύγραμμα τμήματα, παράλληλα στις πλευρές του K. Τότε, h K = h I1 + h I2. Γράφουμε I 1 = α 1 [ u 1, u 1 ] και I 2 = α 2 [ u 2, u 2 ] όπου α 1, α 2 > 0, u 1, u 2 S 1 (και με την αγκύλη εννοούμε το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα αντίστοιχα διανύσματα). στήριξης του K παίρνει την ακόλουθη μορφή: h K (u) = α 1 u 1, u + α 2 u 2, u. Επίσης αφού το K είναι παραλληλόγραμμο συμπεραίνουμε και κρατάμε ότι Ετσι, η συνάρτηση (3.3.20) supps K = {±u 1, ±u 2 } (όπου supp ο φορέα του S K ) και (3.3.21) V (K) = V K (S 1 ) = 2α 1 2α 2 sin(u 1, u 2 ) = 4α 1 α 2 cos(u 1, u 2 ) = 4α 1 α 2 u 1, u 2.

52 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI Από τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε (3.3.22) log h L dv K = 2 log h L (u 1 )V K (u 1 ) + 2 log h L (u 2 )V K (u 2 ) S 1 = 2 log h L (u 1 )α 1 α 2 u 1, u log h L (u 2 )α 1 α 2 u 1, u 2 = 1 2 log h L(u 1 ) log h L(u 2 ) = log ( h L (u 1 )h L (u 2 ) ) 1 2. όπου στην τρίτη ισότητα χρησιμοποιήθηκε ότι V (K) = 1. Τώρα, θεωρούμε το μικρότερο παραλληλόγραμμο P, που περιέχει το L και έχει παράλληλες πλευρές στο K, δηλαδή αυτό που οι πλευρές του οριοθετούνται από το L. Τότε, (3.3.23) V (P ) = 4h L (u 1 )h L (u 2 ) u 1, u 2 1 = 16α 1 α 2 h L (u 1 )h L (u 2 ), όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήθηκε πάλι η υπόθεση ότι V (K) = 1. Τώρα, το P περιέχει το L, άρα 1 = V (L) V (P ), και έτσι από την (3.3.23) έχουμε (3.3.24) 1 16α 1 α 2 h L (u 1 )h L (u 2 ). Από τις (3.3.22), (3.3.24) καταλήγουμε στην (3.3.25) S 1 log h L dv K log ( 1 16α 1 α 2 ) 1 2 = log ( h K (u 1 )h K (u 2 ) ) 1 2 = log h K dv K, S 1 όπου για την προτελευταία ισότητα χρησιμοποιούμε την V (K) = 1 και αντικαθιστούμε το P με K στην (3.3.23), ενώ η τελευταία ισότητα ισχύει για τους ίδιους λόγους με την (3.3.22). Τέλος, ισότητα στην (3.3.25) σημαίνει ισότητα στην (3.3.24), το οποίο με την σειρά του σημαίνει ότι το L είναι παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές παράλληλες προς τις πλευρές του K. 3.4 Για τα unconditional σώματα του R n Σε αυτή την παράγραφο παρουσιάζουμε την απόδειξη του Σαρόγλου για τη λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski στην περίπτωση που τα K και L είναι unconditional κυρτά σώματα στον R n. Ορισμός Ενα 0-συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R n λέγεται unconditional αν η συνήθης ορθοκανονική βάση {e 1,..., e n } του R n είναι unconditional βάση για τη νόρμα K που επάγεται

53 3.4. ΓΙΑ ΤΑ UNCONDITIONAL Σ ΩΜΑΤΑ ΤΟΥ R N 49 από το K στον R n. Δηλαδή αν για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών t 1,..., t n και κάθε επιλογή προσήμων ε i = ±1 ισχύει ε 1 t 1 e ε n t n e n K = t 1 e t n e n K. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι αν x = (x 1,..., x n ) K τότε το ορθογώνιο n i=1 [ x i, x i ] περιέχεται στο K. Ενας άλλος τρόπος να σκεφτόμαστε την ίδια ιδιότητα είναι να πούμε ότι το K είναι συμμετρικό ως προς όλα τα υπερεπίπεδα συντεταγμένων e i := {x R n : x i = 0}. Η ιδιότητα αυτή έχει ως συνέπεια ότι η προβολή P i (K) στον e i ταυτίζεται με την τομή K e i για κάθε i = 1,..., n. Θα λέμε επίσης ότι ένα κυρτό σώμα K στον R n είναι ανάγωγο αν δεν μπορεί να γραφτεί σαν καρτεσιανό γινόμενο unconditional κυρτών σωμάτων. Με αυτούς τους ορισμούς ο Σαρόγλου απέδειξε το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα Εστω K και L δύο unconditional κυρτά σώματα. Για κάθε λ (0, 1) ισχύει η ανισότητα (3.4.1) V n ((1 λ)k + o λl) V n (K) 1 λ V n (L) λ. Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν οποτεδήποτε K = K 1 K m για κάποια ανάγωγα unconditional κυρτά σώματα, υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί c 1,..., c m τέτοιοι ώστε L = c 1 K 1 c m K m. Η απόδειξη χρησιμοποιεί την ανισότητα Prékopa-Leindler, τη συναρτησιακή δηλαδή μορφή της ανισότητας Brunn-Minkowski. Θεώρημα Εστω λ (0, 1) και f, g, h : R n R + ολοκληρώσιμες συναρτήσεις με την ιδιότητα ότι, για κάθε x, y R n, Τότε, (3.4.2) h((1 λ)x + λy) f(x) 1 λ g(y) λ. ( ) 1 λ ( ) λ h(z) dz f(x) dx g(y) dy. R n R n R n Για τη μελέτη και τον χαρακτηρισμό της περίπτωσης ισότητας στο Θεώρημα θα χρειαστούμε τον ακόλουθο χαρακτηρισμό της περίπτωσης ισότητας στην ανισότητα Prékopa-Leindler: Αν ισχύει ισότητα στην (3.4.2) τότε f(x) dx (3.4.3) f(x) = Rn R g(y) dy qn g(qx + b) n για κάποιον q > 0 και κάποιο b R n.

54 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI Λήμμα Εστω K, L unconditional κυρτά σώματα στον R n. Για κάθε 0 λ 1 ορίζουμε K 1 λ L λ = {(± x 1 1 λ y 1 λ,..., ± x n 1 λ y n λ ) : (x 1,..., x n ) K, (y 1,..., y n ) L}. Τότε, (1 λ)k + o λl K 1 λ L λ. Απόδειξη. Από την υπόθεση ότι τα K και L είναι unconditional έπεται ότι τα K 1 λ L λ και (1 λ)k + o λl είναι επίσης unconditional. Για το πρώτο αυτό είναι άμεσο από τον ορισμό, ενώ για το δεύτερο αρκεί να παρατηρήσουμε ότι αν K είναι ένα unconditional κυρτό σώμα τότε h K (u) = h K ((±u 1,..., ±u n )) για κάθε u = (u 1,..., u n ) S n 1. Αφού το ίδιο ισχύει για το L, παίρνουμε την αντίστοιχη ισότητα για την h 1 λ K hλ L. Με βάση αυτή την παρατήρηση αρκεί να αποδείξουμε ότι (1 λ)(k R n +) + o λ(l R n +) (K 1 λ L λ ) R n +. Επιπλέον, μπορούμε να περιγράψουμε το αριστερό μέλος αυτού του εγκλεισμού ως εξής: (1 λ)(k R n +) + o λ(l R n +) = {x R n + : x, u h 1 λ K (u)hλ L(u) για κάθε u S n 1 R n +}. Εστω x K R n +, y L R n + και u S n 1 R n +. Ορίζουμε X = ((x 1 u 1 ) 1 λ,..., (x n u n ) 1 λ ), Y = ((y 1 u 1 ) λ,..., (y n u n ) λ ). Από την ανισότητα Hölder βλέπουμε ότι (x 1 λ 1 y1 λ,..., x 1 λ n yn), λ u X 1 Y 1 1 λ λ = x, u 1 λ y, u λ h 1 λ K (u)hλ L(u), το οποίο αποδεικνύει ότι (x 1 λ 1 y1 λ,..., x1 λ n yn) λ (1 λ)(k R n +) + o λ(l R n +), και το λήμμα έπεται. Από το Λήμμα βλέπουμε ότι για την απόδειξη του Θεωρήματος μένει να δείξουμε ότι V n (K 1 λ L λ ) V n (K) 1 λ V n (L) λ και να διερευνήσουμε την περίπτωση της ισότητας. Πρόταση Εστω K, L unconditional κυρτά σώματα στον R n και έστω λ (0, 1). Τότε, (3.4.4) V n (K 1 λ L λ ) V n (K) 1 λ V n (L) λ. Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν υπάρχει θετικά ορισμένος διαγώνιος πίνακας T τέτοιος ώστε L = T (K).

55 3.4. ΓΙΑ ΤΑ UNCONDITIONAL Σ ΩΜΑΤΑ ΤΟΥ R N 51 Απόδειξη. Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x) = 1 K R n + (x), g(x) = 1 L R n + (x), h(x) = 1 (K 1 λ L λ ) R n (x). + Κατόπιν ορίζουμε f(x) = f(e x 1,..., e xn )e x 1+ +x n, g(x) = g(e x 1,..., e xn )e x 1+ +x n, h(x) = h(e x 1,..., e xn )e x 1+ +x n. Παρατηρούμε ότι αν (e x 1,..., e xn ) K R n + και (e y 1,..., e yn ) L R n + τότε ( (e x 1 ) 1 λ (e y 1 ) λ,..., (e xn ) 1 λ (e yn ) λ) (K 1 λ L λ ) R n +. Συνεπώς, 1 (K 1 λ L λ ) R n (e(1 λ)x 1+λy 1,..., e (1 λ)xn+λyn ) + 1 K R n + (e x 1,..., e xn ) 1 L R n + (e y 1,..., e yn ). Από τον ορισμό των f, g και h έπεται ότι h((1 λ)x + λy) f(x) 1 λ g(x) λ για κάθε x, y R n. Εφαρμόζοντας την ανισότητα Prékopa-Leindler παίρνουμε ( ) 1 λ ( ) λ (3.4.5) h(z) dz f(x) dx g(y) dy. R n R n R n Τώρα, κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής z i e z i V n (K 1 λ L λ ) = 2 n R n + h(z) dz για i = 1,..., n βλέπουμε ότι = 2 R n h(z) dz n ) 1 λ (2 n f(x) dx (2 n g(y) dy R n R n ) 1 λ = (2 n f(x) dx (2 n g(y) dy R n + = V n (K) 1 λ V n (L) λ. Αυτό αποδεικνύει την (3.4.4). Παρατηρούμε τώρα ότι ισότητα ισχύει αν και μόνο αν έχουμε ισότητα στην (3.4.5). Από την (3.4.3) αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν υπάρχουν c > 0, q R και b R n τέτοια ώστε (3.4.6) f(x) = cg(qx + b). R n + ) λ ) λ

