2.1 Pengenalan. Untuk isyarat berkala, siri Fourier digunakan untuk mendapatkan spektrum frekuensi dalam bentuk spektrum garisan.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.1 Pengenalan. Untuk isyarat berkala, siri Fourier digunakan untuk mendapatkan spektrum frekuensi dalam bentuk spektrum garisan."

Κέφαλος Γερμανού
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 . JELMAAN FOURIER DAN PENGGUNAANNYA. Pengenalan Unuk isyara berkala, siri Fourier digunakan unuk mendapakan spekrum frekuensi dalam benuk spekrum garisan. Unuk isyara ak berkala, garisan-garisan spekrum akan ergabung unuk membenuk suau lengkuk yang bererusan Jelmaan Fourier dapa memecahkan suau isyara ak berkala v() kepada komponen-komponen frekuensi kompleks (ampliud dan fasa) unuk menghasilkan spekrum frekuensi isyara ersebu.

2 f() F n T T 3T 4T 5T f f f() F n T f f f() Single pulse (T menuju infinii) F(ω) f Rajah.

3 paksi-y bukan lagi volan (ampliud) eapi adalah keumpaan volan (Vol/Hz). Dengan lain perkaaan, jika suau volan yang diwakilkan sebagai fungsi masa v(), jelmaan Fourier akan menghasilkan pengagihan spekral (specral disribuion) sebagai fungsi frekuensi V (ω ) aau V(f). ) (ω V dikenali sebagai Jelmaan Fourier bagi v() dan diulis sebagai F[v()]. v() dikenali sebagai Jelmaan Fourier songsang unuk V (ω ) dan diulis juga sebagai F - [ V (ω )]. Ringkasnya; Jelmaan Fourier v() V (ω ) Jelmaan Fourier songsang 3

4 Persamaan jelmaan Fourier aau jelmaan hadapan yang menghasilkan V (ω) dari v() adalah: V( -jω ω ) v() e d (.) - Persamaan jelmaan Fourier songsang aau jelmaan songsang yang menghasilkan v() dari V (ω ) adalah: aau v() v() π - - V( ω) e V(f) e - jω (.) jπf dω df V(ω) adalah sau nombor kompleks (.3) 4

5 Conoh. Dapakan jelmaan Fourier unuk isyara beriku dan lakarkan spekrum frekuensinya. v() Arec(/a) A 5 -a/ a/ Rajah. Penyelesaian Dari persamaan jelmaan Fourier; V( ω ) - - jω - jω v() e a / - jω d a/ -a/ A e - jω e A [ - jωa/ jωa/ ] A e - e a / - jω d

6 6 di mana A ω e jωa/ - jωa/ - e j ωa sin ( ωa/) sinc ωa/ Spekrum frekuensinya seperi Rajah.3 A ωa ωa sin Aa sinc ω V(f) Aa keumpaan spekral Aa sinc (ωa/) -3/a -/a -/a /a /a 3/a f Rajah.3

7 7. Sifa Simeri Gelombang Tak Berkala Simeri genap : v() v(-) Simeri ganjil : v() - v(-) Rajah. menunjukkan denyu simeri genap dan simeri ganjil. v() v() τ τ τ τ (a) Simeri genap (b) Simeri ganjil Rajah.4

8 Apakah kesan sifa simeri ini jika dimasukkan ke dalam jelmaan Fourier? V( ω ) v() cosω d (.) V( ω ) - j v() sin ω d (.3) Conoh. Rajah.5 adalah denyu v() bersimeri genap. Dapakan jelmaan Fourier bagi denyu ersebu. v() A 8 -a/ a/ Rajah.5

9 Penyelesaian V( ω ) v() cosω d τ/ sin ω A cosω d A ω A ωa ωa sin Aa sinc ω Conoh.3 Rajah.6 adalah denyu v() bersimeri ganjil. Dapakan jelmaan Fourier bagi denyu ersebu. v() A a/ 9 -a/ a/ -A Rajah.6

