Sunarthsiakèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou. Prìqeirec Shmei seic

Transcript

1 Sunarthsiakèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou Prìqeirec Shmei seic Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na 01

2

3 Perieqìmena 1 Ισοπεριμετρικές ανισότητες και συγκέντρωση του μέτρου Μετρικοί χώροι πιθανότητας αʹ Ορισμός και παραδείγματα βʹ Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα Κλασικές ισοπεριμετρικές ανισότητες αʹ Ανισότητα Brunn-Minkowski και η ισοπεριμετρική ανισότητα βʹ Ισοπεριμετρική ανισότητα στην σφαίρα γʹ Ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss δʹ Η ισοπεριμετρική ανισότητα στον E n Συνάρτηση συγκέντρωσης Προσεγγιστικές ισοπεριμετρικές ανισότητες αʹ Η συνάρτηση συγκέντρωσης της σφαίρας βʹ Η συνάρτηση συγκέντρωσης του χώρου του Gauss γʹ Η συνάρτηση συγκέντρωσης του διακριτού κύβου Το λήμμα των Johnson-Lindenstrauss Ασκήσεις Το θεώρημα του Dvoretzky 31.1 Απόσταση Banach-Mazur Το θεώρημα του John και το λήμμα των Dvoretzky και Rogers Το θεώρημα του Dvoretzky Παράρτημα: το «πλήρες θεώρημα του John» Ασκήσεις Η μέθοδος των martingales Ανισότητα του Azuma Συγκέντρωση του μέτρου στην S n Άλλες εφαρμογές της μεθόδου Ασκήσεις

4 iv Περιεχομενα 4 Συναρτησοειδές Laplace και ελαχιστική συνέλιξη Συναρτησοειδές Laplace Ελαχιστική συνέλιξη Η ιδιότητα (τ) Η ανισότητα του Talagrand για το εκθετικό μέτρο γινόμενο Η ιδιότητα (τ) στον χώρο του Gauss Ασκήσεις Ανισότητα Poincaré Ανισότητα Poincaré και συγκέντρωση του μέτρου Ανισότητα Poincaré και ιδιοτιμές του τελεστή Laplace Ανισότητα Poincaré στον διακριτό κύβο Ανισότητα Kahane-Khintchine Ανισότητα του Khintchine Ανισότητα Kahane-Khintchine ψ α εκτιμήσεις Ανισότητα Kahane-Khinthcine για λογαριθμικά κοίλα μέτρα Λογαριθμική ανισότητα Sobolev Λογαριθμική ανισότητα Sobolev και συγκέντρωση του μέτρου αʹ Λογαριθμική ανισότητα Sobolev και ανισότητα Poincaré βʹ Το επιχείρημα του Herbst γʹ Λογαριθμική ανισότητα Sobolev σε χώρους γινόμενα Ανισότητα Brunn-Minkowski και λογαριθμική ανισότητα Sobolev Ημιομάδα Ornstein Uhlenbeck αʹ Ορισμός και βασικές ιδιότητες βʹ Απόδειξη της ανισότητας Poincaré γʹ Απόδειξη της λογαριθμικής ανισότητας Sobolev δʹ Η ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss Υπερσυσταλτότητα στον διακριτό κύβο Λογαριθμική ανισότητα Sobolev στον διακριτό κύβο Η ανισότητα της Bonami Ισοτροπική σταθερά κυρτών σωμάτων Ισοτροπικά κυρτά σώματα Αριθμοί κάλυψης: η ανισότητα του Sudakov και η δυική της Άνω φράγμα για την ισοτροπική σταθερά

5 Kefˆlaio 1 Isoperimetrikèc anisìthtec kai sugkèntrwsh tou mètrou 1.1 MetrikoÐ q roi pijanìthtac 1.1αʹ Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός (μετρικός χώρος πιθανότητας). Εστω (X, d) ένας μετρικός χώρος. Αν µ είναι ένα μέτρο πιθανότητας στη σ-άλγεβρα B(X) των Borel υποσυνόλων του (X, d), τότε η τριάδα (X, d, µ) λέγεται μετρικός χώρος πιθανότητας. Παραδείγματα Η σφαίρα S n 1. Συμβολίζουμε με την Ευκλείδεια νόρμα στον R n. Θεωρούμε την μοναδιαία σφαίρα (1.1.1) S n 1 = {x R n : x = 1} στον R n, εφοδιασμένη με την γεωδαισιακή μετρική ρ: η απόσταση ρ(x, y) δύο σημείων x, y S n 1 είναι η κυρτή γωνία xoy στο επίπεδο που ορίζεται από την αρχή των αξόνων o και τα x, y. Η S n 1 γίνεται χώρος πιθανότητας με το μοναδικό αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς μέτρο σ: για κάθε Borel σύνολο A S n 1 θέτουμε (1.1.) σ(a) := C(A) B n, όπου B n είναι η μοναδιαία Ευκλείδεια μπάλα, (1.1.3) C(A) := {sx : x A και 0 s 1}, και Q είναι το n-διάστατο μέτρο Lebesgue του Q. Η ρ είναι όντως μετρική στην S n 1 (άσκηση). Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι αν ρ(x, y) = θ τότε (1.1.4) x y = sin θ,

6 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου συνεπώς η γεωδαισιακή και η Ευκλείδεια απόσταση των x, y S n 1 συγκρίνονται μέσω της (1.1.5) π ρ(x, y) x y ρ(x, y).. Ο χώρος του Gauss. Θεωρούμε τον R n με την Ευκλείδεια μετρική και το μέτρο πιθανότητας γ n που έχει πυκνότητα την συνάρτηση (1.1.6) g n (x) = (π) n/ e x /. Δηλαδή, αν A είναι ένα σύνολο Borel στον R n, τότε 1 (1.1.7) γ n (A) = e x (π) n/ / dx. A Το γ n είναι το n-διάστατο μέτρο του Gauss και ο χώρος πιθανότητας Γ n = (R n,, γ n ) είναι ο n-διάστατος χώρος του Gauss. Το μέτρο του Gauss έχει δύο πολύ σημαντικές ιδιότητες: από την μία πλευρά είναι μέτρο γινόμενο, πιό συγκεκριμένα γ n = γ 1 γ 1. Από την άλλη πλευρά είναι αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς: αν U O(n) και A είναι ένα Borel υποσύνολο του R n, τότε (1.1.8) 1 γ n (U(A)) = e x (π) n/ / det U dx = e Uy U(A) (π) n/ / dy A 1 = e y (π) n/ / dy = γ n (A). A 3. Ο διακριτός κύβος. Θεωρούμε το σύνολο E n = { 1, 1} n, το οποίο ταυτίζουμε με το σύνολο των κορυφών του κύβου Q n = [ 1, 1] n στον R n. Στον E n ορίζουμε το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας µ n που δίνει μάζα n σε κάθε σημείο. Δηλαδή, αν A είναι ένα υποσύνολο του E n, τότε (1.1.9) µ n (A) = A n, όπου με A (αλλά και με card(a)) συμβολίζουμε τον πληθάριθμο ενός πεπερασμένου συνόλου. Ο E n γίνεται μετρικός χώρος με απόσταση την (1.1.10) d n (x, y) = 1 n card{i n : x i y i } = 1 n n x i y i.

7 1.1 Μετρικοι χωροι πιθανοτητας 3 1.1βʹ Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα Ορισμός (t-περιοχή). Εστω (X, d) μετρικός χώρος. Για κάθε μη κενό A B(X) και για κάθε t > 0 ορίζουμε την t-περιοχή του A ως εξής: (1.1.11) A t = {x X : d(x, A) t}. Ορισμός (επιφάνεια κατά Minkowski). Εστω (X, d) μετρικός χώρος και έστω µ ένα (όχι αναγκαστικά πεπερασμένο) μέτρο στην Borel σ-άλγεβρα B(X). Η επιφάνεια ενός Borel υποσυνόλου A του X ορίζεται ως εξής: µ(a t \ A) (1.1.1) (A) = lim inf, t 0 + t όπου A t είναι η t-περιοχή του A. Αν µ(a) < (το οποίο φυσικά ισχύει αν ο (X, d, µ) είναι μετρικός χώρος πιθανότητας) τότε (1.1.13) (A) = lim inf t 0 + µ(a t ) µ(a). t Σε κάθε μετρικό χώρο πιθανότητας μπορούμε να διατυπώσουμε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα: Για δοσμένο 0 < α < 1, να βρεθεί το (1.1.14) inf{ (A) : A B(X), µ(a) α} και να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σύνολα A για τα οποία πιάνεται αυτό το infimum. Μπορούμε επίσης να διατυπώσουμε αντίστοιχο πρόβλημα για το μέτρο των t-περιοχών, σταθεροποιώντας t > 0: Για δοσμένα 0 < α < 1 και t > 0, να βρεθεί το (1.1.15) inf{µ(a t ) : A B(X), µ(a) α} και να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σύνολα A για τα οποία πιάνεται αυτό το infimum. Το infimum παίρνεται πάνω από όλα τα A B(X) για τα οποία µ(a) α (και όχι µ(a) = α) για καθαρά τεχνικούς λόγους: στο γενικό πλαίσιο που συζητάμε, μπορεί, για κάποια τιμή του α, να μην υπάρχουν σύνολα A B(X) ώστε µ(a) = α. Οι λύσεις του δεύτερου προβλήματος μπορεί να είναι διαφορετικές για διαφορετικές τιμές του t. Στα κλασικά όμως παραδείγματα δεν εξαρτώνται από το t και αυτό σημαίνει ότι είναι και λύσεις του πρώτου προβλήματος. Είναι μάλιστα, όπως θα δούμε, πολύ «συμμετρικά υποσύνολα» του X, το οποίο σημαίνει ότι μπορούμε σχετικά εύκολα να υπολογίσουμε το μέτρο της t-περιοχής τους και την επιφάνειά τους.