56 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI Η σχέση αυτή παίρνει τη μορφή 1 K R n + (e x 1,..., e xn )e x 1+ +x n = c1 L R n + (e qx 1+b 1,..., e qxn+bn )e q(x 1+ +x n)+(b 1 + +b n). Παρατηρούμε ότι το σύνολο {x R n : (e x 1,..., e xn ) K, (e qx 1+b 1,..., e qxn+bn ) L} έχει μη κενό εσωτερικό. Σε συνδυασμό με την (3.4.6) αυτό μας δίνει ότι υπάρχει μια σταθερά c > 0 τέτοια ώστε να ισχύει η e x 1+ +x n = c e q(x 1+ +x n) για όλα τα x σε κάποιο μη κενό ανοικτό υποσύνολο του R n. Επεται ότι q = 1 και η (3.4.6) γίνεται 1 K R n + (e x 1,..., e xn ) = c 1 L R n + (e b 1 e x 1,..., e bn e xn ), x R n. Άρα, L = T (K), όπου T = diag(e b 1,..., e bn ). Αντίστροφα, αν το K είναι unconditional και L = T (K) για κάποιον θετικά ορισμένο διαγώνιο πίνακα diag(a 1,..., a n ), τότε εύκολα ελέγχουμε ότι ισχύει ισότητα στην (3.4.4). 3.5 Η B-ιδιότητα Μια συνάρτηση f : A R n R + λέγεται λογαριθμικά κοίλη αν το πεδίο ορισμού της A είναι κυρτό σύνολο και f(λx + (1 λ)y) f(x) λ f(y) 1 λ για κάθε x, y A και λ (0, 1). Αν η f είναι γνησίως θετική τότε ο παραπάνω ορισμός είναι ισοδύναμος με το να πούμε ότι η log f είναι κοίλη δηλαδή log f(λx + (1 λ)y) λ log f(x) + (1 λ) log f(y). Είναι προφανές ότι αν η f είναι κοίλη τότε η f είναι λογαριθμικά κοίλη, από την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου που λέει ότι λx + (1 λ)y x λ y 1 λ. Επίσης, αν οι f, g είναι γνησίως θετικές και λογαριθμικά κοίλες τότε η f g είναι λογαριθμικά κοίλη, γιατί log (fg) = log f + log g, άρα η log (fg) είναι κοίλη. Ορισμός Εστω µ ένα μέτρο Borel στον R n. Θα λέμε ότι το µ έχει την B-ιδιότητα αν για κάθε 0-συμμετρικό κυρτό σώμα K R n και για κάθε t 1,..., t n > 0 η συνάρτηση s µ ( diag(t s 1,..., t s n)k )

57 3.5. Η B-ΙΔΙ ΟΤΗΤΑ 53 είναι λογαριθμικά κοίλη. Με diag(c 1,..., c n ) συμβολίζουμε τον διαγώνιο πίνακα με στοιχεία της διαγωνίου τους c 1,..., c n. Επίσης, θα λέμε ότι το µ έχει την ασθενή B-ιδιότητα αν το παραπάνω ισχύει για κάθε t 1 = = t n, δηλαδή αν, για κάθε t > 0, η συνάρτηση είναι λογαριθμικά κοίλη. s µ ( t s K ) Ορισμός Εστω K R n 0-συμμετρικό κυρτό σώμα. Το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας µ K του K είναι το µ K (A) = V n(k A) V n (K) Θεώρημα Αν ισχύει η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski στον R n, τότε: (i) Για κάθε 0-συμμετρικό κυρτό σώμα K R n το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας µ K έχει την ασθενή B-ιδιότητα. (ii) Το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας του n-διάστατου κύβου µ [ 1 2, 1 2 ]n έχει την B-ιδιότητα. Απόδειξη. (i) Παίρνουμε δύο 0-συμμετρικά κυρτά σώματα K, L R n και d > 0. Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση s µ K (d s L) = V n(k d s L) V n (K) είναι λογαριθμικά κοίλη, δηλαδή για s, t > 0 και λ (0, 1) θα δείξουμε ότι (3.5.1) V n (K d λs+(1 λ)t L) V n (K d s L) λ V n (K d t L) 1 λ. Θέτουμε Q λ := K d λt+(1 λ)s L και ισχυριζόμαστε ότι (3.5.2) Q λ λ Q 0 + o (1 λ) Q 1. Από τον ισχυρισμό και τη λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski θα έχουμε V n (Q λ ) V n (λ Q 0 + o (1 λ) Q 1 ) V n (Q 0 ) λ V n (Q 1 ) 1 λ, από όπου παίρνουμε την (3.5.1). Για την απόδειξη του ισχυρισμού (3.5.2) θεωρούμε x λ Q 0 + o (1 λ) Q 1 και u S n 1. Τότε, x, u h λ Q 0 (u)h 1 λ Q 1 (u) = h λ K d s L (u)h1 λ K d t L (u) min{h K (u), h d s L(u)} λ min{h K (u), h d t L(u)} 1 λ min{h K (u), h λ d s L (u)h1 λ d t L (u)}.

58 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI Ετσι, από τη μία έχουμε ότι x, u h K (u) άρα x K, και από την άλλη έχουμε άρα x d sλ+(1 λ)t L, επομένως x Q λ. x, u h λ d s L (u)h1 λ d t L (u) = h d sλ+(1 λ)t L (u) (ii) Παίρνουμε K R n 0-συμμετρικό, κυρτό σώμα και t 1,..., t n > 0. Συμβολίζουμε με C n = [ 1 2, 1 2 ]n τον n-διάστατο κύβο. Θα δείξουμε ότι η συνάρτηση s µ Cn (diag(t s 1,..., t s n)k) = V n (C n diag(t s 1,..., t s n)k) είναι λογαριθμικά κοίλη. Επειδή V n (T K) = det T V n (K) για κάθε γραμμική απεικόνιση T, έχουμε ότι V n (C n diag(t s 1,..., t s n)k) = 1 (t 1 t n ) s V n(diag(r s 1,..., r s n)c n K), όπου r i = t 1 i, i = 1,..., n. Αφού η συνάρτηση s 1 (t 1 t n) s είναι λογαριθμικά κοίλη, και το γινόμενο λογαριθμικά κοίλων συναρτήσεων είναι λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση, αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση (3.5.3) s V n (diag(r s 1,..., r s n)c n K) είναι λογαριθμικά κοίλη. Παίρνουμε s, t R και λ (0, 1) και θέτουμε Q λ = C n (λ) K όπου C n (λ) = diag(r λs+(1 λ)t 1,..., rn λs+(1 λ)t )C n. Ισχυριζόμαστε ότι Q λ λ Q 1 + o (1 λ) Q 0. Από τον ισχυρισμό και τη λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski έπεται άμεσα ότι η συνάρτηση (3.5.3) είναι λογαριθμικά κοίλη. Απομένει να δείξουμε τον ισχυρισμό. Αρχικά, για x λ Q 1 + o (1 λ) Q 0 και u S n 1, βλέπουμε ότι x, u h λ Q 1 (u)h 1 λ Q 0 άρα x K. Επίσης παρατηρούμε ότι [ C n (λ) = 1 2 rλs+(1 λ)t 1, 1 ] 2 rλs+(1 λ)t 1 (u) h λ K(u)h 1 λ (u) = h K(u), K [ επομένως, αν e 1,..., e n είναι η συνήθης βάση του R n, έχουμε x, e i h λ Q 1 (e i )h λ Q 0 (e i ) h λ C n(1) (e i)h λ C n(0) (e i) = = h Cn(λ)(e i ), άρα x C n (λ), επομένως x Q λ. 1 2 rλs+(1 λ)t n, 1 2 rλs+(1 λ)t n ( ) 1 λ ( ) 1 1 λ 2 rs i 2 rt i ],

59 3.5. Η B-ΙΔΙ ΟΤΗΤΑ 55 Θεώρημα Αν, για κάθε n 1, το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας του n-διάστατου κύβου µ [ 1 2, 1 2 ]n έχει την B-ιδιότητα, τότε η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski ισχύει σε όλους τους R n. Απόδειξη. Εστω n N. Θα δείξουμε ότι η λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski ισχύει στον R n. Παίρνουμε ακέραιο m n, θετικούς αριθμούς r 1,..., r m και s 1,..., s m, και μοναδιαία διανύσματα v 1,..., v m S n 1. Θεωρούμε την τομή των λωρίδων R λ = m {x R n : x, v i ri λ s 1 λ i }, i=1 όπου λ [0, 1]. Αρκεί να αποδειχθεί ότι (3.5.4) V n (R λ ) V n (R 0 ) 1 λ V n (R 1 ) λ για κάθε λ [0, 1]. Γιατί έχοντας δείξει την (3.5.4) για κάθε λ (0, 1) και m, r i, s i, v i, i = 1,..., m παίρνουμε τη λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski με επιχείρημα προσέγγισης. Διακόπτουμε την απόδειξη για μια περαιτέρω ανάλυση του επιχειρήματος προσέγγισης. Εστω K, L 0-συμμετρικά κυρτά σώματα στον R n. Θεωρούμε την ακουλουθία συνόλων B m = {v i : i = 1,..., m} S n 1 και ορίζουμε R m λ m = {x R n : x, v i h K (v i ) λ h L (v i ) 1 λ }. i=1 Επιλέγοντας κατάλληλα την ακολουθία B m ώστε η σύγκλιση h R m λ h λ K h1 λ L να είναι ομοιόμορφη, τότε από το Λήμμα θα έχουμε τη σύγκλιση Rλ m λ K + o(1 λ) L από όπου παίρνουμε την σύγκλιση των αντίστοιχων όγκων, και αφού (3.5.5) V n (R m λ ) V n(r m 0 ) 1 λ V n (R m 1 ) λ (για μεγάλα m) καταλήγουμε στην λογαριθμική ανισότητα Brunn-Minkowski. Για να δείξουμε την (3.5.4), ορίζουμε F (λ) : = m R n i=1 = V n (R λ ), άρα θέλουμε για κάθε λ [0, 1] να ισχύει 1 [ r λ i s 1 λ i,ri λs1 λ i ] ( x, v i ) dx = 1 Rλ (x) dx R n F (λ) F (0) 1 λ F (1) λ.

60 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Η ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ BRUNN-MINKOWSKI Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει, δηλαδή ότι F (λ) < F (0) 1 λ F (1) λ m, r i, s i, v i, i = 1,..., m). Για u R m, ορίζουμε F u (λ) = m R n i=1 1 [ r λ i s 1 λ i,ri λs1 λ i ] ( x, v i + u i ) dx. για κάποιο λ (και για κάποια Από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης έχουμε ότι F u (λ) F 0 (λ) καθώς u 0, και επειδή F 0 (λ) < F 0 (0) 1 λ F 0 (1) λ έπεται ότι υπάρχει ɛ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε u [ ɛ, ɛ] m να ισχύει (3.5.6) F u (λ) < F u (0) 1 λ F u (1) λ. Για το προηγούμενο ɛ > 0 ορίζουμε G ɛ (λ) = F u (λ) du. u [ ɛ,ɛ] m Ετσι, από την (3.5.6) και την ανισότητα Hölder έχουμε G ɛ (λ) < F u (0) 1 λ F u (1) λ du u [ ɛ,ɛ] m ( ) 1 λ ( (3.5.7) F u (0) F u (1) u [ ɛ,ɛ] m u [ ɛ,ɛ] m = G 1 λ ɛ (0)G λ ɛ (1), δηλαδή η G ɛ δεν είναι λογαριθμικά κοίλη συνάρτηση του λ. Θα δούμε ότι λόγω της B-ιδιότητας του ομοιόμορφου μέτρου πιθανότητας του (n + m)-διάστατου κύβου η G ɛ πρέπει να είναι λογαριθμικά κοίλη και έτσι θα καταλήξουμε σε άτοπο. Σημειώνουμε ότι το γεγονός ότι η G ɛ ορίσθηκε ως ολοκλήρωμα πάνω σε έναν m-διάστατο κύβο, είναι βασικό στοιχείο για την απόδειξη του ότι είναι λογαριθμικά κοίλη. Γράφουμε G ɛ (λ) = x R n m 1 [ r λ u R m i s 1 λ i,ri λs1 λ i i=1 και κάνοντας γραμμική αλλαγή μεταβλητής (w i = x, v i + u i ) έχουμε Θέτουμε G ɛ (λ) = x R n m 1 [ r λ w R m i s 1 λ i,ri λs1 λ i i=1 ) λ ] ( x, v i + u i )1 [ ɛ,ɛ] (u i ) du dx, ] (w i)1 [ ɛ,ɛ] (w i x, v i ) dw dx. λ = {(x, w) R n R m : w i ri λ si 1 λ, w i x, v i < ɛ}, οπότε G ɛ (λ) = V n ( λ ). Τώρα παρατηρούμε ότι για (x, w) λ έχουμε r λ i s 1 λ i ɛ x, v i r λ i s 1 λ i + ɛ,