10 Penyelesaian V( ω ) - j v() sin ω d τ/ cosω - j A sin ω d - j A - ω ja ωa cos - ω ja ωa - - cos ω Teapi V(ω) bukan dalam benuk fungsi sinc dan sukar hendak melakarkan spekrum frekuensi. ja ωa Maka; V(ω) sin ω 4 a/ - j4a ω sin ω 4 a - jaωa ωa sinc 4 4

11 Conoh.4 Dapakan jelmaan Fourier bagi isyara-isyara beriku, dan lakarkan spekrum ampliud dan spekrum fasa. f() f() (a) (b) Rajah.7

12 Penyelesaian a) Unuk simeri genap; F( ω) f() cosω d sin πf cos π f d πf sin πf sinc πf πf Spekrum keseluruhan isyara ersebu seperi dalam Rajah.8.

13 3 F(ω) sinc πf f Rajah.8 Spekrum ampliud dan fasa diunjukkan dalam Rajah.9.

14 4 Ampliud sinc πf π Fasa, φ f f π Rajah.9

15 5 b) Unuk simeri ganjil; F( ω ) - j f() sin ω d - j - sin πf d j sin πf d cos πf j - - [ cos πf - ] πf j πf j j [ ] [ ] - cos πf sin πf πf πf jπf sinc πf - Bhgn khayal F( ω) Noa φ an Bhgn sahih F( ω) π/ apabila f posiif -π/ apabila f negaif

16 6 Spekrum ampliud dan fasanya diunjukkan dalam Rajah.. Ampliud jπf sinc πf - - f

17 7 Fasa φ π/ - - f -π/ Rajah.

18 Jelmaan Fourier bagi fungsi dela 8 f() Aδ() Aδ( - τ o ) A F(ω) A Ae -jωτo πaδ(ω) Ae jωo πaδ(ω - ω o )

19 9.3 Tiorem/Sifa Jelmaan Fourier. Kelinaran aau Tindihan (Lineariy or Superposiion) Jika V (ω) F [v ()] dan V (ω) F [v ()] maka; Av () + Bv () AV (ω) + BV (ω) Pembukian: Liha noa Jika v() Jelmaan Fourier V(ω). Kedualan (Dualiy) maka, V() Jelmaan Fourier πv(-ω)

20 3. Simeri V( ω ) A( ω) + j B( ω) V( ω) e jθ ( ω) dengan v() sahih. A(ω) - fungsi genap dan B(ω) - fungsi ganjil 4. Skala Masa v( a) JELMAAN FOURIER a ω V a dengan a >

21 Conoh v() V o V(ω ) V o τ sinc (ωτ/) V o τ -τ/ τ/ -3/τ -/τ -/τ /τ /τ 3/τ f v() V'(ω) V o V o τ/ τ/4 τ/4-4/τ -/τ /τ 4/τ f V'(ω) V o τ/ sinc (ωτ/4) Rajah.

22 5. Anjakan Masa Jika kedudukan denyu dianjakkan ke kanan sebanyak τ, maka jelmaan Fourier unuk isyara ersebu adalah; v( -τ ) JELMAAN FOURIER Conoh.5 Dapakan jelmaan Fourier isyara beriku; V( ω) e -jωτ v() V o τ-/ τ τ+/ Rajah C5.

23 3 Penyelesaian v () V o -/ / Rajah C5. Daripada Rajah C5., jelmaan Fourier unuk isyara ersebu adalah; V (ω) V o sinc (ω/) Jelmaan Fourier unuk isyara denyu ini apabila eranjak sebanyak τ ialah; ω V( ω) o -jωτ -jωτ [ V ( ω) ] e V sinc e

24 4 Conoh.6 Dapakan jelmaan Fourier unuk isyara denyu beriku; v() -τ τ - Rajah C6.

