Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik

Transcript

1 Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 2, hlm c Jabatan Matematik, UTM. Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik Mashadi Jurusan Matematika Universitas Riau Kampus Bina Widya Panam Pekanbaru, Riau, Indonesia. Abu Osman bin Md Tap Pusat Pengajian Sains Matematik Fakulti Sains dan Teknologi Universiti Kebangsaan Malaysia UKM Bangi, Selangor DE, Malaysia Abstrak Dalam makalah ini kami perkenalkan konsep pemetaan 2 mengecut, jujukan 2 Cauchy dan 2 lengkap pada ruang 2 metrik. Seterusnya kami buktikan beberapa teorem titik tetap pemetaan 2 mengecut di bawah syarat ketaksamaan. Katakunci Pemetaan 2 mengecut, ruang 2 metrik, jujukan 2 Cauchy, ruang 2 lengkap. Abstract In this paper we introduce the concept of 2 contraction mapping, 2 Cauchy sequence and 2 complete on the 2 metric space. We prove some fixed point theorems for 2 contraction mapping under some inequality. Keywords 2 contraction mapping, 2 metric space, 2 Cauchy sequence, 2 complete space. 1 Pendahuluan Konsep ruang 2 metrik telah dikemukakan oleh Gahler[2] dan dikaji selanjutnya oleh beberapa pengkaji lain ([1], [3], [4], [5], [6], [7]). Fungsi ρ : X X X R yang memenuhi syarat: M(1). x, y X dengan x y, z X ρ(x, y, z) 0;

2 136 Mashadi & Abu Osman bin Md Tap M(2). ρ(x, y, z) = 0 jika sekurang-kurangnya dua daripada x, y, z X adalah sama; M(3). ρ(x, y, z) =ρ(x, z, y) =ρ(y, z, x) x, y, z X; M(4). ρ(x, y, z) ρ(x, y, w)+ρ(x, w, z)+ρ(w, y, z) x,y,z,w X, disebut 2 metrik bagi X dan (X, ρ) disebut ruang 2 metrik. Suatu pemetaan T : X X disebut pemetaan mengecut pada ruang 2 metrik (X, ρ) jika dan hanya jika α (0, 1) ρ(tx,ty,z) αρ(x, y, z) x, y, z X. Dalam hal ini, titik z itu selalu kekal (tidak ditransformasikan). Persoalannya, apa akan terjadi jika z itu juga ditransformasikan? Jesteru itu, dalam kertas ini kami akan mengkaji pemetaan yang kami sebut 2 mengecut yang ditakrifkan sebagai berikut: Takrif 1 Suatu pemetaan T pada ruang 2 metrik (X, ρ) ke dalam dirinya sendiri disebut 2 mengecut jika α (0, 1) ρ(tx,ty,tz) αρ(x, y, z) x, y, z X. Selaras dengan perubahan itu, maka kami perlu mentakrifkan beberapa konsep yang akan digunakan dalam perbincangan selanjutnya. Takrif 2 Jujukan {x n } dikatakan menumpu di dalam ruang 2 metrik (X, ρ) jika x X had ρ(x n,x,z)=0 z X. Takrif 3 Jujukan {x n } di dalam ruang 2 metrik (X, ρ) disebut jujukan 2 Cauchy jika had m,n,p ρ(x n,x m,x p )=0. Takrif 4 Ruang 2 metrik (X, ρ) disebut 2 lengkap jika setiap jujukan 2 Cauchy di dalam X adalah menumpu. Takrif 5 Ruang 2 metrik (X, ρ) dikatakan terbatas jika K R + ρ(x, y, z) K, x, y, z X. Takrif 6 Misalkan T pemetaan 2 mengecut pada ruang 2 metrik (X, ρ). dinamakan titik tetap jikka Tx= x. Titik x X 2 Titik Tetap Dalam bahagian ini kami akan buktikan beberapa teorem titik tetap pemetaan 2 mengecut pada ruang 2 metrik. Bagi memudahkan pembuktian, kami perlukan lema berikut yang akan digunakan seterusnya. Lema 1 Misalkan {x n } jujukan di dalam ruang 2 metrik 2 lengkap (X, ρ). Jika h (0, 1) ρ(x n,x n+1,x p ) hρ(x n 1,x n,x p ) n, p N, maka jujukan {x n } menumpu ke suatu titik di dalam X.