61 3.5. Η B-ΙΔΙ ΟΤΗΤΑ 57 άρα x m i=1 {y Rn : y, v i ri λs1 λ i + ɛ} =: E. Επειδή στο δεύτερο σκέλος της απόδειξης θα γίνει ένα επιχείρημα προσέγγισης, μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα {v i } παράγουν τον R n και έτσι έχουμε ότι το Ε είναι φραγμένο, (ειδικότερα είναι κυρτό σώμα). Άρα, υπάρχει (μεγάλος) b > 0 τέτοιος ώστε λ { (x, w) R n R m : x i b } =: Γ. 2 Για αυτόν τον b > 0 θέτουμε { K = (x, w) R n R m : x j b } 2, w i x, v i < ɛ T λ = diag(b,..., b, 2r λ 1 s 1 λ 1,..., 2r λ ms 1 λ m ), όπου ο T λ είναι διαγώνιος πίνακας στον R n+m. Ετσι, λ = λ Γ = K T λ C, όπου C = C n+m ο (n + m)-διάστατος κύβος. Άρα, (3.5.8) G ɛ (λ) = V n (K T λ C) = dett λ V n (T 1 λ K C) m = b n 2 m ri λ s 1 λ i V n (T 1 K C). i=1 λ Τώρα γράφουμε T 1 λ = diag Επομένως, για το ( ( s1 ) λ, ( sm ) ) λ 1,..., 1,..., diag(b 1,..., b 1, (2s 1 ) 1,..., (2s m ) 1 ). r 1 r m K := diag(b 1,..., b 1, (2s 1 ) 1,..., (2s m ) 1 )K έχουμε ότι ( ( ( V n (T 1 λ K C) = V s1 n diag 1,..., 1, ( = µ C (diag 1,..., 1, ) K C ) λ, ( sm ) λ )..., r 1 r m ( s1 ) λ, ( sm ) λ )..., K ). r 1 r m Το K είναι ένα (n+m)-διάστατο κυρτό 0-συμμετρικό σώμα, επομένως από την υπόθεση η συνάρτηση λ V n (T 1 λ K C) είναι λογαριθμικά κοίλη, άρα η G ɛ(λ) είναι λογαριθμικά κοίλη ώς γινόμενο των λογαριθμικά κοίλων συναρτήσεων (3.5.8), το οποίο έρχεται σε αντίφαση με την (3.5.7).

62

63 Κεφάλαιο 4 Πρόβλημα Minkowski Το γενικό πρόβλημα του Minkowski είναι να χαρακτηριστούν τα Borel μέτρα S j (K, ), C j (K, ) που ορίζονται στις (4.1.1), (4.1.2) παρακάτω. Για j = 0,..., n 1 τίθεται το: S j -Πρόβλημα: Να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ένα Borel μέτρο µ πάνω στη σφαίρα S n 1, ώστε το µ να είναι το S j (K, )-μέτρο ενός κυρτού σώματος K στον R n. Τα προβλήματα αυτά είναι γνωστα ως «προβλήματα Minkowski-Christoffel». Το δυϊκό πρόβλημα Minkowski είναι το ίδιο πρόβλημα για τα C j (K, )-μέτρα. Για j = 0,..., n τίθεται το: C j -Πρόβλημα: Να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ένα Borel μέτρο µ πάνω στη σφαίρα S n 1, ώστε το µ να είναι το C j (K, )-μέτρο ενός κυρτού σώματος K στον R n. Θα δούμε ότι το επιφανειακό μέτρο S K και το cone-volume μέτρο V K που ορίστηκαν στην Παράγραφο 2.6 είναι τα μέτρα S 1 (K, ) και Cn (K, ) αντίστοιχα. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουμε το θεώρημα ύπαρξης του Minkowski που είναι η απάντηση στο S 1 -Πρόβλημα και ένα αποτέλεσμα των Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang που απάντησαν στο C n -πρόβλημα με την επιπλέον υπόθεση ότι το μέτρο µ είναι άρτιο. 4.1 Μέτρα στήριξης Υπενθυμίζουμε τον τύπο του Steiner που λέει ότι η συνάρτηση t V n (K +tb2 n ) είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ n, V n (K + tb n 2 ) = n j=0 ( ) n W j (K)t j, j όπου ο συντελεστής W j (K) ονομάζεται j-οστό quermassintegral του K. 59

64 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Εστω K K n και t > 0. Θεωρούμε την f t : (K + tb n 2 ) \ K Rn S n 1 με x (ρ(k, x), u(k, x)) όπου ρ(k, x) το κοντινότερο σημείο στο x από το K και u(k, x) το μοναδιαίο εξωτερικό κάθετο διάνυσμα στο ρ(k, x), δηλαδή u(k, x) = x ρ(k, x)/ x ρ(k, x). Η f t είναι συνεχής άρα μετρήσιμη, επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε το μέτρο εικόνα µ t (K, ) = V (ft 1 ( )) ως προς f t του μέτρου Lebesgue. Για η B(R n S n 1 ) το σύνολο f 1 t (η) = {x R n : 0 < d(k, x) t, (ρ(k, x), u(k, x)) η} λέγεται τοπικό παράλληλο σύνολο. Ο τοπικός τύπος του Steiner λέει ότι, η συνάρτηση t µ t (K, η) είναι πάλι πολυώνυμο βαθμού το πολύ n, µ t (K, η) = 1 n n 1 ( ) n Θ j (K, η)t n j j j=0 όπου ο όρος Θ j (K, ) ονομάζεται j-οστό μέτρο στήριξης ή γενικευμένο μέτρο καμπυλότητας του K [βλέπε Schneider, σελ. 230]. Πράγματι, τα Θ 1 (K, ),..., Θ n 1 (K, ) είναι πεπερασμένα θετικά μέτρα Borel στο R n S n 1 και επάγουν δύο ακολουθίες μέτρων. Μέτρα καμπυλότητας επιφανειακά μέτρα Για j = 0,..., n 1 θεωρούμε τα μέτρα (4.1.1) C j (K, β) := Θ j (K, β S n 1 ) για β B(R n ), S j (K, ω) := Θ j (K, R n ω) για ω B(S n 1 ). Τα C j (K, ) και S j (K, ω) ονομάζονται j-οστό μέτρο καμπυλότητας του K και j-οστό επιφανειακό μέτρο του K, αντίστοιχα. Τα μέτρα αυτά εμφανίζονται στον τοπικό τύπο του Steiner ως ειδικές περιπτώσεις των συνόλων A t (K, β) := {x R n : 0 < d(k, x) t, ρ(k, x) β} με β B(R n ), B t (K, ω) := {x R n : 0 < d(k, x) t, u(k, x) ω} με ω B(S n 1 ). Επαναλαμβάνουμε τον τοπικό τύπο του Steiner σε αυτά τα σύνολα και V (A t (K, β)) = 1 n V (B t (K, ω)) = 1 n n 1 ( ) n C j (K, β)t n j, j j=0 n 1 ( ) n S j (K, ω)t n j. j j=0 Το επόμενο θεώρημα δείχνει ότι τα μέτρα C j, S j στις ακραίες περιπτώσεις j = 0 και n 1 είναι το μέτρο Hausdorff κατάλληλων συνόλων, ειδικότερα τα μέτρο S n 1 (K, ) είναι το επιφανειακό μέτρο S K που ορίσθηκε στην Παράγραφο 2.6.

65 4.2. ΘΕ ΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟΥ MINKOWSKI 61 Θεώρημα Εστω K K n,β B(R n ) και ω B(S n 1 ). Τότε, Αν το K είναι n-διάστατο, τότε Απόδειξη. Βλέπε Schneider, σελ C 0 (K, β) = H n 1 (ν K (β K)), S 0 (K, ω) = H n 1 (ω). C n 1 (K, β) = H n 1 (β K), S n 1 (K, ω) = H n 1 (ν 1 K (ω)). Για να προσεγγίσουμε το cone-volume μέτρο με ανάλογο τρόπο, ξεκινάμε από το σύνολο B t (K, ω) = {x R n : (1 ρ K (x)) x t, ρ K (x)x ν 1 K (ω)}, γνωστό ώς τοπικό δυϊκό εξωτερικό παράλληλο σώμα, για το οποίο έχουμε την πολυωνυμική έκφραση V ( B t (K, ω)) = n j=0 ( ) n C n j (K, ω)t j, j γνωστή ως δυϊκό τοπικό τύπο του Steiner. Το μέτρο C j ονομάζεται j-οστό δυϊκό μέτρο καμπυλότητας και υπάρχει ολοκληρωτική αναπαράστασή του ως προς το μέτρο Hausdorff: C j (K, ω) = 1 (4.1.2) ρ K (u) j dh n 1 (u), n α K (ω) όπου αk (ω) = {u Sn 1 : cone-volume μέτρο V K ( ). ρ K (u)u ν 1 K (ω)}. Εύκολα βλέπουμε ότι το C n (K, ) είναι το 4.2 Θεώρημα ύπαρξης του Minkowski Το θεώρημα ύπαρξης του Minkowski απαντάει στο S 1 -πρόβλημα, γνωστό ως: Πρόβλημα Minkowski: Να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ένα Borel μέτρο µ πάνω στη σφαίρα S n 1, ώστε το µ να είναι το επιφανειακό μέτρο ενός κυρτού σώματος στον R n. Πρόταση Αν K K n είναι ένα n-διάστατο κυρτό σώμα, τότε το επιφανειακό μέτρο S K δεν συγκεντρώνεται σε καμία σφαίρα χαμηλότερης διάστασης (δηλ. σε σύνολο της μορφής ξ S n 1, όπου ξ υπόχωρος του R n ) και ικανοποιεί την S n 1 u ds K (u) = 0.

66 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι το S K συγκεντρώνεται σε σφαίρα χαμηλότερης διάστασης, έστω στην ξ S n 1. Αν πάρουμε H έναν ανοικτό ημίχωρο που περιέχει τον ξ στο σύνορό του, τότε S K (H S n 1 ) = 0. Από την άλλη πλευρά, το ν 1 K (H Sn 1 ) έχει θετικό n 1-διάστατο μέτρο Hausdorff και έτσι καταλήγουμε σε άτοπο. Παίρνουμε ακολουθία πολυτόπων P l που συγκλίνουν στο K. Τότε, από την ασθενή σύγκλιση των μέτρων S Pl στο μέτρο S K, έχουμε ότι για κάθε z R n lim l z, u ds Pl (u) = S n 1 z, u ds K (u). S n 1 Εστω {u 1,l,..., u Nl,l} τα εξωτερικά κάθετα διανύσματρα του P l. Τότε, N l z, u ds Pl (u) = z, u i,l S Pl ({u i,l }) = 0, S n 1 το οποίο έπεται από την (2.6.3) και αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Το θεώρημα ύπαρξης του Minkowski λέει οτι αυτές οι δύο συνθήκες είναι και ικανές. i=1 Θεώρημα (θεώρημα ύπαρξης του Minkowski). Εστω µ ένα Borel μέτρο στην S n 1. Υποθέτουμε ότι το µ δεν συγκεντρώνεται σε καμία σφαίρα χαμηλότερης διάστασης και ικανοποιεί τη συνθήκη S n 1 udµ(u) = 0 Τότε, υπάρχει μοναδικό, αν αγνοήσουμε μεταφορές, κυρτό σώμα K, τέτοιο ώστε µ = S K. Ο Minkowski απάντησε τη διακριτή περίπτωση, δίνοντας ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ένα μέτρο πάνω στη σφαίρα, με πεπερασμένο φορέα, ώστε να είναι το επιφανειακό μέτρο ενός πολυτόπου. Με άλλα λόγια, απάντησε στο εξής: Διακριτό πρόβλημα Minkowski Να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ένα σύνολο μοναδιαίων διανυσμάτων u 1,..., u m στον R n και ένα σύνολο πραγματικών αριθμών α 1,..., α m > 0 ώστε να υπάρχει ένα πολύτοπο με m έδρες στον R n οι έδρες του οποίου να έχουν εξωτερικά κάθετα διανύσματα τα u 1,..., u m και αντίστοιχους (n 1)-διάστατους όγκους ίσους με α 1,..., α m > 0. Θεώρημα (Minkowski). Εστω m N. Δίνονται μοναδιαία διανύσματα u 1,..., u m S n 1 και πραγματικοί αριθμοί α 1,..., α m > 0. Τα εξής είναι ισοδύναμα: (α) m j=1 α ju j = 0 και τα u j δεν ανήκουν όλα σε κάποιον ημίχωρο με την αρχή των αξόνων στο συνορό του. (β) Υπάρχει μοναδικό, αν αγνοήσουμε μεταφορές, πολύτοπο P με m έδρες, το οποίο έχει εξωτερικά κάθετα διανύσματα τα u j και αντίστοιχους (n 1)-διάστατους όγκους τα α j.

