Kalkulus Multivariabel I

Transcript

1 Fungsi Dua Peubah atau Lebih dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015

2 dengan Dua Peubah Real

3 dengan Dua Peubah Real Pada fungsi satu peubah f : D R R D adalah daerah asal (domain) suatu fungsi yang merupakan himpunan bagian dari R. Grafik fungsi f = {(x, y) y = f (x), x D f } berupa himpunan titik di R 2, berbentuk garis (lurus atau lengkung).

4 Contoh: Fungsi dengan Dua Peubah atau Lebih f (x) = x 2 + 5x + 6 dengan D f = {x : 5,..., 5}, maka dengan Dua Peubah Real

5 dengan Dua Peubah Real dengan Dua Peubah Real

6 dengan Dua Peubah Real Pada fungsi dua peubah f : D R 2 R D adalah daerah asal (domain) dari suatu fungsi yang merupakan himpunan bagian dari R 2 dan daerah hasilnya berupa himpunan nilai R. Grafik fungsi f = {(x, y, z) z = f (x, y), (x, y) D f } berupa himpunan di R 3, berbentuk luasan.

7 dengan Dua Peubah Real Contoh: Perhatikan! f (x, y) = 2x y 2 (1) g(x, y) = 2x y (2) f ( 1, 4) = 2( 1) 4 2 = 18 g( 1, 4) = 2( 1) 4 = 4

8 dengan Dua Peubah Real Grafik Fungsi f (x, y)

9 dengan Dua Peubah Real Grafik Fungsi g(x, y)

10 dengan Dua Peubah Real Himpunan D disebut daerah asal atau domain suatu fungsi. Jika tidak dinyatakan secara spesifik, maka D dinyatakan sebagai daerah asal alami (natural domain), yaitu himpunan seluruh titik (x, y) pada suatu bidang di mana fungsi tersebut masuk akal dan menghasilkan nilai bilangan real. 1 Untuk f (x, y) = 2x y 2 daerah asal alaminya adalah semua bilangan real 2 Untuk f (x, y) = 2x y daerah asal alaminya adalah D f = {(x, y) : x R, y 0}

11 dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan daerah asal alami dari fungsi 1 f (x, y) = x 2 +y 2 25 x

12 dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan daerah asal alami dari fungsi 1 f (x, y) = x 2 +y 2 25 x Solusi: Domain dari f adalah semua pasangan (x, y) yang memenuhi x 2 + y 2 25 dan x 0.

13 dengan Dua Peubah Real 2 f (x, y) = y x 2 x 2 +(y 1) 2

14 dengan Dua Peubah Real 2 f (x, y) = y x 2 x 2 +(y 1) 2 Solusi: Domain dari f adalah semua pasangan (x, y) yang memenuhi y x 2 dan (x, y) (0, 1).

15 dengan Dua Peubah Real 3. g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 16

16 dengan Dua Peubah Real 3. g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 16 Solusi: Domain dari g(x, y, z) adalah semua (x, y, z) yang memenuhi x 2 + y 2 + z 2 16.

17 dengan Dua Peubah Real Grafik fungsi dua peubah merupakan grafik fungsi z = f (x, y). Grafik ini berupa permukaan. Karena masing-masing (x, y) hanya berhubungan dengan satu nilai z, maka setiap garis yang tegak lurus terhadap bidang xy akan hanya memotong permukaan di satu titik.

18 dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan domain dan range dari fungsi berikut kemudian sketsakan grafiknya. z = f (x, y) = 25 x 2 y 2

19 dengan Dua Peubah Real Domainnya adalah himpunan titik-titik (x, y) yang memenuhi x 2 + y 2 25, sedangkan rangenya adalah 0 z 5 karena semua nilai di dalam akar yang mungkin adalah bervariasi antara 0 dan 25.

20 dengan Dua Peubah Real Perhatikan jejak permukaan z = f (x, y) = 25 x 2 y 2 dengan bidang koordinat dengan bidang xy (z = 0): x 2 + y 2 = 25 dengan bidang yz (x = 0): y 2 + z 2 = 25 dengan bidang xz (y = 0): x 2 + z 2 = 25 untuk z = 3 3 = 25 x 2 y 2 atau x 2 + y 2 = 16, jadi pada bidang z = 3 yang sejajar dengan bidag xy, jejak berupa lingkaran yang berpusat di (0, 0, 3) dengan jari-jari 4 untuk z = 4 4 = 25 x 2 y 2 atau x 2 + y 2 = 9, jadi pada bidang z = 4 yang sejajar dengan bidag xy, jejak berupa lingkaran yang berpusat di (0, 0, 4) dengan jari-jari 3

21 dengan Dua Peubah Real Sehingga diperoleh grafik

22 Fungsi dengan Dua Peubah atau Lebih dengan Dua Peubah Real Sumber: Kalkulus Lanjut; Fungsi Skalar, Koko Martono

23 dengan Dua Peubah Real Turunan parsial dari fungsi z = f (x, y) terhadap x (y dianggap konstan), dinotasikan f x, f x, atau z x yaitu f x = lim f (x + h, y) f (x, y) h 0 h Turunan parsial dari fungsi z = f (x, y) terhadap y (x dianggap konstan), dinotasikan f y, f y, atau z y yaitu f y = lim f (x, y + h) f (x, y) h 0 h

24 dengan Dua Peubah Real Contoh: 1. Jika z = 2x 3 x 2 y 3 + 3y 2, carilah f x (1, 2) dan f y (1, 2).