8 4 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου 1. Klasikèc isoperimetrikèc anisìthtec Σε αυτήν την παράγραφο θα συζητήσουμε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα για τα κλασικά παραδείγματα μετρικών χώρων πιθανότητας που ορίστηκαν στην προηγούμενη παράγραφο: την Ευκλείδεια μοναδιαία σφαίρα S n 1, τον χώρο του Gauss Γ n και τον διακριτό κύβο E n. Πριν όμως από αυτό, αποδεικνύουμε την ανισότητα Brunn-Minkowski και μέσω αυτής την κλασική ισοπεριμετρική ανισότητα στον R n. 1.αʹ Ανισότητα Brunn-Minkowski και η ισοπεριμετρική ανισότητα Ορισμός 1..1 (άθροισμα Minkowski). Εστω A και B μη κενά υποσύνολα του R n. Ορίζουμε (1..1) A + B := {a + b a A, b B} και για κάθε t 0, (1..) ta = {ta a A}. Η ανισότητα Brunn-Minkowski συνδέει το άθροισμα Minkowski με τον όγκο στον R n : Θεώρημα 1.. (ανισότητα Brunn-Minkowski). Εστω K και T δύο μη κενά Borel υποσύνολα του R n. Τότε, (1..3) K + T 1/n K 1/n + T 1/n. Παρατηρήσεις Στην περίπτωση που τα K και T είναι κυρτά σώματα (κυρτά συμπαγή σύνολα με μη κενό εσωτερικό), ισότητα στην ανισότητα Brunn-Minkowski μπορεί να ισχύει μόνο αν τα K και T είναι ομοιοθετικά (δηλαδή, αν K = at + x για κάποιον a 0 και κάποιο x R n ). Η ανισότητα Brunn-Minkowski εκφράζει με μια έννοια το γεγονός ότι ο όγκος είναι κοίλη συνάρτηση ως προς την πρόσθεση κατά Minkowski. Για τον λόγο αυτό συχνά γράφεται στην ακόλουθη μορφή: Αν K, T είναι μη κενά Borel υποσύνολα του R n και αν λ (0, 1), τότε (1..4) λk + (1 λ)t 1/n λ K 1/n + (1 λ) T 1/n. Χρησιμοποιώντας την τελευταία ανισότητα σε συνδυασμό με την ανισότητα αριθμητικού γεωμετρικού μέσου, μπορούμε ακόμα να γράψουμε: (1..5) λk + (1 λ)t K λ T 1 λ. Η απόδειξη που θα δώσουμε εδώ θα βασιστεί στην συναρτησιακή ανισότητα των Prékopa και Leindler, η οποία είναι η γενίκευση της ανισότητας Brunn-Minkowski στο πλαίσιο των μετρήσιμων θετικών συναρτήσεων.

9 1. Κλασικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 5 Θεώρημα 1..4 (ανισότητα Prékopa-Leindler). Εστω f, g, h : R n R + τρείς μετρήσιμες συναρτήσεις και έστω λ (0, 1). Υποθέτουμε ότι οι f και g είναι ολοκληρώσιμες και ότι, για κάθε x, y R n, (1..6) h(λx + (1 λ)y) f(x) λ g(y) 1 λ. Τότε, (1..7) ( h R n R n f ) λ ( R n g ) 1 λ. Απόδειξη. Θα δείξουμε την ανισότητα με επαγωγή ως προς την διάσταση n. (α) n = 1: Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι f και g είναι συνεχείς και γνησίως θετικές. Ορίζουμε x, y : (0, 1) R μέσω των (1..8) x(t) f = t f και y(t) g = t Σύμφωνα με τις υποθέσεις μας, οι x, y είναι παραγωγίσιμες και για κάθε t (0, 1) έχουμε (1..9) x (t)f(x(t)) = f και y (t)g(y(t)) = g. Ορίζουμε z : (0, 1) R με (1..10) z(t) = λx(t) + (1 λ)y(t). Οι x και y είναι γνησίως αύξουσες. Συνεπώς, η z είναι κι αυτή γνησίως αύξουσα. Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου, (1..11) z (t) = λx (t) + (1 λ)y (t) (x (t)) λ (y (t)) 1 λ. Μπορούμε λοιπόν να εκτιμήσουμε το ολοκλήρωμα της h κάνοντας την αλλαγή μεταβλητών s = z(t): (1..1) h(s)ds = h(z(t))z (t)dt h(λx(t) + (1 λ)y(t))(x (t)) λ (y (t)) 1 λ dt ( f [f(x(t))] λ [g(y(t))] 1 λ 0 f(x(t)) ( ) λ ( 1 λ = f g). g. ) λ ( ) 1 λ g dt g(y(t))

10 6 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου (β) Επαγωγικό βήμα: Υποθέτουμε ότι n και ότι το θεώρημα έχει αποδειχθεί για k {1,..., n 1}. Εστω f, g, h όπως στο θεώρημα. Για κάθε s R ορίζουμε h s : R n 1 R + με h s (w) = h(w, s) και με ανάλογο τρόπο ορίζουμε f s, g s : R n 1 R +. Επίσης, ορίζουμε H : R R + με H(s) = R n 1 h s και με ανάλογο τρόπο ορίζουμε F, G : R R +. Από την υπόθεση του θεωρήματος για τις f, g και h έπεται ότι, αν x, y R n 1 και s 0, s 1 R τότε (1..13) h λs1+(1 λ)s 0 (λx + (1 λ)y) f s1 (x) λ g s0 (y) 1 λ, και η επαγωγική υπόθεση μας δίνει (1..14) H(λs 1 + (1 λ)s 0 ) := ( R n 1 h λs1+(1 λ)s 0 R n 1 f s1 ) λ ( R n 1 g s0 ) 1 λ =: F λ (s 1 )G 1 λ (s 0 ). Εφαρμόζοντας τώρα ξανά την επαγωγική υπόθεση για n = 1 στις συναρτήσεις F, G και H, παίρνουμε ( ) λ ( ( ) λ ( (1..15) R n h = R H F R 1 λ G) = R R n f R n g ) 1 λ. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Prékopa Leindler μπορούμε να αποδείξουμε την ανισότητα Brunn Minkowski: Απόδειξη του Θεωρήματος 1... Εστω K, T μη κενά Borel υποσύνολα του R n, και έστω λ (0, 1). Ορίζουμε f = χ K, g = χ T, και h = χ λk+(1 λ)t. Εύκολα ελέγχουμε ότι ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Πράγματι, αν x / K ή y / T τότε (1..16) h(λx + (1 λ)y) 0 = [f(x)] λ [g(y)] 1 λ, ενώ αν x K και y T τότε λx + (1 λ)y λk + (1 λ)t, άρα (1..17) h(λx + (1 λ)y) = 1 = [f(x)] λ [g(y)] 1 λ. Εφαρμόζοντας την ανισότητα Prékopa-Leindler παίρνουμε ( ) λ ( 1 λ (1..18) λk + (1 λ)t = h f g) = K λ T 1 λ. Θεωρούμε τώρα K και T όπως στο Θεώρημα 1.. (με K > 0 και T > 0, αλλιώς δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε), και ορίζουμε (1..19) K 1 = K 1/n K, T 1 = T 1/n T, λ = K 1/n K 1/n + T 1/n.

11 1. Κλασικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 7 Τα K 1 και T 1 έχουν όγκο 1, οπότε από την (1..18) παίρνουμε (1..0) λk 1 + (1 λ)t 1 1. Ομως, (1..1) λk 1 + (1 λ)t 1 = K + T K 1/n + T 1/n, επομένως η (1..0) παίρνει την μορφή (1..) K + T ( K 1/n + T 1/n) n και έπεται το ζητούμενο. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Brunn Minkowski μπορούμε να δώσουμε την απάντηση στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα στον R n : Ανάμεσα σε όλα τα μη κενά Borel υποσύνολα του R n που έχουν δεδομένο όγκο α, η μπάλα όγκου α έχει ελάχιστη επιφάνεια. Ο ορισμός της επιφάνειας που θα χρησιμοποιήσουμε είναι αυτός του Minkowski, ο οποίος βασίζεται στην έννοια της t-περιοχής: θυμηθείτε ότι αν A είναι ένα μη κενό Borel υποσύνολο του R n και αν t > 0, η t-περιοχή του A είναι το σύνολο A t = {x R n : d(x, A) t}, όπου d(x, A) = inf{ x a : a A} είναι η Ευκλείδεια απόσταση του x από το σύνολο A. Παρατηρήστε ότι, για κάθε t > 0, (1..3) A t = A + tb n. Σύμφωνα με τον ορισμό της επιφάνειας κατά Minkowski, αν A είναι ένα μη κενό Borel υποσύνολο του R n με πεπερασμένο όγκο, η επιφάνεια (A) του A ορίζεται από την (1..4) (A) = lim inf t 0 + A t A. t Μπορεί να ελέγξει κανείς ότι αν το A είναι κυρτό σώμα, τότε το lim inf στο δεξιό μέλος είναι όριο. Η απάντηση στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα για τον Ευκλείδειο χώρο δίνεται από το εξής θεώρημα. Θεώρημα Αν A είναι μη κενό Borel υποσύνολο του R n με πεπερασμένο όγκο, τότε (1..5) (A) n A (n 1)/n B n 1/n. Πράγματι, άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 1..5 είναι το εξής.

12 8 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Θεώρημα Εστω A μη κενό Borel υποσύνολο του R n με πεπερασμένο όγκο και έστω r > 0 τέτοιος ώστε A = rb n. Τότε, (1..6) (A) (rb n ). Απόδειξη. Θέτουμε ω n = B n. Αφού A = ω n r n, από το Θεώρημα 1..5 έχουμε (1..7) (A) nω (n 1)/n n r n 1 ω 1/n n = nω n r n 1. Ομως, έχουμε (rb n ) t = rb n + tb n = (r + t)b n, και από τον ορισμό της επιφάνειας έπεται ότι (1..8) (rb n (r + t)b n rb n ω n (r + t) n ω n r n ) = lim = lim = nω n r n 1. t 0 + t t 0 + t Άρα, (A) (rb n ). Απόδειξη του Θεωρήματος Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Brunn Minkowski γράφουμε (1..9) A t A t = A + tbn A t ( A 1/n + tb n 1/n) n A t = A + nt A (n 1)/n B n 1/n + O(t ) A t = n A (n 1)/n B n 1/n + O(t), και παίρνοντας το όριο καθώς t 0 + βλέπουμε ότι (1..30) lim inf t 0 + A t A t n A (n 1)/n B n 1/n. Από τον ορισμό της επιφάνειας προκύπτει το συμπέρασμα. Παρατηρήστε ότι αυτό που δείξαμε είναι ακόμα ισχυρότερο: για κάθε t > 0, ανάμεσα σε όλα τα μη κενά Borel υποσύνολα του Ευκλείδειου χώρου που έχουν δεδομένο όγκο, η μπάλα έχει την «μικρότερη t-επέκταση». Πρόταση Εστω B μια μπάλα στον R n. Αν A είναι ένα μη κενό Borel υποσύνολο του R n με A = B, τότε A t B t για κάθε t > 0. Απόδειξη. Εχουμε (1..31) A + tb 1/n A 1/n + tb 1/n = A 1/n + t B 1/n = (1 + t) B 1/n = B + tb 1/n, απ όπου έπεται το ζητούμενο.

13 1. Κλασικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 9 1.βʹ Ισοπεριμετρική ανισότητα στην σφαίρα Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα στην σφαίρα διατυπώνεται ως εξής: Δίνονται α (0, 1) και t > 0. Ανάμεσα σε όλα τα Borel υποσύνολα A της σφαίρας για τα οποία σ(a) = α, να βρεθούν εκείνα για τα οποία ελαχιστοποιείται η επιφάνεια σ(a t ) της t-περιοχής του A. Η απάντηση δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 1..8 (ισοπεριμετρική ανισότητα στην σφαίρα). Εστω α (0, 1) και έστω B(x, r) = {y S n 1 : ρ(x, y) r} μια μπάλα στην S n 1 με ακτίνα r > 0 που επιλέγεται ώστε σ(b(x, r)) = α. Τότε, για κάθε A S n 1 με σ(a) = α και για κάθε t > 0 έχουμε (1..3) σ(a t ) σ ( B(x, r) t ) = σ ( B(x, r + t) ). Δηλαδή, για οποιοδήποτε δοσμένο μέτρο α και οποιοδήποτε t > 0 οι γεωδαισιακές μπάλες μέτρου α δίνουν την λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος. Η απόδειξη της ισοπεριμετρικής ανισότητας γίνεται με σφαιρική συμμετρικοποίηση και επαγωγή ως προς την διάσταση (μια περιγραφή του επιχειρήματος δίνεται στο παράρτημα). Ας θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση α = 1/. Αν σ(a) = 1/ και t > 0, τότε μπορούμε να εκτιμήσουμε το μέγεθος του A t χρησιμοποιώντας την ισοπεριμετρική ανισότητα: (1..33) σ(a t ) σ (B ( x, π + t)) για κάθε t > 0 και x S n 1. Εκτιμώντας από κάτω το δεξιό μέλος αυτής της ανισότητας οδηγούμαστε στο εξής: Θεώρημα Εστω A S n+1 με σ(a) = 1 και έστω t > 0. Τότε, (1..34) σ(a t ) 1 π/8 exp( t n/). Απόδειξη. Λόγω της σφαιρικής ισοπεριμετρικής ανισότητας, αρκεί να φράξουμε από κάτω το σ(b(x, π + t)). Παρατηρήστε ότι (1..35) σ(b(x, π + t)) = π +t 0 sin n θdθ π 0 sinn θdθ, οπότε θέτοντας h(t, n) = 1 σ(b(x, π + t)), ζητάμε άνω φράγμα γιά την π π (1..36) h(t, n) = +t sinn π θdθ π 0 sinn θdθ = cos n φdφ t, I n

14 10 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου όπου (1..37) I n = π/ 0 cos n φdφ. Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής s = φ n παίρνουμε 1 (1..38) h(t, n) = ni n π n t n cos n (s/ n)ds. Συγκρίνοντας τα αναπτύγματα Taylor των συναρτήσεων cos s και exp( s /) βλέπουμε οτι (1..39) cos s exp( s /) στο [0, π/], επομένως (1..40) 1 h(t, n) ni n 1 = ni n π n t n ( π t) n 0 e s ds exp( (s + t n) /)ds exp( t n/) exp( s /)ds ni n 0 π/8 = exp( t n/). nin Γιά την απόδειξη του θεωρήματος αρκεί λοιπόν να δείξουμε οτι ni n 1 γιά κάθε n 1. Γιά τον σκοπό αυτό παρατηρούμε ότι από την αναδρομική σχέση (n + )I n+ = (n + 1)I n έπεται ότι (1..41) n + In+ = n + n + 1 n + I n = n + 1 I n ni n, n + το οποίο σημαίνει οτι αρκεί να ελέγξουμε τις (1..4) I 1 = και (1..43) Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. π/ 0 cos φ dφ = 1 1 I = π/ cos φ dφ = π Παρατήρηση. Αυτό που έχει σημασία σε σχέση με την εκτίμηση του θεωρήματος 1..9 είναι ότι, όσο μικρό t > 0 κι αν διαλέξουμε, η ακολουθία exp( t n/) τείνει στο 0 καθώς n και μάλιστα με πολύ γρήγορο ρυθμό (εκθετικά ως προς n). Συνεπώς, το ποσοστό της σφαίρας που μένει έξω από την t-περιοχή οποιουδήποτε υποσυνόλου A της S n+1 με σ(a) = 1/ είναι «σχεδόν μηδενικό» αν η διάσταση n είναι αρκετά μεγάλη.

15 1. Κλασικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 11 1.γʹ Ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss Η ισοπεριμετρική ανισότητα στο χώρο του Gauss είναι η εξής. Θεώρημα Εστω α (0, 1), θ S n 1, και H = {x R n : x, θ λ} ένας ημίχωρος του R n με γ n (H) = α. Τότε, γιά κάθε t > 0 και για κάθε Borel υποσύνολο A του R n με γ n (A) = α ισχύει (1..44) γ n (A t ) γ n (H t ). Στο παράρτημα περιγράφεται μια απόδειξη που βασίζεται στην «παρατήρηση του Poincaré» και ουσιαστικά ανάγει το πρόβλημα στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα για την σφαίρα. Αυτό που μας ενδιαφέρει περισσότερο είναι η παρακάτω ανισότητα, η οποία είναι συνέπεια του Θεωρήματος Θεώρημα Αν γ n (A) 1/, τότε για κάθε t > 0 (1..45) 1 γ n (A t ) 1 exp( t /). Απόδειξη. Από το Θεώρημα γνωρίζουμε ότι (1..46) 1 γ n (A t ) 1 γ n (H t ) όπου H ημίχωρος μέτρου 1/. Αφού το γ n είναι αναλλοίωτο ως προς ορθογώνιους μετασχηματισμούς, μπορούμε να υποθέσουμε ότι H = {x R n : x 1 0}, οπότε ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς x,..., x n βλέπουμε ότι (1..47) 1 γ n (H t ) = 1 e s / ds. π Παραγωγίζοντας δείχνουμε ότι η συνάρτηση (1..48) F (x) = e x / x t e s / ds είναι φθίνουσα στο [0, + ). Από την F (t) F (0) προκύπτει το συμπέρασμα. 1.δʹ Η ισοπεριμετρική ανισότητα στον E n Η t-περιοχή ενός A E n είναι ως συνήθως το σύνολο A t = {x E n : d n (x, A) t}. Οι τιμές που μπορεί να πάρει η d n είναι πεπερασμένες το πλήθος: 0, 1/n, /n,..., 1. Επομένως, αυτές είναι οι τιμές του t γιά τις οποίες η t-περιοχή του A παρουσιάζει ενδιαφέρον, με την έννοια ότι το A t παραμένει αμετάβλητο όταν το t παίρνει τιμές σε ένα διάστημα της μορφής [k/n, (k + 1)/n).

