4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης"

Καρπός Σκλαβούνος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος

2 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Προοπτική Προβολή 3 Παράλληλη Προβολή 4 Ορθογραφικές Προβολές 5 Πλάγιες Παράλληλες Προβολές

3 Εισαγωγή Εισαγωγή Οι περισσότερες συσκευές απεικόνισης είναι 2Δ (οθόνες-εκτυπωτές) Το μαθηματικό μοντέλο του συνθετικού κόσμου είναι 3Δ Πριν τη δημιουργία του κάθε διδιάστατου καρέ πρέπει τα 3Δ αντικείμενα να προβληθούν σε ένα επίπεδο προβολής Ορισμός Μετασχηματισμοί Παρατήρησης: μετατρέπουν τα 3Δ αντικείμενα από το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων (ΠΣΣ) στο οποίο έχουν αρχικά ορισθεί, στο σύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή (ΣΣΠ) που έχει κέντρο το σημείο παρατήρησης

4 Εισαγωγή Εισαγωγή Ο μετασχηματισμός παρατήρησης καθορίζει επίσης τα όρια αποκοπής στο ΣΣΠ Το σκεπτικό πίσω από τα παραπάνω είναι: Τα αντικείμενα ορίζονται αρχικά στο δικό τους τοπικό σύστημα συντεταγμένων, το οποίο μπορεί πχ να είναι το αποτέλεσμα μιας διαδικασίας σχεδιασμού Ενοποιούνται στο σύστημα συντεταγμένων κόσμου (ΣΣΚ) όπου τοποθετούνται μετασχηματισμένα Το ΣΣΚ χρησιμοποιείται για να ορίσει το μοντέλο ενός συνθετικού κόσμου Η μετάβαση από το ΣΣΚ στο ΣΣΠ γίνεται για τη διευκόλυνση λειτουργιών όπως η περικοπή και η προβολή Εξασφαλίζει ότι όλα τα αντικείμενα που επέζησαν της περικοπής θα είναι ορισμένα σε έναν κανονικοποιημένο χώρο (πχ με όρια -1 εώς 1)

5 Εισαγωγή Προβολές 3Δ σε 2Δ Ορισμός Στα μαθηματικά προβολή είναι όρος που χρησιμοποιείται για την περιγραφή τεχνικών για τη δημιουργία της εικόνας ενός αντικειμένου πάνω σε ένα άλλο απλούστερο αντικείμενο όπως μια ευθεία, ένα επίπεδο ή μια επιφάνεια Οι προβολές διακρίνονται σε 2 βασικές κατηγορίες Προοπτική (ή κεντρική) προβολή (perspective): η απόσταση του κέντρου προβολής από το επίπεδο προβολής είναι πεπερασμένη Παράλληλη προβολή (parallel): η απόσταση του κέντρου προβολής από το επίπεδο προβολής είναι άπειρη

6 Εισαγωγή Ιδιότητες Προβολών Οι ιδιότητες αυτές αφορούν προβολές και των δύο κατηγοριών: Οι ευθείες προβάλλονται σε ευθείες Οι αποστάσεις γενικά αλλάζουν Οι παράλληλες ευθείες στις 3Δ που δεν είναι παράλληλες με το επίπεδο προβολής, δεν προβάλλονται σε παράλληλες ευθείες, αλλά σε ευθείες που τέμνονται σε κάποιο σημείο φυγής Η γωνία μεταξύ δύο ευθειών αλλάζει, εκτός κι αν το επίπεδο των ευθειών είναι παράλληλο προς το επίπεδο προβολής

7 Προοπτική Προβολή Προοπτική Προβολή Το κέντρο προβολής θεωρείται ότι βρίσκεται πάνω στον αρνητικό z-άξονα, στο σημείο K(0, 0, d) Το επίπεδο προβολής είναι το XY Ένα σημείο P(x, y, z) του 3Δ χώρου προβάλλεται στο σημείο τομής της P K με το επίπεδο XY, έστω το P

8 Προοπτική Προβολή Προοπτική Προβολή Από τα όμοια τρίγωνα K P 1 P 2, K P 1 P 2, καθώς και από τα K P 2 P 3, K P 2 P 3 υπολογίζονται οι συντεταμένες του σημείου προβολής x x = d d + z x = d x d + z, y y = d d + z y = d y d + z

9 Προοπτική Προβολή Προοπτική Προβολή - Παρατηρήσεις Οι προοπτικές προβολές δεν είναι συσχετισμένοι μετασχηματισμοί και δε μπορούν να περιγραφούν με συσχετισμένους πίνακες μετασχηματισμών Οι παράλληλες ευθείες δεν προβάλλονται σε παράλληλες ευθείες εκτός κι αν το επίπεδό τους είναι παράλληλο με το επίπεδο προβολής Οι προβολές τους μοιάζουν να τέμνονται στο σημείο φυγής Μια ευθεία απεικονίζεται σε μια ευθεία αλλά οι λόγοι αποστάσεων πάνω στην ευθεία δεν διατηρούνται Δεν αποτελεί γραμμικό μετασχηματισμό (διαίρεση με z)

10 Προοπτική Προβολή Προοπτική Προβολή - Ομογενείς Συντεταγμένες Για τη μεταβολή της ομογενούς συντεταγμένης w μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο πίνακας d P pers = 0 d d

