Προβολές. Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε 2 συσκευές.

Transcript

1 ροβολές Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε συσκευές. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός αρατήρησης ΣΣ (ECS) Αποµάκρυνση ίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) αράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Ακµών/ Επιφανειών D ΣΣΟ (SCS) ροβολή 5. Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

2 ροβολές ροοπτική: πεπερασµένη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. αράλληλη: άπειρη απόσταση κέντρου προβολής από επίπεδο προβολής. Ιδιότητες προβολών: Ευθείες προβάλλονται σε ευθείες. Αποστάσεις αλλάζουν (γενικά). 3 παράλληλες ευθείες, µη παράλληλες µε επίπεδο προβολής, δεν προβάλλονται σε παράλληλες ευθείες. Γωνία µεταξύ ευθειών αλλάζει, εκτός αν επίπεδο γωνίας παράλληλο µε επίπεδο προβολής. 5. Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

3 ροοπτική ροβολή Έστω προβολή στο επίπεδο ΧΥ µε κέντροπροβολής K (,, d ) Y P 3 P 3 K (,, d ) P P,, P X ( ) P (,, ) P Z d d d + d + d d d + d + P 5.3 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

4 5.4 Εθνικό Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό ανεπιστήµιο ανεπιστήµιο Αθηνών Αθηνών Τµήµα ληροφορικής Εργα Εργα: + & : + & ΣΚΕΣΙΣ ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ ΕΕΑΚ - ΥΕΘ ΥΕΘ) ροοπτική ροβολή εν είναι γραµµικός µετασχηµατισµός (διαίρεση µε ). εν µπορεί να δοθεί µε µορφή πίνακα. Ωστόσο µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µεταβολή του w. Ακολουθεί διαίρεση µε w (αφού πρέπει w) d d d P pers + d d d P w pers + + / d d d d w w P

5 ροοπτική ροβολή Χαρακτηριστικό: κεντρική σµίκρυνση (όπως το ανθρώπινο µάτι). Y K Z X 5.5 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

6 αράλληλη ροβολή Κέντρο προβολής στο άπειρο, δίνεται κατεύθυνση προβολής. ιατηρεί αποστάσεις, χρήσιµο στοιχείοπ.χ. στην αρχιτεκτονική. Ορθογώνια παράλληλη προβολή: πάνω σε ένα από τα βασικά επίπεδα µε κάθετες ακτίνες προβολής. Z (, ) P, A B ιεύθυνση ροβολής B X A P,, ( ) ίνακας µετασχηµατισµού για ορθογώνια π.χ. στο ΧΥ Y 5.6 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

7 αράλληλη ροβολή αράλληλες προβολές διακρίνονται σε: Ορθογραφικές: ακτίνες προβολής κάθετες στο επίπεδο προβολής. λάγιες: ακτίνες όχι κάθετες. Ορθογραφικές διακρίνονται σε: Ορθογώνιες: ακτίνες προβολής παράλληλες µε Χ, Υ ή Ζ. Αξονοµετρικές: µη ορθογώνιες. Ισοµετρικές: ακτίνες προβολής παράλληλες µε κύρια διαγώνιο χώρου. Z I I I3 I 3 I I Y X 5.7 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

8 λάγια αράλληλη ροβολή Χαρακτηρίζεται από γωνίες α και φ. + L cosϕ + L sinϕ Αλλά Z tan a L P (,, ) µε L c Y L P P O όπου P (, ) a L ϕ P (, ) c tan a X ίνακας πλάγιας παράλληλης προβολής ccosϕ csinϕ 5.8 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

9 λάγια αράλληλη ροβολή Ειδικές περιπτώσεις. Cavalier ( a 45 c ) P Cav Ευθείες κάθετες στο επίπεδο προβολής δεν µεταβάλλουν το µήκος τους. Z Y a 45 X 5.9 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

10 λάγια αράλληλη ροβολή Ειδικές περιπτώσεις. Cabinet ( a 63, ϕ 3 c ) P Cab Ευθείες κάθετες στο επίπεδο προβολής µικραίνουν κατά / Z Y a 63 X 5. Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

11 λάγια αράλληλη ροβολή Εφαρµογή: Cavalier & Cabinet προβολή µοναδιαίου κύβου. Y D C E H Z F A G B X V ( ABCDEFGH ) 5. Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

12 λάγια αράλληλη ροβολή Εφαρµογή: Cavalier προβολή. V P Cav V Y E H D C F G A B 5. X Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

13 λάγια αράλληλη ροβολή Εφαρµογή: Cabinet προβολή. V P Cab V Y E H D C F G A B 5.3 X Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