3 Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik 137 Bukti Pertimbangkan ρ(x n,x m,x p ) dan tanpa kehilangan pengitlakan, misalkan p>m> n. Perhatikan bahawa ρ(x n,x m,x p ) ρ(x n,x n+1,x m )+ρ(x n+1,x n+2,x m )+ + ρ(x m 2,x m 1,x m )+ ρ(x n,x n+1,x p )+ρ(x n+1,x n+2,x p )+ + ρ(x m 2,x m 1,x p ) n+m n+m h i ρ(x 0,x 1,x m n )+ h i ρ(x 0,x 1,x p n ). i=1 Maka ρ(x n,x m,x p ) 0, apabila n, m, p. Oleh itu {x n } adalah jujukan 2 Cauchy. Oleh kerana X 2 lengkap, maka {x n } menumpu ke suatu titik di dalam X. i=1 Teorem 1 Misalkan T pemetaan 2-mengecut pada ruang 2 metrik terbatas 2 lengkap (X, ρ) kepada dirinya sendiri. Maka wujud suatu titik tetap bitara bagi T di dalam X. Bukti Pilih sebarang titik x 0 X dan untuk n =1, 2, 3,.... Takrifkan Tx n = x n+1. Perhatikan bahawa ρ(x n+1,x n,x p ) = ρ(tx n,tx n 1,Tx p 1 ) αρ(x n,x n 1,x p 1 ). Dengan Lema 1, jujukan {x n } menumpu. Misalkan had x n = u. Oleh itu had ρ(x n,u,a)= 0 a X. T selanjar kerana sifat pemetaan 2 mengecut. Maka had Tx n = Tu yang mengimplikasikan had ρ(tx n,tu,a)=0 a X. Perhatikan bahawa dengan (M3) dan (M4), ρ(t u, u, a) ρ(t u, u, x n )+ρ(tu,x n,a)+ρ(x n,u,a) ρ(x n,u,tu)+ρ(tu,x n,x n+1 )+ρ(tu,x n+1,a)+ρ(x n+1,x n,a)+ ρ(x n,u,a) Dengan mengambil had apabila n, maka ρ(t u, u, a) =0 a X, sedemikian hingga Tu= u dari (M2). Misalkan juga v X sehingga Tv = v. Maka a X, ρ(u, v, a) = ρ(tu,tv,tb)(untuk suatu b X yang Tb= a) αρ(u, v, b) = αρ(tu,tv,tc)(untuk suatu c X yang Tc= b) α 2 ρ(u, v, c). Jika diulangi proses ini n kali, maka didapati ρ(u, v, a) α n ρ(u, v, x) untuk sesuatu x X. Oleh kerana α (0, 1), maka had αn = 0. Oleh itu, ρ(u, v, a) = 0 sedemikian hingga u = v. Dengan teknik pembuktian yang serupa, Teorem 1 boleh dikembangkan juga kepada teorem berikut.

