BAB 4: MODEL KEADAAN-RUANG (State Space Model)

Transcript

1 BAB 4: MODEL KEADAAN-RUANG (Sae Space Model) 4. Model am Persamaan kebezaan erib n diungkap semula sebagai sau se erdiri dari n persamaan kebezaan erib perama. Persamaan in diwakili oleh & = A Bu y = C (4.) di mana, =vekor keadaan (n ), A = mariks sisem (n n) B = mariks masukan (n ), C = mariks keluaran ( n) n = erib sisem. Kebaikan:. Menyelesai sau se persamaan erib perama adalah lebih mudah dilakukan dengan kompuer digi berbanding menyelesai persamaan kebezaan erib inggi. Gagasan keadaan ruang memudahkan aaanda maemaik dengan menggunakan aaanda marik vekor. Keadaan awal boleh diambil kira. 4. Boleh digunakan unuk penyelesaian kebanyakan sisem ak-lelurus, masa berubah, saisik dan sisem daa sampel. 5. Teknik kawalan moden. Conoh 4. Terbikan model keadaan ruang bagi sisem jisim-spring yang diwakili oleh persamaan kebezaan d d 4 = F d d di mana ialah anjakan jisim dan F ialah daya indakan. Penyelesaian Unuk keadaan awal sifar, = F s 4s Takrifkan: = d & = = d 4-

2 & d d = = F 4 d d = F 4 = 4 F y = [ ] Model keadaan ruang bagi sesuau sisem ak unik. Model ini berganung kepada bagaimana pembolehubah keadaan diakrifkan. Bilangan keadaan adalah sama dengan erib sisem. Laihan 4. Terbikan model keadaan ruang bagi sisem yang diwakili oleh persamaan kebedaan d d d 4 = 5u d d d Kaji sisem am berbenuk n n n d y d y d y a a ay b d m u m m d u d u b b bu n n n n = n m m m m m L L m d d d d d d Unuk keadaan awal sifar, rangkap pindah ialah m m ys () bms bm s L b Gs () = = n n us () s an s L a di mana n>m. Perkenalkan pembolehubah (s). ys () m m b s b s L b m m us () = s () = n n s a s L a n Ambil sebuan di sebelah kanan persamaan n n us () = s s () a s s () L as () n Dalam domain masa, persamaan ini menjadi 4-

3 n n d () d () u a a d () () = a n n L () n d d d Vekor keadaan ialah: di mana = M n M dan = = = M n = u() a a L a n n n n n Sekarang ambil pula sebuan di sebelah kiri persamaan, iaiu m m ys () = bms s () bm s s () L bs () di dalam domain masa y () = b () b () L b () m m m m persamaan keadaan ruang ialah L = M M a a a L a n n n u M M M y ()=[ b b L bm L ] m M n Terdapa berbagai cara unuk menakrifkan pembolehubah keadaan. Ini menghasilkan model keadaan ruang idak uni eapi sama. Conoh 4. Terbikan perwakilan keadaan ruang bagi sisem 4-

4 d y dy du y = u d d d dengan keadaan awal sifar. Penyelesaian Rangkap pindah ialah y s = u s s Takrifkan y u s = = s s Diambil sebuan di sebelah kanan persamaan ini menghasilkan s () s s() s () s = u dalam domain masa d d = u d d Takrifkan pemboleh ubah keadaan sebagai maka = = & = u Diambil sebuan di sebelah kiri persamaan, iaiu ys () = ss () s () Dalam domain masa d y ()= = d u = y = [ ] 4-4

5 Laihan 4. Terbikan model keadaan ruang bagi sisem yang wakili oleh persamaan kebedaan d y d y dy du 4y = 5u d d d d 4. Perhubungan dengan rangkap pindah. Kaji model keadaan-ruang & = A Bu y = C Penjelmaan Laplace menghasilkan s() s () = A() s Bu() s ys () = Cs () disusun semula ( si A)() s = () Bu() s s () = ( si A) [() Bus ()] menghasilkan ys () = CsI ( A) [() Bus ()] Oleh kerana rangkap pindah menghubungkan masukan dengan keluaran bagi keadaan awal sifar, maka ys () = Gsus ()() di mana Gs () = CsI ( A) B Songsangan sesau mariks diberi oleh M adj = de M M Oleh kerana penenu (deerminan) si-a erdapa di penyambu rangkap pindah maka si-a = ialah persamaan ciri. Punca si-a = ialah kuub sisem dan punca bagi λi-a ialah nilai eigen A. nilai eigen A adalah kuub bagi G(s). Conoh 4. Tenukan rangkap pindah bagi model keadaan-ruang 4-5

6 / / = / 6 / 6 u y = [ / 4 / 4] dan unjukkan bahawa kuub rangkap pindah adalah nilai eigen A. Penyelesaian Dikeahui bahawa Gs () = CsI ( A) B s ( si A) = s 6 Oleh iu s ( si A) = de s 6 Teapi s de = = ( s )( s ) ( )( ) s 6 6 = ( s )( s ) s Gs () = [ ] 6 s s s 4 4 ( )( ) 6 5. s = ( s )( s ) Kuub G(s) ialah s= - dan -. Pengiraan nilai eigen A ialah λi-a = λ = λ λ λ ( )( ) ( )( 6 ) 6 = ( λ )( λ ) λ = - dan -. Laihan 4. Terbikan rangkap pindah sisem yang diwakili model keadaan ruang F = 4 4-6

7 y = [ ] Kirakan nilai eigen bagi mariks A dan nilai kuub sisem ini. 4. Sisem Gelung Teruup Kaji sisem di dalam Rajah 4.. Selain dari menerbikan rangkap pindah sisem gelung eruup, kia boleh menakrifkan pembolehubah keadaan erus ke pembolehubah keadaan dalam gambarajah bongkah. u e s s 4 s 5 y= - Rajah 4. Gambarajah bongkah sisem kawalan Dengan merujuk kepada rajah 4. = s 5 Dalam domain masa & = 5 Juga dari rajah di aas = e s s 4 Teapi e = u & 4 = u Kaakan & = & = 4 u Oleh iu, model keadaan ruang ialah 4-7

8 y = 5 = 4 [ ] u Conoh 4.4 Sisem Ward-Leonard di rajah. digunakan unuk mengawal kedudukan sudu, θ, sifaekun J oleh moor M. Ianya erdiri dari penjana d.c. G yang berpusing dengan laju malar menyebabkan arus I berkadaran erus dengan arus ujaan i, iaiu I = k G i. Arus I mengerakkan moor d.c. M, berujaan malar dan mengeluarkan dayakilas T = KI. a. Terbikan model keadaan ruang sisem (masukan V i, keluaran θ) b. Kedudukan sudu θ dikehendaki mengiku sepoin u menggunakan rumus Vi = A( u θ ) di mana A ialah gandaan pengua. Terbikan model keadaan ruang yang baru dengan u sebagai masukan dan θ sebagai keluaran. i I f V i G M θ J Rajah. Sisem Ward-Leonard Penyelesaian a. Persamaan bagi sisem ialah V = L di Ri d I = KGi T J d θ = f d θ d d T = Kc I Disusun semula persamaan di aas L di = RI K G V i d 4-8

9 J d θ f d θ = KI c d d Pilih = θ = I d = θ d R & L KG L V = i f & J Kc J = & = Oleh iu & R K = L G L Vi Kc f J J y = [ ] Perhaikan bahawa pemilihan adalah idak uni. b. Bagi kes gelung buka Vi = A( u θ ) persamaan diaas menjadi R & L KGA L KGA L V = i f & J Kc J = & = Oleh iu K A & R K = G L L G L u Kc f J J y = [ ] 4.4 Sambuan bebas dan mariks peralihan keadaan (sae ransiion mari) Kia akan mengkaji penyelesaian persamaan keadaan bagi kes isyara masukan sifar yang juga dinamai sebagai masalah daya-bebas. Dinamik sisem ini diwakili oleh: & = A 4-9

10 Kaedah langsung yang boleh digunakan ialah dengan penggunakan penjelmaan Laplace yang menghasilkan: s() s () = A() s Ini boleh disusun semula sebagai s () = ( si A) () Dianggap mariks (si-a) boleh disongsang maka s () = φ()() s di mana φ( s) = ( si A). Diambil songsangan penjelmaan Laplace () = φ(, ) ( ) di mana φ(, ) = L - ( si A) Mariks φ(, ) dikenali sebagai mariks peralihan keadaan (sae ransiion mari). Conoh 4.5 Dapakan mariks peralihan keadaan bagi sisem u = 4 y = [ ] dan dapakan penyelesaian bagi keadaan awal () =, () =. Penyelesaian Gunakan φ( s) = ( si A) φ = s = s () s s 4 s 4 Oleh iu s 4 φ( s) = ss ( 4) s Kaakan φ φ φ() s = φ φ s 4 φ () s = ( s )( s ) Penggunaan pecahan separa menghasilkan 4-

11 5. 5. φ () s = s s Begiu juga: φ () s = s s φ () s = s s φ () s = s s Dengan mengambil songsangan penjelmaan Laplace menghasilkan e 5. e 5. e 5. e φ(, ) = e 5. e 5. e 5. e Teapi () = φ(, ) ( ) e e e e = - - =.... φ(, ) 5e 5e 5e 5e e 5. e = - 5. e 5. e y = [ ] e e = = Penjelmaan Keserupaan (Similariy ransformaion) Kaji sisem & = A Bu y = C Takrifkan z = P di mana P ialah (n n) marik yang bolih disongsang, maka z& = P( A Bu) = PAP z PBu y = C = CP z aau ~ ~ z& = Az Bu ~ y = Cu 4-

12 dimana ~ A = PAP ~ B = PB ~ C = CP Walaubagaimana pun, rangkap pindag sisem G(s) adalah unik, iaiu ~ ~ ~ CsI ( A) B= CsI ( A ) B Buki: ~ ~ ~ C ( si A ) B = CP ( si PAP ) PB eapi ( AB) = B A, maka persamaan di aas menjadi CP ( si PAP ) PB = C(( si PAP ) P) PB ( ) = C( sp PA) PB = C P ( sp PA) B = CsI ( A) B Ini menunjukkan walaupun rangkap pindah sisem unik, perwakilan keadaan ruang idak uni. Penjelmaan keserupaan boleh digunakan jika kia memerlukan mariks A berbenuk pepenjuru. Mariks A pepenjuru memudahkan pengiraan. Conoh 4.6 Model keadaan ruang sau sisem dinamik ialah u = 4 y = [ ] Gunakan penjelmaan keserupaan supaya mariks sisem menjadi pepenjuru. Penyelesaian Pilih ~ A sebagai mariks pepenjuru, iaiu ~ A = λ λ Gunakan ~ AP = PA λ λ p p aau λ p λ p λ p λ p p p = p p p p p p 4p = p p 4p 4 4-

13 oleh iu dari baris perama λ p = p λ p = p 4p Ini menghasilkan λ 4λ = Penyelesaiannya persamaan ini ialah λ = aau -. Dengan mengambil λ =, p = p Dari baris kedua λ p = p λ p = p 4p Ini menghasilkan λ 4λ = Penyelesaiannya persamaan ini ialah λ = aau -. Dengan mengambil, λ = p = p Pilih p = p p = = p = Oleh iu P = Songsangan mariks P ialah P = ~.. A = PAP = = Laihan 4.4 Sau sisem diwakili oleh model keadaan ruang 4-

14 = u y = [ ] Terbikan model keadaan ruang yang baru dengan mariks sisem pepenjuru. Conoh 4.7 Dengan menggunakan penjelmaan keserupaan ke aas model keadaan ruang u = 4 y = [ ] dapakan sambuan daya-bebas sisem ini bagi keadaan awal () =, () =. Penyelesaian Menggunakan kepuusana ~ A = PAP ~ B = PB ~ C = CP ~ A elah dikira di dalam conoh 4.6. Model keserupaan ialah ~ ~ z& = Az Bu ~ y = Cz dengan mengguna akrifan z = P. Oleh kerana sambuan daya bebas diperlukan, maka ~ z& = Az ~ y = Cz Keadaan awal jelmaan ialah z P ( ) ( ) z ( ) = ( ) = = Keadaan awal jelmaan ini perlu digunakan dalam menyelesaikan sambuan masa berdasarkan model jelmaan. Pembolehubah keadaan z boleh diselesaikan secara erus menggunakan penjelmaan Laplace, iaiu z& z z& = z iaiu &z = z &z = z 4-4

15 Kaedah ini menghasilkan dua persamaan kebezaan yang boleh diselesaikan secara bebas. Penyelesaian persamaan perama ialah sz() s z() = z() s ( s ) z ( s) = z()= s s Menghasilkan z( )= e Unuk persamaan kedua sz() s z() = z() s ( s ) z ( s) = z()= s s Menghasilkan z e ()= z() e z () = e Oleh iu ~ e y = Cz = CP z = [ ] e Iaiu y e = e 4.7 Sambuan paksa Kaji sisem & = A Bu y = C Penyelesaian persamaan ini memberi sambuan paksa sisem erhadap masukan u yang erenu.. Penyelesaiannya boleh diperoleh seperi beriku: Susun semula persamaan menjadi & A = Bu Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan e A e A e A A = e A Bu Sebuan di sebelah kiri boleh diulis sebagai d [ ] d e A e A = Bu Kamiran persamaan ini ialah. Ini menghasilkan 4-5

16 A A A e () e ( ) e Bu( τ) dτ = A ( ) A ( τ ) () = e ( ) e Bu( τ) dτ Persamaan ini boleh diulis semula sebagai () φ(, ) ( ) φ(, τ) Bu( τ) dτ = dengan ( τ ) φ(, τ) = e A Dari persamaan ini, erdapa dua komponen sambuan iaiu () = b() u() b ialah komponen sambuan bebas iaiu b () = φ(, ) ( ) u ialah komponen kawalan yang disebabkan oleh masukan u, iaiu = φ(, τ) Bu( τ) dτ u Kepuusan yang sama boleh juga diperoleh dengan mengambil penjelmaan Laplace ke aas persamaan & = A Bu y = C menghasilkan s() s ( ) = A() s Bu() s Disusun semula ( si A)() s = ( ) Bu() s Telah diakrifkan bahawa φ( s) = ( si A) maka s () = φ()( s ) φ() sbus () Songsangan penjelmaan Laplace menghasilkan () φ(, ) ( ) φ(, τ) Bu( τ) dτ = Conoh 4.8 Bagi model keadaan ruang u = 4 y = [ ] dapakan sambuan sisem ini bagi masukan uni langkah dengan keadaan awal () =, () =. 4-6

17 Penyelesaian Penyelesaian persamaan ini ialah () φ(, ) ( ) φ(, τ) Bu( τ) dτ = Dari conoh 4.5, kia elah liha e 5. e 5. e 5. e φ(, ) ( ) = e 5. e 5. e 5. e dan - 5. e 5. e = - 5. e 5. e φ (, τ ) φ (, τ ) φ(, τ) Bu( τ) = u( τ ) φ (, τ) φ (, τ) ( τ) ( τ) 5. e 5. e = u( τ ) ( τ) ( τ) 5. e 5. e penyelesaianya bagi u()=, ialah 5. e 5. e () = 5. e 5. e y = ( e ) = e [ ] ) e = ( ) ( τ) ( τ) ( ) ( τ) ( τ) ( ) e e dτ e e dτ Laihan 4.5 Bagi sisem di dalam Conoh 4.8, gunakan penjelmaan keserupaan unuk mendapakan sambuan masa sisem ini erhadap isyara masukan dan keadaan awal yang sama. Laihan 4.6 Sau sisem kawalan diwakili oleh model keadaan ruang u = y = [ ] bagi keadaan awal sifar dapakan sambuan masa sisem ini erhadap masukan uni langkah dengan menggunakan 4-7

18 (a) mariks peralihan keadaan (b) penjelmaan keserupaan 4.8 Suapbalik keadaan malar lelurus (linear consan sae feedback) Kaji sisem dinamik lelurus & = A Bu y = C Benuk am pengawal suapbalik keadaan malar lelurus bagi sisem ini ialah u ()= kr k k Lk n n = kr K di mana r ialah masukan rujukan dan K ialah parameer pengawal. Rajah bongkah sisem kawalan ini diunjukkan dalam rajah 4.. () r k u & B C - - A K Rajah 4. Gambarajah bongkah sisem suap balik Dihapuskan u menghasilkan = A B( kr K) = ( A BK) Bkr sisem eruup bagi model S(A,B,C) digani oleh S(A-BK,Bk,C). Persamaan ciri sisem gelung eruup ini ialah ρ c ()= s si A BK Sisem gelung eruup sabil asimpo jika dan hanya jika, kesemua bahagian nyaa punca ρ c ()negaif. s Kuub dienukan oleh ρ c( s) = si A BK = ( s µ )( s µ ) L ( s µ n) Nilai kuub ini dipilih unuk memenuhi sambuan yang dikehendaki. Conoh 4.9 Rekabenuk pengawal suapbalik keadaan malar lelurus bagi sisem dinamik d y d y dy y = u d d d supaya nilai kuub sisem suapbalik ialah - dan -±j. 4-8

19 Penyelesaian Model keadaan ruang sisem ini ialah = u y = [ ] Pengawal suapbalik keadaan malar lelurus ialah u ()= kr k k k = kr [ k k k] Persamaan ciri ialah ρ c ()= s si A BK ρ c () s = s k k k s = s k k s k = s ( k ) s ( k ) s k [ ] Jika nilai kuub sisem suapbalik ialah - dan -±j, persamaan ciri ialah ρ c ( s) = ( s )( s j)( s j) = s 4s 6s 4 Dibandingkan pekali kedua-dua persamaan ini menghasilkan k = 4, k = k = 6, k = k = 4, k = 4-9

20 4.9 KEBOLEHKAWALAN (CONTROLLABILITY) DAN KEBOLEHCERAPAN (OBSERVABILITY) 4.9. Pengenalan Konsep ini diperkenalkan oleh Kalman pada ahun 5an. Konsep ini menjelaskan mengapa reka benuk pemampas bagi sisem idak sabil dengan menggunakan pembaalan (cancellaion) kuub idak sabil dengan sifar, idak akan berjaya walaupun pembaalannya sempurna. Secara prakik, pembaalan sempurna musahil dilakukan. Kalman menunjukkan bahawa pembaalan sempurna kuub-sifar menghasilkan sisem idak sabil dengan rangkap pindah yang sabil. Conoh 4. Perimbangkan sau sisem yang diwakili oleh model keadaan ruang 4 y = = 4 5 [ ] 4 Rangkap pindah sisem ini ialah 4 u Gs () = CsI ( A) B= s 9s 6s 4 4 s s 5s 5s 4 Memfakorkan rangkap pindah ini menghasilkan ( s )( s )( s 4) Gs () = ( s )( s )( s )( s 4) Terdapa iga kuub iaiu s=-,- and -4 dibaalkan oleh sifar. Sisem ini kelihaan seperi sisem erib keempa eapi sebenarnya hanya erib yang perama. Jelmakan A supaya mariks sisem menjadi mariks pepenjuru dengan menakrif = T dengan 4-

21 4 T = menghasilkan dan T = TAT = Λ = 4 dan mariks kawalan dan cerapan berpadanan (corresponding) ialah B = TB= C = CT = [ ] Oleh iu persamaan keadaan berpadanan ialah = u = = u = dan persamaan cerapan ialah y = Gambarajah bongkah diunjukkan dalam Rajah.4. dengan : erkesan(affeced) oleh masukan; erliha(visible) oleh keluaran : idak erkesan oleh masukan; erliha oleh keluaran : erkesan oleh masukan; idak erliha oleh keluaran 4 : idak erkesan oleh masukan; idak erliha oleh keluaran Rangkap pindah hanya dienukan oleh sub-sisem bolehkawalan (conrollable) dan bolehcerapan (observable). 4-

22 u & /s y - & /s - /s - & /s Rajah 4.4 Gambarajah bongkah sisem Conoh Pembaalan kuub idak sabil dengan sifar (masaalah prakikal) Perimbangkan bandul erbalik (invered pendulum) seperi dalam Rajah

23 m l θ y Rajah 4.5 Bandul erbalik Tenaga kineik sisem ini ialah T = m( y& ) dengan = lsin θ maka = l& θ kos θ dan y = lkosθ maka y& = l& θ sin θ Tenaga keupayaan V = mgy = mglkosθ Persamaan Lagrange bagi sisem ini ialah d L L τ d d & = θ dθ dengan L = T V = ml ( & θ kos θ l & θ sin θ) mglkosθ = ml & θ mglkosθ L = ml & θ θ& L = mgl sinθ θ Dimasukkan ke dalam persamaan Lagrange menghasilkan ml && θ mgl sinθ = τ Bagi θ kecil, sinθ θ, maka ml && θ mglθ = τ Ini merupakan sisen ak sabil dengan rangkap pindah 4-

24 y Gs () = = = u s Ω ( s Ω)( s Ω) Kia hendak memampas sisem ini supaya sisem menjadi sabil sera menjadi sisem kelas supaya rala di keadaan manap menjadi sifar. Kaakan rangkap pindah sisem yang dipampas ialah G () y s = = p u s ( s Ω ) Seseorang mungkin cenderung unuk memampas sisem ini menggunakan s f Gc = Ω Ω = = s s u dengan Ω = Ω dan f ialah keluaran pemampas. Sisem yang dipampas ini diunjukkan sebgai gambarajah bongkah seperi dalam Rajah 4.6. Pemampas ini mewakili indakan kawalan berkadaran campur kamiran. Rangkap pindah keseluruhan sisem menjadi s Ω GsG () c() s = Gp() s as Ω Ω ss ( Ω ) u f y G G c Rajah 4.6 Gambarajah sisem yang dipamapas, persamaan kebezaan bagi sisem asal boleh diulis sebagai d y Ω y = f d Manakala persamaan kebezaan bagi pemampas ialah df du = Ω u d d dihapuskan f dari kedua-dua persamaan ini menghasilkan d y dy du = Ω Ω u d d d Diakrifkan pemboleh ubah keadaan sebagai dy = y, = dan = Ω u d persamaan di aas menjadi 4-4

25 = = Ω u = Ωu Mariks bagi sisem ini ialah A = Ω B = C = Ω Dijelmakan kepada mariks pepenjuru menggunakan [ ] Ω Ω T = Ω Ω Ω menghasilkan Ω Ω Ω A = TAT = Ω B = TB = C ( Ω Ω) Ω Ω Persamaan kebezaan yang mewakili model keadaan raung ini ialah & = Ω ( ) u Ω Ω Ω & = Ω ( ) u Ω Ω Ω = [ ] & = Ω u Ω y = perwakilan gambarajah bongkah sisem ini diunjukkan dalam Rajah 4.7. Apabila Ω Ω, penghubung di anara masukan u dengan keadaan ak sabil (unsable sae) erpuus, menghasilkan sisem idakbolehkawalan dan idakbolehsabil (unsabilisable). 4-5

26 Ω Ω Ω /s Ω u Ω Ω - Ω /s - Ω y Ω Ω /s Rajah 4.7 Perwakilan gambarajah bongkah sisem dipampas 4.9. Kebolehkawalan (Conrollabiliy) Takrifan: Sesuau sisem adalah bolehkawalan jika dan hanya jika, dengan hanya menggunakan masukan ia boleh memindahkan sisem dari mana-mana keadaan awal () = ke manamana keadaan lain T = (T) dalam masa erhingga (finie ime) T-. (A sysem is said o be conrollable if and only if, i is possible, by means of he inpu, o ransfer he sysem from any iniial saes () = o any oher saes T = (T) in a finie ime T->=.) Teorem kebolehkawalan algabar Sisem masa ak berubah (ime-invarian) & = A Buadalah bolehkawalan jika dan hanya jika, pangka r(q) bagi mariks ujian kebolehkawalan k [ L ] Q = B AB A B adalah sama dengan k, erib sisem. Iaiu Q pangka penuh (full rank). Sesuau mariks iu pangka penuh apabila penenu Conoh 4. Perimbangkan sisem didalam Conoh 4.. Mariks ujian kebolehkawalan ialah 4-6

27 4 8 Q = [ B AB A B A B] = Penenu mariks Q ialah = = = Oleh kerana penenu mariks ujian kebolehkawalan sifar, maka sisem ini idakbolehkawalan Kebolehcerapan (Observabiliy) Takrifan: Sau sisem anpa paksaan dikaakan bolehcerapan (observable) jika dan hanya jika, mana-mana keadaan awal sembarangan () = boleh dienukan berdasarkan caaan erhingga keluaran y(τ) bagi τ T. (An unforced sysem is said o be observable if and only if, i is possible o deermine any (arbirary iniial) sae () = by using only a finie record, y(τ) for τ T, of he oupu.) Takrifan ini memerlukan keupayaan menenu keadaan awal idak kira di mana keadaan berada di ruang-keadaan. Jika hanya beberapa keadaan sahaja dan idak semua keadaan boleh dienukan, maka sisem iu idak bolehcerapan. Teorem kebolehcerapan algabar Sisem ak berubah masa anpa paksaan & = A dengan vekor cerapan y = C adalah bolehcerapan jika dan hanya jika, r(n) bagi mariks ujian kebolehcerapan k [ L ( ) ] N = C A C A C adalah sama dengan k, iaiu erib sisem. Ini bermakna mariks N pangka penuh. Conoh 4. Kaji sisem di dalam Conoh

28 N = [ C A C ( A ) C ( A ) C ] = Penenu N ialah = = = Oleh kerana penenu mariks ujian kebolehcerapan sifar, maka sisem ini idakbolehcerapan. 4-8