16 1 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα είναι λοιπόν το εξής. Μας δίνουν έναν φυσικό m = 1,,..., n και κάποιο t = k/n, k = 1,..., n. Γιά ποιό σύνολο A με πλήθος στοιχείων m είναι η k/n-περιοχή του A η μικρότερη δυνατή; Η απάντηση είναι ότι το A θα πρέπει να έχει όσο το δυνατόν «λιγότερα κενά». Αν περιέχει μιά n-άδα x = (x 1,..., x n ), τότε θα πρέπει να περιέχει κατά σειρά προτεραιότητας και τις «γειτονικές» της n-άδες, αυτές δηλαδή που διαφέρουν από την x σε μία συντεταγμένη, δύο συντεταγμένες, κ.ο.κ. (εφόσον το πλήθος των στοιχείων του A επαρκεί). Αυτό, γιατί η παραμικρή επέκταση του A θα τις συμπεριλάβει ούτως ή άλλως. Τα πιό οικονομικά σύνολα είναι οι d n -μπάλες (οι λεγόμενες Hamming μπάλες του E n ). Αποδεικνύεται η ακόλουθη ισοπεριμετρική ανισότητα γιά τον E n. Θεώρημα Εστω A E n 1,..., n l, έχουμε k=0 με m = l k=0 ( n k) στοιχεία. Τότε, γιά κάθε s = (1..49) µ n (A s/n ) 1 l+s ( ) n n = µ n (B(x, l/n) s/n ) = µ n (B(x, (l + s)/n)), k όπου x τυχόν στοιχείο του E n. Η ισοπεριμετρική αυτή ανισότητα οδηγεί σε μια προσεγγιστική ισοπεριμετρική ανισότητα για τον E n. Θεώρημα Αν µ n (A) 1/ και t > 0, τότε µ n (A c t) 1 exp( t n). Το Θεώρημα ερμηνεύεται ως εξής: για να εκτιμήσουμε το µ n (A t ) αρκεί να θέσουμε l = n/ και s = tn στο θεώρημα Τότε βλέπουμε ότι (1..50) µ n (A c t) 1 n n j=( 1 +t)n ( ) n, j το οποίο φθίνει εκθετικά στο 0 καθώς n, γιατί οι «ακραίοι» διωνυμικοί συντελεστές είναι πολύ μικροί σε σύγκριση με τους «μεσαίους» όταν το n είναι μεγάλο. Η απόδειξη του Θεωρήματος 1..1 είναι συνδυαστική και γίνεται με επαγωγή ως προς n (περιγράφεται στο παράρτημα). 1.3 Sunˆrthsh sugkèntrwshc Ορισμός (συνάρτηση συγκέντρωσης). Εστω (X, d, µ) ένας μετρικός χώρος πιθανότητας. Η συνάρτηση συγκέντρωσης του (X, d, µ) ορίζεται στο (0, ) από την (1.3.1) α µ (t) := sup{1 µ(a t ) : µ(a) 1/}.

17 1.3 Συναρτηση συγκεντρωσης Η συνάρτηση α µ είναι προφανώς φθίνουσα και, όπως δείχνει η επόμενη πρόταση, lim t α µ (t) = Πρόταση Σε κάθε μετρικό χώρο πιθανότητας (X, d, µ) ισχύει (1.3.) lim t α µ (t) = 0. Απόδειξη. Σταθεροποιούμε x X και 0 < ε 1/. Από το γεγονός ότι X = έπεται ότι υπάρχει r N ώστε (1.3.3) µ(b(x, r)) > 1 ε. n=1 B(x, n) Τότε, για κάθε A B(X) με µ(a) 1/ έχουμε A B(x, r), απ όπου έπεται ότι B(x, r) A r. [Πράγματι, υπάρχει a A ώστε d(x, a) r και τότε, για κάθε y B(x, r) έχουμε d(y, a) d(y, x) + d(x, a) r, δηλαδή y A r ]. Τότε, για κάθε t r έχουμε (1.3.4) 1 µ(a t ) 1 µ(a r ) 1 µ(b(x, r)) < ε, άρα α µ (t) ε. Ορισμός (συγκέντρωση του μέτρου). Λέμε ότι υπάρχει «συγκέντρωση του μέτρου» στον μετρικό χώρο πιθανότητας (X, d, µ) αν η α µ (t) φθίνει γρήγορα καθώς το t. Πιο συγκεκριμένα: (α) Λέμε ότι το µ έχει κανονική συγκέντρωση στον (X, d) αν υπάρχουν σταθερές C, c > 0 ώστε, για κάθε t > 0, (1.3.5) α µ (t) Ce ct. Τα αποτελέσματα της προηγούμενης παραγράφου (πιο συγκεκριμένα, οι εκτιμήσεις που προκύπτουν από τις λύσεις των αντίστοιχων ισοπεριμετρικών προβλημάτων) δείχνουν ότι αυτό ισχύει για την σφαίρα, για τον διακριτό κύβο και για τον χώρο του Gauss. Σύμφωνα με τον Ορισμό της συνάρτησης συγκέντρωσης, σε αυτούς τους χώρους έχουμε: (i) Για την σφαίρα (S n 1, ρ, σ) ισχύει α σ (t) π/8 exp( t n/). (ii) Για τον χώρο του Gauss (R n,, γ n ) ισχύει α γn (t) 1 exp( t /). (iii) Για τον διακριτό κύβο (E m, d n, µ n ) ισχύει α µn (t) 1 exp( t n).

18 14 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου (α) Λέμε ότι το µ έχει εκθετική συγκέντρωση στον (X, d) αν υπάρχουν σταθερές C, c > 0 ώστε, για κάθε t > 0, (1.3.6) α µ (t) Ce ct. Πολλές από τις εφαρμογές της συγκέντρωσης του μέτρου βασίζονται στο εξής θεώρημα. Θεώρημα Εστω (X, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας. Αν f : X R είναι μια συνάρτηση Lipschitz με σταθερά 1, δηλαδή αν f(x) f(y) d(x, y) για κάθε x, y X, τότε (1.3.7) µ ({x X : f(x) med(f) > t}) α µ (t), όπου med(f) είναι ο μέσος Lévy της f. Σημείωση. Μέσος Lévy med(f) της f είναι ένας αριθμός για τον οποίο (1.3.8) µ({f med(f)}) 1/ και µ({f med(f)}) 1/. Απόδειξη του Θεωρήματος Θέτουμε A = {x : f(x) med(f)} και B = {x : f(x) med(f)}. Αν y A t τότε υπάρχει x A με d(x, y) t, οπότε (1.3.9) f(y) = f(y) f(x) + f(x) d(y, x) + med(f) med(f) t αφού η f είναι 1-Lipschitz. Ομοίως, αν y B t τότε υπάρχει x B με d(x, y) t, οπότε (1.3.10) f(y) = f(y) f(x) + f(x) d(y, x) + med(f) med(f) + t. Δηλαδή, αν y A t B t τότε f(x) med(f) t. Με άλλα λόγια, (1.3.11) {x X : f(x) med(f) > t} (A t B t ) c = A c t B c t. Ομως, από τον ορισμό της συνάρτησης συγκέντρωσης έχουμε µ(a t ) 1 α µ (t) και µ(b t ) 1 α µ (t). Επεται ότι (1.3.1) µ ({ f med(f) > t}) (1 µ(a t )) + (1 µ(b t )) α µ (t). Πόρισμα Εστω (X, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας. Αν f : X R είναι μια συνάρτηση Lipschitz με σταθερά f Lip, δηλαδή αν f(x) f(y) f Lip d(x, y) για κάθε x, y X, τότε (1.3.13) µ ({x X : f(x) med(f) > t}) α µ (t/ f Lip ), όπου med(f) είναι μέσος Lévy της f. Στην περίπτωση που η συνάρτηση συγκέντρωσης φθίνει πολύ γρήγορα, το Θεώρημα δείχνει ότι οι 1-Lipschitz συνεχείς συναρτήσεις είναι «σχεδόν σταθερές» σε «σχεδόν ολόκληρο το χώρο». Ισχύει μάλιστα και το αντίστροφο.

19 1.4 Προσεγγιστικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 15 Θεώρημα Εστω (X, d, µ) μετρικός χώρος πιθανότητας. Αν για κάποιο η > 0 και κάποιο t > 0 ισχύει (1.3.14) µ ({x X : f(x) med(f) > t}) η για κάθε 1-Lipschitz συνάρτηση f : X R, τότε α µ (t) η. Απόδειξη. Εστω A Borel υποσύνολο του X με µ(a) 1/. Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = d(x, A). Η f είναι 1-Lipschitz και med(f) = 0 γιατί η f παίρνει μη αρνητικές τιμές και µ({x : f(x) = 0}) 1/. Από την υπόθεση παίρνουμε (1.3.15) µ({x X : d(x, A) > t}) η, δηλαδή 1 µ(a t ) η. Επεται ότι α µ (t) η. 1.4 Proseggistikèc isoperimetrikèc anisìthtec 1.4αʹ Η συνάρτηση συγκέντρωσης της σφαίρας Η απόδειξη του Θεωρήματος 1..9 βασίζεται πολύ ισχυρά στην σφαιρική ισοπεριμετρική ανισότητα. Για τις περισσότερες όμως εφαρμογές που έχουμε στο νού μας είναι αρκετή μια ανισότητα της μορφής (1.4.1) σ(a t ) 1 c 1 exp( c t n) και όχι η ακριβής λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος. Θα δώσουμε μια απλή απόδειξη εκτίμησης «αυτού του τύπου» χωρίς να περάσουμε μέσα από την ισοπεριμετρική ανισότητα, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Brunn-Minkowski. Λήμμα Θεωρούμε το ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας µ στην Ευκλείδεια μοναδιαία μπάλα B n. Δηλαδή, µ(a) = A / B n για κάθε Borel σύνολο A B n. Αν A, C B n είναι Borel σύνολα και (1.4.) d(a, C) := min{ a c : a A, c C} = ρ > 0, τότε (1.4.3) min{µ(a), µ(c)} exp( ρ n/8). Απόδειξη. Θεωρούμε το σύνολο A+C. Από την ανισότητα Brunn Minkowski παίρνουμε min{ A, C }. Συνεπώς, A+C ( ) A + C (1.4.4) µ min{µ(a), µ(c)}.

