Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid
|
|
- Αγάπη Αυγερινός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematika, 003, Jilid 19, bil., hlm c Jabatan Matematik, UTM. Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid Liau Lin Yun & Tahir Ahmad Jabatan Matematik, Fakulti Sains Universiti Teknologi Malasia UTM Skudai Johor Darul Takzim Malasia Abstrak Dalam makalah ini dipaparkan pembinaan homeomorfisma dari sfera berunit satu; S ke elipsoid berunit satu pada satah- serta berkutub di z dan z ; E melalui struktur permukaan Riemann. Pembuktian secara pembinaan dan percanggahan diketengahkan. Katakunci Permukaan Riemann, homeomorfisma Abstract In this paper, we present the construction of homeomorphism from unit sphere; S to ellipsoid which is one unit in -ais and its poles are at z and z ; E through Riemann surface structures. Proving techniques b construction and contradiction are highlighted. Kewords Riemann surface, homeomorphism 1 Pengenalan Sfera dan elipsoid merupakan dua bentuk geometri ang sering kita temui bukan sahaja secara formal dalam pengajian kalkulus, bahkan di alam sekeliling kita. Contohna, sebutir telur adalah lebih hampir berbentuk elipsoid daripada sfera. Walau bagaimanapun, keduadua bentuk tersebut adalah setara jika dilihat dari kaca mata topologi [11]. Dengan kata lain, wujudna homeomorfisma iaitu pemetaan ang bijeksi, terbuka dan selanjar antara sfera dan elipsoid. Dalam makalah ini, kita akan binakan homeomorfisma antara sfera dan elipsoid. Pembuktian Permukaan Riemann E Teori permukaan Riemann sudah berkembang sehingga ke tahap hipermukaan Riemann dan klasifikasi permukaan Riemann, tetapi penggunaana masih ke belakang lagi. Secara formalna, konsep ini ditakrifkan seperti berikut:
2 1 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Takrif 1 [] Suatu permukaan Riemann ialah suatu ruang topologi; dengan famili fungsi serta memenuhi sarat-sarat berikut: 1) E ialah Hausdorff ang terkait. ) Setiap α i ialah homeomorfisma dari domain E i ke subset terbuka D i pada C satah kompleks). 3) {E i : i I} ialah tudung terbuka untuk E. ) Fungsi transisi t 1 : α E 1 E ) α 1 E 1 E ) ang ditakrifkan adalah holomorfi. Sebelum kita membuktikan bahawa E lihat Rajah 1) ialah suatu permukaan Riemann, terlebih dahulu natakan E sebagai E {,, z) R 3 : + + z 1} 1) Kita akan buktikan bahawa E ialah sebuah permukaan Riemann. Jalan pembuktian ang berpandukan Takrif 1 akan diambil. Pembuktian ini termasuklah: menunjukkan bahawa E ialah ruang topologi Hausdorff ang terkait, menunjukkan bahawa setiap α i ialah homeomorfisma dari domain E i ke subset terbuka D i pada C satah kompleks) untuk [i :1, ], menunjukkan bahawa set {E i : i I} ialah tudung terbuka untuk E menunjukkan bahawa fungsi transisi t 1 : α E 1 E ) α 1 E 1 E ) bersifat holomorfi lihat Rajah ) Teorem 1 E {,, z) R 3 : + + z 1} ialah permukaan Riemann. Bukti Pertimbangkan E 1 E {0, 0, )} dan E E {0, 0, )} lihat Rajah 3) serta dua fungsi akni, α 1,, z) + i 1 z untuk E 1 dan α,, z) i 1+ z untuk E. Takrifkan set terbuka v pada E dalam bentuk v θ E dengan θ ialah set terbuka bagi R 3. Sekarang kita akan tunjukkan bahawa E ialah sebuah permukaan Riemann. Bukti: Hausdorff Takrif [9] Biarkan χ, τ) suatu ruang topologi. χ, τ) dipanggil suatu ruang T atau suatu ruang Hausdorff jika dan hana jika dengan p q mengimplikasikan wujudna jiranan tidak bercantum U dan V bagi p dan q masing-masing iaitu, U V ). Sekarang, kita akan buktikan bahawa E ialah ruang topologi Hausdorff dengan menggunakan pembuktian secara percangghan. Teknik pembuktian ini sama seperti ang dilakukan oleh Ahmad [,3].
3 Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 13
4 1 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Ambil p 1,p 1 E dengan p 1 p serta p i i, i,z i ). Seterusna, takrifkan jiranan P i bagi i 1, sebagai Np i,ε i ){p R 3 :[ i )+ i )+z z i )] 1/ <ε i } dan N 0 p i,ε i )Np i,ε i ) E. Kedua-dua set ini digambarkan dalam Rajah berikut. Biarkan dp 1,p )[ 1 ) +z 1 z ) ] 1/ ε 3 ialah metrik ruang Euklidean ang biasa serta ε min{ε i : i 1,, 3}. Takrifkan set terbuka V i sebagai V i Np i, ε ) E bagi i 1,. Seterusna, kita akan tunjukkan bahawa V 1 dan V tidak bercantum. Katakan V 1 V, maka wujud p 3 V 1 V dengan dp 1,p 3 ) < ε dan dp,p 3 ) < ε. Menggunakan ketaksamaan segitiga, ε 3 dp 1,p ) dp 1,p 3 )+dp 3,p ) < ε + ε ε. Sehubungan itu, didapati ε 3 <εtetapi ε min{ε i : i 1,, 3}, akni suatu percanggahan. Justeru itu, V 1 V. Lantas E ialah ruang topologi Hausdorff menggunakan Takrif. Bukti: Terkait Takrif 3 [8] Suatu ruang topologi X, ditulis sebagai X, τ), dikatakan terkait secara lintasan jika setiap dua titik p 1,p X dapat disambungkan dengan suatu lintasan dalam ruang topologi tersebut. Teorem [8] Jika X, τ) terkait secara lintasan, maka X, τ) terkait. Sekarang, kita akan buktikan bahawa E terkait. Takrif 3 dan Teorem diperlukan untuk membuktikan bahawa E terkait. Pembuktian secara pembinaan dan koordinat sfera bagi E digunakan untuk membina lintasan tersebut. Teknik pembuktian ini adalah sama seperti ang dilakukan oleh Ahmad [,3]. Takrifkan komponen koordinat P ρ,θ,φ) dengan ρ jarak dari P ke asalan θ sudut dari paksi- positif ke garis OQ φ sudut dari paksi-z positif ke garis OP ) dengan ρ 0, 0 θ π dan 0 φ π lihat Rajah 5). Sekarang, kita akan tentukan ρ bagi kes E. Dari Rajah 5, didapati r ρ sin φ, θ θ dan z ρ kosφ, tetapi diketahui r kosθ, dan r sin θ. Justeru itu, kita boleh tulis Gantikan 3 ke dalam 1, didapati ρ sin φ kosθ, ρ sin φ sin θ, z ρ kosφ. 3) + + z 1 ρ sin φ kosθ) +ρsin φ sinθ) ρ kosφ) + 1 ρ sin φ kos θ + ρ sin φ sin θ + ρ kos φ 1 ρ 3 sin φ +1. )
5 Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 15
