Sudut positif. Sudut negatif. Rajah 7.1: Sudut
|
|
- Χρυσάνθη Δεσποτόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Dalam bab ini kita akan belajar secara ringkas satu kelas fungsi penting untuk penggunaan dipanggil fungsi trigonometri Fungsi trigonometri pada mulana timbul dalam pengajian sains pelaaran, sains pengukuran dan sains lain ang bergantung pada hubungan di antara sudut dan sisi segitiga Akan tetapi pada hari ini kebanakan penggunaan fungsi ini adalah dalam pengajian fenomenon gelombang seperti buni, haba, cahaa, keelektrikan, fizik nuklear dan biologi Fungsi ini juga digunakan apabila mengkaji fenomenon berkala iaitu keadaan dimana corak asas berulang berkali-kali 7 Takrif Fungsi Trigonometri Sebelum kita mentakrifkan fungsi trigonometri mari kita lihat tafsiran sudut atas satah secara geometri Misalkan dua garis lurus bertemu di titik O Maka pemutaran terhadap titik O ang membawa satu garis itu kepada garis ang satu lagi dipanggil sudut Jika pemutaran itu lawan arah jam maka sudut itu dikatakan sudut positif, manakala jika pemutaran itu ikut arah jam maka sudut itu dikatakan sudut negatif Titik O dipanggil bucu sudut Lihat Rajah 7 Sudut positif Sudut positif Sudut negatif Sudut negatif Rajah 7: Sudut Satu daripada cara mengukur sudut adalah dalam sebutan darjah Satu putaran lawan arah jam ang lengkap adalah sama dengan ukuran 6 darjah (6 ) Dengan ini 8 ialah setengah putaran lawan arah jam; ialah satu pertiga putaran lawan 9
2 94 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI arah jam; 7 ialah tiga perempat putaran arah jam; dan 45 bersamaan satu perlapan putaran arah jam Cara mengukur sudut ang lebih berguna adalah dalam sebutan panjang bertanda Misalkan θ ialah sudut ang diperolehi apabila garis L diputarkan terhadap bucu O sehingga ia bertindih dengan garis L sebagaimana ditunjukkan Rajah 7 Bina satu bulatan berjejari berpusat di O Bulatan ini dipanggil bulatan unit Panjang bertanda lengkok bulatan unit ini di antara L dan L adalah dipanggil ukuran radian bagi θ Panjang bertanda bererti ukuran radian itu adalah positif jika θ lawan arah jam dan negatif jika θ arah jam Lihat Rajah 7 L Bulatan unit θ radian ( <) θ θ L unit panjang L θ radian ( >) L Rajah 7: Ukuran radian Mengikut teori geometri satah, ukuran lilitan bulatan unit ialah Jadi 6 radian 8 radian 9 radian 8 radian ( ) 6 dan radian 57 8 Daripada hubungan ini ukuran sudut dapat ditukar daripada satu sistem unit kepada sistem unit lain Sebagai contoh radian 8 ( dan 7 radian 7 8 ) 77 9 Jadual berikut menunjukkan ukuran darjah dan radian sudut-sudut tertentu Darjah Radian Sekarang kita takrifkan fungsi trigonometri Bagi sesiapa ang telah mempelajari trigonometri cuba ingat kembali bahawa fungsi trigonometri boleh ditakrifkan secara klasik, iaitu dalam sebutan nisbah sisi-sisi suatu segitiga tegak Tetapi pendekatan ini
3 Seksen 7: Fungsi Trigonometri 95 tidak mencukupi dalam kalkulus Oleh itu kita takrifkan fungsi trigonometri dalam sebutan koordinat titik-titik atas bulatan unit seperti berikut Dua fungsi trigonometri ang asasi ialah sinus dan kosinus, biasana diringkaskan sin dan kos Untuk mentakrifkan fungsi-fungsi ini kita lukiskan satu bulatan unit ang berpusat di asalan suatu sistem koordinat Biarkan T satu titik atas bulatan unit ang jarak lengkokna dari titik (, ) ialah dengan sebarang nombor nata (jika < arah jam dan jika > lawan arah jam) Maka kos ialah koordinat pertama T dan sin ialah koordinat kedua T Sila lihat Rajah 7 ( >) (, ) T (kos, sin ) (, ) unit panjang (, ) (, ) unit panjang T (kos, sin ) ( < ) Rajah 7: Takrif sin dan kos Daripada takrif di atas, jelas fungsi sinus dan kosinus tertakrif untuk semua nombor nata Jadi domain setiap fungsi itu ialah set nombor nata Oleh sebab koordinat titik atas bulatan unit adalah kurang daripada atau sama dengan, maka julat fungsi sinus dan kosinus ialah [, ] Oleh sebab setiap jarak lengkok atas bulatan unit berpadanan dengan suatu sudut dalam ukuran radian maka kita boleh fikirkan sin dan kos sebagai fungsi bagi sudut ang diukur dalam radian (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 4 Rajah 74: Nilai sin dan kos sudut tertentu Untuk nilai tertentu, kosinus dan sinus dapat diperolehi dengan mudah Daripada Rajah 74, kita dapati kos, sin ; kos /4 /, sin /4 /; kos /, sin / ;kos, sin ;kos/ dansin/
4 96 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Oleh sebab jarak di antara titik T (kos, sin ) dengan asalan (, ) ialah, maka (kos ) +(sin ) Biasana (kos ) ditulis kos dan (sin ) ditulis sin Oleh itu kita mempunai identiti berikut kos +sin Empat fungsi trigonometri ang lain ditakrifkan dalam sebutan sin dan kos Fungsifungsi itu ialah tan sin kos kot kos sin sek kos kosek sin dengan tan ialah singkatan bagi tangen, kot singkatan kotangen, sek singkatan sekan dan kosek singkatan kosekan Fungsi tangen dan sekan tidak tertakrif di semua nombor nata dengan kos, iaitu semua dalam set S { (k + )/} Jadi domain fungsi tangen dan sekan ialah semua nombor nata kecuali nombor-nombor dalam set S Serupana, domain fungsi kotangen dan kosekan tidak tertakrif di semua dengan sin,iaitu semua dalam set K { k} Jadi domain dua fungsi ini ialah set semua nombor nata ang bukan dalam set K Selaluna fungsi trigonometri lebih sesuai dilihat sebagai fungsi dengan domain ang terdiri daripada sudut-sudut bukan nombor Dengan ini kita takrifkan sinus sudut radian sebagai sinus nombor Takrif ang sama dibuat untuk fungsi trigonometri lain Jadi ( ) kos 6 kos radian kos Jadual disebelah memberikan nilai-nilai fungsi trigonometri ang selalu digunakan Nilai-nilai ini dikira dengan menggunakan takrif fungsi trigonometri Cara penggiraan ini dapat dilihat dalam Contoh 7 dan 7 T (, ) (, ) (, ) 4 (, ) Rajah 75: Nilai fungsi trigonometri bagi /4 CONTOH 7 Misalkan kita hendak mengira nilai fungsi-fungsi trigonometri bagi /4 Titik T atas bulatan unit ang jarak lengkokna dari titik (, ) ialah /4 terletak di sukuan kedua (lihat Rajah 75) Koordinat bagi titik T ialah ( /, /)
5 Seksen 7: Fungsi Trigonometri 97 Darjah radian sin kos tan sek kot kosek bererti tak tertakrif Oleh itu sin 4 kos 4 tan 4 sin 4 kos 4 sek 4 kos 4 CONTOH 7 Untuk mengira nilai fungsi trigonometri bagi / dan /6, kita gunakan takrif klasik bagi sin dan kos dan Rajah 76 Segitiga dalam Rajah 76 ialah segitiga sisi sama, iaitu semua sisina sama panjang dan masing-masingna mempunai panjang Akibatna, setiap sudut segitiga itu 6 Rajah 76: Nilai fungsi trigonometri bagi / dan /6
6 98 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI ialah 6 atau / radian Dengan melukiskan satu garis pembahagi dua sama dari satu bucu kita telah membahagikan satu sudut kepada dua sudut ang sama, masingmasing /6 radian dan kita telah membahagikan satu sisi segitiga itu menjadi dua sisi ang sama panjang Menurut teorem Pthagoras, tinggi segitiga itu ialah kerana +( ) Olehitu sin 6 kos sin kos 6 tan 6 kot tan kot 6 sek 6 kosek sek kosek 6 Biasana untuk mencari nilai fungsi trigonometri secara langsung dengan menggunakan takrif dalam sebutan bulatan unit adalah tidak mudah kerana koordinat titik ang berpadanan dengan sebarang sudut amat sukar ditentukan Jadi bagaimana kita mencari nilai fungsi trigonometri bagi sebarang sudut? Kita mempunai beberapa cara menelesaikan masalah ini tetapi kita tidak akan mempelajarina dalam buku ini Kaedah menelesaikan masalah itu akan dipelajari dalam kalkulus lanjutan Jadual nilai fungsi trigonometri ang terdapat dalam buku jadual telah dibina dengan menggunakan kaedah-kaedah tersebut Latihan 7 Cari nilai fungsi trigonometri bagi nombor nata berikut (a) 75 (b) /4 (c) 5/4 (d) /4 (e) 74 (f) 5/4 (g) (h) / (i) 4/ (j) 4/ (k) 7/ (l) / (m) 5/6 (n) 5/6 Dengan menggunakan jadual nilai fungsi trigonometri, cari (a) tan 4 (b) kot 5 (c) kot 5 (d) tan 88 (e) sin 8 (f) kos 7 (g) tan 967 (h) sin 6 (i) kos 489 (j) sek 8 (k) kosek (l) kosek (m) sek 7 (n) sek 4 Dengan menggunakan jadual nilai fungsi trigonometri cari dengan (a) sin 874 (b) kos 74 (c) tan 54 (d) kot 449 (e) sek 74 (f) kosek 7 (g) sin 7 (h) tan 47 (i) kot 498 (j) sek 74