20 16 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Από την άλλη πλευρά, αν a A και c C, ο κανόνας του παραλληλογράμμου δίνει (1.4.5) a + c = a + c a c 4 ρ, επομένως (1.4.6) A + C Συνδυάζοντας τα παραπάνω βλέπουμε ότι (1.4.7) min { µ(a), µ(c) } ( ) A + C µ 1 ρ 4 Bn. ) n/ (1 ρ exp( ρ n/8). 4 Απόδειξη του Θεωρήματος 1..9: Εστω A S n 1 με σ(a) = 1/ και έστω t > 0. Θέτουμε C = S n 1 \ A t και θεωρούμε τα υποσύνολα (1.4.8) A 1 = {ρa : a A, 1/ ρ 1} και C 1 = {ρa : a C, 1/ ρ 1} της B n. Εύκολα ελέγχουμε ότι (1.4.9) d(a 1, C 1 ) sin t t π. Από το Λήμμα συμπεραίνουμε ότι (1.4.10) C 1 exp( d n/8) B n exp ( t n/(8π ) ) B n. Ομως, από τον ορισμό του σ έχουμε B n σ(c) = C και C 1 = (1 n ) C. Επεται ότι (1.4.11) σ(a c t) = σ(c) Δηλαδή, 1 1 n exp ( t n/(8π ) ). (1.4.1) σ(a t ) 1 c 1 exp( c t n) όπου c 1 = και c = 1/(8π ). Αυτή είναι η ανισότητα του Θεωρήματος 1..9 αν εξαιρέσουμε τις ακριβείς τιμές των σταθερών c 1 και c. 1.4βʹ Η συνάρτηση συγκέντρωσης του χώρου του Gauss Οπως και στην περίπτωση της σφαίρας, η απόδειξη της προσεγγιστικής ισοπεριμετρικής ανισότητας του πορίσματος χρησιμοποιεί ισχυρά την ισοπεριμετρική ανισότητα του θεωρήματος Μπορούμε όμως να αποδείξουμε απευθείας την προσεγγιστική ισοπεριμετρική ανισότητα γιά το χώρο του Gauss.

21 1.4 Προσεγγιστικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 17 Θεώρημα Εστω A μη κενό Borel υποσύνολο του R n. Τότε, (1.4.13) /4 dγ n (x) 1 γ n (A), R n e d(x,a) όπου d(x, A) = inf{ x y : y A}. Επομένως, αν γ n (A) = 1/ τότε (1.4.14) 1 γ n (A t ) exp( t /4) γιά κάθε t > 0. Απόδειξη. Συμβολίζουμε με g n (x) την συνάρτηση (π) n/ exp( x /), και θεωρούμε τις συναρτήσεις (1.4.15) f(x) = e d(x,a) /4 g n (x), g(x) = χ A (x)g n (x), m(x) = g n (x). Γιά κάθε x R n και y A έχουμε (1.4.16) (π) n f(x)g(y) = e d(x,a) /4 e x / e y / ( x y exp x y 4 ( = exp x + ) y 4 ( ( = exp 1 )) x + y ( )) x + y = (π) (m n, όπου χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου και την d(x, A) x y. Παρατηρώντας ότι g(y) = 0 αν y / A, βλέπουμε ότι οι f, g, m ικανοποιούν τις υποθέσεις της ανισότητας Prékopa-Leindler με λ = 1/. Εφαρμόζουμε λοιπόν το Θεώρημα 1..4 και έχουμε ( ) ( ) ( ) (1.4.17) e d(x,a) /4 g n (dx) γ n (A) = f(x)dγ n (x) g(x)dγ n (x) R n R n R ( ) n m(x)dγ n (x) = 1. R n Αυτό αποδεικνύει τον πρώτο ισχυρισμό του θεωρήματος. Γιά τον δεύτερο, παρατηρούμε ότι αν γ n (A) = 1/ τότε (1.4.18) e t /4 γ n (x : d(x, A) > t) e d(x,a) /4 γ n (dx) 1 γ n (A) =. Δηλαδή, γ n (A c t) exp( t /4). )

22 18 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου 1.4γʹ Η συνάρτηση συγκέντρωσης του διακριτού κύβου Θεωρούμε το σύνολο E n = { 1, 1} n, το οποίο ταυτίζουμε με το σύνολο των κορυφών του κύβου Q n = [ 1, 1] n στον R n. Στο E n ορίζουμε το κανονικό μέτρο πιθανότητας µ n που δίνει μάζα n σε κάθε σημείο. Για κάθε μη κενό A E n θέτουμε (1.4.19) φ A (x) = inf{ x y : y conv(a)}. Το βασικό θεώρημα αυτής της παραγράφου είναι το εξής. Θεώρημα Για κάθε A E n, (1.4.0) E exp(φ A/8) 1 µ n (A). Απόδειξη. Με επαγωγή ως προς το πλήθος των σημείων του A. Αν card(a) = 1 δηλαδή A = {y}, τότε (1.4.1) φ A (x) = inf{ x z : z conv(a) = {y}} = x y. Άρα, (1.4.) E exp(φ A/8) = E (e x y /8) = 1 n e x y /8. x E n Κάθε x E n διαφέρει από το y σε i θέσεις, i = 0, 1,..., n. Το πλήθος των x E n που διαφέρουν σε i θέσεις από το y είναι ( n i). Παρατηρούμε ότι x y = 4i όταν το x διαφέρει απο το y σε i θέσεις. Άρα, (1.4.3) Ee x y /8 = 1 n n i=0 ( ) n e i/ i = 1 ( n 1 + e 1/) ( n 1 + e 1/ = n = 1 µ n (A), αφού e 1/ e 3. Εστω τώρα ότι card(a). Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση n = 1. Αναγκαστικά έχουμε A = E 1, επομένως φ A (x) = 0 για κάθε x E 1. Άρα, (1.4.4) E exp(φ A/8) = Ee 0 = 1 = 1/µ 1 (A). ) n

23 1.4 Προσεγγιστικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 19 Για το επαγωγικό βήμα θεωρούμε A E n+1 με card(a). γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι Χωρίς περιορισμό της (1.4.5) A = (A 1 {1}) (A 1 { 1}) όπου A 1, A 1. Μπορούμε επίσης να υποθέσουμε ότι card(a 1 ) card(a 1 ). Λήμμα Για κάθε x E n, (1.4.6) φ A ((x, 1)) φ A1 (x). Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι (1.4.7) { x y : y conv(a 1 )} { (x, 1) z : z conv(a)}. Εστω y conv(a 1 ). Τότε, y = m t ix i όπου t i 0 με m t i = 1 και x i A 1. Τότε όμως (x i, 1) A και (1.4.8) m t i (x i, 1) = ( m m ) t i x i, t i = (y, 1), δηλαδή (y, 1) conv(a). Αφού x y = (x, 1) (y, 1) και (1.4.9) (x, 1) (y, 1) { (x, 1) z : z conv(a)}, έχουμε το ζητούμενο. Λήμμα Για κάθε x E n και για κάθε 0 a 1, (1.4.30) φ A((x, 1)) 4a + aφ A 1 (x) + (1 a)φ A 1(x). Απόδειξη. Εστω z i conv(a i ) (i = 1, 1). Τότε, όπως προηγουμένως, (z i, i) conv(a). Το conv(a) είναι κυρτό, άρα (1.4.31) z := a(z 1, 1) + (1 a)(z 1, 1) = (az 1 + (1 a)z 1, a 1) conv(a). Εχουμε (1.4.3) (x, 1) z = (x az 1 (1 a)z 1, a) = (x az 1 (1 a)z 1, 0) + (0, a) (a x z 1 + (1 a) x z 1 ) + 4a a x z 1 + (1 a) x z 1 + 4a. Αφού τα z i conv(a i ) ήταν τυχόντα, έπεται ότι (1.4.33) φ A(x, 1) aφ A 1 (x) + (1 a)φ A 1 (x) + 4a.

24 0 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Χρησιμοποιώντας τα δύο Λήμματα, γράφουμε (1.4.34) Ee φ A /8 = 1 n+1 e φ A (x)/8 x E n+1 = 1 n+1 e φ A ((x,1))/8 + 1 n+1 e φ A ((x, 1))/8 x E n x E n 1 n+1 e φ A (x)/ x E n 1 n+1 e φ A (x)/8 1 x E n ( + 1 / ea e φ A (x)/8 1 n+1 x E n / ea e aφ n+1 x E n ) a ( A 1 (x)/8+(1 a)φ A 1 (x)/8 ) 1 a e φ A (x)/8 1 x E n = 1 E(eφ A /8 1 ) + 1 ( ) a ( ) 1 a / E(e ea φ A /8 1 ) E(e φ A /8 1 ). Θέτουμε ( ) (1.4.35) u 1 = E e φ A /8 1 1, v 1 = µ n (A 1 ) και (1.4.36) ( u 1 = E e φ A /8 1, 1 v 1 = µ n (A 1 ). Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε u 1 v 1 και u 1 v 1. (επίσης, η card(a 1 ) card(a 1 ) γράφεται v 1 v 1 ). Άρα η προηγούμενη ανισότητα παίρνει τη μορφή (1.4.37) Ee φ A /8 1 u ea / (u 1 ) a (u 1 ) 1 a 1 u ea / (v 1 ) a (v 1 ) 1 a v 1 [1 + ea / (v 1 /v 1 ) a 1 ]. Η τελευταία ποσότητα γίνεται ελάχιστη για a = ln(v 1 /v 1 ). Η τιμή ln(v 1 /v 1 ) είναι περίπου ίση με 1 v 1 /v 1. Επιλέγουμε a 0 = 1 v 1 /v 1. Αφού v 1 v 1 έχουμε 0 a 0 1, οπότε μπορούμε να γράψουμε (1.4.38) E(e φ A /8 ) v 1 [1 + ea0 / (1 a 0 ) a0 1 ].