11 Προοπτική Προβολή Προοπτική Προβολή - Ομογενείς Συντεταγμένες Ο πίνακας αυτός μεταβάλλει τις συντεταγμένες ενός σημείου P(x, y, z, w) ως εξής x d x d x y z = 0 d y z = d y 0 w d 1 z + d Ακολουθεί διαίρεση με w αφού πρέπει w = 1 x x d x/w P = 1 w y z+d z = y/w z/w = y d z+d 0 w 1 1

12 Προοπτική Προβολή Κεντρική Σμίκρυνση Χαρακτηριστικό της προοπτικής προβολής είναι η κεντρική σμίκρυνση Μειώνεται το μέγεθος των αντικειμένων κατά έναν παράγοντα που είναι ανάλογος της απόστασης του αντικειμένου από το κέντρο προβολής

13 Προοπτική Προβολή Προοπτική Προβολή - Συμπεράσματα Η προοπτική προβολή προσομοιάζει καλά τον τρόπο που αντιλαμβάνεται το βάθος το ανθρώπινο μάτι Σε πολλές περιπτώσεις εφαρμογών (πχ αρχιτεκτονική), είναι επιθυμητό να διατηρηθούν αναλλοίωτες οι αποστάσεις, κάτι που αδυνατεί να κάνει η προοπτική προβολή Λύση: Παράλληλη προβολή

14 Παράλληλη Προβολή Παράλληλη Προβολή Το κέντρο προβολής θεωρείται ότι βρίσκεται στο άπειρο Η προβολή γίνεται σε ένα δοσμένο επίπεδο προβολής, ως προς κάποια συγκεκριμένη διεύθυνση προβολής Απλούστερη παράλληλη προβολή είναι η ορθογώνια προβολή, πάνω σε ένα από τα βασικά επίπεδα συντεταγμένων x = 0, y = 0, z = 0

15 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Παράλληλη Προβολή Ορθογώνια Προβολή Αν πχ επίπεδο προβολής είναι το z = 0, τότε το σημείο P(x, y, z) προβάλλεται στο P (x, y, z ) = (x, y, 0)

16 Παράλληλη Προβολή Ορθογώνια Προβολή Ο πίνακας μετασχηματισμού είναι P par = Ο πίνακας αυτός μεταβάλλει τις συντεταγμένες ενός σημείου P(x, y, z, 1) ως εξής x x x y z = y z = y

17 Ορθογραφικές Προβολές Ορθογραφικές Προβολές Η 1η κατηγορία παράλληλων προβολών είναι οι ορθογραφικές προβολές Οι παράλληλες ακτίνες πέφτουν κάθετα στο επίπεδο προβολής Στην κατηγορία των ορθογραφικών προβολών υπάρχει ο διαχωρισμός Ορθογώνιες: Η δέσμη ακτίνων είναι στην κατεύθυνση κάποιου άξονα συντεταγμένων (πχ η κάτοψη στο επίπεδο XY) Αξονομετρικές (αξονικές): Το επίπεδο προβολής δεν είναι κάθετο σε κανέναν άξονα συντεταγμένων, δηλαδή τέμνει 2 ή 3 άξονες συντεταγμένων Ισομετρικές: ειδική περίπτωση των αξονομετρικών προβολών που η δέσμη των ακτίνων είναι παράλληλη προς την κύρια διαγώνιο του χώρου

18 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Ορθογραφικές Προβολές Ισομετρική Προβολή

19 Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Πλάγια Παράλληλη Προβολή Η 2η κατηγορία παράλληλων προβολών είναι οι πλάγιες παράλληλες προβολές Οι παράλληλες ακτίνες δεν είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής Μια πλάγια προβολή χαρακτηρίζεται από τις γωνίες α, ϕ Αυτές φαίνονται στο σχήμα για το επίπεδο XY

20 Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Πλάγια Παράλληλη Προβολή Είναι x = x + Lcosϕ, y = y + Lsinϕ Αν α η γωνία πρόσπτωσης, θα ισχύουν: tanα = z L, L = P P 0 Άρα L = z tanα = z c, c = 1 tanα Και τελικά: x = x + z c cosϕ, y = y + z c sinϕ

21 Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Πλάγια Παράλληλη Προβολή Ο πίνακας μετασχηματισμού είναι 1 0 c cosϕ 0 P obl = 0 1 c sinϕ Ο πίνακας αυτός μεταβάλλει τις συντεταγμένες ενός σημείου P(x, y, z, 1) ως εξής x 1 0 c cosϕ 0 x x + z cosϕ y z = 0 1 c sinϕ y z = y + z sinϕ

22 Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Ορθογραφική Προβολή για α = 90 c = 1 tan90 προκύπτει η ορθογραφική προβολή Ο πίνακας γίνεται P orth =

23 Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Προβολή Cavalier Ειδική περίπτωση για α = 45 c = 1 tan45 = 1 Ο πίνακας της προβολής Cavalier για ϕ = 45 είναι P cav =

24 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Προβολή Cavalier Κύριο χαρακτηριστικό της προβολής Cavalier είναι ότι δεν εμφανίζει σμίκρυνση των ευθειών που είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής

25 Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Προβολή Cabinet Ειδική περίπτωση για α = 63 c = 1 tan30 = 1 2 Ο πίνακας της προβολής Cabinet για ϕ = 30 είναι P cab =

26 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Πλάγιες Παράλληλες Προβολές Προβολή Cabinet Κύριο χαρακτηριστικό της προβολής Cabinet είναι ότι εμφανίζει σμίκρυνση κατά 1 2 των ευθειών που είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής

Σχετικά έγγραφα

Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης

Προβολές Προβολές Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε Δ συσκευές. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης