ALIRAN LAPISAN SEMPADAN

Transcript

1 Bab 1 ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 1.1 Kelikatan Kelikatan adalah sifat bendalir yang mengawal kadar alirannya. Ia terjadi disebabkan oleh cohesion yang wujud di antara zarah-zarah bendalir yang boleh diperhatikan ketika bendalir (cecair terutamanya mengalir. Dalam mengkaji kesan kelikatan, dua anggapan berikut perlu dibuat: 1. Tidak wujud gerakan relatif di antara bendalir dan sempadan pepejal apabila bendalir bersentuhan dengan jasad pepejal. Zarah-zarah bendalir di dalam lapisan yang bersebelahan bergerak dengan halaju sempadan pepejal; sekiranya jasad pepejal itu pegun, maka halaju zarah-zarah di dalam lapisan sempadan yang bersebelahan dengannya adalah sifar dan ini disebut keadaan tanpa geliciran. 2. Tegasan ricih di antara dua lapisan bendalir yang bersebelahan berkadaran terus dengan kadar terikan ricih di dalam arah yang berserenjang dengan gerakan, iaitu jika dua lapisan bersebelahan bergerak dengan halaju relatif, u, maka kadar terikan ricih ialah u/y: τ u y Kadar tegasan ricih di antara dua lapisan bendalir yang bersebelahan juga berkadaran dengan u/y, dengan y ialah jarak di antara kedua-dua lapisan Hukum Kelikatan Newton Tegasan ricih, τ, ke atas sesuatu lapisan suatu bendalir adalah berkadaran terus dengan kadar terikan ricih, u/y. Secara matematik, τ u y = µ u y (1.1a 1

2 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 2 dengan u/y ialah kadar terikan ricih (atau kecerunan halaju dan µ [kg/(s m 2 ] ialah pemalar kekadaran yang dikenali sebagai pekali kelikatan (atau pekali kelikatan mutlak, atau pekali kelikatan dinamik Bendalir Newtonan Persamaan (1.1a lazimnya ditulis dalam bentuk kebezaan, τ = µ du dy (1.1b Bendalir yang mematuhi hukum ini dikelaskan sebagai bendalir Newtonan. 1.2 Daya-daya yang Terbentuk oleh Bendalir Bergerak Rajah 1.1: Daya-daya yang terbentuk oleh bendalir bergerak, Douglas et al. ( DayaAngkat, F L Daya angkat adalah komponen daya paduan yang dikenakan oleh sesuatu bendalir ke atas suatu jasad yang berserenjang dengan gerakan relatif bendalir F L = C L 1 2 ρu2 A (1.2 denganc L adalah pekali angkat. 2. Helaatau DayaSeret, F D Hela adalah komponen daya paduan yang dikenakan oleh sesuatu bendalir ke atas suatu jasad yang selari dengan gerakan relatif bendalir. Hela ke atas sesuatu jasad yang bergerak menerusi sesuatu bendalir terdiri dari dua komponen:

3 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 3 hela geseran kulit, F F,dan hela bentukatau hela tekanan, F P. Rajah 1.2: Daya-daya yang memberikan hela tekanan dan hela geseran kulit, Douglas et al. (21. Helageserankulit, F F, bergantung kepadadaya-daya ricih yang bertindak di antaramuka pepejal bendalir, Rajah 1.2, F F = τ sin θds (1.3 Sementaraituhelatekanan,F P,yangjugadikenalisebagaihelabentuk,bergantung kepada taburan tekanan di sekeliling jasad, rujuk Rajah 1.2, F P = p s cos θds (1.4 Jarang sekali kedua-dua komponen hela ini menjadi dominan secara serentak di dalam sesuatu fenomena aliran. Untuk objek yang tidak menunjukkan kesan daya angkat, kesan hela geseran kulit terlalu kecil, Rajah 1.3, dan biasanya diabaikan. Gabungan hela geseran kulit dan hela bentuk atau hela tekanan dikenali juga sebagaihela susukatau hela profail, F D. Jadi F D = (F F +F P = C D 1 2 ρu2 A (1.5 denganc D adalahpekaliheladan Aialahluasjasadyangterunjurdiatassatahyang serenjang terhadap arah relatif gerakan. Apabila jasad yang tenggelam di dalam aliran turut menghasilkan daya angkat, hela teraruh berlaku.

4 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 4 (a Hela geseran kulit dominan (b Hela tekanan/bentuk dominan Rajah 1.3: Komponen-komponen utama hela susuk, Douglas et al. ( Teori Lapisan Sempadan: Latarbelakang Bagi aliran luaran, kesan kelikatan terhad kepada: suatu lapisan nipis bendalir (iaitu suatu lapisan sempadan yang bersebelahan dengan dinding, dan keracak 1 diarus hilir jasad. Bagi jasad garis arus 2 seperti kerajang udara 3, anggaran hela yang baik boleh diperolehi dengan mengkamilkan tegasan ricih di permukaan dinding. Untuk menganggar tegasan ricih di dinding pula, kecerunan halaju di dinding mestilah diketahui. Ini memerlukan penyelesaian lengkap medan aliran (iaitu satu penyelesaian bagi persamaan-persamaan Navier-Stokes di dalam lapisan sempadan. Bagi plat rata lapisan sempadan bermula sebagai satu aliran laminar dengan ketebalan sifar di tebing hadapan, atau dengan satu ketebalan terhingga di titik genangan sesuatu objek tumpul atau suatu airfoil, rujuk Rajah 1.4. Selepassatujarak x T yang bergantungkepada halaju arusbebas, U, kelikatan, µ, kecerunan tekanan, dp/dy dan dp/dx, 1 wake 2 streamlinebody 3 airfoil

5 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 5 Rajah 1.4: Lapisan sempadan di atas plat rate, Massey(1983. kekasaran dinding ǫ, dan tahapturun-naik arus bebas u2 /U, aliran laminar ini akan mengalami suatu proses peralihan yang menyebabkan (selepas suatu jarak pendek aliran menjadi bergelora Tebal lapisan sempadan Tebal lapisan sempadan, δ, ialah jarak tegaklurus terhadap permukaan badan tegar yang diukur daripada permukaan badan ke bahagian aliran yang mempunyai halaju sama dengan 99% halaju aliran arus bebas, rujuk Rajah Tebal Anjakan Daya likat di dalam lapisan sempadan merencatkan aliran, jadi kadar aliran jisim yang bersebelahan dengan permukaan pejal adalah lebih kecil dari kadar aliran jisim yang mengaliri kawasan yang sama sekiranya lapisan sempadan tidak wujud. Kesusutankadaraliran disebabkanoleh kesandayalikat ialah ρ(u u. Sekiranya lapisan sempadan tidak wujud, halaju di keratan rentas ini ialah U. Jika sempadanpejaldisesarsejauh δ,kadaraliranjisimakanmengalamikuranganatau defisitsejumlah ρuδ. Tebal anjakan, δ, ialah jarak yang mana sempadan pejal harus disesarkan dalam suatu aliran tanpa geseran untuk memberikan kurangan kadar aliran jisim yang sama seperti yang wujud di dalam lapisan sempadan; ρu δ = ρ(u udy (1.6

6 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 6 Untukaliran takboleh mampat, ρ = pemalar dan ( δ = 1 u dy (1.7 U δ ( 1 u dy (1.8 U Rajah 1.5: Tebal anjakan Tebal Momentum Rencatan aliran di dalam lapisan sempadan juga menyebabkan pengurangan dalam fluks momentum di keratan yang sepadan dengan aliran tak likat. Kuranganataudefisitmomentumaliranjisimsebenar, ρ u dy, menerusi lapisan sempadanialah ρ u(u u dy. Sekiranya daya likat tidak wujud, sempadan pejal perlu di gerakkan sejarak θ untukmenghasilkan kuranganmomentum ρu 2 θ. Tebal momentum, θ, ditakrifkan sebagai ketebalan satu lapis bendalir dengan halaju U untuknya menghasilkan fluks momentum sebesar fluks momentum menerusi lapisan sempadan; ρu 2 θ = ρu(u udy (1.9 Untukaliran takboleh mampat, ρ = pemalar dan u ( θ = 1 u dy (1.1 U U δ u ( 1 u dy (1.11 U U (1.12

