ALIRAN BENDALIR UNGGUL

Transcript

1 Bab 2 ALIRAN BENDALIR UNGGUL 2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir Untuk analisis matematik gerakan bendalir, dua pendekatan biasanya digunakan: 1. Kaedah Lagrangian (a) Kajian pola aliran SATU zarah individu (b) Laluan yang dijejaki oleh SATU zarah tersebut dikaji dengan teliti (c) Contohnya, kajian gerakan SEBUAH kenderaan menerusi jarak tertentu 2. Kaedah Eulerian (a) Kajian pola aliran SEMUA zarah secara serentak pada sesuatu keratan (b) Laluan yang dijejaki oleh SEMUA zarah di suatu keratan pada sesuatu masa dikaji dengan teliti (c) Contohnya, kajian SEMUA kenderaan di atas jalan di sesuatu lokasi (persimpangan lampu isyarat, misalnya) pada sesuatu ketika. Di dalam bidang Mekanik Bendalir, kaedah Eulerian sering digunakan kerana analisis matematiknya lebih mudah. Lagi pula, gerakan hanya SATU zarah tidak begitu penting. 2.2 Jenis-jenis Garisan Aliran Bendalir Garis Arus Garisan bayangan yang dilukis di dalam medan bendalir supaya tangen terhadapnya pada sebarang titik memberikan arah gerakan di titik tersebut, Rajah 2.1. Pertimbangkan satu zarah yang bergerak sepanjang satu garisarus, jarak ds, yang mempunyai komponen dx, dy dan dz sepanjang tiga paksi yang saling berserenjang. Dan katalah komponenkomponen vektor halaju V s sepanjang paksi-x, y dan z ialah u, v dan w. Masa yang 23

2 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 24 V s V s V s Rajah 2.1: Garisarus. diambil olehzarah untukbergeraksepanjangjarak ds diatasgarisarusdenganhalaju V s ialah t = ds V s yang sama dengan t = dx u = dy v = dz w Dengan itu persamaan kebezaan untuk garisarus boleh ditulis sebagai dx u = dy v = dz w (2.1) Sesuatu unsur bendalir yang dikelilingi oleh sejumlah garis arus yang membendung aliran dinamai tiub arus. Oleh kerana tiada gerakan bendalir yang memintas sesuatu garis arus, maka tiada bendalir yang dapat memasuki atau meninggalkan tiub arus, kecuali menerusi dua penghujungnya, A dan B di dalam Rajah 2.2. Jelas bahawa sesuatu tiub arus itu berkelakuan seperti sesuatu tiub pepejal Garis laluan Garis laluan ialah lokus satu zarah bendalir yang bergerak, iaitu satu lengkung yang dijejaki oleh satu zarah semasa gerakannya. Rajah 2.3 menunjukkan satu garisarus pada t 1 yang menunjukkan vektor halaju untuk zarah A dan B. Pada ketika t 2 dan t 3, zarah A ditunjukkan berada di kedudukan seterusnya. Garisan yang menyambungkan semua kedudukan ini mewakili garis laluan zarah A.

3 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 25 B A Rajah 2.2: Tiub arus Garis upaya atau Garis Sama-upaya Kehilangan turus (tenaga) zarah-zarah bendalir terjadi apabila zarah- zarah ini melewati garis-garis arus. Jika kita lukiskan garisan yang menyambungkan titik-titik yang mempunyai keupayaan yang sama di atas garis-garis arus yang bersebelahan, kita akan mendapat garis upaya atau garis sama-upaya, Rajah 2.4. Garisan AA, BB, CC dan DD ialah garisarusdan PP, QQ, RR danss pulaialah garis sama- upaya. Q R P S A B C D P' Q' R' S' D' C' B' A' Rajah 2.4: Garis upaya atau sama-upaya.

4 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 26 B Garisarus seketika pada t 1 A t2 = t1+ t A t3 = t2 + t A t 1 Garis laluan untuk zarah bendalir A Rajah 2.3: Garis laluan. 2.3 Jenis-jenis Aliran Bendalir Aliran Laminar& Aliran Gelora Setiap zarah di dalam aliran laminar mempunyai satu laluan yang tetap dan laluan-lauan zarah-zarah ini tidak saling memintas atau merentasi. Ia dikenali juga sebagai aliran garis arus. Setiap zarah bendalir di dalam aliran gelora pula tidak mempunyai laluan yang tetap dan laluan-laluan zarah-zarah ini saling memintas atau merentasi satu sama lain. Rajah 2.5: Aliran laminar dan aliran gelora Aliran Berputar & Aliran Nirputaran Zarah-zarah di dalam aliran berputar turut berputar di atas paksi masing-masing apabila mengalir, Rajah 2.6(a). Zarah-zarah di dalam aliran nirputaran tidak berputar di atas paksi masing-masing dan kekal dengan orientasi asal apabila mengalir, Rajah 2.6(b).