67 4.2. ΘΕ ΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟΥ MINKOWSKI 63 Απόδειξη. (β) (α). Θεωρούμε ότι το πολύτοπο που μας δίνει η υπόθεση είναι το P = {x : x, u j h P (u j ), j = 1,..., m}. Εστω ότι υπάρχει v 0 τέτοιο ώστε u j, v 0 για κάθε j. Τότε, εύκολα ελέγχουμε ότι για κάθε x P ισχύει επίσης x + tv P για κάθε t R. Αυτό έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση ότι το P είναι φραγμένο. Στη συνέχεια, για κάθε v S n 1 γράφουμε v, m α j u j = j=1 {j: v,u j >0} α j v, u j + {j: v,u j <0} α j v, u j. Η απόλυτη τιμή των δύο αθροισμάτων στο δεξιό μέλος ισούται με τον όγκο της προβολής του P στον v. Άρα, το άθροισμα αυτό ισούται με 0 για κάθε v, και αυτό μας δίνει την m j=1 α ju j = 0. (α) (β). Για την ύπαρξη του πολυτόπου θα χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange. Για κάθε m-άδα μη αρνητικών s i, ορίζουμε P (s) = {x : x, u j s j, j = 1,..., m}. Το σύνολο αυτό είναι πολύεδρο, και μπορούμε να δείξουμε ότι είναι πολύτοπο. Για το σκοπό αυτό αρκεί να δείξουμε ότι είναι φραγμένο, το οποίο προκύπτει από τη συνθήκη (α). Αν όχι, θα περιείχε μια ημιευθεία στη διεύθυνση κάποιου v, και τότε όλα τα u i θα ικανοποιούσαν την tv, u j s j για κάθε t > 0, άρα v, u j 0, το οποίο θα σήμαινε ότι ανήκουν όλα σε κάποιον ημίχωρο με την αρχή των αξόνων στο συνορό του, που είναι άτοπο από την υπόθεση. Εστω P (s) ένα πολύτοπο όπως παραπάνω, με έδρες F j (s) = {x P (s) : x, u j = s j }, j m (μπορεί να συμβεί να ισχύει F j (s) = για κάποια j). Η πρώτη παρατήρηση είναι ότι ο όγκος του P (s) σαν συνάρτηση του s είναι παραγωγίσιμη ως προς s 1,..., s m > 0, και η παράγωγός του ως προς s j ισούται με V n (P (s)) = V n 1 (F j (s)). s j Η συνάρτηση s V n (P (s)) παίρνει μέγιστη τιμή στο simplex S = {s 0 : m j=1 α js j = 1}. Αν αυτή πιάνεται σε κάποιο συνοριακό σημείο ŝ του S, τότε κάποιο από τα s j ισούται με 0, και τότε η αρχή των αξόνων είναι στο σύνορο του P (ŝ). Επιλέγουμε ένα διάνυσμα t = (t 1,..., t m ) τέτοιο ώστε 0 int(t + P (ŝ)). Παρατηρούμε ότι t + P (ŝ) = {x : x, u j ŝ j + u j, t, j = 1,... m} = P (s ), όπου s = ŝ + ( u 1, t,..., u m, t ), και ότι 0 int(p (s )), απ όπου έπεται ότι s j έχουμε m α j s j = j=1 m α j ŝ j + j=1 m α j u j, t = 1, j=1 > 0. Επίσης, γιατί έχουμε υποθέσει ότι m j=1 α ju j = 0. Συνεπώς, s relint(s). Αυτό το επιχείρημα μας επιτρέπει να υποθέσουμε ότι ο όγκος του P (s) μεγιστοποιείται σε κάποιο σημείο ŝ στο σχετικό εσωτερικό του S.

68 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Τότε, από τη θεωρία των πολλαπλασιαστών Lagrange, υπάρχει γ R τέτοιος ώστε ( V n (P (s)) γ m j=1 α ) js j (ŝ) = V n 1 (F j (ŝ)) γα j = 0, j = 1,..., m. s j Αφού ŝ j > 0 για κάθε j, βλέπουμε ότι το P (ŝ) έχει μη κενό εσωτερικό. Ειδικότερα, V n 1 (F j (ŝ)) 0 για τουλάχιστον μία τιμή του j, το οποίο αποδεικνύει ότι γ 0 και ŝ j = γ 1 V n 1 (F j (s)) για κάθε j = 1,..., m. Συνεπώς, το πολύτοπο γ 1 n 1 P (ŝ) ικανοποιεί το (β). Η μοναδικότητα προκύπτει από το Θεώρημα (2.6.5), γιατί αν P και Q είναι δύο πολύτοπα με εξωτερικά κάθετα διανύσματα u j και τα εμβαδά των αντίστοιχων εδρών τους είναι ίσα με α j, τότε S P = S Q. Θεώρημα (θεώρημα ύπαρξης του Minkowski). Εστω µ ένα Borel μέτρο στην S n 1. Υποθέτουμε ότι το µ δεν συγκεντρώνεται σε καμία σφαίρα χαμηλότερης διάστασης και ικανοποιεί τη συνθήκη S n 1 udµ(u) = 0 Τότε, υπάρχει μοναδικό, αν αγνοήσουμε μεταφορές, κυρτό σώμα K, τέτοιο ώστε µ = S K. Απόδειξη. Με τον όρο σφαιρικό κυρτό σύνολο εννοούμε την τομή της σφαίρας με έναν κυρτό κώνο με αρχή το μηδεν. Για κάθε m = 1, 2,..., έστω F m μια πεπερασμένη και ξένη διαμέριση της σφαίρας S n 1 σε σφαιρικά κυρτά σύνολα, διαμέτρου το πολύ 1/m. Εστω S 1,..., S l τα στοιχεία της F m που έχουν θετικό µ-μέτρο. Θέτουμε (4.2.1) ϱ i u i = 1 µ(s i ) S i u dµ(u), όπου 0 < ϱ i 1 και u i S n 1 για i = 1,..., l(= l(m)). Το ϱ i u i είναι το βαρύκεντρο του S i ως προς το μέτρο µ. Ορίζουμε S m διακριτά μέτρα Borel στη σφαίρα S n 1 ως εξής: S m (B) = u i B µ(s i )ϱ i, για κάθε B B(S n 1 ). Δείχνουμε τα εξής: (1) Η S m συγκλίνει ασθενώς στο µ καθώς το m : Εστω g : S n 1 R συνεχής. Τότε, g(u) ds m (u) g(u) dµ(u) = S n 1 S n 1 Αφού ϱ i u i conv(s i ) και diam(s i ) 1 m, έπεται ότι = l ( ) µ(s i )ϱ i g(u i ) g(u) dµ(u) S i l (ϱ i g(u i ) g(u)) dµ(u) S i i=1 i= m 2 ϱ i 1,

69 4.2. ΘΕ ΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟΥ MINKOWSKI 65 άρα 1 ϱ i g(u i ) g(u) g(u i ) g(u) + max g(u) } u Sn 1{ 2m 2. Η g είναι ομοιόμορφα συνεχής στην σφαίρα S n 1 και για u S i έχουμε u i u diams i 1 m, επομένως, καθώς m. g(u) ds m (u) g(u) dµ(u) 0 S n 1 S n 1 (2) Για μεγάλα m, υπάρχουν πολύτοπα P m τέτοια ώστε S m = S Pm : Από την υπόθεση και την (4.2.1) έχουμε 0 = u dµ(u) = S n 1 l i=1 S i u dµ(u) = l ϱ i µ(s i )u i = i=1 l α i u i, όπου α i = ϱ i µ(s i ) > 0. Από υπόθεση, υπάρχει 0 < τ < π 2 τέτοιο ώστε κάθε γεωδαισιακή μπάλα ακτίνας τ στην σφαίρα S n 1 να έχει θετικό μέτρο. Επομένως, για μεγάλα m κάθε ανοικτός ημίχωρος περιέχει ένα από τα S 1,..., S l και άρα περιέχει ένα από τα u 1,..., u l. Από το Θεώρημα (4.2.3) του Minkowski συμπεραίνουμε ότι, για όλα τα μεγάλα m υπάρχει πολύτοπο P m με εξωτερικά κάθετα διανύσματα στις έδρες του τα u i και αντίστοιχους (n 1)-διάσατους όγκους τα α i = ϱ i µ(s i ). Άρα S m = S Pm. (3) Η P m είναι φραγμένη: Από την (1) έχουμε για την επιφάνεια κατά Minkowski του P m ότι S(P m ) = l α i = i=1 i=1 l ϱ i µ(s i ) = S m (S n 1 ) µ(s n 1 ) > 0, i=1 άρα η ισοπεριμετρική ανισότητα δείχνει ότι η ακολουθία V (P m ) είναι άνω και κάτω φραγμένη, ας πούμε C 1 V (P m ) C 2 για κάποιες σταθερές. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι 0 P m, γιατι το επιφανειακό μέτρο είναι αναλλοίωτο ως προς μεταφορές. Για α R θέτουμε α + = max{α, 0} και για x P m γράφουμε x = x v x. Τότε για u S n 1 έχουμε h Pm (u) h [0,x] (u) = x ( u, v x ) + επειδή 0 P m, συνεπώς V (P m ) = 1 n = x n l i=1 > β x, h Pm (u i )α i x n n ( u i, v x ) + α i i=1 S n 1 ( u, v x ) + ds m (u) ( x n S n 1 ( u, v ) + dµ(u) όπου β θετική σταθερά ανεξάρτητη από το v x άρα και από το x. Δηλαδή, για μεγάλα m έχουμε x < V (Pm) β C 2 β για κάθε x P m και αυτό δείχνει το (3). )