25 5 Penyelesaian v () v () τ -τ - Rajah C6. Rajah C6.3 Jelmaan Fourier bagi denyu dalam rajah C6. (eranjak - τ/) ialah; V ωτ jωτ/ ( ω) τ sinc e Jelmaan Fourier bagi denyu dalam rajah C6.3 (eranjak + τ/) ialah; V ωτ -jωτ/ ( ω) -τ sinc e

26 6 Oleh iu jelmaan Fourier bagi bagi isyara v() ialah; V(ω) V (ω) + V (ω) τ sinc (ωτ/) [ e jωτ/ - e -jωτ/ ] 6. Anjakan Frekuensi (Pemodulaan/Modulaion) v() e j o ω JELMAAN FOURIER V( ω -ω o ) Conoh.7 Suau isyara penghanaran erdiri daripada isyara ermodula denyu iaiu v() v () cos ω c. Dapakan jelmaan Fourier isyara ersebu.

27 7 Penyelesaian V( ω ) - v() e -jω d -jω [ v() cosωc] e d - - jω -j e c ω + e c -jω v() e d jω -jω -jω -jω - - [ ] [ ] v () e c e d + v () e c e d [ V ( ω -ω ) + V ( ω + ) ] c ωc

28 8 7. Pengkerbedaan Jika, Conoh.8 v() n JF d v() JF n V( ω), maka (jω) V( ω) n d Dapakan jelmaan Fourier unuk isyara idak berkala beriku. A v() dv()/d Aδ() -A Rajah C8. Rajah C8.

29 Penyelesaian Jika rangkap di aas dikerbedakan sekali, hasil kerbedaan seperi yang diunjukkan dalam Rajah C8.. Jika dikerbedakan dua kali, hasilnya seperi yang diunjukkan dalam Rajah C8.3. d v()/d Ajωδ() Aδ(-) 9 -A Rajah C8.3

30 Maka daripada Rajah C8.3, jelmaan Fourier bagi isyara Rajah C8. boleh diperolehi dengan menggunakan sifa pengkerbedaan. (jω) V(ω) -A e -jω() + A e -jω() + A jω -A + A e -jω + A jω A (jω + e -jω - ) A [ -jω ] V( ω ) jω + e - (jω) jω ( -jω ) A + - e ω aau dari Rajah C8., jelmaan Fourier bagi isyara v() boleh didapai erus dalam sebuan fungsi sinc seperi beriku; 3

31 3 (jω) V( ω) A - ω A sinc e -jω/ A - sinc ω e -jω / V ( ω) A ω j sinc e ω -jω/ -

32 3 Laihan Dapakan jelmaan Fourier bagi isyara-isyara denyu beriku; a) f() A Jawapan -τ τ τ τ Rajah L F( ω) Aτ sinc ωτ [ cosωτ +]

33 33 b) f() A -A/ Rajah L Jawapan 3 - sinc 4 3 sinc 3 3A ) F( ω ω ω

34 34 Conoh.9 Dengan menggunakan jadual, dapakan jelmaan Fourier isyara-isyara beriku; a) f() (cos 4) u() - c) f() e di mana; - < < b) f() (e - cos 4) u() d -3 d) f() e u() d Penyelesaian a) f() (cos 4) u() Dar ijadual, F [ kosω. u( ) ] [ δ ( ω ω ) + δ ( ω + ω ] π ) π Maka, F [ kos4. u( ) ] [ δ ( ω 4) + δ ( ω + 4) ] + 4 jω ω + ω jω ω

35 b) f() (e - cos 4) u() A + [ ] Dari jadual pasangan JF, F Ae a u() a jω - dan dari jadual sifa JF, [ f ( ) cosω ] [ F ( ω + ω ) + F( ω )] F [ ] maka, F u() + + j( ω + 4) + j( 4) kos4.e - ω ω 35 c) - f() e di mana; - < < F( ω ) () () + ω 4 + ω d -3 d) f() e u() d

36 36 Kaakan, f () e -3 u() F ( ω) 3 + jω d Dikeahui f() f ( ), maka; d F( ω) jω 3 + jω + 3/(jω) - j(3/ ω)

Σχετικά έγγραφα

BAB 4: MODEL KEADAAN-RUANG (State Space Model)

BAB 4: MODEL KEADAAN-RUANG (State Space Model) BAB 4: MODEL KEADAAN-RUANG (Sae Space Model) 4. Model am Persamaan kebezaan erib n diungkap semula sebagai sau se erdiri dari n persamaan kebezaan erib perama. Persamaan in diwakili oleh & = A Bu y = C