5 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 27 Rajah 2.6: Aliran berputar, dan aliran nirputaran. 2.4 Persamaan Keterusan 2-D Aliran Tak Likat y ( ρv) ρv+ dy y dy ρu ( ρu) ρu+ dx x ρv dx x Rajah 2.7: Aliran jisim menerusi suatu unsur bendalir. Pertimbangkan suatu unsur segiempat bendalir yang mempunyai tepian dx dan dy serta tebal b seperti di dalam Rajah 2.7. Halaju di dalam arah-x dan y ialah u dan v. Untuk arah-x, jisim bendalir yang tersimpan di dalam unsur bendalir seunit masa boleh didapati dengan menolak kadar aliran keluar daripada kadar aliran masuk: ρubdy [ ρu + (ρu) x dx ] bdy = (ρu) x bdxdy Begitu juga dengan bendalir yang tersimpan per unit masa di dalam arah-y, (ρv) bdxdy Hasil dari penyimpanan ini jisim di dalam unsur bendalir (ρb dx dy) sepatutnya bertambah sebanyak (ρb dx dy)/ t di dalam seunit masa. Dengan itu, persamaan berikut dipe-

6 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 28 rolehi: atau (ρu) x (ρv) (ρbdxdy) bdxdy bdxdy = t ρ t + (ρu) + (ρv) x = 0 (2.2) Persamaan(2.2) disebut persamaan keterusan. Persamaan ini boleh digunakan untuk aliran boleh mampat tak mantap. Bagi aliran mantap, sebutan pertama, iaitu ρ/ t, adalah sifar. Untuk aliran tak boleh mampat, ρ adalah malar, jadi persamaan berikut diperolehi: u x + v = 0 (2.3) Persamaan (2.3) digunakan untuk aliran mantap dan tak boleh mampat. 2.5 Persamaan Momentum 2-D Aliran Tak Likat y p p+ dy y dy p p p+ dx x p dx x Rajah 2.8: Imbangan daya tekanan ke atas unsur bendalir Pertimbangkan daya yang bertindak ke atas suatu unsur kecil bendalir, Rajah 2.8. Oleh kerana bendalir ini adalah bendalir unggul, tiada daya likat yang bertindak. Jadi, menerusi hukum gerakan kedua Newton, jumlahan daya-daya yang bertindak ke atas unsur ini di dalam sebarang arah mestilah mengimbangi daya inersia di dalam arah yang sama. Tekanan yang bertindak ke atas unsur kecil bendalir, dx dy ditunjukkan di dalam Rajah 2.8. Di samping itu, dengan mengambilkira daya jasad dan menganggap bahawa jumlahan kedua-dua daya ini (iaitu daya tekanan dan daya jasad) sama dengan daya

7 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 29 inersia, persamaan gerakan untuk kes ini boleh diperolehi seperti berikut: ( u u u ) ρ +u +v t x } {{ } daya inersia ( v v v ) ρ +u +v t x } {{ } daya inersia = ρx p x = ρy p (2.4a) (2.4b) Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya telah dikeluarkan dalam bentuk ini ia lebih dikenali sebagai persamaan gerakan Euler untuk dua dimensi. Bagi aliran mantap, jika daya jasad diabaikan, maka untuk seunit jisim bendalir: dengan ( ρ u u x ( ρ u v x a x = u ) +v v ) +v ( u u x = p x = p u ) +v = pecutan dalam arah-x (2.5a) (2.5b) dan a y = ( u v x v ) +v = pecutan dalam arah-y Di dalam aliran bendalir dua dimensi, tiga kuantiti perlu diketahui, iaitu u, v dan p, sebagaifungsi x, y dan t: u = u(x,y,t) v = v(x,y,t) p = p(x,y,t) Jika halaju-halaju u dan v diketahui, tekanan, p, boleh dikira menerusi persamaan (2.4) atau (2.5). Bagaimanapun, oleh kerana sebutan pecutan (iaitu sebutan inersia) tidak linear, penyelesaian analitikal menjadi sukar dan hanya terhad kepada beberapa kes mudah sahaja. Biasanya, bagi aliran unggul persamaan keterusan (2.3) dan persamaan gerakan Euler (2.4) atau (2.5) diselesaikan bagi keadaan-keadaan awal dan keadaan-keadaan sempadan yang tertentu.