70 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Αφού η P m είναι φραγμένη, υπάρχει P mj συγκλίνουσα υπακολουθία της P m και επειδή V (P m ) C 1 συμπεραίνουμε ότι υπαρχει K K n τέτοιο ώστε P mj K. Επεται η ασθενής σύγκλιση των μέτρων S mj = S Pmj S K, το οποίο μαζί με την (1) δίνει ότι µ = S K. Η μοναδικότητα έπεται από το Θεώρημα (2.6.5). Η συνεχής περίπτωση παρουσιάζει επίσης ενδιαφέρον γιατί συνδέεται με το εξής κλασσικό πρόβλημα του Minkowski: Αν μας δοθεί μια θετική συνάρτηση κ ορισμένη στη σφαίρα, μπορούμε να βρούμε κάποιο κυρτό σώμα που να έχει καμπυλότητα Gauss στο σημείο με εξωτερικό κάθετο διάνυσμα u ίση με κ(u); Η σχέση ανάμεσα στην καμπυλότητα Gauss και το επιφανειακό μέτρο είναι απλή: Δηλαδή, dv n 1 (u) = κ(u)dσ K (u). κ K (u) = lim B u V n 1 (B) σ K (B). Εδώ προφανώς υποθέτουμε ότι η καμπυλότητα Gauss είναι καλά ορισμένη, δηλαδή ότι το κυρτό σώμα K έχει C 2 -σύνορο. Μερικές φορές, στην περίπτωση που η κ δεν μηδενίζεται πουθενά, γράφουμε σ K (B) = B 1 κ(u) dv n 1(u). Η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα δίνεται από το θεώρημα ύπαρξης του Minkowski. 4.3 Άρτιο λογαριθμικό πρόβλημα Minkowski Σε αυτή την παράγραφο παρουσιάζουμε τη συνθήκη που έδωσαν οι Boroczky-Lutwak-Yang-Zhang στο C n -πρόβλημα με την επιπλέον υπόθεση ότι το μέτρο µ είναι άρτιο και είναι γνωστό ως: Άρτιο λογαριθμικό πρόβλημα Minkowski: Να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες για ένα άρτιο Borel μέτρο µ πάνω στη σφαίρα S n 1, ώστε το µ να είναι το cone-volume μέτρο ενός 0-συμμετρικού κυρτού σώματος στον R n. Ορισμός Εστω µ ένα πεπερασμένο μέτρο Borel πάνω στη σφαίρα S n 1. Λέμε ότι το µ ικανοποιεί την subspace concentration condition, για συντομία (SCC), αν ισχύουν τα ακόλουθα:

71 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 67 (α) Για κάθε υπόχωρο ξ του R n, τέτοιον ώστε 0 < dim ξ < n, ισχύει µ(ξ S n 1 ) dim ξ n µ(sn 1 ). (β) Αν έχουμε ισότητα στην (α) για κάποιον υπόχωρο ξ, τότε υπάρχει ξ συμπληρωματικός υπόχωρος του ξ στον R n, ώστε επίσης να έχουμε µ(ξ S n 1 ) = dim ξ n µ(sn 1 ). Αν ένα μέτρο µ ικανοποιεί την (α), τότε λέμε ότι ικανοποιεί την subspace concentration inequality, για συντομία (SCI), και αν την ικανοποιεί αυστηρά τότε λέμε ότι ικανοποιεί την strict subspace concentration inequality, για συντομία (SSCI). Η ιδιότητα (β) μπορεί να διατυπωθεί ισοδύναμα ως εξής: (β ) Αν έχουμε ισότητα στην (α) για κάποιον υπόχωρο ξ, τότε υπάρχει ξ συμπληρωματικός υπόχωρος του ξ στον R n, ώστε το µ να συγκεντρώνεται στην S n 1 (ξ ξ ), δηλαδή µ(ξ S n 1 ) + µ(ξ S n 1 ) = µ(s n 1 ). Οι Boroczky-Lutwak-Yang-Zhang δώσαν το εξής: Θεώρημα Εστω µ : B(S n 1 ) [0, µ ] ένα πεπερασμένο, μη-μηδενικό και άρτιο μέτρο Borel πάνω στην σφαίρα. Το µ είναι cone-volume μέτρο ενός 0-συμμετρικού κυρτού σώματος στον R n αν και μόνο αν ικανοποιεί την subspace concentration condition Τα cone-volume μέτρα ικανοποιούν την SCC Σε αυτή την υποπαράγραφο θα δούμε ότι τα cone-volume μέτρα των 0-συμμετρικών κυρτών σωμάτων ικανοποιούν τη συνθήκη (SCC). Η απόδειξη θα γίνει με τη μέθοδο της συμμετρικοποίησης. Συμμετρικοποίηση: Εστω K K n 0 και υπόχωρος ξ του Rn με m = dim ξ. Η συμμετρικοποίηση του K ως προς τον ξ είναι το σύνολο S ξ K = x P ξ K B n m r(x) (x), όπου B n m r(x) (x) είναι η (n m)-διάστατη μπάλα, μέσα στον αφινικό υπόχωρο x + ξ, με κέντρο το x και ακτίνα r(x) τόση ώστε V n m (B n m r(x) (x)) = V n m(k (ξ + x)). Με άλλα λόγια, η συμμετρικοποίηση του K ως προς τον υπόχωρο ξ προκύπτει με αντικατάσταση, για κάθε x P ξ K, του συνόλου K (ξ + x) με τη μπάλα B n m r(x) (x) x + ξ, κέντρου x και ακτίνας r(x), διαλεγμένη έτσι ώστε ω n m r(x) n m = V n m (K (x + ξ )).

72 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Ιδιότητες της συμμετρικοποίησης: (α) Ισχύει V n (S ξ K) = V n (K), από το θεώρημα Fubini. (β) Το S ξ K είναι κυρτό σώμα, από την ανισότητα Brunn-Minkowski. (γ) Αν το K είναι 0-συμμετρικό τότε και το συμμετρικοποιημνένο S ξ K είναι 0-συμμετρικό. Δηλαδή, η συμμετρικοποίηση διατηρεί τον όγκο και τις δύο παραπάνω γεωμετρικές ιδιότητες ενός συνόλου K και το κάνει να έχει μια επιπλέον έννοια συμμετρίας ως προς τον υπόχωρο ξ. Εργαλεία για χρήση: Y. 1. Αλλαγή μεταβλητής: Εστω (X, A, µ) χώρος μέτρου και έστω συνάρτηση f : (X, A, µ) Αν ορίσουμε ένα μέτρο ν στον Y μέσω της ν(a) = µ(f 1 (A)), τότε για κάθε μετρήσιμη συνάρτηση g : Y R ισχύει Y g(y) dν(y) = X g f(x) dµ(x). Το παραπάνω μέτρο ν λέγεται μέτρο εικόνα της f και συμβολίζεται με ν = f(µ). 2. Υπολογισμός όγκου με πολικές συντεταγμένες: Για κάθε K K0 n ισχύει V n (K) = 1 ρ K (u) n dh n 1 (u). n S n 1 Το παραπάνω είναι άμεσο από το γνωστό τύπο αλλαγής της ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγμένες f(x) dx = r n 1 f(ru) dr du, R n S n 1 0 και το γεγονός ότι 1 K (ru) = 1 αν και μόνο αν r ρ K (u), από όπου έπεται ότι 1 K (x) dx = R n S n 1 ρk (u) 0 r n 1 dr du. Θα συμβολίζουμε με K το S ξ K και με ν, ν τις απεικονίσεις Gauss των K και K αντίστιχα. Επίσης, θα γράφουμε B(x) αντί για B n m r(x) (x). Αν ένα κυρτό και συμπαγές C R n έχει διάσταση χαμηλότερη από n, θα συμβολίζουμε με C το σχετικό σύνορο του C ως προς την αφινική θήκη του C, και κρατάμε το συμβολισμό relintc για το σχετικό εσωτερικό του C. Για την (SCI), την πρώτη ιδιότητα της συνθήκης, θα χρειαστούμε το εξής: Λήμμα Εστω K K n 0 και ξ υπόχωρος του Rn τέτοιος ώστε 0 < dim ξ < n. Τότε, τα cone-volume μέτρα του K και του συμμετρικοποιημένου K ως προς το ξ, ικανοποιούν την V K (ξ S n 1 ) = V K(ξ S n 1 ).

73 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 69 Απόδειξη. Εστω m = dim ξ και έστω S m 1 = S n 1 ξ η σφαίρα του υποχώρου ξ. Για z R n, θα γράφουμε z = x + y, όπου x = P ξ z και y = P ξ z. Εστω επίσης d K (z) η απόσταση του υπερεπίπεδου, που στηρίζει το K στο z K, από το μηδέν. Παρατηρούμε τα εξής: (i) Αν z K τότε d K (z) = z, ν(z) = h K (ν(z)), γιατί cos θ = d K(z) z, όπου θ η γωνία ανάμεσα στα z, ν(z). (ii) Αν z = x + y ν 1 (S m 1 ) τότε x P ξ K, αλλιώς αν x relintp ξ K, λόγω συνέχειας της P ξ θα βγάζαμε ότι το z intk. (iii) Αν z ν 1 (S m 1 ) τότε d K (z) = d Pξ K(P ξ (z)), γιατί d K (z) = h K (ν(z)) = h Pξ K(ν(z)) = h Pξ K(ν Pξ K(P ξ z)) = d Pξ K(P ξ (z)), όπου ν Pξ K η απεικόνιση Gauss του P ξ K μέσα στον ξ. Πρέπει να δείξουμε τη δεύτερη και την τρίτη ισότητα. Για τη δεύτερη ισότητα, αν u S m 1 και z K τότε z, u = x, u h Pξ K(u), άρα h K (u) h Pξ K(u), και από την άλλη αν x P ξ K, υπάρχει y P ξ K τέτοιο ώστε z := x + y K, επομένως h K (u) z, u = x, u, άρα h K (u) h Pξ K(u). Για την τρίτη ισότητα, έχουμε P ξ z = x P ξ K, και έστω η υπερεπίπεδο στον ξ που στηρίζει το P ξ K στο x, δηλαδή ν Pξ K(x) η. Τώρα, το υπερεπίπεδο η + ξ του R n, στηρίζει το K στο z, άρα ν(z) (η + ξ ), επομένως ν(z) η αφού η + η + ξ = R n, άρα ν(z) = ν Pξ K(P ξ z). (4.3.1) Απο τους ορισμούς και την πρώτη παρατήρηση έχουμε V K (ξ S n 1 ) = V K (S m 1 ) = 1 n = 1 n Από την τρίτη παρατήρηση η (4.3.1) γίνεται V K (ξ S n 1 ) = 1 (4.3.2) n z ν 1 (S m 1 ) z ν 1 (S m 1 ) z ν 1 (S m 1 ) z, ν(z) dh n 1 (z) d K (z) dh n 1 (z). d Pξ K(P ξ (z)) dh n 1 (z). Θεωρούμε την προβολή P ξ : (ν 1 (S m 1 ), H n 1 ) ( P ξ K, σ), όπου σ το μέτρο εικόνα της P ξ, δηλαδή σ(a) = H n 1 (P 1 ξ (A)) για A P ξ K. Τότε, για κάθε g : P ξ K R έχουμε g P ξ dh n 1 = g dσ. ν 1 (S m 1 ) Θέτοντας g(x) = d Pξ K(x), η (4.3.2) γίνεται (4.3.3) Παρατηρούμε ότι V K (ξ S n 1 ) = 1 n σ(a) = x A x P ξ K P ξ K d Pξ K(x) dσ(x). V n m (K (x + ξ )) dh m 1 (x),