6 16 Liau Li Yun & Tahir Ahmad ) ) Biarkan P a 3,θ a,φ a dan P b sin φ a+1 3,θ b,φ b sebarang dua titik pada sin φ b +1 E. Takrifkan fungsi f :[0, 1] R 3 dengan f n), 1 n) θ a + nθ b, 1 n) φ a + nφ b. 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 Masalahna sekarang untuk menunjukkan bahawa f n) E untuk setiap n [0, 1]. Dengan menggunakan 3 dan serta takrifan f n), didapati sin [1 n) φ a + nφ b ] kos [1 n) θ a + nθ b ], 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 sin [1 n) φ a + nφ b ] sin [1 n) θ a + nθ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 dan kos [1 n) φ a + nφ b ] z. 5) 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 Lihat bahawa f n) E kerana + + z sin [1 n) θ a + nθ b ] kos [1 n) φ a + nφ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 + sin [1 n) θ a + nθ b ] sin [1 n) φ a + nφ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 + ) kos[1 n)φ a+nφ b ] 3 sin [1 n)φ a+nφ b ]+1 3 sin [1 n) φ a + nφ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 + sin [1 n) φ a + nφ b ]+kos [1 n) φ a + nφ b ] 3 sin [1 n) φ a + nφ b ]+1 1. Dengan menggunakan Takrif 3, E terkait secara lintasan. Lantas E terkait mengikut Teorem. Bukti: Domain E i dinamakan domain jika ia terbuka dan terkait untuk i 1, [,3]. Dalam seksen ini, dipaparkan pembuktian E i terbuka untuk i 1, dituruti dengan pembuktian E i terkait untuk i 1,. Kita tahu bahawa E 1 E {0, 0, )}. Pilih k E 1. Jelas k 0, 0, ) dan d k, 0, 0, )) r dengan r>0. Kemudian, kita dapati N k, r) { p E : d k, p) <r } E 1 6)
7 Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 17 kerana jika 0, 0, ) N k, r) maka d k, 0, 0, )) <r. Ini adalah suatu percanggahan. Justeru itu, E 1 terbuka. Dengan cara ang sama seperti di atas, kita dapat tunjukkan bahawa E E {0, 0, )} terbuka. Seterusna kita akan tunjukkan bahawa E 1 adalah terkait. Kita akan gunakan langkah ang sama seperti pada E tetapi dengan sedikit ubah suaian. Menggunakan dan 3 serta takrifkan ρ,0 θ π, 0<φ<π supaa P ρ,θ,ϕ) 0, 0, ). Kemudian 3 sin φ+1 takrifkan semula } E 1 E {0, 0, )} {,, z) R 3 : + + z 1 dan z. Seterusna menggunakan f n) dan 5, kita dapat tunjukkan 6. Masalah kita cuma untuk menunjukkan bahawa z. Katakanlah z, maka kos [1 n) φ a + nφ b ]±1. Oleh sebab z, maka kos [1 n) φ a + nφ b ]1. Ini membawa erti 1 n) φ a + nφ b kos 1 10, π. Jika 1 n) φ a + nφ b 0, maka 1 n) φ a nφ b. Tetapi 0 n 1 ang memberikan 1 1 n 0 atau dengan kata lain 1 n adalah sentiasa positif. Kita juga sedia maklum bahawa 1 n) φ a nφ b jika dan hana jika φ a φ b 0. Ini adalah suatu percanggahan kerana φ i > 0 untuk i a, b. Jika itulah keadaanna, maka 1 n) φ a +nφ b 0. Kita tahu bahawa kos 0 kos π 1 dan oleh sebab 1 n) φ a + nφ b 0, kita boleh membuat kesimpulan bahawa 1 n) φ a + nφ b π. Jadi, kos [1 n) φ a + nφ b ] 1. Oleh ang demikian, kos 1 n) φ a + nφ b ) z. 3sin 1 n) φ a + nφ b )+1 Justeru itu, f n) E 1, n [0, 1]. Dengan menggunakan Takrif 3, E 1 terkait secara lintasan. Lantas, E 1 terkait menggunakan Teorem. Sekarang kita akan gunakan takrif dan teorem berikut untuk menunjukkan bahawa E terkait. Takrif [1] Fungsi f : D R p R q dikatakan selanjar pada titik a D jika untuk setiap ε>0, wujud δ>0 sehingga f ) f a) <εapabila D dan a <δ. Fungsi f dikatakan selanjar pada suatu set s D jika f selanjar pada semua titik dalam S. Teorem 3 [7] Jika A adalah terkait dan f : A B adalah selanjar, maka f A) adalah terkait. Takrifkan f : E 1 E seperti berikut: akni refleksif relatif terhadap satah-. f,, z),, z),,, z) E 1
8 18 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Pembuktian kita seterusna berbeza dan lebih terperinci daripada apa ang telah diambil oleh Ahmad [,3]. Biarkan 1, 1,z 1 ) E 1. Kita akan tunjukkan bahawa f selanjar di 1, 1,z 1 ). Biarkan ε>0, kita hendak carikan δ>0 sehinggakan f,, z) f 1, 1,z 1 ) <ε apabila,, z) 1, 1,z 1 ) <δdan,, z) E 1. Oleh sebab f,, z) f 1, 1,z 1 ),, z) 1, 1, z 1 ),, z) 1, 1,z 1 ), maka dengan memilih δ ε apabila,, z) 1, 1,z 1 ) <δ, kita memperolehi f,, z) f 1, 1,z 1 ),, z) 1, 1,z 1 ) <δ ε. Daripada keputusan ini, jelaslah bahawa f selanjar di 1, 1,z 1 ). Oleh sebab 1, 1,z 1 ) dipilih sebarangan, maka f selanjar di setiap titik dalam E 1. Justeru itu, f selanjar apabila Takrif digunakan. Seterusna kita akan tunjukkan bahawa f meneluruh. Untuk sebarang a, b, c) E ang diberi, maka wujudna suatu a, b, c) E 1 sehinggakan f a, b, c) a, b, c)) a, b, c). Justeru itu, f meneluruh. Jelas f selanjar lagi meneluruh dan dengan menggunakan Teorem 3, f E 1 )E terkait. Bukti: Julat Terbuka Ingat α i : E i D i dengan α i i, i,z i ) i+ii C untuk i 1,. Jelas D 1 zi i C untuk i 1,. Kita sedia maklum bahawa C adalah terbuka kerana untuk sebarang p C dan untuk sebarang r > 0, Np, r) C kerana setiap unsur dalam N p, r) berbentuk a+ib. Bukti: Homeomorfisma Kita memerlukan takrif-takrif berikut untuk menunjukkan bahawa α i ialah homeomorfisma untuk i 1,. Takrif 5 [6] Suatu pemetaan f : X Y antara ruang-ruang topologi adalah terbuka jika imej fu) bagi setiap subset terbuka U dalam X adalah terbuka dalam Y, dan tertutup jika imej fe) bagi setiap subset tertutup E dalam X adalah tertutup dalam Y. Teorem [6] Suatu pemetaan f : X Y dari suatu ruang topologi X ke suatu ruang topologi Y adalah selanjar jika dan hana jika imej songsangan f 1 V ) bagi setiap subset terbuka V dari Y adalah terbuka di dalam X. Korolari 1 [5] Suatu homeomorfisma ialah suatu pemetaan ang bijeksi, terbuka dan selanjar. Teorem 5 [6] Pemetaan identiti i : X X untuk sebarang ruang topologi X ialah suatu homeomorfisma i : X X. Jika f : X Y ialah suatu homeomorfisma, maka songsanganna f 1 : Y X ialah suatu homeomorfisma. Jika f : X Y, g : Y Z ialah homeomorfisma, maka gabungan mereka g f : X Z ialah suatu homeomorfisma.
9 Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 19 Pertama, kita akan tunjukkan bahawa α 1 adalah bijeksi. Ambil a α 1 E 1 ), maka ) a α 1,, z) 1 z, 1 z C. Lantas α 1 E 1 ) C. Untuk akasna, ambil b C, maka b A + ib. Kita boleh ungkapkan b dalam bentuk seperti berikut, b 1 z + i 1 z, untuk suatu,, z) E 1 + i 1 z. Nilai-nilai, dan z untuk suatu,, z) E 1 ditentukan dengan menelesaikan tiga persamaan berikut: 1 z A, untuk suatu,, z) E 1, 1 z B, untuk suatu,, z) E 1 dan + + z 1, untuk suatu,, z) E 1. Jadi α 1 E 1 ) C. Justeru itu α 1 E 1 )C. Lantas α 1 adalah meneluruh. Seterusna kita akan tunjukkan bahawa α 1 adalah satu ke satu. Pertimbangkan k α 1,, z) + i ) 1 z 1 z, 1 z untuk suatu,, z) E 1. Kita akan ungkapkan z dalam sebutan k. Perhatikan bahawa ) [ k ) 1 z, 1 z 1 z + 1 z Oleh sebab,, z) E 1, maka + + z k 1 z ) 1 z ) ] 1 1 dan z. Jadi, ) ) ) 1+ z 1 z 1+ z ) ) 1 z 1 z 1 z ). Jadi, z k 1). Maka k +1 ) k α 1,, z) 1 z, 1 z 1 k 1 k +1 ) k +1, k +1., 1 k 1 k +1 + ) 1 z.