14 Μετασχηµατισµός αρατήρησης αγκόσµιο Σύστηµα Συντεταγµένων Σύστηµα Συντεταγµένων αρατηρητή. Σύνθεση βασικών µετασχηµατισµών. Καθορίζει όρια αποκοπής & παραµέτρους προβολής Θα εξετάσουµε ΜΙκαιΜΙΙ Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός αρατήρησης ΣΣ (ECS) Αποµάκρυνση ίσω Επιφανειών 3 Αποκοπή Είσοδοι (για κάθε καρέ) αράσταση Στην Οθόνη: Σάρωση Αντιταύτιση Φωτισµός Υφή Απόκρυψη Ακµών/ Επιφανειών D ΣΣΟ (SCS) ροβολή 5.4 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

15 Μετασχηµατισµός αρατήρησης Ι Μ Ι χρησιµοποιεί προοπτική προβολή και καθορίζεται από: α. Σηµείο παρατήρησης O β. ανύσµατα για Υ και Ζ (αριστερόστροφο). ΣΣ ΣΣ βήµατα:. Μεταφορά O στην αρχή ΣΣ.. Στροφές γύρω από Χ, Υ και Ζ του ΣΣ ώστε να ταυτισθούν µε αντίστοιχους ΣΣ. 3. Αποκοπή. 4. ροοπτική ροβολή. Χρησιµοποιούνται 3 ακόµα παράµετροι για καθορισµό ορίων αποκοπής: γ. Μέγεθος παραθύρου προβολής h. δ. Απόσταση d έµπροσθεν επιπέδου αποκοπής από O (κάθετο στον Ζ ). ε. Απόσταση f όπισθεν επιπέδου αποκοπής από O (κάθετο στον Ζ ). 5.5 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

16 Μετασχηµατισµός αρατήρησης Ι Y h / d O h / d h d Z X Ορια αποκοπής: ± h ± h d f / d / d h / d h / d f 5.6 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

17 Μετασχηµατισµός αρατήρησης Ι Χαρακτηριστικά Μ Ι: Επίπεδο προβολής ταυτόσηµο µε έµπροσθεν επίπεδο αποκοπής d. Κέντρο προβολής ταυτόσηµο µε σηµείο παρατήρησης. ροοπτική προβολή. Τετράγωνο παράθυρο, συµµετρικό ως προς Ζ. ληροφορία διατηρείται κατά την προβολή για λόγους: 3 αποκοπή ευκολότερη σαν ενδιάµεσο στάδιο της προβολής. Απόκρυψη απαιτεί πληροφορία. 5.7 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

18 ροβολή στον Μ Ι O O d h d h O O Μετασχηµατισµός Z πρέπει να πληρεί: Ευθείες ΣΣ ευθείες ΣΣΟ. Επίπεδα ΣΣ επίπεδα ΣΣΟ. Κανονικοποιηµένες τιµές O. O A+B/ είναι ΟΚ, µε περιορισµούς:. Β<, ώστε αύξηση αύξηση O.. [ d, f ] O [,] εξισώσεις µε αγνώστους: Α+B/d A+B/f Επίλυση µε περιορισµό. δίνει: Αf/(f-d) B -fd/(f-d) Τελικά: f ( d / ) f d O 5.8 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

19 5.9 Εθνικό Εθνικό & Καποδιστριακό Καποδιστριακό ανεπιστήµιο ανεπιστήµιο Αθηνών Αθηνών Τµήµα ληροφορικής Εργα Εργα: + & : + & ΣΚΕΣΙΣ ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ ΕΕΑΚ - ΥΕΘ ΥΕΘ) ροβολή στον Μ Ι αραπάνω µετασχηµατισµός µπορεί να χωρισθεί σε: Γραµµικό µέρος (πίνακας). Με ιαίρεση µε οµογενή συντεταγµένη ( ) ΜΙ P w ΜΙ d f fd d f f h d h d P w w O O O /

20 ροβολή στον Μ Ι P ΜΙ πιο κατανοητός αν γραφεί: d h d P ΜΙ PΜΙ PΜΙ f fd h f d f d P ΜΙ είναι αλλαγή κλίµακας κατά d/h : υραµίδα αποκοπής γίνεται κανονική πυραµίδα. π.χ. [, h, d,] [, d, d,] P ΜΙ µετατρέπει κανονική πυραµίδα σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: Εµπροσθεν επίπεδο αποκοπής d γίνεται XY. Οπισθεν επίπεδο αποκοπής f γίνεται. π.χ., d, d,, d,, d δηλ.,,, [ ] [ ] [ ] 5. Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

21 Y (,h,d ) h ροβολή στον Μ Ι d f Z Y P ΜΙ (,d,d ) d P ΜΙ και κανονικοποίηση (/ w ) Y O Z Z O d f 5. Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