4 138 Mashadi & Abu Osman bin Md Tap Teorem 2 Misalkan (X, ρ) ruang 2 metrik terbatas 2 lengkap dan T n, untuk n =1, 2, 3,...,m, masing-masingnya merupakan pemetaan pada X kepada dirinya sendiri, yang memenuhi sifat ρ(t i x, T j y, T k z) αρ(x, y, z) untuk i, j, k =1, 2, 3,...,m, x, y, z X, yang 0 <α<1. Maka T n mempunyai titik tetap bitara sepunya pada X. Sekarang kami ubahsuai syarat ketaksamaan dan sifat titik tetap masih juga berlaku seperti di dalam teorem berikut. Teorem 3 Misalkan T pemetaan pada ruang 2 metrik terbatas 2 lengkap (X, ρ) kepada dirinya sendiri sedemikian hingga ρ(tx,ty,tz) α{ρ(x, y, T z)+ρ(x, T y, z)+ρ(tx,y,z)} (1) x, y, z X, yang 0 α 1/3. Maka wujud suatu titik tetap bitara bagi T di dalam X. Bukti Misalkan β =1 α dan pilih suatu titik x 0 X. Takrifkan Tx n = x n+1 untuk n =1, 2, 3,... Pertama kami akan tunjukkan yang {x n } adalah jujukan 2 Cauchy. Oleh kerana X terbatas, maka K R + ρ(x, y, z) K. Perhatikan bahawa ρ(x 1,x 2,x p ) = ρ(tx 0,Tx 1,Tx p 1 ) α[ρ(x 0,x 1,Tx p 1 )+ρ(x 0,Tx 1,x p 1 )+ρ(tx 0,x 1,x p 1 )] 2αK 2βK; ρ(x 2,x 3,x p ) = ρ(tx 1,Tx 2,Tx p 1 ) α[ρ(x 1,x 2,Tx p 1 )+ρ(x 1,Tx 2,x p 1 )+ρ(tx 1,x 2,x p 1 )] [2α 2 + α]k 2β 2 K; ρ(x 3,x 4,x p ) = ρ(tx 2,Tx 3,Tx p 1 ) α[ρ(x 2,x 3,Tx p 1 )+ρ(x 2,Tx 3,x p 1 )+ρ(tx 2,x 3,x p 1 )] α[(2α 2 + α)k + K] =(2α 3 + α 2 + α)k 2β 3 K. Untuk p>m>n, didapati bahawa ρ(x n,x m,x p ) ρ(x n,x n+1,x m )+ρ(x n+1,x n+2,x m )+ + ρ(x m 2,x m 1,x m )+ ρ(x n,x n+1,x p )+ρ(x n+1,x n+2,x p )+ + ρ(x m 2,x m 1,x p ) 2{2β n K +2β n+1 K + +2β m 2 K} = 4β n K{1+β + β β m n 2 } 4K βn 1 β. Oleh kerana had αn = 0, maka had n,x,x p ) = 0. Oleh yang demikian, {x n } adalah n,p jujukan 2 Cauchy. Oleh kerana X 2 lengkap, maka {x n } menumpu. Katakan had n = u. Oleh itu had n,u,a)=0, a X. Perhatikan dari ketaksamaan M(4), ρ(t u, u, a) ρ(t u, u, x n )+ρ(tu,x n,a)+ρ(x n,u,a). (2)

5 Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik 139 Oleh kerana ρ(tu,x n,a) = ρ(tu,tx n 1,Tb); yang Tb= a α[ρ(u, x n 1,Tb)+ρ(u, T x n 1,b)+ρ(Tu,x n 1,b)]. Jika diulangi proses ini n kali, maka didapati ρ(tu,x n,a) α[ρ(u, x n 1,Tb)+ρ(u, T x n 1,b)+ + ρ(tu,x 1,z)] (3) untuk sesuatu z X. Oleh itu, jika diambil had pada ketaksamaan (3) dan dimasukkan dalam ketaksamaan (2), maka didapati ρ(t u, u, a) =0 a X. Oleh itu Tu= u. Sekarang akan tunjukkan kebitaraan titik tetap. Misalkan v juga suatu titik tetap bagi T. Maka a X, didapati Oleh kerana maka Oleh itu, ρ(u, v, a) = ρ(tu,tv,tb) yang Tb= a α[ρ(u, v, T b)+ρ(u, T v, b)+ρ(tu,v,b)] = α[ρ(u, v, a)+2ρ(u, v, b)]. ρ(u, v, b) = ρ(tu,tv,tc) yang Tc= b α[ρ(u, v, T c)+ρ(u, T v, c)+ρ(tu,v,c)] = α[ρ(u, v, b)+2ρ(u, v, c)], ρ(u, v, a) ρ(u, v, b) [ ] 2α ρ(u, v, c). 1 α [ ] [ ] 2 2α 2α ρ(u, v, b) ρ(u, v, c). 1 α 1 α [ 2 2α Oleh kerana 1 α] < 1 dengan 0 <α<1/3, mengulangi proses ini unruk n kali, didapati ρ(u, v, a) 0, sedemikian hingga u = v. Oleh itu u adalah titik tetap bitara bagi T. had Catatan: Dengan cara pembuktian yang serupa, hasil yang sama boleh juga ditunjukkan jika ketaksamaan (1) diubahsuai dengan ketaksamaan atau atau ρ(tx,ty,tz) α{ρ(x, T x, z)+ρ(x, y, T y)+ρ(tz,y,z)} (4) ρ(tx,ty,tz) α{ρ(x,ty,tz)+ρ(tx,y,tz)+ρ(tx,ty,z)} (5) ρ(tx,ty,tz) α{ρ(x, T x, T z)+ρ(tx,y,ty)+ρ(tz,ty,z)} (6) Dengan teknik pembuktian yang serupa juga, Teorem 3 boleh dikembangkan sebagai hasil berikut yang buktinya kami tinggalkan.