7 Seksen 7: Graf Fungsi Trigonometri 99 7 Graf Fungsi Trigonometri Dalam seksen ini kita akan lakarkan graf fungsi trigonometri atas satah koordinat Kita mulai dengan fungsi sinus dan kosinus Perhatikan bahawa dua sudut ang ukuran radianna berbeza sebanak gandaan adalah berpadanan dengan titik ang sama atas bulatan unit kerana panjang lilitan bulatan unit ialah Ini bermakna nilai fungsi sinus dan kosinus bagi kedua-dua sudut itu adalah sama Jika ialah suatu daripada nombor itu maka bagi sebarang integer n, sin sin( +n) dan kos kos( +n) iaitu bagi sebarang, sin sin( +) sin( +4) sin( ) sin( 4) dan seterusna Fakta ini selaluna diperihalkan dengan menatakan bahawa sinus dan kosinus adalah fungsi berkala dengan kalaan Takrif 7 Jika p ialah suatu nombor positif terkecil sedemikian hingga f( + p) f() bagi semua, makaf() dikatakan fungsi berkala dengan kalaan p Kita juga dapat tunjukkan bahawa bagi sebarang integer n dan sebarang dalam domain fungsi ang berkaitan, tan tan( + n) kot kot( + n) sek sek( +n) kosek kosek( +n) Jadi tangen dan kotangen adalah fungsi berkala dengan kalaan dan sekan dan kosekan adalah fungsi berkala dengan kalaan Sebagai akibat penting daripada sifat perkalaan fungsi trigonometri ialah bagi sebarang nombor, titik (, sin ) dan(+n, sin (+n)) atas graf sinus terletak pada tinggi ang sama di atas (atau di bawah) paksi- Hal ang analog juga berlaku pada graf fungsi kosinus Untuk fungsi tangen titik (, tan ) dan( + n, tan ( + n)) adalah sama tinggi Sekarang kita lakarkan graf fungsi sinus, kosinus dan tangen Untuk mendapatkan lakaran graf sin dan kos kita mesti tentukan tingkahlakuna dalam selang (, ) Dengan merujuk kepada bulatan unit kita dapat ketahui tingkahlaku fungsi-fungsi itu apabila bertambah dari ke Tingkahlaku ini disimpulkan dalam jadual disebelah Dengan menggunakan maklumat ini dan memplotkan beberapa titik ang diketahui kita boleh lakarkan graf fungsi sin dan kos dengan agak tepat Sila lihat Rajah 77 dan 78 Untuk graf fungsi tangen, perhatikan bahawa dalam Rajah 79, OPQ serupa dengan ORS dan dengan itu RS OS PQ OQ atau RS sin kos atau RS tan
8 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Apabila bertambah dari sin berubah dari kos berubah dari ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ke ( 6, ) ( 5 (, ) 6, ) (, ) (, ) sin (, ) Rajah 77: Graf fungsi sinus (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) kos Rajah 78: Graf fungsi kosinus R P tan sin O kos Q S Rajah 79: OPQ serupa ORS
9 Seksen 7: Graf Fungsi Trigonometri sebagaimana ang ditunjukkan dalam Rajah 79 Jadi apabila menokok daripada ke/, tan adalah positif dan menokok secara tak terhingga Oleh itu apabila /, tan dan kita tahu tan Sila lihat Rajah 7 (a) Dengan menggunakan fakta bahawa tan ( ) tan, kita boleh dapatkan graf tan untuk semua di antara / dan/ (lihat Rajah 7) Oleh sebab kalaan tan ialah maka grafna adalah seperti ang dilakar dalam Rajah 7 Rajah 7: Sifat graf fungsi tangen tan Rajah 7: Graf fungsi tangen ( << ) t tan Rajah 7: Graf fungsi tangen Fungsi kotangen, sekan dan kosekan masing-masingna digrafkan dalam Rajah 7, 74 dan 75
10 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI kot 5 5 Rajah 7: Graf fungsi kotangen sek (, ) (, ) Rajah 74: Graf fungsi sekan kosek (, ) (, ) (, ) (, ) Rajah 75: Graf fungsi kosekan
11 Seksen 7: Graf Fungsi Trigonometri CONTOH 7 Pertimbangkan fungsi f() sin Untukmelakargrafsin perhatikan bahawa sin t jika dan hana jika t n dengan n sebarang integer Jadi sin jika dan hana jika n iaitu jika dan hana jika n/ Oleh sebab sin t terbesar (sama dengan ) apabila t (/+n); dengan n sebarang integer, maka sin terbesar (sama dengan ) apabila (/+n) iaitu apabila (/6+n/) Jadi apabila bertambah dari ke /6, f() berubah dari ke dan apabila menokok dari /6 ke/, f() menusut dari ke Seterusna apabila bertambah dari / ke/, f() berkurang dari ke dan apabila menokok dari / ke/, maka f() menokok dari ke Jadif() adalah berkala dengan kalaan / Sila lihat Rajah 76 Bentuk graf sin serupa dengan graf sin f() sin sin Rajah 76: Graf fungsi sin Secara am kalaan bagi fungsi sin k ialah /k kerana ( sin k sin(k +) sink + ) k Dengan ini jika bertambah sebanak /k, nilai sin k tetap sama kalaan bagi fungsi kos k ialah /k kerana ( kos k kos(k +) kosk + ) k Begitu juga CONTOH 7 Pertimbangkan fungsi f() kos Menurut fakta di atas, fungsi ini mempunai kalaan / Bentuk grafna sama dengan bentuk graf kos kecuali nilai maksimumna ialah f() kos dan nilai minimumna ialah f(/) kos (/) kos Jadi grafna berubah dari ke Sila lihat Rajah 77 Latihan 7 Cari semua nombor dalam [, ] dengan kos Cari semua nombor dalam [, ] dengan kos (/)
12 4 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI kos f() kos 4 4 Rajah 77: Graf fungsi kos Cari semua nombor dalam [, 4] dengan sin (/4) 4 Tentukan kalaan fungsi berikut (a) f() kos4 (b) f() sin5 (c) f() sin(/) (d) f() kos( ) (e) f() 4sin( +) (f) f() tan (g) f() kot4 (h) f() tan 5 Lakarkan graf fungsi berikut (a) f() sin (b) f() sin (c) f() kos (d) f() sin (e) f() kos (/) (f) f() tan4 (g) f() sin (h) f() kos (i) f() +sin (j) f() sin(/) (k) f() sin( ) (l) f() kos( + ) (m) f() sin( /4) + (n) f() (/) kos ( /) + 7 Identiti Trigonometri Dalam seksen ini kita akan mempelajari hubungan atau identiti di antara keenamenam fungsi trigonometri itu Identiti ang pertama telah kita terbitkan dalam Seksen 7 Identiti itu ialah sin +kos (7) Persamaan ini dipanggil identiti kerana ia benar untuk semua Perhatikanbahawa sin sin dan kos kos Sesungguhna hubungan (7) ialah suatu pernataan teorem pthagoras bagi segitiga tegak OPQ dalam Rajah 79 Bagi sebarang segitiga itlak, hubungan ang sah diberi oleh hukum kosinus
13 Seksen 7: Identiti Trigonometri 5 TEOREM 7 [Hukum Kosinus] Dengan menggunakan tatatanda dalam Rajah 78, kita dapati c a + b ab kos (7) b c radian a Rajah 78: Hukum kosinus Untuk membuktikan Hukum Kosinus kita lukiskan segitiga itu dalam kedudukan tertentu seperti dalam Rajah 79 (b kos, b sin ) B (b kos, b sin ) B b c rad a A b rad a A c Rajah 79: Bukti hukum kosinus Menurut formula jarak dan persamaan (7) kita dapati c (b kos a) +(bsin ) b kos ab kos + a + b sin b (kos +sin )+a ab kos c b + a ab kos Sekarang perhatikan keadaan dalam Rajah 7 Menurut formula jarak PQ (kos b kos a) +(sina sin b) kos b kos a kos b +kos a +sin a sin a sin b +sin b (kos a kos b +sinasin b)
14 6 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI (, ) Q(kos a, sin a) P (kos b, sin b) a rad O b rad A(, ) Rajah 7: Bukti hukum kosinus lagi Sebalikna dengan mengenakan hukum kosinus ke atas segitiga OPQ kita dapati PQ + kos(a b) kos(a b) kerana (a b) ialah ukuran radian bagi sudut dibucu O Dengan membandingkan kedua-dua ungkapan di atas kita memperolehi identiti berikut kos (a b) kosakos b +sinasin b (7) ang benar untuk semua nombor a dan b Jika kita tulis ( b) sebagai b maka kos (a + b) kosakos ( b)+sinasin ( b) tetapi ingat bahawa kos ( b) kosb dan sin ( b) sin b Jadi kita mempunai identiti kos (a + b) kosakos b sin a sin b (74) Biarkan a / dalam formula (7) Kita dapati ( ) kos b kos kos b +sin sin b, tetapi oleh sebab kos / dansin/, persamaan itu menjadi kos (/ b) sin b Seterusna jika kita biarkan c / b dalam persamaan ini, maka b / c dan kita dapati sin (/ c) kosc Oleh itu kita telah buktikan dua identiti berikut ( ) kos sin (75) ( ) dan sin kos (76) Formula ang serupa dengan (7) dan (74) bagi sinus hasil tambah dan beza dua nombor menusul daripada identiti-identiti di atas Menggunakan persamaan (75), kita boleh tulis ( ) ([ ] ) sin (a + b) kos (a + b) kos a b Menurut persamaan (7),
15 Seksen 7: Identiti Trigonometri 7 sin (a + b) kos ( ) ( ) a kos b +sin a sin b dan daripada persamaan (75) dan (76), kita dapati sin (a + b) sina kos b +kosasin b (77) bagi semua nombor nata a dan b Jika kita tulis a b sebagai a +( b) dan gunakan persamaan (7), kita dapati sin (a +( b)) sin a kos ( b)+kosasin ( b) dan oleh sebab kos ( b) kosb dan sin ( b) sin b, maka identiti berikut menusul sin (a b) sina kos b kos a sin b (78) Seterusna jika kita biarkan a b dalam Formula (77) dan (78), maka kita akan memperolehi identiti sin sin kos (79) dan kos kos sin (7) Oleh sebab kos +sin, persamaan (7) dapat ditulis sebagai kos kos (7) atau kos sin (7) Dengan menggantikan dengan dalam Formula (7) dan (7) dan selepas sedikit pengolahan algebra kita perolehi dua identiti berikut kos +kos (7) dan sin kos (74) Identiti trigonogetri memang banak bilanganna Kebanakan daripada identiti trigonometri ang penting, kita senaraikan dalam jadual berikut Kesemuana adalah berguna tetapi kita tak perlu menghafal semua identiti itu Kita cuma perlu ingat identiti (7), (7), (74) dan (77) Identiti lain dapat kita terbitkan apabila diperlukan CONTOH 7 Buktikan identiti sin a kos b [ ] sin (a + b)+sin(a b) Penelesaian Tambahkan identiti bagi sin (a + b) dengan identiti bagi sin (a b) Kita dapati sin (a + b)+sin(a b) [sin a kos b +kosasin b] + [sin a kos b kos a sin b] sin a kos b Untuk mendapatkan identiti itu, bahagikan persamaan di atas dengan