25 1.4 Προσεγγιστικες ισοπεριμετρικες ανισοτητες 1 Λήμμα Για κάθε 0 a 1 έχουμε (1.4.39) 1 + e a / (1 a) a 1 4 a. Απόδειξη. Απλές πράξεις δείχνουν ότι η ανισότητα που ζητάμε είναι ισοδύναμη με την (1.4.40) g(a) = ln( + a) ln( a) a / (a 1) ln(1 a) 0. Παραγωγίζοντας βλέπουμε ότι g 0 και g (0) = 0. Άρα η g είναι αύξουσα στο [0, 1]. Αφού g(0) = 0, έπεται το ζητούμενο. Χρησιμοποιώντας το Λήμμα έχουμε (1.4.41) E(e φ A /8 ) v 1 4 a 0 = v v 1 /v 1 = = 1/v 1 + 1/v 1 µ n (A 1 ) + µ n (A 1 ) 1 = µ n+1 (A). Η τελευταία ισότητα είναι φανερή αφού µ n+1 (A i {i}) = µ n (A i )/, i = ±1. ολοκληρώνονται το επαγωγικό βήμα και η απόδειξη του Θεωρήματος Ετσι Πόρισμα Για όλα τα t > 0, έχουμε (1.4.4) µ n (φ A t) 1 µ n (A) e t /8. Απόδειξη. Από το Θεώρημα έχουμε E exp(φ 1 A /8) µ. Άρα, n(a) (1.4.43) e t /8 µ n (φ A t) e t /8 e φ A /8 {φ A t} E(e φ A /8 ) 1 µ n (A). {φ A t} Εστω A μη κενό υποσύνολο του E n. Η συνάρτηση φ A του Θεωρήματος και η συνάρτηση απόστασης από το A { 1 (1.4.44) d n (x, A) = min n συγκρίνονται σύμφωνα με το επόμενο λήμμα. n } x i y i : y A

26 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Λήμμα Γιά κάθε μη κενό A E n έχουμε (1.4.45) nd n (x, A) φ A (x), x E n. Απόδειξη. Εστω x E n. Γιά κάθε y A ισχύει n (1.4.46) x y, x = x i (x i y i ) = nd n (x, y) nd n (x, A). Από την (1.4.46) έπεται ότι γιά κάθε y conv(a) (1.4.47) n x y x y, x nd n (x, A). Αυτό αποδεικνύει την (1.4.45). Συνδυάζοντας τα δύο παραπάνω λήμματα δείχνουμε την προσεγγιστική ισοπεριμετρική ανισότητα γιά τον E n : Θεώρημα Εστω A E n με µ n (A) = 1/. Τότε, γιά κάθε t > 0 έχουμε (1.4.48) µ n (A t ) 1 exp( t n/). Απόδειξη. Αν x / A t, τότε d n (x, A) t και το Λήμμα δείχνει ότι φ A (x) t n. Ομως, από το Θεώρημα έχουμε (1.4.49) e tn/ µ n (x : φ A (x) t n) exp(φ A(x)/8)dµ n (x) 1 µ n (A) =, το οποίο σημαίνει ότι (1.4.50) µ n (A c t) µ n (x : φ A (x) t n) exp( t n/). E n Το Θεώρημα έχει σαν συνέπεια την συγκέντρωση των κυρτών Lipschitz συναρτήσεων γύρω από τον μέσο Lévy τους. Θεώρημα Θεωρούμε μια κυρτή Lipschitz συνάρτηση f : R n R με σταθερά Lipschitz σ. Εστω M ένας μέσος Lévy της f στον E n. Τότε, για κάθε t > 0 έχουμε (1.4.51) µ n ({ f M t}) 4e t /8σ. Απόδειξη. Για τον M ισχύουν οι µ n ({f M}) 1/ και µ n ({f M}) 1/. Θέτουμε A = {f M}. Αφού η f είναι κυρτή, για κάθε y conva έχουμε f(y) M. Αν λοιπόν f(x) M + t για κάποιο x E n, τότε (1.4.5) f(x) M + t f(y) + t

27 1.5 Το λημμα των Johnson-Lindenstrauss 3 για κάθε y conv(a). Άρα, σ x y f(x) f(y) t. Αυτό σημαίνει ότι (1.4.53) φ A (x) t/σ. Από το Πόρισμα και από την µ n (A) 1/ έχουμε (1.4.54) µ n ({f M + t}) µ n ({φ A t/σ}) 1 µ n (A) e t /8σ e t /8σ. Εστω t > 0 και B = {f M t}. Αν u < t, όπως πριν ελέγχουμε ότι (1.4.55) f(x) M t + u = φ B (x) u/σ και με χρήση του Πορίσματος έχουμε (1.4.56) µ n ({f(x) M}) µ n ({f(x) M t + u}) µ n ({φ B u/σ}) 1 µ n (B) e u /8σ Ομως 1/ µ n ({f(x) M}), άρα (1.4.57) µ n (B) e u /8σ. Αφήνοντας το u να τείνει στο t παίρνουμε (1.4.58) µ n (B) e t /8σ. Συνδυάζοντας τα παραπάνω βλέπουμε ότι (1.4.59) µ n ({ f M > t}) = µ n ({f M + t}) + µ n ({f M t}) e t /8σ + e t /8σ = 4e t /8σ. 1.5 To l mma twn Johnson-Lindenstrauss Σαν μια πρώτη εφαρμογή του φαινομένου της συγκέντρωσης του μέτρου στην σφαίρα, αποδεικνύουμε εδώ το λήμμα των Johnson-Lindenstrauss, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο στην θεωρία των εμφυτεύσεων μετρικών χώρων σε χώρους με νόρμα. Ορισμός (παραμόρφωση). Μια απεικόνιση f : X Y από τον μετρικό χώρο (X, d) στον μετρικό χώρο (Y, σ) λέγεται ισομετρική εμφύτευση αν διατηρεί τις αποστάσεις. Δηλαδή, αν σ(f(x), f(y)) = d(x, y) για κάθε x, y X. Για πολλές εφαρμογές θα μας

28 4 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου αρκούσε να πετύχουμε μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, d) στον μετρικό χώρο (Y, d) (για παράδειγμα, στον Ευκλείδειο χώρο) η οποία να μην παραμορφώνει πολύ τις αποστάσεις. Ενας τρόπος να ορίσουμε την έννοια της κατά προσέγγιση ισομετρικής εμφύτευσης είναι ο εξής. Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, d X ) στο μετρικό χώρο (Y, d Y ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: d Y (f(x), f(y)) d X (x, y) (1.5.1) dist(f) = sup sup x y d X (x, y) x y d Y (f(x), f(y)). Ειδικότερα, αν f : X Y είναι μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, d) στο χώρο με νόρμα (Y, ) τότε η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) d(x, y) (1.5.) dist(f) = sup sup x y d(x, y) x y f(x) f(y). Συμβολίζουμε με c Y (X) την ελάχιστη δυνατή παραμόρφωση με την οποία ο X μπορεί να εμφυτευτεί στον Y. Αν c Y (X) α τότε λέμε ότι ο X είναι α-εμφυτεύσιμος στον Y. Σχετικά με το πρόβλημα της εμφύτευσης ενός πεπερασμένου μετρικού χώρου στον Ευκλείδειο χώρο, ο Bourgain απέδειξε το 1985 ότι κάθε μετρικός χώρος (X, d) με n σημεία εμφυτεύεται σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο με παραμόρφωση O(log n). Δηλαδή, (1.5.3) sup c (X) c log n, X =n όπου c (X) = c l (X). Χρησιμοποιώντας το Λήμμα των Johnson-Lindenstrauss θα δούμε ότι η εμφύτευση μπορεί πάντα να γίνει σε Ευκλείδειο χώρο διάστασης d = O(log n). Θεώρημα 1.5. (Johnson-Lindenstrauss). Εστω X ένα σύνολο n-σημείων σε κάποιον Ευκλείδειο χώρο. Για κάθε ε (0, 1] υπάρχει (1+ε)-εμφύτευση του X στον l k για κάποιον k = O(ε log n). Η απόδειξη θα βασιστεί στο Λήμμα του Lévy. Λήμμα Αν f : S n 1 R είναι μια 1-Lipschitz συνεχής συνάρτηση τότε, για κάθε t > 0, (1.5.4) σ(f < med(f) t) e t n/ και σ(f > med(f) + t) e t n/. Εστω 1 k n. Θεωρούμε τη συνάρτηση f k : S n 1 R που απεικονίζει κάθε x S n 1 στο μήκος f k (x) της προβολής του πάνω στον υπόχωρο H k που παράγεται από τα πρώτα k διανύσματα της συνήθους ορθοκανονικής βάσης του R n. Δηλαδή, (1.5.5) f k (x) = x x k όπου x = (x 1,..., x n ).

29 1.5 Το λημμα των Johnson-Lindenstrauss 5 Λήμμα Υπάρχει πραγματικός αριθμός m = m(n, k) ώστε (1.5.6) σ(f k < m t) e t n/ και σ(f k > m + t) e t n/ για κάθε t > 0. Αν το n είναι μεγαλύτερο από κατάλληλη απόλυτη σταθερά και αν k 10 log n, τότε m 1 k n. Απόδειξη. Η (1.5.6) ισχύει με m = med(f). Αυτό είναι άμεση συνέπεια του Λήμματος 1.5.3, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η f k είναι 1-Lipschitz. Μένει να δούμε το κάτω φράγμα για το m. Παρατηρήστε ότι (1.5.7) fk dσ = k x 1dσ(x) = k x S n 1 S n dσ(x) = k n 1 S n. n 1 Για κάθε t > 0 μπορούμε να γράψουμε k (1.5.8) n = fk dσ σ(f m + t) (m + t) + σ(f > m + t) f k S n 1 (m + t) + e t n/. Επιλέγουμε t = k/5n. Εχουμε υποθέσει ότι k 10 log n, απ όπου έπεται ότι exp( t n/) 1 n. Άρα, (1.5.9) δηλαδή, (1.5.10) m k n (m + t) + 1 n, k 1 n t 1 k n αν το n (οπότε και το k) είναι αρκετά μεγάλο. m = k/n + O(1/ n) για κάθε k. Ακριβέστερος υπολογισμός δείχνει ότι Απόδειξη του Θεωρήματος Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το n είναι αρκετά μεγάλο. Εστω X ένα σύνολο n σημείων στον l. Θέτουμε k = 00ε log n. Αν k n τότε δεν έχουμε τίποτα να δείξουμε, οπότε υποθέτουμε ότι k < n. Εστω L ο τυχαίος k-διάστατος γραμμικός υπόχωρος του l n. Εστω p L : l n L η ορθογώνια προβολή επί του L και έστω m = m(n, k). Εστω x και y στο X. Θα δείξουμε ότι η πιθανότητα (ως προς L) να μην ισχύει η (1.5.11) ( 1 ε 3 είναι μικρότερη από 1 n. ) m x y p L (x) p L (y) ( 1 + ε 3 ) m x y