6 140 Mashadi & Abu Osman bin Md Tap Teorem 4 Misalkan (X, ρ) ruang 2 metrik terbatas 2 lengkap dan T pemetaan pada X kepada dirinya sendiri. Jika α i R; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 dengan 6 i=1 α i < 1 dan T memenuhi ρ(tx,ty,tz) α 1 ρ(x, T x, T y)+α 2 ρ(y, Ty, Tz)+α 3 ρ(y,tx,tz)+α 4 ρ(x, y, T y) +α 5 ρ(x, z, T y)+α 6 ρ(x, y, z) (7) x, y, z X. Maka T mempunyai titik tetap bitara di dalam X. Catatan: Jika ketaksamaan (7) dalam Teorem 4 digantikan dengan ketaksamaan ρ(tx,ty,tz) α 1 ρ(x, T x, T y)+α 2 ρ(y, Ty, Tz)+α 3 ρ(y,tx,ty)+ α 4 ρ(y,tx,tz)+α 5 ρ(x, y, T x)+α 6 ρ(y, z, Ty)+ α 7 ρ(x, y, T y)+α 8 ρ(x, z, T y)+α 9 ρ(x, y, z) dengan syarat 9 i=1 α i < 1, hasil yang sama juga boleh didapati. Teorem 5 Misalkan (X, ρ) ruang 2 metrik terbatas 2 lengkap dan T 1,T 2,T 3 pemetaan pada X kepada dirinya sendiri. Jika α i R; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, dengan 6 i=1 α i < 1 dan memenuhi ρ(t i x, T j y, T k z) α 1 ρ(x, T i x, T j y)+α 2 ρ(y, T j y, T k z)+α 3 ρ(y, T i x, T k z)+ α 4 ρ(x, y, T j y)+α 5 ρ(x, z, T j y)+α 6 ρ(x, y, z) x, y, z X, dan i, j, k =1, 2, 3. Maka T 1,T 2,T 3 mempunyai titik tetap sepunya bitara di dalam X. Bukti Pilih suatu titik x 0 X dan untuk n =1, 2, 3,... takrifkan x 3n+1 = T 1 x 3n, x 3n+2 = T 2 x 3n+1 dan x 3n+3 = T 3 x 3n+2. Maka didapati ρ(x 1,x 2,x 3 ) = ρ(t 1 x 0,T 2 x 1,T 3 x 2 ) α 1 ρ(x 0,T 1 x 0,T 2 x 1 )+α 2 ρ(x 1,T 2 x 1,T 3 x 2 )+α 3 ρ(x 1,T 1 x 0,T 3 x 2 )+ α 4 ρ(x 0,x 1,T 2 x 1 )+α 5 ρ(x 0,x 2,T 2 x 1 )+α 6 ρ(x 0,x 1,x 2 ) α 1 ρ(x 0,x 1,x 2 )+α 2 ρ(x 1,x 2,x 3 )+α 4 ρ(x 0,x 1,x 2 )+α 6 ρ(x 0,x 1,x 2 ) dan dengan itu ( ) α1 + α 4 + α 6 ρ(x 1,x 2,x 3 ) ρ(x 0,x 1,x 2 ). 1 α 2 Ambil r = α 1 + α 4 + α 6 < 1. Oleh itu, ρ(x 1,x 2,x 3 ) rρ(x 0,x 1,x 2 ). Sekali lagi perhatikan 1 α 2 ρ(x 2,x 3,x 4 ) = ρ(t 2 x 1,T 3 x 2,T 1 x 3 ) α 1 ρ(x 1,T 2 x 1,T 3 x 2 )+α 2 ρ(x 2,T 3 x 2,T 1 x 3 )+α 3 ρ(x 2,T 2 x 1,T 1 x 3 ) +α 4 ρ(x 1,x 2,T 3 x 2 )+α 5 ρ(x 1,x 3,T 3 x 2 )+α 6 ρ(x 3,x 1,x 2 ) = α 1 ρ(x 1,x 2,x 3 )+α 2 ρ(x 2,x 3,x 4 )+α 3 ρ(x 2,x 2,x 4 )+α 4 ρ(x 1,x 2,x 3 ) +α 5 ρ(x 1,x 3,x 3 )+α 6 ρ(x 1,x 2,x 3 ) = α 1 ρ(x 1,x 2,x 3 )+α 2 ρ(x 2,x 3,x 4 )+α 4 ρ(x 1,x 2,x 3 )+ α 6 ρ(x 1,x 2,x 3 )