16 8 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Identiti Trigonometri kos +sin +tan sek +kot kosek ( ) sin kos ( ) kos sin ( ) tan kot sin ( ) sin kos ( ) kos sin( ) sin kos ( ) kos tan( ) tan ( ) sin + kos ( ) kos + sin ( ) tan + kot sin ( + ) sin kos ( + ) kos tan ( ) tan tan(a + b) tan a +tanb tan a tan b tan ( + ) tan tan(a b) sin (a + b) sina kos b +kosa sin b sin (a b) sina kos b kos a sin b kos (a + b) kosa kos b sin a sin b kos (a b) kosa kos b +sina sin b sin sin kos tan a tan b +tana tan b kos kos sin kos sin tan tan tan sin kos kos +kos atau atau sin kos kos +kos tan sin +kos kos atau sin sin a sin b [ ] kos (a b) kos (a + b) tan kos sin kos a kos b [ ] kos (a + b)+kos(a b) sin a kos b [ ] sin (a + b)+sin(a b)
17 Seksen 7: Identiti Trigonometri 9 CONTOH 7 Terbitkan identiti bagi tan (a + b) Penelesaian sin (a + b) tan (a + b) kos (a + b) sin a kos b +kosasin b kos a kos b sin a sin b (bahagikan penebut dan pembilang dengan kos a kos b) tan a +tanb tan a tan b CONTOH 7 Cari (a) sin 5 dan (b) tan 5 tanpa menggunakan jadual atau mesin kira Penelesaian (a) Dengan menggunakan identiti sin ( kos )/ dan mengambil 5 / radian, maka sin kos (/) kos /6 / 4 Oleh itu sin / ( )/ ( 588) (b) Untuk mencari tan 5, gunakan identiti tan ( kos )/ sin dengan mengambil 5 /8 radian Dengan itu, tan 8 kos (/8) sin (/8) kos /4 sin /4 ( )/ ( )/ ( 44) CONTOH 74 Jika sin /5 dan [/, /], cari nilai lima fungsi trigonometri lain Penelesaian Menggunakan identiti kos +sin, kos sin ( )
18 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Jadi kos 4/5 atau 4/5 Oleh sebab [/, /], kos adalah negatif Oleh itu kos 4/5 Menurut takrif sek dan kosek, kita dapati sek kos 5 4 Oleh sebab tan sin/ kos, maka tan /5 4/5 4 Akhir sekali, kot tan 4 Latihan 7 dan kosek sin 5 Buktikan identiti-identiti berikut (a) kot( ) kot (b) tan(/ ) kot (c) sek(/ ) kosek (d) tan ( kos )/ sin (e) sin ( kos )/ (f) kos a kos b [kos(a + b)+kos(a b)]/ (g) /( + tan ) kot/( + kot ) (h) kos 4 8kos 4 8kos + (i) (+sin )/ kos (kos +sin)/(kos sin ) (j) kos A (tan A +tana)/(tan A tan A) (k) sin sin 4sin (m) sin a +sinb sin((a + b)/) kos ((a b)/) Cari nilai fungsi berikut tanpa menggunakan jadual trigonometri atau mesin kira (a) sin ( /4) (b) kos ( 5/6) (c) kos (7/6) (d) sin (/6) (e) kos (/4) (f) sin (7/4) Permudahkan (a) sin ( 9/) (b) sek (6 + ) (c) tan( +7/()) (d) kos (a + /) sin (b /) 4 Buktikan hukum sinus (dengan menggunakan tatatanda dalam Rajah 7) sin sin sin z a b c c a z b Rajah 7: Bukti hukum sinus 5 Cari nilai lima fungsi trigonometri ang lain jika tan 4/ dan [, ] 6 Buktikan bahawa sin 5/ ( 6+ )/4 dengan mengembangkan sin (/4+/6)
19 Seksen 74: Terbitan Fungsi Trigonometri 74 Terbitan Fungsi Trigonometri Sebelum kita dapat menerbitkan formula bagi terbitan fungsi sinus kita perlu tahu satu fakta had ang penting iaitu sin had Had ini adalah munasabah berdasarkan kepada pemerhatian secara geometri ke atas Rajah 7 Perhatikan bahawa Q ialah titik (kos, sin ) danp ialah titik (kos, sin ) Jadi panjang perentas PQ ialah sin dan lengkok PQ mempunai panjang Dengan ini Panjang perentas PQ Panjang lengkok PQ sin sin (, ) P (kos, sin ) sin O rad - rad R (, ) sin (, ) Q(kos, sin ) Rajah 7: Fakta penting had Secara segerak hati kita dapati apabila, panjang perentas PQakan menghampiri panjang lengkok PQ, dan dengan ini nisbah panjangna akan mendekati Oleh itu kita buat kesimpulan berikut sin had Dengan menggunakan fakta ini kita dapat menilai beberapa had ang melibatkan fungsi trigonometri CONTOH 74 Tunjukkan bahawa (a) had sin, (b) had kos dan (c) had ( kos )/ Penelesaian (a) had sin sin had sin had had
20 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Oleh sebab sin, maka had sin sin Jadisin selanjar di Malahan sin selanjar di mana-mana sahaja (b) had kos had sin had ( sin ) Oleh sebab kos, maka had kos kos Dengan ini kos juga selanjar di Sesungguhna fungsi kos selanjar di semua nombor nata (c) had kos had had had had kos +kos +kos kos ( + kos ) sin ( + kos ) sin sin +kos Sekarang kita telah mempunai maklumat ang cukup untuk mencari terbitan fungsifungsi trigonometri TEOREM 74 Jika f() sin maka f () kos Bukti Menurut takrif terbitan, jika f() sin, maka f () f( + h) f() had h h sin ( + h) sin had h h sin kos h +kossin h sin had h h ( sin +sinkos h)+kossin h had h [ h ( kos h) had sin +kos sin h ] h h h ( sin ) +(kos) kos Dengan menggunakan petua rantai, Teorem 74 dapat diperluaskan menjadi D sin f() (kosf())d f() dengan f() suatu fungsi terbezakan
21 Seksen 74: Terbitan Fungsi Trigonometri CONTOH 74 Jika g() sin(4 ), maka g () ( kos (4 ) ) (4 ) 8 kos (4 ) CONTOH 74 Untuk mencari D sin 4, perhatikan bahawa sin 4 ialah kuasa sin Jadi dengan menggunakan petua kuasa D sin 4 (4sin ) D sin 4sin kos CONTOH 744 Dengan menggunakan petua kuasa dua kali kita dapati D ( sin ) / ( sin ) / D ( sin ) ( sin ) / ( sin )D sin ( sin ) / sin kos sin kos ( sin ) / Seterusna mari kita cari terbitan fungsi kosinus Teorem berikut memberi jawapan ang kita kehendaki TEOREM 74 Jika f() kos, makaf () sin Bukti Dengan menggunakan identiti ( ) ( ) kos sin dan sin kos ( kita dapati ) D kos D sin ( ) ( ) kos D sin ( ) sin Penggabungan teorem ini dengan petua rantai menghasilkan formula berikut dengan f() suatu fungsi terbezakan D kos f() sin f() D f() CONTOH 745 Dengan menggunakan petua kuasa dan petua di atas kita dapat cari terbitan berikut dengan mudah (a) D kos sin D ( ) sin (b) D kos 5 5kos 4 D (kos ) 5kos 4 ( sin ) D ( ) kos 4 sin
22 4 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI (c) D kos (ln ) kos(ln)d (kos (ln )) kos(ln)( sin (ln ) D (ln )) kos (ln )sin(ln) Dengan menggunakan terbitan fungsi sinus dan kosinus kita dapat mencari terbitan empat fungsi trigonometri ang lain Kita tunjukkan carana dalam contoh berikut CONTOH 746 Dengan menggunakan ( petua ) hasil bahagi kita dapati sin D (tan ) D kos (kos )D sin (sin )D kos kos kos +sin kos kos sek Oleh itu D (tan ) sek Dengan cara ang serupa kita dapat sahkan formula berikut D (kot ) kosek D (sek ) sek tan D (kosek ) kosek kot Penggabungan formula-formula ini dengan petua rantai menghasilkan D (tan f()) sek f() D f() D (kot f()) kosek f() D f() D (sek f()) sek f()tan f() D f() D (kosek f()) kosek f()kot f() D f() dengan f() ialah fungsi terbezakan CONTOH 747 Terbitan-terbitan berikut dapat dicari dengan mudah menggunakan petua rantai (a) D tan 5/ sek 5/ D ( 5/ ) 5 / sek 5/ (b) D kot ( + ) kot( + )( kosek ( + ) D ( + ) kot( + )kosek ( + ) ( +) ( +)kot( + )kosek ( + ) (c) D sek 4 4sek 4 D (sek ) 4sek tan (d) D kosek kosek ( kosek kot ) D ( ) kosek kot ( ) 6 kosek kot
23 Seksen 75: Pengkamiran Fungsi Trigonometri 5 CONTOH 748 Cari d/d jika sin + sin Penelesaian Bezakan persamaan itu secara tersirat terhadap Kita dapati sin + kos d d + d sin + kos d d ( kos +sin) d (sin + kos ) d d sin + sin kos +sin Latihan 74 Cari f () bagi fungsi berikut (a) f() sin5 (b) f() 4sin (c) f() sin( + ) (d) f() sin ( ) (e) f() kos(4 ) (f) f() sin(e ) (g) f() (sin) (kos ) (h) f() sin (i) f() kos( + e ) (j) f() ln sin 4 (k) f() tan(kos ) (l) f() sin +kos Cari terbitan fungsi berikut (a) ln sek (b) (sin)/( kos ) (c) tan (/) (d) e kos (e) sek (f) e kot (g) (kos) sin (h) (lnsin) e Dengan menggunakan pembezaan secara tersirat cari d/d (a) kos sin (b) sin + sin (c) ln sin( + ) (d) kos sin( + ) (e) kos( ) (f) sin kos( + ) 75 Pengkamiran Fungsi Trigonometri Formula kamiran tak tentu bagi fungsi sinus dan kosinus menusul secara langsung daripada formula pembezaan ang berkaitan Oleh sebab D sin kos, maka kos dsin + C Oleh sebab D ( kos ) sin, maka sin d kos + C
