Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 1983

Transcript

1 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-1 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 1983 ΖΗΤΗΜΑ1 α) Να αποδειχθεί ότι η τετμημένη καθώς και η τεταγμένη του r αθροίσματος α + β r r δυο διανυσμάτων α και β r ισούται με το άθροισμα των τετμημένων και αντίστοιχα των τεταγμένων των r διανυσμάτων α και β r. β) Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Μ (1,-1) και είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση 5x 9y + 1 =. ΖΗΤΗΜΑ α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε μια θέση x του πεδίου ορισμού της ; β) Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις με τύπους 4x 9x +, x {} i) f (x) = x στη θέση x = 7, x = x, x ii) g(x) = 1 στη θέση x =, x < x ΖΗΤΗΜΑ3 α) Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής : (x ε, x + ε ). i) Να αναφέρετε τι λέγεται παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο x ii) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας της εφαπτομένης σε ένα σημείο M(x, f (x )) της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τύπο y = f (x). β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο 3 (1,1) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο y = x. ΖΗΤΗΜΑ4 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f (x) = x x. Να γίνει μελέτη και πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.

2 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ- ΖΗΤΗΜΑ1 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 1984 συνx ηµ x συν x ηµ x Θεωρούμε τους πίνακες, και ηµ x συνx ηµ x συνx ονομάζουμε Η(x) τον πρώτο και Σ(x) το δεύτερο. α) Να αποδείξετε ότι ισχύει H (x) + Σ (x) = I όπου Ι ο πίνακας 1 I = 1 β) Να λύσετε την εξίσωση Σ (x) H (x) = ( x ) α 1x + β1ψ = γ1 Σ : με τους α x + β ψ = γ α1, β1, γ1, α, β, γ πραγματικούς αριθμούς. Να αποδείξετε ότι αν ο α1 β1 πίνακας είναι αντιστρέψιμος τότε το σύστημα έχει μία α β μόνο λύση. β) Να λύσετε (και να διερευνήσετε) το σύστημα : ( λ + 1)x ( λ 1) ψ = 3 όπου λ πραγματικός αριθμός. x + 3 λψ = 4 λ + 5 Έστω η πραγματική συνάρτηση ψ της πραγματικής μεταβλητής x 4 με : ψ (x) = x+ x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο των τιμών της ψ β) Να εξετάσετε την ψ ως προς την μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα (,] και [, + ) α) Έστω μια πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού της Α ένα υποσύνολο του, που περιέχει ένα ανοικτό διάστημα (α,β) με ΖΗΤΗΜΑ α) Έστω το σύστημα ( ) ΖΗΤΗΜΑ3 ΖΗΤΗΜΑ4 α,β και έστω x ένα από τα άκρα του διαστήματος (α,β). Τι εννοούμε όταν λέμε ότι : η συνάρτηση f έχει όριο στο x το + και τι όταν λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο x το ; β) Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής x x 1 με ψ (x) = 5 5x να βρείτε το lim ψ (x). x 5

3 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-3 ΖΗΤΗΜΑ1 ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 ΖΗΤΗΜΑ4 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης α) Δίνεται ο πίνακας A = 3. Να υπολογισθεί ο πίνακας A A. β)έστω λ και Χ ένας πίνακας x. Να βρεθεί ο Χ αν X + = ( λ λ λ λ 1). 3 Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) = x 6x + 9x + 1, x. Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f και το είδος μονοτονίας σε καθένα από αυτά, καθώς και τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα. Επίσης να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f στρέφει α) τα κοίλα άνω β) τα κοίλα κάτω Ακόμα να βρεθούν τα ενδεχόμενα σημεία καμπής. α) Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς: i) Πότε η f λέγεται άρτια ii) Πότε η f λέγεται περιττή iii)πότε η f λέγεται περιοδική iv)πότε η f λέγεται φραγμένη άνω και v) Πότε η f λέγεται φραγμένη κάτω 3x β) Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) =, x. Να βρεθεί το x + 1 σύνολο τιμών της f. α) Έστω f,g συναρτήσεις που ορίζονται στο διάστημα και x. Αν οι f,g είναι παραγωγίσιμες στο x τότε να αποδειχθεί ότι και η f+g είναι παραγωγίσιμη στο x και είναι f g (x ) f (x ) g (x ) ( + ) = + β) Έστω η συνάρτηση f με f (x) = x + x + 3, x. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(,3).

4 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-4 ΖΗΤΗΜΑ1 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 1986 Να λυθεί η εξίσωση x + 3 x 3x 1 3 x 6 x 1 = ΖΗΤΗΜΑ Να προσδιορισθούν οι τιμές του λ ώστε το σύστημα : ΖΗΤΗΜΑ3 ΖΗΤΗΜΑ4 ( λ + 3)x + ( λ 1)y = λ + 1 να είναι αδύνατο. ( λ )x ( λ 1)y = 3 λ Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) = x + 3x 36x + 9, x. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης. Α. Ι. Έστω S το σύνολο των τιμών μιας μεταβλητής X ενός δείγματος μεγέθους V. Τι ονομάζουμε σχετική συχνότητα μιας τιμής x S; II. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x. Πότε η συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο x ; Β. Έστω η συνάρτηση f με f (x) = x x + 7x 1, x. Αν C 3 είναι η γραφική παράσταση της f να βρείτε την εξίσωση της 3 εφαπτομένης της C στο σημείο (1, ).Στη συνέχεια να βρείτε σε 6 ποιο σημείο η εφαπτομένη αυτή τέμνει τον άξονα x x.