10 130 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Sekarang katakanlah bahawa k α 1,, z) +i 1 z 1 z, ) k +1, k +1 1 z 1 z ), 1 z k +1, k +1 ) α 1,,z )k C. Oleh kerana k k, maka ) ) k +1 k +1, ) ) k +1 k +1 dan ) ) k 1 k 1 k +1 k +1 z z. Jika itulah keadaanna maka kita dapati bahawa α 1 adalah satu ke satu. Lantas α 1 adalah bijeksi. Seterusna, kita akan gunakan Takrif 5 untuk membuktikan bahawa α 1 terbuka. Ambil sebarang a, b) α 1 A) dengan A sebarang set terbuka pada E 1. Pertimbangkan α 1 A) {α 1,, z) :,, z) A}. Oleh sebab α 1 adalah bijeksi, maka wujud satu dan hana satu,, z) A sehingga α 1,, z) a, b). Untuk tujuan ringkasan, kita maksudkan N,, z) N,, z);r) E 1 ) bagi suatu r > 0. Oleh sebab A terbuka, maka N,, z) A wujud. α 1 N,, z)) {α 1,,z ):,,z ) N,, z)}. Jelas Pertimbangkan a, b) α 1,, z) α 1 N,, z)). Ambil sebarang p α 1 N,, z)). Oleh sebab α 1 adalah bijeksi, maka wujud satu dan hana satu,,z ) N,, z) sehingga α 1,,z )p. Oleh sebab N,, z) A, maka,,z ) A. Oleh itu, p α 1,,z ) α 1 A) dan ini mengimplikasikan α 1 N,, z)) α 1 A). Oleh sebab a, b) α 1 A) dipilih sebarangan, maka a, b) α 1 N,, z)) α 1 A) untuk setiap a, b) α 1 A) dengan suatu,, z) A ang sepadan. Justeru itu, α 1 A) adalah terbuka. Oleh sebab A dipilih sebarangan, maka α 1 A) adalah terbuka dalam D 1 untuk setiap set terbuka A pada E 1. Lantas α 1 terbuka.
11 Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 131 Seterusna, kita akan buktikan bahawa α 1 selanjar dengan menggunakan Teorem. Dengan menggantikan α 1,E 1,D 1 dan set terbuka A dalam pembuktian α 1 terbuka dengan α 1 1,D 1,E 1 dan set terbuka B masing-masing, kita dapat buktikan bahawa α 1 1 B) terbuka dalam E 1 untuk setiap set terbuka B pada D 1. Lantas α 1 selanjar. Kita telah buktikan bahawa α 1 ialah suatu pemetaan dari ruang topologi E 1 ke ruang topologi D 1 ang bijeksi, terbuka dan selanjar. Dengan menggunakan Korolari 1, α 1 ialah suatu homeomorfisma. Begitu juga dengan songsangan α 1, iaitu α 1 1 : D 1 C E 1 ang ditakrifkan seperti berikut, α 1 1, ), ) +1,, ) +1, ), ) 1, ),, ) D 1 +1 ialah suatu homeomorfisma apabila Teorem 5 digunakan. Dengan langkah ang sama kita dapat tunjukkan bahawa α adalah suatu homeomorfisma. Bukti: Tudung Terbuka Berdasarkan sarat 3) dalam Takrif 1, kita harus buktikan bahawa {E i : i 1, } ialah tudung terbuka untuk E. Kita sudah buktikan bahawa E i terbuka untuk i 1,. Kita juga sedia maklum bahawa i1 E i E, lantas {E i : i 1, } ialah tudung terbuka untuk E. Bukti: Holomorfi Berdasarkan sarat ) dalam Takrif 1, kita harus buktikan bahawa setiap fungsi transisi ang ditakrifkan adalah holomorfi. Kita akan gunakan teknik pembuktian ang telah dilakukan oleh Ahmad [,3]. Pertama sekali, kita takrifkan ) fungsi t 1 : α E 1 E ) α 1 E 1 E ) sebagai fungsi transisi dengan t 1 α 1 α 1. Kita dapat lihat bahawa ) ) + i i α 1,, z)α,, z) 1 z 1+ z + 1 ) z 1 ) z 1 ) z 1 1 memberikan α 1,, z) α dan α 1,,z),, z) α. Dengan kata lain, α 1,,z) 1 dan α merupakan salingan antara satu sama lain. Jelas bahawa t 1 ialah pemetaan pada C {0} dengan s 1 s. Akan tetapi, kita sedia maklum bahawa s a + ib, lantas ) t 1 s) α α s) a + ib 1 a + ib u + iv. ) a ib a ib a ib a + b a a + b + i b a + b serta holomorfi sekirana ia memuaskan sarat Cauch-Riemann. Lihat bahawa Jelas bahawa u u a b a a + b ) ; u b a v b ab a + b ) ; v a ab a + b ) ; v b b a a + b ). dan u b v a. Oleh itu, t 1 adalah holomorfi.
12 13 Liau Li Yun & Tahir Ahmad 3 Homeomorfisma Dari S Ke E Dua homeomorfisma dari S ke E dapat dibina melalui struktur permukaan Riemann bagi S dan E. Dalam makalah ini, kita hana paparkan pembinaan salah satu homeomorfisma dari S ke E. Teorem 6 S E. Bukti. Pertimbangkan ruang topologi S {,, z) R 3 : + + z 1 }, U 1 S {0, 0, 1)}, C 1 C dengan set terbuka U pada S adalah dalam bentuk U θ S dengan θ ialah set terbuka dalam R 3 serta fungsi akni γ 1,, z) + i 1 z untuk,, z) U 1 dengan γ 1 ialah suatu homeomorfisma dari U 1 ke subset terbuka C 1 pada C [,3]. Pertimbangkan juga ruang topologi } E {,, z) R 3 : + + z 1 E 1 E {0, 0, )}, D 1 C dengan set terbuka V pada E adalah dalam bentuk V θ E dengan θ ialah set terbuka dalam R 3 serta fungsi akni, α 1,, z) + i 1 z untuk,, z) E 1 dengan α 1 ialah suatu homeomorfisma dari E 1 ke subset terbuka D 1 pada C. Pembinaan homeomorfisma dari S ke E dirangka khas supaa dibahagikan kepada tiga peringkat, iaitu pembinaan homeomorfisma dari C 1 ke D i, pembinaan homeomorfisma dari U 1 ke E 1 dan pembinaan homeomorfisma dari S ke E. Sekarang kita akan binakan homeomorfisma dari S ke E melalui struktur permukaan Riemann bagi S dan E. Bukti: Homeomorfisma Dari C 1 Ke D 1 Dalam seksen ini, kita akan binakan suatu homeomorfisma f 1 : C 1 D 1 lihat Rajah 6). Pertama sekali, kita akan takrifkan f 1 : C 1 D 1. Pertimbangkan set-set U 1 {,, z) R 3 : + + z 1 dan z 1 }, } E 1 {,, z) R 3 : + + z 1 dan z, { C 1, ) R : 1 z, } 1 z,γ 1,, z), ),, z) U 1, { D 1, ) R : 1 z, } 1 z,α 1,, z), ),, z) E 1
13 Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 133 serta dua fungsi akni, γ 1,, z) + i 1 z,,, z) U 1 dan α 1,, z) + i 1 z,,, z) E 1. Ambil sebarang, ) C 1, maka dan serta γ 1,, z), ) untuk suatu,, z) U 1. Kita akan petakan, ) C 1 ke suatu, ) D 1 dengan 1 z dan 1 z serta α 1,, z), ) untuk suatu,, z) E 1. Secara umumna, 1 z, untuk suatu,, z) U 1 melalui pendaraban dengan 1 z, iaitu 1 z 1 z untuk suatu,, z) U 1 dan 1 z untuk suatu,, z) U 1 melalui pendaraban dengan 1 z, iaitu 1 z 1 z, untuk suatu,, z) ) U 1. Katakah a, b) 1 z, 1 z untuk suatu,, z) U 1. Oleh sebab α 1 adalah bijeksi, maka wujud satu dan hana satu,, z) E 1 sehingga α 1,, z) a, b). Jadi, a, b) D 1. Oleh itu, kita mentakrifkan f 1 : C 1 D 1 seperti berikut, f 1, ) 1 z, ),, ) C 1 dengan suatu z ang sepadan serta memenuhi + + z 1 dan z 1. Sekarang, kita akan buktikan bahawa f 1 adalah bijeksi. Ambil a f 1 C 1 ), maka a f 1, ), untuk suatu, ) C 1 1 z ) 1 z 1 z,, untuk suatu,, z) U 1 ) 1 z 1 z, 1 z α 1,, z) D 1, untuk suatu,, z) E 1 kerana α 1 adalah bijeksi Jadi, f 1 C 1 ) D 1. Untuk akasna, ambil b D 1, maka