24 6 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Dengan cara ang serupa, formula pembezaan lain dalam seksen terdahulu dapat ditulis semula sebagai formula pengkamiran berikut sek d tan + C kosek d kot + C sek tan d sek + C kosek kot d kosek + C CONTOH 75 Cari luas rantau di bawah graf kosinus dari / ke/ Penelesaian Luas ang dikehendaki sama dengan / / kos d Dengan menggunakan teorem asasi kalkulus, / [ ] / kos d sin / / sin ( sin ) ( ) CONTOH 75 Hitung sin d Penelesaian Biarkan u, makadu d Jadi sin d sin udu ( kos u)+c kos + C Kamiran tak tentu fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan tidak mudah diperolehi Formula kamiran tak tentu fungsi tangen diterbitkan seperti berikut Oleh sebab sin tan d kos d kita biarkan u kos Jadidu sin ddan kita dapati tan d du u ln u + C ln kos + C ln kos + C ln kos + C ln sek + C
25 Seksen 75: Pengkamiran Fungsi Trigonometri 7 Untuk mencari kot dkita biarkan u sin Jadidu kosddan kita dapati kos kot d sin d du u ln u + C ln sin + C Untuk mengkamirkan sek d, kita darabkan pembilang dan penebut ang dikamir dengan ungkapan (sek +tan) Kita dapati sek (sek +tan) sek d d sek +tan sek +sektan d sek +tan Biarkan u sek +tan Makadu (sektan +sek ) d Jadi du sek d u ln u + C ln sek +tan + C Kita gunakan teknik ang sama untuk mendapatkan formula bagi kosek d Darabkan pembilang dan penebut ang dikamir dengan ungkapan (kosek kot ) Kita dapati kosek (kosek kot ) kosek d d kosek kot kosek kosek kot d kosek kot Biarkan u kosek kot, maka Jadi du { kosek kot ( kosek )} d (kosek kosek kot ) d du kosek d u ln u + C ln kosek kot + C Kita kumpulkan keempat-empat kamiran ang kita telah terbitkan di atas tan d ln sek + C kot d ln sin + C sek d ln sek +tan + C kosek d ln kosek kot + C
26 8 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI CONTOH 75 Hitung kot d Penelesaian Biarkan u Jadidu d dan kot d kot udu ln sin u + C ln sin + C CONTOH 754 Cari (/ kos ) d Penelesaian Biarkan u Jadidu d dan kos d sek d sek udu ln sek u +tanu + C ln sek +tan + C CONTOH 755 Hitung kosek d Penelesaian Biarkan u Makadu d atau d du/ Jadi kosek d kosek udu ( kot u)+c kot + C CONTOH 756 Kamirkan kos 5 sin d Penelesaian Biarkan u kos Makadu sin d dan kos 5 sin d u 5 du u6 6 + C 6 kos 6 + C CONTOH 757 Kira (a) kos ddan (b) sin d Penesaian (a) Kita tulis kos kos kos ( sin )kos Biarkanu sin, maka du kosd dan
27 Seksen 75: Pengkamiran Fungsi Trigonometri 9 kos d ( sin )kos d ( u ) du u u + C sin sin + C (b) Kita tulis sin sin sin ( kos )sin dan kita biarkan u kos Maka du sin d dan sin d ( kos )sin d ( u )( du) u + u + C kos + kos + C CONTOH 758 Hitung (a) kos 4 ddan (b) sin d Penelesaian (a) Kita gunakan identiti kos (+kos)/ Jadi ( ) +kos kos 4 d d ( 4 + kos + ) 4 kos d 4 + sin + ( ) +kos4 d sin sin 4 + C sin + sin 4 + C 4 (b) Kita gunakan identiti sin ( kos )/ Jadi ( ) kos sin d d kos d d sin + C 4 Untuk mencari kamiran tak tentu trigonometri ang lebih rumit kita perlu gunakan teknik pengkamiran seperti penggantian dan pengkamiran bahagian demi bahagian Teknik ini akan dipelajari dalam bab kelapan
28 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Latihan 75 Nilaikan kamiran berikut (a) ( kos sin ) d (b) (c) kos (4 ) d (d) (e) sin kot d (f) (g) sin (/ + )d (h) ( kos 5 +sin) d tan d kosek ( ) d sek tan d Hitung kamiran berikut (a) sin /( kos ) d (d) kosek ( ) d (b) (e) sin d sek tan d (c) (f) kos ( ) d (sin (ln ))/ d Cari (a) (d) (g) (j) sin 4 d kos 5 d kos sin ; d sin kos 4 d (b) (e) (h) (k) kos d sin kos d tan d sin kos 4 d (c) (f) (i) (l) sin 5 d sin 5 kos d sek tan d sin kos d 4 Cari luas rantau ang dibatasi oleh satu lengkok daripada kos dengan paksi- 5 Cari isipadu pepejal ang terjana jika rantau ang terbatas oleh satu lengkok sin dengan paksi- dikisarkan mengelilingi paksi- 76 Fungsi Trigonometri Songsang Kali pertama konsep fungsi songsang dibincangkan ialah dalam bab pertama Bukan semua fungsi mempunai fungsi songsang Cuma fungsi satu-ke-satu sahaja ang mempunai fungsi songsang Sebagai contoh fungsi ln dan e mempunai fungsi songsang dan mereka adalah songsang satu daripada ang lain (lihat Seksen 6) Fungsi tidak mempunai songsang kerana ia bukan fungsi satu-ke-satu Akan tetapi jika domainna dibataskan kepada [, ), maka ialah fungsi songsangna
29 Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang Sekarang sila rujuk kepada graf fungsi sinus dalam Rajah 77 Kita dapati sinus bukan fungsi satu-ke-satu Dengan ini fungsi sinus tidak mempunai songsang Akan tetapi jika domainna dibataskan kepada [ /,/], maka ia menjadi fungsi satu-ke-satu (lihat Rajah 7) Jadi fungsi sinus dengan domain ang terbatas ini mempunai fungsi songsang Songsangna dipanggil fungsi sinus songsang dan dilambangkan dengan simbol sin Rajah 7: Fungsi sinus dalam domain [ /,/] Takrif 76 Fungsi sinus songsang ang ditulis sin ditakrifkan seperti berikut sin jika dan hana jika sin dan Kadang-kadang fungsi sin dipanggil fungsi lengkok sinus dan ditulis lengsin Perhatikandisinibahawasin (sin) walaupun tatatanda sin bererti (sin ) Domain sin ialah selang tertutup [, ] dan julatna selang tertutup [ /,/] Untuk mendapatkan graf sin, mula-mula kita lukis graf sin untuk [ /,/] dan kemudian lukiskan imejna terhadap garis Lihat Rajah 74 Satu cara mencari nilai fungsi sinus songsang sin a ialah dengan mencari nombor ang sinusna sama dengan a Sebagai contoh sin / /6 keranasin/6 / dan sin ( /) / keranasin( /) / Ingat bahawa sin mesti berada dalam selang [ /,/] Jadi walaupun sin 5/6 /, sin / 5/6 kerana 5/6 [ /,/] Yang berikut menusul daripada takrif di atas sin (sin ) bagi [, ] dan sin (sin ) bagi [ /,/] Fungsi sinus songsang ang dibincangkan setakat ini adalah diperolehi dengan membataskan domain fungsi sinus kepada selang [ /,/] Akan tetapi fungsi sinus adalah
30 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI sin (, ) (, ) 6 sin (, ) (, ) Rajah 74: Graf fungsi sinus songsang fungsi satu-ke-satu juga dalam selang-selang lain, misalna [ /, /], [/, /] dan [/, 5/] Jadi dalam setiap selang ini fungsi sinus juga mempunai songsang Selang [ /,/] dipilih kerana ia mengandungi nombor dan grafna menokok dalam selang itu Fungsi kosinus juga tidak mempunai fungsi songsang atas alasan ang sama dengan fungsi sinus Akan tetapi jika kita bataskan domainna kepada selang tertentu maka fungsi kosinus menjadi satu-ke-satu (lihat grafna dalam Rajah 78) dan oleh itu mempunai fungsi songsang Untuk fungsi kosinus kita pilih selang [,] Rajah 75 menunjukkkn graf fungsi kosinus dengan domain terbatas [, ] Julatna ialah [, ] Oleh sebab fungsi ini satu-ke-satu maka iana mempunai fungsi songsang ang dipanggil fungsi kosinus songsang dan diberi lambang kos Rajah 75: Graf fungsi kosinus dalam [,]
31 Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang Takrif 76 Fungsi kosinus songsang ang ditulis kos ditakrifkan seperti berikut kos jika dan hana jika kos dan Domain fungsi kos ialah selang tertutup [, ] dan julatna ialah selang tertutup [,] Grafna ialah imej graf kos bagi [,] terhadap garis Sila lihat Rajah 76 kos (,) kos (, ) Rajah 76: Graf fungsi kosinus songsang Fungsi kosinus songsang kos juga dipanggil fungsi lengkok kosinus dan ditulis lengkos Untuk mencari nilai kos a kita cari nombor b dengan kos b a Sebagai contoh, kos / / kerana kos / / dankos ( ) kerana kos Akan tetapi kos ( ) walaupun kos kerana/ [,] Ingat kos mesti berada dalam selang [,] Menurut takrif kos kita dapati kos (kos ) bagi [, ] dan kos (kos ) bagi [,] CONTOH 76 Cari (a) sin, (b) kos (kos /), (c) sin (sin /), dan (d) kos (sin ) bagi [, ] dalam sebutan Penelesaian (a) sin tak wujud kerana / [, ] (b) kos (kos ) kos ( ) (c) sin (sin /) sin /6 /
32 4 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI (d) Untuk mencari kos (sin ) bagi [, ], mula-mula kita tulis sin Maka sin dan [ /,/] Jadi kos (sin )kos ± sin ± Oleh sebab [ /,/], maka kos Oleh itu kos (sin ) + CONTOH 76 Nilaikan sin (kos ) bagi [, ] dalam sebutan Penelesaian Biarkan kos bagi [, ] Maka kos dan [,] Oleh itu sin (kos )sin ± kos ± Tetapi sin kerana [,] Jadi sin (kos )+ Seperti fungsi sinus dan kosinus, fungsi tangen juga mempunai fungsi songsang jika kita bataskan domainna Jika kita bataskan fungsi tangen kepada selang terbuka ( /,/), maka fungsi tangen adalah satu-ke-satu (lihat Rajah 77) Dengan ini ia mempunai fungsi songsang ang kita panggil fungsi tangen songsang dan diberi lambang tan tan tan Rajah 77: Graf fungsi tangen songsang Takrif 76 Fungsi tangen songsang ang ditulis tan ditakrifkan seperti berikut tan jika dan hana jika tan dan << Domain fungsi tan ialah semua nombor nata dan julatna ialah ( /,/) Fungsi songsang ini juga dipanggil fungsi lengkok tangen dan ditulis lengtan Graf fungsi tan ditunjukkan dalam Rajah 77 sebagai imej tan terhadap garis