30 6 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου Θέτουμε u = x y. Αφού κάθε p L είναι γραμμική απεικόνιση, η (1.5.11) γράφεται ( (1.5.1) 1 ε ) ( m u p L (u) 1 + ε ) m u, 3 3 και, επειδή όλοι οι όροι της ανισότητας είναι θετικά ομογενείς, μπορούμε να υποθέσουμε ότι u = 1. Δηλαδή, για σταθερό u S n 1 ζητάμε να ισχύει η ( (1.5.13) P L : pl (u) m εm ) > 1 3 n. Ομως, η πιθανότητα αυτή είναι ακριβώς ίση με το ( (1.5.14) σ x S n 1 : fk (x) m > εm 3 Από το Λήμμα 1.5.4, αυτό είναι μικρότερο από ( (1.5.15) exp ε m ) ( ) n exp ε k < n Αφού υπάρχουν λιγότερα από n ζευγάρια σημείων x, y X, υπάρχει κάποιος L ώστε η (1.5.11) να ισχύει για κάθε x, y X. Τότε, η απεικόνιση p L : X L ορίζει μια εμφύτευση του X στον l k με παραμόρφωση D (1 + ε/3)/(1 ε/3) < 1 + ε (αν 0 < ε < 1). Η εφαρμογή: Εστω (X, d) ένας μετρικός χώρος με n σημεία. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε βρει μια εμφύτευση f : X l με παραμόρφωση dist(f) = α. Θεωρώντας τον υπόχωρο του l που παράγουν τα f(x 1 ),..., f(x n ) μπορούμε πάντα να υποθέτουμε ότι η f εμφυτεύει τον X στον l n. Εφαρμόζοντας το Θεώρημα 1.5. με ε = 1/ για το σύνολο f(x) στον l n βρίσκουμε k C log n και εμφύτευση h : f(x) l k με παραμόρφωση dist(h) <. Τότε, η f 1 = h f : X l k είναι μια (α) εμφύτευση του X στον l k. Με άλλα λόγια, ισχύει η εξής «αρχή αναγωγής της διάστασης»: Αν ένας πεπερασμένος μετρικός χώρος X εμφυτεύεται με παραμόρφωση α σε C log X κάποιον Ευκλείδειο χώρο, τότε εμφυτεύεται με παραμόρφωση α στον l, όπου C > 0 απόλυτη σταθερά. Ειδικότερα, η συζήτηση που έγινε στην αρχή της παραγράφου δείχνει ότι υπάρχει c > 0 με την εξής ιδιότητα: για κάθε n μπορούμε να βρούμε d c log n ώστε (1.5.16) sup c l d (X) c log n. X =n 1.6 Ask seic 1. JewroÔme thn monadiaða EukleÐdeia sfaðra S n 1 = {x R n : x = 1} ston R n. OrÐzoume {apìstash} ρ(x, y) dôo shmeðwn x, y S n 1 na eðnai h kurt gwnða xoy sto epðpedo pou orðzetai apì thn arq twn axìnwn o kai ta x, y. ).

31 1.6 Ασκησεις 7 (a) DeÐxte ìti: an ρ(x, y) = θ tìte x y = sin θ kai sumperˆnate ìti (b) DeÐxte ìti h ρ eðnai metrik sthn S n 1. π ρ(x, y) x y ρ(x, y), x, y Sn 1.. 'Estw K èna summetrikì kurtì s ma ston R n kai èstw x = min{t 0 : x tk} h nìrma pou epˆgetai ston R n apì to K (elègxte ìti K = {x : x 1} dhlad to K eðnai h monadiaða mpˆla tou (R n, )). DeÐxte ìti e x dx = K t n e t dt. R n 0 Genikìtera, deðxte ìti gia kˆje p > 0, p dx = K pt n+p 1 e tp dt. Upìdeixh: MporeÐte na grˆyete R n e x R n e x p dx = R n 0 ( ) pt p 1 e tp dt dx. x 3. H sunˆrthsh Γ : (0, + ) (0, + ) orðzetai mèsw thc DeÐxte ìti: (a) Γ(1) = 1. (b) Γ(x + 1) = xγ(x) gia kˆje x > 0. Γ(x) = (g) Γ(n + 1) = n! gia kˆje n = 0, 1,,... (d) Γ ( 1 ) = π. 0 t x 1 e t dt. DeÐxte epðshc ìti h sunˆrthsh Γ eðnai logarijmikˆ kurt : h log Γ eðnai kurt sunˆrthsh. 4. Gia kˆje p 1, h sunˆrthsh x p = ( x 1 p + + x n p ) 1/p

32 8 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου eðnai nìrma ston R n. OrÐzoume B n p = {x R n : x p 1}. DeÐxte ìti o ìgkoc thc B n p eðnai Ðsoc me [ Γ Bp n = Γ ( 1 )] n + 1 p ( ). n + 1 p 5. (to L mma tou Borell) 'Estw B kurtì s ma ston R n. Gia kˆje Lebesgue metr simo uposônolo A tou R n, orðzoume A B µ B(A) =. B (a) 'Estw M R n kurtì kai summetrikì wc proc to 0. DeÐxte ìti gia kˆje t > 1 isqôei o egkleismìc R n \ M t + 1 (Rn \ tm) + t 1 t + 1 M. (b) Upojètoume epiplèon ìti µ B(M) = a > 0. Brunn-Minkowski deðxte ìti, gia kˆje t > 1, ( ) (t+1)/ 1 a 1 µ B(tM) a. a Qrhsimopoi ntac to (a) kai thn anisìthta 6. 'Estw A R n kleistì, kurtì kai summetrikì wc proc thn arq twn axìnwn. DeÐxte ìti gia kˆje x R n isqôoun oi anisìthtec e x / γ n(a) γ n(a + x) γ n(a). 7. 'Estw f, g, h : [0, ) [0, ) treðc oloklhr simec sunart seic pou ikanopoioôn thn h( rs) f(r) g(s) gia kˆje r, s > 0. DeÐxte ìti ( h(x)dx f(x)dx g(x)dx) 1/. 8*. 'Estw f, g, h : [0, ) [0, ) treðc oloklhr simec sunart seic pou ikanopoioôn thn ( ) h f(r) r+s s g(s) r+s r r s

33 1.6 Ασκησεις 9 gia kˆje r, s > 0. JewroÔme p > 0 kai jètoume DeÐxte ìti A = B = C = ( 1/p f(r)r dr) p 1, 0 ( 1/p g(r)r dr) p 1, 0 ( 1/p h(r)r dr) p 1. 0 C 1 A + 1 B. 9. 'Estw (X, d, µ) metrikìc q roc pijanìthtac kai èstw α µ h sunˆrthsh sugkèntrwshc tou µ. Upojètoume ìti gia kˆpoio ε (0, 1) kai kˆpoio t > 0 isqôei α µ(t) < ε. DeÐxte ìti: an A B(X) kai µ(a) ε, tìte 1 µ(a t+r) α µ(r) gia kˆje r > 'Estw (X, d), (Y, σ) metrikoð q roi kai èstw f : (X, d) (Y, σ) Lipsichtz suneq c sunˆrthsh me nìrma f Lip. Dhlad, gia kˆje x, y X isqôei σ(f(x), f(y)) f Lipd(x, y). 'Estw µ èna Borel mètro pijanìthtac ston X kai èstw ν to Borel mètro pijanìthtac f(µ) to opoðo orðzetai mèsw thc ν(a) = µ(f 1 (A)), A B(Y ). DeÐxte ìti gia kˆje t > 0. α ν(t) α µ(t/ f Lip) 11. 'Estw (X, d, µ) metrikìc q roc pijanìthtac kai èstw α µ h sunˆrthsh sugkèntrwshc tou µ. DeÐxte ìti: (a) An F : (X, d) R eðnai mia 1-Lipschitz suneq c sunˆrthsh, tìte gia kˆje t > 0. (µ µ) ({(x, y) X X : F (x) F (y) t}) α µ(t/) (b) An A, B B(X) kai dist(a, B) = δ > 0, tìte µ(a)µ(b) 4α µ(δ/). 1. 'Estw (X i, i), i n, peperasmènh akoloujða q rwn me nìrma. Gia kˆje i n jewroôme èna peperasmèno uposônolo Ω i tou X i me diˆmetro mikrìterh Ðsh tou 1. 'Estw P i mètro pijanìthtac sto Ω i. JewroÔme ton q ro ginìmeno X (n) = ( i n ) Xi kai jètoume Ω = Ω 1 Ω Ω n

34 30 Ισοπεριμετρικες ανισοτητες και συγκεντρωση του μετρου kai P = P n = P 1 P P n. (to mètro ginìmeno sto Ω). Gia kˆje A Ω orðzoume φ A(t) = d(t, conv(a)), thn apìstash tou t apì thn kurt j kh conv(a) tou A ston X (n). DeÐxte ìti, gia kˆje A Ω, E ( e φ A /4 ) 1 P (A).