14 13 Liau Li Yun & Tahir Ahmad b, ), ) untuk suatu, ) D 1,, untuk suatu,, z) E 1 1 z 1 z α 1,, z),) untuk suatu,, z) E 1 1 z, 1 z, untuk suatu,, z) U 1 kerana α 1 adalah bijeksi ) 1 z, f 1, ) f 1 C 1 ). Jadi, D 1 f 1 C 1 ). Justeru itu, f 1 C 1 )D 1. Lantas f 1 adalah surjeksi. Sekarang, kita akan gunakan teknik pembuktian ang sama seperti ang ambil dalam [, 3] untuk membuktikan bahawa f 1 adalah injeksi. Katakanlah bahawa f 1 f1 dan f 1, ) 1 z, ) 1 z ) 1 z, 1 z ),, )f 1 z 1 z 1, ) untuk, ),, ) C 1 dengan z dan z ang sepadan serta memenuhi + +z 1 dan z 1. Dengan menggunakan Teorem.6 dalam [3], maka ) ) J f 1 ) 1 z 1 z ) ) 1 z 0 J f1 ) 1 z 1 z 1 z Dari 3.1), kita mendapati 1 z ) ) 1 z) z z. 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z ) ) 0 1 z ) ) ) 1 z 0 1 z 0 1 z. Dari komponen-komponen matriks Jakobian di atas, bolehlah dirumuskan bahawa Oleh itu, 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z dan z z. 1 z 1 z 1 z. 1 z 7)
15 Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 135 Jika itulah keadaanna maka kita dapati bahawa f 1 adalah injeksi. Seterusna, dengan menggantikan α 1, E 1, D 1 dan set terbuka A dalam pembuktian α 1 terbuka lihat Seksen ) dengan f 1, C 1, D 1 dan set terbuka E masing-masing, kita juga dapat buktikan bahawa f 1 terbuka. Seterusna, kita akan buktikan bahawa f 1 selanjar. Dengan menggantikan α 1, E 1, D 1 dan set terbuka B dalam pembuktian α 1 1 B) terbuka dalam E 1 untuk setiap set terbuka B pada D 1 lihat Seksen ) dengan f 1, C 1, D 1 dan set terbuka F masing-masing, kita dapat buktikan bahawa f 1 1 F ) terbuka dalam C 1 untuk setiap set terbuka F pada D 1. Lantas f 1 selanjar. Oleh kerana f 1 adalah bijeksi, terbuka dan selanjar, menggunakan Korolari 1 ia adalah suatu homeomorfisma. Bukti: Homeomorfisma Dari U 1 Ke E Dalam seksen ini, kita akan binakan suatu homeomorfisma dari U 1 ke E 1 lihat Rajah 7). Pertimbangkan γ 1 : U 1 C 1 γ 1,, z) + i,,, z) U 1, 1 z f 1 : C 1 D 1 f 1, ) 1 z 1 z, ),, ) C 1 dengan suatu z ang sepadan serta memenuhi + + z 1 dan z 1, dan α 1 1 : D 1 E 1 α 1 1, ) ), ) +1,, ) 1, ) +1,, ),, ) D Ahmad [, 3] telah buktikan bahawa γ 1 : U 1 C 1 ialah suatu homeomorfisma. Kita telah buktikan bahawa f 1 : C 1 D 1 dan α 1 1 : D 1 E 1 masing-masing ialah suatu homeomorfisma. Dengan menggunakan Teorem 5, f 1 γ 1 : U 1 C 1 ialah suatu homeomorfisma dan seterusna α 1 1 f 1 γ 1 ):U 1 E 1 juga ialah suatu homeomorfisma.
16 136 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Bukti: Homeomorfisma Dari S Ke E Dalam seksen ini, dipaparkan pembinaan homeomorfisma dari S ke E menerusi struktur permukaan Riemann bagi S dan E lihat Rajah 8). Ahmad [, 3] telah buktikan bahawa γ 1 : U 1 C 1 dengan C 1 C ialah suatu homeomorfisma. Kita telah buktikan bahawa f 1 : C 1 D 1 dan α 1 1 : D 1 E 1 dengan D 1 C masing-masing ialah suatu homeomorfisma. Hujah bagi pemetaan dari E ke C mengekalkan homeomorfisma α 1 adalah sama dengan hujah ang telah digunakan oleh Rao dan Stetkaer [10] bagi pemetaan dari S ke C. Hujah ang sama boleh digunakan untuk homeomorfisma f 1. Dengan menggunakan Teorem 5, pemetaan dari C ke E juga merupakan suatu homeomorfisma. Pemetaan-pemetaan ini dipaparkan secara terperinci dalam Rajah 9. Secara formal, { γ1 : S C γ1,, z) γ1,, z) +i untuk,, z) U 1 untuk,, z) 0, 0, 1), f 1 : C C untuk, ) C dengan suatu z f1, f ) 1, ) 1 z, ) ang sepadan serta memenuhi + + z 1 dan z 1 untuk, ) dan α 1 1 : C E α 1 1, ) ) α 1 1, ),,, ) 1) untuk, ) C, ) +1, ) +1, ) +1 0, 0, ) untuk, ). Oleh sebab γ1 : S C, f1 : C C dan α 1 1 : C E masing-masing ialah suatu homeomorfisma, menggunakan Teorem 5, f1 γ 1 : S C ialah suatu homeomorfisma dan seterusna α 1 1 f1 γ 1 ):S E juga ialah suatu homeomorfisma. Hasil pembuktian seksen ini dirumuskan dalam Rajah 10. Penutup Makalah ini memaparkan pembinaan homeomorfisma dari S ke E melalui struktur permukaan Riemann bagi S dan E. Hasil dari kajian ini amatlah penting bagi aplikasi dalam pemprosesan imej dan khususna isarat Magnetoencephalograph MEG) bagi otak manusia. 5 Penghargaan Penulis merakamkan penghargaan kepada sokongan kewangan melalui anugerah penelidikan IRPA Vot 7303.
17 Pembinaan Homeomorfisma dari Sfera ke Elipsoid 137
18 138 Liau Li Yun & Tahir Ahmad Rujukan [1] I. Abdullah, Analisis Nata, Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur, [] T. Ahmad, The Riemann Surface: S, Disertasi Sarjana, California State Universit, [3] T. Ahmad, Permukaan Riemann: S, Matematika. 91). 9-17, [] A. F. Beardon, A Primer on Riemann Surfaces, Cambridge Universit Press, London, 198. [5] D. E. Christie, Basic Topolog, Estate of Dan E. Christie, USA, [6] M. Eisenberg, Topolog, Holt, Rinehart and Winston, New York, 197. [7] J. E. Marsden, Elementar Classical Analsis, W. H. Freeman, San Francisco, 197. [8] A. O. Md. Tap, Topologi, Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur, [9] T. O. Moore, Elementer General Topolog, Prentice-Hall, Englewood Cliffs N. J, 196. [10] M. Rao and H. Stetkaer, Comple Analsis An Invitation, World Scientific Publishing, Singapore, [11] A. L. Samian, Sejarah Matematik, Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur, 199.