33 Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang 5 Seterusna fungsi kotangen, kosekan dan sekan songsang dapat ditakrifkan dengan cara ang serupa Perumusan takrif fungsi-fungsi ini ditinggalkan sebagai satu latihan Graf fungsi-fungsi ini disimpulkan dalam Rajah 78 (b) sek (a) kot (d) kot (e) sek (c) kosek (f) kosek Rajah 78: Graf fungsi trigonometri songsang lain CONTOH 76 Cari (a) tan, (b) tan (tan /4) dan (c) sin ( tan /) Penelesaian (a) tan /4 keranatan/4 dan/4 ( /,/) (b) tan (tan /4) tan ( ) /4 keranatan( /4) (c) Biarkan tan / Maka tan / dan ( /,/) Jadi dapat diwakili oleh sudut dalam sukuan pertama (lihat Rajah 79) Oleh itu ( sin tan ) sin sin ( )( kos ) Sekarang mari kita tumpukan perhatian kita pada perumusan terbitan fungsi sin, kos dan tan Untuk mendapatkan formula bagi terbitan fungsi sinus songsang kita tulis sin bagi [, ] [ Ini setara dengan sin dan, ] Bezakan kedua-dua belah persamaan ini terhadap, kita dapati kos d d
34 5 6 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Rajah 79: Rajah untuk cari sin dan kos Jadi d d bagi kos << kos (sin ) Tetapi menurut Contoh 76(d), kos (sin ) Dengan ini kita dapati d d sin bagi (, ) Perhatikan disini bahawa domain terbitan fungsi sinus songsang ialah (, ) Jika f() ialah suatu fungsi terbezakan maka penggabungan petua rantai dengan formula di atas menghasilkan petua d d sin f() f () d d f() CONTOH 764 Cari d/d jika (a) sin (b) sin / dan (c) sin e Penelesaian (a) (b) (c) d d ( ) 4 d ( ) d d d d ( ) (/) d ( ) d d (e ) e e d d (e ) Untuk mendapatkan formula terbitan fungsi lengkok kosinus kita tulis
35 Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang 7 kos bagi [, ] ang mana adalah setara dengan kos bagi [,] Pembezakan terhadap menghasilkan sin d d atau d d sin bagi [,] sin (kos ) Tetapi sin (kos ) (lihat Contoh 76) Oleh itu d d (kos ) bagi [, ] Formula ini apabila digabungkan dengan petua rantai menghasilkan petua d d kos d f() f () d f() dengan f() sebarang fungsi terbezakan CONTOH 765 Cari terbitan (a) lengkos ( + ), (b) lengkos (/ ), dan (c) lengkos ( +) Penelesaian (a) Biarkan lengkos ( +)lengkos f() dengan f() + Menurut petua di atas, d d ( +) ( +4 +) d ( +) d (b) Seperti (a), biarkan lengkos (/ ), maka ( ) d d d (/ ) d ( ) (/) (/ ) (c) Menurut petua hasil darab, d d ( lengkos ( +)) ( ) ( +4 +) + lengkos ( +) +lengkos ( +) ( +4 +)
36 8 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Seterusna untuk mencari d(tan )/d, kita tulis tan bagi (, ) Ini setara dengan tan bagi [ /,/] Pembezaan terhadap menghasilkan sek d d atau d d sek +tan bagi [ /,/] + bagi (, ) Oleh itu d d (tan ) + bagi (, ) Formula ini bersama-sama dengan petua rantai memberikan petua d d (tan f()) dengan f() sebarang fungsi terbezakan +f () d d f() CONTOH 766 Cari d/d jika (a) tan,(b) tan e,dan (c) ln( ) tan (/) Penelesaian (a) tan d d +( ) + 4 (b) tan e Menurut petua hasil darab, d d +(e ) e +e +tan e d ( ) d d d (e )+tan e (c) Bezakan persamaan ln( ) tan (/) secara tersirat terhadap, kita dapati ( d ) ( ) d d +(/) d (d/d) +(/) (d/d) (d/d) + ( ) d d d d
37 Seksen 76: Fungsi Trigonometri Songsang 9 Kita akhiri seksen ini dengan menulis beberapa formula kamiran tak tentu dan contohcontoh penggunaanna Formula ini diperolehi daripada formula bagi terbitan fungsi trigonometri songsang d sin + C d kos + C + d tan + C Kita juga mempunai formula berikut a d sin + C dengan a> a a d kos + C dengan a> a a + d a tan a + C CONTOH 767 Nilaikan (a) d (b) +9 d (c) 4 Penelesaian (a) Biarkan u, makadu d Jadi +9 d +u du tan u + C tan + C (b) Oleh sebab 4 4(/4 ) /4 maka 4 d d /4 ( ) kos + C / kos + C (c) Lengkapkan kuasa dua ungkapan ( +4 +4)+4( +) +4u +4 dengan u + Jadi d 4+u du tan u + C tan + + C d
38 Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Latihan 76 Nilaikan nombor berikut (a) sin () (b) kos (/) (c) tan () (d) kot () (e) sek (/ ) (f) kosek (/ ) (g) sin (/) (h) kos ( /) (i) sin ( /) Cari nilai nombor berikut (a) kos(sin ( /)) (b) sin (tan (/ )) (c) kot(sek ( )) (d) tan(kosek ( 5/4)) (e) kos ( tan ( 5/)) (f) kos (tan ()) (g) sek(sin ( 4/5)) (h) sin(4kos ( /5)) (i) tan(sin (/)) (j) kot(sin ( /)) Adakah kot /(tan )? 4 Lakarkan graf fungsi berikut (a) sin (/) (b) sin () (c) tan (d) kos 5 Cari terbitan fungsi berikut (a) f() sin (b) g() sin (/) (c) f(t) kos (4t) (d) f() kos () (e) F () tan (/) (f) f(t) t tan (t + t) (g) f() sin () (h) g() kos (sin ) (i) F (s) sin (tan s) (j) f9) ln(tan () 6 Cari d/d jika (a) kos ( ) sin () (b) sin + tan 7 Nilaikan kamiran berikut (a) d (b) 4 (d) d (e) (g) (j) / d (c) +4 d (f) 5 4 d (h) d (i) + 9 ( ) d 9+ d + d 4 9 d 8 Takrifkan fungsi kotangen, kosekan dan sekan songsang Rujuk kepada graf kotangen, kosekan dan sekan untuk menentukan pembatasan domain ang wajar
Peta Konsep. 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI
Bab 5 FUNGSI TRIGONOMETRI Peta Konsep 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5. 6 Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI 5. Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5
Διαβάστε περισσότεραBAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
Διαβάστε περισσότεραBAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
Διαβάστε περισσότεραTH3813 Realiti Maya. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun
TH383 Realiti Maa Transformasi 3D menggunakan multiplikasi matriks untuk hasilkan kompaun transformasi menggunakan kompaun transformasi - hasilkan sebarang transformasi dan ungkapkan sebagai satu transformasi
Διαβάστε περισσότερα( 2 ( 1 2 )2 3 3 ) MODEL PT3 MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA = + ( 3) ( 4 9 ) 2 (4 3 4 ) 3 ( 8 3 ) ( 3.25 )
(1) Tentukan nilai bagi P, Q, dan R MODEL PT MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA 1 P 0 Q 1 R 2 (4) Lengkapkan operasi di bawah dengan mengisi petak petak kosong berikut dengan nombor yang sesuai. ( 1
Διαβάστε περισσότερα(a) Nyatakan julat hubungan itu (b) Dengan menggunakan tatatanda fungsi, tulis satu hubungan antara set A dan set B. [2 markah] Jawapan:
MODUL 3 [Kertas 1]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 015 Muka Surat: 1 Jawab SEMUA soalan. 1 Rajah 1 menunjukkan hubungan antara set A dan set B. 6 1 Set A Rajah 1 4 5 Set B (a) Nyatakan julat hubungan itu (b)
Διαβάστε περισσότεραANALISIS LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM
ANALSS LTA ELEKTK ANALSS LTA ELEKTK OBJEKTF AM Unit Memahami konsep-konsep asas Litar Sesiri, Litar Selari, Litar Gabungan dan Hukum Kirchoff. OBJEKTF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Menerangkan
Διαβάστε περισσότεραTOPIK 1 : KUANTITI DAN UNIT ASAS
1.1 KUANTITI DAN UNIT ASAS Fizik adalah berdasarkan kuantiti-kuantiti yang disebut kuantiti fizik. Secara am suatu kuantiti fizik ialah kuantiti yang boleh diukur. Untuk mengukur kuantiti fizik, suatu
Διαβάστε περισσότεραSistem Koordinat dan Fungsi. Matematika Dasar. untuk Fakultas Pertanian. Uha Isnaini. Uhaisnaini.com. Matematika Dasar
untuk Fakultas Pertanian Uhaisnaini.com Contents 1 Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam
Διαβάστε περισσότεραRUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN
Jurnal Teknologi, 38(C) Jun 003: 5 8 Universiti Teknologi Malaysia RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN 5 RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN YEOH WENG KANG & JAMALUDIN MD. ALI Abstrak. Rumus untuk
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Multivariabel I
Limit dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Operasi Aljabar pada Pembahasan pada limit untuk fungsi dua peubah adalah memberikan pengertian mengenai lim f (x, y) = L (x,y) (a,b) Masalahnya adalah
Διαβάστε περισσότεραPembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid
Matematika, 003, Jilid 19, bil., hlm. 11 138 c Jabatan Matematik, UTM. Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid Liau Lin Yun & Tahir Ahmad Jabatan Matematik, Fakulti Sains Universiti Teknologi Malasia
Διαβάστε περισσότεραKlasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua
Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 1, hlm. 37 43 c Jabatan Matematik, UTM. Klasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua Nor Haniza Sarmin Jabatan Matematik, Fakulti
Διαβάστε περισσότεραKalkulus 1. Sistem Bilangan Real. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Sistem Bilangan Real Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa
Διαβάστε περισσότεραMODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini)
MODUL 3 [Kertas 2]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 2015 Muka Surat: 1 1. Selesaikan persamaan serentak yang berikut: MODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini) 2x y = 1,
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Multivariabel I
Fungsi Dua Peubah atau Lebih dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 dengan Dua Peubah Real dengan Dua Peubah Real Pada fungsi satu peubah f : D R R D adalah daerah asal (domain) suatu fungsi
Διαβάστε περισσότεραBab 1 Mekanik Struktur
Bab 1 Mekanik Struktur P E N S Y A R A H : D R. Y E E M E I H E O N G M O H D. N O R H A F I D Z B I N M O H D. J I M A S ( D B 1 4 0 0 1 1 ) R E X Y N I R O AK P E T E R ( D B 1 4 0 2 5 9 ) J O H A N
Διαβάστε περισσότεραKALKULUS LANJUT. Integral Lipat. Resmawan. 7 November Universitas Negeri Gorontalo. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November / 57
KALKULUS LANJUT Integral Lipat Resmawan Universitas Negeri Gorontalo 7 November 218 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 1 / 57 13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.5
Διαβάστε περισσότεραMatematika
Sistem Bilangan Real D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa D3 Analis Kimia angkatan
Διαβάστε περισσότερα2 m. Air. 5 m. Rajah S1
FAKULI KEJURUERAAN AL 1. Jika pintu A adalah segi empat tepat dan berukuran 2 m lebar (normal terhadap kertas), tentukan nilai daya hidrostatik yang bertindak pada pusat tekanan jika pintu ini tenggelam
Διαβάστε περισσότεραSMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM. MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JUMLAH
72/1 NAMA :. TINGKATAN : MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 1 September 201 2 Jam SMK SERI MUARA, 6100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JANGAN BUKA KERTAS
Διαβάστε περισσότεραJawab semua soalan. P -1 Q 0 1 R 2
Tunjukkan langkah langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. 1. (a) Tentukan nilai P, Q dan R Jawab semua
Διαβάστε περισσότεραHendra Gunawan. 16 April 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 16 April 014 Kuliah yang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13. Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi
Διαβάστε περισσότεραPERSAMAAN KUADRAT. 06. EBT-SMP Hasil dari
PERSAMAAN KUADRAT 0. EBT-SMP-00-8 Pada pola bilangan segi tiga Pascal, jumlah bilangan pada garis ke- a. 8 b. 6 c. d. 6 0. EBT-SMP-0-6 (a + b) = a + pa b + qa b + ra b + sab + b Nilai p q = 0 6 70 0. MA-77-
Διαβάστε περισσότεραCiri-ciri Taburan Normal
1 Taburan Normal Ciri-ciri Taburan Normal Ia adalah taburan selanjar Ia adalah taburan simetri Ia adalah asimtot kepada paksi Ia adalah uni-modal Ia adalah keluarga kepada keluk Keluasan di bawah keluk
Διαβάστε περισσότεραTINJAUAN PUSTAKA. Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur. bilangan riil (Purcell dan Varberg, 1987).
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan
Διαβάστε περισσότεραKuasa Dua Tensor Yang Tak Abelan bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua
Matematika, 1999, Jilid 15, bil., hlm. 143 156 c Jabatan Matematik, UTM. Kuasa Dua Tensor Yang Tak Abelan bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua Nor Haniza Sarmin Jabatan
Διαβάστε περισσότεραPersamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial Parsial Turunan Parsial f (, ) Jika berubah ubah sedangkan tetap, adalah fungsi dari dan turunanna terhadap adalah f (, ) f (, ) f (, ) lim 0 disebut turunan parsialpertama dari f
Διαβάστε περισσότεραSebaran Peluang Gabungan
Sebaran Peluang Gabungan Peubah acak dan sebaran peluangnya terbatas pada ruang sampel berdimensi satu. Dengan kata lain, hasil percobaan berasal dari peubah acak yan tunggal. Tetapi, pada banyak keadaan,
Διαβάστε περισσότεραSEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Pemodulatan Sudut. Universiti Teknologi Malaysia
SEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Universiti Teknologi Malaysia 1 Pengenalan Selain daripada teknik pemodulatan amplitud, terdapat juga teknik lain yang menggunakan isyarat memodulat untuk mengubah
Διαβάστε περισσότεραPEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005
3472/2 Matematik Tambahan Kertas 2 September 2005 2½ jam MAKTAB RENDAH SAINS MARA 3472/2 PEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005 MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 Dua jam tiga puluh minit 3 4 7 2
Διαβάστε περισσότεραKalkulus 1. Sistem Koordinat. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia. Sistem Koordinat
Kalkulus 1 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam sistem koordinat, yaitu:
Διαβάστε περισσότεραUkur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri. Sakdiah Basiron
Ukur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri Sakdiah Basiron TEKIMETRI PENGENALAN TAKIMETRI ADALAH SATU KAEDAH PENGUKURAN JARAK SECARA TIDAK LANGSUNG BAGI MENGHASILKAN JARAK UFUK DAN JARAK TEGAK KEGUNAAN
Διαβάστε περισσότεραFUNGSI P = {1, 2, 3} Q = {2, 4, 6, 8, 10}
FUNGSI KERTAS 1 P = {1,, 3} Q = {, 4, 6, 8, 10} 1. Berdasarkan maklumat di atas, hubungan P kepada Q ditakrifkan oleh set pasangan bertertib {(1, ), (1, 4), (, 6), (, 8)}. Nyatakan (a) imej bagi 1, (b)
Διαβάστε περισσότεραSMJ minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai. bahagian hujung cakera. Dengan data dan anggapan yang dibuat:
SOALAN 1 Cakera dengan garis pusat d berputar pada halaju sudut ω di dalam bekas mengandungi minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai kelikatan µ. Anggap bahawa susuk halaju
Διαβάστε περισσότεραTransformasi Koordinat 2 Dimensi
Transformasi Koordinat 2 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat 2 Dimensi Digunakan untuk mempresentasikan
Διαβάστε περισσότεραKONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS
KONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS HIPOTESIS Hipotesis = Tekaan atau jangkaan terhadap penyelesaian atau jawapan kepada masalah kajian Contoh: Mengapakah suhu bilik kuliah panas? Tekaan atau Hipotesis???
Διαβάστε περισσότεραJika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Διαβάστε περισσότερα-9, P, -1, Q, 7, 11, R
Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. Jawab semua soalan 1 (a) Rajah 1(a) menunjukkan
Διαβάστε περισσότεραKEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA
KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA DOKUMEN STANDARD PRESTASI MATEMATIK TINGKATAN 2 FALSAFAH PENDIDIKAN KEBANGSAAN Pendidikan di Malaysia adalah satu usaha berterusan ke arah memperkembangkan lagi potensi individu
Διαβάστε περισσότεραSULIT 3472/2 SMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 2. Dua jam tiga puluh minit
MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 September 2013 2½ Jam SMK SERI MUARA, 36100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 2 Dua jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS
Διαβάστε περισσότεραJika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Διαβάστε περισσότεραKeterusan dan Keabadian Jisim
Pelajaran 8 Keterusan dan Keabadian Jisim OBJEKTIF Setelah selesai mempelajari Pelajaran ini anda sepatutnya dapat Mentakrifkan konsep kadar aliran jisim Mentakrifkan konsep kadar aliran Menerangkan konsep
Διαβάστε περισσότεραSIJIL VOKASIONAL MALAYSIA A03101 PENILAIAN AKHIR SEMESTER 1 SESI 1/2015 Matematik Bahagian A Mei
A00 LEMBAGA PEPERIKSAAN KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA SIJIL VOKASIONAL MALAYSIA A00 PENILAIAN AKHIR SEMESTER SESI /205 Matematik Bahagian A Mei 2 jam Satu jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS SOALAN
Διαβάστε περισσότεραTegangan Permukaan. Kerja
Tegangan Permukaan Kerja Cecair lebih cenderung menyesuaikan bentuknya ke arah yang luas permukaan yang minimum. Titisan cecair berbentuk sfera kerana nisbah luas permukaan terhadap isipadu adalah kecil.