8 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 30 Peralihan Peralihan Putaran Putaran Herotan Sudut, Herotan Sudut, tanpa tanpa putaran putaran Herotan Isipadu Herotan Isipadu Rajah 2.9: Gerakan-gerakan unsur bendalir. 2.6 Vortisiti Aliran unggul membezakan di antara aliran berputar dan aliran tak berputar(atau nirputaran). Umumnya terdapat dua jenis gerakan: peralihan (translation) dan putaran (rotation). Kedua-duanya boleh wujud tersendiri atau serentak(gerakan peralihan bertindihan dengan dengan gerakan putaran atau sebaliknya). Sekiranya sesuatu unsur pepejal dapat diwakili oleh satu segi empat tepat maka peralihan tulen atau putaran tulen boleh diwakili oleh Rajah 2.9. Sekiranya kita mengambil segi empat tepat tadi sebagai mewakili bendalir, di samping dua gerakan tadi, ia juga boleh berubah bentuk: linear atau sudut, Rajah 2.9. y udt u dydt a' β dy a vdt A' α β α b' v dxdt y A dx b x Rajah 2.10: Putaran, peralihan dan herotan.

9 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 31 Daripada Rajah 2.10, kadar purata putaran dalam masa dt ialah ω = α + β 2 1 dt = 1 α + β 2 dt tetapi, untuk nilai-nilai kecil, dan mengambil putaran melawan arah jam sebagai positif, dan α = lengkok jejari β = lengkok jejari = v x dx dt 1 dx = v x dt = u dy dt 1 dy = u dt Dengan menggantikan ungkapan untuk α dan β di atas ke dalam persamaan (2.6), maka kadar putaran sekitar paksi-z ialah ω z = 1 ( ) v u 1 dt 2 x dt dt = 1 ( v 2 x u ) (2.7a) } {{ } vortisiti, ζ z Putaran unsur bendalir sekitar dua paksi yang lain boleh ditemui menerusi kaedah yang sama. Untuk paksi-y ω y = 1 ( u 2 z w ) (2.7b) x } {{ } vortisiti, ζ y (2.6) dan untuk paksi-x ω x = 1 ( w 2 v ) z } {{ } vortisiti, ζ x Ungkapan di dalam kurungan, ( w v ) = ζ x z ( u z w ) = ζ y x ( v x u ) = ζ z disebut vortisiti, ζ; ζ x = 2ω x ζ y = 2ω y (2.7c) (2.8) (2.9) ζ z = 2ω z dengan ω adalah halaju sudut unsur-unsur bendalir sekitar pusat jisim di dalam sesuatu satah (xy, xz atau yz).

10 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL Penentuan Aliran Berputar atau Sebaliknya Ungkapan untuk vortisiti, persamaan (2.8), diperolehi dengan menganggap bahawa gerakan putaran unsur bendalir wujud dan bertindihan di atas gerakan peralihan. Aliran sedemikian disebut aliran berputar dan ζ = v x u 0 (2.10) Daripada sini, kita boleh menyimpulkan bahawa bagi aliran tanpa putaran, atau nirputaran, persamaan (2.8), dan dengan itu vortisiti, mestilah bernilai sifar. Oleh itu, jika gerakan zarah-zarah hanyalah semata-mata gerakan peralihan dan herotannya pula simetrikal, aliran ini disebut aliran nirputaran dan keadaan yang mesti dipatuhinya ialah; ζ = v x u = 0 (2.11) 2.8 Edaran Pertimbangkan unsur bendalir ABCD dalam gerakan putaran, Rajah y u u+ dy y B C dy v Arah kamilan v v+ dx x A u D dx x Rajah 2.11: Edaran. Oleh kerana unsur bendalir ini berputar, terjadi halaju pinggiran hasilan. Bagaimanapun, pusat putaran ini tidak diketahui jadi lebih mudah jika kita mengaitkan putaran ini dengan jumlahan hasil darab halaju dengan jarak sekeliling kontur unsur bendalir. Jumlahan hasil darab ini disebut edaran Γ = v s ds (2.12)

11 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 33 yang lazimnya dianggap positif dalam arah melawan jam. Dengan itu, untuk unsur ABCD, bermula daripada sisi AD, ( Γ ABCD = udx + v + v ) x dy dy ( u + u ) dy dx vdy = v u dxdy x dydx ( v = x u ) dxdy tetapi untuk aliran 2-D dalam satah-xy, ( v x u ) = ζ z iaitu vortisiti unsur ABCD sekitar paksi-z, ζ z. Hasil darab (dxdy) pula ialah luas unsur da. Dengan itu ( v Γ ABCD = x u ) dxdy = ζ z da 2.9 Keupayaan Halaju Keupayaan halaju, φ, adalah suatu kuantiti skalar yang bergantung kepada ruang dan masa; φ = v s ds denganv s ialahhalajusepanjangsuatujarakds. Daripadatakrifdiatas,kitamemperolehi dφ = v s ds atau v s = dφ ds Tanda negatif muncul kerana kelaziman bahawa keupayaan halaju susut dalam arah aliran. Keupayaan halaju bukanlah suatu kuantiti fizikal yang boleh diukur dengan mudah; oleh yang demikian kedudukan nilai sifarnya boleh dipilih secara rambang. Hasil bezaan keupayaan halaju terhadap sesuatu arah memberikan halaju dalam arah tersebut, iaitu untuk koordinat Cartesan (x, y, z); u = φ x ; v = φ ; w = φ z (2.13)

12 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 34 Bagi sistem koordinat kutub(r, θ, z), komponen halaju diberikan oleh v r = φ r ; v θ = 1 φ r θ ; v z = φ z (2.14) Daripada persamaan (2.13) u = 2 φ x yang menghasilkan: dan v x = 2 φ x v x u = 0 (2.15) Umumnya, hasil kebezaan keseluruhan bagi fungsi φ di dalam dua dimensi diperolehi menerusi pembezaan separa dφ = φ φ dx + dy (2.16) x dan menerusi persamaan (2.13) dφ = udx vdy = (udx +vdy) (2.17) Kesannya, apabila fungsi φ telah diperolehi, pembezaan φ dengan x dan y memberikan halaju-halaju u dan v dan dengan itu pola aliran ditemui. Suatu garisan yang sepanjang-panjangnya mempunyai nilai φ yang malar dinamai garisan sama upaya, dan di atas garisan ini arah halaju bendalir adalah berserenjang dengannya. Sementara itu, persamaan keterusan untuk aliran mantap tak boleh mampat dalam dua dimensi yang diberikan oleh persamaan (2.3) u x + v = 0 boleh ditulis dalam sebutan φ sebagai 2 φ x φ 2 = 0 (2.18) Persamaan (2.18) dikenali sebagai persamaan Laplace. Perlu diingatkan bahawa pola aliran upaya ditentukan hanya oleh hubungan keterusan (iaitu persamaan (2.3) atau persamaan (2.18)); hubungan momentum (iaitu persamaan (2.4) atau (2.5)) cuma digunakan untuk menentukan tekanan.

13 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL Fungsi Arus dan Kadar Aliran Fungsi arus, Rajah 2.12, adalah satu fungsi yang menghurai bentuk pola aliran. Ia juga mewakili luahan atau kadar aliran seunit tebal. Secara matematik: ψ = f(x,y) (2.19) dengan u = komponenhalaju dititikpdalam arah-x v = komponenhalaju dititikpdalam arah-y ψ = fungsiarusdititikp Pertimbangkan satu lagi garis arus sejauh dy di dalam arah-y dan dx di dalam arah-x, Rajah Fungsiarus untukgarisarus iniialah ψ +dψ. y ψ + dψ ψ u dy P dx v x Rajah 2.12: Fungsi arus. Kadar aliran (seunit tebal) merentasi dy diberikan oleh: dψ = udy u = dψ dy (2.20a) sementara kadar aliran (seunit tebal) merentasi dx pula ialah: dψ = vdx v = dψ dx (2.20b) Apabila komponen-komponen halaju ditakrif dalam sebutan fungsi arus kita tahu bahawa pengabadian jisim telah dipatuhi. Walaupun kita masih belum mengetahui apakah fungsi ψ(x, y) untuk sesuatu masalah, tetapi sekurang-kurangnya kita telah memudahkan analisis dengan hanya perlu menentukan satu fungsi anu, iaitu ψ(x, y), sebagai ganti duafungsi, u(x,y) dan v(x,y).