74 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI δηλαδή (4.3.4) dσ(x) = V n m (K (x + ξ )) dh m 1 (x), επομένως η (4.3.3) γίνεται V K (ξ S n 1 ) = 1 (4.3.5) n x P ξ K d Pξ K(x)V n m (K (x + ξ )) dh m 1 (x). Ομοίως, όπως πήγαμε από την (4.3.1) στην (4.3.5), βγάζουμε V K(ξ S n 1 ) = 1 (4.3.6) d n K(x)V Pξ n m (B(x)) dh m 1 (x). x P ξ K ( Ετσι δείξαμε την επιθυμητή ισότητα, επειδή P ξ K = Pξ x Pξ K B(x) ) = P ξ K (και αυτό γιατί B(x) x + ξ ). Για τη δεύτερη ιδιότητα της συνθήκης (SCC) θα χρειαστούμε την εξής: Παρατήρηση Εστω K 1 K m και K 2 K n m δύο κυρτά σώματα στον R n τέτοια ώστε οι υπόχωροι ξ 1 := spank 1 και ξ 2 := spank 2 να είναι συμπληρωματικοί στον R n. Τότε, το cone-volume μέτρο V K1 +K 2 S n 1 (ξ 1 ξ 2 ). συγκεντρώνεται στην Απόδειξη. Εφόσον οι υπόχωροι ξ 1, ξ 2 είναι συμπληρωματικοί, έπεται ότι το K 1 + K 2 είναι ένα n-διάστατο κυρτό σώμα του R n. Επίσης, σημειώνουμε ότι (K 1 + K 2 ) ( (K 1 ) + relint(k 2 )) (relint(k 1 ) + (K 2 )) ( (K 1 ) + (K 2 )). Εστω ν η απεικόνιση Gauss του K 1 + K 2. Εστω y K 1,y relint(k 2 ) και έστω θ το (m 1)- διάστατο υπερεπίπεδο που στιρίζει το K 1 στο y. Τότε το θ + ξ 2 είναι (n 1)-διάστατο υπερεπίπεδο που στηρίζει το K 1 + K 2 στο y και άρα το στηρίζει και στο y + y. Οπότε ν(y + y ) θ + ξ 2 επομένως ν( (K 1 ) + relint(k 2 )) ξ 2. Ομοια, ν(relint(k 1 ) + (K 2 )) ξ 1. Επομένως, S n 1 \ (ξ 1 ξ 2 ) ν( (K 1 ) + (K 2 )),

75 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 71 και επειδή το (K 1 ) + (K 2 ) έχει διάσταση το πολύ ίση με n 2, βγάζουμε S K1 +K 2 (S n 1 \ (ξ 1 ξ 2 )) = H n 1 (ν 1 (S n 1 \ (ξ 1 ξ 2 ))) H n 1 ( (K 1 ) + (K 2 )) = 0, δηλαδή το S K1 +K 2 συγκεντρώνεται στην S n 1 (ξ 1 ξ 2 ), επομένως το ίδιο και το V K1 +K 2. Θεώρημα Εστω K Ke n ένα n-διάστατο 0-συμμετρικό, κυρτό σώμα. Τότε, το conevolume μέτρο V K ικανοποιεί την (SCC). Απόδειξη. Εστω ξ υπόχωρος του R n με 0 < dim ξ = m < n και έστω S m 1 = S n 1 ξ. Εστω K η συμμετρικοποίηση του K ως προς τον ξ. Για να δείξουμε την πρώτη ιδιότητα της συνθήκης, από το Λήμμα και το γεγονός ότι V n ( K) = V n (K), αρκεί να δειχθεί ότι (4.3.7) V K(ξ S n 1 ) dim ξ n V K(S n 1 ). Για το αριστερό μέλος, γράφουμε ξανά την (4.3.6) V K(S m 1 ) = 1 (4.3.8) d n K(x)V Pξ n m (B(x)) dh m 1 (x). x P ξ K Θεωρούμε τη συνάρτηση f : (S m 1, µ) ( P ξ K, σ) με u ρ K(u)u και γράφουμε µ(a) = ρ K(u) m dh m 1 (u), A σ(b) = d K(x) Pξ dh m 1 (x). B Παρατηρούμε ότι το σ είναι το μέτρο εικόνα της f, δηλαδή σ(a) = µ(f 1 (A)) με A P ξ K. Ετσι, για κάθε g : P ξ K R ισχύει g f dµ = S m 1 P ξ K g dσ. Τώρα, θέτοντας g(x) = V n m (B(x)), η (4.3.8) γίνεται V K(S m 1 ) = 1 V n m (B(ρ K(u)u)) dµ(u), n u S m 1 δηλαδή V K(S m 1 ) = 1 n u S m 1 ρ K(u) m V n m (B(ρ K(u)u)) dh m 1 (u). Επειδή ρ K(u)u + P ξ B(ρ K(u)u) = B(ρ K(u)u), γράφουμε V K(S m 1 ) = 1 ( ρ K(u) m n u S m 1 y P ξ B(ρ K(u)u) 1(y) dh n m (y) ) dh m 1 (u),

76 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI και επειδή ρ K(u)u B(ρ K(u)u) y ( K y) για κάθε y P ξ B(ρ K(u)u) και u S m 1, έπεται ότι ρ K(u) = ρ y+ K(u), άρα V K(S m 1 ) = 1 (4.3.9) n u S m 1 Για το δεξιό μέλος, αρχικά παρατηρούμε ότι K = y P ξ B(ρ K(u)u) y B(0) (y + ξ) K, ρ y+ K(u) m dh n m (y) dh m 1 (u). επειδή η μπάλα B(x) έχει μέγιστο μέγεθος στο x = 0. Αυτό ισχύει γιατί οι ακτίνες των μπαλών, ως συνάρτηση r : P ξ K [0, ) είναι κοίλη και άρτια, επομένως για x P ξ K έχουμε r(0) = r(1/2x + (1 1/2)( x)) 1/2r(x) + (1 1/2)r( x) = r(x). Η r είναι άρτια, γιατι το K είναι 0-συμμετρικό, επομένως V n m (B(x)) = V n m (K (x + ξ )) = V n m (K ( x + ξ )) = V n m (B( x)), και η r είναι κοίλη, από τον εγκλεισμό B(λx + (1 λ)y) λb(x) + (1 λ)b(y) και την ανισότητα Brunn-Minkowski. Τώρα μπορούμε να δούμε ότι K = y B(0) (y + ξ) K. Γιατί αν z K τότε z B(x) για κάποιο x P ξ K και V n (B(x) x) = V n (B(x)) V n (B(0)), άρα B(x) x B(0), οπότε z = y + x για κάποιο y B(0). Ετσι, m n V n( K) = m ( n V n (y + ξ) K ) = m n y B(0) y B(0) V m ((y + ξ) K) dh n m (y) Επίσης ξ ( y + K) + y = (y + ξ) K, επομένως m n V n( K) = m V m (ξ ( y + n K)) dh n m (y). y B(0) Υπολογίζοντας τον m-διάστατο όγκο του ξ ( y + K) με πολικές συντεταγμένες και κάνοντας αλλαγή ολοκλήρωσης παίρνουμε m n V n( K) = 1 (4.3.10) n u S m 1 y B(0) ρ y+ K(u) m dh n m (y) dh m 1 (u). Εφόσον r(0) = max{r(x) : x P ξ K} έχουμε ότι P ξ B(ρ K(u)u) B(0) και άρα από τις (4.3.9),(4.3.10) συμπεραίνουμε ότι V K(S m 1 ) m n V ( K)

77 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 73 δηλαδή (4.3.7). έχουμε Τώρα, για τη δεύτερη ιδιότητα της συνθήκης, υποθέτουμε ότι για έναν υπόχωρο ξ του R n (4.3.11) V K (ξ S n 1 ) = dim ξ n V K(S n 1 ), και πρέπει να βρούμε ξ συμπληρωματικό υπόχωρο του ξ, στον R n, όπου πάλι να ισχύει η (4.3.11) με τον ξ αντί για τον ξ. Από την (4.3.11) θα βγάλουμε ότι το K είναι το άθροισμα Minkowski ενός m-διάστατου και ενός n m-διάστατου κυρτού σώματος στον R n και έτσι, από το Λήμμα 4.3.4, θα έχουμε ότι το V K συγκεντρώνεται σε συμπληρωματικούς υπόχωρους ξ, ξ πάνω στη σφαίρα S n 1, άρα δηλαδή V K (S n 1 ) = V K (S n 1 ξ) + V K (S n 1 ξ ) = dim ξ n V K(S n 1 ) + V K (S n 1 ξ ), (4.3.12) V K (ξ S n 1 ) = dim ξ n V K(S n 1 ). Τώρα, αναλύοντας την περίπτωση ισότητας στην (4.3.11) βγάζουμε ότι P ξ B(ρ K(u)u) = B(0) για κάθε u S m 1. Η συνάρτηση ακτίνας r είναι άρτια και κοίλη, επομένως, για κάθε x P ξ K, P ξ (B(ρ K(u)u)) P ξ B(x) B(0), όπου u = x x. Άρα, από τα δύο προηγούμενα βγάζουμε ότι, για κάθε x P ξk, P ξ B(x) = B(0), δηλαδή r(x) = r(0) για κάθε x P ξ K. Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε x P ξ K, V n m ((x + ξ ) K) = V n m (ξ K). Ετσι βγάζουμε ότι το (x + ξ ) K είναι μεταφορά του 0-συμμετρικού ξ K, επομένως (x + ξ ) K = z + ξ K για κάποιο z K, δηλαδή K = ξ K + {z K : z + ξ K K}. Άρα το K είναι άθροισμα Minkowski του (n m)-διάστατου ξ K και του m-διάστατου C := {z K : z + ξ K K}

78 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Μέτρα με την SCC είναι cone-volume μέτρα Σε αυτό το υποκεφάλαιο θα σούμε ότι η (SSC) είναι και ικανή συνθήκη στο Άρτιο λογαριθμικό πρόβλημα Minkowski. Αν ένα μέτρο µ ικανοποιεί την ικανοποιεί την (SCC) τότε (i) Είτε για κάθε υπόχωρο ξ του R n τέτοιο ώστε 0 < dim ξ < n ικανοποιείται η µ(ξ S n 1 ) < dim ξ n µ(sn 1 ). (ii) Είτε υπάρχουν ξ 1, ξ 2 συμπληρωματικοί υπόχωροι στον R n τέτοιοι ώστε για i = 1, 2. µ(ξ i S n 1 ) = dim ξ i n µ(sn 1 ) Θα δούμε ότι, αν ένα μέτρο ικανοποιεί ένα από τα (i) ή (ii), τότε είναι cone-volume μέτρο. Ξεκινάμε με την διαπίστωση ότι αν έχουμε ένα μέτρο στη σφαίρα το οποίο ικανοποιεί την (i) δηλαδή την (SSCI) τότε είναι cone volume μέτρο. Λήμμα Αν οι αριθμοί α 1,..., α n 0 ικανοποιούν τις α α i < 1 i n α α n = 1, για κάθε i = 1,..., n τότε υπάρχει t (0, 1] τέτοιος ώστε αν θέσουμε λ = (1 t) n και β i = α i λ με i = 1,..., n 1 β n = α n λ t, να ισχύει β β i 0 με i = 1,..., n 1 β β n = 0. Απόδειξη. Παίρνουμε i 0 {1,..., n 1} τέτοιον ώστε α α i i α α i0 i 0 για κάθε i = 1,..., n 1. Ομως, α α i0 i 0 < 1 n,

79 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 75 άρα υπάρχει t (0, 1] τέτοιος ώστε Επομένως, για κάθε i = 1,..., n 1 έχουμε α α i0 = 1 (1 t) := λ. i 0 n άρα α α i i λ, (4.3.13) β β i = α α i iλ 0 και β β n = α α n nλ t = 1 nλ t = 0. Λήμμα Εστω µ ένα μέτρο πιθανότητας στη σφαίρα S n 1 το οποίο ικανοποιεί την (SSCI). Για κάθε l N, έστω {u 1,l,..., u n,l } ορθοκανονική βάση του R n και θετικοί αριθμοί h 1,l,..., h n,l που ικανοποιούν τις h 1,l h n,l, h 1,l h n,l 1, lim n h n,l =. Θεωρούμε την ακολουθία πολυτόπων Q l = [±h 1,l u 1,l,..., ±h n,l u n,l ]. Τότε, η ακολουθία Φ µ (Q l ) = log h Ql dµ S n 1 δεν είναι άνω φραγμένη. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε το συμπέρασμα για μια υπακολουθία των πολυτόπων {Q l }, επομένως λόγω της συμπάγειας της σφαίρας S n 1, μπορούμε να υποθέσουμε ότι (4.3.14) lim l u i,l = u i για κάθε i = 1,..., n. Τότε, το {u 1,..., u n } είναι ορθοκανονική βάση του R n. Για η (0, 1 n ) και i = 1,..., n θεωρούμε την περιοχή A i,η του {±u i } στην S n 1 A i,η = {v S n 1 : v, u i η, v, u i < η για j > i}. 1 Τώρα παρατηρούμε ότι, για κάθε η (0, n ) τα A i,η είναι μια ξένη διαμέριση της S n 1, γιατί για κάθε v S n 1 υπάρχει u i τέτοιο ώστε v, u i 1 n, αλλιώς v = n i=1 v, u i 2 < 1. Επίσης παρατηρούμε ότι (4.3.15) lim µ(a i,η) = µ(s n 1 (ξ i \ ξ i 1 )), η 0