Διαβάστε περισσότεραSEKOLAH MENENGAH KEBANGSAAN MENUMBOK. PEPERIKSAAN AKHIR TAHUN 2015 MATEMATIK TINGKATAN 4 Kertas 2 Oktober Dua jam tiga puluh minit
NAMA TINGKATAN SEKOLAH MENENGAH KEBANGSAAN MENUMBOK PEPERIKSAAN AKHIR TAHUN 015 MATEMATIK TINGKATAN 4 Kertas Oktober ½ jam Dua jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS SOALAN INI SEHINGGA DIBERITAHU 1.
Διαβάστε περισσότεραLatihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam. 1 a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [1 markah]
Latihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [ markah] ii) Berikut adalah tiga kad nombor. 30 20 24 Lakukan operasi darab dan bahagi antara nombor-nombor tersebut
Διαβάστε περισσότεραKertas soalan ini mengandungi 20 halaman bercetak.
3472/1 NAMA :. TINGKATAN : MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 1 September 2013 2 Jam SMK SERI MUARA, 36100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JANGAN BUKA
Διαβάστε περισσότεραKonvergen dalam Peluang dan Distribusi
limiting distribution Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika July 5, 2014 Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back Outline 1 Review 2 Motivasi
Διαβάστε περισσότεραKuliah 4 Rekabentuk untuk kekuatan statik
4-1 Kuliah 4 Rekabentuk untuk kekuatan statik 4.1 KEKUATAN STATIK Beban statik merupakan beban pegun atau momen pegun yang bertindak ke atas sesuatu objek. Sesuatu beban itu dikatakan beban statik sekiranya
Διαβάστε περισσότεραKEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA
Makmal Mekanik Pepejal KEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA 1.0 PENGENALAN Dalam rekabentuk sesuatu anggota struktur yang akan mengalami tegasan, pertimbangan utama ialah supaya anggota tersebut selamat dari
Διαβάστε περισσότεραDisediakan oleh Guru Matematik Tingkatan 4 GEORGE DAVID
Disediakan oleh Guru Matematik Tingkatan 4 GEORGE DAVID 1.1.15 MATHEMATIK TINGKATAN 4 TAHUN 2015 KANDUNGAN MUKA SURAT 1. Bentuk Piawai 3 2. Ungkapan & Persamaan Kuadratik 4 3. Sets 5 Penggal 1 4 Penaakulan
Διαβάστε περισσότεραTOPIK 2 : MENGGAMBARKAN OBJEK
2.1 SIMETRI Definisi paksi simetri : Satu garis lipatan pada suatu bentuk geometri supaya bentuk itu dapat bertindih tepat apabila dilipat. Sesuatu bentuk geometri mungkin mempunyai lebih daripada satu
Διαβάστε περισσότεραRajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk
SOALAN 1 Rajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk menyambungkan dua takal yang terpasang kepada dua aci selari. Garispusat takal pemacu, pada motor adalah
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Elementer. Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018
Kalkulus Elementer Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018 Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 1/83 Referensi: 1 Dale Varberg, Edwin
Διαβάστε περισσότεραLATIHAN. PENYUSUN: MOHD. ZUBIL BAHAK Sign. : FAKULTI KEJURUTERAAN MEKANIKAL UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA SKUDAI JOHOR
1. a) Nyatakan dengan jelas Prinsip Archimedes tentang keapungan. b) Nyatakan tiga (3) syarat keseimbangan STABIL jasad terapung. c) Sebuah silinder bergaris pusat 15 cm dan tinggi 50 cm diperbuat daripada
Διαβάστε περισσότεραJAWAPAN BAB 1 BAB 2 = = Bentuk Piawai
JAWAAN BAB Bentuk iawai. Angka Bererti (a) angka bererti angka bererti angka bererti (d) angka bererti (e) angka bererti (a). (d). (e). Bundarkan kepada angka bererti Faktor penghubung. as (a).. as (d).
Διαβάστε περισσότεραSULIT 1449/2 1449/2 NO. KAD PENGENALAN Matematik Kertas 2 September ANGKA GILIRAN LOGO DAN NAMA SEKOLAH PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM 2007
SULIT 1449/2 1449/2 NO. KAD PENGENALAN Matematik Kertas 2 September ANGKA GILIRAN 2007 2 2 1 jam LOGO DAN NAMA SEKOLAH PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM 2007 MATEMATIK Kertas 2 Dua jam tiga puluh minit JANGAN
Διαβάστε περισσότεραSESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1. Kelas: DCV 2
SESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1 TOPIK 4.0: KERJA, TENAGA DAN KUASA Kelas: DCV 2 PENSYARAH: EN. MUHAMMAD AMIRUL BIN ABDULLAH COURSE LEARNING OUTCOMES (CLO): Di akhir LA ini, pelajar akan boleh: 1. Menerangkan
Διαβάστε περισσότεραDETERMINATION OF CFRP PLATE SHEAR MODULUS BY ARCAN TEST METHOD SHUKUR HJ. ABU HASSAN
DETERMINATION OF CFRP PLATE SHEAR MODULUS BY ARCAN TEST METHOD SHUKUR HJ. ABU HASSAN OBJEKTIF KAJIAN Mendapatkan dan membandingkan nilai tegasan ricih, τ, dan modulus ricih, G, bagi plat CFRP yang berorientasi
Διαβάστε περισσότεραUnit PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM OBJEKTIF KHUSUS
PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM Memahami konsep-konsep asas litar elektrik, arus, voltan, rintangan, kuasa dan tenaga elektrik. Unit OBJEKTIF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Mentakrifkan
Διαβάστε περισσότεραEEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA PUSAT PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK EEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet 1. Satu litar magnet mempunyai keengganan S = 4 x
Διαβάστε περισσότεραREKABENTUK PERMUKAAN BENTUK BEBAS MENGGUNAKAN PERSAMAAN PEMBEZAAN SEPARA (PPS) Oleh ZAINOR RIDZUAN BIN YAHYA
REKABENTUK PERMUKAAN BENTUK BEBAS MENGGUNAKAN PERSAMAAN PEMBEZAAN SEPARA (PPS) Oleh ZAINOR RIDZUAN BIN YAHYA Tesis yang diserahkan untuk memenuhi keperluan bagi Ijazah Sarjana Sains (Matematik) Jun 2008
Διαβάστε περισσότεραTeorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik
Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 2, hlm. 135 141 c Jabatan Matematik, UTM. Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik Mashadi Jurusan Matematika Universitas Riau Kampus Bina Widya Panam
Διαβάστε περισσότεραJAWAPAN. = (a + 2b) (a b) = 3b Jujukan ini bukan J.A. sebab beza antara sebarang dua sebutan berturutan adalah tidak sama. 3. d 1 = T 2 T 1 =
JAWAPAN BAB : JANJANG. A. d T T ( ) ( ) d T T ( ) Jujukan ini ialah J.A. sebab beza antara sebarang dua sebutan berturutan adalah sama, iaitu.. d T T (a b) (a + b) b d T T (a + b) (a b) b Jujukan ini bukan
Διαβάστε περισσότεραHMT 221 FONETIK DAN FONOLOGI BAHASA MALAYSIA
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Kedua Sidang Akademik 2006/2007 April 2007 HMT 221 FONETIK DAN FONOLOGI BAHASA MALAYSIA Masa : 3 jam Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi
Διαβάστε περισσότεραBAB 2 PEMODULATAN AMPLITUD
BAB MODULATAN LITUD enghantaran iyarat yang engandungi akluat elalui atu aluran perhubungan eerlukan anjakan frekueni iyarat akluat kepada julat frekueni yang euai untuk penghantaran - roe ini diapai elalui
Διαβάστε περισσότεραFAKULTI KEJURUTERAAN ELEKTRIK UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA MAKMAL ELEKTROTEKNIK : LENGKUK KEMAGNETAN ATAU CIRI B - H
FAKULTI KEJURUTERAAN ELEKTRIK UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA MAKMAL ELEKTROTEKNIK UJIKAJI TAJUK : E : LENGKUK KEMAGNETAN ATAU CIRI B - H 1. Tujuan : 2. Teori : i. Mendapatkan lengkuk kemagnetan untuk satu
Διαβάστε περισσότεραPengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang
Διαβάστε περισσότεραJAWAPAN. (b) Bilangan kad dalam Bentuk N = 3N 2 (c) (i) 148 (ii) Bentuk (a) 5, 5 6 (b) (i) 100, 101 (ii) 46, 46 (c) (i)
JAWAAN BAB ola dan Jujukan. ola (a),, 9, (f), (g). Jujukan (a) Tambah kepada setiap nombor untuk memperoleh nombor seterusna. Tambah integer semakin besar, bermula dengan, kepada setiap nombor untuk memperoleh
Διαβάστε περισσότεραTEORI PELUANG* TKS 6112 Keandalan Struktur. Pendahuluan
TKS 6112 Keandalan Struktur TEORI PELUANG* * www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Pendahuluan Sebuah bangunan dirancang melalui serangkaian perhitungan yang cermat terhadap beban-beban rencana dan bangunan tersebut
Διαβάστε περισσότεραLITAR ELEKTRIK 1 EET101/4. Pn. Samila Mat Zali
LITAR ELEKTRIK 1 EET101/4 Pn. Samila Mat Zali STRUKTUR KURSUS Peperiksaan Akhir : 50% Ujian teori : 10% Mini projek : 10% Amali/praktikal : 30% 100% OBJEKTIF KURSUS Mempelajari komponen-komponen utama
Διαβάστε περισσότεραPengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang
Διαβάστε περισσότεραALIRAN BENDALIR UNGGUL
Bab 2 ALIRAN BENDALIR UNGGUL 2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir Untuk analisis matematik gerakan bendalir, dua pendekatan biasanya digunakan: 1. Kaedah Lagrangian (a) Kajian pola aliran SATU zarah individu
Διαβάστε περισσότεραPerubahan dalam kuantiti diminta bagi barang itu bergerak disepanjang keluk permintaan itu.