14 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 36 Di samping itu garisan yang di sepanjangnya nilai ψ adalah malar dinamai garisarus dan kecerunan di sebarang titik sepanjang sesuatu garisarus diberikan oleh persamaan garisarus dy dx = v u udy vdx = 0 (2.21) Gantikan u dan v kedalam persamaan diatas ψ ψ dy + dx = 0 (2.22) x dψ = 0 Ini menunjukkan bahawa luahan di antara dua garis arus adalah malar dan diberikan oleh perbezaan di antara kedua-dua fungsi arus tersebut, iaitu dψ. Dalamkoordinatsilinder,komponenhalaju,v r danv θ,dihubungkandenganfungsiarus, ψ(x, y), menerusi persamaan v r = 1 r ψ θ ; v θ = ψ r (2.23) dengan v r positif mengarah keluar daripada asalan dan v θ positif dalam arah melawan jam. Konsep fungsi arus boleh digunakan untuk aliran simetri sepaksi(seperti aliran di dalam paip atau aliran di sekeliling jasad yang berputar) dan aliran boleh mampat dua dimensi. Konsep ini, bagaimanapun, TIDAK boleh digunakan untuk aliran tiga dimensi Hubungan di Antara Fungsi Arus dan Keupayaan Halaju Oleh kerana setiap komponen halaju boleh diungkapkan dalam sebutan φ dan ψ, wujud hubungan diantara φ dan ψ. u = φ x = ψ v = φ = ψ x Dengan itu ψ = φ x ψ x = φ (2.24) Persamaan (2.24) dikenali sebagai keadaan-keadaan Cauchy-Riemann. Hasil bezaan keseluruhan ψ(x, y) ialah dψ = ψ ψ dx + x dy = vdx +udy

15 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 37 dan kita juga mengetahui bahawa untuk setiap garisarus dψ = 0; dengan itu dy dx = v u (2.25) Hasil bezaan keseluruhan keupayaan halaju, φ(x, y), pula ialah dφ = φ φ dx + x dy = udx vdy Bagi setiap garisan sama-upaya φ adalah malar dan dengan itu dφ = 0. Jadi untuk garisan sama-upaya dy dx = u v (2.26) Daripada persamaan (2.25) dan (2.26) kita boleh melihat bahawa garisan sama-upaya (φ yang malar) dan garisarus(ψ yang malar) memintas satu sama lain secara ortogon. Oleh itu garis sama-upaya dan garisarus membentuk jaringan garisan-garisan yang saling berserenjang yang dikenali sebagai jaringan aliran, Rajah Rajah 2.13: Jaringan aliran, Massey(1983) Beberapa Pola Asas Aliran Aliran garis lurus Pola aliran termudah ialah aliran yang garisarusnya lurus, Rajah 2.14 Kelaziman yang digunakan untuk menomborkan garisarus ialah fungsi arus dianggap bertambah ke kiri pemerhati yang memandang ke arus hilir. Jika halaju aliran V condong

16 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 38 padasudut α kepaksi-x, makakomponendalam arah-x dan y diberikan oleh u = Vcos α v = Vsin α (2.27) Fungsi aliran diperolehi dengan menggantikan u dan v di atas ke dalam persamaan dψ = ψ ψ dx + x dy = vdx +udy = udy vdx yang menjadi ψ = Vcos αdy Vsin αdx +pemalar (2.28) y ψ 6 ψ 5 ψ 4 ψ 3 ψ 2 ψ 1 ψ 0 α V x Rajah 2.14: Aliran garis lurus. OlehkeranadidalamaliranseragamV = pemalardandidalamalirangarislurus αjuga turut malar, ungkapan untuk fungsi arus menjadi ψ = Vycos α Vxsin α +pemalar (2.29) Pemalarkamilanbolehdijadikansifardenganmemilihsupayagarisarusrujukan, ψ 0 = 0, melalui asalan. Jadi, apabila x = 0 dan y = 0 fungsiarus ψ = ψ 0 = 0. Dengan itu ψ = V(ycos α xsin α) (2.30) Oleh kerana u dan v malar maka u/ dan v/ x adalah sifar, oleh yang demikian aliran adalah aliran nirputaran.

17 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 39 Keupayaan halaju diperolehi menerusi persamaan (2.16) dan (2.17) dφ = φ φ dx + dy = (udx +vdy) x Dengan itu, menerusi gantian dan kamilan, ( ) φ = Vcos αdx + Vsin αdy +pemalar tetapijika φ = φ 0 = 0 di x = 0dan y = 0, maka φ = V (xcos α +ysin α) (2.31) Aliran daripada sumber atau punca Sumber ialah suatu titik yang darinya terpancar bendalir keluar secara sekata dalam semua arah, Rajah Rajah 2.15: Aliran sumber. Bagi aliran dua dimensi, kekuatan sesuatu sumber, m, adalah ukuran jumlah kadar aliran isipadu bendalir seunit tebal yang berpunca daripada sumber tersebut. Oleh kerana halaju secara keseluruhannya dalam arah jejari, maka untuk seunit tebal, halaju v pada jejari r diberikan oleh Kadar aliran isipadu Luasyangberseranjangkehalaju = m 2πr Untuk aliran daripada suatu sumber di asalan, halaju tangen v t = ψ r = 0