35 Kefˆlaio To je rhma tou Dvoretzky.1 Apìstash Banach-Mazur Σε αυτό το Κεφάλαιο, κυρτό σώμα λέμε ένα συμπαγές κυρτό υποσύνολο K του R n με 0 int(k). Η ακτινική συνάρτηση ρ K : R n \{0} R + του K ορίζεται από την (.1.1) ρ K (x) = max{λ > 0 : λx K}. Η συνάρτηση στήριξης h K : R n R του K ορίζεται από την (.1.) h K (x) = max{ x, y : y K}. Παρατηρήστε ότι, γιά δοσμένη διεύθυνση θ S n 1, έχουμε ρ K (θ) h K (θ). Το πολικό σώμα K του K είναι το (.1.3) K := {y R n : x, y 1 για κάθε x K}. Οι βασικές ιδιότητες του πολικού σώματος είναι οι εξής: (i) Για κάθε θ S n 1, ρ K (θ) = 1/h K (θ). (ii) Αν K L, τότε L K. (iii) Αν T GL(n), τότε (T K) = (T 1 ) (K ). (iv) (K ) = K. (v) T K (T K) = K K. Εστω K συμμετρικό (ως προς την αρχή των αξόνων) κυρτό σώμα στον R n. Η απεικόνιση x K = min{λ 0 : x λk} είναι νόρμα στον R n. Ο R n εφοδιασμένος με την νόρμα K θα συμβολίζεται με X K. Αντίστροφα, αν X = (R n, ) είναι ένας χώρος με νόρμα,

36 3 Το θεωρημα του Dvoretzky τότε η μοναδιαία του μπάλα K X = {x R n : x 1} είναι συμμετρικό κυρτό σώμα στον R n. Η δυϊκή νόρμα της ορίζεται από την (.1.4) y = max{ x, y : x 1}. Από τον ορισμό είναι φανερό ότι x, y y x γιά κάθε x, y R n. Αν X = (R n, ) είναι ο δυϊκός χώρος του X, τότε K X = K X. Θα γράφουμε K ή, και K ή χωρίς αυτό να δημιουργεί σύγχυση. Εστω X και Y δύο χώροι με νόρμα. Ενας γραμμικός τελεστής T : X Y λέγεται φραγμένος αν υπάρχει σταθερά c > 0 ώστε T (x) c x για κάθε x X. Αν ο T είναι φραγμένος, ορίζουμε τη νόρμα T του T σαν την μικρότερη σταθερά c για την οποία η παραπάνω ανισότητα ισχύει για κάθε x X. Τότε, (.1.5) T = sup T (x) = sup T (x). x 1 x =1 Αν συμβολίσουμε με B(X, Y ) το σύνολο των φραγμένων τελεστών T : X Y τότε ο B(X, Y ) είναι γραμμικός χώρος και η : B(X, Y ) R με T T είναι νόρμα. Ο δυϊκός χώρος του X είναι ο γραμμικός χώρος X των φραγμένων γραμμικών συναρτησοειδών x : X R. Δηλαδή, X = B(X, R). Ο T : X Y λέγεται ισομορφισμός αν είναι γραμμικός, ένα προς ένα και επί τελεστής, και οι T : X Y, T 1 : Y X είναι φραγμένοι τελεστές. Ο T : X Y λέγεται ισομετρικός ισομορφισμός αν είναι ισομορφισμός και, επιπλέον, για κάθε x X ισχύει T (x) = x. Δύο χώροι X και Y με νόρμα λέγονται ισομετρικά ισόμορφοι αν υπάρχει ισομετρικός ισομορφισμός T : X Y. Το επόμενο λήμμα δείχνει ότι μπορούμε πάντα να ταυτίζουμε έναν n-διάστατο χώρο με νόρμα με έναν χώρο της μορφής X = (R n, ). Λήμμα.1.1. Εστω X ένας n-διάστατος χώρος με νόρμα. Μπορούμε να ορίσουμε νόρμα στον R n έτσι ώστε ο X να είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον (R n, ). Απόδειξη. Εστω η νόρμα του X, και έστω {x 1,..., x n } μια βάση του. Ορίζουμε T : X R n, με (.1.6) T (t 1 x t n x n ) = t 1 e t n e n, όπου {e 1,..., e n } η συνήθης βάση του R n. Ο T είναι γραμμικός ισομορφισμός. Ορίζουμε στον R n, θέτοντας (.1.7) t 1 e t n e n = t 1 x t n x n. Η είναι νόρμα στον R n, και (.1.8) T (x) = x για κάθε x X. Άρα, ο T είναι ισομετρικός ισομορφισμός μεταξύ των X και (R n, ).

37 .1 Αποσταση Banach-Mazur 33 Η έννοια της απόστασης Banach-Mazur εμφανίζεται στο βιβλίο του Banach «Théorie des opérations linéaires» (193). Εστω X και Y δύο χώροι με νόρμα, άπειρης ενδεχομένως διάστασης, και ας υποθέσουμε ότι ο X είναι ισόμορφος με τον Y (γράφουμε X Y ). Ορίζουμε την απόσταση Banach-Mazur των X και Y ως εξής: (.1.9) d(x, Y ) := inf{ T T 1 T : X Y ισομορφισμός}. Αν οι X και Y δεν είναι ισόμορφοι (X Y ), θέτουμε d(x, Y ) = +. Οι βασικές ιδιότητες της απόστασης Banach-Mazur περιγράφονται στην επόμενη Πρόταση. Πρόταση.1.. Εστω X, Y, Z χώροι με νόρμα. Τότε, (i) d(x, Y ) 1. (ii) d(x, Y ) = d(y, X). (iii) d(x, Y ) d(x, Z) d(z, Y ). (iv) Αν οι X και Y είναι αυτοπαθείς, τότε d(x, Y ) = d(x, Y ). Απόδειξη. Αποδεικνύουμε μόνο την ιδιότητα (iv) (η απόδειξη των υπόλοιπων ισχυρισμών αφήνεται ως άσκηση). Εστω T : X Y ισομορφισμός. Τότε, ο συζυγής τελεστής T : Y X του T, που ορίζεται από την T (y ) = y T για κάθε y Y, είναι ισομορφισμός και ικανοποιεί τις T = T, και (T ) 1 = (T 1 ). Άρα, (.1.10) T T 1 = T (T ) 1 d(x, Y ). Αφού ο T ήταν τυχών, συμπεραίνουμε ότι (.1.11) d(x, Y ) d(x, Y ). Ας υποθέσουμε τώρα ότι οι X και Y είναι αυτοπαθείς. Από το προηγούμενο κομμάτι της απόδειξης έχουμε d(x, Y ) d(x, Y ). Ομως, ο X είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον X, δηλαδή d(x, X ) = 1. Ομοια, d(y, Y ) = 1. Επεται ότι (.1.1) d(x, Y ) d(x, X )d(x, Y )d(y, Y ) = d(x, Y ) d(x, Y ), και συνδυάζοντας με την προηγούμενη ανισότητα βλέπουμε ότι d(x, Y ) = d(x, Y ). Η γεωμετρική ερμηνεία της απόστασης Banach-Mazur δίνεται στην επόμενη Πρόταση: η απόσταση δύο χώρων X και Y είναι μικρή αν υπάρχει γραμμικός μετασχηματισμός της μοναδιαίας μπάλας του X που «μοιάζει» με τη μοναδιαία μπάλα του Y (περιέχει την B Y και περιέχεται σε «μικρό» πολλαπλάσιο της B Y ). Πρόταση.1.3. Εστω X και Y ισόμορφοι χώροι με νόρμα. Τότε, (.1.13) d(x, Y ) = inf{d > 0 T : X Y : B Y T (B X ) d B Y }.

38 34 Το θεωρημα του Dvoretzky Απόδειξη. Ας υποθέσουμε ότι d(x, Y ) < d < +. Από τον ορισμό της απόστασης, υπάρχει ισομορφισμός T : X Y με T T 1 < d. Από τον ορισμό της νόρμας τελεστή βλέπουμε ότι: (α) Για κάθε x B X έχουμε T (x) Y T x X T, άρα (.1.14) T (B X ) T B Y. (β) Για κάθε y B Y έχουμε T 1 (y) X T 1 y Y T 1, άρα (.1.15) T 1 (B Y ) T 1 B X, ή, ισοδύναμα, (.1.16) B Y T 1 T (B X ). Αν θέσουμε S = T 1 T, τότε, από το (α) έχουμε S(B X ) T T 1 B Y, και από το (β) έχουμε B Y S(B X ). Δηλαδή, υπάρχει S : X Y που ικανοποιεί την (.1.17) B Y S(B X ) d B Y. Αντίστροφα, αν B Y S(B X ) db Y για κάποιον S : X Y, τότε S d και S 1 1. Άρα, d(x, Y ) S S 1 d. Υποθέτουμε τώρα ότι dim X = dim Y = n. Ξέρουμε ότι ο X είναι ισόμορφος με τον Y. Σε αυτήν την περίπτωση, ένα απλό επιχείρημα συμπάγειας δείχνει ότι υπάρχει ισομορφισμός T : X Y ώστε d(x, Y ) = T T 1. Ειδικότερα, d(x, Y ) = 1 αν και μόνο αν ο X είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον Y.. To je rhma tou John kai to l mma twn Dvoretzky kai Rogers Το θεώρημα του F. John (1948) δίνει ακριβές άνω φράγμα για την απόσταση Banach-Mazur τυχόντος n-διάστατου χώρου με νόρμα από τον l n. Θεώρημα..1. Για κάθε n-διάστατο χώρο με νόρμα X έχουμε d(x, l n ) n. Ακριβέστερα, ο John έδειξε ότι αν η μοναδιαία Ευκλείδεια μπάλα B n είναι το ελλειψοειδές ελάχιστου όγκου που περιέχει το συμμετρικό κυρτό σώμα K στον R n, τότε B n nk. Με τον όρο ελλειψοειδές στον R n εννοούμε κάθε κυρτό σώμα της μορφής { } n (..1) E = x R n x, v i : 1, όπου {v 1,..., v n } είναι ορθοκανονική βάση του R n και α 1,..., α n είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί (οι διευθύνσεις και τα μήκη των ημιαξόνων του E αντίστοιχα). Μια χρήσιμη ισοδύναμη περιγραφή των ελλειψοειδών δίνεται από το επόμενο λήμμα. α i