80 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI όπου ξ i ο υπόχωρος που παράγεται από το {u 1,..., u i }. Για να το δείξουμε αυτό, αρχικά παρατηρούμε ότι, καθώς το η φθίνει προς το μηδέν τα σύνολα A i,η ξ i αυξάνουν και η>0 A i,η ξ i = S n 1 (ξ i \ ξ i 1 ), επομένως lim inf η 0 + µ(a i,η) lim η 0 + µ(a i,η ξ i ) = µ(s n 1 (ξ i \ ξ i 1 )). Επίσης, καθώς το η φθίνει προς το μηδέν, τα σύνολα B i,η := {v S n 1 : v, u i > 0, v, u i < η για j > i} i = 1,..., n φθίνουν και η>0 B i,η = S n 1 (ξ i \ ξ i 1 ), επομένως και έτσι παίρνουμε την (4.3.15). lim sup µ(a i,η ) lim µ(b i,η) = µ(s n 1 (ξ i \ ξ i 1 )), η 0 + η 0 + Τώρα, το μέτρο πιθανότητας µ ικανοποιεί την (SSCI), επομένως για κάθε i = 1,..., n έχουμε (4.3.16) i µ(s n 1 (ξ i \ ξ i 1 )) = µ ( S n 1 ( i )) ξ i \ ξ i 1 = µ(s n 1 ξ i ) < i n. j=1 j=1 Άρα, από τις (4.3.15), (4.3.16) βγάζουμε ότι υπάρχει η 0 (0, 1 n ) τέτοιος ώστε 1 i i µ(a j,η0 ) < 1 n. j=1 Τώρα, εφαρμόζοντας το Λήμμα για α j = µ(a j,η0 ) βγάζουμε ότι υπάρχει t (0, 1] τέτοιος ώστε για λ = 1 t n και (4.3.17) β i = α i λ για κάθε i = 1,..., n 1, και β n = α n λ t να έχουμε (4.3.18) β β i 0 για κάθε i = 1,..., n 1 και (4.3.19) β β n = 0. Τώρα, από τη σύγκλιση (4.3.14), έχουμε ότι u i,l u i < η 0 2 για μεγάλα l, άρα για u A i,η0 ισχύει u, u i,l u, u i u, (u i,l u i ) u, u i (u i,l u i ) η 0 2.

81 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 77 Επίσης, για κάθε l, η συνάρτηση στήριξης του Q l είναι της μορφής h Ql (v) = max 1 i n h i,l v, u i,l για v S n 1. Αφού S n 1 = n i=1 A i,η 0 έχουμε, για u A i,η0, η 0 (4.3.20) h Ql (u) h i,l 2 για κάθε i = 1,..., n και μεγάλα l. Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι τα A i,η0 είναι διαμέριση της S n 1, έπειτα την (4.3.20), μετά ξανά ότι τα A i,η0 είναι διαμέριση της S n 1 και το µ είναι μέτρο πιθανότητας και έχουμε S n 1 log h Ql dµ = n log h Ql dµ A i,η0 n η 0 log h i,l A i,η0 2 dµ i=1 i=1 = log η n α i log h i,l i=1 = log η n α n log h n,l + α i log h i,l Τώρα από τις (4.3.17) και το γεγονός ότι λ > 0 και την υπόθεση ότι h 1,l h n,l 1 έχουμε S n 1 log h Ql dµ = log η (β n + λ + t) log h n,l + = log η t log h n,l + i=1 n 1 (β i + λ) log h i,l i=1 n λ log h i,l + i=1 ( η0 ) = log 2 ht n,l + λ log(h 1,l h n,l ) + ( η0 ) log 2 ht n,l + n β i log h i,l i=1 n β i log h i,l i=1 n β i log h i,l Θα δούμε ότι δεν αλλάζει κάτι αν ορίσουμε h n+1,l = 1 για κάθε l. Τέλος επειδή 0 < h i,l h i+1,l για i = 1,..., n 1 και από τις (4.3.18) (4.3.19) έχουμε ( η0 ) n log h Ql dµ = log S n 1 2 ht n,l + (β β i )(log h i,l log h i+1,l ) i=1 ( η0 ) log 2 ht n,l. Αφού t > 0 και lim l h n,l =, έπεται ότι lim l S n 1 log h Ql dµ =. i=1

82 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Σχόλιο: Για το επόμενο θεώρημα αναφέρουμε ότι, αν E είναι ελλειψοειδές στον R n με κύριες διευθύνσεις u 1,..., u n και C = [±h 1 u 1,..., ±h n u n ] πολύτοπο, όπου h i = h E (u i ) με i = 1,..., n, τότε V (C) = n i=1 h i 2 n n!. Για το παραπάνω αρκεί να υπολογιστεί ο όγκος της μοναδιαίας μπάλας B1 n διότι γράφοντας C = T (B1 n) όπου T = diag(h 1,..., h n ), έχουμε V (C) = V (T (B n 1 )) = dett V (B n 1 ) = n h i V (B1 n ). i=1 ως προς την 1-νόρμα, Ο υπολογισμός του όγκου V (B1 n ) μπορεί να γίνει είτε με επαγωγή ως προς τη διάσταση είτε απο τον γενικό τύπο όπου K ένα κυρτό συμμετρικό σύνολο. B n 1 Bn 2 nb n 1. n!v (K) = e x K dx, S n 1 Επιπλέον, είναι προφανές ότι C E nc εφόσον Θεώρημα Εστω n 2, και µ ένα άρτιο πεπερασμένο μέτρο Borel στη σφαίρα S n 1, το οποίο ικανοποιεί την (SSCI). Τότε, υπάρχει ένα 0-συμμετρικό, κυρτό σώμα K Ke n τέτοιο ώστε { } inf log h Q dµ : Q Ke n, V n (Q) = µ = log h K dµ. S n 1 S n 1 Απόδειξη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το µ είναι μέτρο πιθανότητας, δηλαδή µ = 1. Παίρνουμε ακολουθία Q l Ke n με V n (Q l ) = 1 και { } inf Φ µ (Q) : Q Ke n, V n (Q) = 1 = lim l Φ µ (Q l ). Τώρα, η διαστολή ω 1 n n B της μοναδιαίας μπάλας έχει όγκο 1 και log h S n 1 1 dµ = log ω 1 n n dµ + log h ω n B dµ n B S n 1 S n 1 επομένως, (4.3.21) = 1 n log ω n, lim Φ µ(q l ) 1 l n log ω n. Αρχικά θα δείξουμε ότι η ακολουθία {Q l } είναι φραγμένη, υπό την έννοια ότι η ακολουθία περιέχεται σε μια Ευκλείδεια μπάλα. Από το θεώρημα του John υπάρχουν 0-συμμετρικά ελλειψοειδή E l τέτοια ώστε E l Q l ne l.

83 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 79 Εστω u 1,l,..., u n,l οι κύριες διευθύνσεις του ελλειψοειδούς E l, αριθμημένες έτσι ώστε (4.3.22) h 1,l h n,l, όπου h i,l = h El (u i,l ) για i = 1,..., n. Θεωρούμε τα πολύτοπα C l = [±h 1,l u 1,l,..., ±h n,l u n,l ]. Εφόσον C l E l nc l έπεται C l Q l nc l. Τώρα, υποθέτουμε ότι η {Q l } δεν είναι φραγμένη, επομένως η ακολουθία παραλληλογράμμων C l δεν είναι φραγμένη, άρα (4.3.23) lim h n,l =. l Αφού V n (Q l ) = 1, έχουμε ότι 1 n n V n (C l ), δηλαδή V n (C l ) n n, άρα δηλαδή n i=1 h i,l = n!v n(c l ) 2 n n! 2 n n n := γ n i=1 γ 1 n hi,l = n!v n(γ 1 n C l ) 2 n 1. Ετσι, τα πολύτοπα C l = γ 1 n C l ικανοποιούν τις τρείς υποθέσεις του Λήμματος 4.3.7, συνεπώς η ακολουθία {Φ µ (C l )} δεν είναι άνω φραγμένη. Ετσι και η {Φ µ(c l )} δεν είναι άνω φραγμένη, άρα και η {Φ µ (Q l )} δεν είναι άνω φραγμένη, το οποίο έρχεται σε αντίφαση με την (4.3.21). Επομένως, η {Q l } είναι φραγμένη, άρα έχει δ H -συγκλίνουσα υπακολουθία ([6] σελ. 85) άρα υπάρχει 0-συμμετρικό, κυρτό σώμα K όγκου 1, τέτοιο ώστε δ H (K, Q li ) 0 καθώς l i. Άρα, η σύγκλιση lim li h Qli = h K είναι ομοιόμορφη στην S n 1 και άρα log h Qli dµ S n 1 log h K dµ S n 1 καθώς l i. Τέλος inf { } Φ µ (Q) : Q Ke n, V n (Q) = 1 = lim log h Qli dµ l i S n 1 = log h K dµ. S n 1

84 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Λήμμα Εστω µ ένα άρτιο μέτρο Borel στη σφαίρα S n 1 με 0 < µ <. Αν υπάρχει K Ke n με V n (K) = µ και { } (4.3.24) inf log h Q dµ : Q Ke n, V n (Q) = µ = log h K dµ, S n 1 S n 1 τότε το µ είναι το cone-volume μέτρο του K, δηλαδή µ = V K. Απόδειξη. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το µ είναι μέτρο πιθανότητας, δηλαδή µ = 1. Αφού τα µ και V K είναι άρτια μέτρα, αρκεί να δείξουμε ότι (4.3.25) g dµ = g dv K S n 1 S n 1 για κάθε g C e (S n 1 ). Παίρνουμε μια g C e (S n 1 ) και θεωρούμε την οικογένεια των κυρτών σωμάτων {K t } t R που κατασκευάζονται ως τα χωρία Wulff των συνεχών συναρτήσεων h t ( ) : R S n 1 (0, ) με h t (u) = h K (u)e tg(u). Δηλαδή, K t = u S n 1 {x R n : x, u h t (u)}. Παρατηρούμε ότι K 0 = K. Ορίζουμε F : R (0, ) με ) F (t) = V n (h t ) 1 n exp log h t dµ (S n 1 Η g είναι φραγμένη στην S n 1, άρα η σύγκλιση h t h 0 t gh K0 είναι ομοιόμορφη στη S n 1, καθώς το t 0, επομένως το Λήμμα βγάζει ότι η F είναι παραγωγήσιμη στο t = 0, και επιπλέον d V n (h t ) = gh K0 ds K0. dt t=0 S n 1 Υπολογίζουμε (4.3.26) d F (t) = dt t=0 [ 1 ] ( ) gh K0 ds K0 + g dµ exp log h K0 dµ. n S n 1 S n 1 S n 1 Θα δούμε ότι η λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης (4.3.24) κάνει την F να παίρνει ελάχιστη τιμή στο t = 0, άρα η παράγωγος της F στο μηδέν είναι μηδέν, συνεπώς από την (4.3.26) βγάζουμε g dµ = 1 gh K0 ds K0, S n 1 n S n 1