18 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 40 sementara halaju jejari yang menghala keluar ( ) ψ v r = = m r θ 2πr Oleh itu ψ = m 2π θ (2.32) dengan θ dalam ukuranradian dandiambil dalam julat 0 θ < 2π. Juga φ r = v r = m 2πr dan φ r θ = v t = 0 Dengan itu φ = m 2π ln ( r C ) (2.33) Garis-garis arus adalah garis yang θ nya malar, iaitu garisan jejari. Untuk aliran nirputaran, garisan φ adalah bulatan sepusat Aliran ke sinki Lawan sumber ialah sinki yang merupakan suatu titik yang menjadi pusat tumpuan aliran bendalir dan bendalir di titik ini sentiasa di keluarkan. Kekuatan sinki dianggap negatif dan ungkapan untuk halaju dan fungsi ψ serta φ adalah sama seperti aliran sumber Vorteks nirputaran atau bebas Pola aliran yang garis-garis arusnya berbentuk bulatan sepusat dikenali sebagai vorteks bulat satah. Zarah-zarah yang bergerak dalam bulatan sepusat ini mungkin berputar di atas paksinya sendiri atau mungkin tidak. Jika zarah-zarah ini tidak berputar di atas paksinya sendiri, vorteks ini dikenali sebagai vorteks bebas atau vorteks nirputaran. Rajah 2.16 menunjukkan suatu unsur di dalam medan vorteks bebas yang dibendung oleh dua garis arus dan dua jejari. Halaju v dan v + dv dianggap positif dalam arah melawan jam. Halaju yang berserenjang terhadap adalah sifar. Edaran Γ (positif dalam arah lawan jam) sekitar unsur ini ialah Γ = (v +dv)(r +dr)dθ vrdθ = (Rdv +vdr)dθ

19 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 41 Rajah 2.16: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas. dengan magnitud-magnitud kecil order tinggi diabaikan. Vortisiti diberikan oleh ζ = Edaran Luas = (Rdv +vdr)dθ RdθdR = v R + dv dr = v R + v R : apabila dr 0 (2.34) dengan R mewakili jejari kelengkungan garis arus, bukannya koordinat kutub. Untuk aliran nirputaran ζ = v R + v R = 0 (2.35) Halaju adalah malar sepanjang garis arus dan berubah hanya dengan R, jadi dv dr = v R yang boleh dikamil untuk memberikan vr = pemalar (2.36) Edaran sekitar satu litar yang sepadan dengan suatu garis arus vorteks bebas diberikan sebagai Γ = v 2πR Oleh kerana vr = pemalar, edaran juga turut malar bagi keseluruhan vorteks. Aliran vorteks bebas adalah nirputaran di semua bahagian kecuali pusatnya, yang mempunyai teras berputar dan vortisi yang bukan sifar. Jadi di pusat vorteks bebas, persamaan(2.36) tidak sah digunakan.

20 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 42 Dalam vorteks bulat dua dimensi, halaju adalah keseluruhannya dalam arah tangen. Bagi vorteks yang berpusat di asalan koordinat ψ ψ ψ = r dr + θ dθ = vdr +0 Γ = 2πr dr = Γ ( ) r 2π ln (2.37) r 0 denganr 0 mewakilijejari pada ψ = 0. Pemalar Γ dikenalisebagaikekuatan vorteks. Pertimbangkan satu unsur kecil bendalir di antara dua garis arus, Rajah 2.17, di dalam medan aliran mantap. Rajah 2.17: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas. Di jejari R daripada pusat kelengkungan tekanannya ialah p, sementara di jejari R + dr pula ialah p + dp. Tujahan bersih (seunit ketebalan) ke atas unsur, menghala ke pusat kelengkungan, ialah (p +dp)(r +dr)dθ ( prdθ 2 p + dp ) drsin dθ 2 2 Dengan mengabaikan sebutan-sebutan kecil order tinggi, tujahan bersih ini dipermudahkan menjadi Rdpdθ. Komponen berat unsur yang bertindak sepanjang jejari dan menghala keluar ialah RdθdR ρg dz dr = Rρgdθdz dengan dz ialah unjuran tegak dr supaya lengkok cos(dz/dr) membentuk sudut di antara jejaridan arah tegak. Oleh itu jumlah dayayangbertindakkedalam ialah Rdpdθ +Rρgdθdz = Jisim Pecutanmemusar = ρrdθdr v2 R