25 dengan Dua Peubah Real Contoh: 1. Jika z = 2x 3 x 2 y 3 + 3y 2, carilah f x (1, 2) dan f y (1, 2). Penyelesaian:

26 dengan Dua Peubah Real Contoh: 1. Jika z = 2x 3 x 2 y 3 + 3y 2, carilah f x (1, 2) dan f y (1, 2). Penyelesaian: f x (x, y) = 6x 2 2xy 3 f x (1, 2) = 6(1 2 ) 2(1)(2 3 ) = 10 f y (x, y) = 3x 2 y 2 + 6y f y (1, 2) = 3(1 2 )(2 2 ) + 6(2) = 0

27 dengan Dua Peubah Real 2. Jika z = x 2 sin (xy 2 ), tentukan z x dan z y.

28 dengan Dua Peubah Real 2. Jika z = x 2 sin (xy 2 ), tentukan z x Penyelesaian: dan z y.

29 dengan Dua Peubah Real 2. Jika z = x 2 sin (xy 2 ), tentukan z x Penyelesaian: dan z y. z x = 2x sin (xy 2 ) + x 2 cos (xy 2 ) (y 2 ) = 2x sin (xy 2 ) + x 2 y 2 cos (xy 2 ) z y = x 2 cos (xy 2 ) (2xy) = 2x 3 y cos (xy 2 )

30 dengan Dua Peubah Real 3. Volume gas tertentu berhubungan dengan suhu T dan tekanan P-nya berdasarkan hukum gas PV = 10T, di mana V diukur dalam satuan inci kubik, P dalam satuan pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat Kelvin (K). Jika V dijaga agar tetap konstan pada nilai 50, berapakah laju perubahan tekanan terhadap suhu ketika T = 200?

31 dengan Dua Peubah Real 3. Volume gas tertentu berhubungan dengan suhu T dan tekanan P-nya berdasarkan hukum gas PV = 10T, di mana V diukur dalam satuan inci kubik, P dalam satuan pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat Kelvin (K). Jika V dijaga agar tetap konstan pada nilai 50, berapakah laju perubahan tekanan terhadap suhu ketika T = 200? Penyelesaian:

32 dengan Dua Peubah Real 3. Volume gas tertentu berhubungan dengan suhu T dan tekanan P-nya berdasarkan hukum gas PV = 10T, di mana V diukur dalam satuan inci kubik, P dalam satuan pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat Kelvin (K). Jika V dijaga agar tetap konstan pada nilai 50, berapakah laju perubahan tekanan terhadap suhu ketika T = 200? Penyelesaian: Karena P = 10T P V, maka T = 10 V, jadi P T T =200,V =50 = = 1 5

33 yang Lebih Tinggi dengan Dua Peubah Real Jika f adalah fungsi dua peubah, maka turunan parsialnya f x dan f y juga fungsi dua peubah, sehingga kita dapat menghitung turunan parsial kedua dari f. Jika z = f (x, y), kita gunakan notasi: (f x ) x = f xx = x (f x ) y = f xy = y (f y ) x = f yx = x (f y ) y = f yy = y ( ) f x ( ) f x ( ) f y ( ) f y = 2 f x 2 = 2 f y x = 2 f x y = 2 f y 2

34 dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan empat turunan parsial kedua dari f (x, y) = xe y sin (x/y) + x 3 y 2

35 dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan empat turunan parsial kedua dari f (x, y) = xe y sin (x/y) + x 3 y 2 Penyelesaian:

36 dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan empat turunan parsial kedua dari f (x, y) = xe y sin (x/y) + x 3 y 2 Penyelesaian: f x = e y 1 y cos (x/y) + 3x 2 y 2 f y = xe y + x y 2 cos (x/y) + 2x 3 y

37 dengan Dua Peubah Real f xx = 1 2 sin (x/y) + 6xy y 2 f yy = xe y + x 2 2x 3 sin (x/y) cos (x/y) + 2x y 4 y 3 f xy = f yx = e y x 1 sin (x/y) + y 3 y 2 cos (x/y) + 6x 2 y

38 Fungsi dengan Lebih dari Dua Peubah dengan Dua Peubah Real Misalkan f adalah fungsi dengan tiga peubah x, y, dan z. Turunan parsial f terhadap x dinyatakan dengan f x (x, y, z) didefinisikan sebagai f x (x, y, z) = lim h 0 f (x + h, y, z) f (x, y, z) h Jadi, f x (x, y, z) diperoleh dengan menurunkan fungsi f terhadap x dan memperlakukan y dan z sebagai konstanta. Begitu juga dengan turunan parsial terhadap y dan z.

39 dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan f x, f y, dan f z dari fungsi f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx.

40 dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan f x, f y, dan f z dari fungsi f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx. Penyelesaian:

41 dengan Dua Peubah Real Contoh: Tentukan f x, f y, dan f z dari fungsi f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx. Penyelesaian: f x = y + 3z f y = x + 2z f z = 2y + 3x

42 Fungsi dengan Dua Peubah atau Lebih dengan Dua Peubah Real 1. Tentukan daerah asal alami dari fungsi-fungsi berikut: a. f (x, y) = y x + xy b. f (x, y) = x 2 y + y c. f (x, y) = x 2 + y x 2 y 2 d. f (x, y) = y x 2 4 e. f (x, y) = 2x 2 4y + 1

43 dengan Dua Peubah Real 2. Tentukan semua turunan parsial pertama dari a. f (x, y) = cos (2x + 3y) b. f (x, y) = e y sin x c. f (x, y) = e y 2 x 2

44 dengan Dua Peubah Real 3. Tunjukkan bahwa fungsi f (x, y) = e x sin y memenuhi f xx + f yy = 0 dan f xy = f yx. 4. Volume V dari suatu silinder lingkaran tegak dinyatakan dengan V = πr 2 h, r adalah jari-jari dan h adalah tingginya. Jika h dipertahankan tetap pada h = 10 inci, tentukan laju perubahan V terhadap r jika r = 6 inci.