5 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-5 ΖΗΤΗΜΑ1 ΖΗΤΗΜΑ Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 1987 Α. Έστω η συνάρτηση f : Α Β όπου Α και Β και Α. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς I) Πότε η f λέγεται γνησίως αύξουσα II) Πότε η f λέγεται γνησίως φθίνουσα III)Πότε η f λέγεται αύξουσα IV)Πότε η f λέγεται φθίνουσα V) Πότε η f λέγεται «συνάρτηση επί» Β. I. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(4,-3) και Β(-,5) II. Να βρείτε το λ έτσι ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το σημείο Γ(-3,λ-1). Α. Έστω x η μέση τιμή της μεταβλητής X ως προς τη οποία εξετάζουμε ένα δείγμα. Να αποδειχθεί ότι η μέση τιμή y της μεταβλητής Y = α X + β (α,β ) είναι y = α x + β. Β. Να αποδειχθεί ότι α β β α = α + β 1 1 ΖΗΤΗΜΑ3 Να βρεθούν οι τιμές των λ και μ για τις οποίες τα συστήματα : (λ 1)x + 1µψ = 3 ( λ )x ( µ + 1) ψ = 7 και είναι x + 4ψ = 5 3x 6ψ = 5 συγχρόνως αδύνατα. ΖΗΤΗΜΑ4 Α. Να αποδειχθεί ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό. Β. Έστω C η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με 3 f (x) = α x + β x + 9x 1. Να προσδιορίσετε τα α,β έτσι ώστε το σημείο Α(,-1) να ανήκει στην C και η εφαπτομένη της C και η εφαπτομένη της C στο σημείο Α να έχει συντελεστή διευθύνσεως τον αριθμό 3.

6 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-6 ΖΗΤΗΜΑ1 ΖΗΤΗΜΑ Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 1988 α Α. Θεωρούμε το σύστημα: x + β y = γ α x + β y = γ. Να αποδειχθεί ότι αν α 3x + β 3y = γ 3 α β γ το σύστημα είναι συμβιβαστό τότε θα ισχύει: α β γ = α β γ x y + z = Β. Να λυθεί το σύστημα: x 3y + z = 3x + y + 6z = Α. Έστω S X η τυπική απόκλιση της μεταβλητής Χ ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα. Να αποδειχθεί ότι η τυπική απόκλιση S Ψ της μεταβλητής Ψ=αΧ+β, α,β είναι S = α Ψ S. X x Β. Έστω A = 4 1 και Ι,Ο ο μοναδιαίος και μηδενικός πίνακας x αντιστοίχως. Να προσδιορίσετε την τιμή του x ώστε να είναι A + 6A 3I = O. ΖΗΤΗΜΑ3 Α. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f με : 3x 5x + 6, x 1 f (x) = είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x + 3, x > 1 x = 1 Β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3 1 x 5x + 1 dx x ΖΗΤΗΜΑ4 Α. Έστω ν και ν>1. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f (x) = x ν. Να αποδείξετε ότι Β. Έστω η συνάρτηση f με f (x) = ν x ν 1 για κάθε x. 3 f (x) = 3x α x + βx 3 όπου α,β. Εάν η f έχει τοπικά ακρότατα στα x1 = 1 και x βρεθούν οι αριθμοί α,β. 5 = τότε να 9

7 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-7 ΖΗΤΗΜΑ1 ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 1989 Α. Αν για τον τετραγωνικό νxν πίνακα Α υπάρχει αντίστροφος να αποδειχθεί ότι είναι μοναδικός. 1 x x Β. Έστω ο πίνακας 1 x τον οποίο συμβολίζουμε με Α(x) 1 x. Να αποδειχθεί ότι 1. A(x 1) A(x ) = A(x1 + x ),(x 1, x ). A(x) A( x) = I3,( I 3 ο μοναδιαίος 3x3). α Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) = x + + β, ( α, β ) η οποία x μηδενίζεται στο x1 = 1 και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x =. α) Να βρεθούν τα α,β β) Να βρεθεί το είδος του ακροτάτου και η τιμή του. Α. Να αποδείξετε ότι : Αν οι συναρτήσεις f,g με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ είναι παραγωγίσιμες στο x τότε η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x και f + g (x ) = f (x ) + g (x ). ( ) 3α + 1, < x 3 x Β. Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) = 1 x 1, x > x 4 Να προσδιοριστεί το α ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο x =. ΖΗΤΗΜΑ4 Να αποδειχθεί ότι : α) η συνάρτηση f με f (x) = x είναι γνησίως αύξουσα β) για κ 1: κ+ 1 κ κ xdx και xdx κ κ κ 1

8 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-8 ΖΗΤΗΜΑ1 ΖΗΤΗΜΑ Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης 199 Α. Αν Α είναι πίνακας νxν και υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί 3 α,β,γ με γ για τους οποίους ισχύει ότι: αα βα + γι = Ο όπου Ι,Ο ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας νxν αντιστοίχως να αποδείξετε ότι Α είναι αντιστρέψιμος. 4 Β. Αν Α = 1 3 και Ι,Ο ο μοναδιαίος και ο μηδενικός πίνακας x αντιστοίχως να βρείτε όλες τις τριάδες (κ,λ,μ) πραγματικών αριθμών για τις οποίες ισχύει ότι : κα + 3λΑ µι = Ο. Α. Να αποδείξετε ότι : Αν οι συναρτήσεις f,g είναι ορισμένες στο διάστημα Δ και παραγωγίσιμες στο x τότε (fg) είναι παραγωγίσιμη στο x και είναι fg (x ) f (x )g(x ) f (x )g (x ) ( ) = + Β. Δίνεται η συνάρτηση g η οποία είναι ορισμένη στο, δυο φορές παραγωγίσιμη σ αυτό και ισχύει g(-1)=7. Αν f είναι μια συνάρτηση με f (x) = 3( x ) g(x 5) να αποδείξετε ότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο και να υπολογίσετε την f (). ΖΗΤΗΜΑ3 Έστω α πραγματικός αριθμός και f η συνάρτηση με 4 3 x αx 5 3 f (x) = + + α α + x + ( α + 7) x 5α. Να 3 3 αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής. ΖΗΤΗΜΑ4 Α. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και α, β με α<β. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο [α,β] τότε να αποδείξετε β ότι f (x)dx = F( β) F( α). α Β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με f (x) = x e του άξονα x x και των ευθειών με εξισώσεις x=1 και x=3. x

9 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-9 ΖΗΤΗΜΑ1 ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 ΖΗΤΗΜΑ4 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης (4/6/91) Α. Αν Α και Β είναι πίνακες x να αποδειχθεί ότι D(AB) = D(A) D(B) Β. Για τις διάφορες τιμές του λ να ευρεθούν οι τιμές των x και y οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση 1 x y 1 ( 1) 1 + λ = λ + λx λy λ. Α. Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίζεται στο x. Να αποδείξετε ότι xf (x ) xf (x) lim = f (x ) x f (x ). x x x x Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f (x) = x x 3, x 3 στο σημείο x = 3. Α. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g οι οποίες έχουν τις εξής ιδιότητες: α) Είναι συνεχείς στο [α,β] και παραγωγίσιμες στο (α,β) β) για κάθε x [α,β] και g(x) και για κάθε x (α,β) είναι g (x) και γ) f ( β)g( α) f ( α)g( β ) = Να αποδείξετε ότι f (x) 1. Για την συνάρτηση F με F(x) = εφαρμόζεται το g(x) θεώρημα του Rolle στο [α,β].. Υπάρχει x ( α, β ) τέτοιο ώστε f (x ) f (x ) =. g (x ) g(x ) Β. α) Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)>,x. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης F με F(x) = [ f (x)] x, x β) Έστω α>. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g με x + 1 = α, x. g(x) Α. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της π f :[, ] µε f (x) = ηµ x ηµ x +. x e e, x < 1 β) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) = ln x, x 1 x Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x x και τις ευθείες x= και x=e.

10 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-1 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης (199) α 1x = β1 Σ : με α α x = β 1, α, β1, β πραγματικούς αριθμούς. α) Να αποδειχθεί ότι το σύστημα (Σ) είναι συμβιβαστό τότε α β α β = σ ΖΗΤΗΜΑ1 Α. Δίνεται το σύστημα ( ) 1 1 ( ) β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση (σ) δεν είναι ικανή για να είναι το σύστημα (Σ) συμβιβαστό. 3 λ λ Β. Με την προϋπόθεση ότι ο πίνακας x A = 1 έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός να λυθεί για τις διάφορες τιμές του x λ y = λ 1 πραγματικού αριθμού λ το σύστημα. ( λ + 1)x y = ΖΗΤΗΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι x (,1) x ισχύει η σχέση 1+ x < e < 1+ e x 3 1 x ηµ, x Β. Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) = x, x = i) Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ΖΗΤΗΜΑ3 ΖΗΤΗΜΑ4 ii) Να βρεθεί η παράγωγος της f για κάθε x. Α. Δίνεται η συνάρτηση f με x f (x) = (ln x 1) x(ln x 1), x > 4 α) Να βρεθεί η παράγωγος f της f για κάθε x> β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β. α) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα E(t) = (x ) ln xdx για κάθε t>1 E (t) β) Να βρεθεί το όριο lim. t + t ln t Α. Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση f με t 1 3 f (x) = α x + β x + γ, x α,β,γ η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες i) Η συνάρτηση f είναι περιττή ii) Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x = 1 iii) f (x)dx = Β. Η συνάρτηση g έχει συνεχή παράγωγο στο [,π] και g( π ) = e π. Αν π x (g(x) + g (x)) e dx = να βρεθεί το g().

11 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-11 ΖΗΤΗΜΑ1 ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 ΖΗΤΗΜΑ4 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης (1993) α Α. Δίνονται οι πίνακες A = α, α, 3 Β = 3 και ο 1 1 αντιστρέψιμος Γ = 1 1. Να υπολογίσετε το α ώστε 1 Γ ΑΓ = Β. λ 1 Β. Δίνεται ο πίνακας Α = 4 1, λ α) Να υπολογίσετε την τιμή του λ ώστε Α = 5Ι όπου Ι μοναδιαίος. β) Για την τιμή του λ που βρήκατε να υπολογίσετε τους x,y 6 x 5 ώστε να ισχύει Α = = y Α. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x x + 3x + µ, x,μ. Να 3 δείξετε ότι η εξίσωση f(x)= δεν μπορεί να έχει δυο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα (1,) Β. Αν η συνάρτηση g(x) έχει συνεχή παράγωγο στο [,1] και ικανοποιεί την σχέση 1 1 xg (x)dx = 1993 g(x)dx να βρείτε το g (1). Μια βιομηχανία παράγει x ποσότητα από ένα προϊόν με κόστος 3 αx που δίνεται από την συνάρτηση K(x) = όπου x> και 4 9 α [, ]. Τα έσοδα από την πώληση x ποσότητας του προϊόντος 9 δίνεται από την συνάρτηση E(x) = x,x> και το κέρδος από την συνάρτηση f (x) = E(x) K(x),x>. α) Να βρείτε την ποσότητα x για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος που συμβολίζεται με Μ(α). 9 β) Να βρείτε την τιμή του α [, ] για την οποία το Μ(α) γίνεται 9 μέγιστο καθώς και το μέγιστο κέρδος. νx Δίνεται η συνάρτηση f (x) = xe, x, ν * Α. Να μελετήσετε τη μονοτονία της f, να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της νx Β. Να αποδείξετε ότι e ν xe dx e. ν 1 ν

12 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-1 ΖΗΤΗΜΑ1 ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 ΖΗΤΗΜΑ4 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης (7/6/94) Α. Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός α και η συνάρτηση f (χ) = αχ χ ln χ με χ (, + ). α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(1,f(1)) και να προσδιορίσετε το α ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Β. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Ρ η οποία έχει συνεχή f στο Ρ, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο χ ο = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο 8 Α(,1). Αν ισχύει [ χ f (χ) + 3 f (χ)] dχ = να υπολογίσετε 3 το f(). Α. Έστω Α,Β πίνακες νχν τέτοιοι ώστε Α+(Β-Ι)=ΑΒ-Ι, όπου Ι ο μοναδιαίος νχν πίνακας. Να αποδείξετε ότι ο πίνακας (Α-Ι) αντιστρέφεται. Β. Έστω Α ένας νχν πίνακας για τον οποίο υποθέτουμε ότι Ι-Α +Α 4 =Ο, όπου Ι ο μοναδιαίος νχν πίνακας και Ο ο μηδενικός νχν πίνακας. α) Να αποδείξετε ότι Α 6 +Ι=Ο, ότι ο Α έχει αντίστροφο και ότι Α -1 = - Α 5. β) Να αποδείξετε ότι -Α 38 +(Α -1 ) 15 =Α +Α 3. Α. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Β. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α,Β είναι υποσύνολα του Ω. Έστω P( A ), 8 και P( B ), 71 Να αποδείξετε ότι α) P(A B) 1, 1 P(A B) β) το ενδεχόμενο A B δεν είναι το. Α. Έστω ότι η ευθεία ψ=χ+5 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο +. Να βρείτε τα όρια: f (χ) α) lim χ και lim [ f (χ) χ ]. + χ χ + β) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ, αν μ f (χ) + 4χ lim = 1 χ + χ f (χ) χ + 3χ χ Β. Να αποδείξετε ότι α) e χ+ 1 > χ R β) Η εξίσωση e χ + χ= χ + έχει ακριβώς μια λύση την χ=.

13 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-13 ΖΗΤΗΜΑ1 Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης (4/6/95) Α. Αν για τους νxν πίνακες Α,Β ισχύει Α +Β=ΑΒ και ο Β αντιστρέφεται να αποδείξετε ότι : α) Ο πίνακας Α αντιστρέφεται β) (Α -1 ) +Β -1 = Α -1 Β. Θεωρούμε ένα γραμμικό σύστημα 3x3 με πραγματικούς συντελεστές και με αγνώστους χ,ψ,ω. Έστω D η ορίζουσα ΖΗΤΗΜΑ ΖΗΤΗΜΑ3 των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος και D χ,d ψ,d ω οι ορίζουσες που προκύπτουν από την D αν αντικαταστήσουμε την 1 η, η και 3 η στήλη αντίστοιχα με την στήλη των σταθερών όρων του συστήματος. Υποθέτουμε ότι κλd=κd χ +λd ψ +(κ+λ)d ω, όπου κ,λ * Να αποδείξετε ότι : α) Αν το σύστημα έχει την μοναδική λύση (χ,ψ,ω ) τότε κ (χ +ω )+λ(ψ +ω )=κλ β) Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε έχει και μη μηδενικές λύσεις. Α. Δίνεται ο αντιστρέψιμος x πίνακας Α και ο α -β + γ Β = α -3 - γ β + γ Αν ΑΒ= να βρεθούν τα α,β,γ. Β. Έστω Ω το σύνολο των ριζών της εξίσωσης χ + 4χ 5 χ 7 = ( ) ( ) Υποθέτουμε ότι Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. α 1995 αχ + ψ = ( ) Θεωρούμε το σύστημα ( ) ( ) ( ) α 1995 α 7 χ + α 6 ψ = όπου α Ω. Έστω Α Ω είναι το ενδεχόμενο το παραπάνω σύστημα να έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να βρεθεί η πιθανότητα P(A). Α. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και f(α) f(β) τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας χ (α,β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(χ )=η. 4 β) Δίνεται η συνάρτηση f (χ) = χ χ + α, α i) Αν Α(χ 1,f(χ 1 )), Β(χ,f(χ )), Γ(χ 3,f(χ 3 )) είναι τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης της f και χ 1 <χ <χ 3, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην ευθεία ΒΓ. ii) Αν <α<1 να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ)= έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα (-1,). Β. Δίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει f (χ) για κάθε χ και η συνάρτηση g τέτοια ώστε g(χ) f (χ)=f(χ) για κάθε χ. Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της f έχει σημείο καμπής το Α(χ,f(χ )) τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g

14 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-14 ΖΗΤΗΜΑ4 στο σημείο Β(χ,g(χ )) είναι παράλληλη στην ευθεία ψ-χ+5=. Α. Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο t σύμφωνα με τη συνάρτηση t A f( t) = e 14, t όπου Α ένας θετικός αριθμός. Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους Κ(t) από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει η συγκεκριμένη μηχανή δίνεται από τη t A συνάρτηση K t = e 7 ( ), t και υποθέτουμε ότι 4 Κ()=. Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή έτσι ώστε το συνολικό κέρδος P(t) από τα βιβλία που πουλήθηκαν συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο. χ 3t u e Β. Αν G(χ) = f (t)dt όπου f (t) = du και χ>, t> να 1 1 u βρείτε : α) την G (1) χ G (χ) 3 β) το lim+ χ χ + 1 1

15 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-15 Θέµατα Μαθηµατικών 4 ης έσµης (5/6/96) 1 α α ΖΗΤΗΜΑ1ο Α. Έστω α,β,γ R µε α<β<γ και A = 1 β β. Θεωρούµε 1 γ γ χ το 3χ3 γραµµικό σύστηµα ΑΧ=Β όπου X = ψ µε αγνώστους χ,ψ,ω R. ω Έστω D η ορίζουσα του πίνακα Α και D χ,d ψ,d ω οι ορίζουσες που προκύπτουν από την D αν αντικαταστήσουµε την 1 η, η και 3 η στήλη αντίστοιχα µε τη στήλη των σταθερών όρων του συστήµατος. Έστω ότι Dχ + Dψ + Dω + D = D( Dχ D ) ψ Να λυθεί το σύστηµα ΑΧ=Β. 3 1 Β. ίνεται ο πίνακας Α = 3 και το πολυώνυµο f( χ) = χ + 3χ α) Να βρεθούν οι τιµές του λ R έτσι ώστε : A λι = όπου Ι ο µοναδιαίος πίνακας. β) Αν Β συµβολίζει τον πίνακα ( f(3) 1) ( A I) + A f(1)i να αποδείξετε χ ότι υπάρχει µη µηδενικός πίνακας X = ψ τέτοιος ώστε ΒΧ=Ο όπου Ο ο ω µηδενικός πίνακας. ΖΗΤΗΜΑο Α. α) Έστω µια πραγµατική συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστηµα. Να αποδείξετε ότι αν f (χ)> για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. β) Θεωρούµε τις παραγωγίσιµες συναρτήσεις f,g που έχουν πεδίο ορισµού x το διάστηµα [,+ ) για τις οποίες ισχύει η σχέση: f ( χ) = g ( χ) + ηµ χ+ e για χ [,+ ). Να αποδείξετε ότι f( ) + g( χ) < g( ) + f( χ ) για κάθε χ (,+ ). αχ Β. α) Έστω η συνάρτηση f( χ) = e όπου α R.Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δυο τιµές της παραµέτρου α έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση f ( χ) + f ( χ) = 3f( χ ) για κάθε χ R β) Έστω λ,µ,β 1,β R µε β 1 β. Θεωρούµε τη συνάρτηση g( χ) = λ e β χ + µ e µε χ R. Έστω ότι υπάρχει πραγµατικός αριθµός χο τέτοιος ώστε g( χ) = g ( χ) = Να αποδειχθεί ότι λ=µ=. ΖΗΤΗΜΑ3ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση g συνεχής στο R και χ ( ) f(χ) = χ t g(t)dt 1 βχ Να αποδείξετε ότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη και να µελετήσετε την f ως προς τα κοίλα όταν g( χ) για κάθε χ R. β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείετε από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g( χ) = χ και f( χ) = χ 1 και την ευθεία

16 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-16 χ=. Β. Θεωρούµε τη συνάρτηση f( χ) = 1+ χ + λχ, λ R f α) Να υπολογίσετε την τιµή του λ αν είναι γνωστό ότι lim ( χ ) = 1 χ + χ β) Για την τιµή του λ που βρήκατε παραπάνω να υπολογίσετε το 1 x ολοκλήρωµα Ι = dx. f (x) α β ΖΗΤΗΜΑ4ο Α. α) ίνεται ο πίνακας X = β α όπου α,β είναι θετικοί γ δ πραγµατικοί αριθµοί µε α+β=1. Να αποδειχθεί ότι X = δ γ όπου γ,δ είναι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί µε γ+δ=1. β) Έστω ότι Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και Α,Β ενδεχόµενα του Ω P(A) P(A ) Θεωρούµε του πίνακες Y = P(A ) P(A) και P(B) P(B ) Y = P(B ) P(B) όπου Α είναι το συµπληρωµατικό σύνολο του Α και Β το συµπληρωµατικό 4 σύνολο του Β. Αν PB ( ) = και PA ( ) < PA ( ) τότε να βρεθούν οι 9 πιθανότητες των ενδεχοµένων Α και Α. Β. Έστω ότι f(t) είναι η ποσότητα ενός αντιβιοτικού που έχει απορροφηθεί από το ανθρώπινο σώµα κατά τη χρονική στιγµή t όπου t και f:[, + ) R είναι πραγµατική συνάρτηση µε f( t) = Να βρεθεί η χρονική στιγµή t 1 κατά την οποία ο ρυθµός απορρόφησης του αντιβιοτικού από το ανθρώπινο σώµα είναι ίσος µε το 1/16 του ρυθµού απορρόφησης κατά τη χρονική στιγµή t o =. t

17 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-17 Θέµατα Μαθηµατικών 4 ης έσµης (3/7/97) ΖΗΤΗΜΑ 1ο Α. Έστω Χ,Β είναι νxµ πίνακες και Α είναι ένας νxν αντιστρέψιµος πίνακας. Να αποδείξετε ότι ισχύει η ισοδυναµία ΑX = B X= A 1 B 3 Β. Αν λ R\{,}, να αποδείξετε ότι υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί χ και ψ, λ χ λ χ 1 1 ώστε να ισχύει η σχέση : + = λ +. λ ψ λ 1 ψ 1 3 ΖΗΤΗΜΑ ο Α. Στην τελευταία ιεθνή Μαθηµατική Ολυµπιάδα, που έγινε στη Βοµβάη, πέντε Έλληνες µαθητές βραβεύτηκαν µε µετάλλια. Η Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία αποφάσισε να δωρίσει σε καθένα από τους πέντε µαθητές από δυο βιβλία, που επιλέγονται από µια συλλογή δέκα διαφορετικών βιβλίων. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους τα δέκα αυτά βιβλία µπορούν να διανεµηθούν στους πέντε βραβευθέντες µαθητές; Β. Θεωρούµε το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθµών χ τέτοιων ώστε 1 χ Ως γνωστόν αυτοί είναι τετραψήφιοι αριθµοί στο δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης. Πόσοι από αυτούς τους αριθµούς γράφονται µε τέσσερα διαφορετικά ψηφία; ΖΗΤΗΜΑ 3ο Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι δυο φορές παραγωγίσιµες στο R και ικανοποιούν τις σχέσεις : f (χ) g (χ) = 4γιακάθεχ f (1) = g (1) και f () = g() i) Να βρείτε τη συνάρτηση t(χ)=f(χ)-g(χ),χ ii) Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g. Β. Έστω f πραγµατική συνάρτηση ορισµένη στο που είναι δυο φορές παραγωγίσιµη και ισχύει f ( χ) > για κάθε χ. Έστω α,β R και α<β Να αποδειχθεί ότι : i) f( χ) f( α) f ( β)( χ α) για κάθε χ [α,β] β ii) f(x)dx f ( β)(β α) + f(α)(β α). α ΖΗΤΗΜΑ 4ο f( χ) Έστω f πραγµατική συνάρτηση συνεχής στο τέτοια ώστε για κάθε χ. Θεωρούµε τη συνάρτηση: χ 5χ g(χ) χ 5χ 1 f(t)dt, = + χ Α. Να αποδείξετε ότι g( 3) g( ) < Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(χ)= έχει µια µόνο ρίζα στο διάστηµα (-3,).