7 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 7 Rajah 1.6: Tebal momentum Tebal Tenaga Tebal tenaga, δ,ialah tebalnyabendalir diukurtegaklurusterhadap permukaanbadan tegar dan mempunyai fluks tenaga kinetik yang sama dengan tenaga kinetik yang hilang akibat terbentuknya lapisan sempadan [ δ ( ] δ ρu u 2 = 1 dy (1.13 ρ 1 U U Rajah 1.7: Tebal tenaga. 1.4 Asas Analisis Aliran Lapisan Sempadan Di dalam lapisan sempadan, halaju susut daripada u =.99U di y = δ ke u = di y =. Kesusutan yang berlaku dalam jarak yang sebegitu pendek membolehkan kita menganggar susuk halaju, untuk aliran laminar dan gelora, dengan ketepatan yang baik. Jika susuk halaju dianggap sebagai sudah diketahui, 1. persamaan keterusan, dan

8 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 8 2. persamaan momentum akan dapat membantu kita meramal ketebalan lapisan sempadan dan tegasan ricih di sempadan pepejal dan seterusnya daya geseran kulit. Berikut ditunjukkan bagaimana kedua-dua persamaan ini diterbitkan bagi aliran likat di dalam lapisan sempadan Persamaan Keterusan Aliran Likat Isipadu kawalan ABCDEFGH di dalam Rajah 1.8 di ambil dalam bentuk satu prisma segi empat kecil dengan tepian dx, dy dan dz. Nilai-nilai min komponen halaju dalam arah x, y dan z, masing-masing ialah u, v dan w. Rajah 1.8: Keterusan dalam tiga dimensi. Pertimbangkan aliran dalam arah-x, Aliran jisim yang masuk menerusi ABCD per unit masa = ρudydz Ketumpatan jisim ρ dan halaju u berubah dalam arah-x Jadi Aliran jisim yang keluar menerusi EFGH per unit masa [ = ρu + ] x (ρudx dydz begitu juga Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-x = x (ρudxdydz Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-y = y (ρvdxdydz

9 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 9 dan Oleh itu Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-z = (ρwdxdydz Jumlah aliran jisim per unit masa [ = x (ρu + y (ρv + ] (ρw dxdydz Di samping itu, ρ/ t adalah perubahan dalam ketumpatan jisim per unit masa, Samakan Perubahan jisim di dalam isipadu kawalan per unit masa = ρ t dxdydz Jumlah aliran jisim per unit masa = Perubahan jisim di dalam isipadu kawalan per unit masa iaitu [ x (ρu + y (ρv + ] (ρw dxdydz = ρ t dxdydz atau x (ρu + y (ρv + ρ (ρw = t (1.14 Persamaan (1.14 boleh digunakan di sebarang titik di dalam aliran bendalir, samada mantap atau tidak, boleh mampat atau tak boleh mampat. Bagi aliran tak boleh mampat, ketumpatan ρ adalah malar dan persamaan (1.14 dipermudahkan menjadi u x + v y + w = (1.15 Bagi analisis dalam dua dimensi, semua komponen dalam arah-z diabaikan, jadi u x + v y = ( Persamaan Keterusan Untuk Koordinat Silinder Persamaan keterusan untuk sesuatu sistem koordinat silinder r, θ dan z, dengan r dan θ diukur dalam satah yang sepadan dengan satah x y bagi koordinat Cartesan, boleh diterbitkan menerusi hubungan-hubungan di antara koordinat kutub dan koordinat Cartesan: r 2 = x 2 +y 2 y x = tan θ

10 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 1 u = v r cos θ v t sin θ v = v r sin θ +v t cos θ x = r r x + θ θ x y = r r y + θ θ y Ini menjadikan persamaan (1.15 [ ] 1 r r (rv r + 1 v t r θ + w = ( Persamaan Momentum Aliran Likat Persamaan keterusan dalam bentuk kebezaan, persamaan (1.14, boleh diolah semula sebagai ρ t + x (ρu + y (ρv + (ρw = (1.18 Pecutan keseluruhan dalam arah-x boleh ditulis sebagai du dt = u u u u +u +v +w t x y Kadar perubahan momentum dalam arah-x boleh ditulis sebagai M x dt ( u u u = ρdxdydz +u +v t x y u +w (1.19 (1.2 Daya bersih dalam arah-x yang terdiri dari paduan daya jasad, tegasan normal dan tegasan ricih ke atas unsur bendalir ialah ( F x = dxdydz ρx σ x x + τ yx y + τ zx dengan X adalah daya jasad. (1.21 Oleh itu dari persamaan-persamaan(1.2 dan(1.21, bentuk umum persamaan momentum dalam setiap dimensi boleh ditulis sebagai ( u u u u ρ +u +v +w = ρx σ x t x y y x + τ yx y + τ zx } {{ }} {{ } daya inersia=ma x F x ( v v v v ρ +u +v +w = ρy + τ xy t x y x σ y y + τ zy } {{ } dayainersia=ma y ( w ρ t w w w +u +v +w x y } {{ } daya inersia=ma z } {{ } F y = ρz + τ xz x + τ yz y σ z } {{ } F z (1.22 (1.23 (1.24

11 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 11 Dalam sebutan inersia, kadar-kadar perubahan halaju dengan kedudukan, iaitu ( u u ( u u +v +w, u v ( v v +v +w dan u w w w +v +w x y y x y x y disebut pecutan konvektif, sementara kadar-kadar perubahan halaju dengan masa, iaitu u t, v t dan w t disebut pecutan tempatan. Persamaan-persamaan momentum, (1.22 (1.24, di atas adalah terlalu umum dan tidak boleh dikamirkan tanpa merujuk kepada rumus-rumus yang mentakrif semua sebutan tegasan ricih dan tegasan normal ke permukaan unsur bendalir. Bendalir Newtonan, walau bagaimana pun, mempamerkan ciri-ciri yang membolehkan tegasan (ricih dan normal dikaitkan dengan kecerunan halaju. Perubahan bentuk linear ditakrif menerusi pekali kelikatan dinamik µ sementara perubahan bentuk isipadu pula ditakrif menerusi pekali kelikatan kedua λ. Douglas et al. (21 memberikan σ x = p 2µ u ( u x λ x + v y + w σ y = p 2µ v ( u y λ x + v y + w σ z = p 2µ w ( u λ x + v y + w ; τ xy = µ ; τ xz = µ ; τ yz = µ ( u y + v x ( u + w x ( v + w y (1.25 (1.26 (1.27 Dalam praktis, kesan pekali kelikatan kedua, λ, adalah kecil; hipotesis Stokes memberi anggaran λ = 2 3 µ, sementara tekanan pula diambil sebagai purata ketiga-tiga tegasan normal dari persamaan-persamaan (1.25 (1.27. Untuk bendalir homogeneous, iaitu bendalir yang sifat-sifatnya tidak dipengaruhi oleh kedudukan, gantian untuk sebutan-sebutan tegasan ricih dan normal dari persamaan(1.25 serta menerusi hipotesis Stokes, bahagian kanan persamaan (1.22 boleh diolah semula seperti berikut; Bahagian kanan = ρx p x +2µ 2 u x µ ( u x x + v y + w [ ( u + µ y y + v + ( u x + w ] x = ρx p ( x + 2 µ u x v y w µ ( u x x + v y + w sementara bahagian kiri pula boleh ditulis dalam bentuk Bahagian kiri = ρ Du Dt

12 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 12 Oleh yang demikian rumus untuk arah-x menjadi ρ Du Dt ( p 2 = ρx x + µ u x u y u µ ( u x x + v y + w (1.28 dengan rumus bagi arah-y dan z mengambil bentuk yang serupa. Jika aliran mantap dan tak boleh mampat, persamaan (1.28 boleh diterbitkan semula, dengan mengabaikan sebutan-sebutan kecil order kedua atau lebih, dalam ketiga-tiga arah koordinat sebagai ρ Du Dt ρ Dv Dt ρ Dw Dt ( p 2 = ρx x + µ u x u y u 2 ( p = ρy y + 2 µ v x v y v 2 = ρz p + µ ( 2 w x w y w 2 (1.29 (1.3 (1.31 Persamaan-persamaan (1.29 (1.31 lebih dikenali sebagai persamaan-persamaan Navier-Stokes. Bagi aliran laminar, tegasan-tegasan ricih adalah berkadaran terus dengan kelikatan dan kadar terikan ricih, τ x = µ(du/(dy, untuk memudahkan penyelesaian persamaan-persamaan Navier-Stokes ini. Sebaliknya, di dalam aliran gelora, tegasan-tegasan ricihnya lebih kompleks dan tiada model yang berupaya memberikan penyelakuan yang menyeluruh. Bagi analisis dalam dua dimensi, semua komponen dalam arah-z diabaikan, jadi persamaan-persamaan Navier-Stokes dikurangkan menjadi ( x + 2 µ u ( u u u ρ +u +v = ρx p t x y ( v v v ρ +u +v = ρy p t x y y + µ x u y 2 ( 2 v x v y 2 (1.32 ( Persamaan Kamilan Momentum von Karman Pertimbangkan suatu isipadu kawalan infinitesimal, Rajah 1.9(a. Persamaan kamilan keterusanmembolehkankitamencari ṁ atas. Untukseunitkedalaman, persamaankamilan keterusan diberikan oleh ṁ atas = ṁ keluar ṁ masuk = x δ ρudydx (1.34 Persamaan kamilan momentum berbentuk F x = M keluar M masuk M atas

13 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 13 dengan M mewakili fluks momentum di dalam arah-x. Dengan merujuk Rajah 1.9(c dan (d serta mengabaikan sebutan-sebutan kuasa tinggi, persamaan di atas menjadi δdp τ dx = δ ρu 2 dydx x ( δ ρudydx U(x (1.35 x Rajah 1.9: Isipadu kawalan untuk suatu lapisan sempadan, Potter& Wiggert(1997. Bahagikan keseluruhannya dengan dx τ + δ dp dx = U(x d δ ρudy d δ ρu 2 dy (1.36 dx dx Persamaan (1.36 selalunya dirujuk sebagai persamaan kamilan von Karman. Untuk aliran di permukaan plat rata dengan kecerunan tekanannya sifar, jadi dp/dx = dan U(x = U,persamaan kamilan von Karman dipermudahkanmenjadi τ = d δ dx = d dx δ ρuu dy d δ ρu 2 dy dx ρu(u udy (1.37 Sekiranya ρ malar, persamaan (1.37 menjadi τ = ρu 2 dθ dx (1.38 dengan θ ialah ketebalan momentum.

14 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN Penyelesaian Lapisan Sempadan Laminar Kaedah Tepat Blasius Penyelesaian yang ditemui oleh Blasius pada tahun 198 ini kadangkala dikenali juga sebagai penyelesaian tepat. Untuk aliran mantap tanpa daya jasad dalam dua dimensi dengan kecerunan tekanan sifar, persamaan keterusan menjadi u x + v y = (1.39 sementara persamaan momentum atau persamaan Navier-Stokes pula mengambil bentuk ( u u u ρ +u +v = ρx p ( 2 t x y x + µ u x u y 2 u u u +v x y = ν 2 u y 2 (1.4 dengan keadaan-keadaan sempadan berikut: u = di y = (1.41a u = U di y = δ (1.41b Blasiusberpendapatbahawasusukhalaju, u/u,patutserupauntuksetiapnilai x,apabila diplot melawan jarak tanpa dimensi daripada sempadan pepejal, katalah η. Untuk tujuan ini, ketebalan lapisan sempadan, δ, dipilih sebagai parameter untuk menjadikan jarak daripada sempadan pepejal tak berdimensi. Oleh itu penyelesaian adalah dalam bentuk u U = g(η dengan η = y δ Blasius mencadangkan bahawa δ νx/u dan menetapkan (1.42 η = y U νx (1.43 Seterusnya menerusi fungsi arus, ψ, dengan u = ψ y dan v = ψ x (1.44 yang memenuhi persamaan keterusan (1.39 dan dengan menggantikan u dan v ke dalam persamaan (1.4 kita dapat mengurangkannya kepada suatu persamaan yang ψ di dalamnya adalah pembolehubah bersandar yang tunggal. Jika kita mentakrifkan fungsi arus tanpa dimensi sebagai f(η = ψ νxu (1.45