BAB 3 : ISI RUMAH SEBAGAI PENGGUNA SPM2004/A/S3 (a) Rajah tersebut menunjukkan keluk permintaan yang mencerun ke bawah dari kiri ke kanan. Ia menunjukkan hubungan negatif antara harga dengan kuantiti diminta.
Διαβάστε περισσότεραSebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND LOGO
Sebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND Kompetensi menguraikan ciri-ciri suatu kurva normal menentukan luas daerah dibawah kurva normal menerapkan sebaran normal dalam
Διαβάστε περισσότεραBAB 2 PEMACU ELEKTRIK
BAB 2 PEMACU ELEKTRIK PENGENALAN Kebanyakan perindustrian moden dan komersial menggunakan pemacu elektrik berbanding dengan pemacu mekanikal kerana terdapat banyak kelebihan. Di antaranya ialah : a) binaannya
Διαβάστε περισσότεραEMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan. Dr Zuraidah Mohd Zain Julai, 2005
EMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan Dr Zuraidah Mohd Zain zuraidah@kukum.edu.my Julai, 2005 Overview untuk minggu 1-3 Minggu 1 Overview terma, takrifan kadar kegagalan, MTBF, bathtub curve; taburan
Διαβάστε περισσότερα2.1 Pengenalan. Untuk isyarat berkala, siri Fourier digunakan untuk mendapatkan spektrum frekuensi dalam bentuk spektrum garisan.
. JELMAAN FOURIER DAN PENGGUNAANNYA. Pengenalan Unuk isyara berkala, siri Fourier digunakan unuk mendapakan spekrum frekuensi dalam benuk spekrum garisan. Unuk isyara ak berkala, garisan-garisan spekrum
Διαβάστε περισσότεραBAB 2 KEAPUNGAN DAN HIDROSTATIK
BAB 2 KEAPUNGAN DAN HIDROSTATIK 2.1 Hukum Keapungan Archimedes Sebuah badan yang terendam di air ditindak oleh beberapa daya. Pertama ialah berat atau jisim badan itu sendiri yang dianggap bertindak ke
Διαβάστε περισσότεραPelajaran 1 BENDALIR : PENGENALAN OBJEKTIF PELAJARAN. 1 Mentakrif tabiat bendalir.
Bendalir: Pengenalan 1 Pelajaran 1 BENDALIR : PENGENALAN OBJEKTIF PELAJARAN Setelah selesai mengikuti pelajaran ini anda seharusna dapat: 1 Mentakrif tabiat bendalir. 2 Mengenalpasti bila konsep mekanik
Διαβάστε περισσότεραTransformasi Koordinat 3 Dimensi
Transformasi Koordinat 3 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat Tiga Dimensi (3D) Digunakan untuk mendeskripsikan
Διαβάστε περισσότεραCADASTRE SURVEY (SGHU 2313)
CADASTRE SURVEY (SGHU 2313) WEEK 8-ADJUSTMENT OF OBSERVED DATA SR DR. TAN LIAT CHOON 07-5530844 016-4975551 1 OUTLINE Accuracy of field observations Misclosure in cadastre survey Bearing ('m' and 'c' correction
Διαβάστε περισσότεραALIRAN LAPISAN SEMPADAN
Bab 1 ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 1.1 Kelikatan Kelikatan adalah sifat bendalir yang mengawal kadar alirannya. Ia terjadi disebabkan oleh cohesion yang wujud di antara zarah-zarah bendalir yang boleh diperhatikan
Διαβάστε περισσότεραMENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA
MENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA Oleh Mohd Hafizudin Kamal Sebelum wujudnya teori gelombang membujur oleh Huygens pada tahun 1678, cahaya dianggap sebagai satu aliran zarah-zarah atau disebut juga
Διαβάστε περισσότεραLITAR ARUS ULANG ALIK (AU)
TA AUS UANG AK (AU) TA AUS UANG AK (AU) OBJEKTF AM Memahami litar asas arus Ulang alik dan litar sesiri yang mengandungi, dan. Unit OBJEKTF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Menjelaskan bahawa dalam
Διαβάστε περισσότεραPENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK
PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK 2 SKEMA MODUL PECUTAN AKHIR 20 No Jawapan Pembahagian (a) 00000 0000 0000 Jumlah 000 TIM00 #0300 TIM00 000 000 0M END Simbol dan data betul : 8 X 0.5M = 4M
Διαβάστε περισσότεραSESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1 DCV 2 PENSYARAH: EN. MUHAMMAD AMIRUL BIN ABDULLAH
SESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1 DCV 2 PENSYARAH: EN. MUHAMMAD AMIRUL BIN ABDULLAH TOPIK 1.0: KUANTITI FIZIK DAN PENGUKURAN COURSE LEARNING OUTCOMES (CLO): Di akhir LA ini, pelajar akan boleh: CLO3: Menjalankan
Διαβάστε περισσότεραJAWAPAN BAB 1 BAB 2. x y x y x y Asas Nombor
sas Nombor. Nombor dalam sas Dua, sas Lapan dan sas Lima (a) (e) (f) (g) (a) (e) (a) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (a) (e) (a) as as (a) 9 (a) (e) (a) 9 (a) (a) (e) 9 (a) as 9 as JWN (e) (f) (a) (a) (a)
Διαβάστε περισσότεραUNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA
UNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA KEPUTUSAN MESYUARAT KALI KE 63 JAWATANKUASA FARMASI DAN TERAPEUTIK HOSPITAL USM PADA 24 SEPTEMBER 2007 (BAHAGIAN 1) DAN 30 OKTOBER 2007 (BAHAGIAN 2) A. Ubat
Διαβάστε περισσότεραKeapungan. Objektif. Pendahuluan
Pelajaran 6 Pelajaran 6 Keapungan Ojektif Setelah hais mempelajari pelajaran ini, anda dapat Mentakrifkan Prinsip Archimedes Mentakrifkan rumus untuk pusat meta jasad terapung Memuat analisis mencari tinggi
Διαβάστε περισσότεραJAWAPAN. Poligon II. 2.1 Poligon Sekata 1 (a) (b) (c) (d) 2 (a) (b) (c) 3 (a) 4, 4 (b) 5, 5 (c) 4 (d) 5 4 (a) (c)
A Sudut dan Garis II. iri-ciri Sudut ang erkaitan dengan Garis Rentas Lintang dan Garis Selari (a) (i) A p dan s, q dan t (iii) q dan s (iv) q dan r (i) AF dan E a dan c, dan z (iii) b dan d, c dan e,
Διαβάστε περισσότεραtutormansor.wordpress.com
Nama: Sekolah: FASILITATOR PUAN ZALEHA BT TOMIJAN PUAN CHE RUS BT HASHIM ENCIK WAN MOHD SUHAIMI B WAN IBRAHIM PUAN NORAINI BT SALDAN PUAN FAUDZILAH BT MEHAT 1 Syarikat Cepat Sampai menyediakan perkhidmatan
Διαβάστε περισσότεραELEKTRIK KEMAHIRAN TEKNIKAL : BAB 1
MAKTAB RENDAH Add SAINS your company MARA BENTONG slogan Bab 1 ELEKTRIK KEMAHIRAN TEKNIKAL : BAB 1 LOGO Kandungan 1 Jenis Litar Elektrik 2 Meter Pelbagai 3 Unit Kawalan Utama 4 Kuasa Elektrik 1 1.1 Jenis
Διαβάστε περισσότεραA. Distribusi Gabungan
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan
Διαβάστε περισσότεραPENGEMBANGAN INSTRUMEN
PENGEMBANGAN INSTRUMEN OLEH : IRFAN (A1CI 08 007) PEND. MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 2012 A. Definisi Konseptual Keterampilan sosial merupakan kemampuan
Διαβάστε περισσότεραKuliah 2 Analisis Daya & Tegasan
-1 Kuliah Analisis Daya & Tegasan.1 ANALISIS DAYA a. Kepentingan sebelum sebarang analisis kejuruteraan dapat dilakukan, kita mesti ketahui dulu dayadaya yang bertindak ke atas sesuatu objek. Kemudian
Διαβάστε περισσότεραSTQS1124 STATISTIK II LAPORAN KAJIAN TENTANG GAJI BULANAN PENSYARAH DAN STAF SOKONGAN DI PUSAT PENGAJIAN SAINS MATEMATIK (PPSM), FST, UKM.
STQS114 STATISTIK II LAPORAN KAJIAN TENTANG GAJI BULANAN PENSYARAH DAN STAF SOKONGAN DI PUSAT PENGAJIAN SAINS MATEMATIK (PPSM), FST, UKM. Dihantar kepada : Puan Rofizah Binti Mohammad @ Mohammad Noor Disediakan
Διαβάστε περισσότεραBAB 5 DAPATAN KAJIAN DAN PERBINCANGAN Pengenalan
BAB DAPATAN KAJIAN DAN PERBINCANGAN Pengenalan Kajian ini adalah untuk meneroka Metakognisi dan Regulasi Metakognisi murid berpencapaian tinggi, sederhana dan rendah dalam kalangan murid tingkatan empat
Διαβάστε περισσότεραBilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat. March 5, 2016
Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo 30115301 Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat March 5, 2016 Asal Usul Bilangan Euler e 1 1. Bilangan Euler 2 3 4 Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284...
Διαβάστε περισσότερα