22 Αποκοπή στο Μ Ι Τιµή w ορίζει και τα όρια αποκοπής: w w w w w Αποκοπή γίνεται µετά την εφαρµογή P ΜΙ αλλά πριν τη διαίρεση µε το w 5. Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

23 Μετασχηµατισµός αρατήρησης ΙΙ Από PHIGS, GKS-3. Γενικός αλλά δύσχρηστος (πολλές παράµετροι). Χαρατηριστικά: α. Κέντρο ΣΣ VRP (view reference point) κέντρο προβολής PRP (projection reference point). Επιτρέπονται πολλαπλές και διαφορετικές προβολές (προοπτική ή παράλληλη, ορθογώνια ή πλάγια). β. Επίπεδο προβολής και έµπροσθεν επίπεδο αποκοπής µπορεί να διαφέρουν. γ. αράθυρο προβολής δεν είναι απαραίτητα τεράγωνο και µπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε πάνω στο επίπεδο προβολής. ΣΣ (world coordinates) Ορισµός ΣΣ (view orientation) ΣΣ (view reference coordinates, VRC) Ορισµός παραµέτρων προβολής (view mapping) Μετασχηµατισµός Συσκευής (workstation transformation) Σύστηµα Συντεταγµένων Συσκευής (device coordinates) 5.3 Κανονικοποιηµένο Σύστηµα Συντεταγµένων Οθόνης (Normalised projection coordinates) Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

24 Μετασχηµατισµός αρατήρησης ΙΙ Oρισµός ΣΣ (view orienation) µε 3 παραµέτρους (δεξιόστροφο): α. Κέντρο ΣΣ VRP β. Κάθετο άνυσµα στοεπίπεδοπροβολήςvpn γ. Ανω άνυσµα VUV (προβολή VUV στο κάθετο επίπεδο στο VPN που περνά από VRP ορίζει Y(V) ). V U VUV VRP N VPN U VUV VPN V VPN U Μετατροπή ΣΣ ΣΣ όπως και στο Μ Ι 5.4 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

25 Μετασχηµατισµός αρατήρησης ΙΙ Ορισµός αραµέτρων ροβολής (view mapping) µε 6 παραµέτρους: α. Κέντρο προβολής PRP β. Είδος προβολής: προοπτική ή παράλληλη. γ. Απόσταση VPD επιπέδου προβολής από VRP(το επίπεδο προβολής είναι παράλληλο µε επίπεδο UV). δ. Απόσταση έµπροσθεν και όπισθεν επιπέδων αποκοπής ΑΕΕΑ και ΑΟΕΑ (επίσης παράλληλα µε UV). ε. Ορια παραθύρου στο επίπεδο προβολής ( u, v ), ( u, v ) ζ. Ορια viewport στο κανονικοποιηµένο σύστηµα συντεταγµένων ( ). επίπεδο προβολής V παράθυρο U N VPN V VRP U VPD VPN 5.5 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

26 Ορισµός αραµέτρων ροβολής στο M IΙ Αν PRP δεν είναι πάνω στην ευθεία που περνάει από το κέντρο του παραθύρου και είναι παράλληλη του VPN τότε έχουµε πλάγια προβολή. 5.6 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

27 ροοπτικήροβολήστομιι Ταύτιση δεδοµένων µε Μ Ι και χρήση αντίστοιχου µετασχηµατισµού Μ Ι: Ταύτιση PRP µε VRP : PRPu PRP v T PRPn Τ εφαρµόζεται στα αντικείµενα της σκηνής και στα σηµεία ορισµού παραθύρου: T T [,,,] T [ u, v, n,] [,,,] T T [ u, v, n,] T Μετατροπή VPD, ΑΕΕΑ, ΑΟΕΑ. Αν VP D, AEEA, AOEA προσηµασµένα µεγέθη: d VPD PRP n f n AEEA PRP n AOEA PRP n 5.7 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

28 ροοπτικήροβολήστομιι Y έµπροσθεν επίπεδο αποκοπής επίπεδο προβολής (,, d ) όπισθεν επίπεδο αποκοπής PRP κεντρική ευθεία επιπέδου προβολής n d f (,, d ) Z ιαφορές από Μ Ι:. υραµίδα δεν είναι συµµετρική ως προς Ζ.. Επίπεδο προβολής δεν ταυτίζεται µε έµπροσθεν επίπεδο αποκοπής. 3. Ζ έχει αντίθετη φορά. Η 3 δεν επηρεάζει τους µετασχηµατισµούς. 5.8 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

29 ροοπτικήροβολήστομιι Η αντιµετωπίζεται µε µια αρχική στρέβλωση των και. P O Μ ΙΙ + d + d Y +,, d Z +,, d 5.9 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