15 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 15 f(η menjadi pembolehubah bersandar dengan η sebagai pembolehubah tak bersandar atau pembolehubah bebas di dalam persamaan (1.4. Dengan ψ ditakrif oleh persamaan (1.45 dan η oleh persamaan (1.43 kita boleh menilai setiap sebutan di dalam persamaan (1.4. Komponen halaju diberikan oleh u = ψ y = ψ η η y = u = νxu df dη U ( dψ df df dη η y νx = U df dη (1.46 dan [ v = ψ νxu x = f x f = [ νxu df dη ( 1 2 η1 x ] νu x f νu x ] v = 1 2 νu x [ η df ] dη f (1.47 Dengan membezakan komponen-komponen halaju, kita boleh menunjukkan bahawa u x = U 2x ηd2 f dη 2 dan u y = U U νx d 2 f dη 2 2 u y 2 = U2 d 3 f νx dη 3 Gantikan ketiga-tiga persamaan di atas ke dalam persamaan (1.4 untuk mendapatkan 2 d3 f dη 3 + f d2 f dη 2 = (1.48 dengan keadaan-keadaan sempadan f = df = dη pada η =, (1.49a df = 1 dη pada η = (1.49b Persamaan-persamaan kebezaan separa order kedua(rujuk persamaan(1.39,(1.4 yang mengawal pertumbuhan lapisan sempadan laminar di atas plat rata telah dijelmakan kepada suatu persamaan kebezaan separa order ketiga tak linear(persamaan(1.48 dengan keadaan-keadaan sempadan yang berikan oleh persamaan (1.49.

16 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 16 Jadual 1.1: Fungsi f(η untuk lapisan sempadan laminar sepanjang suatu plat rata pada incidence sifar. η = y U νx f f = u U f Persamaan (1.48 tidak mungkin dapat diselesaikan dalam bentuk tertutup; Blasius menyelesaikannya menerusi suatu series expansion yang kemudiannya diperbaiki oleh Howarth dengan lebih jitu menggunakan kaedah berangka. Nilai-nilai berangka untuk f, df/dη dan d 2 f/dη 2 diberikan di dalam Jadual 1.1 dan susuk halaju seperti yang ditunjukkan di dalam Rajah 1.1 akan diperolehi dalam bentuk tanpa dimensi dengan memplot u/u melawan η. Rajah 1.1: Susuk halaju laminar dan gelora. Daripada Jadual 1.1 kita boleh melihat bahawa η = 5., u/u =.992. Dengan men-

17 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 17 takrif tebal lapisan sempadan, δ, sebagai nilai y apabila u/u =.99, maka daripada persamaan (1.43, δ 5. U /νx = 5.x Rex (1.5 Tegasan ricih di sempadan pepejal ialah τ = µ u y y= dengan itu = µu U νx d 2 f dη 2 η= τ =.332U ρµu x =.332U ρ 2 µu 2 ρu x =.332ρU2 Rex (1.51 dan pekaligeserantempatandisempadanpepejal, c f, diberikanoleh c f = τ 1 2 ρu2 =.332U ρµu x ρu2 =.664 Rex (1.52 Jumlah daya geseran yang bertindak di keseluruhan permukaan dihitung menerusi F F = A τ da (1.53 dan pekali geseran min untuk keseluruhan permukaan pula dikira mengikut C F = F A F/A = τ da 1 2 ρu2 1 2 ρu2 A = 1 A τ da = 1 A c A 1 2 ρu2 A f da (1.54 Pekali geseran min untuk aliran dengan halaju arus bebas, U, di atas permukaan plat rata yang panjangnya L dan lebarnya b diperolehi dengan menggantikan untuk τ daripada persamaan (1.52 ke dalam persamaan (1.54: C F = 1.664Re.5 x da A A = 1 bl L =.664 L C F = ReL ( U x.5 bdx ν ( ν.5 [ ] x.5 L U.5 ( ν.5 = U L (1.55 Oleh kerana kecerunan tekanan di dalam lapisan sempadan dianggap sifar, hela bentuk (atauhelatekananbolehdiabaikan(iaituf P =. Denganitu,menerusipersamaan(1.5, jumlah hela, F D, sama dengan hela geseran, F F, dan dengan yang demikian C D sama dengan C F ; F D = F F + (F P = = F F C D = C F