7 Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik 141 dan oleh itu ρ(x 2,x 3,x 4 ) α 1 + α 4 + α 6 ρ(x 1,x 2,x 3 ) 1 α 2 ρ(x 2,x 3,x 4 ) r 2 ρ(x 0,x 1,x 2 ). Mengulangi proses tersebut untuk n kali, didapati ρ(x n,x n+1,x n+2 ) r n ρ(x 0,x 1,x 2 ). Oleh itu {x n } adalah jujukan 2 Cauchy. Oleh kerana X 2 lengkap, maka {x n } menumpu. Katakan had x n = u untuk semua u X. Dengan teknik pembuktian yang serupa dengan teorem sebelum ini, boleh ditunjukkan bahawa u merupakan titik tetap sepunya bitara bagi T 1,T 2 dan T 3. Catatan: Teorem 5 boleh diubahsuai menjadi teorem berikut dengan melakukan perubahan syarat ketaksamaan. Pembuktiannya boleh dilakukkan dengan teknik yang serupa dan ditinggalkan. Teorem 6 Misalnya (X, ρ) ruang 2 metrik terbatas 2 lengkap dan T 1,T 2,T 3 pemetaan pada X kepada dirinya sendiri. Jika α t R; t =1, 2,...,9, dengan 6 t=1 α t < 1 dan memenuhi ρ(t i x, T j y, T k z) α 1 ρ(x, T i x, T j y)+α 2 ρ(y, T j y, T k z)+α 3 ρ(y, T i x, T j y)+ α 4 ρ(y, T i x, T k z)+α 5 ρ(x, y, T i x)+α 6 ρ(y, z, T j y)+ α 7 ρ(x, y, T j y)+α 8 ρ(x, z, T j y)+α 9 ρ(x, y, z) x, y, z X dan i, j, k =1, 2, 3. Maka T 1,T 2 dan T 3 mempunyai suatu titik tetap sepunya bitara di dalam X. Rujukan [1] Y.J. Cho & S.C. Park, Coincidence Theorem in 2 Metrik Spaces, SEAMS Bull Math 20(2) (1995), [2] S. Gahler, 2 Metrische Raume und ihr Topologische Struktur, Math Nachr, 26 (1963), [3] K. Iseki, Fixed Point Theorem in 2 Metric Space, Math Sem Note 3 (1985), [4] S. N. Lal & A. K. Singh, An Analogue of Banach s Contraction Principle for 2 Metric Spaces. Bull Austral Math Soc. 18 (1978), [5] B. G. Pachpatte, Fixed Point Theorems for Contraction Type Mapping on 2 Metric Space. Proc Nat Acad Sci India, 14(A) (1978), II, [6] H. K. Pathak & R. P. Dubey, Some Fixed Point Theorem in 2 Metric Space, The Math Edu. 115(1) (1991), [7] S. L. Singh & B. Ram, A Note on The Convergence of Sequences of Mapping and Their Common Fixed in a 2 Metric Space, Math Sem Notes 9 (1981),