21 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 43 Bahagikan dengan Rρg dθ dp v2 dr +dz = ρg R g (2.38) Teorem Bernoulli untuk aliran mantap bendalir tanpa geseran memberikan p ρg + v2 2g +z = H dengan H adalah turus yang malar sepanjang sesuatu garis arus(walaupun nilai ini berubah dari satu garis arus ke garis arus yang lain). Kebezakan persamaan di atas dp ρg + 2vdv +dz = dh (2.39) 2g Gabungkan persamaan (2.38) dan(2.39) dh = vdv g + v2 dr Rg = v ( dv g dr + v ) dr R Tetapi vdr = dψ, dan daripada persamaan (2.34), Oleh itu dv dr + v R = ζ dh = ζ dψ g (2.40) Vorteks berputar atau paksa Gerakan bendalir vorteks paksa diperolehi apabila bendalir di paksa berputar seperti suatu jasad pejal sekitar suatu pusat. Oleh kerana daya kilas luar diperlukan bagi memulakan gerakan, sebutan vorteks paksa digunakan. Halaju di jejari R dari pusat putaran diberikan oleh ωr, dengan ω mewakili halaju sudut yang seragam. Gantian v = ωr ke dalam persamaan aliran mantap (2.38) memberikan dp ρg +dz = ω2 R dr g Kamilkan persamaan di atas p ρg = ω2 R 2 2g +pemalar iaitu p = ρω2 R pemalar (2.41)

22 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 44 dengan p = p + ρgz. Persamaan (2.41) menunjukkan bahawa p bertambah dengan jejari R. Bendalir boleh dibekalkan di pusat sesuatu vorteks paksa dan kemudiannya diluah keluar di susurkeliling pada tekanan yang lebih tinggi. Prinsip ini merupakan asas pam empar. Jika suatu vorteks paksa dihasilkan di dalam bendalir yang mengisi bekas terbuka atau terdedah kepada atmosfera, tekanan di permukaan bebas bendalir adalah atmosfera dan dengan itu malar nilainya. Oleh yang demikian, permukaan bebas z = ω2 R 2 2g +pemalar Jika z = z 0 apabila R = 0, maka z z 0 = ω2 R 2 2g iaitu persamaan permukaan yang berbentuk paraboloid perkisaran, Rajah 2.18, dengan R bersuduttepatkepaksiputaran z. Rajah 2.18: Vorteks paksa sekitar paksi tegak terbentuk di dalam cecair yang mengisi bekas terbuka, Massey(1983) Gabungan Beberapa Pola Asas Aliran Aliran Garis Lurus Seragam dan Sumber Ambil suatu sumber dengan kekuatan m di asalan koordinat dan gabungkan pola aliran inidenganaliran seragamdenganhalaju U yangselaridengangarisan θ = 0. Gabungan pola garis arus ditunjukkan di dalam Rajah 2.19.

23 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 45 Rajah 2.19: Gabungan aliran garis lurus dan sumber, Massey(1983). Halaju daripada sumber, m/(2πr), yang menghala keluar susut dengan bertambahnya jejari. Jadi di suatu titik di kiri O, halaju ini akan mencapai nilai yang sama, tetapi berlawanan arah, dengan halaju arus seragam, U; menjadikan halaju gabungan di titik ini sifar. Titik ini dinamai titik genangan. Di titik ini m 2πr = U = r = m 2πU Bendalir yang keluar daripada sumber tidak berdaya bergerak melepasi S, dan seterusnyamencapah daripadapaksi θ = π dan seterusnyadibawaarus kekanan. Dengan mencampurkan fungsi arus untuk aliran seragam dan fungsi arus untuk sumber, kita memperolehi aliran gabungan sebagai ( ψ = Uy + mθ ) 2π = Ursin θ mθ 2π Di titik genangan, y = 0 dan θ = π; dengan itu nilai ψ di situ ialah m/2 yang mesti malar sepanjang garis arus yang sepadan dengan kontor jasad. Kontor ini ditakrif oleh rumus Uy mθ 2π = m 2 dan mengunjur ke nilai tak terhingga ke kanan, dengan nilai asimptot y diberikan oleh m/2u apabila θ 0atau m/2u apabila θ 2π. Komponen halaju di sebarang titik di dalam aliran diberikan oleh v t = ψ r = Usin θ v r = ψ r θ = +Ucos θ + m 2πr