18 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN Kaedah Anggaran Kita tetapkan empat keadaan sempadan untuk susuk halaju yang dihajati u y u = pada y = (1.56a u = U pada y = δ (1.56b = pada y = δ (1.56c 2 u = pada y = (1.56d y2 Persamaan-persamaan (1.56a (1.56c diperolehi daripada sketsa susuk halaju sementara persamaan (1.56d pula datangnya daripada komponen-x persamaan Navier-Stokes. Juga u = v = di sempadan jasad pepejal, 2 u/ x 2 = di permukaan jasad, dan dp/dx = untuk aliran mantap yang sedang kita pertimbangkan. Sebagai contoh, kita andaikan susuk halaju berbentuk polinomial kiub, u U = A +By +Cy 2 +Dy 3 (1.57 dengan A, B, C, dan D mungkin fungsi x. Menerusi empat keadaan sempadan di atas kita melihat A = B = 3 2δ C = D = 1 2δ 3 Oleh itu anggaran yang baik untuk susuk halaju di dalam aliran laminar ialah u U = 3 2δ y 1 2δ 3y3 = 3y 2δ y3 2δ 3 (1.58 Kitaseterusnyabolehmenggunakansusukhalaju iniuntukmencari δ(xdan τ (x. Persamaan kamilan von Karman memberikan τ = d δ ( 3y ρ dx 2δ y3 ( 2δ 3 1 3y 2δ + y3 2δ 3 U dy 2 =.139ρU 2 dδ dx (1.59 Di sempadan jasad pepejal, τ = µ u/ y y=, atau dengan menggunakan susuk polinomial kiub, iaitu persamaan (1.58, τ = µ( 3 2δ U (1.6 Samakan persamaan (1.59 dan (1.6, δdδ = 3 2 µu.139ρu 2 dx = 1.8 ν dx (1.61 U

19 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 19 Dengan δ = pada x =, persamaan (1.61 bolehdikamilkan untukmendapat νx δ = 4.65 = 4.65x (1.62 U Rex dengan Re x ialah nombor Reynoldstempatan. Nilai δ ini digantikan ke dalam persamaan (1.6 untuk mendapat tegasan ricih tempatan di sempadan pepejal ν τ =.323ρU 2 =.323ρU2 (1.63 xu Rex Tegasan ricih tempatan, τ, dijadikan tanpa dimensi secara membahagikannya dengan 1 2 ρu2 ;ini menghasilkan pekali geseran kulit tempatan sebagai: c f = τ 1 2 ρu2 =.323ρU2 1 1 Rex 2 ρu2 =.646 Rex (1.64 Jika tegasan ricih tempatan di sempadan pepejal ini dikamilkan sepanjang panjang, L, daya seret disebabkan oleh geseran kulit di keseluruhan sempadan pepejal, F F, untuk seunit lebar plat ialah F F = A τ da = A =.646ρU 2 νl/u =.646ρU 2 νl 2 /U L =.646ρU 2 L ν/u L τ (1 dx = L τ dx =.646ρU2 L ReL (1.65 Daripersamaan(1.54,pekaliseretanuntukaliran denganhalaju arusbebas,u,diatas permukaan plat rata yang panjangnya L dan lebarnya b diperolehi menerusi: A C F = 1 c A f da = 1.646Re.5 x da A A = 1 L ( U.646 bl ν =.646 ( ν.5 [ x.5 L U.5 C F = ReL.5 x.5 bdx ] L ( ν.5 = U L ( Penyelesaian Lapisan Sempadan Gelora Terdapat dua kaedah penyelasaian kepada lapisan sempadan gelora kaedah hukum kuasa dan kaedah empirik. Kedua-duanya menggunakan data ujikaji. Kaedah yang