18 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-18 Θέµατα Μαθηµατικών 4 ης έσµης (7/6/98) ΖΗΤΗΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι αν υπάρχει µια αρχική συνάρτηση F της f σ ένα διάστηµα τότε υπάρχουν άπειρες και µάλιστα είναι όλες οι συναρτήσεις της µορφής G( χ) = F( χ) + c, c R και µόνο αυτές. Με R συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου C: χ + ψ + 1= χ+ 6ψ και είναι κάθετη στην ευθεία ε:χ+ ψ+ 5=. ΖΗΤΗΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση φ () t = t+ µ, t R όπου η παράµετρος µ είναι ένας πραγµατικός αριθµός. Μια επιχείρηση έχει έσοδα Ε(t) που δίνονται σε εκατοµµύρια δραχµές από τον τύπο E() t = ( t 1) φ(), t t όπου t συµβολίζει το χρόνο σε έτη. Το κόστος λειτουργίας Κ(t) της επιχείρησης δίνεται επίσης σε εκατοµµύρια δραχµές σύµφωνα µε τον τύπο Κ() t = φ( t+ 4), t. α) Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους P(t) για t όταν γνωρίζουµε ότι κατά το πρώτο έτος λειτουργίας η επιχείρηση παρουσίασε ζηµιά δώδεκα εκατοµµύρια δραχµές. β) Ποια χρονική στιγµή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη; γ) Ποιος θα είναι ο ρυθµός µεταβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους; δ) Να υπολογίσετε την τιµή του ολοκληρώµατος I= P(t )dt. 1 4χ αχ ΖΗΤΗΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση h( χ) = ( e e ), χ όπου α πραγµατικός αριθµός µεγαλύτερος του 4 α) Να δείξετε ότι lim h( χ) = h( ) = χ + β) Να µελετήσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση h(χ) γ) Αν χ 1 είναι ρίζα της πρώτης παραγώγου και χ είναι ρίζα της δευτέρας παραγώγου της h(χ) να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα χ1, χ δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα ln 334 M = h(x 75 )dx όταν α=8 ΖΗΤΗΜΑ 4ο ίνεται ο πίνακας πολυωνυµικές συναρτήσεις f( χ) = 4( χ 1)( χ 5χ+ 6), χ R και 3 3 A= λ 1 + λ 1 λ + g( χ) = χ + ( κ 5κ) χ+ 13, χ R όπου κ και λ πραγµατικοί αριθµοί. α) Ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης είναι Ω= ω,ω,ω,ω,ω,ω µε { } και οι

19 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-19 ω1= χ1, ω= χ, ω3= χ3 ω4= 4χ1, ω5= 4χ, ω6= 4χ3 όπου χ1, χ, χ3 είναι οι ρίζες της εξίσωσης f(χ)= Οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων ικανοποιούν τις σχέσεις P( ω6) = P( ω5) = P( ω4) = = 3P( ω3) = 3P( ω) = 3P( ω1) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων του Ω. β) Θεωρούµε το ενδεχόµενο το σύστηµα ΑΧ =Χ έχει B = λ Ω και µη µηδενικές λύσεις όπου Χ ένας 3x1 άγνωστος πίνακας και Ω ο δειγµατικός χώρος του α) ερωτήµατος. Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(Β). γ) Να δείξετε ότι για το ενδεχόµενο Γ του Ω όπου ηg(χ) παρουσιάζει ακρότατο Γ= κ Ω στο σηµείο χ = 3 και Ω ο δειγµατικός χώρος του α) ερωτήµατος ισχύει :P(Γ)=P(Β). δ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων Β Γ και Β Γ.

20 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ- Θέματα Μαθηματικών 4 ης Δέσμης (9/7/99) ΖΗΤΗΜΑ 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. x 1 Β α) Να αποδείξετε ότι ln(x + 1) > x για κάθε 5 x [,+ ) β) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [,+ ) για την οποία ισχύει x x [ f (x)] + [ f (x)] + 3f (x) = (x+ 1) ln(x+ 1) x για κάθε x [,+ ). Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) ΖΗΤΗΜΑ Α. Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Α(1,3),Β(-1,),Γ(3,-1) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην ευθεία ΒΓ β) Έστω C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα (ΑΒ). Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας ΒΓ με τον παραπάνω κύκλο Β. Έστω Ω = {,1, } ένας δειγματικός χώρος με 1 P() = P() = 3 α) Να βρείτε το P(1) β) Έστω η συνάρτηση x λ f (x) = e x + 118, x και λ Ω Θεωρούμε το ενδεχόμενο Ε={ λ Ω/ η γραφική παράσταση της f έχει σημείο καμπής το (,f())}. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Ε. ΖΗΤΗΜΑ 3 Α. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ηµ ( αx), x και α. Να βρείτε την τιμή του α ώστε να ισχύει f (x) + 4α f (x) = για κάθε x ΖΗΤΗΜΑ 4 3 Β. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x 6x + 9x + 1, x α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση f και να αποδείξετε ότι f(x)> για κάθε x [1,3] β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x=1 και x=3. Α. Έστω Α ένας νxν πίνακας για τον οποίο ισχύει ( ) 1 A I = A + I όπου I ο νxν μοναδιαίος πίνακας α) Να αποδείξετε ότι A = 3I A β) Έστω Χ νxν πίνακας για τον οποίο ισχύει AX A = 4I X.Να αποδείξετε ότι Χ=Α+Ι Β. Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού

21 ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-1 f (1)x + y+ ω = το και το σύστημα f ()x + y+ ω = με x + f ()y+ f (1) ω = αγνώστους x,y,ω. Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις f () f (1) Να αποδείξετε ότι α) = β) Η εξίσωση 1 x f (x) f (x) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,).