TH3813 Realiti Maya. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun. Transformasi kompaun
TH383 Realiti Maa Transformasi 3D menggunakan multiplikasi matriks untuk hasilkan kompaun transformasi menggunakan kompaun transformasi - hasilkan sebarang transformasi dan ungkapkan sebagai satu transformasi
Διαβάστε περισσότεραPeta Konsep. 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI
Bab 5 FUNGSI TRIGONOMETRI Peta Konsep 5.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 5. 6 Fungsi Trigonometri Bagi Sebarang Sudut FUNGSI TRIGONOMETRI 5. Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 5.4 Identiti Asas 5.5
Διαβάστε περισσότεραKlasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua
Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 1, hlm. 37 43 c Jabatan Matematik, UTM. Klasifikasi bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua Nor Haniza Sarmin Jabatan Matematik, Fakulti
Διαβάστε περισσότεραSudut positif. Sudut negatif. Rajah 7.1: Sudut
Bab 7 FUNGSI TRIGONOMETRI Dalam bab ini kita akan belajar secara ringkas satu kelas fungsi penting untuk penggunaan dipanggil fungsi trigonometri Fungsi trigonometri pada mulana timbul dalam pengajian
Διαβάστε περισσότεραANALISIS LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM
ANALSS LTA ELEKTK ANALSS LTA ELEKTK OBJEKTF AM Unit Memahami konsep-konsep asas Litar Sesiri, Litar Selari, Litar Gabungan dan Hukum Kirchoff. OBJEKTF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Menerangkan
Διαβάστε περισσότεραTeorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik
Matematika, 1999, Jilid 15, bil. 2, hlm. 135 141 c Jabatan Matematik, UTM. Teorem Titik Tetap Pemetaan 2 Mengecut Pada Ruang 2 Metrik Mashadi Jurusan Matematika Universitas Riau Kampus Bina Widya Panam
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Multivariabel I
Limit dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Operasi Aljabar pada Pembahasan pada limit untuk fungsi dua peubah adalah memberikan pengertian mengenai lim f (x, y) = L (x,y) (a,b) Masalahnya adalah
Διαβάστε περισσότεραKalkulus 1. Sistem Bilangan Real. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Kalkulus 1 Sistem Bilangan Real Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa
Διαβάστε περισσότερα( 2 ( 1 2 )2 3 3 ) MODEL PT3 MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA = + ( 3) ( 4 9 ) 2 (4 3 4 ) 3 ( 8 3 ) ( 3.25 )
(1) Tentukan nilai bagi P, Q, dan R MODEL PT MATEMATIK A PUSAT TUISYEN IHSAN JAYA 1 P 0 Q 1 R 2 (4) Lengkapkan operasi di bawah dengan mengisi petak petak kosong berikut dengan nombor yang sesuai. ( 1
Διαβάστε περισσότεραRUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN
Jurnal Teknologi, 38(C) Jun 003: 5 8 Universiti Teknologi Malaysia RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN 5 RUMUS AM LINGKARAN KUBIK BEZIER SATAHAN YEOH WENG KANG & JAMALUDIN MD. ALI Abstrak. Rumus untuk
Διαβάστε περισσότερα(a) Nyatakan julat hubungan itu (b) Dengan menggunakan tatatanda fungsi, tulis satu hubungan antara set A dan set B. [2 markah] Jawapan:
MODUL 3 [Kertas 1]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 015 Muka Surat: 1 Jawab SEMUA soalan. 1 Rajah 1 menunjukkan hubungan antara set A dan set B. 6 1 Set A Rajah 1 4 5 Set B (a) Nyatakan julat hubungan itu (b)
Διαβάστε περισσότεραBAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
Διαβάστε περισσότεραBAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1. Sudut Positif dan Sudut Negatif. Contoh
BAB 5 : FUNGSI TRIGONOMETRI (Jangka waktu : 9 sesi) Sesi 1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Contoh Lukiskan setiap sudut berikut dengan menggunakan rajah serta tentukan sukuan mana sudut itu berada. (a)
Διαβάστε περισσότεραSistem Koordinat dan Fungsi. Matematika Dasar. untuk Fakultas Pertanian. Uha Isnaini. Uhaisnaini.com. Matematika Dasar
untuk Fakultas Pertanian Uhaisnaini.com Contents 1 Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem Koordinat dan Fungsi Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Multivariabel I
Fungsi Dua Peubah atau Lebih dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 dengan Dua Peubah Real dengan Dua Peubah Real Pada fungsi satu peubah f : D R R D adalah daerah asal (domain) suatu fungsi
Διαβάστε περισσότερα2 m. Air. 5 m. Rajah S1
FAKULI KEJURUERAAN AL 1. Jika pintu A adalah segi empat tepat dan berukuran 2 m lebar (normal terhadap kertas), tentukan nilai daya hidrostatik yang bertindak pada pusat tekanan jika pintu ini tenggelam
Διαβάστε περισσότεραSebaran Peluang Gabungan
Sebaran Peluang Gabungan Peubah acak dan sebaran peluangnya terbatas pada ruang sampel berdimensi satu. Dengan kata lain, hasil percobaan berasal dari peubah acak yan tunggal. Tetapi, pada banyak keadaan,
Διαβάστε περισσότεραPERSAMAAN KUADRAT. 06. EBT-SMP Hasil dari
PERSAMAAN KUADRAT 0. EBT-SMP-00-8 Pada pola bilangan segi tiga Pascal, jumlah bilangan pada garis ke- a. 8 b. 6 c. d. 6 0. EBT-SMP-0-6 (a + b) = a + pa b + qa b + ra b + sab + b Nilai p q = 0 6 70 0. MA-77-
Διαβάστε περισσότεραKonvergen dalam Peluang dan Distribusi
limiting distribution Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika July 5, 2014 Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back Outline 1 Review 2 Motivasi
Διαβάστε περισσότεραKuasa Dua Tensor Yang Tak Abelan bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua
Matematika, 1999, Jilid 15, bil., hlm. 143 156 c Jabatan Matematik, UTM. Kuasa Dua Tensor Yang Tak Abelan bagi Kumpulan-Dua dengan Dua Penjana yang Mempunyai Kelas Nilpoten Dua Nor Haniza Sarmin Jabatan
Διαβάστε περισσότεραPersamaan Diferensial Parsial
Persamaan Diferensial Parsial Turunan Parsial f (, ) Jika berubah ubah sedangkan tetap, adalah fungsi dari dan turunanna terhadap adalah f (, ) f (, ) f (, ) lim 0 disebut turunan parsialpertama dari f
Διαβάστε περισσότεραMatematika
Sistem Bilangan Real D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem Bilangan Real Himpunan: sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. 1 Himpunan mahasiswa D3 Analis Kimia angkatan
Διαβάστε περισσότεραSMJ minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai. bahagian hujung cakera. Dengan data dan anggapan yang dibuat:
SOALAN 1 Cakera dengan garis pusat d berputar pada halaju sudut ω di dalam bekas mengandungi minyak seperti yang dilakarkan dalam Rajah S2. Minyak tersebut mempunyai kelikatan µ. Anggap bahawa susuk halaju
Διαβάστε περισσότεραTransformasi Koordinat 2 Dimensi
Transformasi Koordinat 2 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat 2 Dimensi Digunakan untuk mempresentasikan
Διαβάστε περισσότεραHendra Gunawan. 16 April 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 16 April 014 Kuliah yang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13. Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi
Διαβάστε περισσότεραPEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005
3472/2 Matematik Tambahan Kertas 2 September 2005 2½ jam MAKTAB RENDAH SAINS MARA 3472/2 PEPERIKSAAN PERCUBAAN SIJIL PELAJARAN MALAYSIA 2005 MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 Dua jam tiga puluh minit 3 4 7 2
Διαβάστε περισσότεραKalkulus 1. Sistem Koordinat. Atina Ahdika, S.Si, M.Si. Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia. Sistem Koordinat
Kalkulus 1 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam sistem koordinat, yaitu:
Διαβάστε περισσότεραSEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Pemodulatan Sudut. Universiti Teknologi Malaysia
SEE 3533 PRINSIP PERHUBUNGAN Bab III Universiti Teknologi Malaysia 1 Pengenalan Selain daripada teknik pemodulatan amplitud, terdapat juga teknik lain yang menggunakan isyarat memodulat untuk mengubah
Διαβάστε περισσότεραBab 1 Mekanik Struktur
Bab 1 Mekanik Struktur P E N S Y A R A H : D R. Y E E M E I H E O N G M O H D. N O R H A F I D Z B I N M O H D. J I M A S ( D B 1 4 0 0 1 1 ) R E X Y N I R O AK P E T E R ( D B 1 4 0 2 5 9 ) J O H A N
Διαβάστε περισσότεραKALKULUS LANJUT. Integral Lipat. Resmawan. 7 November Universitas Negeri Gorontalo. Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November / 57
KALKULUS LANJUT Integral Lipat Resmawan Universitas Negeri Gorontalo 7 November 218 Resmawan (Math UNG) Integral Lipat 7 November 218 1 / 57 13.3. Integral Lipat Dua pada Daerah Bukan Persegipanjang 3.5
Διαβάστε περισσότεραSMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM. MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JUMLAH
72/1 NAMA :. TINGKATAN : MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 1 September 201 2 Jam SMK SERI MUARA, 6100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JANGAN BUKA KERTAS
Διαβάστε περισσότεραA. Distribusi Gabungan
HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan
Διαβάστε περισσότεραUkur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri. Sakdiah Basiron
Ukur Kejuruteraan DDPQ 1162 Ukur Tekimetri Sakdiah Basiron TEKIMETRI PENGENALAN TAKIMETRI ADALAH SATU KAEDAH PENGUKURAN JARAK SECARA TIDAK LANGSUNG BAGI MENGHASILKAN JARAK UFUK DAN JARAK TEGAK KEGUNAAN
Διαβάστε περισσότεραCiri-ciri Taburan Normal
1 Taburan Normal Ciri-ciri Taburan Normal Ia adalah taburan selanjar Ia adalah taburan simetri Ia adalah asimtot kepada paksi Ia adalah uni-modal Ia adalah keluarga kepada keluk Keluasan di bawah keluk
Διαβάστε περισσότεραJika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Διαβάστε περισσότεραMODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini)
MODUL 3 [Kertas 2]: MATEMATIK TAMBAHAN JPNK 2015 Muka Surat: 1 1. Selesaikan persamaan serentak yang berikut: MODUL 3 : KERTAS 2 Bahagian A [40 markah] (Jawab semua soalan dalam bahagian ini) 2x y = 1,
Διαβάστε περισσότεραKeterusan dan Keabadian Jisim
Pelajaran 8 Keterusan dan Keabadian Jisim OBJEKTIF Setelah selesai mempelajari Pelajaran ini anda sepatutnya dapat Mentakrifkan konsep kadar aliran jisim Mentakrifkan konsep kadar aliran Menerangkan konsep
Διαβάστε περισσότεραJika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.
BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN Sesi 1 Taburan Binomial A. Pembolehubah rawak diskret Contoh Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam seminggu, senaraikan semua
Διαβάστε περισσότεραTINJAUAN PUSTAKA. Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur. bilangan riil (Purcell dan Varberg, 1987).
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Sekumpulan bilangan (rasional dan tak-rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol dinamakan bilangan
Διαβάστε περισσότεραKONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS
KONSEP ASAS & PENGUJIAN HIPOTESIS HIPOTESIS Hipotesis = Tekaan atau jangkaan terhadap penyelesaian atau jawapan kepada masalah kajian Contoh: Mengapakah suhu bilik kuliah panas? Tekaan atau Hipotesis???
Διαβάστε περισσότεραSULIT 1449/2 1449/2 NO. KAD PENGENALAN Matematik Kertas 2 September ANGKA GILIRAN LOGO DAN NAMA SEKOLAH PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM 2007
SULIT 1449/2 1449/2 NO. KAD PENGENALAN Matematik Kertas 2 September ANGKA GILIRAN 2007 2 2 1 jam LOGO DAN NAMA SEKOLAH PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM 2007 MATEMATIK Kertas 2 Dua jam tiga puluh minit JANGAN
Διαβάστε περισσότεραTegangan Permukaan. Kerja
Tegangan Permukaan Kerja Cecair lebih cenderung menyesuaikan bentuknya ke arah yang luas permukaan yang minimum. Titisan cecair berbentuk sfera kerana nisbah luas permukaan terhadap isipadu adalah kecil.
Διαβάστε περισσότεραKalkulus Elementer. Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018
Kalkulus Elementer Nanda Arista Rizki, M.Si. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Mulawarman 2018 Nanda Arista Rizki, M.Si. Kalkulus Elementer 1/83 Referensi: 1 Dale Varberg, Edwin
Διαβάστε περισσότεραPumping Lemma. Semester Ganjil 2013 Jum at, Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc
Semester Ganjil 2013 Jum at, 08.11.2013 Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc Email: kurnia.saputra@gmail.com Jurusan Informatika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Syiah Kuala
Διαβάστε περισσότεραRajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk
SOALAN 1 Rajah S1 menunjukkan talisawat dari jenis rata dengan dua sistem pacuan, digunakan untuk menyambungkan dua takal yang terpasang kepada dua aci selari. Garispusat takal pemacu, pada motor adalah
Διαβάστε περισσότεραartinya vektor nilai rata-rata dari kelompok ternak pertama sama dengan kelompok ternak kedua artinya kedua vektor nilai-rata berbeda
LAMPIRAN 48 Lampiran 1. Perhitungan Manual Statistik T 2 -Hotelling pada Garut Jantan dan Ekor Tipis Jantan Hipotesis: H 0 : U 1 = U 2 H 1 : U 1 U 2 Rumus T 2 -Hotelling: artinya vektor nilai rata-rata
Διαβάστε περισσότεραTEORI PELUANG* TKS 6112 Keandalan Struktur. Pendahuluan
TKS 6112 Keandalan Struktur TEORI PELUANG* * www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Pendahuluan Sebuah bangunan dirancang melalui serangkaian perhitungan yang cermat terhadap beban-beban rencana dan bangunan tersebut
Διαβάστε περισσότεραTOPIK 1 : KUANTITI DAN UNIT ASAS
1.1 KUANTITI DAN UNIT ASAS Fizik adalah berdasarkan kuantiti-kuantiti yang disebut kuantiti fizik. Secara am suatu kuantiti fizik ialah kuantiti yang boleh diukur. Untuk mengukur kuantiti fizik, suatu
Διαβάστε περισσότεραJawab semua soalan. P -1 Q 0 1 R 2
Tunjukkan langkah langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. 1. (a) Tentukan nilai P, Q dan R Jawab semua
Διαβάστε περισσότεραPENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK
PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK 2 SKEMA MODUL PECUTAN AKHIR 20 No Jawapan Pembahagian (a) 00000 0000 0000 Jumlah 000 TIM00 #0300 TIM00 000 000 0M END Simbol dan data betul : 8 X 0.5M = 4M
Διαβάστε περισσότεραEEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA PUSAT PENGAJIAN KEJURUTERAAN ELEKTRIK DAN ELEKTRONIK EEU104 - Teknologi Elektrik - Tutorial 11; Sessi 2000/2001 Litar magnet 1. Satu litar magnet mempunyai keengganan S = 4 x
Διαβάστε περισσότεραFUNGSI P = {1, 2, 3} Q = {2, 4, 6, 8, 10}
FUNGSI KERTAS 1 P = {1,, 3} Q = {, 4, 6, 8, 10} 1. Berdasarkan maklumat di atas, hubungan P kepada Q ditakrifkan oleh set pasangan bertertib {(1, ), (1, 4), (, 6), (, 8)}. Nyatakan (a) imej bagi 1, (b)
Διαβάστε περισσότεραUNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA
UNTUK EDARAN DI DALAM JABATAN FARMASI SAHAJA KEPUTUSAN MESYUARAT KALI KE 63 JAWATANKUASA FARMASI DAN TERAPEUTIK HOSPITAL USM PADA 24 SEPTEMBER 2007 (BAHAGIAN 1) DAN 30 OKTOBER 2007 (BAHAGIAN 2) A. Ubat
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR KEBANGSAAN PENDIDIKAN SAINS DAN MATEMATIK OKT 2008
TAHAP KEFAHAMAN KEMAHIRAN KOMUNIKASI DAN MENGEKSPERIMEN DALAM KALANGAN PELAJAR TAHUN DUA PENDIDIKAN FIZIK MERENTAS PROGRAM PENGAJIAN HANIZAH BINTI MISBAH Fakulti Pendidikan Universiti Teknologi Malaysia
Διαβάστε περισσότεραLatihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam. 1 a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [1 markah]
Latihan PT3 Matematik Nama:.. Masa: 2 jam a) i) Buktikan bahawa 53 adalah nombor perdana. [ markah] ii) Berikut adalah tiga kad nombor. 30 20 24 Lakukan operasi darab dan bahagi antara nombor-nombor tersebut
Διαβάστε περισσότεραSEKOLAH MENENGAH KEBANGSAAN MENUMBOK. PEPERIKSAAN AKHIR TAHUN 2015 MATEMATIK TINGKATAN 4 Kertas 2 Oktober Dua jam tiga puluh minit
NAMA TINGKATAN SEKOLAH MENENGAH KEBANGSAAN MENUMBOK PEPERIKSAAN AKHIR TAHUN 015 MATEMATIK TINGKATAN 4 Kertas Oktober ½ jam Dua jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS SOALAN INI SEHINGGA DIBERITAHU 1.