85 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 81 απ όπου παίρνουμε την (4.3.25). M 0 : C + e (S n 1 ) (0, ) με Για το ότι η F παίρνει ελάχιστη τιμή στο t = 0, ορίζουμε ) M 0 (q) = V n (q) 1 n exp log q dµ, (S n 1 και θεωρούμε το πρόβλημα ελαχιστοποίησης inf{m 0 (q) : q C + e (S n 1 )}. Παρατηρούμε ότι αν f C + e (S n 1 ) και Q είναι το χωρίο Wulff που αντιστοιχεί στην f, τότε V n (f) = V n (h Q ) = V n (Q) και h Q f, άρα M 0 (h K ) M 0 (f). Επομένως, το παραπάνω infimum μπορεί να πιαστεί από τη συνάρτηση στήριξης ενός 0-συμμετρικού κυρτού σώματος, δηλαδή inf{m 0 (q) : q C + e (S n 1 )} = inf{m 0 (h Q ) : Q K n e }. Τώρα βλέπουμε ότι η M 0 είναι ομογενής βαθμού 0, δηλαδή M 0 (sq) = M 0 (q) για κάθε s > 0. Επομένως, μπορούμε να περιοριστούμε και άλλο, στα σώματα όγκου 1, δηλαδή inf{m 0 (h Q ) : Q K n e } = inf{m 0 (h Q ) : Q K n e, V n (Q) = 1}. Τώρα η λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης (4.3.24) δίνει { ( ) inf{m 0 (h Q ) : Q Ke n, V n (Q) = 1} = inf exp log h Q dµ S ( n 1 ) = exp log h K dµ S n 1 = M 0 (h K ). } : Q Ke n, V n (Q) = 1 Τέλος, F (0) = M 0 (h K ) M 0 (h t ) = F (t) για κάθε t R, δηλαδή η F παίρνει ελάχιστη τιμή στο t = 0. Στη συνέχεια δείχνουμε ότι αν ενα μέτρο πάνω στην σφαίρα ικανοποιεί την (ii) τότε είναι conevolume μέτρο. Εστω µ ένα μέτρο Borel πάνω στη σφαίρα S n 1 και ξ ένας υπόχωρος του R n. Θα συμβολίζουμε με µ ξ τον περιορισμό του µ στο σύνολο S n 1 ξ. Λήμμα Εστω n 2 και µ ένα πεπερασμένο μέτρο Borel πάνω στην σφαίρα S n 1, το οποίο ικανοποιεί την SCC. Αν ξ είναι ένας υπόχωρος του R n τέτοιος ώστε (4.3.27) µ(ξ S n 1 ) = dim ξ n µ(sn 1 ), τότε το µ ξ ικανοποιεί την SCC ως μέτρο στη σφαίρα S n 1 ξ.

86 82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Απόδειξη. Εστω m = dim ξ και S m 1 = S n 1 ξ. Τότε, η (4.3.27) γράφεται (4.3.28) 1 m µ ξ(s m 1 ) = 1 n µ(sn 1 ). Για την ανισότητα της συνθήκης παίρνουμε έναν k-διάστατο υπόχωρο ξ k μέσα στον ξ και από την (SCI) του µ και την (4.3.28) βγάζουμε µ ξ (ξ k S m 1 ) = µ(ξ k S n 1 ) (4.3.29) k n µ(sn 1 ) = k m µ ξ(s m 1 ). Τώρα για την περίπτωση ισότητας της συνθήκης, αν για κάποιον k-διάστατο υπόχωρο ξ k μέσα στον ξ έχουμε µ ξ (ξ k S m 1 ) = k m µ ξ(s m 1 ), αυτό συνεπάγεται ισότητα στην (4.3.29), δηλαδή µ(ξ k S n 1 ) = k n µ(sn 1 ). Αλλά, επειδή το µ ικανοποιεί την (SCC), συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ξ, συμπληρωματικός υπόχωρος του ξ k στον R n, τέτοιος ώστε µ(ξ S n 1 ) = dim ξ n µ(sn 1 ), δηλαδή το µ συγκεντρώνεται στην S n 1 (ξ k ξ). Θέτουμε ξ = ξ ξ. Τότε, το µ ξ συγκεντρώνεται στην (S n 1 (ξ k ξ)) ξ = S m 1 (ξ k ξ ) και ο ξ είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του ξ k στον ξ. Λήμμα Εστω ξ και ξ συμπληρωματικοί υπόχωροι του R n, με 0 < dim ξ = m < n. Εστω επίσης µ ένα πεπερασμένο, άρτιο μέτρο Borel πάνω στη σφαίρα, το οποίο συγκεντρώνεται στην S n 1 (ξ ξ ) και ικανοποιεί την µ(ξ S n 1 ) = dim ξ n µ(sn 1 ). Αν τα μέτρα µ ξ και µ ξ είναι cone-volume μέτρα κάποιων κυρτών σωμάτων στους υπόχωρους ξ και ξ, τότε το µ είναι cone-volume μέτρο κάποιου κυρτού σώματος στον R n. Απόδειξη. Από τη συγκέντρωση του μέτρου µ στην S n 1 (ξ ξ ) έχουμε µ(ω) = µ ξ (ω ξ) + µ ξ (ω ξ ),

87 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 83 για ω S n 1. Επομένως αν βρούμε κυρτό σώμα K K n e τέτοιο ώστε (4.3.30) (4.3.31) V K (ω) = µ ξ (ω) για ω S n 1 ξ, V K (ω ) = µ ξ (ω ) για ω S n 1 ξ, και το V K να συγκεντρώνεται στην S n 1 (ξ ξ ), βγάζουμε ότι µ = V K. Τα µ ξ και µ ξ είναι cone-volume μέτρα, άρα για κάθε α > 0 υπάρχουν C K m e και C K n m e, στους ξ και ξ αντίστοιχα, τέτοια ώστε (4.3.32) V C = αµ ξ και V C = αµ ξ. Κατασκευάζουμε κυρτά σώματα D K m e και D K n m e στους ξ και ξ αντίστοιχα με D = {(x + ξ ) ξ : x C}, D = {(x + ξ ) ξ : x C }. Το α θα επιλεγεί κατάλληλα έτσι ώστε το K που ψάχνουμε να είναι το D + D. Οι υπόχωροι ξ, ξ είναι συμπληρωματικοί, επομένως από την Παρατήρηση το V D+D στην S n 1 (ξ ξ ). Τώρα, P ξ D = C και P ξ D = C, συνεπώς V m (D) V m (C) = V n m(d ) V n m (C ) = r, όπου το r εξαρτάται μόνο από τη γωνία μεταξύ του ξ και του ξ. Τότε Ομοια, συγκεντρώνεται V m (D) = rv m (C) = rv C (ξ S n 1 ) = rαµ ξ (ξ S n 1 ) = rαµ(ξ S n 1 ) = rα m n µ(sn 1 ). (4.3.33) V n m (D ) = rα n m n µ(sn 1 ). Σημειώνουμε (D + D ) = ( D + relintd ) (relintd + D ) ( D + D ), Γράφουμε y = y 1 + y 2 R n, όπου y 1 = P ξ y και y 2 = P ξ y. Βλέπουμε ότι για y (D) το y 1 (C) και y = (y 1 + ξ ) ξ. Για ω S n 1 ξ παρατηρούμε: (1) Προφανώς ν 1 D+D (ω) (D) + relint(d ) και για y + y (D) + relint(d ) ισχύει (2) Επιπλέον P ξ (ν 1 D+D (ω)) = ν 1 C (ω) ν D+D (y + y ) = ν D+D (y) = ν C (y 1 ).

88 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI Από τον ορισμό του cone-volume μέτρου και τις παρατηρήσεις έχουμε V D+D (ω) = 1 y + y, ν D+D (y + y ) dh n 1 (y + y ) n ν 1 D+D (ω) = 1 y, ν C (y 1 ) dh n 1 (y + y ) n ν 1 D+D (ω) = 1 (4.3.34) y 1, ν C (y 1 ) dϕ(y 1 ) n ν 1 C (ω) όπου ϕ το μέτρο εικόνα της προβολής P ξ : (ν 1 D+D (ω), H n 1 ) (ν 1 C (ω), ϕ) με y + y y 1, δηλαδή ϕ( ) = H n 1 (P ξ ( )). Εγινε χρήση του Πρότασης (2.6.3) με g(y 1 ) = y 1, ν C (y 1 ). Αναλύοντας το μέτρο ϕ, για A ν 1 (ω) έχουμε δηλαδή Οπότε, η (4.3.34) γίνεται C ϕ(a) = H n 1 (P 1 ξ (A)) = H n 1 ( x A(x + D )) = H m 1 (A)H n m (D ) = V D+D (ω) = 1 n y 1 A dϕ(y 1 ) = V n m (D ) dh m 1 (y 1 ). V n m (D ) dh m 1 (y 1 ), ν 1 C (ω) y 1, ν C (y 1 ) dh m 1 (y 1 )V n m (D ) = m n V C(ω)V n m (D ) = m(n m) n 2 rα 2 µ(s n 1 )µ ξ (ω). στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήθηκαν οι (4.3.32), (4.3.33). Ομοια, για κάθε ω S n 1 ξ βγάζουμε Επιλέγονας το α έτσι ώστε V D+D (ω ) = m(n m) n 2 rα 2 µ(s n 1 )µ ξ (ω ). m(n m) n 2 rα 2 µ(s n 1 ) = 1, έχουμε ότι το K = D + D ικανοποιεί τις (4.3.30). Θεώρημα Εστω n 1 και µ ένα πεπερασμένο, μη-μηδενικό και άρτιο μέτρο Borel πάνω στη σφαίρα S n 1 το οποίο ικανοποιεί την (SCC). Τότε, το µ είναι cone-volume μέτρο ενός 0-συμμετρικού κυρτού σώματος στον R n.

89 4.3. ΑΡΤΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚ Ο ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ MINKOWSKI 85 Απόδειξη. Πρώτα βλέπουμε ότι αν ένα μέτρο µ ικανοποιεί την (SCC) τότε: (i) Είτε για κάθε υπόχωρο ξ του R n τέτοιον ώστε 0 < dim ξ < n ικανοποιεί την µ(ξ S n 1 ) < dim ξ n µ(sn 1 ). (ii) Είτε υπάρχουν ξ 1, ξ 2 συμπληρωματικοί υπόχωροι στον R n τέτοιοι ώστε για i = 1, 2. µ(ξ i S n 1 ) = dim ξ i n µ(sn 1 ) Αν το μέτρο µ ικανοποιεί την (i), τότε από το Θεώρημα (4.3.8) υπάρχει ένα 0-συμμετρικό, κυρτό σώμα K K n e τέτοιο ώστε { } inf log h Q dµ : Q Ke n, V (Q) = µ = log h K dµ, S n 1 S n 1 και άρα από το Λήμμα έπεται ότι το µ είναι cone-volume μέτρο ενός 0-συμμετρικού κυρτού σώματος στον R n. Τώρα, αν το μέτρο µ ικανοποιεί την ιδιότητα (ii), θα δείξουμε ότι είναι conevolume μέτρο με επαγωγή ως προς τη διάσταση n. (α) n = 2: Υποχρεωτικά dimξ 1 = dimξ 2 = 1 οπότε γράφουμε ξ i S 1 = { u i 0, ui 0 }. Το μέτρο µ ικανοποιεί την ιδιότητα (ii) άρα µ({ u i 0}) + µ({u i 0}) = µ(ξ i S 1 ) = 1 2 µ(s1 ) για i = 1, 2 και επειδή το μέτρο µ είναι άρτιο βγάζουμε ότι µ({ u i 0 }) = µ({ui 0 }) = 1 4 µ(s1 ) με i = 1, 2. Το παραλληλόγραμμο με πλευρές κάθετες στα διανύσματα u 1 0, u2 0 και εμβαδόν ισό με µ(s1 ) είναι το ζητούμενο κυρτό σώμα.