30 ροοπτικήροβολήστομιι Μετατροπή σε κανονική πυραµίδα (45 ο πλευρές). Αντίστοιχο P Μ ΙΙ d d P Μ Ι.χ. Μετατροπή κέντρου αρχικού παραθύρου Ο Μ ΙΙ PΜ ΙΙ P + + d 5.3 d Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

31 ροοπτικήροβολήστομιι Μετατροπή σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Αντίστοιχο ( d n λόγω της ): P Μ ΙΙ f fn f n f n Συνοψίζοντας για προοπτική προβολή στο Μ ΙΙ: Μετασχηµατισµός Τ για κέντρο PRP Ο PΜ ΙΙ PΜ ΙΙ PΜ ΙΙ PΜ ΙΙ (Αποκοπή). ιαίρεση µε w. P Μ Ι 5.3 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

32 αράλληλη ροβολή στο Μ ΙΙ Υλοποιείται µε µετατροπή όγκου αποκοπής στο µοναδιαίο κύβο. ιεύθυνση προβολής δίνεται από κέντρο παραθύρου (CW ) και PRP : DOP CW PRP u + u v + v, u + u [ DOP, DOP, DOP, ] T u v PRP, v u n, n, + v T [ PRP, PRP, PRP,] u PRPv, n PRPn, v n T T Αν DOP ή DOP v τότε η προβολή είναι πλάγια. u 5.3 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

33 αράλληλη ροβολή στο Μ ΙΙ Μετατροπή DOP ώστε να ταυτισθεί µε VPN V DOP Y VPN DO P N Z Απαιτείται στρέβλωση u και v κατά µήκος N µε πίνακα T [,, DOP,] L [ DOP, DOP, DOP, ] T DOP n Μ ΙΙ u v n άρα DOPu + a DOPn a DOPu / DOPn DOP + β DOP β DOP / DOP v Ο πίνακας της στρέβλωσης είναι: n v n L Μ ΙΙ L Μ ΙΙ α β DOPu / DOP DOP / DOP v n n 5.33 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

34 αράλληλη ροβολή στο Μ ΙΙ Ο L εφαρµόζεται στα αντικείµενα και στις κορυφές του παραθύρου: Μ ΙΙ T T [,,,] LΜ ΙΙ [ u, v, n,] T [,,,] L [ u, v, n,] T Μ ΙΙ Νέος χώρος αποκοπής: ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε πλευρές παράλληλες µε επίπεδαχυ, ΥΖ και ΧΖ. Y (,, AOEA ),, AEEA ) ( X Z 5.34 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

35 αράλληλη ροβολή στο Μ ΙΙ Μετατροπή ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου στο µοναδιαίο κύβο: Μεταφορά: L Μ ΙΙ AEEA Αλλαγή κλίµακας: L Μ ΙΙ AOEA AEEA Τελικά: L L L L Μ ΙΙ Μ ΙΙ Μ ΙΙ Μ ΙΙ 5.35 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

36 Αποκοπή στον Μ ΙΙ Μετά από κανονικοποίηση ( P Μ ΙΙ ή L Μ ΙΙ ). Ορια αποκοπής: Για την προοπτική προβολή (πριν από διαίρεση µε w): w w w w w Για την παράλληλη προβολή:.χ. για Cohen-Sutherland χρησιµοποιούµε 6-bit κωδικούς: Σηµασία για σηµείο (,, ) µε προβολή: ροοπτική αράλληλη Bit < < Bit > w > Bit < -w < Bit 3 > w > Bit 4 < -w < Bit 5 > w > 5.36 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

37 Αποκοπή στον Μ ΙΙ Εύρεση τοµής ευθύγραµµου τµήµατος s µε επίπεδο αποκοπής: αραµετρική εξίσωση s από a [ a, a, a,] σε b [ b ( b a ) a + µ µ.χ. για -συντεταγµένη τοµής µε επίπεδο (παράλληλη προβολή): a + µ ( b a ).χ. για -συντεταγµένη τοµής µε επίπεδο w (προοπτική προβολή): a + µ µ a µ b a ( b a ) a + µ ( b a ) ( b a ) ( b a ) a a, b, b,] 5.37 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

38 Μετασχηµατισµός Viewport στον Μ ΙΙ Μετασχηµατισµός κανονικοποιηµένων συντεταγµένων σε viewport [,, ], [,, ] εντός του µοναδιαίου κύβου. Απαιτείται αλλαγή κλίµακας και µεταφορά T. S αράλληλη προβολή: όρια κανονικοποιηµένων συντεταγµένων,, S T 5.38 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ

39 Μετασχηµατισµός Viewport στον Μ ΙΙ ροοπτική προβολή: όρια κανονικοποιηµένων συντεταγµένων S T συντεταγµένη φυλάσσεται για απόκρυψη. + +, 5.39 Εργα: : + & ΣΚΕΣΙΣ (ΕΕΑΚ