22 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ- ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ ΕΣΜΗ ΤΕΤΑΡΤΗ (4η) ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ZHTHMA 1o Α. Εστω µία συνάρτηση f συνεχής σ' ένα διάστηµα. Αν f (x)> για κάθε εσωτερικό σηµείο x του, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. Β. Θεωρούµε παραγωγίσιµη συνάρτηση f:r R τέτοια, ώστε: xf(x)+(x +1) f (x)=e x για κάθε x R, µε f()=1. x e α) Να αποδείξετε ότι f(x)=, x R. x + 1 β) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f. ΖΗΤΗΜΑ ο β 1 Α. ίνεται ο πίνακας Α=, όπου β R. β Αν λ R, θεωρούµε το x γραµµικό σύστηµα ΑΧ=λΧ x όπου Χ= είναι ο πίνακας-στήλη των αγνώστων. y Να αποδείξετε ότι για κάθε β R υπάρχουν ακριβώς δύο τιµές του λ R, για τις οποίες το παραπάνω γραµµικό σύστηµα έχει και µη µηδενικές λύσεις. B. Έστω Α ένας x πίνακας για τον οποίο ισχύει + A 4A + 1 Α= και A > 1 A όπου A είναι η ορίζουσα του πίνακα Α. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

23 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ α) Να αποδείξετε ότι Α= 1 β) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας Β=5Ι-Α, όπου Ι ο x µοναδιαίος πίνακας, είναι αντίστροφος του Α και να βρείτε τον πίνακα Χ για τον οποίο ισχύει : ΒΧ=Α ΖΗΤΗΜΑ 3ο Α. Θεωρούµε συνάρτηση f συνεχή στο R. α) Να αποδείξετε ότι 3 f(x+1)dx = 1 7 f (x)dx 1 β) Εστω ότι 7 f(x)dx f(x+1)dx = + Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (1,7) τέτοιο, ώστε f(ξ)= 334. Β. Θεωρούµε συνεχή συνάρτηση f:r R που ικανοποιεί την ισότητα : x ( ) t 1 1 f(t) dt x = + +, x R. + 1 ( 6x t t )dt x + 5 α) Nα αποδείξετε ότι f(x)= x + 1 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο της Α (, f()). ZHTHMA 4o Α. Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε f(x)=x -4x+3, x R. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)+f(y)= µε x,y R παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

24 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-4 β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα x x. Β. Εστω Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και Χ,Υ ενδεχόµενά του τέτοια, ώστε X Y. Εστω Ρ(Χ), P(Υ) είναι οι πιθανότητες των Χ,Υ αντιστοίχως. Εστω ότι οι πραγµατικοί αριθµοί Ρ(Χ), P(Υ) είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f, µε f(x)=4x 3-5x +x+, x R. Να υπολογίσετε α) τις πιθανότητες P(X), P(Y) β) τις πιθανότητες P(X Y), P(X Y) και P(Y X ) όπου Χ το αντίθετο ενδεχόµενο του Χ. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

25 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 1 ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 1 ΕΣΜΗ ΤΕΤΑΡΤΗ (4η) ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ZHTHMA 1o Α. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β] και f(α) f(β), τότε για κάθε αριθµό ξ µεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x (α, β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x )=ξ. Β. Να αποδείξετε ότι: α. Η συνάρτηση f(x)=x 3 +x-1-ηµx, x R, είναι γνησίως αύξουσα. β. Η εξίσωση x 3 +x-1=ηµx έχει µία µόνο ρίζα στο διάστηµα (,1). ZHTHMA o Α. ίνεται το σύστηµα 5x + 5y = λω x + y = ω x + 3y = 3ω,λ R α. Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία το σύστηµα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις. β. Αν (x 1, y 1, ω 1 ) και (x, y, ω ) είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήµατος, να αποδείξετε ότι x 1 x + y 1 y = ω 1 ω ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

26 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-6 Β. Θεωρούµε στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy τη γραµµή µε εξίσωση x + y + 6x - 8y = α. Να αποδείξετε ότι η προηγούµενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του. β. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ο (,) και Α(-6, 8) είναι τα άκρα µιας διαµέτρου του κύκλου. ΖΗΤΗΜΑ 3ο Α. Η συνάρτηση f : R R έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα β f (x) e dx =, α όπου α, β R µε α<β. Να αποδείξετε ότι: α. f(α) = f(β) f(x) β. Η εξίσωση f (x)= έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (α, β). B. Εστω η συνάρτηση f (x) = x + 4, x> x α. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

27 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-7 συνάρτησης f, τον άξονα x x και τις ευθείες x=λ, x=λ+1, όπου λ>, είναι Ε(λ) = λ+1+ 4 n λ β. Να προσδιορίσετε την τιµή του λ για την οποία το εµβαδόν Ε(λ) γίνεται ελάχιστο. ZHTHMA 4o Α. ίνεται η συνάρτηση g(x ) = α. Να αποδείξετε ότι x x συνtdt, x R g (x) = συνx - xηµx, x R. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής π π παράστασης της συνάρτησης g στο σηµείο Α, g. B. Έστω η συνάρτηση όπου α, β R. f(x) = αx + βx x, x R { } α. Αν η ευθεία ε : y= x - 1 είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +, ποιες είναι οι τιµές των α, β; ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

28 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΕ3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ-8 α β. Έστω Ω =, α, β, β είναι ένας δειγµατικός χώρος µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, όπου οι α, β έχουν τις τιµές που προκύπτουν στο προηγούµενο ερώτηµα. Θεωρούµε τη συνάρτηση g(x) = x 1 και το ενδεχόµενο 1 (λ -1) x 3 + x + 1,x R,λ Ω Ε = { λ Ω/ η συνάρτηση g είναι κυρτή στο R} Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Ε. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