Διαβάστε περισσότεραKEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA
KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA DOKUMEN STANDARD PRESTASI MATEMATIK TINGKATAN 2 FALSAFAH PENDIDIKAN KEBANGSAAN Pendidikan di Malaysia adalah satu usaha berterusan ke arah memperkembangkan lagi potensi individu
Διαβάστε περισσότεραSULIT 3472/2 SMK SERI MUARA, BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 2. Dua jam tiga puluh minit
MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 2 September 2013 2½ Jam SMK SERI MUARA, 36100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 2 Dua jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS
Διαβάστε περισσότεραPengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang
Διαβάστε περισσότεραSIJIL VOKASIONAL MALAYSIA A03101 PENILAIAN AKHIR SEMESTER 1 SESI 1/2015 Matematik Bahagian A Mei
A00 LEMBAGA PEPERIKSAAN KEMENTERIAN PENDIDIKAN MALAYSIA SIJIL VOKASIONAL MALAYSIA A00 PENILAIAN AKHIR SEMESTER SESI /205 Matematik Bahagian A Mei 2 jam Satu jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS SOALAN
Διαβάστε περισσότεραEMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan. Dr Zuraidah Mohd Zain Julai, 2005
EMT361 Keboleharapan & Analisis Kegagalan Dr Zuraidah Mohd Zain zuraidah@kukum.edu.my Julai, 2005 Overview untuk minggu 1-3 Minggu 1 Overview terma, takrifan kadar kegagalan, MTBF, bathtub curve; taburan
Διαβάστε περισσότερα-9, P, -1, Q, 7, 11, R
Tunjukkan langkah-langkah penting dalam kerja mengira anda. Ini boleh membantu anda untuk mendapatkan markah. Anda dibenarkan menggunakan kalkulator saintifik. Jawab semua soalan 1 (a) Rajah 1(a) menunjukkan
Διαβάστε περισσότεραDisediakan oleh Guru Matematik Tingkatan 4 GEORGE DAVID
Disediakan oleh Guru Matematik Tingkatan 4 GEORGE DAVID 1.1.15 MATHEMATIK TINGKATAN 4 TAHUN 2015 KANDUNGAN MUKA SURAT 1. Bentuk Piawai 3 2. Ungkapan & Persamaan Kuadratik 4 3. Sets 5 Penggal 1 4 Penaakulan
Διαβάστε περισσότεραSTQS1124 STATISTIK II LAPORAN KAJIAN TENTANG GAJI BULANAN PENSYARAH DAN STAF SOKONGAN DI PUSAT PENGAJIAN SAINS MATEMATIK (PPSM), FST, UKM.
STQS114 STATISTIK II LAPORAN KAJIAN TENTANG GAJI BULANAN PENSYARAH DAN STAF SOKONGAN DI PUSAT PENGAJIAN SAINS MATEMATIK (PPSM), FST, UKM. Dihantar kepada : Puan Rofizah Binti Mohammad @ Mohammad Noor Disediakan
Διαβάστε περισσότεραPengantar Proses Stokastik
Bab 6: Rantai Markov Waktu Kontinu Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Rantai Markov Waktu Kontinu Peluang Kesetimbangan Pada bab ini, kita akan belajar mengenai rantai markov waktu kontinu yang
Διαβάστε περισσότεραMENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA
MENGENALI FOTON DAN PENGQUANTUMAN TENAGA Oleh Mohd Hafizudin Kamal Sebelum wujudnya teori gelombang membujur oleh Huygens pada tahun 1678, cahaya dianggap sebagai satu aliran zarah-zarah atau disebut juga
Διαβάστε περισσότεραSESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1. Kelas: DCV 2
SESI: MAC 2018 DSM 1021: SAINS 1 TOPIK 4.0: KERJA, TENAGA DAN KUASA Kelas: DCV 2 PENSYARAH: EN. MUHAMMAD AMIRUL BIN ABDULLAH COURSE LEARNING OUTCOMES (CLO): Di akhir LA ini, pelajar akan boleh: 1. Menerangkan
Διαβάστε περισσότεραBAB 2 PEMODULATAN AMPLITUD
BAB MODULATAN LITUD enghantaran iyarat yang engandungi akluat elalui atu aluran perhubungan eerlukan anjakan frekueni iyarat akluat kepada julat frekueni yang euai untuk penghantaran - roe ini diapai elalui
Διαβάστε περισσότεραPelajaran 1 BENDALIR : PENGENALAN OBJEKTIF PELAJARAN. 1 Mentakrif tabiat bendalir.
Bendalir: Pengenalan 1 Pelajaran 1 BENDALIR : PENGENALAN OBJEKTIF PELAJARAN Setelah selesai mengikuti pelajaran ini anda seharusna dapat: 1 Mentakrif tabiat bendalir. 2 Mengenalpasti bila konsep mekanik
Διαβάστε περισσότεραS T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA email : zeamays_hibrida@yahoo.com FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2009 II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan
Διαβάστε περισσότεραREKABENTUK PERMUKAAN BENTUK BEBAS MENGGUNAKAN PERSAMAAN PEMBEZAAN SEPARA (PPS) Oleh ZAINOR RIDZUAN BIN YAHYA
REKABENTUK PERMUKAAN BENTUK BEBAS MENGGUNAKAN PERSAMAAN PEMBEZAAN SEPARA (PPS) Oleh ZAINOR RIDZUAN BIN YAHYA Tesis yang diserahkan untuk memenuhi keperluan bagi Ijazah Sarjana Sains (Matematik) Jun 2008
Διαβάστε περισσότεραLATIHAN. PENYUSUN: MOHD. ZUBIL BAHAK Sign. : FAKULTI KEJURUTERAAN MEKANIKAL UNIVERSITI TEKNOLOGI MALAYSIA SKUDAI JOHOR
1. a) Nyatakan dengan jelas Prinsip Archimedes tentang keapungan. b) Nyatakan tiga (3) syarat keseimbangan STABIL jasad terapung. c) Sebuah silinder bergaris pusat 15 cm dan tinggi 50 cm diperbuat daripada
Διαβάστε περισσότεραBilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat. March 5, 2016
Bilangan Euler(e) Rukmono Budi Utomo 30115301 Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat March 5, 2016 Asal Usul Bilangan Euler e 1 1. Bilangan Euler 2 3 4 Asal Usul Bilangan Euler e Bilangan Euler atau e = 2, 7182818284...
Διαβάστε περισσότεραKertas soalan ini mengandungi 20 halaman bercetak.
3472/1 NAMA :. TINGKATAN : MATEMATIK TAMBAHAN Kertas 1 September 2013 2 Jam SMK SERI MUARA, 36100 BAGAN DATOH, PERAK. PEPERIKSAAN PERCUBAAN SPM MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 KERTAS 1 Dua jam JANGAN BUKA
Διαβάστε περισσότεραUnit PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM OBJEKTIF KHUSUS
PENGENALAN KEPADA LITAR ELEKTRIK OBJEKTIF AM Memahami konsep-konsep asas litar elektrik, arus, voltan, rintangan, kuasa dan tenaga elektrik. Unit OBJEKTIF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Mentakrifkan
Διαβάστε περισσότεραLITAR ELEKTRIK 1 EET101/4. Pn. Samila Mat Zali
LITAR ELEKTRIK 1 EET101/4 Pn. Samila Mat Zali STRUKTUR KURSUS Peperiksaan Akhir : 50% Ujian teori : 10% Mini projek : 10% Amali/praktikal : 30% 100% OBJEKTIF KURSUS Mempelajari komponen-komponen utama
Διαβάστε περισσότεραTOPIK 2 : MENGGAMBARKAN OBJEK
2.1 SIMETRI Definisi paksi simetri : Satu garis lipatan pada suatu bentuk geometri supaya bentuk itu dapat bertindih tepat apabila dilipat. Sesuatu bentuk geometri mungkin mempunyai lebih daripada satu
Διαβάστε περισσότεραPerubahan dalam kuantiti diminta bagi barang itu bergerak disepanjang keluk permintaan itu.