20 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 2 pertama yang dibincangkan di bawah lebih mudah sementara kaedah kedua pula dapat memberikan lebih maklumat serta lebih tepat tetapi tidak akan dibincangkan di sini. Di dalam aliran gelora, Rajah 1.11, jejak halaju menunjukkan pergolakan atau gincatan halaju seketika, u, yang rambang sebagai hasil campur halaju min, ū dan komponen gincatan, u, u = ū ±u Oleh kerana aliran mantap, halaju min ū tidak berubah dengan masa. Rajah 1.11: Perubahan halaju dengan masa Kaedah Hukum Kuasa Di dalam kaedah hukum kuasa kita menyesuaikan data untuk susuk halaju dengan persamaan hukum kuasa: dengan ū ( y = U δ Re x = U x ν 1/n: n = 7 Re x < < Re x < 1 8 ( < Re x < 1 9 Selepas ini, persamaan von Karman boleh digunakan seperti yang telah digunakan untuk mencari penyelesaian lapisan sempadan laminar, KECUALI ketika tegasan ricih dihitung. Bentuk hukum kuasa, persamaan(1.67, menghasilkan ( ū = y y= jadi susuk ini memberikan keputusan yang kurang memuaskan, terutama untuk pengiraan tegasan ricih di sempadan pepejal. Jadi takrif ( τ = µ ū y y=

21 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 21 tidak digunakan, sebaliknya kita menggunakan hubungan empirikal formula Blasius yang menghubungkan pekali geseran tempatan dengan tebal lapisan sempadan menerusi ( ν 1/4 c f =.46 (1.68 U δ bagi mendapatkan τ =.23ρU 2 ( ν 1/4 (1.69 U δ Nota: Satu lagicara ialah denganmenghubungkan τ denganc f menerusipersamaan c f =.646 Re x Persamaan kamilan von Karman memberikan kitaungkapanyangkeduauntuk τ ;gantikan susukhalaju, persamaan (1.67 denganre x < 1 7, kedalam persamaan τ = d δ ρu(u udy dx untuk memperolehi τ = d δ ( [ y 1/7 ( ] y 1/7 ρu 2 1 dy dx δ δ = 7 dδ 72 ρu2 dx (1.7 Gabungkan kedua-dua ungkapan, persamaan (1.69 dan (1.7, untuk τ dan kita memperolehi ( ν 1/4 δ 1/4 dδ =.237 dx (1.71 U Denganmenganggapalirangeloradaripadapinggirdepan(iaitu L x T,kitamendapat ( ν 1/5 δ =.38x U x =.38x Re 1/5 : Re x < 1 7 (1.72 x Gantikan ungkapan di atas ke dalam persamaan(1.68, kita mendapati bahawa c f =.59 Re 1/5 x : Re x < 1 7 (1.73

22 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 22 Dengan mengkamilkan C F = 1 A A c f da kita mendapat pekali geseran min sebagai dengan C F =.73 Re 1/5 L Re L = U L ν : Re x < 1 7 (1.74 Rumus-rumus untuk δ, τ, c f, C F dan F F di atas boleh digunakan untuk Re x 1 8 tanpa ralat yang besar. Jika panjang L tidak begitu besar dibandingkan dengan x T, katalah L = 3x T, bahagian laminar turut mempengaruhi aliran di pinggir depan plat. Untuk kes sebegini, dengan Re L < 1 7,pekaligeseranmin bolehdiubahsuai sebagai C F = Re 1/5 : Re c = (1.75a Re L L C F =.73 Re 1/5 17 : Re c = (1.75b Re L L C F = Re 1/5 : Re c = (1.75c Re L L denganre c ialah nomborreynoldsgentingdititikberlakunyaperalihan Re c = U x T ν Tebalanjakan, δ,dan tebalmomentum, θ, masing-masing diberikan oleh δ =.48x Re 1/5 x θ =.37x Re 1/5 x (1.76 (1.77