24 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 46 Jasad yang kontornya terbentuk oleh gabungan aliran garislurus linear dengan suatu sumber begini dikenali sebagai separuh jasad Gabungan sumber dan sinki yang setanding kekuatan Rajah 2.20: Gabungan sumber, A, dan sinki, B, yang setanding kekuatan, Massey(1983). Jika kekuatan sumber di A ialah m dan kekuatan sinki di B pula ialah m, maka fungsi arus aliran gabungan ialah ψ = mθ 1 2π + mθ 2 2π = m 2π (θ 2 θ 1 ) (2.42) Untuk sebarang titik P di dalam medan aliran, θ 2 θ 1 = APB Garisan-garisan yang ψ nya malar (iaitu garis-garis arus) dengan itu melengkung sepanjang lengkung yang APB malar, iaitu lengkok bulat dengan AB sebagai perentas asas. Jika A beradadi ( b,0) dan B di (b,0) maka tan θ 1 = y x +b dan tan θ 2 = y x b Oleh itu tan(θ 2 θ 1 ) = tan θ 2 tan θ 1 1 +tan θ 2 tan θ 1 y/(x b) y/(x +b) = 1 + [y 2 /(x 2 b 2 )] 2by = x 2 b 2 +y 2

25 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 47 dan daripada persamaan (2.42), dengan ψ = m 2π arctan ( 0 < arctan ( π arctan 2by x 2 b 2 +y 2 (2.43) 2by ) x 2 b 2 +y 2 π untuk y > 0 2by ) x 2 b 2 +y 2 0 untuk y < Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran garis lurus Rajah 2.21: Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran garis lurus, Massey(1983). Aliran seragam mengalir dengan halaju U yang selari dengan garisan θ = 0. Fungsi arus gabungan yang terhasil ialah ψ = Uy + m 2π (θ 2 θ 1 ) = Uy + m 2π arctan 2by x 2 b 2 +y 2 Dengan sumber di kiri asalan, suatu titik genangan dijangkakan di hulu sumber, dan titik genangan kedua di hilir sinki. Jika titik genangan berada di jarak s dari O sepanjang paksi-x, halaju gabungan di situ ialah U dengan itu s = ±b m 2π(s b) + m 2π(s +b) = m πub

26 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 48 Di titik-titik genangan, y = 0 dan θ 2 θ 1 = 0 jadi ψ = 0, iaitu kesemua titik ini berada di atas garisan ψ = 0 yang simetrikal sekitar kedua-dua paksi, rujuk Rajah Garisan ψ = 0 ini selalunya dikenali sebagai oval Rankine, mengambil sempena nama W. J. M. Rankine ( ) yang merupakan penyelidik pertama membangunkan teknik menggabung pola-pola aliran Kembar Jikasumberdansinkididalam Rajah 2.20didekatkantetapihasildarab m 2b dikekalkan malar dan terhingga nilainya, pola yang terhasil dikenali sebagai kembar atau dwipola. Sudut APB menjadi sifar dan garis-garis arus menjadi bulatan yang tangen ke paksi-x. Dari persamaan (2.43), apabila 2b 0, ψ m ( 2by ) 2π x 2 b 2 +y 2 Cy x 2 +y 2 = Crsin θ r 2 = Csin θ r denganr dan θ adalah koodinatkutubdan C = pemalar = mb π Kembar dan Aliran Garis lurus Seragam (2.44) Rajah 2.22: Kembar dan aliran garis lurus seragam, Massey(1983). Jika suatu kembar di asalan dengan paksi x negatifnya digabungkan dengan aliran garislurus seragam dalam arah x positif, fungsi arus paduan ialah ψ = Uy + Csin θ r = Ursin θ + Csin θ r (2.45)

27 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 49 Apabila sumber dan sinki bersatu untuk membentuk kembar, oval Rankine menjadi suatu bulatan. Persamaan (2.45) menunjukkan bahawa garisarus ψ = 0 ditemui apabila θ = 0, θ = π atau C = Ur 2. Sepanjang paksi-x, ψ = 0dan r = C U = pemalar Dengan C U = a2 (2.46) persamaan (2.45) menjadi ψ = U (r a2 ) sin θ (2.47) r Halaju aliran gabungan ini diberikan oleh v r = 1 ψ ( r θ = U 1 a2 ) r 2 cos θ v t = ψ ( r = U 1 + a2 ) r 2 sin θ