BAB 3 : ISI RUMAH SEBAGAI PENGGUNA SPM2004/A/S3 (a) Rajah tersebut menunjukkan keluk permintaan yang mencerun ke bawah dari kiri ke kanan. Ia menunjukkan hubungan negatif antara harga dengan kuantiti diminta.
Διαβάστε περισσότεραgram positif yang diuji adalah Bacillus subtilis, Staphylococcus aureus ATCC 25923,
3.2.2 Penskrinan aktiviti antimikrob Ekstrak metanol sampel Cassia alata L. dan Cassia tora L. dijalankan penskrinan aktiviti antimikrob dengan beberapa jenis mikrob yang patogenik kepada manusia seperti
Διαβάστε περισσότεραS T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 SEBARAN PELUANG II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan.
Διαβάστε περισσότεραLITAR ARUS ULANG ALIK (AU)
TA AUS UANG AK (AU) TA AUS UANG AK (AU) OBJEKTF AM Memahami litar asas arus Ulang alik dan litar sesiri yang mengandungi, dan. Unit OBJEKTF KHUSUS Di akhir unit ini anda dapat : Menjelaskan bahawa dalam
Διαβάστε περισσότεραKEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA
Makmal Mekanik Pepejal KEKUATAN KELULI KARBON SEDERHANA 1.0 PENGENALAN Dalam rekabentuk sesuatu anggota struktur yang akan mengalami tegasan, pertimbangan utama ialah supaya anggota tersebut selamat dari
Διαβάστε περισσότεραSENARAI KANDUNGAN HALAMAN JUDUL PENGAKUAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT KANDUNGAN SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH SENARAI SINGKATAN SENARAI LAMPIRAN
vii SENARAI KANDUNGAN BAB PERKARA MUKA SURAT HALAMAN JUDUL PENGAKUAN DEDIKASI PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT KANDUNGAN SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH SENARAI SINGKATAN SENARAI LAMPIRAN i ii iii iv v vi vii
Διαβάστε περισσότεραS T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON
S T A T I S T I K A OLEH : WIJAYA FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2010 SEBARAN PELUANG II. SEBARAN PELUANG Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan.
Διαβάστε περισσότεραKURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH DUNIA MUZIK
KEMENTERIAN PELAJARAN MALAYSIA KURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH DUNIA MUZIK TAHUN TIGA DOKUMEN STANDARD KURIKULUM STANDARD SEKOLAH RENDAH (KSSR) MODUL TERAS TEMA DUNIA MUZIK TAHUN TIGA BAHAGIAN PEMBANGUNAN
Διαβάστε περισσότεραTransformasi Koordinat 3 Dimensi
Transformasi Koordinat 3 Dimensi RG141227 - Sistem Koordinat dan Transformasi Semester Gasal 2016/2017 Ira M Anjasmara PhD Jurusan Teknik Geomatika Sistem Koordinat Tiga Dimensi (3D) Digunakan untuk mendeskripsikan
Διαβάστε περισσότεραKuliah 4 Rekabentuk untuk kekuatan statik
4-1 Kuliah 4 Rekabentuk untuk kekuatan statik 4.1 KEKUATAN STATIK Beban statik merupakan beban pegun atau momen pegun yang bertindak ke atas sesuatu objek. Sesuatu beban itu dikatakan beban statik sekiranya
Διαβάστε περισσότεραHMT 504 Morfologi dan Sintaksis Lanjutan
UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Kedua Sidang Akademik 2002/2003 Februari/Mac 2003 HMT 504 Morfologi dan Sintaksis Lanjutan Masa : 3 jam Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi
Διαβάστε περισσότεραALIRAN BENDALIR UNGGUL
Bab 2 ALIRAN BENDALIR UNGGUL 2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir Untuk analisis matematik gerakan bendalir, dua pendekatan biasanya digunakan: 1. Kaedah Lagrangian (a) Kajian pola aliran SATU zarah individu
Διαβάστε περισσότεραKarya Tentang Relativiti Khas
Karya Tentang Jurnal Relativiti Terjemahan KhasAlam & Tamadun Melayu 1: (010) 71-10 71 Karya Tentang Relativiti Khas ALBERT EINSTEIN PENDAHULUAN DARIPADA PENTERJEMAH Ada lima buah makalah Albert Einstein
Διαβάστε περισσότεραPenyelesaian Kamiran Nyata Bagi Persamaan Resapan Kompleks Berpotensi Kuadratik Teritlak Kompleks
Matematika, 997, Jilid 3, hlm. 9 4 c Jabatan Matematik, UTM. Penyelesaian Kamiran Nyata Bagi Persamaan Resapan Kompleks Berpotensi Kuadratik Teritlak Kompleks Shaharir Mohamad Zain Jabatan Matematik, Fakulti
Διαβάστε περισσότεραALIRAN LAPISAN SEMPADAN
Bab 1 ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 1.1 Kelikatan Kelikatan adalah sifat bendalir yang mengawal kadar alirannya. Ia terjadi disebabkan oleh cohesion yang wujud di antara zarah-zarah bendalir yang boleh diperhatikan
Διαβάστε περισσότεραKeapungan. Objektif. Pendahuluan
Pelajaran 6 Pelajaran 6 Keapungan Ojektif Setelah hais mempelajari pelajaran ini, anda dapat Mentakrifkan Prinsip Archimedes Mentakrifkan rumus untuk pusat meta jasad terapung Memuat analisis mencari tinggi
Διαβάστε περισσότεραSebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND LOGO
Sebaran Kontinu HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNAND Kompetensi menguraikan ciri-ciri suatu kurva normal menentukan luas daerah dibawah kurva normal menerapkan sebaran normal dalam
Διαβάστε περισσότεραKemahiran Hidup Bersepadu Kemahiran Teknikal 76
LOGO SEKOLAH Nama Sekolah UJIAN BERTULIS 2 Jam Kemahiran Hidup Bersepadu Kemahiran Teknikal 76 NAMA :..... ANGKA GILIRAN : TERHAD 2 BAHAGIAN A [60 markah] Jawab semua soalan pada bahagian ini di ruang
Διαβάστε περισσότεραLABORATORIUM STATISTIK DAN OPTIMASI INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAWA TIMUR
TNR 1 space 1.15 LABORATORIUM STATISTIK DAN OPTIMASI INDUSTRI FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL VETERAN JAWA TIMUR LAPORAN RESMI MODUL III TNR 1 Space.0 STATISTIK
Διαβάστε περισσότερα2.1 Pengenalan. Untuk isyarat berkala, siri Fourier digunakan untuk mendapatkan spektrum frekuensi dalam bentuk spektrum garisan.
. JELMAAN FOURIER DAN PENGGUNAANNYA. Pengenalan Unuk isyara berkala, siri Fourier digunakan unuk mendapakan spekrum frekuensi dalam benuk spekrum garisan. Unuk isyara ak berkala, garisan-garisan spekrum
Διαβάστε περισσότεραPENGEMBANGAN INSTRUMEN
PENGEMBANGAN INSTRUMEN OLEH : IRFAN (A1CI 08 007) PEND. MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 2012 A. Definisi Konseptual Keterampilan sosial merupakan kemampuan
Διαβάστε περισσότεραBAB KEEMPAT ANALISIS DAN DAPATAN KAJIAN. terperinci. Dapatan kajian ini dibincangkan menurut susunan objektif kajian, iaitu;
BAB KEEMPAT ANALISIS DAN DAPATAN KAJIAN 4.1 Pengenalan Dalam bab keempat ini, pengkaji mengemukakan dapatan dan analisis kajian secara terperinci. Dapatan kajian ini dibincangkan menurut susunan objektif
Διαβάστε περισσότεραBAB KELIMA RUMUSAN HASIL KAJIAN. Kajian ini pada asasnya bertujuan untuk menjelaskan sejauhmana pertimbangan hukum
BAB KELIMA RUMUSAN HASIL KAJIAN 5.1 Pengenalan Kajian ini pada asasnya bertujuan untuk menjelaskan sejauhmana pertimbangan hukum syarak di kalangan masyarakat dalam menentukan pendirian politik. Kajian
Διαβάστε περισσότερα